优化建模与LINGO第01章

决策变量： ci j，(xj,yj)~16维
s.t.
c
j 1 6 i 1
ij d i ,
i 1,...,6
非线性规划模型
(NLP)
c
ij e j ,
j 1,2
优化建模
整数规划 - 例1.4: 聘用方案
某服 务 部门 一 周中 每 天 需 要 不 同 数 目的 雇 员：周一到周四每天至少 50 人，周五和周日 每天至少 80 人，周六至少 90 人。 现规定应聘者需连续工作 5 天，试确定聘用 方案，即周一到周日每天聘用多少人，使在 满足需要的条件下聘用总人数最少。
Max z 72x1 64x2
z=c (常数) ~等值线
0
l5
Z=0
x1 D Z=2400
在B(20,30)点得到最优解 最优解一定在凸多边 形的某个顶点取得。
目标函数和约束条件是线性函数 可行域为直线段围成的凸多边形 目标函数的等值线为直线
优化建模
LP的约束和目标函数均为线性函数 2维 可行域 线段组成的凸多边形 目标函数 等值线为直线 n维 超平面组成的凸多面体 等值线是超平面
制订生产计划，使每天获利最大 • 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? • 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? • A1的获利增加到 30元/公斤，应否改变生产计划？
优化建模
1桶 牛奶 或
12小时
3公斤A1
4公斤A2
获利24元/公斤
获利16元/公斤
8小时 每天 50桶牛奶 时间480小时 至多加工100公斤A1 决策变量 x1桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产A2
优化建模
1. 优化模型的基本概念
优化建模
优化模型和算法的重要意义
最优化: 在一定条件下，寻求使目标最大(小)的决策 最优化是工程技术、经济管理、科学研究、社 会生活中经常遇到的问题, 如: 结构设计 资源分配 生产计划 运输方案
解决优化问题的手段
• 经验积累，主观判断
• 作试验，比优劣 • 建立数学模型，求解最优策略
f ( x) hi ( x) 0, i 1,...,m g j ( x ) 0, j 1,...,l xD
n
• 线性规划(LP) 目标和约束均为线性函数 • 非线性规划(NLP) 目标或约束中存在非线性函数 二次规划(QP) 目标为二次函数、约束为线性 • 整数规划(IP) 决策变量(全部或部分)为整数 整数线性规划(ILP)，整数非线性规划(INLP) 纯整数规划(PIP), 混合整数规划(MIP) 一般整数规划，0-1（整数）规划
聘用方案
优化建模
x1 x2 x5 x6 x7 50 xi Z ， x1 x2 x3 x6 x7 50 即为非负整数 x1 x2 x3 x4 x7 50 x1 x2 x3 x4 x5 80 x2 x3 x4 x5 x6 90 x3 x4 x5 x6 x7 80
图解法
约 l2 : 12x1 8x2 480 束 12x1 8x2 480 l4 条 3x1 100 l3 : 3x1 100 件 c l4 : x1 0, l5 : x2 0 x1 , x2 0 目标 函数
l1 : x1 x2 50
x2 A
l1 B l2 C Z=3600 l3
优化建模
整数规划问题对应的松弛问题
取消整数规划中决策变量为整数的限制（松弛），对 应的连续优化问题称为原问题的松弛问题 整数规划问题 最优解
解
优化建模
二次规划模型－例1.2：产销计划问题
某厂生产两个牌号的同一种产品，如何确定产量使利润最大
假设A 假设B
产销平衡
牌号 甲 乙
产量 源自文库1 x2
成本 价格 q1 p1 q2 p2
p随x (两种牌号)增加而减小，呈线性关系
p1 b1 a11 x1 a12 x2 , b1 , a11 , a12 0, a11 a12
优化建模
优化问题的一般形式
优化问题三要素：决策变量；目标函数；约束条件 目标函数 约 束 条 件
min s.t.
