动量守恒定律的典型模型及其应用
高中物理第08章动量守恒 动量守恒定律应用(四种模型)
08、(2013·高考新课标全国卷Ⅱ，35 题)如图所示，光滑水平直轨道上有三个质量均为 m 的物 块 A、B、C.B 的左侧固定一轻弹簧(弹簧左侧的挡板质量不计)．设 A 以速度 v0 朝 B 运动，压缩 弹簧；当 A、 B 速度相等时，B 与 C 恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动．假设 B 和 C 碰撞过 程时间极短，求从 A 开始压缩弹簧直至与弹黄分离的过程中， （1）整个系统损失的机械能； （2）弹簧被压缩到最短时的1、如图所示，一排人站在沿 x 轴的水平轨道旁，原点 O 两侧的人的序号都记为 n（n=1，2， 3……） ．每人只有一个沙袋，x＞0 一侧的每个沙袋质量为 m=14 kg，x＜0 一侧的每个沙袋质量为 m′=10 kg．一质量为 M=48 kg 的小车以某初速度从原点出发向正 x 方向滑行．不计轨道阻力， 当车每经过一人身旁时，此人就把沙袋以水平速度 v 朝与车速相反的方向沿车面扔到车上，v 的 大小等于扔此袋之前的瞬间车速大小的 2n 倍（n 是此人的序号数） ． （1）空车出发后，车上堆积了几个沙袋时车就反向滑行？ （2）车上最终有大小沙袋共多少个？
ECNU
LEX
高中物理第 08 章动量守恒 动量守恒定律应用（四种模型）
Lex Li
一、子弹木块模型 01、 如图所示， 一根质量不计、 长为 1 m， 能承受最大拉力为 14 N 的绳子， 一端固定在天花板上， 另一端系一质量为 1 kg 的小球，整个装置处于静止状态，一颗质量为 10 g、水平速度为 500 m/s 的子弹水平击穿小球后刚好将将绳子拉断， （g 取 10 m/s ） 。求： （1）小球此时的速度大小； （2）子弹此时的速度大小。
2
02、一颗质量为 m，速度为 v0 的子弹竖直向上射穿质量为 M 的木块后继续上升，子弹从射穿木块 到再回到原木块处所经过的时间为 T，那么当子弹射出木块后，求： （1）子弹身穿木块时的速度大小； （2）木块上升的最大高度为多少？
动量守恒定律的典型模型
M
m
四.子弹打木块的模型
1.运动性质：子弹对地在滑动摩擦力作用下匀减
速直线运动；木块在滑动摩擦力作用下做匀加速 运动。
2.符合的规律：子弹和木块组成的系统动量守恒， 机械能不守恒。
3.共性特征：一物体在另一物体上，在恒定的阻 力作用下相对运动，系统动量守恒，机械能不守
恒，ΔE = f 滑d相对
由功能关系得
mg
(s
x)
1 2
mV
2
1 2
mv02
mgx
1 2
(m
2M
)V
2
1 2
mv
2 0
相加得 mgs 1 2MV 2
②
2
解①、②两式得 x
Mv02
③
(2M m)g
代入数值得
v0
C
B
A
x 1.6m ④
xC
S
B
VA
x 比B 板的长度l 大．这说明小物块C不会停在B板上，而要
滑到A 板上．设C 刚滑到A 板上的速度为v1，此时A、B板的
多大的速度做匀速运动．取重力加速度g=10m/s2.
m=1.0kg
C
v0 =2.0m/s
B
A
M=2.0kg M=2.0kg
解：先假设小物块C 在木板B上移动距离 x 后，停在B上．这
时A、B、C 三者的速度相等，设为V．
由动量守恒得 mv0 (m 2M )V
①
在此过程中，木板B 的位移为S，小木块C 的位移为S+x．
M=16 kg，木块与小车间的动摩擦因数为μ=0.5，木
块没有滑离小车，地面光滑，g取10 m/s2，求： （1）木块相对小车静止时小车的速度； （2）从木块滑上小车到木块相对于小车刚静止时， 小车移动的距离. （3）要保证木块不滑下平板车，平板车至少要有多 长？
动量守恒定律的应用--四种模型
动量守恒定律的应用------四种模型例1一块质量为M ，底边长为b 的三角形劈块静止于光滑水平面上，如图所示。
有一质量为m 的球从斜面顶部无初速滑到底部时，求劈块移动的距离。
练1.如图所示，质量为M 、半径为R 的光滑圆环静止在光滑的水平面上，有一质量为m 的小滑块从与O 等高处开始无初速下滑，当到达最低点时，圆环产生的位移大小为多少？例2.如图所示，一根质量不计、长为1m ，能承受最大拉力为14N 的绳子，一端固定在天花板上，另一端系一质量为1kg 的小球，整个装置处于静止状态，一颗质量为10g 、水平速度为500m/s 的子弹水平击穿小球后刚好将将绳子拉断，求子弹此时的速度为多少？（g 取10m/s 2）练2、一颗质量为m ，速度为v 0的子弹竖直向上射穿质量为M 的木块后继续上升，子弹从射穿木块到再回到原木块处所经过的时间为T ，那么当子弹射出木块后，木块上升的最大高度为多少？例3．(2013·高考山东卷，38题) 如图所示，光滑水平轨道上放置长板A (上表面粗糙)和滑块C ，滑块B 置于A 的左端，三者质量分别为m A ＝2 kg 、m B ＝1 kg 、m C ＝2 kg.开始时C 静止，A 、B 一起以v 0＝5 m/s 的速度匀速向右运动，A 与C 发生碰撞(时间极短)后C 向右运动，经过一段时间，A 、B 再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C 发生碰撞．求A 与C 碰撞后瞬间A 的速度大小．练3．质量为M 的滑块静止在光滑的水平面上，滑块的光滑弧面底部与水平面相切，一个质量为m 的小球以速度v 0向滑块冲来，设小球不能越过滑块，求小球到达最高点时的速度？例4. (2013·高考广东卷，35题)如图，两块相同平板P 1、P 2置于光滑水平面上，质量均为m .P 2的右端固定一轻质弹簧，左端A 与弹簧的自由端B 相距L .