七年级数学竞赛题：简单的不定方程、方程组
初中数学竞赛资料：不定方程
第九讲 不定方程一、二元不定方程的解法。
枚举法，余数法。
二、 三元不定方程组的解法，三元不定方程的解法。
1、解下面的不定方程，求出所有自然数解(1) 4598x y += (2) 199100x y +=(3) 719213x y += (4) 14213585x y +=2、已知△和☆分别表示两个自然数,并且5537115=+∆ ,△+☆= . [分析与解答]依题意得11△+5☆=37,易知其自然数解为△=2,☆=3.所以△+☆=5.3、箱子里有乒乓球若干个,其中25%是一级品,五分之几是二级品,其余91个是三级品.那么,箱子里有乒乓球 个.[分析与解答]设箱子里共有n 个乒乓球,二级品占5a .依题意,得 n a n n =++⨯915%25 整理得 9120)415(⨯=-a n ①易知 15-4 a >0,所以a ≤3.将a=1,2,3代入①知,只有a=2符合要求,此时n=260(个).4、某班同学分成若干小组去值树,若每组植树n 棵,且n 为质数,则剩下树苗20棵;若每组植树9棵,则还缺少2棵树苗.这个班的同学共分成了 组.[分析与解答]设共分为x 组.由树苗总数可列方程2029+=-nx x22)9(=-x n因为22=1×22=2×11, n 是小于9的质数,对比上式得x=11(组).5、不定方程23732=++z y x 的自然数解是 .[分析与解答]⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===213125142z y x z y x z y x显然z 只能取1,2,3.当z =1时,1632=+y x ,其自然数解为x=2, y=4; x =5, y=2.当z =2时,932=+y x ,其自然数解为x=3, y=1.当z =3时,232=+y x ,显然无自然数解.所以原方程的自然数解为:⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===213125142z y x z y x z y x6、王老师家的电话号码是七位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得9063;将前三位组成的数与后四位组成的数相加得2529.王老师家的电话号码是 .[分析与解答]8371692.设电话号码的前三位为x ,后三位y ,第四位为a (a ≠0).由题意有⎩⎨⎧=++=++25291000906310y a x y a x ①-②,化简得a x 111726+=.当a=1时, x=837, y=692;当a ≥2时, y <0,不合题意.所以电话号码为8371692.7、有三个分子相同的最简假分数,化成带分数后为87,65,32c b a.已知a ,b ,c 都小于10,a ,b ,c 依次为 , , .[分析与解答]由题意有785623+=+=+c b a .解这个不定方程,得2,3,7===c b a .8、全家每个人各喝了一满碗咖啡加牛奶,并且李明喝了全部牛奶(若干碗)的41和全部咖啡(若干碗)的61.那么,全家有 口人. [分析与解答]设全家共喝了x 碗牛奶和y 碗咖啡,依题意得:16141=+y x 整理得 1223=+y x .易得其自然数解为x=2, y=3.故共喝牛奶和咖啡2+3=5(碗).因此,全家有5口人.9、某单位职工到郊外植树,其中31的职工各带一个孩子参加,男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵,每个孩子种6棵,他们共种了216棵树,那么其中有女职工 人.① ②[分析与解答]设有女职工x 人,男职工y 人,那么有孩子3y x +人.这个条件说明3| x + y . 由已知 216631310=⨯+++y x y x 即 7254=+y x72)(4=++y y x由12|4(x + y ),12|72.所以12| y ,又5472x y -=≤5414572=. 所以, y=12, x=3.即有女职工3人.10、将一个棱长为整数(单位:分米)的长方体6个面都涂上红色,然后把它们全部切成棱长为1厘米的小正方体.在这些小正方体中,6个面都没涂红色的有12块,仅有2面涂红色的有28块,仅有1面涂红色的有 块.原来长方体的体积是 立方分米.[分析与解答]画个示意图就不难推知:小正方体中仅两面涂色的每条棱上都有,并在同一个方向的4条棱上2面涂色的小正方体数相等,设它们分别为z y x ,,,()⎩⎨⎧==++⨯12284xyz z y x 剥去所有涂色的小块,得到上图.由上面两上算式可以推算出2,3===z y x ,仅1面涂色彩正方体有:2)232223(2)(⨯⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯z x z y y x 32216=⨯=(块).原来长方体的体积为80445)2()2()2(=⨯⨯=+⨯+⨯+=z y x V (立方分米).11、李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票,兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了(例如,把12.34元看成34.12元),并按看错的数字支付.李林将其款花去3.50元之后,发现其余款恰为支票面额的两倍,于是急忙到银行将多领的款额退回.那么,李林应退回的款额是 元.[分析与解答]设支票上的元数与角、分数分别为x 和y ,则可列得方程)100(2350)100(y x x y +=-+,其中x ,y 为整数且0≤x ,y <100.化简方程得 35019998+=x y由此推知2x <y 且为x 偶数,其可能取值为2,4, (48)又 985633298350199+++=+=x x x y , 56≤563+x ≤20056483=+⨯所以 98563=+x 或298⨯.所以 324642==x x 或(舍去). 故42=x ,此时32=y .即李林的支票面额为14.32元,竞换时误看成32.14元,李林应退款额为32.14-14.32=17.82元.12、一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的乘客人数相等,起初每辆汽车乘22人,结果剩下一人未上车;如果有一辆汽车空车开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车?有多少旅客?[分析与解答]设起初有x 辆汽车,开走一辆汽车后每车乘n 人,依题意,得)1(122-⨯=+⨯x n x ,所以 123221122-+=-+=x x x n 又n , x 为整数,所以(x -1)|23,故x -1=1或23,即x=2或x=24.若x=2,则45122322=-=n 与n ≤32产生矛盾. 因此x=24或n=23,故起初有24辆汽车,有旅客22 x +1=529(名).13、小王用50元钱买40个水果招待五位朋友.水果有苹果、梨子和杏子三种,每个的价格分别为200分、80分、30分.小王希望他和五位朋友都能分到苹果,并且各人得到的苹果数目互不相同,试问他能否实现自己的愿望?[分析与解答]设苹果、梨子、杏子分别买了z y x ,,个,则⎩⎨⎧=++=++4050003080200z y x z y x 消去z 得 380517=+y x ①所以 175380y x -=由0<y <40得 176221738017538017405380171010=<-<⨯-=y 即 176********<<x 又 5|5 y ,5|380,(5,17)=1,由①得5| x .所以x=15或x=20.当x=15时, y=25, z=0,不合题意.因此x=20, y=8, z=12.因此,小王的愿望不能实现,因为按他的要求,苹果至少要有1+2+3+4+5+6=21>20个.14一次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生,原计划发给一等奖每人6支,二等奖每人3支,三等奖每人2支,后来改为一等奖每人9支,二等奖每人4支,三等奖每人1支,问:获一、二、三等奖的学生各几人?[分析与解答]设获一、二、三等奖的人数分别为z y x ,,,根据题意有:⎩⎨⎧=++=++224922236z y x z y x 2×②得 4422818=++y x ③③-①得 22512=+y x ④解④求得整数解为x=1, y=2.代入②可求得z=5.练习题1、采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A 种物若干,又买单价670元的B 种物若干,其中B 种个数多于A 种个数,找回了几张100元和几张10元的(10元的不超过9张).如把购A 种物品和B 种物品的个数互换,找回的100元和10元的钞票张数也恰好相反.问购A 物几个,B 物几个?[分析与解答]设买A 种物品a 个, B 种物品b 个,找回100元的m 张,10元的n 张,则有:⎩⎨⎧--=+--=+nm b a n m b a 10010100005906701010010000670590 其中b >a ,n <10.①-②得 )(9)(8m n a b -=- ③① ② ① ②所以 )(98m n -,故m n -8,由b >a ,n <10知 m <n <10,因此, m -n =8,从而b -a =9.由此推知n=9, m=1, b=a+9.代入①式,解得a=3. B=12.答:购A 物3个,B 物12个.2、某地收取电费的标准是:每月用电不超过50度,每度收5角;如果超过50度,超出部分按每度8角收费.某月甲用户比乙用户多交3元3角电费,这个月甲、乙各用了多少度电?[分析与解答]因为33既不是5的倍数又不是8的倍数,所以甲用电超过50度,乙用电不足50度.设甲用电(50+x )度,乙用电(50- y )度.因为甲比乙多交33角电费,所以有:8x+5y=33.容易看出x=1时,y=5.推知甲用电51度,乙用电45度.。
七年级数学竞赛 第15讲 不定方程(组)
例 5．某人家的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得 14405，将前三位数组 成的数与后五位数组成的数相加得 16970，求此人家的电话号码。
（湖北省武汉市竞赛题）
分析与解：设此八位数为 abcdefgh ，为将两个已知条件变为两个方程，需进一步整体设元。
设 abc 为 x，d 为 y， efgh 为 z，则电话号码是 100000x+10000y+z，其中 x，y，z 均为自然数，
故小强支票面额为 14.32 元，误看成 32.14 元，
应退 32.14−14.32=17.82 元。
刻意练习
1．若正整数 a，b，c 满足 a+2bc= 49 ，则 a+b+c 的最大值是
.
a
（“希望杯”邀请赛试题）
2．有 5 克、25 克、30 克 50 克的砝码各若干个，从中共取 n 个，每类砝码至少取 1 个，50 克的砝码不能超
（3）当 k≤−1 时，若 k=−1，则 x=−4，y=3，|x|+|y|=7；
若 k<−1，则|y|≥12，|x|>0，从而|x|+|y|>12。
由上述可知，至少要用 7 只这样的砝码，其中 9 克的 4 只，13 克的 3 只。
分离整系数 类似于假分数的化简，当分子的次数大于或等于分母的次数时，通过除法，我们可以把一个分式化为整
可表示为
x y
= =
x0 y0
− bt, + at,
（t 为整数）。
问题解决：
例 1．正整数 m，n 满足 8m+9n=mn+6，则 m 的最大值是
．
பைடு நூலகம்
竞赛专题18 简单的不定方程、方程组
简单的不定方程、方程组阅读与思考如果方程(组)中，未知数的个数多于方程的个数，那么解往往有无穷多个，不能唯一确定，这样的方程(组)称为不定方程(组)．对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解，甚至只求正整数解．加上这类限制后，解可能唯一确定，或只有有限个，或无解．这类问题有以下两种基本类型： 1．判定不定方程(组)有无整数解或解的个数；2．如果不定方程(组)有整数解，求出其全部整数解．二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程求其整数解．解不定方程(组)，没有固定的方法可循，需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数、因数分解、不等式分析、穷举、分离整数、配方等知识与方法．根据方程(组)的特点进行适当变形，并灵活运用相关知识与方法是解不定方程(组)的基本思路．例题精讲【例1】满足222219981997m n +=+ (0＜m ＜n ＜1 998)的整数对(m ，n )共有_______对．(全国初中数学联赛试题)．【例2】电影票有10元，15元，20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多( )．A ．20张B ．15张C ．10张D ．5张(“希望杯”邀请赛试题)解题思路：设购买10元，15元，20元的电影票分别为x ，y ，z 张．根据题意列方程组，整体求出的z －x 值．【例3】某人家中的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14 405，将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16 970，求此人家中的电话号码．(湖北省武汉市竞赛试题)解题思路：探索可否将条件用一个式子表示，从问题转换入手．【例4】一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4粒或6粒地取出，最终盒内都剩一粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子?(重庆市竞赛试题)解题思路：无论怎样取，盒子里的棋子数不变。
初中七年级数学知识点专题讲解与练习18---简单的不定方程、方程组(培优版)
入某个一位数后变成的三位数是原来两位数的 9 倍，这样的两位数有( )个．
A．1 B．4 C．10 D．超过 10
9．李林在银行兑换了一张面额为 l00 元以内的人民币支票，兑换员不小心将支票上的 元与角、分数字看倒置了(例如，把 12．34 元看成了 34．12 元)，并按着错的数字支付，
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对．
(全国初中数学联赛试题)
解题思路：由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解来解答．
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【例 2】电影票有 10 元，15 元，20 元三种票价，班长用 500 元买了 30 张电影票，其 中票价为 20 元的比票价为 10 元的多( )．
