关于坐标轴对称的点的坐标

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空间中点的对称问题

C(-1,1,0)，D(-1,-1,0)．
空间中点的对称问题
【变形训练】
4、如图，以正方体的三条棱所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上． (1)当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究|PQ|的最小值； (2)当点Q为棱CD的中点，点P在对角线AB上运动时，探究|PQ|的最小值.
＝3x2－3ax＋ 5
2 a2＝3(x－a)2 ＋a 2.
当x＝ a
4
2
时，|PQ|最小为
2
P( a
,
a2
,
a
) 为AB的中点．2
2 a ，此时
222
3
2
B．(2,2，3 ) D．(2,2，4 )
3
解析：∵|EB|＝2|EB1|， ∴ 又|EE在B|B＝1B23 上，，|B∴B1E|＝的43 坐. 标为(2,2，43 ).
答案：D.
空间中点的对称问题
【典型例题】
4、已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)两点
，当|AB|取最小值时，x的值为(
A．19 C. 8
7
) B． 8 D. 1 97
14
解析：|AB|＝ (x1)2(5xx2)2(2x12x)2
14(x8)235. 7 49
8
∴当x＝ 7 时，|AB|取得最小值．答案：C
空间中点的对称问题
【变形训练】
1、已知A(－1,2,7)，B(－3,－10,－9)，则线段AB 中点关于原点对称的点的坐标是________．
当z＝ a
时，|PQ|的最小值为
2 a.
2
2
即点Q在棱CD的中点时，|PQ|有最小值 2 a .

直角坐标系知识点全部讲完

直角坐标系知识点全部讲完一、直角坐标系的基本概念。

1. 数轴。

- 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

原点、正方向、单位长度称为数轴的三要素。

- 数轴上的点与实数一一对应。

例如，在数轴上表示数2的点，就是从原点向右移动2个单位长度得到的点；表示 - 3的点是从原点向左移动3个单位长度得到的点。

2. 平面直角坐标系。

- 定义：在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，习惯上取向右为正方向；竖直的数轴称为y轴或纵轴，取向上为正方向。

两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

- 坐标平面被x轴和y轴分成四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。

坐标轴上的点不属于任何象限。

第一象限中的点的横、纵坐标都是正数；第二象限中的点横坐标是负数，纵坐标是正数；第三象限中的点横、纵坐标都是负数；第四象限中的点横坐标是正数，纵坐标是负数。

3. 点的坐标。

- 对于平面内任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对(a,b)叫做点P的坐标。

例如，点A(3, - 2)，其中3是点A的横坐标， - 2是点A的纵坐标。

- 坐标的表示方法：先写横坐标，再写纵坐标，中间用逗号隔开，并用小括号括起来。

二、直角坐标系中的距离公式。

1. 两点间的距离公式。

- 在平面直角坐标系中，设两点A(x_1,y_1)，B(x_2,y_2)，则两点间的距离d(A,B)=√((x_2 - x_1)^2+(y_2 - y_1)^2)。

- 例如，已知点A(1,2)，B(4,6)，则d(A,B)=√((4 - 1)^2+(6 - 2)^2)=√(9 +16)=√(25)=5。

2. 点到坐标轴的距离。

- 点P(x,y)到x轴的距离为| y|，到y轴的距离为| x|。

例如，点M( - 3,4)到x轴的距离是4，到y轴的距离是3。

坐标平面内图形的轴对称和平移(基础) 知识讲解

坐标平面内图形的轴对称和平移（基础）【学习目标】1.能在同一直角坐标系中，感受图形经轴对称后点的坐标的变化.2.掌握左右、上下平移点的坐标规律.【要点梳理】要点一、关于坐标轴对称点的坐标特征1.关于坐标轴对称的点的坐标特征P(a，b)关于x轴对称的点的坐标为 (a,－b)；P(a，b)关于y轴对称的点的坐标为 (－a,b)；P(a，b)关于原点对称的点的坐标为 (－a,－b)．2.象限的角平分线上点坐标的特征第一、三象限角平分线上点的横、纵坐标相等，可表示为(a，a)；第二、四象限角平分线上点的横、纵坐标互为相反数，可表示为(a，－a)．3.平行于坐标轴的直线上的点平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同；平行于y轴的直线上的点的横坐标相同.要点二、用坐标表示平移1.点的平移：在平面直角坐标系中，将点(x，y)向右或向左平移a个单位长度，可以得到对应点(x＋a，y)或(x－a，y)；将点(x，y)向上或向下平移b个单位长度，可以得到对应点(x，y＋b)或(x，y－b)．要点诠释：（1）在坐标系内，左右平移的点的坐标规律：右加左减；（2）在坐标系内，上下平移的点的坐标规律：上加下减；（3）在坐标系内，平移的点的坐标规律：沿x轴平移纵坐标不变,沿y轴平移横坐标不变．2.图形的平移：在平面直角坐标系内，如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a，相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度．要点诠释：（1）平移是图形的整体位置的移动，图形上各点都发生相同性质的变化，因此图形的平移问题可以转化为点的平移问题来解决．（2）平移只改变图形的位置，图形的大小和形状不发生变化.【典型例题】类型一、用坐标表示轴对称1．已知点P（3，－1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a＋b，1－b），则b a的值为_______. 【思路点拨】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得a＋b＝－3，1－b＝－1，再解方程可得a、b的值，进而算出b a的值．【答案】25【解析】解：∵点P（3，－1）关于y轴的对称点Q的坐标是（a＋b，1－b），∴a＋b＝－3，1－b＝－1，解得：b＝2，a＝－5，ba＝25，【总结升华】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．举一反三：【变式】点（3，2）关于x轴的对称点为（）A．（3，－2）B．（－3，2）C．（－3，－2）D．（2，－3）【答案】A．2.已知点A(－3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上，且点B到x轴的距离等于3，求点B的坐标．【思路点拨】由“点A(－3，2)与点B(x，y)在同一条平行于y轴的直线上”可得点B的横坐标；由“点B到x轴的距离等于3”可得B的纵坐标为3或﹣3，即可确定B的坐标．【答案与解析】解：如图，∵点B与点A在同一条平行于y轴的直线上，∴点B与点A的横坐标相同，∴ x＝－3．∵点B到x轴的距离为3，∴ y＝3或y＝－3．∴点B的坐标是(－3，3)或(－3，－3)．【总结升华】在点B的横坐标为－3的条件下，点B到x轴的距离等于3，则点B可能在第二象限，也可能在第三象限，所以要分类讨论，防止漏解．举一反三：【变式1】若x轴上的点P到y轴的距离为3，则点P的坐标为（）.A．（3，0） B．（3，0）或（–3，0）C．（0，3） D．（0，3）或（0，–3）【答案】B.【变式2】若点P (a ,b)在第二象限，则：（1）点P1（a ,－b)在第象限；（2）点P2（－a ,b)在第象限；（3）点P3（－a ,－b)在第象限；（4）点P4（ b ,a )在第象限.【答案】（1）三；（2）一；（3）四；（4）四.类型二、用坐标表示平移3.（2015•海安县校级二模）在平面直角坐标系中，将点A（﹣2，3）向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得点B，则点B的坐标是．【思路点拨】根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减列式计算即可得解．【答案】（0，﹣3）．【解析】解：∵将点A（﹣2，3）向右平移2个单位长度，再向下平移6个单位长度得点B，∴点B的坐标是（﹣2+2，3﹣6），即（0，﹣3）．故答案为：（0，﹣3）．【总结升华】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．举一反三：【变式1】已知：两点A（－4，2）、B（－2，－6），(1)线段AB的中点C坐标是；(2)若将线段AB沿x轴向右平移5个单位，得到线段A1B1，则A1点的坐标是 ,B1点的坐标是．(3)若将线段AB沿y轴向下平移3个单位，得到线段A2B2，则A2点的坐标是 ,B2点的坐标是．【答案】（1）(－3, －2)； (2)(1,2),(3,－6)； (3)(－4,－1),(－2,－9).【变式2】点P（－2，5）向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，变为P′（0，1）．【答案】2、4．4.（2016春•江西期末）如图中，A、B两点的坐标分别为（2，3）、（4，1），（1）求△ABO的面积．（2）把△ABO向下平移3个单位后得到一个新三角形△O′A′B′，求△O′A′B′的3个顶点的坐标．【思路点拨】（1）把△ABO放在一个矩形里面，用矩形COED的面积﹣△ACO的面积﹣△ABD的面积﹣△BEO的面积即可算出△ABO的面积；（2）根据点的坐标平移的规律，用A、B、O的坐标的纵坐标分别减去3即可．【答案与解析】解：（1）如图所示：S△ABO=3×4﹣×3×2﹣×4×1﹣×2×2=5；（2）A′（2，0），B′（4，﹣2），O′（0，﹣3）．【总结升华】此题主要考查了点的平移，以及求三角形的面积，当计算一个三角形的面积时，可以把它放在一个矩形里，然后用矩形的面积减去周围三角形的面积．举一反三：【变式】（2014秋•宣汉县期末）如图所示，△ABC三个顶点A，B，C的坐标分别为A（1，2），B（4，3），C（3，1）．把△A1B1C1向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度，恰好得到△ABC，试写出△A1B1C1三个顶点的坐标．【答案】解：A1（﹣3，5），B1（0，6），C1（﹣1，4）．。

