2020届高三数学一轮基础训练(11)
2020届河南省安阳一中、安阳正一中学高三第十一次模拟考试数学(文)试题(解析版)
2020届河南省安阳一中、安阳正一中学高三第十一次模拟考试（文）数学试题一、单选题 1．若复数满足（为虚数单位），为的共轭复数，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，结合复数模的公式求解. 详解：由，得，则，，则，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.2．已知矩形ABCD 中，4,3AB AD ==.如果向该矩形内随机投一点P ，那么使得ABP ∆与ADP ∆的面积都不小于2的概率为（ ）A ．14B ．13C ．47D ．49【答案】D【解析】，由题意知本题是一个几何概型的概率， 以AB 为底边，要使面积不小于2， 由于122ABP S AB h h V =⨯=， 则三角形的高要h ⩾1,同样,P 点到AD 的距离要不小于43，满足条件的P 的区域如图，其表示的区域为图中阴影部分,它的面积是()416 43133⎛⎫--= ⎪⎝⎭， ∴使得△ABP 与△ADP 的面积都不小于2的概率为：1643439=⨯. 故选D. 3．已知函数为偶函数且在单调递减，则的解集为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B4．已知双曲线222:12x y C a a-=-的离心率为2，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．2-C ．1 或2-D ．1-【答案】C 5．在中，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C6．如图程序中，输入，则输出的结果为（ ）A ．B ．C ．D ．无法确定【答案】B 7．将函数图像上的每一个点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位得到数学函数的图像，在图像的所有对称轴中，离原点最近的对称轴为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A8．在ABC V 中， 4B π=，BC 边上的高等于13BC ,则sin A = A ．310B ．1010C ．55D ．31010【答案】D9．我国古代数学名著九章算术记载：“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无丈刍，草也；甍，屋盖也”翻译为：“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱刍甍字面意思为茅草屋顶”如图，为一刍甍的三视图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形则它的体积为A ．B ．160C ．D ．64【答案】A 10．抛物线焦点与双曲线一个焦点重合，过点的直线交于点、，点处的切线与、轴分别交于、，若的面积为，则的长为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C 11．函数存在唯一的零点，且，则实数的范围为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B12．下列命题为真命题的个数是；；；A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【解析】本题首先可以构造函数，然后通过导数计算出函数的单调性以及最值，然后通过对①②③④四组数字进行适当的变形，通过函数的单调性即可比较出大小。
高三数学基础训练题集1-10套(含答案)
图2俯视图侧视图正视图4图1乙甲7518736247954368534321高三数学基础训练一一．选择题：1．复数i1i,321-=+=zz，则21zzz⋅=在复平面内的对应点位于A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．在等比数列｛an｝中，已知,11=a84=a，则=5aA．16 B．16或－16 C．32 D．32或－323．已知向量a =（x，1），b =（3，6），a⊥b ，则实数x的值为( )A．12B．2-C．2D．21-4．经过圆:C22(1)(2)4x y++-=的圆心且斜率为1的直线方程为( )A．30x y-+=B．30x y--=C．10x y+-=D．30x y++=5．已知函数()f x是定义在R上的奇函数，当0>x时，()2xf x=，则(2)f-=( )A．14B．4-C．41- D．46．图1是某赛季甲．乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲．乙两人这几场比赛得分的中位数之和是A．62 B．63 C．64 D．657．下列函数中最小正周期不为π的是A．xxxf cossin)(⋅= B．g（x）=tan（2π+x）C．xxxf22cossin)(-=D．xxx cossin)(+=ϕ8．命题“,11a b a b>->-若则”的否命题是A．,11a b a b>-≤-若则B．若ba≥，则11-<-baC．,11a b a b≤-≤-若则D．,11a b a b<-<-若则9．图2为一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为A ．6B ．24C ．123D ．3210．已知抛物线C 的方程为212x y =，过点A ()1,0-和点()3,t B 的直线与抛物线C 没有公共点,则实数t 的取值范围是 A ．()()+∞-∞-,11,B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2222, C ．()()+∞-∞-,,2222D ．()()+∞-∞-,,22二．填空题:11．函数22()log (1)f x x =-的定义域为 ．12．如图所示的算法流程图中，输出S 的值为 ．13．已知实数x y ，满足2203x y x y y +⎧⎪-⎨⎪⎩≥，≤，≤≤，则2z x y =-的最大值为_______．14．已知c x x x x f +--=221)(23，若]2,1[-∈x 时，2)(c x f <恒成立，则实数c 的取值范围______ 三．解答题:已知()sin f x x x =+∈x (R )． （1）求函数)(x f 的最小正周期;（2）求函数)(x f 的最大值，并指出此时x 的值．高三数学基础训练二一．选择题：1．在等差数列{}n a 中， 284a a +=,则 其前9项的和S9等于 ( )A ．18B ．27C ．36D ．92．函数()()sin cos sin f x x x x =-的最小正周期为 ( )A ．4π B ．2πC ．πD ．2π 3．已知命题p: {}4A x x a=-,命题q :()(){}230B x x x =--,且⌝p 是⌝q 的充分条件，则实数 a 的取值范围是： ( )A ．(-1,6)B ．[-1,6]C ．(,1)(6,)-∞-⋃+∞D ．(,1][6,)-∞-⋃+∞ 4．用系统抽样法从160名学生中抽取容量为20的样本，将160名学生从1~160编号，按编号顺序平均分成20组（1~8号，9~16号，。
2020届高三数学一轮复习关于垂直与平行的问题
2020届一轮复习关于垂直与平行的问题高考要求:垂直与平行是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定与性质，并能利用它们解决一些问题.重难点归纳:垂直和平行涉及题目的解决方法须熟练掌握两类相互转化关系:1.平行转化:线线平行€线面平行€面面平行.2.垂直转化:线线垂直€线面垂直€面面垂直.每一垂直或平行的判定就是从某一垂直或平行开始转向另一垂直或平行最终达到目的.例如:有两个平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直.典型题例示范讲解:例1两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB，且AM=FN，求证:MN∥平面BCE.命题意图:本题主要考查线面平行的判定，面面平行的判定与性质，以及一些平面几何的知识.知识依托:解决本题的关键在于找出面内的一条直线和该平面外的一条直线平行，即线(内)∥线(外) 线(外)∥面:或转化为证两个平面平行.错解分析:证法二中要证线面平行，通过转化P证两个平面平行，正确的找出MN 所在平面是一个关键.技巧与方法:证法一利用线面平行的判定来证明.证法二采用转化思想，通过证面面平行来证线面平行.证法一:作MP ⊥BC ，NQ ⊥BE ，P 、Q 为垂足，则MP ∥AB ，NQ ∥AB . ∴MP ∥NQ ，又AM =NF ，AC =BF ， ∴MC =NB ，∠MCP =∠NBQ =45° ∴Rt △MCP ≌Rt △NBQ∴MP =NQ ,故四边形MPQN 为平行四边形 ∴MN ∥PQ∵PQ ⊂平面BCE ，MN 在平面BCE 外， ∴MN ∥平面BCE .证法二:如图过M 作MH ⊥AB 于H ，则MH ∥BC ， ∴ABAH ACAM=连结NH ，由BF =AC ，FN =AM ，得ABAH BFFN =∴NH//AF//BE由MH//BC,.NH//BE 得:平面MNH//平面BCE∴MN ∥平面BCE .例2在斜三棱柱A 1B 1C 1—ABC 中，底面是等腰三角形，AB =AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面ABC .(1)若D 是BC 的中点，求证:AD ⊥CC 1；(2)过侧面BB 1C 1C 的对角线BC 1的平面交侧棱于M ，若AM =MA 1，求C1证:截面MBC1⊥侧面BB1C1C；(3)AM=MA1是截面MBC1⊥平面BB1C1C的充要条件吗？请你叙述判断理由.命题意图:本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质.知识依托:线面垂直、面面垂直的判定与性质.错解分析:(3)的结论在证必要性时，辅助线要重新作出.技巧与方法:本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙作辅助线.(1)证明:∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC∵底面ABC⊥平面BB1C1C，∴AD⊥侧面BB1C1C∴AD⊥CC1.(2)证明:延长B1A1与BM交于N，连结C1N∵AM=MA1，∴NA1=A1B1∵A1B1=A1C1，∴A1C1=A1N=A1B1∴C1N⊥C1B1∵底面NB1C1⊥侧面BB1C1C，∴C1N⊥侧面BB1C1C∴截面C1NB⊥侧面BB1C1C∴截面MBC1⊥侧面BB1C1C.(3)解:结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性.过M作ME⊥BC1于E，∵截面MBC1⊥侧面BB1C1C∴ME⊥侧面BB1C1C，又∵AD⊥侧面BB1C1C.∴ME ∥AD ，∴M 、E 、D 、A 共面 ∵AM ∥侧面BB 1C 1C ，∴AM ∥DE ∵CC 1⊥AM ，∴DE ∥CC 1∵D 是BC 的中点，∴E 是BC 1的中点 ∴AM =DE =21211=CC AA 1，∴AM =MA 1.例3.已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，A 1C 1=B 1C 1=2，D 、D 1分别是AB 、A 1B 1的中点，平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1，异面直线AB 1和C 1B 互相垂直.(1)求证:AB 1⊥C 1D 1； (2)求证:AB 1⊥面A 1CD ；(3)若AB 1=3，求直线AC 与平面A 1CD 所成的角.(1)证明:∵A 1C 1=B 1C 1，D 1是A 1B 1的中点， ∴C 1D 1⊥A 1B 1于D 1，又∵平面A 1ABB 1⊥平面A 1B 1C 1， ∴C 1D 1⊥平面A 1B 1BA ，而AB 1⊂平面A 1ABB 1，∴AB 1⊥C 1D 1. (2)证明:连结D 1D ， ∵D 是AB 中点，∴DD 1CC 1，∴C 1D 1∥CD ，由(1)得CD ⊥AB 1，又∵C 1D 1⊥平面A 1ABB 1，C 1B ⊥AB 1， 由三垂线定理得BD 1⊥AB 1，又∵A 1D ∥D 1B ，∴AB 1⊥A 1D 而CD ∩A 1D =D ，∴AB 1⊥平面A 1CD . (3)解:由(2)AB 1⊥平面A 1CD 于O ，D 11B 1CA 1连结CO 1得∠ACO 为直线AC 与平面A 1CD 所成的角， ∵AB 1=3，AC =A 1C 1=2，∴AO =1，∴sin OCA =21=ACAO ，∴∠OCA =6π.学生巩固练习:1.在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A 1到截面AB 1D 1的距离是( )A 38 B 83 C 34 D 432.在直二面角α—l —β中，直线a ⊂α,直线b ⊂β,a 、b 与l 斜交，则( )A a 不和b 垂直，但可能a ∥bB a 可能和b 垂直，也可能a ∥bC a 不和b 垂直，a 也不和b 平行D a 不和b 平行，但可能a ⊥b3.设X 、Y 、Z 是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X ⊥Z 且Y ⊥Z ⇒X ∥Y ”为真命题的是_________(填序号).①X 、Y 、Z 是直线②X 、Y 是直线，Z 是平面③Z 是直线，X 、Y 是平面④X 、Y 、Z 是平面4.设a ,b 是异面直线，下列命题正确的是_________. ①过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一条直线和a 、b 都相交 ②过不在a 、b 上的一点P 一定可以作一个平面和a 、b 都垂直 ③过a 一定可以作一个平面与b 垂直 ④过a 一定可以作一个平面与b 平行5.如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧棱PA 垂直于底面，E 、F 分别是AB 、PC 的中点.(1)求证:CD ⊥PD ; (2)求证:EF ∥平面PAD ;(3)当平面PCD 与平面ABCD 成多大角时，直线EF ⊥平面PCD ？ 6.如图，在正三棱锥A —BCD 中，∠BAC =30°，AB =a ,平行于AD 、BC 的截面EFGH 分别交AB 、BD 、DC 、CA 于点E 、F 、G 、H .(1)判定四边形EFGH 的形状，并说明理由. (2)设P 是棱AD 上的点，当AP 为何值时，平面PBC ⊥平面EFGH ，请给出证明.7.如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相等，D 、E 分别是CC 1和AB 1的中点，点F 在BC 上且满足BF ∶FC =1∶3.(1)若M 为AB 中点，求证:BB 1∥平面EFM ； (2)求证:EF ⊥BC ；(3)求二面角A 1—B 1D —C 1的大小. 8.如图，已知平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形且∠C 1CB =∠C 1CD =∠BCD =60°,(1)证明:C 1C ⊥BD ；(2)假定CD =2，CC 1=23，记面C 1BD 为α,面CBD 为β,求二面角α—BD —β的平面角的余弦值；(3)当1CC CD 的值为多少时，可使A 1C ⊥面C 1BD ？1A1C1参考答案:1.解析:如图，设A 1C 1∩B 1D 1=O 1，∵B 1D 1⊥A 1O 1，B 1D 1⊥AA 1，∴B 1D 1⊥平面AA 1O 1，故平面AA 1O 1⊥AB 1D 1，交线为AO 1，在面AA 1O 1内过A 1作A 1H ⊥AO 1于H ，则易知A 1H 长即是点A 1到平面AB 1D 1的距离，在Rt △A 1O 1A 中，A 1O 1=2，AO 1=32，由A 1O 1·A 1A =h ·AO 1,可得A 1H =34.答案:C2.解析:如图，在l 上任取一点P ，过P 分别在α、β内作a ′∥a ,b ′∥b ,在a ′上任取一点A ，过A 作AC ⊥l ，垂足为C ，则AC ⊥β,过C 作CB ⊥b ′交b ′于B ，连AB ，由三垂线定理知AB ⊥b ′，∴△APB 为直角三角形,故∠APB 为锐角. 答案:C3.解析:①是假命题，直线X 、Y 、Z 位于正方体的三条共点棱时为反例，②③是真命题，④是假命题，平面X 、Y 、Z 位于正方体的三个共点侧面时为反例. 答案:②③4.④5.证明:(1)∵PA ⊥底面ABCD ，∴AD 是PD 在平面ABCD 内的射影，∵CD ⊂平面ABCD 且CD ⊥AD ，∴CD ⊥PD . (2)取CD 中点G ，连EG 、FG ，D1∵E、F分别是AB、PC的中点，∴EG∥AD，FG∥PD∴平面EFG∥平面PAD，故EF∥平面PAD(3)解:当平面PCD与平面ABCD成45°角时，直线EF⊥面PCD证明:G为CD中点，则EG⊥CD,由(1)知FG⊥CD，故∠EGF为平面PCD与平面ABCD所成二面角的平面角.即∠EGF=45°，从而得∠ADP=45°，AD=AP由Rt△PAE≌Rt△CBE,得PE=CE又F是PC的中点，∴EF⊥PC，由CD⊥EG，CD⊥FG，得CD⊥平面EFG，CD⊥EF即EF⊥CD，故EF⊥平面PCD.6.(1)证明:∵AD//面EFGH,面ACD∩面EFGH＝HG，,AD⊂面ACD.∴AD//HG.同理EF∥FG，∴EFGH是平行四边形∵A—BCD是正三棱锥，∴A在底面上的射影O是△BCD的中心，∴DO⊥BC，∴AD⊥BC，∴HG⊥EH，四边形EFGH是矩形.(2)作CP⊥AD于P点，连结BP，∵AD⊥BC，∴AD⊥面BCP∵HG∥AD，∴HG⊥面BCP，HG⊂面EFGH.面BCP⊥面EFGH，3a.在Rt△APC中，∠CAP=30°，AC=a,∴AP=27. (1)证明:连结EM、MF，∵M、E分别是正三棱柱的棱AB和AB1的中点，∴BB1∥ME，又BB1⊄平面EFM，∴BB1∥平面EFM.(2)证明:取BC的中点N，连结AN由正三棱柱得:AN⊥BC，又BF ∶FC =1∶3，∴F 是BN 的中点，故MF ∥AN ， ∴MF ⊥BC ，而BC ⊥BB 1，BB 1∥ME :∴ME ⊥BC ，由于MF ∩ME =M ，∴BC ⊥平面EFM ， 又EF平面EFM ，∴BC ⊥EF .(3)解:取B 1C 1的中点O ，连结A 1O 知，A 1O ⊥面BCC 1B 1，由点O 作B 1D 的垂线OQ ，垂足为Q ，连结A 1Q ，由三垂线定理，A 1Q ⊥B 1D ，故∠A 1QD 为二面角A 1—B 1D —C 的平面角，易得∠A 1QO =arctan15.8. (1)证明:连结A 1C 1、AC ，AC 和BD 交于点O ，连结C 1O ，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，BC =CD又∵∠BCC 1=∠DCC 1，C 1C 是公共边，∴△C 1BC ≌△C 1DC ，∴C 1B =C 1D ∵DO =OB ，∴C 1O ⊥BD ，但AC ⊥BD ，AC ∩C 1O =O ∴BD ⊥平面AC 1，又C 1C ⊂平面AC 1，∴C 1C ⊥BD . (2)解:由(1)知AC ⊥BD ，C 1O ⊥BD ， ∴∠C 1OC 是二面角α—BD —β的平面角. 在△C 1BC 中，BC =2，C 1C =23，∠BCC 1=60°，∴C 1B 2=22+(23)2－2×2×23×cos60°=413.∵∠OCB =30°,∴OB =21,BC =1,C 1O =23,即C 1O =C 1C .作C 1H ⊥OC ，垂足为H ，则H 是OC 中点且OH =23，∴cos C 1OC =33(3)解:由(1)知BD ⊥平面AC 1，∵A 1O ⊂平面AC 1，∴BD ⊥A 1C ，当1CC CD =1时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同理可证BC 1⊥A 1C ，又∵BD ∩BC 1=B ，∴A 1C ⊥平面C 1BD .课前后备注:。
高中数学基础训练测试及参考答案1-10
高中数学基础训练测试题（1）集合的概念，集合间的基本关系一、填空题（共12题，每题5分）1、集合中元素的特征： ， ， .2、集合的表示法： ， ， .3、已知集合A ={1，2，3，4}，那么A 的真子集的个数是 .4、设集合I={1，2，3}，A ⊆I,若把集合M ∪A=I 的集合M 叫做集合A 的配集. 则A={1，2}的配集有 个 .5、设集合P ={m |－1＜m ≤0}，Q ={m ∈R |mx 2+4mx －4＜0对任意实数x 恒成立}，则下列关系中成立的是 . （1）．P Q （2）．Q P （3）．P =Q （4）．P ∩Q =Q6、满足条件∅≠⊂M ≠⊂{0，1，2}的集合共有 个.7、 若集合a B A a a a B a a A 则且},1{},43|,2|,12{},1,1,{22-=+--=-+= = .8、 满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠集合M 有_____个.9、集合{|10}A x ax =-=，{}2|320B x x x =-+=，且AB B =，则实数a ＝______、10、已知集合{}{}A x x x RB x x a a R =≤∈=-≤∈||||||43，，，，若A B ⊇，则a 的取值范围是_______ .11、 若2{|30}A x x x a =++=，求集合A 中所有元素之和 .12、任意两正整数m 、n 之间定义某种运算⊕，m ⊕n=⎝⎛+异奇偶）与同奇偶）与n m mn n m n m ((,则集合M={(a,b)|a ⊕b=36,a 、b ∈N +}中元素的个数是___________.高三数学基础训练测试题（1）答题纸班级 姓名 分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、 5、 6 7、 8、 9 、 10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、、已知集合A =}2432{2++a a ，，，B=}24270{2-+-a a a ，，，，A ∩B={3，7}，求B A a ⋃的值及集合.高中数学基础训练测试题（2）集合的基本运算一、填空题（共12题，每题5分）1、已知集合{}12S x x =∈+R ≥，{}21012T =--，，，，，则S T =.2、 如果{}|9U x x =是小于的正整数{}1234A =，，，，{}3456B =，，，， 那么U UA B =痧 .3、若22{228}{log 1}xA xB x x -=∈<=∈>Z R ≤，，则()AB R ð的元素个数为.4、已知集合{}11M =-，，11242x N x x +⎧⎫=<<∈⎨⎬⎩⎭Z ，，则M N = .5、已知集合M ＝｛x |x ＜3}，N ＝｛x |log 2x ＞1｝，则M ∩N ＝ .6、设集合{}22,A x x x R =-≤∈，{}2|,12B y y x x ==--≤≤，则()R C AB 等于.7、已知集合M =｛直线的倾斜角｝，集合N ={两条异面直线所成的角}，集合P=｛直线与平面所成的角｝，则(M ∩N)∪P= .8、设全集}5,4,3,2,1{=U ，若}2{=B A ，}4{)(=B A C U ，}5,1{)()(=B C A C U U ，则A ＝_____，B ＝___、9、设集合{|M x y =，集合N ＝{}2|,y y x x M =∈，则MN =___10、设集合{}{}22|21,|25M y y x x N x y x x ==++==-+，则N M ⋂等于.11、设集合}0|{≥+=m x x M ，}082|{2<--=x x x N ，若U ＝R ，且∅=N M U，则实数m 的取值范围是 .12、设a 是实数, {}22|,210,M x x R x ax a =∈-+-≤{}22|,11,N x x R a x a =∈-≤≤+若M 是N 的真子集,则a 的取值范围是 、高三数学基础训练测试题（2）答题纸班级姓名分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、5、 6 7、 8、9 、10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、求实数m的范围，使关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0（1）有两个实根；（2）有两个实根，且一个比0大，一个比0小；（3）有两个实根，且都比1大；高中数学基础训练测试题（3）命题及其关系一、填空题（共12题，每题5分）1、设集合""""},3{},2{P M x P x M x x x P x x M ∈∈∈<=>=是或那么的.2、 πα≠“”3是α≠1“cos ”2的 .3、“a =1”是“函数y =cos 2ax －sin 2ax 的最小正周期为π”的.4、已知p 是r 的充分条件而不是必要条件，q 是r 的充分条件，s 是r 的必要条件，q 是s 的必要条件，现有下列命题： .①s 是q 的充要条件；②p 是q 的充分条件而不是必要条件；③r 是q 的必要条件而不是充分条件；④p ⌝是s ⌝的必要条件而不是充分条件； ⑤r 是s 的充分条件而不是必要条件． 则正确命题的序号是 5、设p ：25x x >≤-或；q ：502x x+<-,则非q 是p 的 .6、设集合U={(x,y)｜x ∈R,y ∈R},A ={(x,y)｜x+y ＞m},B= {(x,y)｜22x y n +≤},那么点(1,2)∈()U C A B ⋂的充要条件是 .7、下列四个命题：①在空间，存在无数个点到三角形各边的距离相等； ②在空间，存在无数个点到长方形各边的距离相等； ③在空间，既存在到长方体各顶点距离相等的点，又存在到它的各个面距离相等的点； ④在空间，既存在到四面体各顶点距离相等的点，又存在到它的各个面距离相等的点、 其中真命题的序号是 、（写出所有真命题的序号） 8、设命题p ：|43|1x -≤；命题q:0)1()12(2≤+++-a a x a x .若┐p 是┐q 的必要而不充分的条件，则实数a 的取值范围是 .9、对于[0,1]x ∈的一切值，20a b +>是使0ax b +>恒成立的.10、设a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2均为非零实数，不等式a 1x 2+b 1x+c 1>0和a 2x 2+b 2x+c 2>0的解集分别为集合M 和N ，那么“212121c c b b a a ==”是“M=N ”的_______条件. 11、 、设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q={|,}a b a P b Q +∈∈，若{0,2,5}P =，}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的有________个.12、给出下列命题：①实数0=a 是直线12=-y ax 与322=-y ax 平行的充要条件；②若0,,=∈ab R b a 是b a b a +=+成立的充要条件；③已知R y x ∈,，“若0=xy ，则0=x 或0=y ”的逆否命题是“若0≠x 或0≠y 则0≠xy ”；④“若a 和b 都是偶数，则b a +是偶数”的否命题是假命题 .其中正确命题的序号是_____ .高三数学基础训练测试题（3）答题纸班级 姓名 分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、 5、 6 7、 8、 9 、 10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、已知集合()3,12y A x y x ⎧-⎫==⎨⎬-⎩⎭，()(){},115B x y a x y =++=，试问当a 取何实数时，A B =∅．