11讲 最优控制-极小值-总结及习题讲解
最优控制习题及参考问题详解
标准文档1 2f最优控制习题及参考答案习题 1 求通过 x (0) = 1 ， x (1) = 2 ，使下列性能指标为极值的曲线：t f J = ∫(x2 +1)dt t 0解： 由已知条件知： t 0 = 0 ， t f = 1d由欧拉方程得： (2x ) = 0dtx = C 1x = C 1t + C 2将 x (0) = 1，x (1) = 2 代入，有：C 2 = 1，C 1 = 1得极值轨线： x *(t ) = t +1习题 2 求性能指标： J = ∫ 1(x 2 +1)dt在边界条件 x (0) = 0 ， x (1) 是自由情况下的极值曲线。
解：由上题得： x *(t ) = C t + C由 x (0) = 0 得： C 2 = 0∂L由∂xt =t f= 2x (t f ) = 2C 1 t =t = 0 t于是： x *(t ) = 0【分析讨论】对于任意的 x (0) = x 0 ，x (1) 自由。
2 0 1∫⎩ λ = −λ有： C = x ， C = 0 ，即： x *(t ) = x 其几何意义： x (1) 自由意味着终点在虚线上任意点。
习题 3 已知系统的状态方程为： x1 (t ) = x2 (t ) ， x 2 (t ) = u (t )边界条件为： x 1 (0) = x 2 (0) = 1 ， x 1 (3) = x 2 (3) = 0 ，31 试求使性能指标 J =u 2(t )dt 2取极小值的最优控制 u *(t ) 以及最优轨线 x *(t ) 。
⎡ x ⎤解：由已知条件知： f = ⎢ 2⎥⎢⎣ u ⎥⎦Hamiton 函数： H = L + λT f H = 1u 2 + λ x + λ u⎧λ = 0由协态方程： ⎨ 12 121 22⎧λ = C① 得： ⎨11⎩λ2 = −C 1t + C 2②∂H由控制方程： ∂u= u + λ2 = 0得： u = −λ2 = C 1t − C 2 ③由状态方程： x 2 = u = C 1t − C 2得： x (t ) = 1C t 2− C t + C④22 由状态方程： x 1 = x 21 2 3得： x (t ) = 1C t 3− 1C t 2+ C t + C⑤16 122 3 41 ∫⎪⎩=−=−⎡1⎤ ⎡0⎤将 x (0) = ⎪ ⎪ ， x (3) = ⎪0⎪ 代入④，⑤,⎣1⎦ ⎣ ⎦10联立解得： C 1 =由③、④、⑤式得：u * (t ) = 10t − 29 ， C 2 = 2 ， C 3 = C 4 = 1 9x *(t ) = 5 t 3 −t 2 + t +127 x *(t ) = 5 t 2 − 2t +1 29习题 4 已知系统状态方程及初始条件为x =u ， x (0) = 1试确定最优控制使下列性能指标取极小值。
11 最优控制1
t0 tf
这是一种积分型泛函，在变分法中这类 问题称为拉格朗日问题。
（2）终值型性能指标
J [ x(t f ), t f ]
在变分法中称为迈耶尔问题。
（3）复合型性能指标。
J [ x(t f ), t f ] F[ x(t ), u(t ), t ]dt
最优控制问题提法
最优控制的问题就是：从所有可供选择 的容许控制中寻找一个最优控制 u (t ) 使状态由x(t 0 )经过一定时间转移到目标集 S，并且沿此轨线转移时，使相应的性能 指标达到极值。
*
任何一个最优控制问题均应包 含以下内容
系统数学模型 边界条件与目标集 容许控制 性能指标
t0
tf
举例
已知人造地球卫星姿态控制系统的状态方程 为 (t ) 0 1 x(t ) 0u (t ) x 0 0 1
1 2 2 性能泛函取为 J 2 0 u (t )dt
边界条件
1 x(0) 1
0 x(2) 0
J ( x) F[ x(t ), x(t ), t ]dt
t0
tf
J ( x) F [ x(t ), x(t ), t ]dt
t0
tf
t * ( t f ) f
t0 t* f
F [ x * (t ) (t ), x * (t ) (t ), t ]dt
求使性能泛函取极值的极值轨线和极值控制
F [ x * (t ) (t ), x * (t ) (t ), t ]dt
第七章极小值原理与典型最优控_...
