【从真题看命题系列】2020中科院真题解读(1)——应力分析与应变分析
【勤思】2020年中国科学院大学心理学学术(专硕)考研真题分析
【勤思】2020年中国科学院大学心理学学术（专硕）考研真题分析号外号外！对中科院感兴趣的小伙伴看过来！最新一年中国科学院大学心理学考研真题分析新鲜出炉！一份最新的复习方向指南与复习建议！看勤思教研老师如何指点迷津，看勤思讲义如何完美对应！你手里的讲义，知道有多重要了吗？先简单一句话概括一下今年的考试情况：题量、分值跟往年一样，虽然新增了计算题的题型，但考查形式同往年依然是完全一致。
试题的难度和考查侧重点同往年也比较一致，普心大题侧重对生理基础的考查，实验大题侧重对实验设计和重要实验范式的考查，统计大题侧重对推断统计及相关计算的考查。
一、试卷结构二、参考书单三、试题分析从中科院的各科的分值分布上看，普心、实验、统计各占1/3，均为100分，这与往年分值分布是一样的。
从整体难度来看，对于认真看教材与讲义，认真听视频课以及勤思往年真题分析的学员而言，中科院题目的难度算是中等稍稍偏上。
选择题对普心的考查依然是侧重考生对基本概念和基本理论的理解和把握，如注意的过滤器理论和衰减理论的异同、加德纳多元智力理论的内涵等，这些基础的知识点在勤思的各期课程中都反复强调过。
实验的选择题中考查了信号检测论中击中率和虚报率的关系、简单的实验设计等基础知识，如果认真听过勤思的各期课程，这些选择题的分数定是手到擒来。
统计的选择题就更简单了，参加过集训的同学一定会发现，所有统计选择题考查点都是在习题课上强调过的，且有好几道是习题课上的原题。
在简答题方面，普通心理学考查了镜像神经元相关的知识，以及感觉与知觉的异同，对镜像神经元的考查非常符合中科院的一贯作风，勤思的老师和辅导员有多次强调这种命题倾向。
实验心理学考查了对内部效度和外部效度的关系以及一个简单的实验设计，相比于去年，这两道题的亲和性好了很多。
统计考查了区间估计的原理和二项分布与正态分布的特点与关系，这两个考点在集训习题课上均有练习和强调过。
在论述题方面，普通心理学考查了语言加工的脑机制，勤思模拟题中对语言区的考查想必也给同学们提了醒。
【从真题看命题系列】2020中科院真题解读(3)——压弯杆件挠曲微分方程及临界荷载问题
梁
＠旦珧且匡l
【解题分析】
一直以来， 压杆的临界荷载都是各高校研究生入学考试最热门论述推导题型之一（如：2001年 北大第5题， 2010年浙大第6题， 2012年中科院第9题， 2014年大连理工829第5题， 2016年中科院第7 题， 2018年上海交大论述第1题等）， 这类题目往往结合复杂的外力荷载条件， 充分考察考生的模型 简化能力和计算能力。 此类题目的常用解法有解析法和能量法两种。
ff M(x) = —F · w(x) — q (x)dxdx
代入得：
：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．飞
! + + \ EJwC4) FwCZ) kbw = 0
｀．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．；
三 dW w M
弯矩的符号规定
M<O,正2 歹 < 0
M
X
三 w
M>O,告＞0
xX
尸 iM
M M>O, 肛＞ 0
w
x
w � M M M<O,启＜0 5
＠旦珧且匡》
(2)失稳时的临界荷载
对给定的挠曲线函数w(x) = Asin (互 l ）求导可得：
炉） — wC2) = A;兀;2-si．n 兀
炉） wC4) =下 A兀-4 sin 兀
代入第（1)间微分方程得：r······E···l··— A··l·兀4··4···s··i·n···巴··l·····）·····—····F··下 ·A··兀 ···2·－··s··i·n···(=i亢l x)
2020年管理类联考试题及答案解析(1)
A. a b 1 B. a b 1 C. a b 1 D. a b 1 E. a b =1 答案：A 3.总成绩=甲成绩×30%+乙成绩×20%+丙成绩×50%。考试通过，每部分≥50 分，且总成 绩≥60 分。已知某人甲成绩 70 分，乙成绩 75 分，且通过了这项考试，则此人丙成绩的分 数至少是( ). A.48 B.50 C.55 D.60 E.62 答案：B 4.从 1 至 10 这 10 个整数中任取 3 个数，恰有一个质数的概率是( ).
