傅里叶积分

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傅里叶积分变换

e jt0
f (u) e ju du
F e jt0 f (t)
返回
第六章傅氏变换
前进
同样，傅氏逆变换具有类似的位移性质，即
F -1 F ( 0 ) f (t)e j0t
（4）
这表明频谱函数
F
(
)
沿
轴向左向右位移
的傅氏
0
变换等于f(t)的傅氐变换乘以因子 e j0t或 e j0t 。
lim
0
(t) f
(t)dt
lim
0
(t) f (t)dt
lim 1 f (t)dt f (0)
0 0
更一般地有
(t
t0 ) f (t)dt
f (t0 )
返回
第六章傅氏变换
前进
c. 单位脉冲函数的傅氏变换F() F (t) 1
证明
F() F (t)
(t) e-jtd e j t 1
傅氏变换和频谱概念有着非常密切的关系，
这里只简单地介绍一下非周期函数频谱的基本概念。
在频谱分析中，当非周期函数f(t)满足傅氏积分定理中的条件时，将f(t)的傅氏变换F(ω)称为f(t)的频谱函数，而频谱函数的模|F(ω)|称为 f(t)的振幅频谱（亦简称为频谱）。
对一个时间函数作傅氏变换，就可求出这
(t
)dt
1
j
F f (t)
（8）
证因为
d
t
f (t)dt f (t)
dt
所以
F
d dt
t
f
(t)dt
F
f
(t)
根据微分性质：F
d
dt
t
f
(t)dt

第五章第二节傅里叶积分与傅里叶变换

(一)实数形式的傅里叶积分和傅里叶变换
周期为2l 的函数f (x)的傅立叶级数为：
f
x
a0
k 1
ak
cos k
l
x bk
sin
k
l
x ............5.1.3
ak
1
kl
l f cos k d ,
l
l
bk
1l
l l
f
sin
k
l
d ,......5.1.5
对于定义在区间，上的函数f (x)
解：rect t 2T
1,...... t 1 即t T 2T 2
0,...... t 1 即t T 2T 2
f(t)是偶函数，可按(5.2.8)展为余弦积分
f(t) h
-T O T t
f t Acostd,
0
其中
A
2
0
f
cosd
2
T
0
h
cosd
2h
s in T
A的图形如图5-2所示，是连续谱。即f (t)代表的脉冲电波，含有一切频率(应除去 T的整数倍频率)，它到达无线电接收机
第一节讨论的是周期为2l的函数的傅里叶级数展开，下面讨论
定义在区间，上的函数 f x的情形。
§5.2 傅里叶积分与傅里叶变换
(一) 实数形式的傅里叶积分和傅里叶变换 (二) 复数形式的傅里叶积分 (三) 傅立叶变换的基本性质
如何将定义在无穷区间上的函数展开？
方法：先将f (x)看成是周期为2l 的函数，再取2l 趋于无穷大时的极限结果。最后f (x)可以用积分表示，称为傅里叶积分。
根据上面提出的方法，有

傅立叶积分

- 14 -
第一节
傅里叶积分
(1.1.8) 或 (1.1.9) 称为 f ( t ) 傅立叶积分的实数形式。
第一章傅里叶变换
特别如果 f ( t ) 为偶函数， 1 f ( t ) ~ [ f ( )(cos wt cos w sin wt sin w )d ]dw
在傅里叶积分公式中，利用欧拉公式我们有 1 iw ( t ) f (t ) ~ [ f ( ) e d ]dw 2 1 [ f ( )(cos w( t ) i sin w( t ))d ]dw 2 注意到
f ( )sin w( t )d 为 w 的奇函数，因此 1 [ f ( )cos w ( t )d ]dw (1.1.8) f (t ) ~ 2

注意到
f ( )cos w( t )d 为 w 的偶函数，因此 1 f ( t ) ~ [ f ( )cos w( t )d ]dw (1.1.9) 0
-8-
(1.1.6)
1 T T ( w ) [ fT ( )e iw d ]e iwt 2 T 1 ( w ) [ f ( )e iw d ]e iwt 2
第一章傅里叶变换
第一节
傅里叶积分
注意到
T
lim T ( w ) ( w )
(1.1.4) 式称为 f ( t ) 傅里叶级数的复数形式。如果将 (1.1.3) 式代入(1.1.4) 式，我们有
-5-
cn e n

