【从真题看命题系列】2020中科院真题解读(1)——应力分析与应变分析

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9
l @lbl.!J(（ 且匡
【思维发散】试证明材料的剪切模量与弹性模量的关系为G= 2(1+µ) 【证明】取一纯剪切微元体，其应力状态为：
Ux = Uy = Uz = O;
'fxy = T;
Txz = 0
代入胡克定理：
Ex = Ey = Ez = 0;
T
Yxy = － G'
Yyz = Yxz = 0
l @lbl.!J(（ 且匡
【思考题2】 (1)什么是静水应力？什么是偏应力？ (2)什么是体积改变应变能？什么是形状改变应变能？ (3)请用应变能证明：静水应力作用下物体只发生体积改变，不发
生形状改变；偏应力作用下物体只发生形状改变，不发生体积改变。 【解】 (1)＠静水应力前面已经说过。静水应力状态指的是三个主应力相等的应力状态，即
|｀
叫
dx
3
l @lbl.!J(（ 且匡
【思维发散】如何证明三维问题的剪应力互等定理？
c
【解】可用类似的方法求解。
如图，对AB边取矩：ImAB = 0,即： (Txzdydz)dx — (Tzxdxdy)dz = 0
可以得到： 互＝Tzx 同理，可以证明：
Txy = Tyx Tyz = Tzy 这三个式子表达了剪应力互等定理。
l @lbl.!J(（ 且匡
l1 = ux+uy+u叶 /2 = — (UxUy+UyUz+UzUx)+ (rx/+Tyz2+Tzx2)
Ux Tyx Tzx /3 = 1rxy Uy Tzy
飞z Tyz Uz
根据力学概念可知， 三个主应力应该与坐标轴的选择无关， 所以在坐标变换时， 尽管应力分量 Ux、 Uy、 6Z 、 Txy、 Tyz、 Tzx会改变， 但主应力仍保持不变， 作为方程三个实根的61 、 62 、 63 既然 在坐标变换时保持不变， 则此三次方程的系数也应该与坐标轴的选择无关， 所以11 、 I2 、 I3是三个 不变量。
[。。 j 6 1=62 王＝6，其应力状态可以通过主应力张量表示为：
＠前面说过，一点的应力状态可通过主应力张量601 62 ：表达，
63
0 u 0。 ；；；』之和I= u尸
子 U3 是个定值。定义平均应力为吓＝ 6计幻3 +(13，将主应力」印量写成：
14
十[ l [ 仍 — ] U1 0 0 l
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顷
考二
题一 1� \］
对一
二 十
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wk.baidu.com（1）
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言 时 力
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（2） 在 剪 应 力 作 用 下 只
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（1) 如 了 切应 变
圆 那
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而 将
示 材
料，
从 绕
某 x
各 轴
向 转
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l 08
材 话
蜘
应变
涸
l
b
）
。
芒 ：� � ． 正应 变
2020年中国科学院大学材料力学(807)考研真题解读（ 一 ）
应力分析与应变分析
CL芦且耄？＇
二0二0年四月
l @lbl.!J(（ 且匡
2020年中国科学院大学硕士研究生入学考试材料力学(807)试题－第三大题(15分）
； 空间应力状态可由3X3矩阵的应力张量表达，即 t(J T y: ::
[
(J
这一结果与各向同性材料的在相同应力作用下的应变应该与材料取向无关的要求相矛盾。所以切 应力不应该产生正应变。类似地利用对称性还可证明每一个切应力分量只能产生与其相应的切应变， 不会产生其他方向的切应变。
X X
45 °
A 180°
······································································(·2··a···)········································································································1·3
其中，三个对角线上的量吓吓::为正应力，其余六个；乍对角(JJ量为剪应力，因为剪应力互等，
即 T = T.,.= T ，应力张量的9个分量只有6个独立分量。
(1)请推导出二维问题的剪应力互等定律。
(2)什么是主应力？结合上面的应力张量写出主应力的求解等式。
(3)什么是静水压力？对各向同性的材料，静水应力和体积变化有什么关系？ 2
＠因为一点的应力状态是客观存在的，与坐标系的选取无关。
z T T <Tx yx x z T T 若选取x、y、z方向为坐标轴，那么一点的应力状态可通过应力张量[ xy <Ty yl表达；
z z z T 飞 y <T
<T1 0 0
。 若选取三个主应力方向为坐标轴，那么一点的应力状态亦可通过主应力张量尸
....... .也...可.....以...表.....示...为....氏..... .＝.....？..，....其....中....店....尔...为....体....积....模....量....，....其....值....为....K....=....3..(.1..-..2..µ.)..0.............................................
A
D
气！ T之'X,(Jy� |产
◄_(Jx
＿一 i ＿ 一寸 ：
，: T• yz
…/ 6X
: f ：
c1z1t；尸飞－ －－ － －Ty- x
,/ i_v-<--------·< r
G
E�dy
y
dx a.
