概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第三章习题参考答案汇编
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第三章 多维随机变量及其分布
习题 3.1
1． 100 件商品中有 50 件一等品、30 件二等品、20 件三等品．从中任取 5 件，以 X、Y 分别表示取出的 5 件中一等品、二等品的件数，在以下情况下求 (X, Y ) 的联合分布列． （1）不放回抽取；（2）有放回抽取．
解：（1）(X, Y )服从多维超几何分布，X, Y 的全部可能取值分别为 0, 1, 2, 3, 4, 5，
1
0.0019 0.0227 0.0927 0.1562 0.0918
0
2
0.0066 0.0549 0.1416 0.1132
0 0
3
0.0102 0.0539 0.0661
0 0 0
4
0.0073 0.0182
0 0 0 0
5
0.0019 0 0 0 0 0
（2）(X, Y )服从多项分布，X, Y 的全部可能取值分别为 0, 1, 2, 3, 4, 5，
且 P{X = i, Y = j} =
5!
× 0.5i × 0.3 j × 0.25−i− j ,
i!⋅ j!⋅ (5 − i − j)!
i = 0, 1, 2, 3, 4, 5; j = 0, L, 5 − i ，
故 (X, Y ) 的联合分布列为
Y X
0 1 2 3 4 5
0
0.00032 0.004 0.02 0.05 0.0625 0.03125
X2 −1 0
X1
−1
0
1
pi⋅
0 0.25
0
0.5
1
0
0 0.25
p⋅ j 0.25 0.5 0.25
X2 −1 0 X1
1
pi⋅
−1
0 0.25 0 0.25
0 0.25 0 0.25 0.5
1
0 0.25 0 0.25
p⋅ j 0.25 0.5 0.25
故 P{X1 = X2} = P{X1 = −1, X2 = −1} + P{X1 = 0, X2 = 0} + P{X1 = 1, X2 = 1} = 0． 5． 设随机变量 (X, Y ) 的联合密度函数为
解： P{X
= Y} = P{X
= 1, Y = 1} + P{X
=
2, Y
=
2}
=
⎜⎜⎝⎛ 13 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
2 1
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
2 2
⎟⎟⎠⎞
+
⎜⎜⎝⎛
23⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ 22⎟⎟⎠⎞
=
6
+
3
=
9
．
⎜⎜⎝⎛ 74⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝⎛
7 4
⎟⎟⎠⎞
35 35 35
3． 口袋中有 5 个白球、8 个黑球，从中不放回地一个接一个取出 3 个．如果第 i 次取出的是白球，则令 Xi = 1，否则令 Xi = 0，i = 1, 2, 3．求：
=
(0, 1,
0)}
=
8 13
⋅5 12
⋅
7 11
=
70 429
，
P{( X1,
X2,
X3)
=
(1,
0,
0)}
=
5 13
⋅8 12
⋅7 11
=
70 429
，
P{( X1,
X2,
X3)
=
(0, 1, 1)}
=
8 13
⋅5 12
⋅4 11
=
40 429
，
P{( X1,
X2,
X3)
=
(1,
0, 1)}
=
5 13
1
（1）(X1, X2, X3)的联合分布列； （2）(X1, X2)的联合分布列．
解：（1）
P{( X1,
X2,
X3)
=
(0,
0,
0)}
=
8 13
⋅7 12
⋅6 11
=
28 143
，
P{( X1,
X2,
X3)
=
(0,
0, 1)}
=
8 13
⋅7 12
⋅5 11
=
70 429
，
P{( X1,
X2,
X3)
⋅8 12
⋅4 11
=
40 429
，
P{( X1,
X2,
X3)
=
(1, 1,
0)}
=
5 13
⋅4 12
⋅8 11
=
