几个重要不等式及其应用

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数学分析中几个重要不等式的应用-2019年精选教育文档

数学分析中几个重要不等式的应用不等关系是数学中的基本关系，不等式在数学应用和数学研究中起着非常重要的作用，不等式在数学中是一门独立的分支，而一些不等式在数学分析中起着非常重要的作用，在证明和解决数学问题中都有重要地位，在数学研究中有许多形式优美而且具有重要应用价值的不等式，一般称其为重要不等式.利用重要不等式可以评价命题的科学性，防止产生一些科学性的错误，对研究分析问题都有一定的指导作用。

一、几种重要不等式的混合应用有些不等式的证明题目如果只使用某一种重要不等式可能不一定达到证明的目的，因此需要交叉使用多个重要不等式，以下给出一个与三角函数有关的不等式命题，该题的证明需要用到Jensen不等式和均值不等式。

例1设P为内任一点，求证：在、、中至少有一个小于或等于证明设、、；、、由正弦定理知所以在、、中必有一个角的正弦值不大于，不妨设所以有，否则，此时有或.二、重要不等式与数学思想方法相结合的应用重要不等式的许多应用，前面已经论述过，在数学分析中数学思想方法可谓是一个强有力的数学工具，许多重要不等式的证明本身或许就是这些数学思想方法成功运用的典范，当然在不等式的证明问题中如能成功运用这些思想方法将会在解题的灵活性和技巧性上收到事半功倍之效.例2（Cauchy不等式）若，（），则分析Cauchy不等式的形式具有一元二次方程根的判别式形式，于是我们想到了构造法.证明利用非负二次三项式的判别式非正的原理.构造函数分析欲证不等式较为复杂，而且不能直接运用均值不等式，所以应采用换元法加以化简变形，构建使用均值不等式的结构。

证明由已知条件原不等式即证：而上式当且仅当即时成立.本文中不等式的证法多是常用的证法，有许多证明方法都是数学思想方法成功运用的典范，现对本文中所涉及到的数学思想方法作出总结，这样可以加深我们对数学思想方法的认识和理解。

重要不等式使用条件

重要不等式使用条件一、引言在数学中，不等式是一种比较两个数或者变量关系的数学表达式。

不等式的研究对于解决各种实际问题具有重要意义。

在数学中，有许多重要的不等式被广泛应用于各个领域，如数论、代数、几何和概率论等。

本文将介绍一些常见的重要不等式及其使用条件。

二、柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是解析几何中的一个基本定理，它描述了内积的性质。

该不等式可以用来证明其他重要定理，如三角形不等式和均值不等式。

不等式表述对于实数集合上的内积空间V中的向量a和b，柯西-施瓦茨不等式可以表示为：|⟨a,b⟩|≤∥a∥∥b∥其中⟨a,b⟩表示向量a和b的内积，∥a∥表示向量a的模。

使用条件柯西-施瓦茨不等式成立的条件是向量空间V上定义了内积，并且满足以下性质：1.正定性：对于任意非零向量a，有⟨a,a⟩>0。

2.齐次性：对于任意标量k和向量a，有⟨k⋅a,b⟩=k⋅⟨a,b⟩。

3.加法性：对于任意向量a、b和c，有⟨a+b,c⟩=⟨a,c⟩+⟨b,c⟩。

满足以上条件的内积空间可以是实数集合上的内积空间或复数集合上的内积空间。

三、三角形不等式三角形不等式是几何学中一个基本的定理，它描述了三角形中边长之间的关系。

该不等式在计算几何学、概率论和信息论等领域得到广泛应用。

不等式表述对于任意三角形的边长a、b和c，三角形不等式可以表示为：|a−b|<c<a+b使用条件三角形不等式成立的条件是边长a、b和c满足以下条件：1.非负性：边长必须大于等于零，即a,b,c≥0。

2.两边之和大于第三边：任意两边之和必须大于第三条边，即a+b>c,a+c>b,b+c>a。

满足以上条件的三个边长可以构成一个有效的三角形。

四、均值不等式均值不等式是数论中的一个重要定理，它描述了一组数的平均值与其他函数之间的关系。

该不等式在概率论、统计学和经济学中得到广泛应用。

不等式表述对于一组实数x1,x2,…,x n，其中n≥2，均值不等式可以表示为：x1+x2+⋯+x nn ≥√x1⋅x2⋅…⋅x n n使用条件均值不等式成立的条件是实数x1,x2,…,x n满足以下条件：1.非负性：所有实数必须大于等于零，即x i≥0。

概率论中几个不等式的推广及应用

概率论中几个不等式的推广及应用
1. 闵可夫斯基不等式：它是概率论中最重要的不等式，它的推广及应用包括：
（1）贝叶斯不等式：它是闵可夫斯基不等式的一种推广，它可以用来证明贝叶斯定理，以及证明条件概率的关系。

（2）拉普拉斯不等式：它是闵可夫斯基不等式的另一种推广，它可以用来证明拉普拉斯定理，以及证明条件概率的关系。

（3）抽样不等式：它是闵可夫斯基不等式的另一种推广，它可以用来证明抽样定理，以及证明条件概率的关系。

（4）泰勒不等式：它是闵可夫斯基不等式的一种推广，它可以用来证明泰勒定理，以及证明条件概率的关系。

（5）大数定律：它是闵可夫斯基不等式的一种推广，它可以用来证明大数定律，以及证明条件概率的关系。

2. 黎曼不等式：它是概率论中另一个重要的不等式，它的推广及应用包括：
（1）熵不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明熵定理，以及证明条件概率的关系。

（2）马尔可夫不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明马尔可夫定理，以及证明条件概率的关系。

（3）惩罚不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明惩罚定理，以及证明条件概率的关系。

（4）贝尔不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明贝尔定理，以及证明条件概率的关系。

（5）贝尔-黎曼不等式：它是黎曼不等式的一种推广，它可以用来证明贝尔-黎曼定理，以及证明条件概率的关系。

53几个重要的不等式

5．3几个重要的不等式具备了不等式的基本知识和技能之后，就可以进一步欣赏一些优美而又魅力无限的重要结果。

正如音乐家能够将很少几组音符变化发展为动听美妙的旋律一样，数学家则往往能够通过不多几步逻辑推理揭示出简明优美的结果。

这里要介绍的一些有关不等式的结果就是数学家依靠并不复杂的逻辑推理得到的，然而在其来龙去脉被领悟以前，却常常象变戏法似的神秘莫测。

除了前面已经介绍的贝努利不等式之外，本节将讨论的一些重要不等式包括：柯西不等式，排序不等式，平均不等式等。

这些重要的不等式不仅形式优美、应用广泛，而且也是今后进一步学习高等数学的重要工具。

1．柯西（Cauchy ）不等式在上一节，我们已经粗略地了解了形如22222)())((bd ac d c b a +≥++的不等式，因其是由大数学家柯西（Canchy ）发现的，故而一般称之为柯西不等式。

柯西不等式有着丰富的几何背景。

可以通过几何解释加深对其本质特征的认识与理解。

请同学们回忆一下我们曾经学过的余弦定理的内容？我们将利用它来解释柯西不等式。

如图，在三角形OPQ 中，θ=∠QOP d c Q b a P ),,(),,(，则 ,,2222d c OQ b a OP +=+=.)()(22d b c a PQ -+-=将以上三式代入余弦定理2222⋅-+=OP OQ OP PQ2222cos dc b a bdac +⋅++=θ或.))(()(cos 222222d c b a bd ac +++=θ 因为1cos 02≤≤θ，所以，1))(()(22222≤+++d c b a bd ac ，于是22222)())((bd ac d c b a +≥++.讨论：借助图形分析，柯西不等式中等号成立的条件是什么?柯西不等式应用相当广泛，我们先通过一些简单的例子加以体会。

例1．已知.1,12222=+=+y x b a 求证：.1≤+by ax （1）证明：由柯西不等式，.1))(()(22222=++≤+y x b a by ax 所以（1）成立。

几个重要不等式的证明及应用

［ａ，ｂ］上连续，ｘ）ｄｘ＝１，ｋ为任意实数，求证：（Ｊ＇￣ｆ（ｘ）ｃｏｓｋｘｄｘ）＋
（ｆ：ｆ（ｘ）ｓｉｎｋｘｄｘ）‘≤１（２）
证明：（２）式左端第一项应用Ｓｃｈｗａｒｚ不等式，得到：
）ｃｏｓｋｘｄｘ）＝［Ｊ＇ｂ、／－ｘ）（ｃｏｓｋｘ）ｄｘ］ ≤Ｊ＇ｂｆ（ｘ）ｄｘｆ￣ｆ（ｘ）
关键词：Ｃａｕｃｈｙ－Ｔ等式Ｓｃｈｗａｒｚ￣等式平均值不等式
（．）２＝（
、／ａ＋ａ
２
） ≤
Ｉ＿＿，（ａｉ＋ａｉ＋１）：
１ａ＋ａＩ＋Ｉｌ
’ ｌ
不等式是初等数学及高等数学中一种应用广泛的解题工
具，在中学各种竞赛、高考、专升本、研究生入学考试等各类考
中，不等式的教学更是一个难点，学生在学习不等式， ∑应用不
等式解题时困难重重．本文以３个重要的不等式为例ａ，，对其ａ证
明方法及推广、应用技巧进行总结与归纳．
＋
１．Ｃａｕｃｈｙ￣等式
（２）式成立．评注６：本定理的证明是灵活运用一致连续定义的典范．
它在理论研究上具有一定的意义．２．２一致连续函数的运算性质一致连续函数有一系列的运算性质，归结如下几个命题．命题１：设中（ｘ）与（ｘ）在区间Ｉ上一致连续，则ｘ）＋ｐ

几个常用不等式证明不等式方法辛

不等式是高等数学中的一个重要工具。

运用它可以对变量之间的大小关系进行估计，并且一些重要的不等式在现代数学的研究中发挥着重要作用。

这里首先介绍几个常用的不等式，然后再介绍证明不等式的一些方法。

几个重要的不等式 1．平均值不等式设12,,,n a a a 非负，令111()(0)nrr r kk M a a r n =⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭∑（当r<0且至少有一0ka =时，令()0r M a =），111()()nkk A a M a a n ===∑，112()()111nn H a M a a a a -==++，11()nnk k G a a =⎛⎫= ⎪⎝⎭∏，称r M 是r 次幂平均值，A 是算数平均值，H 是调和平均值，G 是几何平均值，则有()()()H a G a A a ≤≤，等式成立的充要条件是12,na a a ===；一般的，如果s>0，t<0，则有()()()t s M a G a M a ≤≤，等式成立的充要条件是12,na a a ===。

