2.7 第3课时 二次根式的混合运算
北师大版初中数学八年级上册2.7 第3课时 二次根式的混合运算1
北师大初中数学八年级重点知识精选掌握知识点，多做练习题，基础知识很重要！北师大初中数学和你一起共同进步学业有成！第3课时 二次根式的混合运算1．熟练掌握二次根式的综合运算．(重点、难点) 一、情境导入已知一个直角三角形的两条直角边长分别为(3－)cm 、(3＋)cm ，求这个三22角形的面积和周长． 二、合作探究 探究点一：二次根式的混合运算计算： (1)(＋－ab)(a≥0，b ≥aba 3b ab 30)；(2)(2－)×(＋)； 321212823(3)(3＋)×(－4)． 248183解：(1)原式＝(a ＋b －ab)ab ab ab ＝a ×＋b ×－ab ＝a 2b ＋abab ab ab ab ab 2－ab ； ab (2)原式＝(－)(＋)＝×62226362＋×－×－×＝2＋2－1－66322222633＝1＋； 33533(3)原式＝(3＋4)(3－4)＝(32323)2－(4)2＝18－48＝－30. 23方法总结：二次根式的混合运算，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再灵活运用乘法公式等知识来简化计算． 探究点二：二次根式的化简求值已知a ＝，b ＝，求15－215＋2的值．a 2＋b 2＋2解析：先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ，最后代入求解． 解：∵a＝＝15－2＝＋2，b ＝＝5＋2（5－2）（5＋2）515＋2＝－2，∴a ＋b ＝25－2（5＋2）（5－2）5，ab ＝ 1.∴＝5a 2＋b 2＋2＝＝（a ＋b ）2－2ab ＋2（25）2－2＋2＝2. 205方法总结：解此类问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得．探究点三：运用二次根式的运算解决实际问题 教师节就要到了，李欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为288平方厘米，另一张面积为338平方厘米，如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现在有1.5米的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用．(≈1.414) 2解析：可以通过两个正方形的面积分别计算出正方形的边长，进一步求出两个正方形的周长之和，与1.5米比较即可得出结论． 解：贺卡的周长为4×(＋)288338＝4×(12＋13)＝4×25≈141.4(厘222米)．∵1.5米＝150厘米，150>141.4，∴李欣的彩带够用． 方法总结：本题是利用二次根式的加法来解决实际生活中的问题，解答本题的关键在于理解题意并列出算式． 三、板书设计二次根式 {综合运算化简求值实际应用) 经历本节课的学习，进一步理解二次根式的概念，熟悉二次根式的化简，了解根号内含有字母的二次根式的化简，利用二次根式的化简解决简单的数学问题．学生通过独立思考，能选择合理的方法解决问题；在运算过程中巩固知识，与小组成员交流总结方法．相信自己，就能走向成功的第一步教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。
二次根式(第三课时)课件
随堂练习
2.化简求值：(
1 ab
a ). b
ab，其中a=3，b=2，
解：( 1 a ) . ab ab b
1 . ab a . ab
ab
b
1 a
当a 3,b 2 时，
原式 1 3 2
中考链接
1.（2023·河北·统考中考真题）若
A．2
B．4 C．
，则 D．
63
66
66
还有其它 方法吗？
（4）( 24 1 ) 3 ( 46 16 ) 1 (2 6 6 ) 1 11 6 1 11 2
6
66 3
6 36
36
易错：6 3 2
探究新知
方法总结
二次根式的混合运算，一般先将二次根式转化为最简二 次根式，再灵活运用乘法公式等知识来简化计算.
探究新知 探究活动二：
2
2
2
45 1 4 18. 22
E S2
探究新知
例3.如图所示.图中小正方形的边长为 1， ....... 试求图中梯形 ABCD的面积.
；
间接法--割补--割
解：如图，作CE // DA交AB于点E.
S梯形ABCD S平行四边形AECD SEBC
E
61 1 6 4 18
2
探究新知
先化 简再 求值
探究新知
方法总结
解二次根式化简求值问题时，直接代入求值很麻烦，要先 化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得．
探究新知
探究活动三：
思考：如图，图中小正方形的边长为1，试求图中
梯形ABCD的面积.你有哪些方法？
探究新知
例3.如图所示.图中小正方形的边长为 1， ....... 试求图中梯形 ABCD的面积.
