数学竞赛辅导讲义——圆幂与根轴

数学竞赛辅导讲义——圆幂与根轴

一、圆幂的定义：

在平面上，从点P 作半径为r 的圆O 的割线，从P 起到和该圆周相交为止的两线段之积是一个定值，称为点P 对于此圆周的圆幂.

圆幂定理：

（1）当P 在圆O 外时，点P 对于此圆的幂等于22OP r -； （2）当P 在圆O 内时，点P 对于此圆的幂等于22r OP -；

（3）当P 在圆O 上时，规定：点P 对于此圆的幂等于0.

二、根轴及其性质 1.根轴的定义：

对于两个已知圆的圆幂相等的点的轨迹是一条直线，该直线称为这两圆的根轴.

2.根轴的性质：

（1）若两圆1O 与2O 相离（半径分别为1r ，2r 且12r r ≤），点M 为12O O 的中点，点H 在

线段1O M 上，且2221122r r MH O O -=，则此两圆的根轴是过点H 且垂直于12O O 的直线.特别

地，当两圆相离且半径相等时，它们的根轴是线段12O O 的中垂线.

（2）若两个圆是同心圆，则这两个圆不存在根轴.

（3）若两个圆相交，则它们的公共弦所在的直线就是它们的根轴.

（4）若两圆相切，则过两圆切点的公切线是它们的根轴.

（5）若三个圆的圆心互不相同，则任意两个圆的根轴共三条直线，它们相交于一点或互相平行.

（6）若两圆相离，则两圆的四条公切线的中点共线（都在根轴上）. 思考：能否从解析几何的角度看根轴？

三、例题

例1 如图，设I 和O 分别是ABC ∆的内心和外心，r 和R 分别是ABC ∆的内切圆和

外接圆的半径，过I 作ABC ∆的外接圆的弦AK . 求证：（1）IK BK =；

（2）2AI IK Rr ⋅=； （3）222OI R Rr =-.（欧拉公式）

例2 如图，设圆1O 与圆2O 相离，引它们的一条外公切线切圆1O 于A ，切圆2O 于B ，

又引它们的一条内公切线切圆1O 于C ，切圆2O 于D ，

求证：（1）AC BD ⊥；（2）直线12O O 是分别以AB ，CD 为直径的圆3O ，4O 的根轴；（3）直线AC 和BD 的交点K 在两圆的连心线12O O 上 .

例1

K

例3（1997年全国联赛）已知两个半径不相等的1O 与2O 相交于M ，N 两点，

且1O ，2O 分别与O 内切于S ，T 两点，S ，N ，T

三点共线，求证：OM MN ⊥.

四、练习题

1.点D ，E 为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，分别以BE ，CD 为直径的圆1O 与2O 交于点M ，N .求证：ABC ∆的垂心H 在直线MN 上.

1.

C

例3

2. （第36届IMO ）设A 、B 、C 、D 是一条直线上依次排列的四个不同的点，分别

以AC ，BD 为直径的圆1O ，2O 交于点X ，Y ，

直线XY 交BC 于点Z .若P 为直线XY 上异于Z 的一点，直线CP 与交圆1O 于点C 及M ，直线BP 与交圆2O 于点B 及N . 求证：

（1）B ，M ，N ，C 四点共圆； （2）A ，M ，N ，D 四点共圆； （3）AM ，DN ，XY 共点.

3. （第40届IMO 国家队选拔题）凸四边形ABCD 的四边满足AB AD CB CD +=+，圆O 分别与凸四边形ABCD 的AB ，BC 两边相切于G ，H 两点，与对角线AC 相交于E ，F 两点.求证：存在另一个过E ，F 两点，且分别与DA ，DC 的延长线相切的圆'O .

2.

3.

B

D