数学竞赛辅导讲义——圆幂与根轴

高中数学竞赛解题策略-几何分册第13章根轴

竞赛第13章根轴定义从一点P 作一圆周的任一割线PAB ，从点P 起到和圆周相交为止的两线段之积PA PB ⋅，称为点P 对于这个圆周的幂①．由相交弦定理及割线定理，知点P 的幂是定值．若点P 在圆内，则点A 的幂等于以该点为中点的弦半弦长的平方；若点P 在圆外，则点P 的幂等于从该点所引圆周的切线长的平方；若点P 在圆周上，则点P 的幂等于0．由定义，关于圆周的幂有下列结论．结论1 点P 对于以O 为圆心、以R 为半径的圆周的幂，等于OP 及半径R 的关系式22OP R -．结论2 对于两已知圆有等幂的点的轨迹，是一条过连心线上一定点且垂直连心线的直线．事实上，设点P 到圆1O 和圆2O 的幂相等，圆1O ，圆2O 的半径分别为1R ，2R （12R R >），则22221122PO R PO R -=-，即22221212PO PO R R -=-=常数如图13-1，设12O O 的中点为D ，12PM O O ⊥于点M ，则2221112PO PD O D O D DM =++⋅2222222PO PD DO DO DM =+-⋅O 1O 2PD M图13-1易得2212122R RDM O O -==常数所以，过定点M 的垂线即是两圆等幂点的轨迹．这条直线称为两圆的根轴或等幂轴．特别地，若两圆同心，则120O O =．从而，同心圆的根轴不存在；若20R =，圆2O 变成一点2O ，则点A 对于圆2O 的幂是22AO ．此时，直线（轨迹）称为一圆与一定点的根轴．根轴有下面的性质．性质1 若两圆相交，其根轴就是公共弦所在的直线．性质2 若两圆相切，其根轴就是过两圆切点的公切线．性质3 三个圆，其两两的根轴或相交于一点，或互相平行．事实上，若三条根轴中有两条相交，则这一交点对于三个圆的幂均相等，所以必在第三条根轴上，这一点，称为三个圆的根心．显然，当三个圆的圆心的一条直线上时，三条根轴互相平行．当三个圆的圆心不共线时，根心存在．性质4 若两圆相离，则两圆相离，则两圆的四套公切线的中点在根轴上．性质5 一点P 对于不同心两圆11()O r ⊙、22()O r ⊙的幂为1t ，2t ，l 是这两圆的等幂轴，PA l ⊥于A ，则12122t t AP O O -=⋅．即一点对于不同心两圆的幂之差等于等幂轴到该点的距离乘以圆心距之积的2倍．①沈文君. 根轴的性质及应用[J]. 中等数学，2004（1）：6-10.图13-2lf 2f 1ABQ PO 1O 2r 2r 1证明设12l O O ⊥于Q ，作12PB O O ⊥于B ，便得2222121122()()t t PO r PO r -=---222222221212112112()()()BO BO r r BO O O BO QO QO =---=----22121121212121121121122()()2[()]O O BO O O QO QO QO QO O O BO O O QO O O QO O O =⋅---+=⋅----⋅ 21211212112121121122(2)(22)O O BO O O O O QO O O O O BO O O QO O O =⋅--⋅-=--+121222O O BQ AP O O =⋅=⋅推论若两圆不同心，则其中一个圆的任何点对于另一圆的幂的绝对值，必等于该点到等幂轴的距离乘以圆心距之积的2倍．即若P 点在2O ⊙上，则20P =，此时1122t AP O O =⋅．下面给出运用上述性质解题的例子．例1 （IMO50预选题）已知ABC △的内切圆分别与边AB ，AC 切于点Z ，Y ，BY 与CZ 交于点G ，点R ，S 满足四边形BCYR 和四边形BCSZ 式平行四边形．证明：GR GS =．证明如图13-3，设ABC △的内切圆和A ∠内的旁切圆分别为圆Γ和圆a Γ，圆Γ和圆a Γ与边BC 分别切于点X ，T ，圆a Γ与直线AB ，AC 分别切于点P ，Q ．由BX CT =，得ZP ZB BP XB BT BX CX ZS =+=+=+=，CQ CT BX BZ CZ ====．因此，对于点Z ，C ，它们到点S 的距离等于它们向圆a Γ所引的切线段的长．从而，ZC 是点圆S 和圆a Γ的根轴．Γ图13-3G ABCI aPXS YZ RT同理，BY 是点圆R 和圆a Γ的根轴．于是，ZC 与BY 的交点G 为圆S ，圆R ，圆a Γ的根心．所以GR GS =．例2 （2007年第45届越南数学奥林匹克题）已知下底边为BC （即BC AD ∥，且BC AD >）的梯形ABCD 内接于O ⊙．P 是在直线BC 上移动的点，且使得PA 不与O ⊙相切．以PD 为直径的圆交O ⊙于点()E E D ≠，记BC 与DE 交于点M ，N 是PA 与O ⊙的交点（N A ≠）．求证：直线MN 通过一定点．证明如图13-4，记A 关于O 的对称点为A '．A 'OPNA BC DEF M Γ1Γ2图13-4下面证明：N 、M 、A '三点共线，也就是直线MN 通过定点A '．记以PD 为直径的圆为1Γ，以PA '为直径的圆为2Γ，注意到90PNA '∠=︒，则直线DE 、NA '分别为O ⊙与1Γ，2Γ的根轴．记以PD 为直径的圆为1Γ，以PA '为直径的圆为2Γ，注意到90PNA '∠=︒，则之心啊DE 、NA '分别为O ⊙与1Γ，2Γ的根轴．记DA '与直线BC 交于点F ，由90ADA '∠-︒，知90PFA '∠=︒，而90PNA '∠=︒，于是，知点F 在圆2Γ上，从而，直线BC 是1Γ、2Γ的根轴．由根心定理，知三个圆O ⊙、1Γ、2Γ的根轴DE 、BC 、NA '交于点M ．因此，M 、N 、A '三点共线．例3（2009年美国数学奥林匹克题）如图13-5，设圆1ω和2ω交与点X 、Y ．过1ω的圆心的直线1l 交圆2ω于点P 、Q ，过2ω的圆心的直线2l 交1ω于点R 、S ．证明：若P 、Q 、R 、S 四点共圆，则该圆的圆心在直线XY 上．PQ图13-5XYH R SOωω2ω1O 2O 1证明设1O 、2O 分别为圆1ω、2ω的圆心，联结12O O ，过1O 作RS 的垂线3l ，过2O 作PQ 的垂线4l ，设3l 与4l 交于点O ．记过P 、Q 、R 、S 的圆为ω，则O 为ω的圆心．注意到PQ 、RS 、XY 分别为圆ω与2ω，圆ω与1ω，圆1ω与2ω的根轴．于是，直线PQ 、RS 、XY 共点，设为H （当PQ 、RS 、XY 两两平行时，视H 为无穷远点）．由1O O PS ⊥知12O O O H ⊥．同理，21O O O H ⊥．于是，知O 为12O O H △的垂心（当H 为无穷远点时，O 在12O O 所在直线上）．因此，12OH O O ⊥．又H 为XY 上一点，而12XY O O ⊥．故O 在直线XY 上．例4（2006年第19届韩国数学奥林匹克题）在ABC △中，B C ∠≠∠，ABC △的内切圆I ⊙与BC ，CA ，AB 的切点分别为D ，E ，F ．记AD 与I ⊙的不同于点D 的交点为P ，过点P 作AD 的垂线交EF 于点Q ，X ，Y 分别是AQ 与直线DE ，DF 的交点．求证：A 是线段XY 的中点．证明如图13-6．ω2ω1IV Y U (Q )'Q P ABCDE FX图13-6记过点A 且平行于BC 的直线与过点P 且垂直AD 的直线交点为Q '，直线DI 与AQ '的交点为U ，直线PQ '与I ⊙的交点为()V V P ≠．由90VPD ∠=︒，知D ，I ，V ，U 共线．由90BDI ∠=︒，知90AUI ∠=︒．又90AFI AEI ∠=∠=︒，知A ，U ，F ，I ，E 五点共圆．记此圆为1ω．由90APV AUV ∠=︒=∠，知A ，U ，V ，P 四点共圆，记此圆为2ω．由根轴性质3，知I ⊙，圆1ω，圆2ω两两相交的根轴EF ，PV ，AU 交于点Q '，而之间EF 与PV 相交于Q ，从而Q 与Q '重合．于是，由AXE CDE △∽△，有1AX CDAE CE==，即知AX AE =．由AYF BDF △∽△，有1AY BDAF BF==，即知AY AF =．注意懂啊AE AF =，故AX AY =，即A 是线段XY 的中点．例5（2007年第45届越南数学奥林匹克题）已知下底边为BC （即BC AD ∥，且B C A D >）的题型ABCD内接于O ⊙．P 是在直线BC 上移动的点，且使得PA 不与O ⊙相似．以PD 为直径的圆交O ⊙于点()E E D ≠，记BC 与DE 交于点M ，N 是PA 与O ⊙的交点（N A ≠）．求证：直线MN 通过一定点．证明如图13-7，记A 关于O 对称的点为A '．B图13-7下面证明：N 、M 、A '三点共线，也就是直线MN 通过顶点A '．注意到直线DE 是O ⊙和以PD 为直径的圆（记为圆1Γ）的根轴，由于90PNA '∠=︒，因此直线NA '是O ⊙和以PA '为直径的圆（记为圆2Γ）的根轴．记DA '与直线BC 交于点F ，由90ADA '∠=︒，得90PFA '∠=︒，而90PNA '∠=︒，于是，知点F 在圆1Γ上，从而，直线BC 是圆1Γ和2Γ的根轴．由根轴定理，知三个圆O ⊙，1Γ，2Γ的根轴DE ，BC ，NA '交于根心M ．因此，M 、N 、A '三点共线．例6（2009土耳其国家队选拔赛题）以O 为圆心，r 为半径的圆为四边形ABCD 的内切圆．设P ，Q 分别为AB 与CD 、AD 与BC 的交点，E 为对角线AC 与BD 的交点．证明：2OE d r ⋅=，其中d 为点O 到直线PQ 的距离．证明如图13-8，设K ，L ，M ，N 分别为四边形ABCD 与内切圆相切的切点，且分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上．A 图13-8过O 作OS QP ⊥于S ，则E 在OS 上．一方面，由牛顿定理，知KM 与LN 的交点和对角线AC 与BD 的交点重合，即KM 与NL 的交点为E ．另一方面，O ，K ，P ，M 和O ，L ，Q ，N 分别四点共圆，S 为这两个圆的另一交点，因此，直线OS ，KM ，LN 分别为这两个圆和四边形ABCD 内切圆的根轴，从而由根轴定理，E 为其根心．故222222()+OE d OE OS OE OE ES OE OE ES OE LE EN OE r OE r ⋅=⋅=+=⋅=+⋅=--=．例7（2003年第29解俄罗斯数学奥林匹克题）如图13-9，在锐角APD △的边AP 和PD 上各取一点B 和C ，四边形ABCD 的两条对角线相于点Q ．APD △和BPC △的垂心分别为1H ，2H ．证明：如果直线12H H 经过ABQ △和CDQ △的外接圆的交点X ，那么它必定经过BQC △和AQD △的外接圆的交点(,)Y X Q Y Q ≠≠．B 1ω1C 1D 1H 2H 1QPN ABCDMY X图13-9证明分别以对角AC 、BD 为直径作圆1ω和圆2ω．设1BB ，1CC ，1AA 、1DD 分别是BPC △和APD △的高，其中1A ，1C 在圆1ω上，点1B 、1D 在圆2ω上．于是，A 、D 、1A 、1D 四点共圆．从而111111H A H A H D H D ⋅=⋅，即点1H 位于圆1ω和圆2ω的根轴上．同理，点2H 也位于圆1ω和圆2ω的根轴上．于是，该根轴就是直线12H H取对角线AC 、BD 的中点分别为M 、N ，则M 、N 分别为圆1w 、圆2w 的圆心．根据题设，点X 位于圆1ω和圆2ω的根轴上，所以2222XM CM XN DN -=-．（*）注意到同弧上的圆周角相等，有XAQ XBQ ∠=∠，XCQ XDQ ∠=∠．所以，XAC XBD △∽△．因此，（*）式中的平方差或者等于0，或者是它们的相似比的平方．若该平行差为0，有90AXC BXD ∠=∠=︒，于是AB CD ⊥，这与APD △为锐角三角形矛盾．故该平方差相似比的平方，又由XM CMk XN DN==有2222222()XM CM k XN DN XN DN -=-=-．从而有21k =，故XAC XBD △≌△，于是，知AC BD =．同样，由YAQ YDQ ∠=∠，YCQ YBQ ∠=∠，有YA C YB D △≌，亦有YM YN =．而CM DN =，则2222=YM CM YN DN --，即Y 关于圆1ω和圆2ω的幂相等．故点Y 在圆1ω和圆2ω的根轴上．练习十三1．从半圆上的一点C 向直径AB 引垂线，设垂足为D ，作圆1O 分别切BC 、CD 、DB 于点E ，F ，G ．求证：AC AG =． 2．（1992年中国台北数学奥林匹克）设I 是ABC △的内心，过I 作AI 的垂线分别交边AB ，AC 于点P ，Q ．求证：分别与AB 、AC 相切于P 、Q 的圆L 必与ABC △的外接圆圆O 相切． 3．（1972年全苏数学奥林匹克竞赛试题）凸四边形ABCD 的两条对角线交于点O ，AOB △和COD △的垂心分别为1M 和2M ，BOC △和AOD △的重心分别为1H 和2H ．证明：1212M M H H ⊥．4．在凸五边形ABCDE 中，AB BC =，90BCD EAB ∠=∠=︒，P 为形内一点，使得AP BE ⊥，CP BD ⊥．证明：BP DE ⊥． 5．（第30届俄罗斯数学奥林匹克竞赛试题）设锐角ABC △的外心为O ，BOC △的外心为T ，点M 边BC 的中点，在边AB ，AC 上分别取点D ，E ，使得ADM AEM BAC ∠=∠=∠．证明：AT DE ⊥． 6．（1995年第36届IMO 试题）设A ，B ，C ，D 是一条直线上依次排列的四个不同的点，分别以AC ，BD 为直径的圆交于X 和Y ，直线XY 交BC 于Z ．若P 为直线XY 上异于Z 的一点，直线CP 与以AC 为直径的圆交于C 及M ，直线BP 与以BD Wie 直径的圆交于B 及N ．试证：AM ，DN 和XY 共点． 7．（1998年第35届IMO 预选题）已知一圆圆O 切于两条平行线1l 和2l ；第二个圆圆1O 切1l 于A ，外切圆O 于C ；第三个圆圆2O 切2l 于B ，外切圆O 于D ，外切圆1O 于E ，AD 交BC 于Q ，求证：Q 是CDE △的外心． 8．（2004~2005年第22届伊朗数学奥林匹克题）ABC △的外接圆的圆心为O ，A '是边BC 的中点，AA '与外接圆交于点A ''，a A Q AO '⊥，点a Q 在AO 上，过点A ''的外接圆的切线与a A Q '相交于点a P ．用同样的方式，可以构造点b P 和c P ，证明：a P ，b P ，c P 三点共线． 9．（2006年第9届香港数学奥林匹克题）凸四边形ABCD 的外接圆的圆心为O ，已知AC BD ≠，AC 与BD 交于点E ，若P 为四边形ABCD 内部一点，使得90PAB PCB PBC PDC ∠+∠=∠+∠=︒．求证：O ，P ，E 三点共线． 10．（2005年第31届俄罗斯数学奥林匹克11年级题）已知非等腰锐角ABC △，1AA ，1BB 是它的两条高，又线段11A B 与平行于AB 的中位线相交于点C '，证明：经过ABC △的外心和垂心的直线与直线CC '垂直． 11．（2009年国家队集训测试题）设D ，E 分别为ABC △的边AB ，BC 上点，P 是ABC △内一点，使得PE PC =，且DEP PCA △∽△，求证：BP 是PAD △的外接圆的切线． 12．（2006年意大利国家队选拔考试题）已知圆1Γ，2Γ交于点Q ，R ，且内切圆Γ，切点分别为1A 、2A ．P 为圆Γ上的任意一点，线段1PA ，2PA 分别与圆1Γ，2Γ交于1B ，2B ，证明：（1）与圆1Γ切于点1B 的直线和与圆2Γ切于点2B 的直线平行．（2）12B B 是圆1Γ与2Γ的公切线的充要条件是P 在直线QP 上． 13．（2006年意大利国家队选拔试题）已知ABC △的垂心为H ，边AB ，BC ，CA 的中点分别为L 、M 、N ，证明：当且仅当ABC △是锐角三角形时，有222222HL HM HN AL BM CN ++<++．。

