复变函数习题答案第3章习题详解

5) ， ：
解： 在 解析，根据柯西—古萨定理：
6) ， ：为包围 的闭曲线
解： 在 解析，根据柯西—古萨定理：
7) ， ：
解： 在 内， 在 解析，根据柯西积分公式：
8) ， ：
解： 在 内， 在 解析，根据柯西积分公式：
9) ， ：
解： 在 内， 在 解析，根据高阶导数公式：
10) ， ：
解： 在 内， 在 解析，根据高阶导数公式：
解：
2) ， ；
解：
3) ， ；
解：
4) ， 。
解：
31．设 ，求 的值使 为调和函数，并求出解析函数 。
解：
32．如果 是区域 内的调和函数， 为 内以 为中心的任何一个正向圆周： ，它的内部全含于 。试证：[提示：利用平均值公式 。]
1) 在 的值等于 在圆周 上的平均值，即 ；
证明：
2) 在 的值等于 ，在圆域 上的平均值，即 。
证明：分两种情况：
1）如果 在 的外部， 和 在 内解析，故
2）如果 在 的内部，在 内解析的函数 ，其导函数 仍是 内的解析函数，根据柯西积分公式有：
由高阶导数公式有：
22．如果 和 都具有二阶连续偏导数，且适合拉普拉斯方程，而 ， ，那末 是 的解析函数。
证明： ，
，
又 和 都具有二阶连续偏导数，所以混合偏导相等，即 ， 。
第三章习题详解
1．沿下列路线计算积分 。
1)自原点至 的直线段；
解：连接自原点至 的直线段的参数方程为：
2)自原点沿实轴至 ，再由 铅直向上至 ；
解：连接自原点沿实轴至 的参数方程为：
连接自 铅直向上至 的参数方程为：
3)自原点沿虚轴至 ，再由 沿水平方向向右至 。
解：连接自原点沿虚轴至 的参数方程为：
16．设函数 在 内解析，且沿任何圆周 ： ， 的积分等于零，问 是否必需在 处解析？试举例说明之。
解：不一定。例如： 在 处不解析，但 。
17．设 与 在区域 内处处解析， 为 内的任何一条简单闭曲线，它的内部全含于 。如果 在 上所有的点处成立，试证在 内所有的点处 也成立。
证明：设 是 内任意一点，因为 与 在 及 内解析，由柯西积分公式有：
1) 也是解析函数；
证明：
2) 是 的共轭调和函数；
证明：
3) 。
证明：
28．证明； 和 都是调和函数，但是 不是解析函数。
证明
29．求具有下列形式的所有调和函数 ：
1) ， 与 为常数；
解：
2) 。[提示：1)l令 ，因 ，从而有 ；2)令 。]
解：
30．由下列各已知调和函数求解析函数 。
1) ；
证明：
36．设 在简单闭曲线 内及 上解析，且不恒为常数， 为正整数
1)试用柯西积分公式证明： 。
证明：
2)设 为 在 上的最大值， 为 的长， 为 到 的最短距离，试用积分估值公式 于1)中的等式，证明不等式： 。
证明：
3)令 ，对2)中的不等式取极限，证明： ，这个结论表明：在闭区域内不恒为常数的解析函数的模的最大值只能在区域的边界上取得（最大模原理）。
证明：
8．计算下列各题：
1)
解：
2) ；
解：
3) ；
解：
4) ；
解：
5) ；
解：
6) （沿 到 的直线段）。
解：
9．计算下列积分：
1) ，（其中 ： 为正向）；
解：
2) ，（其中 ： 为正向）；
解：
3) ，（其中 ： 为正向， ： 为负向）；
解： 在所给区域是解析的，根据复合闭路定理：
4) ， ： （其中 为以 ， 为顶点的正向菱形）；
，
又 在 上所有的点处成立，故有：
在 内解析，以圆环的中心为中心作正向圆周 与 ， 包含 ， 为 ， 之间任一点，试证 仍成立，但 要换成 。
证明：
19．设 在单连通域 内处处解析，且不为零， 为 内任何一条简单闭曲线。问积分 是否等于零？为什么？
25．设 和 都是调和函数，如果 是 的共轭调和函数，那末 也是 的共轭调和函数。这句话对吗？为什么？
解：这句话不对。
如果 是 的共轭调和函数，则 是解析函数，满足柯西—黎曼方程：
， ，
即 是 的共轭调和函数， 就不是 的共轭调和函数。
26．证明：一对共轭调和函数的乘积仍为调和函数。
证明：
27．如果 是一解析函数，试证：
当 所围成的区域含原点时，根据高阶导数公式： ；
11．下列两个积分的值是否相等？积分2)的值能否利用闭路变形原理从1)的值得到？为什么？
1)
2)
解：1） ；2）
由此可见，1）和2）的积分值相等。但2）的值不能利用闭路变形原理从1）得到。因为 在复平面上处处不解析。