2.7 第3课时 二次根式的混合运算 教案
一、情境导入已知一个直角三角形的两条直角边长分别为(3－2)cm、(3＋2)cm，求这个三角形的面积和周长．二、合作探究探究点一：二次根式的混合运算计算：(1)ab(a3b＋ab3－ab)(a≥0，b≥0)；(2)(232－12)×(128＋23)；(3)(32＋48)×(18－43)．解：(1)原式＝ab(a ab＋b ab－ab)＝a ab×ab＋b ab×ab－ab ab＝a2b＋ab2－ab ab；(2)原式＝(6－22)(2＋63)＝6×2＋6×63－22×2－22×63＝23＋2－1－33＝1＋533；(3)原式＝(32＋43)(32－43)＝(32)2－(43)2＝18－48＝－30.方法总结：二次根式的混合运算，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再灵活运用乘法公式等知识来简化计算．探究点二：二次根式的化简求值已知a＝15－2，b＝15＋2，求a2＋b2＋2的值．解析：先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，最后代入求解．解：∵a＝15－2＝5＋2（5－2）（5＋2）＝5＋2，b＝15＋2＝5－2（5＋2）（5－2）＝5－2，∴a＋b＝25，ab＝1.∴a2＋b2＋2＝（a＋b）2－2ab＋2＝（25）2－2＋2＝20＝2 5.方法总结：解此类问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得．探究点三：运用二次根式的运算解决实际问题教师节就要到了，李欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为288平方厘米，另一张面积为338平方厘米，如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现在有1.5米的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用．(2≈1.414)解析：可以通过两个正方形的面积分别计算出正方形的边长，进一步求出两个正方形的周长之和，与1.5米比较即可得出结论．解：贺卡的周长为4×(288＋338)＝4×(122＋132)＝4×252≈141.4(厘米)．∵1.5米＝150厘米，150>141.4，∴李欣的彩带够用．方法总结：本题是利用二次根式的加法来解决实际生活中的问题，解答本题的关键在于理解题意并列出算式．三、板书设计1.（1）若x ＝10－3，求代数式x 2＋6x ＋11的值.（2）若x ＝3＋1，求代数式x 2－2x －3的值.2.下列何者是方程式（﹣1）x=12的解？（ ） A 、3B 、6C 、2﹣1D 、3+33.设12211=112S ++,22211=123S ++,32211=134S ++,…, 2211=1(1)n S n n +++ 设12...n S S S S =+++，则S ＝_________ (用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)．4.已知a b 、为有理数，m n 、分别表示57-的整数部分和小数部分，且21amn bn +=，则2a b += .5..先化简再求值。
2.7第3课时二次根式的混合运算(教案)2021-2022学年八年级数学上册北师大版(安徽)
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式混合运算的基本概念。二次根式混合运算是……（指涉及二次根式的加、减、乘、除四则运算）。它在解决实际问题，特别是在几何和物理领域有着广泛的应用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了如何计算一个长方体的对角线长度，以及如何将二次根式混合运算应用于实际问题的解决中。
在总结回顾环节，我发现学生们对于二次根式混合运算的掌握程度参差不齐。有些学生已经能够熟练地运用所学的知识解决问题，而另一些学生则仍然存在一定的困难。这让我认识到，在今后的教学中，需要针对不同水平的学生进行分层教学，因材施教，以便让每个学生都能在课堂上获得最大的收获。
最后，我深感教学反思的重要性。通过本次教学，我认识到了自己的不足之处，也明白了如何调整教学方法来提高教学效果。在今后的教学过程中，我将不断总结经验，积极探索，努力提高自己在二次根式混合运算这一章节的教学水平。同时，我也会更加关注学生的反馈，及时调整教学策略，使学生们能够在轻松愉快的氛围中掌握这一知识点。总之，教学反思让我在教学道路上不断成长，我会继续努力，为学生们提供更优质的教学体验。
-熟悉二次根式与有理数的混合运算：能够将二次根式与有理数进行四则运算，并正确化简结果。
-举例：计算2√3 + 3，5 - √6/2。
-应用二次根式混合运算解决实际问题：将二次根式混合运算应用于实际情境，构建数学模型，解决问题。
-举例：计算一个正方形的对角线长度，如果已知边长为√5。
2.教学难点
-理解并运用二次根式的乘法与除法法则中的“分母有理化”方法：学生需要掌握将分母有理化，以便进行二次根式的除法运算。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调二次根式的乘法与除法法则以及加法与减法法则这两个重点。对于难点部分，如分母有理化、合并同类二次根式等，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
2.7.3 二次根式的混合运算2024-2025学年八年级数学上册同步教学课件(北师大版)
(4) 解法四：原式 = = = = =
例2 计算(1)：
解(1)：原式 = == =
二次根式的混合运算要确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要先算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行.
