人大附中2020届高三数学4月考试题(word版)
北京市中国人民大学附属中学2020届高三数学4月考参考答案及评分标准
人大附中2019~2020 学年度高三4 月质量检测试题
数学参考答案及评分标准
一、选择题（本大题共10 个小题，每小题 4 分，共40 分．）
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共30 分）
注：①13题其他合理答案也给分，如：从 2 月10 日开始两个省的新增人数都在下降；2 月10 日两个省的新增人数在一周内都达到了最大值；等等。
要求至少有一个数据信息能涉及到平均数或方差，并且给出的两个数据信息都是正确，才给满分5 分；若两个结论都没有涉及到平均数或方差，两个数据信息都正确也要扣2 分。
②14题第一个空 2 分，第二个空3 分
三、解答题（本大题共 6 小题，满分85 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明）
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2020年北京市人大附中高考数学模拟试卷(4月份) (含答案解析)
2020年北京市人大附中高考数学模拟试卷(4月份)一、单项选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.已知集合A={2,3，5，7，11}，B={x|x2>9}，则A∩B=()A. {3,5，7，11}B. {7,11}C. {11}D. {5,7，11}2.若复数(a+1)+(a2−1)i(a∈R)是实数，则a=()A. −1B. 1C. ±1D. 不存在3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是()A. y=1x B. y=(12)xC. y=|x|D. y=−x34.等差数列{a n}中，a2+a5+a8=12，则前9项和S9=()A. 18B. 24C. 36D. 485.在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P(3,4)，则sinα=()A. −45B. −35C. 35D. 456.已知实数a<b，那么()A. a−b<0B. a−b>0C. a2<b2D. 1a <1b7.某几何体的三视图如图所示，记A为此几何体所有棱的长度构成的集合，则()A. 3∈AB. 5∈AC. 2√6∈AD. 4√3∈A8.已知F是抛物线C：y=2x2的焦点，点P(x,y)在抛物线C上，且x=1，则|PF|=()A. 98B. 32C. 178D. 529.函数f(x)=1x+ln|x|的图象大致为()A. B. C. D.10. 方程|lgx|+x −3=0实数解的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共5小题，共25.0分）11. 已知(2+ax)(1+x)5的展开式中x 2的系数为15，则展开式中所有项的系数和为________．12. 已知向量a ⃗ =(2,2)，b ⃗ =(−3,4)，则a ⃗ ⋅b ⃗ = ______ ．13. 一个容量为20的样本数据，已知分组与频数分别如下：[10,20)，2个；[20,30)，3个；[30,40)，4个；[40,50)，5个；[50,60)，4个；[60,70]，2个．则样本在[10,50)上的频率是__________．14. 函数f (x )=sin (12x +π3)在[−π,π2]上的单调递增区间为___________．15. 已知|cos θ|=15，5π2<θ<3π，那么sin θ2=____. 三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(ω>0,A >0,|φ|<π2)的图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数y=f(x)在[−π4,π6]上的值域．17.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD//BC，∠ABC=∠PAD=90°，侧面PAD⊥底面ABCD.若PA=AB=BC=12AD．(Ⅰ)求证：CD⊥平面PAC；(Ⅱ)侧棱PA上是否存在点E，使得BE//平面PCD？若存在，指出点E的位置并证明，若不存在，请说明理由；(Ⅲ)求二面角A−PD−C的余弦值．18.某快递公司(为企业服务)准备在两种员工付酬方式中选择一种，现邀请甲、乙两人试行10天．两种方案如下：甲无保底工资，送出50件以内(含50件)，每件支付3元，超出50件的部分每件支付5元；乙每天保底工资50元，且每出送一件再支付2元．分别记录其10天的件数，得到如下茎叶图：若将频率视作概率，回答以下问题：(1)记甲的日工资额为X(单位：元)，求X的分布列和数学期望；(2)如果仅从日工资额的角度考虑，请利用所学的统计学知识为快递公司在两种付酬方式中作出选择，并说明理由．+ln x−1．19.已知a∈R，函数f(x)=ax(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(2)求f(x)在区间(0,e]上的最小值．20.椭圆C：x24+y2=1的右顶点和上顶点分别为A、B，斜率为12的直线l与椭圆C交于P、Q两点(点P在第一象限)．(Ⅰ)求证：直线AP、BQ的斜率之和为定值；(Ⅱ)求四边形APBQ面积的取值范围．21.设k为正整数，若数列{a n}满足a1=1，且(a n+1−a n)2=(n+1)k，则称数列{a n}为“k次方数列”．(1)设数列{a n}为“2次方数列”，且数列{a nn}为等差数列，求数列{a n}的通项公式;(2)设数列{a n}为“4次方数列”，且存在正整数m满足a m=15，求m的最小值．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查交集的求法，是基础题．求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ．解：∵集合A ={2,3，5，7，11}，B ={x|x 2>9}={x|x <−3或x >3}，∴A ∩B ={5,7，11}．故选：D ．2.答案：C解析：本题考查复数的概念.根据复数是实数，可知a 2−1=0，由此可得a 的值．解：∵复数(a +1)+(a 2−1)i(a ∈R)是实数，∴a 2−1=0，解得a =±1．故选C ．3.答案：D解析：本题考查函数的奇偶性及单调性，属于基础题．分别判断各选项函数的奇偶性、单调性即可．解：A.y =1x 是奇函数，在区间(−∞,0)和(0,+∞)上单调递减，但是在定义域内不是减函数，不符合题意；B .y =(12)x 是非奇非偶函数，不符合题意；C .y =|x| 是偶函数，不符合题意；D .y =−x 3是奇函数，且在定义域R 上单调递减，符合题意．故选D ．解析：解：在等差数列{a n}中，∵a2+a5+a8=12，由等差数列的性质得：a5=13(a2+a5+a8)=4，∴前9项和为：S9=(a1+a9)×92=9×a5=36．故选：C．根据等差数列的性质求出a5的值，再根据前n项和公式求出S9即可．本题考查了等差数列的性质与前n项和公式的运用，是基础题目．5.答案：D解析：本题考查任意角的三角函数，属于基础题．直接根据三角函数的定义，即可求得结果．解：∵角α的终边过点P(3,4)，则|OP|=√32+42=5，，故选D．6.答案：A解析：本题主要考查了不等式的比较大小，属于基础题．解：实数a<b，则a−b<0，故A正确，B错误，若a=−2，b=0，则a2>b2，故C错误，若a=1，b=2，则1a >1b，故D错误．故选A．解析：本题考查几何体的三视图．由几何体的三视图可知该几何体为三棱柱截去一个三棱锥，判断出线面的位置关系，由勾股定理求几何体的棱长，即可得答案．解：由几何体的三视图可知该几何体为三棱柱截去一个三棱锥，如图所示，四边形ABCD是一个边长为4的正方形，且AF⊥AB，DE⊥DC，DE⊥BD，所以EC=√DC2+DE2=4√2，EF=FB=√AF2+AB2=2√5，BE=√DE2+BD2=√42+4√22=4√3，A为此几何体所有棱的长度构成的集合，所以A={2,4,4√2,4√3,4√5}．故选D．8.答案：C解析：本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力，属于基础题．利用抛物线方程求出p，利用抛物线的性质列出方程求解即可．解：由y=2x2，得x2=y2，则p=14；由x=1得y=2，由抛物线的性质可得|PF|=2+p2=2+18=178．故选：C．9.答案：B解析：本题考查了图象的画法，由函数的性质结合特殊值可排除得答案．解：当x<0时，函数f(x)=1x +ln(−x)，由函数y=1x，y=ln(−x)都单调递减知函数f(x)=1x+ln(−x)单调递减，排除C，D；当x>0时，函数f(x)=1x +ln x，此时，f(1)=11+ln1=1，而选项A的最小值为2，故可排除A，B正确，故选B．10.答案：C解析：本题考查了根的存在性及根的个数判断，以及函数与方程的思想，解答关键是运用数形结合的思想，属于中档题．方程|lgx|+x−3=0的实数解的个数，即函数y=|lgx|与函数y=3−x的交点的个数，结合图象得出结论．解：方程|lgx|+x−3=0的实数解的个数，即函数y=|lgx|与函数y=3−x的交点的个数，如图所示：函数y=|lgx|与函数y=3−x的交点的个数为2，故选C．11.答案：32解析：本题考查了二项式求展开式的特定项、求展开式的系数和问题，属于中档题．由题意可得2C52+aC51=15，解得a=−1，再令x=1，即可求出展开式中所有项的系数和．解：(2+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为15，即2C52+aC51=15，解得a=−1，设(2−x)(1+x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6令x=1，得25=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=32．故答案为32．12.答案：2解析：解：由已知得到a⃗⋅b⃗ =2×(−3)+2×4=−6+8=2；故答案为：2．利用平面向量的数量积的坐标表示解答．本题考查了平面向量的数量积的坐标运算；a⃗=(x,y)，b⃗ =(m,n)，则a⃗⋅b⃗ =xm+yn．13.答案：710解析：本题考查频率的概念．本题属于容易题．解：由题知[10,50)上的频率为2+3+4+520=1420=710．故答案为：71014.答案：[−π,π3]解析：本题考查正弦函数的图象与性质，根据正弦函数的单调递增区间可得结果． 解：因为−π≤x ≤π2， 所以−π6≤12x +π3≤7π12，所以函数f (x )=sin (12x +π3)在[−π,π2]上的单调递增区间为： −π6≤12x +π3≤π2， 解得−π≤x ≤π3． 故答案为[−π,π3]．15.答案：−√155解析：本题考查了三角函数二倍角公式是应用，属于基础题.先将|cosθ|=15去绝对值得cosθ=−15，再由二倍角公式得1−2sin 2θ2=−15，解出sin θ2的值即可． 解：∵5π2<θ<3π，|cosθ|=15，∴cosθ=−15， 由二倍角公式得1−2sin 2θ2=−15， ∴2sin 2θ2=65，∴sin 2θ2=35， ∵sin θ2<0， 所以sin θ2=−√155．故答案为−√155．16.答案：解：(1)函数f(x)=Asin(ωx +φ)(其中ω>0，A >0，|φ|<π2)的图象，可得A =1，14⋅2πω=7π12−π3，∴ω=2． 再根据五点法作图可得2×π3+φ=π，∴φ=π3，∴f(x)=sin(2x +π3).(2)在[−π4,π6]上，2x +π3∈[−π6,2π3]，所以，当2x +π3=π2，即x =π12,f(x)max =f(π12)=1； 当2x +π3=−π6，即x =−π4,f(x)min =f(−π4)=−12． 所以函数f(x)的值域为[−12,1]．解析：本题主要考查由函数y =Asin(ωx +φ)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．(1)由函数的图象的顶点坐标求出A ，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式． (2)利用正弦函数的定义域和值域，即可求得函数y =f(x)在[−π4,π6]上的值域．17.答案：解：因为∠PAD =90°，所以PA ⊥AD.又因为侧面PAD ⊥底面ABCD ，且侧面PAD ∩底面ABCD =AD ，所以PA ⊥底面ABCD.又因为∠BAD =90°， 所以AB ，AD ，AP 两两垂直．分别以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图．设AD =2，则A(0,0，0)，B(1,0，0)，C(1,1，0)，D(0,2，0)，P(0,0，1)．(Ⅰ)证明：AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0, 0, 1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1, 1, 0)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1, 1, 0)，所以AP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，所以AP ⊥CD ，AC ⊥CD ．又因为AP ∩AC =A ，所以CD ⊥平面PAC.(4分)(Ⅱ)设侧棱PA 的中点是E ，则E(0,0,12)，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0,12)． 设平面PCD 的一个法向量是n =(x,y ，z)，则{n ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗=0n ⋅PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0因为CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1,0)，PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2, −1)， 所以{−x +y =02y −z =0取x =1，则n =(1,1，2)．所以n ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,2)⋅(−1,0,12)=0，所以n ⊥BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ． 因为BE ⊄平面PCD ，所以BE//平面PCD.(8分)(Ⅲ)由已知，AB ⊥平面PAD ，所以AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)为平面PAD 的一个法向量． 由(Ⅱ)知，n =(1,1，2)为平面PCD 的一个法向量． 设二面角A −PD −C 的大小为θ，由图可知，θ为锐角， 所以cosθ=n⋅AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |n||AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=6×1=√66． 即二面角A −PD −C 的余弦值为√66.(13分)解析：(I)由已知易得，AB ，AD ，AP 两两垂直．分别以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，分别求出各顶点的坐标，然后求出直线CD 的方向向量及平面PAC 的法向量，代入向量夹角公式，即可得到答案．(II)设侧棱PA 的中点是E ，我们求出直线BE 的方向向量及平面PCD 的法向量，代入判断及得E 点符合题目要求；(III)求现平面APD 的一个法向量及平面PCD 的一个法向量，然后代入向量夹角公式，即可求出二面角A −PD −C 的余弦值．利用空间向量来解决立体几何夹角问题，其步骤是：建立空间直角坐标系⇒明确相关点的坐标⇒明确相关向量的坐标⇒通过空间向量的坐标运算求解．18.答案：解：(1)设甲日送件量为a ，则当a =48时，X =48×3=144，当a =49时，X =49×3=147，当a =50时，X =50×3=150，当a =51时，X =50×3+5=155，当a =52时，X =50×3+5×2=160， ∴X 的所有可能取值为：144，147，150，155，160． ∴X 的分布列为：所以E(X)=144×110+147×310+150×15+155×15+160×15=151.5(元); (2)乙日送件量为：48×0.2+49×0.1+50×0.2+51×0.3+52×0.2=50.2乙的日均工资额为：50+50.2×2=150.4(元)， 而甲的日均工资额为：151.5元，150.4元<151.5元， 因此，推荐该公司选择乙的方案．解析：本题考查茎叶图、离散型随机变量的分布列与期望的计算，属于中档题． (1)根据离散型随机变量的性质求出分布列和数学期望即可； (2)根据甲、乙的均值判断即可．19.答案：解：函数定义域x ∈(0,+∞)，所以 f′(x)=−1x 2+1x =x−1x 2，x ∈(0,+∞)．因此 f′(2)=14.即曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为 14． 又 f(2)=ln2−12，所以曲线y =f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y −(ln2−12)=14(x −2)， 即x −4y +4ln2−4=0．(2)因为 f(x)=ax +lnx −1，所以 f′(x)=−ax 2+1x =x−a x 2.令f′(x)=0，得x =a ．①若a ≤0，则f′(x)>0，f(x)在区间(0,e]上单调递增，此时函数f(x)无最小值． ②若0<a <e ，当x ∈(0,a)时，f′(x)<0，函数f(x)在区间(0,a)上单调递减， 当x ∈(a,e]时，f′(x)>0，函数f(x)在区间(a,e]上单调递增， 所以当x =a 时，函数f(x)取得最小值ln a ．③若a ≥e ，则当x ∈(0,e]时，f′(x)≤0，函数f(x)在区间(0,e]上单调递减，所以当x =e 时，函数f(x)取得最小值 ae .综上可知，当a ≤0时，函数f(x)在区间(0,e]上无最小值； 当0<a <e 时，函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为ln a ； 当a ≥e 时，函数f(x)在区间(0,e]上的最小值为 ae ．解析：本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．(1)把a =1代入到f(x)中化简得到f(x)的解析式，求出f′(x)，因为曲线的切点为(2,f(2))，所以把x =2代入到f′(x)中求出切线的斜率，把x =2代入到f(x)中求出f(2)的值得到切点坐标，根据切点和斜率写出切线方程即可；(2)借助于导数，将函数f(x)=ax +lnx −1的最值问题转化为导函数进行研究．此题只须求出函数的导函数，利用导数求解．20.答案：(Ⅰ)证明：设直线l 方程为：y =12x +b 代入椭圆C ：x 24+y 2=1并整理得：x 2+2bx +2b 2−2=0设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则{x 1+x 2=−2bx 1x 2=2b 2−2．从而k AP +k BQ =y 1x1−2+y 2−1x 2=x 1x 2+(b−1)(x 1+x 2−2)(x 1−2)x 2=2b 2−2+(b−1)(−2b−2)(x 1−2)x 2=0，所以直线AP 、BQ 的斜率之和为定值0． (Ⅱ)设C ：x 24+y 2=1的左顶点和下顶点分别为C 、D ，则直线l 、BC 、AD 为互相平行的直线，所以A 、B 两点到直线l 的距离等于两平行线BC 、AD 间的距离d =√1+14．∵|PQ|=√1+k 2|x 2−x 1|=√1+14|x 2−x 1|，∴S APBQ =12d ⋅|PQ|=|x 2−x 1|=√8−4b 2，又p 点在第一象限， ∴−1<b <1， ∴S ∈(2,2√2]．解析：略21.答案：解：(1)因为数列{a n}为“2次方数列”，所以(a n+1−a n)2=(n+1)2，于是a2−a1=±2.又a1=1，故a2=−1或a2=3．当a2=3时，由数列{a nn }为等差数列，得数列{a nn}的首项为1，公差为12，所以a nn =1+(n−1)×12=12(n+1)，所以a n=12(n2+n)，经检验，满足题意;当a2=−1时，由数列{a nn }为等差数列，得数列{a nn}的首项为1，公差为−32，所以a nn =1−32(n−1)=−32n+52，所以a n=−32n2+52n，经检验，不满足题意，舍去．综上所述，数列{a n}的通项公式为a n=12(n2+n)．(2)因为数列{a n}为“4次方数列”，所以a n+1−a n=±(n+1)2，即a n=1±22±32±⋯±n2．因为a m=15，当m≤3时，a m的最大值是1+22+32=14，所以m≤3时不成立;当m=4时，因为1±22±32±42等于−28，−20，−10，−2，4，12，22，30，所以m=4时不成立;当m=5时，因为1−22+32−42+52=15，所以m的最小值为5．综上所述，m的最小值为5．解析：本题考查新定义下的数列问题，属于较难题．(1)根据新定义：数列{a n}为“2次方数列”，则(a n+1−a n)2=(n+1)2，于是a2−a1=±2.}为等差数列，得到通项公又a1=1，故a2=−1或a2=3.分别对a2的两种情况讨论，借助于数列{a nn式；(2)根据数列{a n}为“4次方数列”，得到a n+1−a n=±(n+1)2，即a n=1±22±32±⋯±n2.由a m=15，分别讨论当m≤3时当m=4时，当m=5时是否成立，成立即为所求．。