知识点关于坐标轴对称,关于原点对称

一、选择题1.（2011四川遂宁，8，4分）点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（）A、（2，3）B、（－2，－3）C、（2，－3）D、（－3，2）考点：关于原点对称的点的坐标。

专题：应用题。

分析：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即：求关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．解答：解：∵点（﹣2，3）关于原点对称，∴点（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标为（2，﹣3）．故选C．点评：本题主要考查了平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），即：求关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数，比较简单．2.（2011.四川雅安，6,3分）点P关于x轴对称点为P1（3，4），则点P的坐标为（）A.（3，﹣4）B.（﹣3，﹣4）C.（﹣4，﹣3）D.（﹣3，4）考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标。

专题：应用题。

分析：根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”即可求解．解答：解：∵关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，∴点P的坐标为（3，﹣4）．故选A．点评：本题考查关于x轴对称的点的坐标的特点，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，比较简单．3.（2011年湖南省湘潭市，6，3分）在平面直角坐标系中，点A（2，3）与点B关于x轴对称，则点B的坐标为（）A、（3，2）B、（-2，-3）C、（-2，3）D、（2，-3）专题：应用题．分析：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，-y），据此即可求得点（2，3）关于x轴对称的点的坐标．解答：解：∵点（2，3）关于x轴对称；∴对称的点的坐标是（2，-3）．故选D．点评：本题主要考查了直角坐标系点的对称性质，比较简单．4.（2011浙江宁波，5，3）平面直角坐标系中，与点（2，－3）关于原点中心对称的点是（）A、（－3，2）B、（3，－2）C、（－2，3）D、（2，3）考点：关于原点对称的点的坐标。

初二数学上册：轴对称知识框架+考点笔记整理

初二数学上册：轴对称知识框架+考点笔记整理一、知识框架：二、知识概念：1.基本概念：⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.⑷等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.⑸等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.2.基本性质：⑴对称的性质：①不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.②对称的图形都全等.⑵线段垂直平分线的性质：①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.②与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.⑶关于坐标轴对称的点的坐标性质①点关于轴对称的点的坐标为.②点关于轴对称的点的坐标为.⑷等腰三角形的性质：①等腰三角形两腰相等.②等腰三角形两底角相等（等边对等角）.③等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线，底边上的高相互重合.④等腰三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（1条）.⑸等边三角形的性质：①等边三角形三边都相等.②等边三角形三个内角都相等，都等于60°③等边三角形每条边上都存在三线合一.④等边三角形是轴对称图形，对称轴是三线合一（3条）.3.基本判定：⑴等腰三角形的判定：①有两条边相等的三角形是等腰三角形.②如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）.⑵等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形.②三个角都相等的三角形是等边三角形.③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.4.基本方法：⑴做已知直线的垂线：⑵做已知线段的垂直平分线：⑶作对称轴：连接两个对应点，作所连线段的垂直平分线.⑷作已知图形关于某直线的对称图形：⑸在直线上做一点，使它到该直线同侧的两个已知点的距离之和最短。

人教版九年级上册数学第二十三章《23.2.3关于原点对称的点的坐标》说课稿

《23.2.3关于原点对称的点的坐标》说课稿一、说教材1.教材的地位和作用《关于原点对称的点的坐标》是人教版九年级数学上册第二十三章第二节第三课时的内容，学生已经学会了图形的旋转、平移，已经掌握了关于坐标轴对称的点的坐标的特征，并且能够在平面直角坐标系中作出一个图形关于坐标轴对称的图形，同样我们探索关于原点对称的点的坐标的特征，也是为作出一个图形关于原点对称的图形作准备．2.教学目标根据学生已有的知识及本课在教材中所处的地位、作用，确定本课的教学目标为：⑴知识与技能①掌握关于原点对称的点的坐标的关系．②能在直角坐标系中作出一个图形关于原点对称的图形．⑵过程与方法经历操作---猜想---验证的实践过程，积累数学活动的经验．⑶情感、态度与价值观从坐标的角度揭示中心对称与轴对称的关系，培养观察、分析、探究及合作交流的学习习惯，体验事物的变化之间是有联系的，体会数形结合的思想．3.教学重点探究关于原点对称的点的坐标的关系．4.教学难点关于原点对称的点的坐标的关系的运用．二、说学情学生已经学习了平面直角坐标系，学了图形的旋转、平移、轴对称，已经掌握了关于坐标轴对称的点的坐标的特征，并且能够在平面直角坐标系中作出一个图形关于坐标轴对称的图形。