31
在某些情况下，S矩阵的某些元素大到足 以引起计算上的困难，在此情况下，用 逆Riccati方程求解。 令
P(t ) P (t ) I
P(t ) P 1 (t ) P(t ) P 1 (t ) 0
1
（11）
（12）
32
则逆Riccati方程为
P 1 (t ) A(t ) P 1 (t ) P 1 (t ) AT (t ) B(t ) R 1 (t ) BT (t ) P 1 (t )Q(t ) P 1 (t ) 1 P (t f ) S 1
H x
11
也可以写成
H[ x(t ), u(t ), (t ), t ] min H[ x(t ), v(t ), (t ), t ],
H x f ( x, u , t )
H x
v
12
满足边界条件
x(t 0 ) x 0
33
•最优反馈控制结构
R (t ) B(t )
1
x(t ) A(t ) x(t ) B(t )u(t )
P(t)
34
•P(t)的计算
由
将Riccati方程写成差分格式
P (t t ) P (t ) t[ P (t ) A(t ) AT (t ) P (t ) P (t ) B (t ) R 1 (t ) B T (t ) P (t ) Q (t )
J min
J min 0, 且t0为任意
P(t ) 0
37
•无限时间调节器问题
1 T J [ x (t )Q (t ) x(t ) u T (t ) R (t )u (t )]dt Min 2 t0 u (t ) x(t ) A(t ) x(t ) B (t )u (t ) s.t. x(t0 ) x0
最优控制极小值原理
④在最优轨线末端哈密顿函数应满足
H
[
x*
(t
* f
),
(t*f
),
u*
(t*f
),
t
* f
]
[
x*
(t
* f
t f
),
t*f
]
⑤沿最优轨线哈密顿函数变化率
H[x*(t),(t),u*(t),t] H[x*(t f ),(t f ),u*(t f ),t f ]
tf t
H(x,,u, )d
定理3－2与定理3－1的区别：P61
当 t f自由时
H (x*(tt*f ),u*(tt*f ), (tt*f )) 0
第三章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
最小值原理只是最优控制所满足的必要条件。 但对于线性系统
x&(t) A(t)x(t) B(t)u(t)
，
a11(t) L
A(t)
M
O
an1(t) L
a1n (t)
g
H
x(t)
g
(t)
H
x
式中哈密顿函数 H (x, u, λ) L(x, u) λT (t)f (x, u)
② x(t) 及 (t) 满足边界条件
x(t0 ) x0
(t f ) 0
第3章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
③哈密顿函数相对最优控制为极小值
H[x*(t), (t),u*(t)] min H[x*(t), (t),u(t)] u(t )
第3章 极小值原理及其应用 3.1 连续系统的极小值原理
2、积分型性能指标问题
定理3-3：
min J (u) tf L[x(t),u(t)]dt
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最优控制——极小值原理 最 控制 值原 3.2 连续定常系统极小值原理
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最优控制——极小值原理 最 控制 值原 3.2 连续定常系统极小值原理
极小值原理与变分法求最优控制的比较
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最优控制——极小值原理 最 控制 值原 3.2 连续定常系统极小值原理
33
最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
月面软着陆问题
h
v g
月球
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最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
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最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
时间-燃料最优控制
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最优控制——极小值原理 最 控制 值原 3.2 连续定常系统极小值原理
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最优控制——极小值原理 最 控制 值原 3.2 连续定常系统极小值原理
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最优控制——极小值原理 最 控制 值原 3.2 连续定常系统极小值原理
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最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
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最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
