8.2020.1昌平高一期末数学试题

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北京市昌平区2020届高三数学上学期期末考试试题理新人教A版

昌平区2020－2020学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）（满分150分，考试时间120分钟） 2020.1 考生须知： 1．本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

2．答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

3．答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。

请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

4．修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。

保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。

不得在答题卡上做任何标记。

5．考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.）(1) 已知全集=R U ，集合{1,0,1}=-A ,2{20}=-<B x x x , 则=I ðU A B(A) {1,0}- (B) {1,0,2}- (C) {0} (D) {1,1}- (2) “1cos 2α=”是“3πα=”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件(3) 给定函数①21y x =+，②12log y x =，③12y x =，④1()2xy =，其中在区间(0,1)上单调递增的函数的序号是（A ）② ③（B ）① ③ （C ）① ④（D ）② ④w(4) 执行如图所示的程序框图，输出的k 值是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4112俯视图左视图主视图(5) 若实数,x y 满足10,2,3,+-≥⎧⎪≤⎨⎪≤⎩x y x y 则z y x =-的最小值是(A) 1 (B) 5 (C) 3- (D) 5- (6) 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是 (A) 1 (B) 2(C)23 (D)13(7) 连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ,若记向量()m n ，a =与向量(12)=-，b 的夹角为θ,则θ为锐角的概率是 (A)536 (B) 16 (C) 736(D) 29（8）已知函数221, 0,()4,40⎧+>⎪=---≤≤x x f x x x a x 在点(1,2)处的切线与()f x 的图象有三个公共点，则a 的取值范围是（A ）[8,425)--+ （B ）(45,425)---+ （C ）(425,8]-+ （D ）(45,8]---第二卷（非选择题共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.） (9) 已知θ是第二象限的角，3sin 5θ=，则tan θ的值为___________ . (10) 如图，在复平面内，复数z 对应的向量为OA uu r，则复数i ⋅z =_______ .(11) 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2461a a a -+=，则4a =_____ ，7S = _____.（12）曲线11,2,,0====x x y y x所围成的图形的面积等于___________ . (13) 在ABC ∆中，4,5,2==⋅=AB BC BA AC u u r u u u r,则AC =________ .(14) 将含有3n 个正整数的集合M 分成元素个数相等且两两没有公共元素的三个集合A B C 、、,其中12{,,,}n A a a a =L ，12{,,,}n B b b b =L ，12{,,,}n C c c c =L ，若A B C 、、中的元素满足条件：12n c c c <<<L ，k k k a b c +=，(1,2,3,,)k n L =，则称M 为“完并集合”.①若{1,,3,4,5,6}M x =为“完并集合”，则x 的一个可能值为 .（写出一个即可）②对于“完并集合”{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}M =，在所有符合条件的集合C 中，其元素乘积最小的集合是 .三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） (15)(本小题满分13分)已知函数2()cos 2sin 1f x x x x =+-.（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）当5[,]126x ππ∈-时，求函数()f x 的取值范围.(16)(本小题满分13分)为了调研某校高一新生的身高（单位：厘米）数据，按10%的比例对700名高一新生按性别分别进行“身高”抽样检查，测得“身高”的频数分布表如下表1、表2.（Ⅰ）求高一的男生人数并完成下面的频率分布直方图；（Ⅱ）估计该校学生“身高”在[165,180)之间的概率；（Ⅲ）从样本中“身高”在[180,190)的男生中任选2人，求至少有1人“身高”在[185,190)之间的概率.D CBAP(17)(本小题满分14分)在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，2PD CD BC AD ===,//,90AD BC BCD ∠=︒.(Ⅰ)求证：BC PC ⊥；(Ⅱ)求PA 与平面PBC 所成角的正弦值；(Ⅲ)线段PB 上是否存在点E ,使AE ⊥平面PBC ？说明理由.(18)(本小题满分13分)在平面直角坐标系x y O 中，已知点(,0)(0)≠A a a ,圆C 的圆心在直线4y x =-上，并且与直线:10l x y +-=相切于点(3,2)P -. (Ⅰ)求圆C 的方程；(Ⅱ)若动点M 满足2MA MO =，求点M 的轨迹方程；（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，是否存在实数a ，使得CM 的取值范围是[1,9]，说明理由.(19)(本小题满分13分)已知函数2(2)()m xf x x m-=+.（Ⅰ）当1m =时，求曲线()f x 在点11(,())22f 处的切线方程；（Ⅱ）求函数()f x 的单调区间.(20)(本小题满分14分)设满足以下两个条件的有穷数列123,,,,n a a a a L 为(2,3,4,)=L n n 阶“期待数列”： ①1230++++=L n a a a a ，②1231++++=L n a a a a . (Ⅰ)若等比数列{}n a 为2()∈N*k k 阶“期待数列”,求公比q ；(Ⅱ)若一个等差数列{}n a 既是2()∈N*k k 阶“期待数列”又是递增数列,求该数列的通项公式；(Ⅲ)记n 阶“期待数列”{}i a 的前k 项和为(1,2,3,,)=L k S k n .(1)求证: 12≤k S ； (2)若存在{1,2,3,,}∈L m n ，使12=m S ,试问数列{}(1,2,3,,)=L i S i n 能否为n 阶“期待数列”?若能,求出所有这样的数列；若不能，请说明理由.昌平区2020－2020学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷（理科）参考答案及评分标准 2020.1一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。

2020-2021北京市昌平区第三中学高中必修一数学上期末模拟试题(含答案)

2020-2021北京市昌平区第三中学高中必修一数学上期末模拟试题(含答案)一、选择题1．已知奇函数()y f x =的图像关于点(,0)2π对称，当[0,)2x π∈时，()1cos f x x =-，则当5(,3]2x ππ∈时，()f x 的解析式为（） A ．()1sin f x x =-- B ．()1sin f x x =- C ．()1cos f x x =-- D ．()1cos f x x =-2．已知0.2633,log 4,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c a b <<B ．c b a <<C ．b a c <<D ．b c a <<3．函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为（） A ．(),1-∞ B ．()2,+∞ C ．(),0-∞D ．()1,+∞4．已知函数2()log f x x =，正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，若()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，则,m n 的值分别为A ．12，2 B C ．14，2 D ．14，4 5．用二分法求方程的近似解，求得3()29f x x x =+-的部分函数值数据如下表所示：则当精确度为0.1时，方程3290x x +-=的近似解可取为 A ．1.6B ．1.7C ．1.8D ．1.96．已知全集为R ，函数()()ln 62y x x =--的定义域为集合{},|44A B x a x a =-≤≤+，且R A B ⊆ð，则a 的取值范围是（）A ．210a -≤≤B ．210a -<<C ．2a ≤-或10a ≥D ．2a <-或10a >7．函数y =的定义域是( ) A ．（-1，2]B ．[-1,2]C ．（-1 ，2）D ．[-1,2)8．若函数y a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．49．设()f x 是R 上的周期为2的函数，且对任意的实数x ，恒有()()0f x f x --=，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，则实数a 的取值范围是( ) A ．[]3,5B ．()3,5C ．[]4,6D ．()4,610．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，min t 后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线nt y ae =，假设过5min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过min m 甲桶中的水只有4a升，则m 的值为（） A ．10B ．9C ．8D ．511．函数()f x 是周期为4的偶函数,当[]0,2x ∈时，()1f x x =-,则不等式()0xf x >在[]1,3-上的解集是 ( ) A ．()1,3B ．()1,1-C ．()()1,01,3-UD ．()()1,00,1-U12．已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合P={1，3，5}，Q={1，2，4}，则()U P Q ⋃ð= A ．{1}B ．{3，5}C ．{1，2，4，6}D ．{1，2，3，4，5}二、填空题13．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x …时，11()42x xf x =-+，则此函数的值域为__________.14．函数()()25sin f x xg x x =--=，,若1202n x x x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，……，，,使得()()12f x f x ++…()()()()()()1121n n n n f x g x g x g x g x f x --++=++++…,则正整数n 的最大值为___________.15．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是________．16．若点(4,2)在幂函数()f x 的图像上，则函数()f x 的反函数1()f x -=________. 17．已知函数1()41xf x a =+-是奇函数，则的值为________. 18．若函数在区间单调递增，则实数的取值范围为__________． 19．若函数()(21)()xf x x x a =+-为奇函数，则(1)f =___________.20．已知a ＞b ＞1.若log a b+log b a=52，a b =b a ，则a= ，b= . 三、解答题21．已知函数()2log 11m f x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，其中m 为实数. （1）若1m =，求证：函数()f x 在()1,+∞上为减函数；（2）若()f x 为奇函数，求实数m 的值.22．泉州是全国休闲食品重要的生产基地,食品产业是其特色产业之一,其糖果产量占全国的20%.现拥有中国驰名商标17件及“全国食品工业强县”2个(晋江､惠安)等荣誉称号,涌现出达利､盼盼､友臣､金冠､雅客､安记､回头客等一大批龙头企业.已知泉州某食品厂需要定期购买食品配料,该厂每天需要食品配料200千克,配料的价格为1元/千克,每次购买配料需支付运费90元.设该厂每隔()*x x ∈N天购买一次配料.公司每次购买配料均需支付保管费用,其标准如下:6天以内(含6天),均按10元/天支付;超出6天,除支付前6天保管费用外,还需支付剩余配料保管费用,剩余配料按3(5)200x -元/千克一次性支付. (1)当8x =时,求该厂用于配料的保管费用P 元;(2)求该厂配料的总费用y (元)关于x 的函数关系式,根据平均每天支付的费用,请你给出合理建议,每隔多少天购买一次配料较好. 附:80()f x x x=+在单调递减,在)+∞单调递增. 23．某上市公司股票在30天内每股的交易价格P （元）关于时间t （天）的函数关系为12,020,518,2030,10t t t P t t t ⎧+≤≤∈⎪⎪=⎨⎪-+<≤∈⎪⎩N N ，该股票在30天内的日交易量Q （万股）关于时间t（天）的函数为一次函数，其图象过点(4,36)和点(10,30). （1）求出日交易量Q （万股）与时间t （天）的一次函数关系式；（2）用y （万元）表示该股票日交易额，写出y 关于t 的函数关系式，并求在这30天内第几天日交易额最大，最大值为多少？ 24．已知幂函数()()223mm f x x m --=∈Z 为偶函数，且在区间()0,∞+上单调递减.（1）求函数()f x 的解析式；（2）讨论()()bF x xf x =的奇偶性.(),a b R ∈（直接给出结论，不需证明）25．已知()log a f x x =，()()()2log 2201,1,a g x x a a a =+>+≠∈R ，()1h x x x=+. （1）当[)1,x ∈+∞时，证明：()1h x x x=+为单调递增函数；（2）当[]1,2x ∈，且()()()F x g x f x =-有最小值2时，求a 的值.26．设全集为R ，集合A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <6}，求∁R (A ∪B )，∁R (A ∩B )，(∁R A )∩B ，【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】【分析】当5,32x ππ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭,结合奇偶性与对称性即可得到结果. 【详解】因为奇函数()y f x =的图像关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以()()0f x f x π++-=，且()()f x f x -=-，所以()()fx f x π+=，故()f x 是以π为周期的函数.当5,32x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，30,2x ππ⎡⎫-∈⎪⎢⎣⎭，故()()31cos 31cos f x x x ππ-=--=+ 因为()f x 是周期为π的奇函数，所以()()()3f x f x f x π-=-=- 故()1cos f x x -=+，即()1cos f x x =--，5,32x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦故选C 【点睛】本题考查求函数的表达式，考查函数的图象与性质，涉及对称性与周期性，属于中档题.2．B解析：B 【解析】【分析】先比较三个数与零的大小关系，确定三个数的正负，然后将它们与1进行大小比较，得知1a >，0,1b c <<，再利用换底公式得出b 、c 的大小，从而得出三个数的大小关系．【详解】函数3xy =在R 上是增函数，则0.20331a =>=，函数6log y x =在()0,∞+上是增函数，则666log 1log 4log 6<<，即60log 41<<，即01b <<，同理可得01c <<，由换底公式得22393log 2log 2log 4c ===，且96ln 4ln 4log 4log 4ln 9ln 6c b ==<==，即01c b <<<，因此，c b a <<，故选A ．本题考查比较数的大小，这三个数的结构不一致，这些数的大小比较一般是利用中间值法来比较，一般中间值是0与1，步骤如下：①首先比较各数与零的大小，确定正负，其中正数比负数大；②其次利用指数函数或对数函数的单调性，将各数与1进行大小比较，或者找其他中间值来比较，从而最终确定三个数的大小关系．3．C解析：C 【解析】【分析】求出函数()()212log 2f x x x =-的定义域，然后利用复合函数法可求出函数()y f x =的单调递增区间. 【详解】解不等式220x x ->，解得0x <或2x >，函数()y f x =的定义域为()(),02,-∞+∞U . 内层函数22u x x =-在区间(),0-∞上为减函数，在区间()2,+∞上为增函数，外层函数12log y u =在()0,∞+上为减函数，由复合函数同增异减法可知，函数()()212log 2f x x x =-的单调递增区间为(),0-∞.故选：C. 【点睛】本题考查对数型复合函数单调区间的求解，解题时应先求出函数的定义域，考查计算能力，属于中等题.4．A解析：A 【解析】试题分析：画出函数图像，因为正实数,m n 满足m n <且()()f m f n =，且()f x 在区间2[,]m n 上的最大值为2，所以()()f m f n ==2，由2()log 2f x x ==解得12,2x =，即,m n 的值分别为12，2．故选A ．考点：本题主要考查对数函数的图象和性质．点评：基础题，数形结合，画出函数图像，分析建立m,n 的方程．5．C解析：C 【解析】【分析】利用零点存在定理和精确度可判断出方程的近似解. 【详解】根据表中数据可知()1.750.140f =-<，()1.81250.57930f =>，由精确度为0.1可知1.75 1.8≈，1.8125 1.8≈，故方程的一个近似解为1.8，选C. 【点睛】不可解方程的近似解应该通过零点存在定理来寻找，零点的寻找依据二分法（即每次取区间的中点，把零点位置精确到原来区间的一半内），最后依据精确度四舍五入，如果最终零点所在区间的端点的近似值相同，则近似值即为所求的近似解.6．C解析：C 【解析】【分析】由()()620x x -->可得{}|26=<<A x x ，{}44R C B x a x a 或=-+，再通过A 为R C B 的子集可得结果.【详解】由()()ln 62y x x =--可知，()()62026x x x -->⇒<<，所以{}|26=<<A x x ，{}44R C B x a x a 或=-+，因为R A C B ⊆，所以6424a a 或≤-≥+，即102a a ≥≤-或，故选C. 【点睛】本题考查不等式的解集和对数函数的定义域，以及集合之间的交集和补集的运算；若集合的元素已知，求解集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解.7．A解析：A 【解析】【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．【详解】由题意得：2010x x -≥⎧⎨+>⎩ 解得：﹣1＜x≤2，故函数的定义域是（﹣1，2]，故选A ．【点睛】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式的性质，是一道基础题．常见的求定义域的类型有：对数，要求真数大于0即可；偶次根式，要求被开方数大于等于0；分式，要求分母不等于0，零次幂，要求底数不为0;多项式要求每一部分的定义域取交集.8．C解析：C 【解析】【分析】先分析得到a ＞1，再求出a =2,再利用对数的运算求值得解. 【详解】由题意可得a －a x ≥0，a x ≤a ，定义域为[0，1]，所以a >1，y ＝x a a -在定义域为[0，1]上单调递减，值域是[0，1]，所以f (0)＝1a -＝1，f (1)＝0，所以a ＝2，所log a56＋log a 485＝log 256＋log 2485＝log 28＝3. 故选C 【点睛】本题主要考查指数和对数的运算，考查函数的单调性的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.9．D解析：D 【解析】由()()0f x f x --=，知()f x 是偶函数，当[]1,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且()f x 是R 上的周期为2的函数，作出函数()y f x =和()y log 1a x =+的函数图象，关于x 的方程()()log 10a f x x -+=(0a >且1a ≠)恰有五个不相同的实数根，即为函数()y f x =和()y log 1a x =+的图象有5个交点，所以()()1log 311log 511a aa >⎧⎪+<⎨⎪+>⎩，解得46a <<.故选D.点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．10．D解析：D 【解析】由题设可得方程组()552{4n m n ae aa ae +==，由55122n nae a e =⇒=，代入(5)1142m n mn ae a e +=⇒=，联立两个等式可得512{12mn n e e ==，由此解得5m =，应选答案D 。