本节课采用自主学习，合作交流的方式，让学生学会观察图形，作出决策。

共同找出关于原点对称的点的坐标性质，帮助学生接触并解决一些现实生活中的问题，进一步培养学生的应用能力和创新意识。

三、说教法与学法教法：我主要采用探究发现法.鼓励学生自主学习，在已有知识的基础上，通过自己动手画图、观察、猜测、归纳结论．留给学生足够的时间去探索．学法：在新课标的引导下，采用学生动手实践，自主探索，找出不懂的问题，以小组的形式讨论、归纳，合作学习，同时展示学习成果来激发学生学习兴趣、突出教学重点和难点。

四、说教学过程：（一）、基础训练，回忆旧知1．在平面直角坐标系中，⑴画出点A关于x轴的对称点A′；⑵画出点B关于x轴的对称点B′；⑶画出点C关于y轴的对称点C′；⑷画出点D关于y轴的对称点D′．⑸分别写出上面每一对对应点的坐标.点A（，），点A′（，）；点B（，），点B′（，）；点C（，），点'C(，）；点D（，），点D′（，）；2．归纳：点P（x，y）关于x点P（x，y）关于y轴的对称点为P′（，）；用语言表述为：⑴如果两个点关于x轴对称，那么它们的横坐标___________；纵坐标_______________．⑵如果两个点关于y轴对称,那么它们的横坐标___________；纵坐标_______________．【设计意图】通过画图，让学生回忆关于x轴、y轴对称的点的坐标的特征，从而为后面关于原点对称的点的坐标的知识的学习与探讨作铺垫．（二）、创设情境，探究新知探究：如图，在直角坐标系中，已知A（4,0）、B（0,-3）、C（2,1）、D（-1,2）、E（-3,-4），作出A、B、C、D、E点关于原点O的对称点，并写出它们的坐标，并回答：这些点的坐标与已知点的坐标有什么关系？图略。

坐标平面内对称点坐标的特点

坐标平面内对称点坐标的特点在坐标平面内，对称点是指在一个给定的点关于某个中心对称的另一个点。

对称轴是关于其对称的中心线。

对称点坐标的特点如下：1. 横坐标不变，纵坐标相反：对称点的横坐标与原点相同，纵坐标则与原点相反。

如果原点坐标为(x, y)，则对称点坐标为(x, -y)。

2. 关于对称轴对称：对称点与原点关于对称轴对称。

对称轴可以是x轴、y轴或者其他直线。

以x轴为例，对称点的纵坐标与原点的纵坐标相反，横坐标不变。

3. 对称点的距离相等：原点与对称点之间的距离与对称轴之间的距离相等。

4. 对称点与原点关于对称轴对称：对称点与原点关于对称轴对称，即对称点到对称轴的距离与原点到对称轴的距离相等。

5. 对称点的坐标可以通过坐标变换得到：以原点为中心进行对称变换，对称点的横坐标不变，纵坐标取相反数。

对称点坐标的特点可以通过以下几个例子进行说明：例1：以原点为中心，对称轴为y轴，求点A(3, 5)的对称点坐标。

根据对称点的特点，对称点的横坐标不变，纵坐标取相反数。

所以A点的对称点坐标为(-3, -5)。

例2：以原点为中心，对称轴为x轴，求点B(-2, 4)的对称点坐标。

根据对称点的特点，对称点的横坐标不变，纵坐标取相反数。

所以B点的对称点坐标为(-2, -4)。

例3：以原点为中心，对称轴为直线y = x，求点C(2, 3)的对称点坐标。

根据对称点的特点，对称点的横坐标不变，纵坐标取相反数。

所以C点的对称点坐标为(3, 2)。

例4：以原点为中心，对称轴为直线y = -x，求点D(-4, -1)的对称点坐标。

根据对称点的特点，对称点的横坐标不变，纵坐标取相反数。

所以D点的对称点坐标为(4, 1)。

通过以上例子可以看出，对称点坐标的特点是横坐标不变，纵坐标取相反数，并且对称点与原点关于对称轴对称。

对称点的坐标可以通过坐标变换得到，即以原点为中心进行对称变换，对称点的横坐标不变，纵坐标取相反数。

在描述对称点坐标的特点时，可以采用以下结构：1. 引言部分：简要介绍对称点的概念和应用背景。

「初中数学」轴对称求对称点的坐标

「初中数学」轴对称求对称点的坐标展开全文轴对称的妙用之对称点坐标求法在平时的练习或考试中，同学们或许时常遇到这样的问题：在平面直角坐标系中，将某点关于一直线对称（或图形沿直线翻折），求对称点坐标。

本文将此类问题归结为对称点坐标求法，并介绍两种解决此类问题的通法。

【例1】如图，在平面直角坐标系中，已知A（-1，2），B（2，0），C（0，4），求点A关于直线BC的对称点A'的坐标.【解法一】（构造K字型）第1步：过点A分别作x轴，y轴的平行线，交对称轴于点F, E，连接A'E,A'F。

（这样做的目的是构造一个“斜直角”，即∠A‘=90°）第2步：过点A’作y轴的平行线，交AF的延长线于H，过点E 作A'H的垂线，垂足为K。

（这样做的目的是构造矩形，并在矩形内构造“K字型”相似，即矩形大法）第3步：构图完毕后，接下来是一番计算，首先求出直线BC 的解析式：y=-2x+4，其次分别求出E点，F点坐标,令x=-1,解得y=6,即E（-1，6）;令y=2，解得x=1，即F（1，2），接着计算出AF=1+1=2，EA=6-2=4, 且EA:FA=EA‘：FA'=1：2.（这样做的目的是为“K字型”计算做准备）第4步：万事俱备，只欠东风了。

接下来对“K字型”进行字母表示。

∵△EKA'∽△A'HF，且相似比为2，∴设FH=a, 则KA’=2a,∵KH=EA=4，∴A'H=4-2a，∵EK=2A'H，∴EK=8-4a∵EK=AH，且AH=1+1+a∴8-4a=1+1+a，解得a=1.2∴A’的横坐标=1+1.2=2.2 ，A‘的纵坐标为6-2a=3.6即A’（2.2，3.6）【解法二】（解析法）第1步：求出BC的解析式：y=-2x+4第2步：因为两直线垂直, k1·k2 =–1，这里k1=-2, 所以k2 =0.5，所以设直线AA‘的解析为y=0.5x+m，将A（-1，2）代入，解得m=2.5.即直线AA'的解析式为y=0.5x+2.5第3步：求直线BC与直线AA’的交点P的坐标。