初中数学竞赛专题-第十章根轴的性质及应用

第十章根轴的性质及应用【基础知识】定义从一点A 作一圆周的任一割线,从A 起到和圆周相交为止两线段之积,称为A 点对于此圆周的幂．由相交弦定理及切割线定理,知点A 的幂是定值：若这点在圆内,则这点的幂等于以该点为中点的弦的半弦长的平方；则若这点在圆外,则这点的幂等于从这点所引圆周切线长的平方；若这点在圆周上。

则这点的幂等于0．由定义,幂由下列的结论：结论1 点A 对于以O 为圆心的圆周的幂,等于OA 及半径的平方差．结论2 对于两已知圆有等幂的点的轨迹,是一条垂直于连心线的直线．事实上,如图10-1,设点A 到O 1⊙和2O ⊙的幂相等,1O ⊙,2O ⊙的半径分别为1R 和2R （12R R >）,则22221122AO R AO R -=-,即22221212AO AO R R -=-=常数．设12O O 的中点为D ,12AM O O ⊥于M ,则2221112AO AD O D O D DM =++⋅,2222222AO AD DO DO DM =+-⋅,即221212122()2AO AO DM O D DO DM O O -=⋅+=⋅,亦即2212122R R DM O O -==常数．所以,M 点是一定点,过M 点的垂线即是两圆等幂点的轨迹．这条直线称为两圆的根轴或等幂轴．特别地,若两圆同心,则120O O =,从而同心圆的根轴不存在；若20R =,2O ⊙变成一点2O ,则A 点在2O ⊙的幂是22AO ．此时,直线（轨迹）称为一圆与一定点的根轴．根轴有如下性质：性质1 若两圆相交,其根轴就是公共弦所在的直线．由于两圆的交点对于两圆的幂都是0,所以,它们位于根轴上,而根轴是直线,所以,根轴是两交点的连线．性质2 若两圆相切,其根轴就是过两圆切点的公切线．性质3 三个圆,其两两的根轴或相交于一点,或互相平行．事实上,若三条根轴中有两条相交,则这一交点对于三个圆的幂均相等,所以必在第三条根轴上．这一点,称为三圆的根心．例如,三角形的垂心是所有过任一条高的两个端点的圆的根心．显然,当三个圆的圆心在一直线上时,三条根轴互相平行；当三个圆的圆心不共线时,根心存在．性质4 若两圆相离,则两圆的四条公切线的中点在根轴上．【典型例题与基本方法】1．注意点对圆周的幂的结论的应用例 1 如图10-2,从半圆上的一点C 向直径AB 引垂线,设垂足为D ,作1O ⊙切BC ,CD ,DB 分别于E ,F ,G ．求证：AC AG =．图 10-2证明设半圆的圆心为O ,则O ,1O ,E 共线．连1O F ,知1O F CD ⊥,得1O F AB ∥．连EF ,AE ,由111122FEO FO O EOB OEA ∠=∠=∠=∠,知E ,F ,A 三点共线．又因90ACB ∠=︒,CD AB ⊥,有ACF ABC AEC ∠=∠=∠,从而AC 是CEF ⊙的切线,故点A 对CEF ⊙的幂2AC 等于点A 对1O ⊙的幂2AG ,即有AC AG =．例2 如图10-3,设I 是ABC △的内心,过I 作AI 的垂线,分别交边AB ,AC 于P ,Q ．求证：分别于AB 及AC 相切于P 及Q 的圆L 必与ABC △的外接圆O 相切．图 10-3IQ D MP O ABC证明延长AI 交O ⊙的半径为R ,则点L 对O ⊙的幂为22R LO LA LM -=⋅,于是222()LO R LA LM R LA IM LI =-⋅=-⋅-2R LA IM LA LI =-⋅+⋅22R LA IM LP =-⋅+．由11()22MIC A C BCM C MCI ∠=∠+∠=∠+∠=∠,知12sin 22PLMI MC R A R AL==⋅∠=⋅．从而,22222()PLLO R LA R LP R PL AL=-⋅⋅+=-．由此,即知L ⊙与O ⊙相切． 2．注意根轴性质的灵活运用例3 如图10-4,设1O ⊙与2O ⊙相离,引它们的一条外公切线切1O ⊙于A ,切2O ⊙于C ,又引它们的一条内公切线切1O ⊙于B ,且2O ⊙于D ．求证：直线AB 和CD 的交点在两圆的连心线上．EA证明设直线AB 和CD 的交点为K ,直线AC 与BD 的交点为E ,连1O E ,2O E ,则1AB O E ⊥,2CD O E ⊥．由1O E 平分AEB ∠,2O E 平分CED ∠,知12O E O E ⊥,由此推知AB CD ⊥,即K 时分别以AC 和BD 为直径的两圆1Γ和2Γ的交点,从而K 在圆1Γ和圆2Γ的根轴上．连1O A ,1O B ,又由1O A AC ⊥,知1O A 是圆1Γ的切线,1O 关于圆1Γ的幂是21O A ．同理,1O B 是圆2Γ的切线,1O 关于2Γ的幂是21O B ．由于2211O A O B =,所以1O 是关于圆1Γ和2Γ的等幂点．同样,2O 是关于圆1Γ和圆2Γ的等幂点．所以12O O 是圆1Γ和2Γ的根轴．于是,K 在连心线12O O 上．例4 如图10-5,已知两个半径不相等的圆1O ⊙与2O ⊙相交于M ,N 两点,且1O ⊙,2O ⊙分别与O ⊙内切于S ,T 两点．求证：OM MN ⊥的充分必要条件是S ,N ,T 三点共线．图 10-5证明连OS ,OT ,ST ,作公切线SP ,TP 相交于P ,则得PS PT =,由此即知自P 点向1O ⊙和2O ⊙所昨切线长相等,故点P 在这两圆1O ⊙和2O ⊙的根轴上,且由2PS PN PM =⋅．连OP 交ST 于点Q ,则OP ST ⊥,且2PQ PO PS PN PM ⋅==⋅,故O ,Q ,N ,M 四点共圆．由此,即有OM MN OQ QN N ⊥⇔⊥⇔在直线ST 上S ⇔,N ,T 三点共线．例 5 如图10-6,ABC △中,O 为外心,三条高AD ,BE ,CF 相交于点H ,直线ED 和AB 交于点M ,FD 和AC 交于点N ．求证：（Ⅰ）OB DF ⊥,OC DE ⊥；（Ⅱ）OH MN ⊥．C ' B 'A '图 10-6PMF EDPTOABC证明（Ⅰ）过B 作ABC △的外接圆的切线BT ,则由A ,F ,D ,C 四点共圆,知TBA ACB BFD ∠=∠=∠有DF BT ∥,而OB BT ⊥．故OB DF ⊥．同理OC DE ⊥．（Ⅱ）取OH 的中点V ,下证V 为DEF △的外心．设A ',B ',C '分别为BC ,CA ,AB 的中点．由A ,B ,D ,E 四点共圆,有90BED BAD B ∠=∠=︒-∠．同理,90BEF BCF B ∠=∠=︒-∠．从而1802DEF BED BEF B ∠=∠+∠=︒-∠又因为A '为Rt BFC △的斜边BC 上的中点,知21802FA B FCB B '∠=∠=︒-∠,从而知F ,A ',D ,E 四点共圆．同理,D ,F ,B ',E 及C ',F ,D ,E 分别四点共圆,由此即知A ',B ',C ',D ,E ,F 六点共圆．又因为OA BC '⊥,DH BC ⊥,V 为OH 的中点,即知V 在A D '的垂直平分线上．同理,V 在B E ',FC '的垂直平分线上,故V 是DEF △的外接圆的圆心．再由D ,E ,A ,B 及D ,F ,A ,C 分别四点共圆,有M D M E M B M A ⋅=⋅,ND NF NC NA ⋅=⋅．由此即知M ,N 对ABC △的外接圆与DEF △的外接圆的幂相等,从而M ,N 在这两个外接圆的根轴上,即有MN OV ⊥,故MN OH ⊥．【解题思维策略分析】1．根轴与点对圆的幂是密切相关的例6 如图10-7,O ⊙过ABC △的顶点A ,C ,且与AB ,BC 交于K ,N （K 与N 不同）,ABC △的外接圆和BKN △的外接圆相交于B 和M ．求证：90BMO ∠=︒．（IMO 26-试题）B证明设ABC △和BKN △的外接圆圆心分别为1O ,2O ,由题设,推知O ,1O ,2O 三点不共线（否则B 和M 重合）,而直线AC ,KN ,BM 分别为这三个圆中两两圆的根轴,故它们必相交于一点,不妨设交于点P ．由PMN BKN NCA ∠=∠=∠,知P ,M ,N ,C 四点共圆,则B 点对此圆PMNC ⊙的幂等于B 点对O ⊙的幂,即有（设R 为O ⊙的半径）22BM BP BN BC BO R ⋅=⋅=-．又点P 对2O ⊙的幂等于点P 对O ⊙的幂,即有22PM PB PN PK PO R ⋅=⋅=-．由上述两式相减,得2222()()()PO BO BP PM BM PM BM PM BM PM BM -=-=+-=-, 由此有OM BP ⊥,故90OMB ∠=︒．例7 如图10-8,设四边形ABCD 内接于圆,其边AB 与DC 的延长线交于点P ,AD 与BC 的延长线交于点Q ,由Q 作该圆的两条切线QE 和QF ,切点分别为E ,F ,则P ,E ,F 三点共线．图 10-8E 'ABC QMDFEPG证明连PQ ,并在PQ 上取一点M ,使得B ,C ,M ,P 四点共圆,则Q 为ABCD ⊙和BCMP ⊙两圆根轴上的点,则2QE QC QB QM PQ =⋅=⋅．①此时PMC ABC PDQ ∠=∠=∠,从而C ,D ,Q ,M 四点共圆,即知P 对此圆CDQM ⊙的幂为 PC PD PM PQ ⋅=⋅ ②连PF 交ABCD ⊙于E ',作QG PF ⊥于G ,则P ,Q 对ABCD 的幂分别为PC PD PE PF '⋅=⋅ ③及2QC QB QF ⋅=． ④ 由①+②并注意③,④式,由22QM PQ PM PQ PQ QC QB PC PD QF PE PF '⋅+⋅==⋅+⋅=+⋅, 即22_()PQ QF PE PF PG GE PF ''=⋅=-⋅．⑤又22222222()()PQ QF PG QG QG GF PG GF -=+-+=- ＝()()()PG GF PG GF PG GE PF =-+=-⋅． ⑥比较⑤与⑥式,得PE PG GE PG GE ''====,即E '与E 重合,故P ,E ,F 三点共线．注在此,需要指出：对于例６与例７应用根轴的概念来处理,可以发现它们的等价性．如图10-7,设以BO 为直径的圆为3O ⊙,且3O ⊙与O ⊙交于X ,Y 两点,则BY OY ⊥,即同理,BX 与为O ⊙的切线．若例7结论成立,则知KN ,XY ,AC 三条根轴交于一点P ．又直线BM ,KN ,AC 分别为1O ⊙与2O ⊙,O ⊙,1O ⊙与O ⊙的根轴,则BM ,KN ,AC 交于一点,故BM 过P 点．由于XY 是3O ⊙与O ⊙的根轴,则1O ⊙与3O ⊙的一个交点为B 时,另一个交点在BM 直线上,且为M 点,即3O ⊙过点M ．又由于BO 为直径,有90BMO ∠=︒．反之,若例6结论成立也可推得例7结论成立,例7即图10-8中的圆内接四边形ABCD 也一一对应于例6即图10-7中的四边形ACNK ．例8 如图10-9,某圆分别与凸四边形ABCD 的AB ,BC 两边相切于G ,H 两点,与对角线AC 相交于E ,F 两点．问ABCD 应满足怎样的重要条件,使得存在另一圆过E ,F 两点,且分别与DA ,DC 的延长线相切？证明你的结论．图 10-9J F EDHGA BC分析所求的充分必要条件是AB AD CB CD +=+．证明必要性：设过E ,F 两点的另一圆分别与DA 的延长线和DC 的延长线相切于J 和K 两点．注意到点A 对这两个圆幂相等,即22AG AE AF AJ =⋅=,同样有22CH CK =,则有AB AD BG GA AD BG JA AD BG JD BH KD BH KC +=++=++=+=+=+ CD BH HC CD BC CD +=++=+充分性：设凸四边形ABCD 满足条件AB AD CB CD +=+．在DA 的延长线和DC 的延长线上分别取J 点和K 点,使AJ AG =,CK CH =．于是, DJ JA AD AG AD AB AD BG CB CD BH CH CD DK =+=+=+-=+-=+=过J 点和K 点分别作DJ 和DK 的垂线,以两垂线交点为圆心作通过J 点和K 点的圆,由AJ AG =,CK CH =,则A 点和C 点关于原有圆的幂分别等于这两点关于所做圆的幂．而直线AC AC 与原有圆相交于E 和F 两点,且AC 是这两圆的根轴,所以EF 是这两圆的公共弦．至此,便证明了所做的与DA 延长线和DC 延长线相切的圆通过E ,F 两点． 2．根轴是联系圆与圆关系的一座桥梁例9 设圆O 的内接凸四边形ABCD 的两条对侥幸AC 、BD 的交点为P ,过P 、B 两点的圆1O 与过P 、A 两点的圆2O 相交于两点P 和Q ,且圆1O 、圆2O 分别与圆O 相交于另一点E 、F ．求证：直线PQ 、CE 、DF 或者共点或者相平行．图 10-10EPO 1O 2AQDJIG BF C证明如图10-10,设直线EC 交1O ⊙于I ,直线FD 交2O ⊙于J ．因为PJE PAF CAF CDF ∠=∠=∠=∠,故PJ CD ∥．同理,IP CD ∥．从而I 、P 、J 三点共线．又180180EFD ECD EIJ ∠=︒-∠=︒-∠,故E ,F ,J ,I 四点共圆．因此,由根轴定理可知,四边形IEFJ 的外接圆、圆1O 、圆2O 两两的公共弦IE 、PQ 、JF （所在的直线）或者共点或者互相平行,即直线PQ 、CE 、DF 或者共点或者互相平行．例10 已知AB 是O ⊙的弦,M 是弧AB 的中点,C 是O ⊙外任一点,过点C 作O ⊙的切线CS 、CT ,连接MS 、MT ,分别交AB 于点E 、F ．过点E 、F 作AB 的垂线,分别交OS 、OT 于点X 、Y ．再过点C 任作O ⊙的割线,交O ⊙于点P ,Q ,连接MP 交AB 于点R ,设Z 是PQR △的外心．求证：X 、Y 、Z 三点共线．图 10-11FER OABCQ TYXPZ S证明如图10-11,先连结OM ,由垂径定理,易说明XES △与OMS △位似,于是XES △是等腰三角形；故可以X 为圆心,XE 和XS 为半径作圆,该圆同时与弦AB 及支线CS 相切．再作PQR △的外接圆,并连接MA 、MC ．易证明2MR MP MA ME MS ⋅==⋅；又由切割线定理2CQ CP CS ⋅=．①、②表明点M 和点C 关于Z ⊙和X ⊙的幂都相等,于是MC 就是上述两圆的根轴,因此ZX MC ⊥．同理可证ZY MC ⊥．由③、④即知X 、Y 、Z 三点共线．证毕．例11 设O 和I 分别为ABC △的外心和内心,ABC △的内切圆与边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ,直线FD 与CA 相交于点P ,支线DE 与AB 相交于点Q ,点M 、N 分别为线段PE 、QF 的中点,求证：OI MN ⊥．图 10-12证明如图10-12,考虑ABC △与截线PFD ,由Menelaus 定理,有1CP AF BDPA FB DC⋅⋅=, 所以PA AF BD AF p aPC FB DC DC p c -=⋅==-, 于是PA p a CA a c-=-, 因此()b p a PA a c-=-,这样()b p a PE PA AE p a a c-=+=+--=2()()p c p a a c ---,1()()2p c p a ME PE a c--==-, 2()()()()p c p a p a MA ME AE p a a c a c ---=-=--=--, 2()()()()p c p a p c MC ME EC p c a c a c---=+=+-=--．于是2MA MC ME ⋅=．因为ME 是点M 到ABC △的内切圆的切线长,所以2ME 是点M 到内切圆的幂,而MA MC ⋅是点M 到ABC △的外接圆的幂．等式2MA MC ME ⋅=表明点M 到ABC △的外接圆与内功圆的幂相等,因而点M 在ABC △的外接圆与内功切圆的根轴上．同理,点N 也在ABC △的外接圆与内切圆的根轴上．故OI MN ⊥．例12 ABC △的外接圆的圆心为O ,A '是边BC 的中点,AA '与外接圆交于点A '',a A Q AO '⊥,点a Q 在AO 上,过点A ''的外接圆的切线与a A Q '相交于点a P ．用同样的方式,可以构造点b P 和c P ．证明：a P 、b P 、c P 三点共线．