40 429
，
P{( X1,
X2,
X3)
=
(1, 1, 1)}
=
5 13
⋅4 12
⋅3 11
=
5 143
；
（2）
P{( X1,
X2)
=
(0,
0)}
=
8 13
⋅7 12
=
14 39
，
P{( X1,
且
P{X
=
i, Y
=
j} =
⎜⎜⎝⎛
50 i
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
3j0 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
5
20 −i−
j ⎟⎟⎠⎞
,
⎜⎜⎝⎛1050 ⎟⎟⎠⎞
i = 0, 1, 2, 3, 4, 5; j = 0, L, 5 − i ，
故 (X, Y ) 的联合分布列为
Y X
0 1 2 3 4 5
0
0.0002 0.0032 0.0185 0.0495 0.0612 0.0281
1
0.0024 0.024 0.09 0.15 0.09375
0
2
0.0072 0.054 0.135 0.1125
0 0
3
0.0108 0.054 0.0675
0 0 0
4
0.0081 0.02025
0 0 0 0
5
0.00243 0 0 0 0 0
2． 盒子里装有 3 个黑球、2 个红球、2 个白球，从中任取 4 个，以 X 表示取到黑球的个数，以 Y 表示取 到红球的个数，试求 P{X = Y }．
X2)
=
(0, 1)}
=
8 13
⋅5 12
=
10 39
，
P{(
X1,
X
2
)
=
(1,
0)}
=
5 13
⋅
8 12
=
10 39
，
P{( X1,
X
2
)
=
(1,
1)}
=
5 13
⋅4 12
=
5 39
．
X2
0
1
X1
0 14 / 39 10 / 39
1 10 / 39 5 / 39
4． 设随机变量 Xi , i =1, 2 的分布列如下，且满足 P{X1X2 = 0} = 1，试求 P{X1 = X2}．
4
0
x 2
∫ ∫ ∫ ∫ 2 dx
0
4
k(6 − x − y)dy =
2
2 0
dx
⋅
k
⎜⎜⎝⎛
6
y
−
xy
−
y2 2
⎟⎟⎠⎞
2
=
2 k(6 − 2x)dx =Fra Baidu bibliotekk(6x − x 2 ) 2
0
0
= 8k = 1，
2
故k =1； 8
3
∫ ∫ ∫ （2） P{X
< 1, Y < 3} =
p(x,
y)
=
⎧k (6 ⎩⎨0,
−
x
−
y),
0 < x < 2, 2 < y < 4, 其他.
试求
（1）常数 k；
（2）P{X < 1, Y < 3}；
y
（3）P{X < 1.5}；
4
（4）P{X + Y ≤ 4}．
2
∫ ∫ 解：（1）由正则性： +∞ +∞ p(x, y)dxdy = 1 ，得 −∞ −∞
Xi −1 0 1 P 0.25 0.5 0.25
解：因 P{X1 X2 = 0} = 1，有 P{X1 X2 ≠ 0} = 0， 即 P{X1 = −1, X2 = −1} = P{X1 = −1, X2 = 1} = P{X1 = 1, X2 = −1} = P{X1 = 1, X2 = 1} = 0，分布列为
习题 3.1
1． 100 件商品中有 50 件一等品、30 件二等品、20 件三等品．从中任取 5 件，以 X、Y 分别表示取出的 5 件中一等品、二等品的件数，在以下情况下求 (X, Y ) 的联合分布列． （1）不放回抽取；（2）有放回抽取．
解：（1）(X, Y )服从多维超几何分布，X, Y 的全部可能取值分别为 0, 1, 2, 3, 4, 5，
1
0.0019 0.0227 0.0927 0.1562 0.0918
0
2
0.0066 0.0549 0.1416 0.1132
0 0
3
0.0102 0.0539 0.0661
0 0 0
4
0.0073 0.0182
0 0 0 0
5
0.0019 0 0 0 0 0
（2）(X, Y )服从多项分布，X, Y 的全部可能取值分别为 0, 1, 2, 3, 4, 5，
且 P{X = i, Y = j} =
5!
× 0.5i × 0.3 j × 0.25−i− j ,
i!⋅ j!⋅ (5 − i − j)!