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5 最优控制-极小值原理
正常（或平凡）情况、奇异（或非平凡） 正常（或平凡）情况、奇异（或非平凡）情况
Bang-Bang控制原理 控制原理 是问题3 的时间最优控制, 设 u * ( t ) 是问题3-1的时间最优控制,
λ x* ( t )， ( t )
是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的, 是相应的状态向量和协态向量,若问题是正常的,则几乎所有 ),有下式成立 t ∈ t0 , t f (除去有限个开关时间),有下式成立 除去有限个开关时间),
在最优轨线末端哈密尔顿函数应满足的条件 (5)极值条件 极值条件
1 + λ T ( t ) f x* ( t ) , t + λ T ( t ) B x * ( t ) , t u * ( t ) =
{1 + λ T ( t ) f x* ( t ) , t + λ T ( t ) B x* ( t ) , t u * ( t )} min
u∈U
（50） ） （51） ） （52） ）
或者
H ( x * , u* , λ* , t ) ≤ H [ x * , u, λ* , t ]
哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律： 哈密顿函数沿最优轨线随时间的变化规律：
* * 在末值时刻 t f 是固定的情况 H (t ) = H (t f ) = const * *
3 极小值原理及其在快速控制中的应用
1 问题的提出 用变分法求解最优控制时， 用变分法求解最优控制时，认 不受限制。 为控制向量 u(t )不受限制。但是 实际的系统， 实际的系统，控制信号都是受到
u(t ) ∈ U ⊂ R r 某种限制的。 某种限制的。
因此， 因此，应用控制方程 ∂H = 0
哈工大现代控制理论基础第十一章 最优控制
11.1.1 最优控制问题的两个例子
[例1] 飞船的月球软着陆问题。 如图所示，飞船 靠其发动机产生一个与月球重力方向相反的推力 ， 使得飞船到月球表面时速度为零， 即实现软着陆。 要求设计推力函数 ，使得发动机燃料消耗最少。
月球
[解]
设飞船的质量为 ， 其高度和垂直速度分别为 和 ，月球的重力加速度为常数 ，飞船的自身 质量及所带燃料分别为 和 。
其中， 目标集 可表示为 性能指标 可表示为 其中 和 为连续可导的标量函数。
11.2 应用变分法求解无约束条件 的最优控制问题
11.2.1 泛函与变分
一. 泛函与泛函算子
所谓泛函，简单地说就是函数的函数，定义如下：
设
为给定的某类函数，如果对于这类函数中的
每一个函数，有某个数 与之相对应， 则称 为这类
哈工大现代控制理论基 础第十一章 最优控制
2020年4月24日星期五
11.1 最优控制问题的一般提法
最优控制研究的主要问题： 根据已建立的被控 对象的数学模型， 选择一个容许控制律， 使得被控 对象按照预定的规律运动，并使某一个性能指标达到 最大或最小。
从数学的观点来看， 最优控制问题是求解一类 带有约束条件的泛函极值问题， 属于变分学范畴。
经典的变分法只能解决控制无约束的问题， 即容许控制属于开集的一类最优控制问题。 然而， 工程中的控制常常是有约束的， 即容许控制是属于 闭集的。为了解决这个问题， 20世纪50年代，美国 学者贝尔曼和苏联科学院院士庞德里亚金分别独立 地拓展了经典变分法， 分别给出了动态规划方法和 极大值原理。 它们构成了最优控制的理论基础。
证明略
泛函变分的规则 泛函的变分是一种线性映射， 满足下列性质：
1 2 3 4
最优控制最小值原理
2-1 连续系统的最小值原理
问题 2-1 设系统的状态方程是
x f [x(t),u(t),t]
(2-1)
其中 f 是 n 维连续可微的向量函数；状态 x(t) Rn，其初态已
知是
x(t0 ) x0
终态应满足边界条件
(2-2)
[x(t f ),t f ] 0 其中 是 r 维连续可微的向量函数，r n；
tf t0
{L(x,
w,t)
T[
f
(x,
w,t)
x]
T[g(x,
w,t)
z2]}dt
(2-8)
的极值。
为 简 便 计 ， 令
H(x,,w ,t)L(x,w ,t)Tf(x,w ,t)
(2-9)
(x,x,w,w ,z,z,,,t) H(x,,w ,t)TxT[g(x,w ,t)z2]
(2-10)
8
于 是 (2-8)式 可 写 成
J(u) [x(tf)t,f]vT[x(tf)t,f]
tt0f (x,x ,w ,w ,z,z,,,t)dt
(2-11)
现 在 求 广 义 性 能 指 标 (2-11)的 一 阶 变 分 ：
JJtfJxJwJz
(2-12)
式 中 Jtf， Jx， Jw， Jz分 别 是 由 于tf ， x ， w和z的 微 变
tf t0
(x,x,w,w ,z,z,,,t)d
=0
分步积分
J w
t f
t0
(wT
w
w T
w )dt
wT
(t
)
w
t
t
f
t f wT t0
d dt
w
dt
最优控制理论及应用讲解
第4章 动态规划
求解动态最优化问题的两种基本方法：极小值原理和动态规划。
动态规划：是一种分级最优化方法，其连续形式与极小值原理相 辅相成，深化了最优控制的研究。
Optimal Control Theory & its Application
主要内容
1
多级决策过程和最优性原理
2
离散控制系统的动态规划
3
连续控制系统的动态规划
4 动态规划与变分法、极小值原理的关系
5
本章小结
Optimal Control Theory
Dong Jie 2012. All rights reserved.
