应用排序不等式巧解一串竞赛题

合集下载

排序不等式

三排序不等式[学习目标] 1.了解排序不等式的数学思想和背景.2.了解排序不等式的结构与基本原理.3.理解排序不等式的简单应用．[知识链接]某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件、5件及2件，现在选择商店中有单价为3元、2元和1元的礼品，问有多少不同的购买方案？在这些方案中哪种花钱最少？哪种花钱最多？答案有多少种不同的购买方案，实质上就是礼品和单价有多少种不同的对应关系．与单价3元对应的礼品可以是4件的礼品，也可以是5件或2件的礼品共有三种对应关系，与单价2元对应的只还有剩下的2种．与单价一元对应的只有一种．由乘法分步计数原理知共有3×2×1＝6种不同的购买方案．根据生活的实际经验，花钱最少的方案应是最贵的礼品买最少的件数，最便宜的礼品买最多的件数，即1×5＋2×4＋3×2＝19元，花钱最多的方案应是：单价最高的礼品买最多的件数，单价最低的礼品买最少的件数，即1×2＋2×4＋3×5＝25元．[预习导引]1．顺序和、乱序和、反序和的概念设a1≤a2≤a3≤…≤a n，b1≤b2≤b3≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n 的任一排列，则称a i与b i(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和a1b1＋a2b2＋…＋a n b n 为顺序和，和a1c1＋a2c2＋…＋a n c n为乱序和，相反顺序相乘所得积的和a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1为反序和．2．排序不等式(排序原理)设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，c n是b1，b2，…，b n的任一排列，则a1b n＋a2b n－1＋…＋a n b1≤a1c1＋a2c2＋…＋a n c n≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n，当且仅当a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n时，反序和等于顺序和，此不等式简记为反序和≤乱序和≤顺序和．要点一利用排序原理证明不等式例1 已知a ，b ，c 为正数，求证b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc . 证明根据所要证明的不等式中a ，b ，c 的“地位”的对称性，不妨设a ≥b ≥c ，则1a ≤1b ≤1c，bc ≤ca ≤ab . 由排序原理：顺序和≥乱序和，得：bc a ＋ca b ＋ab c ≥bc c ＋ca a ＋ab b. 即b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2abc≥a ＋b ＋c ，因为a ，b ，c 为正数，所以abc ＞0，a ＋b ＋c ＞0，于是b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c≥abc . 规律方法 (1)在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．(2)排序不等式也可以理解为两实数序列同向单调时，所得两两乘积之和最大；反向单调(一增一减)时，所得两两乘积之和最小．跟踪演练1 已知a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13. 证明不妨设a ≤b ≤c ，则由排序不等式得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ，上式两边同乘2再加a 2＋b 2＋c 2，得3(a 2＋b 2＋c 2)≥(a ＋b ＋c )2，即a 2＋b 2＋c 2≥(a ＋b ＋c )23＝13，命题得证．要点二利用排序原理证明n 项不等式例2 设a 1，a 2，…，a n 是n 个互不相同的正整数，求证：1＋12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n 2. 证明 ∵12＜22＜32＜…＜n 2，∴112＞122＞…＞1n 2. 设c 1，c 2，…，c n 是a 1，a 2，…，a n 由小到大的一个排列，即c 1＜c 2＜c 3＜…＜c n ，根据排序原理中，反序和≤乱序和，得c 1＋c 222＋c 332＋…＋c n n 2≤a 1＋a 222＋a 332＋…＋a n n 2，而c 1，c 2，…，c n 分别大于或等于1,2，…，n ，∴c 1＋c 222＋c 332＋...＋c n n 2≥1＋222＋332＋...＋n n 2＝1＋12＋ (1)， ∴1＋12＋13＋…＋1n ≤a 1＋a 222＋…＋a n n 2. 规律方法利用排序不等式证明不等式，关键是构造出不等式中所需要的带大小顺序的两个数组．跟踪演练2 设c 1，c 2，…，c n 为正数组a 1，a 2，…，a n 的某一排列，求证：a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n≥n .证明不妨设0＜a 1≤a 2≤…≤a n ，则1a 1≥1a 2≥…≥1a n. 因为1c 1，1c 2，…，1c n 是1a 1，1a 2，…，1a n的一个排序，故由排序原理：反序和≤乱序和得a 1·1a 1＋a 2·1a 2＋…＋a n ·1a n≤a 1·1c 1＋a 2·1c 2＋…＋a n ·1c n. 即a 1c 1＋a 2c 2＋…＋a n c n≥n . 要点三利用排序原理求最值例3 设a ，b ，c 为任意正数，求a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b的最小值．解不妨设a ≥b ≥c ，则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b，由排序不等式得，a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋ba b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a c ＋a ＋b a ＋b上述两式相加得：2⎝⎛⎭⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3，即a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32. 当且仅当a ＝b ＝c 时，a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b取最小值32. 规律方法求最小(大)值，往往所给式子是顺(反)序和式．然后利用顺(反)序和不小(大)于乱序和的原理构造出适当一个或二个乱序和从而求出其最小(大)值．跟踪演练3 设0＜a ≤b ≤c 且abc ＝1.试求1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )的最小值．解令S ＝1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )，则S ＝(abc )2a 3(b ＋c )＋(abc )2b 3(a ＋c )＋(abc )2c 3(a ＋b )＝bc a (b ＋c )·bc ＋ac b (a ＋c )·ac ＋ab c (a ＋b )·ab . 由已知可得：1a (b ＋c )≥1b (a ＋c )≥1c (a ＋b )，ab ≤ac ≤bc . ∴S ≥bc a (b ＋c )·ac ＋ac b (a ＋c )·ab ＋ab c (a ＋b )·bc ＝c a (b ＋c )＋a b (a ＋c )＋b c (a ＋b ). 又S ≥bc a (b ＋c )·ab ＋ac b (a ＋c )·bc ＋ab c (a ＋b )·ac ＝b a (b ＋c )＋c b (a ＋c )＋a c (a ＋b )，两式相加得：2S ≥1a ＋1b ＋1c ≥3·31abc＝3. ∴S ≥32，即1a 3(b ＋c )＋1b 3(a ＋c )＋1c 3(a ＋b )的最小值为32.1．设a 1≤a 2≤a 3≤…≤a n ，b 1≤b 2≤b 3≤…≤b n 为两组实数，在排序不等式中，顺序和，反序和，乱序和的大小关系为( )A ．反序和≥乱序和≥顺序和B ．反序和＝乱序和＝顺序和C ．反序和≤乱序和≤顺序和D ．反序和、乱序和、顺序和大小关系不确定答案 C2．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则1c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________．答案 32 28解析由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32；最小值为28.3．已知a ，b ，c ∈R ＋，求证a ＋b ＋c ≤a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b. 证明由于不等式关于a 、b 、c 对称，可设a ≥b ≥c ＞0.由排序不等式，得a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c (逆序和)≤a 2·1b ＋b 2·1c ＋c 2·1a(乱序和)．及a 2·1a ＋b 2·1b ＋c 2·1c≤a 2·1c ＋b 2·1a ＋c 2·1b. 以上两个同向不等式相加再除以2，即得a ＋b ＋c ≤a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b.1.在没有给定字母大小的情况下，要使用排序不等式，必须限定字母的大小顺序，而只有具有对称性的字母才可以直接限定字母的大小顺序，否则要根据具体环境分类讨论．2．求证一个与排序有关的不等式．若 a ，b ，c 在不等式中的“地位”是对称的，解答时不妨设a ≥b ≥c ，再利用排序不等式加以证明．排序不等式1．有一有序数组，其顺序和为A ，反序和为B ，乱序和为C ，则它们的大小关系为( )A ．A ≥B ≥CB ．A ≥C ≥B C ．A ≤B ≤CD ．A ≤C ≤B解析：选B 由排序不等式，顺序和≥乱序和≥反序和知：A ≥C ≥B .2．若A ＝x 21＋x 22＋…＋x 2n ，B ＝x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n －1x n ＋x n x 1，其中x 1，x 2，…，x n 都是正数，则A 与B 的大小关系为( )A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ≤B解析：选C 序列{x n }的各项都是正数，不妨设0＜x 1≤x 2≤…≤x n ，则x 2，x 3，…，x n ，x 1为序列{x n } 的一个排列．由排序原理，得x 1x 1＋x 2x 2＋…＋x n x n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1，即x 21＋x 22＋…＋x 2n ≥x 1x 2＋x 2x 3＋…＋x n x 1.3．锐角三角形中，设P ＝a ＋b ＋c 2，Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A ，则P ，Q 的关系为( ) A ．P ≥Q B ．P ＝Q C ．P ≤Q D ．不能确定解析：选C 不妨设A ≥B ≥C ，则a ≥b ≥c ，cos A ≤cos B ≤cos C ，则由排序不等式有Q ＝a cos C ＋b cos B ＋c cos A≥a cos B ＋b cos C ＋c cos A＝R (2sin A cos B ＋2sin B cos C ＋2sin C cos A )＝R [sin(A ＋B )＋sin(B ＋C )＋sin(A ＋C )]＝R (sin C ＋sin A ＋sin B )＝P ＝a ＋b ＋c 2. 4．儿子过生日要老爸买价格不同的礼品1件、2件及3件，现在选择商店中单价为13元、20元和10元的礼品，至少要花的钱数为( )A ．76B ．20C ．84D ．96解析：选A 设a 1＝1(件)，a 2＝2(件)，a 3＝3(件)，b 1＝10(元)，b 2＝13(元)，b 3＝20(元)，则由排序原理反序和最小知至少要花a 1b 3＋a 2b 2＋a 3b 1＝1×20＋2×13＋3×10＝76(元)．5．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则1c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________．解析：由反序和≤乱序和≤顺序和知，顺序和最大，反序和最小，故最大值为32，最小值为28.答案：32 286．有4人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s 、4 s 、3 s 、 7 s ，每个人接完水后就离开，则他们总的等候时间最短为________s.解析：由题意知，等候的时间最短为3×4＋4×3＋5×2＋7＝41.答案：417．在Rt △ABC 中，∠C 为直角，A ，B 所对的边分别为a ，b ，则aA ＋bB 与π4(a ＋b )的大小关系为________．解析：不妨设a ≥b >0，则A ≥B >0，由排序不等式⎭⎪⎬⎪⎫aA ＋bB ≥aB ＋bA aA ＋bB ＝aA ＋bB ⇒2(aA ＋bB )≥a (A ＋B )＋b (A ＋B ) ＝π2(a ＋b )， ∴aA ＋bB ≥π4(a ＋b )．答案：aA ＋bB ≥π4(a ＋b ) 8．设a ，b ，c 都是正数，求证：a ＋b ＋c ≤a 4＋b 4＋c 4abc. 证明：由题意不妨设a ≥b ≥c >0.由不等式的性质，知a 2≥b 2≥c 2，ab ≥ac ≥bc .根据排序原理，得a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2≤a 3c ＋b 3a ＋c 3b .①又由不等式的性质，知a 3≥b 3≥c 3，且a ≥b ≥c .再根据排序不等式，得a 3c ＋b 3a ＋c 3b ≤a 4＋b 4＋c 4.②由①②及不等式的传递性，得a 2bc ＋ab 2c ＋abc 2≤a 4＋b 4＋c 4.两边同除以abc 得证原不等式成立．9．设a ，b ，c 为任意正数，求a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b 的最小值．解：不妨设a ≥b ≥c ，则a ＋b ≥a ＋c ≥b ＋c ，1b ＋c ≥1c ＋a ≥1a ＋b. 由排序不等式，得 a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥b b ＋c ＋c c ＋a ＋a a ＋b， a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥c b ＋c ＋a c ＋a ＋b a ＋b，以上两式相加，得2⎝⎛⎭⎫a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥3， ∴a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b ≥32，即当且仅当a ＝b ＝c 时，a b ＋c ＋b c ＋a ＋c a ＋b的最小值为32.10．设x ，y ，z 为正数，求证：x ＋y ＋z ≤x 2＋y 22z ＋y 2＋z 22x ＋z 2＋x 22y. 证明：由于不等式关于x ，y ，z 对称，不妨设0<x ≤y ≤z ，于是x 2≤y 2≤z 2，1z ≤1y ≤1x ，由排序原理：反序和≤乱序和，得x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ≤x 2·1z ＋y 2·1x ＋z 2·1y， x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z ≤x 2·1y ＋y 2·1z ＋z 2·1x ，将上面两式相加，得2(x ＋y ＋z )≤x 2＋y 2z ＋y 2＋z 2x ＋z 2＋x 2y ，于是x ＋y ＋z ≤x 2＋y 22z ＋y 2＋z 22x ＋z 2＋x 22y.。

