2008年高考理科数学(江西)卷

2008年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）
文科数学
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，共150分。

第Ⅰ卷
一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．“x y =”是“x y =”的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2．定义集合运算:{}
,,A B z z xy x A y B *==∈∈.设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合A B * 的所有元素之和为
A ．0
B ．2
C ．3
D ．6 3．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数(2)
()1
f x
g x x =
-的定义域是 A ．[0,1] B ．[0,1) C ． [0,1)(1,4] D ．(0,1) 4．若01x y <<<，则
A ．33y
x
< B ．log 3log 3x y < C ．44log log x y < D ．11()()44
x y
<
5．在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n
+=++，则n a =
A ．2ln n +
B ．2(1)ln n n +-
C ．2ln n n +
D ．1ln n n ++ 6．函数sin ()sin 2sin
2
x f x x
x =
+是
A ．以4π为周期的偶函数
B ．以2π为周期的奇函数
C ．以2π为周期的偶函数
D ．以4π为周期的奇函数
7．已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=
的点M 总在椭圆内部，则椭圆离
心率的取值范围是
A ．(0,1)
B ．1(0,]2 C
．(0,2 D
．[,1)2
8．10
10
1
(1)(1)x x
++展开式中的常数项为
A ．1
B ．1
2
10()C C ．1
20C D ．10
20C
9．设直线m 与平面α相交但不．
垂直，则下列说法中正确的是 A ．在平面α内有且只有一条直线与直线m 垂直 B ．过直线m 有且只有一个平面与平面α垂直 C ．与直线m 垂直的直线不．可能与平面α平行 D ．与直线m 平行的平面不．可能与平面α垂直 10．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间3(
,)22
ππ
内的图象是
11．电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为
A ．1180
B ．1288
C ．1
360
D ．1480
12．已知函数2
()2(4)4f x x m x m =+-+-，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与
()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是
A ． [4,4]-
B ．(4,4)-
C ． (,4)-∞
D ．(,4)-∞-
第Ⅱ卷
二.填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

请把答案填在答题卡上 13．不等式224
1
2
2
x x +-≤
的解集为 ． 14．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b
-=>>
的两条渐近线方程为y x =，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．
15．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB CD 、
的长度分别等于
每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为 ．
16．如图，正六边形ABCDEF 中，有下列四个命题：
A ．2AC AF BC +=
B ．22AD AB AF =+
C ．AC A
D AD AB ⋅=⋅ D ．()()AD AF EF AD AF EF ⋅=⋅
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
A
B
D
E
C
F
三.解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17．已知1tan 3α=-
，cos β=,(0,)αβπ∈ （1）求tan()αβ+的值； （2
）求函数())cos()f x x x αβ=
-++的最大值．
18．因冰雪灾害，某柑桔基地果林严重受损，为此有关专家提出一种拯救果树的方案，该方案需分两年实施且相互独立．该方案预计第一年可以使柑桔产量恢复到灾前的 1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.4、0.4；第二年可以使柑桔产量为第一年产量的1.5倍、1.25倍、1.0倍的概率分别是0.3、0.3、0.4．
（1）求两年后柑桔产量恰好达到灾前产量的概率； （2）求两年后柑桔产量超过灾前产量的概率.
19．等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列, 11b =，且
2264,b S = 33960b S =．
(1)求n a 与n b ； (2)求和：
12111n
S S S +++ ．
20．如图，正三棱锥O ABC -的三条侧棱OA 、OB 、OC 两两垂直，且长度均为2．E 、F 分别是AB 、AC 的中点，H 是EF 的中点，过EF 的平面与侧棱OA 、OB 、OC 或其延长线分别相交于1A 、1B 、1C ，已知132
OA =． （1）求证：11B C ⊥面OAH ； （2）求二面角111O A B C --的大小．
1
C 1
A
21．已知函数43
22411()(0)43
f x x ax a x a a =
+-+> （1）求函数()y f x =的单调区间；
（2）若函数()y f x =的图像与直线1y =恰有两个交点，求a 的取值范围．
22．已知抛物线2
y x =和三个点00000(,)(0,)(,)M x y P y N x y -、、2
000(,0)y x y ≠>，过点M 的一条直线交抛物线于A 、B 两点，AP BP 、的延长线分别交曲线C 于E F 、．
（1）证明E F N 、、三点共线；
（2）如果A 、B 、M 、N 四点共线，问：是否存在0y ，使以线段AB 为直径的圆与抛物线有异于A 、B 的交点？如果存在，求出0y 的取值范围，并求出该交点到直线AB 的距离；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13. [3,1]- 14..
22
31
44
x y -= 15. 5 16. A 、B 、D
三、解答题：本大题共
6小题，共74分。