解：(2) 原式
(2) 原式 = = =
解法一：把 a = 3，b = 2 代入代数式中，原式 = = =
问题：计算 ，其中 a = 3，b = 2. 你是怎么做的？
解法二：原式 = =把 a = 3，b = 2 代入代数式中，原式 =
解：(1) 原式 = = =
解：(2) 原式 = = =
例1 计算：(3) (4)
(3) 原式 = = = 3 + 5 = 8
例3 当 a > 0，b > 0 时，化简下列各式：(1) (2)
二次根式的化简求值
解：(1) 原式 = = =
你还有其他解法吗？
例1 计算：(4)
(4) 解法三：原式 = = = = =
(4) 解法二：原式 = = = =
如果算式当中有个别二次根式化为最简二次根式后，仍不能与其它最简二次根式合并，那么结果中可直接保留，不必再化.
2.7.3 二次根式的混合运算
目 录
1. 进一步加强二次根式的运算.2. 能够对根号内含有字母的简单二次根式进行化简求值.3. 利用二次根式解决简单的数学问题.
问题1 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则分别是什么?
问题2 多项式与单项式的除法法则是什么?
解：(3) 原式 = = = =
解：(4) 原式 = = = = =
(3) 原式
有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数.
二次根式第3课时 二次根式的混合运算PPT课件(北师大版)
9．已知直角三角形的两直角边 a＝ 6－ 2，b＝ 6＋ 2，
求这个直角三角形的周长和面积． 解：设斜边长为 c，则 c2＝( 6－ 2)2＋( 6＋ 2)2＝16，
∴c＝4，∴周长为 a＋b＋c＝4＋2 6，面积为12( 6－ 2)( 6＋ 2)＝2
10．计算
9÷ 12
5142×
63的值是(B )
解：原式＝(x＋y)2＋xy， 而(x＋y)2＝( 5＋ 3＋ 5－ 3)2＝20， x·y＝( 5＋ 3)( 5－ 3)＝2，∴原式＝22
15．已知 a，b，c 满足|a－2 2|＋ b－5＋(c－3 2)2＝0. (1)求 a，b，c 的值； (2)试问以 a，b，c 为边能否构成三角形？如果能构成三角形， 请求出三角形的周长；如果不能构成三角形，请说明理由．
2n＋1－ 2n－1
(2)原式＝ 3－1＋ 5－ 3＋ 7－ 5＋…＋ 101－ 99＝ 101－1
练习 2：化简： 3－ 3(1－ 3)的结果是( A )
A．3
B．－3
C. 3
D．－ 3
1．下列各式计算正确的是( D ) A. 2＋ 3＝ 5 B．2＋ 2＝2 2 C．3 2－ 2＝3 D．3 2－ 2＝2 2
2．下列计算正确的个数是( A ) ① 19－ 9＝ 10；②6＋ 7＝6 7； ③3 4＋4 3＝7 7；④5 7－3 2＝2 5. A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个
3．(2017·天津模拟)计算 27－ 8· 32的结果是( C ) A. 3 B.43 3 C.533 D．2 3
4．( 2－1)2( 2＋1)的值是( A )
A. 2－1 B．3( 2＋1)
C．1
D．－1
5．(2016·潍坊)计算 3( 3＋ 27)＝_1_2__． 6．计算( 50－ 8)÷ 2的结果是__3__． 7．一个长方形的长和宽分别为 75和 12，这个长方形的周长是 14 3 ．
北师大版-数学-八年级上册-2.7《二次根式(3)》教学设计
2.7《二次根式（3）》教学设计教学目标：1．学会二次根式的混合运算，熟练地进行二次根式的运算。
2．借助与已经学过的有关二次根式的化简、计算等知识，继续探索二次根式混合运算。
3．通过探索规律的过程，培养学生学习的主动性和创新能力。
教学重点：混合运算的法则，明确三级运算的顺序，运算律的合理使用。
教学难点：灵活运用公式或运算律以及约分等技巧，使计算简便。
教学过程：一、导入新课活动过程：复习巩固二次根式的化简，为下面学习混合运算做准备。
活动成果：熟练掌握二次根式的化简，将所给二次根式化为最简。
【设计意图】：通过复习巩固，设置二、探究新知活动一：活动过程：类比着实数的运算，对带有字母的二次根式进行化简活动成果：对带有字母的二次根式进行化简，体会数学的讨论思想。
【设计意图】：由数字过渡到字母，提升学生的解题能力。
活动二：活动过程：借助于实数的运算，解决面积问题活动成果：用不同的分割方法，解决实际问题。
【设计意图】：借助于实数的计算方法，在方格纸中求解图形面积，增强学生解体能力。
三、例题精讲讲解过程：运用实数的运算法则及最简根式的要求，对所给题目进行化简。
解题思路：运用实数的运算法则，对所给题目进行化简。
解题方法：演绎法答案：参见教材第46页四、课堂练习课本随堂练习五、课堂总结课时小结本节课继续二次根式的加减乘除运算，但运算的难度有提高，需要大家关注解决问题法方法的多样性，灵活运用法则解决问题。
你还有什么新的收获吗？六、课后作业课本课后习题习题2.11 1、2七、板书设计课题：2.7二次根式（3）1.二次根式运算法则：2.例题讲解：八、教学反思本节课，引导学生运用恰当的方法，使学生学会学习，在探索实数范围内的运算律、运算法则的过程中，使学生经历了类比、猜想、验证、归纳、总结以及由具体到抽象、由特殊到一般的过程，体会到研究问题、解决问题的方法。
个别学生计算时精确程度不够，需要强化训练。
2.7 第3课时 二次根式的混合运算
贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为288平方厘米，另一
张面积为338平方厘米.如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现 在有1.5米的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用. 解析：可以通过两个正方形的面积分别计算出正方形的边长， 进一步求出两个正方形的周长之和，与1.5米比较即可得出结论. 解：贺卡的周长为
3. 3 5
能不能再进行计算?为什么?