高一年级竞赛数学：4.排序不等式与切比雪夫不等式

A4.排序不等式与切比雪夫不等式一、基础知识排序不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤12,,,n j j j 是1,2,,n 的任意一个排列.则1111k nnnk n k k j k k k k k a ba b a b -+===≤≤∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.可简记为反序和≤乱序和≤同序和.切比雪夫不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤则111()().nnni i i i i i i a b n a b ===≤∑∑∑设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≥≥≥则111()().n n ni i i i i i i a b n a b ===≥∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.二、典型例题与基本方法1.用排序不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,1,nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.2.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则11,1nii ni ianna==≥∑∑当且仅当12n a a a ===取等.3.已知,,0a b c >,证明：888333111.a b c a b c a b c ++++≤4.设,,a b c 是ABC ∆的三边长,证明：222()()()0.a b a b b c b c c a c a -+-+-≥5.设,,,0,a b c d >且22224,a b c d +++=证明：22224+.3a b c d b c d c d a d a b a b c ++≥++++++++6.设0(1,2,,),i a i n >=且11.ni i a ==∑求122313121111nnnn a a a S a a a a a a a a a -=+++++++++++++++的最小值.7.设,,1,a b c >且满足222111 1.111a b c ++=---证明：1111.111a b c ++≤+++8.设,,0,a b c >证明：2().a b b c c a a b c b c c a a b ab bc ca+++++++≤+++++B4.练习姓名：1.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则1nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.2.设,,0,x y z >求证：2222220.z x x y y z x y y z z x---++≥+++3.设12,,,(2)n x x x n ≥都是正数,且11,n i i x ==∑求证：1ni =≥A4.排序不等式与切比雪夫不等式参考解答一、基础知识排序不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤12,,,n j j j 是1,2,,n 的任意一个排列.则1111k nnnk n k k j k k k k k a ba b a b -+===≤≤∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.可简记为反序和≤乱序和≤同序和.证明：11111111()()(())()kk k i nnnnn kk kkj k k j n k j i j k k k k k k k i a b a ba b b a b b b b a a -+======-=-=-+--∑∑∑∑∑∑111111111111()()()()()0.k i i n nn k k n k kn k j i j k k i j k k k k k i i k i i a b b b b a a b b a a --++=========-+--=--≥∑∑∑∑∑∑∑∑11111111()()(())()kk k i n nn n n kk kkj k k j n k j i j k k k k k k k i a b a ba b b a b b b b a a -+======-=-=-+--∑∑∑∑∑∑.于是11.knnk j k k k k a ba b ==≤∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.111111111111()()(())()k k k i nn n n n kk n k k j k n k j n n k j n i j k k k k k k k i a ba b a b b a b b b b a a --+-+-+-++======-=-=-+--∑∑∑∑∑∑111111111111111()()()()()0.k i i n n n k k n k kn n k j n i j k k n i j k k k k k i i k i i a b b b b a a b b a a ---+-++-++=========-+--=--≤∑∑∑∑∑∑∑∑于是111.k nnk n k k j k k a ba b -+==≤∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.切比雪夫不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤则111()().n n ni i i i i i i a b n a b ===≤∑∑∑设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≥≥≥则111()().n n ni i i i i i i a b n a b ===≥∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.证明：法1由排序不等式知道1122112212231112212111122n n n n n n n n n n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b -+++=++++++≤++++++≤+++于是121111.nnnniin i i i i i i i a b a b a b n a b ====+++≤∑∑∑∑即111()().nnni i i i i i i a b n a b ===≤∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.法2 11111111111()()()().nnnnnnnnnnni iiii ii ji ii jiiji i i i j i j i j i j na b a b a b a b a b a b a b b ===========-=-=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑11111111()()()()().n n n n n n n ni i i i j j j j j j i i i i j j j i j n a b a b n a b a b a b b ========-=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑于是1111111112(()())()()()()0.n n n n n n nn ni iiiiijjji i j i j i i i i j i j i j na b a b a b b a bb a a b b =========-=-+-=--≥∑∑∑∑∑∑∑∑∑于是111()().nnniii ii i i a b n a b ===≥∑∑∑当且仅当12n aa a ===或12nb b b ===时取等.二、典型例题与基本方法1.用排序不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,1,nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.证明：由排序不等式知道12121112111111.nnn n nx x x x x x n x x x x x x -+++≥+++= 即1211.nn n x x x n x x x -+++≥ 令G =12112122,,,.nn na a a a a a x x x G GG===于是1211221211211.nn n n nn a a a a a a GG G n a a a a a a a G G G--+++≥即12.na a a n G GG+++≥ 于是1.nii anG =≤∑1.nii an=∑当且仅当12n a a a ===取等.2.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则11,1nii ni ian na ==≥∑∑当且仅当12n a a a ===取等.证明：不妨设120,n a a a ≥≥≥>则12111.na a a ≤≤≤由切比雪夫不等式知211111()().nn ni i i i i i in n a a a a ====⋅≤∑∑∑所以11.1ni i ni ia n n a ==≥∑∑当且仅当12n a a a ===取等.3.已知,,0a b c >,证明：888333111.a b c a b c a b c++++≤ 证明：不妨设0,a b c ≥≥>则555333333111,,a b c bc ca ab b c c a a b≥≥≤≤≥≥由排序不等式知 888555555222333333333333333333.a b c a b c a b c a b c a b c b c c a a b c a a b b c c a b++=++≥++=++又222333111,,a b c a b c ≥≥≤≤于是再使用排序不等式得222222333333111.a b c a b c c a b a b c a b c++≥++=++所以888333111.a b c a b c a b c++++≤4.设,,a b c 是ABC ∆的三边长,证明：222()()()0.a b a b b c b c c a c a -+-+-≥证明：等价于证明333222222.a b b c c a a b b c c a ++≥++再等价于222.a b c ab bc cac a b c a b++≥++(*) 不妨设,a b c ≥≥则111.a b c≤≤ 又,,a b c 是ABC ∆的三边长,所以,a b c +>从而()()().a b a b c a b +-≥-即22.a bc b ac +≥+因为,b c a +>从而()()().b c b c a b c +-≥-即22.b ac c ab +≥+所以222.a bc b ac c ab +≥+≥+由排序不等式知222222.a bc b ac c ab a bc b ac c aba b c c a b++++++++≤++ 即222.bc ac ab a b c a b c c a b++≤++于是(*)得证.从而222()()()0.a b a b b c b c c a c a -+-+-≥5.设,,,0,a b c d >且22224,a b c d +++=证明：22224+.3a b c d b c d c d a d a b a b c ++≥++++++++ 证明：不妨设.a b c d ≥≥≥则22221111,.a b c d b c d c d a d a b a b c≥≥≥≥≥≥++++++++先切比雪夫不等式,再使用柯西不等式,最后使用平均值不等式得2222222211114(+)()(+)a b c d a b c d b c d c d a d a b a b c b c d c d a d a b a b c++≥+++++++++++++++++++++211114(1111)644(+)3()3()b c d c d a d a b a b c a b c d a b c d +++=++≥=++++++++++++++16.3≥=于是22224+.3a b c d b c d c d a d a b a b c ++≥++++++++6.设0(1,2,,),i a i n >=且11.ni i a ==∑求122313121111nnnn a a a S a a a a a a a a a -=+++++++++++++++的最小值.解：1212222nna a aS a a a =+++---. 不妨设1210,n a a a >≥≥≥>则121110.222na a a ≥≥≥>--- 使用切比雪夫不等式有12121211111111()()().222222n n nS a a a na a a n a a a ≥++++++=+++------ 在使用柯西不等式得2121211111(111)()().22222221n n n S n a a a n a a a n +++≥+++≥=----+-++-- 当且仅当121n a a a n ====等号成立.所以S 的最小值为.21nn -7.设,,1,a b c >且满足222111 1.111a b c ++=---证明：111 1.111a b c ++≤+++ 证明：因为2222222221113,111111a b c a b c a b c ++=++-------所以222222 4.111a b c a b c ++=---又22222222211144(),111111a b c a b c a b c ++==++------所以2222224440.111a b c a b c ---++=--- 不妨设,a b c ≥≥于是222222,.111111a b c a b c a b c a b c ---+++≥≥≤≤+++--- 这是因为23()111x f x x x -==-++在(1,)+∞单调递增,23()111x g x x x +==+--在(1,)+∞单调递减. 于是使用切比雪夫不等式得22222244412222220()().1113111111a b c a b c a b c a b c a b c a b c ------+++=++≤++++---+++--- 因为,,1,a b c >所以2220.111a b c a b c +++++>--- 于是2220.111a b c a b c ---++≥+++ 因为22213131311133()0.111111111a b c a b c a b c a b c a b c ---+-+-+-++=++=-++≥+++++++++ 所以1111.111a b c ++≤+++8.设,,0,a b c >证明：2().a b b c c a a b c b c c a a b ab bc ca+++++++≤+++++ 证明：即证2()()().a b b c c aab bc ca a b c b c c a a b+++++++≤+++++ 因为()()().a b a b bcab bc ca a a b b c b c ++++=++++ 同理()()().b c b c caab bc ca b b c c a c a++++=++++ ()()().c a c a ab bc ca ab c c a a b a b++++=++++ 于是()()()()()()()()a b b c c a a b bc b c ca c a abab bc ca a a b b b c c c a b c c a a b b c c a a b++++++++++≤++++++++++++++ 222()()().a b bc b c ca c a aba b c ab bc ca b c c a a b+++=+++++++++++于是只须证明()()().a b bc b c ca c a abab bc ca b c c a a b+++++≤+++++(*)不妨设,a b c ≥≥于是111.a b c ≤≤从而111111.a b b c c a +≤+≤+即.a b c a b c ab ca bc+++≤≤ 所以.ab ca bca b c a b c≥≥+++又.a b a c b c +≥+≥+ 使用排序不等式得()()()()()().a b bc b c ca c a ab ab ca bca b c a b c ab bc ca b c c a a b a b c a b c+++++≤+++++=++++++++于是(*)得证.从而2().a b b c c a a b c b c c a a b ab bc ca+++++++≤+++++B4.练习姓名：1.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则1nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.证明：不妨设120.n a a a ≥≥≥>由切比雪夫不等式知2211111()()().nnnnnii i i i i i i i i i nan a a a a a ======⋅≤=∑∑∑∑∑所以1nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.2.设,,0,x y z >求证：2222220.z x x y y z x y y z z x---++≥+++证明：所证不等式等价于222222.z x y x y z x y y z x z x y y z z x++≥++++++++(*)不妨设,x y z ≤≤则222111,.x y z x y x z y z≤≤≥≥+++ 使用排序不等式得(*).所以原不等式成立.3.设12,,,(2)n x x x n ≥都是正数,且11,ni i x ==∑求证：1ni =≥证明：不妨设12,n x x x ≥≥≥1x ≥≥≥-使用切比雪夫不等式得1111()(nnn ni i i i x n ===≥=∑使用柯西不等式得1ni n=≤==于是1nni =≥≥。

