立体几何解题模型

增强模型意识，口算解题不再是梦想新课标教材对高中立体几何的教学分成了两套思路。

一套是传统思路，以欧式几何中的公理、定理及推论作为一条主线，灵活添加辅助线，数形结合求得题解；另一套则是借助空间直角坐标系，将立体图形坐标化，从而将几何问题完全转化成代数问题，再通过方程来解决问题。

在此，我愿意另辟蹊径，用模型的意识来看待立体几何问题，利用补形法，力争将高考立体几何大题变为口算题！为了实现这一目标，我们先来熟悉一下几个模型：1、 长方体的“一角”模型在三棱锥P A B C -中，,,PA PB PB PC PC PA ⊥⊥⊥，且,,PA a PB b PC c ===.①三棱锥P A B C-的高h =证明：设直线AH 交BC 于D 点，由于H 点一定在△ABC 内部，所以D 点一定在BC 上，连结PD. 在△PAD 中：PH ==②,,P BC A P CA B P AB C ------二面角的平面角分别是：arctanarctanarctanbcacab.例1、四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是边长为的正方形，,1PA ABCD PA ⊥=面，求A D P B --的大小.分析：考虑三棱锥A PD B -，它就是模型1－长方体的“一个角”.本来我们可以利用结论②解：设二面角A D P B --的大小为α.CAADCB则：tan2ABPA ADα⋅===⋅，故arctan2α=我们看到象例1这样本来是高考中大题目，可是抓到了长方体“一角”，做起来就变得很轻松了.例2、直二面角D AB E--中，ABCD是边长为2的正方形（见图）AE＝BE，求B点到面ACE的距离.分析：这是一道高考中的大题.因为D－AB－E是直二面角，BC⊥面ABE，当然面ABCD⊥面ABE，又因为ABCD是正方形，BC要垂直于面ABE.在ABE中，AE就是面内的一条线，而BE就是BF在该面内的射影，而AE是垂直于BF，这是因为BF垂直面ACE的，所以AE是垂直于面ACE的.所以AE垂直于BF，又有AE＝BE，所以△ABE是等腰直角三角形.这一小段是熟悉几何环境的过程.图形中特殊的位置关系约束△ABE的形状.补充图形，在正方体1111ABC D A B C D-看问题.在这里看直二面角的局部图形.问题就转化为：求D到面ACE的距离，就是求O点到面AB1C的距离.因为O，B到面ACB1的距离相等，所以只须求B到面ACB1的距离即可，考虑三棱锥B－ACB1，它是模型2.312,3BC BA BB BF===∴==所以，D到面ACE的距离为3.点评：比起高考评分标准给的答案那要简单得多了.这儿要注意：一个是把局部的直二面角根据它的AEB是以E为直角的等腰直角三角形和ABCD是正方形的图形特征，补足正方体，这就是一种扩大的几何环境，而正方体也就是长方体模型，另一方面又抓到这正方体的一个角B－ACB1，那么这个角的模型更高，DB1A1CBED CBA这就使我们在运算过程中得以简化.所以说一道看起来很复杂的几何题，用典型几何模型做就显得轻松. 例3 底面为ABCD 的长方体被截面AEC 1F 所截，AB ＝4，BC ＝2，CC 1＝3，BE ＝1（见图），求C 点到面AEC 1F 的距离.分析：这也是一道高考题，在评分标准中给出了很多的辅助线.现在我们用典型的空间模型，再对这道题解解看.解：延长C 1E 交CB 延长线于M ，延长CD ，交C 1F 延长线于N ，C －C 1NM 是模型2.因为13,,321C C C M C M C M C N B C B E C M ===-- 同理13,,1242C C C N C N C N C N C DD FC N ===--.所以，C 到面C 1MN331211⨯⨯=.2、公式12cos cos cos θθθ=⋅的几何模型PB PA ααα⊥∈平面，是的斜线,B ,AB 是PB 在α内的射影，BC 是α内一条直线12,,,PBC PBA ABC θθθ∠=∠=∠=则有12cos cos cos θθθ=⋅.大家要注意搞清楚那个是θ，那个是1θ，那个是2θ，实际上只要搞清那个是θ，另外两个就是12,θθ.特别的，α内的直线不一定过B ，如上面的右图所示：C CDθ2θ1θαPCBAθ2θ1θαPCBA在直线AB 上有一点D ，过D 在α画一直线DC ，则θ是直线PB 与DC 所成的角，12,.PBA ADC θθ∠=∠=则12cos cos cos θθθ=⋅那么这样的有可能利用这样的模型计算出异面直线成角.PB 和DC 的成角. 例4 EA ⊥面ABCD ，ABCD是边长为的正方形，EA ＝1，在AC 上是否存在P 点，使PE 、BC 成60 角.分析：12EPA APM EPM θθθ∠=∠=∠=cos cos cos EPA APM EPM∠⋅∠=∠即1,22=所以112A P A C==.可见AC 中点即是要找的点P例5 长方体1111ABC D A B C D -中，AB ＝2，AA 1＝1，BD 与面AA 1B 1B 成30°角.AE ⊥BD 于E ，F 为A 1B 1的中点，求AE ，BF 成角.解：12cos cos cos cos 45cos(9030)θθθ=⋅=-＝1224⨯=所以AE ，BF成角为arccos4.这样的一个题目，最重要的是位.在高考评分标准中，都要有很长的解题过程中.这些结论在高考中，教材中有的可以直接用，有的可以先用，然后把结论来源说明.这样可以减少思考的时间与计算量.