二次函数复习讲义(完美)

二次函数最全面的复习讲义

学习目标

1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；

2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；

3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题；

4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.

知识网络

要点一、二次函数的定义

一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小.

二、用待定系数法求二次函数解析式

1.二次函数解析式常见有以下几种形式：

(1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)；

(2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)；

(3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．三、

2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下

第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，

或，其中a≠0；

第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；

第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；

第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．

类型一：二次函数的概念

1、下列函数中，是关于x的二次函数的是__________________(填序号)．

(1)y＝-3x2；(2)；(3)y＝3x2-4-x3； (4)；(5)y＝ax2+3x+6；

(6)．

【变式1】下列函数中，是二次函数的是（ )

A. B. C.

D.

【变式2】如果函数是二次函数，求m的值

类型二、求二次函数的解析式

1．已知二次函数的图象经过原点及点，且图象与x轴的另一交点到原点的距离为1，则该二次函数的解析式为______________．

【答案】或．

【变式】已知：抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=1，交x轴于点A、B(A在B的左侧)，且AB=4，交y轴于点C.求此抛物线的函数解析式及其顶点M的坐标.

【答案】

∵对称轴x=1，且AB=4

∴抛物线与x轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)

∴y=x2-2x-3为所求,

∵x=1时y=-4，

∴M(1，-4).

课堂练习

1．已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点，求此二次函数的解析式

【答案与解析】

本题已知三点求解析式，可用一般式.设此二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a≠0)，由题意得：

解得

∴所求的二次函数的解析式为y=-x2+3x-5.

2 在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为，且过点.

（1）求该二次函数的解析式；

（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接

写出平移后所得图象

与轴的另一个交点的坐标.

【答案】

（1）．（2）令，得，解方程，得，．

∴二次函数图象与轴的两个交点坐标分别为和．

∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．

平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为

3．已知二次函数的图象如图所示，求此抛物线的解析式．

【答案与解析】

解法一：设二次函数解析式为(a≠0)，由图象知函数图象经过点(3，0)，(0，3)．

则有解得∴抛物线解析式为

．

解法二：设抛物线解析式为(a≠0)．

由图象知，抛物线与x轴两交点为(-1，0)，(3，0)．则有，即．

又，∴∴抛抛物物解析式为．

课后巩固练习

一、选择题

1. 二次函数的图象经过点A(0，0)，B(-1，-11)，C(1，9)三点，则它的解析式为( )．

A． B． C． D．

2．二次函数有( )

A．最小值-5 B．最大值-5 C．最小值-6 D．最大值-6

3．把抛物线y=3x2先向上平移2个单位再向右平移3个单位，所得的抛物线是（）

A.y=3(x－3)2+2

B.y=3(x+3)2+2

C.y=3(x－3)2－2

D.y=3(x+3)2－2

4．如图所示，已知抛物线y＝的对称轴为x＝2，点A，B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为(0，3)，则点B的坐标为 ( )

A.(2，3)

B.(3，2)

C.(3，3)

D.(4，3)

5．将函数的图象向右平移a(a＞0)个单位，得到函数的图象，则a的值为( )

A．1 B．2 C．3 D．4

6．若二次函数的x与y的部分对应值如下表：

x -7 -6 -5 -4 -3 -2

Y -27 -13 -3 3 5 3

则当x＝1时，y的值为 ( )

A．5 B．-3 C．-13 D．-27

二、填空题

7．抛物线的图象如图所示，则此抛物线的解析式为______________．

第7题第10题8．已知二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是(1，-2)，则这个二次函数的关系式为______．

9．已知抛物线．该抛物线的对称轴是________，顶点坐标________；

10．如图所示已知二次函数的图象经过点（-1，0），（1，-2），当y 随x的增大而增大时，x的取值范围是______________．

11．已知二次函数(a≠0)中自变量x和函数值y的部分对应值如下表：

…-1 0 1 …

…-2 -2 0 …

则该二次函数的解析式为______________．

12．已知抛物线的顶点坐标为(3，-2)，且与x轴两交点间的距离为4，则抛物线的

解析式为______________．

三、解答题

13．根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式．

(1)已知抛物线的顶点是(1，2)，且过点(2，3)；

(2)已知二次函数的图象经过(1，-1)，(0，1)，(-1，13)三点；

(3)已知抛物线与x轴交于点(1，0)，(3，0)，且图象过点(0，-3)．

14．如图，已知直线y＝-2x+2分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角

三角形ABC，∠BAC＝90°，求过A、B、C三点的抛物线的解析式．

15．在矩形AOBC中，OB＝6，OA＝4，分别以OB，OA所在的直线为轴和轴建立如图所

示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B、C重合)，过F点的反比例函数(k ＞0)的图象与AC边交于点E．

(1)求证：AE×AO＝BF×BO；

(2)若点E的坐标为(2，4)，求经过点O，E，F三点的抛物线的解析式．