九年级数学二元二次方程组3
初三数学二元二次方程组知识精讲
初三数学二元二次方程组知识精讲二元二次方程组1. 二元二次方程含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程。
相应地，按各项的次数分别叫做这个方程的二次项，一次项和常数项。
2. 二元二次方程组由两个二元二次方程或一个二元二次方程、一个二元一次方程组成的方程组，叫二元二次方程组。
3. 二元二次方程组的解法解方程组的基本思想是将多元方程向一元方程转化，将高次方程向低次方程转化，即通常说的消元和降次思想。
由一个二次和一个一次方程组成的二元二次方程组的一般解法是代入法，由两个二次方程组成的二元二次方程组，在中学阶段只研究它的几种特殊解法。
如果两个方程的二次项的对应系数成比例，可用加减消元法消去二次项。
例：解方程组24220363022x xy x y x xy x y +--+=+-+=⎧⎨⎪⎩⎪①②解：②×①×2-3得4960x y +-=解方程组496036302x y x xy x y +-=+-+=⎧⎨⎩ 得x y x y 1122214932=-=⎧⎨⎪⎩⎪=-=⎧⎨⎩ 如果方程组中含有某一未知数的对应项的系数的比相等，可用加减消元法消去这个未知数。
例：解方程组2422022402222x xy y x y x xy y x y -++-+=--+-+=⎧⎨⎪⎩⎪①②解：②×①()-+2得 33602y y +-= ∴，y y 1212==- 把y 11=，代入②得x 无解把y 22=-代入②得x =-1或x =-4 ∴原方程组的解是x y x y 11221242=-=-⎧⎨⎩=-=-⎧⎨⎩ 如果方程组中至少有一个方程可以分解为一次方程的方程组，可用因式分解法解。
例：解方程组x y x xy y 222252320+=--=⎧⎨⎪⎩⎪①②解：由②得()()220x y x y +-= ∴20x y +=或x y -=20 ∴原方程组可化为两个方程组x y x y 22520+=+=⎧⎨⎩与x y x y 22520+=-=⎧⎨⎩解得x y x y x y x y 1122334412122121==-⎧⎨⎩=-=⎧⎨⎩==⎧⎨⎩=-=-⎧⎨⎩ 如果两个方程都没有一次项，可用加减消元法消去常数项，再用因式分解法求解。
数学解二元二次方程组的方法
数学解二元二次方程组的方法一、引言解二元二次方程组是初中数学中的重要内容之一，通过本课的学习，我们将掌握解二元二次方程组的方法和技巧，培养解决实际问题的能力。
二、知识梳理在开始讲解解二元二次方程组的方法之前，我们先来回顾一下二元二次方程的含义和解法。
1. 二元二次方程的定义二元二次方程是由两个含有未知数的二次方程构成的方程组，一般形式如下：{ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0{fx^2 + gy^2 + hx + iy + j = 0其中a、b、c、d、e、f、g、h、i、j是已知实数，且a和f不能同时为0。
2. 解二元二次方程的方法解二元二次方程组的方法有以下几种：（1）代入法：将一个方程的解代入到另一个方程中，得到一个关于一个未知数的一元二次方程，从而求出另一个未知数的值。
（2）消元法：通过消去其中一个未知数，将二元二次方程组化简成为一元二次方程，再通过一元二次方程的解法求解。
（3）配方法：将二元二次方程组中的一个方程配方后代入到另一个方程中，然后利用一元二次方程的解法求解。
三、解二元二次方程组的具体步骤下面，我们将分别介绍代入法、消元法和配方法来解二元二次方程组的具体步骤。
1. 代入法（1）选定一个方程，将其中一个未知数表示出来，如选取第一个方程中的x，将其表示为y的函数。
（2）将上一步中得到的表达式代入到另一个方程中，得到一个关于y的一元二次方程。
（3）解出y的值，然后将其代入到第一个方程中，求出x的值。
（4）最后，验证所得的x和y是否满足原方程组。
2. 消元法（1）通过系数的倍数，使得二元二次方程组中其中一个未知数的系数相等或者互为相反数。
（2）将得到的两个方程相加或相减，消去其中一个未知数。
（3）得到一元二次方程，求解该方程得到一个未知数的值。
（4）将求出的未知数代入其中一个方程，求出另一个未知数的值。
（5）最后，验证所得的解是否满足原方程组。
3. 配方法（1）选取一个方程，将其中一个未知数配方后代入到另一个方程中。
初中数学 什么是二元二次方程组
初中数学什么是二元二次方程组二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组。
每个二次方程通常具有形如ax^2 + bx + c = 0 的标准形式，其中a、b 和c 是已知系数，x 是未知数。
二元二次方程组的一般形式如下：a1x^2 + b1xy + c1y^2 + d1x + e1y + f1 = 0a2x^2 + b2xy + c2y^2 + d2x + e2y + f2 = 0其中a1、b1、c1、d1、e1、f1、a2、b2、c2、d2、e2 和f2 都是已知的系数，x 和y 是未知数。
解二元二次方程组需要找到满足两个方程同时成立的变量值（即x 和y 的值）。
解的形式可以是唯一解、无解或者无穷多解。
要解决二元二次方程组，可以使用以下方法：1. 消元法：使用消元法可以通过消去其中一个未知数的平方项来简化方程组。
首先，通过除以一个方程中的系数，使得两个方程中二次项的系数相等。
然后，将两个方程相减，可以消去一个未知数的平方项，得到一个一元二次方程。
通过解这个一元二次方程，可以求得一个未知数的值。
将求得的值代入另一个方程中，可以求得另一个未知数的值。
2. 代入法：使用代入法可以将一个方程的一个未知数表示为另一个未知数的函数，并将其代入另一个方程中。
这样可以得到一个只包含一个未知数的一元二次方程。
通过解这个一元二次方程，可以求得一个未知数的值。
将求得的值代回到另一个方程中，可以求得另一个未知数的值。
3. 图像法：通过绘制两个二次方程的图像，可以观察它们的交点来确定解。
交点的横坐标和纵坐标分别对应于x 和y 的值。
通过观察交点的数量和位置，可以判断方程组的解的情况。
4. 矩阵法：将二元二次方程组写成矩阵形式，并利用矩阵运算求解。
将未知数的系数和常数项排列成矩阵形式，然后根据矩阵的性质和运算来求解方程组的解。
需要注意的是，解二元二次方程组可能会得到不同的解形式，包括唯一解、无解或者无穷多解。
具体的解形式取决于方程组的特点和系数的取值。
九年级数学 二元二次方程组 人教版
初三数学二元二次方程组人教版【本讲教育信息】一. 教学内容： 二元二次方程组二. 学习目标：1. 弄清二元二次方程组的概念及类型（1）含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫二元二次方程。
其一般式：ax bxy cy dx ey f 220+++++= （a ，b ，c 不同为0）（2）一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，叫“一二型二元二次方程组”一个二元二次方程和一个可分解为两个二元一次方程的二元二次方程组成的方程组，叫“二二可分型方程组”2. 掌握解二元二次方程组的基本思路：降次，消元。
3. 熟练求解二元二次方程组的步骤4. 能使方程组中两方程都成立的未知数的值，叫方程组的解，二元二次方程组解的个数不定，至多有四组解。
5. 对于形如x y a xy b+==⎧⎨⎩的方程组，可通过构造以x ，y 为根的方程z az b 20-+=，达到消元目的。
三. 重点与难点：1. 重点：了解二元二次方程、二元二次方程组的概念，重点掌握方程组的解法。
2. 难点：降次、消元的方法是解题的难点。
【典型例题】例1. 解方程组261560222x y x xy y -=-+=⎧⎨⎩()()解：解法1：由()()1263y x =-（3）代入（2）x x x x x x 2225266260538720----=-+=()()∴==x x 124185，代入（3）中，y y 12265==， ∴原方程组的解是x y x y 11224218565==⎧⎨⎩==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 解法2：由（2）()()x y x y --=230 ∴-=-=x y x y 2030或∴原方程组可化为26202630x y x y x y x y -=-=⎧⎨⎩-=-=⎧⎨⎩ ∴原方程的解是x y x y 11224218565==⎧⎨⎩==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 点拨：解法1代入消元法，先消元，再把方程组转化为一元二次方程；解法2分解因式法，先降次，再把方程组转化为两个二元一次方程组。
初中数学教案解二元二次方程组
初中数学教案解二元二次方程组二元二次方程组是中学数学学习的重要内容之一，在初中阶段就开始接触和学习了。
本教案将从基础概念的讲解、解题方法的介绍以及练习题的提供三个方面，详细解析二元二次方程组的解法，以帮助学生更好地理解和掌握。
I. 概念讲解1. 二元二次方程组的定义二元二次方程组是由两个二次方程联立而成的方程组，通常形式为： a₁x² + b₁xy + c₁y² + d₁x + e₁y + f₁ = 0a₂x² + b₂xy + c₂y² + d₂x + e₂y + f₂ = 02. 解的定义解是指使方程组中的所有方程同时成立的一组数值，也就是满足同时解方程组的变量值。
3. 二元二次方程组的解法解二元二次方程组可以通过以下两种方法进行：a) 代入法：将一方程的解代入另一方程中，消去一个变量，从而转化为一元二次方程，最后求解。
b) 消元法：利用消元法将方程组转化为较简单的形式，然后通过求解此简化方程组的方法得到解。