公务员考试排列组合之比赛问题的解题方法

排列组合之比赛问题的解题方法一、基础理论(1)循环赛所需场次单循环(任意两个队打一场比赛)，比赛场次=双循环(任意两个队打两场比赛)，比赛场次=(其中n为参加比赛的总人数或总的队数)(2)淘汰赛所需场次(假设n个队)仅需决出冠亚军，比赛场次=n-1。

(说明产生1名冠军，所以要淘汰n-1个队伍，而淘汰赛一场比赛淘汰一支球队，所以共需n-1场比赛。

)需决出第1、2、3、4名，比赛场次=n。

(说明产生1名冠军，所以要淘汰n-1个队伍，而淘汰赛一场比赛淘汰一支球队，而产生第3、4名则需要多进行一场比赛，所以共需n-1场比赛。

)(其中n为参加比赛的总人数或总的队数)单循环赛，即任意两个队打一场比赛，和顺序无关，所以是组合问题;双循环赛，即任意两个队打两场比赛，和顺序有关，所以是排列问题。

二、真题精析例1、8个甲级队应邀参加比赛，先平均分成两组，分别进行单循环赛，每组决出前两名，再由每组的第一名，另一组的第二名进行淘汰赛，获胜者角逐冠、亚军，败者角逐第3、4名，整个赛程的比赛场数是：A.16B.15C.14D.13【答案】A【解析】两组各4队，进行单循环赛，共赛2× =12场。

然后进行淘汰赛，共赛4场。

所以整个赛程的比赛共赛12+4=16场。

例2、某单位职员在健身活动中举行乒乓球比赛，每个选手都要和其他选手各赛一场，一共120场比赛，则该单位参加人数是( )人。

A.18B.16C.15D.14【答案】B【解析】本题考查的是排列组合知识。

假设总共有X人，因为每两个人要进行一场比赛，所以应该用组合公式：。

此时利用代入排除法，只有X=16时满足条件。

例3、 100名男女运动员参加乒乓球单打淘汰赛，要产生男、女冠军各一名，则要安排单打赛：A.90场B.95场C.98场D.99场【答案】C【解析】根据题意，最后要决出2个冠军，也就是要淘汰98人，而每个人都是通过一次单打赛被淘汰的，故需要安排98场单打赛。

因此，选C。

用不等式巧解物理竞赛题_熊朝胜

关
注
【数理化研究】
笔直的公路上依次设置三盏交通信号灯 L1、 L2 和 L3，汽车能不停顿地通过三盏信号灯的最大速率，自行车能不停顿地通过三盏信号灯的最小速率是多少 m/s。有一道全国中学生物理竞赛题是这样的：在一条笔直的公路上依次设 L2 和 L3， L2 置三盏交通信号灯 L1、与 L1 相距 80m， L3 与 L1 相距 120m。每盏信号灯显示绿色的时间间隔都是 20s，显示红色的时间间隔都是 40s。 L1 与 L3 同时显示绿 L2 则在 L1 显示红色经历了 10s 色，时开始显示绿色。规定车辆通过三盏信号灯经历的时间不得超过 150s，问：（1 ）若有一辆匀速向前行驶的汽车通过 L1 的时刻正好是 L1 刚开始显示绿色的时刻，则此汽车能不停顿地通过三盏信号灯的最大爱因斯坦曾经说过： “ 兴趣是最好的老师。” 诸多的教学实践也表明，学生对学习有了浓厚的兴趣，才有积极的探索、敏锐的观察、牢固的记忆、丰富的想象和创造性的运用，从中更能体会到学习的乐趣，全面提升学习数学的实效。一、精彩导入，引发兴趣 “ 良好的开端，是成功的一半。” 精彩的课堂导入，不但能很快地集中学生的注意力，迅速地安定学生的学习情绪，而且能使学生对学习产生浓厚地兴趣，造成学生渴望学习的心理状态，从而为整节课的教学创造一个良好的铺垫。例如，我在教学《分数的基本性质》时，课一开始，我就给学生讲 “ 猴王分饼 ” 的故事。 “ 花果山上的小猴子最喜欢吃猴王做的饼有一天，猴王做了三块同样大了。小的饼分给小猴子们吃。它先把第一块饼平均分成四块，分给猴甲一块；猴乙见到说 ‘ 太少了，我，于是猴王就把第二块饼要两块 ’ 平均分成 8 块，分给猴乙两块；猴丙更提贪，它抢着说： ‘ 我要三块，我要三块。’ 这时，猴王又把第三块饼平均分成 12 块，分给猴丙 3 块。” 故事讲到这里，老师问： “同学们，你们知道哪只猴子分得多吗？ ” 学生有的说： “ 猴丙多。 ” 有的 “ 一样多。” 这时老师接着说：说： “ 到底谁多呢？学习了分数的基本性质以后你们就清楚了。 ” 这样学生带着强烈的好奇心和浓厚地求知欲望开始新课的学习，诱发了学生学习数学的积极性，激发了学生的求知欲望。二、巧设情境、激发兴趣在讲授新知识之前，教师创造与教学内容相关的情境，提出有关的问题，以引起学生的好奇心与思考，是激发学生学习兴趣

