高等数学线性代数课件-第四章
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高等数学线性代数线性方程组教学ppt(4)
1.2 高斯消元法
对线性方程组消元的三种变换(统称为线性方程组 的初等变换):
（1）交换方程组中某两个方程的位置； （2）以非零常数k乘以方程组中某个方程； （3）用数k乘以方程组中某个方程后加到另一个方程 上去.
定理1 线性方程组经过初等变换后得到的新方程组 与原方程组同解.
例1
解线性方程组
R( A) n;
(2)若R(A) n 1,则 A 0, AA* A E O,
由例5知:R( A) R( A*) n, R( A*) n R( A) n (n 1) 1, 即R( A*) 1.
另一方面,由于R(A) n 1, 因此A存在n 1阶非零子式,即A* O, 从而R( A*) 1.
R( A*) 1;
任一解都可以表示为
x 0 k11 knrnr ,
其中k1, , knr R. 即,当R(A) R(A | b)时,有
Ax b的通解
Ax b的一个特解 Ax 0的通解.
行阶梯形矩阵对应的方程组，叫行阶梯 形方程组；
行阶梯形方程组中，每个方程的第一个 未知量称为主未知量(主变量)，其余变量叫 自由未知量(自由变量);
用消元法解线性方程组，就是用初等行 变换将方程组的增广矩阵化为行阶最简形， 得到的行阶梯方程组与原方程组同解．
例2 求解非齐次方程组的通解
x1 x1
3.设0是Ax b的某个解(称为特解),则Ax b 的任一个解向量都可表示成0与对应的 Ax 0的解之和,即有
0 .
证 :由于 0 ( 0 ),记 0,由性质1知 是导出组Ax 0的解,则 0 .
故只要 取遍Ax 0的全部解, 0 就取遍了 Ax b的所有解.
三、Ax b解的结构定理 定理4 若Ax b有解,1, ,nr是对应的Ax 0 的基础解系,0是Ax b的一个特解,则Ax b的
高等数学(5)常微分方程
（3）作出假设。没有假设，就没有数学的应用。 当然，要尽可能使假设合理。但假设是否合理， 往往是一个经验和实践的问题，不仅是思辨的。
（4）关于马尔萨斯的人口模型 dP kP 。
dt
这是一比较个主观的模型。尽管说是比较准确反
映了美国70年左右的人口增长。但是那时候的美国
却是大量移民的时代。奇怪的是，在提及这个模型
x
h sin
pt
其中，出现未知函数导数的最高阶数称为方程的阶。
（2） 线性与非线性微分方程：假设微分方程中 的未知函数及其各阶导函数都是作为一次式出现 的，方程就称为线性的；否则就是非线性的。
n
一般线性方程的形式为： ai y(i) g( x)
。
i0
下面是两个非线性方程的例子：
dx x(a bx) ax bx2 ； ( y)2 a( y)3 by g( x) 。
并且
a1 ,b1 0 时，做平移变换：
a2 , b2
u v
x y
x* y*
，其中：
a1 a2
, b1 , b2
x* y*
c1 c2
0
则方程（1）变换为齐次方程形式：
dv ( a1u b1v )
dx x 1
【例4-7】求一曲线方程，这条曲线通过原点，并且它 在点(x,y)处的切线斜率等于2x+y．
3.变量代换化简方程 变量代换的目的就是把方程变换为“可分离变量” 的类型。
前面已经看到，一阶线性微分方程的解法，在 本质上也是利用变换，转化为“可分离变量”的形 式。由于一阶线性微分方程已经被解决了，所以将任 何其它类型的方程，特别是某些在形式上是高阶微 分方程的类型，转化成一阶线性微分的形式，也属 于成功转化为“可分离变量”的形式了。
（4）关于马尔萨斯的人口模型 dP kP 。
dt
这是一比较个主观的模型。尽管说是比较准确反
映了美国70年左右的人口增长。但是那时候的美国
却是大量移民的时代。奇怪的是，在提及这个模型
x
h sin
pt
其中，出现未知函数导数的最高阶数称为方程的阶。
（2） 线性与非线性微分方程：假设微分方程中 的未知函数及其各阶导函数都是作为一次式出现 的，方程就称为线性的；否则就是非线性的。
n
一般线性方程的形式为： ai y(i) g( x)
。
i0
下面是两个非线性方程的例子：
dx x(a bx) ax bx2 ； ( y)2 a( y)3 by g( x) 。
并且
a1 ,b1 0 时，做平移变换：
a2 , b2
u v
x y
x* y*
，其中：