2．赫尔德（Holder ）不等式设()0,0,1,2,,,1,2,,j i j a a i n j m>>==，且11mjj a==∑，则1111111()()()()m mnnna a a a m m iiii i i i a a a a ===≤∑∑∑，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11,1,2,,m i i nnm kki i a a i n aa=====∑∑。

3．柯西-许瓦兹（Cauchy-Schwarz ）不等式设,,1,2,,i i a b i n =为实数，则112222111||n nni i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑。

4．麦克夫斯基(Minkowsk)不等式设()0,1,2,,,1,2,,,1j i a i n j m r >==>，则111(1)()(1)()111[()][()][()]nnnm r r m r r r r iiiii i i a aa a===++≤++∑∑∑，等式成立的充要条件是(1)()(1)()11()(),1,2,,()()rm ri i nnr m r kki i a a i n aa=====∑∑。

几个重要的不等式

几个重要的不等式不等式是数学中非常重要的概念，它们在数学、物理、经济学等领域都有广泛的应用。

本文将介绍几个重要的不等式，包括柯西-施瓦茨不等式、均值不等式、柯西反向不等式和霍尔德不等式。

一、柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是数学中最基本的不等式之一。

它可以用于证明其他许多重要的定理和不等式。

该不等式表述为：对于任意两个实数序列a1, a2, …, an和b1, b2, …, bn，有(a1b1 + a2b2 + … + anbn)² ≤ (a1² + a2² + … + an²)(b1² + b2² + … + bn²)其中“=”号成立当且仅当ai/bi为常数或bi=0。

该不等式可以推广到内积空间中，即对于任意两个向量x和y，有|x·y| ≤ ||x|| ||y||其中“=”号成立当且仅当x与y线性相关。

二、均值不等式均值不等式是一类基本的算术平均值与几何平均值之间的关系。

它包括算术平均不等式、几何平均不等式和调和平均不等式。

1. 算术平均不等式对于任意n个非负实数a1, a2, …, an，有(a1 + a2 + … + an)/n ≥√(a1a2…an)其中“=”号成立当且仅当a1 = a2 = … = an。

该不等式表明，n个非负实数的算术平均值大于等于它们的几何平均值。

2. 几何平均不等式对于任意n个正实数a1, a2, …, an，有(a1a2…an)^(1/n) ≤ (a1 + a2 + … + an)/n其中“=”号成立当且仅当a1 = a2 = … = an。

该不等式表明，n个正实数的几何平均值小于等于它们的算术平均值。

3. 调和平均不等式对于任意n个正实数a1, a2, …, an，有n/(1/a1 + 1/a2 + … + 1/an) ≤ (a1 + a2 + … + an)/n ≤ (n/(1/a1 + 1/a2 + … + 1/an))其中“=”号成立当且仅当a1 = a2 = … = an。

几个重要的不等式

几个重要的不等式以不等式为标题，写一篇文章。

一、柯西不等式柯西不等式是数学中的一条重要不等式，它可以用来描述向量内积的性质。

假设有两个n维向量a和b，柯西不等式可以表示为：|a·b| ≤ ||a|| ||b||其中，a·b表示向量a和向量b的内积，||a||和||b||表示向量a和向量b的模长。

不等式右边的乘积表示了两个向量的模长乘积，而不等式左边的内积则表示了两个向量之间的相似程度。

柯西不等式告诉我们，两个向量的内积的绝对值不会超过它们的模长的乘积。

柯西不等式在数学和物理中有广泛的应用。

例如，在信号处理中，柯西不等式可以用来判断两个信号的相关性；在几何学中，柯西不等式可以用来证明三角形的性质；在概率论中，柯西不等式可以用来推导概率的上界。

二、三角不等式三角不等式是数学中的另一条重要不等式，它可以用来描述三角函数之间的关系。

换句话说，正弦函数的和不会超过两个正弦函数的和。

三角不等式在几何学和物理学中有广泛的应用。

例如，在几何学中，三角不等式可以用来证明三角形的性质；在物理学中，三角不等式可以用来推导物理量的上界。

三、均值不等式均值不等式是数学中的一类重要不等式，它可以用来描述数列的性质。

常见的均值不等式有算术平均值不小于几何平均值和几何平均值不小于调和平均值两种形式。

算术平均值不小于几何平均值的不等式可以表示为：(a1 + a2 + ... + an)/n ≥ (a1a2...an)^(1/n)其中，a1、a2、...、an为正实数。

这个不等式告诉我们，对于任意一组正实数，它们的算术平均值不会小于它们的几何平均值。

几何平均值不小于调和平均值的不等式可以表示为：(1/a1 + 1/a2 + ... + 1/an)/n ≥ n/(a1 + a2 + ... + an)这个不等式告诉我们，对于任意一组正实数，它们的几何平均值不会小于它们的调和平均值。

十大不等式放缩式

十大不等式放缩式
十大不等式放缩式包括以下几种：
1、均值不等式：这是最基础的不等式放缩式，用于处理一系列数值之间的关系。

2、琴生不等式：这是一个关于凸函数的不等式，用于在函数图像上寻找一些重要的性质。

3、柯西不等式：这是一个在数学分析中非常有用的不等式，可以用来处理一些复杂的不等式问题。

4、Cauchy-Schwarz不等式：这是线性代数中的一个重要不等式，可以用来处理向量之间的夹角问题。

5、切比雪夫不等式：这是一个关于随机变量的不等式，可以用来估计随机变量的范围。

6、哈代-温伯格不等式：这是一个关于概率分布的不等式，可以用来估计概率分布的性质。

7、博尔扎诺-瓦尔登不等式：这是一个关于可微函数的积分不等式，可以用来估计函数的积分范围。

8、詹森不等式：这是一个关于正态分布的不等式，可以用来估计正态分布的参数范围。

9、施瓦茨不等式：这是一个关于向量内积的不等式，可以用来估计向量内积的范围。

10、赫尔德不等式：这是一个关于函数范数的不等式，可以用来估计
函数范数的范围。

这些不等式在数学分析和应用数学中都有广泛的应用，可以帮助我们更好地理解和处理各种数值关系和函数性质。

吴文俊的几个不等式

吴文俊的几个不等式引言吴文俊（1919年-2014年）是中国著名的数学家和科学家，被誉为中国现代数学的奠基人之一。

他在数学领域做出了许多重要贡献，其中包括一些著名的不等式。

本文将介绍吴文俊提出的几个重要不等式，并对其背景、内容和应用进行详细阐述。

1. 吴文俊不等式吴文俊不等式是吴文俊在1962年提出的一组重要不等式，它们被广泛应用于数学、物理和工程领域。

这些不等式在优化问题、泛函分析、非线性偏微分方程等方面具有重要意义。

1.1 不等式一第一个吴文俊不等式是关于函数的凸性质的一个刻画。

设f(x)是定义在[a,b]上的连续函数，如果对于任意x1,x2∈[a,b]及任意λ∈[0,1]都有：f(λx1+(1−λ)x2)≤λf(x1)+(1−λ)f(x2)则称f(x)为[a,b]上的凸函数。

1.2 不等式二第二个吴文俊不等式是关于矩阵特征值的一个重要结果。

设A为n×n的实对称矩阵，其特征值按非降序排列为λ1≤λ2≤...≤λn，则对于任意正整数k≤n，有：|λ1λ2...λk|≤|λ1||λ2|...|λk|1.3 不等式三第三个吴文俊不等式是关于泛函的一个重要结果。

设Ω为定义在区间[a,b]上的可微函数集合，如果对于任意f,g∈Ω都有：∫(f′(x))2 ba dx−∫(f(x)g(x))badx+∫(g′(x))2badx≥0则称该不等式为吴文俊不等式。

2. 吴文俊不等式的应用吴文俊提出的这些不等式在科学研究和工程实践中具有广泛应用。

2.1 凸函数在优化问题中的应用凸函数的性质在优化领域中具有重要作用。

通过利用吴文俊提出的凸函数判定条件，可以判断一个函数是否是凸函数。

在数学规划、最优化理论和算法中，凸函数的性质被广泛应用于求解各种优化问题，如线性规划、二次规划和非线性规划等。

2.2 矩阵特征值在物理和工程中的应用矩阵特征值在物理和工程领域中具有重要意义。

通过吴文俊提出的不等式，我们可以对实对称矩阵的特征值进行估计和分析。

数学分析中几个重要不等式的矩阵形式

数学分析中几个重要不等式的矩阵形式在数学分析中，不等式的矩阵形式是一种在线性代数中应用的重要技术，它可以很容易地解决诸如最大化，最小化以及两个变量之间的不等式约束等问题。

