第九讲(1)-机器人动力学--拉格朗日方程
分析力学基础-拉格朗日方程
其他应用领域
要点一
机器人学
在机器人学中，拉格朗日方程被用于描述机器人的运动规 律。通过建立机器人运动的拉格朗日方程，可以求解出机 器人的关节角度和速度，为机器人的运动控制提供理论依 据。
要点二
生物力学
在生物力学中，拉格朗日方程也被应用于描述生物体的运 动规律。例如，在分析动物的运动行为或人体姿势控制时 ，可以使用拉格朗日方程来描述生物体的运动状态和变化 规律。
解析解法的优缺点分析
优点
解析解法可以得到系统的精确解，适用 于简单模型和特定条件下的复杂模型。
VS
缺点
对于复杂模型，解析解法可能非常困难甚 至无法求解，需要借助数值方法或其他近 似方法。
04
拉格朗日方程的数值解法
数值解法的概念和步骤
概念
数值解法是一种通过数学计算来求解数学问 题的方法，它通过将问题离散化，将连续的 问题转化为离散的问题，然后使用计算机进 行计算求解。
步骤
1.建立数学模型：根据实际问题建立数学模 型，将实际问题转化为数学问题。2.离散化 ：将连续的问题离散化，将连续的时间和空 间划分为若干个小的单元，每个单元称为一 个网格点或节点。3.求解离散化后的方程： 使用数值方法求解离散化后的方程，得到每 个网格点的数值解。4.后处理：对计算结果 进行后处理，提取所需的信息，并进行分析
分析力学基础-拉格 朗日方程
目录
• 引言 • 拉格朗日方程的推导 • 拉格朗日方程的解析解法 • 拉格朗日方程的数值解法 • 拉格朗日方程的应用领域
01
引言
拉格朗日方程的背景和重要性
背景
拉格朗日方程是分析力学中的基 本方程，它描述了系统的运动规 律。
重要性
拉格朗日方程在理论物理、工程 技术和科学研究等领域有着广泛 的应用，是理解和研究复杂系统 运动行为的关键工具。
四足机器人动力学建模拉格朗日动力学
四足机器人动力学建模：拉格朗日动力学引言在机器人领域中，四足机器人是一种常见的机器人类型。
它们具有四条腿和能够模拟和模仿动物行走的能力。
为了实现自主步行和平稳运动，我们需要对四足机器人的动力学进行建模和分析。
本文将介绍使用拉格朗日动力学方法对四足机器人进行建模的过程和步骤。
拉格朗日动力学简介拉格朗日动力学是一种描述系统动力学行为的方法。
它基于拉格朗日原理，通过最小化系统的运动方程，求解系统中的广义坐标和约束力。
在机器人动力学中，拉格朗日动力学方法被广泛应用于建模和控制。
四足机器人动力学建模步态与坐标系在进行四足机器人动力学建模之前，首先需要确定机器人的步态和坐标系。
通常，四足机器人的步态可以分为步行和跑步两种模式。
对于步行模式，机器人的步态可以简化为前后左右四个联系稳定的点。
在这种情况下，机器人的坐标系可以选择为正前方为x轴正方向，右侧为y轴正方向，地面为z轴正方向。
运动学分析在进行动力学建模之前，需要进行机器人的运动学分析。
运动学分析可以得到机器人各个关节的位置、速度和加速度信息。
这些信息对于后续的动力学建模非常重要。
动力学建模操作要素在进行动力学建模之前，需要确定机器人系统的操作要素。
这些要素包括机器人的质量、惯性、关节约束等。
通过对这些要素的分析和建模，可以得到机器人的整体动力学方程。
拉格朗日方程拉格朗日动力学方法使用拉格朗日方程来描述系统的运动方程。
拉格朗日方程可以通过系统的动能和势能表达式得到。
对于四足机器人，为了简化模型，通常可以假设机器人为刚体，并且忽略其柔软特性。
拉格朗日方程的形式如下：L = T - V其中，L为拉格朗日函数，T为系统的动能，V为系统的势能。
动力学模拟通过对拉格朗日方程进行求解，可以得到系统的运动方程。
为了模拟机器人的动力学行为，可以使用数值方法进行迭代求解。
常见的数值方法有欧拉法和中点法等。
结论通过拉格朗日动力学方法进行建模，可以得到四足机器人的运动方程和动力学模拟。
机器人操作的数学导论——机器人动力学1
2、开链机器人动力学
2.1 开链机器人的拉格朗日函数 计算n个关节的开链机器人的动能，可将其中每一连杆动能求和， 定义一固连于第i杆质心的坐标系Li，则可得Li位形:
第i杆质心的物体速度为：
式中
ξ Ad1ˆ j j j
(e
e
ˆ i i
gsl i (0))
j
j i
为相对于第i连杆坐标系的第j个瞬时关节运动螺旋。
机器人的动力学及控制
1.拉格朗日方程
2.开链机器人动力学方程
1、拉格朗日方程
1.1 刚体的惯性 设V R3表示刚体的体积，ρ(r), r∈V是刚体的密度。如果物 体是均匀的，那么ρ(r)= ρ为常量。 刚体的质量可以表示为：
m (r )dV
V
刚体的质心是密度的加权平均：
r 1 (r )rdV mV
如图所示刚体，在质心建立 物体坐标系，g=(p,R)∈SE(3)为 物体相对于惯性坐标系的运动轨 迹，r∈R3为刚体上一点相对于 物体坐标系的坐标，现求刚体的 动能。