II. 解题方法的介绍1. 代入法的步骤a) 选择一个方程，通常选择其中一个系数较为简单的方程，用其中一变量表示，并将其代入另一方程。
b) 将代入后的方程化简为一元二次方程。
c) 求解一元二次方程得出解。
d) 将所求解代入原方程中，求出另一变量的值。
2. 消元法的步骤a) 通过消元法将其中一个变量的系数抵消，使方程组化简。
b) 将化简后的方程组转化为一元二次方程，求解得到一个变量的值。
c) 将所得的变量值代入原方程组中，求解得到另一变量的值。
III. 练习题1. 解下列二元二次方程组：a)2x² + 3xy + 2y² - 5x - 2y + 3 = 03x² + xy - 3y² - 2x - 5y + 1 = 0b)x² - xy - y² - 4x + 6y - 3 = 02x² + xy + 3y² + 16x - 2y - 1 = 0c)4x² + xy - 7y² + 3x - 2y - 7 = 0x² - 2xy - 3y² + 3x - 6y - 1 = 0IV. 解题步骤与答案1. 解题步骤a) 使用代入法解题的步骤：- 选取一个方程进行变量的代入，并将结果代入另一个方程中得到一元二次方程。
二元二次方程组
二元二次方程组在数学中，二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组。
它的一般形式为：ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0fx^2 + gy^2 + hx + iy + j = 0其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i、j为已知系数，同时x和y是未知数。
求解二元二次方程组的目标是找到满足上述两个方程的x和y的值。
二元二次方程组的解法可以使用代数方法或图形方法。
下面将介绍两种常见的解法。
一、代数方法对于二元二次方程组，我们可以通过消元或代入法来求解。
1. 消元法消元法的思路是通过消去一个未知数，将方程组转化为一元二次方程，然后再求解。
首先，我们可以通过乘法或加减运算将两个方程的系数配平，使得其中一个未知数的系数相等，然后相减或相加，消去该未知数。
举例来说，假设我们有以下方程组：2x^2 + 3y^2 + 4x + 5y + 6 = 03x^2 + 2y^2 + 5x + 4y + 7 = 0我们可以将第一个方程乘以2，第二个方程乘以3，使得x的系数相等，得到：4x^2 + 6y^2 + 8x + 10y + 12 = 09x^2 + 6y^2 + 15x + 12y + 21 = 0然后，我们将两个方程相减，消去x，得到一元二次方程：(9x^2 + 6y^2 + 15x + 12y + 21) - (4x^2 + 6y^2 + 8x + 10y + 12) = 0 5x^2 + 7x + 2y + 9 = 0这样，我们就将二元二次方程组转化为了一元二次方程，可以用一般的方法求解该方程。
2. 代入法代入法的思路是先解一个方程，然后将其解代入另一个方程，从而求得另一个未知数的值。
继续以上面的方程组为例，假设我们已经解得x的值为2，那么我们可以将x=2代入任意一个方程，得到：2(2)^2 + 3y^2 + 4(2) + 5y + 6 = 08 + 3y^2 + 8 + 5y + 6 = 03y^2 + 5y + 22 = 0然后，我们可以使用求解一元二次方程的方法来解得y的值。
九年级数学 二元二次方程组 人教版
初三数学二元二次方程组人教版【本讲教育信息】一. 教学内容： 二元二次方程组二. 学习目标：1. 弄清二元二次方程组的概念及类型（1）含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫二元二次方程。
其一般式：ax bxy cy dx ey f 220+++++= （a ，b ，c 不同为0）（2）一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，叫“一二型二元二次方程组”一个二元二次方程和一个可分解为两个二元一次方程的二元二次方程组成的方程组，叫“二二可分型方程组”2. 掌握解二元二次方程组的基本思路：降次，消元。
3. 熟练求解二元二次方程组的步骤4. 能使方程组中两方程都成立的未知数的值，叫方程组的解，二元二次方程组解的个数不定，至多有四组解。
5. 对于形如x y a xy b+==⎧⎨⎩的方程组，可通过构造以x ，y 为根的方程z az b 20-+=，达到消元目的。
三. 重点与难点：1. 重点：了解二元二次方程、二元二次方程组的概念，重点掌握方程组的解法。
2. 难点：降次、消元的方法是解题的难点。
【典型例题】例1. 解方程组261560222x y x xy y -=-+=⎧⎨⎩()()解：解法1：由()()1263y x =-（3）代入（2）x x x x x x 2225266260538720----=-+=()()∴==x x 124185，代入（3）中，y y 12265==， ∴原方程组的解是x y x y 11224218565==⎧⎨⎩==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 解法2：由（2）()()x y x y --=230 ∴-=-=x y x y 2030或∴原方程组可化为26202630x y x y x y x y -=-=⎧⎨⎩-=-=⎧⎨⎩ ∴原方程的解是x y x y 11224218565==⎧⎨⎩==⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪ 点拨：解法1代入消元法，先消元，再把方程组转化为一元二次方程；解法2分解因式法，先降次，再把方程组转化为两个二元一次方程组。
最新初中数学方程与不等式之二元二次方程组单元汇编含解析(3)
最新初中数学方程与不等式之二元二次方程组单元汇编含解析(3)一、选择题1．解方程组:223403x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩【答案】1141x y =⎧⎨=⎩或223232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩； 【解析】【分析】由代入消元法，消去一个未知数x ，得到关于y 的一元二次方程，然后用公式法解出y 的值，然后计算出x ，即可得到方程组的解.【详解】解：223403x xy y x y ⎧--=⎨-=⎩①②， 由②得：3x y =+③，把③代入①，得22(3)3(3)40y y y y +-+-=，整理得：26390y y +-=，∵2494692250b ac ∆=-=+⨯⨯=>，∴用求根公式法，得y =， 解得：1=1y ，232y =-； ∴14x =，232x =； ∴方程组的解为：1141x y =⎧⎨=⎩或223232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩； 【点睛】本题考查了解二元二次方程组，利用代入消元法把解方程组转变为解一元二次方程，掌握公式法解一元二次方程是解题的关键.2．已知1132x y =⎧⎨=-⎩是方程组22x y m x y n⎧+=⎨+=⎩的一组解，求此方程组的另一组解.【答案】22-23x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将1132x y =⎧⎨=-⎩代入方程组22x y m x y n⎧+=⎨+=⎩ 中求出m 、n 的值，然后再求方程组的另一组解．【详解】解：将1132x y =⎧⎨=-⎩代入方程组22x y m x y n⎧+=⎨+=⎩中得：131m n =⎧⎨=⎩ ， 则方程组变形为：22131x y x y ⎧+=⎨+=⎩， 由x+y=1得：x=1-y ，将x=1-y 代入方程x 2+y 2=13中可得：y 2-y-6=0，即（y-3）（y+2）=0，解得y=3或y=-2，将y=3代入x+y=1中可得：x=-2；所以方程的另一组解为：22-23x y =⎧⎨=⎩ . 【点睛】用代入法解二元二次方程组是本题的考点，根据题意求出m 和n 的值是解题的关键.3．解方程组：222920x xy y x y ⎧++=⎨--=⎩． 【答案】5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. 【解析】【分析】先变形（1）得出x+y=1，x+y=-1，作出两个方程组，求出方程组的解即可．【详解】22291202x xy y x y （）（）⎧++=⎨--=⎩， 由（1）得出x+y=3，x+y=-3，故有32x y I x y +=⎧⎨-=⎩或x+y=-3II x-y=2⎧⎨⎩解得：5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩原方程组的解是5212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1252x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解高次方程组的应用，解此题的关键是能把高次方程组转化成二元一次方程组．4．解方程组：22x y 2{x xy 2y 0-=---=． 【答案】 11x 1y 1=-⎧⎨=⎩，22x 4y 2=-⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】 注意到22x xy 2y --可分解为，从而将原高次方程组转换为两个二元一次方程组求解.【详解】 解：由22x xy 2y 0--=得()()x y x 2y 0+-=，即x y 0+=或x 2y 0-=， ∴原方程组可化为x y 2x y 0-=-⎧⎨+=⎩或x y 2x 2y 0-=-⎧⎨-=⎩. 