关于x轴对称点的坐标特征

关于x轴对称点的坐标特征在几何中，X轴对称点是指具有一定对称特征的点，两个点在X轴上可以穿过这个点，并且使得这两个点关于这个点具有左右对称性。

讨论X轴对称点的坐标特征，可以从以下几个方面来进行讨论：一、X轴对称点的坐标X轴对称点，即具有对称特征的点，具体来说，它的坐标是：(x,y)，其中x为坐标轴上的横坐标，而y为纵坐标。

x的取值范围为任意实数，而y的取值则可以为0，从而形成了所谓的“x轴上的点”。

二、X轴对称点的特征X轴对称点，除了具有上述的坐标特征外，它还具有以下三种特征：1、X轴对称点的坐标是等于其他点的对称点，即横坐标是相等的，纵坐标的符号是相反的，而且纵坐标的大小也是相等的。

2、X轴对称点的坐标也可以被表示为：(x,-y)，其中x为坐标轴上的横坐标，y为纵坐标的负值，即纵坐标乘以-1之后的值。

3、X轴对称点的两个点之间的距离总是相等，不论什么时候都是这样，这样就能够保证共线性。

三、X轴对称点的应用X轴对称点在几何中具有极其重要的意义，它可以用来解决复杂的几何问题，例如椭圆、圆、正方形、矩形等图形的研究中。

1、可以用来确定图形的中心，特别是椭圆、圆等图形，X轴对称点可以作为图形的中心点，推导出图形的基本特征。

2、可以用来测量图形的对称性，如果有一对X轴对称点，可以利用这两个点来测量图形的对称性，一般来说，当两点之间的距离相等时，就意味着图形具有对称性。

3、可以用来推导图形的基本特征，如面积、周长和面积到周长的比值等，X轴对称点可以作为推导图形基本特征的出发点。

四、总结通过以上对X轴对称点的分析，可以总结出X轴对称点的坐标特征：具体来说，X轴对称点的坐标是：(x,y)，即横坐标是任意实数，而纵坐标为0；X轴对称点的特征是：它的坐标是等于其他点的对称点，即横坐标是相等的，纵坐标的符号是相反的，而且纵坐标的大小也是相等的，同时它们之间的距离总是相等。

X轴对称点不仅具有坐标特征，而且还有多种重要的应用，可以用来确定图形的中心、测量图形的对称性和推导图形的基本特征，为几何学的研究提供了大量的帮助。

坐标表示轴对称数学知识点归纳

坐标表示轴对称数学知识点归纳坐标表示轴对称数学知识点归纳大家要熟知三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。

用坐标表示轴对称小结：1.在平面直角坐标系中①关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数;②关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等;③关于原点对称的点横坐标和纵坐标互为相反数;④与X轴或Y轴平行的直线的两个点横(纵)坐标的关系;⑤关于与直线X=C或Y=C对称的坐标点(x, y)关于x轴对称的点的坐标为_ (x, -y)_____.点(x, y)关于y轴对称的点的坐标为___(-x, y)___.知识点总结：上面的内容要求大家掌握三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等。

初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。

平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。

相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。

初中数学知识点：平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。

平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。

通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。

水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。

对称点坐标公式是什么

把一个图形绕着某一点旋转180度如果它能够与另一个图形重合那么就说这两个图形关于这个点中心对称这个点叫做对称中心thepointofsymmetry两个图形关于点对称也称中心对称这两个图形中的对称点叫做关于中心的对称点
对称点坐标公式是什么
对称点坐标公式：当直线与x轴垂直，由轴对称的性质可得，y=b，AA‘的中点在直线x=k上，（a+x）/2=k，x=2k-a，所以易求A’的坐标（2形绕着某一点旋转180度，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点中心对称，这个点叫做对称中心(the point of symmetry)，两个图形关于点对称也称中心对称，这两个图形中的'对称点，叫做关于中心的对称点。

中考数学《轴对称》知识点：坐标系中的轴对称变换与中心对称变换

中考数学《轴对称》知识点：坐标系中的轴对称变换与中心对
称变换
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中考数学《轴对称》知识点：坐标系中的轴对称变换与中心对称变换
点P(x,y)关于x轴对称的点P1的坐标为(x,-y)，关于y轴对称的点P2的坐标为(-x,y)。

关于原点对称的点的坐标P3的坐标是(-x,-y)这个规律也可以记为：关于y轴(x轴)对称的点的纵坐标(横坐标)相同，横坐标(纵坐标)互为相反数。

关于原点成中心对称的点的，横坐标为原横坐标的相反数，纵坐标为原纵坐标的相反数，即横坐标、纵坐标同乘以-1。

轴对称知识点总结

轴对称知识点总结一、轴对称1.轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称．2.判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形．注意：（1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段．（2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条．（3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形．3.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．4.轴对称和轴对称图形的区别与联系5.轴对称的性质：（1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．（2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．（3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等．（4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形．二、线段垂直平分线的性质和判定1.线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫线段的中垂线．2.线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等．如下图所示，点P在线段AB 的垂直平分线上，则P A=PB.3.线段垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．如上图所示，若P A=PB，则点P在线段AB的垂直平分线上三、尺规作图（线段的垂直平分线）1.作图步骤：（1）以A为圆心，以大于线段AB一半的长度画弧（2）再以B为圆心，以相同长度为半径画弧，交前弧于C、D两点（3）连接CD，直线CD即为线段AB的垂直平分线四、尺规作图（轴对称）1.轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的画法，步骤如下：（1）找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点；（2）连接这对对应点；（3）画出对应点所连线段的垂直平分线．这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴．注意：对于轴对称图形或两个图形成轴对称，它们的对应点有一个共同的特征——对应点所连的线段被对称轴垂直平分，这是我们画图形的对称轴的依据．2.在坐标系中画轴对称图形的方法：（1）计算——计算对称点的坐标；（2）描点——根据对称点的坐标描点；（3）连接——依次连接所描各点得到成轴对称的图形五、关于坐标轴对称的点的坐标1.关于坐标轴对称的点的坐标特点：（1）点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，－y）；（2）点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（－x，y）．2.已知两个点的坐标分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2），若x1＝x2，y1＋y2＝0，则点P1，P2关于x轴对称；若x1＋x2＝0，y1＝y2，则点P1，P2关于y轴对称．反之也成立。

关于y轴对称的两个点的坐标

关于y轴对称的两个点的坐标今天我们聊聊关于y轴对称的两个点，这可是个有趣的数学话题呢！想象一下，y轴就像是一面魔镜，能把点的“影子”翻转过去。

就像小孩子在游乐场玩滑梯，溜下来那一瞬间的惊叫，特别刺激，特别开心。

要是你有两个点，咱们就让它们在这面镜子里“见面”吧！咱们随便选一个点，比如说（2, 3），它在坐标系里就像个小精灵，跳来跳去。

现在让我们想象一下，这个点站在y轴的一边，觉得自己特别酷，正准备给旁边的点（2, 3）发个自拍呢！哎，这个点就像是一对双胞胎，一个在左边，一个在右边，虽然站的位置不一样，可心灵深处却是一模一样，嘿嘿。