2020年人大附中高三下学期数学统练(一)
人大附中高三下学期数学统练（一） 3.24一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．） 1.若复数a+i 2i的实部与虚部相等，则实数a =（）A.−1B.1C.−2D.22.若集合A ={y |y =sinx,x ∈R },B ={−2,−1,0,1,2},则集合(∁R A)∩B 等于() A.{−2,−1} B.{−2,−1,0,1,2}C.{−2,−1,2}D.{−2,2}3.如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω.向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m,n ，则图形Ω面积的估计值为（） A.ma nB.namC.ma 2nD.na 2m4.下列函数中，为偶函数且有最小值的是() A.f (x )=x 2+x B.f (x )=|lnx | C.f (x )=xsinxD.f (x )=e x +e −x5.在四边形ABCD 中，“∃λ∈R,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =λDC,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.从原点向圆x 2+y 2−12y +27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（） A ．πB ．2πC ．4πD ．6π7.双曲线的左右焦点分别为F 1,F 2且F 2恰为抛物线y 2=4x 的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若∆F 1F 2是以AF 1为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为() A.√2B.1+√2C.1+√3D.2+√38.已知函数f (x )=log 2x −2log 2(x +c ),其中c >0.若对于任意的x ∈(0,+∞),都有f (x )≤1，则c 的取值范围是（） A.(0,14]B.[14,+∞)C.(0,18]D.[18,+∞)9.如果存在正整数ω和实数φ使得函数f(x)=cos2(ωx+φ)（ω,φ为常数）的图象如图所示（图象经过点(1,0)），那么ω的值为()A．1B．2C．3D.410.如图所示，在平面多边形AQBRCSDP中，SD=PD，CR=SC，AQ=AP，点S,D,A,Q 及P,D,C,R共线，四边形ABCD是正方形，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，围成一个多面体，设该几何体的互相垂直的面有n对，则（）A.n=3B.n=4C.n=5D.n=6二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分．）11.二项式(2x+1x)5的展开式中x3的系数为.12.如图，三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面ABC，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为.13..在∆ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，且满足b=7asinB，则sinA=若B=60°，则sinC=14.设某商品的需求函数为Q=100−5P,，其中Q,P分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQEP 大于1（其中EQEP=−Q′QP,Q′是Q的导数），则商品价格的取值范围是.15.已知函数y=f(x)是R上的偶函数，对任意x∈R，都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立，当x1,x2∈[0,2]且x1≠x2时，都有f(x2)−f(x1)x2−x1>0给出下列命题：（1）且f(2)=0是T=4是函数f(x)的一个周期（2）直线是函数的一条对称轴（3）函数y=f(x)在[−6,−4]上是增函数（4）函数y=f(x)在[−6,6]上有四个零点.其中正确命题的序号为___________（把所有正确命题的序号都填上）三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）（16）(本小题满分14分),a4=4,n∈N∗在等比数列{a n}中，a1=12（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设b n=a n+n−6,，数列{b n}的前n项和为S n，若S n>0，求n的最小值.17.（本小题满分14分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如下：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.18.（本小题满分15分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示.（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCD；（Ⅱ）求二面角A–DC–B的余弦值．（Ⅲ）在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC？若存在,请指明点M的位置；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分14分）已知函数f (x )=12x 2−alnx (a >0).（Ⅰ）若a =2,求f (x )在(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）求f (x )在区间[1,e]上的最小值；（III ）若f (x )在区间[1,e]上恰有两个零点，求a 的取值范围. 20.（本小题满分14分）已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1,(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c,0)、F 2(c,0),|F 1F 2|=4√2,离心率e =2√23.过直线l:x =a 2c上任意一点M ，引椭圆C 的两条切线，切点为A 、B .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）①在圆中有如下结论：“过圆x 2+y 2=r 2上一点P(x 0,y 0)处的切线方程为：x 0x +y 0y =r 2".由上述结论类比得到:“过椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1,(a >b >0),上一点P(x 0,y 0)处的切线方程”（只写类比结论，不必证明）. ②利用①中的结论证明直线AB 恒过定点(2√2,0).21.（本小题满分14分）在数列中{a n }中，a n =1n (n ∈N ∗)从数列{a n }中选出k(k ≥3)项并按原顺序组成的新数列记为{b n }，并称{b n }为数列{a n }的k 项子列.例如数列12,13,15,18为{a n }的一个4项子列.（Ⅰ）试写出数列{a n }的一个3项子列，并使其为等差数列；（Ⅱ）如果{b n }为数列{a n }的一个5项子列，且{b n }为等差数列，证明：{b n }的公差d 满足−18<d <0;（Ⅲ）如果{c n }为数列{a n }的一个m(m ≥3)项子列，且{c n }为等比数列，证明：c 1+c 2+c 3+···+c m ≤2−12m−1人大附中高三下数学统练一参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．） 1.A 2.D 3.C 4.D 5.C 6.B 7.B 8.D 9.B 10.C11.80 12.2√3 13.17;1314 14.(10,20)15.（1），（2），（4）；（注：14题少解给3分，有错解不给分）三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） （16）(本小题满分14分)解：（I ）由数列{a n }为等比数列，且a 1=12,a 4=4 得a 4=a 1q 3=4,解得q =2,···············2分则数列{a n }的通项公式a n =a 1q n−1=2n−2,n ∈N ∗····················5分 （II ）b n =a n +n −6=n −6+2n−2,S n =(−5−4+···+n −6)+(2−1+20+···+2n−2)=n(n−11)2+2n −12,·················10分当n ≥5时，n(n−11)2≥−15，2n −12≥312，所以S n >0;则n =4时，S 4=−4×7+24−12<0; 当n =3时，S 3=−3×8+23−12<0; 当n =2时，S 2=−2×9+22−12<0; 当n =1时，S 1=−1×10+21−12<0;所以，n 的最小值为5.………………..14分 17.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）甲公司员工A 投递快递件数的平均数为36，众数为33.………………..4分 （Ⅱ）设a 为乙公司员工B 投递件数，则当a =34时，X =136元，当a >35时，X =35×4+(a −35)×7元，X 的可能取值为136,147,154,189,203 X 的分布列为：X 136 147 154 189 203P110 310 210 310 110E (X )=136×110+147×310+154×210+189×310+203×110=165510=165.5（元）.………………..11分（Ⅲ）根据图中数据，可估算甲公司被抽取员工该月收入4860元，乙公司被抽取员工该月收入4965元.………………..14分 18.（本小题满分15分）（Ⅰ）因为平面ABD ⊥平面BCD ，交线为BD ， 又在∆ABD 中，AE ⊥BD 于E ，AE ⊂平面ABD 所以AE ⊥平面BCD ,………………..4分（Ⅱ）由（Ⅰ）结论AE ⊥平面BCD 可得AE ⊥EF . 由题意可知EF ⊥BD ，又AE ⊥BD .如图，以E 为坐标原点，分别以EF,ED,EA 所在直线 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系E −xyz , 不妨设AB =BD =DC =AD =2，则BE =ED =1. 由图1条件计算得，AE =√3,BC =2√3,BF =√33则E (0,0,0),D (0,1,0),B (0,−1,0),A(0,0,√3),F (√33,0,),C(√3,2,0),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−√3)由AE ⊥平面BCD 可知平面DCB 的法向量为EA ⃗⃗⃗⃗⃗ 设平面ADC 的法向量为n =(x,y,z)，则 {n ·DC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.即{√3x +y =0,y −√3z =0.令z =1，则y =√3,x =1，所以n =(1,√3,−1), 平面DCB 的法向量为EA ⃗⃗⃗⃗⃗ 所以cos <n,EA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=EA⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |EA⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n|=−√55, 所以二面角A −DC −B 的余弦值为√55··············10分 （III ）设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ∈[0,1]由于AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(√33,0,−√3) 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(√33,0,−√3),其中λ∈[0,1], 所以EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√33λ,0(1−λ)√3),由EM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即√33λ−(1−λ)√3=0,解得λ=34∈(0,1).所以在线段AF 上存在点M 使EM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥平面ADC ,且AM AF=34···············15分 19.（本小题满分14分）解：（I ）a =2,f (x )=12x 2−2lnx,f ′(x )=x −2x ,f ′(1)=−1,f (1)=12f (x )在(1,f (1))处的切线方程为2x +2y −3=0.………………..3分 （II ）由f ′(x )=x −ax =x 2−a x由a >0及定义域为(0,+∞)，令f′(x)=0,得x =√a .①若√a ≤1,即0<a ≤1,在(1,e)上，f′(x)>0，f(x)在[1,e]上单调递增， 因此,f(x)在区间[1,e]的最小值为f (1)=12②若1<√a <e ,即1<a <e 2,在（1,√a)上，f′(x)<0，f(x)单调递减；在(√a,e)上， f′(x)>0，f(x)单调递增，因此f(x)在区间[1,e]上的最小值为f(√a)=12a(1−lna).③若√a ≥e ,即a ≥e 2,在(1,e)上，f′(x)<0，f(x)在[1,e]上单调递减， 因此,f(x)在区间[1,e]上的最小值为f (e )=12e 2−a综上，当0<a ≤1时，f min (x )=12；当1<a <e 2时，f min (x )=12a (1−lna ); 当a ≥e 2时，f min (x )=12e 2−a;····················9分(III)由（II ）可知当0<a ≤1或a ≥e 2时，f(x)在(1,e)上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点.当1<a <e 2时，要使f(x)在区间(1,e)上恰有两个零点，则{ 12a(1−lna)<0f (1)=12>0,f (e )=12e 2−a >0即{a >e a <12e 2,此时，e <a <12e 2所以，a的取值范围为(e,12e2)·············14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由F1F2=4√2，离心率e=2√23得c=2√2,a=3∴b=1椭圆C的方程为：x 29+y2=1;···················5分（Ⅱ）①类比圆的切线方程得：过椭圆C:x 29+y2=1上一点P(x0,y0)处的切线方程为：x0x9+y0y=1···················8分②l的方程为：x=9√24············9分设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M的纵坐标为t，即M(9√24,t),············10分由①的结论MA的方程为x1x9+y1y=1···············11分又其过M(9√24,t)点，∴√2x1+4ty1=4∗同理有√2x2+4ty2=4∗∗·················12分∴点A(x1,y1)，B(x2,y2)，在直线√2x+4ty=4上············13分当x=2√2,y=0时，方程√2x+4ty=4恒成立，∴直线AB过定点(2√2,0)··········14分21.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：答案不唯一.如3项子列12,13,16;·················3分（Ⅱ）证明：由题意，知1≥b1>b2>b3>b4>b5>0，所以d=b2−b1<0.………………4分若b1=1，由{b n}为{a n}的一个5项子列，得b2≤12，所以d=b2−b1≤12−1=−12b5=b1+4d,b5>0,所以4d=b5−b1=b5−1>−1,即d>−14这与d≤−12矛盾。
2020届北京中国人民大学附属中学高三4月月考数学
2020届北京中国人民大学附属中学高三4月月考数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、单选题1．若集合A ={x|−3<x <1},B ={x |x <−1 或x >2},则A ∩B =( ) A ．{x|−3<x <−1} B ．{x|−3<x <2} C ．{x|−1<x <1}D ．{x|1<x <2}2．函数()2πsin1212xf x x x=-+的零点个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．43．已知平面向量a =(x,1),b =(2,x −1),且a//b ,则实数x 的值是( ) A ．−1B ．1C ．2D ．−1或24．如图,网格纸上小正方形的边长为1,若四边形ABCD 及其内部的点组成的集合记为M ,P(x,y)为M 中任意一点,则y −x 的最大值为( )A ．1B ．2C ．−1D ．−25．已知m 是平面α的一条斜线,直线l 过平面α内一点A ,那么下列选项中能成立的是( ) A ．l ⊂α,且l ⊥m B ．l ⊥α,且l ⊥m C ．l ⊥α,且l ∥mD ．l ⊂α,且l ∥m6．已知圆x 2+y 2−4x +a =0截直线x −√3y =0所得弦的长度为2√3,则实数a 的值为( ) A ．−2B ．0C ．2D ．67．某校高一年级有400名学生,高二年级有360名学生,现用分层抽样的方法在这760名学生中抽取一个样本.已知在高一年级中抽取了60名学生,则在高二年级中应抽取的学生人数为( ) A ．66B ．54C ．40D ．368．已知四边形ABCD 为边长等于√5的正方形，PA ⊥平面ABCD ，QC ∥PA ，且异面直线QD 与PA 所成的角为30°，则四棱锥Q －ABCD 外接球的表面积等于( )A ．12524π B ．1256π C ．25π D ．1252π二、填空题9．命题“∀x ∈R ,e x >0”的否定是__________. 10．若抛物线x 2=12y ,则焦点F 的坐标是________.11．甲、乙两组各有三名同学，他们在一次测试中的成绩分别为：甲组：88,89,90；乙组：87,88,92.如果分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，则这两名同学的成绩之差的绝对值不超过3的概率是________．12．在无穷数列{a n }中,S n 为{a n }的前n 项和.若对任意n ∈N ∗,S n ∈{2,3},则称这个数列为“有限和数列”,试写出一个“有限和数列”________.13．已知函数()()2sin f x x ω=,其中常数0ω>;若()y f x =在2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,则ω的取值范围__________。
