2013概率论与数理统计-知识点例题讲解2

解: (1) Y X 0 1
2
3
0 0 0 3/35 2/35
1 0 6/35 12/35 2/35
2 1/35 6/35 3/35 0
(2) X
Pk
01
23
1/35 12/35 18/35 4/35
Y012
Pk 1/7 4/7 2/7
(3) P{X=2,Y=1}=12/35 P{X=2}=18/35 P{Y=1}=4/7 P{X=2}P{Y=1}=72/245 12/35=84/245
10
10 5
则 Y ~ b(5, e2 )
P{Y 1} 1 P{Y 0}
1 (1 e2 )5 0.5167
P65T25,28,31 盒子里装有3只黑球,2只红球,2只白球.在其中任取
4
只(1球)求,以XX,Y表的示联取合到分黑布球律的只数,(以2)Y求表(X示,Y取)的到边红缘球分的布只律数. (3)X,Y是否相互独立.
{(x, y) : g(x, y) z}
4. 常见的重要分布
A . 二项分布, X服从b(n,p)
P{ X
k}
C
k n
pk (1
p)nk
(k
0,1,
, n) 其 中p
P( A)
B. Poisson分布, X服从()
k e
P{ X k}
,
k!
k 0,1,2, ( 0)
n较
大
，p较
小
0,
其它
(x,y)
注：当我们对概率密度函数积分求分布函数时，一定要 全面考虑被积函数的定义域。如上题，有的同学只 考虑x>0,y>0与x<0,y<0是不全面的。
P66T34 设X,Y是相互独立的随机变量，且都服从（0,1)上的分布。
试求方程x2+Xx+Y=0有实根的概率.
分析: x2+Xx+Y=0有实根 X2-4Y0 所以,所求为 y
0
x
G
dx
ke3 x4 ydy
1
k k 12
0
0
12
0
0
dx f ( x, y)dy dx f ( x, y)dy
0
0
(2)解：F x, y x y f u, vdudv
x
du
y 12e 3u4vdv, x 0, y 0
0 0
0,
其它
1 e3x 1 e4 y , x 0, y 0
积分变量y的取值范围与x有关，讨论x
注
0 x 1时 f X ( x)
x
f ( x, y)dy
x
-1
意 取
注意积分限
x
3x
/
2dy
3x2
x
1x y x
值
3x2 , 0 x 1
范 围
f
X
(
x)
0
,
其它
这样做对吗？
解：f X ( x)
x
f ( x, y)dy
x
x
3x
/
2dy
3x2
x
X与Y不是相互独立的.
yx
1x y x
P72,T26 设r.v（X，Y）的概率密度为
f
x,
y
ke3 x4 0,
y
,
x
0, y 其它
0
求(1)常数k；(2)分布函数。
解：(1)由概率密度函数的性质
y
f x, ydxdy 1 得：
G
1 f x, ydxdy f x, ydxdy
第二章 随机变量习题课
内容小结 作业点评 典例分析 综合练习
一、内容小结
r.v及其概率分布
离散型r.v 的分布律
分布函数 的性质
连续型r.v的 概率密度
分布律 与分布函数
的关系
概率密度 与分布函数
的关系
二项分布 泊松分布
正态分布 指数分布 均匀分布
1. 重点概念: 随机变量, 分布函数,
分布律(离散型),概率密度函数(连续型)。
(2)某人通过品尝区分两种酒,他连续试验10次,结果成功3次,
解: (1)所问求此概人是率否为确:1有/ 品C尝84=区1/分70的能力.