Dong Jie 2012. All rights reserved.
Date: 09.05.2019 File: OC_CH4.7
Optimal Control Theory & its Application
Optimal Control Theory
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特点：1）将一个多阶段决策问题化为多个单阶段决策问题，易于分析 2）每阶段评估只与前一阶段结果有关，计算量减小
Optimal Control Theory
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Optimal Control Theory & its Application
最优控制习题及参考答案
1 2f最优控制习题及参考答案习题 1 求通过 x (0) = 1 ， x (1) = 2 ，使下列性能指标为极值的曲线：t f J = ∫ (x2 +1)dt t 0解： 由已知条件知： t 0 = 0 ， t f = 1d由欧拉方程得： (2x ) = 0dtx = C 1x = C 1t + C 2将 x (0) = 1，x (1) = 2 代入，有：C 2 = 1，C 1 = 1得极值轨线： x *(t ) = t +1习题 2 求性能指标： J =∫1(x 2 +1)dt在边界条件 x (0) = 0 ， x (1) 是自由情况下的极值曲线。
解：由上题得： x *(t ) = C t + Cx * (t )由 x (0) = 0 得： C 2 = 0∂L由∂xt =t f= 2x (t f ) = 2C 1 t =t= 0 t于是： x *(t ) = 0【分析讨论】对于任意的 x (0) = x 0 ，x (1) 自由。
20 1 0 ∫ ⎩ λ= −λ有： C = x ， C = 0 ，即： x *(t ) = x 其几何意义： x (1) 自由意味着终点在虚线上任意点。
习题 3 已知系统的状态方程为： x1 (t ) = x2 (t ) ， x 2 (t ) = u (t )边界条件为： x 1 (0) = x 2 (0) = 1 ， x 1 (3) = x 2(3) = 0 ，31 试求使性能指标 J =u 2(t)dt2取极小值的最优控制 u * (t ) 以及最优轨线 x *(t ) 。
⎡ x ⎤解：由已知条件知： f = ⎢ 2⎥⎢⎣ u ⎥⎦Hamiton 函数： H = L + λT fH = 1u 2 + λ x+ λ u⎧λ = 0 由协态方程： ⎨ 12 1 21 22⎧λ = C① 得： ⎨11⎩λ2 = −C 1t + C 2②∂H由控制方程： ∂u= u + λ2 = 0得： u = −λ2 = C 1t − C 2 ③由状态方程： x 2 = u = C 1t − C 2得： x (t ) = 1C t 2− C t + C ④22由状态方程： x 1 = x 21 2 3得： x (t ) = 1 C t 3− 1C t 2+ C t + C ⑤16 122 3 41⎪⎩=− ∫⎡1⎤ ⎡0⎤将 x (0) = ⎪ ⎪ ， x (3) = ⎪0⎪ 代入④，⑤,⎣1⎦ ⎣ ⎦10联立解得： C 1 =由③、④、⑤式得：u * (t ) = 10t− 29， C 2 = 2 ， C 3 = C 4 = 1 9x * (t ) = 5 t 3−t 2 + t +1 27 x *(t ) = 5 t 2 − 2t +1 29习题 4 已知系统状态方程及初始条件为x =u ， x (0) = 1试确定最优控制使下列性能指标取极小值。
最优控制习题及参考答案