1、拉格朗日方程
1.1刚体的惯性 点在惯性坐标系的速度为：
物体的动能可用如下求得：
展开计算可得：
=
其中w为在物体坐标系中表示的刚体角速度，矩阵З ∈R3x3为物体坐标 系中的物体惯性张量
T=(1/2)VT
V=(1/2)(AdgV)T (Adg)-1
(AdgV)
=(AdgT)-1
选取三个坐标轴，使刚体的广义惯性矩阵为对角阵，则这三个轴 为刚体的惯性主轴。
1、拉格朗日方程
1.2 拉格朗日方程 定义拉格朗日函数示为：
式中T和V分别表示系统的动能和势能。 对于广义坐标为q∈Rm、拉格朗日函数为L的机械系统，其运动方 程为： 作用于第i个广 义坐标的外力 上式即为拉格朗日方程，将其写成矢量形式为：
理论力学-拉格朗日方程PPT
拉格朗日方程的推导
拉格朗日方程的推导基于哈密顿原则，通过对系统的运动原理进行最小作用 量的假设，推导出系统的运动方程。
拉格朗日方程的应用
拉格朗日方程在各个物理学和工程学领域都有广泛的应用，例如刚体动力学、 量子力学、控制理论等。
经典示例：单摆运动
单摆运动是拉格朗日方程应用的经典示例之一，通过建立摆角和摆长的关系，可以得到描述摆动的拉格 朗日方程。
拉格朗日方程的优点
相较于牛顿方程，拉格朗日方程具有独特பைடு நூலகம்优点，如坐标自由度更广、描述力学系统更简洁等。
拉格朗日方程在其他领域的应 用
除了物理学和工程学领域外，拉格朗日方程还在经济学、生物学等领域中有 着广泛的应用，为解决复杂问题提供了新的视角。
理论力学-拉格朗日方程 PPT
欢迎大家来到这个关于理论力学的PPT。本次内容将深入探讨拉格朗日方程的 定义、与牛顿方程的关系、推导方法、应用、经典示例和其他领域的应用。
拉格朗日方程的定义
拉格朗日方程是解决运动的一种优雅方法，通过定义拉格朗日函数和广义坐 标来描述系统的动力学行为。
拉格朗日方程与牛顿方程的关系
动力学方程 拉格朗日方程
dt
dt
dt
s
1
V q
q
dV dt
dT dV 0 dt dt
T＋V＝E＝恒量
这就是力学体系的能量积分。
可见拉格朗日方程具有能量积分的条件是：受稳定的理想约束的完整系 ，只受保守力而且T、V中不显含t，这时体系的能量守恒。
（3）对于完整的保守的力学体系，受不稳定约束而且T、V 中不显含t情况的分析。
d dt
n i 1
mi
ri
ri q
n i1
mi
ri
ri q
d dt
n i 1
q
1 2
mi
ri
2
n i 1
q
1 2
mi ri 2
令
T
n i 1
1 2
mi ri 2
显然 T 是体系的动能，则有
P
d dt
T
q
T q
即
d dt
T q
T q
Q ,
1, 2, , s
y
Fy
j'
rP
解 方法一：
o
从定义式计算。 将定义式用于极坐标，因 粒子数 n＝1，则
Qr
F
r r
r
Q F
F
i'
Fx
x
又因 x＝ r cos，y＝r sin
则
x cos , y sin
r
Qr
F
r r
r
Fx
x r
Fy
y r
y
Fy
j'
F
i'
r P Fx
o
Q＝ r F（是力矩）
F
r o
理论力学—拉格朗日方程PPT
a1
3(m1
m2 gsin2 m2 )－2m2cos2
ar
2gsin (m1 m2 ) 3(m1 m2 )－2m2cos2
15
§18-2 拉格朗日(Lagrange)方程
由n个质点所 组成的质点系
主动力 虚位移
广义坐标 第i个质 点的位矢
F (F1, F2,, Fn )
r (r1,r2,,rn )
O1
x1
l
l
rA
rB
xA l cos yA l sin
FIA
A B FIB
m1g l
rC l m1g
xB l cos
C
yB l sin
m2g
yC 2l sin
y1
2m1lsin2lcos 2m1glsin 2m2glsin 0
2 (m1 m2 )g
m1lcos
10
例题3 质量为m1的三棱柱ABC
FIA
A B FIB
m1g l
rC l m1g
根据几何关系，有
C
m2g
xA lsin yA lcos
xA l cos
yA l sin
y1
xB lsin
xB l cos
yB lcos
yB l sin
yC 2lcos
yC 2l sin
9
3、应用动力学普遍方程
FIA δxA FIB δxB m1g δyA m1g δyB m2 g δyC 0
其次，要确定系统的自由度，选择合适的广义坐标。 按照所选择的广义坐标，写出系统的动能、势能或广 义力。
将动能或拉格朗日函数、广义力代入拉格朗日方程。
23
机器人学_第九讲 动力学及仿真实践