中国人民大学附属中学2020届高三数学一模试题解析(WORD
中国人民大学附属中学2020届高三数学一模试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．）1．若集合A ＝{x ∈R |3x +2＞0}，B ＝{x ∈R |x 2﹣2x ﹣3＞0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x ∈R |x ＜﹣1} B ．{x ∈R|−1＜x ＜−23}C ．{x ∈R|−23＜x ＜3}D ．{x ∈R |x ＞3}2．向量a →，b →，c →在正方形网格中的位置如图所示．若向量λa →+b →与c →共线，则实数λ＝（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．23．设曲线C 是双曲线，则“C 的方程为x 2−y 24=1”是“C 的渐近线方程为y ＝±2x ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分．若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．75．若抛物线y 2＝2px （p ＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p 的取值范围是（ ） A ．p ＜1B ．p ＞1C ．p ＜2D ．p ＞26．已知函数f （x ）＝cos （2x +φ）（φ为常数）为奇函数，那么cosφ＝（ ） A ．−√22B ．0C ．√22D ．17．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（ ）A．4 B．2√2C．√7D．28．已知函数f（x）={2−x−1，x≤0f(x−1)，x＞0，若方程f（x）＝x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1] C．（0，1）D．[0，+∞）9．定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个x1，x2（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在定义域D上满足利普希茨条件．若函数f(x)=√x(x≥1)满足利普希茨条件，则常数k的最小值为（）A．4 B．3 C．1 D．1210．在边长为1的正方体中，E，F，G，H分别为A1B1，C1D1，AB，CD的中点，点P从G出发，沿折线GBCH匀速运动，点Q从H出发，沿折线HDAG匀速运动，且点P与点Q运动的速度相等，记E，F，P，Q四点为顶点的三棱锥的体积为V，点P运动的路程为x，在0≤x≤2时，V与x的图象应为（）A．B．C ．D ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 11．代数式（1﹣x ）（1+x ）5的展开式中x 3的系数为 ． 12．在复平面内，复数z ＝1﹣2i 对应的点到原点的距离是 ． 13．已知函数若f(x)={|log 4x|，0＜x ≤4，x 2−10x +25，x ＞4.，a ，b ，c ，d 是互不相同的正数，且f （a ）＝f （b ）＝f （c ）＝f （d ），则abcd 的取值范围是 ． 14．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的一条渐近线的倾斜角为60°，且与椭圆x 25+y 2=1有相等焦距，则C 的方程为15．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n +2﹣S n ＝36，则n ＝ ．16．如果对于函数f （x ）定义域内任意的两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2），且存在两个不相等的自变量值y 1，y 2，使得f （y 1）＝f （y 2），就称f （x ）为定义域上的不严格的增函数．则①f(x)={x ，x ≥10，−1＜x ＜1x ，x ≤−1，②f(x)={1，x =−π2sinx ，−π2＜x ≤π2， ③f(x)={1，x ≥10，−1＜x ＜1−1，x ≤−1，④f(x)={x ，x ≥1x +1，x ＜1，四个函数中为不严格增函数的是 ，若已知函数g （x ）的定义域、值域分别为A 、B ，A ＝{1，2，3}，B ⊆A ，且g （x ）为定义域A 上的不严格的增函数，那么这样的g （x ）有 个． 三、解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 17．（13分）已知{a n }是各项为正数的等差数列，S n 为其前n 项和，且4S n =(a n +1)2． （Ⅰ）求a 1，a 2的值及{a n }的通项公式； （Ⅱ）求数列{S n −72a n }的最小值．18．如图，在四棱锥E ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，∠AEB ＝90°，BE ＝BC ，F 为CE 的中点，（1）求证：AE ∥平面BDF ；（2）求证：平面BDF⊥平面ACE；（3）2AE＝EB，在线段AE上找一点P，使得二面角P﹣DB﹣F的余弦值为√1010，求AP的长．19．（13分）某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分．每项评分最低分0分，最高分100分．每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如图：请根据图中所提供的信息，完成下列问题：（1）若从交通得分排名前5名的景点中任取1个，求其安全得分大于90分的概率；（2）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（3）记该市26个景点的交通平均得分为x1，安全平均得分为x2，写出x1和x2的大小关系？（只写出结果）20．已知函数f（x）=1x−x+alnx．（Ⅰ）求f（x）在（1，f（1））处的切线方程（用含a的式子表示）（Ⅱ）讨论f（x）的单调性；（Ⅲ）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：f(x1)−f(x2)x1−x2＜a−2．21．（13分）已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线x﹣y+√6=0相切．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设S为椭圆右顶点，过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于P，Q两点（异于S），直线PS，QS分别交直线x＝4于A，B两点．求证：A，B两点的纵坐标之积为定值．22．（13分）给定一个n项的实数列a1，a2，⋯，a n(n∈N∗)，任意选取一个实数c，变换T（c）将数列a1，a2，…，a n变换为数列|a1﹣c|，|a2﹣c|，…，|a n﹣c|，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c可以不相同，第k（k∈N*）次变换记为T k（c k），其中c k为第k次变换时选择的实数．如果通过k次变换后，数列中的各项均为0，则称T1（c1），T2（c2），…，T k（c k）为“k次归零变换”．（Ⅰ）对数列：1，3，5，7，给出一个“k次归零变换”，其中k≤4；（Ⅱ）证明：对任意n项数列，都存在“n次归零变换”；（Ⅲ）对于数列1，22，33，…，n n，是否存在“n﹣1次归零变换”？请说明理由．试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．） 1．A ={x ∈R|x ＞−23}，B ＝{x ∈R |x ＜﹣1，或x ＞3}； ∴A ∩B ＝{x ∈R |x ＞3}． 故选：D ．2．根据图形可看出2a →+b →=c →； 满足2a →+b →与c →共线； ∴λ＝2． 故选：D ． 3．C 的方程为x 2−y 24=1，则双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，即充分性成立，双曲线y 24−x 2＝1的渐近线方程也是y ＝±2x ，即必要性不成立， 故“C 的方程为x 2−y 24=1”是“C 的渐近线方程为y ＝±2x ”的充分不必要条件，故选：A ．4．由题意可得，冠军得分比其他参赛人员高，且获胜场次比其他人都少，所以冠军与其他匹配场次中，平均至少为3场，A 选项：若最少4人，当冠军3次平局时，得3分，其他人至少1胜1平局，最低得3分，故A 不成立，B 选项：若最少5人，当冠军1负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平，最低得3分，不成立， 当冠军1胜3平局时，得5分，其他人至少2胜1平，最低得5分，不成立，故B 不成立，C 选项：若最少6人，当冠军2负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平，最低得3分，不成立， 当冠军1胜4平局时，得6分，其他人至少2胜1平，最低得5分，成立，故C 成立，D 选项：7＞6，故不为最少人数，故不成立， 故选：C ．5．∵设P 为抛物线的任意一点，则P 到焦点的距离等于到准线：x =−p2的距离，显然当P 为抛物线的顶点时，P 到准线的距离取得最小值p2． ∴p2＞1，即p ＞2． 故选：D ．6．由于函数f（x）＝cos（2x+φ）（φ为常数）为奇函数，则φ＝kπ+π2，k∈z，∴cosφ＝0，故选：B．7．由三视图可知几何体为四棱锥S﹣ABCD，由侧视图可知棱锥底面ABCD是边长为2的正方形，顶点S在底面ABCD上的射影M为CD的中点，由主视图可知SM=√3，∴AM=√5，SA=√AM2+SM2=2√2．由对称性可知SB＝SA＝2√2．∴几何体最长的棱为2√2．故选：B．8．函数f（x）={2−x−1，x≤0f(x−1)，x＞0的图象如图所示，当a＜1时，函数y＝f（x）的图象与函数y＝x+a的图象有两个交点，即方程f（x）＝x+a有且只有两个不相等的实数根．故选：A．9．由已知中中利普希茨条件的定义若函数f（x）=√x（x≥1）满足利普希茨条件，所以存在常数k ，使得对定义域[1，+∞）内的任意两个x 1，x 2（x 1≠x 2），均有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤k |x 1﹣x 2|成立，不妨设x 1＞x 2，则k ≥√x 1−√x 2x 1−x2=√x +√x ．而0√x +√x 12，所以k 的最小值为12．故选：D ．10．（1）当0≤x ≤12时，点P 与点Q 运动的速度相等根据下图得出：面OEF 把几何体PEFQ 分割为相等的几何体，∵S △OEF =12×1×1=12，P 到面OEF 的距离为x ，V PEFQ ＝2V P ﹣OEF ＝2×13×12x ＝2•x 6=x3，23（2）当12＜x ≤32时，P 在AB 上，Q 在C 1D 1上，P 到12，S △OEF =12×1×1=12， V PEFQ ＝2V P ﹣OEF ＝2×13×12×12=16=定值．（3）当32＜x ≤2时，S △OEF =12×1×1=12，P 到面OEF 的距离为2﹣x ， V PEFQ ＝2V P ﹣OEF ＝2×13×12×（2﹣x ）=23−13x ，V ={ x3，0≤x ＜1216，12≤x ＜3223−13x ，32≤x ≤2故选：C．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）11．∵（1﹣x）（1+x）5＝（1﹣x）（C50+C51•x+C52•x2+C53•x3+C54•x4+C55•x5），∴（1﹣x）（1+x）5展开式中x3的系数为1×C53−1×C52=0．故答案为：0．12．复数z＝1﹣2i对应的点（1，﹣2）到原点的距离d=√12+(−2)2=√5．故答案：√5．13．先画出函数f(x)={|log4x|，0＜x≤4，x2−10x+25，x＞4.的图象，如图：∵a，b，c，d互不相同，不妨设a＜b＜c＜d．且f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），而﹣log4a＝log4b，即有log4a+log4b＝0，可得ab＝1，则abcd＝cd，由c+d＝10，可得cd＜（c+d2）2＝25，且cd＝c（10﹣c）＝﹣（c﹣5）2+25，当c＝4时，d＝6，cd＝24，但此时b，c相等，故abcd的范围为（24，25）．故答案为：（24，25）．14．由椭圆的方程可得焦距为4，再由双曲线的渐近线方程可得：ba=tan60°=√3，由题意可得a2+b2＝4，解得：a2＝1，b2＝3，所以双曲线的方程为：x2−y23=1；故答案为：x2−y23=1．15．∵等差数列{a n}的首项a1＝1，公差d＝2，则S n =n +2n(n−1)2=n 2，S n+2=(n +2)2， 由S n +2﹣S n ＝36，得（n +2）2﹣n 2＝2（2n +2）＝36，解得：n ＝8． 故答案为：8．16．由已知中：函数f （x ）定义域内任意的两个自变量的值x 1，x 2， 当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2），且存在两个不相等的自变量值y 1，y 2，使得f （y 1）＝f （y 2）， 就称f （x ）为定义域上的不严格的增函数．①f(x)={x ，x ≥10，−1＜x ＜1x ，x ≤−1，满足条件，为定义在R 上的不严格的增函数；②f(x)={1，x =−π2sinx ，−π2＜x ≤π2，当x 1=−π2，x 2∈（−π2，π2），f （x 1）＞f （x 2），故不是不严格的增函数； ③f(x)={1，x ≥10，−1＜x ＜1−1，x ≤−1，满足条件，为定义在R 上的不严格的增函数；④f(x)={x ，x ≥1x +1，x ＜1，当x 1=12，x 2∈（1，32），f （x 1）＞f （x 2），故不是不严格的增函数；故已知的四个函数中为不严格增函数的是①③；∵函数g （x ）的定义域、值域分别为A 、B ，A ＝{1，2，3}，B ⊆A ，且g （x ）为定义域A 上的不严格的增函数，则满足条件的函数g （x ）有： g （1）＝g （2）＝g （3）＝1， g （1）＝g （2）＝g （3）＝2， g （1）＝g （2）＝g （3）＝3， g （1）＝g （2）＝1，g （3）＝2， g （1）＝g （2）＝1，g （3）＝3， g （1）＝g （2）＝2，g （3）＝3， g （1）＝1，g （2）＝g （3）＝2， g （1）＝1，g （2）＝g （3）＝3，g（1）＝2，g（2）＝g（3）＝3，故这样的函数共有9个，故答案为：①③；9．三、解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）17．（Ⅰ）∵4S n=(a n+1)2，∴当n＝1时，4a1=(a1+1)2，解得a1＝1，当n＝2时，4(1+a2)=(a2+1)2，解得a2＝﹣1或a2＝3，∵{a n}是各项为正数的等差数列，∴a2＝3，得{a n}的公差d＝a2﹣a1＝2，∴数列{a n}的通项公式a n＝a1+（n﹣1）d＝2n﹣1；（Ⅱ）∵4S n=(a n+1)2，∴S n=(2n−1+1)24=n2，∴S n−72a n=n2−72(2n−1)=n2−7n+72=(n−72)2−354，当n＝3或n＝4时，S n−72a n取得最小值为−172．18．证明：（1）设AC∩BD＝G，连接FG，易知G是AC的中点，∵F是EC中点．∴在△ACE中，FG∥AE，…（2分）∵AE⊄平面BFD，FG⊂平面BFD，∴AE∥平面BFD．…（2）∵平面ABCD⊥平面ABE，BC⊥AB，平面ABCD∩平面ABE＝AB，∴BC⊥平面ABE，又∵AE⊂平面ABE，∴BC⊥AE，又∵AE⊥BE，BC∩BE＝B，∴AE⊥平面BCE，即AE⊥BF，…（6分）在△BCE中，BE＝CB，F为CE的中点，∴BF⊥CE，AE∩CE＝E，∴BF⊥平面ACE，又BF⊂平面BDF，∴平面BDF⊥平面ACE．…（3）如图建立坐标系，设AE ＝1，则B （2，0，0），D （0，1，2），C （2，0，2），F （1，0，1），设P （0，a ，0），BD →=(−2，1，2)，BF →=(−1，0，1)，PB →=(2，−a ，0) 设n 1→⊥面BDF ，且n 1→=(x 1，y 1，z 1)，则由n 1→⊥BD →得﹣2x 1+y 1+2z 1＝0， 由n 1→⊥BF →得﹣x 1+z 1＝0，令z 1＝1得x 1＝1，y 1＝0，从而n 1→=(1，0，1)⋯ 设n 2→⊥面BDP ，且n 2→=(x 2，y 2，z 2)，则由n 2→⊥BD →得﹣2x 2+y 2+2z 2＝0， 由n 2→⊥PB →得2x 2﹣ay 2＝0，令y 2＝2得x 2＝a ，z 2＝a ﹣1，从而n 2→=(a ，2，a −1)， cosθ=|n 1→⋅n 2→||n 1→|⋅|n 2→|=√2⋅√a 2+4+(a−1)2=√1010， 解得a ＝0或a ＝1（舍） 即P 在E 处．…19．（1）由图象可知交通得分排名前5名的景点中，安全得分大于90分的景点有3个， ∴从交通得分排名前5名的景点中任取1个，其安全得分大于90分的概率为35．（2）结合两图象可知景点总分排名前6名的景点中，安全得分不大于90分的景点有2个， ξ的可能取值为0，1，2． P （ξ＝0）=C 43C 63=15，P （ξ＝1）=C 42⋅C 21C 63=35，P （ξ＝2）=C 41⋅C 22C 63=15，∴ξ的分布列为：ξ 012P1 3 1 ∴E （ξ）＝0×15+1×35+2×15=1．（3）由图象可知26个景点的交通得分全部在80分以上，主要集中在85分附近， 安全得分主要集中在80分附近，且80分以下的景点接近一半，故而x 1＞x 2． 20．（Ⅰ）∵f （x ）=1x −x +alnx （x ＞0）∴f ′（x ）=−x 2+ax−1x 2（x ＞0）∴当x ＝1时，f （1）＝0，f ′（1）＝﹣2+a ，设切线方程为y ＝（﹣2+a ）x +b ，代入（1，0），得b ＝2﹣a ， ∴f （x ）在（1，f （1））处的切线方程为y ＝x +2﹣a ． （Ⅱ）函数的定义域为（0，+∞）， 函数的导数f ′（x ）=−x 2+ax−1x 2−，设g （x ）＝﹣x 2+ax ﹣1，注意到g （0）＝﹣1，①当a ≤0时，g （x ）＜0恒成立，即f ′（x ）＜0恒成立，此时函数f （x ）在（0，+∞）上是减函数； ②当a ＞0时，判别式△＝a 2﹣4，1°当0＜a ≤2时，△≤0，即g （x ）≤0，即f ′（x ）≤0恒成立，此时函数f （x ）在（0，+∞）上是减函数； 2°当a ＞2时，令f ′（x ）＞0，得：a−√a 2−42＜x ＜a+√a 2−42；令f ′（x ）＜0，得：0＜x ＜a−√a 2−42或x ＞a+√a 2−42；∴当a ＞2时，f （x ）在区间（a−√a 2−42，a+√a 2−42）单调递增，在（0，a−√a 2−42），（a+√a 2−42，+∞）单调递减；综上所述，综上当a ≤2时，f （x ）在（0，+∞）上是减函数， 当a ＞2时，在（0，a−√a 2−42），（a+√a 2−42，+∞）上是减函数，在区间（a−√a 2−42，a+√a 2−42）上是增函数．（Ⅲ）（2）由（1）知a ＞2，0＜x 1＜1＜x 2，x 1x 2＝1， 则f （x 1）﹣f （x 2）=1x 1−x 1+alnx 1﹣[1x 2−x 2+alnx 2]＝（x 2﹣x 1）（1+1x1x 2）+a （lnx 1﹣lnx 2）＝2（x 2﹣x 1）+a （lnx 1﹣lnx 2）， 则f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2=−2+a(lnx 1−lnx 2)x 1−x 2，则问题转为证明lnx 1−lnx 2x 1−x 2＜1即可，即证明lnx 1﹣lnx 2＞x 1﹣x 2， 则lnx 1﹣ln 1x＞x 1−1x 1，即lnx 1+lnx 1＞x 1−1x 1，即证2lnx 1＞x 1−1x 1在（0，1）上恒成立，设h （x ）＝2lnx ﹣x +1x 1，（0＜x ＜1），其中h （1）＝0，求导得h ′（x ）=2x −1−1x 2=−x 2−2x+1x 2=−(x−1)2x 2＜0，则h （x ）在（0，1）上单调递减， ∴h （x ）＞h （1），即2lnx ﹣x +1x ＞0，故2lnx ＞x −1x，则f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜a ﹣2成立．21．