答：不能，因为它们都是最简二次根式，被开方数 不相同，所以不能合并.
归纳总结
二次根式的加减法法则 一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式
化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式
进行合并.
要点提醒
1.加减法的运算步骤：“一化简二判断三合并”. 2.合并的前提条件：只有被开方数相同的最简二 次根式才能进行合并.
§2.7 二次根式
宿州市鲲鹏学校 李 斌
学习目标
1. 理解二次根式的加减法算理；（重
点）
2、熟练掌握二次根式的综合运算. （难点）
导入 新课 如果梯形的上、下底长分别为 2 2 cm, 高为
6
4 3
cm，
cm，那么它的面积是多少？
二次根式的加减运算
同样，二次根式也可以进行加减运算，这
时，以前学习的实数的运算法则、运算律
4 (3) 3 6. 3
解：(1)原式= 16 3 3 16 3 3 4 3 3 5 3;
5 5 4 5 5 ; (2)原式= 5 25 5 5
(3)原式=
4 6 3 6 8 18 2 2 3 2 5 2. 3
变式训练： 已知 10 的整数部分是a,小数部分是b,求a2+b2的值.
2.7 第3课时 二次根式的混合运算
A. 3( 3 1 ) 3 3
C. 32 1 2 2 2
2.已知 x 3 1, y
B.( 12- 27) 3 1 D. 3( 2 3) 6 2 3
3 1, 试求x2+2xy+y2的值.
解： x2+2xy+y2=（x+y)2
把x 3 1, y 3 1,代入上式得
原式=
（ 3+1）+（ 3 1）2
例如：1 2
例如：1 3
例如：54
注意： 二次根式的化简与运算，最后结果应化成最简二次 根式.
二 二次根式的化简求值
问题：化简
1 a
b
ab ，其中a=3，b=2.你是怎么做的？
解法一：
解法二：
哪种简便？
把a=3，b=2代入代数式中，
原式=
1 3
2
32
1 32 232 3
2 2 3.
2
2
2
45 1 4 18. 22
E S2 S1
方法3：直接法
过点D作AB边的高DE，如图所
示.
S梯形ABCD
1 (CD AB) DE 2
E
1 ( 2 5 2)3 2 2
16 23 2 2
18.
归纳：利用二次根式可以简单便捷的求出结果．
当堂练习
1.下列计算中正确的是（ ） B
2
43 5
( 4 3 3 2 )2 2
二次根式混合运算
计算：
2 6 3 3
2
3 24 5
2
4 15 4 15
二次根式的混合运算
小结
(1)二次根式的混合运算与有理数的混合运 算、整式运算类似；
二次根式的混合运算(第三课时)
二次根式的混合运算（第三课时）一、复习在前两课时中，我们学习了二次根式的基本概念和运算法则。
接下来，我们将继续深入学习二次根式的混合运算。
在进行二次根式的混合运算时，我们需要掌握以下几个关键点： - 熟练运用二次根式的基本运算法则； - 了解加法、减法和乘法运算的方法； - 掌握拆分与合并二次根式的技巧； - 注意运算过程中的约束条件。
二、加法和减法运算1. 同类项在进行二次根式的加法和减法运算时，我们必须注意同类项的处理。
同类项是指二次根式中根号内的值相同，而根号外的系数可以不同的项。
例如，$\\sqrt{2}$ 和 $3\\sqrt{2}$ 就是同类项，因为它们的根号内的值都是2。
2. 加法运算规则当二次根式具有相同的根号内的值时，我们可以将它们的系数相加，并保持根号的不变。
例如，$\\sqrt{2}$ 和 $3\\sqrt{2}$ 可以相加得到 $4\\sqrt{2}$。
3. 减法运算规则减法运算与加法运算的规则相似，只是在相减时需要注意符号的变化。
例如，$5\\sqrt{3}$ 减去 $\\sqrt{3}$ 可以得到 $4\\sqrt{3}$。
4. 示例下面是一些例子来帮助我们理解加法和减法运算规则：•$\\sqrt{5} + 2\\sqrt{5} = 3\\sqrt{5}$•$3\\sqrt{7} - \\sqrt{7} = 2\\sqrt{7}$•$2\\sqrt{3} + 5\\sqrt{2} - 3\\sqrt{3} = -\\sqrt{3} + 5\\sqrt{2}$•$4\\sqrt{10} + 2\\sqrt{7} - \\sqrt{10}= 3\\sqrt{10} + 2\\sqrt{7}$三、乘法运算1. 乘法运算规则乘法运算时，我们需要运用乘法分配律。
即，将根号外的系数相乘，并将根号内的值相乘。
例如，$3\\sqrt{2} \\cdot 2\\sqrt{3} = 6\\sqrt{6}$。
7 二次根式第3课时 二次根式混合运算 省优获奖课件
所捂二次三项式的值为____6_____.