高中数学基础训练测试题（4）逻辑联接词一、填空题（共12题，每题5分） 1、下列语句①“一个自然数不是合数是就是质数”②“求证若x ∈R ，方程x 2＋x ＋1＝0无实根” ③“垂直于同一直线的两条直线平行吗？” ④“难道等边三角形各角不都相等吗？” ⑤“x ＋y 是有理数，则x 、y 也都是有理数” 其中有________个是命题，________个真命题2、命题“方程x 2－1＝0的解是x=±1”中使用逻辑联结词的情况是________.3、下列四个命题p ：有两个内角互补的四边形是梯形或是圆内接四边形或是平行四边形q ：π不是有理数；r ：等边三角形是中心对称图形；s ：12是3与4的公倍数 其中简单命题只有________.4、如果命题“p 或q ”是真命题，那么下列叙述正确的为________.（1）．命题p 与命题q 都是真命题 （2）．命题p 与命题q 的真值是相同的，即同真同假 （3）．命题p 与命题q 中只有一个是真命题 （4）．命题p 与命题q 中至少有一个是真命题5、下列说法正确的有________个．①a ≥0是指a ＞0且a ＝0；②x 2≠1是指x ≠1且x ≠－1 ③x 2≤0是指x=0；④x ·y ≠0是指x ，y 不都是0⑤＞是指＝或＜a b a b a b / 6、复合命题s 具有p 或q 的形式，已知p 且r 是真命题，那么s 是________. 7、命题“对任意的3210x x x ∈-+R ，≤”的否定是8、分别用“p 或q ”、“p 且q ”、“非p ”填空：(1)命题“非空集A ∩B 中的元素既是A 中的元素，也是B 中的元素”是________的形式．(2)命题“非空集A ∪B 中的元素是A 中的元素或B 中的元素”是________的形式． (3)命题“C I A 中的元素是I 中的元素但不是A 中的元素”是________的形式．(4)x y =1x y =1x =1y =0x =0y =1221122命题“方程组＋＋的整数解是，”是⎧⎨⎩⎧⎨⎩⎧⎨⎩_______的形式． 9、P: 菱形的对角线互相垂直，q ：菱形的对角线互相平分，p 或q 形式的复合命题是________10、有四个命题：(1)空集是任何集合的真子集；(2)若x∈R，则|x|≥x(3)单元素集不是空集；(4)自然数集就是正整数集其中真命题是________(填命题的序号)11、指出命题的结构及构成它的简单命题：24 4x x +-有意义时，2x≠±12、已知命题p、q，写出“p或q”、“p且q”、“非p”并判断真假．(1)p：2是偶数q：2是质数________；(2)p：0的倒数还是0 q：0的相反数还是0________高三数学基础训练测试题（4）题纸班级姓名分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、5、 6 7、 8、9 、10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、分别指出下列复合命题的形式及构成它的简单命题，并判断此复合命题的真假．(1)A A B/⊆∪(2)方程x2＋2x＋3=0没有实根(3)3≥3高中数学基础训练测试题（5）综合运用一、填空题（共12题，每题5分）1、 设集合P={3，4，5}，Q={4，5，6，7}，定义P ★Q={（},|),Q b P a b a ∈∈则P ★Q 中元素的个数为 .2、设集合{()||2|0}A x y y x x =-，≥，≥，{()|}B x y y x b =-+，≤，A B =∅，b的取值范围是 .3、设集合{()||2|0}A x y y x x =-，≥，≥，{()|}B x y y x b =-+，≤，若()x y A B ∈，，且2x y +的最大值为9，则b 的值是 .4、1到200这200个数中既不是2的倍数，又不是3的倍数，也不是5的倍数的自然数共有_______个5、定义符号函数⎪⎩⎪⎨⎧-=101sgn x 000<=>x x x ，则不等式：x x x sgn )12(2->+的解集是 .6、满足条件M ∪{1}={1，2，3}的集合M 的个数是 .7、若不等式的值等于则实数的解集为a x a x x ],5,4[4|8|2-≤+-8、设集合}0|{≥+=m x x M ，}082|{2>--=x x x N ，若U ＝R ，且∅=)(N M U，则实数m 的取值范围是 .9、设[]x 表示不超过x 的最大整数(例[5、5]=5,[－5、5]=－6),则不等式2[]5[]6x x -+≤0的解集为10、 记关于x 的不等式01x ax -<+的解集为P ，不等式11x -≤的解集为Q ． 若Q P ⊆，正数a 的取值范围是11、 已知集合A ={x ||x |≤2，x ∈R }，B ={x |x ≥a }，且A B ，则实数a 的取值范围是____ _ 12、{25},{121},A x x B x p x p =-<<=+<<-若A B A ⋃=，则实数p 的取值范围是 .高三数学基础训练测试题（5）题纸班级 姓名 分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、 5、 6 7、 8、 9 、 10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、设命题:p 函数()2lg y ax x a =-+的定义域为R ．命题:q 函数()2lg 1y x ax =-+的值域为R ．如果命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题，求实数a 的范围．高中数学基础训练测试题（6）函数及其表示方法一、 填空题（共12题，每题5分）1、若f (x -1)=2x +5，则f (x 2) = ．2、已知在x 克%a 的盐水中，加入y 克%b 的盐水，浓度变为%c ，将y 表示成x 的函数关系式 ．3、已知⎪⎩⎪⎨⎧<=>+=0,00,0,1)(x x x x x f π，则f {f [f (-1)]}= ．4、已知函数f (x ) = ⎩⎨⎧2x 2+1，x ≤0，-2x ， x ＞0，当f (x ) = 33时，x = ．5、设函数x xxf =+-)11(，则)(x f 的表达式为 ．6、已知x x x f 2)12(2-=+，则)3(f = .7、已知f 满足f (ab )=f (a )+ f (b)，且f (2)=p ，q f =)3(那么)72(f 等于 .8、设f (x )是一次函数，且f [f (x )]=4x +3，则f (x )= ．9、集合A 中含有2个元素，集合A 到集合A 可构成 个不同的映射.10、若记号“*”表示的是2*ba b a +=，则用两边含有“*”和“+”的运算对于任意三个实数“a ，b ，c ”成立一个恒等式 .11、从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水加满，再倒出1升混合溶液，再用水加满、 这样继续下去，建立所倒次数x 和酒精残留量y 之间的函数关系式 .12、若f (x )满足f (x )+2f (x1)=x ，则f (x )= ．高三数学基础训练测试题（6）答题纸班级姓名分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、5、 6 7、 8、9 、10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、动点P从边长为1的正方形ABCD的顶点出发顺次经过B、C、D再回到A；设x表示P点的行程，y表示PA的长，求y关于x的函数解析式、高中数学基础训练测试题（7）函数的解析式和定义域一、 填空题（共12题，每题5分）1、下列各组函数中，表示同一函数的是 ．①xxy y ==,1 ②1,112-=+⨯-=x y x x y③33,x y x y == ④2)(|,|x y x y ==2、函数y =的定义域为 ．3、函数1()1f x n x=的定义域为 ．4、函数1)y a =<<的定义域是 ．5、已知)(x f 的定义域为)2,1[-，则|)(|x f 的定义域为 ．6、下列函数：①y =2x +5；②y = xx 2+1 ；③y = |x |-x ；④y = ⎩⎨⎧2x ， x ＜0，x +4，x ≥0．其中定义域为R 的函数共有m 个，则m 的值为 ．7、若f[g (x )] = 9x +3，且g (x ) = 3x +1，则f (x )的解析式为 ．8、已知g (x )=1-2x ，f [g (x )]= 1-x 2x 2 (x ≠0)，则f (0.5)= ．9、若函数f(x )的定义域为[a ，b ]，且b ＞-a ＞0，则函数g (x )=f(x )-f (-x )的定义域是 ．10、若f (2x +3)的定义域是[-4,5)，则函数f (2x -3)的定义域是 ．11、函数xx x x x x f +-++-=02)1(65)(的定义域为 ．12、 若函数 y =lg(x 2+ax +1)的定义域为R ，实数a 的取值范围为 ．高三数学基础训练测试题（7）答题纸班级姓名分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、5、 6 7、 8、9 、10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、已知f(x)是定义在R上的函数，且f(1)=1，对任意x∈R都有下列两式成立：（1）f(x+5)≥f(x)+5；（2）f(x+1)≤f(x)+1．若g(x)=f(x)+1-x，求g(6)的值．高中数学基础训练测试题（8）函数的值域与最值一、 填空题：（共12题，每题5分）1、函数y = － x 2 + x , x ∈ [1 ,3 ]的值域为 ． ２、函数y =2312+-x x 的值域是 ．３、函数y=2－x x 42+-的最大值是 ．４、函数y x =的值域是 ．５、函数y =的最小值是 ．６、已知函数2323(0),2y x x x =-+≤≤则函数的最大值与最小值的积是 ．７、若函数y=x 2－3x －4的定义域为[0,m],值域为[－425,－4],则m 的取值范围是 ．8、已知函数 y =lg(x 2+ax +1)的值域为R ，则a 的取值范围是 ．9、若指数函数xa y =在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 是 ．10、函数y = 3122+---x x x x 的值域为 ．11、已知x ∈[0,1],则函数y =的值域是 ．12、已知函数y =的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为 ．高三数学基础训练测试题（8）答题纸班级姓名分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、5、 6 7、 8、9 、10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、已知函数f(x) =xax+b(a，b为常数，且a≠0)满足f(2)=1，f(x)=x只有惟一实数解，试求函数y=f(x)的解析式及f[f(-3)]的值．高中数学基础训练测试题（9）函数的单调性与奇偶性一、 填空题：（共12题，每题5分）1、函数b x k y ++=)12(在实数集上是增函数，则k 的范围是 ．2、函数c bx x y ++=2))1,((-∞∈x 是单调函数时，b 的取值范围 ．3、函数)(x f 在区间]3,2[-是增函数，则)5(+=x f y 的递增区间是 ．4、定义在R 上的函数)(x s （已知）可用)(),(x g x f 的和来表示，且)(x f 为奇函数，)(x g 为偶函数，则)(x f = ．5、函数)(x f 在R 上为奇函数，且0,1)(>+=x x x f ，则当0<x ，=)(x f ．6、函数||2x x y +-=，单调递减区间为 ．7、定义在R 上的偶函数)(x f ，满足)()1(x f x f -=+，且在区间]0,1[-上为递增，则)2(f 、)2(f 、)3(f 的大小关系为 ．8、构造一个满足下面三个条件的函数实例，①函数在)1,(--∞上递减；②函数具有奇偶性；③函数有最小值为0 所构造的函数为 ．9、已知]3,1[,)2()(2-∈-=x x x f ，则函数)1(+x f 的单调递减区间为 ．10、下面说法正确的选项为 ．①函数的单调区间可以是函数的定义域②函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间 ③具有奇偶性的函数的定义域一定关于原点对称 ④关于原点对称的图象一定是奇函数的图象11、下列函数具有奇偶性的是 ． ①xx y 13+=； ②x x y 2112-+-=； ③x x y +=4； ④⎪⎩⎪⎨⎧<--=>+=)0(2)0(0)0(222x x x x x y .12、已知8)(32009--+=xbax x x f ，10)2(=-f ，则(2)f = .高三数学基础训练测试题（9）答题纸班级 姓名 分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、 5、 6 7、 8、 9 、 10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、已知函数1)(2+=x x f ，且)]([)(x f f x g =，)()()(x f x g x G λ-=，试问，是否存在实数λ，使得)(x G 在]1,(--∞上为减函数，并且在)0,1(-上为增函数、高中数学基础训练测试题（10）函数的图像一、 填空题：（共12题，每题5分）1、函数34x y =的图象是 ．① ② ③ ④ 2、下列函数图象正确的是 ．① ② ③ ④3、若)(x f y =为偶函数，则下列点的坐标在函数图像上的是 ． ①(,())a f a - ②))(,(a f a - ③))(,(a f a - ④))(,(a f a ---4、将函数x y 2=的图象向左平移一个单位，得到图象C 1，再将C 1向上平移一个单位得到图象C 2，则C 2的解析式为 ．5、当a ≠0时，函数y ax b =+和y b ax=的图象只可能是 ．6、函数x xx y +=的图象是 ．7、已知()x f 是偶函数,且图象与x 轴有4个交点,则方程()0=x f 的所有实根的和是 ． 8、下列四个命题，其中正确的命题个数是 ．（1）f(x)=x x -+-12有意义;（2）函数是其定义域到值域的映射;（3）函数y=2x(x N ∈)的图象是一直线；（4）函数y=⎪⎩⎪⎨⎧<-≥0,0,22x x x x 的图象是抛物线. 9、当a ＞0且a ≠1时，函数f (x )=a x －2－3必过定点 ．10、已知函数f(x)是R 上的增函数,A(0,－1)、B((3,1)是其图象上的两点,那么|f(x+1)| <1的解集的补集为 ． 11、下列命题中正确的是 ．①当0=α时函数αx y =的图象是一条直线 ②幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点③若幂函数αx y =是奇函数，则αx y =是定义域上的增函数④幂函数的图象不可能出现在第四象限12、定义在区间（－∞，＋∞）上的奇函数)(x f 为增函数，偶函数)(x g 在［０，＋∞)上图像与)(x f 的图像重合、设ａ＞ｂ＞０，给出下列不等式：①)()()()(b g a g a f b f -->-- ②)()()()(b g a g a f b f --<--③)()()()(a g b g b f a f -->-- ④)()()()(a g b g b f a f --<--其中成立的是 ．高三数学基础训练测试题（10）答题纸班级 姓名 分数一、填空题：（共12小题，每小题5分）1、 2、 3 4、 5、 6 7、 8、 9 、 10、 11、 12 、二、解答题(共20分,要求写出主要的证明、解答过程)13、 如图,已知底角为450的等腰梯形ABCD,底边BC 的长为7,腰长为 22 ,当一条平行于AB 的直线L 从左至右移动时,直线L 把梯形分成两部分,令BF=x,试写出左边部分的面积y 与x 的函数解析式,并画出大致图象、C1、 集合的概念，集合间的基本关系1．确定性 ， 互异性 ， 无序性 .2． 列举法 ， 描述法 ， 韦恩图 . 3． 15． 4． 4 5． （3） 6． 6 个7．0提示：2a-1 =-1，a=0;此类问题要注意验证集合中元素的互异性.8、7提示：满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆-集合M 有32=8个.去除M={1,2}，满足{1,2}{1,2,3,4,5}M ⊂⊆≠集合M 有7个. 9、 10,1,2a =提示：A B B =A B ⊆=，{}2|320B x x x =-+== {}1,2，x=1时,a=1;x=2时,a=12、而a=0时,A=φ，满足A B B =. 10、1a ≤提示：{}{}|||4|44A x x x R B x x =≤∈=-≤≤，=， a<0时,{}||3|B x x a a R =-≤∈，= φ,满足A B ⊇a ≥0时,{}||3|B x x a a R =-≤∈，={}|33x x a x a -≤≤+，A B ⊇ 4334aa -≤-⎧⎨+≥⎩ 1a ≤；11、 32-提示：注意到0∆=时集合中只有一个元素，此时集合A 中所有元素之和为-3；0∆≠时，集合A 中所有元素之和为32-.12、41提示： a 、b 同奇偶时，有35个；a 、b 异奇偶时，有(1,36)、(3,12)、(4,9)、(9,4)、(12,3)、(36,1)6个，共计41个.填41.13、解：∵ A ∩B={3，7} ∴ 7∈A ∴ 7242=++a a ，即 15=-=a a 或当 5-=a 时，B={0，7，7，3} （舍去）当 1=a 时，B={0，7，1，3} ∴ B={0，7，1，3}2．集合的基本运算1、 {}1,2 ；2、{}7,8 ；3、2；4．{}1- ； 5、｛x |2＜x ＜3}； 6、{},0x x R x ∈≠； 7、 0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦提示： M =｛直线的倾斜角｝=[]0,π， N ={两条异面直线所成的角}=0,2π⎛⎤⎥⎝⎦， P =｛直线与平面所成的角｝=0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则(M ∩N)∪P=0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦8、提示：利用韦恩图和()()()U U U C A C B C A B =⋃易求{2,3}A =，{2,4}B =9、 [4,)+∞ 提示：[){| 2.M x y ===+∞，N ＝{}[)2|,4,y y x x M =∈=+∞，则MN = [4,)+∞10、 [)+∞,0提示：{}[){}22|210,,|25M y y x x N x y x x R ==++=+∞==-+= 所以N M ⋂=[)+∞,0；11、 m ≥2提示： {|0}M x x m =+≥，2{|280}(2,4)N x x x =--<=-，U M =（,m -∞-），所以-m ≤-2, 、m ≥2；12、 1,a >或2a ≤-提示：2221011x ax a a x a -+-≤⇔-≤≤+，M N ⊆时2211,11a a a a -≥-+≤+但对边缘值1，-2进行检验知1不合；13、 解：（1）方程有两个实根时，得2[2(m-1)]4(2m+6)0∆=-⨯≥解得m -1m 5≤≥或（2）令2f()=+2(m-1)+2m+6x x x 由题意得(0)0f <，解得3m <-（3）令2f()=+2(m-1)+2m+6x x x 由题意得 2(1)12(1)2602(1)112[2(m-1)]4(2m+6)0f m m m m =+-++>--=->∆=-⨯≥ 解得5-14m <≤-3、命题及其关系1、必要不充分条件2、必要不充分条件3、充分不必要条件4、①②④5、必要不充分条件6、35m n ≥≥且7、 提示： ②在空间，不存在点到长方形各边的距离相等； ③在空间，存在到长方体各顶点距离相等的点，但不存在到它的各个面距离相等的点；真命题的序号是①④8、 a 1[0,]2∈提示：┐p 是┐q 的必要而不充分的条件，所以q 是p 的必要而不充分的条件, 所以p q ⊆，P:|43|1x -≤ 所以112x ≤≤，q:0)1()12(2≤+++-a a x a x 所以a ≤x ≤a+1，1211a a ⎧≤⎪⎪⎨+≥⎪⎪⎩a 1[0,]2∈； 9必要不充分条件提示：对于[0,1]x ∈的一切值0axb +>恒成立 00a b b +>⎧⎨>⎩所以20a b +>；10、 既不必要不充分条件提示：2x 2+x+1>0和2x 2+x+1>0的解集为R, M=N,111222a b c a b c ==不成立；若212121c c b b a a ==，- x 2+2x-1>0和x 2-2x+1>0，此时 M ≠N11、 8、个.12、 提示：②ab>0时b a b a +=+成立.③若0=xy ，则0=x 或0=y ”的逆否命题是“若0≠x 且0≠y 则0≠xy ”； 正确命题的序号是①④.13、 解：联立关于,x y 的方程组：()3121150y x a x y -⎧=⎪-⎨⎪+++=⎩．消去y 得到关于x 的方程：()214a x += （*） 由题意，关于x 的方程（*）无解或者解为2x =． 若（*）无解，则20a +=，解得2a =-．若（*）的解为2x =，则()2214a +=，解得5a =． 综上所述，2a =-或者5a =．4、逻辑联接词1．三个是命题，一个真命题；2．使用了逻辑联结词“或”；3．r ；4．（4）5．3个．6．真命题．7．提示：3210x x ∃∈-+>R ，．8．提示：(1)p 且q (2)p 或q (3)非p (4)p 或q ；9．提示：(1)菱形的对角线互相垂直或互相平分． 10．②③提示： 11．P 且q;p:244x x +-有意义时，2x ≠;244x x +-有意义时，2x ≠-; 12、提示：1．(1)p 或q ：2是偶数或质数，真命题 p 且q ：2是偶数且是质数，真命题 非p ：2不是偶数，假命题．(2)p 或q ：0的倒数还是0或0的相反数还是0，真命题． p 且q ：0的倒数还是0且0的相反数还是0，假命题． 非p ：0的倒数不是0，真命题．13．解：3(1)p p A A B ．非形式的复合命题：：∪，此复合命题为假．⊆(2)非P 形式的复合命题：p ：方程x 2＋2x ＋3=0有实数根．此复合命题为真．(3)p 或q 形式的复合命题：p ：3＞3为假，q ：3=3为真．此复合命题为真5、综合运用1、 12 ； 2． b<2 ； 3、 92；4、54 ；5、3x ⎧⎫⎪⎪<<⎨⎬⎪⎪⎩⎭； 6、 2 ；7、 16提示：等价于(4)(5)0x x --≤；8、 2;m ≥提示：M N R ⋂= ；9、提示：2[]5[]6x x -+≤0 ∴ 2[]3x ≤≤ ∴ 24x ≤<∴不等式2[]5[]6x x -+≤0的解集为{}24x x ≤<10、 a>2 提示：a>-1时，解集为P =（-1，a ）因为Q P ⊆，a>2; a<-1时，解集为P =（a ，-1）因为Q P ⊆，舍; a=-1时，解集为P = φ因为Q P ⊆，舍∴a>211、 a ≤－2提示：A ={x ||x |≤2，x ∈R }=[-2,2]，B ={x |x ≥a }，且A B ，∴ a ≤－212．3≤p 提示： A B A ⋃= ∴ B A ⊆ ∴3≤p13、解：若p 真，则()22140a a >⎧⎪⎨--<⎪⎩，解得12a >． 若q 真，则()240a --≥，解得2a ≤-或者2a ≥． 因为命题“p 或q ”为真命题，命题“p 且q ”为假命题， 所以命题p 和q 有且仅有一个为真．所以实数a 范围为：2a ≤-或122a <<.6、函数及其表示方法1．2x 2+7 ； 2．x c b a c y --=； 3．π+1 ； 4． - 4 ； 5．xx+-11 ； 6．－1；7．提示：327223,(72)32f p q =⨯∴=+ 8．提示：设f (x )=ax +b (a ≠0)，则f [f (x )]=af (x )+b =a (ax +b )+b =a 2x +ab +b ，∴ ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=+=12342b a b ab a 或⎩⎨⎧-=-=32b a ， ∴ f (x )=2x +1或f (x )= -2x -3． 9． 4 ; 10．c b a c b a *+=+)()*(; 11．*,)2019(20N x y x ∈⨯= ； 12．提示：在f (x )+2f (x 1)=x ①中，用x1代换x 得 f (x 1)+2 ;f (x )= x 1 ②，联立①、②解得 )0(32)(2≠-=x xx x f ． 13.显然当P 在AB 上时，PA=x ；当P 在BC 上时，PA=2)1(1-+x ；当P 在CD 上时， PA=2)3(1x -+；当P 在DA 上时，PA=x -4，再写成分段函数的形式.7、函数的解析式和定义域一．填空题：1．③ 2．{}|1x x ≥ 3．[4,0)(0,1]-⋃ 4． (2,3] 5．)2,2(-；6．4 7．f (x )=3x 8．15 9．[a ，-a ] 10． {x |-1≤x ＜8} 11．),3[]2,1()1,0(+∞ 提示：由函数解析式有意义，得⇒⎪⎩⎪⎨⎧>+≠-≥+-010652x x x x x ⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，或x ≤2x ≠1，x ＞0．⇒0＜x ＜1或1＜x ≤2，或x ≥3．故函数的定义域是),3[]2,1()1,0(+∞ ．12．()2,2-提示： 因函数 y =lg(x 2+ax +1)的定义域为R ，故x 2+ax +1＞0对x ∈R 恒成立，而f (x )= x 2+ax +1是开口向上的抛物线，从而△＜0，即a 2-4＜0，解得 -2＜a ＜2．13：反复利用条件（2），有f (x +5) ≤f (x +4)+1≤f (x +3)+2≤f (x +2)+3≤f (x +1)+4≤f (x )+5，（★）结合条件（1）得 f (x +5)=f (x )+5．于是，由（★），可得 f (x +1) = f (x )+1． 故 g (6)=f (6)+1-6= [f (1)+5 ]-5=1．8、函数的值域与最值一．填空题：1． {y|164y -≤≤} ；２．(－∞, 23)∪(23,+ ∞) ； ３．2 ；４．(,1]-∞ ；５． ；６．6 ； 7．[23 ,3] ； 8．利用△≥0⇒ a ≥2或a ≤-2． 9．215± 10．.1115|⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤-y y 提示：将函数整理为：0)13)(1(4)1(,1,013)1()1(22≥+---=∆≠=++---y y y y y x y x y 由可见，得.1115|,1115⎭⎬⎫⎩⎨⎧<≤-∴≤≤-y y y 函数的值域为 11．[3,12-]提示：注意到函数y =在［０，１］上是单调递增的，故函数的值域是 [3,12-] ；12．2提示：22+(x+3)=4,14sin ,x+34cos ,[0,]2x πθθθ∴-==∈（1-x ）令于是2sin 2cos sin()4y πθθθ==+=+2,2m M ∴===、13、 f (x ) =x 只有惟一实数解，即xax+b= x (*)只有惟一实数解， 当ax 2+(b -1)x =0有相等的实数根x 0, 且a x 0+b≠0时,解得f(x)=2x x +2, f [f (-3)] = 32, 当ax 2+(b -1)x =0有不相等的实数根,且其中之一为方程(*)的增根时,解得f(x)= 1, f [f (-3)] =1．9、函数的单调性与奇偶性一．填空题：1．21->k 2．2b ≤- 3．]2,7[-- 4．2)()(x s x s -- 5．1---=x y 6．]0,21[-和),21[+∞ 7．)2()2()3(f f f << 8．R x x y ∈=,2 提示：本题答案不唯一.9．]1,2[-提示：函数12)1(]2)1[()1(222+-=-=-+=+x x x x x f ，]2,2[-∈x ，故函数的单调递减区间为]1,2[-、10．①③ 11．①④提示：①定义域),0()0,(+∞⋃-∞关于原点对称，且)()(x f x f -=-，奇函数、 ②定义域为}21{不关于原点对称.该函数不具有奇偶性、 ③定义域为R ，关于原点对称，且x x x x x f +≠-=-44)(，)()(44x x x x x f +-≠-=-，故其不具有奇偶性、 ④定义域为R ，关于原点对称， 当0>x 时，)()2(2)()(22x f x x x f -=+-=---=-；当0<x 时，)()2(2)()(22x f x x x f -=---=+-=-；当0=x 时，0)0(=f ；故该函数为奇函数、 故填①④12．-26提示： 已知)(x f 中xb ax x -+32005为奇函数，即)(x g =xb ax x -+32005中)()(x g x g -=-，也即)2()2(g g -=-，108)2(8)2()2(=--=--=-g g f ，得18)2(-=g ，268)2()2(-=-=g f 、二．解答题： 221)1()1()]([)(24222++=++=+==x x x x f x f f x g 、)()()(x f x g x G λ-=λλ--++=22422x x x )2()2(24λλ-+-+=x x)()(21x G x G -)]2()2([2141λλ-+-+=x x )]2()2([2242λλ-+-+-x x)]2()[)((22212121λ-++-+=x x x x x x由题设当121-<<x x 时，0))((2121>-+x x x x ，λλλ-=-++>-++4211)2(2221x x ，则4,04≤≥-λλ 当0121<<<-x x 时，0))((2121>-+x x x x ，λλλ-=-++<-++4211)2(2221x x ，则4,04≥≥-λλ 故4=λ、10、函数的图像1．① 2．② 3． ① ③ 4．121x y +=+ 5．① 6．④7．0提示：()x f 是偶函数，图象与x 轴有4个交点关于一y 轴对称，其横坐标互为相反数，故()0=x f 的所有实根的和是0、 8．1 ，提示：（2）是对的. 9．(2，－2)；提示：f (x )=a x 过定点（0，1），故f (x )=a x －2－3过定点（2，—2）. 10．(－∞,－1]∪[2,+ ∞)提示：由于函数f(x)是R 上的增函数,且过点A(0,－1)、B((3,1), |f(x+1)| <1的解集为（—1，2），故其补集为(－∞,－1]∪[2,+ ∞) 11．④提示：0y x =不过点（0，1）；当α<0时，αx y =不过（0，0）；1y x -=在定义域上不是增函数，只有④是对的. 12．①③提示：采用特殊值法.根据题意，可设x x g x x f ==)(,)( ，又设1,2==b a ，易验证①与③成立. 13.（1）()⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤<=73,4710,30,22x x x x y（2）图形如右。