北京市昌平区2020届高三数学上学期期末质量检测试题理

北京市昌平区2020届高三数学上学期期末质量检测试题理本试卷共 6 页，150 分。

考试时长120 分钟。

考生务势必答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将答题卡回收。

第一部分（选择题共40 分）一、选择题( 本大题共8 小题，每题 5 分，共40 分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项)（1）若会合 2A x |x2x 0 ，B x || x | 1 ，则AI BA．x| 2 x 1 B ．x| 1 x 0C．x |0 x 1 D ．x |1x 2x y 1 0,（2）设x,y 知足x y 1 0,那么2x y 的最大值为开始y 1 0,S 1，k 1 A ． 3 B ． 2 C ． 1 D ． 12k k 1S S k（3）右图是一个算法流程图，则输出的k 的值为否A． 2S 10是B． 3输出kC． 4结束D． 5（4）设a 是单位向量， b 是非零向量，则“ a b ”是“ a (a b) =1 ”的A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件（5）设P,Q 分别为直线x t,y 15 2t（t 为参数）和曲线 C ：xy1 5 cos ,2 5sin（为参数）上的点，则|PQ |的最小值为A． 5 B．2 5 C．3 5 D．4 5（6）数列{a } 是等差数列，{b n} 是各项均为正数的等比数列，公比q 1，且a5 b5 ，则nA． a a b b B ．3 74 6 a a b b3 74 6C．a3 a7 b4 b6 D．a3 a7 b4 b6（7）《九章算术》是我国古代数学著作，书中有以下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及米几何？”其意思为：在屋内墙角处堆放米，米堆底部的弧长为8 尺，米堆的高为5 尺，问米堆的体积及堆放的米各为多少？已知米堆所形成的几何体的三视图以下图, 一斛米的体积约为1.62 立方尺，由此估量出堆放的米约有A．21斛 B ．34斛C．55斛 D ．63斛2 2x y（8）设点F1,F2 分别为椭圆 C : 1的左、右焦点，点P 是椭圆C 上随意一点，若使得9 5 uu u r u u u u r成立的点恰巧是4个，则实数m 的值能够是PF PFm1 2A．12B ．3C ．5D ． 8第二部分（非选择题共110 分）二、填空题（本大题共 6 小题，每题 5 分，共30 分）（9）已知复数z 知足(1 i) z 2i （i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z _____.（10）已知点 F 为抛物线 2 8y x 的焦点，则点 F 坐标为_________ ；若双曲线22yx2 12a（a 0 ）的一个焦点与点 F 重合，则该双曲线的渐近线方程是．（11）已知a(x )x7睁开式中 5x 的系数为21，则实数 a 的值为.（12）能说明“若点M (a,b) 与点N (3, 1) 在直线x y 1 0 的同侧，则 2 2 2a b ”是假命题的一个点M 的坐标为_____________.（13）已知函数 f (x) sin x ，若对随意的实数( , )4 6，都存在独一的实数(0, m) ，使 f ( ) f ( ) 0 ，则实数m的最大值是_____________．xa ,x1,（14）已知函数f x a 此中a 0,且a 1.( )x , x 1,2（i ）当a 2时，若f ( x) f (2) ，则实数x 的取值范围是___________;(ii) 若存在实数m 使得方程 f (x) m 0 有两个实根，则实数 a 的取值范围是___.三、解答题( 本大题共 6 小题，共80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) （15）（本小题满分13 分）若△ABC 的面积为22, b 1,c 6 ，且A为锐角.( Ⅰ) 求cos A 的值；( Ⅱ) 求sin 2A的值.sin C（16）（本小题满分14 分）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，平面ADE ⊥平面ABCD ，AB 2AD 2EF 4, AE DE 2 .E F( Ⅰ) 求证：AB∥EF ;D C( Ⅱ) 求直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值;A B ( Ⅲ) 求平面BCF 与平面ADE 所成锐二面角的余弦值.（17）（本小题满分13 分）某汽车品牌为了认识客户关于其旗下的五种型号汽车的满意状况，随机抽取了一些客户进行回访，检查结果以下表：汽车型号I II III IV V回访客户（人数）250 100 200 700 350满意率0.5 0.3 0.6 0.3 0.2满意率是指：某种型号汽车的回访客户中，满意人数与总人数的比值.假定客户能否满意相互独立，且每种型号汽车客户关于此型号汽车满意的概率与表格中该型号汽车的满意率相等.( Ⅰ) 从全部的回访客户中随机抽取 1 人，求这个客户满意的概率；( Ⅱ) 从I 型号和V 型号汽车的全部客户中各随机抽取 1 人，设此中满意的人数为，求的分布列和希望；( Ⅲ) 用“1 1 ”, “ 2 1”, “ 3 1”, “ 4 1”, “ 5 1”分别表示I, II, III, IV, V 型号汽车让客户满意，“10 ”, “ 2 0 ”, “ 3 0 ”, “ 4 0 ”, “ 5 0 ”分别表示I, II, III, IV, V 型号汽车让客户不满意. 写出方差D D D D D 的大小1 ,2, 3 , 4, 5关系.（18）（本小题满分13 分）已知椭圆2 2x yC : 1 a b 02 2a b过点(0, 2) ，离心率为6=Ce .3F ，过点 F 且斜率为k 的直线交椭圆于P,Q 两点. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若线段PQ 的垂直均分线与x 轴交于点M (x ,0) ，求0 x 的取值范围. 0（19）（本小题满分13 分）2已知函数 f (x) ln x ax 2ax ．( Ⅰ) 若a 1，求曲线y f (x) 在点(1 , f (1) )处的切线方程；( Ⅱ) 若f (x) x 恒成立，务实数 a 的取值范围．(20) （本小题满分14 分）已知会合*A { x | x 2n 1,n N } ，n 1 *B {x| x 2 ,n N } ,C AU B ．关于数列{a n} ，a1 1，且关于随意n≥2 ，*n N ，有a n min{ x C | x a n 1} ．记S n 为数列{a n} 的前n项和.( Ⅰ) 写出a，7 a 的值；8( Ⅱ) 数列{ a } 中，关于随意n*n N ，存在*k N ，使nn 1a 2 ，求数列{ k }的通项公式；k nn( Ⅲ) 数列{a } 中，关于随意n*n N ，存在*k ，有a k 1 2n 1. 求使得S k 1 27a k 1 成立的Nk 的最小值．昌平区2020－2020 学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷参照答案及评分标准（理科）2020.1一、选择题( 本大题共8 小题，每题 5 分，共40 分．在每题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A D B C B C A B二、填空题（本大题共 6 小题，每题 5 分，共30 分）9. 1 i 10. (2,0) ；y x 11. 312. (1,1)[ ( 2,0),(0, 2),( 2 , 2 )]或（答案不独一）2 213. 14. ( ,2) ；(0,1) U (1,2)4三、解答题( 本大题共 6 小题，共80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （15）（本小题满分13 分）解: 由于△ABC的面积为2 2,因此1 1 2S V bc sin A 1 6 sin A ，因此ABC2 2 2sin3A ．3由于△ABC中，A为锐角，因此 2 6cosA 1 sin A . ⋯⋯⋯⋯6 分3（II ）在△ABC中，由余弦定理，2 2 2 2 2 6a b c 2bc cos A 1 ( 6) 2 1 6 3，因此 a 3 ．3a c 由正弦定理=sin A sin C ,因此sin =A asin C c.因此sin 2A 2sin A cos A 2a cos 2 3 6 2 3Asin C sinC c 6 3 3.⋯⋯13 分（16）（本小题满分14 分）证明：( Ⅰ) 在五面体ABCDEF 中，由于四边形ABCD 是矩形，因此AB∥CD .由于AB 平面CDEF , CD 平面CDEF ,因此AB∥平面CDEF .由于AB 平面ABFE,平面ABFE I 平面CDEF EF,因此AB∥EF . ⋯⋯⋯4 分zEF( Ⅱ) 取AD 的中点O ，BC 的中点M , 连结OE ,OM .D C 由于四边形ABCD 是矩形, 因此OM AD .O MyA B由于AE DE 2 , O 是AD 的中点，因此OE AD , 且OE 1.x由于平面ADE ⊥平面ABCD ，平面ADE I 平面ABCD AD ，OE 平面ADE ,因此OE 平面ABCD .如图，成立空间直角坐标系O xyz , 依题意得O(0,0,0), B(1,4,0), F (0,2,1) .u u u r因此BF ( 1, 2,1)，平面ADE 的法向量为m (0,1,0) .设直线BF 与平面ADE 所成角为，则u u u r sin | c os m, BF |uu u u r|m BF | | 2| 6 u u u u r3 |m|| BF | 6,因此直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值为63. ⋯⋯⋯9 分u u u r( Ⅲ) 由C(1,4,0), 得B C ( 2,0,0).设平面BCF 的法向量为n ( x, y, z) ，则有n n u u u rBCu u u rBF0,0,即2x0,x 2 y z 0.令y 1,则n (0,1,2) .由于平面ADE 的法向量为m (0,1,0) ,因此cos n,mn m1 5 |n||m | 5 5.因此平面BCF 与平面ADE 所成锐二面角的余弦值为55. ⋯⋯14 分（17）（本小题满分13 分）解：（Ⅰ）由题意知，样本中的回访客户的总数是250 100 200 700 350 1600，满意的客户人数250 0.5 100 0.3 200 0.6 700 0.3 350 0.2 555，故所求概率为555 1111600 320 ．⋯⋯ 4 分（Ⅱ）0,1,2 .设事件A为“从I 型号汽车全部客户中随机抽取的人满意”，事件 B 为“从V 型号汽车全部客户中随机抽取的人满意”，且A、B 为独立事件.依据题意，P(A) 预计为0.5 ，P( B) 预计为0.2 .则P( 0) P( AB) (1 P( A))(1 P( B)) 0.5 0.8 0.4 ;P( 1) P( AB AB) P(AB) P( AB) P( A)(1 P (B)) (1 P( A)) P(B )0.5 0.8 0.5 0.2 0.5 ;P( 2) P( AB) P(A)P(B) 0.5 0.2 0.1 .的散布列为0 1 2P 0.4 0.5 0.1的希望E( ) 0 0.4 1 0.5 2 0.1 0.7 . ⋯⋯11 分（Ⅲ）D D D D D ．⋯⋯13 分1 32 4 5（18）（本小题满分13 分）解：（Ⅰ）由题意可知b2,ca63e2 2 2a b c,,解得2a2b2c6,2,4.故椭圆 C 的标准方程为2 2x y6 21. ⋯⋯5 分（Ⅱ）依题意， F (2,0), 直线PQ 的方程为y k x 2 .2 2 x y1,联立方程组消去y 并整理得6 2y k x 2 .2 2 2 23k 1 x 12k x 12k 6 0.22 2 2 212k 4 12k 6 3k 1 24 k 1 0 ,设P x1, y1 、Q x2, y2 ，故212kx x1 2 23k 1，4ky y k (x x ) 4k1 2 1 2 23k 1,设PQ 的中点为N ，则N26k 2k ( , )2 23k 1 3k 1.由于线段PQ 的垂直均分线与x 轴交于点M (x ,0) ，①当k0时，那么x0 0 ；2k②当k0时， 1k k ，即MN23k 1 k 1 26kx2 03k 1.解得24k 4x0 213k 132k.由于 2 0,k 因此13 32k，034 41 32k，即4x (0, ) .3综上，x 的取值范围为4[0, )3. ⋯⋯13 分（19）（本小题满分13 分）解：函数 f ( x) 的定义域为(0, ) .2 , f (x) 1 2x 2（I ）a1时，f (x) ln x x 2xx,f (1 )1，且 f (1) 1 .因此曲线y f (x) 在点(1, f (1) )处的切线方程为y ( 1) x 1，即x y 2 0 . ⋯⋯5分（II ）若 f (x) x 恒成立，即 f (x) x 0 恒成立．2设g(x) f (x) x ln x ax (2a 1)x ，只需g(x)max 0 即可；g (x)22 a x (2ax1) x 1．①当a0时，令g (x) 0，得x 1.x,g ( x), g( x) 变化状况以下表：x ( 0,1) 1 (1, )g ( x) 0g( x) ↗极大值↘因此( ) (1) 1 0g x max g ，故知足题意.②当a0时，令g (x) 0，得x12a （舍）或x 1；x,g ( x), g( x) 变化状况以下表：x ( 0,1) 1 (1, )g ( x) 0g( x) ↗极大值↘因此g(x)max g (1) a 1，令a 1 0，得0 a 1.③当a0时，存在x1 1 12 1,知足g(2 ) ln( 2 ) 0 ，因此 f (x) 0不可以恒成立，a a a因此a0不知足题意.综上，实数 a 的取值范围为[0,1] . ⋯⋯13 分（20）（本小题满分14 分）解：（I ）*A { x|x 2n 1,n N } {3,5,7,9,11,13, ,2n 1, },n 1 * n 1B { x | x 2 ,n N } {1,2,4,8,16,32, ,2 , } ，C A U B {1,2,3,4,5,7,8,9,11,13,15,16, } .由于a1 1，且关于随意*n≥2,n N ，a n min{ x C | x a n 1} ，因此a1 1, a2 2, a3 3, a4 4, a5 5, a6 7, a7 8, a8 9. ⋯⋯ 4 分（II ）关于随意n≥2 ，*n N ，有a n min{ x C | x a n 1} ，因此关于随意n≥2 ，*n N ，有a a ，即数列{a n }为单一递加数列.n n 1由于关于随意*n N ，存在*k N ，使nn 1a 2 ，kn因此k k k ┅1 2 3 k ┅．n由于n 1 na 2 ，a ，因此关于随意1 2k kn n*n N ，有k1 1，k2 2，k3 4 ，因此，当n≥ 2时，有n n 12 2n 2k k 1 2 1，n 1 n2即0k3 k2 2 1，1k4 k3 2 1，2k5 k4 2 1，⋯⋯⋯⋯n 3k k 1 2 1，n n因此当n≥3时，有n 21 20 1 2 n 3 n 2k k 2 2 2 2 (n 2) (n 2) 2 n 3(n 3) ，n 21 2因此n 2k 2 n 1(n 3) .n又k1 1 ，k2 2 ，数列{ }k 的通项公式为：n1, n 1,k . ⋯⋯10 分n n22 n 1, n 2（III ）若*n N ，*k N ，有a 1 2n 1，k令m n，12 ≤2*m N ，解得m 1≤log2 (2n) ，即m≤log2 n 2 ，得mmax = [log 2 n 2] = [log 2 n] 2 ，此中[log n 2]表示不超出2 log n 2的最大整数，2因此k 1 n m n ([log n] 2), k n ([log n] 1) .max 2 2[log n] 1 S 1 [3 5 7 ⋯(2n 1)] [1 2 ⋯ 2 ] =2k[log n] 2n( n 2) (2 1) ，2依题意S1 27a 1 ，k k[log n ] 2n(n 2) 2 1 27(2n 1) ，22 52 28 2[log n] 2 0 即nn 2 ，2 [log n](n26) 4 2 704 .2当[log n] 0 时，即n 1时，22 [log n]( 26) 4 2 2 629 704n ，不合题意；当[log n] 1时，即n 2,3 时，22 [log n] 2(n26) 4 2 24 8 704，不合题意；2当[log n] 2 时，即4≤n≤7 时，22 [log n] 2(n 26) 4 2 2 22 16 704 ，不合题意；当[log n] 3 时，即8≤n ≤15时，22 [log n] 2(n 26) 4 2 18 4 8 704 ，不合题2意；当[log n] 4 时，即16≤n≤31时，22 [log n ] 2(n26) 4 2 10 4 16 704 ，不合2题意；当[log n] 5 时，即32≤n≤63时，22 [log n] 2由(n 26) 4 2 2 37 4 32 1497,1497 704,此时， 2(n 26) 576.而n 50时， 2(n26) 576. 因此n 50 .又当n =51时， 2 [log 51](51 26) 4 2 753 704 ；2因此k n [log n] 1 51 [log 51] 1 51 5 1 57 .2 2综上所述，切合题意的k 的最小值为k 57. ⋯⋯14 分。

昌平区2020--2021学年第二学期高一年级期末质量抽测数学试题答案

昌平区2020－2021学年第二学期高一年级期末质量抽测数学试卷参考答案及评分标准 2020.7一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 11. 3π{π,}4x x k k ≠+∈Z 12. 1-；1 13. 3π14. 若αβ⊥，α⊥l ，则//l β.①②⇒③若α⊥l ，//l β，则αβ⊥.②③⇒① 15. 12-16. ② ③ ④ （第12、13题：第一空3分，第二空2分；第16题:答对一个给2分，答对两个给3分，全对给5分，不选或有错选得0分.）三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （17）（本小题满分14分）解：（I ）已知3sin 5α=，且α是第二象限角. 所以4cos 5α=-，3tan 4α=-. ………………4分所以24sin 22sin cos 25ααα==-， ………………6分22tan 24tan 21tan 7ααα==--.………………8分（II ）因为22cos 2cos sin πππsin()sin cos cos sin 444αααααα-=-- ………………10分 ==2==. ………………14分（18）（本小题满分14分）解：（I ）因为(1,2),(3,2)==-a b ，所以(2,4)-=-a b . ………………2分所以||-==a b ………………4分（II ）因为132(2)1⋅⨯+⨯-=-a b =， ………………5分||==a ………………6分||==b ， ………………7分所以cos ||||65θ⋅===-a b a b . ………………9分（III ）因为(2)⊥a +c c ，所以(2)0⋅=a +c c . ………………10分即20⋅=2a c +c .所以22||||cos ,||0=a c a c +c . ………………11分即2cos ,100=a c + ………………12分所以cos ,=a c ………………13分因为,[0,π]∈a c ，所以3,4π=a c . ………………14分（19）（本小题满分14分）解：选择①：1b a -=.（Ⅰ）在ABC △中，因为73a c =，sin C =，所以由正弦定理得sin sin a A C c ==………………2分因为1b a -=，所以a b <.所以π02A <∠<. ………………3分所以π3A ∠=. ………………5分（Ⅱ）因为73a c =，所以a c >.所以π02C <∠<. ………………6分因为sin C =所以13cos 14C =. ………………7分所以cos cos[π()]cos()B A C A C =-+=-+ ………………8分sin sin cos cos A C A C =-11312147=-⨯=-. ………………10分法一：所以sin B = ………………11分=，即78b a =. ………………12分因为1b a -=，所以8b =. ………………14分法二：因为1b a -=，所以1a b =-. 因为73a c =，所以33(1)77c a b ==-. ………………11分所以2222cos b a c ac B =+-22931(1)(1)2(1)(1)()4977b b b b =-+---⨯-⨯-. ………………12分所以224964(1)b b =-. 所以78(1)b b =-.所以8b =. ………………14分（或215128640b b -+=.即(158)(8)0b b --=. ………………12分所以815b =或8b =. 因为1b a -=，所以815b =（舍）. 所以8b =. ………………14分解：选择②：3cos 2c A =-.（Ⅰ）在ABC △中，因为73a c =，sin C =，所以由正弦定理得sin sin a A C c ==………………2分在ABC △中，3cos 2c A =-，所以ππ2A <∠<. ………………3分所以2π3A ∠=. ………………5分（Ⅱ）因为73a c =，所以a c >.所以π02C <∠<. ………………6分因为sin C =，所以13cos 14C ==. ………………7分所以cos cos[π()]cos()B A C A C =-+=-+ ………………8分sin sin cos cos A C A C =-1131121414=⨯=. ………………10分法一：所以sin B=………………11分因为3cos2c A=-，所以32312c-==-. ………………12分=所以5b=. ………………14分法二：因为3cos2c A=-，所以32312c-==-.………………11分所以773a c==.………………12分所以2222cosb ac ac B=+-114992732514=+-⨯⨯⨯=.所以5b=. ………………14分（20）（本小题满分14分）解：（I）在直四棱柱1111ABCD A B C D-中，因为1AA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，所以1AA AD⊥.因为AB AD⊥，1AB AA A=,所以AD⊥平面11ABB A.因为BE⊂平面11ABB A，所以BE AD⊥. ………………5分GFA BCD A 1B 1C 1D 1EED 1C 1B 1A 1D CBAGH （II ）法一：因为11//,//AB CD AA DD ,11,ABAA A CD DD D ==,所以平面11//ABB A 平面11CDD C . 因为BE ⊂平面11ABB A ，所以//BE 平面11CDD C . ………………10分法二：取CD 中点H ,连接BH .因为1,2AB CD ==，//AB CD ，所以//AB HD 且AB HD =. 所以ABHD 是平行四边形. 所以//BH AD 且BH AD =.在1DD 上取点G ，使1DG AE ==,连接EG . 所以//AE DG 且AE DG =. 所以ADGE 是平行四边形. 所以//EG AD 且EG AD =. 所以//BH EG 且BH EG =. 所以BEGH 是平行四边形. 所以//BE GH .因为BE ⊄平面11CDD C ，GH ⊂平面11CDD C ，所以//BE 平面11CDD C . ………………10分（III ）法一：延长,CB DA 交于点G ，连结GE ,延长GE 交1DD 于点F ，连接CF .…12分因为//,1,2AB CD AB CD ==，所以,A B 分别为,GD GC 的中点.因为//AE DF ,所以E 为GF 的中点.所以22DF AE ==. ……………14分法二：由（II ）法二，在平面11CDD C 中作//CF GH ,交1DD 于点F ,连接EF . 所以//CF BE .ACA 1C 1E所以点F 即为平面EBC 与棱1DD 的交点. ………12分因为H 为CD 中点，所以G 为DF 中点. 因为1DG AE ==,所以2DF =. ……………14分（21）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为2()sincos222ωωω=-xxxf x11cos 2sin cos 2222ωωω+=⨯x x x 1sin 2ωω=x x πsin()3x ω=+ ……………2分因为()f x 的最小正周期为π，所以2ω=. ……………3分所以π()sin(2)3f x x =+.因为函数sin =y x 的单调递增区间为ππ[2π,2π]()22k k k -+∈Z ，由πππ2π22π232k x k -≤+≤+，得5ππππ1212k x k -≤≤+. 所以()f x 的单调递增区间为5ππ[π,π]()1212k k k -+∈Z . ……………5分（Ⅱ）由第（Ⅰ）问可知，()sin()3f x x ωπ=+. 要使()2f x ≥在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，只需sin()32x ωπ+≥π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立. ……………6分因为π0,3x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0ω>，所以π,3333x ωωπππ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦. ……………7分当33x ωππ+=时，即0x =时，sin()3x ωπ+=；当33x ωπ2π+=时，sin()3x ωπ+=. ……………8分所以要使()2f x ≥在π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上恒成立，只需π3333ωππ2π<+≤，即01<ω≤.所以ω的取值范围是(0,1]. ……………9分（Ⅲ）要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得0()0>g x ，就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得010sin 80->x ，即04sin 5>x ．……………10分由45<0π03α<<，使得04sin 5α=．由正弦函数的性质可知，当00(,π)x αα∈-时，均有4sin 5>x ． ……………11分因为sin =y x 的周期为2π，所以当00(2π,2ππ)()x k k k αα∈++-∈Z 时，均有4sin 5>x ． ……………12分因为对任意的整数k ，000(2ππ)(2π)π2k k ααα+--+=-，因为0ππ2π3α<-<， ……………13分所以对任意的正整数k ，都存在正整数00(2π,2ππ)()k x k k k αα∈++-∈Z ，使得4sin 5>k x ．亦即存在无穷多个互不相同的正整数0x ，使得0()0>g x ． ……………14分。