练习第三讲33排序不等式Word版含解析

第二讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式高效演练知能提升 A 级基础巩固、选择题1 .设正实数a i , a 2, a 3的任一排列为a i ', a ?', a 3', a^ +予的最小值为()D. 12解析：a1> a2> a3>0,则 a 》a 》£> 0, 由乱序和不小于反序和知, 所以許+aO "+許》1;+12+a3=3,所以話+ af +話的最小值为3,故选A. 答案：A2.车间里有5台机床同时出了故障，从第1台到第5时间依次为4 min , 8 min, 6 min, 10 min , 5 min ,每台机床停产1 min损失5元，经合理安排损失最少为()解析：损失最少为 5(1 X 10+ 2X 8+ 3X 6+ 4X 5 + 5X 4) = 420(元),则 a a '+台的修复A. 420 元B. 400 元C. 450 元D. 570 元反序和最小.答案：A3.设a, b, c€ R+, M = a5 + b5 + c5, N = a3bc + b3ac + c3ab,贝J M与N的大小关系是(解析：不妨设a>b>c>0,则 a4 > b4 > c4,运用排序不等式有:a5+ b5 + c5 = a a4 + b b4 + c c4 > ac4 + ba4 + cb4,又 a3> b3>c3> 0,且 ab>ac>bc>0,所以 a4b + b4c + c4a= a3ab + b3bc + c3ca>a3bc + b3ac + c3ab,即 a5 + b5 + c5> a3bc + b3ac + c3ab,即卩 M > N.答案：A4.已知 a, b, c>0,且 a3+b3+ c3 = 3,贝J a d B+b/e+c/a的最大值是()D. 3解析：设a>b>c>0,所以诟>^/b A寸c.由排序不等式可得a^+ b^/e+ ^/a< a V a+ b托+ 6伍而(a\/a + b V B+ c 寸c)2 < (a V a)2 + (g b)2 + (C V C FK I + 1 + 1) = 9,即 a V a+ b^/b + c讥w 3.所以 a^/b+b^/e + ^/a< 3.答案：C5.已知a, b, c€ (0,+^),贝J a2(a2— be)+ b2(b2— ac)+ c2(c2—ab ）的正负情况是（a+ b 3• b+ c 3• c> a 3b + b 3c + c 3a. 又知 ab>ac>bc, a 2>b 2>c 2,所以 a 3b + b 3c + c 3a> a 2bc + b 2ca + c 2ab. 所以 a 4+ b 4+ c 4> a 2bc + b 2ca + c 2ab,即 a 2(a 2— bc) + b 2(b 2— ac)+ c 2(c 2— ab)> 0. 答案：B 二、填空题6.设 a i , a 2,…，a n 为实数，b i , b 2,…，b n 是 a i , a 2,…，a n 的任一排列，则乘积a i b i + a 2b 2 +…+ a n b n 不小于答案：a i a n + a 2a n -1+ …+ a n a ia b c7.已知a, b, c都是正数，则兀+ c+a+o+bA 1 1 1解析：设 a> b> c> 0,所以c ^" a+b由排序原理，知b t +土+朮+c t +b+a,①a b c c a c b+^+c+； + a ^，b+^+c+a +a+b,② ①+②得 bh +土+ a+b ，2.8.设 a, b, c>0,则竽+ ¥+¥a b c ■A .大于零B .大于等于零 C.小于零D .小于等于零解析：设a>b>c>0,所以 a 3> b 3>c 3,根据排序原理，得a 3• a+ b+ c.1o q e + (q+e)qe/oqe+e e + %+o q e+ ,p+eq十。

全国高中数学联赛-不等式专题排序不等式与琴生不等式.pdf

说明：运用琴生不等式证题关键在于选去适当的辅助函数。情景再现
1. ABC 中，求 sin A sin B sin C 的最大值。
2. f (x) ax 2 bx c ，若 a 0 ，证明 f (x) 是下凸的；若 a 0 ，证明 f (x) 是上凸的。
3. 用函数 f (x) lg x 的凸函数性质证明平均值不等式：对 ai 0 （ i 1,2,..., n ）有
2
x分
别是 (0,
), (0,)
上的下凸函数。
f
(x)

sin
x, lg
x
分别是 [0,
], (0,)
上的上凸函数。
2
定理一和定理二所表达的不等关系，统称为琴生不等式。
幂平均：
设
a1, a2 ,..., an
是任意
n
个正数，我们称 ( a1r

a2r n
...
an r
1
)r
(r
在命题与逻辑用语的学习过程中，我们常常会列举与不等式性质相关的问题作为范例. 不仅在大纲版人教社教材和课标版各教材的简易逻辑部分，都配有与此相关的例题、练习题作为逻辑学习的载体，在各类教辅用书和重要考试的考题中，以不等式性质或其运用作为素材的逻辑问题也是屡见不鲜的.这不仅是因为不等式的性质具有形式简洁明确、易于体现逻辑关系的特点，还因为它的工具作用使得我们在以许多其他教学内容作为题材提出围绕命题与逻辑用语的问题时，也与不等式的性质相关.
高一对函数单调性的证明，由于学生对不等式相关知识和方法的掌握方面还很欠缺，所以
我们将证明 f (x1 )与f (x2 ) 的大小关系，转化为判断 f (x1 ) f (x2 ) 的符号问题，从而以 f (x1 ) f (x2 ) 的恒等变形作为主要步骤，避免了对运用不等式性质进行变形的依赖.