决策变量
f ( x) hi ( x) 0, i 1,...,m g j ( x ) 0, j 1,...,l xD
n
• 无约束优化(没有约束)与约束优化(有约束) • 可行解（只满足约束）与最优解(取到最优值)
约束
x1 + x2 ≤100 x1 ≤ 2 x2 x1 , x2 ≥ 0
二次规划模型(QP)
若还要求产量为整数，则是整数二次规划模型(IQP)
优化建模
非线性规划模型－例1.3：选址问题
某公司有6个建筑工地，位置坐标为(ai, bi) (单位：公里), 水泥日用量di (单位：吨）
i a b d １ 1.25 1.25 3 ２ 8.75 0.75 5 ３ 0.5 4.75 4 ４ 5.75 5 7 ５ 3 6.5 6 ６ 7.25 7.75 11
整数规划
模型(IP)
优化建模
0-1规划 －混合泳接力队的选拔
例1.5： 5名候选人的百米成绩
蝶泳 仰泳 蛙泳 自由泳 甲 1’06”8 1’15”6 1’27” 58”6 乙 57”2 1’06” 1’06”4 53” 丙 1’18” 1’07”8 1’24”6 59”4 丁 1’10” 1’14”2 1’09”6 57”2 戊 1’07”4 1’11” 1’23”8 1’02”4
3 0 4
4 7 0
5 0 6
6 1 10
总吨公里数为136.2
选址问题：NLP
优化建模
2）改建两个新料场，需要确定新料场位置(xj,yj)和 运量cij ，在其它条件不变下使总吨公里数最小。
min

j 1 i 1 2
2
6
cij [( x j ai ) 2 ( y j bi ) 2 ]1 / 2
优化建模
优化建模与LINDO/LINGO软件
第 1 章 引 言
［原书相关信息］ 谢金星, 薛毅编著, 清华大学出版社, 2005年7月第1版.
http://faculty.math.tsinghua.edu.cn/~jxie/lindo
优化建模
内容提要
1. 优化模型的基本概念 2. 优化问题的建模实例 3. LINDO/LINGO 软件简介
最优解 凸多边形的某个顶点
求解LP的基本思想
凸多面体的某个顶点
思路：从可行域的某一顶点开始，只需在有限多个 顶点中一个一个找下去，一定能得到最优解。
LP的通常解法是单纯形法(G. B. Dantzig, 1947)
优化建模
LP其他算法
内点算法(Interior point method)
• 20世纪80年代人们提出的一类新的算法——内点算法 • 也是迭代法，但不再从可行域的一个顶点转换到另一个 顶点，而是直接从可行域的内部逼近最优解。
如何选拔队员组成4100米混合泳接力队? 丁的蛙泳成绩退步到1’15”2；戊的自由泳成绩进 步到57”5, 组成接力队的方案是否应该调整？ 穷举法：组成接力队的方案共有5!=120种。
优化建模
0-1规划模型 cij(秒)~队员i 第j 种泳姿的百米成绩
cij j=1 j=2 j=3 j=4 i=1 66.8 75.6 87 58.6 i=2 57.2 66 66.4 53 i=3 78 67.8 84.6 59.4 i=4 70 74.2 69.6 57.2 i=5 67.4 71 83.8 62.4
假设：料场 和工地之间 有直线道路
1)现有 2 料场，位于 A (5, 1), B (2, 7), 记(xj,yj),j=1,2, 日储量 ej 各有 20 吨。
目标：制定每天的供应计划，即从 A,
B 两料场分别 向各工地运送多少吨水泥，使总的吨公里数最小。
优化建模
决策变量：ci j (料场j到工地i的 运量）~12维 线性规划模型(LP) 用例中数 据计算， 最优解为
min

j 1 i 1 2
2
6
cij [( x j ai ) 2 ( y j bi ) 2 ]1 / 2
s.t.