解（Ⅰ）由题意得：e =ca =12，b =√6|2=√3，a 2＝b 2+c 2，解得：a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆的方程：x 24+y 23=1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，S （2，0），右焦点F （1，0）由题意得，直线l 的斜率不为零，设直线l 为：x ＝my +1，设P （x '，y '），Q （x ''，y ''），联立直线l 与椭圆的方程整理得：（4+3m 2）y 2+6my ﹣9＝0，∴y '+y ''=−6m4+3m 2，y 'y ''=−94+3m 2； ∵k PF =y′x′−2，设直线FP ：y =y′x′−2（x ﹣2），与x ＝4联立，得y =2y′x′−2，即y A =2y′x′−2，同理可得：y B =2y″x″−2，∴y A y B =4y′y″(x′−2)(x″−2)=4y′y″(my′−1)(my″−1)=4y′y″m 2y′y″−m(y′+y″)+1=−364+3m 2−9m 24+3m 2−m −6m4+3m 2+1=−364=−9，为定值，所以A ，B 两点的纵坐标之积为定值﹣9．22．（Ⅰ）方法1：T 1（4）：3，1，1，3；T 2（2）：1，1，1，1；T 3（1）：0，0，0，0．方法2：T 1（2）：1，1，3，5；T 2（2）：1，1，1，3；T 3（2）：1，1，1，1；T 4（1）：0，0，0，0．．… （Ⅱ）经过k 次变换后，数列记为a 1(k)，a 2(k)，⋯，a n (k)，k ＝1，2，…．取c 1=12(a 1+a 2)，则a 1(1)=a 2(1)=12|a 1−a 2|，即经T 1（c 1）后，前两项相等；取c 2=12(a 2(1)+a 3(1))，则a 1(2)=a 2(2)=a 3(2)=12|a 3(1)−a 2(1)|，即经T 2（c 2）后，前3项相等； …设进行变换T k （c k ）时，其中c k =12(a k (k−1)+a k+1(k−1))，变换后数列变为a 1(k)，a 2(k)，a 3(k)，⋯，a k+1(k)，a k+2(k)，⋯，a n (k)，则a 1(k)=a 2(k)=a 3(k)=⋯=a k+1(k)；那么，进行第k +1次变换时，取c k+1=12(a k+1(k)+a k+2(k))， 则变换后数列变为a 1(k+1)，a 2(k+1)，a 3(k+1)，⋯，a k+1(k+1)，a k+2(k+1)，a k+3(k+1)，⋯，a n(k+1)，显然有a 1(k+1)=a 2(k+1)=a 3(k+1)=⋯=a k+1(k+1)=a k+2(k+1)；…经过n ﹣1次变换后，显然有a 1(n−1)=a 2(n−1)=a 3(n−1)=⋯=a n−1(n−1)=a n(n−1)；最后，取c n =a n(n−1)，经过变换T n （c n ）后，数列各项均为0．所以对任意数列，都存在“n 次归零变换”． …（9分） （Ⅲ）不存在“n ﹣1次归零变换”．…证明：首先，“归零变换”过程中，若在其中进行某一次变换T j （c j ）时，c j ＜min {a 1，a 2，…，a n }，那么此变换次数便不是最少．这是因为，这次变换并不是最后的一次变换（因它并未使数列化为全零），设先进行T j （c j ）后，再进行T j +1（c j +1），由||a i ﹣c j |﹣c j +1|＝|a i ﹣（c j +c j +1）|，即等价于一次变换T j （c j +c j +1），同理，进行某一步T j （c j ）时，c j ＞max {a 1，a 2，…，a n }；此变换步数也不是最小．由以上分析可知，如果某一数列经最少的次数的“归零变换”，每一步所取的c i 满足min {a 1，a 2，…，a n }≤c i ≤max {a 1，a 2，…，a n }．以下用数学归纳法来证明，对已给数列，不存在“n ﹣1次归零变换”． （1）当n ＝2时，对于1，4，显然不存在“一次归零变换”，结论成立． （由（Ⅱ）可知，存在“两次归零变换”变换：T 1(52)，T 2(32)）（2）假设n ＝k 时成立，即1，22，33，…，k k 不存在“k ﹣1次归零变换”． 当n ＝k +1时，假设1，22，33，…，k k ，（k +1）k +1存在“k 次归零变换”．此时，对1，22，33，…，k k 也显然是“k 次归零变换”，由归纳假设以及前面的讨论不难知1，22，33，…，k k 不存在“k ﹣1次归零变换”，则k 是最少的变换次数，每一次变换c i 一定满足1≤c i ≤k k ，i ＝1，2，…，k ．因为|⋯||(k +1)k+1−c 1|−c 2|−⋯−c k |=(k +1)k+1−(c 1+c 2+⋯+c k )≥（k +1）k +1﹣k •k k ＞0所以，（k+1）k+1绝不可能变换为0，与归纳假设矛盾．所以，当n＝k+1时不存在“k次归零变换”．由（1）（2）命题得证．…（13分）。
2020年北京市人大附中高考数学模拟试卷(4月份)(解析版)
2020年北京市人大附中高考数学模拟试卷（4月份）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．）1．（4分）集合A＝{x|x＞2，x∈R}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}，则A∩B＝（）A．（3，+∞）B．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）C．（2，+∞）D．（2，3）2．（4分）已知复数z＝a2i﹣2a﹣i是正实数，则实数a的值为（）A．0B．1C．﹣1D．±13．（4分）下列函数中，值域为R且为奇函数的是（）A．y＝x+2B．y＝sin x C．y＝x﹣x3D．y＝2x4．（4分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝2，a1+a4＝5，则S6＝（）A．10B．9C．8D．75．（4分）在平面直角坐标系xOy中，将点A（1，2）绕原点O逆时针旋转90°到点B，设直线OB与x轴正半轴所成的最小正角为α，则cosα等于（）A．﹣B．﹣C．D．﹣6．（4分）设a，b，c为非零实数，且a＞c，b＞c，则（）A．a+b＞c B．ab＞c2C．D．7．（4分）某四棱锥的三视图如图所示，记S为此棱锥所有棱的长度的集合，则（）A．2，且∉S B．2，且∈SC．，且D．，且8．（4分）已知点M（2，0），点P在曲线y2＝4x上运动，点F为抛物线的焦点，则的最小值为（）A．B．2（﹣1）C．4D．49．（4分）已知函数的部分图象如图所示，将此图象分别作以下变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方程是（）①绕着x轴上一点旋转180°；②沿x轴正方向平移；③以x轴为轴作轴对称；④以x轴的某一条垂线为轴作轴对称．A．①③B．③④C．②③D．②④10．（4分）设函数f（x）＝，若关于x的方程f（x）＝a（a∈R）有四个实数解x i（i＝1，2，3，4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则（x1+x2）（x3﹣x4）的取值范围是（）A．（0，101]B．（0，99]C．（0，100]D．（0，+∞）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）11．（5分）在二项式（x2+2）6的展开式中，x8的系数为．12．（5分）若向量满足，则实数x的取值范围是．13．（5分）在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制．如图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折线图如下：根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较把你得到最重要的两个结论写在答案纸指定的空白处．①．②．14．（5分）函数的最小正周期为；若函数f（x）在区间（0，a）上单调递增，则a的最大值为．15．（5分）集合A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}，B＝{（x，y）||xy|+1＝|x|+|y|}，若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为．①a的值可以为2；②a的值可以为；③a的值可以为2+；三、解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）16．（13分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）满足下列3个条件中的2个条件：①函数f（x）的周期为π；②x＝是函数f（x）的对称轴；③f（）＝0且在区间（，）上单调．（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域．17．（15分）在四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD中，BC∥AD，CD⊥AD，PO⊥平面ABCD，O是AD的中点，且PO＝AD＝2BC＝2CD＝2．（Ⅰ）求证：AB∥平面POC；（Ⅱ）求二面角O﹣PC﹣D的余弦值；（Ⅲ）线段PC上是否存在点E，使得AB⊥DE，若存在指出点E的位置，若不存在，请说明理由．18．（14分）2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人．现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩（单位：分）统计结果用茎叶图记录如图：（Ⅰ）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数；（Ⅱ）从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于5000），并在每组中随机选取m个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%．根据图表中数据，以频率作为概率，给出m的最小值．（结论不要求证明）19．（14分）设函数f（x）＝alnx+x2﹣（a+2）x，其中a∈R．（Ⅰ）若曲线y＝f（x）在点（2，f（2））处切线的倾斜角为，求a的值；（Ⅱ）已知导函数f'（x）在区间（1，e）上存在零点，证明：当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．20．（15分）设椭圆，直线l1经过点M（m，0），直线l2经过点N（n，0），直线l1∥直线l2，且直线l1、l2分别与椭圆E相交于A，B两点和C，D两点．（Ⅰ）若M，N分别为椭圆E的左、右焦点，且直线l1⊥x轴，求四边形ABCD的面积；（Ⅱ）若直线l1的斜率存在且不为0，四边形ABCD为平行四边形，求证：m+n＝0；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断四边形ABCD能否为矩形，说明理由．21．（14分）对于正整数n，如果k（k∈N*）个整数a1，a2，…，a k满足1≤a1≤a2≤…≤a k ≤n，且a1+a2+…+a k＝n，则称数组（a1，a2，…，a k）为n的一个“正整数分拆”．记a1，a2，…，a k均为偶数的“正整数分拆”的个数为f n；a1，a2，…，a k均为奇数的“正整数分拆”的个数为g n．（Ⅰ）写出整数4的所有“正整数分拆”；（Ⅱ）对于给定的整数n（n≥4），设（a1，a2，…，a k）是n的一个“正整数分拆”，且a1＝2，求k的最大值；（Ⅲ）对所有的正整数n，证明：f n≤g n；并求出使得等号成立的n的值．（注：对于n的两个“正整数分拆”（a1，a2，…，a k）与（b1，b2，…，b n），当且仅当k ＝m且a1＝b1，a2＝b2，…，a k＝b m时，称这两个“正整数分拆”是相同的．）2020年北京市人大附中高考数学模拟试卷（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．）1．【分析】求出集合B，再求出交集【解答】解：A＝{x|x＞2，x∈R}，B＝{x|x2﹣2x﹣3＞0}＝{x|x＞3或者x＜﹣1}，则A∩B＝（3，+∞），故选：A．2．【分析】结合已知及复数的概念进行求解即可．【解答】解：因为z＝a2i﹣2a﹣i是正实数，所以，解可得a＝﹣1．故选：C．3．【分析】分别结合奇偶性及函数的值域判断各选项即可求解．【解答】解：A：y＝x+2为非奇非偶函数，不符合题意；B：y＝sin x的值域[﹣1，1]，不符合题意；C：y＝x﹣x3为奇函数且值域为R，符合题意；D：y＝2x为非奇非偶函数，不符合题意．故选：C．4．【分析】先求出公差，再根据求和公式即可求出．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，若a3＝2，a1+a4＝5，∴a3﹣2d+a3+d＝5，∴4﹣d＝5，解得d＝﹣1，∴a1＝2+2＝4，a6＝a1+5d＝4﹣5＝﹣1，∴S6＝＝＝9，故选：B．5．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，复数乘法的几何意义，诱导公式，求出cosα的值．【解答】解：在平面直角坐标系xOy中，将点A（1，2）绕原点O逆时针旋转90°到点B，设点B（x，y），则x+yi＝（1+2i）•（cos90°+i sin90°），即x+yi＝﹣2+i，∴x＝﹣2，y＝1，即B（﹣2，1）．由题意，sin（α﹣90°）＝＝﹣cosα，∴cosα＝﹣＝﹣，故选：A．6．【分析】利用不等式的可加性得a+b＞2c，由此可判断选项C正确．【解答】解：∵a＞c，b＞c，∴a+b＞2c，∴．故选：C．7．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出个各棱长．【解答】解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为四棱锥体，如图所示：所以：AB＝BC＝CD＝AD＝DE＝2，AE＝CE＝2，BE＝．故选：D．8．【分析】设出P的坐标，利用已知条件化简表达式，通过基本不等式求解最小值即可．【解答】解：设P（x，y），可得＝＝＝x≥2＝4．当且仅当x＝2时取得最小值4．故选：D．9．【分析】结合图象直接观察得解．【解答】解：由图象可知，函数f（x）具有周期性，且有对称轴，故②④正确．故选：D．10．【分析】由函数的图象及性质判断出x1，x2，x3，x4之间的关系，进而把所求式子转化为函数y＝x﹣在[，1）上取值范围，即可得到所求范围．【解答】解：函数f（x）＝的图象如右：关于x的方程f（x）＝a（a∈R）有四个实数解，可得y＝f（x）的图象与直线y＝a有四个交点，可以判断0＜a≤1，x1+x2＝2×（﹣5）＝﹣10，|lgx3|＝|lgx4|≤1，且≤x3＜1，1＜x4≤10，可得﹣lgx3＝lgx4，即lgx3+lgx4＝0，即有x3x4＝1，x4＝，故（x1+x2）（x3﹣x4）＝﹣10（x3﹣），又由函数y＝x﹣在[，1）上递增，可得函数y＝x﹣在[，1）上的值域为[﹣9.9，0），可知﹣10（x3﹣）的取值范围为（0，99]．故选：B．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）11．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于8，求得r的值，即可求得展开式的x8项的系数．【解答】解：二项式（x2+2）6展开式的通项公式为T r+1＝•x12﹣2r•2r＝2r•x12﹣2r，令12﹣2r＝8，解得r＝2，故二项式（x2+2）6展开式中的x8项的系数为：22＝60，故答案为：60．12．【分析】先利用向量数量积的坐标运算得出，再解关于x的不等式即可．【解答】解：因为：向量；∴＝x2+2x；∴⇒x2+2x＜3⇒﹣3＜x＜1；故实数x的取值范围是：（﹣3，1）．故答案为：（﹣3，1）．13．【分析】直接由频率折线图得结论．【解答】解：由频率折线图可知，甲省控制较好，确诊人数趋于减少；乙省确诊人数相对稳定，也向好的趋势发展．故答案为：①甲省控制较好，确诊人数趋于减少；②乙省确诊人数相对稳定，也向好的趋势发展．14．【分析】由题意利用正弦函数的周期性和单调性，得出结论．【解答】解：函数的最小正周期为；若函数f（x）在区间（0，a）上单调递增，当x＝0时，2x+＝；当x＝a时，2x+＝2a+，∴2a+≤，∴0＜a≤，故答案为：π；．15．【分析】根据曲线性质求出集合A，B对应的图象，结合两角和差的正切公式进行求解即可．【解答】解：A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}，x≥0，y≥0时，即x+y＝a表示在第一象限内的线段将x，y分别换成﹣x，﹣y方程不变，因此|x|+|y|＝a关于x轴对称，也关于y轴对称那么，集合A＝{（x，y）||x|+|y|＝a，a＞0}表示点集为正方形，∵|xy|+1＝|x|+|y|∴|xy|﹣|x|﹣|y|+1＝0即（|x|﹣1）（|y|﹣1）＝0∴|x|＝1或|y|＝1即x＝±1，y＝±1B＝{（x，y）|x＝±1，或x＝±1}，表示2组平行线，A∩B为8个点，构成正八边形①如图1，∠AOB＝45°又A（1，a﹣1），∴tan∠xOA＝a﹣1，tan∠AOB＝tan2∠xOA＝＝＝1，即2a﹣2＝2a﹣a2，∴a2＝2∵a＞0，∴a＝②如图2，∠AOB＝45°又A（a﹣1，1）∴tan∠xOA＝，tan∠AOB＝tan2∠xOA＝＝＝＝1，即2a﹣2＝﹣2a+a2，∴a2﹣4a+2＝0，解得a＝2+或a＝2﹣（舍），综上a＝或a＝2+．故答案为：②③．三、解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）16．【分析】（Ⅰ）由题意知应选择①②，由①求出ω的值，由②结合题意求出φ的值，写出函数的解析式；（Ⅱ）根据x的取值范围，利用三角函数的图象与性质求出函数的值域．【解答】解：（Ⅰ）由题意知选择①②；由函数f（x）的周期为π，得ω＝＝2；又x＝是函数f（x）的对称轴，所以2×+φ＝+kπ，k∈Z；解得φ＝+kπ，k∈Z；又|φ|＜，所以φ＝；所以f（x）＝sin（2x+）．（Ⅱ）x∈[0，]时，2x+∈[，]，所以sin（2x+）∈[，1]，所以函数f（x）在x∈[0，]内的值域是[，1]．17．【分析】（Ⅰ）易证四边形AOBC是平行四边形，进而得到AB∥OC，由此得证；（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面OPC及平面PCD的法向量，利用向量公式得解；（Ⅲ）假设存在，设出点E的坐标，通过AB⊥DE时，它们的数量积为0，建立方程即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）连接OC，∵O是AD的中点，AD＝2BC＝2，BC∥AD，∴OA∥BC，且OA＝BC＝1，∴四边形AOBC是平行四边形，∴AB∥OC，∵AB不在平面POC内，OC在平面POC内，∴AB∥平面POC；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，四边形OBCD也为平行四边形，又OD＝CD＝1，CD⊥AD，∴四边形OBCD是正方形，则OB⊥OD，又PO⊥平面ABCD，故以O为坐标原点，OB，OD，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则O（0，0，0），P（0，0，2），C（1，1，0），D（0，1，0），，设平面OPC的一个法向量为，则，可取，设平面PCD的一个法向量为，则，可取，设二面角O﹣PC﹣D的平面角为θ，则；（Ⅲ）假设线段PC上存在点E，且满足，使得AB⊥DE，设E（r，t，s），则（r，t，s﹣2）＝λ（1，1，﹣2）＝（λ，λ，﹣2λ），故，即E （λ，λ，2﹣2λ），∴，又，∴，解得，故线段PC上存在点E，且满足，使得AB⊥DE．18．【分析】（I ）由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为，再求出结论即可；（II ）根据题意，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人，X ＝0，1，2，求出分布列和数学期望； （III ）根据题意，求出即可．【解答】解：（I ）由图表可知，测试成绩在80分以上的女生有2人，占比为， 在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数约为50×0.1＝5万人； （II ）由图表得，选取的8名男生中，成绩在70分以上的有3人，70分及其以下的有5人， 记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，选出的8名男生中随机抽取2人，则X ＝0，1，2， 则P （X ＝0）＝，P （X ＝1）＝，P （X ＝2）＝，X 的分布列如下：x 0 1 2 p故E （X ）＝0，（III ）m 的最小值为4．