证明可以证明它们都在O ⊙与九点圆的根轴上．图 10-13a如图10-13,把ABC △位似变换到A B C '''△,ABC △的重心G 为位似变换到A B C '''△,ABC △的重心G为位似中心,位似比为12-．在这种变换下,AO 变成了A N ',其中N 为九点圆的圆心,所以A N AO '∥,a A P A N ''⊥．故a A P '是九点圆的切线．易知90OAB C ∠+∠=︒,则90BAA A AO C ''∠+∠+∠=︒（不妨设AB AC ≤）．又a P A A BAA C ''''∠=∠+∠,90a P A A A AO ''''∠=︒-∠, 所以a a P A A P A A ''''∠=∠,故a a A P A P '''=．所以,a P 在O ⊙于九点圆的根轴上．同理,b P 、c P 也在O ⊙与九点圆的根轴上．例13 凸四边形ABCD 的外接圆的圆心为O ,已知AC BD ≠,AC 与BD 交于点E ,若P 为四边形ABCD 内部一点,使得90PAB PCB PBC PDC ∠+∠=∠+∠=︒．求证：O 、P 、E 三点共线．图 10-14证明如图10-14,记四边形ABCD 的外接圆为圆T ,APC △的外接圆为圆1T ,BPD △的外接圆为圆2T ．易知,圆T 和1T 的根轴是直线AC ,圆T 和2T 的根轴是直线BD ．由于P 是圆1T 和2T 的公共点,因此,P 在圆1T 和2T 的根轴上．又E 是AC 与BD 的交点,则E 是圆T 、1T 、2T 的根心．从而,直线PE 是圆1T 和2T 的根轴．为证明O 、P 、E 三点共线,只需证明O 对圆1T 和2T 的幂相等,即O 也在这两个圆的根轴上．由外角的性质知1902APC PAB ABC PCB AOC ∠=∠+∠+∠=︒+∠．而11(180)180(90)18022ACO AOC AOC APC ∠=︒-∠=︒-︒+∠=︒-∠这表明,OC 与1T 切于点C ．同理,OB 与圆2T 切于点B ．由OC OB =知,点O 对圆1T 和2T 的幂相等．从而,O 、P 、E 三点共线．例14 已知圆1T 、2T 交于点Q 、R ,且内切于圆T ,切点分别为1A 、2A ,P 为圆T 上的任意一点,线段1PA 、2PA 分别与圆1T 、2T 交于1B ,2B ．证明：图 10-15l（1）与圆1T 切于点1B 的直线和与圆2T 切于点2B 的直线平行；（2）12B B 是圆1T 与圆2T 的公切线的充分必要条件是P 在直线QR 上．证法1 （1）设圆1T 、2T 、T 的圆心分别为1O 、2O 、O ,则1122O B OP O B ∥∥．从而,与圆1T 切于点1B 的直线和与圆2T 切于点2B 的直线平行,且和与圆T 切于点P 的直线平行．（2）设与圆1T 切于点1B 的直线与圆T 交于点1C 、1D ,则P 是11C D 的中点,且有2111PC PA PB =⋅．同理,设与圆2T 切于点2B 的直线与圆T 交于点2C 、2D ,则P 是22C D 的中点,且有2222PC PA PB =⋅．于是,这两条切线重合为12B B ,等价于2212PC PC =,从而,等价于点P 关于圆1T 、圆2T 等幂,即等价于点P 在圆1T 、圆2T 的根轴OR 上．证法2 （1）如图10-15,作直线l 与O ⊙切于点P ,设与圆1T 切于点1B 的直线为1l 与圆2T 切于点2B 的直线为2l ．由位似变换知1l l ∥,2l l ∥,所以,12l l ∥．（2）若12B B 是1O ⊙、2O ⊙的公切线,则由（1）知12B B l ∥,从而,12212B B P B PY PA A ∠=∠=∠．所以,1A 、1B 、2B 、2A 四点共圆．因此,1122PB PA PB PA ⋅=⋅故点P 到1O ⊙、2O ⊙的圆幂相等,即P 、Q 、R 三点共线．若点P 在OR 上,由同一法知12B B l ∥,得证．例15 已知非等腰锐角ABC △,1AA 、1BB 是它的两条高,又线段11A B 与平行于AB 的中位线相交于点C '．证明：经过ABC △的外心垂心的直线与直线CC '垂直．证明如图10-16,在ABC △中,分别将边BC 、CA 的中点记作0A 、0B ,将三角形的垂心记作H ,外心记作O ．图 10-16B因为点A 、B 、1A 、1B 位于同一圆周上（AB 为其直径）,所以,1100CB A CBA CA B ∠=∠=∠．故点0A 、0B 、1A 、1B 位于同一圆周1ω上．将以CH 为直径的圆周记作2ω,将以CO 为直径的圆周记作3ω．易知,点1A 、1B 位于圆周2ω上,而点0A 、0B 位于圆周3ω上．因此,点C '关于圆1ω和圆2ω有相同的幂,关于圆1ω和3ω也有相同的幂．从而,点C '关于圆2ω和3ω有相同的幂,即位于它们的根轴之上．所以,直线CC '就是圆2ω和圆3ω的根轴．故CC '垂直于这两个圆的圆心连线．又圆2ω和圆3ω的圆心分别为线段CH 和CO 的中点,它们的连心平行于直线OH ,则OH CC '⊥．例16 已知圆W 是等边ABC △的外接圆,设圆W 与1W 外切且切点异于点A 、B 、C ,点1A 、1B 、1C 在圆1W 上,且使得1AA 、1BB 、1CC 与圆1W 相切．证明：线段1AA 、1BB 、1CC 中的一线段的长短等于另两线段长度之和．图 10-17'1B 1证明如图10-17 设圆W 和圆1W 相切点X ,且X 位于劣弧AB 上．设直线AX 、BX 、CX 分别交圆1W 于点A '、B '、C ',设圆W 、圆1W 的半径为r 、1r ．注意到,以X 为中心、1rr-为位似比的位似变换将ABC △映射到A B C '''△,所以,A B C '''△是等边三角形．由托勒密定理有AC BX AX BC AB CX ⋅+⋅=⋅．因为ABC △是等边三角形,所以,AX BX CX +=．令1r rm r+=,根据相似形的性质有AA m AX '=⋅,BB m BX '=⋅,CC m CX '=⋅．于是,AX BX CX +==．由点A 、B 、C 关于圆W 的幂,111AA BB CC += 【模拟实践】习题A1．在线段AB 的同一侧作出三个相似的三角形PAB ,AQB ,ABR ,关于AB 的中垂线对称地作出三个相似三角形P AB ',AQ B ',ABR '．求证：P ,Q ,P ',Q ',R '六点在同一个圆上．2．设ABC △的AB 上有点D ,AC 上有点E ,且DE BC ∥,分别以BE ,CD 为直径作1O ⊙,2O ⊙．求证：这两圆的根轴恒为ABC △的过点A 的高所在直线．3．设D ,E 是ABC △中AB ,AC 上的点．求证：以BE 和CD 为直径的两圆的根轴必通过ABC △的垂心．4．在ABC △的边BC 上任取一点A ',线段A B '的中垂线交边AB 于M 点,线段A C '的中垂线交边AC 于N 点．求证：点A '关于直线MN 的对称点在ABC △的外接圆上． 5．证明：圆外切六边形ABCDEF 的对角线AD ,BE ,CF 共点．6．设D ,D '是ABC △的BC 边上两点,E ,E '是CA 边上两点,F ,F '是AB 边上的两点,且D ,D ',E ,E '共圆,E ,E ',F ,F '共圆,F ,F ',D ,D '共圆．证明：D ,D ',E ,E ',F ,F '六点共圆．7．已知ABC △的内心为I ,1O ⊙,2O ⊙,3O ⊙分别为过B ,C ；A ,C 和A ,B 且与I ⊙直交,1O ⊙与2O ⊙相交于另一点C '．同理可得点B '和A '．证明：A B C '''△的外接圆半径等于I ⊙半径的12．习题B1．设A 是O ⊙的直径BB '上或其延长线上任一定点,过A 引O ⊙的割线M AM '或AM M ',过A 作BB '的垂线交BM 的延长线于N ,交BM '的延长线于N '．求证：AN AN '⋅是定值．2．设A ,B ,C ,D 是一条直线上依次排列的四个不同的点,分别以AC ,BD 为直径的圆交于X 和Y ,直线XY 交BC 于Z ．若P 为直线XY 上异于Z 的一点,直线CP 与以AC 为直径的圆交于C 及M ,直线BP 与以BD 为直径的圆交于B 及N ,试证：AM ,DN 和XY 共点．3．已知圆O 切于两条平行线1l 和2l ；第二个圆1O 切1l 于A ,切外切圆O 于C ；第三个圆2O 切2l 于B ,切外切圆O 于D ,切外切圆1O 于E ,AD 交BC 于Q ．求证：Q 是CDE △的外心．4．两个大圆A ⊙,B ⊙相等且相交,两个小圆C ⊙和D ⊙不等亦相交,且交点为P ,Q ．若C ⊙,D ⊙既同时与A ⊙内切,又同时与B ⊙外切,求证：直线PQ 平分线段AB ．第十章根轴的性质及应用习题A1．由PAB AQB △△∽,有PBA ABQ ∠=∠,即知Q 点在PB 上,且PB ABAB QB=．由AQB ABR △△∽,有BAQ RAB ∠=∠,即知R 点在AQ 上,且AQ ABAB AR=．故2PB QB AB AQ AR ⋅==⋅．设PQR △的外接圆圆心为O ,则A ,B 关于O 是等幂的．作切线AT ,BS ,连OA ,OB ,OT ,OS ,由222AT BS AB ==,OT OS =有OAT OBS △△∽,OA OB =,即O 关于AB 的中垂线对称,故P ',Q ',R '都在O 上．2．设两圆圆心为1O ,2O ,连12O O ,由于1O ,2O 是梯形BCED 两条对角线的中点,则12O O BC ∥,1O 和2O 的根轴与BC 垂直．设ABC △的三条高线为AL ,BM ,CN ,垂心为H ,则M 在1O 上,N 在2O 上,且B ,C ,M ,N 共圆,直径为BC ,记此圆为3O ,这三圆的圆心不共线,则三条根轴相交于一点根心．又3O 与1O 的根轴是BM ,CN 是2O 与3O 的根釉,又BM 和CN 相交于垂心H ,从而1O 与2O 的根轴是过垂心H 且垂直于BC 的直线,即高AL 所在的直线．3．设以BE 为直径的圆为1O ,以CD 为直径的圆为2O ,BM ,CN 是高线,H 为垂心,则M 在1O 上,N 在2O 上,由B ,C ,M ,N 四点共圆,有HB HM HC HN ⋅=⋅,即H 是关于两圆的等幂点,则H 在1O 和2O 的根轴上．4．过A 引BC 的平行线,并与A M '的延长线交于B ',与A N '的延长线交于C ',令ABC △的外接圆为1Γ,A BC ''△的外接圆为2Γ．因MBA '△和NA C '△都是等腰三角形,B C BC ''∥,则在MAB '△和NAC '△中,M BA M A B M B A M AB ''''∠=∠=∠=∠,NA C NCA NAC NC A ''''∠=∠=∠=∠,即有AB AB''=,AC A C ''=,即ABC A B C '''△△∽．又AM BM AMBM ''⋅=⋅,AN CN A N C N ''⋅=⋅,从而M ,N 是圆1Γ和2Γ的等幂点,即直线MN 是圆1Γ和2Γ的根轴,又1Γ与2Γ是等圆,则MN 是1Γ和2Γ的对称轴．又A '在2Γ上,则A '关于MN 的对称点在1Γ上．5．设凸六边形ABCDEF 切圆于点R ,Q ,T ,S ,P ,U (R 在AB 上,Q 在BC 上,等等)．选择任意实数0a >,在直线BC 和EF 上作点Q '和P ',使QQ PP a ''==,而向量QQ 和PP 同向量CB 和EF 同方向,类似地作点R ',S ',T ',U '（有RR SS TT UU a ''''====）,再作1O 切直线BC 和EF 分别于点P ',Q ',类似地作2O ,3O ．下证点B 和E 在1O 和2O 的根轴上．BQ QQ BQ RR BR BR '''=-=-=（若QQ BQ '<,则BQ BQ QQ BR RR BR ''''=-=-=和EP E P PP ES SS ES '''''=+=+=．类似地可证,直线FC 和AD 分别是1O 和3O ,2O 和3O 的根轴．而三个圆的根轴交于一点,因此AD ,BE ,CF 共点．6．若圆DDEE'',EE FF '',FF DD ''是互异的,那么直线AB ,BC ,CA 将是它们的根轴,而这是不可能的,因为三圆的根轴不可能构成三角形．因此,至少有两圆重合,此时,三圆必重合．7．设ABC △内切圆半径为r ,其与BC ,CA ,AB 的切点分别为D ,E ,F ．又设P ,Q ,R 分别是线段EF ,FD ,DE 的中点．由IBD △和IDQ △均为直角三角形,有22IQ IB ID r ⋅==．同理,2IR IC r ⋅=,于是B ,C ,R ,Q 四点共圆．由于点Q ,R 分别在IB ,IC 上,则I 在BQRC 的外部,I 关于BQRC 的幂为2IB IQ r ⋅=,从而该圆与I 直交．同理,CRPA ,APQB 也与I 直交,故A ',B ',C ',就是P ,Q ,R ,且PQR △的外接圆半径为2r ．即证．习题B由119022m m BMM BM MM B '''∠======︒-,12m ABM MM B ''∠===,有90BM M ABM '∠=︒-∠,由AB AN ⊥,有90ANB ABM ∠=︒-∠,即BM M ANB '∠=∠,故M ,M ',N ',N 四点共圆,此圆记为Γ．于是,MM '是O 和圆Γ的根轴．又A 在根轴上,则AN AN AB AB ''⋅=⋅,即AN AN '⋅恒为A 对于O 的幕． 2．记直线AM 与DN 的交点为Q ,须证点Q 在直线XY 上．连MN ,由P 在两圆根轴XY 上,知PC PM PB PN ⋅=⋅,由此有PBC PMN △△∽,故PMN PBC ∠=∠．再由AC 和BD 分别为两圆直径,有90AMP ∠=︒且90PBC D ∠+∠=︒,得180AMN D AMP PMN D ∠+∠=∠+∠+∠=︒,故A ,M ,N ,D 四点共圆,于是AQ QM QD QN ⋅=⋅,即点Q 对两圆的幂相等,从而Q 在两圆的根轴XY 上．3．连AE ,BE ,1AO ,12O O ,2O B ．设O 与1l 相切于H ,1EAO θ∠=,O 与1O 的半径分别为r ,1r ,则两圆外公切线长12AH rr =．再由1O A OB ∥,得12O AE O BE △△∽,于是A ,E ,B 共线,且12cos AE r θ=,2sec AB θ=,于是有24AE AB rr AH ⋅==1,即点A 对O 和2O 的幂相等,故A 在两圆的根轴（过切点D 的公切线）上,即AD 为两圆公切线．同理可知BC 为O 和1O 的公切线,故OC OD =,即22221122QO r QO r -=-,故12OE O O ⊥,即QE 为O 和2O 的公切线,于是QE QC QD ==,即Q 为CDE△的外心,另证：因12l l ∥,连1O A ,2O B ,则12O A O B ∥．连12O O ,则12AO E BO E ∠=∠连AE ,BE ,则12AEO BEO ∠=∠,故A ,E ,B 三点共线．设O 与1l 交于F ,同理可知B ,D ,F 三点共线,所以1122mmFAE ACE EmB BDE ∠=======∠．则A ,E ,D ,F 四点共圆,所以,B 点在O 与1O 的根轴上,因此,BC 为O 与1O 的根轴．同理,AD 为O 与2O 的根轴．因此,Q 为O ,1O ,2O 的根心,且QC QD QE ==．所以,Q 为CDE △的外心．4．记AB 中点为M ,为证M 在C 和D 的根轴上,只须证M 向C 和D 引的切线长相等,只须证对任一与A 内切而与B 外切的圆Γ而言,自M 向Γ所引的切线长为定值（仅与A 半径R 及2AB a =有关,而与Γ的位置和半径r 无关）．连AC ,BC ,MC ,则AC R r =-,BC R r =+,2AB a =,故由斯特瓦尔特定理的推论（或三角形中线长定理）,有()()2222222222111142222MC AC BC AB R r R r a R r a ⎛⎫⎡⎤=+-=++--=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦．于是自M 点向C2222MC r R a --C 的位置与半径无关）,从而自M 点向C 和D 引的切线长相等,即M 在两圆根轴上,故直线．PQ 平分线段AB ．。