2020-2021学年北京市昌平区高一上学期期末数学试卷(附答案解析)

2020-2021学年北京市昌平区高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1.全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={2,3}，B={x|x2−6x+8=0}，则集合(∁U A)∩B=()A. {4,6}B. {2,4}C. {2}D. {4}2.不等式的解集为()A. B.C. D.3.若x<3，则√9−6x+x2−|x−6|的值是()A. −3B. 3C. −9D. 94.已知a⃗=(1,2),b⃗ =(m,m+3)，若a⃗⊥b⃗ ，则m=()A. −2B. 2C. −7D. 75.若b<0<a，d<c<0，则()A. ac>bdB. ac >bdC. a−c>b−dD. a−d>b−c6.袋中有2个白球，3个黑球，从中依次取出2个，则取出2个都是白球的概率是()A. 35B. 12C. 25D. 1107.已知定义在R上的函数f(x)是偶函数，且满足f(1+x)=f(1−x)，当x∈[−1,1]时，f(x)=1−x2，若函数g(x)=log5x，则ℎ(x)=f(x)−g(x)在区间(0,5]内的零点的个数是()A. 2B. 3C. 4D. 58.已知函数f(x)是定义在R上的函数，当x>0时，f(x){2|x−1|−1,0<x≤212f(x−2),x>2则函数g(x)=xf(x)−1在[−6,+∞)上的所有零点之和为()A. 7B. 8C. 9D. 109.若z∈C，则“|Rez|≤1，|Imz|≤1”是“|z|≤1”成立的条件．()A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要10.方程的解为等于()A. 1B. eC. 10D.二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）11. 若命题“∃x 0∈R ，2x 02−3mx 0+9<0”为假命题，则实数m 的取值范围是．12. 幂函数y =f(x)的图象经过点(−2, −18)，则满足f(x)=64的x 的值是______ ．13. 在△ABC 所在平面内一点P ，满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =25AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，延长BP 交AC 于点D ，若AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=_______．14. 已知函数f(x)=x 3+sinx +m −3是定义在[n,n +6]上的奇函数，则m +n = ______ ．三、多空题（本大题共2小题，共10.0分）15. 如图所示茎叶图记录了甲、乙两组各5名同学在期末考试中的数学成绩，则甲组数据的中位数是 (1) ；乙组数据的平均数是 (2) ．16. 设函数f(x)={log 2x,x >0x 2+x,x ≤0，则f[f(−2)]= ，方程f(x)=2的解为．四、解答题（本大题共5小题，共70.0分）17. 某学校高三年级有400名学生参加某项体育测试，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[30,40)，[40,50)，…[90,100]，整理得到如图频率分布直方图：(Ⅰ)若该样本中男生有55人，试估计该学校高三年级女生总人数；(Ⅱ)若规定小于60分为“不及格”，从该学校高三年级学生中随机抽取一人，估计该学生不及格的概率；(Ⅲ)若规定分数在[80,90)为“良好”，[90,100]为“优秀”.用频率估计概率，从该校高三年级随机抽取三人，记该项测试分数为“良好”或“优秀”的人数为X ，求X 的分布列和数学期望．18. 如图，平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点，G 为交点，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ (1)试以a ⃗ ，b ⃗ 为基底表示DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、CG ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)若AD =2，AB =3，∠DAB =60°，求BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CG ⃗⃗⃗⃗⃗19. 孝感为中国生活用纸之乡．为庆祝“2021年中国孝感纸都节”，在开幕式现场进行嘉宾现场抽奖活动．抽奖盒中装有大小相同的6个小球，分别印有“孝感纸都”和“纸都孝感”两种标志，摇匀后抽奖，规定：参加者每次从盒中同时抽取两个小球(登记后放回并摇匀)，若抽到的两个小球都印有“孝感纸都“即可中奖，并停止抽奖，否则继续，但每位嘉宾最多抽取3次．已知从盒中抽取两个小球不都是“纸都孝感”标志的概率为35． (1)求盒中印有“纸都孝感”标志的小球个数； (2)求某位嘉宾抽奖两次的概率．20. 某企业为打入国际市场，决定从A 、B 两种产品中只选择一种进行投资生产．已知投资生产这两种产品的有关数据如下表：(单位：万美元)项目类别年固定成本每件产品成本每件产品销售价每年最多可生产的件数A 产品 10 m 5 100B 产品204960其中年固定成本与年生产的件数无关，m为待定常数，其值由生产A产品的原材料价格决定，预计m∈[3,4].另外，年销售x件B产品时需上交0.05x2万美元的特别关税．假设生产出来的产品都能在当年销售出去．(1)写出该厂分别投资生产A、B两种产品的年利润y1，y2与生产相应产品的件数x之间的函数关系并指明其定义域；(2)如何投资才可获得最大年利润？请你做出规划．21. 已知集合A=，其中}，B=}，且A B=R，求实数的取值范围．参考答案及解析1.答案：D解析：本题考查补集、交集的求法，属于基础题．先求出集合B和∁U A，由此能求出集合(∁U A)∩B．解：∵全集U={1,2,3,4,5,6}，集合A={2,3}，B={x|x2−6x+8=0}={2,4}，∴∁U A={1,4,5,6}，则集合(∁U A)∩B={4}．故选：D．2.答案：A解析：此题考查了其他不等式的解法，考查了转化的数学思想，解答此类题的关键是掌握两数相除，同号得正，异号得负的取符号法则．解：故不等式的解集为。

