立体几何解题模型

增强模型意识，口算解题不再是梦想

新课标教材对高中立体几何的教学分成了两套思路。一套是传统思路，以欧式几何中的公理、定理及推论作为一条主线，灵活添加辅助线，数形结合求得题解；另一套则是借助空间直角坐标系，将立体图形坐标化，从而将几何问题完全转化成代数问题，再通过方程来解决问题。

在此，我愿意另辟蹊径，用模型的意识来看待立体几何问题，利用补形法，力争将高考立体几何大题变为口算题！为了实现这一目标，我们先来熟悉一下几个模型：

1、 长方体的“一角”模型

在三棱锥P A B C -中，,,PA PB PB PC PC PA ⊥⊥⊥，且,,PA a PB b PC c ===.

①三棱锥P A B C

-的高

h =

证明：设直线AH 交BC 于D 点，由于H 点一定在△ABC 内部，所以D 点

一定在BC 上，连结PD. 在△PAD 中：

PH =

=

②,,P BC A P CA B P AB C ------二面角的平面角分别是：

arctan

arctan

arctan

bc

ac

ab

.

例1、四棱锥P A B C D -中，底面A B C D 是边长为

的正方形，

,1PA ABCD PA ⊥=面，求A D P B --的大小.

分析：考虑三棱锥A PD B -，它就是模型1－长方体的“一个角”.本来我们可以利用结论②

解：设二面角A D P B --的大小为α.

C

A

A

D

C

B

则：tan

2

AB

PA AD

α

⋅

===

⋅

，故arctan

2

α=

我们看到象例1这样本来是高考中大题目，可是抓到了长方体“一角”，做起来就变得很轻松了.

例2、直二面角D AB E

--中，ABCD是边长为2的正方形（见图）AE＝BE，求B点到面ACE的距离.

分析：这是一道高考中的大题.因为D－AB－E是直

二面角，BC⊥面ABE，当然面ABCD⊥面ABE，又因

为ABCD是正方形，BC要垂直于面ABE.

在ABE中，AE就是面内的一条线，而BE就是BF

在该面内的射影，而AE是垂直于BF，这是因为BF垂

直面ACE的，所以AE是垂直于面ACE的.所以AE垂

直于BF，又有AE＝BE，所以△ABE是等腰直角三角形.这一小段是熟悉几何环境的过程.图形中特殊的位置关系约束△ABE的形状.

补充图形，在正方体

1111

ABC D A B C D

-看问题.在这

里看直二面角的局部图形.

问题就转化为：求D到面ACE的距离，就是求O

点到面AB1C的距离.

因为O，B到面ACB1的距离相等，所以只须求B

到面ACB1的距离即可，

考虑三棱锥B－ACB1，它是模型

2.

3

1

2,

3

BC BA BB BF

===∴==

所以，D到面ACE

的距离为

3

.

点评：比起高考评分标准给的答案那要简单得多了.这儿要注意：一个是把局部的直二面角根据它的AEB是以E为直角的等腰直角三角形和ABCD是正方形的图形特征，补足正方体，这就是一种扩大的几何环境，而正方体也就是长方体模型，另一方面又抓到这正方体的一个角B－ACB1，那么这个角的模型更高，

D

B1

A

1

C

B

E

D C

B

A

这就使我们在运算过程中得以简化.

所以说一道看起来很复杂的几何题，用典型几何模型做就显得轻松. 例3 底面为ABCD 的长方体被截面

AEC 1F 所截，AB ＝4，BC ＝2，CC 1＝3，BE ＝1（见图），求C 点到面AEC 1F 的距离.

分析：这也是一道高考题，在评分标准中给出了很多的辅助线.现在我们用典型的空间模型，再对这道题解解看.

解：延长C 1E 交CB 延长线于M ，延长CD ，交C 1F 延长线于N ，C －C 1NM 是模型2.

因为13,,321C C C M C M C M C N B C B E C M ===-- 同理

13,,124

2

C C C N C N C N C N C D

D F

C N ===--.

所以，C 到面C 1MN

331211

⨯⨯=

.

2、公式12cos cos cos θθθ=⋅的几何模型

PB PA ααα⊥∈平面，是的斜线,B ,AB 是

PB 在α内的射影，BC 是α内一条

直线12,,,PBC PBA ABC θθθ∠=∠=∠=则有12cos cos cos θθθ=⋅.

大家要注意搞清楚那个是θ，那个是1θ，那个是2θ，实际上只要搞清那个是

θ，另外两个就是12,θθ.

特别的，α内的直线不一定过B ，如上面的右图所示：

C C

D

θ2θ1

θ

α

P

C

B

A

θ2

θ1θ

α

P

C

B

A