【2-平几】4.圆的幂与根轴【学生版】

自招竞赛秋季数学讲义圆的幂与根轴学生姓名授课日期教师姓名授课时长知识定位圆的幂与根轴是上海高中数学中没有提到的内容，但是每年全国高中数学联赛二试必定会考到（40分），在三大联盟的自招中有时也会涉及。

参加三大联盟自招的同学对圆的幂与根轴应稍微掌握。

本课将会介绍圆的幂与根轴的一些基本概念、性质与简单的应用。

知识梳理一. 圆的幂P 是O 所在平面上任一点，定义P 点对O 的幂为22OP R -，其中R 为圆的半径。

由定义知对于定圆，圆内的点圆幂小于0，圆上的点圆幂等于0，圆外的点圆幂大于0.二. 圆幂定理过O 所在平面上任一点P （不在圆上）作直线l 交O 于点A 、B （可以重合），则PA PB ⋅即为圆幂。

证明易。

圆幂定理的逆定理是证明四点共圆的常用手段。

三. 圆的根轴对于平面上任意两个不同心的圆（其中一个圆的半径可以为0，从而成为一个点），称对这两个圆的幂相等的点的集合为这两个圆的根轴。

两圆圆的根轴是一条直线。

特别地，若两圆相交，则它们的根轴是公共弦所在的直线；若两圆相切，则他们的根轴是过切点的公切线。

例题精讲一. 根轴的几个性质【例1】【题目来源】【题目】根据圆的幂与根轴的定义，证明两圆的根轴是一条直线（此性质常被用来证明三点共线与直线垂直）【难度系数】2【例2】【题目来源】【题目】证明：若两圆相交，则它们的根轴是公共弦所在的直线。

【难度系数】1【例3】【题目来源】【题目】证明：若两圆相切，则他们的根轴是过切点的公切线。

【难度系数】1【例4】【题目来源】【题目】证明：三个圆，其两两的根轴相交于一点或互相平行。

（此性质常被用来证明三线共点）【难度系数】1EABCD【例5】【题目来源】【题目】证明：两圆公切线段的中点在根轴上。

【难度系数】1习题演练【练1】【题目来源】【题目】以AB 为直径作圆，两弦AC 、BD 相交于E ，求证：2AE AC BE BD AB ⋅+⋅=【难度系数】3 【练2】【题目来源】【题目】在线段AB 的同侧作三个互相相似的三角形PAB AQB ABR ∽∽，作P 、Q 、R 关于AB 的中垂线的对称点P ’、Q ’、R ’，求证：P 、Q 、R 、P ’、Q ’、R ’共圆。