16.在 ABC 中， B 60,则 c 2 a
(1) C 90
(2) C 90
答案：B
17. x2 y2 2x 2y 上的点到 ax by 2 0 的距离最小值大于 1
(1) a2 b2 1 (2) a 0,b 0
第 5 页 共 22 页
但不能被 5 整除，则这个数一定不能被 15 整除。
C.甲单位员工若去广州出差并且是单人前往，则均乘坐高铁。因此，甲单位小吴如果去广
州出差，但未乘坐高铁，那么他一定不是单人前往。
D.若现在是春天并且雨水充沛，则这里野草丰美。因此，如果这里野草丰美，但欲说不充
沛，那么现在一定不是春天。
（）
第 3 页 共 22 页
A. 1
B. -1
C. 2
D.-2
E. 0
答案：B
12.如图，圆
O
的内接 ABC
是等腰三角形，底边
BC=6，顶角为
，则圆
0
我所认识的应力与应变1
我所认识的应力与应变机械与动力工程学院动力工程专业学号602430107013 杨栋君一点的应力与应变是材料力学与弹塑性力学两门课程中两个非常重要的基本概念，材料力学主要讨论平面应力状态以及平面应力状态下的应变分析，而弹塑性力学则研究空间应力状态与应变状态。
我最先接触应力与应变是在材料力学的绪论中，材料力学中的应力首先是由研究构件（组成机械的零件或结构物的构件统称为构件，如建筑物的梁和柱，机床的轴等）截面处某一点的强弱程度而逐渐引入的。
应力定义为“单位面积上所承受的附加内力”。
材料力学中物体因受外力作用而变形，其内部各部分之间因相对位置改变而引起的相互作用称为内力，在m 上，围绕点取微小面积，上分布截面{ EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT |m内力的合力为（的方向和大小与点的位置和的大小有关），平均应力，代表在范围内，单位面积上内力的平均集度。
通过引入数学的极限法，随着的逐渐缩小，当趋于零时，平均应力的大小和方向都趋向于一定极限，即，称为点的应力。
应力是一个矢量，一般既不与截面垂直，也不与截面相切。
在弹塑性力学中，针对应力首先引入了体力（作用在物体微粒体积上的力）和面力（沿着物体表面的分布力）的概念。
可变形固体在外力等因素的作用下，其内部各部分之间就要产生相互的作用，内力指物体内的一部分与其相邻的另一部分之间相互作用的力。
应力就是载荷引起的物体内单位面积上的内力，表示内力在截面上某一点的分布集度。
这点与材料力学中的应力的定义基本一致。
但弹塑性力学中更细化的从空间（取平行于坐标面的3个两两垂直的微元平面）研究一点处的应力状态，当微元面趋于零时，上面作用的应力就代表过点任何截面上的应力，由爱因斯坦的求和约定引入了应力张量。
每一行为过点的一个面上的3个应力分量，便构成应力张量。
或者（应力张量的9个分量必须满足正交坐标系中二阶张量的变换公式）。
由此可以看出应力不是一个简单的矢量，它是对某点内力的精确描述。
关于应力应变状态问题5页word
应力圆的绘制及其应用：①、强调单元体的面与应力圆上的点一一对应关系。即：点面对应，转向相同，转角两倍。②、确定任意斜截面上的应力；②、确定主应力的大小和方向；③、三向应力圆的绘制及其应用。
广义胡可定律及其公式：
习题：P2557.7、7.9、7.10、7.12、7.14、7.19、7.26、7.27、7.28、7.37、
（答案：σ1＝500MPa，σ2＝100MPa，σ3＝0MPa，τmax＝250MPa。以A方向面的法线为基准，顺时针方向旋转60°即为作用着σ1的主方向；逆时针旋转30°即为作用着σ2的主方向）（2019南航）
应力应变经典解析
dy
σx τxy
τxz τzy
τzx D • τzy
σz τxy
y
σz
F o τxz τzx
σx
E
τyx
τyz
B
为
z
dx
dz
σ z , τ zx , τ zy
x
σy A
每个面上都有一个正应力和两个切应
图 3－2
力。那么，o 点的应力状态取决于九个应力分量，可以用矩阵形式表示为
⎛⎜⎜τσyxx
τ xy σy