本文将介绍不等式的矩阵形式，回顾六个重要的不等式，以及它们在数学分析中的应用。

不等式的矩阵形式是一种在线性代数中的重要方法，它可以用来表示和解决一系列有约束的数学问题。

具体来说，不等式的矩阵形式可以用来定义一组约束条件，从而可以很容易地最大化或最小化一组变量。

此外，这种方法还可以用来处理约束的不等式问题，使得每个约束条件都得到满足。

六个重要的不等式包括：最小元素大于0；最大一阶导数不小于0；最小二阶导数大于0；势能不能为负；可分解能量理论；最大距离不大于最小距离。

接下来会讲解这六个重要的不等式在数学分析中的应用，以及每个不等式的具体矩阵形式。

首先，最小元素大于0即矩阵A的所有元素都大于0，即A>0。

这个不等式可以用来从线性方程组中求出唯一的解。

在数学分析中，当矩阵A的全部元素都大于零时，它就可以用来证明最优解的唯一性，这是线性规划中重要的定理。

其次，最大一阶导数不小于0即矩阵A的所有元素乘以变量x的一阶导数不小于0，即A*x≥0。

在数学分析中，当矩阵A的全部元素乘以变量x的一阶导数不小于零时，它就可以推断出函数在该点的极值是极大值，从而可以有效地求出最大值。

第三，最小二阶导数大于0即矩阵A的所有元素乘以变量x的二阶导数大于0，即A*x>0。

它是求函数的极小值时的重要不等式，当矩阵A的全部元素乘以变量x的二阶导数大于零时，可以推断出函数在该点是极小值，从而可以有效地求出最小值。

第四，势能不能为负即矩阵A的所有元素加上变量x的值大于0，即A+x≥0。

在数学分析中，势能是一种能量守恒的能量概念，它有许多应用，包括热力学、动力学和流体力学等。

当矩阵A的全部元素加上变量x的值大于零时，可以推断出势能必须大于零，从而确保守恒原理得到满足。

几个重要的不等式及应用

几个重要的不等式及应用在近几年的各类试题(包括高考题)中，涉及到“柯西不等式”、“琴生不等式”、“排序不等式”、“贝努利不等式”的试题屡见不鲜、形式多样.作为高中学生和教师，对上述几个不等式有必要去了解一些基本问题.为此，下面我们将重点介绍这几个不等式及其应用，以飨读者.【柯西不等式】柯西不等式是高中数学中的选修内容，也在近几年的各类试题中频频现身.其考查重点主要放在求最值和不等式等号成立条件的应用这两个方面.1.柯西不等式及其证明设有两组实数: n a a a ,,,21 ;n b b b ,,,21 .则有，222112n 22212n 2221)()b b )(b a a (a n n b a b a b a +++≥++++++ .(当且仅当nn b a b a b a === 2211时取等号).证明:令),,,(),,,,(2121n n b b b b a a a a ==,则由||||||⋅≥,可得: ||a 22112222122221n n n n b a b a b a b b b a a +++≥+++⋅+++ , 从而 222112n 22212n 2221)()b b )(b a a (a n n b a b a b a +++≥++++++ .当且仅当λ=,即nn b a b a b a === 2211时取等号.说明：柯西不等式的证明方法较多，比如可构造二次函数或方程证明之.上述证明是较简单的一种证法.2.柯西不等式的应用例1.求函数y=asinx+bcosx 的最值，其中a ，b 是常数.解：∵ 22222222(sin cos )()(sin cos )y a x b x a b x x a b =+≤++=+，∴ y函数sin cos y a x b x =+有最小值−√a 2+b 2，最大值√a 2+b 2.例2.证明点到直线的距离公式：已知点P(x ，y 0)及直线l ：Ax+By+C=0(A 2+B 2≠0)，设点P到l 的距离为d. 求证：d =证明：设P1x 1，y 1)是l 上的任意一点，∴ 110Ax By C ++=.而|1PP |1010()()A x x B y y ≥-+-1010Ax Ax By By =-+-1100()Ax By Ax By =+-+=|Ax 0+By 0+C|，即 √A 2+B 2|PP 1|≥|Ax 0+By 0+C|. ∴ |1PP | 当且仅当1010y y B x x A-=-即1PP l ⊥时取等号.故得到点到直线的距离公式：d例3.设a ，b ，c 均为正实数，且a+b+c=1. 求证:3100)1()1()a 1(a 222≥+++++c c b b .证明:∵ (12+12+12)[222)1()1()a 1(a c c b b +++++]≥2)111(c c b b a a +++++=2)1111(cb a +++.又∵ (a+b+c)·)111(c b a ++≥33313abc abc ⋅=9，101111≥+++⇒cb a .∴ 3[222)1()1()a 1(a cc b b +++++]≥102,故 3100)1()1()a 1(a 222≥+++++c c b b (当且仅当a=b=c=13时取等号).例4.设a ，b ，c 均为正实数，且a+b+c=1. 求证：.3222333c b a c b a ++≥++证明：∵ (a+b+c)(a 3+b 3+c 3)=⋅++])()()[(222c b a ⋅++])()()[(232323c b a2333])()()([c c b b a a ++≥=(a 2+b 2+c 2)2，又∵ a+b+c=1，∴(a 3+b 3+c 3)()2222a b c ≥++①.由于 2222222223()(111)()a b c a b c ++=++++1)(2=++≥c b a ，∴ (a 2+b 2+c 2)≥13②. 由①②知原不等式成立.当且仅当a=b=c ==13时等号成立.例5.设实数a ，b ，c ，d 满足：a+b+c+d=3，a 2+2b 2+3c 2+6d 2=5. 求实数a 的最值.解：∵ a+b+c+d=3，∴ b+c+d=3-a;；又∵a 2+2b 2+3c 2+6d 2=5，∴ 2b 2+3c 2+6d 2=5- a 2.由于[222)61()31()21(++][222)6()3()2(c c b ++]≥(b+c+d)2.即 2b 2+3c 2+6d 2≥(b+c+d)2，∴ 5- a 2≥(3-a)2,解得 1≤a≤2. 故a max =2； a min =1.想一想①1.设a ，b ，c ，x ，y ，z>0，且a 2+b 2+c 2=10，ax+by+cz=40，则 a+b+cx+y+z =( ). A.14. B. 13. C. 12.D. 34.2.设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2+y 2+z 2=1，x+2y+3z=√14，则x+y+z= .习题(1)1.设x ，y ，z ∈R +，证明：cb a ac c b b a 111222++≥++.2.已知x+2y+3z=12，求证：x 2+2y 2+3z 2≥24.3.设a ，b ，x 1，x 2∈R 且a+b=1,求证：(ax 1+bx 2)(bx 1+ax 2)≥x 1x 2.4.已知a ，b ，c ∈R ，且a+b+c=1，求141414+++++c b a 的最大值.5.设三角形ABC 的外接圆的半径为R ，求证：(a 2+b 2+c 2)(CB A 222sin 1sin 1sin 1++)≥36R 2.6.设1,1=∈∑==+ni i i i a R a . 求证:n n a a ni i i i 2221)1()1(+≥+∑==. 7.已知a 、b 、c ∈R +，求证：23≥+++++b a c c a b c b a .8.求证：222a b c a b c b c a c a b a b c ++≥+++-+-+-，其中a ，b ，c 为∆ABC 三边.9.已知椭圆22221(0),(,),(,)x y a b P x y Q x y a b''+=>>是椭圆上异于顶点的两点，有下列四个不等式①222()a b x y +≥+；②2221111()x y a b +≥+；③224x b a y ⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；④221xx yy a b ''+≤. 其中不等式恒成立的序号是 .(填所有正确命题的序号).【排序不等式】排序不等式也是高中阶段的选修内容之一.对于此部分内容，要求我们对此有所了解，不作过高要求，能处理一些简单、基本的问题即可.1.排序不等式及其证明：设有两个有序数组n a a a ≤≤≤ 21及.21n b b b ≤≤≤ 则n n b a b a b a +++ 2211(同序)1212n j j n j a b a b a b ≥+++(乱序)1121b a b a b a n n n +++≥- (反序).其中n j j j ,,,21 是1，2，…，n 的任一排列. 当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时等号(对任一排列n j j j ,,,21 )成立.证明：(调整法)考察1212k n j j k j n j a b a b a b a b +++++，若nj n b b ≠则存在，(11)k j b k n ≤≤-，使得k j n b b =，将n j b 与k j b 互换，调整后的和与调整前的和作差，()()()k n n k k n n k n j k j n j k j n j n j k j k j a b a b a b a b a b a b a b a b +-+=-+-()()()()0k n n n k j j n k n j a a b b a a b b =--=--≥.所以调整后，和是不减的，接下来若11n j n b b --≠，则继续同样的调整至多经1n -次调整就可将乱序和调整为同序和，而且每次调整后和是不减的，这说明同序和大于等于乱序和，同理可证乱序和大于等于反序和.2.排序不等式的应用例6.应用排序不等式证明切比雪夫不等式：若n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21，则11221212.n n n na b a b a b a a a b b b n n n+++++++++≥⋅证明:∵ 同序和≥乱序和≥反序和，固定12,,,n a a a 的位置，让12,,,n b b b 进行轮换，轮换一周，恰好轮换1n -次，共得以下n 个式子112211112211n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b ----++++≥++++，112211121121n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b -----++++≥++++， 112211112132n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b ------++++≥++++， 1122111221143n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b -------++++≥++++，……………………………………………………112211122311n n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b ---++++≥++++，将以上n 个式子相加得，11221212()()()n n n n n a b a b a b a a a b b b +++≥++++++，即11221212.n nn na b a b a b a a a b b b nn n+++++++++≥⋅例7.设a ，b ，c 是三角形的三边长，且满足a+b+c=2p (定值).试求 f=a nb+c+b n c+a+c na+b ()n N +∈的最小值. 解：不妨设0a b c ≥≥>，则0n n n a b c ≥≥>，1110b c c a a b≥≥>+++. 由切比雪夫不等式 n n n a b c f b c c a a b =+++++()11113n n n a b c b c c a a b ⎛⎫≥++++ ⎪+++⎝⎭，由幂平均不等式有a n +b n +c n 3≥(a+b+c 3)n = (2p3)n ，又由柯西不等式有1b+c +1c+a +1a+b≥9(b+c )+(c+a )+(a+b)=94p ，于是f ≥(2p3)n ×94p =(23)n−2×p n -1，当且仅当a=b=c 时，等号成立. ∴ f min =(23)n−2×p n -1 .例8.设a 1，a 2，⋯，a n 是n 个互不相同的正整数，求证：1+12+13+⋯+1n ≤a 1+a 222+a 332+⋯+a nn2.证明：设b 1，b 2，⋯，b n ，是a 1，a 2，⋯，a n 的一个排列，且b 1<b 2<⋯<b n ，则，b 1≥1，b 2≥2，⋯，b n ≥n ，又1≥12≥13≥⋯≥1n ，由排序不等式得，a 1+a 222+a 332+⋯+a n n 2≥b 1+b 222+b 32+⋯+b nn 2≥⋯≥ 1+12+13+⋯+1n .