傅里叶积分

T 2

主页
上一页
下一页
退出
第 第 ‹# 11 ›页
1. Fourier积分公式
积分变换
当n取一切整数时, n所对应的点便均匀 分布在整个数轴上,两个相邻的点的距离为
2π π n n n1 ,或T T n
主页
上一页
下一页
退出
第 第 ‹# 12 ›页
1. Fourier积分公式
根据Fourier积分公式的复数形式，有
1 j e j t d f (t ) f ( ) e d 2π
1 1 j t cos t j sin t d e d 1 2π
F ( )
1 f (t ) 2


f (t ) e
jt
dt
称为f的Fourier变换。



F ( ) e jt d
下一页 退出
第 第 ‹# 16 ›页
称为F的Fourier逆变换。
主页 上一页
积分变换
1， t 1 求函数 f ( t ) 的Fourier积分表达式. 0， 其他
积分变换
则当 T ，n 0时，
1 T jnt 2 jn f ( t ) lim T fT ( )e d e T T n 2
1 T2 jn t j n f ( t ) lim f ( ) e d e T T n n 0 2π n 2
一、 Fourier级数
积分变换
1804年，法国数学家Fourier提出： 在有限区间上由任意图形定义的任意函数都 可以表示为单纯的正弦与余弦之和.
1822年， Fourier在研究热传导理论时发表 了《热的解析理论》，提出了将周期函数展开为 正弦级数的原理.
主页
上一页
下一页
退出
第‹ 第 #› 3页
下一页 退出
第 第 ‹# 19 ›页
主页
第一章 Fourier 变换
§1.1 Fourier 积分
一、Fourier级数 二、Fourier积分
一、 Fourier级数
积分变换
傅里叶(1768—1830)
法国数学家
J．B．J．Fourier
对自然界的深刻研究是数学最富饶的源泉.
法国数学家Fourier
主页 上一页 下一页 退出
第‹ 第 #› 2页

1 f (t ) T

T 2
T 2
f ( )e
jn t
jn t d e
主页
上一页
下一页
退出
第‹ 第 #› 8页
二、Fourier 积分 1. Fourier积分公式
积分变换
任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由 某个周期函数fT(t)当T+时转化而来的. 作 T T , 之内等于 周期为T的函数fT(t),使其在 2 2 T T , 之外按周期T延拓到整个数轴上, f(t), 而在 2 2 显然, T 越大,fT(t)与f(t)相等的范围也越大, 这就说明当T+时 周期函数fT(t)便可转化 为f(t), 即有 lim fT ( t ) f ( t )
（在(, )绝对可积即 | f ( t ) | d t收敛）


主页
上一页
下一页
退出
第 第 ‹# 15 ›页
2. Fourier积分定理
积分变换
1 j j t f (t ) f ( )e d e d 2π
成立.
T
主页
上一页
下一页
退出
第‹ 第 #› 9页
1. Fourier积分公式
积分变换
T
源自文库
1 fT ( t ) T
2 j n t j n f ( ) e d e ， T T n 2

令 ，由
1 jnt jn f (t ) lim T fT ( )e d e T T n 2
主页 上一页 下一页 退出
第 第 ‹# 13 ›页
1. Fourier积分公式
积分变换
1 T2 j n t j n f ( t ) lim f ( ) e d e T T n n 0 2π n 2
1 j （ f t）= （ f ） e d 2π
a0 an j bn jn t an j bn jn t e e 2 n 1 2 2
主页 上一页 下一页 退出
第‹ 第 #› 7页
2.Fourier级数的复指数表示形式 其中令 n
积分变换
n (n=0,1,2, … ),
1 T n
主页 上一页 下一页 退出
第 第 ‹# 17 ›页
积分变换
1 1 j t cos t d e d 0 π
1 sin cos t j sin t d π
1, | t | 1 2 sin cos t d t 1 π 0 0, 其 他
e j t d
Fourier积分公式
主页
上一页
下一页
退出
第 第 ‹# 14 ›页
2. Fourier积分定理
积分变换
一个非周期函数在什么条件下,可以用 Fourier积分公式来表示,有下面的收敛定理. 定理:
若 f(t) 在(-, +)上满足下列条件:
1) f(t) 在任一有限区间上满足Dirichlet条件; 2)f(t) 在无限区间(-, +)上绝对可积.则有
f ( t 0) f ( t 0) a0 an cos n t bn sin n t 2 2 n 1 f (t )

主页
上一页
下一页
退出
第‹ 第 #› 6页
2.Fourier级数的复指数表示形式
积分变换
在其连续点处，利用Euler公式： e j e j e j e j cos ,sin j 2 2 a0 f ( t ) (an cos n t bn sin n t ) 2 n 1 a0 e jn t e jn t e jn t e jn t an j bn 2 n 1 2 2
一、Fourier级数
积分变换
1829年，德国数学家Dirichlet证明了下面的 定理，奠定了Fourier级数的理论基础.
狄利克雷（1805－1859）
德国数学家
P. G. L. Dirichlet
主页 上一页 下一页 退出
第‹ 第 #› 4页
1. Fourier级数展开
积分变换
设f ( t ) 是一个以T为周期的函数，若f ( t ) 在 [T , T ]
连续或有有限个间断点； 1） 上满足Dirichlet条件, 有有限个极值， 2）
T T 则f ( t )在[ , ] 上有Fourier级数展式 2 2 a0 f ( t )= (an cos n t bn sin n t ), 连续点处 2 n1 T 2 2 其中 2π ， a0 T f ( t )d t T T 2
主页 上一页 下一页 退出
第 第 ‹# 18 ›页
积分变换
π 2， t 1 sin cos t π 即 d ， t 1 0 4 0， t 1 当t 0时，有


sin
0
π d 2
上一页
Dirichlet积分
主页 上一页 下一页 退出
第‹ 第 #› 5页
1. Fourier级数展开
T 2
T 2
积分变换
an T f ( t )cos n t d t， bn T f ( t )sin n t d t .
2
2
在间断点t处：
f ( t 0) f ( t 0) a0 an cos n t bn sin n t 2 2 n 1