2020届高考数学(理)一轮复习考点综合提升训练：考点21数列的概念与简单表示法
高三一轮综合提升 考点21数列的概念与简单表示法一、选择题1．若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n n ＋1，则1a 5等于( ) A.56B.65C.130 D ．302．设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，2]C ．(－∞，3) D.⎝⎛⎦⎤－∞，92 3．定义：在数列{a n }中，若满足a n ＋2a n ＋1－a n ＋1a n＝d (n ∈N *，d 为常数)，称{a n }为“等差比数列”．已知在“等差比数列”{a n }中，a 1＝a 2＝1，a 3＝3，则a 2 019a 2 017等于( ) A ．4×2 0192－1B ．4×2 0182－1C ．4×2 0172－1D ．4×2 01724．在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，若a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，则a n ＝( )A.15n 2－25n ＋65B ．n 3－5n 2＋9n －4C ．n 2－2n ＋2D ．2n 2－5n ＋45．在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .若a 6＝64，则a 9等于( )A ．256B ．510C ．512D ．1 0246．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10等于( )A ．15B ．12C ．－12D ．－15二、填空题 7．已知数列{a n }满足a n ≠0,2a n (1－a n ＋1)－2a n ＋1(1－a n )＝a n －a n ＋1＋a n ·a n ＋1，且a 1＝13，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.8．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1(n ∈N *)，则a n ＝________.9．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.10．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ，则此数列的最大项是第________项．11．若数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧ 2a n ，0≤a n ≤12，2a n －1，12＜a n ＜1，a 1＝35，则数列{a n }的第2 019项为________．三、解答题12．[与函数零点交汇]已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋a (a ＞0，x ∈R)有且只有一个零点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设c n ＝1－4a n(n ∈N *)，定义所有满足c m ·c m ＋1＜0的正整数m 的个数，称为这个数列{c n }的变号数，求数列{c n }的变号数．13．设数列{a n}的前n项和为S n，数列{S n}的前n项和为T n，满足T n＝2S n－n2，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{a n}的通项公式．14．已知数列{a n}的各项均为正数，记数列{a n}的前n项和为S n，数列{a2n}的前n项和为T n，且3T n＝S2n＋2S n，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{a n}的通项公式．参考答案1. 答案：D解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n (n ＋1)，所以1a 5＝5×6＝30. 2. 答案：C解析：因为数列{a n }是单调递增数列，所以a n ＋1－a n ＝2n ＋1－b ＞0(n ∈N *)，所以b ＜2n ＋1(n ∈N *)，所以b ＜(2n ＋1)min ＝3，即b ＜3.3. 答案：C解析：由题知⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是首项为1，公差为2的等差数列，则a n ＋1a n ＝2n －1， 所以a 2 019a 2 017＝a 2 019a 2 018·a 2 018a 2 017＝(2×2 018－1)(2×2 017－1) ＝(2×2 017＋1)(2×2 017－1)＝4×2 0172－1.4. 答案：C解析：由题意得(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2，因此数列{a n ＋1－a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，a n ＋1－a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1， 当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋3＋…＋(2n －3)＝1＋(1＋2n －3)(n －1)2＝(n －1)2＋1＝n 2－2n ＋2， 又a 1＝1＝12－2×1＋2，因此a n ＝n 2－2n ＋2.5. 答案：C解析：在各项均为正数的数列{a n }中，对任意m ，n ∈N *，都有a m ＋n ＝a m ·a n .所以a 6＝a 3·a 3＝64，a 3＝8.所以a 9＝a 6·a 3＝64×8＝512.6. 答案：A解析：由题意知，a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10－…＋(－1)10×(3×10－2)＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)]＝3×5＝15.n ＋2解析：∵a n ≠0,2a n (1－a n ＋1)－2a n ＋1(1－a n )＝a n －a n ＋1＋a n ·a n ＋1，∴两边同除以a n ·a n ＋1，得2(1－a n ＋1)a n ＋1－2(1－a n )a n ＝1a n ＋1－1a n ＋1，整理，得1a n ＋1－1a n＝1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以3为首项，1为公差的等差数列，∴1a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，即a n ＝1n ＋2. 8. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2. 9. 答案：3×2n －1－2 解析：由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0，得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )， ∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝3×2n －1， ∴n ≥2时，a n －a n －1＝3×2n －2，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3， 将以上各式累加得a n －a 1＝3×2n －2＋…＋3×2＋3＝3(2n －1－1)， ∴a n ＝3×2n －1－2(n ≥2)， 经检验，当n ＝1时，a n ＝1，符合上式．∴a n ＝3×2n －1－2. 10. 答案：9或10解析：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ×9－n 11， 当n ＜9时，a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ；当n ＞9时，a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n ，∴该数列中有最大项，且最大项为第9,10项．5解析：由已知可得，a 2＝2×35－1＝15， a 3＝2×15＝25， a 4＝2×25＝45， a 5＝2×45－1＝35， ∴{a n }为周期数列且T ＝4，∴a 2 019＝a 504×4＋3＝a 3＝25. 12. 解析：(1)依题意，Δ＝a 2－4a ＝0， 所以a ＝0或a ＝4.又由a ＞0得a ＝4，所以f (x )＝x 2－4x ＋4.所以S n ＝n 2－4n ＋4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－4＋4＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －5，n ≥2. (2)由题意得c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，n ＝1，1－42n －5，n ≥2. 由c n ＝1－42n －5可知，当n ≥5时，恒有c n ＞0. 又c 1＝－3，c 2＝5，c 3＝－3，c 4＝－13，c 5＝15，c 6＝37， 即c 1·c 2＜0，c 2·c 3＜0，c 4·c 5＜0，所以数列{c n }的变号数为3.13. 解析：(1)令n＝1，T1＝2S1－1，∵T1＝S1＝a1，∴a1＝2a1－1，∴a1＝1.(2)n≥2时，T n－1＝2S n－1－(n－1)2，则S n＝T n－T n－1＝2S n－n2－[2S n－1－(n－1)2]＝2(S n－S n－1)－2n＋1＝2a n－2n＋1.因为当n＝1时，a1＝S1＝1也满足上式，所以S n＝2a n－2n＋1(n∈N*)，当n≥2时，S n－1＝2a n－1－2(n－1)＋1，两式相减得a n＝2a n－2a n－1－2，所以a n＝2a n－1＋2(n≥2)，所以a n＋2＝2(a n－1＋2)，因为a1＋2＝3≠0，所以数列{a n＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列．所以a n＋2＝3×2n－1，所以a n＝3×2n－1－2，当n＝1时也成立，所以a n＝3×2n－1－2.14. 解析：(1)由3T1＝S21＋2S1，得3a21＝a21＋2a1，即a21－a1＝0.因为a1＞0，所以a1＝1.(2)因为3T n＝S2n＋2S n，①所以3T n＋1＝S2n＋1＋2S n＋1，②②－①，得3a2n＋1＝S2n＋1－S2n＋2a n＋1.因为a n＋1＞0，所以3a n＋1＝S n＋1＋S n＋2，③所以3a n＋2＝S n＋2＋S n＋1＋2，④④－③，得3a n＋2－3a n＋1＝a n＋2＋a n＋1，即a n ＋2＝2a n ＋1，所以当n ≥2时，a n ＋1a n＝2. 又由3T 2＝S 22＋2S 2，得3(1＋a 22)＝(1＋a 2)2＋2(1＋a 2)，即a 22－2a 2＝0.因为a 2＞0，所以a 2＝2，所以a 2a 1＝2， 所以对n ∈N *，都有a n ＋1a n＝2成立， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *.。
江苏专版2020届高三数学一轮复习《数列》典型题精选精练附答案详析
3、（南京市 13 校 2019 届高三 12 月联合调研）设等比数列 {an }的前 n 项积为 Pn ，若 P12 = 32P7 ，则
a10 的值是 ▲ ．
4、（苏州市
2019
届高三上学期期中）已知等比数列an 的前 n 项和为 Sn
，S4 S2
4
，则
S8 S4
▲．
5、（徐州市 2019 届高三上学期期中）已知等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn ， S11 132 ， a6 a9 30 ， 则 a12 的值为 ▲ ．
（3）若数列 an
的各项均为正数，且an M
，数列
4n
an
中是否存在无穷多项依次成等差数列，
若存在，给出一个数列an 的通项；若不存在，说明理由．
4、（南京市 2018 高三 9 月学情调研）已知数列{an}的各项均为正数，记数列{an}的前 n 项和为 Sn， 数列{an2}的前 n 项和为 Tn，且 3Tn＝Sn2＋2Sn，n∈N*． （1）求 a1 的值； （2）求数列{an}的通项公式； （3）若 k，t∈N*，且 S1，Sk－S1，St－Sk 成等比数列，求 k 和 t 的值．
．
11、（苏锡常镇四市 2019 届高三教学情况调查（二））已知数列an 是各项都不为 0 的无穷数列，
2019-2020年高三数学 黄金考点汇编11 定积分的概念与微积分基本定理 理(含解析)
2019-2020年高三数学 黄金考点汇编11 定积分的概念与微积分基本定理 理（含解析）【考点分类】热点1 定积分的基本计算1．【xx 江西高考理第8题】若则 （ ） A ． B ． C ． D ．12．【xx 陕西高考理第3题】定积分的值为 （ ）3．【xx 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)理】若 ，则s 1，s 2，s 3的大小关系为 （ ） A ． s 1＜s 2＜s 3B ． s 2＜s 1＜s 3C ． s 2＜s 3＜s 1D ． s 3＜s 2＜s 14．【xx 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）】若 ． 【答案】3．【解析】∵⎠⎛0T x 2dx ＝13x 3⎪⎪⎪T0＝T 33＝9，∴T ＝3．5．【xx 福建理15】当时，有如下表达式： 两边同时积分得：1111122222200011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式： 23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+请根据以下材料所蕴含的数学思想方法，计算： 0122311111111()()...()_____2223212n n n n n nn C C C C +⨯+⨯+⨯++⨯=+【方法规律】计算简单定积分的步骤：（1）把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差； （2）利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差； （3）分别用求导公式求出F(x)，使得F ′(x)＝f(x)； （4）利用牛顿－莱布尼兹公式求出各个定积分的值； （5）计算所求定积分的值． 【解题技巧】 求定积分的常用技巧：（1）求被积函数，要先化简，再求积分；（2）求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； （3）对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号才能积分；（4）若f (x )是偶函数，则⎠⎛-a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x ；若f (x )是奇函数，则⎠⎛-aa f (x )d x ＝0热点2 定积分几何意义的应用1．【xx 山东高考理第6题】直线在第一象限内围成的封闭图形的面积为 （ ） A. B ． C ． D ．4 【答案】【解析】由已知得，，故选． 考点：定积分的应用．2．【xx 年普通高等学校招生全国统一考试北京卷理】直线l 过抛物线C ： x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于 （ ） A ． B ．2 C ． D ．【方法规律】1．定积分的几何意义：定积分表示在区间上的曲线与直线、以及轴所围成的平面图形（曲边梯形）的面积的代数和，即．（在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积取负号）． 2．求由两条曲线围成的图形的面积的解题步骤：（1）画出图形，确定图形的范围，通过解方程组求出交点的横坐标．定出积分的下、下限； （2）确定被积函数，特别要注意分清被积函数的下、下位置； （3）写出平面图形面积的定积分的表达式；（4）运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论． 【易错点睛】 概念理解错误例．【xx 北京西城】求曲线f (x )＝sin x ，x ∈[0，54π]与x 轴围成的图形的面积．热点3 定积分物理意义的应用1．【xx年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷理7】一辆汽车在高速公路下行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度（t的单位：s，v的单位：m/s）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m）是（）B．C． D．【答案】C．【解析】令，则，汽车刹车的距离是，故选C．【方法规律】利用定积分解决变速直线运动问题和变力做功问题时，关键是求出物体做变速直线运动的速度函数和变力与位移之间的函数关系，确定好积分区间，得到积分表达式，再利用微积分基本定理计算即得所求．①变速直线运动的路程：作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数在时间区间上的定积分，即．②变力作功：物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到，那么变力所作的功．【易错点睛】如xx湖北卷理7试题可能出现以下错误：（1）未形成应用定积分解题的意识，造成思维受阻．（2）不知如何确定刹车后汽车继续行驶的时间，从而不能正确确定积分区间．（3）求错被积函数的原函数致误．防范措施：（1）学习数学，要知道知识方法形成的背景以及应用的方面，不能孤立地看待一个知识方法，要用联系的观点去认识；（2）分析刹车的过程，可以发现，由速度为零可以得到汽车继续行驶的时间．由此可见，分析过程可以发现规律．【考点剖析】1．最新考试说明：（1）考查定积分的概念，定积分的几何意义，微积分基本定理．（2）利用定积分求曲边形面积、变力做功、变速运动的质点的运动路程．2．命题方向预测：从近两年的高考试题看，本节内容要求较低，定积分的简单计算与利用定积分求平面图形的面积是考查的重点，与几何概型概率的计算相结合是近几年高考的亮点，题型为选择题或填空题，难度中等偏下．预测xx 年利用定积分求曲边图形的面积和解决一些简单的物理问题等是定积分命题的主要方向，一般以客观题形式出现． 3．课本结论总结：（1）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n 等分区间[a ，b ]；②近似代替：取点ξi ∈[x i －1，x i ]；③求和：∑n i ＝1f (ξi )·b －an；④取极值：⎠⎛ab f (x )d x ＝limn →∞∑n i ＝1f (ξi )·b －a n．（2）定积分的性质 性质1：；性质2：（为常数）（定积分的线性性质）； 性质3：1212b b b aaaf x f x dx f x dxf x dx （定积分的线性性质）； 推广：1212b b b b m m aaaaf x f xf x dx f x dx f x dxf x dx性质4：（其中）（定积分对积分区间的可加性） 推广：121kb c c b aac c f x dxf x dxf x dxf x dx说明：定积分的定义中，限定下限小于上限，即a ＜b ，为了方便计算，人们把定积分的概念扩大，使下限不一定小于上限，并规定：,0b a a abaf x dxf x dx f x dx ．（3）微积分基本定理一般地，如果f (x )在区间[a ，b ]上连续，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )| b a ＝F (b )－F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿－莱布尼兹公式． （4）常用定积分公式： ①（为常数）；②；③；④； ⑤；⑥；⑦；⑧； ⑨；⑩．4．名师二级结论： 一种思想定积分基本思想的核心是“以直代曲”，用“有限”的步骤解决“无限”过程的问题，其方法是“分割求近似，求和取极限”，利用这种方法可推导球的表面积和体积公式等．恩格斯曾经把对数的发明、解析几何的创始以及微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就．一种关系由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算． 三条性质（1）常数可提到积分号外；（2）和差的积分等于积分的和差；（3）积分可分段进行． 四种求定积分的方法①利用定义求定积分；②利用微积分基本定理求定积分；③利用定积分的几何意义求定积分．如：定积分⎠⎛011－x 2d x 的几何意义是求单位圆面积的14，所以⎠⎛011－x 2d x ＝π4；④利用积分的性质．两类典型的计算曲边梯形面积的方法 （1）型区域：①由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（1））；②由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积：（如图（2））； ③由一条曲线，当时，；当时，与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积： （如图（3））；④由两条曲线（与直线所围成的曲边梯形的面积：[]()()()().bb baaaS f x dx g x dx f x g x dx =-=-⎰⎰⎰（如图（4）） （2）型区域：①由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积，可由得，然后利用求出（如图（5））； ②由一条曲线与直线以及轴所围成的曲边梯形的面积，可由先求出，然后利用求出（如图（6））； ③由两条曲线与直线所围成的曲边梯形的面积，可由先分别求出，，然后利用求出（如图（7））；5．课本经典习题：（1）【人教新课标A 版2-2第47页例1】利用定积分的定义，计算的值．【经典理由】典型的应用定义计算定积分（2）【人教新课标A 版2-2第56页，例1】计算由曲线所围成图形的面积． 【变式】由曲线所围成图形的面积为____________．分，∴2211,143443x dx s πππ-=∴=-+=-⎰．6．考点交汇展示：（1） 定积分计算与几何概型交汇例1【广东省梅州市xx 届高三3月质检】．如图，设D 是图中边长为2的正方形区域．，E 是函数的图像与x 轴及围成的阴影区域，项D 中随机投一点，则该点落入E 中的概率为 ( )A ．B ．C ．D ．（2） 定积分的计算与函数的性质交汇例2【xx 年高考原创预测卷（浙江理科）】．若，则等于 ． 【答案】【解析】，2ln 12ln )0()0504()2016(0+=+==+=∴e f f f ． （3） 定积分的计算与二项式定理的应用交汇例3【xx 届安徽六校教育研究会高三2月联考数学理】．已知则二项式的展开式中的系数为 ．xyO【考点特训】1．【河南省安阳一中xx 届高三第一次月考8】如图是函数在一个周期内的图象，则阴影部分的面积是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】Ｂ2．【河北省“五个一名校联盟” xx 届高三教学质量监测（一）13】直线与抛物线所围图形的面积等于_____________ 【答案】 【解析】3．【xx 届高三原创预测卷理科数学试卷4（安徽版）】设235111111,,a dx b dx c dx xxx===⎰⎰⎰，则下列关系式成立的是 （ ） A ． B ． C ． D ．4．【高考冲刺关门卷新课标全国卷（理）】由直线，曲线以及轴围成的封闭图形的面积为________．5．【广州市珠海区xx年高三8月摸底考试12】图中阴影部分的面积等于．【答案】1．【解析】由定积分的几何意义得：．考点：定积分的几何意义．6．【xx年哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学高三第一次联合模拟考试】( )A．0 B．C．D．7．【唐山一中xx下学期调研考试试卷】直线的方向向量为且过抛物线的焦点，则直线与抛物线围成的封闭图形面积为( )A．B．C．D．8．【稳派xx年普通高等学校招生全国统一考试模拟信息卷(五)】设，若曲线与直线，，所围成封闭图形的面积为2，则（）A．2 B．e C．2e D．9．【xx黑龙江哈尔滨】下列值等于的定积分是（）10．【xx 辽宁】如图，阴影部分的面积是 ( )A ．2 3B ．2－ 3C ．323D ．353【答案】C ．【解析】直线y=2x 与抛物线y=3﹣x 2，解得交点为（﹣3，﹣6）和（1，2），抛物线y=3﹣x 2与x 轴负半轴交点（﹣，0）．设阴影部分面积为s ，则==，所以阴影部分的面积为 ，故答案选：C ．【思路点拨】求阴影部分的面积，先要对阴影部分进行分割到三个象限内，分别对三部分进行积分求和即可．11．【xx 山西山大附中高三5月月考理科】 ( ) A ． B ． C ．D ．12．【xx 湖南雅礼中学模拟】曲线和曲线围成一个叶形图（如图所示阴影部分），其面积是 （ ）A ．1B ．12C ．22 D ．1313．【xx 江西师大附中高三三模理科】已知等差数列的前n 项和为，又知，且，，则为 （ ） A ．33B ．46C ．48D ．5014．【xx 南京调研】给出如下命题：①⎠⎛b a d x ＝⎠⎛ab d t ＝b －a (a ，b 为常数且a ＜b )；②；③曲线y ＝sin x ，x ∈[0，2π]与直线y ＝0围成的两个封闭区域的面积之和为2． 其中正确命题的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 【答案】B【解析】由定积分的性质知①错；对于②，两个积分都表示14个单位圆的面积，15．【xx 浙江五校联考】已知函数y ＝x 2与y ＝kx (k ＞0)的图象所围成的阴影部分的面积为92，则( )A ．2B ．1C ．3D ．416．【xx 广州综合测试】函数F (x )＝⎠⎛0x t (t －4)d t 在[－1，5]上 ( )A ．有最大值0，无最小值B ．有最大值0，最小值－323C ．有最大值－323，无最大值 D ．既无最大值也无最小值【答案】B ．17．【xx 福建莆田高三质检】如图，由函数f (x )＝e x －e 的图象，直线x ＝2及x 轴所围成的阴影部分面积等于 ( ) A ．e 2－2e －1 B ．e 2－2e C ．e 2－e2D ．e 2－2e ＋1 【答案】B【解析】面积S ＝⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛12(e x －e)d x ＝(e x －e x )|21＝(e 2－2e)－(e 1－e)＝e 2－2e ．18．【xx 山东淄博模拟】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝⎠⎛03(1＋2x )d x ，S 20＝17，则S 30为( )A ．15B ．20C ．25D ．3019．【xx 湖北孝感高中高三5月摸底理科】若在R 上可导，，则____________．20．【xx 中山一模】设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，若f [f （1）]＝1，则a ＝________．【答案】1．【解析】∵f （1）＝lg 1＝0，∴f [f （1）]＝f (0)＝0＋⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3| a 0＝a 3，∴a 3＝1得a ＝1．21．【xx 上海模拟】已知函数y ＝f (x )的图像是折线段ABC ，其中A (0，0)、B (12，5)、C (1，0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图像与x 轴围成的图形的面积为________．22．【xx 湖北孝感高中高三5月摸底理科】如图， 甲、乙、丙中的四边形ABCD 都是边长为2的正方形， 其中甲、乙两图中阴影部分分别以AB 的中点、B 点为顶点且开口向上的抛物线(皆过D 点)下方的部分， 丙图中阴影部分是以C 为圆心、半径为2的圆弧下方的部分． 三只麻雀分别落在这三块正方形木板上休息， 且它们落在所在木板的任何地方是等可能的， 若麻雀落在甲、乙、丙三块木板上阴影部分的概率分别是， 则的大小关系是 ．23．【海淀区高三年纪第二学期其中练习理】函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积等于_______．24．【河北省邯郸市xx届高三上学期第二次模拟考试】= _______．25．【xx年辽宁省大连市高三双基考试】_______．26．【xx江西鹰潭】设，若曲线与直线，所围成封闭图形的面积为2，则．【知识点】定积分在求面积中的应用．【答案解析】解析：解：如图，27．【xx吉林一中】设，则二项式展开式中的项的系数为【考点预测】1．【热点1预测】若则等于（）A．B．C．D．【答案】D．【解析】．2．【热点2预测】曲线与直线y=围成的封闭图形的面积为（）A．B．C．D．3．【热点3预测】一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，设汽车在时刻t的速度为v(t)=-t2+4，（t）（t的单位：h，v的单位：km/h）则这辆车行驶的最大位移是______km。