化的规律表明，应力是张量（tensor）。矢量也可以用它的分量随坐标变换而变化的规律 来定义。事实上，矢量是一阶张量，应力是二阶张量。附录A给出了张量的简单介绍，可 以作为补充知识选读。
从式（3－9）还可得到如下关系：
σ x' + σ y' = σ x + σ y = cons tan t
（3－10）
应力 σz = 0。图 3－4a所示为这种状 态 下 的 微 单 元 ， 只 有 应 力 分 量 σx, σy ，τxy 和τyx 存在，其他应力分量为 零。四个应力分量可以写成如下的矩 z 阵形式：
x 图 3－3
σy
y
σx
dy τxy τyx
τyx
τxy
σx
σx
τxy
σy τyx
τxy σx
z
dx
(σx
−σ y 2
)2
+ τ xy2
(3－14)
将 2αS 代入式（3－9a，c）可知，最大切应力所在截面上的正应力
σ x'
= σ y'
=
σx
+σy 2
2020年研究生入学考试工程学材料科学基础历年真题解析
2020年研究生入学考试工程学材料科学基础历年真题解析材料科学是工程学中的重要学科，对于研究生入学考试来说，材料科学基础是一个必考的科目。
在此篇文章中，我们将对2020年研究生入学考试工程学材料科学基础的历年真题进行解析。
通过对真题的分析和解答，我们希望能够帮助考生更好地备考。
第一部分：选择题解析1. 在以下元素中，具备磁性的是：A. 铜B. 铝C. 钡D. 铁正确答案：D. 铁解析：铁是一种具备磁性的元素，而铜、铝、钡均不具备磁性。
这道题主要考察考生对材料基本性质的了解。
2. 下列哪些是晶体缺陷的分类？A. 点缺陷、面缺陷、体缺陷B. 除缺陷、包缺陷、总缺陷C. 明缺陷、暗缺陷、半缺陷D. 有缺陷、无缺陷、不确定正确答案：A. 点缺陷、面缺陷、体缺陷解析：晶体缺陷主要分为点缺陷、面缺陷和体缺陷三种分类。
选项B中的“除缺陷、包缺陷、总缺陷”是错误的分类。
选项C中的“明缺陷、暗缺陷、半缺陷”也是不正确的分类。
第二部分：应用题解析材料科学基础也注重对实际问题的应用，下面我们将解析一道与应用有关的题目。
3. 请解释什么是材料的断裂韧性？解析：材料的断裂韧性是指材料在受到外部应力作用下，能抵抗断裂的能力。
断裂韧性是一个衡量材料抗断裂能力的重要指标，通常由材料的断裂韧性曲线来表示。
断裂韧性的高低决定了材料在受力情况下的可靠性和安全性。
结语：通过对2020年研究生入学考试工程学材料科学基础历年真题的解析，我们了解到了该科目的一些重要知识点和解题技巧。
在备考过程中，我们需要对材料的基本性质和实际应用有一个深入的了解，并通过解析真题来巩固和应用这些知识。
希望本文对考生备考有所帮助，祝愿大家能够取得好成绩！。
中国科学院大学2020 年硕士学位研究生考试试题科目名称热工基础
中国科学院大学2020 年硕士学位研究生考试试题科目名称：热工基础考生须知：1.本试卷满分为150 分，全部考试时间总计180 分钟。
2.所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
3.可以使用无字典存储和编程功能的电子计算器。
工程热力学一、问答题（共25 分，每小题5 分）（1）“平衡态”和“均匀”有什么区别和联系？（2）气体吸热后热力学能一定增加？气体压缩时一定消耗外功？请说明原因。
（3）实际气体在哪些情况下可以当作理想气体处理，为什么？（4）熵增原理的意义何在？（5）有一渐缩喷管，若进口前的滞止参数不变，背压从滞止压力逐渐下降到极低压力，问该喷管的出口压力、出口流速和流量将如何变化？二、是非题（共10 分，每小题2 分，对的打“√”，错的打“×”）（1）两条定熵线不能相交。
（2）熵增过程即为不可逆过程。
（3）工质从状态1 到状态2 经历了一个可逆吸热过程或一个不可逆吸热过程，后者的熵增必定大于前者的熵增。
（4）对气体加热，其温度一定升高。
（5）绝热过程必是定熵过程。
三、（共10 分）容积为200L 的容器，装有初始压力为0.6MPa、初始温度为35℃的氮气。