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答-第22讲-园幂定理【可修改文字】

可编辑修改精选全文完整版初中数学竞赛辅导讲义及习题解答学力训练1．如图，PT 是⊙O 的切线，T 为切点，PB 是⊙O 的割线，交⊙O 于A 、B 两点，交弦CD 于点M ，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，则PT 的长为．2．如图，PAB 、PCD 为⊙O 的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC ：BD= ． 3．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上的一点，CD 是⊙O 的切线，D 为切点，过点B 作⊙O 的切线交CD 于点F ，若AB=CD=2，则CE= ．4．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以AC 为直径作圆与斜边交于点P ，则BP 的长为( )A ．6．4B ．3．2C ．3．6D ．85．如图，⊙O 的弦AB 平分半径OC ，交OC 于P 点，已知PA 、PB 的长分别为方程024122=+-x x 的两根，则此圆的直径为( )A ．28B ．26C ．24D ．226．如图，⊙O 的直径Ab 垂直于弦CD ，垂足为H ，点P 是AC 上一点(点P 不与A 、C 两点重合)，连结PC 、PD 、PA 、AD ，点E 在AP 的延长线上，PD 与AB 交于点F ，给出下列四个结论：①CH 2=AH ·BH ；②AD ＝AC ：③AD 2=DF ·DP ；④∠EPC=∠APD ，其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，BC 是半圆的直径，O 为圆心，P 是BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AD ⊥BC 于点D ．⌒⌒⌒(1)若∠B=30°，问AB 与AP 是否相等?请说明理由； (2)求证：PD ·PO=PC ·PB ；(3)若BD ：DC=4：l ，且BC ＝10，求PC 的长．8．如图，已知PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 交⊙O 于点B 、C ，PD ⊥AB 于点D ，PD 、AO 的延长线相交于点E ，连CE 并延长交⊙O 于点F ，连AF ． (1)求证：△PBD ∽△PEC ； (2)若AB=12，tan ∠EAF=32，求⊙O 的半径的长．9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，PF 分别交AB 、BC 于E 、D ，交⊙O 于F 、G ，且BE 、BD 恰哈好是关于x 的方程0)134(622=+++-m m x x (其中m 为实数)的两根．(1)求证：BE=BD ；(2)若GE ·EF=36，求∠A 的度数．10．如图，△ABC 中，∠C=90°，O 为AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 相交于点E ，与AC 相切于点D ，已知AD=2，AE=1，那么BC= ．11．如图，已知A 、B 、C 、D 在同一个圆上，BC=CD ，AC 与BD 交于E ，若AC=8，CD=4，且线段BE 、ED 为正整数，则BD= ． 12．如图，P 是半圆O 的直径BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AH ⊥BC 于H ，若PA=1，PB+PC=a (a >2)，则PH=( )A ．a 2 B ．a 1 C ．2a D ．3a13．如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，弦EF 经过BC 的中点D ，且EF ∥AB ，若AB=2，则DE 的长为( )A ．21 B ．215- C ．23 D ．114．如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，延长BC 至D ，使CD=BC ，CE ⊥AD 于E ，BE 交⊙O 于F ，AF 交CE 于P ，求证：PE=PC ．15．已知：如图，ABCD 为正方形，以D 点为圆心，AD 为半径的圆弧与以BC 为直径的⊙O 相交于P 、C 两点，连结AC 、AP 、CP ，并延长CP 、AP 分别交AB 、BC 、⊙O 于E 、H 、F 三点，连结OF ．(1)求证：△AEP ∽△CEA ；(2)判断线段AB 与OF 的位置关系，并证明你的结论； (3)求BH:HC16．如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，PEC 是一条割线，D 是AB 与PC 的交点，若PE=2，CD=1，求DE 的长．17．如图，⊙O 的直径的长是关于x 的二次方程0)2(22=+-+k x k x (k 是整数)的最大整数根，P 是⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的切线PA 和割线PBC ，其中A 为切点，点B 、C 是直线PBC 与⊙O 的交点，若PA 、PB 、PC 的长都是正整数，且PB 的长不是合数，求PA+PB+PC 的值．参考答案。

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第22讲园幂定理

第二十二讲园幂定理相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理．圆幂定理实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段有关．相交弦定理、切割线定理、割线定理有着密切的联系，主要体现在：1．用运动的观点看，切割线定理、割线定理是相交弦定理另一种情形，即移动圆内两条相交弦使其交点在圆外的情况；2．从定理的证明方法看，都是由一对相似三角形得到的等积式．熟悉以下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】如图，PT 切⊙O 于点T ，PA 交⊙O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD=2，AD=3，BD=6，则PB= ．思路点拨综合运用圆幂定理、勾股定理求PB 长．注：比例线段是几何之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程，大致经历了四个阶段：(1)平行线分线段对应成比例； (2)相似三角形对应边成比例；(3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来； (4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来．【例2】如图，在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于点E ，且与CD 相切，若AB=4，BE=5，则DE 的长为( ) A ．3 B ．4 C ．415 D ．516思路点拨连AC ，CE ，由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创设条件．注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，通过代数化获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键．【例3】如图，△ABC内接于⊙O，AB是∠O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC=∠B．(1)求证：PA是⊙O的切线；(2)如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，，AE：BE=2：3，求AB的长和∠ECB的正切值．思路点拨直径、切线对应着与圆相关的丰富知识．(1)问的证明为切割线定理的运用创造了条件；引入参数x、k处理(2)问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并寻找x 与k的关系，建立x或k的方程．【例4】如图，P是平行四边形AB的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、E，EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点，求证：EG=DE思路点拨由切割线定理得EG2=EF·EP，要证明EG=DE，只需证明DE2=EF·EP，这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明．注：圆中的许多问题，若图形中有适用圆幂定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段等积式是转化问题的桥梁．需要注意的是，圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几何各种类型的问题中．【例5】如图，以正方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于点E，交AB的延长线于点F，BF＝4．求：(1)cos∠F的值；(2)BE的长．思路点拨解决本例的基础是：熟悉圆中常用辅助线的添法(连OE，AE)；熟悉圆中重要性质定理及角与线段的转化方法．对于(1)，先求出EF，FO值；对于(2)，从△BE F∽△EAF，Rt△AEB入手．注：当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图形，善于分析图形是解与圆相关综合题的关键，分析图形可从以下方面入手：(1)多视点观察图形．如本例从D 点看可用切线长定理，从F 点看可用切割线定理． (2)多元素分析图形．图中有没有特殊点、特殊线、特殊三角形、特殊四边形、全等三角形、相似三角形．(3)将以上分析组合，寻找联系．学力训练1．如图，PT 是⊙O 的切线，T 为切点，PB 是⊙O 的割线，交⊙O 于A 、B 两点，交弦CD 于点M ，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，则PT 的长为．2．如图，PAB 、PCD 为⊙O 的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC ：BD= ． 3．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上的一点，CD 是⊙O 的切线，D 为切点，过点B 作⊙O 的切线交CD 于点F ，若AB=CD=2，则CE= ．4．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以AC 为直径作圆与斜边交于点P ，则BP 的长为( )A ．6．4B ．3．2C ．3．6D ．85．如图，⊙O 的弦AB 平分半径OC ，交OC 于P 点，已知PA 、PB 的长分别为方程024122=+-x x 的两根，则此圆的直径为( )A ．28B ．26C ．24D ．226．如图，⊙O 的直径Ab 垂直于弦CD ，垂足为H ，点P 是AC 上一点(点P 不与A 、C 两点重合)，连结PC 、PD 、PA 、AD ，点E 在AP 的延长线上，PD 与AB 交于点F ，给出下列四个结论：①CH 2=AH ·BH ；②AD ＝AC ：③AD 2=DF ·DP ；④∠EPC=∠APD ，其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，BC 是半圆的直径，O 为圆心，P 是BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AD ⊥BC 于点D ．(1)若∠B=30°，问AB 与AP 是否相等?请说明理由； (2)求证：PD ·PO=PC ·PB ；(3)若BD ：DC=4：l ，且BC ＝10，求PC 的长．8．如图，已知PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 交⊙O 于点B 、C ，PD ⊥AB 于点D ，PD 、AO 的延长线相交于点E ，连CE 并延长交⊙O 于点F ，连AF ． (1)求证：△PBD ∽△PEC ； (2)若AB=12，tan ∠EAF=32，求⊙O 的半径的长．9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，PF 分别交AB 、BC 于E 、D ，交⊙O 于F 、G ，且BE 、BD 恰哈好是关于x 的方程0)134(622=+++-m m x x (其中m 为实数)的两根．(1)求证：BE=BD ；(2)若GE ·EF=36，求∠A 的度数．10．如图，△ABC 中，∠C=90°，O 为AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 相交于点E ，与AC 相切于点D ，已知AD=2，AE=1，那么BC= ．11．如图，已知A 、B 、C 、D 在同一个圆上，BC=CD ，AC 与BD 交于E ，若AC=8，CD=4，且线段BE 、ED 为正整数，则BD= ．⌒⌒⌒12．如图，P 是半圆O 的直径BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AH ⊥BC 于H ，若PA=1，PB+PC=a (a >2)，则PH=( )A ．a 2 B ．a 1 C ．2a D ．3a13．如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，弦EF 经过BC 的中点D ，且EF ∥AB ，若AB=2，则DE 的长为( )A ．21 B ．215- C ．23 D ．1 14．如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，延长BC 至D ，使CD=BC ，CE ⊥AD于E ，BE 交⊙O 于F ，AF 交CE 于P ，求证：PE=PC ．15．已知：如图，ABCD 为正方形，以D 点为圆心，AD 为半径的圆弧与以BC 为直径的⊙O 相交于P 、C 两点，连结AC 、AP 、CP ，并延长CP 、AP 分别交AB 、BC 、⊙O 于E 、H 、F 三点，连结OF ．(1)求证：△AEP ∽△CEA ；(2)判断线段AB 与OF 的位置关系，并证明你的结论； (3)求BH:HC16．如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，PEC 是一条割线，D 是AB 与PC 的交点，若PE=2，CD=1，求DE 的长．17．如图，⊙O 的直径的长是关于x 的二次方程0)2(22=+-+k x k x (k 是整数)的最大整数根，P 是⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的切线PA 和割线PBC ，其中A 为切点，点B 、C 是直线PBC 与⊙O 的交点，若PA 、PB 、PC 的长都是正整数，且PB 的长不是合数，求PA+PB+PC 的值．参考答案。

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第22讲园幂定理

第二十二讲园幂定理相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理．圆幂定理实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段有关．相交弦定理、切割线定理、割线定理有着密切的联系，主要体现在：1．用运动的观点看，切割线定理、割线定理是相交弦定理另一种情形，即移动圆内两条相交弦使其交点在圆外的情况；2．从定理的证明方法看，都是由一对相似三角形得到的等积式．熟悉以下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】如图，PT 切⊙O 于点T ，PA 交⊙O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD=2，AD=3，BD=6，则PB= ．思路点拨综合运用圆幂定理、勾股定理求PB 长．注：比例线段是几何之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程，大致经历了四个阶段：(1)平行线分线段对应成比例； (2)相似三角形对应边成比例；(3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来； (4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来．【例2】如图，在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于点E ，且与CD 相切，若AB=4，BE=5，则DE 的长为( ) A ．3 B ．4 C ．415 D ．516思路点拨连AC ，CE ，由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创设条件．注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，通过代数化获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键．【例3】如图，△ABC内接于⊙O，AB是∠O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC=∠B．(1)求证：PA是⊙O的切线；(2)如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，，AE：BE=2：3，求AB的长和∠ECB的正切值．思路点拨直径、切线对应着与圆相关的丰富知识．(1)问的证明为切割线定理的运用创造了条件；引入参数x、k处理(2)问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并寻找x 与k的关系，建立x或k的方程．【例4】如图，P是平行四边形AB的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、E，EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点，求证：EG=DE思路点拨由切割线定理得EG2=EF·EP，要证明EG=DE，只需证明DE2=EF·EP，这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明．注：圆中的许多问题，若图形中有适用圆幂定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段等积式是转化问题的桥梁．需要注意的是，圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几何各种类型的问题中．【例5】如图，以正方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于点E，交AB的延长线于点F，BF＝4．求：(1)cos∠F的值；(2)BE的长．思路点拨解决本例的基础是：熟悉圆中常用辅助线的添法(连OE，AE)；熟悉圆中重要性质定理及角与线段的转化方法．对于(1)，先求出EF，FO值；对于(2)，从△BE F∽△EAF，Rt△AEB入手．注：当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图形，善于分析图形是解与圆相关综合题的关键，分析图形可从以下方面入手：(1)多视点观察图形．如本例从D 点看可用切线长定理，从F 点看可用切割线定理． (2)多元素分析图形．图中有没有特殊点、特殊线、特殊三角形、特殊四边形、全等三角形、相似三角形．(3)将以上分析组合，寻找联系．学力训练1．如图，PT 是⊙O 的切线，T 为切点，PB 是⊙O 的割线，交⊙O 于A 、B 两点，交弦CD 于点M ，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，则PT 的长为．2．如图，PAB 、PCD 为⊙O 的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC ：BD= ． 3．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上的一点，CD 是⊙O 的切线，D 为切点，过点B 作⊙O 的切线交CD 于点F ，若AB=CD=2，则CE= ．4．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以AC 为直径作圆与斜边交于点P ，则BP 的长为( )A ．6．4B ．3．2C ．3．6D ．85．如图，⊙O 的弦AB 平分半径OC ，交OC 于P 点，已知PA 、PB 的长分别为方程024122=+-x x 的两根，则此圆的直径为( )A ．28B ．26C ．24D ．226．如图，⊙O 的直径Ab 垂直于弦CD ，垂足为H ，点P 是AC 上一点(点P 不与A 、C 两点重合)，连结PC 、PD 、PA 、AD ，点E 在AP 的延长线上，PD 与AB 交于点F ，给出下列四个结论：①CH 2=AH ·BH ；②AD ＝AC ：③AD 2=DF ·DP ；④∠EPC=∠APD ，其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，BC 是半圆的直径，O 为圆心，P 是BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AD ⊥BC 于点D ．(1)若∠B=30°，问AB 与AP 是否相等?请说明理由； (2)求证：PD ·PO=PC ·PB ；(3)若BD ：DC=4：l ，且BC ＝10，求PC 的长．8．如图，已知PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 交⊙O 于点B 、C ，PD ⊥AB 于点D ，PD 、AO 的延长线相交于点E ，连CE 并延长交⊙O 于点F ，连AF ． (1)求证：△PBD ∽△PEC ； (2)若AB=12，tan ∠EAF=32，求⊙O 的半径的长．9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，PF 分别交AB 、BC 于E 、D ，交⊙O 于F 、G ，且BE 、BD 恰哈好是关于x 的方程0)134(622=+++-m m x x (其中m 为实数)的两根．(1)求证：BE=BD ；(2)若GE ·EF=36，求∠A 的度数．10．如图，△ABC 中，∠C=90°，O 为AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 相交于点E ，与AC 相切于点D ，已知AD=2，AE=1，那么BC= ．11．如图，已知A 、B 、C 、D 在同一个圆上，BC=CD ，AC 与BD 交于E ，若AC=8，CD=4，且线段BE 、ED 为正整数，则BD= ．⌒⌒⌒12．如图，P 是半圆O 的直径BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AH ⊥BC 于H ，若PA=1，PB+PC=a (a >2)，则PH=( )A ．a 2 B ．a 1 C ．2a D ．3a13．如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，弦EF 经过BC 的中点D ，且EF ∥AB ，若AB=2，则DE 的长为( )A ．21 B ．215- C ．23 D ．1 14．如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，延长BC 至D ，使CD=BC ，CE ⊥AD于E ，BE 交⊙O 于F ，AF 交CE 于P ，求证：PE=PC ．15．已知：如图，ABCD 为正方形，以D 点为圆心，AD 为半径的圆弧与以BC 为直径的⊙O 相交于P 、C 两点，连结AC 、AP 、CP ，并延长CP 、AP 分别交AB 、BC 、⊙O 于E 、H 、F 三点，连结OF ．(1)求证：△AEP ∽△CEA ；(2)判断线段AB 与OF 的位置关系，并证明你的结论； (3)求BH:HC16．如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，PEC 是一条割线，D 是AB 与PC 的交点，若PE=2，CD=1，求DE 的长．17．如图，⊙O 的直径的长是关于x 的二次方程0)2(22=+-+k x k x (k 是整数)的最大整数根，P 是⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的切线PA 和割线PBC ，其中A 为切点，点B 、C 是直线PBC 与⊙O 的交点，若PA 、PB 、PC 的长都是正整数，且PB 的长不是合数，求PA+PB+PC 的值．参考答案。