这就是y轴对称的魅力所在，两个点就像是亲密无间的好朋友，不离不弃，始终陪伴在一起。

再说说点（1, 4）和它的对称点（1, 4）。

这两个点就像在参加一场有趣的舞会。

一个在左边，一个在右边，各自展示自己的舞姿，真是欢快至极！尤其当它们的y坐标相同时，那就更有趣了，仿佛在说：“嘿，我们的高度一样，咱们可是绝配！”就像那句老话说的，“志同道合”，这种感觉让人倍感亲切。

它们可能没有手，但心是紧紧相连的，简直就像是两个甜蜜的梦。

说到对称，咱们不能忘了那些负坐标。

比如（3, 2）和（3, 2），这两个点就像是两只在夜空中飞翔的鸽子，一左一右，相互追逐。

它们的y值相同，仿佛在用无声的语言交流：“兄弟，咱们一起飞，永不分离！”这时候，负号不再是坏事，而是给它们的舞蹈增添了不少神秘感。

它们仿佛在对世人宣告：“我们虽然在不同的地方，但内心的情感是一样的！”再看看这些点的变化，如果把y轴的位置稍微改变一下，就像是在玩拼图游戏，点的位置随之改变。

这种感觉就像一场魔法表演，点在瞬间就变得完全不同。

有些点会慢慢滑动，有些则会俏皮地跃动起来，仿佛在说：“看！我也能变！”而这个变化其实就像人生中的无数选择，总有些看似简单的决定，却能带来意想不到的结果。

如果把这些点放在一起，你会发现，它们其实在相互呼应，像极了生活中的小细节。

关于坐标轴对称的点的坐标

关于坐标轴对称的点的坐标例1：在坐标平面内,已知点A(4,-6),那么点A关于x轴的对称点A′的坐标为____,点A关于y轴的对称点A″的坐标为_______。

例2：点A(-1,-3)关于x轴对称点的坐标是，关于原点对称的点坐标是。

例3：点P（2,4）与点Q（-3，b）在平行于x轴的直线上，则b=；10.A（a-1,5）与B（-2,7）在平行于y轴的直线上，a=。

巩固练习1：-,n2)，则1.已知点P的坐标是(m,1-)，且点P关于x轴对称的点的坐标是(33.点P(1-A.(3，10.点P（）关于轴的对称点的坐标是（A.（2，（））11.点P（）关于原点对称的点的坐标是（A.（12.点P（）关于原点对称的点的坐标是（???）??A.????B.????C.（3，4）??D.13.若点P（m，2）与点Q（3，n）关于原点对称，则的值分别是（???）A.????B.????C.????D.14．已知三角形ABC在坐标系中的位置如图13-6所示，画出它关于x轴对称的三角形A′B′C′，并填出A′，B′，C′的坐标：A′______，B′______，C′______．15．已知：正方形ABCD在坐标系内的位置如图13-8所示，边长为2，求作正方形ABCD关于y轴的对称的正方形A′B′C′D′，并按图答出顶点的坐标：点A′______，点B′______，点C′______，点D′______．坐标与线段的关系例1：点Ａ（２，３）到x轴的距离为；点Ｂ（-４，０）到y轴的距离为；点C到x 轴的距离为1，到y轴的距离为3，且在第三象限，则C点坐标是。

例2：已知三点A（0，4），B（—3，0），C（3，0），现以A、B、C为顶点画平行四边形，请根1.到y2.点Ｐ到x3.已知4.点P P的坐A．（3，-3）6.点（3,2）到x轴的距离为，到y轴的距离为7.点B在第二象限且到x轴的距离为5，到y轴的距离为4，则点B的坐标为8.点C到x轴和y轴的距离分别是5和6，则点C的坐标为。