机器人学第九讲动力学及仿真实践黄之峰副教授广东工业大学2019-07-03主要内容：1，正逆动力学的意义2，逆动力学分析•拉格朗日法•牛顿欧拉法3，正动力学仿真•单位矢量法23机器人动力学是研究机器人的运动和作用力之间的关系。
机器人动力学的用途：机器人的最优控制：优化性能指标和动态性能，调整伺服增益；设计机器人：算出实现预定运动所需的力/力矩；机器人的仿真：根据连杆质量、负载、传动特征的动态性能仿真机器人是一个具有多输入和多输出的复杂动力学系统，存在严重的非线性，需要非常系统的方法来处理。
θ2θ1l 1l 2m 1m 2•逆动力学：机器人设计关节动力源选型。
前馈控制实现更好的轨迹跟踪。
正动力学数值计算•正动力学动力学仿真，评价及优化控制增益5用拉格朗日法建立机器人动力学方程的步骤1.选取坐标系，选定完全独立的广义关节变量2.选定相应关节上的广义力：当为位移变量时，则为力；当是角度变量时，则为力矩。
3.求出机器人各个构件的动能和势能，构造拉格朗日函数。
4.代入拉格朗日方程求得机器人系统的动力学方程),,2,1(n i q i i F i q i F i q 9θ2θ1l 1l 2m 1m 2p 2222y xθ2θ1l 1l 2m 1m 2θ2θ1l 1l 2m 1m 2θ2θ1l 1l 2m 1m 2θ2θ1l 1l 2m 1m 2θ2θ1l 1l 2m 1m 2θ2θ1l 1l 2m 1m 2θ2θ1l 1l 2m 1m 2θ2θ1l 1l 2m 1m 2θ2θ1l 1l 2m 1m 2常用的简化策略：1.当杆件质量不很大，重量很轻时，动力学方程中的重力项可以忽略。
2.当关节速度不很大，机器人不是高速机器人时，含向心力项，哥式力项等可以省略。
3.当关节加速度不很大，也就是关节电机的加减速不是很突然时，含有的项有可能给予省略，但是会影响机器人的循环作业时间。
21, 20θ2θ1l 1l 2m 1m 2p 2θ2θ1l 1l 2m 1mx y 0ˆ思考：酉矩阵的性质？ˆˆ T绕原点转思考1：匀速运动物体的角动量是否恒定？对于连续刚体则有：R刚体的运动分为相对于自身质心的转动以及质心的平动，这里指的标准姿态下的转动惯量是指相对于质心来计算的。
理论力学经典课件-第九章拉格朗日方程
9-2-2
拉氏方程基本形式
d T T = FQ j dt qj qj
故
j = 1,2,...k
为拉式第二类方程基本形式，以t为自变量， qj
为未知函数的二阶常微分方程组，2k个积分常量，
需2k个初始条件 q j 0 ,q j 0 。 关于 FQ 的计算
j
由 WF j FQ q j (见下述例题中) j (仅δqi≠0时，计算所有主动力虚功)
第九章 拉格朗日方程
9-2-1 两个经典微分关系
n个质点，s个完整约束，k＝3n－s，
ri = ri q1 ,q2 ,...qk ,t ( i 1,2,...,n ) ri ri 1) “同时消点” qj qj
证明: 因 ri ri (t , q1 , , qk ), 对时间t求导数， 得
第九章 拉格朗日方程
运用矢量力学分析约束动力系统，未知约束力多， 方程数目多，求解烦琐。能否建立不含未知约束力 的动力学方程？ 将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立动
力虚功方程，广义坐标化，能量化，化为拉氏第二
类方程，实现用最少数目方程，描述动力系统。
9-1 动力学普遍方程
9-1-1 方程的建立 9-1-2 典型问题
9-1-1 方程的建立
1. 一般形式
n个质点。对 m有 i
Fi FNi mi ai 0 则有 i 1, 2n
给 ri
i 1,2,...,n ,则有
Fi FNi m ai ri 0
而双面理想约束 故有
i Ii
F
i
Ni
ri 0
(9-1)
ri ri qj j 1 q j
第九讲(1) 机器人动力学 拉格朗日方程
qk I a p q p q j qk
2Ti TiT Trace Hi q q q p i p j 1 k 1 j k Ti mi g ri q p i p
n T
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
牛顿—欧拉方程实例
例2：如图所示为两杆平面机器人，为 了简单起见，我们假设每个杆件的质量集 中于杆件的前尾部，其大小为m1和m2。 解：每个杆件的质量中心 矢量为：
ˆ ˆ Pc1 l1 X1, Pc 2 l2 X 2
由于点质量假设， 每个杆件相对质心的惯 性张量为零，即：
I c1 0, I c 2 0
山东大学机械工程学院机电工程研究所2010/09/02
4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
系统拉格朗日方程为：
d L L Qi dt qi qi