解x y 2x y 0-=-⎧⎨+=⎩得x 1y 1=-⎧⎨=⎩；解x y 2x 2y 0-=-⎧⎨-=⎩得x 4y 2=-⎧⎨=-⎩. ∴原方程组的解为11x 1y 1=-⎧⎨=⎩，22x 4y 2=-⎧⎨=-⎩.5．解方程组：223020x y x y -=⎧⎨+=⎩. 【答案】1212323222x x y y ⎧⎧==-⎪⎪⎨⎨==-⎪⎪⎩⎩ 【解析】【分析】把第一个方程化为x=3y ，代入第二个方程，即可求解.由方程①，得x ＝3y③，将③代入②，得(3y )2+y 2＝20，整理，得y 2＝2，解这个方程，得y 1，y 2④，将④代入③，得x 1＝，2x ＝﹣所以，原方程组的解是11x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩11x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩【点睛】该题主要考查了代入法解二元二次方程组，代入的目的是为了消元，化二元为一元方程，从而得解.6．解方程组：⑴3{351x y x y -=+= ⑵3+10{2612x y z x y z x y z -=+-=++= 【答案】（1）2{1x y ==-；（2）3{45x y z ===【解析】（1）先用代入消元法求出x 的值，再用代入消元法求出y 的值即可．（2）先利用加减消元法去z 得到关于x 、y 的两个方程，解这两个方程组成的方程组求出x 、y ，然后利用代入法求z ，从而得到原方程组的解.（1）2{1x y ==- ； (2) 3{45x y z ===“点睛”本题考查了解二元一次方程组、三元一次方程组：利用加减消元法或代入消元法把解三元一次方程组的问题转化为二元一次方程组的问题.7．解方程组：2220449x xy x xy y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩ 【答案】123434120033,,,333322x x x x y y y y ==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩ 【解析】【分析】由第一个等式可得x （x+y ）=0，从而讨论可①x=0，②x≠0，（x+y ）=0，这两种情况下结合第二个等式（x+2y ）2=9可得出x 和y 的值．∵x(x+y)=0，①当x=0时,(x+2y)2 =9，解得：y 1=32 ,y 2 =−32； ②当x≠0，x+y=0时，∵x+2y=±3， 解得：33x y =-=⎧⎨⎩ 或33x y ==-⎧⎨⎩. 综上可得,原方程组的解是123434120033,,,333322x x x x y y y y ==⎧⎧=-=⎧⎧⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-=-=⎩⎩⎪⎪⎩⎩ . 【点睛】此题考查二元二次方程组，解题关键在于掌握运算法则.8．已知()22221(0)0,0x y a b a b x my n m n ⎧+=>>⋯⋯⎪⎨⎪=+≠≠⋯⋯⎩①② 求证：()()2222222220a b m y mnb y n a b +++-=． 【答案】详见解析【解析】【分析】先把②式代入①式可以去掉x ，然后整理y 的函数，即可证明．【详解】证明：把②代入①，得2222()1my n y a b++=， ()222222222b m y mny n a y a b ∴+++=，222222222220m b y mnb y n b a y a b ∴+++-=， ()()2222222220a b m y mnb y n a b ∴+++-=．【点睛】本题主要考查了解二元二次方程组，整式的乘法，关键是把②式代入①式可以去掉x ，然后整理y 的函数．9．解方程组：()25()230x y x y x y +=⎧⎪⎨----=⎪⎩①②．【答案】1141x y =⎧⎨=⎩ ，2223x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】先将②化为30x y --=或10x y -+=，再分别和①式结合，分别求解即可.【详解】解：由②得()()310x y x y ---+=，得30x y --=或10x y -+=，原方程组可化为53x y x y +=⎧⎨-=⎩，51x y x y +=⎧⎨-=-⎩解得，原方程组的解为1141x y =⎧⎨=⎩ ，2223x y =⎧⎨=⎩ ∴原方程组的解为1141x y =⎧⎨=⎩ ，2223x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解，将二次降为一次是解题的关键.10．222102520x y x xy y +-=⎧⎨-+=⎩ 【答案】111412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 【解析】【分析】首先将二元二次方程进行因式分解，然后组成两个新的二元二次方程，求解即可.【详解】222102520x y x xy y +-=⎧⎨-+=⎩①② 将②因式分解，得()()220x y x y --=∴方程组可化为两个新方程组：21020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，21020x y x y +-=⎧⎨-=⎩∴方程组的解为：111412x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222515x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 【点睛】此题主要考查二元二次方程组的求解，熟练掌握，即可解题.11．解下列方程组：（1）222220560x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩ （2）217,11 1.x y x y x y x y ⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=-⎪+-⎩【答案】（1）3124123444,,22x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩2）112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】【分析】（1）把原方程组化为：222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩或222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩再分别解这两个方程组可得答案． （2）把两个方程相加得12x y +=，再代入求得13x y -=-，联立求解并检验可得答案． 【详解】解：（1）因为222220560x y x xy y ⎧+=⎨-+=⎩把22560x xy y -+=化为：(2)(3)0x y x y --=，即20x y -=或30x y -=原方程组化为：222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩或222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩ 因为222020x y x y ⎧+=⎨-=⎩ 把20x y -=化为2x y =，把2x y =代入2220x y +=中，得24y =，所以2y =± ，所以方程组的解是42x y =⎧⎨=⎩或42x y =-⎧⎨=-⎩ 同理解222030x y x y ⎧+=⎨-=⎩得方程组的解是x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩所以原方程组的解是：3124123444,,22x x x x y y y y ⎧⎧⎧⎧===-=-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨==-==⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩（2）因为217,111.x y x y x y x y ⎧-=⎪+-⎪⎨⎪+=-⎪+-⎩①② 所以①＋②得：36x y=+，所以12x y +=，把12x y +=代入② 得：13x y -=-， 所以1213x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，解得：112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 经检验112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是原方程组的解，所以原方程的解是112512x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【点睛】本题考查的是二元二次方程组与分式方程组，掌握降次与消元是解题关键，分式方程检验是必须步骤．12．(1)解方程组：22120x y x xy y -=⎧⎨--=⎩ (2)解方程组：51121526x y x y x y x y ⎧+=⎪+-⎪⎨⎪-=⎪+-⎩【答案】（1）21x y =⎧⎨=⎩或1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；（2）1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】【分析】（1）由1x y -=得1x y =+，将其代入2220x xy y --=求出y 的值，再根据y 的值分别求出对应的x 的值即可；（2）设1A x y =+，1B x y=-，方程组变形后求出A ，B 的值，然后得到关于x ，y 的方程组，再求出x ，y 即可．