19．【分析】（Ⅰ）求出函数在x＝2处的导数f′（2）＝﹣+2＝tan＝1，解得a＝2；（Ⅱ）根据导函数在（1，e）上存在零点，则f′（x）＝0在（1，e）上有解，则有1＜＜e，即2＜a＜2e，得到函数f（x）的最小值，构造函数g（x）＝xlnx﹣﹣（1+ln2）x，2＜x＜2e，利用导数判断出其单调性，结合不等式传递性可证．【解答】（Ⅰ）解：根据条件f′（x）＝+2x﹣（a+2），则当x＝2时，f′（2）＝+4﹣（a+2）＝﹣+2＝tan＝1，解得a＝2；（Ⅱ）证明：因为f′（x）＝+2x﹣（a+2）＝，又因为导函数f′（x）在（1，e）上存在零点，所以f′（x）＝0在（1，e）上有解，则有1＜＜e，即2＜a＜2e，且当1＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以f（x）≥f（）＝aln+﹣（a+2）＝alna﹣﹣（1+ln2）a，设g（x）＝xlnx﹣﹣（1+ln2）x，2＜x＜2e，则g′（x）＝lnx+1﹣﹣（1+ln2）＝lnx﹣﹣ln2，则g′′（x）＝﹣＜0，所以g′（x）在（2，2e）上单调递减，所以g（x）在（2，2e）上单调递减，则g（2e）＝2eln2e﹣e2﹣2e（1+ln2）＝﹣e2＜g（2），所以g（x）＞﹣e2，则根据不等式的传递性可得，当x∈（1，e）时，f（x）＞﹣e2．20．【分析】（Ⅰ）易知，此时四边形ABCD为矩形，且，由此求得面积；（Ⅱ）设直线l1的方程，并与椭圆方程联立，可得到|AB|的长度，同理可得|CD|的长度，由|AB|＝|CD|，可得m2＝n2，进而得证；（Ⅲ）运用反证法，假设平行四边形ABCD为矩形，但此时推出直线l1⊥x轴，与题设矛盾，进而得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，，且四边形ABCD 为矩形，∴；（Ⅱ）证明：由题可设，l1：x＝ty+m（t∈R），A（x1，y1），B（x2，y2），由得，（t2+2）y2+2mty+m2﹣2＝0，∴，且△＝4m2t2﹣4（t2+2）（m2﹣2）＞0，即t2﹣m2+2＞0，∴＝＝，同理可得，∵四边形ABCD为平行四边形，∴|AB|＝|CD|，即m2＝n2，由m≠n，故m＝﹣n，即m+n＝0，即得证；（Ⅲ）不能为矩形，理由如下：点O到直线l1，直线l2的距离分别为，由（Ⅱ）可知，m＝﹣n，∴点O到直线l1，直线l2的距离相等，根据椭圆的对称性，原点O应为平行四边形ABCD的对称中心，假设平行四边形ABCD为矩形，则|OA|＝|OB|，那么，则，∴x1＝x2，这是直线l1⊥x轴，这与直线l1的斜率存在矛盾，故假设不成立，即平行四边形ABCD不为矩形．21．【分析】（Ⅰ）由“正整数分拆”的定义能求出整数4的所有“正整数分拆”．（Ⅱ）欲使k最大，只须a i最小，由此根据n为偶数和n为奇数，能求出k的最大值．（Ⅲ）当n为奇数时，f n＝0，满足f n≤g n；当n为偶数时，设（a1，a2，…，a k）为满足a1，a2，…，a k均为偶数的一个确定的“正整数分拆”，则他对应了各数均为奇数的分拆，从而f n≤g n；当n＝2时，f2＝g2；当n＝4时，f4＝g4；当n≥6时，f n≤g n．由此能证明f n≤g n，并能求出等号成立的n的值为2，4．【解答】解：（Ⅰ）解：整数4的所有“正整数分拆”有：（4），（1，3），（2，2），（1，1，2），（1，1，1，1，）．（Ⅱ）解：欲使k最大，只须a i最小，当n为偶数时，a1＝a2＝…＝a k＝2，k＝，当n为奇数时，a1＝a2＝…＝a k﹣1＝2，a k＝3，k＝．（Ⅲ）证明：①当n为奇数时，不存在a1，a2，…，a k均为偶数的一个确定的“正整数分拆”，即f n＝0，满足f n≤g n；②当n为偶数时，设（a1，a2，…，a k）为满足a1，a2，…，a k均为偶数的一个确定的“正整数分拆”，则他至少对应了（1，1，…，1）和（1，1，…，1，a1﹣1，a2﹣1，…，a k﹣1）这两种各数均为奇数的分拆，∴f n≤g n；③当n＝2时，a i均为偶数的“正整数分拆“只有：（2），a i均为奇数的”正整数分拆“只有：（1，1），f2＝g2；当n＝4时，a i均为偶数的”正整数分拆“只有：（4），（2，2），a i均为奇数的”正整数分拆“只有：（1，1，1），（1，3），f4＝g4；当n≥6时，对于每一种a i均为偶数的”正整数分拆“，除了各项不全为1的奇数分拆之外至少多出一个各为1的”正整数分拆“（1，1，…，1），∴f n≤g n．综上，使得f n≤g n中等号成立的n的值为2，4。
2020届全国大联考高三下学期4月联考数学(理)试卷及解析
2020届全国大联考高三下学期4月联考数学（理）试卷★祝考试顺利★(解析版)注意事项：1.考试前,请务必将考生的个人信息准确的输入在正确的位置.2.考试时间120分钟,满分150分.3.本次考试为在线联考,为了自己及他人,请独立完成此试卷,切勿翻阅或查找资料.4.考试结束后,本次考试原卷及参考答案将在网上公布.5.本卷考查内容：高考全部内容.一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.不等式110x ->成立的充分不必要条件是（ ） A. 1x >B. 1x >-C. 1x <-或01x <<D. 10x -≤≤或1x >【答案】A【解析】 求解不等式110x->的解集,其充分不必要条件即该解集的真子集即可. 【详解】解110x ->,()10,10x x x x ->->, 得()(),01,x ∈-∞+∞,其充分不必要条件即该解集的真子集,结合四个选项A 符合题意.故选：A2.复数12z i =+的共轭复数是z ,则z z ⋅=（ ）B. 3C. 5 【答案】C【解析】 根据 12z i =+,写出其共轭复数 12z i =-,即可求解.【详解】由题 12z i =+,其共轭复数 12z i =-,()()21212145z z i i i ⋅=+-=-=.故选：C3.已知随机变量()22,XN σ,若()130.36P X <<=,则()3P X ≥=（ ） A. 0.64B. 0.32C. 0.36D. 0.72 【答案】B【解析】根据正态分布密度曲线性质()3P X ≥=()()11130.322P X -<<=. 【详解】由题：随机变量()22,XN σ,若()130.36P X <<=, 则()3P X ≥=()()11130.322P X -<<=. 故选：B4.设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,由下列四个命题,其中正确的是（ ）A. 若,m m n α⊥⊥,则//n αB. 若//,//m n αα,则//m nC. 若//,m αβα⊂,则//m β.D. 若//m β,m α⊂,则//αβ.【答案】C【解析】A 选项可能n ⊂α,B 选项两条直线位置关系不能确定,C 选项正确,D 选项两个平面相交也能满足//m β,m α⊂. 【详解】A 选项,当,m m n α⊥⊥可能n ⊂α,所以该选项不正确；B 选项,平行于同一平面的两条直线可能平行,可能相交,可能异面,所以该选项不正确；C 选项,根据面面平行的性质,说法正确；D 选项,当两个平面相交,m α⊂且平行于交线,也满足//m β,m α⊂,所以不能推出面面平行. 故选：C5.已知sin 32πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭则cos 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）。
北京市中国人民大学附属中学2020届高三数学4月月考试题
北京市中国人民大学附属中学2020届高三数学4月月考试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．）1．若集合A ＝{x ∈R|3x +2＞0}，B ＝{x ∈R|x 2﹣2x ﹣3＞0}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x ∈R|x ＜﹣1} B ．{x ∈R|−1＜x ＜−23}C ．{x ∈R|−23＜x ＜3}D ．{x ∈R|x ＞3}2．向量a →，b →，c →在正方形网格中的位置如图所示．若向量λa →+b →与c →共线，则实数λ＝（ ）A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．23．设曲线C 是双曲线，则“C 的方程为x 2−y 24=1”是“C 的渐近线方程为y ＝±2x ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．某校象棋社团组织中国象棋比赛，采用单循环赛制，即要求每个参赛选手必须且只须和其他选手各比赛一场，胜者得2分，负者得0分，平局两人各得1分．若冠军获得者得分比其他人都多，且获胜场次比其他人都少，则本次比赛的参赛人数至少为（ ） A ．4B ．5C ．6D ．75．若抛物线y 2＝2px （p ＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p 的取值范围是（ ） A ．p ＜1B ．p ＞1C ．p ＜2D ．p ＞26．已知函数f （x ）＝cos （2x +φ）（φ为常数）为奇函数，那么cosφ＝（ ） A ．−√22B ．0C ．√22D ．17．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱为（ ）A．4 B．2√2C．√7D．28．已知函数f（x）={2−x−1，x≤0f(x−1)，x＞0，若方程f（x）＝x+a有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1）B．（﹣∞，1] C．（0，1）D．[0，+∞）9．定义：若存在常数k，使得对定义域D内的任意两个x1，x2（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，则称函数f（x）在定义域D上满足利普希茨条件．若函数f(x)=√x(x≥1)满足利普希茨条件，则常数k的最小值为（）A．4 B．3 C．1 D．1210．在边长为1的正方体中，E，F，G，H分别为A1B1，C1D1，AB，CD的中点，点P从G出发，沿折线GBCH 匀速运动，点Q从H出发，沿折线HDAG匀速运动，且点P与点Q运动的速度相等，记E，F，P，Q四点为顶点的三棱锥的体积为V，点P运动的路程为x，在0≤x≤2时，V与x的图象应为（）A．B．C ．D ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 11．代数式（1﹣x ）（1+x ）5的展开式中x 3的系数为 ． 12．在复平面内，复数z ＝1﹣2i 对应的点到原点的距离是 ． 13．已知函数若f(x)={|log 4x|，0＜x ≤4，x 2−10x +25，x ＞4.，a ，b ，c ，d 是互不相同的正数，且f （a ）＝f （b ）＝f （c ）＝f （d ），则abcd 的取值范围是 ． 14．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1的一条渐近线的倾斜角为60°，且与椭圆x 25+y 2=1有相等焦距，则C 的方程为15．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，公差d ＝2，S n +2﹣S n ＝36，则n ＝ ．16．如果对于函数f （x ）定义域内任意的两个自变量的值x 1，x 2，当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2），且存在两个不相等的自变量值y 1，y 2，使得f （y 1）＝f （y 2），就称f （x ）为定义域上的不严格的增函数．则①f(x)={x ，x ≥10，−1＜x ＜1x ，x ≤−1，②f(x)={1，x =−π2sinx ，−π2＜x ≤π2， ③f(x)={1，x ≥10，−1＜x ＜1−1，x ≤−1，④f(x)={x ，x ≥1x +1，x ＜1，四个函数中为不严格增函数的是 ，若已知函数g （x ）的定义域、值域分别为A 、B ，A ＝{1，2，3}，B ⊆A ，且g （x ）为定义域A 上的不严格的增函数，那么这样的g （x ）有 个．三、解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 17．（13分）已知{a n }是各项为正数的等差数列，S n 为其前n 项和，且4S n =(a n +1)2． （Ⅰ）求a 1，a 2的值及{a n }的通项公式； （Ⅱ）求数列{S n −72a n }的最小值．18．如图，在四棱锥E ﹣ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面ABCD ⊥平面ABE ，∠AEB ＝90°，BE ＝BC ，F 为CE 的中点，（1）求证：AE ∥平面BDF ；（2）求证：平面BDF ⊥平面ACE ；（3）2AE ＝EB ，在线段AE 上找一点P ，使得二面角P ﹣DB ﹣F 的余弦值为√1010，求AP 的长．19．（13分）某市旅游管理部门为提升该市26个旅游景点的服务质量，对该市26个旅游景点的交通、安全、环保、卫生、管理五项指标进行评分．每项评分最低分0分，最高分100分．每个景点总分为这五项得分之和，根据考核评分结果，绘制交通得分与安全得分散点图、交通得分与景点总分散点图如图：请根据图中所提供的信息，完成下列问题：（1）若从交通得分排名前5名的景点中任取1个，求其安全得分大于90分的概率；（2）若从景点总分排名前6名的景点中任取3个，记安全得分不大于90分的景点个数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望；（3）记该市26个景点的交通平均得分为x 1，安全平均得分为x 2，写出x 1和x 2的大小关系？（只写出结果）20．已知函数f （x ）=1x −x +alnx ．（Ⅰ）求f （x ）在（1，f （1））处的切线方程（用含a 的式子表示） （Ⅱ）讨论f （x ）的单调性；（Ⅲ）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2，证明：f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜a −2．21．（13分）已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的离心率为12，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线x ﹣y +√6=0相切．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设S 为椭圆右顶点，过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（异于S ），直线PS ，QS 分别交直线x ＝4于A ，B 两点．求证：A ，B 两点的纵坐标之积为定值．22．（13分）给定一个n 项的实数列a 1，a 2，⋯，a n (n ∈N ∗)，任意选取一个实数c ，变换T （c ）将数列a 1，a 2，…，a n 变换为数列|a 1﹣c |，|a 2﹣c |，…，|a n ﹣c |，再将得到的数列继续实施这样的变换，这样的变换可以连续进行多次，并且每次所选择的实数c 可以不相同，第k （k ∈N *）次变换记为T k （c k ），其中c k 为第k 次变换时选择的实数．如果通过k 次变换后，数列中的各项均为0，则称T 1（c 1），T 2（c 2），…，T k （c k ）为“k 次归零变换”．（Ⅰ）对数列：1，3，5，7，给出一个“k 次归零变换”，其中k ≤4； （Ⅱ）证明：对任意n 项数列，都存在“n 次归零变换”；（Ⅲ）对于数列1，22，33，…，n n，是否存在“n ﹣1次归零变换”？请说明理由．一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．） 1．A ={x ∈R|x ＞−23}，B ＝{x ∈R|x ＜﹣1，或x ＞3}；∴A ∩B ＝{x ∈R|x ＞3}． 故选：D ．2．根据图形可看出2a →+b →=c →； 满足2a →+b →与c →共线； ∴λ＝2． 故选：D ． 3．C 的方程为x 2−y 24=1，则双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，即充分性成立，双曲线y 24−x 2＝1的渐近线方程也是y ＝±2x ，即必要性不成立，故“C 的方程为x 2−y 24=1”是“C 的渐近线方程为y ＝±2x ”的充分不必要条件，故选：A ．4．由题意可得，冠军得分比其他参赛人员高，且获胜场次比其他人都少，所以冠军与其他匹配场次中，平均至少为3场，A 选项：若最少4人，当冠军3次平局时，得3分，其他人至少1胜1平局，最低得3分，故A 不成立，B 选项：若最少5人，当冠军1负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平，最低得3分，不成立，当冠军1胜3平局时，得5分，其他人至少2胜1平，最低得5分，不成立，故B不成立，C选项：若最少6人，当冠军2负3平局时，得3分，其他人至少1胜1平，最低得3分，不成立，当冠军1胜4平局时，得6分，其他人至少2胜1平，最低得5分，成立，故C成立，D选项：7＞6，故不为最少人数，故不成立，故选：C．5．∵设P为抛物线的任意一点，则P到焦点的距离等于到准线：x=−p2的距离，显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值p2．∴p2＞1，即p＞2．故选：D．6．由于函数f（x）＝cos（2x+φ）（φ为常数）为奇函数，则φ＝kπ+π2，k∈z，∴cosφ＝0，故选：B．7．由三视图可知几何体为四棱锥S﹣ABCD，由侧视图可知棱锥底面ABCD是边长为2的正方形，顶点S在底面ABCD上的射影M为CD的中点，由主视图可知SM=√3，∴AM=√5，SA=√AM2+SM2=2√2．由对称性可知SB＝SA＝2√2．∴几何体最长的棱为2√2．故选：B．8．函数f（x）={2−x−1，x≤0f(x−1)，x＞0的图象如图所示，当a＜1时，函数y＝f（x）的图象与函数y＝x+a的图象有两个交点，即方程f（x）＝x+a有且只有两个不相等的实数根．故选：A．9．由已知中中利普希茨条件的定义若函数f（x）=√x（x≥1）满足利普希茨条件，所以存在常数k，使得对定义域[1，+∞）内的任意两个x1，x2（x1≠x2），均有|f（x1）﹣f（x2）|≤k|x1﹣x2|成立，不妨设x1＞x2，则k≥√x1−√x2x1−x2=√x+√x．而0√x+√x 12，所以k的最小值为12．故选：D．10．（1）当0≤x≤12时，点P与点Q运动的速度相等根据下图得出：面OEF把几何体PEFQ分割为相等的几何体，∵S△OEF=12×1×1=12，P到面OEF的距离为x，V PEFQ＝2V P﹣OEF＝2×13×12x＝2•x6=x3，23（2）当12＜x≤32时，P在AB上，Q在C1D1上，P到12，S△OEF=12×1×1=12，V PEFQ＝2V P﹣OEF＝2×13×12×12=16=定值．（3）当32＜x ≤2时，S △OEF =12×1×1=12，P 到面OEF 的距离为2﹣x ，V PEFQ ＝2V P ﹣OEF ＝2×13×12×（2﹣x ）=23−13x ，V ={ x 3，0≤x ＜1216，12≤x ＜3223−13x ，32≤x ≤2故选：C ．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）11．∵（1﹣x ）（1+x ）5＝（1﹣x ）（C 50+C 51•x +C 52•x 2+C 53•x 3+C 54•x 4+C 55•x 5）， ∴（1﹣x ）（1+x ）5展开式中x 3的系数为1×C 53−1×C 52=0．故答案为：0．12．复数z ＝1﹣2i 对应的点（1，﹣2）到原点的距离d =√12+(−2)2=√5． 故答案：√5．13．先画出函数f(x)={|log 4x|，0＜x ≤4，x 2−10x +25，x ＞4.的图象，如图：∵a ，b ，c ，d 互不相同，不妨设a ＜b ＜c ＜d ． 且f （a ）＝f （b ）＝f （c ）＝f （d ）， 而﹣log 4a ＝log 4b ，即有log 4a +log 4b ＝0， 可得ab ＝1， 则abcd ＝cd ，由c +d ＝10，可得cd ＜（c+d 2）2＝25，且cd ＝c （10﹣c ）＝﹣（c ﹣5）2+25， 当c ＝4时，d ＝6，cd ＝24，但此时b ，c 相等，故abcd 的范围为（24，25）． 故答案为：（24，25）．14．由椭圆的方程可得焦距为4，再由双曲线的渐近线方程可得：ba =tan60°=√3，由题意可得a 2+b 2＝4，解得：a 2＝1，b 2＝3， 所以双曲线的方程为：x 2−y 23=1；故答案为：x 2−y 23=1．15．