12．设区域 为右半平面， 为 内圆周 上的任意一点，用在 内的任意一条曲线 连接原点与 ，证明 。[提示：可取从原点沿实轴到 ，再从 沿圆周 到 的曲线作为 。
证明：因为 在 内解析，故积分 与路径无关，取从原点沿实轴到 ，再从 沿圆周 到 的曲线作为 ，则：
13．设 和 为相交于 、 两点的简单闭曲线，它们所围的区域分别为 与 。 与 的公共部分为 。如果 在 与 内解析，在 、 上也解析，证明： 。
证明：如图所示， 在 与 内解析，在 、 上也解析，由柯西—古萨基本定理有：
连接自 沿水平方向向右至 的参数方程为：
2．分别沿 与 算出积分 的值。
解：
而
3．设 在单连通域 内处处解析， 为 内任何一条正向简单闭曲线。问 ， 是否成立？如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。
解：不成立。
例如： ， ，
4．利用在单位圆上 的性质，及柯西积分公式说明 ，其中 为正向单位圆周 。
4）如果 在 的外部， 都在 的内部，则 在 内解析，由柯西积分公式有
15． 设 与 为两条互不包含，也不相交的正向简单闭曲线，证明
证明：因为 与 为两条互不包含，也不相交，故 与 只有相离的
位置关系，如图所所示。
1）当 在 内时， 在 内解析，根据柯西—古萨基本定理以及柯西积分公式：
2）当 在 内时， 在 内解析，根据柯西—古萨基本定理以及柯西积分公式：
解：在所给区域内， 有一孤立奇点，由柯西积分公式：
5) ，（其中 为 的任何复数， ： 为正向）。
解：当 ， 在所给区域内解析，根据柯西—古萨基本定理：
当 ， 在所给区域内解析，根据高阶导数公式：
10．证明：当 为任何不通过原点的简单闭曲线时， 。
证明：当 所围成的区域不含原点时，根据柯西—古萨基本定理： ；
证明：
33．如果 在区域 内处处解析， 为 的正向圆周： ，它的内部全含于 。设 为 内一点，并令 ，试证 。
证明：
34．根据柯西积分公式与习题33的结果，证明 ，其中 为 。
证明：
35．如果令 ， ，验证 。并由34题的结果，证明 。取其实部，得 。这个积分称为泊松积分。通过这个积分，一个调和函数在一个圆内的值可用它在圆周上的值来表示。
解：
5．计算积分 的值，其中 为正向圆周：
1) ；
解：在 上，
2)
解：在 上，
6．试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么？ 是正向的圆周 。
1)
解： 在 内解析，根据柯西—古萨定理，
2)
解： 在 内解析，根据柯西—古萨定理，
3)
解： 在 内解析，根据柯西—古萨定理，
4)
解： 在 内解析， 在 内，
5)
解： 在 内解析，根据柯西—古萨定理，
6)
解： 在 内解析， 在 内，
7．沿指定曲线的正向计算下列各积分：
1) ， ：
解： 在 内， 在 解析，根据柯西积分公式：
2) ， ：
解： 在 内， 在 解析，根据柯西积分公式：
3) ， ：
解： 在 内， 在 解析，根据柯西积分公式：
4) ， ：
解： 不在 内， 在 解析，根据柯西—古萨定理：
和 满足拉普拉斯方程： ，
，
故 是 的解析函数。
23．设 为区域 内的调和函数及 ，问 是不是 内的解析函数？为什么？
解：设 ，则 ，
，
，
因为 为区域 内的调和函数，具有二阶连续偏导且满足拉普拉斯方程
， 是 内的解析函数。
24．函数 是 的共轭调和函数吗？为什么？
解： ， ， ， ，
故函数 不是 的共轭调和函数。
14．设 为不经过 与 的正向简单闭曲线， 为不等于零的任何复数，试就 与 跟 的不同位置，计算积分 的值。
解：分四种情况讨论：
1）如果 与 都在 的外部，则 在 内解析，柯西—古萨基本定理有
2）如果 与 都在 的内部，由柯西积分公式有
3）如果 在 的内部， 都在 的外部，则 在 内解析，由柯西积分公式有
解：因为 在单连通域 内处处解析且不为零，又解析函数 的导数 仍然是解析函数，故 在 内处处解析。根据柯西—古萨基本定理，有
20．试说明柯西—古萨基本定理中的 为什么可以不是简单闭曲线？
解：如 不是简单闭曲线，将 分为几个简单闭曲线的和。如 ，则 ， 是简单闭曲线。
21．设 在区域 内解析， 为 内的任意一条正向简单闭曲线，证明：在对 内但不在 上的任意一点 ，等式 成立。