2020届高三理科数学一轮复习 第十一章 第3节 二项式定理
令10－3 2k＝r(r∈Z)，则 10－2k＝3r，k＝5－32r，∵k∈N，∴r 应为
－2，即 k 可取 2，5，8，∴第 3 项，第 6 项与第 9 项为有理项，它
24556x－2.
规律方法 求二项展开式中的特定项，一般是化简通项公式后， 要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出 通项公式即可.
019＋C22 018＋C42
019＋…＋C22 018＋…＋C22
019
001198的值
018
A.2
B.4
C.2 019
D.2 018×2 019
解析 原式＝222 201081－9 1＝22＝4.
答案 B
4.(2018·全国Ⅲ卷)x2＋2x5的展开式中 x4 的系数为(
)
A.10
B.20
(2)令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9， 令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9， 又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2 ＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39， ∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3， ∴m＝－3或m＝1. 答案 (1)3 (2)1或－3
2.(选修2－3P31T4改编)(x－y)n的二项展开式中，第m项的系数是(
A.Cmn
B.Cmn ＋1
C.Cmn －1
D.(－1)m－1Cmn －1
解析 (x－y)n 展开式中第 m 项的系数为 Cmn －1(－1)m－1.
答案 D
3.(选修
2－3P35
练习
A1(3)改编)CC0202
019＋C12 018＋C22
【训练1】 (1)(2017·全国Ⅲ卷改编)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系
2021届高三数学(理)一轮复习学案：第十一章第五节 古典概型与几何概型含解析
第五节古典概型与几何概型[最新考纲][考情分析][核心素养]1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会用列举法计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.3.了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.4.了解几何概型的意义.古典概型及其与平面向量、函数、解析几何、统计等知识综合是2021年高考考查的热点，题型为选择题或填空题，分值为5分.与长度、面积有关的几何概型是2021年高考考查的热点，题型为选择题或填空题，分值为5分.1.数学建模2.数学运算‖知识梳理‖1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是1互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成2基本事件的和．2．古典概型(1)(2)概率计算公式P(A)3A包含的基本事件的个数基本事件的总数．3．几何概型(1)4长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．(2)5有无限多个；6等可能性．(3)公式P(A)7构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成区域长度（面积或体积）．‖基础自测‖一、疑误辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”这三个事件是等可能事件．( )(2)在古典概型中，如果事件A 中基本事件构成集合A ，所有的基本事件构成集合I ，则事件A 的概率为card （A ）card （I ）.( )(3)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．( )(4)几何概型与古典概型中的基本事件发生的可能性都是相等的，其基本事件个数都有限．( )答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× 二、走进教材2．(必修3P 133A 1改编)袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球抽到白球的概率为( )A ．25B ．415C ．35D ．非以上答案答案：A3．(必修3P 140练习1改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是( )答案：A4．(必修3P 134B 1改编)某人有4把钥匙，其中2把能打开门．现随机地取1把钥匙试着开门，不能开门的就扔掉，问第二次才能打开门的概率是________．如果试过的钥匙不扔掉，这个概率又是________．答案：13145．(必修3P 146B 4改编)如图，正方形ABCD 的边长为2，向正方形内随机投掷200个点，有30个点落入图形M 中，则图形M 的面积的估计值为________．答案：0.6 三、易错自纠6．已知四边形ABCD 为长方形，AB ＝2，BC ＝1，O 为AB 的中点，在长方形ABCD 内随机取一点，取到的点到O 的距离大于1的概率为( )A ．π4B ．1－π4C ．π8D ．1－π8解析：选B 如图，依题意可知所求概率为图中阴影部分与长方形的面积比，即所求概率P ＝S 阴影S 长方形ABCD＝2－π22＝1－π4.7．袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球．若从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为________．解析：P ＝1－C 22C 24＝1－16＝56.答案：56考点一古典概型【例1】 (1)(2019年全国卷Ⅰ)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A ．516B ．1132C ．2132D ．1116[解析]由6个爻组成的重卦种数为26＝64，在所有重卦中随机取一重卦，该重卦恰有3个阳爻的种数为C 36＝6×5×46＝20.根据古典概型的概率计算公式得，所求概率P ＝2064＝516.故选A ．[答案]A(2)(2019届吉林梅河口校级期末)一个袋中装有4个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4.①从袋中随机抽取2个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；②先从袋中随机取一个球，将该球的编号记为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，将该球的编号记为n ，求n <m ＋2的概率．[解]①从袋中随机抽取2个球，共有C 24＝6(种)情况，它们出现的机会均等，分别为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)．其中取出的2个球的编号之和不大于4的有2种情况，为(1，2)，(1，3)，∴P (取出的2个球的编号之和不大于4)＝26＝13.②先从袋中随机取一个球，放回袋中，再取出一个球，共有4×4＝16(种)情况，它们出现的机会均等，其中n <m ＋2的基本事件(m ，n )共有13个，分别是(1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，∴P (n <m ＋2)＝1316. ►名师点津古典概型概率的求解步骤(1)求出所有基本事件的个数n .(2)求出事件A 包含的所有基本事件的个数m . (3)代入公式P (A )＝mn求解．|跟踪训练|1．在运动会火炬传递活动中，有编号为1，2，3，4，5的5名火炬手．若从中任选3人，则选出的火炬选手的编号相连的概率为( )A ．310B ．58C ．710D ．25解析：选A 从1，2，3，4，5中任取三个数的结果有10种，其中选出的火炬手的编号相连的事件有：(1，2，3)，(2，3，4)，(3，4，5)，∴选出的火炬手的编号相连的概率为P ＝310.2．(2020届四川五校联考)随着新课程改革和高考综合改革的实施，高中教学以发展学生学科核心素养为导向，学习评价更关注学科核心素养的形成和发展．为此，某市于2019年举行第一届高中数学学科素养竞赛，竞赛结束后，为了评估该市高中学生的数学学科素养，从所有参赛学生中随机抽取1000名学生的成绩(单位：分)作为样本进行估计，将抽取的成绩整理后分成五组，依次记为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]，并绘制成如图所示的频率分布直方图．(1)请补全频率分布直方图，并估计这1000名学生成绩的平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；(2)该市决定对本次竞赛成绩排在前180名的学生给予表彰，授予“数学学科素养优秀标兵”称号，一名学生本次竞赛成绩为79分，请你判断该学生能否被授予“数学学科素养优秀标兵”称号．解：(1)由题意知，成绩在[60，70)的频率为1－(0.30＋0.15＋0.10＋0.05)＝0.40，补全的频率分布直方图如图：样本的平均数x －＝55×0.30＋65×0.40＋75×0.15＋85×0.10＋95×0.05＝67.(2)因为1801000＝0.18，所以由频率分布直方图可以估计获得“数学学科素养优秀标兵”称号的学生的最低成绩为80－0.18－0.05－0.100.015＝78(分)．因为79＞78，所以该同学能被授予“数学学科素养优秀标兵”称号． 考点二几何概型——多维探究●命题角度一与长度(角度)有关的几何概型【例2】 (1)(2019届辽宁省五校联考)若a ∈[1，6]，则函数y ＝x 2＋ax 在区间[2，＋∞)上单调递增的概率是( )A ．15B ．25C ．35D ．45(2)如图所示，A 是圆上一定点，在圆上其他位置任取一点A ′，连接AA ′，得到一条弦，则此弦的长度小于或等于半径长度的概率为( )A ．12B ．32C ．13D ．14[解析] (1)∵函数y ＝x 2＋a x ＝x ＋ax 在区间(0，a )上单调递减，在区间(a ，＋∞)上单调递增，又1≤a ≤6，∴1≤a ≤ 6.要使函数y ＝x 2＋ax 在区间[2，＋∞)上单调递增，则a ≤2，解得1≤a ≤4，∴P (1≤a ≤4)＝4－16－1＝35，故选C ．(2)当AA ′的长度等于半径长度时，∠AOA ′＝π3，A ′点在A 点左右都可取得，由几何概型的概率计算公式得P ＝2π32π＝13.[答案] (1)C (2)C●命题角度二与面积有关的几何概型【例3】如图，六边形ABCDEF 是一个正六边形，若在正六边形内任取一点，则该点恰好在图中阴影部分的概率是( )A ．14B ．13C ．23D ．34[解析]设正六边形的中心为点O ，BD 与AC 交于点G ，BC ＝1，则BG ＝CG ，∠BGC ＝120°，在△BCG 中，由余弦定理得1＝BG 2＋BG 2－2BG 2cos120°，解得BG ＝33，所以S △BCG ＝12×BG×BG ×sin120°＝12×33×33×32＝312.因为S六边形ABCDEF ＝S △BOC ×6＝12×1×1×sin60°×6＝332，所以该点恰好在图中阴影部分的概率P ＝1－6S △BCG S 六边形ABCDEF ＝23. [答案]C●命题角度三与体积有关的几何概型【例4】已知在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是正方形，P A ＝AB ＝2，现在该四棱锥内部或表面任取一点O ，则四棱锥O －ABCD 的体积不小于23的概率为________．[解析]当四棱锥O －ABCD 的体积为23时，设O 到平面ABCD 的距离为h ，则13×22×h ＝23，解得h ＝12.如图所示，在四棱锥P －ABCD 内作平面EFGH 平行于底面ABCD ，且平面EFGH 与底面ABCD 的距离为12.因为P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝2，所以PH P A ＝34.又四棱锥P －ABCD 与四棱锥P －EFGH 相似，所以四棱锥O －ABCD 的体积不小于23的概率P ＝V 四棱锥P －EFGH V 四棱锥P －ABCD ＝⎝⎛⎭⎫PH P A 3＝⎝⎛⎭⎫343＝2764.[答案]2764►名师点津建立相应的几何概型，将试验构成的总区域和所求事件构成的区域转化为几何图形，并加以度量．(1)若一个连续变量可建立与长度有关的几何概型，则只需把这个变量放在数轴上即可； (2)若一个随机事件需要用两个连续变量来描述，则可用这两个变量组成的有序实数对表示它的基本事件，然后利用平面直角坐标系即可建立与面积有关的几何概型；(3)若一个随机事件需要用三个连续变量来描述，则可用这三个变量组成的有序数组来表示基本事件，利用空间直角坐标系即可建立与体积有关的几何概型．|跟踪训练|3．在区间[0，1]上随机取一个数x ，则事件“log 0.5(4x －3)≥0”发生的概率为( )43C ．13D ．14解析：选D 因为log 0.5(4x －3)≥0，所以0<4x －3≤1，即34<x ≤1，所以所求概率P ＝1－341－0＝14，故选D ． 4．在棱长为3的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1内任取一点P ，则点P 到正方体各面的距离都不小于1的概率为( )A ．127B ．2627C ．827D ．18解析：选A 正方体中到各面的距离都不小于1的点的集合是一个中心与原正方体中心重合，且棱长为1的正方体，该正方体的体积是V 1＝13＝1，而原正方体的体积为V ＝33＝27，故所求的概率P ＝V 1V ＝127.5.在如图所示的圆形图案中有12片树叶，构成树叶的圆弧均相同且所对的圆心角为π3，若在圆内随机取一点，则此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率是( )A ．2－33πB ．4－63πC ．13－32πD ．23解析：选B 设圆的半径为r ，根据扇形面积公式和三角形面积公式得阴影部分的面积S ＝24⎝⎛⎭⎫16πr 2－34r 2＝4πr 2－63r 2，圆的面积S ′＝πr 2，所以此点取自树叶(即图中阴影部分)的概率为S S ′＝4－63π，故选B ．考点 古典概型、几何概型的交汇应用问题【例】 (1)(2019届威海调研)从集合{2，3，4，5}中随机抽取一个数a ，从集合{1，3，5}中随机抽取一个数b ，则向量m ＝(a ，b )与向量n ＝(1，－1)垂直的概率为( )A ．16B ．1342(2)在边长为4的等边三角形OAB 及其内部任取一点P ，使得OA →·OP →≤4的概率为( ) A ．12B ．14C ．13D ．18[解析] (1)由题意可知m ＝(a ，b )有：(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共12种情况．因为m ⊥n ，即m ·n ＝0，所以a ×1＋b ×(－1)＝0，即a ＝b ， 满足条件的有：(3，3)，(5，5)，共2个， 故所求概率为16.(2)设OP →在OA →上的投影为|OQ →|，则OA →·OP →＝|OA →|·|OQ →|，若OA →·OP →≤4，则|OQ →|≤1.取OB 的中点M ，作MN ⊥OA 于N ，则满足条件的P 构成的区域为图中阴影部分，N 为OA 的四等分点，所以使得OA →·OP →≤4的概率为S △OMN S △OAB ＝18.[答案] (1)A (2)D ►名师点津解决与古典概型、几何概型交汇命题的问题时，把相关的知识转化为事件，列举基本事件，求出基本事件和随机事件的个数或相应的区域度，然后利用古典概型、几何概型的概率计算公式进行计算．|跟踪训练|1．在区间[－π，π]内随机取两个数分别记为a ，b ，则使得函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点的概率为( )A ．78B ．34C ．12D ．14解析：选B 建立如图所示的平面直角坐标系，则试验的全部结果构成的区域为正方形ABCD 及其内部．要使函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π有零点，则必须有Δ＝4a2－4(－b2＋π)≥0，即a2＋b2≥π，其表示的区域为图中阴影部分．故所求概率P＝S阴影S正方形＝3π24π2＝34.2．(2019届洛阳统考)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a，b，则直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点的概率为________．解析：依题意，将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a，b)有(1，1)，(1，2)，(1，3)，…，(6，6)，共36种，其中满足直线ax＋by＝0与圆(x－2)2＋y2＝2有公共点，即满足2aa2＋b2≤2，即a2≤b2的数组(a，b)情况如下：①当a＝1时，b＝1，2，3，4，5，6，共6种；②当a＝2时，b＝2，3，4，5，6，共5种；③当a＝3时，b＝3，4，5，6，共4种；④当a＝4时，b＝4，5，6，共3种；⑤当a＝5时，b＝5，6，共2种；⑥当a＝6时，b＝6，共1种．∴总共有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21(种)，因此所求的概率为2136＝7 12.答案：7 12。
江苏专版2020届高三数学一轮复习《三角函数》典型题精选精练附答案详析
2、解：（1）因为 cos2β＝－35，cos2β＝2cos2β－1，
所以 2cos2β－1＝－3，解得 cos2β＝1．
5
5
…………………… 2 分
因为β为钝角，所以
cosβ＝－
5． 5
从而 sinβ＝ 1－cos2β＝ 1－1＝2 5． 55
…………………… 5 分
25
所以
tanβ＝csoinsββ＝ 5 －
cosθ＝
4 5
，那么
sin( ) 4
cos(2 6 )
的值
为
．
17、（镇江市
2019 届高三上学期期末）若
2cos
2α＝sin
π－α 4
，α∈
π，π 2
，则
sin
2α＝________．
18、（苏锡常镇四市 2019 届高三教学情况调查（一））设定义在区间(0， )上的函数 y 3 3 sin x 2
又因为 sin2C＋cos2C＝1，sinC＞0，解得 sinC＝2 5， 5
所以sinB＝3 5． sinC 10
………………………6 分
（2）因为 cosB＝4，所以 cos2B＝2cos2B－1＝ 7 ．
5
25
…………………………8 分
又 0＜B＜π，所以 sinB＝
1－cos2B＝3， 5
所以 sin2B＝2sinBcosB＝2×35×45＝2245．
大值是
21、（南京市、盐城市 2019 届高三第二次模拟）若函数 f (x) 2 sin( x )( 0, 0 ) 的图
象经过点 ( , 2) ，且相邻两条对称轴间的距离为 ，则 f ( ) 的值为
2020届云南省昆明市第一中学高三第四次一轮复习检测数学(文)试题(解析版)
2020届云南省昆明市第一中学高三第四次一轮复习检测数学（文）试题一、单选题1．已知集合{}|213A x x =-+≤，{}|ln 1B x x =≤，则A B =I （ ） A ．(]1,e - B ．(]1,1-C ．()1,0-D ．(]0,e【答案】D【解析】先分别求出集合,A B ，由此能求出A B I . 【详解】{}{}2131A x x x x =-+<=>-，{}{}ln 10B x x x x e =≤=<≤，则{}0A B x x e ⋂=<≤， 故选：D. 【点睛】本题考查交集的求法，考查集合的表示法以及集合的交、并、补运算等基础知识，属于基础题.2．已知复数z 满足(2+i) z=3-i ，其中i 为虚数单位，则|z|=（ ）A ．1 BC ．32D ．23【答案】B【解析】用复数除法的运算法则化简复数z 的表示，再根据复数模的定义求出模的大小. 【详解】因为3(3)(2)12(2)(2)i i i z i i i i --⋅-===-++⋅-，所以z ==故选：B 【点睛】本题考查了复数的除法运算法则，考查了复数模的定义，考查了数学运算能力. 3．空气质量指数AQI 是反映空气质量状况的指数，AQI 指数值越小，表明空气质量越好，其对应关系如表：数值空气质量优良轻度污染中度污染重度污染严重污染如图是某市10月1日—20日AQI指数变化趋势：下列叙述正确的是（）A．该市10月的前半个月的空气质量越来越好B．这20天中的中度污染及以上的天数占1 2C．这20天中AQI指数值的中位数略高于100D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量差【答案】C【解析】通过图象的变换可以判断出选项A的正确性，通过所给的表可以统计出中度污染及以上的天数，这样可以判断选项B的正确性，根据表中所提供的数据可以判断出中位数的大小，这样可以判断出选项C的正确性，通过表中所提供的数据可以判断出选项D的正确性.【详解】由图知，前半个月中，空气质量先变好再变差，处于波动状态，A错误，这20天中的中度污染及以上的天数有5天，B错误，10月上旬大部分AQI指数在100以下，10月中旬大部分AQI指数在100以上，D错误.根据表中所提供的数据可以判断出中位数略高于100，所以C正确.故选：C【点睛】本题考查了识图和识表的能力，考查了中位数的概念，考查了数据分析能力.4．若,42ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，42sin 29θ=，则cos θ=（ ） A ．13B ．23C ．223D ．89【答案】A【解析】由同角三角函数的基本关系直接可得结论. 【详解】 由,42ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭得2,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，27cos 21sin 29θθ=-=-，所以1cos 21cos 23θθ+== 故选：A. 【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，属于基础题.5．若实数x ，y 满足10220220x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则32z x y =+的最大值为（ ）A ．-3B ．-2C ．2D ．6【答案】D【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案. 【详解】 画出可行域，将目标函数化为322z y x =-+， 由图可知，目标函数经过点()2,0A 时取得最大值， 所以32z x y =+的最大值为6z =.故选：D. 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，属于基础题． 6．函数()22sin cos 23sin cos x x x x x f =-+的最小值为（ ）A ．-2B ．3-C ．2-D ．-1【答案】A【解析】由二倍角公式以及两角差的正弦公式化简得()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，即可得到结论. 【详解】因为()cos 23sin 22sin 26f x x x x π⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小值为2-. 故选：A. 【点睛】本题主要考查两角差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于基础题.7．