∵等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＝2， 则S n =n +2n(n−1)2=n 2，S n+2=(n +2)2， 由S n +2﹣S n ＝36，得（n +2）2﹣n 2＝2（2n +2）＝36，解得：n ＝8． 故答案为：8．16．由已知中：函数f （x ）定义域内任意的两个自变量的值x 1，x 2， 当x 1＜x 2时，都有f （x 1）≤f （x 2），且存在两个不相等的自变量值y 1，y 2，使得f （y 1）＝f （y 2）， 就称f （x ）为定义域上的不严格的增函数．①f(x)={x ，x ≥10，−1＜x ＜1x ，x ≤−1，满足条件，为定义在R 上的不严格的增函数；②f(x)={1，x =−π2sinx ，−π2＜x ≤π2，当x 1=−π2，x 2∈（−π2，π2），f （x 1）＞f （x 2），故不是不严格的增函数； ③f(x)={1，x ≥10，−1＜x ＜1−1，x ≤−1，满足条件，为定义在R 上的不严格的增函数；④f(x)={x ，x ≥1x +1，x ＜1，当x 1=12，x 2∈（1，32），f （x 1）＞f （x 2），故不是不严格的增函数；故已知的四个函数中为不严格增函数的是①③；∵函数g （x ）的定义域、值域分别为A 、B ，A ＝{1，2，3}，B ⊆A ，且g （x ）为定义域A 上的不严格的增函数，则满足条件的函数g （x ）有：g （1）＝g （2）＝g （3）＝1， g （1）＝g （2）＝g （3）＝2， g （1）＝g （2）＝g （3）＝3， g （1）＝g （2）＝1，g （3）＝2， g （1）＝g （2）＝1，g （3）＝3， g （1）＝g （2）＝2，g （3）＝3， g （1）＝1，g （2）＝g （3）＝2， g （1）＝1，g （2）＝g （3）＝3， g （1）＝2，g （2）＝g （3）＝3，故这样的函数共有9个， 故答案为：①③；9．三、解答题（本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 17．（Ⅰ）∵4S n =(a n +1)2，∴当n ＝1时，4a 1=(a 1+1)2，解得a 1＝1，当n ＝2时，4(1+a 2)=(a 2+1)2，解得a 2＝﹣1或a 2＝3， ∵{a n }是各项为正数的等差数列， ∴a 2＝3，得{a n }的公差d ＝a 2﹣a 1＝2，∴数列{a n }的通项公式a n ＝a 1+（n ﹣1）d ＝2n ﹣1； （Ⅱ）∵4S n =(a n +1)2， ∴S n =(2n−1+1)24=n 2，∴S n −72a n =n 2−72(2n −1)=n 2−7n +72=(n −72)2−354，当n ＝3或n ＝4时，S n −72a n 取得最小值为−172．18．证明：（1）设AC ∩BD ＝G ，连接FG ，易知G 是AC 的中点， ∵F 是EC 中点．∴在△ACE 中，FG ∥AE ，…（2分） ∵AE ⊄平面BFD ，FG ⊂平面BFD ， ∴AE ∥平面BFD ．…（2）∵平面ABCD ⊥平面ABE ，BC ⊥AB ， 平面ABCD ∩平面ABE ＝AB ，∴BC ⊥平面ABE ，又∵AE ⊂平面ABE ， ∴BC ⊥AE ，又∵AE ⊥BE ，BC ∩BE ＝B ，∴AE ⊥平面BCE ，即AE ⊥BF ，…（6分） 在△BCE 中，BE ＝CB ，F 为CE 的中点， ∴BF ⊥CE ，AE ∩CE ＝E ， ∴BF ⊥平面ACE ， 又BF ⊂平面BDF ， ∴平面BDF ⊥平面ACE ．… （3）如图建立坐标系，设AE ＝1，则B （2，0，0），D （0，1，2），C （2，0，2），F （1，0，1），设P （0，a ，0），BD →=(−2，1，2)，BF →=(−1，0，1)，PB →=(2，−a ，0) 设n 1→⊥面BDF ，且n 1→=(x 1，y 1，z 1)，则由n 1→⊥BD →得﹣2x 1+y 1+2z 1＝0， 由n 1→⊥BF →得﹣x 1+z 1＝0，令z 1＝1得x 1＝1，y 1＝0，从而n 1→=(1，0，1)⋯ 设n 2→⊥面BDP ，且n 2→=(x 2，y 2，z 2)，则 由n 2→⊥BD →得﹣2x 2+y 2+2z 2＝0， 由n 2→⊥PB →得2x 2﹣ay 2＝0，令y 2＝2得x 2＝a ，z 2＝a ﹣1，从而n 2→=(a ，2，a −1)， cosθ=|n 1→⋅n 2→||n 1→|⋅|n 2→|=√2⋅√a 2+4+(a−1)2=√1010， 解得a ＝0或a ＝1（舍）即P 在E 处．…19．（1）由图象可知交通得分排名前5名的景点中，安全得分大于90分的景点有3个， ∴从交通得分排名前5名的景点中任取1个，其安全得分大于90分的概率为35．（2）结合两图象可知景点总分排名前6名的景点中，安全得分不大于90分的景点有2个， ξ的可能取值为0，1，2．P （ξ＝0）=C 43C 63=15，P （ξ＝1）=C 42⋅C 21C 63=35，P （ξ＝2）=C 41⋅C 22C 63=15，∴ξ的分布列为： ξ12P153515∴E （ξ）＝0×15+1×35+2×15=1．（3）由图象可知26个景点的交通得分全部在80分以上，主要集中在85分附近， 安全得分主要集中在80分附近，且80分以下的景点接近一半，故而x 1＞x 2． 20．（Ⅰ）∵f （x ）=1x −x +alnx （x ＞0） ∴f ′（x ）=−x 2+ax−1x 2（x ＞0）∴当x ＝1时，f （1）＝0，f ′（1）＝﹣2+a ，设切线方程为y ＝（﹣2+a ）x +b ，代入（1，0），得b ＝2﹣a ， ∴f （x ）在（1，f （1））处的切线方程为y ＝x +2﹣a ． （Ⅱ）函数的定义域为（0，+∞）， 函数的导数f ′（x ）=−x 2+ax−1x 2−，设g （x ）＝﹣x 2+ax ﹣1，注意到g （0）＝﹣1，①当a ≤0时，g （x ）＜0恒成立，即f ′（x ）＜0恒成立，此时函数f （x ）在（0，+∞）上是减函数； ②当a ＞0时，判别式△＝a 2﹣4，1°当0＜a ≤2时，△≤0，即g （x ）≤0，即f ′（x ）≤0恒成立，此时函数f （x ）在（0，+∞）上是减函数；2°当a ＞2时，令f ′（x ）＞0，得：a−√a 2−42＜x ＜a+√a 2−42；令f ′（x ）＜0，得：0＜x ＜a−√a 2−42或x ＞a+√a 2−42；∴当a ＞2时，f （x ）在区间（a−√a 2−42，a+√a 2−42）单调递增，在（0，a−√a 2−42），（a+√a 2−42，+∞）单调递减；综上所述，综上当a ≤2时，f （x ）在（0，+∞）上是减函数， 当a ＞2时，在（0，a−√a 2−42），（a+√a 2−42，+∞）上是减函数，在区间（a−√a 2−42，a+√a 2−42）上是增函数．（Ⅲ）（2）由（1）知a ＞2，0＜x 1＜1＜x 2，x 1x 2＝1， 则f （x 1）﹣f （x 2）=1x 1−x 1+alnx 1﹣[1x 2−x 2+alnx 2]＝（x 2﹣x 1）（1+1x1x 2）+a （lnx 1﹣lnx 2）＝2（x 2﹣x 1）+a （lnx 1﹣lnx 2）， 则f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2=−2+a(lnx 1−lnx 2)x 1−x 2，则问题转为证明lnx 1−lnx 2x 1−x 2＜1即可，即证明lnx 1﹣lnx 2＞x 1﹣x 2， 则lnx 1﹣ln 1x＞x 1−1x 1，即lnx 1+lnx 1＞x 1−1x 1，即证2lnx 1＞x 1−1x 1在（0，1）上恒成立，设h （x ）＝2lnx ﹣x +1x 1，（0＜x ＜1），其中h （1）＝0，求导得h ′（x ）=2x−1−1x 2=−x 2−2x+1x 2=−(x−1)2x 2＜0，则h （x ）在（0，1）上单调递减， ∴h （x ）＞h （1），即2lnx ﹣x +1x ＞0， 故2lnx ＞x −1x ， 则f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2＜a ﹣2成立．21．解（Ⅰ）由题意得：e =c a=12，b =√6|√2=√3，a 2＝b 2+c 2，解得：a 2＝4，b 2＝3，所以椭圆的方程：x 24+y 23=1；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得，S （2，0），右焦点F （1，0）由题意得，直线l 的斜率不为零，设直线l 为：x ＝my +1，设P （x '，y '），Q （x ''，y ''），联立直线l 与椭圆的方程整理得：（4+3m 2）y 2+6my ﹣9＝0，∴y '+y ''=−6m 4+3m 2，y 'y ''=−94+3m 2；∵k PF =y ′x ′−2，设直线FP ：y =y ′x ′−2（x ﹣2），与x ＝4联立，得y =2y ′x ′−2，即y A =2y ′x ′−2， 同理可得：y B =2y ″x ″−2，∴y A y B =4y ′y ″(x ′−2)(x ″−2)=4y ′y ″(my ′−1)(my ″−1)=4y ′y ″m 2y ′y ″−m(y ′+y ″)+1=−364+3m 2−9m 24+3m 2−m −6m4+3m 2+1=−364=−9，为定值，所以A ，B 两点的纵坐标之积为定值﹣9．22．（Ⅰ）方法1：T 1（4）：3，1，1，3；T 2（2）：1，1，1，1；T 3（1）：0，0，0，0．方法2：T 1（2）：1，1，3，5；T 2（2）：1，1，1，3；T 3（2）：1，1，1，1；T 4（1）：0，0，0，0．．… （Ⅱ）经过k 次变换后，数列记为a 1(k)，a 2(k)，⋯，a n (k)，k ＝1，2，…． 取c 1=12(a 1+a 2)，则a 1(1)=a 2(1)=12|a 1−a 2|，即经T 1（c 1）后，前两项相等；取c 2=12(a 2(1)+a 3(1))，则a 1(2)=a 2(2)=a 3(2)=12|a 3(1)−a 2(1)|，即经T 2（c 2）后，前3项相等； …设进行变换T k （c k ）时，其中c k =12(a k(k−1)+a k+1(k−1))，变换后数列变为a 1(k)，a 2(k)，a 3(k)，⋯，a k+1(k)，a k+2(k)，⋯，a n (k)，则a 1(k)=a 2(k)=a 3(k)=⋯=a k+1(k)； 那么，进行第k +1次变换时，取c k+1=12(a k+1(k)+a k+2(k))， 则变换后数列变为a 1(k+1)，a 2(k+1)，a 3(k+1)，⋯，a k+1(k+1)，a k+2(k+1)，a k+3(k+1)，⋯，a n(k+1)，显然有a 1(k+1)=a 2(k+1)=a 3(k+1)=⋯=a k+1(k+1)=a k+2(k+1)；…经过n ﹣1次变换后，显然有a 1(n−1)=a 2(n−1)=a 3(n−1)=⋯=a n−1(n−1)=a n(n−1)；最后，取c n =a n(n−1)，经过变换T n （c n ）后，数列各项均为0．所以对任意数列，都存在“n 次归零变换”． …（9分） （Ⅲ）不存在“n ﹣1次归零变换”．…证明：首先，“归零变换”过程中，若在其中进行某一次变换T j（c j）时，c j＜min{a1，a2，…，a n}，那么此变换次数便不是最少．这是因为，这次变换并不是最后的一次变换（因它并未使数列化为全零），设先进行T j（c j）后，再进行T j+1（c j+1），由||a i﹣c j|﹣c j+1|＝|a i﹣（c j+c j+1）|，即等价于一次变换T j（c j+c j+1），同理，进行某一步T j（c j）时，c j＞max{a1，a2，…，a n}；此变换步数也不是最小．由以上分析可知，如果某一数列经最少的次数的“归零变换”，每一步所取的c i满足min{a1，a2，…，a n}≤c i≤max{a1，a2，…，a n}．以下用数学归纳法来证明，对已给数列，不存在“n﹣1次归零变换”．（1）当n＝2时，对于1，4，显然不存在“一次归零变换”，结论成立．（由（Ⅱ）可知，存在“两次归零变换”变换：T1(52)，T2(32)）（2）假设n＝k时成立，即1，22，33，…，k k不存在“k﹣1次归零变换”．当n＝k+1时，假设1，22，33，…，k k，（k+1）k+1存在“k次归零变换”．此时，对1，22，33，…，k k也显然是“k次归零变换”，由归纳假设以及前面的讨论不难知1，22，33，…，k k不存在“k﹣1次归零变换”，则k是最少的变换次数，每一次变换c i一定满足1≤c i≤k k，i＝1，2，…，k．因为|⋯||(k+1)k+1−c1|−c2|−⋯−c k|=(k+1)k+1−(c1+c2+⋯+c k)≥（k+1）k+1﹣k•k k＞0所以，（k+1）k+1绝不可能变换为0，与归纳假设矛盾．所以，当n＝k+1时不存在“k次归零变换”．由（1）（2）命题得证．…（13分）。
北京市人大附中2020届高三上学期理科数学练习卷(一)
北京市人大附中2020届高三上学期理科数学练习卷(一)本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡交回。
第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．设U ∈R ，{}2,1,0,1,2A =--，{}1B x x =≥，则U A B =I ð（ ） A ．{}1,2B ．{}1,0,1-C ．{}2,1,0--D ．{}2101--,,, 2．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>在区间72,123ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且14f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，304f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ω的最大值为（ ） A ．7B ．9C ．11D ．133．已知函数()f x 的图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能是（ ）A ．()()=44xxf x x -+ B ．()()244log x x f x x -=-C ．()2()44log||x xf x x -=+D ．()12()44log x xf x x -=+ 4．最近各大城市美食街火爆热开，某美食店特定在2017年元旦期间举行特大优惠活动，凡消费达到88元以上者，可获得一次抽奖机会.已知抽奖工具是一个圆面转盘，被分为6个扇形块，分别记为1，2，3，4，5，6，其面积成公比为3的等比数列（即扇形块2是扇形块1面积的3倍），指针箭头指在最小的1区域内时，就中“一等奖”，则一次抽奖抽中一等奖的概率是（ ） A ．140B ．1121C ．1364D ．110935．已知实数x ，y 满足210020x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．16的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A．12 B．12+ C．12D．127．依照某发展中国家2018年的官方资料，将该国所有家庭按年收入从低到高的顺序平均分为五组，依次为第一组至第五组，各组家庭的年收入总和占该国全部家庭的年收入总和的百分比如图所示.以下关于该国2018年家庭收入的判断，一定正确的是（ ） A ．至少有60%的家庭的年收入都低于全部家庭的平均年收入B ．收入最低的那20%的家庭平均年收入为全部家庭平均年收入的3.6%C ．收入最高的那30%的家庭年收入总和超过全部家庭年收入总和的58%D ．收入最低的那50%的家庭年收入总和超过全部家庭年收入总和的20%8．已知函数21120(2)()3021x a x x a x f x x a -⎧>+-+⎪=⎨≤⎪-⎩，，（>0a ，且1a ≠）在R 上单词递增，且函数=||()y f x 与=+2y x 的图象恰有两个不同的交点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．5,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．7,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．75,432⎧⎫⎡⎤⋃⎨⎬⎢⎥⎩⎭⎣⎦D ．75,432⎧⎫⎛⎤⋃⎨⎬ ⎥⎩⎭⎝⎦第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市人大附中2020届高三第二学期数学统练试题及答案(一)
人大附中高三下学期数学统练（一） 3.24一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．） 1.若复数a+i 2i的实部与虚部相等，则实数a =（）A.−1B.1C.−2D.22.若集合A ={y |y =sinx,x ∈R },B ={−2,−1,0,1,2},则集合(∁R A)∩B 等于() A.{−2,−1} B.{−2,−1,0,1,2}C.{−2,−1,2}D.{−2,2}3.如图，在边长为a 的正方形内有不规则图形Ω.向正方形内随机撒豆子，若撒在图形Ω内和正方形内的豆子数分别为m,n ，则图形Ω面积的估计值为（） A.ma nB.namC.ma 2nD.na 2m4.下列函数中，为偶函数且有最小值的是() A.f (x )=x 2+x B.f (x )=|lnx | C.f (x )=xsinxD.f (x )=e x +e −x5.在四边形ABCD 中，“∃λ∈R,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =λDC,⃗⃗⃗⃗⃗⃗ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件6.从原点向圆x 2+y 2−12y +27=0作两条切线，则该圆夹在两条切线间的劣弧长为（） A ．πB ．2πC ．4πD ．6π7.双曲线的左右焦点分别为F 1,F 2且F 2恰为抛物线y 2=4x 的焦点，设双曲线C 与该抛物线的一个交点为A ，若∆F 1F 2是以AF 1为底边的等腰三角形，则双曲线C 的离心率为() A.√2B.1+√2C.1+√3D.2+√38.已知函数f (x )=log 2x −2log 2(x +c ),其中c >0.若对于任意的x ∈(0,+∞),都有f (x )≤1，则c 的取值范围是（） A.(0,14]B.[14,+∞)C.(0,18]D.[18,+∞)9.如果存在正整数ω和实数φ使得函数f(x)=cos2(ωx+φ)（ω,φ为常数）的图象如图所示（图象经过点(1,0)），那么ω的值为()A．1B．2C．3D.410.如图所示，在平面多边形AQBRCSDP中，SD=PD，CR=SC，AQ=AP，点S,D,A,Q 及P,D,C,R共线，四边形ABCD是正方形，沿图中虚线将它们折叠起来，使P，Q，R，S四点重合，围成一个多面体，设该几何体的互相垂直的面有n对，则（）A.n=3B.n=4C.n=5D.n=6二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分．）11.二项式(2x+1x)5的展开式中x3的系数为.12.如图，三棱柱ABC−A1B1C1的侧棱长和底面边长均为2，且侧棱AA1⊥底面ABC，其正（主）视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为.13..在∆ABC中，a,b,c分别为角A,B,C所对的边，且满足b=7asinB，则sinA=若B=60°，则sinC=14.设某商品的需求函数为Q=100−5P,，其中Q,P分别表示需求量和价格，如果商品需求弹性EQEP 大于1（其中EQEP=−Q′QP,Q′是Q的导数），则商品价格的取值范围是.15.已知函数y=f(x)是R上的偶函数，对任意x∈R，都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立，当x1,x2∈[0,2]且x1≠x2时，都有f(x2)−f(x1)x2−x1>0给出下列命题：（1）且f(2)=0是T=4是函数f(x)的一个周期（2）直线是函数的一条对称轴（3）函数y=f(x)在[−6,−4]上是增函数（4）函数y=f(x)在[−6,6]上有四个零点.其中正确命题的序号为___________（把所有正确命题的序号都填上）三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）（16）(本小题满分14分),a4=4,n∈N∗在等比数列{a n}中，a1=12（I）求数列{a n}的通项公式；（II）设b n=a n+n−6,，数列{b n}的前n项和为S n，若S n>0，求n的最小值.17.