北京市昌平区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷Word版含解析

北京市昌平区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知集合U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={0，2，4}，那么A ∩（∁U B ）等于（）A ．{1}B ．{0，1}C ．{1，3}D ．{0，1，2，3}2．已知向量=（1，2），=（2，3﹣m ），且∥，那么实数m 的值是（）A ．﹣1B ．1C ．4D ．73．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ．若点A 的纵坐标是，那么sin α的值是（）A ．B ．C ．D ．4．已知函数f （x ）=2x +2x ﹣6的零点为x 0，那么x 0所在的区间是（）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）5．已知函数f （x ）是定义在[﹣4，0）∪（0，4]上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）的图象如图所示，那么f （x ）的值域是（）A ．（﹣4，4）B ．[﹣6，6]C ．（﹣4，4）∪（4，6]D ．[﹣6，﹣4）∪（4，6]6．已知函数y=sin2x 的图象为C ，为了得到函数的图象，只要把C 上所有的点（） A ．向左平行移动个单位长度B ．向右平行移动个单位长度 C ．向左平行移动个单位长度 D ．向右平行移动个单位长度7．已知，，，那么a ，b ，c 的大小关系是（）A ．c ＜a ＜bB ．c ＜b ＜aC ．a ＜b ＜cD ．b ＜a ＜c8．已知定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （x ）=f （4﹣x ），且在区间[0，2]上是增函数，那么（）A ．f （6）＜f （4）＜f （1）B ．f （4）＜f （6）＜f （1）C ．f （1）＜f （6）＜f （4）D ．f （6）＜f （1）＜f （4）9．甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交（其他费用忽略不计）．如果他在t 4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是（）A ．40万元B ．60万元C ．120万元D ．140万元10．已知定义在R 上的函数f （x ），若对于任意x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞x 1f （x 2）+x 2f （x 1），那么函数f （x ）称为“Ω函数”．给出下列函数：①f （x ）=cosx ；②f （x ）=2x ；③f （x ）=x|x|；④f （x ）=ln （x 2+1）．其中“Ω函数”的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共30分.11．已知函数f （x ）=x a 的图象经过点，那么实数a 的值等于．12．已知，且，那么tan α= ．13．已知函数如果f （x 0）=16，那么实数x 0的值是．14．已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（）的部分图象如图所示，那么ω= ，φ= ．15．如图，在6×6的方格中，已知向量，，的起点和终点均在格点，且满足向量=x +y （x ，y ∈R ），那么x+y= ．16．已知函数f （x ）的定义域为D ，若同时满足以下两个条件：①函数f （x ）在D 内是单调递减函数；②存在区间[a ，b]⊆D ，使函数f （x ）在[a ，b]内的值域是[﹣b ，﹣a]．那么称函数f （x ）为“W 函数”．已知函数为“W 函数”．（1）当k=0时，b ﹣a 的值是；（2）实数k 的取值范围是．三、解答题（共5个小题，共70分）17．已知向量=（2，﹣1），=（1，x ）．（Ⅰ）若⊥（+），求||的值；（Ⅱ）若+2=（4，﹣7），求向量与夹角的大小．18．已知函数．（I ）求函数f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f （x ）的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求函数f（x）的最小值，并求出使y=f（x）取得最小值时相应的x值．19．已知函数．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；（Ⅲ）若f（2x）＞0，求实数x的取值范围．20．据市场调查发现，某种产品在投放市场的30天中，其销售价格P（元）和时间t （t∈N）（天）的关系如图所示．（I）求销售价格P（元）和时间t（天）的函数关系式；（Ⅱ）若日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系式是Q=﹣t+40（0≤t≤30，t∈N），问该产品投放市场第几天时，日销售额y（元）最高，且最高为多少元？21．已知函数f（x），对于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＜0，且．（Ⅰ）求f（0），f（3）的值；（Ⅱ）当﹣8≤x≤10时，求函数f（x）的最大值和最小值；（Ⅲ）设函数g（x）=f（x2﹣m）﹣2f（|x|），判断函数g（x）最多有几个零点，并求出此时实数m的取值范围．北京市昌平区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1．已知集合U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={0，2，4}，那么A∩（∁B）等于（）UA．{1} B．{0，1} C．{1，3} D．{0，1，2，3}【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．B），再根据交集的运算法则计算即可【分析】先求出（∁U【解答】解：∵U={0，1，2，3，4}，A={0，1，2，3}，B={0，2，4}，∴（∁B）={1，3}UB）={1，3}∴A∩（∁U故选：C．【点评】本题考查集合的交并补运算，属于基础题2．已知向量=（1，2），=（2，3﹣m），且∥，那么实数m的值是（）A．﹣1 B．1 C．4 D．7【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示．【专题】计算题；对应思想；定义法；平面向量及应用．【分析】根据向量的平行的条件和向量的坐标运算即可求出．【解答】解：向量=（1，2），=（2，3﹣m），且∥，∴1×（3﹣m）=2×2，∴m=﹣1，故选：A．【点评】本题考查了向量的坐标运算和向量平行的条件，属于基础题．3．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，角α的终边与单位圆交于点A．若点A的纵坐标是，那么sinα的值是（）A．B．C．D．【考点】任意角的三角函数的定义．【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．【解答】解：由题意可得，点A 的纵坐标是，那么sin α的值是，故选：B【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．4．已知函数f （x ）=2x +2x ﹣6的零点为x 0，那么x 0所在的区间是（）A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）【考点】函数零点的判定定理．【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】判断函数的单调性，利用函数零点存在条件进行判断即可．【解答】解：∵函数f （x ）=2x +2x ﹣6为增函数，∴f （1）=2+2﹣6=﹣2＜0，f （2）=22+2×2﹣6=2＞0，则函数在（1，2）内存在零点，x 0所在的区间是（1，2），故选：B ．【点评】本题主要考查函数零点的判断，判断函数的单调性以及函数函数在区间端点处的符号关系是解决本题的关键．5．已知函数f （x ）是定义在[﹣4，0）∪（0，4]上的奇函数，当x ＞0时，f （x ）的图象如图所示，那么f （x ）的值域是（）A ．（﹣4，4）B ．[﹣6，6]C ．（﹣4，4）∪（4，6]D ．[﹣6，﹣4）∪（4，6]【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性的性质，确定函数的值域即可．【解答】解：∵当0＜x ≤4时，函数单调递增，由图象知4＜f （x ）≤6，当﹣4≤x ＜0时，在0＜﹣x ≤4，即此时函数也单调递增，且4＜f （﹣x ）≤6，∵函数是奇函数，∴f （﹣x ）=﹣f （x ），∴4＜﹣f （x ）≤6，即﹣6≤f （x ）＜﹣4，∴f （x ）的值域是[﹣6，﹣4）∪（4，6]，故选：D【点评】本题主要考查函数值域的求法，利用函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．6．已知函数y=sin2x的图象为C，为了得到函数的图象，只要把C上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】转化思想；定义法；三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数的图象关系进行判断即可．【解答】解：=sin2（x+），即为了得到函数的图象，只要把C上所有的点向左平行移动个单位长度即可，故选：C．【点评】本题主要考查三角函数的图象变换，利用三角函数解析式之间的关系是解决本题的关键．7．已知，，，那么a，b，c的大小关系是（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】利用指数式和对数式的性质，比较三个数与0或1的大小得答案．【解答】解：∵＞20=1，0＜=，1=0，＜log2∴c＜b＜a．故选：B．【点评】本题考查对数值的大小比较，关键是注意利用0和1为媒介，是基础题．8．已知定义在R上的奇函数f （x）满足f（x）=f（4﹣x），且在区间[0，2]上是增函数，那么（）A．f（6）＜f（4）＜f（1）B．f（4）＜f（6）＜f（1）C．f（1）＜f（6）＜f（4）D．f（6）＜f（1）＜f（4）【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】计算题；转化思想；转化法；函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的关系将条件进行转化比较即可．【解答】解：∵f（x）=f（4﹣x），∴函数f （x ）关于x=2对称，则∵奇函数f （x ）在区间[0，2]上是增函数，∴函数f （x ）在区间[﹣2，2]上是增函数，则函数f （x ）在在区间[2，6]上是减函数，则f （1）=f （3），∵f （6）＜f （4）＜f （3），∴f （6）＜f （4）＜f （1），故选：A【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和对称性的性质将条件进行转化是解决本题的关键．9．甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交（其他费用忽略不计）．如果他在t 4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是（）A ．40万元B ．60万元C ．120万元D ．140万元【考点】函数模型的选择与应用；函数解析式的求解及常用方法．【专题】应用题；数形结合；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】根据图象，在低价时买入，在高价时卖出能获得最大的利润．【解答】解：甲在6元时，全部买入，可以买120÷6=20（万）份，在t 2时刻，全部卖出，此时获利20×2=40万，乙在4元时，买入，可以买（120+40）÷4=40（万）份，在t 4时刻，全部卖出，此时获利40×2=80万，共获利40+80=120万，故选：C【点评】本题主要考查函数的应用问题，读懂题意，建立数学模型是解决本题的关键．10．已知定义在R 上的函数f （x ），若对于任意x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞x 1f （x 2）+x 2f （x 1），那么函数f （x ）称为“Ω函数”．给出下列函数：①f （x ）=cosx ；②f （x ）=2x ；③f （x ）=x|x|；④f （x ）=ln （x 2+1）．其中“Ω函数”的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】函数单调性的性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】根据条件可以得到，对于任意的x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，都有（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0，从而得出f （x ）在R 上为增函数，这样根据余弦函数，指数函数，二次函数，以及对数函数，复合函数的单调性判断每个函数在R 上的单调性，从而便可得出“Ω函数”的个数．【解答】解：对于任意x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，x 1f （x 1）+x 2f （x 2）＞x 1f （x 2）+x 2f （x 1）恒成立； ∴（x 1﹣x 2）[f （x 1）﹣f （x 2）]＞0恒成立；∴f （x ）在R 上为增函数；①f （x ）=cosx 在R 上没有单调性，∴该函数不是“Ω函数”；②f （x ）=2x 在R 上为增函数，∴该函数是“Ω函数”；③；∴f （x ）在[0，+∞）上单调递增，在（﹣∞，0）上单调递增，且02=﹣02；∴f （x ）在R 上为增函数，∴该函数是“Ω函数”；④令x 2+1=t ，t ≥1，则y=lnt 在[1，+∞）上单调递增，而t=x 2+1在R 上没有单调性；∴f （x ）在R 上没有单调性，∴该函数不是“Ω函数”；∴“Ω函数”的个数是2．故选：B ．【点评】考查增函数的定义，余弦函数、指数函数、二次函数，以及对数函数和复合函数的单调性，含绝对值函数的处理方法：去绝对值号，分段函数单调性的判断．二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共30分.11．已知函数f （x ）=x a 的图象经过点，那么实数a 的值等于 ﹣3 ．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】据幂函数f （x ）=x a 的图象经过点（3，），结合指数的运算性质，可得答案．【解答】解：：∵幂函数f （x ）=x a 的图象经过点，∴3a ==3﹣3，解得：a=﹣3，故答案为：﹣3【点评】本题考查的知识点是幂函数的图象和性质，难度不大，属于基础题．12．已知，且，那么tan α= ．【考点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值．【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．【分析】由条件利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：∵已知=sin α，且，∴cos α==，那么tan α==，故答案为：．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．13．已知函数如果f （x 0）=16，那么实数x 0的值是 ﹣2 ．【考点】函数的值．【专题】分类讨论；转化思想；函数的性质及应用．【分析】对x 分类讨论，利用分段函数的性质即可得出．【解答】解：当x ＜3时，﹣8x 0=16，解得x 0=﹣2，满足条件．当x ≥3时，=16，解得x 0=2，不满足条件．综上可得：x 0=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了分段函数的性质，考查了分类讨论方法、推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（）的部分图象如图所示，那么ω= 2 ，φ= ．【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】数形结合；转化法；三角函数的图像与性质．【分析】根据三角函数图象确定函数的周期以及函数过定点坐标，代入进行求解即可．【解答】解：函数的周期T=﹣=π，即，则ω=2，x=时，f （）=sin （2×+φ）=，即sin （+φ）=， ∵|φ|＜， ∴﹣＜φ＜，则﹣＜+φ＜，则+φ=，即φ=，故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数解析式的求解，根据三角函数的图象确定函数的周期是解决本题的关键．15．如图，在6×6的方格中，已知向量，，的起点和终点均在格点，且满足向量=x+y（x，y∈R），那么x+y= 3 ．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【专题】数形结合；数形结合法；平面向量及应用．【分析】取互相垂直的两个单位向量，用单位向量表示出三个向量，属于平面向量的基本定理列出方程组解出x，y．【解答】解：分别设方向水平向右和向上的单位向量为，则=2﹣，=，=4+3．又∵=x+y=（2x+y）+（2y﹣x），∴，解得．∴x+y=3．故答案为：3．【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属于基础题．16．已知函数f（x）的定义域为D，若同时满足以下两个条件：①函数f（x）在D内是单调递减函数；②存在区间[a，b]⊆D，使函数f（x）在[a，b]内的值域是[﹣b，﹣a]．那么称函数f（x）为“W函数”．已知函数为“W函数”．（1）当k=0时，b﹣a的值是 1 ；（2）实数k的取值范围是（] ．【考点】函数单调性的性质；函数的值域．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）由题意可看出，对于“W函数”有，方程f（x）=﹣x在定义域D上至少有两个不同实数根，并且a，b便为方程f（x）=﹣x的实数根，k=0时，解方程便可得出a，b的值，从而求出b﹣a 的值；（2）可令，（t≥0），从而得到方程﹣t﹣k=﹣t2，即一元二次方程t2﹣t﹣k=0在[0，+∞）上有两个不同实数根，从而可得到，解该不等式组即可得出实数k的取值范围．【解答】解：根据题意知，“W函数”在定义域D上需满足：方程f（x）=﹣x至少有两个不同的实数根；（1）k=0时，解得，x=0，或1；∴a=0，b=1；∴b﹣a=1；（2）令，由方程得，﹣t﹣k=﹣t2；∴t2﹣t﹣k=0在[0，+∞）上有两个不同实数根；设g（t）=t2﹣t﹣k，则：；解得；∴实数k的取值范围为．故答案为：1，（，0]．【点评】考查对“W函数”定义的理解，减函数的定义，清楚y=﹣x在[a，b]上的值域为[﹣b，﹣a]，换元法将无理方程变成有理方程的方法，一元二次方程实数根的个数和判别式△取值的关系，要熟悉二次函数的图象．三、解答题（共5个小题，共70分）17．已知向量=（2，﹣1），=（1，x）．（Ⅰ）若⊥（+），求||的值；（Ⅱ）若+2=（4，﹣7），求向量与夹角的大小．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】方程思想；向量法；平面向量及应用．【分析】（I）由向量的加法和向量垂直的条件：数量积为0，可得x=7，再由向量的模的公式计算即可得到所求；（II）运用向量的加法运算，可得x=﹣3，再由向量的夹角公式cos＜，＞=，计算即可得到所求夹角．【解答】解：（I）依题意可得，+=（3，﹣1+x），由⊥（+），可得，•（+）=0，即6+1﹣x=0，解得x=7，即=（1，7），所以；（II）依题意+2=（4，2x﹣1）=（4，﹣7），可得x=﹣3，即=（1，﹣3），所以cos＜，＞===，因为＜，＞∈[0，π]，所以与的夹角大小是．【点评】本题考查向量的数量积的运算，主要考查向量的模的求法和夹角的求法，考查运算能力，属于中档题．18．已知函数．（I）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）当时，求函数f（x）的最小值，并求出使y=f（x）取得最小值时相应的x值．【考点】正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】（I）由条件利用正弦函数的周期性求得函数f（x）的最小正周期．（Ⅱ）由条件利用正弦函数的单调性求得函数f（x）的单调递增区间．（Ⅲ）由条件利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的最小值，以及此时相应的x值．【解答】解：（I）对于函数，它的最小正周期为．（II）令，求得，即．所以函数f（x）的单调递增区间是（k∈Z）．（III）∵，∴，即．所以函数f（x）的最小值是，此时，．【点评】本题主要考查正弦函数的周期性，正弦函数的单调性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．19．已知函数．（Ⅰ）求f（1）的值；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；（Ⅲ）若f（2x）＞0，求实数x的取值范围．【考点】对数函数的图象与性质．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（I）将x=1代入f（x）计算；（II）先判断定义域是否关于原点对称，再化简f（﹣x），判断f（﹣x）与f（x）的关系；（III）利用函数的单调性和定义域列出不等式组解出．【解答】解：（Ⅰ）f（1）=log4+log2=﹣2﹣1=﹣3．（Ⅱ）函数f（x）是偶函数．证明：由函数有意义得，解得﹣3＜x＜3，∴函数f（x）的定义域为{x|﹣3＜x＜3}．∵f（﹣x）==f（x），∴函数是偶函数．（Ⅲ）由f（2x）＞0可得．∴，解得，或．∴x的取值范围是（﹣，﹣）∪（，）．【点评】问题考查了对数运算，对数函数的性质，函数单调性的应用，属于中档题．20．据市场调查发现，某种产品在投放市场的30天中，其销售价格P（元）和时间t （t∈N）（天）的关系如图所示．（I）求销售价格P（元）和时间t（天）的函数关系式；（Ⅱ）若日销售量Q（件）与时间t（天）的函数关系式是Q=﹣t+40（0≤t≤30，t∈N），问该产品投放市场第几天时，日销售额y（元）最高，且最高为多少元？【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）通过讨论t的范围，求出函数的表达式即可；（Ⅱ）先求出函数的表达式，通过讨论t的范围，求出函数的最大值即可．【解答】解：（I）①当0≤t＜20，t∈N时，设P=at+b，将（0，20），代入，得解得所以P=t+20（0≤t＜20，t∈N）．…．②当20≤t≤30，t∈N时，设P=at+b，将，（30，30）代入，解得所以 P=﹣t+60，…．综上所述…．（II ）依题意，有y=P •Q ，得…．化简得整理得 …．①当0≤t ＜20，t ∈N 时，由y=﹣（t ﹣10）2+900可得，当t=10时，y 有最大值900元．…②当20≤t ≤30，t ∈N 时，由y=（t ﹣50）2﹣100可得，当t=20时，y 有最大值800元．…．因为 900＞800，所以在第10天时，日销售额最大，最大值为900元．…．【点评】本题考查了求函数的表达式问题，考查分段函数，函数的最值问题，是一道中档题．21．已知函数f （x ），对于任意的x ，y ∈R ，都有f （x+y ）=f （x ）+f （y ），当x ＞0时，f （x ）＜0，且．（Ⅰ）求f （0），f （3）的值；（Ⅱ）当﹣8≤x ≤10时，求函数f （x ）的最大值和最小值；（Ⅲ）设函数g （x ）=f （x 2﹣m ）﹣2f （|x|），判断函数g （x ）最多有几个零点，并求出此时实数m 的取值范围．【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）根据条件，取特殊值求解；（Ⅱ）根据定义，判断函数的单调性，进而求出函数的最值；（Ⅲ）根据定义，判断函数为奇函数，得出g （x ）=f （x 2﹣2|x|﹣m ），令g （x ）=0即f （x 2﹣2|x|﹣m ）=0=f （0），根据单调性可得x 2﹣2|x|﹣m=0，根据二次函数的性质可知最多有4个零点，且m ∈（﹣1，0）．【解答】解：（I ）令x=y=0得f （0）=f （0）+f （0），得f （0）=0．…．令x=y=1，得f （2）=2f （1）=﹣1，…．令x=2，y=1得．…（II ）任取x 1，x 2∈R ，且x 1＜x 2，x 2﹣x 1＞0，因为f （x+y ）﹣f （x ）=f （y ），即f （x+y ）﹣f （x ）=f[（x+y ）﹣x]=f （y ），则f （x 2）﹣f （x 1）=f （x 2﹣x 1）．…由已知x ＞0时，f （x ）＜0且x 2﹣x 1＞0，则f （x 2﹣x 1）＜0，所以 f （x 2）﹣f （x 1）＜0，f （x 2）＜f （x 1），所以函数f （x ）在R 上是减函数，…．故 f （x ）在[﹣8，10]单调递减．所以f （x ）max =f （﹣8），f （x ）min =f （10），又，…．由f （0）=f （1﹣1）=f （1）+f （﹣1）=0，得，，故f （x ）max =4，f （x ）min =﹣5．…．（III ）令y=﹣x ，代入f （x+y ）=f （x ）+f （y ），得f （x ）+f （﹣x ）=f （0）=0，所以f （﹣x ）=﹣f （x ），故f （x ）为奇函数．…．，∴g （x ）=f （x 2﹣m ）﹣2f （|x|）=f （x 2﹣m ）+2f （﹣|x|）=f （x 2﹣m ）+f （﹣|x|）+f （﹣|x|）=f （x 2﹣2|x|﹣m ）…．令g （x ）=0即f （x 2﹣2|x|﹣m ）=0=f （0），因为函数f （x ）在R 上是减函数，…．所以 x 2﹣2|x|﹣m=0，即m=x 2﹣2|x|，…．所以当m ∈（﹣1，0）时，函数g （x ）最多有4个零点．…．【点评】考查了抽象函数的单调性和奇偶性的判断，难点是利用定义解决实际问题的能力．。

昌平区2019-2020学年第一学期期末高三数学试题及答案(WORD版)

昌平区2019－2020学年第一学期高三年级期末质量抽测数学（满分150分，考试时间 120分钟）2020.1第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{}{}21,0A x x B x x =-<<=>，则集合A B =U（A ）(2,1)- （B ）(0,1) （C ）(0,)+∞ （D ）(2,)-+∞ （2）在复平面内，复数i(i 1)-对应的点位于（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（3）已知命题p ：x +∀∈R ，ln 0x >，那么命题p ⌝为（A ）x ∃∈+R ，ln 0x ≤ （B ）x +∀∈R ，ln 0x < （C ）x +∃∈R ，ln 0x < （D ）x +∀∈R ，ln 0x ≤（4）设,,a b c ∈R ，且a b <，则（A ）ac bc < （B ） 11a b> （C ）22a b < （D ）33a b <（5）已知函数()f x 的图象与函数2xy =的图象关于x 轴对称，则()=f x（A ）2x - （B ）2x- （C ）2log x - （D ）2log x（6）已知向量(1,0),).k ==-=a b c 若2-a b 与c 共线，则实数k =（A ）0 （B ）1 （C （D ）3（7）已知双曲线221x y m-=，则m =DCBA11俯视图（A ）14 （B ）12（C ）2 （D ）2（8）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（A ）13 （B ）23（C ）1（D ）2（9）设,m n 为非零向量，则“λ=m n ，1λ≤-”是“||||||+=-m n m n ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（10）为配合“2019双十二”促销活动，某公司的四个商品派送点如图环形分布，并且公司给,,,A B C D 四个派送点准备某种商品各50个.根据平台数据中心统计发现，需要将发送给,,,A B C D 四个派送点的商品数调整为40，45，54，61，但调整只能在相邻派送点进行，每次调动可以调整1件商品.为完成调整，则（A ）最少需要16次调动，有2种可行方案（B ）最少需要15次调动，有1种可行方案（C ）最少需要16次调动，有1种可行方案（D ）最少需要15次调动，有2种可行方案第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市昌平临川育人学校2020-2021学年高一下学期期末数学试题答案和解析