A．20 张 B．15 张 C．10 张 D．5 张 (“希望杯”邀请赛试题)
A．32 千米 B．37 千米 C．55 千米 D．90 千米
7．给出下列判断：
x = −3t
①不定方程 2x + 3y = 0 的整数解可表示为
( t 为整数)．
y = 2t
②不定方程 2x + 4 y = 5 无整数解．
③不定方程 2x + 3y = 1无整数解．
其中正确的判断是( )．
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
8．小英在邮局买了 10 元的邮票，其中面值 0.10 元的邮票不少于 2 枚，面值 O.20 元的
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邮票不少于 5 枚，面值 0.50 元的邮票不少于 3 枚，面值 2 元的邮票不少于 1 枚，则小
英最少买了(
)枚邮票．
A．17 B．18 C．19 D．20
(“五羊杯”邀请赛试题)
9．小孩将玻璃弹子装进两种盒子，每个大盒子装 12 颗，每个小盒子装 5 颗，若弹子
七年级奥数：简单的不定方程、方程组
七年级奥数：简单的不定方程、方程组阅读与思考如果方程(组)中，未知数的个数多于方程的个数，那么解往往有无穷多个，不能惟一确定，这样的方程(组)称为不定方程(组)．对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解，甚至只求正整数解．加上这类限制后，解可能惟一确定，或只有有限个，或无解．这类问题有以下两种基本类型：1．判定不定方程(组)有无整数解或解的个数；2．如果不定方程(组)有整数解，求出其全部整数解．二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程求其整数解．解不定方程(组)，没有固定的方法可循，需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数、因数分解、不等式估值、穷举、分离整数、配方等知识与方法．根据方程(组)的特点进行适当变形，并灵活运用相关知识与方法是解不定方程(组)的基本思路．例题与求解例1 满足1998的整数对(m ,n )共有_________对．(全国初中数学联赛试题)解题思路 由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解解．例2 以下是一个六位数乘上一个一位数的竖式，a 、b 、c 、d 、e 、f 各代表一个数(不一定相同)，则以a +b +c +d = ( )．(“五羊杯”邀请赛试题)(A )27 (B )24 (C )30 (D )无法确定解题思路 视、为整体，将多元问题转化为解二元一次不定方程．a b c d e f× 4———————e f a b c d例3 求方程的正整数解． (“希望杯”数学邀请赛试题)解题思路 易知x 、y 、z 都大于1，不妨设1<x ≤y ≤z ，，将复杂三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计，逐步缩小其取值范围，求出结果．22221997(01998)m n m n +=+<<<abcd ef 11156x y z ++=111x y z≥≥例4 某乡水电站发电了，电费规定是：如果每月用电不超过24度，就按每度9分钱收费；如果超过24度，超出的部分按每度2角收费．已知在某月中，甲家比乙家多交了电费9角6分(用电按整度计算)，问甲、乙两家各交了多少电费?(北京市“迎春杯”竞赛题)解题思路 甲、乙两家用电度数情况有多种可能，在分析甲、乙两家用电情况的基础上，将问题转化为解不定方程．例5 甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题，试题难题多还是容易题多?(多的比少的)多几道题?(第十二届江苏省竞赛题)解题思路 100道数学题有三类：难题、容易题、两人都解出的题，题中可供利用的等量关系只有两个，显然，将三元一次不定方程组转化为解二元一次不定方程是解本例的基本思路．能力训练A 级1．若，则ab ＝_________． 2．已知4x --3y --6z =0，x +2y -7z =0(xyz ≠0),则的值等于________． 3．某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字和，那么他的年龄是______岁.(第九届“希望杯”邀请赛试题)4．设方程的整数解为________．5．x ，y 都是质数，则方程x +y =1999共有( )．(北京市竞赛题)(A )1组解 (B )2组解 (C )3组解 (D )4组解6．方程1990x －1989y ＝1991的一组正整数解是( )．(A )x ＝12785，y ＝12768 (B )x ＝13827，y ＝12623(C )x ＝11936，y ＝11941 (D )x ＝12785，y ＝127707．一个两位数，交换它的十位数字与个位数字所得的两位数是原来数的倍，则这样的两位数有( )．(A )1个 (B )2个 (C )4个 (D )无穷多个8．小英在邮局买了10元邮票，其中面值０.10元的邮票不少于2枚，面值0.20元的邮票不少于5枚，面值0.50元的邮票不少于3枚，面值2元的邮票不少于1枚，则小英最少买了( )枚邮票．(“五羊杯”邀请赛试题)(A )17 (B )18 (C )19 (D )209．小孩将玻璃弹子装进两种盒子，每个大盒子装12颗，每个小盒子装5颗，若弹子共有2254404a b a b +-++=22222223657x y z x y z ++++221993x y -=,,||αβαβ=则7499颗所用大小盒子多于10个，问这两种盒子各有多少个?10．是否存在整数m ，n 满足m ，若存在，请求出全部整数对(ｍ，ｎ)值；若不存在，请说明理由．11．已知长方形的长、宽都是整数，且周长与面积的数值相等，求长方形的面积．(“希望杯”邀请赛试题) B 级1．如果ａ、ｂ、c 满足ａ+2b +2c —2ab —2bc —6c ＋9＝0，那么(ａ＋bc )＝______．(“祖冲之杯”邀请试题)2．已知ｘ，ｙ为正偶数，且ｘy ＋ｘy ＝96，则ｘ＋y ＝______．3．一个四位数，用16除余13，用125除余122，则满足条件的最小的四位数是______．4．购买十种货物：A 、A 、A 、…Ａ，如果在这十种中购买的件数依次是1，3，4，5，6，7，8，9，10，11件，共需人民币1992元；如果购买的件数依次是1，5，7，9，11，13，15，17，19，21件，共需人民币3000元，那么在这十种货物中各买一件时，共需人民币______．(北京市“迎春杯”竞赛题)5．若正整数ｘ、ｙ满足ｘ—72＝y ，则这样的正整数对(ｘ，y )的个数是( )．(A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个6．有甲、乙、丙3种商品，某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若购甲4件、乙10件、丙1件共需33元，则此人购甲、乙、丙各1件共需( )元．(A )6元 (B )8元 (C )9元 (D )10元7．在方程组,x ,y ,z 是不相等的整数，那么此方程组的解的组数为( )．(第九届“希望杯”邀请赛试题)(A )6 (B )3 (C )多于6 (D )少于38．一个两位数中间插人一个一位数(包括0)，就变成一个三位数，有些两位数中间插入某个一位数后变成的三位数是原来两位数的9倍，这样的两位数有( )个．(A )1 (B )4 (C )10 (D )超过109．李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票，兑换员不小心将支票上元与角．分数字看倒置了(例如，把12．34元看成了34．12元)，并按着错的数字支付，李林将其款花去3．80元之后，发现其余款恰为支票面额的两倍，于是急忙到银行将多领的款额退回，问李林应退回的款额是多少元?(“五羊杯”邀请赛试题)10．某人乘坐的车在公路上匀速行驶，从他看到的某个里程碑上的数是一个两位数时起，一小时后他看到的里程碑上的数恰好是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数，再过一小时，他看到的里程碑上的数又恰好是第一次看到的两位数之间添上一个零的三位数，问这三块里 程碑上的数各是多少?(“勤奋杯”竞赛杯)11．某新建储油罐装满油后发现底部匀速向外漏油，为完全并减少损失，需将油抽干后进行222003n =+222222*********⎩⎨⎧-=++=++360333z y x z y x维修．现有同样功率的小型抽油泵若干台，若5台一起抽需10小时抽干，7台一起抽需8小时抽干．要在3小时内将油罐抽干，至少需要多少台抽油泵一起抽?(“五羊杯”竞赛题)。
七年级上册数学竞赛题和经典题
七年级上册数学竞赛题和经典题一、竞赛题与经典题。
1. （有理数运算）计算：( 2)^3+[26 ( 3)×2]÷4解析：先计算指数运算( 2)^3=-8。
再计算括号内的式子，[26-( 3)×2]=[26 + 6]=32。
然后进行除法运算32÷4 = 8。
最后进行加法运算-8+8 = 0。
2. （整式的加减）化简：3a + 2b 5a b解析：合并同类项，3a-5a=-2a，2b b=b。
所以化简结果为-2a + b。
3. （一元一次方程）解方程：3(x 1)-2(x + 1)=6解析：先去括号，3x-3-2x 2=6。
再移项，3x-2x=6 + 3+2。
合并同类项得x = 11。
4. （数轴相关）在数轴上，点A表示的数为-3，点B表示的数为5，求A、B两点间的距离。
解析：数轴上两点间的距离等于右边的数减去左边的数（大数减小数）。
所以AB = 5-( 3)=5 + 3 = 8。
5. （绝对值）已知| x|=3，| y| = 5，且x>y，求x + y的值。
解析：因为| x|=3，所以x=±3；因为| y| = 5，所以y=±5。
又因为x>y，当x = 3时，y=-5，此时x + y=3+( 5)=-2；当x=-3时，y=-5，此时x + y=-3+( 5)=-8。
6. （有理数的混合运算）计算：(1)/(2)×(-2)^2-((2)/(3))^2÷(2)/(9)解析：先计算指数运算，(-2)^2 = 4，((2)/(3))^2=(4)/(9)。
然后进行乘除运算，(1)/(2)×4 = 2，(4)/(9)÷(2)/(9)=(4)/(9)×(9)/(2)=2。
最后进行减法运算2-2 = 0。
7. （整式的概念）若3x^m + 5y^2与x^3y^n是同类项，则m=_ ，n=_ 。
初一奥数不定方程(含答案)
数学竞赛培训第27讲：不定方程与方程组新课标七年级数学竞赛培训第27讲：不定方程与方程组一、填空题（共13小题，每小题4分，满分52分）1．（4分）正整数m、n满足8m+9n=mn+6，则m的最大值为_________．2．（4分）不定方程4x+7y=2001有_________组正整数解．3．（4分）已知实数z、y、z满足x+y=5及z2=xy+y﹣9，则x+2y+3z=_________．4．（4分）已知（x、y、z≠0），那么的值为_________．5．（4分）用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18张，每种邮票至少买一张，共有_________种不同的买法．6．（4分）购买五种教学用具A1，A2，A3，A4，A5的件数和用钱总数列成下表：品名A1A2A3A4A5总钱数次数第一次购件数1 3 4 5 6 1992元第二次购件数1 5 7 9 11 2984元那么，购买每种教具各一件共需_________元．7．（4分）（2003•温州）希望中学收到了王老师捐赠的足球，篮球，排球共20个，其总价值为330元．这三种球的价格分别是足球每个60元，篮球每个30元，排球每个10元，那么其中排球有_________个．8．（4分）满足19982+m2=19972+n2（0＜m＜n＜1998）的整数对（m、n）共有_________个．9．（4分）实数x、y、z满足，则x2y+z的值为_________．10．（4分）1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字之和，那么他的年龄是_________岁．11．（4分）江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用2台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么，至少需要抽水机_________台．12．（4分）现有甲、乙、丙三种东西，若购买甲3件、乙5件、丙1件共需32元；若购买甲4件、乙7件、丙1件共需40元，则要购买甲、乙、丙各1件共需_________元．13．（4分）一个布袋中装有红、黄、蓝、三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字和等于21，则小明摸出的球中红球的个数最多不超过_________．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）14．（3分）如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两种标志．问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是（）A．32千米B．37千米C．55千米D．90千米15．（3分）方程（x+1）2+（y﹣2）2=1的整数解有（）A．1组B．2组C．4组D．无数组16．（3分）三元一次方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有（）A．20001999个B．19992000个C．2001000个D．2001999个17．（3分）以下是一个六位数乘上一个﹣位数的竖式，各代表一个数（不一定相同），则a+b+c+d+e+f=（）A．27 B．24 C．0D．无法确定三、解答题（共12小题，满分86分）18．（7分）（1）求方程15x+52y=6的所有整数解．（2）求方程x+y=x2﹣xy+y2的整数解．（3）求方程的正整数解．19．（7分）一个盒子里装有不多于200颗糖，如果每次2颗，3颗，4颗或6颗地取出，最终盒内都只剩一颗糖，如果每次11颗地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少颗糖？20．（7分）中国百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？21．（7分）甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每人有31个核桃，三组的核桃总数是365个，问三个小组共有多少名同学？22．（7分）求下列方程的整数解：（1）11x+5y=7；（2）4x+y=3xy．23．