【详解】解：（1）由1x y -=得：1x y =+，将1x y =+代入2220x xy y --=得：()()221120y y y y +-+-=， 整理得：2201y y --=，解得：1y =或12y =-， 将1y =代入1x y -=得：2x =， 将12y =-代入1x y -=得：12x =， 故原方程组的解为：21x y =⎧⎨=⎩或1212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩； （2）设1A x y =+，1B x y=-， 则原方程组变为：5121526A B A B +=⎧⎨-=⎩， 解得：656A B ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ∴66516x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩， 解得：1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 经检验，1213x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是方程组的解． 【点睛】本题考查了解二元二次方程组以及解分式方程组，熟练掌握代入消元法以及换元法是解题的关键．13．解方程组：22235,230.x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩． 【答案】1111x y =⎧⎨=⎩，22553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩． 【解析】【分析】先将第二个方程利用因式分解法得到两个一元一次方程，然后分别与第一个方程联立成二元一次方程组，分别解方程组即可．【详解】由②得：()()30x y x y -+=；所以，0x y -=或30x y +=；整理得：2350x y x y +=⎧⎨-=⎩或23530x y x y +=⎧⎨+=⎩； 解得：11x y =⎧⎨=⎩或553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩； 所以，原方程组的解为1111x y =⎧⎨=⎩，22553x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩； 【点睛】本题主要考查二元二次方程组的解法，能够将原方程组拆成两个二元一次方程组是解题的关键．14．解方程组 1730x y xy -=⎧⎨=-⎩【答案】1212215152x x y y ⎧==⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩ 【解析】【分析】根据第一个式子，得出x 与y 的关系，代入第二个式子求解．【详解】解：1730x y xy -=⎧⎨=-⎩①②， 由①，得x=17+y③，把③代入②式，化简得y 2+17y+30=0，解之，得y 1=-15，y 2=-2．把y 1=-15代入x=17+y ，得x 1=2，把y 2=-2代入x=17+y ，得x 2=15．故原方程组的解为1212215152x x y y ⎧==⎧⎪⎨⎨=-=-⎪⎩⎩. 【点睛】本题考查了二元二次方程的解法，解题的关键是运用代入法得出x 、y 的值．15．如图在矩形ABCD 中，AB= n AD,点E 、F 分别在AB 、AD 上且不与顶点A 、B 、D 重合， AEF BCE ∠=∠, 圆O 过A 、E 、F 三点。
初中数学教案：解二元二次方程组的基本方法和步骤
初中数学教案：解二元二次方程组的基本方法和步骤解二元二次方程组的基本方法和步骤一、引言二元二次方程组是初中数学中的重要内容。
解决这类方程组需要掌握一定的基本方法和步骤。
本文将介绍解二元二次方程组的基本思路以及具体步骤，帮助初中生更好地理解和掌握这一知识点。
二、基本思路解决二元二次方程组的基本思路是通过变量消去或代入法将原方程组化简为一个关于单个变量的一元二次方程，然后求得该方程的解，再根据已知条件找到另一个未知数。
下面将详细介绍这一过程。
三、步骤详解（一）观察方程组，并进行分类在开始解题之前，我们首先要观察给定的方程组，判断其形式并进行合理分类。
具体来说，我们需要注意以下几点：1. 方程是否已经排列成标准形式：每个方程项都写在等式右边，并按照降序排列。
2. 方程是否都为完全平方式，并且系数存在公因数。
3. 方程是否可以直接应用变量消去法。
（二）应用变量消去法1. 将两个方程中含有相同未知数的项作差，从而消去该未知数。
例如，如果两个方程中都有$x$这个未知数，则将第二个方程乘以一个适当的常数$k$，使得两个方程中$x$的系数相等。
然后将两个方程相减，即可将$x$消去。
2. 重复上述步骤，直至将所有未知数都消去。
（三）解得一元二次方程1. 将经过变量消去后得到的含有单个未知数 $y$ 的一元二次方程通过化简、配方法等步骤转化为标准形式$a_1y^2+b_1y+c_1=0$。
2. 根据解一元二次方程的方法，求出 $y$ 的值。
（四）求另一个未知数1. 将已经求得的 $y$ 值代入其中一方程中，并通过继续化简、配方法等步骤求出另一个未知数。
四、实例演示为了更好地理解解二元二次方程组的方法和步骤，我们来看一个具体的实例：已知如下二元二次方程组：$$\begin{cases}x^2+y^2=4 \\xy=1\end{cases}$$首先，我们观察到这是一个已经排列成标准形式且没有公因子的方程组，可以直接应用变量消去法。
最新初中数学方程与不等式之二元二次方程组全集汇编及解析(3)
最新初中数学方程与不等式之二元二次方程组全集汇编及解析(3)一、选择题1．解方程组：22+2-0110x y x y ⎧=⎨-+=⎩【答案】：2112113,023x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩【解析】【分析】把(2)変形后代入(1)便可解得答案【详解】22+2-1010x y x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩①② 由②得:x=y-1代入①得:12023y y =⎧⎪⎨=⎪⎩, 分别代入②得:12113x x =-⎧⎪⎨=-⎪⎩， 故原方程组的解为：2112113,023x x y y ⎧=-⎪=-⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩【点睛】此题考查高次方程，解题关键在于掌握运算法则2．解方程组：222570x y x y x +=⎧⎨-++=⎩． 【答案】1113x y =⎧⎨=⎩，2267x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】用代入法即可解答，把①化为y=-2x+5，代入②得x 2-（-2x+5）2+x+7=0即可．【详解】由①得25y x =-+．③把③代入②，得22(25)70x x x --+++=．整理后，得2760x x -+=．解得11x =，26x =．由11x =，得1253y =-+=．由26x =，得21257y =-+=-．所以，原方程组的解是1113x y =⎧⎨=⎩，2267x y =⎧⎨=-⎩.3．解方程组：222321x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩【答案】114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 【解析】【分析】由②得：2()1x y -=，即得1x y -=或1x y -=-，再同①联立方程组求解即可.【详解】222321x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩①② 由②得：2()1x y -=，∴1x y -=或1x y -=-把上式同①联立方程组得：231x y x y +=⎧⎨-=⎩，231x y x y +=⎧⎨-=-⎩解得：114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴原方程组的解为114313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．4．解方程组：2322441x y x xy y +=⎧-+=⎨⎩【答案】2112115,175x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩【解析】分析：把方程组中的第二个方程变形为两个一元一次方程，与组中的第一个方程构成新方程组，求解即可．详解：2322441x y x xy y +=⎧-+=⎨⎩①② 由②得2(2)1x y -=，所以21x y -=③，21x y -=-④由①③、①④联立，得方程组：2321x y x y +=⎧-=⎨⎩，2321x y x y +=⎧-=-⎨⎩ 解方程组2321x y x y +=⎧-=⎨⎩得，{11x y == 解方程组2321x y x y +=⎧-=-⎨⎩得，1575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 所以原方程组的解为：1111x y =⎧=⎨⎩，221575x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩点睛：本题考查了二元二次方程组的解法，解决本题亦可变形方程组中的①式，代入②式得一元二次方程求解．