（本小题满分14分）为了解甲、乙两个快递公司的工作状况，假设同一个公司快递员的工作状况基本相同，现从甲、乙两公司各随机抽取一名快递员，并从两人某月（30天）的快递件数记录结果中随机抽取10天的数据，制表如下：每名快递员完成一件货物投递可获得的劳务费情况如下：甲公司规定每件4.5元；乙公司规定每天35件以内（含35件）的部分每件4元，超出35件的部分每件7元.（Ⅰ）根据表中数据写出甲公司员工A在这10天投递的快递件数的平均数和众数；（Ⅱ）为了解乙公司员工B的每天所得劳务费的情况，从这10天中随机抽取1天，他所得的劳务费记为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）根据表中数据估算两公司的每位员工在该月所得的劳务费.18.（本小题满分15分）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠ABC=90°，D为AC中点，AE⊥BD于E，延长AE交BC于F，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图2所示.（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCD；（Ⅱ）求二面角A–DC–B的余弦值．（Ⅲ）在线段AF上是否存在点M使得EM∥平面ADC？若存在,请指明点M的位置；若不存在，请说明理由.19.（本小题满分14分）已知函数f (x )=12x 2−alnx (a >0).（Ⅰ）若a =2,求f (x )在(1,f(1))处的切线方程； （Ⅱ）求f (x )在区间[1,e]上的最小值；（III ）若f (x )在区间[1,e]上恰有两个零点，求a 的取值范围. 20.（本小题满分14分）已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1,(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1(−c,0)、F 2(c,0),|F 1F 2|=4√2,离心率e =2√23.过直线l:x =a 2c上任意一点M ，引椭圆C 的两条切线，切点为A 、B .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）①在圆中有如下结论：“过圆x 2+y 2=r 2上一点P(x 0,y 0)处的切线方程为：x 0x +y 0y =r 2".由上述结论类比得到:“过椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1,(a >b >0),上一点P(x 0,y 0)处的切线方程”（只写类比结论，不必证明）. ②利用①中的结论证明直线AB 恒过定点(2√2,0).21.（本小题满分14分）在数列中{a n }中，a n =1n (n ∈N ∗)从数列{a n }中选出k(k ≥3)项并按原顺序组成的新数列记为{b n }，并称{b n }为数列{a n }的k 项子列.例如数列12,13,15,18为{a n }的一个4项子列.（Ⅰ）试写出数列{a n }的一个3项子列，并使其为等差数列；（Ⅱ）如果{b n }为数列{a n }的一个5项子列，且{b n }为等差数列，证明：{b n }的公差d 满足−18<d <0;（Ⅲ）如果{c n }为数列{a n }的一个m(m ≥3)项子列，且{c n }为等比数列，证明：c 1+c 2+c 3+···+c m ≤2−12m−1人大附中高三下数学统练一参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上．） 1.A 2.D 3.C 4.D 5.C 6.B 7.B 8.D 9.B 10.C11.80 12.2√3 13.17;1314 14.(10,20)15.（1），（2），（4）；（注：14题少解给3分，有错解不给分）三、解答题（共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） （16）(本小题满分14分)解：（I ）由数列{a n }为等比数列，且a 1=12,a 4=4 得a 4=a 1q 3=4,解得q =2,···············2分则数列{a n }的通项公式a n =a 1q n−1=2n−2,n ∈N ∗····················5分 （II ）b n =a n +n −6=n −6+2n−2,S n =(−5−4+···+n −6)+(2−1+20+···+2n−2)=n(n−11)2+2n −12,·················10分当n ≥5时，n(n−11)2≥−15，2n −12≥312，所以S n >0;则n =4时，S 4=−4×7+24−12<0; 当n =3时，S 3=−3×8+23−12<0; 当n =2时，S 2=−2×9+22−12<0; 当n =1时，S 1=−1×10+21−12<0;所以，n 的最小值为5.………………..14分 17.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）甲公司员工A 投递快递件数的平均数为36，众数为33.………………..4分 （Ⅱ）设a 为乙公司员工B 投递件数，则当a =34时，X =136元，当a >35时，X =35×4+(a −35)×7元，X 的可能取值为136,147,154,189,203 X 的分布列为：X 136 147 154 189 203P110 310 210 310 110E (X )=136×110+147×310+154×210+189×310+203×110=165510=165.5（元）.………………..11分（Ⅲ）根据图中数据，可估算甲公司被抽取员工该月收入4860元，乙公司被抽取员工该月收入4965元.………………..14分 18.（本小题满分15分）（Ⅰ）因为平面ABD ⊥平面BCD ，交线为BD ， 又在∆ABD 中，AE ⊥BD 于E ，AE ⊂平面ABD 所以AE ⊥平面BCD ,………………..4分（Ⅱ）由（Ⅰ）结论AE ⊥平面BCD 可得AE ⊥EF . 由题意可知EF ⊥BD ，又AE ⊥BD .如图，以E 为坐标原点，分别以EF,ED,EA 所在直线 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系E −xyz , 不妨设AB =BD =DC =AD =2，则BE =ED =1. 由图1条件计算得，AE =√3,BC =2√3,BF =√33则E (0,0,0),D (0,1,0),B (0,−1,0),A(0,0,√3),F (√33,0,),C(√3,2,0),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,1,0),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,−√3)由AE ⊥平面BCD 可知平面DCB 的法向量为EA ⃗⃗⃗⃗⃗ 设平面ADC 的法向量为n =(x,y,z)，则 {n ·DC⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.即{√3x +y =0,y −√3z =0.令z =1，则y =√3,x =1，所以n =(1,√3,−1), 平面DCB 的法向量为EA ⃗⃗⃗⃗⃗ 所以cos <n,EA ⃗⃗⃗⃗⃗ >=EA⃗⃗⃗⃗⃗ ·n |EA⃗⃗⃗⃗⃗ |·|n|=−√55, 所以二面角A −DC −B 的余弦值为√55··············10分 （III ）设AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ∈[0,1]由于AF⃗⃗⃗⃗⃗ =(√33,0,−√3) 所以AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(√33,0,−√3),其中λ∈[0,1], 所以EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(√33λ,0(1−λ)√3),由EM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·n =0,即√33λ−(1−λ)√3=0,解得λ=34∈(0,1).所以在线段AF 上存在点M 使EM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∥平面ADC ,且AM AF=34···············15分 19.（本小题满分14分）解：（I ）a =2,f (x )=12x 2−2lnx,f ′(x )=x −2x ,f ′(1)=−1,f (1)=12f (x )在(1,f (1))处的切线方程为2x +2y −3=0.………………..3分 （II ）由f ′(x )=x −ax =x 2−a x由a >0及定义域为(0,+∞)，令f′(x)=0,得x =√a .①若√a ≤1,即0<a ≤1,在(1,e)上，f′(x)>0，f(x)在[1,e]上单调递增， 因此,f(x)在区间[1,e]的最小值为f (1)=12②若1<√a <e ,即1<a <e 2,在（1,√a)上，f′(x)<0，f(x)单调递减；在(√a,e)上， f′(x)>0，f(x)单调递增，因此f(x)在区间[1,e]上的最小值为f(√a)=12a(1−lna).③若√a ≥e ,即a ≥e 2,在(1,e)上，f′(x)<0，f(x)在[1,e]上单调递减， 因此,f(x)在区间[1,e]上的最小值为f (e )=12e 2−a综上，当0<a ≤1时，f min (x )=12；当1<a <e 2时，f min (x )=12a (1−lna ); 当a ≥e 2时，f min (x )=12e 2−a;····················9分(III)由（II ）可知当0<a ≤1或a ≥e 2时，f(x)在(1,e)上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点.当1<a <e 2时，要使f(x)在区间(1,e)上恰有两个零点，则{ 12a(1−lna)<0f (1)=12>0,f (e )=12e 2−a >0即{a >e a <12e 2,此时，e <a <12e 2所以，a的取值范围为(e,12e2)·············14分20.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由F1F2=4√2，离心率e=2√23得c=2√2,a=3∴b=1椭圆C的方程为：x 29+y2=1;···················5分（Ⅱ）①类比圆的切线方程得：过椭圆C:x 29+y2=1上一点P(x0,y0)处的切线方程为：x0x9+y0y=1···················8分②l的方程为：x=9√24············9分设A(x1,y1)，B(x2,y2)，M的纵坐标为t，即M(9√24,t),············10分由①的结论MA的方程为x1x9+y1y=1···············11分又其过M(9√24,t)点，∴√2x1+4ty1=4∗同理有√2x2+4ty2=4∗∗·················12分∴点A(x1,y1)，B(x2,y2)，在直线√2x+4ty=4上············13分当x=2√2,y=0时，方程√2x+4ty=4恒成立，∴直线AB过定点(2√2,0)··········14分21.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：答案不唯一.如3项子列12,13,16;·················3分（Ⅱ）证明：由题意，知1≥b1>b2>b3>b4>b5>0，所以d=b2−b1<0.………………4分若b1=1，由{b n}为{a n}的一个5项子列，得b2≤12，所以d=b2−b1≤12−1=−12b5=b1+4d,b5>0,所以4d=b5−b1=b5−1>−1,即d>−14这与d≤−12矛盾。
北京市中国人民大学附属中学2020届高三数学开学复习质量检测试题(含解析)
北京市中国人民大学附属中学2020届高三数学开学复习质量检测试题（含解析）一、选择题1.设i 为虚数单位，则复数1i z =-的模z =（ ）．A. 1C. 2D. 【答案】B 【解析】分析：根据复数模的定义求解.详解：1i z =-，z ==B ．点睛：对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=-++∈a bi c di ac bd ad bc i a b c d R . 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)a bi a b R +∈的实部为a 、虚部为b 、对应点为(,)a b 、共轭为.-a bi 2.已知全集U =R ，若集合{}2|0=-<A x x x ，则UA（ ）．A. {|0x x ≤或}1x ≥B. {|0x x <或}1x >C. {}1|0x x <<D. {}|1x x ≥【答案】A 【解析】分析：先解一元二次不等式得集合A ，再根据补集定义得结果. 详解：∵集合{}{}2|0|01A x x x x x =-<=<<，∴{|0Ux A x =≤或1}x ≥，故选A ．点睛：求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解． 3.命题p ：∀x>0，1x e >，则p ⌝是 A. ∃00x ≤，01x e ≤ B. ∃00x >，01x e ≤ C. ∀0x >，1x e ≤ D. ∀0x ≤，1x e ≤【答案】A【解析】试题分析：p ⌝是00,1xx e ∃>≤考点：本题考查命题的否定点评：全称命题的否定将任意改为存在，否定结论4.若a ， b 是两个非零的平面向量，则“||a b =”是“()()0a b a b +⋅-=”的（ ）． A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】()()220a b a b ab +⋅-=-=，得a b =，所以是充要条件，故选C.5.已知1211ln ,sin ,222a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D. b c a <<【答案】A 【解析】 【分析】结合指数、对数及三角函数的性质判断大小即可【详解】1ln 02a =<，11sin sin ,262b π=<=10,2b ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，121222c -==>=，1,12c ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，故a b c <<，故选：A【点睛】本题考查根据指数函数、对数函数、三角函数的性质比大小，熟记基本函数的图象特点是关键，属于基础题6.一个四棱锥的三视图如图所示，那么对于这个四棱锥，下列说法中正确的是（ ）A. 最长棱的棱长为6B. 最长棱的棱长为3C. 侧面四个三角形都是直角三角形D. 侧面四个三角形中有且仅有一个是正三角形 【答案】C 【解析】【详解】本题考查空间几何体的三视图和线线垂直，根据四棱锥的三视图，可得到四棱锥的直观图S ABCD -（如图所示）：由图可知，2SA AD ==，1AB BC ==，SA ⊥面ABCD ，AD ⊥面SAB ，AD BC ∥， 所以Rt SAB ，Rt SAD ，Rt SBC △中，5SB =6SC =，22SD =2CD =，所以222SC CD SD +=，所以SCD 是直角三角形，所以最长的棱长是2，侧面都是直角三角形． 本题选择C 选项.点睛：1．棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决． 2．三视图画法：(1)实虚线的画法：分界线和可见轮廓线用实线，看不见的轮廓线用虚线； (2)理解“长对正、宽平齐、高相等”．7.已知函数f (x )＝|ln x |－1，g (x )＝－x 2＋2x ＋3，用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值．设函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}，则函数h (x )的零点个数为( ) A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】画图可知四个零点分别为－1和3，1e和e ，但注意到f (x )的定义域为x >0，故选C.8.已知抛物线2:4C y x =，点(,0)P m ，O 为坐标原点，若在抛物线C 上存在一点Q ，使得90OQP ∠=，则实数m 的取值范围是（ ）A. (4,8)B. (4,)+∞C. (0,4)D. (8,)+∞【答案】B 【解析】试题分析：设200(,)4y Q y ，由90OQP ∠=得0OQ PQ ⋅=，即222000()044y y m y -⋅+=，显然00y ≠，因此2044y m =-，所以40m ->，即4m >．选B ．考点：向量的垂直，圆锥曲线的存在性问题． 二、填空题9.双曲线22:14x C y -=的离心率是 ；渐近线方程是 ．512y x =± 【解析】试题分析：222224,15a b c a b ==∴=+=，所以离心率e=5c a =，渐近线方程为12b y x x a =±=±, 考点：本题考查双曲线的标准方程，离心率，渐近线点评：有双曲线的标准方程得到，a,b,c 求出离心率，渐近线方程 10.若等比数列{}n a 满足135a a +=，且公比2q ，则35a a +=_____.【答案】20. 【解析】 【分析】利用等比数列的通项公式及其性质即可得出． 【详解】223513()2520a a q a a +=+=⨯=， 故答案为：20．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于容易题．11.在△ABC 中，3a =，13b =，60B =，则c = ；△ABC 的面积为_______． 【答案】，【解析】 由余弦定理，得，解得；由三角形的面积公式，得.考点：余弦定理、三角形的面积公式.12.已知圆C 的圆心位于第二象限且在直线21y x =+上，若圆C 与两个坐标轴都相切，则圆C 的标准方程是 ______.【答案】22111()()339x y ++-= 【解析】试题分析： 设圆心坐标为（a,2a+1）,圆与两坐标轴相切，所以a=-(2a+1),13a ∴=-，所以圆心为11(,)33-，半径13，所以圆的标准方程为22111()()339x y ++-=,考点：本题考查圆的标准方程点评：圆心在直线上，设圆心坐标为一个未知数，又因为圆与两坐标轴相切，所以圆心互为相反数，半径为圆心坐标的绝对值13.已知函数()sin a x x f x =-的一条对称轴为6x π=-，()()120f x fx +=，且函数()f x 在()12,x x 上具有单调性，则12x x +的最小值为______. 【答案】23π 【解析】 【分析】分析式子特点可知，当6x π=-时，函数应该取到最值，将6x π=-代入()sin a x x f x =-再结合辅助角公式可先求得a ，结合()()120f x f x +=分析可知，()()2112,,,x y y x 两点关于对称中心对称，求出12x x +的通式，即可求解 【详解】()()sin ,tan f aa x x x x ϕϕ=-=+=-，由题可知 sin 666f a πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---=⎪ ⎪ ⎪⎝=⎝-⎭⎭⎝⎭，化简可得2a =，则 ()4sin 3f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()120,f x f x +=且函数()f x 在()12,x x 上具有单调性，()()1122,,,x y x y ∴关于对称中心对称，故有1233,2x x k k Z πππ-+-=∈，解得1222,3x x k k Z ππ+=+∈，当0k =时，12x x +的最小值为23π，故答案：23π【点睛】本题考查由三角函数图像性质求参数，三角函数对称轴与对称中心的应用，属于中档题14.函数()x xf ae e x b -=+（,a R b R ++∈∈），已知()f x 的最小值为4，则点(),a b 到直线20x y +-=距离的最小值为______.【解析】分析】可采用基本不等式求得ab，再结合点到直线距离公式即可求解【详解】由题知,a Rb R++∈∈，则()4x xae bef x-=≥=+，当且仅当x xae be-=时取到，则4ab=，点(),a b到直线20x y+=距离d=≥===，mind∴=【点睛】本题考查基本不等式、点到直线距离公式的应用，数学中的转化思想，属于中档题三、解答题15.