（7分）（2001•广州）在车站开始检票时，有a（a＞0）各旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队等候检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需30min才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10min便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；现在要求在5min内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，问至少要同时开放几个检票口？24．（7分）（2003•淮安）下面是同学们玩过的“锤子、剪子、布”的游戏规则：游戏在两位同学之间进行，用伸出拳头表示“锤子”，伸出食指和中指表示“剪子”，伸出手掌表示“布”，两人同时口念“锤子、剪子、布”，一念到“布”时，同时出手，“布”赢“锤子”，“锤子”赢“剪子”，“剪子”赢“布”．现在我们约定：“布”赢“锤子”得9分，“锤子”赢“剪子”得5分，“剪子”赢“布”得2分．（1）小明和某同学玩此游戏过程中，小明赢了21次，得108分，其中“剪子”赢“布”7次．聪明的同学，请你用所学的数学知识求出小明“布”赢“锤子”、“锤子”赢“剪子”各多少次？（2）如果小明与某同学玩了若干次，得了30分，请你探究一下小明各种可能的赢法，并选择其中的三种赢法填入下表．赢法一：“布”赢“锤子”“锤子”赢“剪子”“剪子”赢“布”赢的次数赢法二：“布”赢“锤子”“锤子”赢“剪子”“剪子”赢“布”赢的次数赢法三：“布”赢“锤子”“锤子”赢“剪子”“剪子”赢“布”赢的次数25．（7分）（1）求满足y4+2x4+1=4x2y的所有整数对（x，y）；（2）求出所有满足5（xy+yz+zx）=4xyz的正整数解．26．（7分）兄弟二人养了一群羊，当每只羊的价钱（以元为单位）的数值恰等于这群羊的只数时，将这群羊全部卖出，兄弟二人平分卖羊得来的钱：哥哥先取10元，弟弟再取10元；这样依次反复进行，最后，哥哥先取10元，弟弟再取不足10元，这时哥哥将自己的一顶草帽给了弟弟，兄弟二人所得的钱数相等．问这顶草帽值多少钱？27．（7分）某人家的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14405，将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16970，求此人家的电话号码．28．（8分）某布店的一页账簿上沾了墨水，如下表所示：月日摘要数量（米）单价（元/米）金额（元）1 13 全毛花呢X X 49.36 XXX7.28所卖呢料米数看不清楚了，但记得是卖了整数米；金额项目只看到后面3个数码7.28，但前面的3个数码看不清楚了，请你帮助查清这笔账．29．（8分）一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区，他们以每天17km的速度出发，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天25km的速度返回，在出发后的第60天，考察队行进了24km后回到出发点，试问：科学考察队的生态区考察了多少天？新课标七年级数学竞赛培训第27讲：不定方程与方程组参考答案与试题解析一、填空题（共13小题，每小题4分，满分52分）1．（4分）正整数m、n满足8m+9n=mn+6，则m的最大值为75．考点：数的整除性．专题：探究型．分析：把m用含n的代数式表示，并分离其整数部分（简称分离整系数法）．再结合整除的知识，求出m的最大值．解答：解：∵8m+9n=mn+6，∴m==9+，∴当n=9时，m的最大值为75．故答案为：75．点评：本题考查的是数的整除性问题，解答此题的关键是熟知以下知识，求整系数不定方程ax+by=c的整数解．通常有以下几个步骤：（1）判断有无整数解；（2）求一个特解；（3）写出通解；（4）由整数t同时要满足的条件（不等式组），代入（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解．分离整系数法解题的关键是把其中一个未知数用另一个未知数的代数敷式表示，结合整除的知识讨论．2．（4分）不定方程4x+7y=2001有71组正整数解．考点：解二元一次方程．专题：计算题．分析：由不定方程4x+7y=2001=3×667，可知是其一组特解，然后求出通解，再列出不等式组即可求出答案．解答：解：由4x十7y=3×667易知是其一组特解，∴其通解为，t∈z，∵，解之得96≤t≤166∴t可取整数值共71个．∴4x+7y=2001有71组正整数解．故答案为：71．点评：本题考查了解二元一次方程，难度适中，关键是根据特解求出通解再列出不等式组即可．3．（4分）已知实数z、y、z满足x+y=5及z2=xy+y﹣9，则x+2y+3z=8．考点：代数式求值；非负数的性质：偶次方；解一元二次方程-因式分解法；根的判别式；根与系数的关系．专题：代数综合题．分析：得出x=5﹣y，代入第二个式子后整理得出z2+（y﹣3）2=0，推出z=0，y﹣3=0，求出x，y，z的值，最后将x，y，z的值代入计算，即可求出x+2y+3z的值．解答：解：∵x+y=5，z2=xy+y﹣9，∴x=5﹣y，代入z2=xy+y﹣9得：z2=（5﹣y）y+y﹣9，z2+（y﹣3）2=0，z=0，y﹣3=0，∴y=3，x=5﹣3=2，x+2y+3z=2+2×3+3×0=8，故答案为8．点评：本题主要考查了一元二次方程的解法，平方的非负性及代数式求值的方法，综合性较强，有一定难度．4．（4分）已知（x、y、z≠0），那么的值为1．考点：分式的化简求值；解二元一次方程组．专题：计算题．分析：根据（x、y、z≠0），可求出x=3z，y=2z，然后代入所求分式即可得出答案．解答：解：由（x、y、z≠0），可解得：x=3z，y=2z，代入，=，=，=1．故答案为：1．点评：本题考查了分式的化简求值和解二元一次方程组，难度适中，关键是先用z把x与y表示出来再进行代入求解．5．（4分）用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18张，每种邮票至少买一张，共有2种不同的买法．考点：三元一次方程组的应用．专题：经济问题．分析：两个等量关系为：4分的张数+8分的张数+1角的张数=18；4分的总钱数+8分的总钱数+1角的总钱数=1元，把相关数值代入求得正整数解即可．解答：解：设买4分，8分，1角的邮票分别为x，y，z张．由①得x=18﹣y﹣z③，把③代入②得2y+3z=14，y=7﹣z，∴z需为大于1的偶数，∵x，y，z是正整数，∴x=12，y=4，z=2；x=13，y=1，z=4．∴有2种方案．故答案为：2．点评：考查三元一次方程组的应用；根据数量和总价得到两个等量关系是解决本题的关键；把所给方程整理为只含2个未知数的等式求正整数解是解决本题的主要方法．6．（4分）购买五种教学用具A1，A2，A3，A4，A5的件数和用钱总数列成下表：品名A1A2A3A4A5总钱数次数第一次购件数1 3 4 5 6 1992元第二次购件数1 5 7 9 11 2984元那么，购买每种教具各一件共需1000元．考点：二元一次方程组的应用．分析：可以设A1，A2，A3，A4，A5的单价分别为x1，x2，x3，x4，x5元，根据第一次和第二次购物时的件数和付的钱总数可以得到方程组，求解即可．解答：解：设A1，A2，A3，A4，A5的单价分别为x1，x2，x3，x4，x5元．则依题意列得关系式如下：即①×2﹣②式得：x1+x2+x3+x4+x5=2×1992﹣2984=1000．所以购买每种教具各一件共需1000元．点评：本题考查了二元一次方程的应用及解法．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，求解时要根据方程的特点巧解方程．7．（4分）（2003•温州）希望中学收到了王老师捐赠的足球，篮球，排球共20个，其总价值为330元．这三种球的价格分别是足球每个60元，篮球每个30元，排球每个10元，那么其中排球有15个．考点：有理数的混合运算．专题：应用题；压轴题．分析：设足球有x个，篮球有y个，排球有z个，根据题意得，x+y+z=20，60x+30y+10z=330．利用方程知识求得排球的个数．解答：解：设有足球x个，篮球y个，排球z个x+y+z=20 ①；60x+30y+10z=330→6x+3y+z=33 ②②﹣①得出，5x+2y=13又∵x，y，z∈正整数，∴x=1，那么y=4，由此可推出z=15所以，排球有15个．点评：此题是有理数运算的实际应用，列式子容易，解答难，考虑到x、y都取正整数是解题的关键．8．（4分）满足19982+m2=19972+n2（0＜m＜n＜1998）的整数对（m、n）共有3个．考点：一元二次方程的整数根与有理根．专题：计算题．分析：把含字母的式子整理到等式的左边，常数项整理到等式的右边，把等式的左边进行因式分解，判断相应的整数解即可．解答：解：整理得n2﹣m2=3995=5×17×47，（n﹣m）（n+m）=5×17×47，∵对3995的任意整数分拆均可得到（m，n），0＜m＜n＜1998，∴或或，∴满足条件的整数对（m，n）共3个．故答案为3．点评：本题考查了二次方程的整数解问题；把所给等式整理为两个因式的积为常数的形式是解决本题的关键．9．（4分）实数x、y、z满足，则x2y+z的值为9．考点：高次方程．专题：计算题．分析：首先把x=6﹣3y代入x+3y﹣2xy+2z2，可以化简得到6（y﹣1）2+2z2=0，进而解得x、y、z的值，最后求得x2y+z的值．解答：解：，把①代入②中，可得：6（y﹣1）2+2z2=0，即y=1，z=0，故x=3，所以x2y+z=32=9，故答案为9．点评：本题主要考查高次方程求解的问题，解决此类问题的关键是把x、y、z化成非负数的形式，进而求得x、y、z，此类题具有一定的难度，同学们解决时需要细心．10．（4分）1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字之和，那么他的年龄是18岁．考点：二元一次方程的应用．专题：计算题；应用题．分析：设某人出生于（1900+10x+y）年，所以有1998﹣（1900+10x+y）=10+x+y，可求解．解答：解：设某人出生于（1900+10x+y）年1998﹣（1900+10x+y）=10+x+y11x+2y=88故答案为：18点评：本题考查理解题意能力，关键是能正确设出年份的表示方法，然后根据题意列式求解．11．（4分）江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用2台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么，至少需要抽水机6台．考点：二元一次方程组的应用．分析：可以设抽水前已涌出水为x，每分钟涌出水为a，每台抽水机每分钟抽水为b，根据题意可列出两个方程，可以得到x与b、a与b之间的关系，最后即可得时间为10分钟时需要的抽水机台数．解答：解：设抽水前已涌出水为x，每分钟涌出水为a，每台抽水机每分钟抽水为b，根据题意得：，解得：x=，a=．如果要在10分钟内抽完水，至少需要抽水机n台，即x+10a≤10×n×b，代入a、x的值解得：n≥6．故答案填：6．点评：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出两个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．12．（4分）现有甲、乙、丙三种东西，若购买甲3件、乙5件、丙1件共需32元；若购买甲4件、乙7件、丙1件共需40元，则要购买甲、乙、丙各1件共需16元．考点：三元一次方程组的应用．分析：设甲、乙、丙每件单价为x、y、z元，建立方程组，整体求得x+y+z的值．解答：解：设甲、乙、丙每件单价为x、y、z元，根据题意列方程组得，②﹣①得：x+2y=8③，②+①得：7x+12y+2z=72④，④﹣③×5得：2x+2y+2z=32，∴x+y+z=16．故本题答案为：16．点评：未知数共有三个，方程只有两个，无法直接解答，通过加减，将x+y+z看做一个整体来解．13．（4分）一个布袋中装有红、黄、蓝、三种颜色的大小相同的木球，红球上标有数字1，黄球上标有数字2，蓝球上标有数字3，小明从布袋中摸出10个球，它们上面所标数字和等于21，则小明摸出的球中红球的个数最多不超过4．考点：三元一次方程组的应用．专题：应用题．分析：首先假设小明摸出的10个球中有x个红球，y个黄球，z个蓝球．根据题意列出方程组，利用加减消元法消去z得y=9﹣2x．再根据非负整数的特点，易知x的最大值．解答：解：设小明摸出的10个球中有x个红球，y个黄球，z个蓝球．依题意列得方程组：①×3﹣②得2x+y=9，即y=9﹣2x．由于y是非负整数，x也是非负整数．易知x的最大值是4．即小明摸出的10个球中至多有4个红球．故答案为：4．点评：解决本题的关键是利用非负整数的特点，考虑不定方程y=9﹣2x的解．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）14．（3分）如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两种标志．问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是（）A．32千米B．37千米C．55千米D．90千米考点：二元一次方程的应用．分析：要求二次同时经过这两种设施是在几千米处，就要明确4和9的最小公倍数为36，19+36=55千米，所以二次同时经过这两种设施是在55千米处．解答：解：同时经过两种设施时的里程数减3后，应是4的倍数，减10以后应是9的倍数．在19km处第一次同时经过这两种设施，所以从这里开始以后再次经过这两种设施时，行驶的路一定是4和9的公倍数，所以第二次同时经过这两种设施时的里程数为19+4×9=55km．故选C．点评：本题考查学生分析数据，总结、归纳数据规律的能力，关键是找出规律，要求学生要有一定的解题技巧．15．（3分）方程（x+1）2+（y﹣2）2=1的整数解有（）A．1组B．2组C．4组D．无数组考点：解一元二次方程-直接开平方法；非负数的性质：偶次方．专题：计算题．分析：根据（x+1）2+（y﹣2）2=1，x，y都是整数，则x+1=0且y﹣2=1或﹣1，x+1=1或﹣1且y﹣2=0；从而解出x，y的四组值．解答：解：∵（x+1）2+（y﹣2）2=1，∴或或或，∴或或或，故选C．点评：本题考查了非负数的性质和一元二次方程的解法﹣直接开平方法．16．（3分）三元一次方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有（）A．20001999个B．19992000个C．2001000个D．2001999个考点：二元一次方程的解；三元一次不定方程．专题：计算题．