线代第八次课PPT课件
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ln2(D2 kD1) l n2 (a2 bc ka) l n
Dn l n kDn1 l n k(l n1 kDn2 )
l n kl n1 k 2l n2 k n1D1
l n kl n1 k 2l n2 k n1l k n
Dn
l n1 l
k n1 k
(k
记为 A1
AA1 A1 A E
A1 也可逆，它的逆矩阵为 A 即 ( A1 )1 A
在什么条件下，n阶方阵A可逆？AB BA E
如果A可逆，如何求 A1
AA1 A1 A E
观察：若矩阵A可逆，则 det A 0
∵A可逆, A有逆矩阵， 设 B A1
AB BA E
1 0 ... 0
ab
b b i n, ,2 c a a b
ab
00
ca
00
Dn (a b)Dn1 b(1)1n (c a)n1
Dn (a c)Dn1 c(1)1n (b a)n1
[a c (a b)]Dn b(a c)n c(a b)n
Dn
b(a
c)n b
c(a c
b)n
bb 00
P27, 题6 （4）
11
xn
y
xn2
y2
xnn2 xnn1 xnn
yn2 y n1 yn
xn ]
( x j xi )
1i jn
( x1 x2 xn )
( x j xi ) (1)nn1 Dn
1i jn
乘法的运算律 单位矩阵 方阵的幂 矩阵多项式 线性方程组的重新描述
四、矩阵的转置
Dn
ab 0 ca ab
例 ab 0 ca b 0c a
Dn
00 0 00 0
00
00
b0 0
00
ca b
aDn1 c
ab ca
00 0 00 0
00 00
aDn1 bcDn2
ab ca
(Dn kDn1) l(Dn1 kDn2 ) 其中：k l a, kl bc
(Dn kDn1) l(Dn1 kDn2 ) l 2 (Dn2 kDn3 )
则说方阵A是可逆的，并把方阵B称为A的一个 逆矩阵.
说明 若 A是可逆矩阵，则 A的逆矩阵是唯一的.
说明 若 A是可逆矩阵，则 A的逆矩阵是唯一的.
设B、C都是A的逆矩阵，即
AB BA E AC CA E
于是 B BE B( AC ) (B A)C EC C
A的任意两个逆矩阵 都相等，所以A的逆矩阵唯一。 由于A的逆矩阵是唯一的，将A的唯一的逆矩阵
例
1 x 1 1 1
1 1 x 1 1
xy 0
1 1 1 y 1
P28, 题9 （6）
1 1 1 1 y
解 1 x 1 1 1
11 1 1 1
1 1 x 1
1 增阶 0 1 x 1
1
1
0 1 1 x 1 1
1 1 1 y 1
0 1 1 1 y 1
1 1 1 1 y
0 1 1 1 1 y
ri r1
a
在矩阵的运算中，单位阵 E相当于数的乘法运算中 的1。 因此在矩阵的运算中可以相应的引入逆矩 阵的概念。
问题： 对于矩阵A 是否存在一个矩阵B，满足
AB BA E
则称矩阵A为可逆矩阵, 而B称为A的逆矩阵 .
二、可逆矩阵的概念和性质
定义 对于 n阶方阵 A，如果存在 n阶方阵 B
使得
AB BA E,
矩阵的转置有如下性质：
(1) ( AT )T A
(2) ( A B)T AT BT (3) (kA)T kAT
... (4) (AB)T BT AT ( A1 A2...Ak1 Ak )T AkTAkT1
A2T A1T
注意： 一般地 ( AB)T AT BT 对称矩阵 反对称矩阵
五、方阵的行列式
由此得
A
B
AB
0
E
1
Βιβλιοθήκη Baidu
...