例9.在∆ABC 中，证明：π3≤aA+bB+cC a+b+c <π2.证明：不妨设a ≤b ≤c ，则A ≤B ≤C ，由排序不等式得，aA +bB +cC ≥aA +bB +cC ， aA +bB +cC ≥bA +cB +aC ， aA +bB +cC ≥cA +aB +bC ，相加得 3(aA +bB +cC)≥(a+b+c)((A+B+C)，∴aA+bB+cC a+b+c≥π3.①又由a+b>c ，b+c>a ，c+a>b ，得0<A(b+c -a)+B(c+a -b)+C(a+b -c) =a(π−2A )+ b(π−2B )+c(π−2C)=(a+b+c) π−2(aA +bB +cC )， ∴aA+bB+cC a+b+c<π2.② 综合①②知π3≤aA+bB+cC a+b+c<π2.想一想②:对任意实数a ，b ，c.求证：a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ac.你能给出多少种不同的方式，就尽情地给吧.习题(2)1.(清华自招理)(1)x ，y 为正实数，且x+y=1.求证：对于任意正整数n ，x n +y n ≥12.(2)a ，b ，c 为正实数，求证：a x+b y+c z≥3，其中x ，y ，z 为a ，b ，c 的一种排列. 2.设a ，b ，c 为2，3，5的任一个排列，n ∈N +.证明:a n+12n +b n+13n+c n+15n≥103.已知a ，b ，c 为正数，a ≥b ≥c ，求证(1) 1bc ≥1ca ≥1ab ； (2)a 5b 3c 3+b 5c 3a 3+c 5a 3b 3≥1a +1b +1c .【琴生不等式与函数的凸凹性】琴生不等式与函数的凸凹性之间关系密切.中学阶段的许多初等函数如二次函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数都与函数的凸凹性有密切关联.而且，琴生不等式的应用在各类试题中层出不穷、变化很多.因此，适当地了解和应用与琴生不等式的相关知识，来处理相关问题，就显得十分必要了.1.凸函数的定义.设定义在[a ，b]上的连续函数f(x)，对于[a ，b]上任意两点x 1，x 2，都有f(x 1+x 22)≤f (x 1)+f(x 2)2，则称f(x)为[a ，b]上的下凸(凸)函数；反之，若有f(x 1+x22)≥f (x 1)+f(x 2)2，则称f(x)为[a ，b]上的上凸(凹)函数.2.琴生(Jensen)不等式.若f(x)是[a ，b]上的下凸(凸)函数，则f(x 1+x 2+⋯+x nn)≤f (x 1)+f (x 2)+⋯+f (x n )n.3.琴生(Jensen)不等式证明1)n=2时，由下凸(凸)函数性质知结论成立. 2)假设n=k 时命题成立，即f(x 1+x 2+⋯+x kk)≤f (x 1)+f (x 2)+⋯+f (x k )k.那么当n=k+1时，设A k+1= x 1+x 2+⋯+x k+1k+1，f(A k+1)=f((k+1)A k+1+(k−1)A k+12k)=f(x 1+x 2+⋯+x k k +x k+1+(k−1)A k+1k2)≤12[f(A k )+f(x k+1+(k−1)A k+1k)]≤12[f (x 1)+f (x 2)+⋯+f (x k )k+f(x k+1)+(k−1)f(A k+1)k]所以2k f(A k+1) ≤f (x 1)+f (x 2)+⋯+f (x k )+f(x k+1)+(k −1)f(A k+1)即(k+1) f(A k+1) ≤f (x 1)+f (x 2)++f (x k )+f(x k+1)，得证.4.加权平均琴生(Jensen)不等式若f(x)是[a ，b]上的下凸(凸)函数，且∑λi n i=1=1，λi >0 则f(∑λi x i n i=1)≤∑λi f(x i ni=1). 5.曲线凸性的充分条件：设函数f(x)在开区间I 内具有二阶导数.(1)如果对任意x∈I ，f ′′(x )>0，则曲线y=f(x)在I 内是下凸的； (2)如果对任意x∈I ，f ′′(x )<0，则y=f(x)在I 内是上凸的. 6.琴生不等式的应用例10.设x i >0(i=1，2，3，⋯，n )，∑x i n i=1=1，求证：1√1−x +2√1−x ⋯n√1−x ≥√x 1+√x 2+⋯+√x n√n−1.证明:设函数f(x)=√1−x，则f ′(x )=2−x 2(1−x)32，f′′(x )=(1−x)32+3(1−x)124(1−x)3>0所以f(x)在(0，1)内下凸，则有，1n (1√1−x 2√1−x +⋯n √1−x )≥x 1+x 2+⋯+x kn√1−12k n，1√1−x 2√1−x ⋯+n √1−x ≥√n√n−1. 又由√x 1+√x 2+⋯+√x nn ≤√x 1+x 2+⋯+x kn于是 √n ≥√x 1+√x 2+⋯+√x n ，故.11−x 21−x +⋯+n1−x ≥√x 1+√x 2+⋯+√x n√n−1.例11.已知a ，b ，c>0，且a+b+c=1，求证：√a 1−a b 1−b c 1−c ≤13. 证明: ∵ln √a 1−a b 1−b c 1−c =12(1-a)lna+12(1-b)lnb+12(1-c)lnc ，又∵ f(x)=lnx 在(0，+∞)上是上凸函数，且12(1-a)+12(1-b)+12(1-c)=1. 由加权平均琴生不等式，得 12(1-a)lna+12(1-b)lnb+12(1-c)lnc ≤ln [12(1−a)a +12(1−b)b +12(1−c)c] =ln[12-12(a 2+b 2+c 2)]. 而a+b+c 3≤√a 2+b 2+c 23，∴ a 2+b 2+c 2≥13，-12(a 2+b 2+c 2) ≤−16，⇒12-12(a 2+b 2+c 2) ≤12−16=13，ln[12-12(a 2+b 2+c 2)]. 而 ⇒ ln[12-12(a 2+b 2+c 2)] ≤ln 13，即ln √a 1−a b 1−b c 1−c ≤ln 13，故√1−a b 1−b c 1−c≤13.例12.应用琴生(Jensen)不等式证明幂平均不等式：若α>β ，且α≠0，β≠0，x i >0，则(∑x iαn i=1n)1α≥(∑x iβn i=1n)1β.分析:∵(∑x iαn i=1n)1α≥(∑x iβn i=1n)1β⇔∑x iαn i=1n≥(∑x iβn i=1n)αβ⇔∑(x i β)αβn i=1n≥(∑x iβn i=1n)αβ，因此，可构造f(x)=x αβ来处理.证明：当α>β>0时，∵ f(x)=x αβ为下凸函数， ∴ (x 1+x 2+⋯+x nn)αβ≤x 1αβ+x 2αβ+⋯+x nαβn，⇒(x 1+x 2+⋯+x nn)1β≤(x 1αβ+x 2αβ+⋯+x n αβn)1α.在上式的两边用x i β代替x i ，可得，(∑x iαn i=1n)1α≥(∑x iβn i=1n)1β.又当α>0>β和0>α>β时，类似地可得同样的结论. ∴ 若α>β ，且α≠0，β≠0，x i >0，则(∑x iαn i=1n)1α≥(∑x iβn i=1n)1β.说明：(∑x iαn i=1n )1α≥(∑x iβn i=1n)1β两边同形，把x i β看成x i 是关键.由幂平均不等式还可得，√a 3+b 3+c 333≥√a 2+b 2+c 23(三个正数的立方平均数不小于三个正数的平方平均数).想一想③:1.设x 1，x 2，⋯，x n 是正实数，求证：√x 1x 2⋯x n n ≤x 1+x 2+⋯+x nn.2.设x 1，x 2，⋯，x n ∈(0，π)，则有：sin x 1sinx 2⋯sinx n ≤sin nx 1+x 2+⋯+x nn.习题 (3)1.在圆内接边形中，试证明正边形的面积最大.2.设m ≥2是实数，则在∆ABC 中，有tan A m +tan B m +tan C m ≥3tan π3m . 3.设a>0，b>0，且a+b=1，求证：√1+a 2+√1+b 2≥√5.. 4.已知函数g(x)=xlnx ，0<a<b ，证明：g(a)+g(b)>2g(a+b 2).5.若x i ≥0，且x 1+x 2+⋯+x n =100，求证：10≤√x 1+√x 2+⋯+√x n ≤10√n .6.已知x ≥3.(1)当0<t<1时，有不等式x t -(x -1)t <(x -2)t -(x -3)t . (2)当t>1时，有不等式x t -(x -1)t >(x -2)t -(x -3)t .7.设P 是∆ABC 内一点，求证：∠PAB ，∠PBC ，∠PCA 中至少有一个小于或等于300.8.设0<x i <π(i=1，2，⋯，n)，且x=x 1+x 2+⋯+x n n .证明：∏sinx i x i≤|sinx x|nn i=1. n n【贝努利不等式】1.贝努利不等式及其证明对任意整数n≥0和任意实数x≥-1，有(1+x)n ≥1+nx 成立.如果n≥0是偶数，则不等式对任意实数x 成立.在n = 0，1或x = 0时等号成立，而对任意正整数n≥2 和任意实数x≥-1，x≠0，有严格不等式：(1+x)n>1+nx.贝努利不等式经常用来辅助证明其它不等式. 证法1：(数学归纳法).(1)当n=1时，不等式显然成立.当n=2时，(1+x)2=1+2x+x 2≥1+2x..(2)假设n=k(k≥2)时不等式成立，即 (1+x)k >1+kx.当n=k+1时，(1+x)k+1=(1+x)k (1+x)>(1+kx)(1+x)=1+x+kx+kx 2>1+(k+1)x ，即当n=k+1时不等式也成立. 综上可知贝努利不等式成立证法2：联想到x n -y n =(x -y)(x n -1+x n -2y+x n -3y 2+⋯+xy n -2+y n -1)，∴ (1+x)n -1=x[(1+x)n -1+(1+x)n -2+⋯+1]. 当x>0时，(1+x)k >1，∴ x[(1+x)n -1+(1+x)n -2+⋯+1]>nx ，即 (1+x)n -1>nx ，∴ (1+x)n >1+nx.当-1<x<0时，有0<(1+x)k <1，可得 (1+x)n -1+(1+x)n -2+…+(1+x)+1<n ， ∴ x[(1+x)n -1+(1+x)n -2+⋯+1]>nx ，即 (1+x)n -1>nx ，∴ (1+x)n >1+nx. 证法3：当1+nx ≤0时，∵ (1+x)n >0，∴(1+x)n >1+nx ①当1+nx >0时，由(1+nx)∙1∙1∙⋯∙1⏟ n−1个<[1+nx+(n−1)n]n=(1+x)n ②由①②知，原不等式成立.证法4：欲证原不等式，只需要证1+nx (1+x)n <1即可. 设a n =1+nx(1+x)n ，∵ a n+1-a n =1+(n+1)x (1+x)n+1−1+nx (1+x)n=1+(n+1)x−(1+nx )(1+x)(1+x)n+1=−nx 2(1+x)n+1<0，∴ {a n }为单减数列，故a n <a 1=1. 故原不等式成立. 2.贝努利不等式推广到实数幂形式：若r ≤0或r ≥ 1，有(1+x)r ≥ 1 + rx ；若0 ≤ r ≤ 1，有(1+x)r ≤ 1 + rx . 这个不等式可以直接通过导数进行证明，过程如下：证明：如果r=0，1，则结论是显然的.如果r≠0，1，作辅助函数f(x)=(1+x)r -(1+rx)，那么f ′(x)=r(1+x)r-1-r ，则f ′(x)=0等价于x=0.下面分情况讨论：(1)0<r<1，则对于x>0，f ′(x) <0. 对于− 1<x<0， f ′(x)>0. 因此f(x)在x = 0处取最大值0，故得(1+x)r ≤1+rx.(2) r<0或r>1，则对于x>0， f ′(x) >0.对于− 1<x<0， f ′(x)< 0. 因此f(x)在x = 0处取最小值0，故得(1+x)r ≥1+rx.证毕.3.贝努利不等式的应用例15.已知p 和q 是两个不相等的正整数，若q≥2，则lim n→∞(1+1n )p −1(1+1n )q −1=( ).A.0.B.1.C.pq.D. p−1q−1.解：根据贝努利不等式可知当x →0时，(1+x)m =1+mx ，故对于此题有当n →∞有(1+1n )p =1+p n ，(1+1n )q =1+q n ，∴lim n→∞(1+1n )p −1(1+1n)q −1 =lim n→∞1+pn−11+q n−1=p q 故应选C.例16.已知m ，n 为正整数，(1)用数学归纳法证明：当x>-1时，(1+x)m ≥1+mx.(2)对于n≥6，m≤n.已知(1−1n+3)n <12.求证(1−m n+3)n <(12)m，m=1，2，3，…. (3)求出满足等式3n +4n + ⋯ +(n+2)n =(n+3)n 的所有正整数n ．证明:(1)(数学归纳法).(i)当m=1时，原不等式成立；当m=2时，左边=1+2x+x 2，右边=1+2x ，因为x 2 ≥0，所以左边≥右边，原不等式成立.(ⅱ)假设当m=k 时，不等式成立，即(1+x)k ≥1+kx ，则当m=k+1时， ∵ x>-1，∴ 1+x>0，于是在不等式(1+x)k ≥1+kx 两边同乘以1+x 得，(1+x)k+1=(1+x)k (1+x)>(1+kx)(1+x)=1+x+kx+kx 2>1+(k+1)x ，即当m=k+1时，不等式也成立．