应用排序不等式巧解一串竞赛题

x a+ y b+ z c≥x b+ y c+ z a x a+ y b+ z c≥x c+ y a+ z b 两边相加, 得
(乱序和) , (乱序和) ,
2 (x a+ y b+ z c)
≥x (b+ c) + y (c+ a) + z (a+ b)
=
a b+
c (b+
c) +
b c+
a
(c+
ak k2
≥
k=
1
bk k2
≥
k=
1
k k2
=
k= 1
1 k
.
例 6 已知 a1, a2, …, an ∈R + , 且 a1+ a2 + …+
an= 1, 求证
a 2-
1
a
1
+
a 2-
2
a
2
+
…+
an ≥ n 2- an 2n-
1.
(1984 年巴尔干数学竞赛题)
证 ∵a1+ a2+ …+ an= 1, ∴2 (a1+ a2+ …+ an) = 2. 因不等式是关于 a1, a2, …, an 的对称不等式, 不 妨设 0< a1≤a2≤…≤an, 且令
.
(第 31 届 IM O 预选题) 证 该不等式是关于 a, b, c, d 的对称不等式, 因此不妨设
0< a≤b≤c≤d , 且令
A
=
b+
a2 c+
d ,B =
c+
b2 d+
a,C=
c2 d+ a+
b,
D=
d2 a+ b+
c,
则 0< A ≤B ≤C ≤D.
根据排序不等式, 有
44
数 学 通 讯 1997 年第 4 期
a b+
c+
b c+
a
+
c a+
≥ b
3 2
.
证 由于不等式是关于 a, b, c 对称的, 不失一
般性,
设 0< a≤b≤c, 且令
x=
1 b+
c,
y
=
1 c+
a
,
z
=
1 a+
b,
则有 x ≤y ≤z.
由排序不等式, 有
x a+ y b+ z c≥x b+ y c+ z a x a+ y b+ z c≥x c+ y a+ z b 两式相加, 得
排序不等式是证明不等式的有力工具, 应用广 泛. 若所证不等式是对称不等式, 我们可以任意排列
不等式中字母的大小顺序关系, 再利用排序不等式
证之.
本文通过一串数学竞赛题, 谈谈排序不等式的
应用. 虽然这些题目有一定的难度, 但只要巧妙地设
出两个有序数组, 直接应用排序不等式的结论, 则问
题的解决十分简捷合理, 轻而易举. 例 1 设 a, b, c 为正数, 求证
a2 b+
c
+
b2 c+
a
+
c2 ≥ a+ b
1 2
(a+
b+
c).
( 1988 年第 2 届“友谊杯”国际数学邀请赛试
题)
证 该不等式是关于 a, b, c 的对称不等式, 不 妨设
0< a≤b≤c, 且令
x=
a b+
c, y =
b c+
a
,
z
=
c a+
b,
则 0< x ≤y ≤z.
由排序不等式, 有
数, 所以我们总可以把它们从小到大排列起来, 并记
此排列为 b1, b2, …, bk , ….
即 b1< b2< …< bk < …, 且 bk ≥k (1≤k ≤n).
而
1 n2
<
…<
1 k2
<
…<
1 32
<
1 22
<
1,
由排序不等式可知, 乱序乘积和不小于逆序乘
积和, 则
n
n
n
n
6 6 6 6 k= 1
(顺序乘积和)
≥a1bi1 + a2bi2 + …+ anbin ≥a1bn+ a2bn- 1+ …+ anb1
(乱序乘积和) (逆序乘积和)
其中 i1, i2, …, in 是数码 1, 2, …, n 的任意一个
排列.
当且仅当 a1= a2= …= an 或 b1= b2= …= bn 时 等号成立.
∴2 (n- 1) (A 1a1+ A 2a2+ …+ A nan)
≥2A 1 (a2+ a3+ …+ an) + 2A 2 (a1+ a3+ …+ an)
+ 2A n (a1+ a2+ …+ an- 1).
上式两端再同加上 A 1a1+ A 2a2+ …+ A nan 得
(2n- 1) (A 1a1+ A 2a2+ …+ A nan)
A a+ B b+ C c+ D d ≥A b+ B c+ C d + D a,
A a+ B b+ C c+ D d ≥A c+ B d + C a+ D b,
A a+ B b+ C c+ D d ≥A d + B a+ C b+ D c,
以上三式相加, 得
3 (A a+ B b+ C c+ D d )
n个1
∴A 1a1+ A 2a2+
…+
A
na
n
≥
n 2n-
1,
即a 2-
1
a
1
+
a 2-
2
a
2
+
…+
an ≥ n 2- an 2n-
1.