坐标平面内图形的轴对称和平移

第21课坐标平面内的图形的轴对称和平移学习目标1.感受坐标平面内图形变化相应的坐标变化.2.了解关于坐标轴对称的两个点的坐标关系.3.会求与已知点关于坐标轴对称的点的坐标.4.利用关于坐标轴对称的两个对称点的坐标关系，求作轴对称图形.知识点01 坐标平面内图形的轴对称在直角坐标系中，点(a,b )关于x 轴的对称点的坐标为(a,-b ),关于y 轴的对称点的坐标为(-a,b).1. 关于x 轴对称：横坐标不变，纵坐标互为相反数2.关于y 轴对称：横坐标互为相反数，纵坐标不变知识点02 坐标平面内图形的平移平移：上加下减，右加左减考点01 坐标平面内图形的轴对称【典例1】已知点A （a +2b ，﹣2）和点B （﹣1，a +1）关于y 轴对称，那么a +b ＝　﹣1　．【思路点拨】关于y 轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变．据此可得a ，b 的值．【解析】解：∵点A （a +2b ，﹣2）和点B （﹣1，a +1）关于y 轴对称，∴，解得，∴a +b ＝﹣3+2＝﹣1．故答案为：﹣1．【点睛】此题主要考查了关于x 轴对称点的性质，正确得出a ，b 的值是解题关键．【即学即练1】平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标分别为A （1，4），B （3，4），C （3，﹣1）．（1）试在平面直角坐标系中，标出A 、B 、C 三点；（2）求△ABC 的面积．（3）若△A 1B 1C 1与△ABC 关于x 轴对称，写出A 1、B 1、C 1的坐标．【思路点拨】（1）根据点A 、B 、C 的坐标及坐标的概念描点即可；（2）根据三角形的面积公式求解可得；（3）根据关于x 轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．【解析】解：（1）如图所示，点A 、B 、C即为所求；能力拓展（2）△ABC的面积为：＝5；（3）若△A1B1C1与△ABC关于x轴对称，则A1（1，﹣4）、B1（3，﹣4）、C1（3，1）．【点睛】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是根据轴对称变换的定义和性质得出对应点．考点02 坐标平面内图形的平移【典例2】用（﹣2，4）表示一只蚂蚁的位置，若这只蚂蚁先水平向右爬行3个单位，然后又竖直向下爬行2个单位，则此时这只蚂蚁的位置是（）A．（1，6）B．（﹣5，2）C．（1，2）D．（2，1）【思路点拨】根据平移规律解答即可．【解析】解：自点（﹣2，4）先水平向右爬行3个单位，然后又竖直向下爬行2个单位，此时这只蚂蚁的位置是（﹣2+3，4﹣2），即（1，2），故选：C．【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，掌握平移中点的变化规律：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．【即学即练2】三角形ABC与三角形A′B′C′在平面直角坐标系中的位置如图所示：（1）分别写出下列各点的坐标：A　（1，3）　，A′　（﹣3，1）　；（2）若点P（x，y）是三角形ABC内部一点，则三角形A′B′C′内部的对应点P′的坐标　（x﹣4，y﹣2）　．（3）三角形A′B′C′是由三角形ABC经过怎样的平移得到的？【思路点拨】（1）根据点的位置写出坐标即可；（2）利用平移变换的规律解决问题即可；（3）根据平移变换的性质解决问题．【解析】解：（1）A （1，3），A ′（﹣3，1）．故答案为：（1，3），（﹣3，1）；（2）∵△ABC 向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A ′B ′C ′，∴P （x ，y ）的对应点P ′（x ﹣4，y ﹣2），故答案为：（x ﹣4，y ﹣2）；（3）△ABC 向左平移4个单位，再向下平移2个单位得到△A ′B ′C ′．【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．题组A 基础过关练1．在平面直角坐标系中，点A （3，2）与点B （3，﹣2）的位置关系是（）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．没有对称关系【思路点拨】直接利用关于关于x 轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，进而得出答案．【解析】解：∵点A （3，2）与点B （3，﹣2），横坐标相同，纵坐标互为相反数，∴点A （3，2）与点B （3，﹣2）的位置关系是关于x 轴对称．故选：A．分层提分【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键．2．在平面直角坐标系中，点P（6，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是（）A．（﹣6，3）B．（6，﹣3）C．（6，3）D．（﹣6，﹣3）【思路点拨】直接利用关于x轴对称点的性质分析得出答案．【解析】解：在平面直角坐标系中，点P（6，﹣3）关于x轴对称的点的坐标是（6，3）．故选：C．【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题关键．关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．3．若点P（2，b）和点Q（a，﹣3）关于y轴对称，则a+b的值是（）A．﹣1B．1C．﹣5D．5【思路点拨】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”，可得a＝﹣2，b＝﹣3，再代入计算即可．【解析】解：∵点P（2，b）和点Q（a，﹣3）关于y轴对称，∴a＝﹣2，b＝﹣3，∴a+b＝﹣2﹣3＝﹣5．故选：C．【点睛】本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．4．若点M（2a，﹣1）与点N（4，﹣b）关于x轴对称，则a+b的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【思路点拨】直接利用关于x轴对称点的性质（横坐标不变，纵坐标互为相反数）得出a，b的值，进而得出答案．【解析】解：∵点M（2a，﹣1）与点N（4，﹣b）关于x轴对称，∴2a＝4，﹣b＝1，解得a＝2，b＝﹣1，则a+b＝2﹣1＝1．故选：C．【点睛】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确掌握对称点坐标特点是解题关键．5．把点A（﹣2，1）向上平移2个单位，再向左平移3个单位后得到B，点B的坐标是（）A．（﹣5，3）B．（1，3）C．（1，﹣3）D．（﹣5，﹣1）【思路点拨】根据平移的基本性质，向上平移a，纵坐标加a，向右平移a，横坐标加a；【解析】解：∵A（﹣2，1）向上平移2个单位，再向左平移3个单位后得到B，∴1+2＝3，﹣2﹣3＝﹣5；点B的坐标是（﹣5，3）．故选：A．【点睛】本题考查了平移的性质，①向右平移a个单位，坐标P（x，y）⇒P（x+a，y），①向左平移a 个单位，坐标P（x，y）⇒P（x﹣a，y），①向上平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y+b），①向下平移b个单位，坐标P（x，y）⇒P（x，y﹣b）．6．在平面直角坐标系中，若点P（a，﹣5）与点Q（4，3）所在直线PQ∥y轴，则a的值等于（）A．﹣5B．3C．﹣4D．4【思路点拨】根据直线PQ∥y轴，得到P，Q横坐标相等，即可求解．【解析】解：∵直线PQ∥y轴，∴P，Q横坐标相等，∴a＝4，故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，直线PQ∥y轴，得到P，Q横坐标相等是解题的关键．7．如图，将线段AB向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到线段A'B'，则点A的对应点A'的坐标是（）A．（0，2）B．（1，2）C．（0，﹣1）D．（﹣1，﹣2）【思路点拨】利用平移变换的性质分别作出A，B的对应点A′，B′即可．【解析】解：如图，观察图象可知点A′的坐标是（1，2），故选：B．【点睛】本题考查坐标与图形变化—平移，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质，属于中考常考题型．8．在平面直角坐标系中，已知点M（m﹣1，2m+3）．若点N（﹣3，2），且MN∥y轴．（1）m＝　﹣2　；（2）点M关于y轴对称的点的坐标为　（3，﹣3）　．【思路点拨】（1）根据MN∥y轴得出点M与点N的横坐标相等，建立等式可求出m的值，由此即可得；（2）根据平面直角坐标系中两个关于坐标轴成轴对称的点的坐标特点：关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．