综合(i )(ⅱ)知，对一切正整数m ，不等式都成立．证明:(2)当n ≥6，m ≤n 时，由(1)得(1−1n+3)m ≥1−m n+3>0，于是，(1−m n+3)n≤(1−1n+3)mn =[(1−1n+3)n ]m <(12)m，m=1，2，⋯，n.解：(3)由(2)知，当n ≥6时，(1−1n+3)n +(1−2n+3)n +(1−3n+3)n +⋯+(1−n n+3)n <12+(12)2+(12)3+⋯+(12)n=1-(12)n <1，∴ (n+2n+3)n + (n+1n+3)n +⋯+ (3n+3)n<1，即 3n +4n +⋯+(n+2)n <(n+3)n . ∴当n ≥6时，不存在满足该等式的正整数n ．故只需要讨论n=1，2,3,4,5的情形：当n=1时，3≠4，等式不成立.当n=2时，32+44=52，等式成立. 当n=3时，32+44+52=63，等式成立；当n=4时，32+44+52+62为偶数，而74为奇数，故等式不成立.当n=5时，同n=4的情形可分析出，等式不成立．综上，所求的只有n=2，3.例17.设函数f(x)=(1+1n )x . (1) 当x =6时，(1+1n )x 求的展开式中二项式系数最大的项.(2)对任意的实数x ，证明f (2x )+f(2)2>f ′(x)( 其中f ′(x )为f (x )的导数)；解:(1)展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是C 6315(1n)3=20n 3.(2)∵ f(2x)+f(2)= (1+1n )2x +(1+1n )2≥2√(1+1n )2x∙(1+1n )2=2(1+1n )x∙(1+1n )>2(1+1n )x>2(1+1n )x∙ln (1+12)≥2(1+1n )x∙ln (1+1n)=2f ′(x).想一想④：1.已知m ，n 是正整数，且1<m <n.. 求证：(1+m)n >(1+n)m .2.设n ∈N +，n >1， t>0，则有 t n ≥nt −n +1.习题 (4)1.设a ，λ>0，n ∈N +，n>1，则a n ≥n λn -1a -(n -1) λn .2.设a ，b>0，n ∈N +，n>1，则a nb ≥na -(n -1)b.3.设a ，b 是两个不等正数，求证：a a b b >(a+b 2)a+b. 4.设α，β，γ均为锐角，且sin 2α+ sin 2β+ sin 2γ=1. 求证：sin 3α+ sin 3β+ sin 3γ≥√33.【参考答案】想一想①1.C.由柯西不等式知(x 2+y 2+z 2)(a 2+b 2+c 2)≥(ax+by+cz)2，由已知应求等号成立的条件，即 x a =y b =zc =k 代入条件式的前两个中有，k 2(a 2+b 2+c 2)=40，∴ k 2=4，k=2，故应选C.2.由柯西不等式知(12+22+32)(x 2+y 2+z 2) )≥(x+2y+3z)2，结合已知条件得x1=y2=z3，从而解得 x1=y2=z3=√1414，x+y+z=3√147. 习题 (1)1.利用[(a )2+(√b)2+(c )2][ (√ab )2+(√bc )2+(√ca )2]≥(1a +1b +1c )2.2.利用[12+(√2)2+(√3)2][x 2+(√2y )2+(√3z )2] ≥(x+2y+3z)2. 3.利用[√ax 1)2+(√bx 2)2][ (√ax 2)2+(√bx 1)2] ≥[(a+b)√x 1x 2]2=x 1x 2.3.利用(12+12+12)[ (√4a +1)2+(√4b +1)2+(√4c +1)2] ≥(√4a +1+√4b +1+√4c +1)2. 5.利用正弦定理将a 2+b 2+c 2换成4R 2(sin 2A+sin 2B+ sin 2C). 6.仿例3.7.左边=(ab+c +1)+(ba+c +1)+(ca+b +1)−3=(a+b+c)( 1b+c +1a+c +1a+b ) ≥92−3=32. 8.利用[(b+c -a)+(c+a -b)+(a+b -c)](a 2b+c−a+b 2c+a−b+c 2a+b−c) ≥(a+b+c)2.9.都正确.其中①②④由柯西不等式可得. ③可由二元均值不等式得出.想一想②:法1.求差配方.法2.利用二元均值不等式. 法3.利用柯西不等式. 法4.利用排序不等式.法5.构造函数f(a)=a 2-(b+c)a+b 2+c 2-bc ，考查其判别式∆=(b+c)2-4(b 2+c 2-bc)= -3(b -c)2≤0，∴ f(a )≥0恒成立.即可得原不等式成立.法6.构造函数f(x)=(a 2+b 2+c 2)x 2-2(ab+bc+ac)x+(a 2+b 2+c 2)=(ax-b)2+(bx-c)2+(cx-d)2≥0恒成立，∴ 由判别式∆≤0可得不等式成立.习题 (2)1. (1)法1：设x= 12+α，则y=12−α，其中α≥0.于是x n +y n =( 12+α)n +(12−α)n =2[(12)n +C n 2(12)n -2α2+C n 4(12)n -4α4+⋯+1≥2×(12)n =(12)n -1.法2：当n=1时，x n +y n =1≥(12)n -1成立. 当n ≥2时，显然函数f(x)=x n 在(0，+∞)上是下凸函数，∴f(x)+f(y)≥2f(x+y 2)= (12)n -1成立.(2)不妨设a ≥b ≥c ，则1a ≤1b ≤1c，且{1a ，1b ，1c }={1x ，1y ，1z }，由排序不等式ax +by +cz ≥ aa +bb +cc =3.2.a n+1，b n+1，c n+1，从小到大的顺序是2n+1<3n+1<5n+1.,而12n >13n >15n .所以a n+12n+b n+13n +c n+15n≥12n ∙2n+1+13n ∙3n+1+15n ∙5n+1=2+3+5=10.3.证明：(1)∵ abc>0，a ≥b ≥c 同除以abc ，∴ 1bc ≥1ac ≥1ab ，(2)由(1)1bc≥1ac≥1ab，于是由顺序和乱序和得a 5b 3c 3+b 5c 3a 3+c 5a 3b 3≥b 5b 3c 3+c 5c 3a 3+a 5a 3b 3=b 2c 3+c 2a 3+a 2b 3≥c 2c 3+a 2a 3+b 2b 3=1a +1b +1c .想一想③:1.证明：∵ f(x)=lgx 在(0，+∞)是上凸函数，由琴生不等式得，1n (lgx 1+lgx 2+⋯+lgx n )≤lg (x 1+x 2+⋯+x nn)，⇒lg(x 1x 2⋯x n )1n≤lg (x 1+x 2+⋯+x nn)，又∵ lgx 在R +上是增函数，∴ (x 1x 2⋯x n )1n≤x 1+x 2+⋯+x nn.2. ∵ x 1，x 2，⋯，x n ∈(0，π)，∴ sinx i >0. ∵ g(x)=sinx 在(0，π)上是凸函数，∴ sin x 1+sinx 2+⋯+sinxn n≤sin x 1+x 2+⋯+xnn ①. 又 ∵ f(x)=lgx 在(0，+∞)是上凸函数，由琴生不等式得，∴1n(lgsinx 1+lgsinx 2+⋯+lgsinx n )≤lg (sinx 1+sinx 2+⋯+sinx nn)②.由①②得，1n (lgsinx 1+lgsinx 2+⋯+lgsinx n )≤lgsin x 1+x 2+⋯+x nn可得 sin x 1sinx 2⋯sinx n ≤sin nx 1+x 2+⋯+x nn.习题 (3)1.设圆半径为r ，内接正n 边形的面积为S ，各边所对圆心角分别为θ1，θ2，⋯，θnS=12r 2(sinθ1+sin θ2+⋯+sin θn ). 函数f(x)=sinx 在(0，π)上是上凸函数(∵ f ′′(x )=−sinx <0)，∴sin θ1+sinθ2+⋯+sinθnn≤sinθ1+θ2+⋯+θnn故S=12r 2(sinθ1+sin θ2+⋯+sin θn )≤12r 2nsin 2πn. 当θ1=θ2=⋯=θn =2πn时，正n 边形的面积最大，最大值为12r 2nsin 2πn . 2.当m ≥2时，∵ f′′(x )=2sin xm m 2cos3x m>0，∴ f(x)=tan xm 在(0，π)上是下凸函数.∴ tan Am +tan Bm +tan Cm ≥3tanA m +B m +C m3≥3tan π3m .3.∵ f(x)=√1+x 2的图像是等轴双曲线y 2-x 2=1的上支，在区间R 上是下凸函数， ∴f (a )+f(b)2≥f(a+b 2)=f(12)=√52，故√1+a 2+√1+b 2≥√5.4.∵ g ′(x )=lnx +1，g ′′(x )=1x >0，∴ g(x)=xlnx 在(0，+∞)上是下凸函数，故原不等式成立.. 5.由y √x 为上凸函数，有√x 1+√x 1+⋯+√x nn≤√x 1+x 2+⋯+x n n=10√n ，∴ √x 1+√x 1+⋯+√x n ≤10√n .∵ (√x 1+√x 1+⋯+√x n )2=x 1+x 2+⋯+x n +2(√x 1x 2+√x 1x 3+⋯+√x n−1x n ) ≥x 1+x 2+⋯+x n =100，∴ √x 1+√x 1+⋯+√x n ≥10，故原不等式成立.. 6.设f(x)=x t ，则 f ′(x )=tx t−1，f ′′(x )=t(t −1)x t−2则，(1)当0<t<1时，f ′′(x )=t(t −1)x t−2<0，f(x)=x t 在(0，+∞)上是上凸函数， ∴f (x )+f(x−2)2<f (x+x−22)=f(x −1).(因为，所以等号不能取).∴ f(x)-f(x -1)< f(x -1) -f(x -2)，递推得f(x -1)-f(x -2)< f(x -2) -f(x -3)，从而有f(x)-f(x -1)< f(x -2) -f(x -3)，故x t -(x -1)t <(x -2)t -(x -3)t .(2)当t>1时，f ′′(x )=t(t −1)x t−2>0，f(x)=x t 在(0，+∞)上是下凸函数，类似(1)可证x t -(x -1)t >(x -2)t -(x -3)t .7.如图，引进α，β，γ和α′，β′，γ′，由正弦定理，PB sinα=PA sinβ′，PC sinβ=PB sinγ′，PC sinα′=PAsinγ， ∴ sinαsinβsinγ= sinα′sinβ′sinγ′.设 f(x)=lnsinx ，则f ′(x )=cosx sinx ，f ′′(x )=−1sin 2x <0，∴ f(x)在(0，π)上是上凸函数∵ ln(sinαsinβsinγ)2=ln(sinαsinβsinγsinα′sinβ′sinγ′)=ln sinα+lnsinβ+lnsinγ+lnsinα′+lnsinβ′+lnsinγ′ ≤6lnsinα+β+γ+α′+γ′6=6ln 12=ln (12)6，∴ sinαsinβsinγ≤(12)3，于是sinα，sinβ，sinγ中必有一个不大于12，不妨设sinα≤12，当α≤300时命题成立；2x x ≠-11当α≥1500时，必有β′≤300，命题也成立.8.由0<x i <π(i=1，2，⋯，n)，得x=x 1+x 2+⋯+x n n ∈(0，π)，∴ |sinx x |=sinx x .设f(x)=ln sinx x ，x ∈(0，π)，则f(x)=lnsinx -lnx ，f′′(x )=sin 2x−x 2x 2sin 2x <0，可得y=f(x)在(0，π)时上是上凸函数，∴ f (x 1)+f (x 2)+⋯+f (x n )n ≤f(x 1+x 2+⋯+x n n )，即f (x 1)+f (x 2)+⋯+f (x n )≤n f(x)，∴∏sinx ix i ≤|sinx x|n n i=1. 想一想④：1.∵ 1<m<n ，n m >1 .由贝努利不等式(1+m )n m >1+n m ×m =1+n ，∴ (1+m)n >(1+n)m . 2由t n =[1+(1-t)]n ，利用贝努利不等式即可证. 习题 (4)1.∵ a n =λn (a λ)n ，由贝努利不等式可得，a n =λn (a λ)n =λn [1+(a λ)-1]n ≥λn [1+n(a λ−1]=n aλn -1-(n -1) λn . 2.由 a nb n−1=b(a b )n =b[1+(a b −1)]n ，再利用贝努利不等式可得. 3.∵ (2a a+b )a b +1= [1+(2a a+b −1)]a b +1>1+(a b +1) (2a a+b −1)= a b ， ∴ (2a a+b )a >(a b )ab a+b ①. 同理可得： (2b a+b )b >(b a )ab a+b ②.由①②可得， (2a a+b )a (2b a+b )b >1，∴ 原不等式成立. 4.由想一想④第2题的结论得(√33sinα)3≥3(√33sinα−1)+1，即 2sin 3α≥√3sin 2α−√39，同理2sin 3β≥√3sin 2β−√39，2sin 3γ≥√3sin 2γ−√39，三式相加得， 2(sin 3α+ sin 3β+sin 3γ) ≥√3(√3sin 2α+√3sin 2β+ sin 2γ) −√39×3=2√33 ∴ 原不等式成立.。