17
．解：（1
）由cos
β=
(0,)βπ∈ 得tan 2β=，sin 5
β=
于是tan()αβ
+=12
tan tan 3121tan tan 13
αβ
αβ
-++==-+.
（2）因为1
tan ,(0,)3
ααπ=-∈
所以sin αα=
= ()f x x x x x = x =
()f x
18．解：（1）令A 表示两年后柑桔产量恰好达到灾前产量这一事件
()0.20.40.40.30.2P A =⨯+⨯=
（2）令B 表示两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件
()0.20.60.40.60.40.30.48P B =⨯+⨯+⨯=
19．（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则d 为正整数，
3(1)n a n d =+-，1n n b q -=
依题意有23322(93)960
(6)64
S b d q S b d q ⎧=+=⎨=+=⎩①
解得2,8d q =⎧⎨=⎩或65403d q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩
(舍去) 故1
32(1)21,8
n n n a n n b -=+-=+=
（2）35(21)(2)n S n n n =++++=+ ∴
121111111
132435(2)
n S S S n n +++=++++⨯⨯⨯+ 11111111(1)2324352n n =-+-+-++-+ 1111
(1)2212
n n =+--++32342(1)(2)n n n +=-
++ 20．解 ：（1）证明：依题设，EF 是ABC ∆的中位线，所以EF ∥BC ， 则EF ∥平面OBC ，所以EF ∥11B C 。

又H 是EF 的中点，所以AH ⊥EF ， 则AH ⊥11B C 。

因为OA ⊥OB ，OA ⊥OC ， 所以OA ⊥面OBC ，则OA ⊥11B C ， 因此11B C ⊥面OAH 。

（2）作ON ⊥11A B 于N ，连1C N 。

因为1OC ⊥平面11OA B ，
根据三垂线定理知，1C N ⊥11A B ，
1ONC ∠就是二面角111O A B C --的平面角。

作EM ⊥1OB 于M ，则EM ∥OA ，则M 是OB 的中点，则1EM OM ==。

设1OB x =，由
111OB OA MB EM =得，312
x x =-，解得3x =，
1
C 1
A
在11Rt OA B ∆
中，11A B ==
1
111OA OB ON A B ⋅==
所以1
1tan OC ONC ON
∠=
=111O A B C --
为。

解法二：（1）以直线OA OC OB 、、分别为x y 、、z 轴，建立空间直角坐标系，O xyz -则
11
(2,0,0),(0,0,2),(0,2,0),(1,0,1),(1,1,0),(1,,)22
A B C E F H
所以1111(1,,),(1,,),(0,2,2)2222
AH OH BC =-==-
所以0,0AH BC OH BC ⋅=⋅=
所以BC ⊥平面OAH
由EF ∥BC 得11B C ∥BC ，故：11B C ⊥平面OAH (2)由已知13(,0,0),2
A 设1(0,0,)
B z
则111
(,0,1),(1,0,1)2
A E E
B z =-=--
由1A E 与1EB 共线得:存在R λ∈有11A E EB λ= 得
11
32
1(1)(0,0,3)
z z B λ
λ⎧-=-⎪⇒=⎨⎪=-⎩
∴ 同理:1(0,3,0)C
1111
33(,0,3),(,3,0)22
A B AC ∴=-=- 设1111(,,)n x y z =
是平面111A B C 的一个法向量, 则3
3023302x z x y ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩令2x =得1y x == 1(2,1,1).n ∴=
又2(0,1,0)n =
是平面11OA B 的一个法量
12cos ,6n n ∴<>=
=
x
y
所以二面角的大小为arccos
6
21. 解：（1）因为3
2
2
()2(2)()f x x ax a x x x a x a '=+-=+- 令()0f x '=得1232,0,x a x x a =-== 由0a >时，()f x '在()0f x '=根的左右的符号如下表所示
所以()
f x 的递增区间为(2,0)(,)a a -+∞与
()f x 的递减区间为(2)(0)a a -∞-，
与， （2）由（1）得到4
5
()(2)3
f x f a a =-=-极小值，4
7()()12
f x f a a ==
极小值 4()(0)f x f a ==极大值
要使()f x 的图像与直线1y =恰有两个交点，只要4
4
5713
12
a a -<<
或41a <， 即a >01a ≤<.
22．（1）证明：设22
1122(,)(,)A x x B x x 、，(,)(,)E E F F E x y B x y 、
则直线AB 的方程：()22
212
1112
x x y x x x x x -=-+-
即：1212()y x x x x x =+-
因00(,)M x y 在AB 上，所以012012()y x x x x x =+- ①
又直线AP 方程：210
01
x y y x y x -=
+
由210
012x y y x y x x y ⎧-=+⎪⎨⎪=⎩
得：22
1001
0x y x x y x --
-= 所以22
1000
12111,E E E x y y y x x x y x x x -+=
⇒=-= 同理，200
222
,F F y y x y x x =-=
所以直线EF 的方程：2
012
01212
()y x x y y x x x x x +=-- 令0x x =-得0
120012
[()]y y x x x y x x =
+- 将①代入上式得0y y =，即N 点在直线EF 上 所以,,E F N 三点共线
（2）解：由已知A B M N 、、、
共线，所以(
)
00,)A y B y 以AB 为直径的圆的方程：()2
2
00x y y y +-=
由()22002x y y y x y
⎧+-=⎪⎨=⎪⎩得()22
000210y y y y y --+-=
所以0y y =（舍去），01y y =-
要使圆与抛物线有异于,A B 的交点，则010y -≥
所以存在01y ≥，使以AB 为直径的圆与抛物线有异于,A B 的交点(),T T T x y 则01T y y =-，所以交点T 到AB 的距离为()00011T y y y y -=--=。