三、解答题 9. 计算：
(1) 48÷ 3－
21× 12＋ 24；
解：原式＝4＋ 6
(2)
（ 8＋
2－2 1）2－(
5＋1)(
5－1)； 解：原式＝
2－52
10.
在进行二次根式化简时，我们有时会碰上像
5 3
，
2 3＋1
这样的式
子，其实我们还可以将其进一步化简：
A)
蔡琰（作者有待考证）的《胡笳十八 拍》 郭璞的《游仙诗》 鲍照的《拟行路难》 庾信的《拟咏怀》 都特别喜欢。不过都是组诗，太长了 ，就不 贴了orz 。
最后还想推一下萧绎的《幽逼诗》四 首：
【南史曰：元帝避建邺则都江陵，外 迫强敌 ，内失 人和。 魏师至 ，方征 兵四方 ，未至 而城见 克。在 幽逼求 酒，饮 之，制 诗四绝 。后为 梁王詧 所害。 】 南风且绝唱，西陵最可悲。今日还蒿 里，终 非封禅 时。 人世逢百六，天道异贞恒。何言异蝼 蚁，一 旦损鲲 鹏。 松风侵晓哀，霜雰当夜来。寂寥千载 后，谁 畏轩辕 台。 夜长无岁月，安知秋与春。原陵五树 杏，空 得动耕 人。
2 ，n＝1－
2 ，则代数式
二、填空题
6.
计算：
72－ 8
24·(3＋
3)＝____6_____.
7. 设a＝ 7－1，则代数式a2＋2a－10的值为___－__4____.
8. (深圳二模)老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂
住了一个二次三项式，形式如下： －3x＝x2－5x＋1，若x＝ 6 ＋1，则
【变式训练】
1. 化简 54× 12＋ 12的结果是( D ) A．5 2 B．6 3 C. 3 D．5 3 2. 计算 8－ 2( 2＋2)的结果是( D ) A．2 3＋2 B．2 3－2 C．2 D．－2
北师大版初中八年级数学上册第2章7第3课时二次根式的混合运算课件
以 5 即乘它的倒数,于是第(3)(4)题,均可以运用乘法分配律求解.
3
1
解 (1)原式=2 3-3× 3 -2 2 + 5×5 2=2 3 − 3-2 2 + 2 =
3 − 2.
(2)原式=25 2-10 3+5 12-2 18=25 2-10 3+10 3-6 2=19 2.
实数ห้องสมุดไป่ตู้
7
第3课时
二次根式的混合运算
核心·重难探究
知识点一
二次根式的混合运算
【例1】 计算:
(1) 12-3
1
3
− 8+
1
5
50;
(2)(5+ 6)×(5 2-2 3);
(3)(3 15 +
(4)( 24-3
3
)÷
5
1
1 2+2
5;
2
2 3)×
2.
思路分析 第(1)题,化成最简二次根式→找出被开方数相同的二次根式→
(3)原式=3 15 ÷ 5 +
(4)原式= 24 ×
3 1
3 16
× =3 3 +
=
3.
5 5
5
5
3
2-3 ×
2
8
11
=4 3-3 3 +
3=
3.