已知定义在R 上的函数()y f x =的图象如下图所示，则函数()1y f x =--的图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】由函数()y f x =的图象与函数()1y f x =--关于原点对称，再平移即可得到结论. 【详解】因为()1y f x =--的图象可以由()y f x =的图象先关于原点对称，再向上平移一个单位得到. 故选：C. 【点睛】本题考查函数图象得对称变换，属于基础题. 8．执行如下所示的程序框图，则输出的a =（ ）A ．2B ．1C ．-1D ．12【答案】D【解析】由初始条件进入循环体，求出每一次a 的值，可以发现规律，最后求出答案. 【详解】11,2n a ==；2,1n a ==-；3,2n a ==；14,2n a ==；…，a 的值构成以3为周期的数列，因为202036731=⨯+，所以当2020n =时，12a =. 故选：D 【点睛】本题考查了循环结构的输出问题，考查了数列的周期性，考查了数学运算能力. 9．已知圆锥SO 的底面半径为3，母线长为5.若球1O 在圆锥SO 内，则球1O 的体积的最大值为（ ） A ．92π B ．9π C ．323πD ．12π【答案】A【解析】设圆锥SO 的轴截面为等腰△SAB ，则球1O 的体积最大时，球1O 的轴截面是△SAB 的内切圆，根据三角形面积公式和内切圆的性质求出半径，最后求出体积. 【详解】设圆锥SO 的轴截面为等腰△SAB ，则球1O 的体积最大时，球1O 的轴截面是△SAB 的内切圆，所以11()22SAB S AB SO SA SB AB r =⋅=++⋅V ，解得：32r =，所以球1O 的体积的最大值为92π. 故选：A 【点睛】本题考查了求球体积最大问题，考查了球的几何性质，考查了数学运算能力.10．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =，E 为棱CD 的中点，则（ ）A ．11A E DD ⊥B ．1A E DB ⊥C ．111A ED C ⊥ D ．11AE DB ⊥【答案】B【解析】由已知可得ABD ∆与DAE ∆相似，进而可得BD ⊥平面1A AE ，从而可得1A E DB ⊥.【详解】连结AE ，BD ，因为AB =，所以AB ADAD DE==，所以ABD ∆与DAE ∆相似，所以DAE ABD ∠=∠，所以90EAB ABD ∠+∠=︒，即：AE BD ⊥，所以BD ⊥平面1A AE ，所以1A E DB ⊥.故选：B. 【点睛】本题考查简单几何体，线面垂直得线线垂直，属于基础题.11．设1a ≥，则双曲线22214x y a a -=+离心率的取值范围为（ ）A ．[)5,+∞B ．[)6,+∞C．)+∞ D．)+∞【答案】C【解析】由双曲线方程可得2222441c a a e a a a a++===++，从而可得离心率的取值范围. 【详解】由双曲线方程可得2222441c a a e a a a a++===++，又1a ≥411415a a ∴++≥=+=，当且仅当4a a =，即2a =时取等号，所以双曲线的离心率的取值范围为)+∞. 故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质，不等式的性质的应用，属于基础题.12．设函数2()2,0()4,0x a x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若(0)f 是函数()f x 的最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[1,2]- B ．[1,0]-C ．[1,2]D ．[0,2]【答案】D【解析】利用基本不等式可以求出当0x >时，函数的最小值，再用分类讨论方法求出0x ≤时，函数的最小值，最后根据题意得到不等式，解这个不等式即可.【详解】当0x >时，44x a a a x ++≥=+(当且仅当4x x =时取等号，即2x =时取等号)； 当0x ≤时，若0a ≥，函数的最小值为2(0)2f a =+；若0a <，函数的最小值为()2f a =，由题意可知：(0)f 是函数()f x 的最小值，所以有2(0)2412002f a a a a a =+≤+⇒-≤≤≥∴≤≤Q .选D. 【点睛】本题考查了已知分段函数的最小值求参数取值范围，考查了分类讨论思想，考查了数学运算思想.二、填空题13．已知()1,3a =-r ，()2,1b =r ，若向量a b +r r 与a mb +r r垂直，则m =______.【答案】94-【解析】根据两向量垂直，数量积为0，列方程解得即可. 【详解】因为()3,2a b +=-r r ，()12,3a mb m m +=+-+r r，由已知可得：()()312230m m +--+=，解得：94m =-.故答案为：94-.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算与数量积运算问题，属于基础题．14．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a =，1b =，60A =︒，则c =______. 【答案】4【解析】由已知利用余弦定理即可得到c 的值. 【详解】因为a =，1b =，60A =︒，由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：2120c c --=，所以4c =．故答案为：4. 【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形，属于基础题.15．已知点()3,4A 是双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>上一点，1F ，2F 分别是双曲线C 的左、右焦点，若以12F F 为直径的圆经过点A ，则双曲线C 的离心率为______.【解析】由已知可直接得到5c =，a =.【详解】由已知得12AF AF ⊥，所以12210F F AO ==，所以5c =，2a=，所以a =所以双曲线C 的离心率e =【点睛】本题考查双曲线的简单性质，属于基础题.16．已知函数1()1,1x f x x x⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰好有三个不等的实根，则实数a 的取值范围为______. 【答案】514a <<【解析】要满足方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰好有三个不等的实根，则直线14y x a=-+与1y x =在0x >相切以上（不含相切）和直线14y x a =-+过点1,1（）以下（不含过该点的直线），利用方程的思想最后求出实数a 的取值范围. 【详解】解析：要满足方程1()()4f x x a a =-+∈R 恰好有三个不等的实根，则直线14y x a =-+与1y x =在0x >相切以上（不含相切）和直线14y x a =-+过点1,1（）以下（不含过该点的直线），当直线14y x a =-+与1y x =相切时，即11+4x a x =-，所以211+4x ax =-,所以=0∆，所以1a =，（1-舍去），当直线14y x a =-+过点1,1（）时，54a =，所以514a <<.【点睛】本题考查了方程有实根求参数的取值范围，考查了推理认证能力，考查了数学运算能力.三、解答题17．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，413a =，且1a ，2a ，7a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设()11n n n b a +=-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求2019T .【答案】（1）43n a n =-（2）4037【解析】（1）由已知可直接求得14d a =，又41133a a d ==+，进而可得11a =，4d =，即可得到结论； （2）由（1）得()()1143n n b n +=--，利用分组求和法即可得到结论.【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，因为1a ，2a ，7a 成等比数列，所以2217a a a =，可得()()21116a d a a d +=+，0d ≠，得14d a =， 又41133a a d ==+，可得11a =，4d =，所以43n a n =-. （2）()()()111143n n n n b a n ++=-=--，2019122019T b b b =++⋅⋅⋅+()()()15913806580698073=-+-+⋅⋅⋅+-+()4100980734037=-⨯+=.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，以及数列前n 项和的求法，属于基础题.18．【2018届安徽省合肥市高三第一次教学质量检测】一家大型购物商场委托某机构调查该商场的顾客使用移动支付的情况.调查人员从年龄在[]20,60内的顾客中，随机抽取了180人，调查结果如表：（1）为推广移动支付，商场准备对使用移动支付的顾客赠送1个环保购物袋.若某日该商场预计有12000人购物，试根据上述数据估计，该商场当天应准备多少个环保购物袋？（2）某机构从被调查的使用移动支付的顾客中，按分层抽样的方式抽取7人作跟踪调查，并给其中2人赠送额外礼品，求获得额外礼品的2人年龄都在[)20,30内的概率. 【答案】(1)7000个；(2) 17. 【解析】试题分析：（1）由表可知，该商场使用移动支付的顾客的比例为712，据此估计该商场要准备环保购物袋712000700012⨯= 个； （2）按年龄分层抽样时，抽样比例为15:1，所以应从[)20,30内抽取3人，从[)30,40内抽取2人，从[)40,50内抽取1人，从[)50,60内抽取1人.列出所有可能的基本事件，结合古典概型计算公式可得获得额外礼品的2人年龄都在[)20,30内的概率为17. 试题解析：（1）由表可知，该商场使用移动支付的顾客的比例为105718012=， 若当天该商场有12000人购物，则估计该商场要准备环保购物袋712000700012⨯= 个；（2）按年龄分层抽样时，抽样比例为4530151515:17+++=，所以应从[)20,30内抽取3人，从[)30,40内抽取2人，从[)40,50内抽取1人，从[)50,60内抽取1人. 记选出年龄在[)20,30的3人为,,A B C ，其他4人为,,,a b c d ，7个人中选取2 人赠送额外礼品，有以下情况：,,,,,AB AC Aa Ab Ac Ad ， ,,,,BC Ba Bb Bc Bd ， ,,,Ca Cb Cc Cd ， ,,ab ac ad ，,bc bd ，cd .共有21种不同的情况，其中获得额外礼品的2人都在[)20,30的情况有3种， 所以，获得额外礼品的2人年龄都在[)20,30内的概率为31=217. 19．如图所示的几何体中，正方形ABCD 所在平面垂直于平面APBQ ，四边形APBQ 为平行四边形，G 为PC 上一点，且BG ⊥平面APC ，2AB =.（1）求证：平面PAD ⊥平面PBC ；（2）当三棱锥P ABC -体积最大时，求直线CQ 与平面APBQ 所成角的正切值. 【答案】（1）证明见解析（22【解析】（1）易证BC ⊥平面APBQ ，进而可得⊥AP BC ，由BG ⊥平面APC ，得AP BG ⊥，从此即可得证；（2）由等体积法分析得当PA PB ⋅最大时，三棱锥P ABC -体积最大，此时2BQ PA ==【详解】（1）因为平面ABCD ⊥平面APBQ ，平面APBQ I 平面ABCD AB =， 四边形ABCD 为正方形，即BC AB ⊥，BC ⊂平面ABCD ， 所以BC ⊥平面APBQ ，又因为AP ⊂平面APBQ ，所以⊥AP BC ， 因为BG ⊥平面APC ，AP ⊂平面PAC ， 所以AP BG ⊥，因为BC BG B =I ，,BC BG ⊂平面PBC ， 所以AP ⊥平面PBC ， 因为AP ⊂平面PAD ， 所以平面PAD ⊥平面PBC ．（2）111323P ABC C APB V V PA PB BC PA PB --==⋅⋅⋅⋅=⋅⋅，求三棱锥P ABC -体积的最大值，只需求PA PB ⋅的最大值． 令PA m =，PB n =， 由（1）知，PA PB ⊥，所以224m n +=，当且仅当2m n == 即2PA PB ==()a 2m x21123323P ABC n V mn m -+=≤⋅=， 因为四边形APBQ 为平行四边形，所以2BQ PA ==因为BC ⊥平面APBQ ，所以直线CQ 与平面APBQ 所成角的正切值为tan 2CQB ∠=【点睛】本题主要考查面面垂直的证明，等体积法的转化，线面角的求法，属于中档题. 20．过点(0,2）的直线l 与抛物线2:2(0)C x py p =>交于A ，B 两点，且OA OB ⊥(O 为坐标原点).(1)求抛物线C 的方程；(2)在y 轴上是否存在定点M ，使得OMA OMB ∠=∠？并说明理由. 【答案】(1)22x y =；(2)存在,理由见解析【解析】(1)设出直线l 的方程与抛物线方程联立，利用一元二次方程根与系数关系，结合OA OB ⊥可以求出抛物线的方程；(2)假设存在，根据二个角相等可以转化为两条直线的斜率互为相反数，根据斜率的公式，结合根与系数的关系可以求出在y 轴上存在定点M ，使得OMA OMB ∠=∠. 【详解】解：(1)设直线l ：2y kx =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，则联立222y kx x py=+⎧⎨=⎩得2240x pkx p --=，则1212=2=4x x pk x x p+⎧⎨-⎩，所以()()()212121212=22+244y y kx kx k x x k x x ++=++=， 所以1212440OA OB OA OB x x y y p ⊥⇔⋅=+=-+=u u u r u u u r，1p =，所以抛物线C 的方程为22x y =．(2)假设存在满足条件的点()0,M t ,设11(,)A x y ，22(,)B x y ,由（1）知1212=2=4x x kx x +⎧⎨-⎩，若OMA OMB ∠=∠，则0MA MB k k +=，()()()()122112211212121222y t x y t x kx t x kx t x y t y t x x x x x x -+-+-++---+== ()()()()121212228222042kx x t x x k t kt kx x +-+-+-+====-，所以存在()0,2M -满足条件． 【点睛】本题考查了求抛物线的标准方程，考查了利用直线与抛物线的位置关系，考查了平面向量的应用，考查了抛物线中定点问题，考查了数学运算能力. 21．已知函数()ln f x x x =-. （1）求()f x 的最小值；（2）证明：对于任意正整数n ，22211111123e n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L . 【答案】（1）()f x 的最小值为1（2）证明见解析 【解析】（1）利用()f x 的导函数即可得到结论.（2）利用（1）的结论，推出ln 1x x ≤-，进而利用放缩法对2211ln 111k k⎛⎫+≤+- ⎪⎝⎭放缩，得2111ln 11k k k⎛⎫+≤- ⎪-⎝⎭，即可得到结论. 【详解】解：（1）()111x f x x x-'=-=，当()0,1x ∈时，()'0f x <，故()f x 在()0,1单调递减； 当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，()f x 在()1,+∞单调递增； 故()()11f x f ≥=，故()f x 的最小值为1.（2）由（1）可得，()ln 1f x x x =-≥即ln 1x x ≤-， 所以()2211111ln 111k k k k k k⎛⎫+≤<=- ⎪--⎝⎭，*k N ∈且2k ≥， 则222111111111ln 1ln 1ln 12312231n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++<-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ， 即2221111ln 1111123n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+<-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ， 即22211111123e n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯+⨯⨯+< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L . 【点睛】本题考查函数的导数以及最大值的求法，放缩法证明不等式的综合应用，考查分析问题、解决问题的能力，属于中档题．22．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位已知直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα⎧=+⎪⎨⎪=⎩(t 为参数，0απ<<)，抛物线C 的普通方程为22y x =.(1)求抛物线C 的准线的极坐标方程；(2)设直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，求||AB 的最小值及此时α的值. 【答案】(1)1cos 2ρθ=-； (2)当且仅当2πα=时，AB 取得最小值2【解析】(1)利用极坐标与直角坐标转化公式求出抛物线C 的准线的极坐标方程； (2) 将直线l 的参数方程代入抛物线C 的普通方程中，利用参数的意义结合一元二次方程根与系数的关系求出||AB 的最小值及此时α的值. 【详解】解:(1)依题意可得，抛物线C 的准线的普通方程为12x =-，化为极坐标方程即是1cos 2ρθ=-. (2)将直线l 的参数方程代入抛物线C 的普通方程22y x =，化简整理得，22sin 2cos 10t t αα--=，设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ,则有1222cos sin t t αα+=，1221sin t t α=-，所以1222sin AB t t α=-==，因为0απ<<，所以，20sin 1α<≤，222sin α≥，即2AB ≥， 当且仅当2πα=时，AB 取得最小值2.【点睛】本题考查了极坐标方程转化为直角坐标方程，考查了利用参数的意义求弦长问题，考查了数学运算能力.23．已知()|4||8|f x ax ax =--+. (1)当2a =时，解不等式()2f x <； (2)求()f x 的最大值【答案】(1)32x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭；(2)12【解析】(1)利用零点法化简函数的解析式，然后分类求解即可； (2)利用绝对值的性质可以直接求解出函数的最大值. 【详解】解(1)当2a =时,12(4)()44(42)12(2)x f x x x x <-⎧⎪=---≤≤⎨⎪->⎩当4x <-时，不等式不成立； 当42x -≤≤时，解得322x -<≤； 当2x >时，不等式恒成立.综上，不等式()2f x <的解集为32x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭.(2)因为()48f x ax ax =--+(4)(8)12ax ax ≤--+=,当且仅当80ax +≤时取到等号，所以()f x 的最大值为12. 【点睛】本题考查了利用零点法解绝对值不等式，考查了利用绝对值的性质求函数的最大值问题，考查了数学运算能力.。
广东省2020届高三数学复习典型题专项训练：统计与概率
广东省2020届高三数学一轮复习典型题专项训练统计与概率一、选择、填空题 1、（广州市2018高三一模）若A ，B ，C ，D ，E 五位同学站成一排照相，则A ，B 两位 同学不相邻的概率为A ．45B ．35C ．25D ．152、（珠海市2019届高三9月摸底考试）如图，海水养殖厂进行某水产品的新旧网箱养殖方法产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品产量(单位：kg)，其频率分布直方图如图根据频率分布直方图，下列说法正确的是①新网箱产量的方差的估计值高于旧网箱产量的方差的估计值 ②新网箱产量中位数的估计值高于旧网箱产量中位数的估计值 ③新网箱产量平均数的估计值高于旧网箱产量平均数的估计值④新网箱频率最高组的总产量的估计值接近旧网箱频率最高组总产量估计值的两倍 A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①④3、（华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考）.如图，在正方形区域内任取一点，则此点取自阴影部分的概率是A.21-B.()2421π-C.()2421π+D.164、（深圳市宝安区2019届高三9月调研）某景区在开放时间内，每个整点时会有一趟观光车从景区入口发车，某人上午到达景区入口，准备乘坐观光车，则他等待时间不多于10分钟的概率为（）A．1 10B．16C．15D．565、（佛山市2019届高三教学质量检测（二））下图是1990年～2017年我国劳动年龄（15～64岁）人口数量及其占总人口比重情况：根据图表信息，下列统计结论不正确．．．的是（）A．2000年我国劳动年龄人口数量及其占总人口比重的年增幅均为最大B．2010年后我国人口数量开始呈现负增长态势C．2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值D．我国劳动年龄人口占总人口比重极差超过6%6、（广州市2019年普通高中毕业班综合测试（二））某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，产量之比依次为2：3：4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A 种型号的轿车比B种型号的轿车少8辆，则n＝A. 96B. 72C. 48D. 367、（广州市2019年普通高中毕业班综合测试（二））从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动．设所选3人中女生人数为，则数学期望＝A． B.1 C. D．28、（揭阳市2019届高三第二次模拟）某公司2018年在各个项目中总投资500万元，右图是几类项目的投资占比情况，已知在1万元以上的项目投资中，少于3万元的项目投资占821，那么不少于3万元的项目投资共有A．56万元B．65万元C．91万元D．147万元5千元至1万元的项目投资（占33%）1万元以上的项目投资5千元以下的项目投资（占46%）9、（湛江市2019届高三调研）已知某地区中小学生人数如图所示，用分层抽样的方法抽取200名学生进行调查，则抽取的高中生人数为A ．10B ．40C ．30D ．2010、（汕尾市2019届高三上学期期末）下图是某地某月1日至15日的日平均温度变化的拆线图，根据该拆线图，下列结论正确的是A ．这15天日平均温度的极差为15︒CB ．连续三天日平均温度的方差最大的是7日，8日，9日三天C ．由拆线图能预测16日温度要低于19 ︒CD ．由拆线图能预测本月温度小于25 ︒C 的天数少于温度大于25︒C 的天数 11、（韶关市2019届高三上学期期末）A ，B 两名同学在5次数学考试中的成绩统计如右边的茎叶图所示，若A ，B 两人的平均成绩分别是x A ，x B ，观察茎叶图，下列结论正确的是 A 、x A ＜x B ，B 比A 成绩稳定 B 、x A ＞x B ，B 比A 成绩稳定 C 、x A ＜x B ，A 比B 成绩稳定 D 、x A ＞x B ，A 比B 成绩稳定12、（肇庆市2019届高三上学期期末）太极是中国古代的哲学术语，意为派生万物的本源.太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，俗称阴阳鱼.太极图形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理.太极图形展现了一种互相转化，相对统一的形式美.按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被sin3y x π=的图象分割为两个对称的鱼形图案，图中的两个一黑一白的小圆通常称为“鱼眼”，已知小圆的半径均为1，现在大圆内随机投放一点，则此点投放到“鱼眼”部分的概率为A.89 B. 29 C. 19 D. 11813、（珠海市2019届高三上学期期末）在（0，2π）上随机取一个数x ，使得0＜tanx ＜1成立的概率是（ ） A 、18 B 、13 C 、12 D 、2π14、（雷州市2019届高三上学期期末）赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周碑算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的）．类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设22==AF DF ，若在大等边三角形内部（含边界）随机取一点，则此点取自小等边三角形（阴影部分）的概率是 A ．134 B ．13132 C ．269D ．2613315、（茂名市2019届高三上期末）七巧板是我国古代劳动人民发明的一种智力玩具，它是由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成的．如图1是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自黑色部分的概率为（ ） A 、14 B 、 38 C 、 316 D 、 71616、（汕头市2019届高三上学期期末）如图所示， 半径为1的圆 O 是正方形 MNPQ 的内切圆、将一颗豆子随机地扔到正方形 MNPQ 内， 用 A 表示事件 “ 豆子落在圆 O 内”， B 表示事件“ 豆子落在扇形 OEF （ 阴影部分） 内”， 则 P (B ｜A ) ＝A.4πB.14C.16πD.1817、（广东省2019届高三3月一模）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB 分为两线段AC ，CB ，使得其中较长的一段AC 是全长AB 与另一段CB 的比例中项，即满足＝＝512-≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数，把点C 称为线段AB 的黄金分割点在△ABC 中，若点P ，Q 为线段BC 的两个黄金分割点，在△ABC 内任取一点M ，则点M 落在△APQ 内的概率为（ ）A ．512- B ．﹣2 C ．51- D ．52- 18、（广州市2019届高三3月综合测试（一））刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O ，圆O 的半径为2，现随机向圆O 内段放a 粒豆子，其中有b 粒豆子落在正十二边形内(,,a b N b a *∈<)，则圆周率的近似值为 A.b a B.a b C.3a b D.3b a19、（深圳市2019届高三第一次（2月）调研考试）己知某产品的销售额y 与广告费用x 之间的关系如下表：若求得其线性回归方程为$ 6.5y x a =+，则预计当广告费用为6万元时的销售额为（A ）42万元 （B ）45万元 （C ）48万元 （D ）51万元20、（肇庆市2019高三二模）太极是中国古代的哲学术语，意为派生万物的本源．太极图是以黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，俗称阴阳鱼．太极图形象化地表达了阴阳轮转，相反相成是万物生成变化根源的哲理．太极图形展现了一种互相转化，相对统一的形式美．按照太极图的构图方法，在平面直角坐标系中，圆O 被的图象分割为两个对称的鱼形图案，图中的两个一黑一白的小圆通常称为“鱼眼”，已知小圆的半径均为1，现在大圆内随机投放一点，则此点投放到“鱼眼”部分的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．21、（湛江2019高三一模）某人连续投篮6次，其中3次命中，3次未命中，则他第1次、第2次两次均未命中的概率是 A 、12 B 、310 C 、14 D 、1522、（汕头市2019届高三第一次（3月）模拟考试）将含有甲、乙、丙的6人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为（ ） A ．320 B ．340 C ．920 D ．94023、（湛江2019高三一模）已知空间直角坐标系中的四个点A （4，1，1），B （4，－2，－1），C （－2，－2，－1），D （－2，1，－1），经过A ，B ，C ，D 四点的球记作球M 。
