平面图形的镶嵌
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60x+120y=360° 即x+2y=6 x、y是正整数
x
解得：
y
14或xy
2 2
即：每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形， 或者用二个正三角形和两个正六边形，如上图.
(3)正三角形和正十二边形
与前一样讨论，得每个顶点处用一个正三角形和 两个正十二边形
由以上讨论可找到镶嵌平面的条件.
结论： 由n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件： (1)n个正多边形中一个内角的和的倍数是360° (2)n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个 正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的 整数倍.
角是60°，对于某个拼结点处，设有x个60°角， 有y个90°角，则：
60x+90y=360 即：2x+3y=12 又x、y是正整数 解得：x=3,y=2
即：每个顶点处用正三角形的三个内角，正方 形的两个内角进行拼接.(如上图)
(2)正三角形与正六边形
正三角形的每个内角是60°，正六边形的 每个内角是120°，对于某个拼结点处，设 有x个60°角，有y个120°角，即：
我们经常能见到各种建筑物的地板，观察地板，就能发现地板常用各种正多边形地 砖铺砌成美丽的图案.
一、认识平面图形的镶嵌
观察在线
欣赏时空
美 丽 的 镶 嵌 图 案
欣赏时空
美 丽 的 镶 嵌 图 案
观察小结 平面图形的镶嵌
用形状、大小完全相同的一种或几种平面 图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地 铺成一片，这就是平面图形的镶嵌。
合作议论归纳
1.同一种正多边形 是否可以镶嵌平面的关键是：一种正多边形 的一个内角的倍数是否360°。
2.用大小相同的 (n-2)×180° 正三角形、正四边形n、正六边形都可以镶嵌 平面，其他正多边形都不可以镶嵌平面。
三、探索用两种正多边形镶嵌平 面的条件.
(1)正三角形与正方形
正方形的每个内角是90°，正三角形的每个内
综合与实践
平面图形的镶嵌
1.经历平面图形镶嵌的探索过程，进一步发展探 究意识、积累探究经验. 2.认识多边形镶嵌平面的条件，并能运用其中的 一种或几种图形进行平面图形镶嵌；了解构造基 本镶嵌图案的一些方法。 3.经历小组合作和交流过程，进一步积累合作与 交流的活动经验，增强合作意识. 4.通过图案设计活动，发展空间观念、以及综合 运用数学知识解决问题的能力。
四、探索任意三角形、四边形的镶嵌
实践之窗
问题
用形状、大小完全相同的三角形能否镶嵌平面？ 如果能，观察每个拼接点处有几个角，它们与这 种三角形的三个内角有什么关系。如果不能，说明 为什么。
用同一种四边形能否镶嵌平面呢？
任意三角形的镶嵌
实践之窗
任意四边形的镶嵌
实践小结
用同一种三角形可以镶嵌平面 用同一种四边形可以镶嵌平面 平面图形能镶嵌平面的条件是，每个拼接点处 的多边形各内角之和能组合成 180°或360°
（1）
（3）
（5）
（7）
（9）
（2）ຫໍສະໝຸດ Baidu
（4）
（6）
（8）
（10 ）
收获与评价
• 本节课你有什么收获和感受？
• 本节课你有什么疑惑和问题？ • 你能给自己和同伴在本节课的学习
作个评价吗？
课堂小结
学到了什么？
探索平面图形的镶嵌
镶嵌的含义 镶嵌的条件 镶嵌的应用
(观察 感悟) (实践 理解) (经历 感受)
3.应该是”铺”出来的而不是”画”出来的