a1 a2
, b1 , b2
x* y*
c1 c2
0
则方程（1）变换为齐次方程形式：
dv ( a1u b1v )
dx x 1
【例4-7】求一曲线方程，这条曲线通过原点，并且它 在点(x,y)处的切线斜率等于2x+y．
3.变量代换化简方程 变量代换的目的就是把方程变换为“可分离变量” 的类型。
前面已经看到，一阶线性微分方程的解法，在 本质上也是利用变换，转化为“可分离变量”的形 式。由于一阶线性微分方程已经被解决了，所以将任 何其它类型的方程，特别是某些在形式上是高阶微 分方程的类型，转化成一阶线性微分的形式，也属 于成功转化为“可分离变量”的形式了。
高等数学行列式教材
高等数学行列式教材第一章：行列式的引入与基本概念行列式是高等数学中重要的概念之一，它在线性代数和微积分等领域都有广泛的应用。
本章将引入行列式的基本概念，并讨论其性质和计算方法。
1.1 行列式的定义行列式是一个方阵所对应的特征量，用来描述线性方程组的解的性质。
一个n阶的方阵可以表示为一个n维的向量空间中的变换操作。
行列式的值可以用来衡量这个线性变换对空间的扩大或压缩的程度。
1.2 行列式的性质行列式具有许多重要的性质，包括线性性、反对称性和对角线性等等。
这些性质是行列式理论的基础，对于后续的内容理解和应用都非常重要。
1.3 行列式的计算方法求解行列式的值可以通过展开定理、数学归纳法和辅助行列式等方法。
本节将介绍这些计算方法，并通过例题详细说明具体的步骤和技巧。
第二章：行列式的性质和性质二阶和三阶行列式是最简单的行列式，它们的性质和计算相对较为简单。
本章将深入研究二阶和三阶行列式的性质，并介绍它们的一些重要特点和应用。
2.1 二阶行列式二阶行列式由两个元素构成，它有一些独特的性质和计算方法。
本节将详细介绍二阶行列式的定义、展开和计算过程，并通过例题演示应用。
2.2 三阶行列式三阶行列式是三个元素构成的行列式，它相比二阶行列式更加复杂。
本节将介绍三阶行列式的性质、计算方法以及一些特殊情况下的计算技巧。
通过练习题的讲解，帮助学生理解三阶行列式的概念和应用。
第三章：行列式的性质和应用行列式在线性代数和微积分等领域有广泛的应用，本章将进一步研究行列式的性质，并介绍一些应用场景。
3.1 行列式的性质行列式具有很多重要的性质，包括行列互换、倍基行、行列式的性质扩展等。
本节将介绍这些性质，并通过例题演示应用。
3.2 行列式的应用行列式在解线性方程组、求逆矩阵、计算曲线和曲面的面积和体积等方面有广泛的应用。
本节将结合具体的问题，把行列式的概念和计算方法应用到实际场景中，帮助学生学以致用。
第四章：高阶行列式与特殊行列式的计算高阶行列式和特殊行列式具有一些特殊的性质和计算方法，本章将详细讨论这些内容，并且通过例题加深学生对行列式的理解和应用能力。
同济大学线性代数第四章PPT课件
讨论它们的线性相关性.
解: Ee1,e2, ,en
结论: 线性无关
问题: n=3时, e1,e2,e3 分别是什么？
上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组.
一些结论：
(1) 一个零向量线性相关, 一个非零向量线性无关；
(2) 两个向量线性相关当且仅当 它们的对应分量成比例;
(3) 一个向量组线性无关，则增加其中每个向 量的分量所得新向量组仍线性无关。
例如： 2 1 1 0 a11 1,a212,a312,b33
则 b 能由 a1, a2, a3线性表示.
解方程组 x 1 a 1 x 2 a 2 x 3 a 3 b
既解方程组
2x1x12xx22
x3 x3
0 3
x1 x2 2x3 3
得
x1 1 1
x2 x3
c
1 1
线性表示
AXB有解，其中 A (1 ,2, ,m )
B (1,2, ,l)
R (A )R (A ,B )
定理3: 向量组 B :1,2, ,l能由 A :1,2, ,m
线性表示，则 R(B) ≤ R(A) 。
其中 A ( 1 ,2 ,,m ) , B ( 1 ,2 ,,l )
证：根据定理 2 有 R(A) = R(A, B) 而 R(B) ≤ R(A, B)，因此 R(B) ≤ R(A)。
定义4：设向量组 A : 1 , 2 , , m , 若存在不全为零实数 1 , 2 , , m , 使得 11 2 2 m m 0
则称向量组 A线性相关. 否则称向量组A线性无关.