5．解方程组：224;20.x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩【答案】121282,42x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩ 【解析】【分析】把2220x xy y +-=进行因式分解，化为两个一元一次方程，和4x y +=组成两个二元一次方程组，解方程即可.【详解】由②得：()()20x y x y +-=所以200x y x y +=-=或44200x y x y x y x y +=+=⎧⎧⎨⎨+=-=⎩⎩所以或, 121282,42x x y y ==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩所以原方程组的解为. 【点睛】考查二元二次方程组的解法，把方程2220x xy y +-=进行因式分解，化为两个一元一次方程是解题的关键.6．22x -y -3x 10y ⎧=⎨++=⎩，①，②【答案】x 1y -2=⎧⎨=⎩【解析】【分析】根据解二元二次方程组的步骤求解即可.【详解】解：由方程①得：()()x y x-y -3+⋅=，③由方程②得：x y -1+=，④联解③④得x-y=3，⑤联解④⑤得x 1y -2=⎧⎨=⎩所以原方程组的解为x 1y -2=⎧⎨=⎩【点睛】本题考查解二元二次方程组，解二元二次方程组的基本思想是先消元转化为一元二次方程,再降次转化为一元一次方程解之.7．解方程组：2256012x xy y x y ⎧-+=⎨+=⎩【答案】1184x y =⎧⎨=⎩或2293x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】利用因式分解法求22560x xy y -+=，得到20x y -=或30x y -=，然后得到两个二元一次方程组，分别求出方程组的解即可.【详解】解：由（1）得20x y -=或30x y -=，2012x y x y -=⎧⎨+=⎩或3012x y x y -=⎧⎨+=⎩， 解方程组得：1184x y =⎧⎨=⎩，2293x y =⎧⎨=⎩ ， 则原方程组的解为 1184x y =⎧⎨=⎩和 2293x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题主要考查解二元二次方程组，解此题的关键在于利用因式分解法将第一个方程求解，然后得到新的方程组.也可以利用代入消元法进行求解.8．已知直角三角形周长为48厘米，面积为96平方厘米，求它的各边长.【答案】12cm 、16cm 、20cm.【解析】【分析】设两直角边为a 、b+1=962a b ab ⎧⎪⎨⎪⎩求解即可．【详解】设该直角三角形的两条直角边为a 、b+1=962a b ab ⎧⎪⎨⎪⎩ 解得=12=16a b ⎧⎨⎩或=16=12a b ⎧⎨⎩， 经检验，=12=16a b ⎧⎨⎩和=16=12a b ⎧⎨⎩cm. 答：该直角三角形的三边长分别是12cm 、16cm 、20cm.【点睛】 此题运用三角形面积表示出1=962ab9．k 为何值时，方程组2216x y x y k⎧+=⎨-=⎩只有唯一解？【答案】k=42±.【解析】 【分析】将方程组转化为一元二次方程，根据△=0求解即可.【详解】2216(1)(2)x y x y k ⎧+=⎨-=⎩由（2）得， y=x-k （3）将（3）代入（1）得，2222160x kx k -+-=，要使原方程组有唯一解，只需要上式的△=0，即22(2)42(16)0k k --⨯⨯-=，解得，k=42±.所以当k=42±时，方程组2216x y x y k ⎧+=⎨-=⎩只有唯一解. 【点睛】本题考查的是高次方程的解法和一元二次方程根的判别式的应用，掌握当判别式为0时，一元二次方程有两个相等的实数根是解题的关键．10．有一批机器零件共400个，若甲先单独做1天，然后甲、乙两人再合做2天，则还有60个未完成；若甲、乙两人合做3天，则可超产20个. 问甲、乙两人每天各做多少个零件？【答案】甲每天做60个零件，乙每天做80个零件.【解析】试题分析：根据题意，设甲每天做x 个零件，乙每天做y 个零件，然后根据根据题目中的两种工作方式列出方程组，解答即可.试题解析：设甲每天做x 个零件，乙每天做y 个零件.根据题意，得解这个方程组，得 答：甲每天做60个零件，乙每天做80个零件.11．解方程组: 22212320x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩【答案】1144x y =⎧⎨=⎩，2263x y =⎧⎨=⎩ 【解析】【分析】首先把第二个方程左边分解因式，即可转化为两个一次方程，分别与第一个方程组成方程组，即可求解．【详解】解：由（2）得（x−y ）（x−2y ）＝0．∴x −y ＝0或x−2y ＝0，原方程组可化为2120x y x y +=⎧⎨-=⎩，21220x y x y +=⎧⎨-=⎩， 解这两个方程组，得原方程组的解为：1144x y =⎧⎨=⎩，2263x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题主要考查了高次方程组的解法，解题的基本思想是降次，掌握降次的方法是解高次方程的关键．12．解二元二次方程组210210x y x y x +-=⎧⎨---=⎩【答案】121221,12x x y y ⎧==-⎧⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩【解析】【分析】把方程①变形为y=1-x ，利用代入法消去y ，得到关于x 的一元二次方程，解方程求出x ，然后就可以求出y ，从而求解．【详解】解：210210x y x y x +-=⎧⎨---=⎩①②， 把①变形y ＝1﹣x ，代入②得x 2﹣（1﹣x ）﹣2x ﹣1＝0，化简整理得x 2﹣x ﹣2＝0，∴x 1＝2，x 2＝﹣1，把x ＝2代入①得y ＝﹣1，把x ＝﹣1代入①得y ＝2，所以原方程组的解为：121221,12x x y y ⎧==-⎧⎪⎨⎨=-=⎪⎩⎩． 【点睛】本题考查二元二次方程组的解法，一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．13．已知正比例函数()()249m n y m n xm -=++-的图像经过第二、四象限，求这个正比例函数的解析式.【答案】19y x =-【解析】【分析】 根据正比例函数的定义可得关于m 、n 的方程组，解方程组即可求出m 、n 的值，再根据其所经过的象限进行取舍即可.【详解】解：∵该函数为正比例函数，∴2190m n m -=⎧⎨-=⎩，解得32m n =⎧⎨=⎩或34m n =-⎧⎨=-⎩， ∵该函数图像经过第二、四象限，∴40m n +<，∴34m n =-⎧⎨=-⎩， ∴函数解析式为：19y x =-.【点睛】本题考查了正比例函数的定义和性质以及二元二次方程组的求解，熟练掌握正比例函数的定义和性质是解题关键.14．2222340441x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩【答案】112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩ 【解析】【分析】由于组中的两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程，所以先分解组中的两个二元二次方程，得到四个二元一次方程，重新组合成四个二元一次方程组，再解答即可．【详解】解：2222340441x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩①②将①因式分解得：(4)()0x y x y -+=，∴40x y -=或0x y +=将②因式分解得：2(2)1x y +=∴21x y +=或21x y +=-∴原方程化为：4021x y x y -=⎧⎨+=⎩，4021x y x y -=⎧⎨+=-⎩，021x y x y +=⎧⎨+=⎩，021x y x y +=⎧⎨+=-⎩解这些方程组得：112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩ ∴原方程组的解为：112316x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，222316x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，3311x y =-⎧⎨=⎩，4411x y =⎧⎨=-⎩． 【点睛】本题考查了二元二次方程组的解法，解题的关键是利用因式分解法将原方程组转化为四个方程组．15．解方程组：2228560x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩【答案】11122x y =⎧⎨=-⎩，228383x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】【分析】先将第2个方程变形为x +6y ＝0，x ﹣y ＝0，从而得到两个二元一次方程组，再分别求解即可．【详解】解：2228560x y x xy y +=⎧⎨+-=⎩①②， 由②得：x +6y ＝0，x ﹣y ＝0，原方程组可化为2860x y x y +=⎧⎨+=⎩或280x y x y +=⎧⎨-=⎩， 故原方程组的解为11122x y =⎧⎨=-⎩，228383x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩． 【点睛】本题考查的是高次方程，关键是通过分解，把高次方程降次，得到二元一次方程组，用到的知识点是因式分解、加减法．