物体P 置于P 1的最右端，质量为2m 且可看作质点．P 1与P 以共同速度v 0向右运动，与静止的P 2发生碰撞，碰撞时间极短，碰撞后P 1与P 2粘连在一起．P 压缩弹簧后被弹回并停在A 点(弹簧始终在弹性限度内)．P 与P 2之间的动摩擦因数为μ.求：(1)P 1、P 2刚碰完时的共同速度v 1和P 的最终速度v 2； (2)此过程中弹簧的最大压缩量x 和相应的弹性势能E p .练4 ：(2013·高考新课标全国卷Ⅱ，35题)(2)如图，光滑水平直轨道上有三个质量均为m的物块A、B、C.B的左侧固定一轻弹簧(弹簧左侧的挡板质量不计)．设A以速度v0朝B运动，压缩弹簧；当A、B速度相等时，B与C恰好相碰并粘接在一起，然后继续运动．假设B和C碰撞过程时间极短，求从A开始压缩弹簧直至与弹黄分离的过程中，(ⅰ)整个系统损失的机械能；(ⅱ)弹簧被压缩到最短时的弹性势能．例题参考答案例3：因碰撞时间极短，A与C碰撞过程动量守恒，设碰后瞬间A的速度为v A，C的速度为v C，以向右为正方向，由动量定恒定律得m A v0＝m A v A＋m C v CA与B在摩擦力作用下达到共同速度，设共同速度为v AB，由动量守恒定律得m A v A＋m B v0＝(m A＋m B)v ABA与B达到共同速度后恰好不再与C碰撞，应满足v AB＝v C联立①②③式，代入数据得v A＝2 m/s.例4：P1与P2发生完全非弹性碰撞时，P1、P2组成的系统遵守动量守恒定律；P与(P1＋P2)通过摩擦力和弹簧弹力相互作用的过程，系统遵守动量守恒定律和能量守恒定律．注意隐含条件P1、P2、P的最终速度即三者最后的共同速度；弹簧压缩量最大时，P1、P2、P三者速度相同．(1)P1与P2碰撞时，根据动量守恒定律，得m v0＝2m v1解得v1＝v02，方向向右P停在A点时，P1、P2、P三者速度相等均为v2，根据动量守恒定律，得2m v1＋2m v0＝4m v2解得v2＝34v0，方向向右．(2)弹簧压缩到最大时，P1、P2、P三者的速度为v2，设由于摩擦力做功产生的热量为Q，根据能量守恒定律，得从P1与P2碰撞后到弹簧压缩到最大12×2m v21＋12×2m v2＝12×4m v22＋Q＋E p从P1与P2碰撞后到P停在A点12×2m v21＋12×2m v2＝12×4m v22＋2Q联立以上两式解得E p＝116m v2，Q＝116m v2根据功能关系有Q＝μ·2mg(L＋x) 解得x＝v2032μg－L.练4：(2)A、B碰撞时动量守恒、能量也守恒，而B、C相碰粘接在一块时，动量守恒．系统产生的内能则为机械能的损失．当A、B、C速度相等时，弹性势能最大．(ⅰ)从A压缩弹簧到A与B具有相同速度v1时，对A、B与弹簧组成的系统，由动量守恒定律得m v0＝2m v1此时B与C发生完全非弹性碰撞，设碰撞后的瞬时速度为v2，损失的机械能为ΔE.对B、C组成的系统，由动量守恒定律和能量守恒定律得m v1＝2m v2 12m v21＝ΔE＋12(2m)v22联立解得ΔE＝116m v2.(ⅱ)由②式可知v2<v1，A将继续压缩弹簧，直至A、B、C三者速度相同，设此速度为v3，此时弹簧被压缩至最短，其弹性势能为E p.由动量守恒定律和能量守恒定律得m v0＝3m v312m v2－ΔE＝12(3m)v23＋E p联立④⑤⑥式得E p＝1348m v2.课后作业：1．如图所示，光滑水平面上有A、B、C三个物块，其质量分别为m A＝2.0 kg，m B＝m C＝1.0 kg，现用一轻弹簧将A、B两物块连接，并用力缓慢压缩弹簧使A、B两物块靠近，此过程外力做功108 J(弹簧仍处于弹性限度范围内)，然后同时释放，弹簧开始逐渐变长，当弹簧刚好恢复原长时，C恰好以4 m/s的速度迎面与B发生碰撞并瞬时粘连．求：(1)弹簧刚好恢复原长时(B与C碰撞前)，A和B物块速度的大小；(2)当弹簧第二次被压缩时，弹簧具有的最大弹性势能．2．静止在光滑水平地面上的平板小车C ，质量为m C =3kg ，物体A 、B 的质量为m A =m B =1kg ，分别以v A =4m/s 和v B =2m/s 的速度大小，从小车的两端相向地滑到车上．若它们在车上滑动时始终没有相碰，A 、B 两物体与车的动摩擦因数均为μ=0.2．求：（1）小车的最终的速度；（2）小车至少多长（物体A 、B 的大小可以忽略）．3．如图，水平轨道AB 与半径为R=1.0 m 的竖直半圆形光滑轨道BC 相切于B 点．可视为质点的a 、b 两个小滑块质量m a =2m b =2 kg ，原来静止于水平轨道A 处，AB 长为L=3.2m ，两滑块在足够大的内力作用下突然分开，已知a 、b 两滑块分别沿AB 轨道向左右运动，v a = 4.5m/s ，b 滑块与水平面间动摩擦因数5.0=μ，g 取10m/s 2．则 (1)小滑块b 经过圆形轨道的B 点时对轨道的压力． (2)通过计算说明小滑块b 能否到达圆形轨道的最高点C ．4.如图所示，一个带有14圆弧的粗糙滑板A 的总质量m A ＝3 kg ，其圆弧部分与水平部分相切于P ，水平部分PQ 长L ＝3.75 m ．开始时，A 静止在光滑水平面上．现有一质量m B ＝2 kg 的小木块B 从滑块A 的右端以水平初速度v 0＝5 m/s 滑上A ，小木块B 与滑板A 之间的动摩擦因数μ＝0.15，小木块B 滑到滑板A 的左端并沿着圆弧部分上滑一段弧长后返回，最终停止在滑板A 上．(1)求A 、B 相对静止时的速度大小．(2)若B 最终停在A 的水平部分上的R 点，P 、R 相距 1 m ，求B 在圆弧上运动的过程中因摩擦而产生的内能． (3)若圆弧部分光滑，且除v 0不确定外其他条件不变，讨论小木块B 在整个运动过程中，是否有可能在某段时间里相对地面向右运动？