容器上装有压力控制阀，当压力高于0.8 MPa 时，容器自动打开放气以维持内部压力不超过0.8MPa。
当容器内的氮气被加热到温度为350℃ 时，共加入了多少热量？（氮气视作理想气体）四、（共10 分）初始压力为1bar，初始温度为30℃的空气在一管道中流动，入口速度为200m/s。
若经某一绝热定熵过程达到流速为零的滞止状态，求定熵滞止状态的温度和压力。
已知空气的定压比热为1 kJ/(kg ⋅K) 。
五、（共10 分）有人声称设计了一整套热设备，可将65℃热水的20%变成100℃的高温水，其余的80%将热量传给温度为15℃的大气后降到15℃。
已知水的定压比热为4.18 kJ/(kg ⋅K) 。
（1）请分析这种方案在热力学原理上是否能实现？（2）65℃热水变成100℃高温水的极限比率为多少？六、（共10 分）从热力学能源利用的角度，比较以下两种太阳能利用方案的优劣。
中国科学院大学2020年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题-科目名称：《材料专业综合》
中国科学院大学2020年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：材料专业综合考生须知：1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
3.试题分成四个部分，每一部分试题的分值和为100分，总分值为400分。
考生需在400分的试题中任意选做分值和不超过150分的大题并在答题纸上明确标示。
如果选做大题的分值和超过150分，考生需要在答题纸的最前面标注计分的题号。
如没有标注，判卷将按照所选做试题的题号顺序依次判卷直到所做题目分值和超过150分题目的前一题，后面所做试题视作无效考试内容。
4.可以使用无字典存储和编程功能的电子计算器，三角板、量角器。
第一部分材料力学（100 分）一、(20 分) 简答题1.如图1所示，解释为何作为脆性材料的木材受压缩时的断面与轴线成45º角。
(8分)图 1 受压缩失效的木材块体图 2 受拉伸材料中的吕德带2.如图2所示，受拉伸的韧性材料试件中经常出现吕德带(Lüders bands)，给出其发生的成因。
(6分)3.写出材料力学中的四个强度理论并给出其适用范围。
(6 分)二、(20 分) 材料力学中主要讨论了拉、压、弯、扭、稳定性、断裂、能量法等内容，请提纲挈领地回答下列问题：1．分别给出拉伸刚度 (EA)、扭转刚度 (GI p)、弯曲刚度 (EI) 、应力强度因子K IC = πa的量纲；(9 分)2．材料筛选中效能因子的定义；(4 分)3．在手机中，射频器件可简化为一个悬臂梁，其长度为L，杨氏模量为M，其材料密度为ρ，请给出该器件的材料筛选原则。
(7 分)三、(20 分) 圆轴的扭转问题中材料的剪切模量为 G，密度为ρ，半径为 R。
请求解下列问题：G1.应用量纲分析，证明圆轴的扭转波速的数量级为：c t ~；ρ(6 分)2.给出该圆轴截面的极惯性矩I p；(5 分)3.建立该圆轴的扭转波动方程：，，这里φ为扭转角，横波波速。
应变片及其原理
应力与应变的概念应力所谓“应力”，是在施加的外力的影响下物体内部产生的力。
如图1所示：在圆柱体的项部向其垂直施加外力P 的时候，物体为了保持原形在内部产生抵抗外力的力——内力。
该内力被物体（这里是单位圆柱体）的截面积所除后得到的值即是“应力”，或者简单地可概括为单位截面积上的内力，单位为Pa （帕斯卡）或N/m2。
例如，圆柱体截面积为A(m2),所受外力为P(N 牛顿)，由外力=内力可得，应力：（Pa 或者N/m2）这里的截面积A 与外力的方向垂直，所以得到的应力叫做垂直应力。
图1应变当单位圆柱体被拉伸的时候会产生伸长变形ΔL ，那么圆柱体的长度则变为L+ΔL 。
这里，由伸长量ΔL 和原长L 的比值所表示的伸长率（或压缩率）就叫做“应变”，记为ε。
与外力同方向的伸长(或压缩)方向上的应变称为“轴向应变”。
应变表示的是伸长率（或压缩率），属于无量纲数，没有单位。