(2)假设此人无品尝区分的能力,记X为10次试验中成功次数
X~b(10,1/70)
P{ X
3}
C130
( 1 )3 ( 69)7 70 70
3.16 104
FY ( y) P{g(X ) y} P{X I} f (x)dx, I {x : g(x) y}
I
(X,Y)连续型, z=g(x,y)为二元连续函数, 则Z=g(X,Y)为连续型
FZ (z) P{g( X ,Y ) z} P{(X ,Y ) } f ( x, y)dxdy,
2. 重点公式:
A. 分布律、概率密度函数的性质：
pk 1,
k 1
f ( x)dx 1 ,
f ( x, y)dxdy 1
B. 分布函数与概率密度函数之间的转化(连续型)
x
F( x) f (t)dt, F '( x) f ( x)
x
F(x, y)
y
f (u, v)dudv
f (x, y) 2F(x, y)
0 , 其它
求其分布函数F(x)
解:
x
F( x) P{X x} f (u)du
0,
x0
y
x
udu
0
x2 2
,
1
x
0 udu 1 (2 u)du
1 (2 x)2 / 2,
0 x1
1 x2
0 12
x
1 ,
x2
P72T20 设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X服从指数分
布, 其概率密度为
z 0 时, FZ (z) P{ X 2 Y 2 z2 }
f ( x, y)dxdy
x2 y2z2
极坐标变换
2
z
d
1 e r2 / 2 2 rdr 1 e z2 / 2 2
0
0 2 2
fZ(z)
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd
y 0 时 FY(y)=0 y>0 时 FY(y)=P{X lny}=(lny)
0,
y0
fY
(
y
)
百度文库
1
e , (ln y)2 / 2 y 0
y 2
(2) FY(y)=P{2X2 +1y}同(1)类似讨论.
P67T45 X,Y相互独立, 求X+Y的分布律
X01 2
Y0 1
Pk 1/2 3/8 1/8
布.
Z X2 Y2
证明
fZ
(z)
z
2
e z2的/ 2概 2率密度为z
0
0
其它
解: (X,Y)的联合概率密度函数
f (x, y)
f X (x) fY ( y)
1
e ( x 2 y2 ) / 2 2
2 2
FZ (z) P{Z z} P{ X 2 Y 2 z}
z 0 时, FZ (z) 0
X与Y不相互独立.
P74T30 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
固 定 x
f
(
x,
y)
3 2
x
,
0 x 1,
x y x
0 , 其 它
后
(1)求边缘概率密度
(2)X,Y是否相互独立.
对
y
解：
f X (x)
f ( x, y)dy
求
y
1
yx
积
为确定积分限,先画出被积函数不为0的区域
分!
X
x
x
F. 二维正态分布
二、作业点评
课本P70,T5 (2)
(2)设r.vX的分布律为
PX k b 2k , k 1,2,
3
试确定常数b；
解：
k 1
Pk
1
k 1
PX
k
b k1
2 k
3
b
1
2 3
b1
2 3
2b 1
2
n
n
错解： Pk 1 P X k
显然{X=3}是一小概率事件,根据小概率事件几乎不可能发生
原理,可以认为原假设不对,故此人有一定品尝区分能力.
P72,T16 设连续型r.vX的分布函数为
0
x0
F(x)
Ax
2
0 x1
1
x 1
求 : (1)常数 A (2)概率密度函数 (3) P0 X 2
解法一： （1） 由于连续型随机变量X的分布函数是连续的
2 1 1 15 15 5
1 2 3 45
错解： P1 X 2 F2 F1
注：如果X是连续型随机变量，则
P1 X 2 P1 X 2 F2 F1
P71T8 有甲,乙两种味道的酒各4杯,颜色相同。从 中挑4杯便能
将
甲 种酒全部挑出，算是试验成功.
(1)某人随机地去挑,问他试验成功的概率.
lim F(x) lim Ax2 A, lim F(x) 1
x1
x1
x1
A1
（2）
2x, 0 x 1
f
(
x)
F
'
(
X
)
0
,
其它
(3) P0 X 2 P0 X 2 F2 F0 1 0 1
2
1
2
或 P0 X 2 f xdx 2xdx 0dx 1
0
0
1
解法二：
xy
C . 联合分布 边缘分布
离散型 :
连续型 :
fX (x)
f ( x, y)dy
fY ( y)
f ( x, y)dx
D. 边缘分布+独立性 联合分布
X,Y离散型且相互独立, 则：
P{ X xi ,Y y j } P{ X xi }P{Y y j } Pi• P• j
X,Y连续型且相互独立, 则：f ( x, y) f X ( x) fY ( y)
f
( x)
1 5
ex/5
0
x0 其它
某顾客的习惯是,等待时间超过10分钟便离开.现知他一个月要到银
行5次,求他未受到服务的次数不少于1的概率.