4
(2)＠如果某截面上剪应力为0,那么该平面为主平面，该平面上的正应力（法向应力）称为主应力。
【思维发散】 一点的应力状态， 如果选取不同的截面，其正应力和剪应力值都不同。 试证明：无论取什么截面，三个正应力之和l=ux+<Ty+<Tz 永远是定值。
【解】由第（2)间的分析可知，
<ix - UN Tyx
Tzx
Txy
(jy —(jN
I Tzy = 0的三个实数根就是三个主应力。
Txz
Tyz
(jz —(jN
z z z T T x
yx <Ty -<TN
y
x y
<T -<TN
z z T T T T T = (ux -吓）也 － 吓）也 － 吓） ＋ 2 xy y 互 － 也 － 吓） yz2＿也 － 吓） x 2＿也 － 吓） xy2
几（吓）＝ 0的三个根就是三个主应力的值。
6
l @lbl.!J(（ 且匹
【参考答案】
(1)对千平面应力问题，取平面微元体ABCD如图所示，微元体 边长分别为dx和dy。对A点取矩：ImA = 0,即： (rxydy)dx — (Tyxdx)dy = 0 可以得到： Txy = Tyx 即剪应力互等。
A 4
6 X
T xy B
6y
cT yx
T xy
6 X
崖＿
dy
工
Tyx
ay
602
Ol表达，
U3
也就是说，前者可通过线性变换得到后者：
5
l @lbl.!J(（ 且匡
［笠 ； ⇒ [ : z T T <Tx yx xl
z zz Ty
y
l
ru1 0 0
62 :3]
那么主应力和主应力方向就是这个矩阵的特征根和特征向量。
z T T <Tx — <TN z T T f(1（吓）＝ xy
6x
x x
”a
、丿 ．
一。
X
尸i 二
力作用 下 符号 相反
z
-
一
' 9 , '
－
`。
,'，','，＇，'，'，' f,
二x
l l l l l
l尸
,'，'， x
l l l
“1 . 2
l @lbl.!J(（ 且匹
(2)如图(2a)所示，从各向同性材料中截取一单元体。假如在切应力 ixy 的作用下单元体产生了沿y 方向的正应变，现在假定将材料绕OA轴（图2b)转动180°后截取单元体，那么在切应力 ixy 的作用下应 该产生y方向的正应变。
（ u = － 6代1+<iz芘＋ 63氏） ＝ — ［(j12+62 2+632] －－ ［0位z+a沪3+<i3<i1]
根据第（1)问可知， 应力可分解成静水应力和偏应力。
在平均应力6m作用下（静水压力）得到的是对应千体积变化的应变能密度， 代入上式可得：
uv
=
3(1-2µ)
_ 6m
27
=
(1-2µ) 6E
五 剪应变 细取出 一单
g 单 元体
� 一 � i
i
i
三 产 生 剪 应 变；
产生正应 变
如单 顽
。 在
／
畦 力作用
既然材料是各向同性的，其应变应该与 6X
喔
材料的取向无关。这样就论证了正应力作用
，三
_＿1 下不应该产生 应变。
y �
1
°
一 ',＇,＇,＇,＇1'，＇，＇,
,'，'，','＇ , ,'，',＇+
(3)＠静水压力指的是三个主应力相等的应力状态，即u1 = u2 = u3= u,
［ 斗 u O 0
其应力状态可以通过主应力张量表示为： 0 6 00u
＠对各向同性的材料，在静水压力下各个方向上的应变是一样的：
E1
=芘
＝
E3
=矿6
－ µ(6+6)］
＝
1-2µ
E0
体积应变为：氏＝ E1+ E2+ E3 = 3(1-2µ) 6。
因此， 无论取什么截面， 三个正应力之和l = ux+uy+Uz永远是定值。 '.................................................................................................................................................................................. 8
E45°
=
� 氏＋2 Ey
+-
� 氏 — Ey 2
C- O- S- 9- 0- °—— Y2xy s- in9- 0- °=—— Y2xy =—— 2TG
而45° 方向上的应变即为臼：
鸟＝E450
因此： 即
(1
+ E
µ)
r- =
——T 2G
G
=
E 2(1 +
µ)
勹X
··················································································································································································· ,,
该纯剪微元体的三个主应力为：<T1 = T,(T2 = 0,(T3 = -r
yT ◄ T
�
T
T
�
伸
T
根据胡克定律，主应变为：
1 氏＝因(T3
— µ((T1+(T2)]
=
—
(1 +µ) ET
10
l @lbl.!J(（ 且匹
................................................................................................................................................................................... 45° 方向上的应变为：
展开这个行列式， 并进行整理可得：
其中：
6忒 － I16妒 － I 吓 － 13 = 0
2
'.................................................................................................................................................................................. 7
［61+62 ＋幻］ 2
UV就是体积改变应变能密度。
同理， 将偏应力代入上述应变能密度计算公式可以得到：
[ 0 62 0 0 0 U3J
ram O 0 6m
O l ra1 — Um
o+ 。
L O O <ImJ L O
O
6m
O
0
。
U3 — Um
第一项称为球应力张量（反映的是静水压力）， 第二项称为偏应力张量。
62
＿＿(11
<Tm
(1m +
62 -6m
<T1 -<Tm
62
15
l @lbl.!J(（ 且匡
(2)结合广义胡克定律可知， 可以将应变能密度用主应力表示为：