如不可能，说明理由；如可能，试求出B 既向右滑动，又不滑离木板A 的v 0取值范围．(取g ＝10 m/s 2，结果可以保留根号)课后作业参考答案1解析：(1)设弹簧刚好恢复原长时，A 和B 物块速度的大小分别为v A 、v B ，由题意可知：m A v A －m B v B ＝0 12m A v A 2＋12m B v B 2＝E p 联立解得v A ＝6 m/s v B ＝12 m/s(2)当弹簧第二次被压缩到最短时，弹簧具有的弹性势能最大，此时A 、B 、C 具有相同的速度，设此速度为vm C v C ＝(m A ＋m B ＋m C )v 所以v ＝1 m/sC 与B 碰撞，设碰后B 、C 粘连时的速度为v ′ m B v B －m C v C ＝(m B ＋m C )v ′ 解得v ′＝4 m/s故弹簧第二次被压缩到最短时，弹簧具有的最大弹性势能为：E p ′＝12m A v A 2＋12(m B ＋m C )v ′2－12(m A ＋m B ＋m C )v 2＝50 J.2解析：（1）由于A 、B 、C 组成的系统水平方向动量守恒，且三者最后保持相对静止，设最终共同速度为v ，则()A A B B A B C m v m v m m m v -=++，v =0.4m/s（2）A 、B 始终没有相碰，若板长为L ，A 、B 相对板的位移分别为s AC 、s BC ，则AC BC s s L +≤系统的动能损失全部用于在相对位移上克服摩擦力做功，有222111()()222A AB A BC A AC B BC m v mv m m m v m gS m gS μ+-++=+ 故板长至少为L =4.8m ．C3解析：⑴系统的动量守恒可得m a v a ＝m b v b ，① 又m a =2m b =2 kg ， v a =4.5m/s 解得：v b =9.0m/s ② 设滑块b 到达B 点时的速度为B v ，由动能定理得，222121b b B b b v m v m gLm -=-μ ③ 刚进入圆轨道时,设滑块b 受到的支持力为F N ,由牛顿第二定律得，Rv m g m F Bb b N 2=- ④由牛顿第三定律'NNF F -= ⑤ 由③④⑤得滑块b 对轨道的压力N F N 95'-=，方向竖直向下 ⑵若小滑块b 能到达圆轨道最高点,速度为v C 则由机械能守恒，2221221C b b B b v m R g m v m += ⑥ 解得s m v C0.3= ⑦小物块b 恰能过最高点的速度为v，则Rv m gm b b 2=⑧解得，s m gR v 10== ⑨因v v C 〈，故小滑块b 不能到达圆轨道最高点C .4【解析】(1)根据动量守恒得：m B v 0＝(m B ＋m A )v解得：v ＝25v 0＝2 m/s ．(2)设B 在A 的圆弧部分产生的热量为Q 1，在A 的水平部分产生的热量为Q 2．则有： 12m B v 02＝12(m B ＋m A )v 2＋Q 1＋Q 2 又Q 2＝μm B g (L QP ＋L PR ) 联立解得：Q 1＝0.75 J ．(3)当B 滑上圆弧再返回至P 点时最有可能速度向右，设木块滑至P 的速度为v B ，此时A 的速度为v A ，有：m B v 0＝m B v B ＋m A v A12m B v 02＝12m B v B 2＋12m A v A 2＋μm B gL 代入数据得：v B 2－0.8v 0v B ＋6.75－0.2v 02＝0当v B 的两个解一正一负时，表示B 从圆弧滑下的速度向右．即需：v 0＞5.9 m/s ，故B 有可能相对地面向右运动． 若要B 最终不滑离A ，有：μm B g ·2L ≥12m B v 02－12(m B ＋m A )(25v 0)2得：v 0≤6.1 m/s故v 0的取值范围为：5.9 m/s ＜v 0≤6.1 m/s ．。
高中物理第08章动量守恒 动量守恒定律应用 四种常见模型
高中物理第08章动量守恒 动量守恒定律应用四种常见模型Lex Li01、动量守恒定律概述（1）动量守恒定律的五性：①条件性：满足系统条件或近似条件；②系统性：动量守恒是相对与系统的，对于一个物体无所谓守恒；③矢量性：表达式中涉及的都是矢量，需要首先选取正方向，分清各物体初、末动量的正、负。
④相对性：方程中的所有动量必须相对于同一参考系；⑤同时性：动量是状态量，动量守恒指对应每一时刻的总动量都和初时刻的总动量相等。
不同时刻的动量不能相加。
（2）应用动量守恒定律解题的步骤①对象（系统性）：分析题意，明确研究对象；②受力（条件性）：对各阶段所选系统内物体进行受力分析，判定能否应用动量守恒； ③过程（矢量性、相对性、同时性）：确定过程的始、末状态，写出初动量和末动量表达式；④方程：建立动量守恒方程求解。