定理4: n 维向Ax 量 组0 1有 ,非 2, 零 ,解 m,线其 性相A 关 中 1 ,2 , ,m R(A)m
解: Ee1,e2, ,en
结论: 线性无关
问题: n=3时, e1,e2,e3 分别是什么？
上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组.
一些结论：
(1) 一个零向量线性相关, 一个非零向量线性无关；
(2) 两个向量线性相关当且仅当 它们的对应分量成比例;
(3) 一个向量组线性无关，则增加其中每个向 量的分量所得新向量组仍线性无关。
例如： 2 1 1 0 a11 1,a212,a312,b33
则 b 能由 a1, a2, a3线性表示.
解方程组 x 1 a 1 x 2 a 2 x 3 a 3 b
既解方程组
2x1x12xx22
x3 x3
0 3
x1 x2 2x3 3
得
x1 1 1
x2 x3
c
1 1
线性表示
AXB有解，其中 A (1 ,2, ,m )
B (1,2, ,l)
R (A )R (A ,B )
定理3: 向量组 B :1,2, ,l能由 A :1,2, ,m
线性表示，则 R(B) ≤ R(A) 。
其中 A ( 1 ,2 ,,m ) , B ( 1 ,2 ,,l )
证：根据定理 2 有 R(A) = R(A, B) 而 R(B) ≤ R(A, B)，因此 R(B) ≤ R(A)。
定义4：设向量组 A : 1 , 2 , , m , 若存在不全为零实数 1 , 2 , , m , 使得 11 2 2 m m 0
则称向量组 A线性相关. 否则称向量组A线性无关.
定理4: n 维向Ax 量 组0 1有 ,非 2, 零 ,解 m,线其 性相A 关 中 1 ,2 , ,m R(A)m
《高等数学 线性代数部分》
矩阵空间
矩阵空间的代数维数和几何维数不一定相等。
线性变换的矩阵表示
矩阵作用
矩阵是一种非常方便的表示线性变换的方法, 在 大多数情况下, 矩阵都能表达线性变换。
矩阵元素和变换关系
可以通过矩阵中每个元素的值和与之对应的线性 变换之间的关系, 推导出矩阵的性质。
矩阵运算的动态演示
矩阵运算的乘法可以看作是线性变换的复合, 这种 变换可以使用动态演示来直观地展示。
正交矩阵的应用
正交矩阵在旋转、对称、镜像、奇异值分解等方面 有广泛应用。
2
例子
投影矩阵、旋转矩阵、切比雪夫多项式、求导算子等都是常见的线性变换。
3
作用
线性变换可以用于解决各种数学问题, 如求解微分方程、求解线性代数问题等。
代数维数与几何维数
代数维数
矩阵空间的代数维数是线性无关生成集中向量的数 量。
几何维数
向量空间中基向量的个数就是几何维数。
线性空间
线性空间的代数维数和几何维数是一样的。
矩阵的逆与转置
矩阵的逆
如果存在一个矩阵C, 使得AC=CA=I, 则称矩阵A 是可逆的。
矩阵的转置
将矩阵的行列互换, 得到新的矩阵。
求逆矩阵
使用初等行变换求逆矩阵, 通过计算检验逆矩阵的 正确性。
求转置矩阵
将矩阵的行列互换得到新的矩阵, 解决矩阵的对称 性问题。
向量空间的定义与性质
1
定义
向量空间是一个数域上的向量集合, 满足八个公理。
当向量集中有向量与其他向量 可表示成线性组合, 则该向量 集是线性相关的。
线性无关性
如果向量集中没有任何一个向 量可表示成其他向量的线性组 合, 则该向量集是线性无关的。
(整理)高等数学概率论线性代数
高等数学概率论线性代数回答者：357386379|四级| 2009-12-3 19:40数三考试科目是《高等数学》、《线性代数》、《概率论与数理统计》这三门，这个数三的大纲可以参考一下：第一章：函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则（单调有界准则和夹逼准则）两个重要极限：函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，并会建立简单应用问题中的函数关系。
2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性。
3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4、掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念。
5、了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念。
6、了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
7、理解无穷小的概念和基本性质。
掌握无穷小的比较方法。
了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系。
8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
9、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质。
第二章：一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（l'hospital）法则函数的极值函数单调性的判别函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值考试要求1、理解导数的概念及可导性与连续性之间的关系，了解导数的几何意义与经济意义（含边际与弹性的概念），会求平面曲线的切线方程和法线方程。
同济大学线性代数课件--第四章
(1,2 ,3 )Kx = 0
故 x = 0 ，即 Kx = 0 只有零解，于是 R(K) = 3
2019/8/11
26
" " R(K ) 3 设 x11 x22 x33 0 ，x ( x1, x2 , x3 ) 则 (1,2 ,3 )Kx (1, 2 , 3 ) x
2019/8/11
11
a11 x1 a12 x 2 a1n xn b1
a
21
x1
a22 x2
a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
a11 a12 a1n
记
A
a21
1,2
,
R( A) m
,m
2019/8/11
20
例2: 已知 :1 (1, 1, 1) , 2 (0, 2, 5) , 3 (2,4,7) 试讨论向量组 1 , 2 , 3 及向量组 1 , 2 的 线性相关性.