0 =1
0 0 ... 1
事实：B
1 A
即 A1
1 A
矩阵A可逆
A 0 矩阵A不可
矩阵A可逆
A 0
A 0
A 0
n阶方阵A的伴随矩阵 n阶方阵A可逆的充分必要的条件 A 0 如果A可逆，如何求 A1 n阶方阵A可逆的运算性质
伴随矩阵: 定义：
P41
a11
设Aij 是方阵
运算性质 1 AT A;
2 A n A;
3 AB A B; AB BA .
A B A B
A n A
例 奇数级反对称矩阵的行列式等于零． 证：
A A A A A (1)n A ,
n 为奇数时， A A A 0.
六、共轭矩阵
定义
当 A aij 为复矩阵时，用 aij 表示 aij的共轭 复数，记 A aij ， A称为 A的共轭矩阵.
运算性质
（设A, B 为复矩阵， 为复数,且运算都是可行的）:
1 A B A B; 2 A A;
3 AB A B.
概念的引入 可逆矩阵的概念和性质 逆矩阵的计算
一、概念的引入
在数的运算中， 当数a 0时，有
aa1 a1a 1,
其中 a1 1 为 a 的倒数，（或称 a 的逆）；
l)
Dn (n 1)l n (k l)
例
11
x1
x2
Dn x12
x22
11
1
xn xn2
x1
x2
x12
x22
f (y)
x1n2 x1n
x2n2 x2n
xnn2 xnn
x1n2 x1n1 x1n
x2n2 x2n1 x2n
n
( y xi )
( x j xi )
i1
1i jn
[ yn ( x1 x2 xn ) yn1 (1)n x1x2
A
a21
a12 a22
... ...
a1n
a2
n
an1
an2
...
ann
中元素aij 的代数余子式，则称矩阵
A11
A*
A12
A1n
A21 ... An1
A22
...
An
2
A2n ... Ann
为A的伴随矩阵 .
1
例
A
0 1
1 2 0
1
2 1
A11 A* AA1123
A21 A22 A23
AAA333231
2 2 2
1 0
1
0
2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
A
0 1
2 0
2 1
A
0 1
2 0
111 1 1 1 x 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 xxyy
1 0 x 0 0
0
1 0 0 y 0
0
1 0 0 0 y
0
0
x000 0 x 0 0 00 y0 0 0 0 y
x2 y2
ab
bb
例
c a b b bc
cc
ab
cc
解 ab ca
Dn
cc cc
ca
b b ri ri1
Dn l n kDn1 l n k(l n1 kDn2 )
l n kl n1 k 2l n2 k n1D1
l n kl n1 k 2l n2 k n1l k n
Dn
l n1 l
k n1 k
(k
记为 A1
AA1 A1 A E
A1 也可逆，它的逆矩阵为 A 即 ( A1 )1 A
在什么条件下，n阶方阵A可逆？AB BA E
如果A可逆，如何求 A1
AA1 A1 A E
观察：若矩阵A可逆，则 det A 0
∵A可逆, A有逆矩阵， 设 B A1
AB BA E
1 0 ... 0
ab
b b i n, ,2 c a a b
ab
00
ca
00
Dn (a b)Dn1 b(1)1n (c a)n1
Dn (a c)Dn1 c(1)1n (b a)n1
[a c (a b)]Dn b(a c)n c(a b)n
Dn
b(a
c)n b
c(a c
b)n
bb 00
P27, 题6 （4）
11
xn
y
xn2
y2
xnn2 xnn1 xnn
yn2 y n1 yn
xn ]
( x j xi )
1i jn
( x1 x2 xn )
( x j xi ) (1)nn1 Dn
1i jn
乘法的运算律 单位矩阵 方阵的幂 矩阵多项式 线性方程组的重新描述
四、矩阵的转置
Dn
ab 0 ca ab
例 ab 0 ca b 0c a
Dn
00 0 00 0
00
00
b0 0
00
ca b
aDn1 c
ab ca
00 0 00 0
00 00
aDn1 bcDn2
ab ca
(Dn kDn1) l(Dn1 kDn2 ) 其中：k l a, kl bc
(Dn kDn1) l(Dn1 kDn2 ) l 2 (Dn2 kDn3 )
则说方阵A是可逆的，并把方阵B称为A的一个 逆矩阵.