圆幂与根轴

圆幂与根轴，几何综合问题选讲圆幂点到圆的幂：设P 为⊙O 所在平面上任意一点，PO =d ，⊙O 的半径为r ，则d 2－r 2就是点P 对于⊙O 的幂．过P 任作一直线与⊙O 交于点A 、B ，则PA·PB = |d 2－r 2|．“到两圆等幂的点的轨迹是与此二圆的连心线垂直的一条直线，如果此二圆相交，则该轨迹是此二圆的公共弦所在直线”这个结论．这条直线称为两圆的“根轴”．三个圆两两的根轴如果不互相平行，则它们交于一点，这一点称为三圆的“根心”．三个圆的根心对于三个圆等幂．当三个圆两两相交时，三条公共弦(就是两两的根轴)所在直线交于一点．一、基本知识与性质1．定义从一点A 作一圆周的任一割线，从A 起到和圆相交为止的两段之积，称为点A 对于这圆周的幂．2．相交弦定理圆内两条相交弦，被交点P 分成的两条线段长的积相等（都等于尸对圆周的幂） .3．切割线定理从圆外一点P 引圆的切线和割线，切线长是点P 到割线与圆交点的两条线段长的比例中项（等于P 对圆周的幂）.4．圆幂定理已知⊙(O, r) ，通过一定点P ，作⊙O 的任一割线交圆于A, B ，则PA ，PB 为P 对于⊙O 的幂，记为 k ，则当P 在圆外时，k=PO 2-r 2；当P 在圆内时，k= r 2-PO 2；当P 在圆上时，k=0.例1．如图，设I 和O 分别是△ABC 的内心和外心，r 和R 分别是△ABC 的内切圆和外接圆半径，过I 作△ABC 外接圆的弦AK,求证：( l ) AI ·IK =2rR ; ( 2 )OI 2=R 2-2rR例2．如图，设AD为Rt△ABC斜边BC上的高，∠B的平分线交AD于M，交AC于N，求证：AB 2-AN2=BM·BN .例3．如图, ABCD为⊙O的内接四边形，延长AB 和DC相交于E，延长AD和BC相交于F, EP和FQ分别切⊙O于P，Q，求证：EP 2+FQ2=EF2例4．如图，圆与△ABC的外接圆相切于点A，与边AB交于点K，且和边BC相交．过点C作圆ΓΓ的切线，切点为L，连接KL，交边BC于点T．求证：线段BT的长等于点B 到圆Γ的切线长．例5．⊙O为△ABC的外接圆，AM, AT分别为中线和角平分线，过点B, C作⊙O的切线相交于点P，连接AP，与BC和⊙O分别相交于点D , E .求证：点T是△AME的内心．例6．圆与圆相交于点M , N ．设l是圆和圆Γ的两条公切线中距离M较近的那条公切线，l与圆相切于点A，与圆相切于点B．设经过M且与l 平行的直线与圆另交于C，与圆另交于D，直线AC和BD相交于E, 直线AN和CD交于P，直线BN与CD交于Q . 求证：EP=EQ.例7．如图，已知锐角三角形ABC，以AB为直径的圆与AB边的高线CC ' 及其延长线交于M, N，以AC为直径的圆与AC边上的高线BB ' 及其延长线交于P，Q，求证：M, N , P，Q 四点共圆．例8．在△ABC的中线CD上取一点它，圆周S2经过点E，与直线AB相切于点A，且与边AC相交于点M，圆周S2经过点E，与直线AB相切于点B，且与边BC相交于N，求证：△CMN的外接圆与S1和S2都相切．。

高中数学竞赛-平面几何讲义(很详细)

HBC
（5）H 关于三边的对称点在△ABC 的外接圆上，关于三边中
点的对称点在△ABC 的外接圆上
（6）三角形任一顶点到垂心的距离
A
等于外心到对边的距离的 2 倍。（7）设△ABC 的垂心为 H，外接圆
F
B'
半径为 R，
OH E
则 HA HB HC 2R B | cos A | | cos B | | cosC |
A
M
N
B
EF
C
D
证明：设∠BAE=∠CAF= ，∠EAF=
则
S AMDN

1 2
AM

AD sin

1 2
AD
AN sin(

)
= 1 AD[AF cos( )sin AF cos sin( )
2
= 1 AD AF sin(2 ) AF AD BC
从而 AB A' F = AC A' E ，又∠AFE=∠AEF
故
S△ABA’=
1 2
sin
AFE

AB

A'
F
=
1 2
s
in
A
EF

A
C

A'
E
=S△ACA’
由此式可知直线 AA’必平分 BC 边，即 AA’必过△
ABC 的重心
同理 BB’，CC‘必过△ABC 的重心，故结论成立。
例 3．设△ABC 的三条高线为 AD，BE，CF，自 A， B，C 分别作 AK EF 于 K，BL DF 于 L， CN ED 于 N，证明：直线 AK，BL，CN 相交于一点。

2020全国数学竞赛提升篇平面几何圆幂与根轴课件 (共30张PPT)

证明：假设A,B,C,D 不共圆，并设AK交三角形ABC外接圆与D’ 连结CD’并延长交AM延长线与M’
同样得到N’ 连结 M’N’。设AK延长线交MN,M’N’与R,R’。
由例二的结论，OK⊥M’N’.而已知OK ⊥MN。 ∴MN∥ M’N’. 且有MR/RN=M’R’/R’N’
三角形AMN中， AR,CM,BN交于一点。由赛瓦定理，
2020数学竞赛（提升篇）·平面几何·圆幂与根轴
中学生数学奥林匹克竞赛（提升篇）
平面几何——圆幂与根轴
2019.8
一.圆幂
• 1.概念： • 圆的幂是表示平面上一点P与圆O的位置关
系的一个量。定义：点P对圆O的幂=PO2-R2 • 2.圆幂定理圆幂定理实质上是三个定理的统一概括： ——切线定理，割线定理，以及相交弦定理
• 又在PR上取点M，连 CM,满足∠PAC= ∠CMR= ∠CDB,于是又P,A,C,M共圆， M,C,D,R共圆。故有 RM×RP=RC×RA,P M×PR=PC×PD,两式相加即有PR2=P的幂+R的幂
评注：这个结论十分重要，应作为定理牢记。用本题结论可以很容易地证明国家集训队的一道试题以及全国高中数学联赛加试第一题。
下面来看几道关于根轴根心的题目。
例五.设三角形ABC的边AB,AC上分别有N,K两点，且N,K,C,B四点共圆。若三角形ABC,三角形ANK外接圆还交于异于A的点M。求证：AM⊥OM 由根轴及圆幂，有
故BO32-CO32=BD×BC-CD×BC=(BD-CD) ×BC =(BDCD) (BD+CD) =BD2-CD2 所以 DO3⊥BC
例二：设P是圆O外一点，PAB,PCD是两条切线， AD,BC交于点Q，延长BD,AC交于点R.求证： PQ2=P的幂+Q的幂 PR2=P的幂+R的幂

圆（圆幂定理、根轴，托勒密定理、帕斯卡定理、牛顿定理Ⅰ、Ⅱ）

圆（圆幂定理、根轴，托勒密定理、帕斯卡定理、牛顿定理
Ⅰ、Ⅱ）
一、圆幂定理、根轴
1. 圆幂定理：
圆幂定理为以下三个定理的统称，即
相交弦定理（Ⅰ:AP·PB=CP·PD）
割线定理（Ⅱ：PA·PB=PC·PD）
切割线定理（Ⅲ：PA2=PC·PD）
2. 根轴：
到两圆幂相等的点的集合为一条垂直于两圆圆心连线的直线
且：若两圆相交则根轴为公共弦所在直线
若两圆相切则根轴为公切线
同心圆无根轴
二、几条重要的定理
1. 托勒密定理
凸四边形 ABCD 中有
AC · BD ≥ AB · CD + AD · BC
等号当且仅当四边形 ABCD 是圆内接四边形时成立
2. 帕斯卡定理
圆内接六边形三组对边所在直线交点共线
3. 牛顿定理Ⅰ
圆外切四边形的对角线交点和以切点为顶点的四边形对角线交点重
合
4. 牛顿定理Ⅱ
圆外切四边形两条对角线中点和该圆圆心，三点共线
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初中数学竞赛辅导讲义及习题解答第22讲园幂定理

第二十二讲园幂定理相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理．圆幂定理实质上是反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段有关．相交弦定理、切割线定理、割线定理有着密切的联系，主要体现在：1．用运动的观点看，切割线定理、割线定理是相交弦定理另一种情形，即移动圆内两条相交弦使其交点在圆外的情况；2．从定理的证明方法看，都是由一对相似三角形得到的等积式．熟悉以下基本图形、基本结论：【例题求解】【例1】如图，PT 切⊙O 于点T ，PA 交⊙O 于A 、B 两点，且与直径CT 交于点D ，CD=2，AD=3，BD=6，则PB= ．思路点拨综合运用圆幂定理、勾股定理求PB 长．注：比例线段是几何之中一个重要问题，比例线段的学习是一个由一般到特殊、不断深化的过程，大致经历了四个阶段：(1)平行线分线段对应成比例； (2)相似三角形对应边成比例；(3)直角三角形中的比例线段可以用积的形式简捷地表示出来； (4)圆中的比例线段通过圆幂定理明快地反映出来．【例2】如图，在平行四边形ABCD 中，过A 、B 、C 三点的圆交AD 于点E ，且与CD 相切，若AB=4，BE=5，则DE 的长为( ) A ．3 B ．4 C ．415 D ．516思路点拨连AC ，CE ，由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创设条件．注：圆中线段的算，常常需要综合相似三角形、直角三角形、圆幂定理等知识，通过代数化获解，加强对图形的分解，注重信息的重组与整合是解圆中线段计算问题的关键．【例3】如图，△ABC内接于⊙O，AB是∠O的直径，PA是过A点的直线，∠PAC=∠B．(1)求证：PA是⊙O的切线；(2)如果弦CD交AB于E，CD的延长线交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，，AE：BE=2：3，求AB的长和∠ECB的正切值．思路点拨直径、切线对应着与圆相关的丰富知识．(1)问的证明为切割线定理的运用创造了条件；引入参数x、k处理(2)问中的比例式，把相应线段用是的代数式表示，并寻找x 与k的关系，建立x或k的方程．【例4】如图，P是平行四边形AB的边AB的延长线上一点，DP与AC、BC分别交于点E、E，EG是过B、F、P三点圆的切线，G为切点，求证：EG=DE思路点拨由切割线定理得EG2=EF·EP，要证明EG=DE，只需证明DE2=EF·EP，这样通过圆幂定理把线段相等问题的证明转化为线段等积式的证明．注：圆中的许多问题，若图形中有适用圆幂定理的条件，则能化解问题的难度，而圆中线段等积式是转化问题的桥梁．需要注意的是，圆幂定理的运用不仅局限于计算及比例线段的证明，可拓展到平面几何各种类型的问题中．【例5】如图，以正方形ABCD的AB边为直径，在正方形内部作半圆，圆心为O，DF切半圆于点E，交AB的延长线于点F，BF＝4．求：(1)cos∠F的值；(2)BE的长．思路点拨解决本例的基础是：熟悉圆中常用辅助线的添法(连OE，AE)；熟悉圆中重要性质定理及角与线段的转化方法．对于(1)，先求出EF，FO值；对于(2)，从△BE F∽△EAF，Rt△AEB入手．注：当直线形与圆结合时就产生错综复杂的图形，善于分析图形是解与圆相关综合题的关键，分析图形可从以下方面入手：(1)多视点观察图形．如本例从D 点看可用切线长定理，从F 点看可用切割线定理． (2)多元素分析图形．图中有没有特殊点、特殊线、特殊三角形、特殊四边形、全等三角形、相似三角形．(3)将以上分析组合，寻找联系．学力训练1．如图，PT 是⊙O 的切线，T 为切点，PB 是⊙O 的割线，交⊙O 于A 、B 两点，交弦CD 于点M ，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，则PT 的长为．2．如图，PAB 、PCD 为⊙O 的两条割线，若PA=5，AB=7，CD=11，则AC ：BD= ． 3．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是AB 延长线上的一点，CD 是⊙O 的切线，D 为切点，过点B 作⊙O 的切线交CD 于点F ，若AB=CD=2，则CE= ．4．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以AC 为直径作圆与斜边交于点P ，则BP 的长为( )A ．6．4B ．3．2C ．3．6D ．85．如图，⊙O 的弦AB 平分半径OC ，交OC 于P 点，已知PA 、PB 的长分别为方程024122=+-x x 的两根，则此圆的直径为( )A ．28B ．26C ．24D ．226．如图，⊙O 的直径Ab 垂直于弦CD ，垂足为H ，点P 是AC 上一点(点P 不与A 、C 两点重合)，连结PC 、PD 、PA 、AD ，点E 在AP 的延长线上，PD 与AB 交于点F ，给出下列四个结论：①CH 2=AH ·BH ；②AD ＝AC ：③AD 2=DF ·DP ；④∠EPC=∠APD ，其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，BC 是半圆的直径，O 为圆心，P 是BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AD ⊥BC 于点D ．(1)若∠B=30°，问AB 与AP 是否相等?请说明理由； (2)求证：PD ·PO=PC ·PB ；(3)若BD ：DC=4：l ，且BC ＝10，求PC 的长．8．如图，已知PA 切⊙O 于点A ，割线PBC 交⊙O 于点B 、C ，PD ⊥AB 于点D ，PD 、AO 的延长线相交于点E ，连CE 并延长交⊙O 于点F ，连AF ． (1)求证：△PBD ∽△PEC ； (2)若AB=12，tan ∠EAF=32，求⊙O 的半径的长．9．如图，已知AB 是⊙O 的直径，PB 切⊙O 于点B ，PA 交⊙O 于点C ，PF 分别交AB 、BC 于E 、D ，交⊙O 于F 、G ，且BE 、BD 恰哈好是关于x 的方程0)134(622=+++-m m x x (其中m 为实数)的两根．(1)求证：BE=BD ；(2)若GE ·EF=36，求∠A 的度数．10．如图，△ABC 中，∠C=90°，O 为AB 上一点，以O 为圆心，OB 为半径的圆与AB 相交于点E ，与AC 相切于点D ，已知AD=2，AE=1，那么BC= ．11．如图，已知A 、B 、C 、D 在同一个圆上，BC=CD ，AC 与BD 交于E ，若AC=8，CD=4，且线段BE 、ED 为正整数，则BD= ．⌒⌒⌒12．如图，P 是半圆O 的直径BC 延长线上一点，PA 切半圆于点A ，AH ⊥BC 于H ，若PA=1，PB+PC=a (a >2)，则PH=( )A ．a 2 B ．a 1 C ．2a D ．3a13．如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，弦EF 经过BC 的中点D ，且EF ∥AB ，若AB=2，则DE 的长为( )A ．21 B ．215- C ．23 D ．1 14．如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，延长BC 至D ，使CD=BC ，CE ⊥AD于E ，BE 交⊙O 于F ，AF 交CE 于P ，求证：PE=PC ．15．已知：如图，ABCD 为正方形，以D 点为圆心，AD 为半径的圆弧与以BC 为直径的⊙O 相交于P 、C 两点，连结AC 、AP 、CP ，并延长CP 、AP 分别交AB 、BC 、⊙O 于E 、H 、F 三点，连结OF ．(1)求证：△AEP ∽△CEA ；(2)判断线段AB 与OF 的位置关系，并证明你的结论； (3)求BH:HC16．如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，PEC 是一条割线，D 是AB 与PC 的交点，若PE=2，CD=1，求DE 的长．17．如图，⊙O 的直径的长是关于x 的二次方程0)2(22=+-+k x k x (k 是整数)的最大整数根，P 是⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的切线PA 和割线PBC ，其中A 为切点，点B 、C 是直线PBC 与⊙O 的交点，若PA 、PB 、PC 的长都是正整数，且PB 的长不是合数，求PA+PB+PC 的值．参考答案。