三个重要不等式

三个重要不等式目的：掌握三个重要不等式及其应用重点、难点：综合应用三个重要不等式解决竞赛数学中的不等式问题 1、排序不等式[2]设有两组数1212, ,,;,,,n n a a a b b b L L ，满1212 ,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤L L ，则有 1122n n a b a b a b +++L （顺序和）1212n i i n i a b a b a b ≥+++L （乱序和）1211n n n a b a b a b -≥+++L （逆序和）其中12, ,,n i i i L 是1,2,,n L 的一个排列，当且仅当12= n a a a ==L 或12n b b b ===L 时等号成立.证明先证左端设乱序和为S ,要S 最大,我们证明必须n a 配n b ,1n a -配1n b -,L ,1a 配1b , 设n a 配n i b ()n i n <,n b 配某个()k a k n <, 则有 n n n i n k k i n n a b b a a b a b +≤+这是因为 ()()0n n n n n k i k n n i n k n i a b a b a b a b a a b b +--=--≥ 同理可证1n a -必配1n b -，2n a -必配2n b -，L ，1a 必配1b ，所以 12121122n i i n i n n a b a b a b a b a b a b +++≤+++L L 再证右端又1211 ,n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-L L ，由以上证明结论(乱≤ 同) 可得，()()()()()()12121112nn n n i i n i a b a b a b a b a b a b --+-++-≥-+-++-L L于是有12121112n n n n i i n i a b a b a b a b a b a b -+++≤+++L L当且仅当12= n a a a ==L 或 12n b b b ===L 时，等号成立. 证毕. 2．均值不等式设12,n a a a L 是正实数，则n n n a a a n a a a ............2121≥+++na a a n1 (112)1+++≥即n n n H G A ≥≥,等号当且仅当n a a a ===......21时成立.证明： ),......,2,1(n i R a i =∈+Θ∴设)1(log )(>=a x f xa，则)(x f 为),0(+∞内的上凸函数由琴生不等式，得：na a a a a a nnn n n a a a aa a a a a a nn ............log)log ......log (log 12121 (2121)++≤≤+++++即所以n n G A ≥对于na a a 1,......,1,121这n 个正数，应用n n G A ≥，得0 (1)1 (112121)>≥+++n nn a a a n a a a 所以nn n a a a na a a 1......11......2121+++≥所以n n H G ≥成立 ,故n n n H G A ≥≥ 证毕. 此外，均值不等式还可用排序不等式、数学归纳法等其它方法证明，3、柯西不等式设,(1,2....)i i a b R i n ∈=则222111()()()nnni i i i i i i a b a b ===≤∑∑∑当且仅当(1,2....)i i b ka i n ==时等号成立证法一（数学归纳法）(1)当(1,2...)(1,2....)i i a i n b i n ==或全为零时，命题显然成立. (2)当数组1212,,...;,...n n a a a b b b 不全为零时，采用数学归纳法.1）当n=1时22221111a b a b =不等式成立 2）设当1n k =-时，不等式成立.令11122123111,,k k k i i i i i i i S a S b S a b ---======∑∑∑则有2123S S S ≥3）那么当n=k 时112222221111()()kkk k i i k i k i i i i a b a a b b --====⋅=++∑∑∑∑2212()()kk S a S b =++ =22221212k kk k S S S b S a a b +++223()k k S a b ≥+22332()k k k k S a b S a b ≥++=23()k k S a b + =121()k i i k k i a b a b -=+∑=21()k i i i a b =∑当且仅当(1,2....)i i b ka i n ==时等号成立综上述，对222111,,.1,2...()nnni i i i i i i i i n N a b R i n a b a b ===∀∈∀∈=≥∑∑∑均有证法二，作关于x 的二次函数222222212112212()(...)2(...)(...)n n n n f x a a a x a b a b a b x b b b =+++++++++++若22212...0n a a a +++=则12..0n a a a ====不等式显然成立.若22212...0n a a a +++≠ 则2221122()()()...()0n n f x a x b a x b a x b =++++++≥又22212...0n a a a +++>Q 222111[2()]4()()0nnni i i i i i i a b a b ===∴-≤∑∑∑222111()n n ni i i i i i i a b a b ===∴≥∑∑∑当且仅当1212...n na a ab b b ===时等号才成立例1、（1935年匈牙利奥林匹克）假设12,,,n b b b L 是正数12, ,,n a a a L 的某个排列，证明：1212n na a a nb b b +++≥L 证明 1 不妨设12n b b b ≤≤≤L ，则12111nb b b ≥≥≥L 由排序不等式(乱序≥逆序)得，12121212111111n n n na a ab b b b b b b b b n⋅+⋅++⋅≥⋅+⋅++⋅=L L 例[5]3 设12,,,n a a a L 是个n 互不相同的自然数，证明：即1212n na a a nb b b +++≥L 例23（第20届IMO 试题）设12,,,n a a a L 是n 个互不相等的自然数，证明：32122211112323n a a a a n n ++++≤++++L L 证法一（用排序不等式）设12,,,n b b b L 是12,,,n a a a L 的一个排序，且12n b b b <<<L又221112n <<<L 由逆序和<乱序和得，22112222122n n b a b a b a n n ⋅+++<+++L L 又因为 121,2,,n b b b n ≥≥≥L 所以 21221111232n b b b n n ++++≤+++L L 当k k a b k ==，()1,2,k n =L 时，等号成立.即 111123n++++L ≤21222n a a a n +++L 证法二（用柯西不等式）依题设12,,,n a a a L 是n 个互不相等的自然数，不妨设1212,,n a a a n ≥≥≥L ，，则1111nn k k kk a ==≥∑∑ 由柯西不等式有,22111nn k k k ==⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎝⎭⎝∑2111n n k k k k a k a ==⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ ∴2211111nn n k k k k ka k a k ===⎛⎫⎛⎫≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 111111nnk nk k kkk a ====⋅∑∑∑∴2111nn k k k a k k==≥∑∑ 即 32122211112323n a a a a n n++++≤++++L L例12设,,a b c 为任意正数，求出a b c b c c a a b+++++的最小值.解不妨设a b c ≥≥，则a b a c b c +≥+≥+,111b c c a a b≥≥+++, 由排序不等式得，a b c b c a b c c a a b b c c a a ba b c c a b b c c a a b b c c a a b++≥++++++++++≥++++++++上两式相加则，23ab c b c c a a b ⎛⎫++≥ ⎪+++⎝⎭即 32a b c b c c a a b ++≥+++ 且当仅当a b c ==时，a b c b c c a a b +++++取最小值32. 例1[10],x y R +∈,1x y +=,求证: 11(1)(1)9x y++≥.证明: 由1x y +=,且,x y R +∈,得 11(1)(1)(1)(1)x y x y x y x y++++=++ ，(2)(2)y xx y =++52()y xx y=++又y x x y +≥ 故 11(1)(1)5229x y++≥+⋅=例2[1]若0,x > 0y >, 1x y +=,求证:221125()()2x y xy +++≥. 证明由 222x y xy +≥，得 2222()()x y x y +≥+，即 222()2x y x y ++≥，于是 22211()11()()2x y x yx y xy++++++≥21(1)2xy+=因为1x y =+≥所以14xy≥，故 2221(1)11()()2xy x y xy++++≥252≥.此题用柯西不等式也可求解例[1]1 设0,1,2,,i x i n >=L ，求证：2222112231n n x x x x x x x x x +++≥+++L L .证明构造均值不等式的模型由均值不等式，得212122x x x x +≥ ， 223232x x x x +≥ ，L ，2112n n n n x x x x --+≥ ， 2112n n x x x x +≥ . 将上述n 个不等式相加得222211212231()()2()n n n x x x x x x x x x x x x +++++++≥+++L L L ，所以 2222112231n n x x x x x x x x x +++≥+++L L .说明：该题的证明方法很多，也可以构造柯西不等式的模型. ：例[1]2 已知12,,,n a a a L 都是正数，试证：21212111()()n na a a n a a a ++++++≥L L . 证明构造柯西不等式的模型构造两个数组LL 利用柯西不等式，有222111([][]nn n i i i ===≤∑∑，即 21111(1)()()nnni i i i ia a ===≤∑∑∑，所以 21212111()()n na a a n a a a ++++++≥L L . 说明：该题也可以构造均值不等式的模型来求证. 例1[3]（1984年全国高中联赛题）设 12,,,n a a a L为正整数，求证：2221212231n n a a a a a a a a a +++≥+++L L证明由柯西不等式得，()22212231231na a a a a a a a a ⎛⎫++++++ ⎪⎝⎭L L()2212n a a a ⎛≥=+++L L故2221212231n n a a a a a a a a a +++≥+++L L 例5]5[设12,...n a a a 都是正数，且12...1n a a a +++=求证222221212111(1)()()...()n n n a a a a a a n+++++++≥证明由柯西不等式有221111[1()]()nn k k k k k ka n a a a ==⋅+≤+∑∑又2211111[1()]()n n n k k k k k k ka a a a ===⋅+=+∑∑∑211221(1)(1)nnk k k ka a n ===+∑∑≥+ 222111()(1)nk k k a n a n=∴+≥+∑ 例6]5[设12,...(1)n a a a n >均为实数。

排列不等式应用案例

排列不等式应用案例
排列不等式是数学中常见的一个概念，用于比较和描述数值的
大小关系。

在实际应用中，排列不等式可以被广泛运用于各个领域。

本文将介绍一些排列不等式的应用案例。

1. 经济学
在经济学中，排列不等式可以用于衡量和比较不同国家或地区
的经济发展水平。

例如，可以使用国内生产总值（GDP）作为评价
指标，并将不同国家的GDP进行排列。

通过排列不等式，我们可
以了解各国之间的经济发展水平差异。

2. 数学竞赛
排列不等式也是数学竞赛中常见的考点之一。

比如，给定一组
正整数，要求证明它们的平均值大于等于它们的几何平均值。

通过
使用排列不等式，我们可以很容易地得到证明结果。

3. 数据分析
在大数据分析中，排列不等式可以用于排序和筛选数据。

例如，在进行市场营销活动时，我们可以根据顾客的消费金额对顾客进行
排列，从而选择出消费最高的顾客进行个性化推荐。

排列不等式在
这种场景中可以起到非常重要的作用。

4. 社会科学
在社会科学研究中，排列不等式可以用于比较和研究不同社会
群体之间的收入差距。

通过排列不等式，我们可以对不同收入层次
的人群进行排列，并分析各个收入层次之间的差异和趋势。

以上仅是排列不等式应用的一些案例，实际上排列不等式在数
学和其他学科中都有着广泛的应用。

无论是经济学、数学竞赛还是
数据分析，排列不等式都可以帮助我们更好地理解和研究问题，提
供更有效的解决方案。

竞赛数学中几类不等式的解法

竞赛数学中几类不等式的解法摘要：本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式，平均值不等式，柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程，并挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行了分析和讲解。

希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。

关键词：排序不等式；平均值不等式；柯西不等式；切比雪夫不等式不等式在数学中占有重要的地位，由于其证明的困难性和方法的多样性，而成为竞赛数学中的热门题型.在解决竞赛数学中的不等式问题的过程中，常常要用到几个著名的代数不等式：排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式.本文就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.1．排序不等式定理1 设1212...,...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤，则有1211...n n n a b a b a b -+++ (倒序积和) 1212...n r r n r a b a b a b ≤+++（乱序积和）1122 ...n n a b a b a b ≤+++（顺序积和）其中1,2,...,n r r r 是实数组1,2,...,n b b b 一个排列，等式当且仅当12...n a a a ===或12...n b b b ===时成立.（说明：本不等式称排序不等式，俗称倒序积和乱序积和顺序积和.）证明：考察右边不等式，并记1212...n r r n r S a b a b a b =+++。