16．解方程组：2223,44 1.x y x xy y +=⎧⎨-+=⎩【答案】111,1;x y =⎧⎨=⎩221,57.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【解析】分析：对②中的式子进行变形，把原来的二元二次方程转化为两个二元一次方程组，解方程即可.详解：2223441x y x xy y ①②+=⎧⎨-+=⎩ 由②得：()221x y -=即：21x y -=或21x y -=-所以原方程组可化为两个二元一次方程组：23,21;x y x y +=⎧⎨-=⎩ 23,21;x y x y +=⎧⎨-=-⎩ 分别解这两个方程组，得原方程组的解是111,1;x y =⎧⎨=⎩ 221,57.5x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. 点睛：考查二元二次方程，对②中的式子进行变形，把原来的二元二次方程转化为两个二元一次方程组是解题的关键，需要学生掌握加减消元法.17．解方程组：2220{25x xy y x y --=+=①②【答案】5{5x y ==-或21x y =⎧⎨=⎩. 【解析】【分析】将①左边因式分解，化为两个二元一次方程，分别与②联立构成两个二元一次方程组求解即可.【详解】 2220{25x xy y x y --=+=①②由①得()()20x y x y +-=，即0x y +=或20x y -=，∴原方程组可化为0{25x y x y +=+=或20{25x y x y -=+=.解0{25x y x y +=+=得5{5x y ==-；解20{25x y x y -=+=得21x y =⎧⎨=⎩. ∴原方程组的解为5{5x y ==-或21x y =⎧⎨=⎩.18．解方程： 【答案】【解析】 解：原方程组即为···································· （2分）由方程（1）代人（2）并整理得： ······························································· （2分） 解得，························································ （2分） 代人得19．解方程组：222220,21,x xy y x xy y ⎧--=⎨++=⎩【答案】1123;13x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩222313x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩【解析】【分析】先对方程①②分解因式转化为两个一元一次方程，然后联立，组成4个二元一次方程组，解之即可．【详解】2222x 2y 0x 2y 1xy xy ⎧--=⎨++=⎩①②， 由①得 （x+y ）（x-2y ）=0，∴x+y=0或x-2y=0，由②得 （x+y ）2=1，∴x+y=1或x+y=-1，所以原方程组化为01x y x y +=⎧⎨+=⎩或01x y x y +=⎧⎨+=-⎩或201x y x y -=⎧⎨+=⎩或201x y x y -=⎧⎨+=-⎩， 所以原方程组的解为121222x x 3311y y 33⎧⎧==-⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪==-⎪⎪⎩⎩． 【点睛】本题考查了高次方程组，将高次方程化为一次方程是解题的关键．20．解方程组：22560{21x xy y x y +-=-=①②【答案】11613{113x y ==-,221{1x y ==. 【解析】【分析】 先将方程①变形为（x+6y ）（x ﹣y ）=0得x+6y=0或x ﹣y=0，分别与方程②组成二元一次方程组，从而求出方程的解.【详解】解：方程①可变形为（x+6y ）（x ﹣y ）=0得x+6y=0或x ﹣y=0将它们与方程②分别组成方程组，得（Ⅰ）6021x y x y +=⎧⎨-=⎩或（Ⅱ）021x y x y -=⎧⎨-=⎩解方程组（Ⅰ）613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解方程组（Ⅱ）11x y =⎧⎨=⎩，所以原方程组的解是11613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,2211x y =⎧⎨=⎩． 故答案为11613113x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,2211x y =⎧⎨=⎩. 【点睛】此题是解高次方程，解题思路与解一元一次方程组差不多，都是先消元再代入来求解，只是计算麻烦点.。
初中数学教案：解二元二次方程组
初中数学教案：解二元二次方程组解二元二次方程组一、引言解二元二次方程组是初中数学中的重要内容，理解和掌握解方程组的方法对于学习数学具有重要意义。
本教案将从理论与实践相结合的角度出发，全面介绍解二元二次方程组的方法和思路。
二、理论部分1. 二元二次方程组的概念二元二次方程组是指包含两个未知数的二次方程的方程组，通常表示为： a1x² + b1xy + c1y² + d1x + e1y + f1 = 0a2x² + b2xy + c2y² + d2x + e2y + f2 = 02. 解二元二次方程组的一般思路解二元二次方程组的一般思路包括以下几个步骤：a) 将方程组中的一元二次方程转化为因式分解的形式；b) 利用已知条件将含有另一个未知数的一元二次方程消去；c) 再次转化为一元二次方程，解得一个未知数的值；d) 将求得的未知数的值代入方程组中的一个方程，解得另一个未知数的值；e) 验证解是否正确。
3. 解二元二次方程组的方法a) 代入法将一个方程中的一个未知数用另一个方程中的未知数表示出来，然后代入另一个方程中求解。
b) 消元法利用方程组中的两个方程进行消元，消去一个未知数，转化为一元二次方程求解。
c) 降次法将二元二次方程组通过配方法，降低为二次项的系数较小的方程组，进而解得未知数的值。
三、实践部分以一个具体的例子来说明如何解二元二次方程组。
例题：解方程组：x² + y² = 25x + y = 7解题步骤：1. 利用第二个方程，将y表示为x的函数。
例如，将y = 7 - x。
2. 将y的表达式代入第一个方程，得到：x² + (7 - x)² = 253. 化简方程，得到一个一元二次方程：2x² - 14x + 24 = 04. 解一元二次方程，求得x的值：x = 2 或 x = 65. 将x的值代入y的表达式中，得到对应的y的值：当x = 2 时，y = 7 - 2 = 5当x = 6 时，y = 7 - 6 = 16. 验证解的正确性，将x和y的值代入原方程组中验证。
二元二次方程组的解法与应用
二元二次方程组的解法与应用二元二次方程组是由两个未知数x和y以及形如ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0的二次项组成的方程。
解决二元二次方程组的问题在数学和实际生活中有着广泛的应用。
本文将介绍二元二次方程组的解法及其应用。
一、二元二次方程组的解法求解二元二次方程组可以使用常见的代数解法，如代入法、消元法和用韦达定理等方法。
下面将逐一进行介绍。
1.1 代入法代入法是求解二元二次方程组的一种简单直接的方法。
首先将其中一个方程的其中一个未知数表示成另一个未知数的函数，然后将其代入另一个方程中，得到一个只含有一个未知数的方程，从而解出该未知数的值。
再将该值代入到另一个方程中，求解另一个未知数的值。
例如，考虑以下二元二次方程组：(1) x^2 + 4xy + y^2 = 10(2) 3x^2 - 2xy + 2y^2 = 11我们选择方程(1)中的x表示成y的函数：x = (10 - y^2)/(4y + 1)。
将其代入方程(2)中，可以得到：3[(10 - y^2)/(4y + 1)]^2 - 2[(10 - y^2)/(4y + 1)]y + 2y^2 = 11化简上述方程后，我们可以得到一个关于y的一元二次方程，解出y的值后再代回到方程(1)即可求出x的值。
1.2 消元法消元法是求解二元二次方程组的另一种常用方法。
通过消去其中一个未知数，将方程组化简为一元二次方程。
消元法有三种常见的形式，分别是相减消去、相加消去和代入消去。
以相减消去为例，考虑以下二元二次方程组：(1) x^2 - 3xy + 2y^2 = 5(2) 2x^2 - 5xy + 3y^2 = 12我们将两个方程相减，得到新方程：-x^2 + 2xy - y^2 = -7此时，可以将新方程视为一个关于y的一元二次方程，解出y的值后再代回到方程(1)或(2)求解另一个未知数的值。
1.3 韦达定理韦达定理是解决二元二次方程组的另一种方法。
二元二次方程组及其解法
二元二次方程组及其解法二元二次方程组及其解法知识点1：二元二次方程及二元二次方程组的有关概念：1、定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2次的整式方程，叫做二元二次方程。
如：05422=-+y xy x ，5=xy ，0422=-y x ，0245222=+++-y x y xy x 等。
2、注意点：（1）二元二次方程是整式方程。
（2）二元二次方程含有两个未知数。
（3）含有未知数的项的最高次数是2 3、一般式：220ax bxy cy dx ey f +++++=．这里，必须强调a 、b 、c 中至少有一个不是零，否则就不是二元二次方程了。
“a 、b 、c 中至少有一个不是零”也可以说成“a 、b 、c 不都为零”，但不能说成“不为零”或“都不为零”，因为它们的意义是不一样的。