02、常见模型（1）碰撞、爆炸：作用时间极短，内力远大于外力，系统动量守恒①弹性碰撞：系统动量守恒，机械能守恒．设质量m 1的物体以速度v 0与质量为m 2的在水平面上静止的物体发生弹性正碰，则： 动量守恒：221101v m v m v m += 动能不变：222211111011v m v m v m +=解得：121012m m v v m m −=+ 120122m v v m m =+②非弹性碰撞：部分机械能转化成物体的内能，系统损失了机械能两物体仍能分离.动量守恒用公式表示为：m 1v 1+m 2v 2= m 1v 1′+m 2v 2′机械能损失：22'2'21111112211222222()()E m v m v m v m v ∆=+−+ ③完全非弹性碰撞：碰撞后两物体粘在一起运动，此时动能损失最大，而动量守恒． 用公式表示为： m 1v 1+m 2v 2=(m 1+m 2)v机械能损失：222111112212()()E m v m v m m v ∆=+−+④爆炸：系统动量守恒，机械能增加例01 如图所示，光滑水平面上有A、B、C三个物块，其质量分别为m A＝2.0 kg，m B＝m C ＝1.0 kg，现用一轻弹簧将A、B两物块连接，并用力缓慢压缩弹簧使A、B两物块靠近，此过程外力做功108 J(弹簧仍处于弹性限度范围内)，然后同时释放，弹簧开始逐渐变长，当弹簧刚好恢复原长时，C恰好以4 m/s的速度迎面与B发生碰撞并瞬时粘连．求：（1）弹簧刚好恢复原长时(B与C碰撞前)，A和B物块速度的大小；（2）当弹簧第二次被压缩时，弹簧具有的最大弹性势能．针对训练01 如图所示，总质量为M的大小两物体，静止在光滑水平面上，质量为m的小物体和大物体间有压缩着的弹簧，另有质量为2m的物体以v0速度向右冲来，为了防止冲撞，大物体将小物体发射出去，小物体和冲来的物体碰撞后粘合在一起．小物体发射的速度至少应多大，才能使它们不再碰撞？（2）人船模型（平均动量守恒问题）：特点：初态时相互作用物体都处于静止状态，在物体发生相对运动的过程中，某一个方向的动量守恒（如水平方向动量守恒）．例02 质量为m的人站在质量为M，长为L的静止小船的右端，小船的左端靠在岸边。
动量守恒的几种类型及应用
动量守恒的几种类型及应用任建新正确理解动量守恒的条件是掌握动量守恒定律的前提和基础，更是正确应用动量和能量观点处理动量和机械能相结合的综合问题最为关键的条件。
系统动量守恒的类型包括以下几种情况：1. 系统不受外力或者所受外力之和为零“人船模型”是这类问题的典型应用。
（1）符合“人船模型”的条件：相互作用的物体原来都静止，且满足动量守恒条件。
（2）“人船模型”的特点：人动“船”动，人停“船”停，人快“船”快，人慢“船”慢，人上“船”下，人左“船”右。
例1. 如图1所示，等臂U形管竖直安装在光滑水平面上放置的轻质小车上，小车和试管的总质量与试管内水的质量相等，均为M。
开始时试管底部的阀门K关闭，管的水平部分的水柱与右侧竖直管内的水柱等长，小车静止。
打开阀门，水缓慢流动到另一侧，使两竖直管中水面平齐。
已知两竖直管轴线间距离为L，则上述过程中，小车向______________移动，移动的距离为_________________。
图1解析：由题意可知，试管内的水和小车及试管的运动符合“人船模型”的特点，试管内的水相当于“人”，小车及试管相当于“船”，打开阀门后，水缓慢流动到另一侧，最终两竖直管中水面平齐，在处理过程中，相当于右侧L2（质量为M4）的水直接运动到左侧管内，把其他部分的水（长度为32L，质量为34M）与小车及试管看成一个整体，如图2所示。
如此一来，右侧L2（质量为M4）的水相当于“人”，长度为32L、质量为34M的水与小车及试管相当于“船”，“人”向左运动，故“船”向右运动，“人”与“船”的相对位移为L。
图2 ∴=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=M s M M s M s 43474122 ① 而s s L 12+=② ∴小车向右移动，移动的距离s L 28=点评： （1）处理“人船模型”类问题首先理解此类模型符合的条件必须是系统的初动量为零且满足动量守恒定律；（2）解决此类问题的关键是找出系统内每个物体的位移关系；（3）在深刻理解动量守恒定律的基础上，注意此类模型的拓展变式，如“人车模型”、“物物模型”等。
【知识点归纳】动量守恒定律及应用
动量守恒定律及应用1．动量守恒定律的不同表达形式(1)p＝p′，系统相互作用前的总动量p等于相互作用后的总动量p′.(2)m1v1＋m2v2＝m1v′1＋m2v′2，相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量和等于作用后的动量和．(3)Δp1＝－Δp2，相互作用的两个物体动量的增量等大反向．(4)Δp＝0，系统总动量的增量为零．2．碰撞遵守的规律(1)动量守恒，即p1＋p2＝p′1＋p′2.(2)动能不增加，即E k1＋E k2≥E′k1＋E′k2或p212m1＋p222m2≥p′212m1＋p′222m2.(3)速度要合理①碰前两物体同向，则v后>v前；碰后，原来在前的物体速度一定增大，且v′前≥v′后．②两物体相向运动，碰后两物体的运动方向不可能都不改变．3．对反冲现象的三点说明(1)系统内的不同部分在强大内力作用下向相反方向运动，通常用动量守恒来处理．(2)反冲运动中，由于有其他形式的能转化为机械能，所以系统的总机械能增加．(3)反冲运动中平均动量守恒．4．爆炸现象的三个规律(1)动量守恒：由于爆炸是在极短的时间内完成的，爆炸物体间的相互作用力远远大于受到的外力，所以在爆炸过程中，系统的总动量守恒．(2)动能增加：在爆炸过程中，由于有其他形式的能量(如化学能)转化为动能，所以爆炸前后系统的总动能增加．(3)位置不变：爆炸的时间极短，因而作用过程中，物体产生的位移很小，一般可忽略不计，可以认为爆炸后仍然从爆炸前的位置以新的动量开始运动．方法技巧——动量守恒中的临界问题1．滑块与小车的临界问题：滑块与小车是一种常见的相互作用模型．如图所示，滑块冲上小车后，在滑块与小车之间的摩擦力作用下，滑块做减速运动，小车做加速运动．滑块刚好不滑出小车的临界条件是滑块到达小车末端时，滑块与小车的速度相同．2．两物体不相碰的临界问题：两个在光滑水平面上做匀速运动的物体，甲物体追上乙物体的条件是甲物体的速度v 甲大于乙物体的速度v 乙，即v 甲>v 乙，而甲物体与乙物体不相碰的临界条件是v 甲＝v 乙．3．涉及弹簧的临界问题：对于由弹簧组成的系统，在物体间发生相互作用的过程中，当弹簧被压缩到最短时，弹簧两端的两个物体的速度相等．4．涉及最大高度的临界问题：在物体滑上斜面(斜面放在光滑水平面上)的过程中，由于弹力的作用，斜面在水平方向将做加速运动．物体滑到斜面上最高点的临界条件是物体与斜面沿水平方向具有共同的速度，物体在竖直方向的分速度等于零．。