i 1, 2,...n
式中： n
qi q i ——第i个广义速度
——系统的广义坐标数 ——第i个广义坐标
4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
• 2、求系统动能
T i i T Ti 1 i Ek Eki Trace Hi q j qk 2 i 1 j 1 k 1 q j i 1 qk n n
Ti TiT 1 n i i Trace Hi q 2 i 1 j 1 k 1 qk j
4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介 作用在关节上的广义力为：
T j T j T Qi Trace Hj qk I ai qi q qi j i k 1 k
n j
2T j T j T Trace Hj qk qm q q qi j i k 1 m 1 k m
理论力学经典课件-第九章拉格朗日方程
刚体的拉格朗日方程分析
总结词
刚体是一个理想化的物体，其形状和大小在 运动过程中保持不变。刚体的拉格朗日方程 可以用来描述刚体的运动规律。
详细描述
对于刚体，其拉格朗日函数 $L$ 通常由动 能 $T$ 和势能 $V$ 组成，即 $L = T - V$
。刚体的拉格朗日方程可以表示为 $frac{d}{dt}left(frac{partial T}{partial dot{q}}right) - frac{partial T}{partial q} = 0$，其中 $q$ 和 $dot{q}$ 分别是刚体的 广义坐标和速度。这个方程描述了刚体在受
哈密顿正则方程法
总结词
利用哈密顿原理和正则方程，求解系统的运动轨迹。
详细描述
哈密顿正则方程法是求解拉格朗日方程的一种常用方法。它基于哈密顿原理和正则方程，通过构建系统的哈密顿 函数，得到系统的正则方程，进而求解系统的运动轨迹。这种方法在处理多自由度系统、约束系统和非完整系统 时具有优势。
有限元方法
到外力作用下的运动规律。
相对论性粒子的拉格朗日方程分析
要点一
总结词
要点二
详细描述
相对论性粒子是指具有相对论效应的粒子，其拉格朗日方 程需要考虑相对论效应的影响。
相对论性粒子的拉格朗日方程需要考虑粒子的质量和能量 之间的关系，通常表示为 $frac{d}{dt}left(frac{partial L}{partial dot{q}}right) - frac{partial L}{partial q} = 0$ ，其中 $L$ 是相对论性粒子的拉格朗日函数。这个方程描 述了相对论性粒子在受到外力作用下的运动规律，需要考 虑相对论效应的影响。
在理论力学中，有限元方法可用于求解各种复杂的动力学问题和静态问题。
动力学-拉格朗日方程
n
n
n
(Fix miaix )xi (Fiy miaiy )yi (Fiz miaiz )zi 0
i 1
i 1
i 1
9
FIr
FI
FIe
MI
mg s
x
例：图示系统：地面光滑， 圆柱(半径为 r )作纯滚动，
求圆柱的角加速度 和滑块
的加速度 a。
Mg
解 ：(1) 分析运动，并确定惯性力
应用虚位移原理：
若质点系所受的 约束为理想约束
n
FNi • ri 0
i 1
动力学普遍方程
n
W (Fi FNi FIi ) • ri 0 i 1
n
n
(Fi FIi ) •ri FNi •ri 0
i 1
i 1
n
(Fi FIi ) • ri 0 其中：FIi miai
i 1
yA 2Lsin xB 2l cos
aA yA 2L sin 2L cos2
xB 2l sin 2l cos2 aB
aCn l2 aCt l
FInC mC aCn , FItC mC aCt
M IC JC , M IO JO
mA mB m1, mC m,
11
rA
A
rCC
A
T M
135
M
mg
B
C
D
mg
mg
3
A
T M
mg
sB B
135
C
mg sc
M
D
mg
利用虚位移原理：取虚位移
由投影定理： sB 0
虚位移原理，虚功之和为零：
sc
L
拉格朗日方程和虚功原理
拉格朗日方程（Lagrange's equations）和虚功原理（Principle of Virtual Work）都是理论力学中常用的分析方法，用于描述物体的运动和力学系统的行为。
拉格朗日方程是描述质点或物体在广义坐标下的运动的方程。
它是源自哈密顿原理（Hamilton's principle），通过定义一个称为拉格朗日量（Lagrangian）的函数来推导得到。
拉格朗日量是系统动能与势能的差，其定义为L = T - V，其中T 是动能，V 是势能。
拉格朗日方程可以统一描述多自由度系统中质点或刚体的运动，通过求解其中的偏微分方程可以得到物体的运动方程。