由于量值很小(1×10-6百万分之一)，通常单位用“微应变”表示，或简单地用μE 表示。
而单位圆柱体在被拉伸的状态下，变长的同时也会变细。
直径为d0的棒产生Δd 的变形时，直径方向的应变如下式所示：这种与外力成直角方向上的应变称为“横向应变”。
轴向应变与横向应变的比称为泊松比，记为υ。
每种材料都有其固定的泊松比，且大部分材料的泊松比都在0.3左右。
应力与应变的关系各种材料的应变与应力的关系已经通过实验进行了测定。
图2所示为一种普通钢材（软铁）的应力与应变关系图。
根据胡克定律，在一定的比例极限范围内应力与应变成线性比例关系。
对应的最大应力称为比例极限。
图 2或者应力与应变的比例常数E 被称为弹性系数或扬氏模量，不同的材料有其固定的扬氏模量。
综上所述，虽然无法对应力进行直接的测量，但是通过测量由外力影响产生的应变可以计算出应力的大小。
应变片的构造及原理应变片的构造应变片有很多种类。
一般的应变片是在称为基底的塑料薄膜（15-16μm）上贴上由薄金属箔材制成的敏感栅（3-6μm），然后再覆盖上一层薄膜做成迭层构造。
【从真题看命题系列】2020中科院真题解读(2)——小变形与大变形分析
©旦翠丘匹l
【参考答案】
由题意可知，AB杆与BC杆在外力作用下产生了水平位移u和竖直位移v, 可以假设AB和BC杆均受
拉，结构变形前后受力以及相应符号引入如下图所示：
卢
t
\B,
P
/ l
-
P
/l
/ _l ＼
/B a ， / ___ \， ＼
2E1A1 2E2�
将式＠、＠带入上式可得：
U=
L1 2E1Al
［卢＋
\n u
FAB]+ E]A])
L2 2E2A2
\［心 ._,,, ＋
FBC 3] E2Ai
9
©旦翠丘匹l
au au au 由卡式第一定理可知 6P ＝ u, 6G =V，根据题意要求，需求出包含有P、Q、 U、v的表达式，
气 （ 勹 本质上两个方程运算得出的表达式是等效的，这里不妨化简第一个式子
p
． `』．
B
Q 个一
. . ••••••••••••••
立
v
移为u和v。 2
问题： (1)用卡式定理推导P, G, u, V的关系式。
(2)利用小变形条件将(1)简化为线性。
2
【解题分析】近年来，部分院校的考研真题中开始出现了针对材料力学四大基本假设中的小变形假
设的定量计算与讨论（例如2016年中科院第6题、2018年上海交通大学计算题第1题等），主要考察由千 小变形假设带来的计算误差，这类题目重点考察考生对千基本概念的理解。
图示结构， 已知AB、 BC杆的弹性
模量E= 200GPa, F= 60kN, AB杆的
第6章应力分析和应变分析1
第六章 应力分析和应变分析
1、问题的提出 铸铁
低碳钢
塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？
5
第六章 应力分析和应变分析
低碳钢
铸铁
脆性材料扭转时为什么沿45º螺旋面断开？
6
第六章 应力分析和应变分析
工程上还有一些构件或结构，其横截面上的一些 点同时承受正应力与剪应力。在这种情形下，怎样 建立强度条件？强度条件中的危险应力如何确定？
应力
哪一个面上？ 哪一点？
指明
哪一点？ 哪个方向面？
第六章 应力分析和应变分析
应力状态的概念——过一点、在不同 方向面上应力的集合，称之为这一点 的应力状态（State of the Stresses of a Given Point）。
第六章 应力分析和应变分析
为什么要研究应力状态
第六章 应力分析和应变分析
例题1：一点处的平面应力状态如图所示。
已知 x 60MPa， xy 30MPa, y 40MPa, 30。
试求（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
y xy
x
第六章 应力分析和应变分析
解：（1） 斜面上的应力
y xy
x
y
2
x
y
2
cos 2
( x
y)
1 2
(
x
y ) cos 2
xy
sin
2