i
n t T
(1.1.4)
第一节
傅里叶积分

傅里叶积分

∫
+∞
-∞
f(t)e
-iω t
dt = ∫
+∞
-∞
f(x)e
-iω x
dx = ∫
+∞
0
e − x sin 2 xe -iω x dx
=
2 5 − ω 2 + 2iω
1.1.2 非正弦周期函数的频谱序列以T为周期的函数的傅里叶级数的复数表达式为
fT (t ) = ∑ c n e
n =1
∞
i
2 nπ t T
求它的傅立叶级数的复指数形式.
1 τ2 1 τ2 Eτ ⇒ c0 = ∫ τ fT (t )dt = ∫ τ Edt = , − − T 2 T 2 T
1 ⇒ cn = T
=
∫τ
2 − 2
τ
fT (t )e
−i
2 nπ t T
E nπ sin τ nπ T
ι 2 nπ n −i t 1 2 E −1 − i 2Tπ t τ2 dt = ∫ τ Ee T dt = [ e ]τ − − 2nπ T 2 T i 2 T
简单复习高数知识：周期为2l的函数f ( x )的傅里叶级数展开式： a0 ∞ nπ x nπ x f ( x ) = + ∑ (an cos ) + bn sin 2 n =1 l l a0 ∞ = + ∑ (an cos wn x +bnC ) 2 n =1 1 l an = ∫ f (ζ )cos wnζ d ζ , l −l nπ π (其中 w n = , n = 0,1, 2.....∆w = ) l l 1 l bn = ∫ f (ζ )sin wnζ d ζ l −l

复变函数与积分变换-第七章-傅里叶变换

证：f t 1 F ejt d
2
1
2

2d

0 ejt d
ejt
0
ej0t
.
即ej0t 和2d 0 构成了一个傅氏变换对。
由上面两个函数的变换可得
e jt dt 2d
1
2

f ( )cos(t )d

j

f
(
) sin
(t

)d

d
因 f ( )sin(t )d 是ω的奇函数， f cos t d是的偶函数,
定义
d
t

lim
0
d

t

0
t 0。 t 0
O

d t dt

lim 0

d t dt
lim 0
1 dt
0
1
（在极限与积分可交换意义下）
工程上将d-函数称为单位脉冲函数。
22
d -函数的筛选性质：
若f(t)为无限次可微的函数,则有
2 3

19
3.单位脉冲函数及其傅里叶积分变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等. 研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.
从 f t 1
2

f

傅里叶全部公式

傅里叶全部公式
傅里叶变换是一种将函数从时域（时间域）转换到频域的数学工具。

它通过将时域函数表示为不同频率的正弦和余弦函数的叠加来实现。

傅里叶变换和逆变换的公式如下：
傅里叶变换公式：F(ω) = ∫[−∞,+∞] f(t) e^−jωt dt
逆傅里叶变换公式：f(t) = (1 / 2π) ∫[−∞,+∞] F(ω) e^jωt dω
其中，f(t)是时域函数，F(ω)是频域函数，e是自然常数，j 是虚数单位√(-1)，ω是频率，t是时间。

此外，傅里叶级数展开公式也是傅里叶变换的一种形式，它用来将周期函数分解成一系列振幅和相位不同的正弦和余弦函数的和。

傅里叶级数展开公式：f(t) = a0/2 + ∑[n=1,∞] (an cos(nωt) + bn sin(nωt))
其中，a0、an、bn是常数系数，表示不同频率分量的振幅，ω是基本频率。

这些公式是傅里叶变换和级数展开的基础公式，用于将函数在时域和频域之间进行转换，并在信号处理、图像处理、通信等领域有广泛应用。

需要注意的是，傅里叶变换和级数展开还有一些特定的性质和变体公式，这些公式可以根据具体的应用场景进行扩展和变换。

简述傅里叶积分定理

简述傅里叶积分定理一、引言傅里叶积分定理是傅里叶分析的核心定理之一，它将信号在时域和频域之间的转换联系起来，被广泛应用于通信、图像处理、音频处理等领域。

本文将从定义、性质、应用等多个方面全面详细地阐述傅里叶积分定理。

二、定义傅里叶积分定理是指：如果函数f(t)和它的傅里叶变换F(ω)都绝对可积，那么它们之间存在一个相互逆的关系。

具体来说，函数f(t)可以表示为：f(t)=1/(2π)∫F(ω)e^(jωt)dω其中，j为虚数单位。

三、性质1.线性性：如果f1(t)和f2(t)的傅里叶变换分别为F1(ω)和F2(ω)，那么a1f1(t)+a2f2(t)的傅里叶变换为a1F1(ω)+a2F2(ω)，其中a1和a2为常数。