分析：先设x=0，y+z=1999，y分别取0，1，2…，1999时，z取1999，1998，…，0，有2000个整数解；当x=1时，y+z=1998，有1999个整数解；…当x=1999时，y+z=0，只有1组整数解，依此类推，然后把个数加起来即可．解答：解：当x=0时，y+z=1999，y分别取0，1，2…，1999时，z取1999，1998，…，0，有2000个整数解；当x=1时，y+z=1998，有1999个整数解；当x=2时，y+z=1997，有1998个整数解；…当x=1999时，y+z=0，只有1组整数解，故非负整数解的个数有2000+1999+1998+…+3+2+1=2001000（个），故选C．点评：本题考查了三元一次不定方程的解，解题的关键是确定x、y、z的值，分类讨论．17．（3分）以下是一个六位数乘上一个﹣位数的竖式，各代表一个数（不一定相同），则a+b+c+d+e+f=（）A．27 B．24 C．0D．无法确定考点：整数问题的综合运用．专题：数字问题．分析：此题我们可设=x，=y，根据题意得到关于xy的等式，得出xy的关系，再设x=476k，y=19k，由于x是4位数，y是2位数，k的取值范围只能是3，4，5，代入求值即可解得．解答：解：设=x，=y，可得4（100x+y）=10000y+x整理的19x=476y，设x=476k，y=19k，可求得k=3，4，5，则=142857，190476，238095．a+b+c+d+e+f=27．故选A．点评：本题主要考查数的特征，正确将数分段，求出它们之间的关系是解题的关键．三、解答题（共12小题，满分86分）18．（7分）（1）求方程15x+52y=6的所有整数解．（2）求方程x+y=x2﹣xy+y2的整数解．（3）求方程的正整数解．考点：非一次不定方程（组）；二元一次不定方程的整数解．专题：计算题．分析：对于（1）通过观察或辗转相除法，先求出特解．对于（2）易想到完全平方公式，从配方人手，对于（3）易知x、y、z都大于1，不妨设l＜x≤y≤z，则，将复杂的三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计，逐步缩小其取值范围，求出其结果．解答：解：（1）观察易得一个特解x=42，y=﹣12，原方程所有整数解为（t为整数）．（2）原方程化为（x﹣y）2+（x﹣1）2+（y﹣1）2=2，由此得方程的解为（0，0），（2，2），（1，0），（0，1），（2，1），（1，2）．（3）∵，即，由此得x=2或x=3，当x=2时，，即，由此得y=4，或5或6，同理当x=3时，y=3或4，由此可得1≤x≤y≤z时，（x，y，z）共有（2，4，12），（2，6，6），（3，3，6），（3，4，4）4组，由于x，y，z在方程中地位平等，可得原方程的解共有15组：（2，4，12），（2，12，4），（4，2，12），（4，12，2），（12，2，4），（12，4，2），（2，6，6），（6，2，6），（6，6，2），（3，3，6），（3，6，3），（6，3，3），（3，4，4），（4，4，3），（4，3，4）．点评：此题主要考查了方程和不等式的相关性质，寻求并缩小某个字母的取值范围，通过验算获得全部解答．19．（7分）一个盒子里装有不多于200颗糖，如果每次2颗，3颗，4颗或6颗地取出，最终盒内都只剩一颗糖，如果每次11颗地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少颗糖？考点：数的整除性．分析：根据题意可知盒内糖的颗数是11的倍数，因为如果每次2颗，3颗，4颗或6颗地取出，最终盒内都只剩一颗糖，所以盒内糖的颗数是奇数，分情况讨论是，只讨论11的奇数倍即可，确定最后结果是还要注意要不能被2、3、4、6整除．解答：解：因为每次取11颗正好取完，所以盒内的糖果数必是11的倍数，而11的偶数倍，都能被2整除，所以不合题意，倍数列表如下：5倍7倍9倍11倍13倍15倍17倍19倍原数11 55 77 99 121 143 165 187 209因为121﹣1=120，而120都能被2、3、4、6整除，所以盒子里共有121颗糖．点评：此题主要考查了数的整除性在实际生活中的应用，体现了数学与生活的密切联系，应用了分类讨论思想．20．（7分）中国百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？考点：二元一次不定方程的应用．专题：应用题．分析：设鸡翁、鸡母、鸡雏分别为x、y、z，则有，通过消元，将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解．解答：解：设买公鸡x只，买母鸡y只，买小鸡z只，那么根据已知条件列方程，有：x+y+z=100 (1)5x+3y+z/3=100 (2)（2）×3﹣（1），得14x+8y=200即，7x+4y=100 (3)显然x=0，y=25符合题意，得，所以，x=0，y=25，z=75；在（3）式中4y和100都是4的倍数：7x=100﹣4y=4（25﹣y），因此7x也是4的倍数，7和4是互质的，也就是说x必须是4的倍数；设x=4t，代入（3）得，y=25﹣7t再将x=4t与y=25﹣7t 代入（1），有：z=75+3t，取t=1，t=2，t=3就有：x=4，y=18，z=78或x=8，y=11，z=81或x=12，y=4，z=84；因为x、y、z都必须小于100且都是正整数，所以只有以上三组解符合题意：①买公鸡12只，母鸡4只，小鸡84只；②或买公鸡8只，母鸡11只，小鸡81只；③或买公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只．点评：本题主要考查了二元一次不定方程的应用，注意：方程变形后的隐含条件，互质数的应用，以及正整数的取值范围必须使本题由意义．21．（7分）甲组同学每人有28个核桃，乙组同学每人有30个核桃，丙组同学每人有31个核桃，三组的核桃总数是365个，问三个小组共有多少名同学？考点：三元一次方程组的应用．专题：调配问题．分析：设甲组学生a人，乙组学生b人，丙组学生c人，由题意得28a+30b+31c=365，运用放缩法，从求出a+b+c 的取值范围入手．解答：解：设甲组学生a人，乙组学生b人，丙组学生c人．则由题意得28a+30b+31c=365∵28（a+b+c）＜28a+30b+31c=365，得a+b+c＜＜13.04∴a+b+c≤1331（a+b+c）＞28a+30b+31c=365，得a+b+c＞＞11.7∴a+b+c≥12∴a+b+c=12或13当a+b+c=12时，则28a+30b+31c=28（a+b+c）+2b+3c=28×12+2b+3c=365，即2b+3c=29；当a+b+c=13时，则28a+30b+31c=28（a+b+c）+2b+3c=28×13+2b+3c=365，即2b+3c=1，此方程无解；答：三个小组共有12名同学．点评：解不定方程组基本方法有：（1）视某个未知数为常数，将其他未知数用这个未知数的代数式表示；（2）通过消元，将问题转化为不定方程求解；（3）运用整体思想方法求解．本题采用采用方法（1）求解．22．（7分）求下列方程的整数解：（1）11x+5y=7；（2）4x+y=3xy．考点：非一次不定方程（组）；二元一次不定方程的整数解．分析：（1）先用换元法确定一个未知数的取值，再求解．（2）先用y表示x，再根据解为整数判断解的取值即可．解答：解：（1）由已知，得y==1+=1+2x+①，∵x，y都是整数，∴1+2x是整数，①式只要满足2﹣x=5t（t为整数）即可，∴x=2﹣5t，代入①式得y=﹣3+11t，故原方程的整数解为（t为整数）．（2）由方程得：=①，方程两边同除y得：3x=1+②，由①②得：3x=1+，∵方程的解为整数，∴3y﹣4只能取±1，±2，±4，∵x的值也为整数，∴y的取值为0，1，2，x对应的值为0，﹣1，1．故原方程的解为：、、．点评：本题是求不定方程的整数解，先将方程做适当变形，然后列举出其中一个未知数的适合条件的所有整数值，再求出另一个未知数的值．23．（7分）（2001•广州）在车站开始检票时，有a（a＞0）各旅客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有旅客继续前来排队等候检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需30min才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口，则只需10min便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕；现在要求在5min内将排队等候检票的旅客全部检票完毕，以使后来到站的旅客能随到随检，问至少要同时开放几个检票口？考点：一元一次不等式的应用．专题：压轴题．分析：先设一个窗口每分检出的人是c，每分来的人是b，至少要开放x个窗口；根据开放窗口与通过时间等列方程和不等式解答．解答：解：设一个窗口每分检出的人是c，每分来的人是b，至少要开放x个窗口；a+30b=30c ①，a+10b=2×10c ②，a+5b≤5×x×c，由①﹣②得：c=2b，a=30c﹣30b=30b，30b+5b≤5×x×2b，即35b≤10bx，∵b＞0，∴在不等式两边都除以10b得：x≥3.5，答：至少要同时开放4个检票口．点评：解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系和不等关系式：30分的工作量=a+30分增加的人数；2×10分的工作量=a+10分增加的人数；开放窗口数×检票速度≥a+5分增加的人数．要设出未知数，难点是消去无关量．24．（7分）（2003•淮安）下面是同学们玩过的“锤子、剪子、布”的游戏规则：游戏在两位同学之间进行，用伸出拳头表示“锤子”，伸出食指和中指表示“剪子”，伸出手掌表示“布”，两人同时口念“锤子、剪子、布”，一念到“布”时，同时出手，“布”赢“锤子”，“锤子”赢“剪子”，“剪子”赢“布”．现在我们约定：“布”赢“锤子”得9分，“锤子”赢“剪子”得5分，“剪子”赢“布”得2分．（1）小明和某同学玩此游戏过程中，小明赢了21次，得108分，其中“剪子”赢“布”7次．聪明的同学，请你用所学的数学知识求出小明“布”赢“锤子”、“锤子”赢“剪子”各多少次？（2）如果小明与某同学玩了若干次，得了30分，请你探究一下小明各种可能的赢法，并选择其中的三种赢法填入下表．赢法一：“布”赢“锤子”“锤子”赢“剪子”“剪子”赢“布”赢的次数赢法二：“布”赢“锤子”“锤子”赢“剪子”“剪子”赢“布”赢的次数赢法三：“布”赢“锤子”“锤子”赢“剪子”“剪子”赢“布”赢的次数考点：推理与论证．专题：阅读型．分析：（1）设小明“布”赢“锤子”、“锤子”赢“剪子”各x次和y次．根据总次数和总得分列方程组求解；（2）设小明“布”赢“锤子”、“锤子”赢“剪子”、“剪子”赢“布”各x次、y次、z次．根据得分列一个三元一次方程，再根据未知数是非负整数进行分析．解答：解：（1）设小明“布”赢“锤子”、“锤子”赢“剪子”各x次和y次．根据题意，得：，解得，答：小明“布”赢“锤子”6次，“锤子”赢“剪子”8次；（2）设小明“布”赢“锤子”、“锤子”赢“剪子”、“剪子”赢“布”各x次、y次、z次，根据题意，得9x+5y+2z=30，则有x=1，y=1，z=8；x=1，y=3，z=3；x=2，y=2，z=1．赢法一：“布”赢“锤子”“锤子”赢“剪子”“剪子”赢“布”赢的次数 1 1 8 赢法二：“布”赢“锤子”“锤子”赢“剪子”“剪子”赢“布”赢的次数 1 3 3 赢法三：“布”赢“锤子”“锤子”赢“剪子”“剪子”赢“布”。
二元一次方程组第4讲竞赛—不定方程、方程组应用题
二元一次方程组——不定方程、方程组应用题1、若一个方程中出现两个或更多个未知数，则称该方程为不定方程。
这个“不定方程”是指方程解的不确定性。
2、若一个方程组中未知数的个数比方程的个数多，则称该方程组为不定方程组。
这个不定也是指方程组的解的不确定。
3、形如ax+by=c （a 、b 、c 都是整数，且ab ≠0)的方程称为二元一次不定方程，二元一次不定方程是最简单的不定方程。
一些复杂的不定方程（组）常常转化为二元一次不定方程问题加以解决，设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程ax+by=c 有如下两个重要命题：（1）若（a ，b ）=d ，且d 不能整除c ，则不定方程ax+by=c 没有整数解。
（2）若00,x y 是方程ax+by=c 且（a ，b ）=1的一组整数解（称特解），则00x x bt y y at =+⎧⎨=-⎩（t 为整数）是方程的全部整数解（称通解）。
4、解不定方程方程（组）没有固定的方法，需要根据方程（组）的特点进行恰当的变形，并且灵活运用：奇偶性、 整数的整除性质、分离整系数、穷举、不等式分析等方法。
5、求整系数不定方程ax+by=c 的整数解，通常有以下几个步骤：（1）判断有无整数解（2）求一个特解（3）写出通解（4）由整数t 同时要满足条件（不等式组），代入（2）中表达式，写出不定方程的正整数解。
6、解不定方程组的基本方法：（1）视某个未知数为常数，将其他未知数用这个未知数的代数式表示（2）通过消元，将问题转化为不定方程求解（3）运用整体思想方法求解。
【练习1】判断下列不定方程是否有整数解，若有求出其通解①2x+4y=7 ②2x+5y=1【练习2】求不定方程31x+23y=185的整数解。
【练习3】①求方程7x+4y=100的正整数解： ②求方程6x+22y=90的非负整数解【练习4】求方程组102518x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩的非负整数解。
【练习5】求方程3x-y-6z=2的整数解。
七年级数学二元一次方程组(不定方程)拔高题(竞赛班)