【解析】解：（1）∵点M（m﹣1，2m+3）．若点N（﹣3，2），且MN∥y轴，∴点M与点N的横坐标相等，即m﹣1＝﹣3，解得m＝﹣2，故答案为：﹣2；（2）由（1）可得点M的坐标为（﹣3，﹣1），所以点M关于y轴对称的点的坐标为（3，﹣1）．故答案为：（3，﹣1）．【点睛】本题考查了点坐标，熟练掌握平面直角坐标系中，点坐标的特征是解题关键．9．△ABC的三个顶点坐标分别是A（a，5），B（7，b），C（4，9），将△ABC平移后得到△A1B1C1，其中A1（3，8），B1（6，3），则点C1的坐标是　（3，12）　．【思路点拨】由题意△ABC向上平移3个单位，再向左平移一个单位得到△A1B1C1，由此可得结论．【解析】解：由题意△ABC向上平移3个单位，再向左平移一个单位得到△A1B1C1，∴C1（3，12）．故答案为：（3，12）．【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．10．已知点A（a﹣3，a2﹣4），求分别满足下列条件的a的值及点A的坐标．（1）点A在x轴上；（2）已知点B（2，5），且AB∥x轴．【思路点拨】（1）根据x轴上的点的坐标特征可得a2﹣4＝0，求出a的值，进一步可得点A的坐标；（2）根据AB∥x轴，可得a2﹣4＝5，求出a的值，进一步可得点A的坐标．【解析】解：（1）∵点A在x轴上，∴a2﹣4＝0，解得a＝2或a＝﹣2，∴点A的坐标为（﹣1，0）或（﹣5，0）；（2）∵AB∥x轴，∴a2﹣4＝5，∴a＝3或a＝﹣3，∴点A坐标为（0，5）或（﹣6，5）．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，熟练掌握平面直角坐标系内坐标轴上的点和平行于坐标轴的点的坐标特征是解题的关键．11．如图在平面直角坐标系中，A（﹣2，2），B（﹣3，﹣2）（每个小正方形的边长均为1）．（1）若点D与点A关于y轴对称，则点D的坐标为　（2，2）　．（2）将点B向右平移5个单位，再向上平移2个单位得到点C，则点C的坐标为　（2，0）　．（3）请在图中表示出D、C两点，顺次连接ABCD，并求出A、B、C、D组成的四边形ABCD的面积．【思路点拨】（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出答案；（2）直接利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案；（3）利用四边形ABCD所在矩形面积减去周围三角形面积，进而得出答案．【解析】解：（1）如图所示：D（2，2）；故答案为：（2，2）；（2）如图所示：C（2，0）；故答案为：（2，0）；（3）如图所示：四边形ABCD的面积为：4×5﹣×1×4﹣×5×2＝13．【点睛】此题主要考查了四边形面积求法以及关于y轴对称点的性质，正确得出对应点位置是解题关键．题组B 能力提升练12．若点A（6，6），AB∥x轴，且AB＝2，则B点坐标为（）A．（4，6）B．（6，4）或（6，8）C．（8，6）D．（4，6）或（8，6）【思路点拨】根据AB∥x轴，得到点A，B的纵坐标相等，点B的纵坐标为6，根据AB＝2分两种情况求点B的坐标即可．【解析】解：∵AB∥x轴，∴点A，B的纵坐标相等，∴点B的纵坐标为6，∵AB＝2，∴当点B在点A左侧时，B（4，6）；当点B在点A右侧时，B（8，6）；故选：D．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，体现了分类讨论的思想，根据AB∥x轴，得到点A，B的纵坐标相等是解题的关键．13．在直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（1，0），（0，3），将线段AB平移，平移后点A的对应点A′的坐标是（2，﹣2），那么点B的对应点B′的坐标是（）A．（1，1）B．（1，2）C．（2，2）D．（2，1）【思路点拨】利用平移变换的性质，画出图形可得结论．【解析】解：如图，观察图像可知，B′（1，1）．故选：A．【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解题的关键是理解题意，正确画出图形解决问题．14．在平面直角坐标系中，将点A（2，﹣1）向上平移4个单位长度得到点B，则点B关于y轴对称的点B'的坐标为（）A．（﹣3，2）B．（2，3）C．（﹣2，﹣3）D．（﹣2，3）【思路点拨】首先根据纵坐标上移加，下移减可得B点坐标，然后再根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．【解析】解：将点A（2，﹣1）向上平移4个单位长度得到点B的坐标为（2，﹣1+4），即（2，3），则点B关于y轴的对称点B′的坐标是：（﹣2，3）．故选：D．【点睛】此题主要考查了坐标与图形变化﹣平移，以及关于y轴对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律．15．已知点P（a+1，2a﹣3）关于x轴对称的点在第二象限，则a的取值范围为（）A．a＞B．a＜C．a＜﹣1D．﹣1＜a＜【思路点拨】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，得出对应点坐标，再利用第二象限点的坐标特点进而得出答案．【解析】解：点P（a+1，2a﹣3）关于x轴对称的点为（a+1，﹣2a+3）在第二象限，故，解得a＜﹣1．故选：C．【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．16．在平面直角坐标系中有A（m，3），B（4，n）两点，若直线AB平行于y轴，且AB＝4，则m+n＝　3或11　．【思路点拨】先根据直线AB平行于y轴可得出m＝4，再由AB＝4可得出n的值．【解析】解：∵点A（m，3），B（4，n），直线AB平行于y轴，∴m＝4．∵AB＝4，∴|3﹣n|＝4，解得n＝﹣1或7．∴m+n＝4﹣1＝3，或4+7＝11故答案为：3或11．【点睛】本题考查的是坐标与图形性质，熟知平行于y轴的直线上点的横坐标相等是解答此题的关键．17．已知点M（3，﹣2）与点M'（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，且M'到y轴的距离等于4，那么点M'的坐标是　（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）　．【思路点拨】由点M和M′在同一条平行于x轴的直线上，可得点M′的纵坐标；由“M′到y轴的距离等于4”可得，M′的横坐标为4或﹣4，即可确定M′的坐标．【解析】解：∵M（3，﹣2）与点M′（x，y）在同一条平行于x轴的直线上，∴M′的纵坐标y＝﹣2，∵“M′到y轴的距离等于4”，∴M′的横坐标为4或﹣4．所以点M′的坐标为（4，﹣2）或（﹣4，﹣2），故答案为：（4，﹣2）或（﹣4，﹣2）．【点睛】本题考查了点的坐标的确定，注意：由于没具体说出M′所在的象限，所以其坐标有两解，注意不要漏解．18．教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），所连线段AB的中点是M，则M的坐标为（，），如：点A（1，2）、点B（3，6），则线段AB的中点M的坐标为（，），即M（2，4）．利用以上结论解决问题：平面直角坐标系中，若E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，则4a+b的值等于　0　．【思路点拨】根据中点坐标公式求出点G的坐标，根据线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，得到点G的横坐标等于0，纵坐标的绝对值为1，列出方程组求解即可．【解析】解：根据题意得：G（，），∵线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，∴，解得（舍去），，∴4a+b＝0．故答案为：0．【点睛】本题考查了坐标与图形性质，根据线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，得到点G的横坐标等于0，纵坐标的绝对值为1是解题的关键．题组C 培优拔尖练19．在平面直角坐标系中，将点A（m，n+2）先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到点A′，若点A'位于第二象限，则m、n的取值范围分别是（）A．m＜0，n＞0B．m＜3，n＞﹣4C．m＜0，n＜﹣2D．m＜﹣3，n＜﹣4【思路点拨】根据第二象限点的特征，根据不等式组解决问题即可．【解析】解：平移后的坐标为（m﹣3，n+4），由题意，，解得，故选：B．【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，不等式组等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．