概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案

概率论与数理统计第一章课后习题及参考答案

1．写出下列随机试验的样本空间．

(1)记录一个小班一次数学考试的平均分数(以百分制记分)；

(2)一个口袋中有5个外形相同的球，编号分别为1，2，3，4，5，从中同时取

出3个球；

(3)某人射击一个目标，若击中目标，射击就停止，记录射击的次数；

(4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标．

解：(1)}100,,2,1{ =Ω；

(2)}345,235,234,145,135,134,125,124,123{=Ω；

(3)},2,1{ =Ω；

(4)}|),{(22y x y x +=Ω．

2．在}10,,2,1{ =Ω，}432{，，=A ，}5,4,3{=B ，}7,6,5{=C ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)B A ；(4)BC A ；(5)C B A ．

解：(1),9,10}{1,5,6,7,8=A ，

}5{=B A ；(2)}10,9,8,7,6,5,4,3,1{=B A ；

(3)法1：}10,9,8,7,6,2,1{=B ，

}10,9,8,7,6,1{=B A ，

}5,4,3,2{=B A ；

法2：}5,4,3,2{===B A B A B A ；

(4)}5{=BC ，

}10,9,8,7,6,4,3,2,1{=BC ，

}4,3,2{=BC A ，

}10,9,8,7,6,5,1{=BC A ；

(5)}7,6,5,4,3,2{=C B A ，

{1,8,9,10}=C B A ．

3．设}20|{≤≤=Ωx x ，}121|

{≤<=x x A ，}2

341|{≤≤=x x B ，具体写出下列各式：(1)B A ；(2)B A ；(3)AB ；(4)B A ．

解：(1)B B A = ，

}22

3,410|{≤<<≤==x x x B B A ；(2)=B A ∅；

(3)A AB =，

}21,210|{≤<≤

≤==x x x A AB ；(4)}231,2141|{<<<≤=x x x B A ．4．化简下列各式：(1)))((B A B A ；(2)))((C B B A ；(3)))((B A B A B A ．解：(1)A B B A B A B A ==)())(( ；

(2)AC B C A B C B B A ==)())((；(3))())()((B A B B A B A B A B A =AB AB A A B A A === )(．5．A ，B ，C 表示3个事件，用文字解释下列事件的概率意义：(1)C B A C A C B A ；(2)BC AC AB ；(3)(C B A ；(4)BC AC AB ．

解：(1)A ，B ，C 恰有一个发生；

(2)A ，B ，C 中至少有一个发生；

(3)A 发生且B 与C 至少有一个不发生；

(4)A ，B ，C 中不多于一个发生．

6．对于任意事件A ，B ，证明：Ω=-A B A AB )(．

证：A B B A A B A AB A B A AB )()(==-Ω==Ω=A A A A ．

7．把事件C B A 表示为互不相容事件的和事件．解：)

()[(C A B A A A C B A C B A =-=)

(B A A A A C A B A A ==C

B A B

C A B A A )(=C B A B A A =．

8．设0)(>A P ，0)(>B P ，将下列5个数

)(A P ，)()(B P A P -，)(B A P -，)()(B P A P +，)

(B A P 按有小到大的顺序排列，用符号“≤”联结它们，并指出在什么情况下可能有等式成立．

解：因为0)(>A P ，0)(>B P ，)()(B P AB P ≤，

故)()()()()()()()()(B P A P B A P A P B A P AB P A P B P A P +≤≤≤-=-≤- ，所以)()()()()()()(B P A P B A P A P B A P B P A P +≤≤≤-≤- ．

(1)若A B ⊂，则有)()()(B A P B P A P -=-，)()(B A P A P =；

(2)若=AB ∅，则有)()(A P B A P =-，)()()(B P A P B A P += ．

9．已知B A ⊂，3.0)(=A P ，5.0)(=B P ，求)(A P ，)(AB P ，)(B A P 和)(B A P ．解：(1)7.0)(1(=-=A P A P ；

(2)B A ⊂ ，A AB =∴，则3.0)()(==A P AB P ；(3)2.0)()()()(=-=-=AB P B P A B P B A P ；(4))(1()(B A P B A P B A P -==5.0)]()()([1=-+-=AB P B P A P ．

10．设有10件产品，其中6件正品，4件次品，从中任取3件，求下列事件的

概率．

(1)只有1件次品；(2)最多1件次品；(3)至少一件次品．

解：从10件产品中任取3件，共有310C 种取法，

(1)记=A {从10件产品中任取3件，只有1件次品}，

只有1件次品，可从4件次品中任取1件次品，共14C 中取法，另外的两件

为正品，从6件正品中取得，共26C 种取法．则事件A 共包含2614

C C 个样本点，2

1)(3102614==C C C A P ．(2)记=B {从10件产品中任取3件，最多有1件次品}，

=C {从10件产品中任取3件，没有次品}，

则C A B =，且A 与C 互不相容．

没有次品，即取出的3件产品全是正品，共有36C 种取法，则

6

1)(31036==C C C P ，3

2)()()()(=+==C P A P C A P B P ．(3)易知=C {从10件产品中任取3件，至少有1件次品}，则

6

5)(1(=-=C P C P ．11．盒子里有10个球，分别标有从1到10的标号，任选3球，记录其号码，求：

(1)最小号码为5的概率；(2)最大号码为5的概率．

解：从10个球中任选3球，共有310C 种选法，

(1)记=A {从10个球中任选3球，最小标号为5}，

事件A 发生，则选出球的最小标号为5，另外两个球的标号只可从6，7，8，9，10这5个数中任选，共有25C 种选法，则

12

1)(31025==C C A P ．(2)记=B {从10个球中任选3球，最大标号为5}，

事件B 发生，则选出球的最大标号为5，另外两个球的标号只可从1，2，3，

4这4个数中任选，共有24C 种选法，则