七年级数学二元一次方程组拔高题（竞赛班）一、选择题. 1.已知代数式1312a x y -与23b a b x y -+-是同类项，那么a 、b 的值分别是（ ）A.21a b =⎧⎨=-⎩B.21a b =⎧⎨=⎩C.21a b =-⎧⎨=-⎩ D.519a b =⎧⎨=-⎩2. 如果方程组()43713x y kx k y +=⎧⎪⎨+-=⎪⎩的解x y 、的值相等,则k 的值是( )A.1B.0C.2D. 2- 3．方程72=+y x 在正整数范围内的解（ ）（A ）有无数解 （B ）只有一组 （C ）只有三组 （D ）以上都不对 4．方程199119891990=-y x 的一组正整数解是（ ） (A)12768,12785==y x (B)12770,12785==y x11941,11936)(==y x C 12623,13827)(==y x D5.如果21x y =⎧⎨=⎩是方程组75ax by bx cy +=⎧⎨+=⎩的解,则a c 与的关系是( )A.49a c +=B. 29a c +=C. 49a c -=D. 29a c -=6.某剧场共有座位1000个，排成若干排，总排数大于16，从第二排起，每排比前一排多一个座位，问：剧场共有多少排座位 （ ）A.25B.26C.27D.28 7．已知关于x 的方程232xa x -=+的解是x=2，则a= ( ) A 、2 B 、3 C 、4 D 、6 8．已知()20a b ax b x-++=是关于x 的一元一次方程，且x 有唯一解，则x=( )A 、-1B 、1C 、OD 、2 9．正整数x ，y 满足(x-1)(y-1)=9，则x+y 的值是 ( ) A 、8 B 、10 C 、12 D 、8或12 10．方程2(2-x)=xy+1的整数解有( )组．A 、2B 、3C 、4D 、511．有人问一位老师，他教的班有多少学生，老师说：“一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在念外语，还剩下3位学生在操场踢足球．”则这个班共有学生( )人．A 、26B 、28C 、30D 、56 12、m 取何整数值时，方程组⎩⎨⎧=+=+1442y x my x 的解x 和y 都是整数 （ ）A 、9,7,10,6.B 、2，8.C 、±1，±2，±4，±8.D 、±1，±2.13．在公路上，汽车A ，B ，C 分别以每小时60、40、30千米的速度匀速行驶，A 从甲站开往乙站，B ，C 从乙站开往甲站．A 在与B 相遇后两小时又与C 相遇，则甲、乙两站相距 ( )千米．A 、1800B 、1950C 、2000D 、160014．若正整数x ，y 满足5x=2009y ，则x+y 的最小值是 ( ) A 、2000 B 、2010 C 、2014 D 、2019 15．已知关于x 的方程3mx+1=0和x+2n=0是同解方程，那么()2mn =( ) A 、125 B 、136C 、36D 、181二、填空题.1.关于x y 、的二元一次方程组59x y kx y k +=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程236x y +=的解,则k 的值是 .2.设m 和n 大于0的整数，且,22523=+n m ①若m 和n 最大公约数为15，则______=+n m ；②若m 和n 的最小公倍数为45，则________=+n m3. 若已知方程()()()221153a x a x a y a -+++-=+,则当a = 时,方程为一元一次方程; 当a = 时,方程为二元一次方程. 4.方程组()1602111x y x y +-=⎧⎪⎨+-=⎪⎩的解是 .5.如果()25x y +-与3210y x -+互为相反数，那么x = ，y = .6. 若23x y =-⎧⎨=⎩是方程33x y m -=和5x y n +=的公共解,则23m n -= .7. 已知231x y =-⎧⎨=⎩是二元一次方程组11ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解,则()()a b a b +-= .8．方程7110.2510.0240.0180.012x x x --+=-的根是_______________． 9．七(2)班有学生50名，其中参加数学小组的有28人，参加英语小组的人数比参加数学小组的人数少4，并且这两个小组都不参加的人数比两个小组都参加的人数的13多2，则 同时参加这两个小组的人数是_______________．10．已知关于x 的方程(3a+2b)x+17=0无解，则a b •_____0(填>，≥，<，≤)．11．已知a 是不为0的整数，并且关于x 的方程374ax a a=-+有整数根，则a 的值共有_______________个．12．父亲比小明大24岁，并且2008年的年龄是小明2010年年龄的3倍，则小明2009年的年龄是_____岁．14．用正三角形和正六边形来进行镶嵌，则需________个正三角形和________个正六边形或________个正三角形和_________个正六边形．15．现有红、黄、蓝三种颜色的球共23个，其中红球个数是黄球个数的7倍，那么其中蓝球的个数是_________个． 16．已知m 为正整数，二元一次方程组210320mx y x y +=⎧⎨-=⎩有整数解，即x ，y 均为整数，则m=_______________．17．一艘轮船航行于两码头之间，顺航需4小时，逆航需5小时，已知水流速度为每小时 3千米，则轮船在静水中的速度为每小时________千米．18．若k 是为正整数，则使得方程(k-2008)x=2010-2009x 的解也是正整数的是的值有_________个．19、用16元钱买面值为20分、60分、1元的三种邮票共18枚，每枚邮票至少买1枚，共有 种不同的买法.20、求方程12511=+y x 的正整数解 . 三、解答题.1.运用适当的方法解方程.⎩⎨⎧=--+=++-20)5(8)7.0(527)7.0(5)5(20x y y x⎩⎨⎧=+=+887.53.41127.43.5y x y x1:14:3)4(:)(:)6(=+-+-y x y x x199519975989199719955987x y x y +=⎧⎨+=⎩2．求下列不定方程的整数解： (1) 72x+157y=1；(2)9x+21y=144；(3)103x-91y ＝5．(3)2x+5y+7z+3t=103、已知xyz≠0,且⎩⎨⎧=-+=--0720634z y x z y x ，求22222275632z y x z y x ++-+的值。
初中竞赛数学27.不定方程、方程组(含答案)
27.不定方程、方程组知识纵横不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组),•其特点是解往往有无穷多个,不能惟一确定.对于不定方程(组),我们往往限定只求整数解,甚至只求正整数解,•加上条件限制后,解就可确定.二元一次不定方程是最简单的不定方程,一些复杂的不定方程(组)•常常转化为二元一次不定方程问题加以解决,与之相关的性质有:设a 、b 、c 、d 为整数,则不定方程ax+by=c 有如下两个重要命题: (1)若(a,b)=d,且d c,则不定方程ax+by=c 没有整数解;(2)若x 0,y 0是方程ax+by=c 且(a,b)=1的一组整数解(称特解),则00x x bt y y at =+⎧⎨=-⎩(t 为整数)是方程的全部整数解(称通解).解不定方程(组),没有现成的模式、固定的方法可循，•需要依据方程（组）的特点进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法：奇数偶数、整数的整除性、分离整系数、因数分解、配方利用非负数性质、穷举、乘法公式、不等式分析等。
例题求解【例１】正整数m 、n 满足8m+9n=mn+6,则m 的最大值为________. (2000年新加坡数学竞赛题)思路点拨 把m 用含n 的代数式表示,并分离其整数部分(简称分离整系数法),再结合整除知识,求出m 的最大值. 解:75 提示:m=968n n --=9+668n -,n=9时,m 最大值为75. 【例2】如图,在高速公路上从3千米处开始,每隔4千米设一个速度限制标志,而且从千米处开始,每隔9千米设一个测速照相机标志,则刚好在19•千米处同时设置这两种标志.问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是( ).A.32千米B.37千米C.55千米D.90千米(2003年河南省竞赛题) 思路点拨 设置限速标志、照相机标志千米数分别表示为3+4x 、10+9y(x,y•为自然数),问题转化为求不定方程3+4x=10+9y的正整数解.解:选C 提示:x=794y+=2y+1+34y+,4│y+3,135xy=⎧⎨=⎩为所求的解.【例3】(1)求方程15x+52y=6的所有整数解.(2)求方程x+y=x2-xy+y2的整数解. (莫斯科数学奥林匹克试题)(3)求方程11156x y z++=正整数解. (“希望杯”邀请赛试题)思路点拨对于(1)通过观察或辗转相除法,先求出特解.对于(2)易想到完全平方公式,从配方入手;对于(2)易知x,y,z都大于1,不妨设1<x≤y≤z,则1x≥1y≥1z,•将复杂的三元不定方程转化为一元不等式,通过解不等式对某个未知数的取值作出估计,逐步缩小其取值范围,求出其结果.解:(1)观察易得一个特解x=42,y=-12,原方程所有整数解为42521215x ty t=-⎧⎨=-+⎩(t为整数).解法2:x=-4y+6815y+,令6815y+=t1,得y=2t1-168t+,令168t+=t,得t=8t-6,化简得42521215(x ty t t=-⎧⎨=-+⎩为整数)(2)原方程化为(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2=2,由此得方程的解为(0,0),(2,2),(1,0),(0,1),(2,1),(1,2)(3)提示: 1x<1x+1y+1z≤3x,即1x<56≤3x,由此得x=2或3,当x=2时, 1x<1y+1z=56-12=13≤1y+1y=2y，即1y<13≤2y,由此得y=4或5或6,同理当x=3时,y=3或4,由此可得当1≤x≤y≤z时,(x,y,z)共有(2,4),(4,2,12),(4,12,2),•(12,2,4),(12,4,2),(2,6,6),(6,2,6),(6,6,2),(3,3,6),(3,6,3),(6,3,3),(3,4,4),(4,4,3),(4,3,4)【例4】一个盒子里装有不多于200粒棋子,如果每次2粒,3粒,4粒或6粒地取出,最终盒内都剩一粒棋子;如果每次11粒地取出,那么正好取完,求盒子里共有多少粒棋子?(2002年重庆市竞赛题)思路点拨 无论怎样取,盒子里的棋子数不变,恰当设未知数,•把问题转化为求不定方程的正整数解.解:提示:设盒子里共有x 粒棋子,则x 被2、3、4、6的最小公倍数12除时,余数为1,即x=12a+1(a 为自然数),又x=11b(b 为自然数),得12a+1=11b,b=12111a + =a+111a +,11│a+1• 因0<x ≤200,故0<12a+1≤200,得0<a<16712,a=10,所以x=12×10+1=•121,•即盒子里共有121粒棋子.【例5】中国百鸡问题:鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一.百钱买百鸡,问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何? (出自中国数学家张丘建的著作《算经》)思路点拨 设鸡翁、鸡母、鸡雏分别为x,y,z,则有100531003x y z zx y ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩通过消元,将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解.解:消去方程组中的z,得7x+4y=100,显然,(0,25)是方程的一个特解,•所以方程的通解为4257x ty t=-⎧⎨=+⎩(t 为整数),于是有t=100-x-y=100+4t-(25+7t)=75-3t,由x,y,z ≥0且t•为整数得4025707530t t t -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩,t=0,-1,-2,-3,将t 的值代入通解,得四组解 (x,y,z)=(0,25,75),(4,18,78) (8,11,81),(12,4,84)【例6】甲组同学每人有28个核桃,乙组同学每人有30个核桃,•丙组同学每人有31个核桃,三组的核桃总数是365个,问三个小组共有多少名同学?(2001年海峡两岸友谊赛试题)思路点拨 设甲组同学a 人,乙组学生b 人,丙组学生c 人,由题意得28a+30b+31c=365,怎样解三元一次不定方程?运用放缩法,从求出a+b+c 的取值范围入手.解:设甲组、乙组、丙组分别有学生a 人、b 人、c 人,则28a+30b+31c=365 因28(a+b+c)<28a+30b+31c=365,得a+b+c<36528<13.04 所以a+b+c ≤13因31(a+b+c)>28a+30b+31c=365,得(a+b+c)>36531>11.7 所以a+b+c ≥12因此,a+b+c=12或13当a+b+c=13时,得2b+3c=1,此方程无正整数解.故a+b+c≠13,a+b+c=12学力训练一、基础夯实1.已知x,y,z满足x+y=5及z2=xy+y-9,则x+2y+3z=_______.(2002年山东省竞赛题)2.已知4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0(xyz≠0),那么22222223657x y zx y z++++的值为________.3.用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18张,每种邮票至少买一张,共有______种不同的买法.4.购买512345则55.希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共20个,其总价值为330元,•这三种球的价格分别是足球每个60元,篮球每个30元,排球每个10个,•那么其中排球有________个. (2003年温州市中考题)6.方程(x+1)2+(y-2)2=1的整数解有( ).A.1组B.2组C.4组D.无数组7.三元方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有( ).A.20001999个B.19992000个C.2001000个D.2001999个 (第11届“希望杯”邀请赛试题)8.以下是一个六位数乘上一个一位数的竖式,a、b、c、d、e、f各代表一个数(不一定相同),则a+b+c+d+e+f=( ).abcdef× 4efabcdA.27B.24C.30D.无法确定 (“五羊杯”邀请赛试题)9.求下列方程的整数解: (1)11x+5y=7; (2)4x+y=3xy.10.在车站开始检票时,有a(a>0)名旅客在候车室排队等候检票进站.•检票开始后,仍有旅客继续前来排队检票进站,设旅客按固定的速度增加,•检票口检票的速度也是固定的,若开放一个检票口,则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;若开放两个检票口,则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;•如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕,以便后来到站的旅客能随到随检,至少要同时开放几个检票口? (2001年广州市中考题)11.下面是同学们玩过的“锤子、剪子、•布”的游戏规则：游戏在两位同学之间进行，用伸出手掌表示“布”，两人同时口念“锤子、剪子、布”，一念到“布”时，同时出手，“布”赢“锤子”，“锤子”赢“剪子”，“剪子”赢“布”。
2020七年级数学下册 培优新帮手 专题18 简单的不定方程、方程组试题 (新版)新人教版