2020高考精品系列之数学(理)专题11 空间向量与立体几何解答题(原卷版)
专题11空间向量与立体几何解答题考纲解读三年高考分析1.空间向量及其运算(1)了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.(2)掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.(3)掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.2.空间向量的应用(1)理解直线的方向向量与平面的法向量.(2)能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.(3)能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).(4)能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.空间向量的计算和角度的求解是考查的重点，解题时常用到空间直角坐标系的建立、点和向量坐标的计算与应用，考查学生的数学抽象能力、数学建模能力、数学运算能力、直观想象能力，题型以选择填空题和解答题为主，中等难度.1、主要考查与点、线、面位置关系有关的命题真假判断和求解异面直线所成的角，题型主要以选择题和填空题的形式出现，解题要求有较强的空间想象能力和逻辑推理能力.2、空间向量是高考中的必考内容，涉及用向量法计算空间异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角及空间距离等内容，考查热点是空间角的求解．题型以解答题为主，要求有较强的运算能力，广泛应用函数与方程的思想、转化与化归思想.1．【2019年天津理科17】如图，AE⊥平面ABCD，CF∥AE，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝AD＝1，AE ＝BC＝2．（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；（Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角E﹣BD﹣F的余弦值为，求线段CF的长．2．【2019年新课标3理科19】图1是由矩形ADEB、Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°．将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2．（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；（2）求图2中的二面角B﹣CG﹣A的大小．3．【2019年全国新课标2理科17】如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．（1）证明：BE⊥平面EB1C1；（2）若AE＝A1E，求二面角B﹣EC﹣C1的正弦值．4．【2019年新课标1理科18】如图，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．（1）证明：MN∥平面C1DE；（2）求二面角A﹣MA1﹣N的正弦值．5．【2019年北京理科16】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，P A＝AD＝CD＝2，BC＝3．E为PD的中点，点F在PC上，且．（Ⅰ）求证：CD⊥平面P AD；（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣P的余弦值；（Ⅲ）设点G在PB上，且．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由．6．【2019年江苏16】如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1；（2）BE⊥C1E．7．【2019年浙江19】如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点．（Ⅰ）证明：EF⊥BC；（Ⅱ）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值．8．【2018年江苏15】在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1．求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．9．【2018年江苏25】如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC 的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．10．【2018年新课标1理科18】如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF．（1）证明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP与平面ABFD所成角的正弦值．11．【2018年新课标2理科20】如图，在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝2，P A＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角M﹣P A﹣C为30°，求PC与平面P AM所成角的正弦值．12．【2018年新课标3理科19】如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）当三棱锥M﹣ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．13．【2018年浙江19】如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC ＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．14．【2018年上海17】已知圆锥的顶点为P，底面圆心为O，半径为2．（1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设PO＝4，OA、OB是底面半径，且∠AOB＝90°，M为线段AB的中点，如图．求异面直线PM与OB所成的角的大小．15．【2018年北京理科16】如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，D，E，F，G分别为AA1，AC，A1C1，BB1的中点，AB＝BC，AC＝AA1＝2．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF；（Ⅱ）求二面角B﹣CD﹣C1的余弦值；（Ⅲ）证明：直线FG与平面BCD相交．16．【2018年天津理科17】如图，AD∥BC且AD＝2BC，AD⊥CD，EG∥AD且EG＝AD，CD∥FG 且CD＝2FG，DG⊥平面ABCD，DA＝DC＝DG＝2．（Ⅰ）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：MN∥平面CDE；（Ⅱ）求二面角E﹣BC﹣F的正弦值；（Ⅲ）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为60°，求线段DP的长．17．【2017年江苏15】如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC．18．【2017年江苏18】如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm，容器Ⅰ的底面对角线AC的长为10cm，容器Ⅱ的两底面对角线EG，E1G1的长分别为14cm和62cm．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm．现有一根玻璃棒l，其长度为40cm．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器Ⅰ中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器Ⅱ中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度．19．【2017年江苏25】如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且AB＝AD＝2，AA1，∠BAD＝120°．（1）求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值；（2）求二面角B﹣A1D﹣A的正弦值．20．【2017年新课标1理科18】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°．（1）证明：平面P AB⊥平面P AD；（2）若P A＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A﹣PB﹣C的余弦值．21．【2017年新课标2理科19】如图，四棱锥P﹣ABCD中，侧面P AD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．（1）证明：直线CE∥平面P AB；（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M﹣AB﹣D的余弦值．22．【2017年新课标3理科19】如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D ﹣AE﹣C的余弦值．23．【2017年浙江19】如图，已知四棱锥P﹣ABCD，△P AD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC ∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面P AB；（Ⅱ）求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．24．【2017年上海17】如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．25．【2017年北京理科16】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，平面P AD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD∥平面MAC，P A＝PD，AB＝4．（1）求证：M为PB的中点；（2）求二面角B﹣PD﹣A的大小；（3）求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．26．【2017年天津理科17】如图，在三棱锥P﹣ABC中，P A⊥底面ABC，∠BAC＝90°．点D，E，N分别为棱P A，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，P A＝AC＝4，AB＝2．（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；（Ⅲ）已知点H在棱P A上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线段AH的长．1．【陕西省西北工业大学附属中学2019届高三考前模拟】如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD 是菱形，3ABC π∠=，四边形ABEF 是直角梯形，2FAB π∠=，AF BE P ，22AF AB BE ===.（Ⅰ）证明：CE P 平面ADF .（Ⅱ）若平面ABCD ⊥平面ABEF ，H 为DF 的中点，求平面ACH 与平面ABEF 所成锐二面角的余弦值.2．【山东省淄博市部分学校2019届高三5月阶段性检测】已知正方形的边长为4,,E F 分别为,AD BC 的中点，以EF 为棱将正方形ABCD 折成如图所示的60o 的二面角，点M 在线段AB 上．（1）若M 为AB 的中点，且直线MF ，由,,A D E 三点所确定平面的交点为O ，试确定点O 的位置，并证明直线//OD 平面EMC ；（2）是否存在点M ，使得直线DE 与平面EMC 所成的角为60o ；若存在，求此时二面角M EC F --的余弦值，若不存在，说明理由．3．【陕西省汉中市2019届高三全真模拟】如图，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ，//EF AB ，90BAF ∠=︒，2AD =，1AB AF ==，点P 在线段DF 上.（1）求证：AF ⊥平面ABCD ；（2）若二面角D AP C --的余弦值为63，求PF 的长度. 4．【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三第五次测评】如图，三棱柱111ABC A B C -中，平面11ACC A ⊥平面ABC ，12AA AC CB ==，90ACB ∠=︒.（1）求证：平面11AB C ⊥平面11A B C ；（2）若1A A 与平面ABC 所成的线面角为60︒，求二面角11C AB C --的余弦值.5．【辽宁省葫芦岛市普通高中2019届高三第二次模拟】如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD .四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且//AD BC ，ABD ∆是边长为1的等边三角形，M 为线段BD 中点，3BC =.(1)求证：AF BD ⊥；(2)求直线MF 与平面CDE 所成角的正弦值；(3)线段BD 上是否存在点N ，使得直线//CE 平面AFN ？若存在，求BNBD的值；若不存在，请说明理由.6．【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合】如图所示的多面体是由一个直平行六面体被平面AEFG 所截后得到的，其中45BAE GAD ∠=∠=︒，22AB AD ==，60BAD ∠=︒.（1）求证：平面BDG ⊥平面ADG ； （2）求直线GB 与平面AEFG 所成角的正弦值.7．【内蒙古呼伦贝尔市2019届高三模拟统一考试（一)】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 、F 、G 分别是BC 、11B C 、1AA 、1CC 中点.且22AB AC ==，14BC AA ==.（1）求证：BC ⊥平面ADE ； （2）求二面角1G EF B --的余弦值.8．【广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测】如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，E 是棱1BB 的中点，CA CB =，F 在线段AC 上，且2AF FC =.（1）证明：1//CB 面1A EF ；（2）若CA CB ⊥，面CAB ⊥面11ABB A ，求二面角1F A E A --的余弦值． 9．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷】如图，在三棱锥V ABC -中，,90,2VC AB ABC AB BC ︒<∠===，侧面ACV ⊥底面ABC ，45ACV ︒∠=，D 为线段AB 上一点，且满足AD CV =.（1）若E 为AC 的中点，求证：BE CV ⊥； （2）当DV 最小时，求二面角A BC V --的余弦值.10．【河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷】如图，在几何体1111ACD A B C D -中，四边形1111ADD A CDD C ，为矩形，平面11ADD A ⊥平面11CDD C ，11B A ⊥平面11ADD A ，1111,2AD CD AA A B ====，E 为棱1AA 的中点.（Ⅰ）证明：11B C ⊥平面1CC E ；（Ⅱ）求直线11B C 与平面1B CE 所成角的正弦值.11．【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测】已知：在四棱锥P ABCD -中，//AD BC ，12AB BC CD AD ===，G 是PB 的中点，PAD ∆是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD .（Ⅰ）求证：CD ⊥平面GAC ； （Ⅱ）求二面角P AG C --的余弦值.12．【湖北部分重点中学2020届高三年级新起点考试】如图四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，,PB BC PD CD ⊥⊥，且PA AB =，E 为PD 中点.（1）求证：PA ⊥平面ABCD ； （2）求二面角A BE C --的正弦值.13．【江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟】如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，AC CD ⊥，60ABC ∠=︒，PA AB BC ==，E 是PC 的中点．（1）求PB 和平面PAD 所成的角的大小． （2）求二面角A PD C --的正弦值．14．【山东省实验中学等四校2019届高三联合考试】如图在直角ABC ∆中，B 为直角，2AB BC =，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，将AEF ∆沿EF 折起，使点A 到达点D 的位置，连接BD ，CD ，M 为CD 的中点．（Ⅰ）证明：MF ⊥面BCD ；（Ⅱ）若DE BE ⊥，求二面角E MF C --的余弦值．15．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试】已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形，PD PB =,H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交PB ，PD 于点M ，N ，且//BD 平面AMHN ．（1）证明：MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点，3PA PC AB ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求AD 与平面AMHN 所成角的正弦值．1．已知三棱锥P ﹣ABC 中，△ABC 为等腰直角三角形，AB ＝AC ＝1，，设点E 为P A中点，点D 为AC 中点，点F 为PB 上一点，且PF ＝2FB ． （1）证明：BD ∥平面CEF ；（2）若P A ⊥AC ，求直线CE 与平面PBC 所成角的正弦值．2．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，点E 是边AD 上的一点，且AE ＝2ED ，点H 是BE 的中点，将△ABE 沿着BE 折起，使点A 运动到点S 处，且有SC ＝SD ． （1）证明：SH ⊥平面BCDE ． （2）求二面角C ﹣SB ﹣E 的余弦值．3．如图，在斜三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面A 1ABB 1⊥底面ABC ，侧棱A 1A 与底面ABC 所成角为60°，AA 1＝AB ＝2，底面△ABC 是以∠ABC 为直角的等腰直角三角形，点G 为△ABC 的重心，点E在BC1上，且．（Ⅰ）求证：GE∥平面A1ABB1；（Ⅱ）求平面B1GE与平面ABC所成锐二面角的余弦值．4．已知：在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，，G是PB的中点，△P AD是等边三角形，平面P AD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：CD⊥平面GAC；（Ⅱ）求二面角P﹣AG﹣C的余弦值．5．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC是边长为4的等边三角形，平面P AB⊥平面ABC，，点M为棱BC的中点，点N在棱PC上且满足，已知使得异面直线MN与AC所成角的余弦值为的λ有两个不同的值λ1，λ2（λ1＜λ2）．（1）求λ1，λ2的值；（2）当λ＝λ1时，求二面角N﹣AM﹣C的余弦值．。
湖南省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练：立体几何
湖南省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练立体几何一、选择、填空题1、（常德市2019届高三上学期检测）如图，网格线上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，其正视图，侧视图均为等边三角形，则该几何体的体积为 A ．83(1)3π+ B ．43(2)π+ C ．43(2)3π+ D ．83(1)π+2、（衡阳八中2019届高三上学期第二次月考）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图中六边形ABCDEF 是边长为1的正六边形，点G 为AF 的中点，则该几何体的外接球的表面积是（ C ）A.316π B. 318π C. 48164πD. 313148π3、（怀化市2019届高三统一模拟（二））某组合体的三视图如图所示.则该组合体的体积为 A. 4 B. 8 C.43 D. 834、（三湘名校教育联盟2019届高三第一次大联考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为A.8B.16C.24D.485、（邵阳市2019届高三10月大联考）已知三棱锥P ABCA B C在球O的同一个-底面的3个顶点,,大圆上，且ABC-体积的最大值为23，则球△为正三角形，P为该球面上的点，若三棱锥P ABCO的表面积为( )A.12πB.16πC.32πD.64π6、（五市十校教研教改共同体2019届高三12月联考）已知E，F分别是三棱锥P ABC-的棱AP，EF=，则异面直线AB与PC所成的角为（）PC=，33BC的中点，6AB=，6A.120︒B.45︒C.30︒D.60︒7、（湘潭市2019届高三下学期第二次模拟）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.8、（益阳市2019届高三上学期期末考试）如图，—个圆柱从上部挖去半球得到几何体的正视图、侧28，则x =视图都是图1，俯视图是图2，若得到的几何体表面积为A.3B. 4C.5D.69、（永州市2019届高三上学期第二次模拟）如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列判断中正确的是（）①平面平面；②直线平面；③异面直线与所成角的取值范围是；④三棱锥的体积不变.A. ① ②B. ①②④C. ③④D. ①④10、（岳阳市2019届高三教学质量检测（一模））个几何体的三视图如右图所示，已知这个几何10，则h为体的体积为3A. 23B.3 C. 33 D. 3511、（长郡中学2019届高三第六次月考）在三棱锥 P —ABC 中，PA 丄平面 ABC ，∠BAC =32π，AP=3，AB =32, Q 是边BC 上的一动点，且直线PQ 与平面ABC 所成角的最大值为3π，则三棱锥P —ABC 的外接球的表面积为A.π45B.π57C. π63D. π8412、（雅礼中学2019届高三第五次月考）如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中DD 1＝1，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是13、（株洲市2019届高三教学质量统一检测（一））已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，M 为CC 1的中点．若AM ⊥平面α，且B ∈平面α，则平面α截正方体所得截面的周长为（ ）A ．32+25B ． 4+42C ． 22+25D ．6214、（湖南师大附中2019届高三月考试卷（六））正四棱锥S －ABCD 的侧棱长与底面边长相等，E 为SC 的中点，则BE 与SA 所成角的余弦值为(C)A.13B.12C.33D.3215、（湖南湖北八市十二校（湖南师范大学附属中学、衡阳八中等）2019届高三第二次调研联考）已知三棱锥的四个顶点都在半径为3的球面上，，则该三棱锥体积的最大值是A ．B ．C ．D ． 6416、（湖南师大附中2019届高三月考试卷（六））已知三棱锥P －ABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，△ABC 是边长为4的等边三角形，三棱锥P －ABC 的体积为163，则此三棱锥的外接球的表面积为__80π3__．参考答案：1、C2、C3、D4、B5、B6、D7、A8、B9、B 10、B 11、12、C 13、A 14、【解析】如图，设AC ∩BD ＝O ，连接OE ，因为OE 是△SAC 的中位线，故EO ∥SA ，则∠BEO 为BE 与SA 所成的角．设SA ＝AB ＝2a ，则OE ＝12SA ＝a ，BE ＝32SA ＝3a ，OB ＝22SA ＝2a ，所以△EOB 为直角三角形，所以cos ∠BEO ＝OE BE ＝a 3a ＝33，故选C.15、A 16、【解析】依题意，记三棱锥P －ABC 的外接球的球心为O ，半径为R ，点P 到平面ABC 的距离为h ，则由V P －ABC ＝13S △ABC h ＝13×⎝⎛⎭⎫34×42×h ＝163得h ＝433.又PC 为球O 的直径，因此球心O 到平面ABC 的距离等于12h ＝233.又正△ABC 的外接圆半径为r ＝AB 2sin 60°＝433，因此R 2＝r 2＋⎝⎛⎭⎫2332＝203，所以三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝80π3.二、解答题1、（常德市2019届高三上学期检测）如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，21111==C A B A ，321=CC ， ︒=∠120BAC ，O 为线段11C B 的中点，P 为线段1CC 上一动点（异于点1C C 、），Q 为线段BC 上一动点，且OP QP ⊥；（Ⅰ）求证：平面1A PQ ^平面1A OP ；（Ⅱ）若PQ BO //，求直线OP 与平面PQ A 1所成角的正弦值.2、（衡阳八中2019届高三上学期第二次月考）如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面ACD ，△ACD 为等边三角形，AD ＝DE ＝2AB ，F 为CD 的中点. (1)求证：AF ∥平面BCE ；(2)求二面角C －BE －D 的余弦值的大小.3、（怀化市2019届高三统一模拟（二））如图，在四棱锥P-ABCD 中，PC ⊥底面A BCD ，底面ABCD 是直角梯形，AB ⊥AD ，AB //CD ，AB=2AD=2CD=4，PC=4. (1)证明：当点E 在PB 上运动时，始终有平面EAC ⊥平面PBC (2)求锐二而角A- PB-C 的余弦值.4、（三湘名校教育联盟2019届高三第一次大联考）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为正方形，PA 丄底面ABCD,且PA=2AB ，F 是AB 的中点，点E 在线段PC 上，且PE ＝PC 31. （1）证明：平面DEF 丄平面ABCD; （2）求二面角B-AE-D 的余弦值.5、（邵阳市2019届高三10月大联考）如图，菱形ABCD 的边长为4，60DAB =∠°，矩形BDFE 的面积为8，且平面BDFE ⊥平面ABCD .(1)证明：AC BE ⊥；(2)求二面角E AF D --的正弦值.6、（五市十校教研教改共同体2019届高三12月联考）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，90CDA BAD ∠=∠=︒，222AB AD DC ===E ，F 分别为PD ，PB 的中点.（1）求证：//CF 平面PAD ；（2）若截面CEF 与底面ABCD 所成锐二面角为4，求PA 的长度.7、（湘潭市2019届高三下学期第二次模拟）如图，四棱锥的底面是直角梯形，，，和是两个边长为2的正三角形，，为的中点，为的中点.（1）证明：平面.（2）在线段上是否存在一点，使直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由.8、（益阳市2019届高三上学期期末考试）五面体ABCDEF 中，ADEF 是等腰梯形,AD = 2,AB=2,AF=FE = ED=BC = 1，∠SAD=900，平面 BAF 丄平面 ADEF 。