两圆根轴上的点圆幂

两圆根轴上的点圆幂
1.介绍了什么是两圆根轴及点圆幂；
2.解释了点圆幂的计算方法；
3.探讨了两圆根轴上的点圆幂的性质；
4.提出了点圆幂在几何问题中的应用。

两圆根轴指的是由两个圆的交点和两个圆的切点所连成的直线。

而点圆幂则是指一个点相对于一个圆的力度。

在几何学中，点圆幂是一种重要的概念。

它可以帮助我们理解两个圆之间的关系，并且在解决几何问题时经常会用到。

计算点圆幂的方法可以通过以下公式得到：
**P=AB*CD**
其中，P表示点圆幂，AB表示从点A到点B的线段长度，CD表示点C到圆心的距离。

在两圆根轴上的点圆幂具有一些特殊的性质。

首先，对于两圆根轴上的任意一点，它到两个圆的点圆幂相等。

其次，两圆根轴上的点圆幂相等的点在两圆根轴上互为共轭点。

通过上述性质，我们可以在解决几何问题时利用点圆幂的特性。

例如，通过两圆根轴上的点圆幂相等来确定两圆的位置关系。

另外，点圆幂还可以用于构造切线、求解交点等问题。

总结起来，两圆根轴上的点圆幂是几何学中的重要概念。

我们可以利用点圆幂的计算方法和性质来解决各种几何问题。

通过深入理解点圆幂的应用，我们可以更好地探索和理解几何学的奥秘。

（注意：本文仅为示例，具体内容宜参考相关教材和资料）。

初中数学竞赛辅导(圆)1

平面几何基础知识教程（圆）一、几个重要概念外心：三角形三边中垂线恰好交于一点，此点称为外心内心：三角形三内角平分线恰好交于一点，此点称为内心垂心：三角形三边上的高所在直线恰好交于一点，此点称为垂心凸四边形：四边形的所有对角线都在四边形ABCD内部的四边形称为凸四边形折四边形：有一双对边相交的四边形叫做折四边形（如以下图）（折四边形）二、圆内重要定理：1．四点共圆概念：假设四边形ABCD的四点同时共于一圆上，那么称A，B，C，D四点共圆大体性质：假设凸四边形ABCD是圆内接四边形，那么其对角互补证明：略判定方式：1．概念法：假设存在一点O使OA=OB=OC=OD，那么A，B，C，D四点共圆2．定理1：假设凸四边形ABCD的对角互补，那么此凸四边形ABCD有一外接圆证明：略专门地，当凸四边形ABCD中有一双对角都是90度时，此四边形有一外接圆3．视角定理：假设折四边形ABCD中，∠=∠ADB ACB，那么A，B，C，D四点共圆证明：如上图，连CD ，AB ，设AC 与BD 交于点P因为∠=∠ADB ACB ，因此180=∠=∠∠=∠∠+∠=∠+∠+∠=∠+∠+∠=ΔCPB ∽ΔDPA所以有再注意到因此Δ∽Δ因此由此（ΔABD 的内角和）因此A ，B，C，D四点共圆PC PB PD PACPD BPACPD BPAPCD PBABCD BAD BCA PCD BAD BDA PBA BAD专门地，当∠=∠ADB ACB =90时，四边形ABCD 有一外接圆2．圆幂定理：圆幂定理是圆的相交弦定理、切割线定理、割线定理、切线长定理的统一形式。

相交弦定理：P 是圆内任一点，过P 作圆的两弦AB ，CD ，那么PA PB PC PD •=•证明：∠=∠∠=∠=•=•连，，则（等弧对等圆周角）而（对顶角相等）因此ΔAPC ∽ΔDPB即，因此AC BD CAB CDB APC DPB PA PC PA PB PC PD PD PB（切）割线定理：P 是圆外任意一点，过P 任作圆的两割（切）线PAB ，PCD ，那么•=•PA PB PC PD证明方式与相交弦定理完全一样，可仿前。