2.对称性：如果函数f(t)是实值函数，则它的傅里叶变换F(ω)具有共轭对称性，即F(-ω)=conj(F(ω))。

3.平移性：如果函数g(t)=f(t-t0)，那么它的傅里叶变换G(ω)=e^(-jωt0)F(ω)。

4.调制性：如果函数g(t)=f(t)e^(jω0t)，那么它的傅里叶变换G(ω)=F(ω-ω0)。

四、应用1.信号分析：傅里叶积分定理可以将信号在时域和频域之间进行转换，从而方便对信号进行分析和处理。

可以通过对声音信号进行傅里叶变换得到其频率分布，从而实现音频处理。

2.通信技术：傅里叶积分定理被广泛应用于通信技术中。

可以通过将数字信号转换为频域表示来进行调制和解调，从而实现高效的数据传输。

3.图像处理：在图像处理中，傅里叶积分定理也扮演着重要角色。

可以通过对图像进行傅里叶变换得到其频率分布，并利用这些信息实现图像增强、滤波等操作。

4.量子力学：在量子力学中，傅里叶积分定理也有着广泛的应用。

在薛定谔方程的求解过程中就需要使用到傅里叶积分定理。

五、总结傅里叶积分定理是傅里叶分析中的重要定理，它将信号在时域和频域之间进行转换联系起来，被广泛应用于通信、图像处理、音频处理等领域。

傅里叶积分与变换

t≠0 ⎧ f (t ), = ⎨ −1 ⎩ 2 [ f ( − 0) + f ( + 0)], t = 0
问题：
傅氏变换后再作傅氏变换会得到什么？
对 fˆ ( ω ) 再作一次傅氏变换 , ( 1 ) . 当 − t 为 f ( t )的连续点时 , +∞ ˆ ˆ ( ω ) e − jω t d ω ˆ ( ω ) = F [ fˆ ( ω )] = f ∫ f
1 ˆ ˆ g (ω ) = fˆ ( ω ) = f ( − ω ) 2π
⎧1, | ω |≤ a =⎨ ⎩ 0, | ω |≤ a
重要积分 (狄利克雷积分 )： +∞ sin ω π ∫0 ω d ω = 2
事实上 ,只要在下面结论中取 t = 0, a = 1 ⎧π / 2, +∞ 1 ⎪ ∫0 ω sin aω cos ω td ω = ⎨π / 4, ⎪ 0, ⎩ | t |< a | t |= 0 | t |> a
f (t )e
− jω t
dt
=∫ e
− jω t
= −( jω)
=
−a a −1
dt
− jωt
2 sin aω
∫
−a
e
d(− jωt)
ω
(2)由傅氏积分定理有
+∞ 1 fˆ ( ω ) e F [ fˆ ( ω ) ] = ∫−∞ 2π +∞ 2 s in aω 1 jω t e dω = ∫−∞ 2π ω −1 jω t
−βt
解：定义有由
fˆ ( ω ) =
∫
+∞ −∞

大学物理-傅里叶积分变换

里叶级数问题：非周期函数能否展开成傅里叶级数？
设想周期函数的周期 2l 不断增大而趋于无穷，即自变量每增长无穷，函数才变化一次，当自变量增长为有限值时，函数并不重复变化，此时它已经转化为非周期函数。这样，可以把符合一定条件的非周期函数展开成傅里叶积分。
可以证明：如果定义在 (–, ) 的函数在任一有限区间上满足
说明：(1) 原函数存在积分运算，像函数中无积分运算；
(2) 积分运算
代数运算 (除法运算)。
证明：令
即同理，有
，则 g' (x) = f (x)。于是
后面的例题会用到
)
(
7. 卷积定理
说明： (1) 卷积 f1 (x) * f2 (x) 的定义为
(2) 原函数存在卷积运算
像函数间的普通乘积
3. 积分变换法求解数理方程的基本思想如果不方便从原函数的方程直接求解，那么可能找
到适当的积分变换，把问题变换成比较简单的求像函数的定解问题，再通过逆变换把求得的像函数变换成原函数，从而得到所要求的解。
从物理上讲，经过积分变换后，自变量定义域的类别也发生了变化。
例：
时间域 t 空间域 r
频率域
U (k, t) (k)ek2a2t t C(k, )ek2a2 (t )d 0
(3) 作像函数的傅里叶逆变换 (10-1-19)
由卷积定理，有
F[ f1(x) f2(x)] F[ f1(x)]F[ f2(x)] f1(k) f2(k)
取上式的傅里叶逆变换，得到 F1[ f1(k) f2 (k)] f1(x) f2 (x) F1[ f1(k)]F1[ f2(k)]
(1 x 1) ( x 1)
x