动量守恒定律应用：典型模型
P11
二.中子的发现
三.反冲现象与火箭的发射
一.碰撞问题的定量分析 P11
例1 例2
（1）解题步骤
（2）解题格式
教材作业：P17 评讲
预备问题：两球发生弹性碰撞，碰撞前、后小球m1是 否反向？ 怎样判断？
①根据动量守恒得：？
m1v0 ＝ m1v1＋m2v2
①
②根据机械能守恒得：？
（2）.人船模型
2.多次碰撞问题
3.多次碰撞问题
子弹（板块）模型
v0
光滑
v0
光滑
（1）隔离法： ①从动力学、运动学角度看
②从功能关系角度看
（2）整体法： 从系统动量守恒、能量守恒角度看
如图，光滑的曲面轨道的水平出口跟停在光滑 水平面上的平板小车的上表面相平。质量为m的小 滑块从光滑轨道上高度为H的位置，由静止开始滑 下并滑上平板小车，使得小车在光滑水平面上滑 ② ① 动。最终小滑块停到板面上的Q点。若平板小车的 ③ 质量为3m。求： （1）小滑块到达轨道底 端时的速度大小 （2）小滑块滑上小车后， 平板小车可达到的 最大速度 （3）该过程系统产生的总内能
光滑
如图，质量为m 的人站在质量为M 长为L小船的 右端，小船静止在水面上。当人向左走到船的左端 ① ② 时，求：船移动的方向和离岸的距离为多少？
分析： 抓“指向词”
任意时刻： mv1 ＝ Mv2
①
v1 F v2 F
微元思想： 经极短时间∆t：
mv1∆t ＝ Mv2∆t
m∆x1 ＝ M∆x2
累积思想：
联立①②可解得：
1 2
（1）当m1 > m2时：
（2）当m1 = m2时：
（3）当m1 < m2时：
知识点48动量守恒定律在三类模型问题中的应用(拔尖)
学问点48：动量守恒定律在三类模型问题中的应用考点一：系统动量守恒的推断【学问思维方法技巧】〔1〕系统动量守恒适用条件①抱负守恒：不受外力或所受外力的合力为零．②近似守恒：系统内各物体间相互作用的内力远大于它所受到的外力．如碰撞、爆炸、反冲。
③某一方向守恒：假如系统在某一方向上所受外力的合力为零，那么系统在这一方向上动量守恒．如滑块－斜面(曲面)模型。
〔2〕推断系统动量是否守恒的“三留意〞：①留意所选取的系统——所选的系统组成不同，结论往往不同。
②留意所讨论的运动过程——系统的运动分为多个过程时，有的过程动量守恒，另一过程那么可能不守恒。
③留意守恒条件——整体不满意系统动量守恒条件时，在某一方向可能满意动量守恒条件。
题型一：系统动量抱负守恒【典例1拔尖题】(多项选择)如下图，一男孩站在小车上，并和木箱一起在光滑的水平冰面上向右匀速运动，木箱与小车挨得很近．现男孩用力向右快速推开木箱．在男孩推开木箱的过程中，以下说法正确的选项是( )A. 木箱的动量的增加量等于男孩动量的削减量B. 男孩对木箱推力的冲量大小等于木箱对男孩推力的冲量大小C. 男孩推开木箱后，男孩和小车的速度可能变为零D. 对于小车、男孩和木箱组成的系统，推开木箱前后的总动能不变【典例1拔尖题】【答案】BC【解析】由于水平冰面光滑，男孩、小车和木箱组成的系统所受合外力为零，系统动量守恒，站在小车上的男孩用力向右快速推出木箱的过程中，木箱的动量增加量等于男孩和小车动量的削减量，故A错误；男孩对木箱的推力和木箱对男孩的推力是作用力与反作用力，冲量等大反向，男孩对木箱推力的冲量大小等于木箱对男孩推力的冲量大小，故B正确；男孩、小车受到与初动量反向的冲量，推开木箱后，男孩和小车的速度可能变为零，故C 正确；男孩、小车与木箱三者组成的系统所受合力为零，系统动量守恒，推开木箱的过程不行能是弹性碰撞，推开前后的总动能变化，故D错误．题型二：系统动量近似守恒【典例2拔尖题】如下图，水平面上有一平板车，某人站在车上抡起锤子从与肩等高处挥下，打在车的左端，打后车与锤相对静止。
动量守恒定律：动量守恒定律的条件、动量守恒定律的在板块模型的应用
动量守恒定律：1．如果一个系统不受外力或者所受外力的矢量和为零，那么这个系统的总动量保持不变。
由动量守恒的条件判断系统动量守恒的步骤如下：⑴明确系统由哪几部分组成。
⑵对系统中各物体进行受力分析，分清哪些是内力，哪些是外力。
⑶看所有外力的合力是否为零，或内力是否远大于外力，从而判定系统的动量是否守恒。
2．动量守恒定律常用的三种表达式①p'＝p ，其中p'、p 分别表示系统的末动量、初动量。
②11222211m v m v m v m v ③12p p ，其中1p 、2p 分别表示系统两物体动量的变化量3．应用上述公式处理问题时应注意“四性”①矢量性：动量守恒方程是一个矢量方程，对于作用前后物体的运动方向都在同一直线上的问题，应选取统一的正方向，凡是与选取的方向相同的动量为正，相反为负。
若方向未知，可设与正方向相同列动量守恒方程，通过求得结果的正负，判定未知量的方向。
②瞬时性：动量是一个瞬时量，动量守恒定律是系统任一瞬时的动量恒定，列方程1122m v m v 11m v 22m v 时，等号左侧是作用前(某一时刻)各物体的动量和，等号右侧是作用后(或另一时刻)各物体的动量和，不同时刻的动量不能相加。
③相对性：由于动量大小与参考系的选取有关，因此应用动量守恒定律时，应注意各物体的速度必须是相对同一惯性系的速度，一般以大地为参考系。