2019/8/11
21
解：设 x11 x22 x33 0
1 0 2 0
即
x1
1 1
x2
2 5
x3
4 7
0 0
102 系数行列式 1 2 4 0
157
齐次线性方程组有非零解，所以向量 1,2 ,3 线性相关 向量 1,2 对应分量不成比例，所以线性无关。
,
3
1 0
故 x = 0 ，即 Kx = 0 只有零解，于是 R(K) = 3
2019/8/11
26
" " R(K ) 3 设 x11 x22 x33 0 ，x ( x1, x2 , x3 ) 则 (1,2 ,3 )Kx (1, 2 , 3 ) x
2019/8/11
11
a11 x1 a12 x 2 a1n xn b1
a
21
x1
a22 x2
a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
a11 a12 a1n
记
A
a21
1,2
,
R( A) m
,m
2019/8/11
20
例2: 已知 :1 (1, 1, 1) , 2 (0, 2, 5) , 3 (2,4,7) 试讨论向量组 1 , 2 , 3 及向量组 1 , 2 的 线性相关性.
2019/8/11
21
解：设 x11 x22 x33 0
1 0 2 0
即
x1
1 1
x2
2 5
x3
4 7
0 0
102 系数行列式 1 2 4 0
157
齐次线性方程组有非零解，所以向量 1,2 ,3 线性相关 向量 1,2 对应分量不成比例，所以线性无关。
,
3
1 0
《线性代数》第四章：线性方程组-PPT课件
三角形线性方程组要求方程组所含方程的个数等于未知量的个数且第个方程第个变量的系数三角形线性方程组是一类特殊的情形解法也简单由克莱姆法则可以判断其解惟一一般只需要从最后一个方程开始求解逐步回代就可求出方程组的全部解11定义416线性方程组中自上而下的各方程所含未知量个数依次减少这种形式的方程组称为n元阶梯形线性方程组
❖ 例如 axbyc 是一个二元方程，a , b 不同时
为零时，方程有无穷多解，如 b0时，x0,yc
b
为二元方程 的一个特解， axbyc
b0 时 ， xk,ycakk R
bb
为二元方程的通解；当 a , b 同时为零,若时c ，0
方程无解；当
a同, b 时为零,若 时c ， 0 方程
有无穷多解任意一对有序实数都是方程的解。
❖ 消元法的目的就是利用方程组的初等变换将 原方程组化为阶梯形方程组, 由于这个阶梯形 方程组与原线性方程组同解, 解这个阶梯形方 程组得到的解就是原方程组的解。
❖ 注意：将一个方程组化为行阶梯形方程组的 步骤并不是惟一的, 所以，同一个方程组的行 阶梯形方程组也不是唯一的。
❖ n元线性方程组的一般形式为
cnnxn 0
❖ 其中 crr 0 则线性方程组有唯一解，即仅有零解。
❖ (2) 当 r n 时，方程组可以化为
c11x1 c12x2 c1rxr c1nxn 0
c22x2 c2rxr c2nxn 0 ..........................