4、二元二次方程的解：能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解。
5、二元二次方程组：定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2次的整式方程所组成的方程组，叫做二元二次方程组。
如：6、二元二次方程组的解：二元二次方程组中所含方程的公共解，叫做二元二次方程组的解。
例1、在方程组①==-132xy y x 、②()=-=-12232xy x x y x 、③=-=-32232y y x 、④??=-=+57xy x xy x 、⑤??-==24yz xy 中，是二元二次方程组的共有＿＿＿＿＿个.分析：抓住关键（1）组内方程是整式方程。
（2）方程组中含有两个未知数。
（3）含有未知数的项的最高次数是2答：①③是二元二次方程组。
②中()12=-xy x x 含有未知数的项的最高次数是3。
④中方程不是整式方程。
⑤方程组中含有3个未知数。
限时训练：1、下列各方程中不是二元二次方程的是（） +xy=5 +y 2=3 +2y 1=02、已知一个由二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解是==21y x和-=-=21y x ,试写出一个符合要求的方程组_______________。
学习技巧掌握解二元二次方程组的完整步骤
学习技巧掌握解二元二次方程组的完整步骤学习技巧：掌握解二元二次方程组的完整步骤在数学学习中，解二元二次方程组是一个重要的内容。
掌握解决这种类型方程组的技巧，不仅能提升数学能力，还能应用于实际问题的解决。
本文将介绍解二元二次方程组的完整步骤，帮助读者准确掌握这一知识点。
一、方程组的定义和形式二元二次方程组是由两个二次方程组成的方程组，通常形式如下：{ a1x^2 + b1xy + c1y^2 + d1x + e1y + f1 = 0{ a2x^2 + b2xy + c2y^2 + d2x + e2y + f2 = 0其中，a1, b1, c1, d1, e1, f1, a2, b2, c2, d2, e2, f2是已知数或系数，x 和y是未知数。
二、解二元二次方程组的步骤在解二元二次方程组前，我们首先需要了解以下步骤：步骤1：判断方程组类型根据方程组的系数判断方程组类型，可能有三种情况：1. 如果两个方程的系数都不为0，则为普通二元二次方程组；2. 如果一个方程系数全为0，另一个方程的系数不全为0，则为次齐次方程组；3. 如果两个方程的系数都为0，则不构成方程组。
步骤2：化简方程组对方程组进行化简，通过消元或其他方法将方程组转化为更简单的形式。
例如，通过消去某些变量或消去平方项，减小方程组的复杂度。
步骤3：代入法求解通过代入法，即将其中一个方程的解代入到另一个方程中，进而求解未知数的值。
代入法是解二元二次方程组最常用的方法之一。
步骤4：直接消元法求解对方程组进行直接消元，通过加减、乘除等运算将方程组转化为只含一个未知数的方程，然后解决该方程从而求得其他未知数的值。
步骤5：使用数学软件或计算器在实际应用中，可以借助数学软件或计算器来解决二元二次方程组。
通过输入方程的系数，运行相应的函数或命令，即可得到方程组的解。
三、实例演示以下是一个实例，演示了解二元二次方程组的完整步骤：例题：{ 2x^2 - xy + y^2 = 13{ 3x^2 + xy + 2y^2 = 19解答步骤：步骤1：判断方程组类型。
初中解二元二次方程组
初中解二元二次方程组在解二元二次方程组之前，我们首先要了解什么是二元二次方程组。
二元二次方程组是指一组含有两个未知数的二次方程组合。
一般形式为：\[\begin{cases}ax^2 + by^2 + cx + dy + e = 0 \\fx^2 + gy^2 + hx + iy + j = 0 \\\end{cases}\]其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i、j为已知系数。
解二元二次方程组的关键是找到未知数x和y的取值，使得方程组中的所有方程都成立。
下面我们将介绍两种常见的方法来解决二元二次方程组。
方法一：代入法使用代入法解决二元二次方程组的基本思路是，用一个方程的解（或其中一个未知数的值）代入另一个方程，从而将方程组化简为一个一元二次方程。
假设我们有以下二元二次方程组：\[\begin{cases}2x^2 - 3y^2 + 4x - 5y = 7 \\3x^2 + 5y^2 - 8x + 6y = 12 \\\end{cases}\]我们可以选择其中一个方程，如第一个方程，将其中的x表示成关于y的方程：\[x = \frac{1}{2}(3y^2 - 4x + 5y - 7)\]然后将这个x的表达式代入第二个方程中，得到一个关于y的一元二次方程：\[3\left(\frac{1}{2}(3y^2 - 4x + 5y - 7)\right)^2 + 5y^2 -8\left(\frac{1}{2}(3y^2 - 4x + 5y - 7)\right) + 6y = 12\]化简上述方程，可得：\[y^2 - 4y + 3 = 0\]解这个一元二次方程，我们可以得到两个y的解，假设为y₁和y₂。
将这两个y的解代入刚刚我们得到的关于x的方程中，即可求得对应的x的解。
方法二：消元法消元法是另一种解二元二次方程组的常用方法。
基本思路是通过消去其中一个未知数的系数，将方程组化简为一个关于另一个未知数的一元二次方程。
二元二次方程组解题步骤
二元二次方程组解题步骤1. 二元二次方程组的基本概念首先，二元二次方程组可不是那么可怕，咱们可以把它理解成两个方程，里面有两个未知数，通常用 (x) 和 (y) 表示。
比如说，你可能遇到这样的方程组：begin{casesy = ax^2 + bx + cy = dx^2 + ex + fend{cases听起来很复杂，其实就是把一个曲线和一个抛物线放在一起，看看它们的交点在哪里。
没错，就是那种“缘分”让它们相遇的地方。
咱们的目标就是找出这些交点，简单吧？1.1 理解方程的构成每个二元二次方程都有个标准的格式，咱们得先把它们理解透。
第一个方程的 (a), (b), 和 (c) 就是系数，分别代表二次项、一次项和常数项。
二次方程就是“抛物线”的老大，这玩意儿开口朝上还是朝下，全靠 (a) 的符号。
注意了，如果 (a > 0)，开口朝上；如果(a < 0)，那就是朝下，跟人的情绪似的，时而阳光明媚，时而阴云密布。
1.2 设置方程好了，知道了这些基本概念之后，我们就要进入解题的阶段。
首先，我们得把这两个方程都化为 (y) 的形式，便于比较。
这就像咱们先把食材准备齐全，再开始做菜。
接下来，咱们要做的就是把两个方程相等，设定一个新的方程，这样一来，二元二次方程组就化身为一元二次方程。
简直是“化腐朽为神奇”啊！2. 解一元二次方程有了新方程，接下来就是找根了。
咱们可以用求根公式：x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac{2a。
哎呀，听起来有点复杂，但其实只要好好算，一切都不是问题。
我们得先算判别式(b^2 4ac)。
如果判别式大于零，说明方程有两个不相等的实根；如果等于零，只有一个实根；小于零，那就得准备好安慰剂了，因为没有实根。
2.1 代入找 (y) 值算出 (x) 的值后，别急着高兴，接下来得把这个 (x) 代回任一方程中，找到对应的(y) 值。
这样一来，你就可以获得每一个交点的坐标了。
二元二次方程组的解法步骤
二元二次方程组的解法步骤好啦，今天咱们聊聊二元二次方程组的解法。
听起来好像有点高深，其实就像做一道家常菜，步骤简单，味道却能让人惊艳。
想象一下，你的数学课上老师说：“今天咱们要解二元二次方程组。
”你心里可能在嘀咕：“哎呀，这又是什么新花样？”不过没关系，跟我走，你会发现这其实很有意思。
首先呢，咱们得先搞清楚什么叫二元二次方程组。
说白了，就是有两个方程，而且每个方程里面都有平方项。
听着是不是有点儿拗口？比如说，x² + y² = 1，y = x + 1，这就是个二元二次方程组。
看，没那么可怕吧！这就像你在厨房里找材料，先找出你需要的食材，才能开始做菜。
咱们得确定一个解决的方向。
哎，想当年我也纠结过，选代入法还是消元法。
其实两个方法各有千秋，得看你自己的喜好。
有的人喜欢代入法，觉得像是在侦探游戏里，找线索，代入一个方程到另一个方程中去，解开谜团。
举个例子，你可以把y的表达式代入第一个方程，像个小侦探一样，把问题一步步拆解。
这样做的好处是简单直观，就像跟朋友聊天，慢慢把事情说清楚。
但是啊，有的人偏爱消元法，觉得那样比较直接。
把两个方程相加或者相减，就像是在拼图，把相似的部分去掉，剩下的就是你要找的答案。
对了，记得在这个过程中，得小心点，千万别把平方项搞混了。
数学就像谈恋爱，一不小心就容易出错，要保持细心。
再说了，解完方程组之后，咱们还得检验一下结果。
就像你做完一道菜，尝一尝味道，看看是不是咸了点、淡了点。
把解回代入原方程，看看能不能成立。
如果能，那恭喜你，成功了！如果不行，那就要反思一下，是不是哪里出错了。
不要紧，这都是学习的一部分嘛。
说到这里，可能有人会问：“如果方程组不相交怎么办？”好吧，这时候就要面对无解的尴尬局面。
就像你在约会中发现对方跟自己兴趣完全不合，那就只能遗憾告别。
相反，如果你发现方程组有无数解，那就像找到一个灵魂伴侣，简直是完美！这时可以说，两条方程其实是同一条直线，真是缘分啊。
九年级中考数学复习教案第22课时二元二次方程组3
四、作业：
求下面两个方程组的解：
教学后记：
九年级中考数学复习教案第22课时二元二次方程组3
1、使学生进一步掌握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法以及由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法．