12f最优控制习题及参考答案习题 1 求通过 x (0) = 1 ， x (1) = 2 ，使下列性能指标为极值的曲线：t f J = ∫(x2 +1)dt t 0解： 由已知条件知： t 0 = 0 ， t f = 1d由欧拉方程得： (2x ) = 0dtx = C 1x = C 1t + C 2将 x (0) = 1，x (1) = 2 代入，有：C 2 = 1，C 1 = 1得极值轨线： x * (t ) = t +1习题 2 求性能指标： J = ∫ 1(x 2 +1)dt在边界条件 x (0) = 0 ， x (1) 是自由情况下的极值曲线。
解：由上题得： x *(t ) = C t + C由 x (0) = 0 得： C 2 = 0∂L由∂xt =t f= 2x (t f ) = 2C 1 t =t = 0 t于是： x * (t ) = 0【分析讨论】对于任意的 x (0) = x 0 ，x (1) 自由。
2 0 1 0∫ ⎩ λ= −λ 有： C = x ， C = 0 ，即： x *(t ) = x其几何意义： x (1) 自由意味着终点在虚线上任意点。
习题 3 已知系统的状态方程为： x1 (t ) = x2 (t ) ， x 2 (t ) = u (t )边界条件为： x 1 (0) = x 2 (0) = 1 ， x 1 (3) = x 2 (3) = 0 ，31 试求使性能指标 J = 0 u 2(t )dt2取极小值的最优控制 u * (t ) 以及最优轨线 x * (t ) 。
⎡ x ⎤ 解：由已知条件知： f = ⎢ 2 ⎥⎢⎣ u ⎥⎦Hamiton 函数： H = L + λT fH = 1u 2 + λ x + λ u⎧λ = 0由协态方程： ⎨12 121 22⎧λ = C① 得： ⎨11⎩λ2 = −C 1t + C 2 ②∂H由控制方程： ∂u= u + λ2 = 0得： u = −λ2 = C 1t − C 2③由状态方程： x 2 = u = C 1t − C 2得： x (t ) = 1C t 2− C t + C④22由状态方程： x 1 = x 21 23得： x (t ) = 1C t 3 − 1C t 2 + C t + C⑤16122 341 ⎪ ⎩=− =− ∫ ⎡1⎤⎡0⎤将 x (0) = ⎢ ⎥ ， x (3) = ⎢0⎥ 代入④，⑤, ⎣1⎦⎣ ⎦ 10联立解得： C 1 =由③、④、⑤式得：u * (t ) = 10t − 29 ， C 2 = 2 ， C 3 = C 4 = 1 9x * (t ) = 5 t 3 −t 2 + t +127 x *(t ) = 5 t 2 − 2t +1 2 9习题 4 已知系统状态方程及初始条件为x =u ， x (0) = 1试确定最优控制使下列性能指标取极小值。
最优控制极小值
∂H ∂L ∂ T =− − [λ f ] ∂x ∂x ∂x
(2·1—8) (2·l—9) (2·1—10)
ɺ λ=−
∂H =0 ∂u
（2·1—11） 方程(2·1—8)、(2·1—9)和(2·1—10)是利用哈米尔登函数法导 出的欧拉方程，分别叫做系统方程和控制方程。方程 (2·1—11)是相应的横截条件，式中n维矢量 λ (t )叫做协状态矢量 方程(2·1—8)和(2·1—9)一起叫做规范方程。
∂2H ∂u∂x δx dt ∂ 2 H δu 2 ∂u
(2·3—19)
和(n十m)×(n十m)矩阵， 即
∂2H 2 x ∂2 ∂ H ∂x∂u ∂2H ∂u∂x ∂2H ∂u 2
(2·3—20) 都是正定或半正定(负定或半负定)的。
tf
(2·1—14) υ 式中µ 和 分别是r维和q维的。根据泛函取极值的必要条件，J = 0 δ 可求出初始状态和终端状态受约束时的横截条件为
t0
∂Φ 2 ∂Mµ T + ]t =t0 λ (t0 ) = [ ∂x ∂x
M [ x(t 0 ), t 0 ] = 0
∂Φ1 ∂Nυ T λ (t f ) = [ + ]t =t f ∂x ∂x
t0 tf
（2.1—2） 、Φ 2 和L都是连续可微的纯量函数。假设端点时间 t 0 和 t f
t0
定义一个纯量函数
（2.1—4） 该函数称做哈米尔等函数。利用这个函数，方程(2·1—3)可写成