这就相当于电脑中的集成块一样，减少空间.3、双垂四面体模型如图3，四面体A －BCD ，AB ⊥面BCD ，CD ⊥面BCA ，这种四面体构成许多简单多面体的基本图形，不妨称为双垂四面体，主要性质：DCBB 1CB①cos cos cos A D C A D B B D C ∠=∠⋅∠；②以BD 、BC 和AC 为棱的二面角都是直二面角，以AB 、BC 为棱的二面角的平面角，分别是D B C ∠与A C B ∠③以AD 为棱的二面角为θ，则cos A B C D A C B Dθ⋅=⋅；④对棱AB 与CD 垂直，且BC 是它们的公垂线； ⑤对棱AD 与BC 为异面直线，它们夹角为α，则cos B C A Dα=例3 如图4，ABCD 是上下底长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO 1拆成直二面角，如图5.（1）证明：AC ⊥BO 1；（2）求二面角O －AC －O 1的大小. 解：（1）略（2）∵平面AOO 1⊥平面OO 1C ，又∵AO ⊥O 1C ，∴AO 平面OO 1C ，同理CO 1⊥平面AOO 1，四面体AOO 1C 是一个双垂四面体，若二面角O －AC －O 1的平面角为θ，则11c o s A O C O O C A O θ⋅=⋅，根据条件，从图5中可知AO ＝3，OC ＝2，1AO =CO 1＝1，即可自得cos 4θ=.例4 如图6，直二面角D －AB －E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE ＝EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE.（1）求证：AE ⊥平面BCE ； （2）求二面角B －AC －E 的大小； （3）求点D 到平面ACE 的距离.分析：当（1）证明后，我们很容易识别四面体A －EBC 是一个双垂四面体，若二面角B －AC －E 的平面角为θ，则cos C B A E A B C Eθ⋅=⋅，由条件可以计算出AB ＝CB=2,AE=，C E =，图3DBAO图4DCBAC图6DCBA∴arccos3θ=.值得注意的是此题的（3）并不需要用等积变换，根据平面斜线上两点到平面的距离等于它们的斜线长的比，∴点D到平面ACE的距离等于B点到平面ACE的距离，也就是线段BF的长为33E B BE C⋅==利用典型立体几何模型解高考题1．（本小题满分13分）如图，已知三棱锥O A B C-的侧棱OA OB OC，，两两垂直，且1O A=，2O B O C==，E是O C的中点．（1）求O点到面ABC的距离；（2）求异面直线B E与A C所成的角；（3）求二面角E A B C--的大小．解：显然三棱锥O A B E-和O A B C-都是长方体一脚模型，（1）设O点到面ABC的距离为h，则由结论1—①，3h==（2）设B E与A C所成的角为α，则由模型二cos cos cosO E B A C Oα=∠⋅∠，由勾股定理AB AC BE===2cos AC O∠=，1cos O EB∠=故2cos5α=，2arccos5α=（3）设二面角E A B O--、C A B O--、E A B C--的大小分别为,,θβγ，则θβγ=-，由结论1—②，tanO CO A O Bβ⋅==⋅，tan2O EO A O Bγ==⋅所以tan tantan1tan tan7βγθβγ-==+⋅2、（本小题满分13分）ＡＯＥＣＢ如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，E 是AB 上一点，PE ⊥EC. 已知,21,2,2===AE CD PD 求二面角E —PC —D 的大小.解：过E 点作EG CD G ⊥于，G 过点作FG CD G EF ⊥于，连结，则显然三棱锥 G C E F-是长方体一角模型，设二面角E —PC —D 的大小为α，则由结论1—②可知：tan C G FGα=⋅，下面就只剩下计算问题了因为PD ⊥底面，故PD ⊥DE ，又因EC ⊥PE ，且DE 是PE 在面ABCD 内的射影，故由三垂直线定理的逆定理知：EC ⊥DE ，设DE=x ，因为△DAE ∽△CED ，故1,1,2±===x xx CD AEx 即（负根舍去）.从而DE=1，故有勾股定理2AD EG ==32C G CD D G =-=，又因为C G F G C DD P=，所以4C GD P FG C D⋅==，故tan 1EG C G FGα⋅==⋅，二面角E —PC —D 的大小为.4π3、（本小题满分13分）如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB ⊥侧面BB 1C 1C ，E 为棱CC 1上异于C 、C 1的一点，EA ⊥EB 1，已知AB=2，BB 1=2，BC=1，∠BCC 1=3π，求：（Ⅰ）异面直线AB 与EB 1的距离；（Ⅱ）二面角A —EB 1—A 1的平面角的正切值. 解（Ⅰ）显然四面体1A BEB -是双垂四面体模型 由结论3—④，BE 是异面直线AB 与EB 1的公垂线在平行四边形BCC 1B 1中，设EB=x ，则EB 1=24x -，PCBEA!B !A !E作BD ⊥CC 1，交CC 1于D ，则BD=BC·.233sin=π在△BEB 1中，由面积关系得0)3)(1(,23221421222=--⋅⋅=-x x x x 即.3,1±=±=x x 解之得（负根舍去）,33cos21,,322=⋅-+∆=πCE CE BCE x 中在时当解之得CE=2，故此时E 与C 1重合，由题意舍去3=x . 因此x =1，即异面直线AB 与EB 1的距离为1. （Ⅱ）先求二面角1A EB B --由结论3—②，二面角1A EB B --的大小为AEB ∠，由于AB=2，1BE =故tan AEB ∠=11A B EB -是直二面角，故二面角A —EB 1—A 1的平面角的正切值为2.巧妙利用典型的立体几何模型可以很轻松地解决一些复杂的高考题，在平时复习是我们应该不断总结，总结有哪些典型的立体几何模型可以用于解题，这样才能提高解题能力。