6.1 傅里叶积分定理

]
上连续或只有有限个第一类间断点;
2)
在
[
T 2
,
T 2
]
上只有有限个极值点,
则函数 f T(x)在
[
T 2
,
T2上] 可以展开成傅里叶级数.
在 fT (t) 的连续点处，
其中
，且
傅里叶级数的三角形式
an
2 T
T
2 T
fT (t) cos nt d t
(n 0,1, 2,)
2
bn
2 T
T
(t
)d
d
因 f ( )sin(t )d是的奇函数,
f (t) 1
2
f
( )cos(t
)
d
d
又由于 f ( )cos(t )d是的偶函数,
从 f (t) 1
2
f
(
)
cos(t
)d
d
可得 f (t) 1
0
f
(
) cos (t
)d
d
利用三角函数公式
2 2
fT
(t)cos
nt
i sin
nt dt
1
T
T2 T 2
fT
(t )e int dt
dn
1 T
T T
2 2
fT
(t)cos
nt
i sin
nt dt
1
T
T2 T 2
fT
(t)eintdt cn
上述两个系数可以合并为一个
cn
1 T
T2 T 2
fT
(t )e int dt
n 0,1, 2,
推导过程如下

fourier积分公式的证明及教学

fourier积分公式的证明及教学
fourier傅里叶积分公式如下：
①在任一有限区间都连续或只有有限个第一类间断点，并且只有有限个极值。

②在(-∞，+∞)上绝对可积，即有限；则定义[f(x)→C(ω)]。

为f(x)的（复）傅里叶变换；记C(ω) = F[ f (x)] = f (ω)，称C(ω)为（复）傅里叶变换像函数。

傅里叶积分是一种积分在运算过程中的变换，它来源于函数的傅里叶积分表示。

以傅里叶变换为工具，研究函数的许多性质，是傅里叶分析的主要内容。

傅里叶变换在数学、物理以及工程技术中都有重要的应用。

当一个非常复杂的函数变成多个初等正弦函数相加时，它的积分比之前对复杂函数的积分变得简单多了。

法国数学家傅里叶发现了周期函数可以用一系列正弦函数组成的级数表示。

先把函数作傅里叶变换，然后再利用莱布尼茨公式即可求出结果。

定理：在上面定义的基础上，可以证明在间断点，右边的积分收敛到f(x)在该点左右极限的平均值。

该积分为f(x)的傅里叶复积分；f(x)为C(ω)的（傅里叶逆变换C(ω)→f(x)）原函数。

积分变换主要公式

一、傅里叶变换1、傅里叶积分存在定理：设()f t 定义在(),-∞+∞内满足条件：1）()f t 在任一有限区间上满足狄氏条件； 2）()f t 在(),-∞+∞上绝对可积（即()f t dt +∞-∞⎰收敛；则傅氏积分公式存在，且有()()()()()(),1[]11002,2iw iwt f t t f t f e d e dw f t f t t f t τττπ+∞+∞--∞-∞⎧⎪=-⎨++-⎪⎩⎰⎰是的连续点是的第一类间断点2、傅里叶变换定义式：()[]()()iwt F f t F w f t e dt +∞--∞==⎰ 1-2 傅里叶逆变换定义式：()11[]()()2iwt F F w f t F w e dw π+∞--∞==⎰1-33、常用函数的傅里叶变换公式()1()FFf t F ω-−−→←−− 矩形脉冲函数1,22()sin 20,2F F E t E f t t ττωτω-⎧≤⎪⎪−−→=⎨←−−⎪>⎪⎩1-4 单边指数衰减函数()()1,0110,0tFFe t e t F e t iw j t βββω--⎧≥−−→=⇒=⎡⎤⎨←−−⎣⎦++<⎩ 1-5 单位脉冲函数 ()11FF t δ-−−→←−− 1-6 单位阶跃函数 ()()11FFu t w iwπδ-−−→+←−− 1-7 ()112F Fw πδ-−−→←−− 1-8 ()12F Ft j πδω-−−→'←−− 1-9 ()0102F j t Fe ωπδωω-−−→-←−− 1-10 ()()1000cos F Ft ωπδωωδωω-−−→++-⎡⎤←−−⎣⎦1-11 ()()1000sin F Ft j ωπδωωδωω-−−→+--⎡⎤←−−⎣⎦1-12 4、傅里叶变换的性质设()()[]F f t F w =， ()()[]i i F f t F w =（1）线性性：()()1121()()FFf t f t F F αβαωβω-−−→++←−− 1-13 （2）位移性：()()010Fj t Ff t t e F ωω--−−→-←−− 1-14 ()010()F j t Fe f t F ωωω-−−→-←−− 1-15 （3）微分性：()1()FFf t j F ωω-−−→'←−− 1-16 ()()()1()Fnn Ff t j F ωω-−−→←−− 1-17 ()()1()FFjt f t F ω-−−→'-←−− 1-18 ()()()()1()Fn n Fjt f t F ω-−−→-←−− 1-19 （4）积分性：()11()tFFf t dt F j ωω--∞−−→←−−⎰ 1-20 （5）相似性：11()FFf at F a a ω-⎛⎫−−→←−− ⎪⎝⎭1-21 （6）对称性：()1()2FFF t f πω-−−→-←−− 1-22 上面性质写成变换式如下面：（1）线性性：[]1212()()()()F f t f t F w F w αβαβ⋅+⋅=⋅+⋅ 1-13-1[]11212()()()()F F w F w f t f t αβαβ-⋅+⋅=⋅+⋅（,αβ是常数）1-13-2（2）位移性：[]0()F f t t -=()0iwt e F w - 1-14()000()()iw tw w w F e f t F w F w w =-⎡⎤==-⎣⎦ 1-15（3）微分性：设+∞→t 时,0→)t (f , 则有[]()()()()[]()F f t iw F f t iw F w '== 1-16()()()()()[]()nn n F f t iw F f t iw F w ⎡⎤==⎣⎦1-17 []()()dF tf t jF w dw= 1-18 ()()nnnn d F t f t j F w dw ⎡⎤=⎣⎦ 1-19（4）积分性：()()t F w F f t dt iw-∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰ 1-20（5）相似性：[]1()()wF f at F a a=1-21-1 翻转性:1=a 时()()w F t f F -=-][ 1-21-2 （6）对称性:设 ()()w F t f −→←，则()()w f t F π2−→←- 或 ()()2F t f w π←−→- 1-225、卷积公式：)()(21t f t f *=τττd t f f )()(21-⎰+∞∞-。

复变函数与积分变换-第七章-傅里叶变换

t e intdt n
0,1,2,L

这就是Fourier级数的复指数形式，或者写为
6
接下来讨论非周期函数的展开问题。
任何一个非周期函数 f (t) 都可以看成是由某个周期函数 fT(t) 当T时转化而来的。
作周期为T 的函数 fT (t), 使其在[T/2,T/2]之内等于 f (t), 在[T/2,T/2]之外按周期T 延拓到整个数轴上, 则T 越大, fT (t)与 f (t) 相等的范围也越大, 这就说明当T时, 周期函数 fT(t) 便可转化为 f (t), 即有
1
2

f ( )cos(t )d

j

f
(
) sin
(t

)d

d
因 f ( )sin(t )d 是ω的奇函数， f cos t d是的偶函数,
1 F eitd 称为F 的Fourier逆变换，
2
n-1n

又 (n )
1
2

f
(
)e jn
d

e jnt

f
(t
)

lim
n 0
n
T
(n
)n

(n ) d n
( )d

最后可得：
f (t) 1
2

an
2 T
T2
T 2 fT t cosntdt
bn
2 T
T2
T 2 fT t sinntdt
在间断点t 处成立：

傅里叶积分

f (t 0) 2
f (t)
f (t
0)
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第第‹#6›页
2.Fourier级数的复指数表示形式
积分变换
在其连续点处，利用Euler公式：
cos
e j
e j
, sin
e j j
e j
2
2
f
(t)
a0 2
(an
n1
cos nt
bn
sin nt)
a0 2
an
（ f ）ej d
e j t
d
Fourier积分公式
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第第‹1#4›页
2. Fourier积分定理
积分变换
一个非周期函数在什么条件下,可以用 Fourier积分公式来表示,有下面的收敛定理.
定理:
若 f(t) 在(-, +)上满足下列条件: 1) f(t) 在任一有限区间上满足Dirichlet条件; 2)f(t) 在无限区间(-, +)上绝对可积.则有
（在(, )绝对可积即
|
f (t) | d t收敛）
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第第‹1#5›页
2. Fourier积分定理
积分变换
f
(t)
1 2π
f
(
)e j
d
e jt
d
成立.
F() f (t ) e jtdt
称为f的Fourier变换。
f (t) 1
F
(
)
e
jt
d
2
称为F的Fourier逆变换。
T 2 T 2