虚功原理是一个广义的力学原理，用于分析力学系统中的约束。
它通过平衡约束力和虚位移所作的虚功为零来得到系统的运动方程。
虚功原理要求系统在一组虚位移下保持等势，即满足约束条件。
通过应用虚功原理，可以推导出与拉格朗日方程等价的运动方程。
虚功原理和拉格朗日方程都是建立在能量守恒原理的基础上，它们提供了一种简洁而深入的方法来描述物体的运动和约束行为。
它们在理论力学、动力学、弹性力学等领域具有重要的应用价值。
拉格朗日方程（Lagrange's equations）给出了描述力学系统中物体运动的一阶微分方程。
在一般的情况下，拉格朗日方程可以表示为：d/dt (∂L/∂ᶲ̇ᵢ) - ∂L/∂ᶲᵢ = Qᵢ其中，L 是系统的拉格朗日量，ᶲ是广义坐标（generalized coordinates），ᶲ̇是对应的广义速度（generalized velocities），Qᵢ是外力对应的广义力（generalized forces）。
在使用拉格朗日方程求解力学系统时，我们首先选择适当的广义坐标，构建系统的拉格朗日量。
然后，对拉格朗日量分别对广义速度和广义坐标求偏导，并对时间求导，得到上述方程中的项。
最后，根据外力对应的广义力，求解该方程可以得到系统的运动方程。
拉格朗日方程
方 程
T
1 2
m1 x 2
1 2
(1 2
m1R2 ) 2
1 2
m2 (x
R )2
系统的广义力为
Qx
W (x) x
(m1
m2 )gx k(x L0 )x x
(m1 m2 )g k(x L0 )
Q
W ( )
m2 gR
g
MI
PI
a
QI
Q
MI
PI
P
P
程
s
一、拉格朗日方程
设有n个知点组成的知点系，受完整的理想约束，具有N个自由度，其 位置
可由N个广义坐标 1.2
来确定。则有
拉 格
d ( T ) dt qk
T qk
Qk
(k 1,2,, N )
朗 日
式中
T
程。
1.2
k
x2
拉 格 朗
解：以系统为研究对象，系统具两个
自由度。选取 、 为广义坐标。
x1
x2
系统的动能为
x1 A
kR
B
日 方
T
1 2
m1x12
1 2
m2 x22
1 2
(1 2
m2
R
2
)(
x2 R
)2
1 2
m1x12
3 4
m2 x22
系统的广义力为
程
Qx1
W (1) x1
T
3 4
结构动力学拉格朗日方程
二、拉格朗日方程及其应用虽然可以直接用牛顿第二定律或达朗贝尔原理建立多自由度系统的运动微分方程，但是在许多情况下应用拉格朗日方程法更为方便。
这里用最简单的方式推导拉格朗日方程，以便更好地理解这个被广泛应用的方程的意义。
我们知道，对于一能量守恒的系统，系统的动能和势能的总和是不变的，因此，它们的总和对时间的导数等于零，即：式中：是系统的动能，它是系统广义速度的函数；是系统的势能，它是系统广义坐标的函数。
下面将说明，这两者分别可以用广义坐标和广义速度的二次型表示。
单自由度系统的动能和势能公式如下：这个结论可以推广到多自由度系统。
如下图4-6，使系统各质点产生位移，则在处的力为（a）设系统有个力作用，则系统总势能为：（b）把公式（a）代入（b）中，得：（c）若用矩阵符号，上式可写成：若把改为更一般的广义坐标符号，上式变为：（d）上式就是用广义坐标和刚度矩阵的二次型表示的系统势能表达式。
若以表示质量的速度，可以仿照单自由度系统动能的方法表示多自由度系统的动能：或写成矩阵形式：我们假设系统的动能只与广义速度有关而与广义坐标无关，对微振动这是成立的。
下面来推导拉格朗日方程。
为此，对进行全微分：（e）将对求导，有：将上式乘以并对从到求和，有：（f）比较（a）,（f）两式可知：（g）对（g）进行一次微分，得（h）（h），（e）两式相减可得：根据守恒系统的原理,有（i）因为个广义坐标是独立的，不可能都等于零，因此要上式成立必须使（j）当系统还作用有除有势力之外的附加力时, 外力在上所作的功将是令，则可得：（4-8）式中是除有势力之外的所有外力，其中包括阻尼力，阻尼力可表示为：（4-9）。
物理学中的拉格朗日方程
物理学中的拉格朗日方程：理论的优美和实践的应用拉格朗日方程（Lagrange's equation）是物理学中一种重要的数学工具和思维模型，以其优美的形式和兼具理论和实践特性的普适性被广泛应用于众多领域，尤其是研究动力学、力学、相对论等方面。
本文将探讨拉格朗日方程的概念、原理、应用和意义，从理论和实践两个角度考察其的普适性与现实意义。
一、拉格朗日方程的概念与原理拉格朗日方程的概念最初由18世纪意大利数学家拉格朗日（Lagrangian）提出，用来描述系统在不同时间下的状态和运动。
它是一种基于哈密顿原理和变分法的数学表达式，通过用一组广义坐标表示系统的状态和动力学能量，建立了由广义坐标和其导数和得出的拉格朗日量与广义坐标和其导数的偏导进行微分运算，从而推得该系统的运动方程。
