初三相似三角形知识点以及经典例题

相似三角形知识点以及典例

知识点1 有关相似形的概念

(1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.

(2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念

（1）在四条线段,,,a b c d 中，如果a 和b 的比等于c 和d 的比，那么这四条线段,,,a b c d 叫做成比例线段，简称比例线段．

注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为：

a

d c b = ②在比例式

(::)a c

a b c d b d

==中，a 、d 叫比例外项，b 、c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项，b 、d 叫 比例后项,如果b=c ，即 a b b d =：：那么b 叫做a 、d 的比例中项， 此时有2

b ad =。

知识点3 比例的性质（注意性质立的条件：分母不能为0） （1） 基本性质：

①bc ad d c b a =⇔=::；②2

::a b b c b a c =⇔=⋅．

注：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如bc ad =，除了可化为d c b a ::=等。

（2） 更比性质(交换比例的内项或外项)：()()

()a b

c d a c d

c

b d b

a d

b

c a

⎧=

⎪⎪

⎪=⇔=⎨

⎪⎪=⎪⎩

，交换内项，交换外项．同时交换内外项 （3）反比性质(把比的前项、后项交换)： a c b d

b d a c

=⇔=

．

（4）合、分比性质：a c a b c d

b d b d

±±=⇔=．

典型例题：

例题1：已知线段a ＝6 cm ，b ＝2 cm ，则a 、b 、a ＋b 的第四比例项是________cm ，a ＋b 与a －b 的比例中项是_________cm ． 例题2：若

c b a +＝a c b +＝b

c

a +＝－m 2，则m ＝______． 知识点4 比例线段的有关定理

1.三角形中平行线分线段成比例定理:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成

比例.

重要结论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边．．．．．．与原三角形三边．．．．．．对应成比例.(相似)

2.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 知识点5 相似三角形的概念

对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例．

注：①对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相

知识点6 三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理

(1)相似三角形的等价关系：

①反身性：对于任一ABC ∆有ABC ∆∽ABC ∆．

②对称性：若ABC ∆∽'''C B A ∆，则'''C B A ∆∽ABC ∆．

③传递性：若ABC ∆∽C B A '∆''，且C B A '∆''∽C B A ''''''∆，则ABC ∆∽C B A ''''''∆ (2) 三角形相似的判定定理的预备定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似． 定理的基本图形：

用数学语言表述是：BC DE // ， ∴ ADE ∆∽ABC ∆． 知识点7 三角形相似的判定方法

1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．

2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．

3、判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．

4、判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．

5、判定定理3：：三边对应成比例，两三角形相似．

6、判定直角三角形相似的方法：

(1)以上各种判定均适用． (2)如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．

（射影定理：在直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。）

如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高，则AD 2

=BD ·DC ，AB 2

=BD ·BC ，AC 2

=CD ·BC 。 经典例题： 例题1：判断对错：

(1)两个直角三角形一定相似吗？为什么？ (2)两个等腰三角形一定相似吗？为什么？ (3)两个等腰直角三角形一定相似吗？为什么？ (4)两个等边三角形一定相似吗？为什么？ (5)两个全等三角形一定相似吗？为什么？ 例题2：下列能够相似的一组三角形为( )

A.所有的直角三角形

B.所有的等腰三角形

C.所有的等腰直角三角形

D.所有的一边和这边上的高相等的三角形

例题3：如图所示，已知 中，E 为AB 延长线上的一点，AB=3BE ，DE 与BC 相交于F ，请找出图中各对相似三角形，并求出相应的相似比.

例题4：已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt △EDF 中，∠F=90°，DF=3，EF=4，则△ABC 和△EDF 相似吗？为什么？ (1)E A

B C D

(3)

D B C A E

(2)

C D E A B D

B C A