广东省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练：立体几何
广东省2020届高三数学一轮复习典型题专项训练立体几何一、选择、填空题1、（广州市2018高三一模）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某个几何体的三视图，则该几何体的表面积为A ．44223++B ．1442+C ．104223++D ．42、（珠海市2019届高三9月摸底考试）如图，圆锥顶点为P ，底面圆心为O ，过轴PO 的截面PAB ∆，C 为PA 中点，43PA =，6PO =，则从点C 经圆锥侧面到点B 的最短距离为A.215B.21562- C.6D.21563-CBAP3、（华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考）在半径为4的球O 的球面上有不同的四点A ，B ，C ，D ，若4AB AC AD ===，则平面BCD 被球O 所截得的图形的面积为※※.4、（珠海市2019届高三9月摸底考试）S 为顶点的正四面体S ABC -的底面积为3，D 为SC 的中点，则BD 与AC 所成角的余弦值为A.33B.32C.36D.165、（深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第二次联考）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.32163π-B.16163π-C.3283π-D.1683π-6、（深圳市宝安区2019届高三9月调研）《九章算术》中对一些特殊的几何体有特定的称谓，例如：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱刨开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）．在如图所示的堑堵111C B A ABC -中，4,3,51====BC AB AC AA ，则阳马111A ABB C -的外接球的表面积是7、（佛山市2019届高三教学质量检测（二））已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，点P 为对角线11C A 的中点，F E ,分别为对角线11,BC D A （含端点）上的动点，则PE +PF 的最小值为（）A ．2B ．3C ．2D ．228、（广州市2019年普通高中毕业班综合测试（二））有一个底面半径为R ，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为a 的四面体，并且四面体在纸盒内可以任意转动，则a 的最大值为____．9、（揭阳市2019届高三第二次模拟）如图是一个长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1截去一个角后的多面体的三视图，尺寸如图所示，则这个多面体的体积为A ．12B ．16C ．18D ．2010、（湛江市2019届高三调研）正三棱锥的正视图如图所示，则侧视图的面积为A ．212B ．312C ．26D ．3611、（中山一中等七校2019届高三第二次（11月）联考）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升,其三视图如图1所示(单位:寸),若π取3,其体积为13.5(立方寸),则图中的x 为()A .2.4B .1.8C .1.6D .1.212、（肇庆市2019届高三上学期期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，124AA AB BC ===，E 是AB 的中点，则三棱锥11E D C C -外接球的表面积为A ．36πB ．32πC ．9πD ．8π13、（珠海市2019届高三上学期期末）如图是某几何体的三视图，其中正视图和侧视图为正方形，俯视图是腰长为2的等腰直角三角形，则该几何体的体积是（）A 、43B 、223C 、83D 、42314、（江门市2019届普通高中高三调研）已知两条直线m n 、，两个平面αβ、，给出下面四个命题：①//,////m n m n αα⇒②//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥③,//m n m n αα⊥⊥⇒或n α⊂④,//m m αβαβ⊥⇒⊥其中，正确命题的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．415、（揭阳市2019届高三上学期期末）某几何体示意图的三视图如图示，已知其主视图的周长为8，则该几何体侧面积的最大值为A ．πB ．2πC ．4πD ．16π16、（雷州市2019届高三上学期期末）正四面体ABCD 中，CD 在平面α内，点E 是线段AC 的中点，在该四面体绕CD 旋转的过程中，直线BE 与平面α所成角不可能是A ．0B ．6πC ．3πD ．2π17、（茂名市2019届高三上期末）如图2，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则此几何体的体积为（）．A 、6B 、18C 、12D 、3618、（汕尾市2019高三一模）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的表面积为（）A ．B ．C ．D ．19、（深圳市2019届高三第一次（2月）调研考试）如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为（A ）72（B ）64（C ）48（D ）3220、（肇庆市2019高三二模）在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AB ＝2BC ＝4，E 是AB 的中点，则三棱锥E ﹣D 1C 1C 外接球的表面积为（）A ．36πB ．32πC ．9πD ．8π21、（湛江2019高三一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是A 、113B 、133C 、143D 、16322、（广东省2019届高三3月一模）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．3πB ．4πC ．6πD ．8π23、（广州市2019届高三3月综合测试（一））一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为A.132π B.7πC.152π D.8π二、解答题1、（广州市2018高三一模）如图，四棱锥S ABCD -中，△ABD 为正三角形，︒=∠120BCD ，2CB CD CS ===，︒=∠90BSD ．（1）求证：AC ⊥平面SBD ；（2）若BD SC ⊥，求二面角C SB A --的余弦值．2、（珠海市2019届高三9月摸底考试）如图，四边形ABCD 是矩形，AB =2BC ，E 为CD 中点，以BE 为折痕将BEC ∆折起，使C 到C '的位置，且平面BEC '⊥平面ABED (1)求证：AE BC '⊥；(2)求二面角C AE B '--的余弦值．C /EDCBA3、（华附、省实、广雅、深中2019届高三上学期期末联考）等边ABC ∆的边长为3，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足12AD CE DB EA ==（图1）.将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使二面角1A DE B --成直二面角，连接1A B ，1AC （图2）.（1）求证：1A D ⊥平面BCED ；（2）在线段BC 上是否存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒？若存在，求出线段PB 的长；若不存在，请说明理由.4、（深圳实验、珠海一中等六校2019届高三第二次联考）如图所示，在平行四边形ABCD中，04,22,A 45,AB BC BC ==∠=点E 是CD 边的中点，将DAE ∆沿AE 折起，使点D 到达点P 的位置，且26PB =（1）求证;平面PAE ⊥平面ABCE ；（2）若平面PAE 和平面PBC 的交线为l ，求二面角B l E --的余弦值.5、（深圳市宝安区2019届高三9月调研）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，AF ∥DE ，AD AF ⊥，且平面⊥BED 平面ABCD ．(1)求证：CD AF ⊥;(2)若︒=∠60BAD ，ED AD AF 21==，求二面角E FB A --的余弦值．6、（广州市2019年普通高中毕业班综合测试（二））如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，∠APD ＝90°，且AD ＝PB ．(l)求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；(2)若AD ⊥PB ，求二面角D －PB －C 的余弦值．7、（揭阳市2019届高三第二次模拟）已知如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别为PC 的三等分点．(1)证明：//AF 平面EBD ；(2)已知1AP AD ==,2AB =，求二面角E BD A --的余弦值.8、（湛江市2019届高三调研）如图，在四棱锥ABCD P -中，△PAB 、△PBC 、△ACD 均为等边三角形，BC AB ⊥．（Ⅰ）求证：BD ⊥平面PAC ；（Ⅱ）求直线CD 与平面PBC 所成角的正弦值．9、（中山一中等七校2019届高三第二次（11月）联考）如图4,在四棱锥E ABCD -中,//AB CD ,90ABC ∠=︒,2CD AB ==24CE =,120BCE ∠=︒,25DE =.(Ⅰ)证明:平面BCE ⊥平面CDE ；(Ⅱ)若4BC =,求二面角E AD B --的余弦值.10、（汕尾市2019届高三上学期期末）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABCD 为矩形，△APB 是以∠P 为直角的等腰直角三角形，平面PAB ⊥平面ABCD 。
高考数学一轮复习第五章平面向量、复数课时规范练27复数
课时规范练27 复数基础巩固组1.(2020江西九江高三二模)已知复数z 满足z (3-i)=10,则z=( )A.-3-i B .-3+i C .3-i D .3+i 2.(2019北京,理1)已知复数z=2+i,则z ·z =( )A.√3B.√5C.3D.53.(2020福建福州高三质量检测)设复数z 满足|z+1|=|z-i |,z 在复平面内对应的点为(x ,y ),则( )A.x=0 B .y=0 C .x-y=0D .x+y=04.(多选)对任意z 1,z 2,z ∈C ,下列结论成立的是( ) A.当m ,n ∈N *时,有z m z n =z m+nB.当z 1,z 2∈C 时,若z 12+z 22=0,则z 1=0且z 2=0C.互为共轭复数的两个复数的模相等,且|z |2=|z|2=z ·zD.z 1=z 2的充要条件是|z 1|=|z 2|5.(多选)已知i 为虚数单位,则下列结论正确的是( ) A.复数z=1+2i1-i 的虚部为32 B.复数z=2+5i -i 的共轭复数z =-5-2iC.复数z=12−12i 在复平面内对应的点位于第二象限 D.复数z 满足1z ∈R ,则z ∈R 6.复数z=1-2i,则z 2+3z -1=()A.2iB.-2C.-2iD.27.已知复数z=a+i(其中a ∈R ),则下面结论正确的是( )A.z =-a+iB.|z|≥1C.z 一定不是纯虚数D.z 在复平面内对应的点可能在第三象限8.(2020湖南怀化高三一模)已知i 是虚数单位,复数z=1-ii −12,则复数z 在复平面内对应的点位于( ) A.第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限9.(2020江苏,2)已知i 是虚数单位,则复数z=(1+i)(2-i)的实部是 . 10.(2020辽宁沈阳期末)已知复数z 满足等式|z-i |=1,则|z-1|的最大值为 .综合提升组11.(2020浙江杭州高三质检)已知复数z 满足i =1-2zz -7,则|z|=( ) A.2B .√5C .2√2D .√1012.(多选)(2020江苏江都仙城中学高三月考)下面是关于复数z=2-1+i (i 为虚数单位)的命题,其中真命题有 ( )A.|z|=2B.z 2=2iC.z 的共轭复数为1+iD.若|z 0-z|=1,则|z 0|的最大值为√2+113.(2020湖南常德高三模拟)已知复数z 满足|z+i |=1,且|z|=2,则z=( ) A.1+i B .-1+iC .-2iD .2i14.(2020湖南衡阳高三一模)复数z 在复平面内所对应的点的坐标为(1,1),则|z |z的实部与虚部的和是( ) A.√2 B .0 C .√22D .√22−√22i15.(2020山东聊城二模)在复数范围内,实系数一元二次方程一定有根,已知方程x 2+ax+b=0(a ∈R ,b ∈R )的一个根为1+i(i 为虚数单位),则a1+i =( ) A.1-i B.-1+iC.2iD.2+i创新应用组16.(多选)(2020山东济南高三考前模拟)已知复数z=1+cos 2θ+isin 2θ-π2<θ<π2,则下列说法正确的是( )A.复数z 在复平面上对应的点可能落在第二象限B.z 可能为实数C.|z|=2cos θD.1z 的实部为1217.国际数学教育大会(ICME)是世界数学教育规模最大、水平最高的学术性会议,第十四届大会将在上海召开,其会标如图,包含着许多数学元素.主画面是非常优美的几何化的中心对称图形,由弦图、圆和螺线组成,主画面标明的ICME-14下方的“”是用中国古代八进制的计数符号写出的八进制数3744,也可以读出其二进制码(0)11111100100,换算成十进制的数是n ,则(1+i)2n = ,(1+i √2)n= .参考答案课时规范练27 复数1.D z=103-i =10(3+i )(3-i )(3+i )=3+i,故选D . 2.D ∵z=2+i,∴z =2-i .∴z ·z =(2+i)(2-i)=5. 故选D .3.D 复数z 满足|z+1|=|z-i |,∴√(x +1)2+y 2=√x 2+(y -1)2,化简得x+y=0,故选D .4.AC 由复数乘法的运算律知,A 正确;取z 1=1,z 2=i,满足z 12+z 22=0,但z 1=0且z 2=0不成立,故B 错误;由复数的模及共轭复数的概念知结论成立,故C 正确; 由z 1=z 2能推出|z 1|=|z 2|, 但|z 1|=|z 2|推不出z 1=z 2,因此z 1=z 2的必要不充分条件是|z 1|=|z 2|,故D 错误.故选AC .5.ABD 对于A,z=1+2i1-i =(1+2i )(1+i )(1-i )(1+i )=-12+32i,其虚部为32,故A 正确;对于B,z=2+5i-i =(2+5i)i =-5+2i,故z =-5-2i,故B 正确;对于C,z=12−12i 在复平面内对应点的坐标为12,-12,位于第四象限,故C 不正确;对于D,设z=a+b i(a ,b ∈R ),则1z =1a+bi =a -bia 2+b 2,又1z ∈R ,得b=0,所以z=a ∈R ,故D 正确.故选ABD.6.D ∵z=1-2i,∴z 2+3z -1=(1-2i )2+31-2i -1=-4i-2i =2,故选D .7.B z 的共轭复数为z =a-i,故A 错误;|z|=√a 2+1≥1,故B 正确;当a=0时,z=i 为纯虚数,故C 错误;因为z 的虚部为1,所以z 在复平面内对应的点不可能在第三象限,故D 错误.故选B .8.C∵z=1-i i −12=i -i 2i2−12=i+1-1−12=-32-i,∴复数z=1-i i −12在复平面内对应的点的坐标为-32,-1,位于第三象限,故选C .9.3 z=(1+i)(2-i)=3+i,实部是3. 10.√2+1 因为|z-i |=1,所以复数z 在复平面内对应的点是以(0,1)为圆心,1为半径的圆,如图所示,则|z-1|的最大值为圆心(0,1)到点A (1,0)的距离加1,即√(0-1)2+(1-0)2+1=√2+1. 11.D 由i =1-2zz -7,得z i -7i =1-2z ,即z=1+7i 2+i=(1+7i )(2-i )(2+i )(2-i )=9+13i 5=95+13i 5,所以|z|=√(95)2+(135)2=√10.故选D .12.BD 由题z=2-1+i =2(-1-i )(-1+i )(-1-i )=-2-2i2=-1-i,其共轭复数为-1+i,所以|z|=√2,z 2=1+i 2+2i =2i,若|z 0-z|=1,设z 0=a+b i,则(a+1)2+(b+1)2=1,即(a ,b )是圆(x+1)2+(y+1)2=1上的点,|z 0|=√a 2+b 2可以看成圆(x+1)2+(y+1)2=1上的点到原点的距离,最大值为√2+1,所以正确的命题为BD.13.C (方法1 赋值法)将A,B,C,D 四个选项中的值代入题目条件验算,可知C 选项为正确答案.(方法2)设z=a+b i(a ,b ∈R ), ∵|z+i |=1,|z|=2,∴{a 2+b 2=4,a 2+(b +1)2=1,∴{a =0,b =-2,∴z=-2i,故选C .14.B 由题意可得,z=1+i,z =1-i,则|z|=|z |=√2,∴|z |z =√21+i =√2(1-i )(1+i )(1-i )=√22−√22i,所以|z |z 的实部为√22,虚部为-√22,故实部和虚部的和为0,故选B . 15.B ∵x 1=1+i 是关于x 的实系数一元二次方程x 2+ax+b=0的一个根,∴x 2=1-i 也是此方程的一个根,∴a=-(x 1+x 2)=-(1+i +1-i)=-2. 所以a1+i =-21+i =-2(1-i )(1+i )(1-i )=-1+i .故选B .16.BCD 因为-π2<θ<π2,所以-π<2θ<π,所以-1<cos 2θ≤1,所以0<1+cos 2θ≤2,故A 错误;当sin 2θ=0,θ=0∈-π2,π2时,复数z 是实数,故B 正确;|z|=√(1+cos2θ)2+(sin2θ)2=√2+2cos2θ=2cos θ,故C 正确;1 z =11+cos2θ+isin2θ=1+cos2θ-isin2θ(1+cos2θ+isin2θ)(1+cos2θ-isin2θ)=1+cos2θ-isin2θ2+2cos2θ,则1z的实部是1+cos2θ2+2cos2θ=12,故D正确.故选BCD.17.-22 020-1∵11111100100=1×210+1×29+1×28+1×27+1×26+1×25+0×24+0×23+1×22+0×21+0×20=2 020.∴(1+i)2n=(2i)2 020=-22 020.(√2)n=(√2)2020=(√2)2×1010=i1 010=-1.。
微专题11 有关数学文化的填空题 讲义-江苏省启东中学2020届高三数学三轮复习
微专题11 有关数学文化的填空题主备：数学文化题是近几年全国卷中出现的新题型．预计在今后几年的江苏高考中，数学文化题会以填空题的形式考查，也不排除以解答题的形式考查，这类题难度适中或容易．传统文化试题一般强化了数学文化的传承和数学应用意识的培养．这类问题一般以大篇幅的文字叙述或文言文表达，有许多学生会在阅读上容易陷入误区．一．【温故·习新】1.八卦是中国道家文化的深奥概念，是一套用三组阴阳组成的哲学符号．八卦表示事物自身变化的阴阳系统，用“”代表阳，用“”代表阴，用这两种符号，按照大自然的阴阳变化平行组合，组成八种不同的形式(如图所示)．从图中的八卦中随机选取一卦，则此卦中恰有两个“”的概率为 .解析 由图可知，恰有两个“”的是坎、艮、震，根据古典概型及其概率的计算公式，可得所求概率为38..2我国古代著名的数学家刘徽著有《海岛算经》。
内有一篇：“今有望海岛，立两表齐，高三丈，前后相去千步，令后表与前表相直。
从前表却行百二十三步，人目著地取望岛峰，与表末参合。
从后表却行百二十七步，人目著地取望岛峰，亦与表末参合。
问岛高及去表各几何？”请你计算出海岛高度为________步.(参考译文：假设测量海岛，立两根标杆，高均为5步，前后相距1 000步，令前后两根标杆和岛在同一直线上，从前标杆退行123步，人的视线从地面(人的高度忽略不计)过标杆顶恰好观测到岛峰，从后标杆退行127步，人的视线从地面过标杆顶恰好观测到岛峰，问岛高多少？岛与前标杆相距多远？)(丈、步为古时计量单位，当时是“三丈＝5步”)解析 如图所示，设岛高x 步，与前标杆相距y 步，由相似三角形的性质，有⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＝123123＋y ，5x ＝127127＋1 000＋y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1 255，y ＝30 750，则海岛高度为1 255步。
答案 1 255 3.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1,1,2,3,5,8,13，…。
河南省郸城县第一高级中学2020届高三第11次理科数学考试及答案
高三数学第11次周练试卷（理科）一、选择题1．设1z i =-（i 是虚数单位），则复数22i z+的虚部是（ ） A.i - B.1- C.i D.12．已知集合{}{xA=y|y=2,B=|x y =，则A B =（ ）A ．{}y|y>1B ．{}y|y 1≥C ．{}y|y>0D ．{}y|y 0≥3．等差数列 满足: ,则 = （ ） A ． B ．0 C ．1 D ．24．若经过椭圆2212516x y +=的右焦点2F 作垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，1F 是椭圆的左焦点，则1AF B 的周长为( ) A ．10B ．20C ．30D ．405．已知正实数,,a b c 满足log 22a =，31log 3b =，6172c =，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．c b a <<D ．b a c <<6．已知()()sin 2cos 30πθπθ-++-=，则cos sin cos sin θθθθ+=-（ ）A ．3B ．3-C ．13 D ．13-7．若22nx ⎫⎪⎭的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ）A ．210B ．180C ．160D ．1758．已知随机变量ξ服从二项分布()B n,p ξ～，且()E ξ7=，()D ξ6=，则p 等于( ) A ．67B ．17C ．37D ．479．已知向量a ，b 满足||1a =，(1,3)b =-，且()a a b ⊥-，则a 与b 的夹角为（ ） A.30︒ B.60︒C.120︒D.150︒10．“4πϕ=-”是“函数()()cos 3f x x ϕ=-的图象关于直线4x π=对称”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件11．定义在R 上的连续函数()f x ，当0x ≥时，函数()()()2xf x ae bx =+-单调递增，且函数(1)y f x =-的图象关于直线1x =对称，则使得(2)0f m ->成立的m 的取值范围是（ ）A ．{|22}m m m <->或B ．{|22}m m -<<C ．{|04}m m m <>或D ．{|04}m m <<12.在边长为4的正方形ABCD 中，动圆Q 的半径为1，圆心Q 在线段BC(含端点)上运动，P 是圆Q 上及内部的动点，设向量AD n AB m AP +=（R n m ∈,）,则n m +的取值范围是（ ）⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-422,421.A⎥⎦⎤⎢⎣⎡+422,43.B⎥⎦⎤⎢⎣⎡49,43.C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-49,421.D二、填空题 13．若1sin()63πθ-=，则2cos(2)3πθ+的值为____________ 14．若函数()2ln 2f x mx x x =+-在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是____________ ． 15．P 是ABC ∆所在平面上的一点，满足3=++，若6=∆ABC S ，则PBC ∆的面积为__ . 16.已知抛物线C:)0(22>=p px y 过点()2,1-，经过点F 的直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，A在x 轴上方，()0,1-Q ，若以QF 为直径的圆经过点B ，则BF AF -的值是__________.三、解答题17．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C 的极坐标方程为()2cos sin ρθθ=+．()1求C 的直角坐标方程；()2直线l：1212x t y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 为参数)与曲线C 交于A ，B 两点，与y 轴交于E ，求EA EB +的值．18．已知中心在原点，焦点在x ⎭. （I ）求椭圆方程（II ）设不过原点O 的直线l ：(0)y kx m k =+≠，与该椭圆交于P 、Q 两点，直线OP 、OQ 的斜率依次为1k 、2k ，满足124k k k =+，求2m 的值.19．已知函数()x f x xe =，()2(ln )g x a x x =+，a R ∈. （1）求()f x 单调区间；（2）若()()f x g x ≥在[1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围.20．西北某省会城市计划新修一座城市运动公园，设计平面如图所示：其为五边形ABCDE ，其中三角形区域ABE 为球类活动场所；四边形BCDE 为文艺活动场所，,,,,AB BC CD DE EA ，为运动小道（不考虑宽度）0120BCD CDE ∠=∠=，060BAE ∠=，226DE BC CD ===千米.