④普适性：它不仅适用于两个物体所组成的系统，也适用于多个物体组成的系统，不仅适用于宏观物体组成的系统，也适用于微观粒子组成的系统。
4．动量守恒定律解题的基本思路⑴确定研究对象并进行受力分析，过程分析；⑵判断系统动量在研究过程中是否守恒；⑶明确过程的初、末状态的系统动量的量值；⑷选择正方向，根据动量守恒定律建立方程。
常见动量守恒模型动量守恒定律：动量守恒定律的条件、动量守恒定律的在板块模型的应用动量守恒条件的辨析【例1】如图所示，A、B两物体质量之比m A∶m B＝3∶2，原来静止在平板小车C上，A、B间有一根被压缩的弹簧，地面光滑，当弹簧突然释放后，则( )A．若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，A、B组成的系统的动量守恒B．若A、B与平板车上表面间的动摩擦因数相同，A、B、C组成的系统的动量守恒C．若A、B所受的摩擦力大小相等，A、B组成的系统的动量守恒D．若A、B所受的摩擦力大小相等，A、B、C组成的系统的动量守恒【例2】一辆小车静止在光滑的水平面上，小车立柱上固定一条长为L0拴有小球的细绳，小球由和悬点在同一水平面上的A点静止释放，如图所示，不计一切阻力，下面说法中正确的是( )A．小球的机械能守恒，动量不守恒B．小球的机械能不守恒，动量也不守恒，但水平方向动量守恒C．球和小车的总机械能守恒，总动量不守恒D．球和小车的总机械能不守恒，总动量守恒多个物体相互作用【例3】两名质量相等的滑冰人甲和乙都静止在光滑的水平冰面上。
在四种常见模型中应用动量守恒定律(解析版)
在四种常见模型中应用动量守恒定律导练目标导练内容目标1人船模型和类人船模型目标2反冲和爆炸模型目标3弹簧模型目标4板块模型【知识导学与典例导练】一、人船模型和类人船模型1.适用条件①系统由两个物体组成且相互作用前静止，系统总动量为零；②动量守恒或某方向动量守恒．2.常用结论设人走动时船的速度大小为v 船,人的速度大小为v 人,以船运动的方向为正方向,则m 船v 船-m 人v 人=0,可得m 船v 船=m 人v 人；因人和船组成的系统在水平方向动量始终守恒，故有m 船v 船t =m 人v 人t ,即：m 船x 船=m 人x 人，由图可看出x 船+x 人=L ，可解得：x 人=m 船m 人+m 船L ；x 船=m 人m 人+m 船L3.类人船模型类型一类型二类型三类型四类型五1有一条捕鱼小船停靠在湖边码头，小船又窄又长(估计一吨左右)，一位同学想用一个卷尺粗略测定它的质量，他进行了如下操作：首先将船平行码头自由停泊，轻轻从船尾上船，走到船头后停下来，而后轻轻下船，用卷尺测出船后退的距离为d ，然后用卷尺测出船长L ，已知他自身的质量为m ，则渔船的质量()A.m (L +d )dB.md (L -d )C.mL dD.m (L -d )d【答案】D【详解】因水平方向动量守恒，可知人运动的位移为(L -d )由动量守恒定律可知m (L -d )=Md解得船的质量为M =m (L -d )d故选D 。
2如图所示，滑块和小球的质量分别为M 、m 。
滑块可在水平放置的光滑固定导轨上自由滑动，小球与滑块上的悬点O 由一不可伸长的轻绳相连，轻绳长为L ，重力加速度为g 。
开始时，轻绳处于水平拉直状态，小球和滑块均静止。
现将小球由静止释放，下列说法正确的是( )。
A.滑块和小球组成的系统动量守恒B.滑块和小球组成的系统水平方向动量守恒C.滑块的最大速率为2m 2gLM (M +m )D.滑块向右移动的最大位移为mM +mL【答案】BC【详解】A ．小球下摆过程中竖直方向有分加速度，系统的合外力不为零，因此系统动量不守恒，A 错误；B ．绳子上拉力属于内力，系统在水平方向不受外力作用，因此系统水平方向动量守恒，B 正确；C ．当小球落到最低点时，只有水平方向速度，此时小球和滑块的速度均达到最大，取水平向右为正方向，系统水平方向动量守恒有Mv 1-mv 2=0由系统机械能守恒有mgL =12mv 22+Mv 21解得滑块的最大速率v 1=2m 2gLM (M +m )，C 正确；D ．设滑块向右移动的最大位移为x ，根据水平动量守恒得M x t -m 2L -x t =0解得x =2mM +mL ，D 错误；故选BC 。
动量守恒中的常见模型
动量守恒中的常见模型考点一、碰撞（1）定义：相对运动的物体相遇，在极短时间内，通过相互作用，运动状态发生显著变化的过程叫做碰撞。
（2）碰撞的特点①作用时间极短，内力远大于外力，总动量总是守恒的．②碰撞过程中，总动能不增．因为没有其它形式的能量转化为动能．③碰撞过程中，当两物体碰后速度相等时，即发生完全非弹性碰撞时，系统动能损失最大．④碰撞过程中，两物体产生的位移可忽略．（3）碰撞的分类①弹性碰撞（或称完全弹性碰撞）如果在弹性力的作用下，只产生机械能的转移，系统内无机械能的损失，称为弹性碰撞（或称完全弹性碰撞）．此类碰撞过程中，系统动量和机械能同时守恒．②非弹性碰撞如果是非弹性力作用，使部分机械能转化为物体的内能，机械能有了损失，称为非弹性碰撞．此类碰撞过程中，系统动量守恒，机械能有损失，即机械能不守恒．③完全非弹性碰撞如果相互作用力是完全非弹性力，则机械能向内能转化量最大，即机械能的损失最大，称为完全非弹性碰撞．碰撞物体粘合在一起，具有同一速度．此类碰撞过程中，系统动量守恒，机械能不守恒，且机械能的损失最大．（4）判定碰撞可能性问题的分析思路①判定系统动量是否守恒．②判定物理情景是否可行，如追碰后，前球动量不能减小，后球动量在原方向上不能增加；追碰后，后球在原方向的速度不可能大于前球的速度．③判定碰撞前后动能是不增加．【例题1】如图所示，物体A静止在光滑的水平面上，A的左边固定有轻质弹簧，与A质量相同的物体B以速度v向A运动并与弹簧发生碰撞，A、B始终沿同一直线运动，则A、B组成的系统动能损失最大的时刻是（）A．A开始运动时B．A的速度等于v时C．B的速度等于零时D．A和B的速度相等时【例题2】如图所示，位于光滑水平面桌面上的小滑块P和Q都视作质点，质量相等。