i = 0, 1, 2, 3, 4, 5; j = 0, L, 5 − i ，
故 (X, Y ) 的联合分布列为
Y X
0 1 2 3 4 5
0
0.00032 0.004 0.02 0.05 0.0625 0.03125
X2 −1 0
X1
−1
0
1
pi⋅
0 0.25
0
0.5
1
0
0 0.25
p⋅ j 0.25 0.5 0.25
X2 −1 0 X1
1
pi⋅
−1
0 0.25 0 0.25
0 0.25 0 0.25 0.5
1
0 0.25 0 0.25
p⋅ j 0.25 0.5 0.25
故 P{X1 = X2} = P{X1 = −1, X2 = −1} + P{X1 = 0, X2 = 0} + P{X1 = 1, X2 = 1} = 0． 5． 设随机变量 (X, Y ) 的联合密度函数为
解： P{X
= Y} = P{X
= 1, Y = 1} + P{X
=
2, Y
=
2}
=
⎜⎜⎝⎛ 13 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
2 1
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
2 2
⎟⎟⎠⎞
+
⎜⎜⎝⎛
23⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛ 22⎟⎟⎠⎞
=
6
+
3
=
9
．
⎜⎜⎝⎛ 74⎟⎟⎠⎞
⎜⎜⎝⎛
7 4
⎟⎟⎠⎞
35 35 35
3． 口袋中有 5 个白球、8 个黑球，从中不放回地一个接一个取出 3 个．如果第 i 次取出的是白球，则令 Xi = 1，否则令 Xi = 0，i = 1, 2, 3．求：
=
(0, 1,
0)}
=
8 13
⋅5 12
⋅
7 11
=
70 429
，
P{( X1,
X2,
X3)
=
(1,
0,
0)}
=
5 13
⋅8 12
⋅7 11
=
70 429
，
P{( X1,
X2,
X3)
=
(0, 1, 1)}
=
8 13
⋅5 12
⋅4 11
=
40 429
，
P{( X1,
X2,
X3)
=
(1,
0, 1)}
=
5 13
1
（1）(X1, X2, X3)的联合分布列； （2）(X1, X2)的联合分布列．
解：（1）
P{( X1,
X2,
X3)
=
(0,
0,
0)}
=
8 13
⋅7 12
⋅6 11
=
28 143
，
P{( X1,
X2,
X3)
=
(0,
0, 1)}
=
8 13
⋅7 12
⋅5 11
=
70 429
，
P{( X1,
X2,
X3)
⋅8 12
⋅4 11
=
40 429
，
P{( X1,
X2,
X3)
=
(1, 1,
0)}
=
5 13
⋅4 12
⋅8 11
=
40 429
，
P{( X1,
X2,
X3)
=
(1, 1, 1)}
=
5 13
⋅4 12
⋅3 11
=
5 143
；
（2）
P{( X1,
X2)
=
(0,
0)}
=
8 13
⋅7 12
=
14 39
，
P{( X1,
且
P{X
=
i, Y
=
j} =
⎜⎜⎝⎛
50 i
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
3j0 ⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛
5
20 −i−
j ⎟⎟⎠⎞
,
⎜⎜⎝⎛1050 ⎟⎟⎠⎞
i = 0, 1, 2, 3, 4, 5; j = 0, L, 5 − i ，
故 (X, Y ) 的联合分布列为
Y X
0 1 2 3 4 5
0
0.0002 0.0032 0.0185 0.0495 0.0612 0.0281
1
0.0024 0.024 0.09 0.15 0.09375
0
2
0.0072 0.054 0.135 0.1125
0 0
3
0.0108 0.054 0.0675
0 0 0
4
0.0081 0.02025
0 0 0 0
5
0.00243 0 0 0 0 0
2． 盒子里装有 3 个黑球、2 个红球、2 个白球，从中任取 4 个，以 X 表示取到黑球的个数，以 Y 表示取 到红球的个数，试求 P{X = Y }．
X2)
=
(0, 1)}
=
8 13
⋅5 12
=
10 39
，
P{(
X1,
X
2
)
=
(1,
0)}
=
5 13
⋅
8 12
=
10 39
，
P{( X1,
X
2
)
=
(1,
1)}
=
5 13
⋅4 12
=
5 39
．
X2
0
1
X1
0 14 / 39 10 / 39
1 10 / 39 5 / 39
4． 设随机变量 Xi , i =1, 2 的分布列如下，且满足 P{X1X2 = 0} = 1，试求 P{X1 = X2}．
4
0
x 2
∫ ∫ ∫ ∫ 2 dx
0
4
k(6 − x − y)dy =
2
2 0
dx
⋅
k
⎜⎜⎝⎛
6
y
−
xy
−
y2 2
⎟⎟⎠⎞
2
=
2 k(6 − 2x)dx =Fra Baidu bibliotekk(6x − x 2 ) 2
0
0
= 8k = 1，
2
故k =1； 8
3
∫ ∫ ∫ （2） P{X
< 1, Y < 3} =
p(x,
y)
=
⎧k (6 ⎩⎨0,
−
x
−
y),
0 < x < 2, 2 < y < 4, 其他.
试求
（1）常数 k；
（2）P{X < 1, Y < 3}；
y
（3）P{X < 1.5}；
4
（4）P{X + Y ≤ 4}．
2
∫ ∫ 解：（1）由正则性： +∞ +∞ p(x, y)dxdy = 1 ，得 −∞ −∞
Xi −1 0 1 P 0.25 0.5 0.25
解：因 P{X1 X2 = 0} = 1，有 P{X1 X2 ≠ 0} = 0， 即 P{X1 = −1, X2 = −1} = P{X1 = −1, X2 = 1} = P{X1 = 1, X2 = −1} = P{X1 = 1, X2 = 1} = 0，分布列为