向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇

天津四中：刘晖

一、四心的概念介绍

（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合

（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.

证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O

⇔=++0OC OB OA ⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33

3

21321y y y y x x x x

⇔O 是ABC ∆的重心.

证法2：如图

OC OB OA ++

02=+=OD OA

∴OD AO 2=

∴D O A 、、三点共线，且O 分AD

为2：1

∴O 是ABC ∆的重心

（2）⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心.

证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.

0)(=⋅=-⇔⋅=⋅CA OB OC OA OB OC OB OB OA

AC OB ⊥⇔

同理BC OA ⊥，AB OC ⊥

⇔O 为ABC ∆的垂心

（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心

O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心.

证明：b

AC

c AB 、

分别为AC AB 、

方向上的单位向量， ∴

b

AC c AB +平分BAC ∠, (

λ=∴AO b AC c AB +)，令c

b a bc

++=λ

∴

c

b a bc

AO ++=

（b AC c AB +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a

∴0=++OC c OB b OA a

（4

）==⇔O 为ABC ∆的外心。

典型例题：

例1：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P 满足

)(AC AB OA OP ++=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ ）

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心 分析：如图所示ABC ∆，

E D 、分别为边AC BC 、的中点.

AD AC AB 2=+

∴AD OA OP λ2+=

AP OA OP += AD AP λ2=∴

AP ∴//AD

∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的重心，即选C .

例2：（03全国理4）O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P

满足AC AB OA OP +

+=λ，[)+∞∈,0λ ，

则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的（ B ） A ．外心 B ．内心 C ．重心 D ．垂心

分析：AC

AB

分别为AC AB 、方向上的单位向量，

∴

+

BAC ∠,

∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的内心，即选B .

例3：O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，动点P

满足

AC AB OA OP +

+=λ，[)+∞∈,0λ ，则点P 的轨迹一定通过ABC ∆的

B C

D

（ ）

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

分析：如图所示AD 垂直BC ，BE 垂直AC ， D 、E 是垂足

. AC AB +

BC ⋅

+

+

=-

=0

∴点P 的轨迹一定通过ABC ∆的垂心，即选D .

练习：

1．已知ABC ∆三个顶点C B A 、、及平面内一点P ，满足0=++PC PB PA ，若实数λ满足：AP AC AB λ=+，则λ的值为（ ）

A ．2

B ．

2

3

C ．3

D ．6 2．若ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，0=++OC OB OA ，则=⋅OB OA ( ) A ．

21 B ．0 C ．1 D ．2

1

- 3．点O 在ABC ∆内部且满足022=++OC OB OA ，则ABC ∆面积与凹四边形

ABOC 面积之比是（ ）

A ．0

B ．

23 C ．45 D ．3

4

4．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，若OC OB OA OH ++=，则H 是ABC ∆的（ ）

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

5．O 是平面上一定点，C B A 、、是平面上不共线的三个点，若2

2

2

OB BC OA =+

2

22AB OC CA +=+，则O 是ABC ∆的（ ）

A ．外心

B ．内心

C ．重心

D ．垂心

6．ABC ∆的外接圆的圆心为O ，两条边上的高的交点为H ，)(OC OB OA m OH ++=，