3
3
8
2+2 ×
3
2=
16
48-3 3+2
3
知识点二
含二次根式条件的代数式求值
【例 2】 已知 x=
二次根式第3课时参考教学方案
第二章 实数2. 7 二次根式第 3 课时二次根式（第3课时）是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》第7节内容.本节内容分为3个课时，本课时是第3课时.继续巩固二次根式的概念，熟练二次根式的化简，进而完善实数的运算.二次根式化简掌握以后，初中阶段实数的运算基本完成，本节课就是进一步完善二次根式的运算.若能够在含字母的二次根式的化简方面再深化一下，那么在今后的学习中，实数的计算问题基本解决了.经历本节课的学习，学生对实数的运算，就有了较全面的了解.1. 进一步理解二次根式的概念，进一步熟练二次根式的化简.了解根号内含有字母的二次根式的化简.2. 利用二次根式的化简解决简单的数学问题. 通过独立思考，能选择合理的方法解决问题.3. 在运算过程中巩固知识，通过与人交流总结方法.【教学重点】 继续巩固二次根式的概念，熟练二次根式的化简，进而完善实数的运算.【教学难点】根号内含字母的二次根式的化简.学生每人准备好草稿纸、铅笔；教师准备课件.◆教材分析◆教学目标◆教学重难点 ◆◆课前准备◆一、提出问题，思考引入如果梯形的上、下底长分别为2√2 cm , 4√3 cm ，高为√6 cm ，那么它的面积是多少？二、合作交流，探究新知（一）二次根式的混合运算（1）3223-；（2）81818+-；（3）3)6124(÷-；25(4)9918.2+- 解：（1）3223-＝33322223⨯⨯-⨯⨯＝631621-＝6)3121(-＝661； （2）81818+-＝162222322+⨯-⨯＝2412223+-＝245； （3）3) 6124(÷-＝ 361324÷-÷＝ 361324÷-÷ ＝ 3618⨯-＝ 66224⨯-⨯＝ 26122-＝ 2611； 25(4)9918.2+- =252999222⨯+-⨯⨯5299322=+-12992=-+。
2023八年级数学上册第二章实数7二次根式第3课时二次根式的混合运算教案(新版)北师大版
1.拓展资源：
（1）数学杂志：《数学通报》、《数学竞赛》等杂志，其中包含了大量的二次根式混合运算的相关文章和题目，适合学生进行深入研究和挑战。
（2）在线教育平台：可汗学院、网易云课堂等平台上有许多关于二次根式混合运算的教学视频和练习题，可以帮助学生巩固知识点。
（3）数学论坛和博客：数学论坛和博客上有许多数学老师和专家分享的关于二次根式混合运算的教学经验和心得，学生可以从中学习和借鉴。
二、新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二次根式的混合运算的基本概念。二次根式的混合运算是指……（详细解释概念）。它在数学中扮演着重要的角色，特别是在解决实际问题时。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例展示了二次根式混合运算在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
2.教学活动设计：
（1）角色扮演：学生分组扮演不同角色，如售货员、顾客等，运用二次根式的混合运算规则计算商品价格，解决实际问题。
（2）实验操作：学生在实验室进行有关二次根式的实验，如测量物体长度、面积等，培养他们的实验操作能力和问题解决能力。
（3）数学游戏：设计有关二次根式混合运算的数学游戏，如卡片游戏、竞赛等，激发学生的学习兴趣，提高他们的数学运算能力。
难点举例：
（1）加法运算：计算-√5 + √3，先化为同号，即-√5 + √3 = -（√5 - √3），再合并得到-√5 + √3 = -（√5 - √3）。
（2）乘法运算：计算√2 × √15，根据乘法运算规则，底数相乘，指数相加，得到√（2×15）= √30。
（3）混合运算：一个正方形的边长为√5，求该正方形的面积。将实际问题转化为二次根式的混合运算，即√5 × √5 = √（5×5）= √25 = 5。
二次根式的混合运算
二次根式的混合运算1. 引言在数学中，二次根式是一种形如√a的数，其中a为非负实数。
二次根式可以进行加减乘除等基本运算，也可以与整数、有理数等进行混合运算。
本文将介绍如何进行二次根式的混合运算，包括加减、乘法以及除法。
2. 二次根式的加减运算2.1 加法运算对于两个二次根式的加法运算，我们只需要将它们的根号内的数相加，并保持根号不变。
例如：√a + √b = √(a + b)2.2 减法运算对于两个二次根式的减法运算，我们也只需要将它们的根号内的数相减，并保持根号不变。
例如：√a - √b = √(a - b)3. 二次根式的乘法运算二次根式的乘法运算稍微复杂一些，需要使用到一条性质，即：两个二次根式的乘积等于根号内两个数的乘积。
例如：√a * √b = √(a * b)4. 二次根式的除法运算二次根式的除法运算同样需要使用到一条性质，即：两个二次根式的除法等于根号内两个数的除法。
例如：√a / √b = √(a / b)5. 混合运算的例子为了更好地理解二次根式的混合运算，举个例子：假设有以下的运算：√8 + √2 - √18 * √3 / √4首先，我们可以将各个二次根式的根号内的数进行化简：√8 = √(4 * 2) = 2√2 √18 = √(9 * 2) = 3√2 √4 = 2然后，将化简后的结果带入原表达式中：2√2 + √2 - 3√2 * √3 / 2继续进行混合运算：2√2 + √2 - 3√6 / 2最后，将所有的二次根式及有理数进行合并得到最终结果：2√2 + √2 - (3 / 2)√66. 结论本文介绍了二次根式的混合运算，包括加减、乘法以及除法。
通过理解和应用这些运算规则，我们可以更方便地处理涉及二次根式的数学问题。
希望本文的内容能够帮助读者在学习和应用二次根式时更加得心应手。
二次根式的混合运算 北师大版数学八年级上册
北师版·八年级上册·第二章
知识回顾
运算法则：
a b ab (a 0,b 0)
( a)2 a
a a (a 0,b 0) bb
运算律： 各种运算律同样适用于实数的运算.