类似地, 运用排序不等式, 可证如下两题:
n
6 11 设 ai> 0 (i= 1, 2, …, n) , s= ai, 求证 i= 1
n
6i= 1
ai ≥ n s- ai n-
≥ c
1 3
.
例 4 设 a, b, c 为正实数, 且满足 abc= 1, 试证
1 a3 (b+
c) +
1 b3 (c+
a) +
1 c3 (a+
≥ b)
3 2
.
(第 36 届 IM O 试题)
证 作代换A =
1 a
,B
=
1 b
,
C=
1 c
.
∵a, b, c∈R + , 且 abc= 1,
∴A , B , C ∈R + , 且 A B C = 1.
≥A (b+ c+ d ) + B (c+ d + a) + C (d + a+ b)
+ D (a+ b+ c)
= a2+ b2+ c2+ d 2
≥ab+ bc+ cd + d a= 1,
∴A
a+
B
b+
C c+
D
d≥
1 3
,
即 b+
a3 c+
d
+
c+
b3 d+
a+
c3 d+ a+
b+
d3 a+ b+
1.
(1976 年英国数学竞赛题)
n
6 21 若 a1, a2, …, an 同号, a= ai, 则 i= 1
n
6i= 1
ai ≥ n 2a- a i 2n-
1.
(1982 年西德数学竞赛题)
1997 年第 4 期 数 学 通 讯
43
应用排序不等式巧解一串竞赛题
毛晓峰
(兰州铁路一中 730000)
排序不等式: 设两组实数 a1, a2, …, an 和 b1, b2,
…, bn 满足
a1≤a2≤…≤an, b1≤b2≤…≤bn
则 a1b1+ a2b2+ …+ anbn
ห้องสมุดไป่ตู้A 1a1+ A 2a2+ …+ A nan
≥A 1an+ A 2a1+ …+ A nan- 1,
以上 n- 1 个不等式相加, 得
(n- 1) (A 1a1+ A 2a2+ …+ A nan)
≥A 1 (a2+ a3+ …+ an) + A 2 (a1+ a3+ …+ an) + …
+ A n (a1+ a2+ …+ an- 1).
则原不等式等价于
B
A +
2
C
+
B2 C+ A
+
C2 A+B
≥
3 2
.
仿例 2 可证上式成立, 以下略.
例 5 设 a1, a, …, ak, …为两两不相同的正整
数, 求证: 对于任何正整数 n, 下列不等式成立
n
n
6 6 ≥ ak
k= 1 k2
k= 1
1 k
.
(第 20 届 IM O 试题)
证 因 a1, a2, …, ak, …为两两不相同的正整
a) +
c a+
b (a+
b)
= a+ b+ c.
∴ a2 b+
c
+
b2 c+
a
+
c2 ≥ a+ b
1 2
(a+
b+
c).
例 3 设 a, b, c, d 是正数, 且满足 ab+ bc+ cd +
d a= 1, 试证
b+
a3 c+
d+
c+
b3 d+
a+
c3 d+ a+
b+
d3 a+ b+
≥ c
1 3
(乱序和) , (乱序和) ,
2 (x a+ y b+ z c)
≥x (b+ c) + y (c+ a) + z (a+ b)
=
1 b+
c
(b+
c) +
1 c+
a
(c+
a) +
a
1 +
b
(a
+
b)
= 3.
∴x a+
y b+
z c≥
3 2
,
即a b+
c
+
b c+
a
+
c a+
≥ b
3 2
.
例 2 设 a, b, c 都是正数, 试证
A 1= 2- 1a1 , A 2= 2- 1 a2 , …, A n= 2-1 an , 则 0< A 1≤A 2≤…≤A n.
由排序不等式, 有
A 1a1+ A 2a2+ …+ A nan ≥A 1a2+ A 2a3+ …+ A na1, A 1a1+ A 2a2+ …+ A nan ≥A 1a3+ A 2a4+ …+ A na2, ……
≥A 1 [ a1+ 2 (a2+ a3+ …+ an) ]
+ A 2 [a2+ 2 (a1+ a3+ …+ an) ]+ …
+ A n [an+ 2 (a1+ a2+ …+ an- 1) ]
= A 1 (2- a1) + A 2 (2- a2) + …+ A n (2- an)
= 1+ 1+ …+ 1= n,