傅立叶积分变换

第一章傅里叶积分变换所谓积分变换，实际上就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的一种变换.这类积分一般要含有参变量，具体形式可写为：()()ττF dt t f t k ba−−→−⎰记为),(这里()t f 是要变换的函数，称为原像函数；()τF 是变换后的函数，称为像函数；()τ,t k 是一个二元函数，称为积分变换核 .数学中经常利用某种运算先把复杂问题变为比较简单的问题，求解后，再求其逆运算就可得到原问题的解. 如，初等数学中，曾经利用取对数将数的积、商运算化为较简单的和、差运算；再如，高等数学中的代数变换，解析几何中的坐标变换，复变函数中的保角变换，其解决问题的思路都属于这种情况.基于这种思想，便产生了积分变换.其主要体现在：数学上：求解方程的重要工具；能实现卷积与普通乘积之间的互相转化. 工程上：是频谱分析、信号分析、线性系统分析的重要工具.1．傅里叶级数的指数形式在《高等数学》中有下列定理：定理1.1 设()t f T 是以()0T T <<∞为周期的实函数，且在,22T T ⎛⎫-⎪⎝⎭上满足狄利克雷条件，即()t f T 在一个周期上满足：（1）连续或只有有限个第一类间断点；（2）只有有限个极值点. 则在连续点处，有()()∑∞=++=10sin cos 2n n n T t n b t n a a t f ωω (1)其中()dt t f T a TT T ⎰-=2201,()() ,2,1cos 122==⎰-n tdt n t f T a TT T n ω,()() .2,1sin 122==⎰-n tdt n t f T b T T T n ω,在间断点0t 处，(1)式右端级数收敛于()()20000-++t f t f T T .又2cos φφφi i e e -+=,ie e i i 2sin φφφ--=,.于是()∑∞=--⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+++=10222n t in t in nt in t in n T i e e b e e a a t f ωωωω∑∞=-⎪⎭⎫⎝⎛++-+=10222n t in n n t in n n e ib a e ib a a ωω 令,200a c =2n nn ib a c -=, 2n n n ib a c +=-, ,,3,2,1 -n 则 ()∑∞-∞==n tin nT ec t f ω()()2201212i t i t in t i t i t in t n n c c e c e c e c e c e c e ωωωωωω------=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅(2)(2）式称为傅里叶级数的复指数形式，具有明显的物理意义. 容易证明n c 可以合写成一个式子 ,即()() ,2,1,0122±±==--⎰n dt e t f T c t in TT T n ω. (3)2．傅里叶积分任何一个非周期函数 ()t f , 都可看成是由某个周期函数()t f T 当T →+∞时转化而来的. 即()t f T T ∞→=lim ()t f =.由公式(2) 、(3)得()()t in n TT in T T e d e f T t f ωωτττ∑⎰∞-∞=--⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221,可知()()t in n TT in T T e d e f T t f ωωτττ∑⎰∞-∞=--+∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221lim , 令1,--=∆=n n n n n ωωωωω,则T πω2=或nT ωπ∆=2 .于是()()t i n TT i TT n n e d e f T t f ωτωττ∑⎰∞-∞=--+∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡=221lim ()n t i n T T i T n n n e d e f ωττπωτωω∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡=∑⎰∞-∞=--→∆22021lim , 令()()t i i TT T n T n n e d e f ωτωττπωφ][2122--⎰=,故()t f ()nn nTn ωωφω∆=∑∞-∞=→∆0lim. (4)注意到当,0→∆n ω即∞→T 时,()()t i i n n T n n e d e f ωτωττπωφωφ][21)(-+∞∞-⎰=→. 从而按照积分的定义，（4）可以写为：()t f ()⎰+∞∞-=ωωφd ，或者()()ωττπωωτd e d e f t f t i i ⎰⎰+∞∞-+∞∞--=][21. (5)公式（5）称为函数()t f 的傅氏积分公式.