（1）求小道BE 的长度；（2）求球类活动场所ABE ∆的面积最大值.21．平面上动点 到点 的距离比它到直线 的距离小 ．(Ⅰ) 求动点 的轨迹 的方程；（Ⅱ）过点 作直线与曲线 交于两点 ，与直线 交于点 ，求MB MA ⋅的最小值．22．设函数xe x xf 1)(-=的定义域为（0，∞+）. (Ⅰ)求函数)(x f 在)0](1,[>+m m m 上的最小值；(Ⅱ)设函数)(1)(x f x g =，如果21x x ≠，且)()(21x g x g =，证明：221>+x x .高三数学第11次周练理科数学参考答案整理人：赵永华一、选择题1．D 2．B 3．B 4．B 5．B 6．C 7．B 8．B 9．B 10．A 11．C 12．A 二、填空题 13．97-14．21≥m 15． 16. 4.三、解答题17.【答案】（Ⅰ） (x －1)2＋(y －1)2＝2． （Ⅱ）|EA|＋|EB|＝(2)将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，化简得t 2－t －1＝0， 点E 所对的参数t ＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝1，t 1t 2＝－1， 所以|EA |＋|EB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2|＝＝.18．（I ）椭圆的方程2214x y +=.（II ）由22{14y kx mx y =++=得222(41)8440k x kmx m +++-=， 1222122841{4441km x x k m x x k +=-+-=+， 设11(,)P x y ,Q 22(,)x y ,∴121212,y y k k x x ==，1212124y y k k k x x =+=+=122112y x y x x x +=1212122()kx x m x x x x ++=22221kmk m --，∴212m =. 19．（1）()()1xf x e x '=+，由()0f x '>得()1,x ∈-+∞，由()0f x '<得(),1x ∈-∞-，()f x ∴分别在区间()1,-+∞上单调递增.在区间(),1-∞上单调递减.（2）令()()()h x g x f x =- ()2xa lnx x xe =+-，[)1,x ∈+∞，则()()1211x h x a e x x ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭' ()21xa xex x-=+，由（1）知()x f x xe =在[)1,+∞上单调递增，x xe e ∴≥.①当2a e ≤，即2ea ≤时，20x a xe -≤. ()h x ∴在[)1,+∞上单调递减，()()12max h x h a e ==-，令()0max h x ≤，得2e a ≤， ②2a e >，即2e a >时，存在()01,x ∈+∞.使0020xa x e -=， 当()01,x x ∈时，()0h x >，当()0,x x ∈+∞时，()0h x <，()h x ∴在()01,x x ∈上单调递增，在()0,x x ∈+∞上单调递减. ()()()000002x max h x h x a lnx x x e ==+- ()222a ln a =- ，2ea >，2220ln a ∴->，()()00max h x h x ∴=≤不能恒成立. 综上：,2e a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦. 20．如解图所示，连接BD ， （1）在三角形BCD 中，32DEBC CD ===千米，0120BCD ∠=，由余弦定理得：2222?·cos 27BD BC CD BC CD BCD =+-∠=，所以BD =∵BC CD =，0120BCD ∠=，∴030CDB CBD ∠=∠=∵0120CDE ∠=，∴0001203090BDE CDE CDB ∠=∠-∠=-=在Rt BDE ∆中，BE ===（千米）∴小道BE 的长度为（2）如图所示，设ABE α∠=，∵060BAE ∠=， ∴000018018060120AEB BAE ααα∠=-∠-=--=-在三角形ABE中，由正弦定理可得：sin sin sin AB AE BE AEB ABE BAE ====∠∠∠∴()0120AB α=-，AE α=，∴01sin602ABE S AB AE ∆=⨯()01120sin 2αα=⨯-，()()001cos 120cos 1202αααα⎫⎡⎤=--+---⎬⎣⎦⎭()0cos 120224α=-+， ∵000120α<<，∴0001202120120α-<-<， 故当060α=时，ADE S ∆取得最大值，最大值为244=+=.∴球类活动场所ABE ∆平方千米. 21．（Ⅰ） （Ⅱ）试题解析：解： (Ⅰ)设动点 的坐标为 ，由题意知： ，且 ，、 ，化简得： ，即为动点 轨迹 的方程；（Ⅱ）设点 ，由题意直线 的斜率 存在且 ，设其方程为 ，则，得由，消去 得 ， 于是 恒成立，且 ， 又 ， 与方向相同，故MB MA =⋅ ，当且仅当时取等号，故MB MA ⋅的最小值为 ．22．试题解析：(Ⅰ)2')(xe xe xf x x -=，则1>x 时，0)('>x f ；10<<x 时，0)('<x f 。
2020届高三数学一轮复习 《二次函数的最值》学案
《二次函数的最值》学案课前准备【考纲要求】会求二次函数在闭区间上的最值．【知识梳理】二次函数在某一闭区间上的最值：首先将二次函数式化为h k x a y +-=2)(的形式．1．若顶点的横坐标在给定的区间上，则当0a >时，在顶点处取得 值，在离对称轴较远的端点处取得 值．当0a <时，在顶点处取得 值，在离对称轴较远的端点处取得 值．2．若顶点的横坐标不在给定的区间上，则当0a >时，在距离对称轴较近的端点处取得，在距离对称轴较远的端点处取得．当0a <时，在距离对称轴较近的端点处取得，在距离对称轴较远的端点处取得．1．最小，最大．最大，最小．2．最小值，最大值．最大值，最小值．【基础自测】1.函数243y x x =++在[1,0]-上的最小值是（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．3【答案】B2．当03x ≤≤时，二次函数2()43f x x x =-+的值域为（）A ．[(1),(0)]f fB ．[(2),(3)]f fC ．[(3),(0)]f fD ．[(2),(0)]f f【答案】D【解析】∵2()(2)1f x x =--，03x ≤≤，∴min ()(2)f x f =，max ()(0)f x f =．3．函数2()22f x x x =+-，[0,3]x ∈的值域是（ ）A ．(,3]-∞B ．[1,3]-C ．[2,3]-D ．(3,)-+∞【答案】B【解析】∵2()(1)3f x x =--+，[0,3]x ∈，∴min ()(3)1f x f ==-，max ()(1)3f x f ==．4．函数2()23f x x x =-+在[0,]m 上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是（ ）A ．[1,)+∞B ．[0,2]C ．(,2]-∞D ．[1,2]【答案】D【解析】∵22()23(1)2f x x x x =-+=-+，且(0)3,(1)2,(2)3f f f ===，∴由二次函数的图象可知，12m ≤≤．课堂互动【典例剖析】考点一 定区间定轴的最值求法【例1】如果函数2()(1)([,])f x x a x b x a b =+++∈的图象关于直线1x =对称，求函数()f x 的最大值和最小值．【解析】∵()f x 在[,]a b 上的图象关于直线1x =对称， ∴11212a ab +⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩解得35a b =-⎧⎨=⎩，∴2()25f x x x =-+，[3,5]x ∈-．∴22()25(1)4f x x x x =-+=-+.∵1[3,5]x =∈-，∴1x =时，min ()4f x =； max ()(3)(5)20f x f f =-==.【方法技巧】二次函数2()f x ax bx c =++在[]m n ,上的最值： (1)当[,]2b x m n a=-∈时，244ac b a -是它的一个最值，另一个最值在区间端点处取得． (2)当[,]2b x m n a=-∉时，最大值和最小值分别在区间的两个端点处取得．【变式】已知函数y =M ，最小值为m ，则m M的值为( ) A ．14 B ．12 C．2 D．2【答案】C【解析】函数的定义域是[3,1]-且0y ≥，∴24y =+4=+，∵[3,1]x ∈-，∴248y ≤≤，故2y ≤≤即2m =，M =2m M =. 考点二 动区间定轴的最值求法【例2】已知二次函数2()22f x x x =-+，在[,1]x t t ∈+上有最大值()g t ，求()g t 的解析式．【解析】∵2()22f x x x =-+，对称轴是1x =． 当2112t +≤，即12t ≤时，有2()()22g t f t t t ==-+， 当2112t +>，即12t >时，有2()(1)1g t f t t =+=+， ∴22122,2()11,.2t t t g t t t ⎧-+ , ≤⎪⎪=⎨⎪+ >⎪⎩ 【方法技巧】二次函数2()(0)f x ax bx c a =++>在区间[]m n ,上的最值的步骤：（1）求最大值时需分两类， 当22b m n x a +=-<时，max ()()f x f n =； 当22b m n x a +=-≥时，max ()()f x f m =． （2）求最小值时需分三类． 当2b x m a=-<时，min ()()f x f m =； 当[,]2b x m n a =-∈时，min ()()2b f x f a=-； 当2b x n a =->时，min ()()f x f n =．【变式】已知二次函数2()22f x x x =-+，在[,1]x t t ∈+上有最小值()t ϕ，求()t ϕ的解析式．【解析】当11t +<，即0t <时，2()(1)1t f t t ϕ=+=+，当11t t ≤≤+，即01t ≤≤时，()(1)1t f ϕ==，当1t >时，2()()22t f t t t ϕ==-+， ∴2210,()1,01,22 1.t t t t t t t ϕ⎧+, <⎪= ≤≤⎨⎪-+, >⎩考点三 定区间动轴的最值求法【例3】已知二次函数2()21f x x ax =---，当[0,2]x ∈上有最小值()g a ，求()g a 的解析式．【解析】∵22()()1f x x a a =-++-，对称轴是x a =-．当1a -≤，即1a ≥-时，()(2)54g a f a ==--，当1a ->，即1a <-时，()(0)1g a f ==-， ∴11,()54, 1.a g a a a - , <-⎧=⎨-- ≥-⎩【方法技巧】二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<在区间[]m n ,上的最值的步骤：（1）求最大值时需分三类， 当2b x m a=-<时，max ()()f x f m =； 当[,]2b x m n a =-∈时，max ()()2b f x f a=-； 当2b x n a =->时，max ()()f x f n =． （2）求最小值时需分两类， 当22b m n x a +=-<时，min ()()f x f n =； 当22b m n x a +=-≥时，min ()()f x f m =． 【变式】已知221y x ax a =-++-在[0,1]x ∈时有最大值2，求a 的值．【解析】二次函数的对称轴是x a =当0a <时，则0x =时，max 12y a =-=，解得1a =-．当01a ≤≤时，则x a =时，2max 12y a a =-+=，无解． 当1a >时，则1x =时，max 2y a ==，有2a =．综上可知，1a =-或2a =．【课后作业】1．二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，若1212()()()f x f x x x =≠，则12()f x x +=（ ）A ．2b a -B ．b a- C ．c D ．244ac b a - 【答案】C【解析】∵1212()()()f x f x x x =≠，∴()f x 的对称轴为 1222x x b x a+==-， ∴12()()b f x x f c a+=-=． 2．（2019云南质检）已知函数2()2f x x kx =--在区间(1,5)上既没有最大值也没有最小值，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[10,)+∞B ．(,2]-∞C ．(,2][10,)-∞+∞UD ．(,1][5,)-∞+∞U 【答案】C 【解析】由已知可得12k ≤或52k ≥，∴(,2][10,)k -∈∞+∞U ． 3．已知函数2()1f x x x a =++-在区间[0,1]上的最小值为0，则实数a 的值为（ ）A ．2-B ．2C ．1D ．1-【答案】C【解析】∵ 对称轴是12x =-，∴()f x 在]1,0[上单调递增， ∴min ()(0)10f x f a ==-=，解得1a =．4．函数2()23f x x x =-++，(1,2]x ∈-，下列说法正确的是（ ）A ．函数有最大值4，有最小值0B ．函数有最大值4，无最小值C ．函数有最大值3，有最小值0D ．函数有最大值4，有最小值3【答案】B【解析】22()23(1)4f x x x x =-++=--+，∵(1,2]x ∈-，∴()(0,4]f x ∈．5．若0,0x y ≥≥，且21x y +=，则223x y +的最小值是（ ）A ．2B ．34 C ．23 D ．0 【答案】B【解析】∵0,0x y ≥≥，且21x y +=，∴102y ≤≤， ∵22222233243()33x y y y y +=+-=-+， ∴当12y =时，223x y +取得最小值是34． 6．函数2845y x x =-+的最值为（ ） A ．最大值为8，最小值为0 B ．不存在最小值，最大值为8C ．最小值为0, 不存在最大值D ．不存在最小值，也不存在最大值【答案】B【解析】∵2245(2)11x x x -+=-+≥，∴08y <≤，故选B ．7．若函数2()f x x ax b =++在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M m -（ ）A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关【答案】B【解析】∵最值在(0)f b =，(1)1f a b =++， 2()24a a fb -=-中取得， ∴最值之差一定与b 无关，选B ．8．已知0x ≥，0y ≥，且1x y +=，则22x y +的取值范围是__________． 【答案】1[,1]2【解析】2222211(1)2()22x y x x x +=+-=-+， ∵[0,1]x ∈，∴当0x =或1时，取最大值1； 当12x =时，取最小值12；因此取值范围为1[,1]2． 9．已知函数2()68f x x x =-+，[1,]x a ∈,且函数()f x 的最小值为()f a ，则a 的取值范围是_______．【答案】(1,3]【解析】∵对称轴方程是3x =，∴()f x 在区间[1,3]上是减函数，∴(1,3]a ∈．10．已知函数2()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值．【解析】2()(1)1,[3,2]f x a x a x =++-∈-，若0,()1a f x ==，不符合题意．若0,a >则max ()(2)81f x f a ==+，由814a +=，得38a =． 若0a <时，则max ()(1)1f x f a =-=-，由14a -=，得3a =-． 综上可知：38a =或3a =-． 11．已知2()2f x ax x =-，[0,1]x ∈，求()f x 的最小值．【解析】（1）当0a =时，()2f x x =-在[0,1]上递减，∴min ()(1)2f x f ==-.(2)当0a >时，2()2f x ax x =-图象的开口方向向上， 且对称轴为1x a =. ①当101a<≤，即1a ≥时， ()f x 图象的对称轴在[0,1]内，∴()f x 在1[0,]a 上递减，在1[,1]a上递增． ∴min 11()()f x f a a==-. ②当11a>，即01a <<时， ()f x 图象的对称轴在[0,1]的右侧，∴()f x 在[0,1]上递减．min ()(1)2f x f a ==-.(3)当0a <时，2()2f x ax x =-的图象的开口方向向下， 且对称轴10x a=<，在y 轴的左侧， ∴2()2f x ax x =-在[0,1]上递减．∴min ()(1)2f x f a ==-． 综上所述，min 2,1,()1, 1.a a f x a a-<⎧⎪=⎨- ≥⎪⎩。
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2020届高三数学一轮基础训练（11）班级______ 姓名_________ 学号_______ 得分_______一、填空题〔每题5分，共70分〕1、集合{}(1)0P x x x =-≥，Q ={})1ln(|-=x y x ，那么P Q = .2、假设复数21(1)z a a i =-++(a R ∈)是纯虚数，那么z = .3、双曲线的中心在坐标原点,一个焦点为(10,0)F ,两条渐近线的方程为43y x =±,那么该双曲线的标准方程为 .4、在等比数列｛n a ｝中,假设7944,1a a a ⋅==,那么12a 的值是 .5、在用二分法．．．求方程3210x x --=的一个近似解时,现在差不多将一根锁定在区间(1,2)内,那么下一步可确信该根所在的区间为 . 〔讲明:写成闭区间也算对〕6、向量))(sin 2,cos 2(),1,1(),1,1(R ∈=-==ααα，实数,m n 满足,ma nb c +=那么22(3)m n -+的最大值为 .7、关于滿足40≤≤a 实数a ,使342-+>+a x ax x 恒成立的x 取值范畴_ _8、扇形OAB 半径为2，圆心角∠AOB ＝60°，点D 是弧AB 的中点，点C 在线段OA 上，且3=OC ．那么OB CD ⋅的值为9、函数x x f 2sin )(=，)62cos()(π+=x x g ，直线x ＝t 〔t ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π〕与函数f (x )、g (x )的图像分不交于M 、N 两点，那么|MN|的最大值是 ．10、关于任意实数x ，符号[x ]表示x 的整数部分，即〝[x ]是不超过x 的最大整数〞 ．在实数轴R 〔箭头向右〕上[x ]是在点x 左侧的第一个整数点，当x 是整数时[x ]确实是x ．那个函数[x ]叫做〝取整函数〞，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用．那么]1024[log ]4[log ]3[log ]2[log ]1[log 22222+++++ =_________ .11、方程θθcos 2sin =在[)π2,0上的根的个数12、假设数列{}n a 的通项公式为)(524525122+--∈⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯-⎪⎭⎫⎝⎛⨯=N n a n n n ，{}n a 的最大值为第x 项，最小项为第y 项，那么x+y 等于13、假设定义在R 上的减函数()y f x =,关于任意的,x y R ∈,不等式22(2)(2)f x x f y y -≤--成立；且函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，那么当 14x ≤≤时,yx的取值范畴 .14、函数()f x 满足()12f =，()()()111f x f x f x ++=-，那么()()()()1232009f f f f ⋅⋅⋅⋅的值为 .二、解答题〔共90分，写出详细的解题步骤〕 15．〔本小题总分值14分〕求通过直线17810l x y --=：和221790l x y ++=：的交点，且垂直于直线270x y -+=的直线方程16．〔本小题总分值14分〕在△ABC 中，a 、b 、c 分不是角A 、B 、C 的对边，假设.3))((bc a c b c b a =-+++〔1〕求角A 的值；〔2〕在〔1〕的结论下，假设02x π≤≤,求2cos sin sin 2y x A x =+⋅的最值.17．〔本小题总分值14分〕在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分不为a 、b 、c ，且满足〔2a －c 〕cosB=bcosC. 〔1〕求角B 的大小；〔2〕设()()()2411m sin A,cos A ,n k,k ,m n ==>⋅且的最大值是5，求k 的值.18．〔本小题总分值16分〕为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架，三角形支架形状如图，要求060=∠ACB ，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0 5米 为了广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，求AC 最短为多少米？且当AC 最短时，BC 长度为多少米？19．〔本小题总分值16分〕数列2}{1=a a n 中，前n 项的和为S n ，且4tS n+1t S t n 8)83(=+-，其中*,3N n t ∈-<；〔1〕证明数列}{n a 为等比数列；〔2〕判定}{n a 的单调性，并证明AB20．〔此题总分值16分〕函数()(,,22R x x x x f ∈-=且)2≠x 〔1〕求()x f 的单调区间；〔2〕假设函数()ax x x g 22-=与函数()x f 在[]1,0∈x 时有相同的值域，求a 的值；〔3〕设1≥a ，函数()[]1,0,5323∈+-=x a x a x x h ，假设关于任意[]1,01∈x ，总存在[]1,00∈x ，使得()()10x f x h = 成立，求a 的取值范畴参考答案： 1、()1,+∞ 2、23、2213664x y -= 4、45、3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭〔讲明:写成闭区间也算对〕 6、167、),3()1,(+∞⋃--∞ 8、3 9、3 10、8204 11、2 12、3 13、1[,1]2- 14、215．解：由方程组217907810x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得11271327x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，因此交点坐标为11132727--（，）. ……………7分 又因为直线斜率为12k =-， 因此求得直线方程为27x +54y +37=0 ………………14分16．解:〔1〕,cos 2,32)(22222bc A bc bc a c bc b a c b ==-++=-+因此3,21cos π==A A ………………7分 〔2〕)62sin(212sin 232cos 21212sin sin 22cos 1π++=++=++=x x x x A x y ……10分 因为,1)62sin(21,67626,20,20≤+≤-≤+≤≤≤≤≤ππππππx x x x ……12分 因此,,23)62sin(210≤++≤πx 即23,0max min ==y y ……………14分17．解：〔1〕∵(2a －c )cos B =b cos C ，∴〔2sin A －sin C 〕cos B =sin B cos C . 即2sin A cos B =sin B cos C +sin C cos B =sin(B +C ) ………………5分∵A +B +C =π，∴2sin A cos B =sin A ∵0<A <π,∴sin A ≠0.∴cos B =21 ∵0<B <π，∴B =3π………………7分 〔2〕m n ⋅=4k sin A +cos2A =－2sin 2A +4k sin A +1，A ∈〔0，322〕………………10分 设sin A =t ，那么t ∈]1,0(.那么m n ⋅=－2t 2+4kt +1=－2(t －k )2+1+2k 2,t ∈]1,0( ∵k >1，∴t =1时，m n ⋅取最大值.依题意得，－2+4k +1=5，∴k =23………………14分18．解：设BC 的长度为x 米，AC 的长度为y 米，那么AB 的长度 为〔y －0 5〕米 在△ABC 中，依余弦定理得：ACB BC AC BC AC AB ∠•-+=cos 2222 -------〔4分〕即212)5.0(222⨯-+=-yx x y y ，化简，得41)1(2-=-x x y ∵1>x ，∴01>-x 因此1412--=x x y -----------〔8分〕 方法一：232)1(43)1(1412+≥+-+-=--=x x x x y -------------- 〔12分〕当且仅当)1(431-=-x x 时，取〝=〞号，即231+=x 时，y 有最小值32+ ----〔16分〕方法二：2222/)1(412)1()41()1(2-+-=----=x x x x x x x y x ------------〔10分〕 解⎪⎩⎪⎨⎧=+->041212x x x ，得231+=x ------------------〔13分〕 ∵当2311+<<x 时，0/<x y ；当231+>x 时，0/>x y∴当231+=x 时，y 有最小值32+ ----------〔16分〕19．解〔1〕证明：∵ t S t tS n n 8)83(41=+-+ ① 当n=1时，4t 〔a 1+a 2〕－〔3t+8〕a 1=8t 而a 1=2 tta 2382+=⇒…………………… 2分 又∵t S t tS n n 8)83(41=+-- ②〔n≥2〕 由①②得0)83(41=+-+n n a t ta 即)3,2(4831-<∴≥+=+t n tt a a n n ………………… 4分 而tta a t t 438048312+=≠+又 ∴{a n }是等比数列………………………………………8分 〔2〕∵a n =2〔)3(0)4831-<>+-t tt n t t t a a n n 2434831+=+=+ ………………… 12分 ∵t ＜－3 ∴)43,121(1∈+n n a a …………………………………………… 14分那么n n nn a a a a <⇔<++111∴{a n }为递减数列…………………………………… 16分20．解: 〔1〕()()[]()4242222222+-+-=-+-=-=x x x x x x x f ， 易得()x f 的单调递增区间为()(),04,-∞+∞，；单调递减区间为()()0,22,4，。
…5分 〔2〕∵()x f 在[]1,0∈x 上单调递减，∴其值域为[]0,1-，即[]1,0∈x ，()[]0,1-∈x g 。
∵()00=g 为最大值，∴最小值只能为()1g 或()a g ，假设()1g 112111=⇒⎩⎨⎧-=-≥⇒-=a a a ；假设()a g 1112112=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=-≤≤⇒-=a a a 。
综上得1=a ； ……………10分〔3〕设()x h 的值域为A ,由题意知，[]0,1-⊆A 。
以下先证()x h 的单调性：设1021≤<≤x x ，∵()()()()()033222212121212323121>-++-=---=-a x x x x x x x x a x x x h x h ，〔1≥a 332≥⇒a ，3222121<++x x x x 〕，∴()x h 在[]1,0上单调递减。