4个重要不等式

4个重要不等式
在数学中，不等式是一个重要的概念，它描述了数值的大小关系。

不等式在解决实际问题和证明数学定理时都发挥着重要的作用。

今天我将向大家介绍四个重要的不等式。

首先是“算术平均数-几何平均数不等式”，也被称为AM-GM不等式。

这个不等式告诉我们，对于任意一组非负实数，它们的算术平均数不小于它们的几何平均数。

这个不等式在解决各种优化问题、证明不等式以及概率论中都有着广泛的应用。

接下来是“柯西-施瓦茨不等式”，它描述了内积空间中两个向量之间的关系。

柯西-施瓦茨不等式告诉我们，对于任意两个向量a和b，它们的内积的绝对值不大于它们的模的乘积。

这个不等式在线性代数、概率论、信号处理等领域中都有着广泛的应用。

第三个不等式是“三角不等式”。

三角不等式告诉我们，对于任意两个实数a和b，它们的绝对值之和不小于它们的差的绝对值。

这
个不等式在几何学、函数分析以及各种优化问题的求解中都有着重要的作用。

最后一个不等式是“切比雪夫不等式”，它描述了一组随机变量的概率分布与其期望值之间的关系。

切比雪夫不等式告诉我们，对于任意一个非负随机变量，其概率落在它的期望值加减标准差的k倍范围内的概率至少为1-1/k^2。

这个不等式在概率论、统计学以及各种实际问题中都有着广泛的应用。

这四个不等式都是数学中非常重要的工具，它们在解决实际问题、证明数学定理以及推导其他重要不等式时发挥着重要的作用。

掌握这些不等式，不仅可以帮助我们更好地理解数学，还可以应用到各种学科和领域中。

因此，我们应该认真学习和掌握这些重要的不等式，以提升我们的数学水平和解决问题的能力。

高数里常用不等式

高数里常用不等式高等数学中常用的不等式有很多，它们在数学推导和证明中起着重要的作用。

在本文中，我们将介绍几个常见的不等式，并简要解释它们的应用。

一、柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是高等数学中最常用的不等式之一。

它可以用于证明两个向量的内积的绝对值不大于这两个向量的模的乘积。

具体地说，对于任意的实数a1、a2、...、an和b1、b2、...、bn，都有：|a1b1 + a2b2 + ... + anbn| ≤ √(a1^2 + a2^2 + ... + an^2) √(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2)柯西-施瓦茨不等式在向量计算、概率论、信号处理等领域都有广泛的应用。

例如，在信号处理中，可以利用柯西-施瓦茨不等式来证明信号的相关性和功率谱密度之间的关系。

二、三角函数的不等式在高等数学中，我们经常会遇到三角函数的不等式。

其中，最常见的是正弦函数和余弦函数的不等式。

对于任意的实数x，都有以下不等式成立：-1 ≤ sin(x) ≤ 1-1 ≤ cos(x) ≤ 1这些不等式在解析几何、微积分和物理学等领域经常被使用。

例如，在解析几何中，我们可以利用正弦函数和余弦函数的不等式来证明三角形的性质。

三、均值不等式均值不等式是数学分析中常用的一类不等式，它们可以用于证明一组数的平均值与它们的其他性质之间的关系。

常见的均值不等式有算术平均-几何平均不等式、几何平均-调和平均不等式和算术平均-调和平均不等式等。

以算术平均-几何平均不等式为例，对于任意的正数a1、a2、...、an，都有：(a1 + a2 + ... + an)/n ≥ √(a1a2...an)这个不等式在数列极限、数论和凸函数等领域都有广泛的应用。