北京市昌平临川育人学校【最新】高一下学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图（1）所示的几何体是由下图中的哪个平面图形旋转后得到的（）A ．B ．C ．D ． 2．如图所示，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标号正确的是（）①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱A ．④③②B ．②①③C ．①②③D ．③②④ 3．下列图形不一定是平面图形的是( )A ．三角形B ．四边形C ．圆D ．梯形 4．若0x >，则4x x +的最小值为（）A ．2B ．3C ．D ．45．不等式x 2﹣2x ﹣3＜0的解集为（）A ．{x |﹣1＜x ＜3}B ．∅C ．RD ．{x |﹣3＜x ＜1} 6．数列{a n }满足a 1=1，a n +1=3a n （n ∈N *），则a 5等于（）A ．27B ．﹣27C ．81D ．﹣817．如图是水平放置的平面图形的斜二测直观图，其原来平面图形面积是（）A．22B．42C．4 D．8 8．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．83πB．103πC．6πD．3π9．正方体的内切球和外接球的半径之比为（）A B2C．2D3 10．在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E，F,G分别为C1D1，A A1，BB1的中点，则空间四边形EFBG在正方体下底面ABCD上的射影面积为（）A．1 B．12C．14D．5811．《九章算术》中，将底面是直角三角形，且侧棱与底面垂直的三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示（网格纸上正方形的边长为1），则该“堑堵”的表面积为（）A．8 B．16+82C．16+162D．24+162 12．四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯,如图所示．盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半．设剩余酒的高度从左到右依次为h1，h2，h3，h4，则它们的大小关系正确的是A．h2＞h1＞h4B．h1＞h2＞h3C．h3＞h2＞h4D．h2＞h4＞h1二、填空题13．如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角___．14．如图，棱长均为2的正四棱锥的体积为_______．15．如图，直线AB⊥平面BCD，∠BCD=90°，则图中直角三角形的个数为__．16．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在AB平面MNP的图形序号是．棱的中点，能得出//三、解答题17．如图，长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AB=2 AD=2 AA′=2，（Ⅰ）求异面直线BC′ 和AD所成的角；（Ⅱ）求证：直线BC′∥平面ADD′A′．18．已知等差数列{a n}满足a3=3，前6项和为21．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n=3n a，求数列{b n}的前n项和T n．19．已知△ABC中，内角A、B、C依次成等差数列，其对边分别为a、b、c，且ba sin B.（Ⅰ）求内角C；（Ⅱ）若b =2，求△ABC的面积.20．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是AA1，D1C1的中点，过D，M，N三点的平面与正方体的下底面A1B1C1D1相交于直线l.（1）画出直线l的位置；（2）设l∩A1B1＝P，求线段PB1的长．21．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中, D为AB的中点.（Ⅰ）求证：CD 平面ABB1A1；（Ⅱ）求证：BC 1∥平面A 1CD .22．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，PA PB ，，且侧面PAB ⊥平面ABCD ，点E 是AB 的中点（1）求证:PE AD ⊥（2）若CA CB =，求证:平面PEC ⊥平面PAB参考答案1．A【详解】因为简单组合体由一个圆台和一个圆锥所组成的，因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构成，可排除B 、D ；再由圆台上、下底的大小比例关系可排除C.故选A ．2．A【解析】试题分析：由三视图能判断甲是圆柱，乙是三棱锥，丙是圆锥.考点：空间几何体的三视图.3．B【解析】三角形，圆，梯形一定是平面图形，但是四边形可以是空间四边形，故选B.4．D【解析】【分析】利用均值不等式求最值，最后要验证等号成立条件.【详解】404x x x >∴+≥=，当且仅当4,2x x x ==时等号成立，所以4x x+的最小值为4. 故选：D.【点睛】本题考查基本不等式在最值问题中的应用，属于基础题.5．A【解析】分析：利用二次不等式的解法，求解即可．详解：x 2﹣2x ﹣3=0，可得方程的解为：x=﹣1，x=3．不等式x 2﹣2x ﹣3＜0的解集为：{x|﹣1＜x ＜3}．故选A ．点睛：本题考查一元二次不等式的解法，考查基本求解能力.6．C【解析】分析：利用等比数列的定义可得公比q=3，根据等比数列的通项公式求出a 5的值. 详解：数列{a n }满足a 1=1，a n+1=3a n （n ∈N *），可得公比q=3，即有a 5=a 1q 4=1×34=81．故答案为：C ．点睛：本题考查等比数列的通项公式，考查基本求解能力.7．C【解析】分析：由三视图还原实物图,再根据三角形面积公式求解.详解：在斜二测直观图中OB=2,OA=2, 所以在平面图形中OB=2,OA=4， OA ⊥OB ，所以面积为12442S =⨯⨯=. 选C.点睛： 1.解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图． 2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．8．D【详解】解：该几何体是一个底面半径为1、高为4的圆柱被一个平面分割成两部分中的一个部分，故其体积为221141232V πππ=⨯⨯-⨯⨯⨯= . 本题选择D 选项.9．D【解析】正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设正方体的棱长为a ，内切球的半径为r ，外接球的半径为R ，则2,2r a R ==，所以,2a r R ==，所以:3r R =，故选D . 10．B【解析】分析：根据正反方体的结构特征，确定四边形EFBG 在正方体下底面ABCD 上的射影为与正方形ABCD 等底等高的三角形，根据三角形面积公式求出结果.详解：设边DC 的中点为H ，由题意可得，点E,F,B,G 在底面上的射影分别为点H,A,B,B ，因此空间四边形 EFBG 在正方体下底面 ABCD 上的射影为三角形HAB ，其面积为111122S =⨯⨯=．故答案为：B点睛：本题考查棱柱的结构特征，考查基本求解能力.11．D【解析】分析：根据立体几何图形的三视图可知底面直角三角形的各条直角边长和斜边长，以及直三棱柱的高，首先求出底面积，再利用“直三棱柱的侧面积等于底面周长乘以高”求出侧面积，即可求得该三棱柱的表面积.详解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱，底面面积为： 12×4×2=4，，侧面积为：4×（）故棱柱的表面积，故答案为：D点睛：本题考查简单空间图形的三视图，考查基本求解能力.12．A【解析】略13．相等或互补.【解析】分析：利用平行公理，可得结论．详解：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补．故答案为相等或互补．点睛：本题考查平行公理.考查基本概念简单应用.14 【解析】在正四棱锥中，顶点S 在底面上的投影为中心O ，即SO ⊥底面ABCD ，在底面正方形ABCD中，边长为2，所以，在直角三角形SOA 中SO ===所以112233V sh ==⨯⨯=故答案为3 15．4.【解析】分析：将条件直线AB⊥平面BCD 进行转化，线面垂直⇒线线垂直．易得△ABC 是直角三角形，△ABD 是直角三角形，再结合∠BCD=90°⇒DC ⊥面ABC ⇒△ACD 是直角三角形．详解：由题意AB⊥平面BCD ，由直线和平面垂直的定义∴①AB ⊥BC ，⇒△ABC 是直角三角形②AB ⊥BD ，⇒△ABD 是直角三角形又 ③∠BCD=90°△BCD 是直角三角形④AB⊥平面BCD ⇒AB ⊥DC，又BC⊥DC，由直线和平面垂直的判定定理，得 DC⊥面ABC ，∴DC ⊥AC ⇒△ACD 是直角三角形故答案为4．点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.16．①④【解析】试题分析：如图1，O 是所在棱中点，AE OM Q ⋂=，则Q 是AE 中点，//AB PQ ，因此有//AB MNPO 平面，如图2，O 是底面中心，可知//AB ON ，而MNP N ∈平面，O MNP ∉平面，因此AB 与平面MNP 不平行，如图3，平面PMN 就是平面PNBE ，显然AB 与平面MNP 不平行，如图4，////AB EF PN ，则有//AB MNPO 平面，故填①④．考点：直线与平面平行的判断．【名师点睛】直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与这个平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（线线平行⇒线面平行），性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（简记为“线面平行⇒线线平行”）．直线与平面平行的判定中易忽视“线在面内”这一关键条件．17．(1) 异面直线BC′和AD 所成的角为30°.(2)证明见解析.【解析】分析：（1）由AD∥BC，得∠CBC′是异面直线BC′和AD所成的角，由此能求出异面直线BC′和AD所成的角．（2）连结AD′，由AD′∥BC′，能证明直线BC′∥平面ADD′A′．详解：（1）解：∵长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AD∥BC，∴∠CBC′是异面直线BC′和AD所成的角，∵长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AD=2 ，AA′=2，CC′⊥BC，∴tan∠∴∠CBC′=30°，∴异面直线BC′和AD所成的角为30°（2）解：证明：连结AD′，∵长方体ABCD﹣A′B′C′D′中，AD′∥BC′，又AD′⊂平面ADD′A′，BC′⊄平面ADD′A′，∴直线BC′∥平面ADD′A′点睛：线线角找平行，通过平行将异面直线转化为两个相交直线，再通过解三角形求夹角，最后根据异面直线所成角范围求角的大小18．(1) a n=1+（n﹣1）×1=n．(2)3(31).2nnT=-【解析】分析：（1）根据等差数列的通项公式和前n项和公式，建立方程组，解得数列的首项和公差，得到通项公式.（2）利用等比数列的前n项和公式求解.详解：（1）解：∵等差数列{a n}满足a3=3，前6项和为21，∴ 1123{1665212a d a d +=+⨯⨯=，解得a 1=1，d=1， ∴a n =1+（n ﹣1）×1=n ．（2）解：b n =3 an =3n ，∴数列{b n }的前n 项和：T n =3+32+33+…+3n = ()331.2n - 点睛：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.19．(1) 512π. (2)【解析】分析：(1)根据题意利用等差数列的定义即可求出 3B π=，再结合正弦定理求出sinA 的值进而得出角A 以及角C 的大小.(2)由题意结合正弦定理再利用三角形面积公式即可求出结果．详解：（1）解：因为A ，B ，C 依次成等差数列，所以 2B=A+C 所以3B π=又由 ba sin B 及正弦定理得，sinAsinB在 ABC 中sinB≠0∴sinA= 22 ，∴ 4A π= 所以 512C π= （2）解：在 ABC 中，∵b=2，所以由正弦定理得26a =所以S 0012sin(3045)2=⨯+= 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.20．(1)证明见解析；(2)34a . 【分析】（1）根据直线相交得交点，交点连线得交线（2）先根据相似得A1P＝a，再根据等量关系得线段PB1的长．【详解】(1)延长DM交D1A1的延长线于E，连接NE，则NE即为直线l的位置．(2)∵M为AA1的中点，AD∥ED1，∴AD＝A1E＝A1D1＝a.∵A1P∥D1N，且D1N＝a，∴A1P＝D1N＝a，于是PB1=A1B1-A1P=a-a=a.21．(1) 证明见解析.(2) 证明见解析.【解析】分析：（Ⅰ）通过线面垂直的性质，可以利用CD垂直AB，CD垂直AA1来证明CD垂直平面ABB1A1．（Ⅱ）通过利用中线定理，可以得到BC1 //OD，又由线面平行的判断可以推出，B C1// 平面 A 1C D.详解：(Ⅰ)因为正三棱柱ABC-A1B1C1， D为AB的中点，所以CD⊥AB， AA1⊥底面ABC.又因为CD⊂底面ABC，所以AA1⊥CD.又因为AA1AB=A,AB⊂平面ABB1A1， AA1⊂平面ABB1A1，所以CD⊥平面ABB1A1.(Ⅱ)连接 AC 1，设 A 1C AC 1=O ，连接 OD ，由正三棱柱 ABC-A 1B 1C 1，得 AO=OC 1，又因为在 ABC-A 1B 1C 1中，AD=DB ，所以 OD//BC 1又因为BC 1⊄平面 A1CD ， OD ⊂平面 A 1CD ，所以 BC 1//平面 A 1CD.点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.22．（1）见解析；（2）见解析【详解】分析：（1）可根据PAB ∆为等腰三角形得到PE AB ⊥，再根据平面PAB ⊥平面ABCD 可以得到PE ⊥平面ABCD ，故PE CD ⊥.（2）因CA CB =及E 是中点，从而有CE AB ⊥，再根据PE ⊥平面ABCD 得到PE AB ⊥，从而AB ⊥平面PEC ，故平面PEC ⊥平面PAB .详解：（1）证明:因为PA PB =，点E 是棱AB 的中点，所以PE AB ⊥，PE ⊥平面ABCD .因为平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABC AB =，PE ⊂平面PAB ，所以PE ⊥平面ABCD ，又因为AD ⊂平面ABCD ，所以PE AD ⊥.（2）证明:因为CA CB =，点E 是AB 的中点，所以CE AB ⊥.由（1）可得PE AB ⊥，又因为CE PE E ⋂=，所以AB ⊥平面PEC ，又因为AB 平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PEC点睛：线线垂直的证明，可归结为线面垂直，也可以转化到平面中的某两条直线的垂直问题，而面面垂直的证明，可转化为线面垂直问题，也转化为证明二面角为直二面角.。

北京市昌平区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试卷 Word版含解析

北京市昌平区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷一、选择题：（每题5分，共12题，共60分）.1．已知集合A={1，2}，B={2，4}，则A∪B=（）A．{2} B．{1，2，2，4} C．∅D．{1，2，4}2．设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7}3．已知函数f（x）=x3﹣2x，则f（3）=（）A．1 B．19 C．21 D．354．函数的定义域为（）A．（5，+∞）B．[﹣1，5）∪（5，+∞）C．[﹣1，5）D．[﹣1，+∞）5．函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）6．cos300°=（）A．B．﹣C．D．7．已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（）A．﹣B．﹣C．D．8．cos45°cos15°﹣sin45°sin15°=（）A．B． C． D．9．已知tanα=2，tanβ=3，则tan（α+β）=（）A．1 B．﹣1 C．D．10．为了得到函数y=cos（x+）的图象，只需把余弦曲线y=cosx上的所有的点（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度11．函数f（x）=的最小正周期为（）A．B．πC．2π D．4π12．如图一半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y（米）与时间x（秒）满足函数关系y=Asin（ωx+φ）+2则有（）A．ω=，A=3 B．ω=，A=5 C．ω=，A=5 D．ω=，A=3二、填空题（每题5分，共4题，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数的定义域是．14． = ．15．已知tanθ=2，则= ．16．已知，且，则sinxcosx= ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知全集U=R，集M={x|x﹣3≥0}，N={x|﹣1≤x＜4}．（1）求集合M∩N，M∪N；（2）求集合∁U N，（∁UN）∩M．18．已知函数f（x）=x2﹣2x，设．（1）求函数g（x）的表达式，并求函数g（x）的定义域；（2）判断函数g（x）的奇偶性，并证明．19．已知，求（1）；（2）．20．已知角α的终边与单位圆交于点P（，）．（1）求sinα、cosα、tanα的值；（2）求的值．21．已知函数．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值．22．已知函数（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f （x）图象的两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．北京市昌平区2019-2020学年上学期期末考试高一数学试卷参考答案一、选择题：（每题5分，共12题，共60分）.1．已知集合A={1，2}，B={2，4}，则A∪B=（）A．{2} B．{1，2，2，4} C．∅D．{1，2，4}【考点】并集及其运算．【分析】利用并集性质求解．【解答】解：∵集合A={1，2}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4}．故选：D．2．设集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B=（）A．{1，3} B．{3，5} C．{5，7} D．{1，7}【考点】交集及其运算．【分析】直接利用交集的运算法则化简求解即可．【解答】解：集合A={1，3，5，7}，B={x|2≤x≤5}，则A∩B={3，5}．故选：B．3．已知函数f（x）=x3﹣2x，则f（3）=（）A．1 B．19 C．21 D．35【考点】函数的值．【分析】直接把函数f（x）=x3﹣2x中的x用3代替，能求出f（3）的值．【解答】解：∵函数f（x）=x3﹣2x，∴f（3）=33﹣23=19．故选：B．4．函数的定义域为（）A．（5，+∞）B．[﹣1，5）∪（5，+∞）C．[﹣1，5）D．[﹣1，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据二次根式的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：x+1≥0，解得：x≥﹣1，故函数的定义域是[﹣1，+∞），故选：D．5．函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间（）A．（﹣2，﹣1）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（1，2）【考点】函数零点的判定定理．【分析】判断函数的单调性，利用f（﹣1）与f（0）函数值的大小，通过零点判定定理判断即可．【解答】解：函数f（x）=2x+3x是增函数，f（﹣1）=＜0，f（0）=1+0=1＞0，可得f（﹣1）f（0）＜0．由零点判定定理可知：函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间（﹣1，0）．故选：B．6．cos300°=（）A．B．﹣C．D．【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】利用三角函数的诱导公式，将300°角的三角函数化成锐角三角函数求值．【解答】解：∵．故选C．7．已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tanα的值等于（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】由角的正弦值和角所在的象限，求出角的余弦值，然后，正弦值除以余弦值得正切值．【解答】解：∵sinα=且α是第二象限的角，∴，∴，故选A8．cos45°cos15°﹣sin45°sin15°=（）A．B． C． D．【考点】两角和与差的余弦函数．【分析】观察所求的式子，发现满足两角和与差的余弦函数公式，故利用此公式化简，再利用特殊角的三角函数值即可求出值．【解答】解：cos45°cos15°﹣sin45°sin15°=cos（45°+15°）=cos60°=．故选A9．已知tanα=2，tanβ=3，则tan（α+β）=（）A．1 B．﹣1 C．D．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由已知利用两角和的正切函数公式即可计算得解．【解答】解：∵tanα=2，tanβ=3，∴tan（α+β）===﹣1．故选：B．10．为了得到函数y=cos（x+）的图象，只需把余弦曲线y=cosx上的所有的点（）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．【解答】解：把余弦曲线y=cosx上的所有的点向左平移个单位长度，可得函数y=cos（x+）的图象，故选：A．11．函数f（x）=的最小正周期为（）A．B．πC．2π D．4π【考点】三角函数的周期性及其求法．【分析】直接利用正弦函数的周期公式T=，求出它的最小正周期即可．【解答】解：函数f（x）=由T==||=4π，故D正确．故选D．12．如图一半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y（米）与时间x（秒）满足函数关系y=Asin（ωx+φ）+2则有（）A．ω=，A=3 B．ω=，A=5 C．ω=，A=5 D．ω=，A=3【考点】正弦函数的图象．【分析】先根据h的最大和最小值求得A和k，利用周期求得ω．【解答】解：∵水轮的半径为3，水轮圆心O距离水面2m，A=3，k=2，又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒，∴T=15=，∴ω=．故选：A．二、填空题（每题5分，共4题，满分20分，将答案填在答题纸上）13．函数的定义域是[4．+∞）．【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．x≥2，解不等式可得．【分析】根据对数及根式有意义的条件可得x＞0，log2【解答】解：由已知可得，解不等式可得{x|x≥4}故答案为：[4，+∞）14． = 4 ．【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算．【分析】=+1+=4．【解答】解：=+1+=+1+=4，故答案为：4．15．已知tanθ=2，则= 3 ．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】把分子分母都除以cosθ，利用同角三角函数间的基本关系即可得到关于tanθ的关系式，把tanθ的值代入即可求出值．【解答】解：∵tanθ=2，∴===3．故答案为：3．16．已知，且，则sinxcosx= ．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用已知条件，结合同角三角函数的平方关系式，即可得解．【解答】解：∵，且，∴两边平方可得：1﹣2sinxcosx=，∴解得：sinxcosx=（1﹣）=．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知全集U=R，集M={x|x﹣3≥0}，N={x|﹣1≤x＜4}．（1）求集合M∩N，M∪N；（2）求集合∁U N，（∁UN）∩M．【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】（1）求出M中不等式的解集确定出M，找出M与N的交集与并集即可；（2）由全集U=R，求出N的补集，找出N补集与M的交集即可．【解答】解：（1）∵M={x|x﹣3≥0}={x|x≥3}，N={x|﹣1≤x＜4}．∴M∩N={x|3≤x＜4}，M∪N={x|x≥﹣1}；（2）∵全集U=R，M={x|x≥3}，N={x|﹣1≤x＜4}，∴∁UM={M|x≥4或x＜﹣1}，则∁UN∩M={x|x≥4}．18．已知函数f（x）=x2﹣2x，设．（1）求函数g（x）的表达式，并求函数g（x）的定义域；（2）判断函数g（x）的奇偶性，并证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）求出f（x+1）=x2﹣1，即可求函数g（x）的表达式，并求函数g（x）的定义域；（2）由（1）知，g（x）的定义域为{x|x≠0}关于原点对称，再利用奇函数的定义，判断、证明函数g（x）的奇偶性．【解答】解：（1）由f（x）=x2﹣2x，得f（x+1）=x2﹣1，所以，，定义域为{x|x∈R，且x≠0}；（2）结论：函数g（x）为奇函数．证明：由（1）知，g（x）的定义域为{x|x≠0}关于原点对称，并且，，所以，函数g（x）为奇函数．19．已知，求（1）；（2）．【考点】三角函数的化简求值．【分析】（1）由已知求得sinα，展开两角差的余弦求解；（2）由已知求得sinα，进一步得到sin2α与cos2α的值，再展开两角和的正弦得答案．【解答】解：（1）由，得，∴；（2）由，得，∴，，∴．20．已知角α的终边与单位圆交于点P（，）．（1）求sinα、cosα、tanα的值；（2）求的值．【考点】运用诱导公式化简求值；任意角的三角函数的定义．【分析】（1）根据已知角α的终边与单位圆交与点P（，）．结合三角函数的定义即可得到sinα、cosα、tanα的值；（2）依据三角函数的诱导公式化简即可： =，最后利用第（1）小问的结论得出答案．【解答】解：（1）已知角α的终边与单位圆交与点P（，）．∴x==，r=1，∴sinα=；cosα=；tanα=；（2）==．21．已知函数．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；（2）当x∈[上，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f （x）的取值最大和最小值．【解答】解：（1）设，则y=sinz+2的单调递增区间为，由，解得所以，函数f（x）的单调递增区间为；（2）由（1），∵，∴；∴，∴故得函数f（x）在区间上的最小值为，最大值为4．22．已知函数（0＜φ＜π，ω＞0）为偶函数，且函数y=f （x）图象的两相邻对称轴间的距离为．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递减区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（Ⅰ）先用两角和公式对函数f（x）的表达式化简得f（x）=2sin（ωx+φ﹣），利用偶函数的性质即f（x）=f（﹣x）求得ω，进而求出f（x）的表达式，把x=代入即可．（Ⅱ）根据三角函数图象的变化可得函数g（x）的解析式，再根据余弦函数的单调性求得函数g（x）的单调区间．【解答】解：（Ⅰ） ==．∵f（x）为偶函数，∴对x∈R，f（﹣x）=f（x）恒成立，∴．即，整理得．∵ω＞0，且x∈R，所以．又∵0＜φ＜π，故．∴．由题意得，所以ω=2．故f（x）=2cos2x．∴．（Ⅱ）将f（x）的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象．∴．当（k∈Z），即（k∈Z）时，g（x）单调递减，因此g（x）的单调递减区间为（k∈Z）．。