crrxr crnxn 0
❖ 其中 crr 0 将其改写成
a11x1a12x2 a1rxrb1a1r1xr1 a1nxn a22x2 a2rxrb2a2r1xr1 a2nxn arrxrbrarr1xr1 arnxn
❖ 例如 axbyc 是一个二元方程，a , b 不同时
为零时，方程有无穷多解，如 b0时，x0,yc
b
为二元方程 的一个特解， axbyc
b0 时 ， xk,ycakk R
bb
为二元方程的通解；当 a , b 同时为零,若时c ，0
方程无解；当
a同, b 时为零,若 时c ， 0 方程
有无穷多解任意一对有序实数都是方程的解。
❖ 消元法的目的就是利用方程组的初等变换将 原方程组化为阶梯形方程组, 由于这个阶梯形 方程组与原线性方程组同解, 解这个阶梯形方 程组得到的解就是原方程组的解。
❖ 注意：将一个方程组化为行阶梯形方程组的 步骤并不是惟一的, 所以，同一个方程组的行 阶梯形方程组也不是唯一的。
❖ n元线性方程组的一般形式为
cnnxn 0
❖ 其中 crr 0 则线性方程组有唯一解，即仅有零解。
❖ (2) 当 r n 时，方程组可以化为
c11x1 c12x2 c1rxr c1nxn 0
c22x2 c2rxr c2nxn 0 ..........................
crrxr crnxn 0
❖ 其中 crr 0 将其改写成
a11x1a12x2 a1rxrb1a1r1xr1 a1nxn a22x2 a2rxrb2a2r1xr1 a2nxn arrxrbrarr1xr1 arnxn
《线性代数》第四章线性方程组 第1节.ppt
2
1 1
11 2 1 0 2
2 7
~
2 2 5 1 1 18
0
0
0
3 3 6
4 23 5
5
2
4
7
1 3 1 4
1 2 3 1 1 7
~ 0 3 4 2 3 5
0 0
0 0
1 7
0 1
1 5
1 42
~
1 2 3 1 1 7
0 3 4 2 3 5
0 0
0 0
1 0
二、用消元法解线性方程组
中学代数已介绍过二元、三元线性方程组的消元法——高斯消元 法。下面再作一例，以求其规律。
例 解线性方程组
2x1 x2 2x3 4
x1 x2 2x3 1
4x1 x2 4x3 2
解：交换第一、二两个方程， 得同解组
x1 x2 2x3 1 1 2x1 x2 2x3 4 2 4x1 x2 4x3 2 3
(1) 的 方 程 组
称为线性方程组
它可写作矩阵形式： AX b (2)
其中 A (aij )mn 是系数矩阵
X (x1, x2 ,xn )T
b (b1,b2 ,bm )T
称 B (A b) 为增广矩阵,通常写成 ( A | b)或( A, b)
b=0时所对应的方程组为齐次线性方程组
b≠0时所对应的方程组为非齐次线性方程组
当 x , x ,, x 分别用数k , k ,, k 代入方程组中的
1
2
n
1
2
n
每一个方程后, 若能使得每一个等式都 变成恒等式,
则我们称
x k , x k ,, x k ,
1
1
线性代数课件第4章
11
2 1 1 例7： 求矩阵 A 0 2 0 的特征值和特征向量, 4 1 3
并求可逆矩阵P, 使 P 1 AP 为对角阵.
解：
2 1 1 2 | A E | 0 2 0 1 2 4 1 3
| A 3 A 2 E | 9
17
定理2：设 1 , 2 ,
, m 是方阵 A的 m 个特征值，
p1 , p2 ,
若 1 , 2 ,
, pm 依次是与之对应的特征向量。
, m 各不相等，则 p1 , p2 ,
, pm
线性无关。
方阵 A 的属于不同特征值的特征向量线性无关。
则
( n ) det( A)
ann )( )n1
1 2 n a11 a 22 1 2 n det( A)
a nn
8
1 1 0 例6： 求矩阵 A 4 3 0 的特征值和特征向量. 1 0 2
解：1、由矩阵 A 的特征方程，求出特征值.