分析: 顾客一个月内未受到服务的次数为Y， 要求的是P{Y1}；
“未受到服务”的事件A为{X>10}；
P{ X 10}
f ( x)dx
1 e x / 5dx e 2
：C
k n
pk (1
p)nk
k e
k!
(
np)
C.
均匀分布
f
( x)
b
1
a
,
0 ,
a xb 其它
D.
指数分布
e x
f (x)
,
0 ,
x0 x0
E. 正态分布
f (x)
1
e
(
x )2 2 2
,
x
2
X ~ N(, 2 )
Z X ~ N (0,1)
FX x
PX
x
P
3. 主要方法
A. 利用分布函数及概率密度函数的性质解题.
B. 利用概率密度函数计算概率, 随机变量X(或(X,Y))落在某区间I(或某区 域 G)的概率为
f ( x)dx 或( f ( x, y)dxdy)
I
G
C. 求随机变量的函数的分布,先求分布函数,再求导，求概率密度函数.
X 连续型, y=g(x)为连续函数，则Y= g(X)为连续型．
2Ax, 0 x 1
f
(x)
F'(X
)
0
,
其它
由
1
1
f ( x)dx 2 Axdx A
知道分布函0数，求落在
某A区间1的概率，没有必 要对概率密度积分了，
以下因同为解这法一样麻烦，直接用
分布函数即可.
P72,T17 已知r.vX的概率密度为:
x , 0 x1 f ( x) 2 x , 1 x 2 ,
P{X2-4Y0} .这样,该题可看作二维r.v(X,Y)的
y x2 4
概率计算,先求(X,Y)的联合概率密度. 已知
1, 0 x 1
1, 0 y 1
fX (x)
0,
其它
fY ( y)
0, 其它
O
G 1x
1 , 0 x 1 且 0 y 1 X与Y相互独立 f ( x, y) fX ( x) fY ( y) 0 , 其它
P{ X 2 4Y 0} f ( x, y)dxdy
G {(x, y) : x2 4 y 0,
x2 4 y0
1
x2 /4
1
且0 x, y 1}
G
dxdy
dx
0
0
dy 12
P75T42 设X~N(0,1),求 (1)Y=eX (2)Y=2X2+1的概率密度.
分析：一维连续型r.v函数的分布，分布函数法。 解: (1) FY(y)=P{Y≤y}=P{eX y}
G
G
P75T46设X和Y是相互独立的随机变量，其概率密度为
ex x 0
fX (x)
0
x0
e y
fY ( y)
0
其中>0, >0 为常数，求X+Y的概率密度
y0 y0
解:
Z=X+Y的概率密度 fZ (z)
同理
fY ( y)
f ( x, y)dx
1 y 1时
fY ( y)
1 3 xdx 3 [1 y 2 ]
| y| 2
4
fY
( y)
3 4
(1
y2
)
,
1 y 1
0
, 其它
y
1
-1
fX
(
x)
fY
(
y)
9 4
x 2 (1
y2
)
,
0 x 1且1 y1
0,
其它
显然 fX (x) fY ( y) f (x, y)
k 1
k 1
n
b
2
k
b
k1 3
2
2 n1
3
3
1
2 3
1
再对上式取极限得：
lim b
2 3
2 3
n1
b
2 3
2b 1 b 1
n
1
2 3
1
2 3
2
P70T6(2)
(2)设随机变量的分布律为 PX k k , k 1,2,3,4,5
15
其分布函数为F(x) 求2P1 X 2.
解：P1 X 2 PX 2 PX 1
解: 由X,Y相互独立, 易得
Pk 1/3 2/3
(X,Y) (0,0) (0,1) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1)
Pij
1/6 1/3
X+Y 0 1
1/8 1/4 1/24 1/12
1
2
2
3
X+Y 0 Pk 1/6
1
2
3
11/24 7/24 1/12
P76T51 设X,Y为相互独立的随机变量,它们都服从N (0, 2 ) 分