北京市昌平区2020-2021学年第二学期高一年级期末考试质量检测数学试题

北京市昌平区2020-2021学年第二学期高一年级期末考试质量检测数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．经过点（–1，2）且斜率为2的直线方程为( )A ．2x –y +4=0B ．2x –y –5=0C ．2x –y –4=0D ．2x –y +5=02．某产品分为优质品、合格品、次品三个等级. 生产中出现合格品的概率为0.25，出现次品的概率为0.03. 在该产品中任抽一件，则抽得优质品的概率是A ．0.28B ．0.72C ．0.75D ．0.973．在△ABC 中，7b =，5c =，3B π∠=，则a 的值为 A ．3 B ．4 C ．7 D ．84．将长度为1米的绳子任意剪成两段，那么其中一段的长度小于0.3米的概率是 A ．1 B ．0.7 C ．0.6 D ．0.35．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是( )A ．α⊥β，且m ⊂αB ．m ⊥n ，且n ∥βC ．α⊥β，且m ∥αD ．m ∥n ，且n ⊥β6．某校高中三个年级共有学生1050人，其中高一年级300人，高二年级350人，高三年级400人.现要从全体高中学生中通过分层抽样抽取一个容量为42的样本，那么应从高三年级学生中抽取的人数为A ．12B ．14C ．16D ．187．在ABC 中，60A ∠=︒，4AC =，BC =ABC 的面积为A ．B ．4C ．D8．某多面体的三视图如图所示，则该多面体的体积是A ．223B ．233C ．6D ．7 9．在平面直角坐标系xOy 中，过点()0,2P -的直线与圆()22:12C x y -+=交于,A B两点，当ABC 的面积最大时，线段AB 的长度为A ．1BC ．2D ．10．在立体几何中，用一个平面去截一个几何体得到的平面图形叫截面. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点,EF 分别是棱111,B B B C 的中点，点G 是棱1CC 的中点，则过线段AG 且平行于平面1A EF 的截面的面积为（）A ．1B ．98C ．89 D二、填空题 11．已知点(2,1,3)A -，(3,1,2)B ，则AB =________________ .12．已知直线1:0,l x ay a +-=()2:2310l ax a y ---=互相垂直，则a 的值为______ .13．已知ABC ∆中，030BAD ∠=，045CAD ∠=，3,2AB AC ==.则BD DC=____ .三、双空题14．已知圆22:240C x y x y a +-++=，则圆心C 坐标为__________，当圆C 与y 轴相切时，实数a 的值为_____________.15．甲、乙两人各参加了5次测试，将他们在各次测试中的得分绘制成如图所示的茎叶图.已知甲、乙二人得分的平均数相同，则m =_______；2s 甲_____2s 乙.（填 ,,><=）16．在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，点(0,3)A ，动点M 满足2=MA MO ，则点M 轨迹方程为_________________________；若动点M 在圆222:(3)(3)C x y r -+-=上，则r 的取值范围为______________ .四、解答题17．已知△ABC 的三个角,,A B C ∠∠∠所对边分别为a ，b ，c .23A π∠=，a =2b =.（Ⅰ）求cos B ；（Ⅱ）求c 的长及△ABC 的面积.18．如图，在三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥平面，CA CB =，点D E 、分别为AB AC 、的中点.（Ⅰ）求证：//DE PBC 平面；（Ⅱ）求证：PCD PAB ⊥平面平面.19．北京市某年11月1日—20日监测最高最低温度及差值数据如下:（Ⅰ）完成下面的频率分布表及频率分布直方图，并写出频率分布直方图中a 的值；（Ⅱ）从日温差大于等于13的这些天中，随机选取2天.求这两天中至少有一天的温差在区间[15,17)内的概率.20．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中， E 为线段AB 的中点，F 为线段11B D 上一动点.（Ⅰ）求证：AC BF ⊥；（Ⅱ）当1113D F FB =时，求三棱锥1B FBC -的体积；（Ⅲ）在线段11B D 上是否存在一点F ，使得1//AE 平面FBC ？说明理由.21．已知圆22:1O x y +=，直线l 过点(3,0)A 且与圆O 相切 .（I ）求直线l 的方程；（II ）如图，圆O 与x 轴交于,P Q 两点，点M 是圆O 上异于P Q 、的任意一点，过点A 且与x 轴垂直的直线为1l ，直线PM 交直线1l 于点E ，直线QM 交直线1l 于点F ，求证：以EF 为直径的圆C 与x 轴交于定点B ，并求出点B 的坐标 .参考答案1．A【分析】根据题中所给的条件，直线所过的一个点和直线的斜率，利用直线方程的点斜式即可求得结果.【详解】由点斜式方程可得：22(1)y x -=+，整理得240x y -+=，故选A.【点睛】该题所考查的是直线的方程的求解，需要明确直线方程的点斜式，需要注意最后都需要将直线方程化为一般式.2．B【分析】根据对立事件的概率公式，计算求得结果.【详解】根据题意，对该产品抽查一次抽得优质品的概率是10.250.030.72P =--=，故选B.【点睛】该题考查的是有关随机事件发生的概率的求解问题，在解题的过程中，需要对题意进行分析，得到共有三种情况，其中两种情况的概率已经给出，所以应用对立事件发生的概率公式求得结果.3．D【解析】【分析】根据题中所给的条件两边一角，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，代入计算即可得到所求的值.【详解】因为7,5,3b c B π==∠=，由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，即214925252a a =+-⨯⨯，整理得25240a a --=，解得8a =或5a =-（舍去），故选D.【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有余弦定理，解三角形所用的就是正弦定理和余弦定理，结合题中的条件，选择适当的方法求得结果. 4．C【解析】【分析】根据几何概型的概率公式求出一段的长度小于0.3米的概率即可.【详解】如图，线段1AB =，要使其中一段的长度小于0.3米，则满足条件的线段为0.3AB =或0.3CD = 所用根据概率公式可知所求的概率为0.30.30.61+=，故选C. 【点睛】该题考查的是有关几何概型的问题，在解题的过程中，需要明确事件对应的几何度量，利用公式求得结果.5．D【分析】根据所给条件，分别进行分析判断，即可得出正确答案.【详解】解：αβ⊥且m α⊂⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故A 不成立； m n ⊥且//n β⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故B 不成立；αβ⊥且//m α⇒m β⊂或//m β或m 与β相交，故C 不成立；//m n 且n β⊥⇒m β⊥，故D 成立；故选：D【点睛】本题考查直线与平面的位置关系，线面垂直判定，属于基础题.6．C【分析】根据分层抽样的定义求出在各层中的抽样比，即样本容量比上总体容量，按此比例求出在高三年级中抽取的人数.【详解】根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为421105020=，则在高三年级抽取的人数是14001625⨯=人，故选C.【点睛】该题所考查的是有关分层抽样的问题，在解题的过程中，需要明确无论采用哪种抽样方法，都必须保证每个个体被抽到的概率是相等的，所以注意成比例的问题.7．C【分析】利用三角形中的正弦定理求出角B ，利用三角形内角和求出角C ，再利用三角形的面积公式求出三角形的面积，求得结果.【详解】因为ABC ∆中，60A ∠=︒，4AC =，BC = 由正弦定理得：sin sin BC AC A B=，4sin B=，所以sin 1B =，所以90,30B C ︒︒∠=∠=，所以14sin 302ABC S ︒∆=⨯⨯=故选C. 【点睛】该题所考查的是有关三角形面积的求解问题，在解题的过程中，需要注意根据题中所给的条件，应用正弦定理求得sin 1B =，从而求得90,30B C ︒︒∠=∠=，之后应用三角形面积公式求得结果.8．D【分析】首先应用题中所给的三视图，还原几何体，其为一个直五棱柱，也可以看作是由一个正方体消去一个三棱柱，利用减法运算结合体积公式求得结果.【详解】根据题中所给的三视图，还原几何体，该几何体为底面就是俯视图的直五棱柱，也可以看作是一个正方体消去了一个三棱柱，所以去体积为31211272V =-⨯⨯⨯=，故选D. 【点睛】该题考查的是有关根据三视图还原几何体，从而求其体积的问题，所以一是要注意正确还原几何体，二是正确应用体积公式求得结果.9．C【解析】【分析】首先设出线段AB 的长度，结合圆中的特殊直角三角形，利用勾股定理，求得圆心C 到直线AB 的距离为d ，利用三角形的面积公式将三角形的面积化为关于m 的函数关系式，求得其取最大值时m 所满足的条件，得到结果.【详解】设线段AB 的长度为2m ，则有圆心C 到直线AB 的距离为d =根据三角形的面积公式可得122S m =⨯== 所以当21m =，即1m =时，三角形的面积取得最大值，所以当ABC 的面积最大时，线段AB 的长度为22m =，故选C.【点睛】该题考查的是有关圆中的三角形的面积问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有圆中特殊的直角三角形，即半径、半弦长与弦心距构成直角三角形，利用勾股定理，得到弦心距，利用三角形面积公式求得其关于m 的式子，利用配方法求得最值，也可以应用基本不等式求得结果.10．B【分析】取BC 的中点H ，连接,AH GH ，证明平面AHGD 1∥平面A 1EF ，得截面图形，求面积即可【详解】取BC 的中点H ，连接,AH GH ，因为1,EF BC GH EF ⊄面AHGD 1，GH ⊂面AHGD 1，EF ∴∥面AHGD 1，同理，1A E ∥面AHGD 1，又1A E EF E ⋂=，则平面AHGD 1∥平面A 1EF ，等腰梯形AHGD 1的上下底分别为2，，故梯形的高为4，则梯形面积为98，故选B ．【点睛】此题考查了几何体截面问题，灵活运用面面平行的判定是关键，考查空间想象与推理能力，是中档题．11.【解析】【分析】根据题中所给的两个点的坐标，利用两点间距离公式求得结果.【详解】因为(2,1,3),(3,1,2)A B -，所以AB ==.【点睛】该题考查的是有关空间中两点间的距离公式，直接应用公式求得结果即可，属于简单题目. 12．02或.【解析】【分析】根据两条直线垂直的条件，得到a 所满足的等量关系式，解方程，求得a 的值.【详解】因为直线1:0,l x ay a +-= ()2:2310l ax a y ---=互相垂直，则有1[(23)]0a a a ⨯+⨯--=，即2230a a a -+=，进一步化简得220a a -=，解得0a =或2a =，故答案是0或2.【点睛】该题所考查的是有关两条直线垂直的条件，利用11112222:0:0l A x B y C l A x B y C ++=++=与垂直的条件是12120A A B B +=，得到关于a 所满足的等量关系式，求得结果.13. 【分析】过C 作CE AB ∥，与AD 的延长线相交于E ，则30AEC ︒∠=，在AEC ∆中，利用正弦定理，求出CE ，再利用BD AB DC CE =，即可得出结论. 【详解】过C 作CE AB ∥，与AD 的延长线相交于E ，则30AEC ︒∠=，在AEC ∆中，因为045CAD ∠=，所以2sin 30sin 45CE ︒︒=，所以CE =因为CE AB ∥，3AB =，所以BD AB DC CE ===故答案是4. 【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，相似三角形对应边成比例问题，在解题的过程中，注意辅助线的做法.14．(1,2)-. 4.【分析】首先将圆的一般方程进行配方运算，得到标准方程22(1)(2)5x y a -++=-，从而求得圆的圆心坐标，再根据圆与y 轴相切，即圆心到y 轴的距离即为圆的半径，从而求得a 的值.【详解】由22240x y x y a +-++=，配方得22(1)(2)5x y a -++=-，所以圆心C 的坐标为(1,2)-；当圆C 与y 1=，解得4a =；故答案是(1,2)-，4.【点睛】该题考查的是有关圆的问题，涉及到的知识点有圆的一般方程向圆的标准方程的转化，由圆的方程得到圆的圆心坐标，圆与直线相切时满足的条件，即为圆心到切线的距离为圆的半径，从而建立相应的等量关系式，求得结果.15．6. <【分析】首先利用两个人的平均分相同，借助于茎叶图中茎是相同的，所以只算个位数即可，求得m 的值，再就是利用方差公式求得方差，比较大小即可得结果.【详解】乙二人得分的平均数相同，所以有860247223m ++++=++++，解得6m =，并且可求得其平均数是80，根据方差公式，可得222222(7880)(7680)(8080)(8280)(8480)=85s -+-+-+-+-=甲， 222222(7780)(7680)(8280)(8280)(8380)=8.45s -+-+-+-+-=乙，所以22s s <甲乙，故填<.【点睛】该题考查的是有关统计的问题，涉及到的知识点有根据茎叶图解决相关的问题，在解题的过程中，需要应用条件中所给的平均分相同得到m 所满足的等量关系式，这里需要注意只算个位数即可，再者就是应用方差公式求方差比较大小即可，注意可以应用分散程度直接看出，得结果.16．22230x y y ++-=. []3,7.【分析】根据2MA MO =，设出点M 的坐标，求得M 的轨迹方程，根据动点M 在圆()()222:33C x y r -+-=上，从而得到M 的轨迹与圆C 有公共点，结合两圆的位置关系，得到两圆心之间的距离大于等于半径差的绝对值小于等于两圆半径和，从而得到r 所满足的不等关系，求得结果.【详解】设(,)M x y ，因为动点M 满足2MA MO =，=化简得22230x y y ++-=，若动点M 在圆()()222:33C x y r -+-=上，就是圆22230x y y ++-=与圆()()222:33C x y r -+-=有公共点，所以22r r -≤+，解得37r ≤≤，故答案是22230x y y ++-=，[3,7].【点睛】该题考查的是有关动点的轨迹方程的求法，两圆的位置关系，涉及到的知识点有动点的轨迹方程的求解步骤是建系、设点、列式、化简，从而求得动点M 的轨迹方程，之后根据题意，得到等价的条件就是两个圆有公共点，利用两圆的位置关系，得到r 所满足的关系式，从而求得结果.17．（1）cos B =.（2）ABC S ∆=【解析】【分析】（1）首先应用题的条件，应用正弦定理求得sin B =系，结合角的范围，求得cos B =，得到结果；（2）利用余弦定理，求得4c =，之后应用三角形的面积公式求得结果.【详解】(Ⅰ)在ABC ∆中，因为=sin sin a b A B，2sin sin 3B .所以sin B =因为22sin cos 1B B +=，0,3B π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭,所以 cos 14B =. （Ⅱ）因为2222cos a b c bc A =+-，所以(2222222cos 3c c π=+-⨯⨯ . 所以4c =，6c =-（舍）.所以112sin 24sin 223ABC S bc A π∆==⨯⨯⨯=【点睛】该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理，同角三角函数关系式，余弦定理，三角形面积公式，在解题的过程中，注意在求cos B 的时候，应用边的大小，得到其为锐角，得到结果.18．（1）证明见解析.（2）证明见解析.【分析】（1）利用三角形的中位线得到平行线，之后应用线面平行的判定定理证得结果；（2）根据题的条件，得到CD AB ⊥，利用PA ABC ⊥平面，得到PA CD ⊥，之后应用线面垂直的判定定理得到CD PAB ⊥平面，进一步应用面面垂直的判定定理证得结果.【详解】(Ⅰ) 因为点D E 、分别为AB AC 、中点,所以//DE BC .又因为DE PBC ⊄平面， BC PBC ⊂平面，所以//DE PBC 平面.(II)因为CA CB =，点D 为AB 中点,所以CD AB ⊥.因为PA ABC ⊥平面,CD ABC ⊂平面,所以PA CD ⊥.又因为PA AB A ⋂=,所以CD PAB ⊥平面.又因为CD PCD ⊂平面,所以PCD PAB ⊥平面平面.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面平行的判定，线面垂直的性质，线面垂直的判定，面面垂直的判定，熟练掌握基础知识是解题的关键.19．（1）见解析；0.225a =.（2）710. 【分析】（1）利用题中所给的表格，求出每天的温差，数出落在[11,13),[13,15)内的频数，利用公式求得频率，完成频率分布表，完善直方图，利用直方图中长方形的面积等于对应的频率，求得a 的值；（2）先算出温差大于等于13度的天数，再找出温差在区间[)15,17内的天数，列出所有的基本事件，再数出满足条件的基本事件数，利用概率公式求得结果.【详解】(Ⅰ)解得0.225a =.(Ⅱ) 依题意，日温差在区间[)13,15内的有3天，设为123,,a a a ；气温差在[)15,17内的有2天，设为12,b b .则从日温差大于等于13的这5天里随机抽取2天的基本事件空间为 ()()()()()()()()()(){}12131112232122313212=,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a b a b a a a b a b a b a b b b Ω 其包含的基本事件数10n =.设事件A =“两天中至少有一天的温差在区间[)15,17内”. ()()()()()()(){}11122122313212=,,,,,,,,,,,,,A a b a b a b a b a b a b b b ，其包含的基本事件数7m =.则()710P A =. 所以这两天中至少有一天的温差在区间[)15,17内的概率为710.该题考查的是有关统计的问题，在解题的过程中，涉及到的知识点有频率分布表，频率分布直方图，古典概型概率计算等，认真审图，熟练掌握基础知识是解题的关键.20．（1）证明见解析.（2）118F BB C V -=. （3）存在；理由见解析.【解析】【分析】（1）连结BD AC O ⋂=，借助于正方体的特征，结合线面垂直的判定和线面垂直的性质，得到AC BF ⊥；（2）根据题中的条件，确定出对应的点的位置，将三棱锥的顶点和底面转换，利用体积相等，求得结果；（3）借助于平行四边形找到平行线，利用线面平行的判定定理，证得结果.【详解】(Ⅰ)连结BD AC O ⋂=.在正方体1111ABCD A B C D -中，1BB ABCD ⊥平面，AC ABCD ⊂平面，所以1BB AC ⊥.因为ABCD 为正方形，BD AC O ⋂=,所以BD AC ⊥.又因为1BB BD B ⋂⊥=,所以11AC BB D D ⊥平面.所以AC BF ⊥. (Ⅱ)过点F 作11//FM C D ，交11B C 于点M .在正方体1111ABCD A B C D -中，因为1111C D BB C C ⊥平面，又因为11//FM C D ，所以11FM BB C C ⊥平面. 所以FM 为三棱锥1F BB C -的高. 因为113DF FB =, 所以34FM =. 所以11111311133248F BB C BB C V S FM -=⋅=⨯⨯⨯⨯= （III ）存在. 当F 为11B D 中点时，1//A E 平面FBC . 设N 为11A B 中点，连结,FN BN . 因为F 、N 分别为11B D 、11A B 的中点, 所以11//FN C B . 因为11//CB C B ，所以//FN CB.所以BN FBC ⊂平面.在正方形11A ABB 中,因为E 为AD 中点,所以1//A N BE ，且1A N BE =.所以四边形1A EBN 为平行四边形.所以1//A E BN因为BN FBC ⊂平面,1A E FBC ⊄平面,所以1//A E 平面FBC .【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有线面垂直的判定，线面垂直的性质，等级转换求三棱锥的体积，线面平行的判定，正确理解基础知识是解题的关键.21．（1）)34y x =±-.（2）证明见解析；定点()B 或()3B -.【分析】（1）由已知中直线l 过点()3,0A ，我们可以设出直线的点斜式方程，化为一般式方程后，代入点到直线距离公式，根据直线与圆相切，圆心到直线的距离等于半径，可以求出k 的值，进而得到直线l 的方程；（2）由已知我们易求出P,Q 两个点的坐标，设出M 点的坐标，我们可以得到点P 与Q 的坐标，进而得到以EF 为直径的圆C 的方程，根据圆的方程即可判断结论.【详解】(Ⅰ)由题意得，直线l 的斜率存在.设直线l 的方程为()3y k x =-.因为直线l 与圆O 相切，1=.所以4k =±.所以直线方程为()34y x =±-. (Ⅱ)由题意得，点()1,0P -，点()1,0Q .设点()()000,1M x y x ≠±，则2200+1x y =.直线PM 的方程为()0011y y x x =++. 所以直线PM 与直线3x =的交点为点0043,1y E x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭. 直线QM 的方程为()0011y y x x =--. 所以直线QM 与直线3x =的交点为点0023,1y F x ⎛⎫ ⎪-⎝⎭. 设点(),0B m . 则0043,1y BE m x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，0023,1y BF m x ⎛⎫=- ⎪-⎝⎭. 因为以EF 为直径的圆C 与x 轴交于定点B ,所以()()()()()22000833+38=011y BE BF m m m x x ⋅=--=--+-解得3m =±所以定点()B 或()3B -.【点睛】该题考查的是有关直线与圆的方程的应用问题，涉及到的知识点有过圆外一点圆的切线方程的求法，圆与直线的交点，直线方程的点斜式，圆的方程的问题，直径所对的圆周角为直角，垂直应用向量的数量积等于零等，认真分析题意，求得结果.。