1 1 0 1 1 3 0 (2 ) A E 4 4 3 1 0 2
1 2 0
2
特征值为 = 1, 2
9
2、把每个特征值 代入线性方程组 A E x 0, 求出基础解系。
(2) 有相同特征多项式的矩阵不一定相似。
25
矩阵可对角化的条件（利用相似变换把方阵对角化）
定理4： n 阶矩阵 A 与对角阵相似（A可对角化）
A有n个线性无关的特征向量。
26
Api i pi , i 1, 2,
( Ap1 , Ap2 ,
数学ppt课件 大学
相应的例子。
中心极限定理
中心极限定理的意义
介绍中心极限定理在概率论中的重要性和作用，它刻画了随机变量 的和的分布趋于正态分布的规律。
中心极限定理的证明
从直观到严谨，逐步证明中心极限定理，包括独立同分布随机变量 和的极限分布、标准化变量的概念及其性质等。
中心极限定理的应用
举例说明中心极限定理在保险、赌博、天气预报等多个领域中的应 用。
行列式与逆矩阵
行列式具有一些重要性质，如奇 偶性、乘法与加法的结合律等。
逆矩阵具有唯一性、反身性等性 质。
行列式的定义 行列式的性质 逆矩阵的定义 逆矩阵的性质
对于给定的矩阵A，其行列式|A| 是所有取自A中不同行不同列的 元素的乘积的代数和。
对于给定的方阵A，如果存在一 个方阵B，使得AB=BA=I成立， 那么称B为A的逆矩阵。
02
高等数学基础
Chapter
极限
极限的定义
极限是函数在某一点处的趋势，是函数值的聚 集点。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、局部保号性等特点 。
极限的求法
通过趋近定义域、单调有界数列等方法进行求极限。
导数
导数的定义
导数是函数在某一点处的变化率，描述函数 变化的快慢。
导数的性质
导数具有单调性、奇偶性、可导必连续等特 点。
定积分是函数在一定区间上的积分， 描述函数变化的总量。
06
定积分的求法
通过微元法、分部积分等方法进行定积分计算 。
03
线性代数
Chapter
向量与矩阵
01
向量的定义
向量是一个有大小和 方向的量，通常用一 条线段上的箭头表示 。
02
向量的运算
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讨论它们的线性相关性.
解: E e1,e2, ,en
结论: 线性无关
问题: n=3时, e1 , e2 , e3 分别是什么？
上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组.
23
一些结论：
(1) 一个零向量线性相关, 一个非零向量线性无关；
(2) 两个向量线性相关当且仅当 它们的对应分量成比例;
(3) 一个向量组线性无关，则增加其中每个向 量的分量所得新向量组仍线性无关。
第四章 向量组的 线性相关性
1
§1 向量组及其线性组合
定义1：n 个数 a1 , a2 , , an 所组成的有序数组
称为一个 n 维向量，这 n 个数称为该向量 的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量。
这里定义的 n 维向量就是指行(或列)矩阵。
2
a1
a2
(a1 ,
a2
an
an )T 称为列向量。
(a1,a2, ,an ) 称为行向量。
3
例. 3 维向量的全体所组成的集合 R3 { ( x, y, z)T | x, y, z R }
通常称为 3 维Euclid几何空间。 集合
{ ( x, y, z)T | ax by cz d }
称为 R3 中的一个平面。
16
定理2: 向量组 B : 1, 2 , , l 能由 A :1,2 , ,m
线性表示
AX B 有解，其中 A (1,2, ,m )
R( A) R( A, B)
B (1,2, ,l )
17
定理3: 向量组 B : 1, 2 , , l 能由 A :1,2 , ,m
线性表示，则 R(B) ≤ R(A) 。
a11
记
A
a21
a12
a22
a1n a2n
am1 am2 amn
x1
x
x2
xn
b1
b
b2
bm
12
若 A 1,2,
a1 j
,n
,
其中
j
a2 j
amj
则方程组的向量表示为
x11 x22 xnn b
13
定理1: 向量 b可由向量组 1,2, ,m 线性表示
则称向量组 A线性相关. 否则称向量组A线性无关.
19
定理4: n 维向量组 1 , 2 ,, m 线性相关
பைடு நூலகம்Ax
0
有非零解,其中A
R( A) m
1
,
2
,,
m
推论： n 维向量组 1 , 2 ,, m 线性无关
Ax
0
只有零解,
其中
A
1
,2
,
R( A) m
,m
20
例2: 已知 :1 (1, 1, 1) , 2 (0, 2, 5) , 3 (2,4,7) 试讨论向量组 1 , 2 , 3 及向量组 1 , 2 的 线性相关性.