20．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（﹣1，3），点B的坐标为（5，3），则线段AB上任意一点的坐标可表示为（）A．（3，x）（﹣1≤x≤5）B．（x，3）（﹣1≤x≤5）C．（3，x）（﹣5≤x≤1）D．（x，3）（﹣5≤x≤1）【思路点拨】根据A、B两点纵坐标相等，可确定AB与x轴平行，即可求解．【解析】解：∵点A的坐标为（﹣1，3），点B的坐标为（5，3），A、B两点纵坐标都为3，∴AB∥x轴，∴线段AB上任意一点的坐标可表示为（x，3）（﹣1≤x≤5），故选：B．【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，平行于x轴的直线上的点纵坐标相等．22．在平面直角坐标系中，若点P（m，m﹣n）与点Q（2，1）关于原点对称，则点M（m，n）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【思路点拨】直接利用关于原点对称点的性质得出m，n的值，再利用各象限内点的坐标特点得出答案．【解析】解：∵点P（m，m﹣n）与点Q（2，1）关于原点对称，∴，解得，∴点M（m，n）即（﹣2，﹣1）在第三象限．故选：C．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质以及点的坐标特点，正确得出m，n的值是解题关键．23．在平面直角坐标系中，下列说法：①若点A（a，b）在坐标轴上，则ab＝0；②若m为任意实数，则点（2，m2）一定在第一象限；③若点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2，则符合条件的点P有2个；④已知点M（2，3），点N（﹣2，3），则MN∥x轴．其中正确的是（）A．①④B．②③C．①③④D．①②④【思路点拨】①坐标轴上的点的特征是横坐标为0或纵坐标为0，由此可判断；②由m2≥0，可得点（2，m2）在第一象限或x轴正半轴上；③到点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2，则点P在四个象限内都有符合条件的点；④由题可知MN在直线y＝3上，由此可判断．【解析】解：①∵点A（a，b）在坐标轴上，∴a＝0或b＝0，∴ab＝0，故①符合题意；②∵m2≥0，∴点（2，m2）在第一象限或x轴正半轴上，故②不符合题意；③点P到x轴的距离与到y轴的距离均为2，∴P点坐标为（2，2）或（2，﹣2）或（﹣2，2）或（﹣2，﹣2），∴P点共有4个，故③不正确；④∵点M（2，3），点N（﹣2，3），∴M、N两点在y＝3的直线上，∴MN∥x轴，故④符合题意；故选：A．【点睛】本题考查坐标与图形，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解题的关键．25．如图，正△ABO的边长为4，O为坐标原点，A在x轴上，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A1B1O，翻滚2022次后AB中点M坐标为　（8085，）　．【思路点拨】作出把△ABO经3次翻滚后的图形，作B3E⊥x轴于点E，由勾股定理可得B3E的长，从而可知点B3的纵坐标，再根据等边三角形的边长为4及等腰三角形的三线合一性质，可得OE的长，从而可知点B3的坐标；由图象可知翻滚的循环规律，从而可知翻滚2022次后AB中点M的坐标．【解析】解：如图所示，把△ABO经3次翻滚后，点B落到点B3处，点M经过点N、点H落到点M’处，点A落到点K处，作B3E⊥x轴于点E，则∠B3KE＝60°，B3K＝2，∴KE＝B3K＝2，B3E＝B3K＝2，∴OE＝3×4﹣2＝10，∴K（8，0），B3（10，2）．∴M′（9，）．由图象可知，翻滚三次为一个循环，∵2022＝3×674，∴翻滚2022次后AB 中点M 的纵坐标与点M ′的纵坐标相同，横坐标为2022×4﹣3＝8085，∴翻滚2022次后AB 中点M 的坐标为（8085，）．故答案为：（8085，）．【点睛】本题考查的是坐标与图形变化﹣旋转，等边三角形的性质等知识，找到旋转规律是解题的关键．26．如图①，在平面直角坐标系中，点A （a ，0），点B （b ，0），点C （0，2），且|a +2b |+＝0．（1）求点A ，B 的坐标；（2）将三角形ABC 平移，平移后点C 的对应点的坐标为（7，6），点B 的对应点为点D ，如图②．求三角形ACD 的面积；（3）P （m ，3）是一动点，若三角形PCO 的面积等于三角形AOC 的面积，求出点P 的坐标．【思路点拨】（1）由|a +2b |+＝0，根据非负数的性质可得出a 和b 的值，即可确定点A 和B 的坐标；（2）连接OD ，根据S 三角形ACD ＝S 三角形OCD +S 三角形OAD ﹣S 三角形AOC 计算即可求解；（3）根据三角形PCO 的面积等于三角形AOC 的面积，列出方程计算即可求解．【解析】解：（1）∵|a +2b |+＝0，∴，解得．故点A （4，0），点B （﹣2，0）；（2）∵将三角形ABC 平移，平移后点C （0，2）的对应点的坐标为（7，6），∴三角形ABC 是向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，∴三角形ABC 平移后点B （﹣2，0）的对应点D 的坐标为（5，4），连接OD ，∴S 三角形ACD ＝S 三角形OCD +S 三角形OAD ﹣S 三角形AOC＝×4×4+×2×5﹣×4×2＝9；（3）依题意有：×2|m|＝×4×2，解得m＝±4，故点P的坐标为（﹣4，3）或（4，3）．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系，关键是能根据|a+2b|+＝0的非负性确定a和b的值，求出点A，B的坐标．27．在平面直角坐标系中，将线段AB平移得到的线段记为线段A′B′．（1）如果点A，B，A′的坐标分别为A（﹣2，﹣1），B（1，﹣3），A′（2，3），直接写出点B′的坐标　（5，﹣1）　；（2）已知点A，B，A'，B'的坐标分别为A（m，n），B（2n，m），A′（3m，n），B′（6n，m），m 和n之间满足怎样的数量关系？说明理由；（3）已知点A，B，A′，B′的坐标分别为A（m，n+1），B（n﹣1，n﹣2），A′（2n﹣5，2m+3），B′（2m+3，n+3），求点A，B的坐标．【思路点拨】（1）根据点A到A′确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点B′的坐标；（2）根据题意列方程，解方程即可得到结论；（3）根据题意列方程组，解方程组，即可得到结论．【解析】解：（1）∵A（﹣2，1）平移后得到点A′的坐标为（2，3），∴向上平移了2个单位，向右平移了4个单位，∴B（1，﹣3）的对应点B'的坐标为（1+4，﹣3+2），即（5，﹣1）．故答案为：（5，﹣1）；（2）m＝2n，理由：∵将线段AB平移得到的线段记为线段A′B′，A（m，n），B（2n，m），A′（3m，n），B′（6n，m），∴3m﹣m＝6n﹣2n，∴m＝2n；（3）∵将线段AB平移得到的线段记为线段A′B′，点A，B，A′，B′的坐标分别为A（m，n+1），B（n﹣1，n﹣2），A′（2n﹣5，2m+3），B′（2m+3，n+3），∴2n﹣5﹣m＝2m+3﹣（n﹣1），2m+3﹣（n+1）＝（n+3）﹣（n﹣2），解得m＝6，n＝9，∴点A的坐标为（6，10），点B的坐标为（8，7）．【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣平移，熟练掌握点的平移规律是解题的关键．28．我们约定：若点P的坐标为（x，y），则把坐标为（kx+y，x﹣ky）的点P k成为点P的“k阶益点”（其中k为正整数），例如：P2（2×3+4，3﹣2×4）即P2（10，﹣5）就是点P（3，4）的“2阶益点”．（1）已知点P3（﹣1，﹣7）是点P（x，y）的“3阶益点”，求点P的坐标；（2）已知点P2是点P（t+1，2t）的“2阶益点”，将点先向右移动6个单位，再向下移动3个单位得到点Q，若点Q落在第四象限，求t的取值范围；（3）已知点P（x，y）的“k阶益点”是P k（3，﹣2），若x＜y＜2x，求符合要求的点P的坐标．【思路点拨】（1）构建方程组求解即可；（2）构建不等式组解决问题即可；（3）根据不等式组，求出整数k，可得结论．【解析】解：（1）由题意，解得，，∴P（﹣1，2）；（2）由题意，，解得，t＞﹣；（3）由题意，，解得，，∵x＜y＜2x，∴＜＜，解得，＜k＜5，∵k是正整数，∴K＝2或3或4，∴或或，∴满足条件的点P的坐标为（，）或（，）或（，）．【点睛】本题考查坐标与图形变化﹣平移，解一元一次方程，不等式组等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或不等式解决问题．。