北京市昌平区高一上期末数学试卷

北京市昌平区高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，5}，N={4，5}，则集合{1，6}=（）A．M∪N B．M∩N C．C U（M∪N）D．C U（M∩N）2．（5分）已知角θ为第二象限角，则点M（sinθ，cosθ）位于哪个象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）如图，点M是△ABC的重心，则为（）A．B．4 C．4 D．44．（5分）下列向量中不是单位向量的是（）A．（﹣1，0）B．（1，1） C．（cosa，sina）D．（||≠0）5．（5分）已知向量=（﹣1，2），=（2，m），若∥，则m=（）A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．16．（5分）已知点A（0，1），B（3，2），C（a，0），若A，B，C三点共线，则a=（）A．B．﹣1 C．﹣2 D．﹣37．（5分）设x∈R，向量=（3，x），=（﹣1，1），若⊥，则||=（）A．6 B．4 C．D．38．（5分）在下列函数中，同时满足：①是奇函数，②以π为周期的是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=tanx D．y=tan2x9．（5分）函数y=5sin（2x+）的图象，经过下列哪个平移变换，可以得到函数y=5sin2x的图象？（）A．向右平移B．向左平移C．向右平移D．向左平移10．（5分）计算sin=（）A．B．C．D．11．（5分）与﹣60°角的终边相同的角是（）A．300°B．240°C．120° D．60°12．（5分）已知集合{α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈Z}，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（）A． B． C． D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的横线上．13．（5分）比较大小：sin1cos1（用“＞”，“＜”或“=”连接）．14．（5分）已知向量=（1，1），=（2，0），则向量，的夹角的余弦值为．15．（5分）已知函数f（x）=cosx（x∈[0，2π]）与函数g（x）=tanx的图象交于M，N两点，则|+|=．16．（5分）定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）=，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．例如y=|x|是[﹣2，2]上的平均值函数，0就是它的均值点．若函数f（x）=x2﹣mx﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=lg（x+1）﹣lg（1﹣x）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性．18．（12分）已知集合A={x|2sin x﹣1＞0，0＜x＜2π}，B={x|2＞4}．（1）求集合A 和B；（2）求A∩B．19．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜，求函数f（x）的解析式．20．（12分）已知f（x）=2sin（2x﹣）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间与对称轴方程；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求f（x）的最大值与最小值．21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（），B（），锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用角α的三角函数表示点P的坐标；（Ⅱ）当=﹣时，求α的值．22．（10分）如果f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，均有f（﹣x）≠﹣f（x），则称该函数是“X﹣函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2x；②y=x+1；③y=x2+2x﹣3是否为“X﹣函数”？（直接写出结论）（Ⅱ）若函数f（x）=sinx+cosx+a是“X﹣函数”，求实数a的取值范围；（Ⅲ）已知f（x）=是“X﹣函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A与B．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知全集U={1，2，3，4，5，6}，M={2，3，5}，N={4，5}，则集合{1，6}=（）A．M∪N B．M∩N C．C U（M∪N）D．C U（M∩N）【解答】解：C U M={1，4，6}，C U N={1，2，3，6}选项A，M∪N={1，2，3，4，6}，不满足题意；选项B，M∩N={5}，不满足题意．选项C，C U（M∪N）={1，6}，满足题意；选项D，C U（M∩N）={1，2，3，4，6}，不满足题意；故选：C．2．（5分）已知角θ为第二象限角，则点M（sinθ，cosθ）位于哪个象限（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵θ是第二象限角，∴sinθ＞0，cosθ＜0，则点M（sinθ，cosθ）在第四象限．故选：D．3．（5分）如图，点M是△ABC的重心，则为（）A．B．4 C．4 D．4【解答】解：设AB的中点为F∵点M是△ABC的重心∴．故为C4．（5分）下列向量中不是单位向量的是（）A．（﹣1，0）B．（1，1） C．（cosa，sina）D．（||≠0）【解答】解：A．C．D．中的向量的模都等于1，因此都是单位向量；B中的向量的模=，因此不是单位向量．故选：B．5．（5分）已知向量=（﹣1，2），=（2，m），若∥，则m=（）A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．1【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（2，m），∥，∴，解得m=﹣4．故选：A．6．（5分）已知点A（0，1），B（3，2），C（a，0），若A，B，C三点共线，则a=（）A．B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【解答】解∵A、B、C三点共线，∴，共线；∵=（3，1），=（a，﹣1）∴3×（﹣1）=a解得，a=﹣3，故选：D．7．（5分）设x∈R，向量=（3，x），=（﹣1，1），若⊥，则||=（）A．6 B．4 C．D．3【解答】解：∵x∈R，向量=（3，x），=（﹣1，1），⊥，∴=﹣3+x=0，解得x=3，∴=（3，3），∴||==3．故选：C．8．（5分）在下列函数中，同时满足：①是奇函数，②以π为周期的是（）A．y=sinx B．y=cosx C．y=tanx D．y=tan2x【解答】解：y=sinx是奇函数，周期为2π，y=cosx是偶函数，周期为2π，y=tanx是奇函数，周期为π，y=tan2x是奇函数，周期为．故选：C．9．（5分）函数y=5sin（2x+）的图象，经过下列哪个平移变换，可以得到函数y=5sin2x的图象？（）A．向右平移B．向左平移C．向右平移D．向左平移【解答】解：把函数y=5sin（2x+）的图象向右平移个单位，可得函数y=5sin2x的图象，故选：C．10．（5分）计算sin=（）A．B．C．D．【解答】解：sin=sin（π+）=﹣sin=﹣，故选：B．11．（5分）与﹣60°角的终边相同的角是（）A．300°B．240°C．120° D．60°【解答】解：与﹣60°终边相同的角一定可以写成k×360°﹣60°的形式，k∈z，令k=1 可得，300°与﹣60°终边相同，故选：A．12．（5分）已知集合{α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈Z}，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（）A． B． C． D．【解答】解：集合{α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈Z}，表示第一象限的角，故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的横线上．13．（5分）比较大小：sin1＞cos1（用“＞”，“＜”或“=”连接）．【解答】解：由三角函数的图象可知当时，sinx＞cosx，∵，∴sin1＞cos1．故答案为：＞．14．（5分）已知向量=（1，1），=（2，0），则向量，的夹角的余弦值为．【解答】解：设向量，的夹角为θ，θ∈[0，π]，∵=（1，1），=（2，0），∴cosθ===，即向量，的夹角的余弦值为，故答案为：．15．（5分）已知函数f（x）=cosx（x∈[0，2π]）与函数g（x）=tanx的图象交于M，N两点，则|+|=π．【解答】解：由题意，M，N关于点（，0）对称，∴|+|=2×=π，故答案为π．16．（5分）定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）=，则称函数y=f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．例如y=|x|是[﹣2，2]上的平均值函数，0就是它的均值点．若函数f（x）=x2﹣mx﹣1是[﹣1，1]上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是（0，2）．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣mx﹣1是区间[﹣1，1]上的平均值函数，∴关于x的方程x2﹣mx﹣1=在（﹣1，1）内有实数根．即x2﹣mx﹣1=﹣m在（﹣1，1）内有实数根．即x2﹣mx+m﹣1=0，解得x=m﹣1，x=1．又1∉（﹣1，1）∴x=m﹣1必为均值点，即﹣1＜m﹣1＜1⇒0＜m＜2．∴所求实数m的取值范围是（0，2）．故答案为：（0，2）三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）已知函数f（x）=lg（x+1）﹣lg（1﹣x）．（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）判断函数f（x）的奇偶性．【解答】解：（1）依题意有解得﹣1＜x＜1故函数的定义域为（﹣1，1）（2）∵f（﹣x）=lg（1﹣x）﹣lg（1+x）=﹣f（x）∴f（x）为奇函数．18．（12分）已知集合A={x|2sin x﹣1＞0，0＜x＜2π}，B={x|2＞4}．（1）求集合A 和B；（2）求A∩B．【解答】解：（1）集合A={x|2sin x﹣1＞0，0＜x＜2π}={x|sinx＞，0＜x＜2π}={x|＜x＜}，B={x|2＞4}={x|x2﹣x＞2}={x|x＜﹣1或x＞2}；（2）根据交集的定义知，A∩B={x|2＜x＜}．19．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）的图象如图所示，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜，求函数f（x）的解析式．【解答】解：由题意A=1，，∴ω=1，将（，1）代入f（x）=sin（x+φ），可得sin（+φ）=1，∵|φ|＜，∴φ=，∴f（x）=sin（x+）．20．（12分）已知f（x）=2sin（2x﹣）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间与对称轴方程；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求f（x）的最大值与最小值．【解答】解：（Ⅰ）因为，由，求得，可得函数f（x）的单调递增区间为，k∈Z．由，求得．故f（x）的对称轴方程为，其中k∈Z．（Ⅱ）因为，所以，故有，故当即x=0时，f（x）的最小值为﹣1，当即时，f（x）的最大值为2．21．（12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（），B（），锐角α的终边与单位圆O交于点P．（Ⅰ）用角α的三角函数表示点P的坐标；（Ⅱ）当=﹣时，求α的值．【解答】解：（I）P（cosα，sinα）．…2分（II），因为，所以，即，因为α为锐角，所以．…6分（Ⅲ）法一：设M（m，0），则，，因为，所以，所以对任意成立，所以，所以m=﹣2．M点的横坐标为﹣2．…10分法二：设M（m，0），则，，因为，所以，即m2﹣2mcosα﹣4cosα﹣4=0，（m+2）[（m﹣2）﹣2cosα]=0，因为α可以为任意的锐角，（m﹣2）﹣2cosα=0不能总成立，所以m+2=0，即m=﹣2，M点的横坐标为﹣2．…10分．22．（10分）如果f（x）是定义在R上的函数，且对任意的x∈R，均有f（﹣x）≠﹣f（x），则称该函数是“X﹣函数”．（Ⅰ）分别判断下列函数：①y=2x；②y=x+1；③y=x2+2x﹣3是否为“X﹣函数”？（直接写出结论）（Ⅱ）若函数f（x）=sinx+cosx+a是“X﹣函数”，求实数a的取值范围；（Ⅲ）已知f（x）=是“X﹣函数”，且在R上单调递增，求所有可能的集合A与B．【解答】解：（Ⅰ）①、②是“X﹣函数”，③不是“X﹣函数”；﹣﹣﹣﹣（2分）（说明：判断正确一个或两个函数给1分）（Ⅱ）由题意，对任意的x∈R，f（﹣x）≠﹣f（x），即f（﹣x）+f（x）≠0；因为f（x）=sinx+cosx+a，所以f（﹣x）=﹣sinx+cosx+a，故f（x）+f（﹣x）=2cosx+2a；由题意，对任意的x∈R，2cosx+2a≠0，即a≠﹣cosx；﹣﹣﹣（4分）又cosx∈[﹣1，1]，所以实数a的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）；﹣﹣﹣（5分）（Ⅲ）（1）对任意的x≠0，（i）若x∈A且﹣x∈A，则﹣x≠x，f（﹣x）=f（x），这与y=f（x）在R上单调递增矛盾，（舍去），（ii）若x∈B且﹣x∈B，则f（﹣x）=﹣x=﹣f（x），这与y=f（x）是“X﹣函数”矛盾，（舍去）；此时，由y=f（x）的定义域为R，故对任意的x≠0，x与﹣x恰有一个属于A，另一个属于B；（2）假设存在x0＜0，使得x0∈A，则由x0＜，故f（x0）＜f（）；（i）若∈A，则f（）=+1＜+1=f（x0），矛盾，（ii）若∈B，则f（）=＜0＜+1=f（x0），矛盾；综上，对任意的x＜0，x∉A，故x∈B，即（﹣∞，0）⊆B，则（0，+∞）⊆A；（3）假设0∈B，则f（﹣0）=﹣f（0）=0，矛盾，故0∈A；故A=[0，+∞），B=（﹣∞，0]；经检验A=[0，+∞），B=（﹣∞，0），符合题意．﹣﹣﹣（8分）。

北京市昌平区2020届高三第一学期期末数学试题及答案

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

2023-2024学年北京市昌平区高一(上)期末数学试卷【答案版】

2023-2024学年北京市昌平区高一（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．已知集合A ＝{0，2}，B ＝{﹣1，0，1}，则集合A ∪B ＝（）A ．{0}|B ．{﹣1，1}C ．{﹣1，0，1，2}D ．{2}2．下列函数中，是偶函数且在（0，+∞）上单调递增的是（）A ．y =1xB ．y ＝x 2﹣1C ．y ＝2﹣xD ．y =log 12|x|3．对于任意实数a ，b ，c ，下列命题是真命题的是（）A ．如果a ＞b ，那么ac ＞bcB ．如果a ＞b ，那么|a |＞|b |C ．如果a ＞b ，那么1a ＜1bD ．如果ac 2＞bc 2，那么a ＞b 4．已知向量a →，b →在平面直角坐标系中的位置如图所示，则|a →+b →|＝（）A ．√2B ．2C ．√5D ．45．向一个给定的容器（如图所示）中倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水的体积相等，记容器内水面的高度y 随时间t 变化的函数为y ＝f （t ）．则以下函数图象中，可能是y ＝f （t ）的图象的是（）A ．B ．C ．D ．6．如图茎叶图记录了甲、乙两名学生六次数学测验的成绩（百分制）．给出下列四个结论：①甲同学成绩的极差比乙同学大；②甲同学成绩的平均数比乙同学高；③甲同学成绩的60%分位数比乙同学小；④甲同学成绩的方差比乙同学大．其中所有正确结论的序号是（）A ．①④B ．①③C ．②④D ．①③④7．为了得到函数y =lg x 100的图象，只需把函数y ＝lgx 的图象上所有的点（）A ．向左平移2个单位长度B ．向右平移2个单位长度C ．向上平移2个单位长度D ．向下平移2个单位长度8．已知函数f （x ）＝x 2﹣x +c ﹣3，则“∃x 0∈R ，使f （x 0）＜0”是“c ＜3”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．已知函数f(x)={e x +12，x ≤0|lnx|，x ＞0，则函数g(x)=f(x)−k(0＜k ≤12)的零点个数为（）A ．2B ．1或2C ．3D ．1或310．高一年级某班30名同学参加体能测试，给出下列三个判断：①有人通过了体能测试；②同学甲没有通过体能测试；③有人没有通过体能测试．若这三个判断中只有一个是真，则下列选项中正确的是（）A ．只有1名同学通过了体能测试B ．只有1名同学没有通过体能测试C ．30名同学都通过了体能测试D ．30名同学都没通过体能测试二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

北京市昌平区2020_2021学年高一数学上学期期末考试质量抽测试题含解析

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
先分别对五个专区作标记，列举出总的基本事件，以及满足“选择的两个专区中包括人工智能及软件技术专区”所对应的基本事件，基本事件的个数比即为所求概率.
【详解】分别记“高档家用电器”、“智能家居”、“消费电子”、“服务机器人”、“人工智能及软件技术”五个专区为、、、、；
③讨论最值或恒成立.
21.已知集合 .对于，定义：与的差为；与之间的距离为 .
（1）当时，设，求；
（2）若对于任意的，有，求的值并证明： .
【答案】（1）；；（2）；证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）直接代入计算和；（2）根据，都有或，可计算得；然后表示出，分别讨论与两种情况.
故“ ”是“四边形是矩形”的必要而不充分条件.
故选：B.
10.已知函数 .若存在实数，使得函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由函数解析式可得函数在上单调递增，依题意可得，即可得到为方程的两不相等的非负实数根，利用根的判别式及韦达定理计算可得；
所以函数的值域为；
（3）对任意，恒成立，等价于，
当，因为，所以，所以，解得，
当，因为，所以，所以函数无最小值，所以此时实数不存在，
综上得：实数的取值范围为 .
【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：
①分离参数恒成立( 即可)或恒成立（即可）；
②数形结合( 图象在上方即可)；
（Ⅲ）依题意找出合适的即可；