则称向量 b 是向量组 A的一个线性组合， 或称向量 b 能由向量组 A 线性表示。
9
例如： 2
1
1 0
a1
1 1
,
a2
2 1
,
a3
1 2
,
b
3 3
则 b 能由 a1 , a2 , a3 线性表示.
解方程组 x1a1 x2a2 x3a3 b
既解方程组
2 x1 x1 2
Ax b 有解，其中 A (1,2, ,m ) R( A) R( A,b)
14
定义3: 设向量组 A :1,2 , ,m 及 B : 1, 2 , , l
若 B 组中的每一个向量都能由向量组 A 线性表示， 则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示。
若向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示， 则称向量组 A 与向量组 B 等价。
21
解：设 x11 x22 x33 0
1 0 2 0
即
x1
1 1
x2
2 5
x3
4 7
0 0
102
系数行列式 1 2 4 0
157
齐次线性方程组有非零解，所以向量 1,2 ,3 线性相关 向量 1,2 对应分量不成比例，所以线性无关。
22
例3: n维向量
e1 1,0,,0 ,e2 0,1,,0 ,,en 0,0,,1
5
例. 非齐次线性方程组 Ax b 的解集合 S {x | Ax b}
齐次线性方程组 Ax 0 的解集合
S {x | Ax 0}
6
同一维数的列向量 (或行向量) 所组成的集合 称为向量组。
m×n 阵 A 的 列向量组:
行向量组:
A (a1, a2 ,, an )
T 1
A
T 2
4
例. n 维向量的全体所组成的集合
Rn { ( x1, x2 ,, xn )T | x1, x2 ,, xn R }
称为 n 维Euclid空间。 集合
{ ( x1, x2 ,, xn )T | a1x1 a2 x2 an xn b }
称为 n 维Euclid空间 Rn 中的 n-1维超平面。
其中 A (1,2 , ,m ), B (1, 2, , l )
证：根据定理 2 有 R(A) = R(A, B) 而 R(B) ≤ R(A, B)，因此 R(B) ≤ R(A)。
18
定义4：设向量组 A :1 ,2 , ,m , 若存在不全为零实数 1 , 2 , , m , 使得 11 22 mm 0
x2 x2
x3 x3
0 3
x1 x2 2 x3 3
10
得
x1 1 1
x2 x3
c
1 1
2 0
所以，b a1 2a2
11
a11 x1 a12 x 2 a1n xn b1
a
21
x1
a22 x2
a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
15
A :1,2 , ,m B : 1, 2 , , l B 能由 A 线性表示 j k1 j1 k2 j2 kl jl j 1, 2, , l
(1, , l ) (k111 km1m , , k1l1 kmlm )
(1 , , m
)
k11
k1l
km1 kml
T m
7
§2 向量组的线性相关性
定义1：设向量组 A :1,2 , ,m , 及一组实数
k1, k2 , , km , 表达式
k11 k22 kmm
称为向量组 A的一个线性组合， k1, k2 , , km 称为线性组合的系数。
8
定义2：设向量组 A :1,2 , ,m , 和向量 b 若存在一组实数 1,2 , m , 使得 b 11 22 mm
解: E e1,e2, ,en
结论: 线性无关
问题: n=3时, e1 , e2 , e3 分别是什么？
上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组.
23
一些结论：
(1) 一个零向量线性相关, 一个非零向量线性无关；
(2) 两个向量线性相关当且仅当 它们的对应分量成比例;
(3) 一个向量组线性无关，则增加其中每个向 量的分量所得新向量组仍线性无关。
第四章 向量组的 线性相关性
1
§1 向量组及其线性组合
定义1：n 个数 a1 , a2 , , an 所组成的有序数组
称为一个 n 维向量，这 n 个数称为该向量 的 n 个分量，第 i 个数 ai 称为第 i 个分量。
这里定义的 n 维向量就是指行(或列)矩阵。
2
a1
a2
(a1 ,
a2
an
an )T 称为列向量。
(a1,a2, ,an ) 称为行向量。
3
例. 3 维向量的全体所组成的集合 R3 { ( x, y, z)T | x, y, z R }
通常称为 3 维Euclid几何空间。 集合
{ ( x, y, z)T | ax by cz d }
称为 R3 中的一个平面。
16
定理2: 向量组 B : 1, 2 , , l 能由 A :1,2 , ,m
线性表示
AX B 有解，其中 A (1,2, ,m )
R( A) R( A, B)
B (1,2, ,l )
17
定理3: 向量组 B : 1, 2 , , l 能由 A :1,2 , ,m
线性表示，则 R(B) ≤ R(A) 。
a11
记
A
a21
a12
a22
a1n a2n
am1 am2 amn
x1
x
x2
xn
b1
b
b2
bm
12
若 A 1,2,
a1 j
,n
,
其中
j
a2 j
amj
则方程组的向量表示为
x11 x22 xnn b
13
定理1: 向量 b可由向量组 1,2, ,m 线性表示
则称向量组 A线性相关. 否则称向量组A线性无关.