ɺ J ′ = Φ1[ x(t f ), t f ] − Φ1[ x(t0 ), t0 ] + ∫ {H [ x(t ), u (t ), t ] − λT (t ) x(t )}dt
最 优 控 制 教 案第三章 极小值原理及其应用
① 正则方程
x(t
)
=
∂H ∂λ
λ(t) = − ∂H ∂x
② 横截条件
x(t0 ) = x0
Ψ ⎡⎣x(t f ),t f ⎤⎦ = 0
λ (t
f
)
=
∂ϕ ∂x(t f
)
+
∂ΨT ∂x(t f
)
V
(t
f
)
③ 在最优轨线上，与最优控制 u*相对应的 H 函数取绝对极小值
H (x*,u*, λ) = min H (x*, u, λ) u∈Ω
=
1 4
，
x1
=
u1
=
1 2
(1 +
c1 )t
−
1 2
c2
x 2
=
x1
+
1 4
x1
=
1 4
(1 +
c1)t 2
−
1 2
c2t
+
c3
x 2
=
1 4
(1 +
c1)t 2
−
1 2
c2t
+
c3
+
1 4
x2
=
1 12
(1 +
c1 )t 3
−
1 4
c2t 2
+
(c3
+
1 )t 4
+
c4
x1(0) = 0 ⇒ c3 = 0 x2 (0) = 0 c4 = 0
x1(0) = 1 ⇒ c1 = 2 ⇒ x1 = 2e−t −1
x2 (0) = 0 c2 = 2
x2 = −2e−t − t − 2
最优控制例题讲解
最优控制例题讲解
最优控制是指在给定动态系统的控制框架下，通过选择合适的控制策略，使得系统在给定性能指标下达到最优状态。
最优控制问题可以形式化为一个数学优化问题，其中包括一个目标函数和一组约束条件。
下面我们来讲解一个最优控制的例题。
假设有一个无人机需要完成一次空中任务，该任务包括从起点飞行到终点，并在途中避开障碍物。
我们的目标是使得无人机在完成任务的同时，最小化能量消耗，即最小化无人机的飞行时间。
为了解决这个问题，我们可以建立一个动力学模型来描述无人机的运动，例如使用牛顿第二定律和运动学方程。
然后，我们可以引入一个控制变量，如推力或俯仰角，来改变无人机的运动。
在建立动力学模型后，我们可以定义一个目标函数，如飞行时间的积分。
然后，我们可以引入一些约束条件，如无人机的运动范围、速度限制、避障约束等。
接下来，我们可以使用优化算法来求解这个最优控制问题，如动态规划、最优控制理论中的泛函最优化方法（如Pontryagin最大值原理）或者数值优化方法（如非线性规划、强化学习等）。
通过求解最优控制问题，我们可以得到一个最优控制策略，即在每个时间步选择最优的控制输入，以使得无人机在完成任务的同时最小化能量消耗。
然后，我们可以将该控制策略应用于实际的无人机系统中，从而实现最优控制。
需要注意的是，最优控制问题的求解通常需要考虑多个因素，如系统动力学、性能指标、约束条件等，并且可能涉及到复杂的数学推导和计算。
因此，在实际应用中，通常需要结合具体问题的特点，选择合适的建模方法和优化算法来求解最优控制问题。
最优控制 第四章 极小值原理及其应用2
)( * ) ( * )(z z * ) 0 * z
0
T
T ) ( x x* ) x
-λ
*
E ( x* , x, , z , * , * , t ) * x { ( x* , x* , * , z * , * , * , t ) * x*} H ( x* , * , , t ) H ( x* , * , * , t ) 0 H ( x* , * , u , t ) H ( x* , * , u * , t )
第四章 极小值原理及其应用
用古典变分法解最优控制问题时,假定u(t)不受限制,从而得到最优控制应满足
H 0 u
实际上在工程问题中,控制变量总有一定的限制.
设控制变量被限制在某一闭集内 即u(t)满足 G[ x(t ), u (t ), t ] 0
u
满足限制条件的u(t)称为容许控制，由于δu不能是任意的,
H 0 u
这一条件不成立,而代之以与最优控制相对应的函数为绝对极小,其次是正则 方程略有改变,仅当G中不包含x时, 方程才不改变.