不等式 1212...n r r n r S a b a b a b ≤+++的意义：当121,2,...,n r r r n ===时，S 达到最大值1122 ...n n a b a b a b +++.因此，首先证明n a 必须和n b 搭配，才能使S 达到最大值.也即，设n r n <且n b 和某个()k a k n <搭配时有.n n k n n r k r n n a b a b a b a b +≤+ （1-1）事实上，()()()0n n n n n k r k n n r n r n k a b a b a b a b b b a a +-+=--≥不等式（1-1）告诉我们当n r n <时，调换n b 和n r b 的位置（其余n-2项不变），会使和S 增加.同理，调整好n a 和n b 后，再调整1n a -和1n b -会使和增加.经过n 次调整后，和S 达到最大值1122 ...n na b a b a b +++，这就证明了1212...n r r n r a b a b a b +++1122 ...n n a b a b a b ≤+++.再证不等式左端,由1211...,...n n n a a a b b b -≤≤≤-≤-≤≤-及已证明的不等式右端，得1211(...)n n n a b a b a b --+++1212(...)n r r n r a b a b a b ≥-+++ 即 1211...n n n a b a b a b -+++1212...n r r n r a b a b a b ≤+++ .例1 （美国第3届中学生数学竞赛题）设a,b,c 是正数，求证：3()a b ca b ca b c abc ++≥.思路分析：考虑两边取常用对数，再利用排序不等式证明. 证明：不妨设a b c ≥≥，则有lg lg lg a b c ≥≥ 根据排序不等式有：lg lg lg lg lg lg a a b b c c a b b c c a ++≥++lg lg lg lg lg lg a a b b c c a c b a c b ++≥++ 以上两式相加，两边再分别加上 lg lg lg a a b b c c ++ 有 3(lg lg lg )()(lg lg lg )a a b b c c a b c c a b ++≥++++即 lg lg 3a b c a b ca b c abc ++≥故 3()a b c a b ca b c abc ++≥ .例2 设a,b,c R +∈，求证：222222333222a b b c c a a b c a b c c a b bc ca ab+++++≤++≤++. 思路分析：中间式子每项都是两个式子之和，将它们拆开，再用排序不等式证明.证明：不妨设a b c ≥≥，则 222a b c ≥≥且111c b a≥≥根据排序不等式，有222222111a b c a b c c a b a b c++≥++ 222222111a b c a b c b c a a b c++≥++两式相加除以2，得222222222a b b c c a a b c c a b+++++≤++再考虑333a b c ≥≥，并且111bc ca ab≥≥利用排序不等式，333333111 a b c a b c bc ca ab ca ab bc++≥++ 333333111a b c a b c bc ca ab ab bc ac++≥++两式相加并除以2，即得222222333222a b b c c a a b c c a b bc ca ab+++++≤++ 综上所述，原不等式得证.例3 设12120...,0...n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤≤≤，而1,2,...,n i i i 与1,2,...,n j j j 是1,2,...,n 的两个排列.求证：1111r s n nn ni j r sr s r s a b a b r sr s====≥++∑∑∑∑. （1-2）思路分析：已知条件中有两组有序实数，而式（1-2）具有“积和”形式，考虑使用排序不等式. 证明：令 1s nj r s b d r s==+∑（r=1,2,...,n ）显然 12...n d d d ≥≥≥ 因为 12...n b b b ≤≤≤ ，且111...(1)1r n r n r ≤≤≤++-+ 由排序不等式 1nsr s b d r s =≤+∑又因为 12...n a a a ≤≤≤所以 11r n n r r i r r r a d a d ==≤∑∑且111n nn sr r r r s r b a a d r s ===≤+∑∑∑（注意到r a ≥0）故 11111r s sr nnn nni j j ir i r r s r s r a b b a a d r sr s=======++∑∑∑∑∑11111n n nn ns r s r r r r r s r s b a ba d a r s r s=====≥≥=++∑∑∑∑∑ 故原式得证.2.均值不等式定理2 设12,,...,n a a a 是n 个正数，则()()()()H n G n A n Q n ≤≤≤称为均值不等式. 其中，121()111...nH n a a a =+++，()G n =12...()na a a A n n+++=，()Q n =分别称为12,,...,n a a a 的调和平均数，几何平均数，算术平均数，均方根平均数. 证明：先证 ()()G n A n ≤. 记c = ii a b c=，则原不等式12...n b b b n ⇔+++≥ 其中 12121...(...)1n n nb b b a a ac == 取 12,,...,n x x x 使 11212123,,...,,n n n x x xb b b x x x --=== 则 1.n n x b x = 由排序不等式，易证111221......n n n n x x x b b b n x x x -+++=+++≥ 下证 ()()A n Q n ≤因为 222212121...[(...)n n a a a a a a n+++=+++22212131()()...()n a a a a a a +-+-++-2222232421()()...()...()n n n a a a a a a a a -+-+-++-++-]2121(...)n a a a n≥+++ 所以12...n a a a n +++≤从上述证明知道，当且仅当12...n a a a ===时，不等式取等号. 下面证明 ()()H n G n ≤ 对n 个正数12111,,...,na a a ，应用 ()()G n H n ≤，得12111...n a a a n +++≥即 ()()H n G n ≤（等号成立的条件是显然的）.例4已知2201,0a x y <<+=，求证：1log ()log 28x y a a a a +≤+.证明：由于 01a <<，0,0x y a a >>，有x y a a +≥=从而log ()log log 22x y a a a x ya a ++≤=+ 下证128x y +≤ ，即 14x y +≤。

数学竞赛讲义-(赠)排序不等式

a

1 a
，求证：
2 a a2 3
【例 10】设 x y z 0 ，求证： x2 y y2 z z2 x x2 y2 z2 . z xy
n
n
【例 11】设 a1, a2,..., an ,b1,b2 ,...,bn 1, 2 ，且 ai2 bi2 ，求证：
（顺序和）
（乱序和）
（反序和）
当且仅当 a1 a2 an 或 b1 b2 bn 时等号成立。定理 2 车比雪夫（Chebyshev）不等式
设两列数 a1, a2 , , an 和 b1,b2 , ,bn 满足 a1 a2 an 及 b1 b2 bn ，则 1
定理 1 排序不等式
排序不等式
设两列数 a1, a2 , , an 和 b1,b2 , ,bn 满足 a1 a2 an 及 b1 b2 bn ，
t1,t2, ,tn 是则 1, 2, , n 的任意一个排列，有
a1b1 a2b2 anbn a1bt1 a2bt2 anbtn a1bn a2bn1 anb1
a1b1 a2b2 anbn n a1 a2 an b1 b2 bn a1bn a2bn1 anb1
【例 1】用排序不等式证明：（1）对任意实数 a 、 b 、 c 都有 a2 b2 c2 ab bc ca
（2）对任意正实数 a 、 b 、 c 都有
a1b1 a2b2 a b 2007 2007 2 c1d1 c2d2 c2007d2007 。
【例 3】求最小的实数 m ，使得对于满足 a b c 1的任意正数 a,b,c ，均成立：

排序、均值、柯西不等式

设
且
，求
最小值.
相关题 1.(2003年西部奥林匹克题)设
且
,求证:
.
8
9 /9
.
相关题 2.(《中学生数学》2006年增刊--帮你参加全国数学联赛第 7套模拟题)已知
且
，证明
.
为正实数，
注意到
，为此只需证明，令
，则问题转化为：
已知
为正实数，且
，证明
.
，令
，则
， .
9
为正实数，且
，证明
.
证法 1原不等式等价于由柯西不等式，可得
.
证法 2 .
由பைடு நூலகம்西不等式，可得
为此只需证明证法 3令
, ,
, 等价于
,
.显然. ,
.
3
例 5.设
,
为
证明记则
三式相加得
,同理 , ,
故
.
而由柯西不等式得,
4 /4
的三个内角,求证: .
,
, ,
.
即
.
例 6．（《中等数学》2003.4）已知
1 /1
排序、均值、柯西不等式及其应用
排序不等式、均值不等式、柯西不等式是不等式证明的基本工具，三者各有所长，这里我们先简单回
顾一下三个不等式，然后结合具体题目谈谈它们在不等式证明中的应用。
①排序不等式：
(i)对于两个有序数组
则
其中
与
是 1， 2， n的任意两个排列，当且仅当
或
.
证明 ∵
,故原不等式等价于
,此式左边为顺序和,右边为乱序和,由排序
不等式知其成立. 例 2(美国第 3届中学生数学竞赛题)设