设函数()()()()22sin cosf x x x xωωω=⋅-+0>ω）的图象上相邻最高（1）求函数()f x的周期及ω的值；（2）求函数()f x的单调递增区间. 【答案】（1）12,2Tπω==；（2）52,2,66x k k k Zππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】（1）先将表达式结合降幂公式化简，即可求得周期和最值，结合相邻最高点与最低点的距离ω及周期；（2）结合整体法和三角函数图像的性质即可求得；【详解】（1）()()()()22sin cosf x x xxωωω=⋅-=sin222sin23x x xπωωω⎛⎫=-⎪⎝⎭，则2A=，22Tππωω==，图象上相邻最高点与最=12,2Tπω==；（2）()2sin22sin33f xx xππω⎛⎫⎛⎫-=-⎪ ⎪⎝⎝=⎭⎭，令2,2,322x k k k Zπππππ⎡⎤-∈-++∈⎢⎥⎣⎦，解得52,2,66x k k k Zππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦【点睛】本题考查三角函数解析式的化简，由三角函数的性质求参数，求复合型三角函数的单调区间，属于中档题16.某校高三1班共有48人，在“六选三”时，该班共有三个课程组合：理化生、理化历、史地政其中，选择理化生的共有24人，选择理化历的共有16人，其余人选择了史地政，现采用分层抽样的方法从中抽出6人，调查他们每天完成作业的时间.（1）应从这三个组合中分别抽取多少人？（2）若抽出的6人中有4人每天完成六科（含语数英）作业所需时间在3小时以上，2人在3小时以内.现从这6人中随机抽取3人进行座谈.用X表示抽取的3人中每天完成作业所需时间在3小时以上的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.【答案】（1）3；2；1（2）分布列见详解；EX=2【解析】【分析】（1）按照分层抽样按比例分配的原则进行计算即可；（2）可明确X的取值有1，2，3，再结合超几何分布求出对应的概率，列出分布列，再求解数学期望即可；【详解】（1）由题知，选择史地政的人数为：4824168--=人，故选择理化生、理化历、史地政的人数比为：3:2:1，故从这三个组合中应抽取理化生的人数为：3636⨯=人；抽取理化历的人数为：2626⨯=人；抽取理化历的人数为：1616⨯=人；（2）由题可知X的取值有1，2，3，()124236115C CP XC===；()214236325CC P X C ===；()304236135C C P X C ===； 故随机变量X 的分布列为：X 1 2 3P15 35 151311232555EX =⨯+⨯+⨯=【点睛】本题考查分层抽样的求法，超几何公式的运用，离散型随机变量的分布列与期望的求法，属于中档题17.在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PCD ，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，AD PC ⊥，M 为PD 的中点，过A ，B ，M 的平面与PC 交于N.23DC =，2DA PD ==，1AB =，120PDC ∠=.（1）求证：N 为PC 中点； （2）求证：AD ⊥平面PCD ；（3）T 为PB 中点，求二面角T AC B --的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）45° 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的性质可得AB MN ∥，又由M 为PD 的中点，即可求证N 为PC 中点；（2）利用面面垂直的性质，可过点D 作DH DC ⊥,可证DH AD ⊥，再结合线面垂直的判定定理即可求证；（3）采用建系法以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DH 为z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出二面角T AC B --的大小 【详解】（1）//AB CD ，CD ⊂平面PCD ，AB ⊄平面PCD ，//AB ∴平面PCD ，由线面平行的性质可得，//AB MN ， 又//AB CD ，//MN CD ∴，M 为PD 的中点，N ∴为PC 的中点；（2）过点D 作DH DC ⊥交PC 与点H ，又平面ABCD ⊥平面PCD ，交线为CD ，故DH ⊥平面ABCD ，又AD ⊂平面ABCD ，DH AD ∴⊥， 又AD PC ⊥，PCDH H =，∴AD ⊥平面PCD ；（3）由（2）可知AD ⊥平面PCD ，AD CD ∴⊥，故以DA 为x 轴，DC 为y 轴，DH 为z 轴建立空间直角坐标系，如图：求得(()()()0,3,2,0,0,0,23,0,2,1,0P A C B -，T 为PB 的中点，故3T ⎛ ⎝⎭，3AT ⎛=- ⎝⎭，()223,0AC =-，， 可设平面ABC 的法向量为()10,0,1n =，平面TAC 的法向量为()2,,n x y z =，故有222230302n AC x y n AT x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取3x =得1,2y z ==，则()23,1,2n =，故1212122cos ,2122n n n n n n ⋅===⨯⋅，故二面角T AC B --的大小为45° 【点睛】本题考查线面平行性质，面面垂直性质，面面垂直平判定定理的应用，建系法求解二面角的大小，属于中档题 18.已知函数()3215132f x x x a x =-+-． （Ⅰ）当6a =时，求函数()f x 在()0,∞+上的单调区间； （Ⅱ）求证：当0a <时，函数()f x 既有极大值又有极小值．【答案】（1）单调递增区间是(0,2)，(3,)+∞，单调递减区间是(2,3)；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）求出导函数()2'56f x x x =-+，解二次不等式即可得到单调区间；（2）当0a <时，对x 分类讨论，结合极值概念，即可得到结果. 【详解】（1）当6,0a x =>时，()32156132f x x x x =-+- 所以()()()2'5623f x x x x x =-+=--， 令()'0,f x =得2x =，或3x =.当x 变化时，()()',f x f x 的变化情况如下表：所以()f x 在()0,+∞上的单调递增区间是()0,2，()3,+∞，单调递减区间是()2,3. (2)当0a <时， 若0x <，则()3215132f x x x ax =---，所以()()2'55f x x x a x x a =--=--因为0,0x a <<，所以()'0f x > 若0x >，则()3215132f x x x ax =-+-， 所以()2'5f x x x a =-+ 令()'0,f x = 2540a ∆=->，所以有两个不相等的实根12,x x ，且120x x <不妨设20x >，所以当x 变化时，()()',f x f x 的变化情况如下表：因为函数()f x 图象是连续不断的，所以当0a <时，()f x 即存在极大值又有极小值.【点睛】本题主要考查了利用导数的符号变化判断函数的单调性及判断函数的极值问题，此类问题由于含有参数，常涉及到分类讨论的思想，还体现了方程与函数相互转化的思想．19.已知椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右顶点分别为A ，B ，左焦点为F ，O 为原点，点P 为椭圆C 上不同于A 、B 的任一点，若直线PA 与PB 的斜率之积为34-，且椭圆C 经过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）若P 点不在坐标轴上，直线PA ，PB 交y 轴于M ，N 两点，若直线OT 与过点M ，N 的圆G 相切.切点为T ，问切线长OT 是否为定值，若是，求出定值，若不是，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）是定值，定值为3 【解析】【分析】（1）由斜率之积可求得a ，b 的关系，将31,2⎛⎫⎪⎝⎭代入可再得a ，b 的关系，解出a ，b 的值，即可求出椭圆的方程；（2）由（1）得A ，B 的坐标，设(,)P m n ，满足椭圆的方程，得直线AP ，BP ，求出M ，N 的坐标，再用圆中切割线定理得切线长的值．【详解】（1）设(,)P x y ，由题意得(,0)A a -，(,0)B a ，222AP BPy y y k k x a x a x a ∴⋅=⋅=+--， ∴22234y x a =--而22221x y a b+=得：2234b a =①， 又过22319(1,)124a b∴+=②，所以由①②得：24a =，23b =；所以椭圆C 的方程：22143x y +=；（2）由（1）得：(2,0)A -，(2,0)B 设(,)P m n ，22143m n +=，则直线的方程:(2)2n PA y x m =++，令0x =，则22n y m =+，所以M 的坐标2(0,)2nm +， 直线PB 的方程：(2)2n y x m =--，令0x =，2n y m -=-，所以坐标2(0,)2nN m --，OT ON OTN OMT OM OT ∆∆∴=∽（圆的切割线定理），再联立22143m n +=，2224||||||34n OT ON OM m ∴===-【点睛】本题考查椭圆上过对称点直线的两点和椭圆上一点的斜率之积的证明，可当作结论作为记忆：两对称点为()()1111,,,,A x y B x y --椭圆上一点为(),P x y ，则有22PA PBb k k a⋅=-；也考查了过定点的直线是否存在满足一定条件定值的证明，合理的转化，利用几何关系转化至关重要，属于难题20.定义：给定整数i ，如果非空集合满足如下3个条件：①A N *⊆；②{}1A ≠；③,x y N *∀∈，若x y A +∈，则xy i A -∈.则称集合A 为“减i 集”（1）{}1,2P =是否为“减0集”？是否为“减1集”？ （2）证明：不存在“减2集”；（3）是否存在“减1集”？如果存在，求出所有“减1集”；如果不存在，说明理由. 【答案】（1）是“减0集”；不是“减1集”（2）证明见解析；（3）存在；{1，3}，{1，3，5}，{1，3，5，7}，⋯⋯{1，3，5，⋯⋯，21n -，}⋯⋯，*()n N ∈ 【解析】 【分析】（1）*P N ⊆，{1}P ≠，112P +=∈，110P ⨯-∈，即可得出P 是“减0集”，同理可得P 不是“减1集”．（2）假设存在A 是“减2集”，则若x y A +∈，那么2xy A -∈，当2x y xy +=-时，有(1)(1)3x y --=，对x ，y 分类讨论即可得出．（3）存在“减1集” A ．{1}A ≠．假设1A ∈，则A 中除了元素1以外，必然还含有其它元素．假设2A ∈，11A +∈，而111A ⨯-∉，因此2A ∉．假设3A ∈，12A +∈，而121A ⨯-∈，因此3A ∈．因此可以有{1A =，3}．假设4A ∈，13A +∈，而131A ⨯-∉，因此4A ∉．假设5A ∈，14A +∈，141A ⨯-∈，235+=，231A ⨯-∈，因此5A ∈． 因此可以有{1A =，3，5}．以此类推可得所有的A ．【详解】（1）*P N ⊆，{1}P ≠，112P +=∈，110P ⨯-∈，P ∴是“减0集” 同理，*P N ⊆，{1}P ≠，112P +=∈，111P ⨯-∉，P ∴不是“减1集”． （2）假设存在A 是“减2集”，则若x y A +∈，那么2xy A -∈，当2x y xy +=-时，有(1)(1)3x y --=， 则x ，y 一个为2，一个为4，所以集合A 中有元素6，但是33A +∈，332A ⨯-∉，与A 是“减2集”，矛盾，故不存在“减2集” （3）存在“减1集”A ．{1}A ≠．①假设1A ∈，则A 中除了元素1以外，必然还含有其它元素． 假设2A ∈，11A +∈，而111A ⨯-∉，因此2A ∉． 假设3A ∈，12A +∈，而121A ⨯-∈，因此3A ∈． 因此可以有{1A =，3}．假设4A ∈，13A +∈，而131A ⨯-∉，因此4A ∉．假设5A ∈，14A +∈，141A ⨯-∈，235+=，231A ⨯-∈，因此5A ∈． 因此可以有{1A =，3，5}．以此类推可得：{1A =，3，5，⋯⋯，21n -，}⋯⋯，*()n N ∈， 以及A 的满足以下条件的非空子集：{1，3}，{1，3，5}，{1，3，5，7}，⋯⋯ 【点睛】本题考查集合新定义，元素与集合的关系，逻辑推理能力，属于难题。
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人大附中 2019~2020 学年度高三 4 月质量检测试题
数 学
2020年4月13日
说明：本试卷共三道大题、22 道小题，共 4 页，满分 150 分。
考试时间 120 分钟。
考生务必按要求将答案答在答题纸上，在试题纸上作答无效。
第一部分 （选择题 共40分）
一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 4 分，共 40 分．在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将答案涂在机读卡上的相应位置上。
） （1）集合2{2,},
{230}A x x x R B x x x =>∈=-->，则A B =I
A. (3,)+∞
B. (,1)(3,)-∞-+∞U
C. (2,)+∞
D. (2,3)
（2）已知复数z =a 2i −2a −i 是正实数，则实数a 的值为
A.0
B. 1
C. -1
D.±1 （3）下列函数中，值域为R 且为奇函数的是（ ）
A.2+=x y
B.x y sin =
C.3x x y -=
D.x y 2= （4）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若5,2413=+=a a a ，则6S =（ ）
A.10
B.9
C.8
D.7
（5）在平面直角坐标系xOy 中，将点A(1,2)绕原点O 逆时针旋转90°到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cosα等于
A. −
2√55 B. −√55 C. √5
5 D. −25
（6）设c b a ,,为非零实数，且c b c a >>,，则（ ）
A.c b a >+
B.2c ab >
C.
c b a >+2 D.c
b a 2
11>+ （7）某四棱锥的三视图如图所示，记S 为此棱锥所有棱的长度的集合，则
A.S S ∉∉3222，且
B.S S ∈∉3222，且
C.S S ∉∈3222，且
D.S S ∈∈3222，且
（8）已知点(2,0)M ，点P 在曲线2
4y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2
1
PM PF -的最小值
为
A. 3
B. 51)-2（
C. 45
D. 4 （9）已知函数x
x
x f sin 21sin )(+=
的部分图象如图所示，将此图象分别作以下
变换，那么变换后的图象可以与原图象重合的变换方程是（ ）
①绕着x 轴上一点旋转180°； ②沿x 轴正方向平移；
③以x 轴的某一条垂线为轴作轴对称.
A.①③
B.③④
C.②③
D.②④
（10）设函数⎪⎩
⎪⎨⎧>≤++=0,lg 0
,110)(2x x x x x x f 若关于x 的方程)()(R a a x f ∈=有四个实数解
)4,3,2,1(=i x i ，其中4321x x x x <<<，则))((4321x x x x -+的取值范围是（ ）
A.]101,0(
B.]99,0(
C.]100,0(
D.),0(+∞
第二部分 （非选择题 共 110 分）
二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分） （11）在二项式2
6
(2)x +的展开式中，8x 的系数为 。
（12）若向量),1(),2,(2x b x a ==满足3<⋅b a ，则实数x 的取值范围是 .
（13）在党中央的正确指导下，通过全国人民的齐心协力，特别是全体一线医护人员的奋力救治，二月份“新冠肺炎”疫情得到了控制。
下图是国家卫健委给出的全国疫情通报，甲、乙两个省份从2月7日到2月13日一周的新增“新冠肺炎”确诊人数的折
线图如下：
根据图中甲、乙两省的数字特征进行比对，通过比较把你得到最重要的两个结论写在答案纸指定的空白处。
① 。
② 。
（14）函数)4
2sin()(π
+
=x x f 的最小正周期为 ；若函数)(x f 在区间),0(a 上单调递增，
则α的最大值为 .
（15）集合{(,),0},{(,)1}A x y x y a a B x y xy x y =+=>=+=+，若
A B I 是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则下列说法正确的为
①a 的值可以为2； ②a ； ③a
的值可以为2+
三、解答题（本大题共 6 个小题，共 80 分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．） 16.（本小题满分为13分）
已知函数()sin()(0,)2
f x x π
ωϕωϕ=+><
满足下列3个条件中的2个条件：
①函数()f x 的周期为π； ②6
x π
=
是函数()f x 的对称轴；
③()04
f π=且在区间(
,)62
ππ
上单调。
（Ⅰ）请指出这二个条件，并求出函数()f x 的解析式； （Ⅱ）若[0,]3
x π
∈，求函数()f x 的值域。
17.（本题满分15分）
在四棱锥P ABCD -的底面ABCD 中，//,BC AD CD AD ⊥，
PO ABCD ⊥平面，是的中点，且222PO AD BC CD ====
（Ⅰ）求证：//AB POC 平面； （Ⅱ）求二面角O PC D --的余弦值；
O AD A
（Ⅲ）线段PC 上是否存在点E ，使得AB DE ⊥，若存在指出点E 的位置，若不存在请说明理由。
18.（本题满分14分）
2019年底，北京2022年冬奥组委会启动志愿者全球招募，仅一个月内报名人数便突破60万，其中青年学生约有50万人.现从这50万青年学生志愿者中，按男女分层抽样随机选取20人进行英语水平测试，所得成绩（单位:分）统计结果用茎叶图记录如下：
（Ⅰ）试估计在这50万青年学生志愿者中，英语测试成绩在80分以上的女生人数；
（Ⅱ）从选出的8名男生中随机抽取2人，记其中测试成绩在70分以上的人数为X ，求X 的分布列和数学期望；
（Ⅲ）为便于联络，现将所有的青年学生志愿者随机分成若干组（每组人数不少于5000），并在每组中随机选取m 个人作为联络员，要求每组的联络员中至少有1人的英语测试成绩在70分以上的概率大于90%.根据图表中数据，以频率作为概率，给出m 的最小值.（结论不要求证明）
19.（本题满分14分）
设函数2
()ln (2)f x a x x a x =+-+，其中a ∈R （Ⅰ）若曲线()y f x =在点（2，(2)f ）处切线的倾斜角为
4
π
，求 a 的值； （Ⅱ）已知导函数f ′(x)在区间（1，e ）上存在零点，证明:当x ∈（1，e ）时， 2
()f x e ＞-
20.（本小题满分15分）
设椭圆2
2:12
x E y +=，直线1l 经过点M （m ，0），直线2l 经过点N （n ，0），直线1l ∥直线2l ，且直线1l 、2l 分别与椭圆E 相交于A ，B 两点和C ，D 两点。
（Ⅰ）若M ，N 分别为椭圆E 的左、右焦点，且直线1l x ⊥轴，求四边形ABCD 的面积； （Ⅱ）若直线1l 的斜率存在且不为0，四边形ABCD 为平行四边形，求证:m+n=0； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，判断四边形ABCD 能否为矩形，说明理由。
21.（本小题满分14分）
对于正整数n ，如果()k k N *
∈个整数a 1，a 2，…，a k 满足1≤a 1≤a 2≤…≤a k ≤n，且a 1+a 2+…+a k =n ，则称数组（a 1，a 2，…，a k ）为n 的一个“正整数分拆”。
记a 1，a 2，…，a k 均为偶数的“正整数分拆”的个数为f n ；a 1，a 2，…，a k 均为奇数的“正整数分拆”的个数为g n 。
（Ⅰ）写出整数4的所有“正整数分拆”；
（Ⅱ）对于给定的整数n （n≥4），设（a 1，a 2，…，a k ）是n 的一个“正整数分拆”，且a 1=2，求k 的最大值；
（Ⅲ）对所有的正整数n ，证明：fn ≤ gn ；并求出使得等号成立的n 的值。
（注:对于n 的两个“正整数分拆”（a 1，a 2，…，a k ）与（b 1，b 2，…，b n ），当且仅当k=m 且a 1=b 1，a 2=b 2，…，a k =b m 时，称这两个“正整数分拆”是相同的.）。