19
定理4: n 维向量组 1 , 2 ,, m 线性相关
பைடு நூலகம்Ax
0
有非零解,其中A
R( A) m
1
,
2
,,
m
推论： n 维向量组 1 , 2 ,, m 线性无关
Ax
0
只有零解,
其中
A
1
,2
,
R( A) m
,m
20
例2: 已知 :1 (1, 1, 1) , 2 (0, 2, 5) , 3 (2,4,7) 试讨论向量组 1 , 2 , 3 及向量组 1 , 2 的 线性相关性.
则称向量 b 是向量组 A的一个线性组合， 或称向量 b 能由向量组 A 线性表示。
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例如： 2
1
1 0
a1
1 1
,
a2
2 1
,
a3
1 2
,
b
3 3
则 b 能由 a1 , a2 , a3 线性表示.
解方程组 x1a1 x2a2 x3a3 b
既解方程组
2 x1 x1 2
Ax b 有解，其中 A (1,2, ,m ) R( A) R( A,b)
14
定义3: 设向量组 A :1,2 , ,m 及 B : 1, 2 , , l
若 B 组中的每一个向量都能由向量组 A 线性表示， 则称向量组 B 能由向量组 A 线性表示。
若向量组 A 与向量组 B 能相互线性表示， 则称向量组 A 与向量组 B 等价。
21
解：设 x11 x22 x33 0
1 0 2 0
即
x1
1 1
x2
2 5
x3
4 7
0 0
102
系数行列式 1 2 4 0
157
齐次线性方程组有非零解，所以向量 1,2 ,3 线性相关 向量 1,2 对应分量不成比例，所以线性无关。
22
例3: n维向量
e1 1,0,,0 ,e2 0,1,,0 ,,en 0,0,,1
5
例. 非齐次线性方程组 Ax b 的解集合 S {x | Ax b}
齐次线性方程组 Ax 0 的解集合
S {x | Ax 0}
6
同一维数的列向量 (或行向量) 所组成的集合 称为向量组。
m×n 阵 A 的 列向量组:
行向量组:
A (a1, a2 ,, an )
T 1
A
T 2
4
例. n 维向量的全体所组成的集合
Rn { ( x1, x2 ,, xn )T | x1, x2 ,, xn R }
称为 n 维Euclid空间。 集合
{ ( x1, x2 ,, xn )T | a1x1 a2 x2 an xn b }
称为 n 维Euclid空间 Rn 中的 n-1维超平面。
其中 A (1,2 , ,m ), B (1, 2, , l )
证：根据定理 2 有 R(A) = R(A, B) 而 R(B) ≤ R(A, B)，因此 R(B) ≤ R(A)。
18
定义4：设向量组 A :1 ,2 , ,m , 若存在不全为零实数 1 , 2 , , m , 使得 11 22 mm 0
x2 x2
x3 x3
0 3
x1 x2 2 x3 3
10
得
x1 1 1
x2 x3
c
1 1
2 0
所以，b a1 2a2
11
a11 x1 a12 x 2 a1n xn b1
a
21
x1
a22 x2
a2n xn
b2
am1 x1 am2 x2 amn xn bm
15
A :1,2 , ,m B : 1, 2 , , l B 能由 A 线性表示 j k1 j1 k2 j2 kl jl j 1, 2, , l
(1, , l ) (k111 km1m , , k1l1 kmlm )
(1 , , m
)
k11
k1l
km1 kml
T m
7
§2 向量组的线性相关性
定义1：设向量组 A :1,2 , ,m , 及一组实数
k1, k2 , , km , 表达式
k11 k22 kmm
称为向量组 A的一个线性组合， k1, k2 , , km 称为线性组合的系数。
8
定义2：设向量组 A :1,2 , ,m , 和向量 b 若存在一组实数 1,2 , m , 使得 b 11 22 mm