数学竞赛技巧解不等式的方法与技巧

数学竞赛技巧解不等式的方法与技巧不等式是数学竞赛中常见的题型，解不等式是考察学生对数学知识的掌握和解题能力的重要手段。

下面将介绍一些解不等式的方法与技巧，希望对广大数学竞赛爱好者有所帮助。

一、拆分、合并法在解不等式时，我们有时可以通过拆分和合并的方法将复杂的不等式化简成简单的形式。

拆分法：针对复杂的不等式，我们可以将其拆分成若干个简单的不等式，然后分别求解。

例如，对于不等式2x + 3 > 5x - 1，我们可以将其拆分成两个不等式2x + 3 > 5x - 1和2x + 3 < 5x - 1，再分别求解。

合并法：针对简单的不等式，我们可以通过合并的方法将其化简成更简单的形式。

例如，对于不等式2x + 3 > 5x - 1，我们可以将其化简为3 > 3x，再求解。

二、绝对值法对于带有绝对值的不等式，我们可以通过绝对值法求解。

首先，我们需要将绝对值中的参数拆分成两种情况，正数和负数。

然后，分别解得各自情况下的不等式，并取交集。

例如，对于不等式|2x - 1| > 3，我们可以将其拆分成两个不等式2x - 1 > 3和2x - 1 < -3，再分别求解，然后取交集得到最终解。

三、二次函数法对于一些复杂的二次不等式，利用二次函数的性质可以有效地求解。

首先，我们需要将二次函数转化为标准形式，即形如f(x) = ax² + bx + c的形式。

然后，通过绘制函数图像，分析抛物线开口的方向和与坐标轴的交点情况，得出不等式的解集。

例如，对于不等式x² + x - 2 > 0，我们可以将其转化为f(x) = x² + x - 2 > 0的形式，然后绘制函数图像，分析得出x > 1或x < -2，最终解为{x｜x > 1或x < -2}。

四、倒置法倒置法是一种常用的解不等式的技巧。

它适用于那些具有对称性的不等式。

人教课标版高中数学选修4-5典型例题：排序不等式

排序不等式【典型例题】例1 证明：xz yz xy z y x ++≥++222证明：不妨设z y x ≤≤ ，顺序和≥乱序和：即有 xz yz xy z y x ++≥++222例2 设a,b,c 为正数，求证：333a b c a b c bc ac ab++≥++ 证明：不妨设a b c ≤≤，则111bc ac ab≤≤，故 333222222a b c a b c a b c a b c b c a bc ac ab bc ac ab bc ac ab ab ac bc ac bc ab a b c.c b a c b a++=++≥⋅+⋅+⋅=++≥++=++例3 已知,,a b c R +∈，求证：3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++. 证明：由对称性，假设a b c ≤≤，则222a b c ≤≤，于是 222222a a b b c c a c b a c b ++≥++，222222a a b b c c a b b c c a ++≥++，两式相加即得.例4 10个人各拿一只水桶打水，设水龙头流满第i 人的水桶需要时间1210i t (i ,,,)=，又设这些1210i t (i ,,,)=各不相同，问当只有一个水龙头放水时，如何安排10个人的打水顺序，才能使10个人所花费的总的等待时间最少？解：解决这一问题，就需要用到排序不等式的有关内容。

在没有找到合理的解决办法之前，同学们可以猜测一下，怎样安排才是最优的接水顺序？为了解决这一问题，先来了解排序不等式。

一般地，设有两组正数n a a a ,,,21 与n b b b ,,,21 ，且n a a a ≤≤≤ 21，n b b b ≤≤≤ 21. 若将两组中的数一对一相乘后再相加，则其和同序时最大，倒序时最小.即（倒序）（乱序）（同序）112121221121b a b a b a b a b a b a b a b a b a n n n i n i i nn n+++≥+++≥+++- 其中n i i i ,,,21 是n ,,2,1 的任一个排列，等号当且仅当n a a a === 21或n b b b === 21时成立。

高中数学竞赛之重要不等式汇总(相关练习答案)

（一）不等式1． (排序不等式）设,...21n a a a ≤≤≤ n b b b ≤≤≤...21 n j j j ,...,,21是n ,...,2,1的一个排列，则..........221121112121n n j n j j n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a n +++≤+++≤+++-2．(均值不等式) 设n a a a ,......,,21是n 个正数，则na a a n +++...21....21nn a a a ≥3．（柯西不等式）设),...2,1(,n i R b a i i =∈则.)())((211212i ni i ni ini i b a ba ∑∑∑===≥等号成立当且仅当存在R ∈λ，使得),...,2,1(n i a b i i ==λ.从历史角度看，柯西不等式又可称柯西--布理可夫斯基-席瓦兹不等式变形：（1）设+∈∈R b R a i i ,则.)()(11212∑∑∑===≥ni i ni i ni ii b a b a （2）设i i b a ,同号，且 ,0,≠i i b a 则.)()(1121∑∑∑===≥ni i i ni i ni iib a a b a4．（J e n se n 不等式）若)(xf 是),(b a 上的凸函数，则对任意),(,...,,21b a x x x n ∈)].(...)()([1)...(2121n n x f x f x f nn x x x f +++≤+++5．（幂均值不等式）设α)(0+∈>>R a i β 则 .)...()...(121121βββββαααααM na a a n a a a M nn =+++≥+++=证：作变换令i i x a =β，则β1i i x a = 则.)...()...(12121βαβαβαβαβαnx x x x x x n M M n n +++≥+++⇔≥ 因 0>>βα 所以 ,1>βα则函数βαx x f =)(是),0(+∞上的凸函数，应用Jensen 不等式即得。

用不等式巧解物理竞赛题

用不等式巧解物理竞赛题
作者：熊朝胜
来源：《成才之路》 2012年第5期
笔直的公路上依次设置三盏交通信号灯L1、L2 和L3，汽车能不停顿地通过三盏信号灯的最大速率，自行车能不停顿地通过三盏信号灯的最小速率是多少m/s。

有一道全国中学生物理
竞赛题是这样的：
在一条笔直的公路上依次设置三盏交通信号灯L1、L2 和L3，L2与L1 相距80m，L3 与L1 相距120m。

每盏信号灯显示绿色的时间间隔都是20s，显示红色的时间间隔都是40s。

L1 与L3 同时显示绿色，L2 则在L1 显示红色经历了10s时开始显示绿色。

规定车辆通过三盏信号灯经历的时间不得超过150s，问：
（1）若有一辆匀速向前行驶的汽车通过L1 的时刻正好是L1 刚开始显示绿色的时刻，则此汽车能不停顿地通过三盏信号灯的最大速率是多少m/s。

（2）若一辆匀速向前行驶的自行车通过L1 的时刻是L1 显示绿色经历了10s 的时刻，则此自行车能不停顿地通过三盏信号灯的最小速率是多少m/s。

由题意可作出如下示意图：
一、汽车能不停顿地通过三盏信号灯的最大速率
二、自行车能不停顿地通过三盏信号灯的最小速率设汽车的最小速率是V 小，从L1 显示绿色经历了10s 的时刻开始计时：
L2 显绿色的时间范围可以是：80≤T1≤100L3 显绿色的时间范围可以是：110≤T2≤130从而有：80≤ 80/v ≤100，或110≤ 120/v ≤130，解两个不等式得：V 小= 12/13 m/s 。

（湘西州第二民族中学）。

例说排序不等式解题

巧用排序不等式解竞赛题广州市育才中学数学科邓军民定理对于两个有序实数组: a a a n ≤≤≤ 21及b b b n ≤≤≤ 21,有b a b a b a n n +++ 2211 (同序) b a b a b a n n ''22'11+++≥(乱序) b a b a b a n n n 1121+++≥- (倒序)其中b b b n ''',,,21是b b b n ,,,21 的任一排列,当且仅当a aa n === 21或b b b n === 21时等号成立.略证:若a a j i <,b b j i <,则由0))(()(>--=+-+b b a a b a b a ba b a j i j i i j j i jjii可知,在i , j 两个位置上,将同序改为倒序时,和值减少;将倒序改为同序时,和值增加,因而得两数组一对一对相乘后相加,同序时值最大,倒序时值最小.例1 (美国第3届中学生数学竞赛题) 设a﹑b ﹑c 是正实数,求证:)(3abc c b a cb a cba++≥证明: 不防设,0>≥≥c b a 则c b a lg lg lg ≥≥据排序不等式有 :c a b c a b c c b b a a lg lg lg lg lg lg ++≥++c b b a a c c c b b a a lg lg lg lg lg lg ++≥++以上两式相加,再两边同加c c b b a a lg lg lg ++,整理得:)lg lg )(lg ()lg lg lg (3c b a c b a c c b b a a ++++≥++即 )lg(3)lg(abc cb ac b acba⋅++≥故 )(3abc c b ac b a cba++≥例2 (IMO 520-) 设 ,,,,21a a a k 为两两各不相同的正整数,求证: 对任何正整数n,均有∑∑==≥nk nK kk ka 1121证明: 设a a a b b b n n ,,,,,,2121 是的从小到大的有序排列,即b b b n ≤≤21,因为b i 是互不相同的正整数.则n b b b n≥≥≥,,2,121又因为n222111132>>>>所以由排序不等式得:n aa a n 22212+++ (乱序)nb b b n 22212+++≥ (倒序)n 1211+++≥即 ∑∑==≥nk nk kk ka 1121 成立. 例3 )(117IMO - 设),,2,1(,n i y x ii =是实数,且,21x x x n ≥≥≥zz z y y y nn≥≥≥≥≥≥ 2121,是y y y n ,,,21 的一个排列.求证: ∑-∑-==≤n i ni z x y x i i i i 1212)()(证明: 将原不等式展开整理得:z x z y x y ini ini ini ini i i ∑∑∑∑====-≤-11211222因为∑∑===ni ni z y i i1212∴只须证 y x z x i ni i ini i ∑∑==≤11而上式左边为乱序和,右边为同序和. 即由排序不等式得证.。