18 简单的不定方程、方程组阅读与思考如果方程(组)中，未知数的个数多于方程的个数，那么解往往有无穷多个，不能唯一确定，这样的方程(组)称为不定方程(组)．对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解，甚至只求正整数解．加上这类限制后，解可能唯一确定，或只有有限个，或无解．这类问题有以下两种基本类型： 1．判定不定方程(组)有无整数解或解的个数； 2．如果不定方程(组)有整数解，求出其全部整数解．二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程求其整数解．解不定方程(组)，没有固定的方法可循，需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数、因数分解、不等式分析、穷举、分离整数、配方等知识与方法．根据方程(组)的特点进行适当变形，并灵活运用相关知识与方法是解不定方程(组)的基本思路．例题与求解【例1】满足222219981997m n +=+ (0＜m ＜n ＜1 998)的整数对(m ，n )共有_______对．(全国初中数学联赛试题)解题思路：由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解来解答．【例2】电影票有10元，15元，20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多( )．A ．20张B ．15张C ．10张D ．5张(“希望杯”邀请赛试题)解题思路：设购买10元，15元，20元的电影票分别为x ，y ，z 张．根据题意列方程组，整体求出的z －x 值．【例3】某人家中的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14 405，将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16 970，求此人家中的电话号码．(湖北省武汉市竞赛试题)解题思路：探索可否将条件用一个式子表示，从问题转换入手．【例4】一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒，3粒，4粒或6粒地取出，最终盒内都剩一粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完，求盒子里共有多少粒棋子?(重庆市竞赛试题)解题思路：无论怎样取，盒子里的棋子数不变。
初一数学竞赛专项强化题集一次不定方程
一次不定方程A卷1．下列的不定方程有整数解的有______个。
⑴22x55y7；⑵6x4y14；⑶5x13y4；⑷143x209y50。
2．方程3x y24的非负整数解有_______组。
3．不定方程3x4y11的整数解是____________。
4．用328减去一个自然数之差正好是这个自然数各位数字之和，则这个自然数是_______。
5．把某人出生日号的2倍加5，再将所得结果的5倍加上出生的月份等于68，则此人出生于_____月_____日。
6．不定方程3x5y1306有_______组正整数解。
7．一个两位数加上2以后，其和的各位数字之和只有原数字和的一半，这样的两位数有_______个。
8．一辆匀速行驶的汽车，起初看路标上的数字是一个两位数xy，过了一小时路标上的数字变为yx，又行驶了一小时路标上的数字是x0y，那么第一次看到的数字是_______，汽车的速度是_______千米/时。
B卷1．两个自然数之和为51，勾掉大数中的一个数字，得到的是小数，则这两个自然数是____和_____。
2．不定方程21x35y196的正整数解有_______组。
3．某自然数与13的和是5的倍数，并且与13的差是6的倍数，这样的自然数中最小的两个是_____________。
4．装水瓶的盒子有大小两种，小的能装4个，大的能装7个，要把41个水瓶装入盒内，需大盒______个，小盒______个。
（每个盒子都恰好装满）5．某基建队要安装一条55米长的管道，现有3米和5米长的钢管各10根，如果要尽可能地使用5米长的钢管，施工中该用_______根钢管。
6．不定方程5x8y19z50的正整数解为_______________。
7．重量分别为1克，30克，50克的砝码共110个，总重量1000克，那么重30克的砝码有________个。
3x7y z98．方程组4x2y3z5的正整数解是______________。
【数学竞赛】七年级数学思维探究(12)不定方程(组)(含答案)
华罗庚（1910-1985），江苏金坛人，初中毕业后刻苦自学，主要从事解析数论、矩阵几何学等领域的研究并取得突出成绩，在解决高斯完整三角和的估计难题、华林和塔里问题改进、近世代数论方法应用研究等方面获出色成果．1984年当选美国科学院外籍院士，同年被聘为第三世界科学院院士．12．不定方程（组）解读课标如果一个方程（组）中，未知数的个数多于方程的个数，那么把这种方程（组）叫做不定方程（组）． 不定方程（组）的解是不确定的，一般不定方程（组）总有无穷多个（组）解，但若加上整数（或正整数）解的限制，则不定方程（组）的解有无数组，或有限组，或不存在．简单的不定方程是二元一次不定方程，它的一般形式是ax by c +=（a ，b ，c 为整数，且0ab ≠），与之相关的性质有：1．无整数解的判定方法若(),a b d =，而|d c ，则方程ax by c +=没有整数解． 2．全部整数解的表示若方程ax by c +=有一组解（特解）．00x x y y =⎧⎨=⎩，则方程ax by c +=全部整数解（通解）可表示为：00x x bty y at=-⎧⎨=+⎩（t 为整数）． 问题解决例1 某班级为筹备运动会，准备用365元购买两种运动服，其中甲种运动服20元/套，乙种运动服35元/套，在钱用尽的条件下，有____种购买方案．试一试 设购买甲、乙两种运动服套数为x 套、y 套，则2035365x y +=，即4773x y +=．将问题转化为求不定方程的正整数解的个数．例2 如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两种标志．问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是（ ）．A ．32千米B ．37千米C ．55千米D ．90千米试一试 设置限速标志、照相标志千米数分别表示为34x +、109y +（x ，y 为自然数)，问题转化为求不定方程34109x y +=+的正整数解．例3 （1）求方程254x y -=的全部整数解； （2）求方程537x y -=-的正整数解． 试一试 对于（2），先表示出方程的全部整数解，再解不等式组确定方程的正整数解．例4 某中学全体师生租乘同类型客车若干辆外出春游，如果每辆车坐22人，就会余下1人；如果开走一辆空车，那么所有师生刚好平均分乘余下的汽车，问：原先去租多少辆客车和学校师生共多少人？（已知每辆车的容量不多于32人）试一试 设原先租客车x 辆，开走一辆空车后，每辆车乘坐k 人，则()()22112332x k x k +=-≤≤，解此不定方程即可．例5 购买铅笔7支，作业本3个，圆珠笔1支共需3元；购买铅笔10支，作业本4个，圆珠笔1支共需4元．问购买铅笔11支，作业本5个，圆珠笔2支共需多少元？分析 设铅笔、作业本、圆珠笔的单价分别为a 、b 、c ，则7331044a b c a b c ++=⎧⎨++=⎩，需求1152a b c ++的值．解法1 原方程组变形为3374410,b c a b c a +=-⎧⎨+=-⎩，解得132,b a c a =-⎧⎨=⎩ ()115211513225a b c a a a ∴++=+-+⨯=．解法2 把1152a b c ++直接用73a b c ++、104a b c ++的式子表示． ()()11523731043345a b c a b c a b c ++=⨯++-++=⨯-=． 解法3 ()()11521044a b c a b c a b c a b c ++=+++++=+++，需求出a b c ++，原方程组变形为()()623934a b c a b a b c a b ⎧++++=⎪⎨++++=⎪⎩①② ①3⨯-②2⨯，得33421a b c ++=⨯-⨯=， 1152415a b c ∴++=+=． 百钱买百鸡例6 中国百鸡问题：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一，百钱买百鸡．问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？分析与解 设鸡翁、鸡母、鸡雏数目分别为x ，y ，z ，则有10053100,3x y z zx y ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩①②通过消元，将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解． ②3⨯-①，得148200x y +=， 即74100x y += ③到此，读者可用穷举法解之，我们还是用一般方法（分离整系数、运用整除）求出它的通解．由③得100725244x x y x -==-+，令4xt =，则4x t =， 252258257y x t t t t ∴=-+=-+=-，()1001004257375z x y t t t =--=---=+，这样，得到方程组的通解为4257375x t y t z t =⎧⎪=-⎨⎪=+⎩（t 为非负整数）．4025703750,t t t ⎧⎪-⎨⎪+⎩ ≥≥≥043725t t t ⎧⎪⎪∴⎨⎪⎪-⎩≥≤≥ 解得03t ≤≤．令0t =，1，2，3，得下列四组解：()(),,0,25,75x y z =，()4,18,78，()8,11,81，()12,4,84 数学冲浪1．若方程36832x y +=有一组解为6026,x y =⎧⎨=-⎩则方程的通解可表示为___________．2．若方程231x y +=有一组整数解为11,x y =-⎧⎨=⎩则由此得方程236x y +=的通解为___________．3．用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18张，每种邮票至少买一张，共有______种不同的买法．4．某步行街摆放有若干盆甲、乙、丙三种造型的盆景，甲种盆景由15朵红花、24朵黄花和25朵紫花搭配而成，乙种盆景由10朵红花和12朵黄花搭配而成，丙种盆景由10朵红花、18朵黄花和25朵紫花搭配而成．这些盆景一共用了2900朵红花，3750朵紫花，则黄花一共用了________朵． 5．方程4598x y +=的正整数解的个数是（ ）． A ．4 B ．5 C ．6 D ．76．为了奖励进步较大的学生，某班决定购买甲、乙、丙三种钢笔作为奖品，其单价分别为4元、5元、6元，购买这些钢笔需要花60元；经过协商，每种钢笔单价下降1元，结果只花了48元，那么甲种钢笔可能购买（ ）．A ．11支B ．9支C ．7支D ．5支7．三元方程1999x y z ++=的非负整数解的个数有（ ）．A ．20001999个B ．19992000个C ．2001000个D ．2001999个8．某次足球比赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，某球队参赛15场，积33分，若不考虑比赛顺序，则该队胜、平、负的情况可能有（ ）． A ．15种 B ．11种 C ．5种 D ．3种9．一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时祖用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，那么共有多少种租房方案？10．某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装240辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车．（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ （2）如果工厂招聘()010n n <<名新工人，使得招聘的新工人和抽调的熟练工刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？（3）在（2）的条件下，工厂给安装电动汽车的每名熟练工每月发2000元的工资，给每名新工人每月发1200元的工资，那么工厂应招聘多少名新工人，使新工人的数量多于熟练工，同时工厂每月支出的工资总额W （元）尽可能的少？11．一个盒子里装有不多于200粒棋子，如果每次2粒、3粒、4粒或6粒地取出，最终盒内都剩一粒棋子；如果每次11粒地取出，那么正好取完．间盒子里共有多少粒棋子？ 思维方式天地12．正整数m 、n 满足896m n mn +=+，则m 的最大值为___________． 13．顺思逆想一年共有12个月，闰年的二月是29天，又有4个小月，7个大月，所以闰年共有291304317366⨯+⨯+⨯=（天）反过来思考：如果非负整数a 、b 、c 满足等式：293031366a b c ++=，那么a b c ++=_______，这样的数组（a 、b 、c ）共有_______组，它们分别是____________．14．甲、乙、丙三人进行智力抢答活动，规定：第一个问题由乙提出，由甲、丙抢答．以后在抢答过程中若甲答对1题，就可提6个问题，乙答对1题就可提5个问题，丙答对1题就可提4个问题，供另两人抢答，抢答结束后，总共有16个问题没有任何人答对，则甲、乙、丙答对的题数分别是_________． 15．有甲、乙、丙3种商品，某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若购买甲4件、乙10件、丙1件共需33元，则此人购买甲、乙、丙各1件共需__________元．16．如果一个两位数5x 与三位数3yz 的积为29400，那么x y z ++=___________．17．司机小李驾车在公路上匀速行驶，他看到里程碑上的数是两位数，1小时后，看到里程碑上的数恰是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数，再过1小时后，第三次看到里程碑上的数又恰好是第一次见到的两位数字之间添上一个零的三位数，这三块里程碑上的数各是多少？18．陈老师给42名学生每人买了一件纪念品，其中有：每支12元的钢笔，每把4元的圆规，每册16元的词典，共用了216元．问陈老师买了多少支钢笔？多少本词典？ 应用探究乐园19．将一个三位数abc 的中间数码去掉，成为一个两位数ac ，且满足94abc ac c =+（如15591545=⨯+⨯）．试求出所有这样的三位数． 20．物不知其数我国南北朝时期有一部著名的算术著作《孙子算经》，其中有这样一个“物不知其数”问题：“今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二，问物几何？”12．不定方程（组）问题解决例1 ()(),13,3x y =，()6,7例2 C 7932144y y x y ++==++，43y +，135x y =⎧⎨=⎩为所求的解．