定理1.2 若()t f 在(-∞, +∞)上满足条件:(1) ()t f 在任一有限区间上满足狄氏条件; (2) ()t f 在无限区间(-∞, +∞)上绝对可积,即()dt t f ⎰+∞∞-收敛, 则（5）在()t f 的连续点成里; 而在()t f 的间断点0t 处应以()()20000-++t f t f 来代替.上述定理称为傅氏积分定理. 可以证明，当()t f 满足傅氏积分定理条件时，公式(5) 可以写为三角形式，即()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-++=-⎰⎰∞+∞+∞-.,200,]cos [1其它连续点处，在t f t f t f t f d d t f ωττωτπ(6)上一节介绍了：当()t f 满足一定条件时，在()t f 的连续点处有：()()ωττπωωτd e d e f t f t i i ⎰⎰+∞∞-+∞∞--=][21.从上式出发，设()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰= (1)则()t f ()ωωπωd e F t i ⎰+∞∞-=21 (2)称(1)式，即()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰=为()t f 的傅里叶变换简称傅氏变换,记为()=ωF F ()}{t f .称(2)式，即()t f ()ωωπωd e F t i ⎰+∞∞-=21为傅里叶逆变换简称傅氏逆变换,记为()t f =F 1-[()t f ].(1)式和(2)式，定义了一个变换对()ωF 和()t f 也称()ωF 为()t f 的像函数；()t f 为的原像函数 ,还可以将()t f 和()ωF 用箭头连接: ()t f ↔()ωF .例 1 求函数()t f ⎩⎨⎧≥<=-0,0,0t e t t β的傅氏变换及其积分表达式其中 0>β.这个函数称为指数衰减函数,在工程中常遇到.解:根据定义, 有()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰==dt e e t i t ωβ-+∞-⎰0=dt e t i ⎰+∞+-0)(ωβ=ωβi +1=22ωβωβ+-i . 这就是指数衰减函数的傅氏变换.根据积分表达式的定义,有()t f ()ωωπωd e F t i ⎰+∞∞-=21ωωβωβπωd e i ti ⎰+∞∞-+-=2221注意到t t eti ωωωsin cos +=，上式可得()t f ()ωωωωβωβπd t i t i sin cos 2122++-=⎰+∞∞-=ωωβωωβπd tt ⎰+∞++022sin cos 1. 因此⎪⎩⎪⎨⎧>=<=++-∞+⎰.0,,0,2,0,0sin cos 022t e t t d t t t βππωωβωωβ 例2 求()t f =2t Ae β-的傅氏变换其中 0,>βA ---钟形脉冲函数.解: 根据定义, 有()()dt et f F ti ωω-+∞∞-⎰==dt e Ae t i t ωβ-+∞∞--⎰2,=βω42-Aedt Aei t ⎰∞+∞-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22βωββωβπ42-=Ae .这里利用了以下结果：()02>=⎰∞+∞--βωπβdx e x . 2．傅里叶变换的物理意义如果仔细分析周期函数和非周期函数的傅氏积分表达式()∑∞-∞==n t in n T e c t f ω,()t f ()ωωπωd e F t i ⎰+∞∞-=21,以及n c 和()ωF 的表达式()() ,2,1,0122±±==--⎰n dt e t f T c tin TT T n ω,()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰=,由此引出以下术语：在频谱分析中, 傅氏变换()ωF 又称为()t f 的频谱函数, 而它的模()||ωF 称为()t f 的振幅频谱(亦简称为谱). 由于ω是连续变化的, 我们称之为连续频谱,因此对一个时间函数作傅氏变换, 就是求这个时间函数的频谱. 显然，振幅函数()||ωF 是角频率ω的偶函数, 即()||ωF ()||ω-=F ,()||ωF 的辐角()ωF arg 称为相角频谱, 显然()ωF arg ()()⎰⎰∞+∞-+∞∞-=tdtt f tdt t f ωωcos sin arctan ,相角频谱()ωF arg 是ω的奇函数.例3 求单个矩形脉冲函数()t f =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤,2,0,2,a t a t E 的频谱图.解：()()dt e t f F t i ωω-+∞∞-⎰=dte E t i a a ω--⎰=222sin222ωωωωa Ea a e i E ti =--, 频谱为()||ωF =|2sin2|ωωa E. 请画出其频谱图.以上术语初步揭示了傅氏变换在频谱分析中的应用，更深入详细的理论会在有关专业课中详细介绍！在物理和工程技术中, 有许多物理、力学现象具有脉冲性质. 它反映出除了连续分布的量以外，还有集中于一点或一瞬时的量，例如冲力、脉冲电压、点电荷、质点的质量等等. 研究此类问题需要引入一个新的函数，把这种集中的量与连续分布的量来统一处理。