解不等式组问题排序原理的应用

解不等式组问题排序原理的应用介绍不等式组是数学中的一个重要概念，它涉及到不等式的运算规则和解集的确定。

解不等式组问题的排序原理是一种重要的应用方法，通过对不等式组中的不等式进行排序，可以有效地确定解集的范围和特性。

本文将介绍解不等式组问题排序原理的应用方法和具体步骤。

步骤解不等式组问题的排序原理主要包括以下几个步骤：1.理清问题：首先需要明确所给的不等式组问题是什么。

阅读题目，确保理解问题的要求和限制条件。

2.提取不等式：将问题中的不等式提取出来，并标记出它们的序号。

对于一个不等式组问题，通常会给出多个不等式，每个不等式都对应一个约束条件。

3.确定变量范围：根据问题的要求，确定变量的范围。

需要找出变量的取值范围，以便后续的排序。

4.进行排序：按照排序原理，对不等式进行排序。

排序的目的是为了确定每个不等式的优先级，从而确定解集的范围和特性。

排序时需要注意以下几点：–优先级：根据不等式的特性，将不等式按照优先级进行排序。

例如，如果一组不等式中有一个不等式是“大于”关系，而其他都是“小于”关系，那么“大于”关系的不等式优先级较高。

–相同优先级的比较：如果有多个不等式具有相同的优先级，那么需要根据不等式的具体形式进行比较。

例如，对于两个“大于”关系的不等式，可以比较它们的右侧常数项的大小。

–不等式链式排序：如果存在多个不等式构成的链式关系，即一个不等式的解集是另一个不等式的子集，那么需要将链式关系的不等式放在排序结果的后面。

–考虑变量范围：在排序过程中，需要考虑变量范围的限制条件。

例如，如果存在一个不等式约束条件是变量的取值范围，则需要将该不等式放在其他不等式之前。

5.确定解集：根据排序结果，确定解集的范围和特性。

首先确定上界和下界，然后根据排序结果确定解集的其他特性，例如是否存在唯一解、是否存在无解等。

6.验证结果：最后一步是验证排序结果是否正确。

可以将排序得到的解集代入原不等式组问题进行验证，确保结果的准确性。

巧用排序解赛题

巧用排序解赛题
王永会;孙钢
【期刊名称】《初中数语外辅导》
【年(卷),期】2004(000)011
【摘要】对一些数学题中含有多个元素，它们之间事前未规定次序，在解题时若能按照某种次序关系把它们依次排列起来，使问题易解，这样的解题方法称之为排序．其解题的思维过程是：
【总页数】2页(P14-15)
【作者】王永会;孙钢
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.巧用整数解妙解竞赛题
2.巧用数形结合,妙解根式赛题
3.巧用参数妙解赛题——一道物理竞赛题解析
4.巧用数学模型解初中几何题--解答一道压轴题的几点思考
5.领悟方法掌握技巧妙解高考排序题——高考语句复位题的答题思路与方法
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

则原不等式等价于
B
A +
2
C
+
B2 C+ A
+
C2 A+B
≥
3 2
.
仿例 2 可证上式成立, 以下略.
例 5 设 a1, a, …, ak, …为两两不相同的正整
数, 求证: 对于任何正整数 n, 下列不等式成立
n
n
6 6 ≥ ak
k= 1 k2
k= 1
1 k
.
(第 20 届 IM O 试题)
证因 a1, a2, …, ak, …为两两不相同的正整
排序不等式是证明不等式的有力工具, 应用广泛. 若所证不等式是对称不等式, 我们可以任意排列
不等式中字母的大小顺序关系, 再利用排序不等式
证之.
本文通过一串数学竞赛题, 谈谈排序不等式的
应用. 虽然这些题目有一定的难度, 但只要巧妙地设
出两个有序数组, 直接应用排序不等式的结论, 则问
题的解决十分简捷合理, 轻而易举. 例 1 设 a, b, c 为正数, 求证
1.
(1976 年英国数学竞赛题)
n
6 21 若 a1, a2, …, an 同号, a= ai, 则 i= 1
n
6i= 1
ai ≥ n 2a- a i 2n-
1.
(1982 年西德数学竞赛题)
1997 年第 4 期数学通讯
43
应用排序不等式巧解一串竞赛题
毛晓峰
(兰州铁路一中 730000)
排序不等式: 设两组实数 a1, a2, …, an 和 b1, b2,
…, bn 满足
a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn
则 a1b1+ a2b2+ …+ anbn
(乱序和) , (乱序和) ,
2 (x a+ y b+ z c)
≥x (b+ c) + y (c+ a) + z (a+ b)
=
1 b+
c
(b+
c) +
1 c+
a
(c+
a) +
a
1 +
b
(a
+
b)
= 3.
∴x a+
y b+
z c≥
3 2
,
即a b+
c
+
b c+
a
+
c a+
≥ b
3 2
.
例 2 设 a, b, c 都是正数, 试证
a2 b+
c
+
b2 c+
a
+
c2 ≥ a+ b
1 2
(a+
b+
c).
( 1988 年第 2 届“友谊杯”国际数学邀请赛试
题)
证该不等式是关于 a, b, c 的对称不等式, 不妨设
0< a≤b≤c, 且令
x=
a b+
c, y =
b c+
a
,
z
=
c a+
b,
则 0< x ≤y ≤z.
由排序不等式, 有
∴2 (n- 1) (A 1a1+ A 2a2+ …+ A nan)
≥2A 1 (a2+ a3+ …+ an) + 2A 2 (a1+ a3+ …+ an)
+ 2A n (a1+ a2+ …+ an- 1).
上式两端再同加上 A 1a1+ A 2a2+ …+ A nan 得
(2n- 1) (A 1a1+ A 2a2+ …+ A nan)
(顺序乘积和)
≥a1bi1 + a2bi2 + …+ anbin ≥a1bn+ a2bn- 1+ …+ anb1
(乱序乘积和) (逆序乘积和)
其中 i1, i2, …, in 是数码 1, 2, …, n 的任意一个
排列.
当且仅当 a1= a2= …= an 或 b1= b2= …= bn 时等号成立.
A 1a1+ A 2a2+ …+ A nan
≥A 1an+ A 2a1+ …+ A nan- 1,
以上 n- 1 个不等式相加, 得
(n- 1) (A 1a1+ A 2a2+ …+ A nan)
≥A 1 (a2+ a3+ …+ an) + A 2 (a1+ a3+ …+ an) + …
+ A n (a1+ a2+ …+ an- 1).
A 1= 2- 1a1 , A 2= 2- 1 a2 , …, A n= 2-1 an , 则 0< A 1≤A 2≤…≤A n.
由排序不等式, 有
A 1a1+ A 2a2+ …+ A nan ≥A 1a2+ A 2a3+ …+ A na1, A 1a1+ A 2a2+ …+ A nan ≥A 1a3+ A 2a4+ …+ A na2, ……
.
(第 31 届 IM O 预选题) 证该不等式是关于 a, b, c, d 的对称不等式, 因此不妨设
0< a≤b≤c≤d , 且令
A
=
b+
a2 c+
d ,B =
c+
b2 d+
a,C=
c2 d+ a+
b,
D=
d2 a+ b+
c,
则 0< A ≤B ≤C ≤D.
根据第 4 期
≥A (b+ c+ d ) + B (c+ d + a) + C (d + a+ b)
+ D (a+ b+ c)
= a2+ b2+ c2+ d 2
≥ab+ bc+ cd + d a= 1,
∴A
a+
B
b+
C c+
D
d≥
1 3
,
即 b+
a3 c+
d
+
c+
b3 d+
a+
c3 d+ a+
b+
d3 a+ b+
A a+ B b+ C c+ D d ≥A b+ B c+ C d + D a,
A a+ B b+ C c+ D d ≥A c+ B d + C a+ D b,
A a+ B b+ C c+ D d ≥A d + B a+ C b+ D c,
以上三式相加, 得
3 (A a+ B b+ C c+ D d )
a) +
c a+
b (a+
b)
= a+ b+ c.
∴ a2 b+
c
+
b2 c+
a
+
c2 ≥ a+ b
1 2
(a+
b+
c).
例 3 设 a, b, c, d 是正数, 且满足 ab+ bc+ cd +
d a= 1, 试证
b+
a3 c+
d+
c+
b3 d+
a+
c3 d+ a+
b+
d3 a+ b+
≥ c
1 3
ak k2
≥
k=
1
bk k2
≥
k=
1
k k2
=
k= 1
1 k
.
例 6 已知 a1, a2, …, an ∈R + , 且 a1+ a2 + …+
an= 1, 求证
a 2-
1
a
1
+
a 2-
2
a
2
+
…+
an ≥ n 2- an 2n-
1.
(1984 年巴尔干数学竞赛题)
证 ∵a1+ a2+ …+ an= 1, ∴2 (a1+ a2+ …+ an) = 2. 因不等式是关于 a1, a2, …, an 的对称不等式, 不妨设 0< a1≤a2≤…≤an, 且令
≥ c
1 3
.
例 4 设 a, b, c 为正实数, 且满足 abc= 1, 试证
1 a3 (b+
c) +
1 b3 (c+
a) +
1 c3 (a+
≥ b)
3 2
.
(第 36 届 IM O 试题)
证作代换A =
1 a
,B
=
1 b
,
C=
1 c