奥数夏令营讲义之平面几何(9)圆幂定理、根轴、根心

九、圆幂定理、根轴、根心1. △ABC 中，E 、F 分别为AB 、AC 中点，CM 、BN 为高，EF 交MN 于P ，O 、H 分别为△ABC 的外心与垂心. 求证：AP ⊥OH .证明：由∠BMC ＝∠BNC ＝90°知B 、C 、N 、M 四点共圆.所以AM ·AB ＝AN ·A C.又AE ＝12AB ，AF ＝12AC ，则AM ·AE ＝AN ·AF ，即E 、F 、N 、M 四点共圆. 注意到由∠AMH ＝∠ANH ＝∠AEO ＝∠AFO ＝90°知AH 、AO 分别为△AMN ，△AEF 外接圆的直径.过AH 中点H '与AO 中点O′分别为△AMN 与△AEF 的外心，且易知O 'H '//OH . 故只需证AP ⊥O `H '，只需证A ，P 为△AMN ，△AEF 外接圆的等幂点即可. 注意到A 为两圆公共点，而由E ，F 、N ，M 四点共圆知PM ·PN ＝PE ·PF . 故P 也为等幂点. 综上所述，原命题成立.2. 如图，⊙1O 与⊙2O 相交于点C ，D ，过点D 的一条直线分别与⊙1O ，⊙2O 相交于点A ，B ，点P 在⊙1O 的弧AD 上，PD 与线段AC 的延长线交于点M ，点Q 在⊙2O 的弧BD 上，QD 与线段BC 的延长线交于点N . O 是△ABC 的外心. 求证：OD MN ⊥的充要条件为P ，Q ，M ，N 四点共圆. (第7届西部)证明：设△ABC 的外接圆O 的半径为R ，则M ，N 对圆O 的幂分别为， ① . ②因为A ，C ，D ，P 四点共圆，所以， ③因为Q ，D ，C ，B 四点共圆，所以， ④由①，②，③，④得P C B AONH F EM22MO R MC MA -=⋅22NO R NC NB -=⋅MP MD MA MC ⋅=⋅NQ ND NB NC ⋅=⋅MP MD NQ ND MO NO ⋅-⋅=-22)()(DP MD MD DQ ND ND +-+=，所以，P ，Q ，M ，N 四点共圆.3. 设凸四边形ABCD 的外接圆的圆心为O ，已知AC ≠BD ，且AC 与BD 交于点E ，若P为四边形ABCD 内部一点，且∠P AB ＋∠PCB ＝∠PBC ＋∠PDC ＝90°. 求证：O 、P 、E 三点共线.分析：在涉及圆(尤其是多个圆)的共点共线问题时，根轴是一个很有效的工具. 利用根轴解决三点共线的关键是恰当地选取两个圆，然后证明所证三点均在这两个圆的根轴上. 证明：记△APC 的外接圆的圆心为S 1，△BPD 的外接圆的圆心为S 2.由圆幂定理，有EC ·EA ＝EB ·ED ，知点E 对圆S 1的幂等于E 对圆S 2的幂.于是PE 为圆S 1与圆S 2的根轴.下面只需证明O 在圆S 1与圆S 2的根轴上.延长OP 交圆S 1于点Q ，连结QC ，QA .由条件知∠ACP ＋∠CAP ＝90°一∠CBA .连结OC ，OA ，则∠CAO ＝90°一∠CBA ＝∠ACP ＋∠GAP .从而有∠ACP ＝∠P AQ . 又∠ACP ＝∠AQO ，于是∠P AO ＝∠AQO .故△P AO ∽△AQO . 所以OP ·OQ ＝OA 2，即点O 对圆S 1的幂为OA 2.同理，点O 对圆S 2的幕为OB 2.注意到OA ＝OB ，有点O 对圆S 1与圆S 2的幂相等.故O 在圆S 1与圆S 2的根轴PE 上. 所以，O ，P ，E 三点共线.4. 在凸五边形ABCDE 中，AB ＝BC ，∠BCD ＝∠EAB ＝90°，P 为五边形内一点，使得AP⊥BE ，CP ⊥BD . 证明：BP ⊥DE .)(22DP MD DQ ND MD ND ⋅-⋅+-=OD MN ⊥⇔2222MD ND MO NO -=-DP MD DQ ND ⋅=⋅⇔⇔BCAPE证法1：如图，过点P作PH⊥DE于点H.因为∠PFD＝∠PGE＝90°＝∠PHD＝∠PHE，所以，F，D，H，P和P，H，E，G分别四点共圆，记两圆为⊙M1和⊙M2.又BF·BD＝BC2＝BA2＝BG·BE. 所以F，D，E，G四点共圆，记此圆为⊙M3.易见，⊙M1、⊙M2、⊙M3两两之间的公共弦恰为PH，EG，FD.由根心定理知，这三条根轴交于一点.又已知直线DF和EG交于点B，因此，直线PH过点B. 由PH⊥DE，知BP⊥DE.证法2：记BP的中点为O. 因为∠BFP＝90°＝∠BGP，所以，B，F，P，G四点共圆且圆心为点O.又因为BA＝BC，∠BCD＝90°＝∠BAE，故以点B为圆心，BC为半径的圆B过点A，且直线DC和EA都是圆B的切线，切点分别为C和A.所以DC2＝DF·DB，故点D在圆O与圆B的根轴上.同理，点E在圆O与圆B的根轴上.因此，直线DE为圆O与圆B的根轴. 则BO⊥DE，即BP⊥DE.5.设锐角△ABC的外心为O，△BOC的外心为T，点M为边BC的中点，在边AB，AC上分别取点D，E，使得∠ADM＝∠AEM＝∠BAC. 证明：AT⊥DE.证明：如图，由O是△ABC的外心，T是△BOC的外心知，O ，M ，T 三点共线，且OT ⊥BC .延长DM ，AC 交于点G ，延长EM ，AB 交于点F ，连结FT ，BT ，GT .于是，有∠BTO ＝2∠BCO ＝180°－∠BOC ＝180°－2∠BAC ＝∠AFE .故B ，F ，T ，M 四点共圆.则∠BFT ＝180°－∠BMT ＝90°. 同理，∠CGT ＝90°.过点T 作TH ⊥DE 于点H ，于是，D 、F 、T 、H 和H 、T 、G 、E 分别四点共圆，记两圆为⊙S 1和⊙S 2.又∠FDG ＝180°－∠ADG ＝180°－∠AEF ＝∠FEG ，所以，D 、F 、G 、E 四点共圆，记之为⊙S 3.由于直线TH ，GE ，DF 恰为⊙S 1、⊙S 2、⊙S 3两两之间的三条根轴，且GE 与DF 交于点A ，故由根心定理知TH 过点A .因为TH ⊥DE ，所以，AT ⊥DE .6. 如图，从半圆上的一点向直径引垂线，设垂足为，作切，，分别于，，. 求证：.证明设半圆的圆心为，则，，共线. 连，知，得.连，，由，知，，三点共线. 又因，，有，从而是的切线，故点对的幂等于点对的幂，即有.C ABD 1O ⊙BC CD DBEFG AC AG =O O 1O E 1O F 1O F CD ⊥1O F AB ∥图 10-2G EF AE 111122FEO FO O EOB OEA ∠=∠=∠=∠E F A 90ACB ∠=︒CD AB ⊥ACF ABC AEC ∠=∠=∠AC CEF ⊙A CEF ⊙2AC A 1O ⊙2AG AC AG =7. 如图，设是的内心，过作的垂线，分别交边，于，. 求证：分别于及相切于及的圆必与的外接圆相切.证明延长交的半径为，则点对的幂为，于是. 由，知. 从而，. 由此，即知与相切.8. 如图，过的顶点，，且与，交于，(与不同)，的外接圆和的外接圆相交于和. 求证：. (试题)I ABC △I AI AB AC P Q AB AC P Q L ABC △OAI O ⊙R L O ⊙22R LO LA LM -=⋅图 10-3I Q DP OABC 222()LO R LA LM R LA IM LI =-⋅=-⋅-2R LA IM LA LI =-⋅+⋅22R LA IM LP =-⋅+11()22MIC A C BCM C MCI ∠=∠+∠=∠+∠=∠12sin 22PL MI MC R A R AL==⋅∠=⋅22222()PL LO R LA R LP R PL AL=-⋅⋅+=-L ⊙O ⊙O ⊙ABC △A C AB BC K N K N ABC△BKN △B M 90BMO ∠=︒IMO 26-证明：设和的外接圆圆心分别为，，由题设，推知，，三点不共线（否则和重合），而直线，，分别为这三个圆中两两圆的根轴，故它们必相交于一点，不妨设交于点.由，知，，，四点共圆，则点对此圆的幂等于点对的幂，即有（设为的半径）. 又点对的幂等于点对的幂，即有.由上述两式相减，得，由此有，故.9. 如图，已知两个半径不相等的⊙O 1与⊙O 2相交于M 、N 两点，且⊙O 1、⊙O 2分别与⊙O 内切于S 、T 两点. 求证：OM ⊥MN 的充分必要条件是S 、N 、T 三点共线.ABC △BKN △1O 2O O 1O 2O B M AC KN BM PBPMN BKN NCA ∠=∠=∠P M N C B PMNC ⊙B O ⊙R O ⊙22BM BP BN BC BO R ⋅=⋅=-P 2O ⊙P O ⊙22PM PB PN PK PO R ⋅=⋅=-2222()()()PO BO BP PM BM PM BM PM BM PM BM -=-=+-=-OM BP ⊥90OMB ∠=︒证明连，，，作公切线，相交于，则得，由此即知自点向和所昨切线长相等，故点在这两圆和的根轴上，且由.连交于点，则，且，故，，，四点共圆.由此，即有在直线上，，三点共线.10. 设O 和I 分别为ABC △的外心和内心，ABC △的内切圆与边BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，直线FD 与CA 相交于点P ，直线DE 与AB 相交于点Q ，点M 、N 分别为线段PE 、QF 的中点.求证：OI MN ⊥.OS OT ST SP TP P ON MT S O 1O 2PPS PT =P 1O ⊙2O ⊙P 1O ⊙2O ⊙2PS PN PM =⋅OP ST Q OP ST ⊥2PQ PO PS PN PM ⋅==⋅O Q N M OM MN OQ QN N ⊥⇔⊥⇔ST S ⇔N T证明如图，考虑与截线，由定理，有，所以，于是，因此，这样=，，， . 于是.因为是点到的内切圆的切线长，所以是点到内切圆的幂，而是点到的外接圆的幂. 等式表明点到的外接圆与内功圆的幂相等，因而点在的外接圆与内功切圆的根轴上.同理，点也在的外接圆与内切圆的根轴上.故.图 10-12ABC △PFD Menelaus 1CP AF BD PA FB DC ⋅⋅=PA AF BD AF p a PC FB DC DC p c -=⋅==-PA p a CA a c -=-()b p a PA a c-=-()b p a PE PA AE p a a c -=+=+--2()()p c p a a c ---1()()2p c p a ME PE a c--==-2()()()()p c p a p a MA ME AE p a a c a c---=-=--=--2()()()()p c p a p c MC ME EC p c a c a c---=+=+-=--2MA MC ME ⋅=ME M ABC △2ME M MA MC ⋅M ABC △2MA MC ME ⋅=M ABC △M ABC △N ABC △OI MN ⊥11. 在锐角三角形ABC 中，AB AC >. 设Γ是它的外接圆，H 是它的垂心，F 是由顶点A处所引高的垂足. Q 是Γ上一点，使得90HQA =︒∠，K 是Γ上一点，使得90HKQ =︒∠.已知A 、B 、C 、K 、Q 互不相同，按此顺序排列在Γ上. 证明：KQH △的外接圆和FKM △的外接圆相切. (2015年国际数学奥林匹克第56届IMO ，乌克兰供题)证明：如图所示，延长交Γ于点，由于，从而是Γ的直径. 由于，故，同理，故是平行四边形，∴是的中点. 延长交Γ于点，又∵，故，∴是三角形的中位线，∴是的中点.设直线与交于点. 根据圆幂定理，的外接圆ω1和的外接圆ω2分别是以和为直径的圆，这两个圆外切于点，而是这两个圆的等幂点，从而在这两个圆的根轴上，即是这两个圆的公切线，.设直线交于点，则是的中点. 由于的直角三角形，是斜边的中点，故.再由是ω1的切线知，也是ω1的切线. 在直角三角形中，是斜边上的高，从而，故也是的外接圆的切线. 于是与的外接圆和的外接圆均QH A '90AQH =︒∠'AA A B AB '⊥A B CH '∥A C BH '∥'BA CH M 'A H AF E A E AE '⊥A E BC '∥MF 'HA E F HE A E 'QK R 'RK RQ RE RA =HKQ ⊿'HEA ⊿HQ 'HA H R R RH 'RH A Q ⊥MF HR S S HR RHK ⊿S RH SH SK =SH SK SHM 22SF SM SH SK ==SK KMF ⊿SK KQH ⊿FKM ⊿相切于点处，∴这两个圆也在点处相切.12. 如图，1O ⊙、2O ⊙外离，它们的一条外公切线与1O ⊙、2O ⊙分别切于点A 、B ，一条内公切线与1O ⊙、2O ⊙分别切于点C 、D . 设E 是直线AC 、BD 的交点，F 是1O ⊙上的一点，过F 作1O ⊙的切线与线段EF 的中垂线交于点M ，过M 作MG 切2O ⊙与点G . 求证：MF =MG . (2015年第14届中国女子数学奥林匹克付云皓供题)证明：如图，直线、交于点连接、.设、分别是线段、的中点，连接、. ∵ 、是的切线，故平分，且. 同理平分，且.∵、分别是的内角平分线和外角平分线， ∴.又∵，.∴.而，.得：点对、以及以点为圆心，0为半径的圆的幂相等. 同理，点对、以及以点为圆心，0为半径的圆的幂也相等. ∴这三个圆必有一条公共的根轴.而在的中垂线上，∴.又∵是的切线. KK AB CD H 1HO 2HO J K AB CD JE KE HA HC 1O ⊙1HO AHC ∠1AC HO ⊥2HO BHD ∠2BD HO ⊥1HO 2HO AHC ∠12HO HO ⊥1AC HO ⊥2BD HO ⊥AC BD ⊥JE JA JB ==KE KC KD ==J 1O ⊙2O ⊙E K 1O ⊙2O ⊙E M EF MF ME =MF 1O ⊙∴在这三个圆的公共根轴上，再∵是的切线.∴.13. 如图，在ABC △中，AB AC =，I 为ABC △的内心. 以AB 为半径作A ⊙，以IB 为半径作I ⊙，过点B 、I 的圆Γ与A ⊙、I ⊙分别交于点P 、Q (不同于点B ). 设IP 与BQ 交于点R .证明：BR CR ⊥. (2017年全国高中数学联赛加试题)如图，设、、三点确定圆，与交于点（若两圆相切，则视作点与重合，直线视为两圆的公切线）.对圆、、圆应用根心定理，有、、三线共点于.从而，、、三点共线.∴.又∵，类似地，于是.而，.则 M MG 2O ⊙MF MG=C I P 1ΓI ⊙S C SCS 1ΓI ⊙ΓCS IP BQ R C S R PQR PSR BIP CIP BIC +=+=∠∠∠∠∠=QPR IBR IQB IPB ==∠∠∠∠RPS IPC =∠∠QPS QPR RPS IPB IPC BPC =+=+=∠∠∠∠∠∠1902BIC A =︒+∠∠1180902BPC BAC A =︒-=︒-∠∠∠()360360QRS PQR PSR QPS BIC BPC =︒-+=︒--∠∠∠-∠∠∠=. ∴.14. 如图，在锐角ABC △中，AB AC >，D 、E 分别是边AB 、AC 的中点. ADE △的外接圆与BCE △外接圆交于点P （异于点E ），A D E △的外接圆与BCD △的外接圆交于点Q (异于点D ). 求证：AP AQ =. (2014年第13届中国女子数学奥林匹克付云皓)证明：由题目的条件可知：△ADE 与△ABC 位似，且位似中心为点A ，∴△ADE 的外接圆与△ABC 的外接圆相切于点A ，过点A 作这两个圆的公切线AM ，则是这两个圆的根轴. 根据蒙日定理（即根心定理）且，可知直线、、交于一点，且直线、、交于一点，∴直线、、、交于点.由切线的性质可得，∴.∴. 又∵，∴.∴.∵， 11360901809022A A ⎛⎫⎛⎫︒-︒+--=︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∠∠BR CR⊥AM AB AC >BC DQ AM BC DQ PE BC DQ PE AM M CAM ABM =∠∠ACM BAM ⊿∽⊿BM AB BD AM AC AE==DBM EAM =∠∠BDM AEM ⊿∽⊿AME BMD =∠∠DE BC ∥∴.∴.∴.故，则.15. ABC △，外心O ，外接圆的切线AD ，D 在BC 延长线上，倍长CD 至E ，作EF //AC 交BA 延长线于F . 证明：OD ⊥DF .证明：延长FD 交AC 于G ，则D 为FG 中点，只要证OG =OF等价于证：OG ²-R ²=OF ²-R ²即只要证： (1)再延长AD 交FE 于H ，则D 为AH 中点，由，得故A ，E ，H ，B 四点共圆，则再注意到F ，E ，H 关于D 的中心对称点为G ，C ，A ，又有，从而，(1)得证.BMD MDE QPE ==∠∠∠AME QPE =∠∠PQ AM ∥PQA QAM APQ ==∠∠∠AP AQ =GC GA FA FB ⋅=⋅2AD DC DB =⋅AD DH DE DB ⋅=⋅FA FB FE FH ⋅=⋅FE FH GC GA ⋅=⋅E16. 如图所示，在ABC △中，X ，Y 是直线BC 上两点(X ，B ，C ，Y 顺次排列)，使得BX ·AC =CY ·AB .设ACX △，ABY △的外心分别为12,O O ，直线12O O 与AB 、AC 分别交于点U 、V . 证明：AUV △是等腰三角形.证明：作的角平分线交于点，由角平分线定理知，，从而，即.故对圆的幂相等，所以在圆的根轴上，故，所以△AUV 是等腰三角形.17. 如图，设与交于点，它们的一条外公切线分别与、切于点A 、B ，过点A 、B 的圆分别与、交于点D 、C . 证明：.证明：连接AD 、PQ 、BC 、AP 、AQ 、BP 、BQ .BAC ∠BC D BD AB BX DC AC CY ==BD BX BD DX DC CY DC DY+==+DB DY DC DX ⋅=⋅D 12,O O D 12,O O 12AD O O ⊥1O 2O P Q 、1O 2O Γ1O 2O CP DP CQ DQ=由蒙日定理，知AD 、PQ 、BC 交于一点，设为K .由△KPD ∽△KAQ . 由△KP A ∽△KDQ . 于是，. 类似地，，故. ① 延长与交于M . 由△AQM ∽△P AM . 类似地，，从而. ② 又①②得，.18. 如图△ABC 内接于⊙O ，AB ≠AC ，∠A 的平分线交⊙O 于M ，BC 的平行线分别交AB 、AC 边于E 、F ，又交AM 于K ，三点E 、F 、M 确定的圆与外接圆交于M 、N 两点，延长NK 交⊙O 于D ，证明：DA //BC .证明：.DP KP AQ KA ⇒=AP KA DQ KQ ⇒=AP DP KP AQ DQ KQ⋅=⋅BP CP KP BQ CQ KQ ⋅=⋅AP DP BP CP AQ DQ BQ CQ⋅⋅=⋅⋅PQ AB 2()AQ AM QM AQ AM QM AQ AM QM AP PM AM AP PM AM AP PM PM ⇒==⇒=⋅===2()BQ QM BP PM =AQ BQ AP BP=CP DP CQ DQ=2////DA BC DA EF ADK DKE AMN FKN PN PN PM ⇔⇔∠=∠⇔∠=∠⇔=⋅MN 所在直线是⊙O 与⊙[EFNM ]的根轴，EF 所在直线是⊙[EFNM ]与⊙[AEF ]的根轴，设MN 与EF 交于点Ｐ. 连接BM ，AP .由蒙日定理知，AP 是⊙O 与⊙[AEF ]的根轴，故AP 是⊙O 与⊙[AEF ]的公切线. 由圆幂定理知，，只需证明P A =PK ，即证.显然.2PA PF PE PN PM =⋅=⋅PAK AKP ALC ∠=∠=∠。

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