d d
( x
y ) sin
2
2 xy cos 2
设α＝α0 时，上式值为零，即
( x y ) sin 20 2 xy cos 20 0
2(σx
σy 2
) si
中国科学院大学2020年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题-科目名称：《材料力学》
中国科学院大学 2020年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题科目名称：材料力学考生须知：1．本试卷满分为150分，全部考试时间总计180分钟。
2．所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。
3．可以使用无字典存储和编程功能的电子计算器。
一、（10分）简述平截面假定，并说明该假定在推导纯弯曲梁正应力公式中的作用。
二、（15分）A、B两种材料制成一圆截面杆，外壳部分A与核心部分B有可靠的粘结，复合材料杆的左端固定，右端承受一扭矩T的作用，其剪切模量的关系为：G A = 2G B，抗扭截面极惯性矩满足I pA 。
试示意画出截面a − a处的扭转角、剪应变及剪应力分布图。
ATBσx τyx τzx三、（15 分）空间应力状态可由3 × 3矩阵的应力张量表达，即( τxy σy τzy )，τxz τyz σz其中σx，σy，σz三个对角线上的量为正应力，其余六个非对角线量为剪应力。
因为剪应力互等，即：τxy = τyx，τxz = τzx，τyz = τzy，应力张量的9 个分量只有6 个独立的分量。
（1）请推导出二维问题的剪应力互等定律。
（2）什么是主应力？结合上面的应力张量表达式写出主应力的求解算式。
（3）什么是静水应力？对各向同性的材料，静水应力和体积变化有什么关系？四、(25分)如图所示，一等截面悬臂梁的抗弯刚度为EI，梁长为L，请问对梁施加的竖向均布载荷p、自由端的竖向集中力F和弯矩M0为多少时，梁变形后的挠度方程满足y = Ax4？其中A为常数。
五、(30分)直径d = 100mm的圆轴，受轴向拉力F和力偶矩M e的作用。
材料的弹性模量E = 200GPa，泊松比μ = 0.3，[σ] = 160MPa。
现测得圆轴表面的轴向线应变ε0 = 500 × 10−6，负45°方向的线应变ε−45° = 400 × 10−6，试求F和M e，并按第四强度理论校核该轴的强度。
中科院普物真题答案解析
中科院普物真题答案解析中科院（中国科学院）普物（普通物理）是许多理科考生梦寐以求的一门考试。
由于科学院的严格规定和高标准，这门考试对考生的物理基础知识、分析问题和解决问题的能力有着较高的要求。
因此，理解和掌握中科院普物真题的答案是提高考试成绩的关键。
在解析中科院普物真题答案之前，我们先来了解一下中科院普物真题的特点。
中科院普物真题不仅考察了物理基础知识的掌握和理解，还注重了考生的思维能力和解决问题的方法。
因此，解答中科院普物真题需要综合运用物理知识和数学方法，还需要对问题进行深入的分析和推理。
下面，我们将通过分析一道中科院普物真题的解答过程，帮助考生更好地理解中科院普物真题的答案解析。
题目：“一块质量为m、长为L的均质绳，一端绕在一个半径为R的光滑轮上，绳的另一端有一质量为M的物体，使得绳恰好能够绕轮转动且物体处在静止状态。
给定系统稳定时，轮的恒定角速度为ω。
求物体到轮中心的距离为h时系统的平衡位置与轮转轴的夹角θ，以及物体所受到的张力T。
解答：首先，我们需要明确题目的基本条件和问题要求。
给定的系统稳定时，轮的恒定角速度为ω，物体到轮中心的距离为h。
然后，我们来分析题目的物理规律。
根据“受力平衡”的原理，系统稳定时轮和物体受到的合力为零。
轮受到的合力来自张力T和仅在轮上点M处的重力G_m，而物体受到的合力来自仅在物体上点M处的重力G_M和轮对物体的拉力T。
由于系统处于平衡状态，所以张力T必须平衡重力的合力，即：T + G_m = G_M进一步分析，可以发现G_m = m * g，G_M = M * g。