Q与轻质弹簧相连。
设Q静止，P以某一初速度向Q 运动并与弹簧发生碰撞。
在整个过程中，弹簧具有最大弹性势能等于（）A．P的初动能B ．P的初动能的1/2C．P的初动能的1/3D．P的初动能的1/4【例题3】小球A和B的质量分别为mA 和mB 且mA»mB 在某高度处将A和B先后从静止释放。
动量守恒中几种常见的模型
模型四：
带弹簧的木板与滑块模型
如图所示，坡道顶端距水平面高度为h，质量为m1的小物块 A从坡道顶端由静止滑下，进入水平面上的滑道时无机械能 损失，为使A制动，将轻弹簧的一端固定在水平滑道延长线 M处的墙上，另一端与质量为m2的档板B相连，弹簧处于原 长时，B恰位于滑道的末端O点．A与B碰撞时间极短，碰后 结合在一起共同压缩弹簧，已知在OM段A、B与水平面间的 动摩擦因数均为μ，其余各处的摩擦不计，重力加速度为g， 求： （1）物块A在与挡板B碰撞前瞬间速度v的大小； （2）弹簧最大压缩量为d时的弹性势能Ep（设弹簧处于原长 时弹性势能为零）．
3、动量规律：由于系统不受外力作用，故而系统遵守 动量守恒。
模型二：人船模型
人船模型的适用条件是一个原来处于静止状态的系统， 且在系统发生相对运动的过程中，动量守恒或有一个方 向动量守恒，其表达式是m人s人=m船s船。
例题：质量为M的船停在静止的水面上， 船长为L，一质量为m的人，由船头走到 船尾，若不计水的阻力，则整个过程人 和船相对于水面移动的距离？
随堂练习
1、一木块置于光滑水平地面上，一子弹以初速v0射入 静止的木块，子弹的质量为m，打入木块的深度为d， 木块向前移动S后以速度v与子弹一起匀速运动，此过 程中转化为内能的能量为（AC ）
A.
1 m v02 v0v
2
C. mv0 vvd
2S
B. mv 0v0 v
D. mv0 vvd
μm0
mgL
1 2
m0
m v12
1 2
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m B v ( m B m C ) v '， v ' 2 m / s
三物块速度相等为vA时弹簧的弹性势能最大为EP，根据能量守恒
EP
1 2
(m B m C )v '
2
1 2
m Av
2
1 2
( m A m B m C ) v A 12 J
三. 物理情景可行性原则 例如：追赶碰撞： 碰撞前： 碰撞后：
V 追赶 V 被追
在前面运动的物体的速度一定不 小于在后面运动的物体的速度
【例2】 A、B两球在光滑水平面上沿同一直线，向同一方向运动，A 球动量为pA＝5 kg·m/s，B球动量为pB＝7 kg·m/s，两球碰后
B球动量变为pB′＝10 kg·m/s，则两球质量关系可能是(
1、“人船模型”是动量守恒定律的拓展应用， 它把速度和质量的关系推广到质量和位移 的关系。即： m1v1=m2v2 则：m1s1= m2s2 2、此结论与人在船上行走的速度大小无关。不论
是匀速行走还是变速行走，甚至往返行走，只要 人最终到达船的左端，那么结论都是相同的。
3、人船模型的适用条件是：两个物体组成的
解析：探测器第一次喷出气体时，沿x方向动量守恒， 且探测器速度变为零． 即Mv0＝mv① 第二次喷出气体时，沿y方向动量守恒： 0＝(M－2m)· 0－mv② 2v 解①②得： ＝ ， ＝. 答案： 4
碰撞中弹簧模型
• 用轻弹簧相连的质量均为2kg的A、B两物块 都以 的速度在光滑的水平地面 上运动，弹簧处于原长，质量为4kg的物体C 静止在前方，如图3所示，B与C碰撞后二者 粘在一起运动。求：在以后的运动中
l2
l1
应该注意到：此结论与人在船上行走的速度 大小无关。不论是匀速行走还是变速行走， 甚至往返行走，只要人最终到达船的左端， 那么结论都是相同的。
类碰撞中绳模型
• 如图所示，光滑水平面上有两个质量相等的物 体，其间用一不可伸长的细绳相连，开始B静 止，A具有（规定向右为正）的动量，开始绳 松弛，那么在绳拉紧的过程中，A、B动量变 化可能是（ ）
A．mA＝mB B．mA＝2mB C．mB＝4mA D．mB＝6mA
)
解析：由碰撞中动量守恒可求得pA′＝2 kg·m/s要使A追上B， 则必有：vA＞vB， 即 mB＞1.4mA①
碰后pA′、pB′均大于零，表示同向运动，则应有：vB′≥vA′ 即： mB≤5mA②
碰撞过程中，动能不增加，则
答案：C
2
系统的机械能
E ' E P
1 2
( m A m B m C ) v A 48 J
2
由系统动量守恒得
m A v m B v m A v A (m B m C )v B
设A的速度方向向左
v A 0 则 vB 4m / s
则作用后A、B、C动能之和
Ek
1 2
•
•
(1) Hm=Mv2/［2g(M+m)］
mv/(M+m) （2） 2mv/(M+m)
•
(3) 铁块将作自由落体运动
• 图（1）所示为一根竖直悬挂的不可伸长的轻绳，下端 栓一小物块A，上端固定在C点且与一能测量绳的拉力 的测力传感器相连。已知有一质量为m0的子弹B沿水 平方向以速度v0射入A内（未穿透），接着两者一起绕 C点在竖直面内做圆周运动。在各种阻力都可忽略的条 件下测力传感器测得绳的拉力F随时间t的变化关系如图 2所示。已知子弹射入的时间极短，且图（2）中t=0为 A、B开始以相同速度运动的时刻。根据力学规律和题 中（包括图）提供的信息，对反映悬挂系统本身性质的 物理量（例如A的质量）及A、B一起运动过程中的守 2 2 恒量，A物体的质量与绳长？ 36 m 0 v 0 Fm