其中拉格朗日量是用来描述系统的状态和运动的重要参数，同时也是哈密顿量（传统力学领域的主要参数之一）的一个函数。
拉格朗日方程的应用基于动力学的基本原理和力学的两个基本定理：牛顿第二定律和能量守恒定律。
根据牛顿第二定律F=ma，可将系统中的受力作用表示为关于加速度、质量和力的积，再通过逐步推导，得出与使用牛顿第二定律相同的运动方程。
另一方面，能量守恒定律表明一个系统的总能量（包括动能和势能）在运动中保持不变，因此可以通过拉格朗日量的表达式，建立出系统的能量守恒方程。
二、拉格朗日方程的应用和意义拉格朗日方程作为动力学和力学的重要数学工具和思维模型，被广泛应用于相对论、天体力学、流体力学、电动力学等许多物理学领域。
其中，最为广泛应用的是新的相对论动力学，它通过拉格朗日方程描述质点或场在时空中的运动和相互作用，推导出等效于牛顿经典力学的运动方程。
同时，拉格朗日方程以其优美的形式和适用性，也很好地体现了物理学的本质和思想。
正如法国科学家朗之万所说“我们可以同样完全否认哈密顿的表达式，因为它并不是物理本质的表达方式。
拉格朗日的表达式，则是优美的物理思想。
拉格朗日方程
对i求和并移项得
∂ri d ∂ 1 ∂ 1 2 2 mi v i • = ∑[ ( mi vi ) − ( mi vi )] ∑ • ∂qs dt ∂ q 2 ∂qs 2 i i s
•
引入系统动能
T =
∑
i
1 2 m i vi 2
s = 1, 2, • • •, n
dvi ∂ri Qs − ∑ mi • =0 dt ∂qs i
若全部主动力均为有势力,设势能函数为 V(xi,yi,zi),则有
∂V ∂V ∂V ∂V = −( Fi = − i+ j+ k) ∂ri ∂xi ∂ yi ∂zi
∂ri Qs = ∑ Fi • ∂qs i =1
N
s=1,2, …,n 上式即为主动力有势时的广义力表达式。
∂V ∂ri • = −∑ ∂qs i =1 ∂r i
ri = ri(q1, q2, …, qn,t)
i=1,2, … ,N
于是用广义坐标的独立变分表示的虚位移为
δ ri =
∑
s =1
n
∂ ri δqs ∂qs
i
i=1,2, …,N
δW = ∑ Fi • δri
n N ∂ri ∂ri δW = ∑ Fi • ( ∑ δqs ) = ∑ ( ∑ Fi • )δqs ∂qs i =1 s =1 ∂qs s =1 i =1
m φ1 φ2
m
ϕ1 + ϕ 2 2 mr 2 • 2 • 2 cr 2 L= (ϕ1 + ϕ 2 ) − (1 − 2 cos ) 2 2 2
mr 2 • 2 • 2 cr 2 ϕ1 + ϕ 2 2 L= (ϕ1 + ϕ 2 ) − (1 − 2 cos ) 2 2 2
理论力学-拉格朗日方程
涨落力广泛应用于统计物理、凝聚态物理、材料科学等领域。
多体动力学问题的求解
拉格朗日方程也可以应用于多体动力学问题，下面将展示拉格朗日方程求解多体系统运动规律的实例。
数学表述
多体系统问题可以表示为n个质 点组成的整体。设第i个质点的 坐标为ri，速度为vi，将其表示 为广义坐标和广义速度，得到n 个广义坐标和广义速度的描述 向量Q。
应用
广泛应用于天体物理学、量 子力学、粒子物理学等领域。
数学表达
拉格朗日方程的核心在于始终作用量原理。通过最小作用量原理，我们可以得到物理系统的拉格朗日方程。
协变性
拉格朗日力学描述物体运动规律 不随坐标系的选择而改变。
数学形式
实验验证
拉格朗日方程为求解动力学问题 提供了一种非常便捷的数学语言。
大量实验结果证明拉格朗日方程 可以准确描述物体的运动规律。
优点
相比于牛顿运动定律，拉格朗日方程更加简明、严谨。
应用领域
涉及众多领域，如物理、数学、历史等。
研究意义
对拉格朗日方程深入理解有助于人们掌握某些方面的物理知识，提高人们的综合分析和问题 解决能力。
公式推导
拉格朗日力学与哈密顿力学是两种常用的力学描述方式。接下来，我们将比较两种描述方式，并展示拉 格朗日方程的具体公式表达。
1
拉格朗日力学
将物理问题转化为描述系统能量的拉格朗日函数，通过一组广义坐标和广义速度来表示 系统的状态。
2
哈密顿力学
基于哈密顿量，通过广义坐标和广义动量表示系统状态。哈密顿量表示粒子对系统全能 量的贡献。
公式推导
通过哈密顿原理或变分原理， 推导出Lagrangian和Lagrange's equations of motion，这样就可 以写下多体系统的Lagrangian方 程。
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V1 m1 gl1 sin 1