例3 （1）522yx =+，y 只能取偶数，得一组解72x y =⎧⎨=⎩，故原方程的通解为7522x t y t =+⎧⎨=+⎩（t 为整数）．（2）375y x -=，经观察01x =，04y =为方程的一组解，原方程的通解为1345x t y t =-⎧⎨=-⎩（t 为整数）．00,x y >⎧⎨>⎩ 130450,t t ->⎧∴⎨->⎩解得13t <．故当t 取0，1-，2-，…时，可知原方程有无穷多组正整数解．例4 由()2211x k x +=-，得21232211x k x x +==+--，123x -，得11x -=，或123x -=，得2x =或24．当2x =时，师生总人数为222145⨯+=（人），开走一辆车，每辆载客45453221=>-（人），与题意不符，故2x =舍去，从而24x =，师生共有24221529⨯+=（人）． 数学冲浪1．60832636x t y t =-⎧⎨=-+⎩（t 为整数）2．6362x t y t =--⎧⎨=+⎩（t 为整数）3．24．4380 设甲盆景x 盆，乙盆景y 盆，丙盆景z 盆，根据题意得： 151010290025253750,x y z x z ++=⎧⎨+=⎩得2280150.x y x z +=⎧⎨+=⎩所以共用了黄花()()24121818621815062804380x y z x z x y ++=+++⨯+⨯==（朵）． 5．B 6．D7．C 当0x =时，1999y z +=，y 分别取0，1，2，…，1999时，z 取1999，1998，…，0，有2000个整数解；当1x =时，1998y z +=，有1999个整数解，当2x =时，1997y z +=，有1998个整数解；…当1999x =时，1y z +=，只有1组整数解，故非负整数解共有2000199919983212001000++++++= （个）．8．D 设该队胜x 场，平y 场，负z 场，x ，y ，z 都为整数，且0x ≤，y ，15z ≤．则15333x y z x y ++=⎧⎨+=⎩，解得113yx =-，则0y =，3，6． 9．设租二人间x 间，三人间y 间，四人间z 间，则234207,x y z x y z ++=⎧⎨++=⎩得26y z +=，x ，y ，z 均为正整数，∴有2x =，4y =，1z =；3x =，2y =，2z =，故有两种租房方案． 10．（1）4；2（2）工厂有4种新工人的招聘方案；（3）满足题意要求的招聘方案为：招聘4名新工人和抽调3名熟练工，此时工厂每月支出的工资总额最少，为10800元．11．设盒子里共有x 粒棋子，则x 被2，3，4，6的最小公倍数12除时，余数为1，即121x a =+（a 为自然数），又11x b =（b 为自然数），得12111a b +=，12111111a ab a ++==+，111a +，因0200x <≤，故0121200a <+≤，得701612a <<，10a =，所以，12101121x =⨯+=，即盒子里共有121粒棋子．12．759666988n m n n -==+--，9n =时，m 最大值为75． 13．12；4；()0,6,6，()1,4,7，()2,2,8，()3,0,914．()1,1,2或()0,3,1 设甲、乙、丙分别答对x 、y 、z 个问题，那么()651416x y z x y z +++=+++，即54315x y z ++=，解得()(),,1,1,2x y z =，()0,3,1，()0,0,5，()3,0,0，但不可能自己对自己提问，所以解中不可能有两个零． 15．616．18294002940073598400300x <<=≤，则575x =或85或95． 因85|29400，95|29400，则只能是575x =，当575x =时，29400339275yz ==，故7x =，9y =，2z =． 17．设第一次看到两位数为xy ，由题意得()()()()101010010y x x y x y y x +-+=+-+，整理得6y x =，显然1x =，6y =．故三块里程碑上的数分别为16，61，106． 18．钢笔3支，词典2册．19．因10010abc a b c =++．10ac a c =+，则()100109104a b c a c c ++=++，化简得()56a b c +=，这里0a ≤、b 、9c ≤，且0a ≠，因5为质数，故65.a b c +=⎧⎨=⎩故1,2,3,4,5,65,4,3,2,1,0,a b =⎧⎨=⎩则155abc =，245，335，425，515，605．20．此数可写成32k +或53m +或72n +形式，得3253k m +=+，5372m n +=+，于是把问题转化为求k 、m 、n 的最小正整数值．k 、m 、n 的最小正整数为7k =，4m =，3n =，物数的通解公式为10523t +（t 为非负整数）（为什么？），物有23．。
初中竞赛数学不定方程(含答案)
7．不定方程A 卷1．若⎩⎨⎧==00y y x x 是二元一次不定方程ax + by = c （其中（a 、b ）=1）的一组整数解，则ax + by = c 的所有整数解为____________。
2．方程 6x + 22y = 90的非负整数解为___________。
3．方程 9x + 24y – 5z = 1000的整数解为___________。
4．方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++)2(100533)1(100z y x z y x 的非负整数解为______________。
5．方程(x – a )(x – 8 ) – 1 = 0有两个整数根，则a 的值是___________。
6．方程0652=--xy x 的整数解为___________。
7．方程xy – 10 (x + y ) = 1的整数解为_____________。
8．满足x > y > 0 且x y y x 7733+=+的整数x = __________，整数y = _____________。
9．不定方程 8822=-y x 的整数解是____________。
10．（1）方程z x y =+1的质数解是__________；（2）方程a zy x =++111（其中a 是整数x 、y 、z 互不相等）的正整数解是___________； （3）方程2009=+y x 的整数解是____________。
（4）方程625.202222=+++d c b a 的整数解是____________。
B 卷1．不定方程22222b a c b a =++的所有整数解是____________。
2．对于正整数a 和b ，方程b a b a y x y x=++的所有正整数解是_____________。
3．方程22225)36(6n c b a =++的所有整数解是____________。
4．方程组⎩⎨⎧=++=--1979206222z y x z y x 的所有正整数解是____________。
七年级数学竞赛题目
七年级数学竞赛题目一、有理数运算类。
1. 计算：(-2)+3-(-5)- 解析：- 根据有理数的加减法法则，减去一个负数等于加上它的相反数。
- 所以(-2)+3 - (-5)=(-2)+3+5。
- 先计算(-2)+3 = 1，再计算1 + 5=6。
2. 计算：-1^4-(1 - 0.5)×(1)/(3)×[2-(-3)^2]- 解析：- 先计算指数运算，-1^4=-1，(-3)^2 = 9。
- 再计算括号内的式子，1-0.5 = 0.5=(1)/(2)。
- 然后计算乘法，(1)/(2)×(1)/(3)=(1)/(6)，2 - 9=-7。
- 接着计算(1)/(6)×(-7)=-(7)/(6)。
- 最后计算-1-(-(7)/(6))=-1+(7)/(6)=(1)/(6)。
二、整式运算类。
3. 化简：3a + 2b-5a - b- 解析：- 合并同类项，对于a的同类项3a和-5a，3a-5a=-2a。
- 对于b的同类项2b和-b，2b - b=b。
- 所以化简结果为-2a + b。
4. 先化简，再求值：(2x^2 - 3xy+4y^2)-3(x^2 - xy+(5)/(3)y^2)，其中x = - 2,y = 1- 解析：- 先去括号：- 原式=2x^2-3xy + 4y^2-3x^2+3xy - 5y^2。
- 再合并同类项：- (2x^2-3x^2)+(-3xy + 3xy)+(4y^2-5y^2)=-x^2 - y^2。
- 当x=-2,y = 1时，代入可得：- -(-2)^2-1^2=-4 - 1=-5。
三、一元一次方程类。
5. 解方程：3x+5 = 2x - 1- 解析：- 移项，将含x的项移到等号左边，常数项移到等号右边，得到3x-2x=-1 - 5。
- 合并同类项得x=-6。
6. 某班有学生45人会下象棋或围棋，会下象棋的人数比会下围棋的多5人，两种棋都会下的有20人，问会下围棋的有多少人？设会下围棋的有x人，则可列方程为？- 解析：- 会下象棋的人数为x + 5人。
初一数学方程组与不等式组试题
初一数学方程组与不等式组试题1.已知是二元一次方程组的解，则的算术平方根为（）A．±3B．3C．D．±【答案】C.【解析】将ｘ和y的值代入方程组求出m和n的值，即可确定出的算术平方根.试题解析：将x=2，y=1代入方程组得：①+②×2得：5n=10，即n=2，将n=2代入②得：4-m=1，即m=3，∴m+3n=3+6=9则的算术平方根为.故选C.【考点】1.二元一次方程组的解；2.算术平方根.2.写出一个解为x≤1不等式．【答案】答案不唯一（正确即可）．【解析】根据不等式的性质，在x≤1的两边同时乘以或除以一个正数，或者在x≤1的两边同时加上或者减去一个数，比如，2x≤2，5x≤5，x+2≤3，x-6≤-5，这些不等式的解集都是x≤1，答案不唯一．故答案为：2x≤2…（答案不唯一，正确即可）．【考点】不等式的性质．3.（本题7分）如图，长青化工厂与A，B两地有公路、铁路相连．这家工厂从A地购买一批每吨1 000元的原料运回工厂，制成每吨8 000元的产品运到B地．已知公路运价为1．5元/（吨•千米），铁路运价为1．2元/（吨•千米），且这两次运输共支出公路运输费15 000元，铁路运输费97 200元．（1）该工厂从A地购买了多少吨原料？制成运往B地的产品多少吨？（2）这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？【答案】（1）从A地购买了400吨原料，制成运往B地的产品300吨；（2）1887800元．【解析】（1）设工厂从A地购买了x吨原料，制成运往B地的产品y吨，分别根据公路运输费和铁路运输费列方程，联立方程组求解；（2）销售单价×产品数量-进货单价×原料数量-总运费，即是这批产品的销售款比原料费与运输费的和多的钱数．试题解析：解：（1）设工厂从A地购买了x吨原料，制成运往B地的产品y吨，依题意得：，∴解方程组得，答：工厂从A地购买了400吨原料，制成运往B地的产品300吨；（2）依题意得300×8000﹣400×1000﹣15000﹣97200=1887800（元），答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多1887800元．【考点】列方程组解应用题；利润的计算．4.（9分）(1)有甲、乙、丙三种商品，如果购甲3件、乙2件、丙1件共需15元，如果购甲1件、乙2件、丙3件共需25元，那么购甲、乙、丙各1件共需多少元？（2）已知2a+b+3c=15，3a+b+5c=25，则a+b+c=（3）已知2a+b+xc=15，3a+b+yc=25，要想求出a+b+c的值，x与y必须满足的关系是？【答案】（1）10，（2）5，（3）y=2x－1【解析】（1）设甲为x元，乙为y元，丙为z元，则3x+2y+z=15 ①；x+2y+3z=25 ②，然后用①＋②可得4（x+y+z）=40，因此可得x+y+z=10；（2）由可知①×2-②得a+b+c=5；（3）由已知的式子可得出a=（x-y）c+10，b=（2y-3x）-5，a+b+c=（y-2x+1）c+5，当y-2x+1=0时，a+b+c=5，因此可求x与y的关系式．试题解析：（1）10，（2）5，（3）解得：a=(x－y)c+10，b=(2y－3x)c－5a+b+c=(y－2x+1)c+5当(y－2x+1)=0时， a+b+c的值是5，所以y与x的关系是:y=2x－1．【考点】三元一次方程的应用5.为奖励期末考试中成绩优秀的同学，七年级某班级花62元钱购买了单价分别为9元、5元的A、B两种型号的黑色签字笔作为奖品，则共买了支签字笔。
初一数学方程组与不等式组试题答案及解析
初一数学方程组与不等式组试题答案及解析1.利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是 ( )A．55cm B． 65cm C．75 m D．85【答案】C【解析】解：设桌子的高度为hcm，第一个长方体的长为xcm，第二个长方体的宽为ycm，由第一个图形可知桌子的高度为：h-y+x=80，由第二个图形可知桌子的高度为：h-x+y=70，两个方程相加得：（h-y+x）+（h-x+y）=150，解得：h=75cm．故选C．2.若一个二元一次方程的一个解为，则这个方程可以是_______________(只要求写出一个)．【答案】x+y=1，答案不唯一【解析】方程的解是，把x=2，y=1代入方程，方程的左右两边一定相等，这个方程可能是：x+y=1，答案不唯一．3.解方程组或不等式（组）（每题6分共30分）（2）（3）（1）（4）（5）【答案】（1）（2）（3）（4）（5）不等式组无解【解析】（1）①2+②得5x=15解得x=3代入①得3+y=3解得y=0所以方程组的解为（2）②去分母整理得-4x+6y=-13与①相加得3y=-6解得y=-2代入①得x=所以方程组的解为（3）①-②得x-z=-1与③相加得2x=2解得x=1代入①得y=0代入③得z=2所以方程组的解为（4）去括号整理得-6x<-28解得x>（5）解①得x<,解②得x>所以不等式组无解4.（1）化简（2）先化简，再求值：，其中，【答案】（1）（2）12【解析】（1）化简2分4分5分（2）先化简，再求值：，其中，1分2分3分4分="12 " 5分解方程5.比较下列各数的大小，并用“＜”号将它们连接起来．_______________________________________【答案】【解析】试题考查知识点：比较大小思路分析：可以在数轴上描点，这些数对应的点，自左向右，越来越大。
初中数学竞赛：二元一次不定方程的解法