如图所示，质量为M=4kg的平板车静止在光滑水平面上， 其左端固定着一根轻弹，质量为m=1kg的小物体以水平 速度v0=5m/s从平板车右端滑上车，相对于平板车向左滑 动了L=1m后把弹簧压缩到最短，然后又相对于平板车向 右滑动到最右端而与之保持相对静止。求 （1）小物体与平板车间的动摩擦因数； （2）这过程中弹性势能的最大值。
（1）当弹簧的弹性势能最大时物体A的速度多大？ （2）弹性势能的最大值是多大？
（3）A的速度有可能向左吗？为什么？
• （1）当A、B、C三者的速度相等时弹簧的 弹性势能最大，由于A、B、C三者组成的 系统动量守恒，有
(mALeabharlann m B )v (mA
m B m C )v A
v A 3m / s
F
m 6g m0 l
C B A v0 图1
Fm
5 Fm
2
g
O
t0
3t0 图2
5t0
t
m Av A
2
1 2
( m B m C ) v B 48 J
2
故A不可能向左运动
（三）子弹打木块的模型
1.运动性质：子弹对地在滑动摩擦力作用下匀减 速直线运动；木块在滑动摩擦力作用下做匀加速 运动。
2.符合的规律：子弹和木块组成的系统动量守恒， 机械能不守恒。
3.共性特征：一物体在另一物体上，在恒定的阻 力作用下相对运动，系统动量守恒，机械能不守 恒，ΔE = f 滑d相对
动能损失为
1 1 1 2 2 2 E ＝ m 1 v 10 m 2 v 20 m 1 m 2 v 2 2 2 2 m 1 m 2 m 1m 1
v 10
v 20
2
解决碰撞问题须同时遵守的三个原则:
一. 系统动量守恒原则
二. 能量不增加的原则
（二）反冲运动、爆炸模型
图1－1－3为一空间探测器的示意图，P1、P2、P3、P4是四个喷气发动 机，P1、P3的连线与空间一固定坐标系的x轴平行，P2、P4的连线与y轴 平行．每台发动机喷气时，都能向探测器提供推力，但不会使探测器转 动．开始时，探测器相对于坐标系以恒定的速率v0沿正x方向平动．先开 动P1，使P1在极短的时间内一次性喷出质量为m的气体，气体喷出时相 对于坐标系的速度大小为v.然后开动P2，使P2在极短的时间内一次性喷出 质量为m的气体，气体喷出时相对坐标系的速度大小为v.此时探测器的速 度大小为2v0，且方向沿正y方向．假设探测器的总质量为M(包括气体的 质量)，求每次喷出气体的质量m与探测器总质量M的比值和每次喷出气体 的速度v与v0的比值．
• 例1 质量为M的木块静止在光滑水平面上， 一质量为速度为的子弹水平射入木块中， 如果子弹所受阻力的大小恒为f，子弹没有 穿出木块，木块和子弹的最终速度为 ， 在这个过程中木块相对地面的位移为 ， v s s 子弹相对与地面的位移为 ，子弹相对与木 s 块的位移为 。
共 木
子
s子
s
s木
• • • • • •
解：光滑水平面，子弹与木块水平方向动量守恒 mv v ＝ mv ( M m ) v ① M m 对木块用动能定理 fs ＝ 1 M v ② 2 1 1 对子弹用动能定理 － fs ＝ mv － mv ③ 2 2 1 1 ②＋③，得到 f ( s － s ）＝ 2（ M ＋ m ) v － 2 mv f s ④ 观察方程④，等式的左边表示摩擦力对系统做的 功，右边表示系统动能的变化，那么它表示的物 理意义是，在不受外力作用下，系统内部摩擦力 做功（摩擦力与物体相对位移的乘积）等于系统 动能的变化。 • 这种模型适用条件是，一个物体在另一个物体表 面或内部运动，在运动方向上不受外力，系统动 量守恒。从能量的观点看，系统内部摩擦力做功 （摩擦力与物体相对位移的
结论：(1)当两球质量相等时，两球碰撞后交换了速度． (2)当质量大的球碰质量小的球时，碰撞后两球都向前运动．
(3)当质量小的球碰质量大的球时，碰撞后质量小的球被反弹回来．
完全非弹性碰撞 碰撞后系统以相同的速度运动 v1=v2=v 动量守恒：
m 1 v 10 m 2 v 20 m 1 m 2 v
系统动量守恒，系统的合动量为零。
例. 质量为m的人站在质量为M，长为L的静止小船的右 端，小船的左端靠在岸边。当他向左走到船的左端时， 船左端离岸多远？
解：先画出示意图。人、船系统动量守恒，总动 量始终为零，所以人、船动量大小始终相等。从 图中可以看出，人、船的位移大小之和等于L。 设人、船位移大小分别为l1、l2 ，则：mv1=Mv2， 两边同乘时间t，ml1=Ml2， 而l 1+l 2=L， m L ∴ l2 M m
v0
M
m
• .在光滑水平地面上放有一质量为M带光滑弧形槽 的小车，一个质量为m的小铁块以速度v沿水平 槽口滑去，如图所示，求： • (1)铁块能滑至弧形槽内的最大高度H；此刻小车 速度(设m不会从左端滑离M) ； • (2) 小车的最大速度 • (3)若M=m，则铁块从右端脱离小车后将作什么 运动?
0
0
共
共
2
木
共
2
2
子
共
2
0
2
子
木
共
0
（四）、人船模型
例：静止在水面上的小船长为L，质量为M，在 船的最右端站有一质量为m的人，不计水的阻力， 当人从最右端走到最左端的过程中，小船移动的 距离是多大？
0=MS – m（L-S）
S
L-S
若开始时人船一起 以某一速度匀速运 动，则还满足 S2/S1=M/m吗？
动量守恒定律应用
动量守恒定律的典型应用 几个模型： （一）碰撞中动量守恒
（二）反冲运动、爆炸模型
(三) 碰撞中弹簧模型
（四）子弹打木块类的问题： （五）人船模型：平均动量守恒