例如，在数列极限中，我们可以利用算术平均-几何平均不等式来证明某些数列的收敛性。

四、泰勒不等式泰勒不等式是高等数学中与泰勒级数相关的一个不等式。

它可以用于估计函数在某个点附近的误差。

基本不等式及其应用

根本不等式及其应用1．ab ≤a ＋b2(1)根本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0； (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )； (2)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数(1)设a ≥0，b ≥0，那么a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab .(2)根本不等式可表达为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以表达为两个正数的等差中项不小于它们正的等比中项．4．利用根本不等式求最值问题 x >0，y >0，那么(1)假设x ＋y ＝s (和为定值)，那么当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24； (2)假设xy ＝p (积为定值)，那么当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p .选择题：设x >0，y >0，且x ＋y ＝18，那么xy 的最大值为( )A ．80B ．77C ．81D ．82解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y 2≥xy ，即xy ≤(x ＋y2)2＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，(xy )max ＝81假设正数x ，y 满足4x 2＋9y 2＋3xy ＝30，那么xy 的最大值是( ) A.43 B.53 C ．2 D.54解析由x ＞0，y ＞0，得4x 2＋9y 2＋3xy ≥2·(2x )·(3y )＋3xy (当且仅当2x ＝3y 时等号成立)，∴12xy ＋3xy ≤30，即xy ≤2，∴xy 的最大值为2假设2x ＋2y ＝1，那么x ＋y 的取值范围是( )A ．[0,2]B ．[－2,0]C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2] 解析 22x ＋y ≤2x ＋2y ＝1，∴2x ＋y ≤14，即2x ＋y ≤2－2，∴x ＋y ≤－2假设实数x ，y 满足xy >0，那么x x ＋y ＋2yx ＋2y的最大值为( ) A ．2－ 2 B ．2＋ 2 C ．4＋2 2 D ．4－2 2 解析x x ＋y＋2y x ＋2y＝x (x ＋2y )＋2y (x ＋y )(x ＋y )(x ＋2y )＝x 2＋4xy ＋2y 2x 2＋3xy ＋2y 2＝1＋xy x 2＋3xy ＋2y 2＝1＋1xy ＋3＋2y x≤1＋13＋2＝4－22，当且仅当x y ＝2yx ，即x 2＝2y 2时取等号假设函数()f x ＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，那么a 等于( ) A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 解析当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2(x －2)×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，假设1x ＋m y (m >0)的最小值为3，那么m 等于( ) A ．2 B ．2 2 C ．3 D ．4解析由2x －3＝(12)y 得x ＋y ＝3，1x ＋m y ＝13(x ＋y )(1x ＋m y )＝13(1＋m ＋y x ＋mx y )≥13(1＋m ＋2m )，(当且仅当y x ＝mx y 时取等号)，∴13(1＋m ＋2m )＝3，解得m ＝4直线ax ＋by ＋c －1＝0(b ，c >0)经过圆x 2＋y 2－2y －5＝0的圆心，那么4b ＋1c 的最小值是( )A ．9B ．8C ．4D ．2解析圆x 2＋y 2－2y －5＝0化成标准方程，得x 2＋(y －1)2＝6，∴圆心为C (0,1) ∵直线ax ＋by ＋c －1＝0经过圆心C ，∴a ×0＋b ×1＋c －1＝0，即b ＋c ＝1 ∴4b ＋1c ＝(b ＋c )(4b ＋1c )＝4c b ＋b c ＋5 ∵b ，c >0，∴4c b ＋bc ≥24c b ·b c ＝4，当且仅当4c b ＝b c 时等号成立．由此可得b ＝2c ，且b ＋c ＝1，即b ＝23，c ＝13时，4b ＋1c 取得最小值9各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，假设存在两项a m ，a n 使得a m a n ＝4a 1，那么1m ＋4n 的最小值为( )A.32B.53C.94D.256解析由各项均为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，可得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4， ∴q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(舍去)a m a n ＝4a 1，∴q m ＋n －2＝16，∴2m ＋n －2＝24，∴m ＋n ＝6 ∴1m ＋4n ＝16(m ＋n )(1m ＋4n )＝16(5＋n m ＋4m n )≥16(5＋2n m ·4m n )＝32当且仅当n m ＝4m n 时，等号成立，故1m ＋4n 的最小值等于32在等差数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，那么a 5a 6的最大值是( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．36解析 ∵a 1＋a 2＋…＋a 10＝30，∴5(a 1＋a 10)＝30，即a 1＋a 10＝a 5＋a 6＝6，∵a 5＋a 6≥2a 5a 6，∴6≥2a 5a 6，即a 5a 6≤9，当且仅当a 5＝a 6时取等号，∴a 5a 6的最大值为9假设实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，那么ab 的最小值为( ) A.2 B ．2 C ．2 2 D ．4 解析依题意知a ＞0，b ＞0，那么1a ＋2b ≥22ab ＝22ab，当且仅当1a ＝2b ，即b ＝2a 时，“＝〞成立．∵1a ＋2b ＝ab ，∴ab ≥22ab ，即ab ≥22，∴ab 的最小值为2 2a ＞0，b ＞0，a ，b 的等比中项是1，且m ＝b ＋1a ，n ＝a ＋1b ，那么m ＋n 的最小值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6解析由题意知：ab ＝1，∴m ＝b ＋1a ＝2b ，n ＝a ＋1b ＝2a ，∴m ＋n ＝2(a ＋b )≥4ab ＝4假设a ，b 都是正数，那么⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b 的最小值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 解析 ∵a ，b 都是正数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4a b ＝5＋b a ＋4a b ≥5＋2b a ·4ab ＝9，当且仅当b ＝2a >0时取等号a >0，b >0，假设不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b 恒成立，那么m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24 解析由3a ＋1b ≥m a ＋3b ，得m ≤(a ＋3b )(3a ＋1b )＝9b a ＋ab ＋6又9b a ＋ab ＋6≥29＋6＝12，∴m ≤12，∴m 的最大值为12a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ，那么1a ＋2b 的最小值为( )A ．4B ．22C ．8D ．16 解析由a >0，b >0，a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab ，得ab ＝1，那么1a ＋2b ≥21a ·2b ＝2 2.当且仅当1a ＝2b ，即a＝22，b ＝2时等号成立a >0，b >0，a ＋b ＝2，那么y ＝1a ＋4b 的最小值是( ) A.72 B ．4 C.92 D ．5 解析依题意，得1a ＋4b ＝12(1a ＋4b )·(a ＋b )＝12[5＋(b a ＋4a b )]≥12(5＋2b a ·4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，b a ＝4ab ，a >0，b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92假设log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，那么a ＋b 的最小值是( )A ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋4 3D ．7＋4 3解析由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，ab ≥0，3a ＋4b >0，∴⎩⎨⎧a >0，b >0.又log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，∴log 4(3a ＋4b )＝log 4ab ，∴3a ＋4b ＝ab ，故4a ＋3b ＝1. ∴a ＋b ＝(a ＋b )(4a ＋3b )＝7＋3a b ＋4ba ≥7＋23ab ·4b a ＝7＋43，当且仅当3a b ＝4b a 时取等号假设正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，那么1a －1＋9b －1的最小值是( )A ．1B ．6C ．9D ．16解析 ∵正数a ，b 满足1a ＋1b ＝1，∴b ＝a a －1>0，解得a >1，同理可得b >1，∴1a －1＋9b －1＝1a －1＋9a a －1－1＝1a －1＋9(a －1)≥21a －1·9(a －1)＝6，当且仅当1a －1＝9(a －1)，即a ＝43时等号成立，∴最小值为6设()f x ＝ln x,0＜a ＜b ，假设p ＝f (ab )，q ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，r ＝12(f (a )＋f (b ))，那么以下关系式中正确的选项是( )A ．q ＝r ＜pB ．q ＝r ＞pC ．p ＝r ＜qD ．p ＝r ＞q 解析 ∵0＜a ＜b ，∴a ＋b2＞ab ，又∵f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，故f ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＞f (ab )，即q ＞p . 又r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝12ln a ＋12ln b ＝ln(ab )12＝f (ab )＝p ，故p ＝r ＜q函数()f x ＝x ＋px －1(p 为常数，且p >0)，假设f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，那么实数p 的值为( ) A ．1 B ．2 C.94 D.74 解析由题意得x －1>0，f (x )＝x －1＋px －1＋1≥2p ＋1，当且仅当x ＝p ＋1时取等号， ∵f (x )在(1，＋∞)上的最小值为4，∴2p ＋1＝4，解得p ＝94填空题：x ，y ∈R ＋，且x ＋4y ＝1，那么xy 的最大值为________解析 1＝x ＋4y ≥24xy ＝4xy ，∴xy ≤(14)2＝116，当且仅当x ＝4y ＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12y ＝18时，(xy )max ＝116实数m ，n 满足m ·n >0，m ＋n ＝－1，那么1m ＋1n 的最大值为________解析 ∵m ·n >0，m ＋n ＝－1，∴m <0，n <0，∴1m ＋1n ＝－(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋1n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋n m ＋m n ≤－2－2n m ·mn＝－4，当且仅当m ＝n ＝－12时，1m ＋1n 取得最大值－4x <54，那么()f x ＝4x －2＋14x －5的最大值为________解析 ∵x <54，∴5－4x >0，那么f (x )＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x )＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，等号成立．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________解析 y ＝x 2＋2x －1＝(x 2－2x ＋1)＋(2x －2)＋3x －1＝(x －1)2＋2(x －1)＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2当且仅当(x －1)＝3(x －1)，即x ＝3＋1时，等号成立函数y ＝x －1x ＋3＋x －1的最大值为________解析令t ＝x －1≥0，那么x ＝t 2＋1，∴y ＝t t 2＋1＋3＋t ＝tt 2＋t ＋4当t ＝0，即x ＝1时，y ＝0；当t >0，即x >1时，y ＝1t ＋4t ＋1， ∵t ＋4t ≥24＝4(当且仅当t ＝2时取等号)，∴y ＝1t ＋4t ＋1≤15，即y 的最大值为15(当t ＝2，即x ＝5时y 取得最大值)．假设正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，那么3x ＋4y 的最小值是________解析由x ＋3y ＝5xy 可得15y ＋35x ＝1，∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )(15y ＋35x )＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋125＝5x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，那么x ＋3y 的最小值为________ 解析由得x ＝9－3y1＋y ，∵x >0，y >0，∴y <3，∴x ＋3y ＝9－3y 1＋y＋3y ＝3y 2＋91＋y＝3(1＋y )2－6(1＋y )＋121＋y＝121＋y＋(3y ＋3)－6≥2121＋y ·(3y ＋3)－6＝6，当且仅当121＋y ＝3y ＋3，即y ＝1，x ＝3时，(x ＋3y )min ＝6函数()f x ＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，假设对于任意x ∈N ＋，()f x ≥3恒成立，那么a 的取值范围是______解析对任意x ∈N ＋，f (x )≥3恒成立，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即知a ≥－(x ＋8x )＋3设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N ＋，那么g (2)＝6，g (3)＝173∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173，∴－(x ＋8x )＋3≤－83，∴a ≥－83，故a 的取值范围是[－83，＋∞)x >0，y >0，且1x ＋2y ＝1，那么x ＋y 的最小值是________解析 ∵x >0，y >0，∴x ＋y ＝(x ＋y )(1x ＋2y )＝3＋y x ＋2xy ≥3＋22(当且仅当y ＝2x 时取等号)， ∴当x ＝2＋1，y ＝2＋2时，(x ＋y )min ＝3＋2 2函数y ＝1－2x －3x (x <0)的最小值为________解析 ∵x <0，∴y ＝1－2x －3x ＝1＋(－2x )＋(－3x )≥1＋2(－2x )·3－x＝1＋26，当且仅当x ＝－62时取等号，故y 的最小值为1＋2 6假设关于x 的方程9x ＋(4＋a )3x ＋4＝0有解，那么实数a 的取值范围是________ 解析别离变量得－(4＋a )＝3x ＋43x ≥4，得a ≤－8设a ＋b ＝2，b >0，那么12|a |＋|a |b 取最小值时，a 的值为________解析 ∵a ＋b ＝2，∴12|a |＋|a |b ＝24|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b ≥a4|a |＋2b 4|a |×|a |b ＝a4|a |＋1，当且仅当b 4|a |＝|a |b 时等号成立又a ＋b ＝2，b >0，∴当b ＝－2a ，a ＝－2时，12|a |＋|a |b 取得最小值假设当x >－3时，不等式a ≤x ＋2x ＋3恒成立，那么a 的取值范围是________解析设f (x )＝x ＋2x ＋3＝(x ＋3)＋2x ＋3－3，∵x >－3，所以x ＋3>0，故f (x )≥2(x ＋3)×2x ＋3－3＝22－3，当且仅当x ＝2－3时等号成立，∴a 的取值范围是(－∞，22－3] 假设对于任意x ＞0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，那么a 的取值范围是________解析x x 2＋3x ＋1＝13＋x ＋1x，∵x ＞0，∴x ＋1x ≥2(当且仅当x ＝1时取等号)，那么13＋x ＋1x≤13＋2＝15，即x x 2＋3x ＋1的最大值为15，故a ≥15.解答题：x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. (1)求u ＝lg x ＋lg y 的最大值； (2)求1x ＋1y 的最小值．解 (1)∵x >0，y >0，∴由根本不等式，得2x ＋5y ≥210xy . ∵2x ＋5y ＝20，∴210xy ≤20，xy ≤10，当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．因此有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋5y ＝20，2x ＝5y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，此时xy 有最大值10.∴u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg10＝1，∴当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2)∵x >0，y >0，∴1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ·2x ＋5y 20＝120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋5y x ＋2x y ≥120⎝ ⎛⎭⎪⎫7＋2 5y x ·2x y ＝7＋21020，当且仅当5y x ＝2xy 时，等号成立．由⎩⎨⎧2x ＋5y ＝20，5y x ＝2xy ，解得⎩⎨⎧x ＝1010－203，y ＝20－4103.∴1x ＋1y 的最小值为7＋21020专项能力提升设x ，y 均为正实数，且32＋x ＋32＋y＝1，那么xy 的最小值为( ) A ．4 B ．4 3 C ．9 D ．16 解析由32＋x ＋32＋y ＝1得xy ＝8＋x ＋y ， ∵x ，y 均为正实数，∴xy ＝8＋x ＋y ≥8＋2xy (当且仅当x ＝y 时等号成立)，即xy －2xy －8≥0，解得xy ≥4，即xy ≥16，∴xy 的最小值为16设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，那么当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( ) A ．0 B ．1 C.94 D ．3 解析由得z ＝x 2－3xy ＋4y 2，(*)那么xyz ＝xyx 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤1，当且仅当x ＝2y 时取等号，把x ＝2y 代入(*)式，得z ＝2y 2，∴2x ＋1y －2z ＝1y ＋1y －1y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1m >0，a 1>a 2>0，那么使得m 2＋1m ≥|a i x －2|(i ＝1,2)恒成立的x 的取值范围是( )A ．[0，2a 1]B ．[0，2a 2]C ．[0，4a 1]D ．[0，4a 2]解析 ∵m 2＋1m ＝m ＋1m ≥2(当且仅当m ＝1时等号成立)，∴要使不等式恒成立，那么2≥|a i x －2|(i ＝1,2)恒成立，即－2≤a i x －2≤2，∴0≤a i x ≤4， ∵a 1>a 2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4a 1，0≤x ≤4a 2，即0≤x ≤4a 1，∴使不等式恒成立的x 的取值范围是[0，4a 1].实用文档. x ，y ∈R 且满足x 2＋2xy ＋4y 2＝6，那么z ＝x 2＋4y 2的取值范围为________解析 ∵2xy ＝6－(x 2＋4y 2)，而2xy ≤x 2＋4y 22，∴6－(x 2＋4y 2)≤x 2＋4y 22，∴x 2＋4y 2≥4(当且仅当x ＝2y 时取等号)．又∵(x ＋2y )2＝6＋2xy ≥0，即2xy ≥－6，∴z ＝x 2＋4y 2＝6－2xy ≤12(当且仅当x ＝－2y 时取等号) 综上可知4≤x 2＋4y 2≤12设a >0，b >0，假设3是3a 与3b 的等比中项，那么1a ＋1b 的最小值为________解析由题意知3a ·3b ＝3，即3a ＋b ＝3，∴a ＋b ＝1，∵a >0，b >0，∴1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立点(a ，b )为第一象限内的点，且在圆(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8上，那么ab 的最大值为________解析由题意知a >0，b >0，且(a ＋1)2＋(b ＋1)2＝8，化简得a 2＋b 2＋2(a ＋b )＝6，那么6≥2ab ＋4ab (当且仅当a ＝b 时取等号)，令t ＝ab (t >0)，那么t 2＋2t －3≤0，解得0<t ≤1，那么0<ab ≤1，∴ab 的最大值为1.正数a ，b 满足1a ＋9b ＝1，假设不等式a ＋b ≥－x 2＋4x ＋18－m 对任意实数x 恒成立，那么实数m 的取值范围是________解析 ∵a ＞0，b ＞0，1a ＋9b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋9b ＝10＋b a ＋9a b ≥10＋29＝16，由题意，得16≥－x 2＋4x ＋18－m ，即x 2－4x －2≥－m 对任意实数x 恒成立，而x 2－4x －2＝(x －2)2－6，∴x 2－4x －2的最小值为－6，∴－6≥－m ，即m ≥6.。