11
当 t0和x(t0)给定,根据tf给定或自由, x(tf)给定,自由或受约束等不同情况下所导 出的最优解必要条件列表如下: 终 端 状 态 固
性能指标
正则方程
12
性能指标
终 端 状 态
正则方程
极值条件
边界条件与横 截条件
x ( t 0 ) x0 x (t f ) x f
tf 给 定
tf
t0
J 固 F [ x, u , t ]dt
定 自 由
H H x G ( )T x H F ( x, u , t ) T f ( x, u , t ) x 若 G (u , t ) 0 H 则 x
10讲 最优控制-极小值-燃料能量最优
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最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
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时间-燃料最优控制
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最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
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v h g
月球
k 0
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最优控制——极小值原理 3.4 极小值原理的典型应用
x 2 1 x 1 x 2 u g x3 3 x 1 u k
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肖玲斐 lf i @ lfxiao@ d
最优控制第2章 极小值原理
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20
u
*
(t
)
=
⎧ −1, ⎪⎨−0.5λ2
(t
λ2 (t ), | λ2
)> (t)
2 |≤
2
(∗)
⎪⎩ 1, λ2 (t) < −2
由伴随方程 λ& = −∂H / ∂x 得到：
求解得到：
λ&1(t) = 0, λ&2 (t) = −λ1(t)
λ1(t) = c1, λ2 (t) = −c1t + c2 本例tf自由，因此H函数在最优终端时刻 t*f满足横截条件:
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分分析析::
要使 H[x*, u, λ*, t] 达到极小，就要 (1 − λ*)u达到极小 。由控 制约束 0.5 ≤ u ≤ 1 可得，最优控制为：
u *(t)
=
⎧ 1, ⎨⎩0.5,
λ >1 λ <1
由 λ (t) = e1−t − 1易知，当ts=0.307时，λ * (ts ) = 1 ，故最优 控制为：
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3
定理１（极小值原理）对于上述最优控制问题，选取哈密 顿函数为：
H = L( x,u,t) + λT (t) f [x(t), u(t), t]
则实现最优控制的必要条件：
(1) 最优状态x*和最优协态 λ* 满足正则方程:
x&(t) =
∂H ∂λ
=
f [ x(t), u(t), t]
则伴随方程 λ& = −∂H / ∂x为：
λ& = − ∂H = −1 − λ ∂x
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最优控制第六章极小值原理
J1
Ψ
x T
Ψ x
Φ t f
N T t f
tt f
t f
d xT
tf
Φ
x
N T x
Ψ x
t t
f
wT
Ψ w tt f
zT
Ψ z
tt f
t f
t0
xT
uU
此外，协态方程也略有改变，仅当g函数中不包 括x时，方程才与前面一致。
第三个条件，即式(46)，描述了H函数终值 H tt f
与tf的关系，可用于确定tf的值。在定理推导过程中 看出，该条件是由于tf变动而产生的，因此当终端时 刻固定时，该条件将不复存在。
第四个、五个条件，即式(47)～式(48)，将为正则 方程式(41)～式(43)提供数量足够(2n个)的边值条件。
xt0 x0
Nxt f ,t f 0
(48)
这就是著名的极小值原理。
下面对定理作些说明： 1) 定理的第一、第二个条件，即式(41)～式
(44)，普遍适用于求解各种类型的最优控制问题， 且与边界条件形式或终端时刻自由与否无关。其
中，第二个条件：min H x*, *,u,t H x*, *,u*,t uU
t0
(39)
取哈密尔顿函数为
H Lx,u,t T f x,u,t
(40)
则实现最优控制的必要条件是，最优控制u*、
最优轨迹x*和最优协态矢量λ*满足下列关系式：
1) 沿最优轨线满足正则方程
x H
(41)
H g T
最优控制习题及参考问题详解