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
质量m2的位置表示为： 速度分量为：
x2 l1 cos1 l2 cos(1 2 ) y2 l1 sin 1 l2 sin(1 2 )
L Ek E p
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
例3：对例2所示两杆平面机器人用拉格朗日方 法建立动力学方程。 解： 1、动能和势能 连杆1的动能为： 1 T1 m1 (l1 1 ) 2 设Y0=0为零势面，则连杆1的 势能为：
l sin ( )( ) 2 l1sin1 x 1 2 1 2 1 2 l cos( )( ) l cos y
2 1 1 1 2 1 2 1 2
则质量M2的速度平方为：
1 1 1 2
2 2 2 l sin ( )( )） 2 2 x y （l1sin1 1 2 1 2 1 2 2 l cos( )( )） （l cos 1 2 1 2
d L 2 m l 2 m l l cos m l l sin m l 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 2 dt 2
广义坐标为 1和 2 对应的广义外力为作 用于的关节上的驱动力距 1和 2 。
d L L Qi dt qi qi
i 1, 2,...n
式中： n
Qi ——作用在第i个广义坐标上的广义
力或广义力矩 L—系统的动能 Ek 和位能 E p之差，称为拉格朗日 函数，即：
qi i ——第i个广义速度 q
——系统的广义坐标数 ——第i个广义坐标
i T dr i j ri vi q dt q j 1 j
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介 求出速度的平方：
v2 v v
T Trace v v
i T i Trace qj q j j 1
n 1 n I a i qi2 mi g T Ti ri 2 i 1 i 1
q q j k
L Ek E p
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
5、代入拉格朗日方程
d L dt qi
n i Ti L TiT Trace Hi q p qi i p k 1 qk n i i
比较例2与例3可知，用牛顿-欧拉法与拉格朗 日法得到的结果是相同的。
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介 步骤总结： 1、机械臂上一点速度 设杆件i上一点ri，它在基坐标系中的位 置为：
r Ti ri
其中，Ti是{i}坐标系相对基础坐标系的齐次变 换矩阵。 那么，该点的速度为：
d L 2 2 [m l 2 m l l cos ] [( m m ) l m l 2 m l l cos ] 1 2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 dt 1 m l l sin 2 2m l l sin
2 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
L ( ) m gl cos( ) m2 gl1l2 sin 2 1 1 2 2 2 1 2 2 L 2 ) m l l cos m l ( 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
2、拉格朗日函数
L T1 V1 T2 V2 1 1 2 2 2 ) 2 m l l cos ( 2 (m1 m2 )l1 1 m2l2 (1 2 2 1 2 2 1 1 2) 2 2 (m1 m2 ) gl1 sin 1 m2 gl2 sin(1 2 )
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牛顿—欧拉方程实例
整理得：
[m l 2 m l l cos ] 1 [( m1 m2 )l12 m2l22 2m2l1l2 cos 2 ] 1 2 2 2 1 2 2 2 m l l sin 2 2m2l1l2 sin 2 1 2 2 1 2 2 2 m2 gl2 cos(1 2 ) （m1 m2）gl1 cos1
3、动力学方程
L 2 2 ) m l l cos (2 ) ( m m ) l m l ( 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 1 L (m1 m2 ) gl1 cos1 m2 gl2 cos(1 2 ) 1