c
j 1 6 i 1
ij d i ,
i 1,...,6
c
ij e j ,
j 1,2
i ci1 （料场 A） c i 2 （料场 B）
1 3 0
2 5 0
有效集(Active Set)方法
• LP是QP的特例（只需令所有二次项为零即可） • 可以用QP的算法解QP(如: 有效集方法)
优化建模
线性规划模型的解的几种情况
线性规划问题
有可行解(Feasible)
无
可 行 解 （Infeasible）
有 最 优 解 （ Optimal ）
无
最 优 (Unbounded)
f ( x)
优化建模
s.t.
hi ( x) 0, i 1,...,m g j ( x) 0, j 1,...,l
整数规划问题的分类
• 整数线性规划(ILP) 目标和约束均为线性函数 • 整数非线性规划(NLP) 目标或约束中存在非线性函数 • 纯(全)整数规划(PIP) 决策变量均为整数 • 混合整数规划(MIP) 决策变量有整数，也有实数 • 0-1规划 决策变量只取0或1
目标函数
获利 24×3x1 获利 16×4 x2 每天获利 Max z 72x1 64x2 原料供应
x1 x2 50
12x1 8x2 480
约束条件
劳动时间 加工能力 非负约束
3x1 100 x1 , x2 0
线性 规划 模型 (LP)
优化建模
模型分析与假设
比 xi对目标函数的 例 “贡献”与xi取值 性 成正比 xi对约束条件的 “贡献”与xi取值 成正比 xi对目标函数的 可 “贡献”与xj取值 加 无关 性 xi对约束条件的 “贡献”与xj取值 无关 连续性 xi取值连续
决策变量：周一至周日每天(新)聘用人数 x1, x2,x7 目标函数：7天(新)聘用人数之和 约束条件：周一至周日每天需要人数
设系统已进入稳态（不是开始的几周） 连续工作5天 周一工作的应是(上)周四至周一聘用的 x4 x5 x6 x7 x1 50
min s.t. z x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 x1 x4 x5 x6 x7 50
若选择队员i参加泳姿j 的比赛，记xij=1, 否则记xij=0
目标 函数
约束 条件
Min Z cij xij
j 1 i 1
4
5
0-1规划: 整数规划的特例
5
每人最多入选泳姿之一
每种泳姿有且只有1人
x
j 1
4
ij
1, i 1,5
x
i 1
ij
1, j 1,4
整数规划问题 min xZ n 一般形式
优化建模
局部最优解与整体最优解
f(x)
x1
* o x2
x
• 局部最优解 (Local Optimal Solution, 如 x1 ) • 整体最优解 (Global Optimal Solution, 如 x2 )
优化建模
优化模型的 简单分类
数学规划 连 续 优 化 离 散 优 化
min s.t.
线性规划模型
A1,A2每公斤的获利是与各 自产量无关的常数 每桶牛奶加工出A1,A2的数量 和时间是与各自产量无关的常 数 A1,A2每公斤的获利是与相 互产量无关的常数 每桶牛奶加工出A1,A2的数量和 时间是与相互产量无关的常数 加工A1,A2的牛奶桶数是实数
优化建模
模型求解
x1 x2 50
优化建模
优化模型的简单分类和求解难度
优化
连续优化
整数规划
线性规划
二次规划
非线性规划
问题求解的难度增加
优化建模
2. 优化问题的建模实例
优化建模
线性规划模型－例1.1: 奶制品生产计划
1桶 牛奶 或 12小时 8小时 每天： 50桶牛奶 3公斤A1 获利24元/公斤
4公斤A2
获利16元/公斤
时间480小时 至多加工100公斤A1
p2 b2 a21 x1 a22 x2 , b2 , a21 , a22 0, a22 a21
优化建模
目标
x1 , x2
利润最大
max z( x1, x2 ) ( p1 q1) x1 ( p2 q2 ) x2
（100-x1-0.1 x2-2）x1 +（280-0.2x1-2x2-3）x2 =98 x1 + 277 x2 － x12 － 0.3 x1 x2 － 2x22 =