初中数学竞赛：二元一次不定方程的解法我们知道，如果未知数的个数多于方程的个数，那么，一般来说，它的解往往是不确定的，例如方程x-2y=3，方程组等，它们的解是不确定的．像这类方程或方程组就称为不定方程或不定方程组．不定方程(组)是数论中的一个古老分支，其内容极其丰富．我国对不定方程的研究已延续了数千年，“百鸡问题”等一直流传至今，“物不知其数”的解法被称为中国剩余定理．近年来，不定方程的研究又有新的进展．学习不定方程，不仅可以拓宽数学知识面，而且可以培养思维能力，提高数学解题的技能．我们先看一个例子．例小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？解设小张买了x块橡皮，y支铅笔，于是根据题意得方程3x+11y=50．这是一个二元一次不定方程．从方程来看，任给一个x值，就可以得到一个y值，所以它的解有无数多组．但是这个问题要求的是买橡皮的块数和铅笔的支数，而橡皮的块数与铅笔的支数只能是正整数或零，所以从这个问题的要求来说，我们只要求这个方程的非负整数解．因为铅笔每支1角1分，所以5角钱最多只能买到4支铅笔，因此，小张买铅笔的支数只能是0，1，2，3，4支，即y的取值只能是0，1，2，3，4这五个．若y=3，则x=17/3，不是整数，不合题意；若y=4，则x=2，符合题意．所以，这个方程有两组正整数解，即也就是说，5角钱刚好能买2块橡皮与4支铅笔，或者13块橡皮与1支铅笔．像这个例子，我们把二元一次不定方程的解限制在非负整数时，那么它的解就确定了．但是否只要把解限制在非负整数时，二元一次不定方程的解就一定能确定了呢？不能！现举例说明．例求不定方程x-y=2的正整数解．解我们知道：3-1=2，4-2=2，5-3=2，…，所以这个方程的正整数解有无数组，它们是其中n可以取一切自然数．因此，所要解的不定方程有无数组正整数解，它的解是不确定的．上面关于橡皮与铅笔的例子，我们是用逐个检验的方法来求它们的非负整数解的，但是这种方法在给出的数比较大的问题或者方程有无数组解的时候就会遇到麻烦．那么能不能找到一个有效而又方便的方法来求解呢？我们现在就来研究这个问题，先给出一个定理．定理如果a，b是互质的正整数，c是整数，且方程ax+by=c ①有一组整数解x0，y0则此方程的一切整数解可以表示为其中t=0，±1，±2，±3，…．证因为x0，y0是方程①的整数解，当然满足ax0+by0=c，②因此a(x0-bt)+b(y0+at)=ax0+by0=c．这表明x=x0-bt，y=y0+at也是方程①的解．设x＇，y＇是方程①的任一整数解，则有ax＇+bx＇=c. ③③-②得a(x＇-x0)=b＇(y＇-y0)．④由于(a，b)=1，所以a｜y＇-y0，即y＇=y0+at，其中t是整数．将y＇=y0+at代入④，即得x＇=x0-bt．因此x＇， y＇可以表示成x=x0-bt，y=y0+at的形式，所以x=x0-bt，y=y0+at 表示方程①的一切整数解，命题得证．有了上述定理，求解二元一次不定方程的关键是求它的一组特殊解．例1求11x+15y=7的整数解．解法1将方程变形得因为x是整数，所以7-15y应是11的倍数．由观察得x0=2，y0=-1是这个方程的一组整数解，所以方程的解为解法2先考察11x+15y=1，通过观察易得11×(-4)+15×(3)=1，所以11×(-4×7)+15×(3×7)=7，可取x0=-28，y0=21．从而可见，二元一次不定方程在无约束条件的情况下，通常有无数组整数解，由于求出的特解不同，同一个不定方程的解的形式可以不同，但它们所包含的全部解是一样的．将解中的参数t做适当代换，就可化为同一形式．例2求方程6x+22y=90的非负整数解．解因为(6，22)=2，所以方程两边同除以2得3x+11y=45．①由观察知，x1=4，y1=-1是方程3x+11y=1 ②的一组整数解，从而方程①的一组整数解为由定理，可得方程①的一切整数解为因为要求的是原方程的非负整数解，所以必有由于t是整数，由③，④得15≤t≤16，所以只有t=15，t=16两种可能．当t=15时，x=15，y=0；当t=16时，x=4，y=3．所以原方程的非负整数解是例3求方程7x+19y=213的所有正整数解．分析这个方程的系数较大，用观察法去求其特殊解比较困难，碰到这种情况我们可用逐步缩小系数的方法使系数变小，最后再用观察法求得其解．解用方程7x+19y=213 ①的最小系数7除方程①的各项，并移项得因为x，y是整数，故3-5y/7=u也是整数，于是5y+7u=3．Ｔ儆*5除此式的两边得2u+5v=3．④由观察知u=-1，v=1是方程④的一组解．将u=-1，v=1代入③得y=2．y=2代入②得x=25．于是方程①有一组解x0=25，y0=2，所以它的一切解为由于要求方程的正整数解，所以解不等式，得t只能取0，1．因此得原方程的正整数解为当方程的系数较大时，我们还可以用辗转相除法求其特解，其解法结合例题说明．例4求方程37x+107y=25的整数解．解 107=2×37+33，37=1×33+4，33=8×4+1．为用37和107表示1，我们把上述辗转相除过程回代，得1=33-8×4=37-4-8×4=37-9×4=37-9×(37-33)=9×33-8×37＝9×(107-2×37)8×37＝9×107-26×37=37×(-26)+107×9．由此可知x1=-26，y1=9是方程37x+107y=1的一组整数解．于是x0=25×(-26)=-650，y0=25×9=225是方程37x+107y=25的一组整数解．所以原方程的一切整数解为例5某国硬币有5分和7分两种，问用这两种硬币支付142分货款，有多少种不同的方法？解设需x枚7分，y枚5分恰好支付142分，于是7x+5y=142. ①所以由于7x≤142，所以x≤20，并且由上式知5｜2(x-1)．因为(5，2)=1，所以5｜x-1，从而x=1，6，11，16，①的非负整数解为所以，共有4种不同的支付方式．说明当方程的系数较小时，而且是求非负整数解或者是实际问题时，这时候的解的组数往往较少，可以用整除的性质加上枚举，也能较容易地解出方程．多元一次不定方程可以化为二元一次不定方程．例6求方程9x+24y-5z=1000的整数解．解设9x+24y=3t，即3x+8y=t，于是3t-5z=1000．于是原方程可化为用前面的方法可以求得①的解为②的解为消去t，得大约1500年以前，我国古代数学家张丘建在他编写的《张丘建算经》里，曾经提出并解决了“百钱买百鸡”这个有名的数学问题，通俗地讲就是下例．例7今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只．用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？解设公鸡、母鸡、小鸡各买x，y，z只，由题意列方程组①化简得 15x+9y+z=300．③③-②得 14x+8y=200，即 7x+4y=100．解7x+4y=1得于是7x+4y=100的一个特解为由定理知7x+4y=100的所有整数解为由题意知，0＜x，y，z＜100，所以由于t是整数，故t只能取26，27，28，而且x，y，z还应满足x+y+z=100．t x y z26 4 18 7827 8 11 8128 12 4 84即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；或12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡．【练习】1．求下列不定方程的整数解：(1) 72x+157y=1；(2)9x+21y=144；(3)103x-91y＝5．2．求下列不定方程的正整数解：(1)3x-5y=19； (2)12x+5y=125．3．求下列不定方程的整数解：(1)5x+8y+19z=50； (2)39x-24y+9z=78．4．求不定方程2x+5y+7z+3t=10的整数解．5．求不定方程组的正整数解.。
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七年级数学竞赛题：简单的不定方程、方程组
如果方程(组)中，未知数的个数多于方程的个数，那么解往往有无穷多个，不能惟一确定，这样的方程(组)称为不定方程(组)．
对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解，甚至只求正整数解．加上这类限制后，解可能惟一确定，或只有有限个，或无解．这类问题有以下两种基本类型：
1．判定不定方程(组)有无整数解或解的个数；
2．如果不定方程(组)有整数解，求出其全部整数解．
二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程求其整数解．
解不定方程(组)，没有固定的方法可循，需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数、因数分解、不等式估值、穷举、分离整数、配方等知识与方法．根据方程(组)的特点进行适当变形，并灵活运用相关知识与方法是解不定方程(组)的基本思路．
例1 满足199822221997(01998)m n m n +=+<<<的整数对(m,n)共有_________对．
(全国初中数学联赛试题) 解题思路 由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解解．
例2 以下是一个六位数乘上一个一位数的竖式，a 、b 、c 、d 、e 、f 各代表一个数(不一定相同)，则以a+b+c+d= ( )．
(“五羊杯”邀请赛试题)
(A)27 (B)24 (C)30 (D)无法确定
解题思路 视abcd 、ef 为整体，将多元问题转化为解二元一次不定方程．
a b c d e f
× 4
———————
e f a b c d
例3 求方程11156
x y z ++=的正整数解． (“希望杯”数学邀请赛试题) 解题思路 易知x 、y 、z 都大于1，不妨设1<x ≤y≤z，111x y z
≥≥，将复杂三元不定方程转化为一元不等式，通过解不等式对某个未知数的取值作出估计，逐步缩小其取值范围，求出结果．
例4 某乡水电站发电了，电费规定是：如果每月用电不超过24度，就按每度9分钱收费；如果超过24度，超出的部分按每度2角收费．已知在某月中，甲家比乙家多交了电费9角6分(用电按整度计算)，问甲、乙两家各交了多少电费?
(北京市“迎春杯”竞赛题) 解题思路 甲、乙两家用电度数情况有多种可能，在分析甲、乙两家用电情况的基础上，将问题转化为解不定方程．
例5 甲、乙、丙三人共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道题，将其中只有1人解出的题叫做难题，3人都解出的题叫做容易题，试题难题多还是容易题多?(多的比少的)多几道题?
(第十二届江苏省竞赛题) 解题思路 100道数学题有三类：难题、容易题、两人都解出的题，题中可供利用的等量关系只有两个，显然，将三元一次不定方程组转化为解二元一次不定方程是解本例的基本思路．
A 级
1．若2254404
a b a b +-++=，则ab ＝_________． 2．已知4x--3y--6z=0，x+2y-7z=0(xyz ≠0),则222
222
23657x y z x y z ++++的值等于________． 3．1998年某人的年龄恰等于他出生的公元年数的数字和，那么他的年龄是______岁. (第九届“希望杯”邀请赛试题)
4．设方程221993x y -=的整数解为,,||αβαβ=则________．
5．x ，y 都是质数，则方程x+y=1999共有( )．
(北京市竞赛题)
(A)1组解 (B)2组解 (C)3组解 (D)4组解
6．方程1990x －1989y ＝1991的一组正整数解是( )．
(A)x ＝12785，y ＝12768 (B)x ＝13827，y ＝12623
(C)x ＝11936，y ＝11941 (D)x ＝12785，y ＝12770
7．一个两位数，交换它的十位数字与个位数字所得的两位数是原来数的74
倍，则这样的两位数有( )．
(A)1个 (B)2个 (C)4个 (D)无穷多个
8．小英在邮局买了lO 元邮票，其中面值０.10元的邮票不少于2枚，面值0.20元的邮票不少于5枚，面值0.50元的邮票不少于3枚，面值2元的邮票不少于1枚，则小英最少买了( )枚邮票．
(“五羊杯”邀请赛试题)
(A)17 (B)18 (C)19 (D)20
9．小孩将玻璃弹子装进两种盒子，每个大盒子装12颗，每个小盒子装5颗，若弹子共有99颗所用大小盒子多于10个，问这两种盒子各有多少个?
10．是否存在整数m ，n 满足m 2
22003n =+，若存在，请求出全部整数对(ｍ，ｎ)值；若不存在，请说明理由．
11．已知长方形的长、宽都是整数，且周长与面积的数值相等，求长方形的面积．
(“希望杯”邀请赛试题)
B 级
1．如果ａ、ｂ、c 满足ａ2+2b 2+2c 2一2ab 一2bc 一6c ＋9＝0，那么(ａ＋bc)2＝______．
(“祖冲之杯”邀请试题)
2．已知ｘ，ｙ为正偶数，且ｘ2y ＋ｘy 2＝96，则ｘ2＋y 2＝______．
3．一个四位数，用16除余13，用125除余122，则满足条件的最小的四位数是______．
4．购买十种货物：A 1、A 2、A 3、…Ａ10，如果在这十种中购买的件数依次是1，3，4，5，6，7，8，9，10，11件，共需人民币1992元；如果购买的件数依次是1，5，7，9，11，13，15，17，19，21件，共需人民币3000元，那么在这十种货物中各买一件时，共需人民币______．
(北京市“迎春杯”竞赛题)
5．若正整数ｘ、ｙ满足ｘ2一72＝y 2，则这样的正整数对(ｘ，y)的个数是( )．
(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个
6．有甲、乙、丙3种商品，某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元；若购甲4件、乙10件、丙l 件共需33元，则此人购甲、乙、丙各l 件共需( )元．
(A)6元 (B)8元 (C)9元 (D)10元
7．在方程组⎩⎨
⎧-=++=++360333z y x z y x ,x,y,z 是不相等的整数，那么此方程组的解的组数为( )．
(第九届“希望杯”邀请赛试题)
(A)6 (B)3 (C)多于6 (D)少于3
8．一个两位数中间插人一个一位数(包括0)，就变成一个三位数，有些两位数中间插入某个一位数后变成的三位数是原来两位数的9倍，这样的两位数有( )个．
(A)l (B)4 (C)10 (D)超过10
9．李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票，兑换员不小心将支票上元与角．分数字看倒置了(例如，把12．34元看成了34．12元)，并按着错的数字支付，李林将其款花去3．80元之后，发现其余款恰为支票面额的两倍，于是急忙到银行将多领的款额退回，问李林应退回的款额是多少元?
(“五羊杯”邀请赛试题)
10．某人乘坐的车在公路上匀速行驶，从他看到的某个里程碑上的数是一个两位数时起，一小时后他看到的里程碑上的数恰好是第一次看到的数颠倒了顺序的两位数，再过一小时，他看到的里程碑上的数又恰好是第一次看到的两位数之间添上一个零的三位数，问这三块里
程碑上的数各是多少?
(“勤奋杯”竞赛杯)
11．某新建储油罐装满油后发现底部匀速向外漏油，为完全并减少损失，需将油抽干后进行维修．现有同样功率的小型抽油泵若干台，若5台一起抽需10小时抽干，7台一起抽需8小时抽干．要在3小时内将油罐抽干，至少需要多少台抽油泵一起抽?
(“五羊杯”竞赛题)。