知识回顾
运算法则：
a b ab (a 0,b 0) ( a)2 a
a a (a 0,b 0) bb
练一练：
化简下列式子：
(1) 1 2 3
(2) 2 5 3
答案： (1)2 3;
(2) 5 3.
做一做：
如图所示，图中小正方形的边长为1，试求图中 梯形ABCD的面积. 你有哪些方法？
答案：S梯形ABCD=18
作业：
1. 《名校课堂》P29-30
2 92 42 18
2
3 22 2 4
10
练一练 计算：
(1) 2 1 5 10
(3)( 18 1 ) 8 2
(2) 12 3 1 3
(4)2 75 8 27
(4)解：原式 2 253 4 2 93
10 3 2 2 3 3
7 32 2
想一想：
2 的倒数是
？
1 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2
(3)( 24 1 ) 3 (4) 25 99 18
6
2
(4)解：原式 25 2 99 9 2
22
Hale Waihona Puke 2 99 3 2 21 2 99 2
99 化简后与其他的 非同类二次根式，结 果可以直接保留.
练一练 计算：
(1) 2 1 5 10
(3)( 18 1 ) 8 2
(2) 12 3 1 3
(2) 18 8 1 8
北师大版八年级上册数学《2-7 二次根式(第3课时)》优质课PPT课件
(2) 2 18- 50 1 45.
3
(2) 2 18 - 50 1 45
3
10 2-6 3 3 2
6 2-5 2 5
13 2 - 6 3
2 5
课堂检测
2.7 二次根式/
基础巩固题
7.计算： （1）（ 32 2） 2
解：（1）（ 32 2） 2
4 2 2 2
1
（2） 2
3
1 2-
5 10
3
2
解（：1） 2
5
1 10
25 55
110 1 1010 5
10 1 10 1 10 ;
10
10
（2） 12
3
1
43
3
1 3 2 3
1 3
34
3;
3
33
3
3
（3）( 18 1 ) 8 18 8 1 8 18 8 1 8
2
2
2
18 8 1 8 144 4 12 2 ＝10 . 2
2.计算：（ 2+ 3）2 24
B.( 12- 27) 3 1
D. 3( 2 3) 6 2 3
5.
3.设 a 1 ，b 10 3则, a = b
10 3
(填“>”“ < ”或“= ”）.
课堂检测
基础巩固题
2.7 二次根式/
4.三角形的三边长分别为 20 ，40 ，45 ， 则这个三角形的周 长为___5 _5_+_2__1_0 _.
3- 2
（2） 4 .
5 1
解:（1）
1 3-
2
（
1（ 3 3- 2）（
2） 3
2）
2.7二次根式的四则运算及混合运算 知识考点梳理(课件)北师大版数学八年级上册
二次根式的加减法
一般地，二次根式加减时，可以先将二次根式化
方法
成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式
进行合并
实质
实质
将被开方数相同的二次根式进行合并，只是把系
数相加减，根指数和被开方数不变
二次根式的加减运算可类比合并同类项来进行，
合并的依据是分配律
第二课时 二次根式的四则运算
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归纳总结
考
破
思路点拨
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第三课时 二次根式的混合运算
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解题通法
解决此类问题，可以把给出的复杂式子通
重
难
题 过二次根式的混合运算进行化简，再把给出的字母的值代
型 入化简后的式子计算求解．
突
破
破
［答案］ C
第二课时 二次根式的四则运算
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重
变式衍生
一个圆柱的侧面积为 32π，底面半径为
难
）
题 ，那么圆柱的高为 （A
型
A. 8
B. 16
突
破
C. 8
D. 16
第二课时 二次根式的四则运算
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解题通法
解决此类应用问题，首先要审清题意 ，列
重
难
题 出算式，再应用运算法则求解.
读
［答案］ 解：（1）原式=2 +
（2）原式=
−
2
+
=
+ − = − .