, ) 是离心力、科 称 M ()为惯量阵， V ( G() 为重力部分。 氏力等相关部分， , ) 中仅有速度和位形，上 因为 V ( 述方程也称状态空间方程。 特点： 多变量、时变、非线性、强耦合。
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
2 m l 2 m l l sin 2 2 （m2l2 m l l cos ） 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 2 2 1 m2 gl2 cos(1 2 )
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d L L 1 dt 1 1 d L L 2 dt 2 2
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
代入：
[m l 2 m l l cos ] 1 [( m1 m2 )l12 m2l22 2m2l1l2 cos 2 ] 1 2 2 212 2 2 2m l l sin m l l sin 2
q Ia p qp k q q j k
2Ti TiT Trace Hi q p i p j 1 k 1 q j qk Ti mi g ri q p i p
n T
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2 l 2 ( 2 2 2 2 l12 1 2 1 1 2 2 ) 2l1l 2 cos( 1 1 2)
所以，M2动能为：
T2
势能为： V2 m2 gl1 sin 1 m2 gl2 sin(1 2 )
1 2 l 2 ( 2 2 2 ) 2l l cos ( 2 m2 [l12 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 1 2 )] 2
4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
• 2、求系统动能
T i i Ti Ti 1 Ek Eki Trace Hi q j qk 2 i 1 q i 1 qk j 1 k 1 j n n
Ti TiT 1 n i i Trace Hi 2 i 1 j 1 k 1 qk q j
牛顿—欧拉方程实例
例2：如图所示为两杆平面机器人，为 了简单起见，我们假设每个杆件的质量集 中于杆件的前尾部，其大小为m1和m2。 解：每个杆件的质量中心 矢量为：
ˆ , P l X ˆ Pc1 l1 X 1 c2 2 2
由于点质量假设， 每个杆件相对质心的惯 性张量为零，即：
I c1 0, I c 2 0
牛顿—欧拉方程实例
惯性力
惯性力矩
2杆件：
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牛顿—欧拉方程实例
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牛顿—欧拉方程实例
向后递推： 2杆件：
1杆件：
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牛顿—欧拉方程实例
取力矩的Z分量，得到关节力矩：
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牛顿—欧拉方程实例
末端执行器上无作用力，所以： 基座静止，因此： 0 0 0 0, 考虑到引力，我们使用：
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牛顿—欧拉方程实例
应用递推公式有： 向前：1杆件：
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qq j k
3、求系统位能
EP E p i mi gT Ti ri
i 1 i 1 n n
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介
4、计算拉格朗日函数
L Ekt E p Ti TiT 1 n i i Trace Hi 2 i 1 j 1 k 1 qk q j
拉格朗日方程是基于能量项（动能 T、势能V）对系统变量及时间的微分 而建立的。 对于简单系统拉格朗日方程法相较 于牛顿—欧拉方程法更显复杂，然而随 着系统复杂程度的增加，拉格朗日方程 法建立系统运动微分方程变得相对简单。
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4.3 机器人拉格朗日动力学方程简介 系统拉格朗日方程为：
212 2 1 2 212 2 2