第一+二节(傅里叶级数和积分)

函数在fx区间满足1在任一有限区间满足狄利希利条件2fx在绝对可积收敛则fx可表示成傅里叶积分且积分值fx0fx02振幅谱振幅谱相位谱相位谱1111奇函数奇函数fx的傅里叶积分是傅里叶正弦积分傅里叶正弦积分是fx的傅里叶正弦变换傅里叶正弦变换偶函数偶函数fx的傅里叶积分是傅里叶余弦积分傅里叶余弦积分是fx的傅里叶余弦变换傅里叶余弦变换奇函数偶函数傅里叶正弦变换傅里叶正弦变换傅里叶余弦变换傅里叶余弦变换1212写成对称的形式如下
展开成傅里叶级数,为了能让这类函数可以展开,采用如下办法:
将非周期函数f(x)看成某个周期函数f(x)当周期 2l 的极限
形式,这样g(x)的傅里叶级数展开
f
(x)

a0

k 1

ak
cos
kx
l
bk
sin
kx
l

在 l 的极限形式就是要找的非周期函数f(x)的傅里叶展开.
整理得:
0
0
f (x) 1 [ A() iB()]eixd 1 [ A() iB()]eixd
02
02
右边第二个积分中换成
f (x) 1 [ A() iB()]eixd 0 1 [ A( ) iB( )]eixd
B( )

2

0
f
( )sin
d
偶函数f(x)的傅里叶积分是傅里叶余弦积分

f (x) 0 A() cosxd
其中 B( ) 是f(x)的傅里叶余弦变换
A( )

2

0
f
( ) cosd
f (0) 0 f (0) 0

傅里叶级数积分计算技巧

傅里叶级数积分计算技巧傅里叶级数是一种将周期函数分解成一系列正弦和余弦函数的方法。

它在信号处理、傅里叶分析、图像处理等领域中得到广泛应用。

傅里叶级数的计算可以通过积分来实现，以下是一些傅里叶级数积分计算的技巧。

1. 傅里叶级数的基本公式：周期为T的函数f(t)可以表示为傅里叶级数的形式：f(t) = a0/2 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))，其中：a0 = (1/T) * ∫[0,T] f(t) dtan = (2/T) * ∫[0,T] f(t) * cos(nωt) dtbn = (2/T) * ∫[0,T] f(t) * sin(nωt) dt2. 利用对称性简化计算：如果函数f(t)是偶函数，则所有的正弦项都为零，只保留余弦项计算。

如果函数f(t)是奇函数，则所有的余弦项都为零，只保留正弦项计算。

3. 利用周期性简化计算：如果函数f(t)的周期是2π，即T=2π/ω，则可以将积分区间简化为[0,2π]。

这样，傅里叶级数的计算可以通过对[0,2π]上的函数进行积分来实现。

4. 利用正交性简化计算：傅里叶级数中的正弦和余弦函数具有正交性，即不同频率的正弦和余弦函数在区间[0,T]上的乘积的积分为零。

这意味着，如果要计算某个系数an或bn，只需将f(t)与cos(nωt)或sin(n ωt)相乘后再进行积分即可。

5. 利用欧拉公式简化计算：欧拉公式表示为e^ix = cos(x) + i*sin(x)，其中i为虚数单位。

可以利用欧拉公式将正弦和余弦函数用指数函数表示，从而简化傅里叶级数的计算。

以上是一些傅里叶级数积分计算的技巧，通过应用这些技巧，可以更高效地计算傅里叶级数，从而实现信号处理和傅里叶分析等领域的应用。

傅里叶积分

傅里叶积分变换

第五章 第二节 傅里叶积分与傅里叶变换

傅立叶积分

傅里叶积分

复变函数与积分变换-第七章-傅里叶变换

傅里叶全部公式

简述傅里叶积分定理

傅里叶积分与变换

大学物理-傅里叶积分变换

6.1 傅里叶积分定理

fourier积分公式的证明及教学

积分变换主要公式

复变函数与积分变换-第七章-傅里叶变换

傅里叶积分

傅立叶积分变换

第一+二节(傅里叶级数和积分)

傅里叶级数积分计算技巧

第五章第二节傅里叶积分与傅里叶变换