4.图案设计要有自己的创意
欣赏时空
欣赏时空
欣赏时空
欣赏时空
欣赏时空
欣赏时空
欣赏时空
欣赏时空
欣赏时空
欣赏时空
交流乐园
如何以下图中的（1）、（2）为拼图的“基本单 位”，拼出图（3）、（4）、（5）、（6）？如果允 许图形作轴对称变换，那么还可以拼出怎样的图案？
的中点，
分3， 并将
画出部分1， 其剪下补在 2
并将其剪下 补 的位置上；
在2的位置上；
经过上述步骤 后，得到一个 新的图案。
（1） 按上述步骤，你得到了一个“箭头”了吗？ （2） 剪出若干个同样的“箭头”，拼出一个美丽的图案
设计密铺图案的方法与要求:
1.全等的图形之间无缝隙、不重叠
2.选取一个可以密铺的图案(三角形,四边 形,六边形等).在原图上截下一部分把它平 移到相对位置，组成一个新的图形，以新 的图形为基本图案可以进行密铺
二、探索正多边形的镶嵌
知识介绍：
探索活动
在平面内，各角相等，各边也都相等的多边 形叫做正多边形。
边数为n的多边形的内角和等于（n-2)·180°
问 题： 用大小相同的正三角形、正六边形能否镶
嵌平面？简述你的理由。能否用正五边形镶嵌 平面？
正三角形的镶嵌
正六边形的镶嵌
思考 探究
除正三角形、正四边形、 正六边形能镶嵌平面外，还能 找到其他能镶嵌平面的正多边 形吗？
五、利用可以镶嵌的基本图形来设计新的 镶嵌图形
思考时空
怎样利用可以密铺的基本图形来 设计新的可以密铺的图形？
在原图上截 下一部分把 它平移到相 对位置，组 成一个新的 图形，则新 的图形可以 进行密铺
从正方形出发，按下列步骤设计图案：
1
1
1
2
2
4 3
画一个正方 形；
取正方形一边 同样，画出部
｛ ｝ 思想
方法
观察、实验、探究、 合作、比较、归纳
解决 问题
学习目标
为我校40年校庆献礼
实践作业
用彩色卡纸设计图案（其中 蕴含平移、旋转、轴对称以及平 面图形镶嵌知识）
x
解得：
y
14或xy
2 2
即：每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形， 或者用二个正三角形和两个正六边形，如上图.
(3)正三角形和正十二边形
与前一样讨论，得每个顶点处用一个正三角形和 两个正十二边形
由以上讨论可找到镶嵌平面的条件.
结论： 由n种正多边形组合起来镶嵌成一个平面的条件： (1)n个正多边形中一个内角的和的倍数是360° (2)n个正多边形的边长相等，或其中一个或n个 正多边形的边长是另一个或n个正多边形的边长的 整数倍.
角是60°，对于某个拼结点处，设有x个60°角， 有y个90°角，则：
60x+90y=360 即：2x+3y=12 又x、y是正整数 解得：x=3,y=2
即：每个顶点处用正三角形的三个内角，正方 形的两个内角进行拼接.(如上图)
(2)正三角形与正六边形
正三角形的每个内角是60°，正六边形的 每个内角是120°，对于某个拼结点处，设 有x个60°角，有y个120°角，即：
我们经常能见到各种建筑物的地板，观察地板，就能发现地板常用各种正多边形地 砖铺砌成美丽的图案.
一、认识平面图形的镶嵌
观察在线
欣赏时空
美 丽 的 镶 嵌 图 案
欣赏时空
美 丽 的 镶 嵌 图 案
观察小结 平面图形的镶嵌
用形状、大小完全相同的一种或几种平面 图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地 铺成一片，这就是平面图形的镶嵌。
合作议论归纳
1.同一种正多边形 是否可以镶嵌平面的关键是：一种正多边形 的一个内角的倍数是否360°。
2.用大小相同的 (n-2)×180° 正三角形、正四边形n、正六边形都可以镶嵌 平面，其他正多边形都不可以镶嵌平面。
三、探索用两种正多边形镶嵌平 面的条件.