北京市昌平区2020届高三上学期期末考试数学试题 Word版含解析

昌平区2019－2020学年第一学期高三年级期末质量抽测数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合{}{}21,0A x x B x x =-<<=>，则集合A B =U （） A. (2,1)- B. (0,1) C. (0,)+∞D.(2,)-+∞【答案】D 【解析】【分析】根据并集的定义求解即可.【详解】{}{}{}2102A B x x x x x x ⋃=-<<⋃>=>- 故选：D【点睛】本题主要考查了求两个集合的并集，属于基础题. 2.在复平面内，复数()1i i -对应的点位于（） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C 【解析】【详解】试题分析：()211i i i i i -=-=--Q ，在复平面内对应的点的坐标为()1,1--，位于第三象限，故选C.考点：1.复数的乘法运算；2.复数的几何意义3.已知命题p ：x +∀∈R ，ln 0x >，那么命题p ⌝为（） A. x ∃∈+R ，ln 0x ≤ B. x +∀∈R ，ln 0x < C. x ∃∈+R ，ln 0x < D. x +∀∈R ，ln 0x ≤【答案】A 【解析】【分析】由全称命题的否定的定义即可求解. 【详解】命题:p ⌝x ∃∈+R ，ln 0x ≤ 故选：A【点睛】本题主要考查了全称命题的否定，属于基础题. 4.设,,a b c ∈R ，且a b <，则 A. ac bc <B.11a b> C. 22a b <D.33a b <【答案】D 【解析】【分析】取特殊值排除A ，B ，C ，根据函数3y x =的单调性即可得出正确答案. 【详解】对A 项，当0c <时，a b ac bc <⇒>，故A 错误；对B 项，取2a =-，1b =时，112-<，不满足11a b >，故B 错误；对C 项，取2a =-，1b =-时，()2221->-()，不满足22a b <，故C 错误；对D 项，函数3y x =在R 上单调递增，a b <，则33a b <，故D 正确; 故选：D【点睛】本题主要考查了不等式的性质，属于基础题.5.已知函数()f x 的图象与函数2xy =的图象关于x 轴对称，则()f x =（）A. 2x -B. 2x -C. 2log x -D. 2log x【答案】A 【解析】【分析】由点(,)x y 是函数()f x 上任意一点，则点(,)x y -在函数2xy =图像上，列出方程，即可得到正确答案.【详解】设点(,)x y 是函数()f x 上任意一点，则点(,)x y -在函数2xy =的图像上即22x xy y -=⇒=-所以函数()f x 的解析式为：()2xf x =-故选：A【点睛】本题主要考查了函数图像的对称性，属于中档题.6.已知向量(1(1,0),).a b c k ==-=r r r 若2a b -r r 与c r 共线，则实数k =（）A. 0B. 1D. 3【答案】B 【解析】【分析】根据向量共线的坐标表示即可求解.【详解】2a b -=rr因为2a b -rr与c r共线，所以30k -=，解得：1k = 故选：B【点睛】本题主要考查了向量共线求参数，属于基础题.7.已知双曲线221x y m-=，则m =（）A.14B.12C.2D. 2【答案】B 【解析】【分析】根据双曲线的性质求出a =，c =.【详解】a =c =因为双曲线221x y m-==解得：12m = 故选：B【点睛】本题主要考查了已知离心率求双曲线方程，属于基础题.8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. 13 B. 23 C. 1 D. 2【答案】C【解析】【分析】根据三视图对应的直观图，结合棱柱的体积公式即可求解.【详解】该三视图对应的直观图是三棱柱，如下图所示所以111212ABC A B CV'''-=⨯⨯⨯=故选：C【点睛】本题主要考查了已知三视图求几何体体积，属于中档题.9.设,m n u r r 为非零向量，则“λ=u r rm n ，1λ≤-”是“m n m n +=-u r r u r r ”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用向量的运算性质不等式的性质证明充分性以及必要性即可. 【详解】证充分性1(1)n n m n n n λλλ+=+=-++=r r u r r r r (1)m n n n n n n λλλ-=-=--=-+u r r r r r r r所以m n m n +=-u r r u r r，即充分性成立证必要性m n +==u r r因为m n m n +=-u r r u r r 所以()2222222m m n n m nm m n n +⋅+=-=-⋅+u r u r r r u r r u r u r r r ，即cos m n m n m n π⋅=-⋅=⋅u r r u r r u r r则向量,m n u r r 反向，即存在0λ<，使得λ=u r rm n由0n m n m n n n n λλ+=-==---≥r u r r u r r r rr ，则1λ≤-所以λ=u r rm n ，1λ≤-，即必要性成立所以 “λ=u r rm n ，1λ≤-”是“m n m n +=-u r r u r r ”的充分必要条件故选：C【点睛】本题主要考查了证明充分必要条件等，属于中档题.10.为配合“2019双十二”促销活动，某公司的四个商品派送点如图环形分布，并且公司给,,,A B C D 四个派送点准备某种商品各50个.根据平台数据中心统计发现，需要将发送给,,,A B C D 四个派送点的商品数调整为40，45，54，61，但调整只能在相邻派送点进行，每次调动可以调整1件商品.为完成调整，则（）A. 最少需要16次调动，有2种可行方案B. 最少需要15次调动，有1种可行方案C. 最少需要16次调动，有1种可行方案D. 最少需要15次调动，有2种可行方案【答案】A 【解析】【分析】根据题意得出有两种可行的方案，即可得出正确选项.【详解】根据题意A ，B 两处共需向C ，D 两处调15个商品，这15个商品应给D 处11个商品，C 处4个商品，按照调动次数最少的原则，有以下两种方案：方案一：A 调动11个给D ，B 调动1个给A ，B 调动4个给C ，共调动16次；方案二：A 调动10个给D ，B 调动5个给C ，C 调动1个给D ，共调动16次；故选：A【点睛】本题主要考查了学生的推理能力，属于中档题.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分11.在()52x -的展开式中，3x 的系数为________．（用数字作答）【答案】40 【解析】【分析】根据二项式展开定理求解即可.【详解】()52x -展开的通项为()552rr r C x --53r -=时，2r =此时3x 的系数为()225240C -=故答案为：40【点睛】本题主要考查了由二项式定理求指定项的系数，属于基础题.12.各项均为正数的等比数列{}n a 中, 1231,6a a a =+=,则63S S =_______ . 【答案】9 【解析】【分析】求出公比，根据等比数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q 因1231,6a a a =+=，所以211116a a a q q =⎧⎨+=⎩ ，解得3q =-(舍)，2q = 661(12)6312S ⨯-==- ，331(12)712S ⨯-==-则636397S S == 故答案为：9【点睛】本题主要考查了求等比数列的前n 项和公式，属于基础题.13.抛物线22y px =上一点M 到焦点(1,0)F 的距离等于4，则p =_____；点M 的坐标为______ .【答案】(1). 2 (2). (3,± 【解析】【分析】根据焦点坐标求出2p =，根据抛物线的定义求出点M 坐标即可. 【详解】因为焦点(1,0)F ，所以2p =设点2(,)4y M y ，根据抛物线的定义得：2144y +=，解得y =±所以点M 的坐标为(3,±故答案为：2；(3,±【点睛】本题主要考查了求抛物线的标准方程以及考查了抛物线的定义，属于基础题.14.在ABC ∆中,,sin a C B == ,则cos B =_______．【解析】【分析】根据正弦定理角化边以及余弦定理即可求解.【详解】由正弦定理可得=c由余弦定理可得222222cos2a c b B ac +-===【点睛】本题主要考查了正弦定理角化边以及余弦定理，属于基础题.15.2019年11月5日，第二届中国国际进口博览会在国家会展中心（上海）开幕，共有155个国家和地区，26个国际组织参加.现有甲、乙、丙、丁、戊、己六家企业参加某主题展览活动，每个企业一个展位.在排成一排的6个展位中，甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有________ 种. 【答案】144 【解析】【分析】先安排丁、戊、己，利用插空法得出甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法.【详解】先安排丁、戊、己共有333216A =⨯⨯=种再安排甲、乙、丙，插入四个空位中，共有3443224A =⨯⨯=种则甲、乙、丙三个企业两两互不相邻的排法有3334=144A A ⋅，故答案为：144【点睛】本题主要考查了不相邻的排列问题，属于中档题. 16.已知函数()sin 2cos f x x x =-. ①()f x 的最大值为________ ；②设当x θ=时，()f x 取得最大值，则cos θ=______. 【答案】【解析】【分析】由辅助角公式以及正弦函数的性质得到()f x 的最大值；根据①的结果以及诱导公式化简即可求解.【详解】①()sin 2cos )f x x x x ϕ=-=-， (其中sin 5ϕ=，cos 5ϕ=) 当22x k πϕπ-=+，即22x k πϕπ=++时，()f x ②由题意可知22k πθϕπ=++()2sin 2sin 2cos c s o k k πϕππθϕϕ⎛⎫++=-+=-= ⎪⎝⎭= 【点睛】本题主要考查了求正弦型函数的最值等，属于中档题.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17.已知等差数列{}n a 满足13428,4a a a a +=-=. （1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）记数列1{}n S 的前n 项和为n T ，若99100n T >，求n 的最小值. 【答案】（1）2n a n =，2n S n n =+；（2）100 【解析】【分析】(1)根据等差数列的通项公式列出方程组结合前n 项和公式求解即可得到数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； (2)利用裂项求和得到111nT n =-+，解不等式即可得到最小值. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d .依题意有13428,4.a a a a +=⎧⎨-=⎩解得12,2.a d =⎧⎨=⎩ 所以22,n n a n S n n ==+.（2）因为211111n S n n n n ==-++，所以12111111111(1)()()122311n n T S S S n n n =+++=-+-++-=-++L L . 因为99100n T >，即19911100n ->+，所以99n >.所以n 的最小值为100【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式、前n 项和以及裂项求和，属于中档题. 18.为了提高学生的身体素质，某校高一、高二两个年级共336名学生同时参与了“我运动，我健康，我快乐”的跳绳、踢毽等系列体育健身活动.为了了解学生的运动状况，采用分层抽样的方法从高一、高二两个年级的学生中分别抽取7名和5名学生进行测试.下表是高二年级的5名学生的测试数据（单位：个/分钟）：（1）求高一、高二两个年级各有多少人？（2）设某学生跳绳m 个/分钟，踢毽n 个/分钟.当175m ≥，且75n ≥时，称该学生为“运动达人”.①从高二年级的学生中任选一人，试估计该学生为“运动达人”的概率；②从高二年级抽出的上述5名学生中，随机抽取3人，求抽取的3名学生中为“运动达人”的人数ξ的分布列和数学期望.【答案】（1）196人，140人；（2）①35；②分布列见解析，()95E ζ= 【解析】【分析】(1)按照比例求解即可； (2) ①根据题意找出高二学生中的“运动达人”的个数，根据概率公式即可求解； ②找出ξ可能的取值，算出相应的概率，列出分布列，即可得到ξ的期望.【详解】（1）设高一年级有a 人，高二年级有b 人. 采用分层抽样，有75,3361233612a b ==. 所以高一年级有196人，高二年级有140人.（2）从上表可知，从高二抽取的5名学生中，编号为1，2，5的学生是“运动达人”. 故从高二年级的学生中任选一人，该学生为“运动达人”的概率估计为35. （3）ξ的所有可能取值为1,2,3.1232353(1)10C C P C ξ===,2132353(2)5C C P C ξ===,3335(3)110C P C ξ===. 所以ξ的分布列为故ξ的期望3319()123105105E ξ=⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题主要考查了分层抽样各层个数的求法以及求离散型随机变量的均值，属于中档题.19.已知函数2()cos sin ,222xx x f x ωωω=+其中0>ω. （1）若函数()f x 的最小正周期为2，求ω的值；（2）若函数()f x 在区间π[0,]2上的最大值为32，求ω的取值范围.【答案】（1）π；（2）43ω≥【解析】【分析】 (1)利用倍角公式以及辅助角公式化简函数()f x ，根据周期公式求出ω的值；(2)利用π0,02x ω≤≤>求出6626x ππωππω-≤-≤-，结合正弦函数的性质列出不等式即可求解.【详解】（1）因为2()cos sin 222xxxf x ωωω=+1cos 2x x ωω-=+11cos 22x x ωω=-+ π1sin()62x ω=-+. 因为()f x 的最小正周期为2，即2π2T ω== 所以πω=.（2）因为π0,02x ω≤≤>，所以6626x ππωππω-≤-≤-. 若()f x 在区间π[0,]2上取到最大值32，只需πππ262ω-≥，所以43ω≥. 【点睛】本题主要考查了由正弦型函数的周期求值以及由正弦型函数的最值求参数范围，属于中档题.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，CD AD ⊥，22AD CD BC ===，平面PAD ⊥平面ABCD ，,PA PD PA PD ⊥=.（1）求证：CD PA ⊥；（2）求二面角C PA D --的余弦值；（3）在棱PC 上是否存在点M ，使得BM ⊥平面PCD ？若存在，求PM PC 的值？若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）33；（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】(1)利用面面垂直的性质得到线面垂直，再由线面垂直的性质得出CD PA ⊥；(2)建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可；(3)由P ，C ，M 三点共线，利用向量共线得出PM PC λ=u u u u r u u u r，利用线面垂直的判定定理证明平面PCD ，由于BM u u u u r ，PA u u u r 不平行，则不存在棱PC 上的点M ，使得BM ⊥平面PCD .【详解】（1）在四棱锥P ABCD -中因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =又因为CD AD ⊥，CD ⊂平面ABCD所以CD ⊥平面PAD因为PA ⊂平面PAD所以CD PA ⊥（2）取AD 中点O ，连接,OP OB因为PA PD =所以PO AD ⊥因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD AD =因为PO ⊂平面PAD所以PO ⊥平面ABCD所以,PO OA PO OB ⊥⊥因为,//,2CD AD BC AD AD BC ⊥=所以//,BC OD BC OD =所以四边形OBCD 是平行四边形所以OB AD ⊥如图建立空间直角坐标系O xyz -，则(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(1,2,0),(1,0,0),(0,0,1).O A B C D P --(2,2,0),(1,0,1)AC AP =-=-u u u v u u u v .设平面PAC 的法向量为(,,)n x y z =r，则 0,0.AC n AP n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 即220,0.x y x z -+=⎧⎨-+=⎩令1x =，则1,1y z ==.所以(1,1,1)n =r. 因为平面PAD 的法向量(0,2,0)OB =u u u r ，所以cos ,3n OB n OB n OB⋅==u u u v v u u u v v u u u v v 由图可知，二面角C PA D --为锐二面角，所以二面角C PA D --（3）设M 是棱PC 上一点，则存在[0,1]λ∈使得PM PC λ=u u u u r u u u r. 设000(,,)M x y z ，则000(,,1),(1,2,1).PM x y z PC =-=--uuu r uu u r 所以000(,,1)(1,2,1).x y z λ-=--所以000,2,1.x y z λλλ=-==-所以(,2,1)M λλλ--.所以(,22,1)BM λλλ=---u u u r .因为,,,AP PD AP CD CD PD D ⊥⊥=I ,CD PD ⊂平面PCD所以PA ⊥平面PCD .所以(1,0,1)PA =-uu r 是平面PCD 的一个法向量.若BM ⊥平面PCD ，则//BM PA uuu r uu r .所以220,1.λλλ-=⎧⎨=-⎩因为方程组无解，所以在棱PC 上不存在点M ，使得BM ⊥平面PCD .点睛】本题主要考查了利用线面垂直证明线线垂直以及利用向量法求二面角，属于中档题.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，点2)M 在椭圆C 上，焦点为12,F F ，圆O 的直径为12F F ．（1）求椭圆C 及圆O 的标准方程；（2）设直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ，且直线l 与椭圆C 交于,A B 两点．记OAB V 的面积为S ，证明：3S <【答案】（1）22182x y +=，226x y +=；（2）见解析【解析】【分析】(1)利用椭圆的性质列出方程组，即可得到椭圆C 及圆O 的标准方程；(2)利用斜截式设出直线l 的方程，根据点到直线的距离公式得到点O 到直线l 的距离，将直线l 的方程代入椭圆，结合韦达定理，得出AB 的长度，利用三角形面积公式以及二次函数的性质即可证明3S <【详解】（1）由题意，椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>. 可得22232,c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2228,2,6.a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22182x y +=．因为焦点在x 轴上，所以椭圆C 的焦点为12(6,0),(6,0)F F -．所以直径为12F F 的圆O 的方程为226x y +=．（2）由题意知，直线l 与圆O 相切于第一象限内的点P ，设直线l 的斜截式方程为(0,0)y kx m k m =+.因为直线l 与圆O 相切，所以点O 到直线l的距离为d ==即2266m k =+.因为直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，由22,48y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，整理得222()148480k x kmx m +++-=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12221228,1448,140km x x k m x x k ⎧+=-⎪+⎪-⎪=⎨+⎪∆>⎪⎪⎩. 因为222(8)4(14)(48)km k m ∆=-⨯+-2216(82)k m =⨯-+．又2266m k =+，所以232(2)0k ∆=->.所以22k >.又因为k 0<，所以k <因为12AB x =-=，所以11||22OAB S AB d ∆=⋅=⨯=．设214k t +=，则9t >，则OAB S ∆==令11,09u u t=<<.则OAB S ∆=. 设2214()276127().93h u u u u =--+=-++因为()h u 在1(0,)9上单调递减，所以()1h u <.所以OAB S ∆<.【点睛】本题主要考查了求椭圆的标准方程以及椭圆中的三角形面积问题，属于中档题.22.已知函数2()3ln f x x x x =-+．（1）求曲线()y f x =的斜率为2的切线方程；（2）证明：()22f x x ≤-；（3）确定实数k 的取值范围，使得存在01x >,当0(1,)x x ∈时,恒有()(1)>-f x k x ．【答案】（1）22y x =-；（2）见解析；（3）(,2)-∞【解析】【分析】(1)求导，根据导数的几何意义列出方程求出切点坐标，按照点斜式写出方程；(2)构造函数利用导数求出最值即可证明不等式；(3)分类讨论，当2k =时，不满足题意；当2k >时，根据不等式的性质得出不满足题意；当2k <时，构造函数，利用导数证明即可.【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞.由2()3ln f x x x x =-+得3'()12f x x x=-+.令'()2f x =，即3122x x -+=，得1x =，32x =-（舍）．又(1)0f =，所以曲线()y f x =的斜率为２的切线方程为22y x =-（2）设2()()(22)3ln 2g x f x x x x x =--=--+，则 2323(23)(1)'()21x x x x g x x x x x--+-+-=--==. 令'()0g x =得1x =，32x =-（舍）．当'()0g x >时，01x <<；当)'(0g x <时，1x >.所以()g x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减.所以()(1)0g x g ≤=.所以()22f x x ≤-.（3）由（2）可知，① 当2k =时，()2(1)f x x ≤-，所以不存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()2(1)f x x >-；所以2k =不符合题意.②当2k >时，对于1x >，()2(1)(1)f x x k x ≤-<-，所以不存在01x >，当0(1,)x x ∈时，恒有()2(1)f x x >-；所以2k >不符合题意.③当2k <时，设2()()(1)(1)3ln h x f x k x x k x x k =--=-+-++. 因为22(1)3'()x k x h x x-+-+=，令'()0,h x =即22(1)30x k x -+-+=. 因为2(1)240k ∆=-+>，解得12x x ==. 又因为2k <，所以120,1x x <>.取02x x =.当0(1,)x x ∈时，'()0h x >；所以()h x 在0(1,)x 上单调递增.所以()(1)0h x h >=.即()(1)>-f x k x .所以2k <符合题意.所以实数k 的取值范围是(,2)-∞.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义以及利用导数证明不等式，属于较难题.。

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