学而思2011年秋季四年级超常123班难题汇总(至第10讲)

学而思2011年秋季四年级超常123班难题汇总

一直跟着孩子在学而思秋季四年级超常3班听课，有一些有难度的题目，为了孩子们温习和家长们参考，特进行汇总，并给出解题思路和答案，和大家一起分享。

声明：本文档只是收录了各讲有点难度的题目，并对难题进行解析、分级等，并未对各讲内容进行总结和分析，各讲内容的总结和剖析可以参见学而思老师的相关文档。如您对难题感兴趣，可以参阅本文档。

第一讲整数与数列

找规律、记公式是本讲的主要内容，尤其是平方差公式、平方和公式，孩子第一次接触，需要有个理解消化的过程。

1、【例2】一列数是按以下条件确定的：第一个是3，第二个是6，第三个是18，以后每一个数是前面所有数的和的2倍，则第六个数等于：______，从这列数的第______个数开始，每个都大于2007。

【难度级别】★★☆☆☆

【解题思路】找规律。

第1个：3

第2个：6＝3×2

第3个：18＝(3+2×3)×2＝3×(1+2)×2＝3×3×2＝32×2

第4个：54＝(3+6+18)×2＝(3+3×2+3×3×2)×2＝(3×3+3×3×

2)×2＝(3×3×3)×2＝33×2

……

第n个：3n-1×2

这个式子孩子不一定理解，但是孩子可以明白：每个数是其前面数的3倍(第1、2个数除外)，前8个数是：3、6、18、54、162、486、1458、4374。

由公式，第6个数：35×2＝486。

由3n-1×2 > 2007，得3n-1 > 1003.5，n>=8（其实，第6个数是486，第7个数就是486×3＝1458，第8个数1458×3＝4374>2007）。【答案】486，8。

2、【例5】计算：11×19 + 12×18 + 13×17 + 14×16

计算：1×99 + 2×98 + 3×97 + … + 49×51

【难度级别】★☆☆☆☆

【解题思路】此题没有难度，就是平方差公式的应用，列在这里是想说一下如何找中间数。

2个数的中间数＝2个数的和除以2，或者＝小的数 + 2个数的间隔的一半（大的数 - 2个数的间隔的一半）。例如11和19的中间数是15（(11+19)/2=15,19-11=8,8/2=4,11+4=15,19-4=15）, 2和98的中间数是50（(2+98)/2=50,98-2=96,96/2=48,2+48=50,98-48=50）。

计算题中平方差的应用主要是找准中间数。

另外，项数要数对了，例如第2道计算题是49项，而不是50项。

(1)=(152-42)+(152-32)+(152-22)+(152-12)=870

(2)=(502-492)+(502-482)+(502-472)+…+(502-12)

=502×49-(492+482+472+ (12)

=2500×49-49×50×99÷6=82075

【答案】870，82075。

3、【学案4】计算：2×4 + 4×6 + 6×8 + … + 28×30

【难度级别】★☆☆☆☆

【解题思路】此题不难，主要是考一下孩子要先提取公因式，再继续往下做，用到n(n+1)= n2+n和平方和公式：12+22+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6。

每个乘积的2个数分别提取个2，2×2＝4，相等于提取4。

2×4 + 4×6 + 6×8 + … + 28×30

＝4×（1×2 + 2×3 + 3×4 + … + 14×15）

括号内的，例题讲过，通用的方法是：n×（n + 1）= n2 + n

这样构成了2个数列，一个平方和，一个等差数列（连续自然数）。

＝4×（12+1 + 22+2 + 32+3 + … + 142+14）

＝4×[（12+22+32+…+142+）+（1+2+3+…+14）]

＝4×（14×15+29÷6 + 15×14÷2）＝4480

【答案】4480。

4、【学案1】我们把相差为2的两个奇数称为连续奇数，自然数1111155555是否是两个连续奇数的乘积？

【难度级别】★★☆☆☆

【解题思路】这道题，直接证明不太容易，尝试拆分是可做的。当然本题考孩子的是找规律。

先说一下不找规律，看看用尝试法如何做，以下分拆过程是大家容易想到的。

1111155555＝1111100000 + 55555

＝11111×100000+11111×5

＝11111×（100000+5）

＝11111×100005（因100005比11111大，想办法变小）

＝11111×20001×5（先考虑是5的倍数）

＝11111×6667×5×3（再看到20001是3个倍数）

＝33333×33335

从11111×6667×5×3这个式子可以看出来，11111×3得到3万多，6667×5也得到3万多，这样两两组合应该可以得到比较接近的两个数（当然也是尝试法）。

找规律，方法如下：

1个1，1个5，15＝3×5

2个1，2个5，1155＝33×35

3个1，3个5，111555＝333×335

……

n个1，n个5，11…155…55＝33…3×33…35(都是n位数)

所以，5个1，5个5，1111155555＝33333×33335

【答案】可以，1111155555＝33333×33335。

5、【学案2】47个互不相同的非零自然数之和为2000，问最少有多少个偶数？

【难度级别】★★★☆☆

【解题思路】此题，孩子可能无从下手。

先将最少多少个偶数，转换为最多多少个奇数。

要想奇数最多，肯定越小越好，所以从1、3、5开始考虑，从1、3、5一直加到多少会接近2000呢？假设有n个奇数，第n个奇数是2n-1。

1+3+5+…+(2n-1)=(1+2n-1)*n/2=n2

n=44时，n2=1936；n=45时，n2=2025

所以n最大为44，47－44＝3，偶数最多3个。

给出一例：2000=1+3+5+…+85+87+(2+4+58)，保证3个偶数和为64即可（2000-1936=64）。

【答案】最少有3个偶数。

6、【作业1】计算：12345678987654321×9＝_____________

【难度级别】★★☆☆☆

【解题思路】这道题，将9变成(10-1)也不是太复杂，当然本题考孩子的是找规律。

12=1

112=121