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；
第二课时 二次根式的四则运算
返回目录
二次根式乘除法的应用
重 ■题型
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1 (2 7) 5 1 11 1 4 2
2
2
2
45 1 4 18. 22
E S2
方法3：直接法
过点D作AB边的高DE，
如图所示.
S梯形ABCD 1 (CD AB) DE
2
E
1 ( 2 5 2)3 2 2
16 23 2 2
18.
归纳：利用二次根式可以简单便捷的求出结果．
先代入后化简
原式= 1 a b b a b
a bb a
把a=3，b=2代入代数式中， 原式 2 2 3.
先化简后代入
方法总结
解二次根式化简求值问题时，直接代入求值很麻 烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可 求得．
三 二次根式的应用 思考：如图，图中小正方形的边长为1，试求图中 梯形ABCD的面积.你有哪些方法？
解：贺卡的周长为
4 ( 288 338) 4 (12 2 13 2) 4 25 2 141.4(厘米) 150＞141.4
答：李欣的彩带够用.
方法总结
本题是利用二次根式的加法来解决实际生活中的 问题，解答本题的关键在于理解题意并列出算式．
当堂练习
1.下列计算中正确的是（ B ）
A. 3( 3 1 ) 3 3
3.计算.
（1） 2 5
1 10
；（2）
12
3
1 3
；（3）(
18
1 ) 2
8.
解：（1） 2
1
25
110 1 10 1
10
5 10 5 5 1010 5
10
1 10 ; 10
（2） 12
3
1
43
3
1 3
3
33
2
3
31 3
3 4 3
3;
解：（3）( 18 1 ) 8 2
18 8 1 8 188 1 8
2
2
144 4 12 2 ＝10 .
课堂小结
乘除法则
二次根式 的运算
加减法则
乘除公式
3 22 21 2 5 2 ; 44
解法一：（3） ( 24 1 ) 3 24 3 1 3
6
6
24 3
1 3 6
8
1
63
42
2 66
2 2 1 2 11 2 .
6
6
你还有其他解 法吗？
(3)( 24 1 ) 3. 6
解法二： 原式= 4 6
1 6
6 6
第二章 实数
2.7 二次根式
第3课时 二次根式的混合运算
导入新课
问题引入
如果梯形的上、下底长分别为 2 2 cm, 4 3 cm， 高为 6 cm，那么它的面积是多少？
梯形面积 = 12(2 2 +4 3)× 6 =( 2 +2 3)× 6 = 2× 6 +2 3× 6 = 2×6 +2 3×6 = 2×2×3 +2 3×3×2 = 2 3 +2×3 2 = 2 3 +6 2(cm2).
B.( 12- 27) 3 1
C. 32 1 2 2 2
D. 3( 2 3) 6 2 3
2.已知 x 3 1, y 3 1, 试求x2+2xy+y2的值.
解： x2+2xy+y2=（x+y)2
把 x 3 1, y 3 1, 代入上式得
原式= （ 3+1）+（ 3 1）2
（2 3）2 12.
讲授新课
一 二次根式的混合运算
例1：计算：
(1) 3 2 ; (2) 18 8 1 ; (3)( 24 1 ) 3.
23
8
6
解：（1）
3 2
2
3
32 22
23 1 33 2
61 3
6பைடு நூலகம்
(1 1) 6 1 6 ;
23
6
（2） 18 8 1 32 2 22 2 2
8
16
方法1：分割法
可把梯形ABCD分割成 两个三角形和一个梯 形，如图所示.
S1
S3
S2
S梯形ABCD=S1+S2+S3
1 31 1 3 2 1 (3 6) 3
2
2
2
3 3 27 18.
2
2
方法2：补图法
F
通过补图，可把梯形
S1
ABCD变成一个大梯
形，如图所示.
S梯形ABCD=S梯形ABEF－S1－S2
1 3
2
6
6 6
3 3
11 6 3 63
11 6 3 63
11 3 2 11 2 .
63
6
(4) 25 99 18; 2
解： (4)原式= 25 2 99 9 2 22
5 2 99 3 2 2
1 2 99. 2
思考：还可以 继续化简吗？
为什么？
提醒 如果算式当中有个别二次根式化简最简二次根式仍不能与其 它最简二次根式合并同类项，结果中可保留，不必化为最简式.
要点归纳
二次根式的混合运算，一般先将二 次根式转化为最简二次根式，再灵活运 用乘法公式等知识来简化计算.
二 二次根式的化简求值
问题：化简
1 a
b
ab ，其中a=3，b=2.你是怎么做的？
解法一：
哪种简便？ 解法二：
把a=3，b=2代入代数式中，
原式=
1 3
2
32
1 32 232 3
2 2 3.