说明 若 A是可逆矩阵，则 A的逆矩阵是唯一的.
说明 若 A是可逆矩阵，则 A的逆矩阵是唯一的.
设B、C都是A的逆矩阵，即
AB BA E AC CA E
于是 B BE B( AC ) (B A)C EC C
A的任意两个逆矩阵 都相等，所以A的逆矩阵唯一。 由于A的逆矩阵是唯一的，将A的唯一的逆矩阵
例
1 x 1 1 1
1 1 x 1 1
xy 0
1 1 1 y 1
P28, 题9 （6）
1 1 1 1 y
解 1 x 1 1 1
11 1 1 1
1 1 x 1
1 增阶 0 1 x 1
1
1
0 1 1 x 1 1
1 1 1 y 1
0 1 1 1 y 1
1 1 1 1 y
0 1 1 1 1 y
ri r1
a
在矩阵的运算中，单位阵 E相当于数的乘法运算中 的1。 因此在矩阵的运算中可以相应的引入逆矩 阵的概念。
问题： 对于矩阵A 是否存在一个矩阵B，满足
AB BA E
则称矩阵A为可逆矩阵, 而B称为A的逆矩阵 .
二、可逆矩阵的概念和性质
定义 对于 n阶方阵 A，如果存在 n阶方阵 B
使得
AB BA E,
矩阵的转置有如下性质：
(1) ( AT )T A
(2) ( A B)T AT BT (3) (kA)T kAT
... (4) (AB)T BT AT ( A1 A2...Ak1 Ak )T AkTAkT1
A2T A1T
注意： 一般地 ( AB)T AT BT 对称矩阵 反对称矩阵
五、方阵的行列式
由此得
A
B
AB
0
E
1
Βιβλιοθήκη Baidu
...
0 =1
0 0 ... 1
事实：B
1 A
即 A1
1 A
矩阵A可逆
A 0 矩阵A不可
矩阵A可逆
A 0
A 0
A 0
n阶方阵A的伴随矩阵 n阶方阵A可逆的充分必要的条件 A 0 如果A可逆，如何求 A1 n阶方阵A可逆的运算性质
伴随矩阵: 定义：
P41
a11
设Aij 是方阵
运算性质 1 AT A;
2 A n A;
3 AB A B; AB BA .
A B A B
A n A
例 奇数级反对称矩阵的行列式等于零． 证：
A A A A A (1)n A ,
n 为奇数时， A A A 0.
六、共轭矩阵
定义
当 A aij 为复矩阵时，用 aij 表示 aij的共轭 复数，记 A aij ， A称为 A的共轭矩阵.
运算性质
（设A, B 为复矩阵， 为复数,且运算都是可行的）:
1 A B A B; 2 A A;
3 AB A B.
概念的引入 可逆矩阵的概念和性质 逆矩阵的计算
一、概念的引入
在数的运算中， 当数a 0时，有
aa1 a1a 1,
其中 a1 1 为 a 的倒数，（或称 a 的逆）；
l)
Dn (n 1)l n (k l)
例
11
x1
x2
Dn x12
x22
11
1
xn xn2
x1
x2
x12
x22
f (y)
x1n2 x1n
x2n2 x2n
xnn2 xnn
x1n2 x1n1 x1n
x2n2 x2n1 x2n
n
( y xi )
( x j xi )
i1
1i jn
[ yn ( x1 x2 xn ) yn1 (1)n x1x2
A
a21
a12 a22
... ...
a1n
a2
n
an1
an2
...
ann
中元素aij 的代数余子式，则称矩阵
A11
A*
A12
A1n
A21 ... An1
A22
...
An
2
A2n ... Ann
为A的伴随矩阵 .
1
例
A
0 1
1 2 0
1
2 1
A11 A* AA1123
A21 A22 A23
AAA333231
2 2 2
1 0
1
0
2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1
A
0 1
2 0
2 1
A
0 1
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111 1 1 1 x 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 xxyy
1 0 x 0 0
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x2 y2
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bb
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c a b b bc
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