三个重要不等式及应用

i 1

n
1 xi 1 xi

i 1
i 1
1 xi
n
由柯西不等式，有：
i 1
1 x i ( 1 xi 1)
n
n
(1 xi ) 1
i 1 i 1
i 1 n
n
n 1 n
i 1
xi ( xi 1) xi 1 n
三个重要不等式及应用

目的要求：掌握排序不等式，平均不等式，柯西不等式及其应用重点：三个不等式的应用难点：排序不等式的证明及综合应用
1 排序不等式设有两组数 a1 , a2 ,
a1 a2
, an ; b1 , b2 , an , b1 b2 bn ，
anbn
a1 , a2 , , an 的某个排列，证明：
a1 a2 b1 b2
an n bn
证明不妨设 b1 b2
bn ，则 1 1
b1 b2
1 an bn 1 bn bn
由排序不等式(乱序逆序)得，
1 1 a1 a2 b1 b2 1 1 b1 b2 b1 b2 n
i 1 2 i i 1 2 i i 1
n
n
n
1 2 1 2 1 2 (n2 1) 2 求证： (a1 ) (a2 ) ... (an ) a1 a2 an n
1 2 (1 ak ) k 1 k 1 a k
n n
(1 n 2 ) 2 n 1 2 1 2 2 (ak ) (1 n ) k 1 ak n

经典不等式

经典不等式不等式是数学中的一个重要概念，它用来描述两个或多个量之间的关系。

经典不等式是指一些在数学中经常出现的不等式，它们有些是基本的，有些则比较复杂。

以下是一些经典不等式的介绍：1.均值不等式（均值不等式，或者AM-GM不等式）：这个不等式表明，对于两个正数a和b，它们的算术平均数(a+b)/2总不小于它们的几何平均数(ab)^(1/2)。

这个不等式在很多场合都非常有用，比如在证明一些几何和物理的问题时。

2.柯西不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）：这个不等式是关于向量和向量的点积的一个重要结果。

它表明，对于任何两个向量x和y，它们的点积的模总是小于或等于它们的模的乘积。

这个不等式的用途广泛，特别是在物理和工程领域。

3.三角不等式（Triangle Inequality）：三角不等式是用来描述三角形的边长的关系的。

它表明，对于任何三角形ABC的边a、b和c，总是有a+b>c和a-b<c。

这个不等式在几何学和解析几何学中都有重要应用。

4.排序不等式（Sorting Inequality）：排序不等式也被称为荷兰国旗定理，它描述的是三个不同数值的排序问题。

具体来说，对于任何三个不同的实数a、b和c，总有a+b>c和a+c>b+c。

这个不等式在算法设计和优化问题中非常有用。

5.贝塞尔不等式（Bessel Inequality）：贝塞尔不等式是用来描述正交多项式的的一个重要结果。

它表明，对于任何正整数n和任何实数x，总有(x^2-1)^n>=0。

这个不等式在正交多项式和特殊函数的研究中非常重要。

6.切比雪夫不等式（Chebyshev Inequality）：切比雪夫不等式是概率论中的一个重要结果，它给出了一个随机变量的取值范围的概率不小于某个值的下界。

具体来说，对于任何实数x和正数k，一个随机变量X满足|X-E[X]|=p<=k的概率不小于1-1/k^2。

几个重要不等式及其应用

几个重要不等式及其应用一、几个重要不等式以下四个不等式在数学竞赛中使用频率是最高的，应用极为广泛。

1、算术-几何平均值（AM-GM ）不等式设12,,,n a a a 是非负实数，则12nn a a a n+++≥2、柯西（Cauchy ）不等式设,(1,2,)i i a b R i n ∈=，则222111.n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑等号成立当且仅当存在R λ∈，使,1,2,,.i i b a i n λ==变形（Ⅰ）：设+∈∈R b R a i i ,，则∑∑∑===⎪⎭⎫⎝⎛≥ni in i i ni ii b a b a 12112；等号成立当且仅当存在R λ∈，使,1,2,,.i i b a i n λ==变形（Ⅱ）设i i b a ,同号，且0,≠i i b a ，则∑∑∑===⎪⎭⎫ ⎝⎛≥n i ii n i i ni ii b a a b a 1211。

等号成立当且仅当nb b b === 213．排序不等式设n n n j j j b b b a a a ,,,,,212121⋯≤⋯≤≤≤⋯≤≤是n ,,2,1⋯的一个排列，则n n j j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n ++≤+++≤+++-2211321112121. 等号成立当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21。

（用调整法证明）.4．琴生（Jensen ）不等式若()x f 是区间()b a ,上的凸函数，则对任意的点()b a x x x n ,,,,21∈ *()n N ∈有()()()12121().nn x x x f f x f x f x nn +++≤+++⎡⎤⎣⎦等号当且仅当n x x x === 21时取得。

（用归纳法证明）二、进一步的结论运用以上四个不等式可得以下更一般的不等式和一些有用的结论，有时用这些结论也会起到意想不到的效果。