标准文档1 2f最优控制习题及参考答案习题 1 求通过 x (0) = 1 ， x (1) = 2 ，使下列性能指标为极值的曲线：t f J = ∫(x2 +1)dt t 0解： 由已知条件知： t 0 = 0 ， t f = 1d由欧拉方程得： (2x ) = 0dtx = C 1x = C 1t + C 2将 x (0) = 1，x (1) = 2 代入，有：C 2 = 1，C 1 = 1得极值轨线： x *(t ) = t +1习题 2 求性能指标： J = ∫ 1(x 2 +1)dt在边界条件 x (0) = 0 ， x (1) 是自由情况下的极值曲线。
解：由上题得： x *(t ) = C t + C由 x (0) = 0 得： C 2 = 0∂L由∂xt =t f= 2x (t f ) = 2C 1 t =t = 0 t于是： x *(t ) = 0【分析讨论】对于任意的 x (0) = x 0 ，x (1) 自由。
2 0 1∫⎩ λ = −λ有： C = x ， C = 0 ，即： x *(t ) = x 其几何意义： x (1) 自由意味着终点在虚线上任意点。
习题 3 已知系统的状态方程为： x1 (t ) = x2 (t ) ， x 2 (t ) = u (t )边界条件为： x 1 (0) = x 2 (0) = 1 ， x 1 (3) = x 2 (3) = 0 ，31 试求使性能指标 J =u 2(t )dt 2取极小值的最优控制 u *(t ) 以及最优轨线 x *(t ) 。
⎡ x ⎤解：由已知条件知： f = ⎢ 2⎥⎢⎣ u ⎥⎦Hamiton 函数： H = L + λT f H = 1u 2 + λ x + λ u⎧λ = 0由协态方程： ⎨ 12 121 22⎧λ = C① 得： ⎨11⎩λ2 = −C 1t + C 2②∂H由控制方程： ∂u= u + λ2 = 0得： u = −λ2 = C 1t − C 2 ③由状态方程： x 2 = u = C 1t − C 2得： x (t ) = 1C t 2− C t + C④22 由状态方程： x 1 = x 21 2 3得： x (t ) = 1C t 3− 1C t 2+ C t + C⑤16 122 3 41 ∫⎪⎩=−=−⎡1⎤ ⎡0⎤将 x (0) = ⎪ ⎪ ， x (3) = ⎪0⎪ 代入④，⑤,⎣1⎦ ⎣ ⎦10联立解得： C 1 =由③、④、⑤式得：u * (t ) = 10t − 29 ， C 2 = 2 ， C 3 = C 4 = 1 9x *(t ) = 5 t 3 −t 2 + t +127 x *(t ) = 5 t 2 − 2t +1 29习题 4 已知系统状态方程及初始条件为x =u ， x (0) = 1试确定最优控制使下列性能指标取极小值。
最优控制（最小值原理）1
最优控制最优控制——————最小值原理最小值原理七 几种典型的几种典型的工程工程工程应用应用 1．时间最优控制时间最优控制问题，是可以运用极小值原理求解的一个常见的工程实际问题。
如果性能指标是系统有初态转移到目标集的运动时间，则使转移时间为最短的控制称为时间最优控制，或称最速控制。
本节主要介绍线形定常系统的时间最优控制分析法及其应用。
1.1 一类非线性系统的时间最优控制先把需要解决的问题叙述如下：[问题3-1] 移动目标集的一类非线性系统的时间最优控制问题为()1min ,1,2,,fj t u t t J dt j m ≤==∫⋯..s t ① [][]00()(),(),(),()xt f x t t B x t t u t x t x =+=ɺ ② (),0f f x t t ψ =式中()n x t R ∈，()m u t R ∈；()f •和()B •维数适当，其各元对()x t 和t 连续可微；移动目标集()r R ψ•∈，其各元对()f x t 和f t 连续可微，f t 是状态轨线与移动目标集相遇的末端时刻。
显然，问题3-1属于时变条件、积分型性能指标、f t 自由和末端约束的最优控制问题。
根据极小值原理，令哈密顿函数[][]{}(,,,)1()(),(),()T H x u t t f x t t B x t t u t λλ=++ （3-136）正则方程为：[][]()(),(),()Hxt f x t t B x t t u t λ∂==+∂ɺ （3-137） [](),()()()()()TTB x t t u t H ft t t x xx t λλλ ∂∂∂=−=−−∂∂∂ɺ （3-138）边界条件及横截条件为00()x t x = （3-139）(),0f f x t t ψ = （3-140）()()T f f t x t ψλγ∂=∂ （3-141）极小值条件：***1()(),()(),()T T t f x t t t B x t t u t λλ ++{}**1min 1()(),()(),()j T T u t f x t t t B x t t u t λλ≤ =++ 或者[]{}*1()(),()min ()(),()j T T u t B x t t u t t B x t t u t λλ≤ = （3-142）因而得：**()sgn (,)()T u t B x t t λ =− （3-143）式中sgn()•为符号函数。
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