浅议插值逼近方法及其发展

浅议插值逼近方法及其发展

摘要:本文探讨了数值分析中插值逼近方法的发展历程,详细介绍了几种插值逼近方法的特征,并运用自然辩证法基本理论分析了其发展的历史、现状,揭示了科学理论发展的共性问题,以此来指导我们在今后改进并构造新的插值逼近方法发展方向。

关键字:计算数学插值误差

引言

计算机的问世在全球范围内引发了一场信息风暴,信息技术几乎触及了现代生活的方方面面,计算数学的发展也受到了其很大的影响,函数曲线、曲面的插值逼近方法在其中有着重要的地位,正确认识其产生和发展,显的尤为重要。以自然辩证法的观点认识分析插值逼近方法的发展历程,将有助于全面地推动数值计算方法的发展,有助于准确把握其发展趋势。

1插值逼近方法

随着科学发展数学理论应用已渗透到各个领域。插值逼近方法是数值计算的方法[1],是建立在数学理论的基础上的方法,给定一组有序的数据点,构造函数曲线通过这些给定得数据点,这些点可以是从某个形状上测量得到的,也可以是设计人员给定的,称为对这些数据点进行插值。如果不要求严格通过给定的一组数据点,只要求所构造的函数曲线在某种意义下最接近这些数据点,称为对这些数据点进行逼近,所构造函数曲线称为逼近曲线.

2自然辩证法

自然辩证法是马克思主义对于自然界和科学技术发展的一般规律以及人类认识自然改造自然的一般方法的科学,是辩证唯物主义的自然观、科学技术观、科学技术方法论。学习和运用自然辩证法将有助于我们搞清科学和哲学的关系,从而更加清楚地认识科学的本质和发展规律,更加全面的观察思考问题,以自然辩证法的观点来分析计算数学中插值逼近方法的发展。

3插值逼近方法的发展

插值逼近方法是不断发展变化的,其发展的根本动力来自以下几个方面:⑴理论内部的矛盾;⑵实践与理论的矛盾;⑶理论之间的矛盾;⑷主观与客观的矛盾。最初研究插值逼近理论[1]时,用到拉格朗日插值方法,但在增加插值点时,前面运算的值不能用到新的运算。于是拉格朗日方法就需要发展改进,在这样的情况下,牛顿插值公式诞生了。在增加数据点时,牛顿插值方法利用前面的计算结果,通过差商概念的提出和利用,这个方法更有利于计算编程,在本质上以上两种方法的理论依据是一样的,他们的误差大小是一样的,可是牛顿插值提出了差商的概念,通过差商把连续曲线函数离散化,可一直利用离散数据计算,这有利于计算编程,实际生活中的函数大多是以数据形式出现的,由于随着实际计算的要求,需要提高函数曲线的误差精度,按照以前拉格朗日与牛顿插值方法所用的泰勒公式及线性代数等理论,需要提高插值多项式的次数,可当用拉格朗日和牛顿插值方法计算时,著名科学家龙格找到了一个特例函数,发现与推理的结果相反,次数增加,在插值区间内误差并没有减少,局部误差增大很多倍,更不稳定。这一特例的出现引发了数学理论的发展,需要用新的理论来解释这一现象,并构造出更好的方法来解决问题。于是提出了分段低次插值方法,这种方法用多项式来做插值基函数,把整个插值区间分段,在每一段上用较低次数的多项式进行插值,这样就保证了曲线的稳定性,并提高了误差的精度。同时还进一步考虑到了不但曲线本身,而且其切线方向也应与已知方向相同,就构造出了埃尔米特插值方法。

4插值逼近方法的最近发展

传统的船舶、汽车和飞机的模线都是借助于样条手工绘制的。样条,即富有弹性的均质系木条、金属条或有机玻璃条。它围绕固定位置的重物或压铁作弹性弯曲,以获得所需曲线。如图1所示:

应用物理样条所产生的曲线总是光滑的,如果我们把样条看成弹性细梁,压铁看成作用在这个梁的某些点上的集中载荷,那就把上述画模线的过程在力学上抽象为:求弹性细梁在放置压铁点的集中载荷作用下产生的弯曲变形。切出两相邻压铁之间的一段来看,只在该段梁的两端有集中支撑反力作用,因此在这段梁的弯距是梁长度方向的线性函数。并且它符合在固定点插值,利用它的启发及以前的多项式插值理论和线性递推理论,就构造出了分段三次样条插值,它是特殊得样条函数,不但能够光滑插值,误差小;而且在一定意义下最佳逼近插值点。到了二十世纪六、七十年代,美国科学家找出了样条函数的普遍特征,提出并建立更一般的样条函数理论,这就出现了B样条、贝齐尔曲线这些特殊并适用的插值逼近方法,贝齐尔方法是1962年由法国雷诺汽车公司的工程师贝齐尔提出的,经过多年研究在1972年建立了一种自由曲线曲面的设计系统——UNISURF系统。这种方法一经问世,立即就得到了各大飞机公司的重视,并尽快得到了发展和应用。这些方法都是尽量提高误差精度,与此同时保持了曲线函数的稳定性。解决了以前用的拉格朗日插值和牛顿插值的缺陷,有对称性、保凸性等优良的逼近性质。B样条由舍恩伯格提出,1972年德布尔与考克思分别独立给出了关于B样条的标准算法。戈登又把B样条理论应用于形状描述,最终提出了B样条方法。这种方法继承了贝

齐尔曲线的一切优点,克服了贝齐尔曲线存在的缺点,较成功地解决了局部控制问题和连接问题。采用样条函数插值,达到了给定数据点的插值的目的,在某种意义下函数曲线最佳逼近给定数据点,并且有利于计算编程,因为它满足递推法则,可用于计算。能够把数学理论更好地用到解决实际问题。

5插值方法的发展趋势

随着计算机技术及硬件设施的不断发展,计算机语言的演化从最开始的机器语言到汇编语言,最后到支持面向对象技术的面向对象语言。这就要求提供的计算方法也不断发展。同时在实践也给旧的插值逼近方法不断提出问题,这就要求新的插值逼近方法要更复杂,误差精度更高,同时解决更多方面的问题。插值逼近方法的发展也需要新的理论指导。自然辩证法的科学理论中提到科学“范式”概括了插值逼近法得法的发展过程,辩证唯物主义自然观、自然科学发展过程及其规律,分析与综合、归纳法与演绎法、想象和类比等科学逻辑思维方法的应用都在插值逼近理论的发展过程中起到了重要作用。

6结语

用科学的逻辑思维方法认识事物才会清楚的了解其过去、现在和未来,计算数学中的插值逼近方法发展同样遵循着科学技术、科学理论发展的一般规律,以自然辩证法的观点来分析它,有助于我们更加深入地认识插值逼近以及整个数值计算方法发展的历史、现状和趋势。插值逼近方法及数学理论的进一步发展也必将为自然辩证法的发展提供基础。

参考文献:

[1]莫蓉,吴英,常智勇.计算机辅助几何造型技术[M].2005年,北京:科学出版社.

[2]黄顺基,陈其荣,曾国屏.自然辩证法概论[M].2004年,北京:高等教育出版社.

[3]黄铎,陈兰平,王风.数值分析[M].2004年,北京:科学出版社.

[4]曾国屏.当代自然辩证法[M].北京:清华大学出版社.