(1)正三角形与正方形
正方形的每个内角是90°，正三角形的每个内
综合与实践
平面图形的镶嵌
1.经历平面图形镶嵌的探索过程，进一步发展探 究意识、积累探究经验. 2.认识多边形镶嵌平面的条件，并能运用其中的 一种或几种图形进行平面图形镶嵌；了解构造基 本镶嵌图案的一些方法。 3.经历小组合作和交流过程，进一步积累合作与 交流的活动经验，增强合作意识. 4.通过图案设计活动，发展空间观念、以及综合 运用数学知识解决问题的能力。
四、探索任意三角形、四边形的镶嵌
实践之窗
问题
用形状、大小完全相同的三角形能否镶嵌平面？ 如果能，观察每个拼接点处有几个角，它们与这 种三角形的三个内角有什么关系。如果不能，说明 为什么。
用同一种四边形能否镶嵌平面呢？
任意三角形的镶嵌
实践之窗
任意四边形的镶嵌
实践小结
用同一种三角形可以镶嵌平面 用同一种四边形可以镶嵌平面 平面图形能镶嵌平面的条件是，每个拼接点处 的多边形各内角之和能组合成 180°或360°
（1）
（3）
（5）
（7）
（9）
（2）ຫໍສະໝຸດ Baidu
（4）
（6）
（8）
（10 ）
收获与评价
• 本节课你有什么收获和感受？
• 本节课你有什么疑惑和问题？ • 你能给自己和同伴在本节课的学习
作个评价吗？
课堂小结
学到了什么？
探索平面图形的镶嵌
镶嵌的含义 镶嵌的条件 镶嵌的应用
(观察 感悟) (实践 理解) (经历 感受)
3.应该是”铺”出来的而不是”画”出来的
4.图案设计要有自己的创意
欣赏时空
欣赏时空
欣赏时空
欣赏时空
欣赏时空
欣赏时空
欣赏时空
欣赏时空
欣赏时空
欣赏时空
交流乐园
如何以下图中的（1）、（2）为拼图的“基本单 位”，拼出图（3）、（4）、（5）、（6）？如果允 许图形作轴对称变换，那么还可以拼出怎样的图案？
的中点，
分3， 并将
画出部分1， 其剪下补在 2
并将其剪下 补 的位置上；
在2的位置上；
经过上述步骤 后，得到一个 新的图案。
（1） 按上述步骤，你得到了一个“箭头”了吗？ （2） 剪出若干个同样的“箭头”，拼出一个美丽的图案
设计密铺图案的方法与要求:
1.全等的图形之间无缝隙、不重叠
2.选取一个可以密铺的图案(三角形,四边 形,六边形等).在原图上截下一部分把它平 移到相对位置，组成一个新的图形，以新 的图形为基本图案可以进行密铺
二、探索正多边形的镶嵌
知识介绍：
探索活动
在平面内，各角相等，各边也都相等的多边 形叫做正多边形。
边数为n的多边形的内角和等于（n-2)·180°
问 题： 用大小相同的正三角形、正六边形能否镶
嵌平面？简述你的理由。能否用正五边形镶嵌 平面？
正三角形的镶嵌
正六边形的镶嵌
思考 探究
除正三角形、正四边形、 正六边形能镶嵌平面外，还能 找到其他能镶嵌平面的正多边 形吗？
五、利用可以镶嵌的基本图形来设计新的 镶嵌图形
思考时空
怎样利用可以密铺的基本图形来 设计新的可以密铺的图形？
在原图上截 下一部分把 它平移到相 对位置，组 成一个新的 图形，则新 的图形可以 进行密铺
从正方形出发，按下列步骤设计图案：
1
1
1
2
2
4 3
画一个正方 形；
取正方形一边 同样，画出部
｛ ｝ 思想
方法
观察、实验、探究、 合作、比较、归纳
解决 问题
学习目标
为我校40年校庆献礼
实践作业
用彩色卡纸设计图案（其中 蕴含平移、旋转、轴对称以及平 面图形镶嵌知识）