2、解决问题的能力．
教学重点：
正确地选择恰当的方法解简单的二元二次方程组，进一步领会解简单的二元二次方程组的基本思想，把握化二元为一元，化二次为一次的条件，通过解简单的二元二次方程组，提高学生分析问题和解决问题的能力．
教学难点：
正确地选择恰当的方法解简单的二元二次方程组．
教学过程：
我们已经学过常见的两种类型的二元二次方程组的解法，这一节课我们将进一步系统地复习二元二次方程组的解法．
解：①-②×4，得
x2-5xy＋4y2＝0．
∴x-y＝0或x-4y＝0．
∴原方程组可化为
解这两个方程组，得原方程组的解为：
三、课堂小结：
这节课我们进一步学习了如何解二元二次方程组．一般地说，解二元二次方程组时，首先分析方程组的特征，然后根据方程组的特征确定方程组的解法．如果发现方程组中的两个方程都不含有一次项的特征，可以采用消去常数项，依照题3的解法．
关于本节复习课，是对已学习过的二元二次方程组有关内容的复习，所以直接明确本节课的目标，可以充分地调动学生的积极性，使学生能积极思考本节的内容，以提高学生的分析问题和解决问题的能力．
由于本节内容是在学生已经学过的基础上进行复习的，其内容主要是熟练、灵活地解前面所学过的简单的二元二次方程组的两种类型，所以，在教学时，通过教师的讲和学生的练，启发学生分析简单的二元二次方程组的特点，寻找解方程组的思路，从而正确地解方程组，同时随时纠正学生在解方程组的过程中出现的问题．所以整个课堂能够积极、和谐，从而提高学生分析问题和解决问题的能力．
二元二次方程组 知识讲解
二元二次方程组 知识讲解责编：杜少波【学习目标】1、知道二元二次方程的概念和二元二次方程组的概念，能够判定给定的方程和方程组是否是二元二次方程或二元二次方程组；2、了解二元二次方程（组）的解的概念，能判别给定的数值是否是方程（组）的解；3、掌握由“代入法”解由一个二元一次方程和二元二次方程组成的方程组；4、掌握用“因式分解法”解由两个二元二次方程组成的方程组；5、会熟练的列出方程组解应用题.并能根据具体问题的实际意义，检查结果是否合理.6、通过将实际生活中的问题抽象为方程模型的过程，让学生形成良好思维习惯，学会从数学角度提出问题、理解问题.运用所学知识解决问题，发展应用意识，体会数学的情感与价值.【知识网络】【要点梳理】要点一、二元二次方程1. 定义：仅含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程. 要点诠释：22ax bxy cy dx ey f o +++++=（a 、b 、c 、d 、e 、f 都是常数，且a 、b 、c 中至少有一个不为零），其中22,,ax bxy cy 叫做这个方程的二次项，a 、b 、c 分别叫做二次项系数，,dx ey 叫做这个方程的一次项，d 、e 分别叫做一次项系数，f 叫做这个方程的常数项.2.二元二次方程的解能使二元二次方程左右两边的值相等的一对未知数的值，叫做二元二次方程的解.要点诠释：二元二次方程有无数个解；二元二次方程的实数解的个数有多种情况.要点二、二元二次方程组1.概念：仅含有两个未知数，各方程都是整式方程，并且含有未知数的项的最高次数为2，这样的方程组叫做二元二次方程组.要点诠释：不能认为由两个二元二次方程组成的方程组才叫二元二次方程组，由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组，也是二元二次方程组.2. 二元二次方程组的解:方程组中所含各方程的公共解叫做这个方程组的解.要点三、二元二次方程组的解法1. 代入消元法代入消元法解“二·一”型二元二次方程组的一般步骤：①把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的代数式表示；②把这个代数式代入二元二次方程，得到一个一元二次方程；③解这个一元二次方程，求得未知数的值；④把所求得的未知数的值分别代入二元一次方程，求得另一个未知数的值；⑤所得的一个未知数的值和相应的另一个未知数的值分别组在一起，就是原方程组的解； ⑥写出原方程组的解.要点诠释：（1）解一元二次方程、分式方程和无理方程的知识都可以运用于解“二·一”型方程组；（2）“二·一”型方程组最多有两个解，要防止漏解和增解的错误.2、因式分解法(1) 当方程组中只有一个可分解为两个二元一次方程的方程时，可将分解得到的两个二元一次方程分别与原方程组中的另一个二元二次方程组成两个“二·一”型方程组，解得这两个“二·一”型方程组，所得的解都是原方程组的解.(2) 当方程组中两个二元二次方程都可以分解为两个二元一次方程时，将第一个二元二次方程分解所得到的每一个二元一次方程与第二个二元二次方程分解所得的每一个二元一次方程组成新的方程组，可得到四个二元一次方程组，解这四个二元一次方程组，所得的解都是原方程组的解.要点四、方程（组）的应用应用二元二次方程组解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设未知数（2个）；（3）列二元二次方程组；（4）解方程组；（5）检验是否是方程的解以及是否符合实际；（6）写出答案.要点诠释：一定要检验一下结果是否符合实际问题的要求.【典型例题】类型一、二元二次方程（组）判断1．下列方程中，哪些是二元二次方程？是二元二次方程的请指出它的二次项、一次项和常数项.2222(1) 1 ; (2)320;1(3)20 ; (4)3 1.x y y y y x x y xy+=-+=+-=++= 【思路点拨】该题主要依据二元二次方程的定义。
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初三代数教案
第十二章：一元二次方程
第22课时：由一个二元二次方程和一个可以分
解为两个二元一次方程的方程组成的方程组（二）
教学目标：
1、使学生进一步掌握由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解法以及由一个二元二次方程和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的方程组的解法．
2、通过学习简单的二元二次方程组的解法，提高学生的分析问题、观察问题和综合运用知识解决问题的能力．
教学重点：
正确地选择恰当的方法解简单的二元二次方程组，进一步领会解简单的二元二次方程组的基本思想，把握化二元为一元，化二次为一次的条件，通过解简单的二元二次方程组，提高学生分析问题和解决问题的能力．
教学难点：
正确地选择恰当的方法解简单的二元二次方程组．
教学过程：
我们已经学过常见的两种类型的二元二次方程组的解法，这一节课我们将进一步系统地复习二元二次方程组的解法．
关于本节复习课，是对已学习过的二元二次方程组有关内容的复习，所以直接明确本节课的目标，可以充分地调动学生的积极性，使学生能积极思考本节的内容，以提高学生的分析问题和解决问题的能力．
由于本节内容是在学生已经学过的基础上进行复习的，其内容主要是熟练、灵活地解前面所学过的简单的二元二次方程组的两种类型，所以，在教学时，通过教师的讲和学生的练，启发学生分析简单的二元二次方程组的特点，寻找解方程组的思路，从而正确地解方程组，同时随时纠正学生在解方程组的过程中出现的问题．所以整个课堂能够积极、和谐，从而提高学生分析问题和解决问题的能力．
一、新课引入：
1、解二元二次方程组的基本思想是什么？
2、解由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的二元二次方程组的基本方法是什么？其步骤怎样？
法来解外，还有没有特殊的解法？应怎样去解？
4．解由一个二元二次方程组和一个可以分解为两个二元一次方程的方程组成的二元二次方程组的方法是什么？其步骤怎样？
作为复习提问中的四个题目，对二元二次方程组中的基本内容作了复习，以便使学生能正确地利用这些基本知识解决本节课的实际内容．
二、新课讲解：
1．解下列方程组：
分析与答案：
解二元二次方程组，首先应分析方程组的特征，然后根据方程组的特征来确定解方程组的方法．
对于题目（1），方程②是一个二元一次方程，所以，方程组（1）可以用代入法来解．
对于方程组（2），符合用代入法解题的特点，可以采用代入法解
方程组的特殊解法，所以可以借助于解一元二次方程来解方程组．
既可以用代入法来解，也可以借助于一元二次方程来解，但要注意的是要检验．
对于方程组（4），由于方程①可以化成两个二元一次方程：
x＋y-1＝0，3x-y＋3＝0，它们与方程组中的方程②组合成两个方程组：
分别求解，从而求出原方程组的解．
对于方程组（5），由于方程①可以分解为：
x＋y＝0，x-y-5＝0，它们与方程②组成方程组：
分别求解，从而解出方程组的解．
2．解方程组：
分析：这个方程组是一个分式方程组，如果采用去分母，则很困难，仔细观察两个方程可知，方程中的分母分别为x2或x、y2或y，如果设
从而可解出原方程组的解为
3．解方程组
分析：这个方程组的两个方程都不含有未知数的一次项，消去常数项后，就可以得到形如ax2＋bxy＋cy2＝0的方程，解由这个方程与原方程组的任何一个方程组成的方程组，就可以求出原方程组的解．
解：①-②×4，得
x2-5xy＋4y2＝0．
∴ x-y＝0或x-4y＝0．
∴原方程组可化为
解这两个方程组，得原方程组的解为：
三、课堂小结：
这节课我们进一步学习了如何解二元二次方程组．一般地说，解二元二次方程组时，首先分析方程组的特征，然后根据方程组的特征确定方程组的解法．如果发现方程组中的两个方程都不含有一次项的特征，可以采用消去常数项，依照题3的解法．
对于某些特殊的方程组，如无理方程组，或分式方程组，经过变形换元后，也可以转化为二元二次方程组的形式来解．要注意的是解这类方程组时要进行验根．
四、作业：
求下面两个方程组的解：
教学后记：。