由于物体处在轮的静止状态，所以轮的合外力矩为零。
根据物理定律，力矩等于力乘以力臂，即：T * R = G_M * h综上所述，我们得到以下两个方程：T + m * g = M * gT * R = M * g * h利用这两个方程，我们可以解得T的值。
根据解得的T，我们可以求得物体所受到的张力T。
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9
l @lbl.!J(（ 且匡
【思维发散】试证明材料的剪切模量与弹性模量的关系为G= 2(1+µ) 【证明】取一纯剪切微元体，其应力状态为：
Ux = Uy = Uz = O;
'fxy = T;
Txz = 0
代入胡克定理：
Ex = Ey = Ez = 0;
T
Yxy = － G'
Yyz = Yxz = 0
l @lbl.!J(（ 且匡
l1 = ux+uy+u叶 /2 = — (UxUy+UyUz+UzUx)+ (rx/+Tyz2+Tzx2)
Ux Tyx Tzx /3 = 1rxy Uy Tzy
飞z Tyz Uz
根据力学概念可知， 三个主应力应该与坐标轴的选择无关， 所以在坐标变换时， 尽管应力分量 Ux、 Uy、 6Z 、 Txy、 Tyz、 Tzx会改变， 但主应力仍保持不变， 作为方程三个实根的61 、 62 、 63 既然 在坐标变换时保持不变， 则此三次方程的系数也应该与坐标轴的选择无关， 所以11 、 I2 、 I3是三个 不变量。
602
Ol表达，
U3
也就是说，前者可通过线性变换得到后者：
5
l @lbl.!J(（ 且匡
［笠 ； ⇒ [ : z T T <Tx yx xl
z zz Ty
y
l
ru1 0 0
62 :3]
那么主应力和主应力方向就是这个矩阵的特征根和特征向量。
z T T <Tx — <TN z T T f(1（吓）＝ xy
[。。 j 6 1=62 王＝6，其应力状态可以通过主应力张量表示为：
＠前面说过，一点的应力状态可通过主应力张量601 62 ：表达，
63
0 u 0。 ；；；』之和I= u尸
子 U3 是个定值。定义平均应力为吓＝ 6计幻3 +(13，将主应力」印量写成：
14
十[ l [ 仍 — ] U1 0 0 l
！一一极 ．嘈·••••·端•·•- 情况：当．．．｀µ．．，．．嘈=·•止- .0....．5．． ．．．．．时．．．．．．，．`··•K•••••·为心正．．．无�••· ·•穷•暹....大......，.....体一．．．．．积．．．．．．应．．••·•变••·•·•．e暹·v•·••=•·••0·•·••。...这 ..，配•·•量．种．．贮．材．嘈－．．料｀＇- 被称为•·•不·••••可·•·•一一－压－一＿－．缩一星瞿- 材料。••·•·
|｀
叫
dx
3
l @lbl.!J(（ 且匡
【思维发散】如何证明三维问题的剪应力互等定理？
c
【解】可用类似的方法求解。
如图，对AB边取矩：ImAB = 0,即： (Txzdydz)dx — (Tzxdxdy)dz = 0可以源自到： 互＝Tzx 同理，可以证明：
Txy = Tyx Tyz = Tzy 这三个式子表达了剪应力互等定理。
这一结果与各向同性材料的在相同应力作用下的应变应该与材料取向无关的要求相矛盾。所以切 应力不应该产生正应变。类似地利用对称性还可证明每一个切应力分量只能产生与其相应的切应变， 不会产生其他方向的切应变。
X X
45 °
A 180°
······································································(·2··a···)········································································································1·3
z z z T T x
yx <Ty -<TN
y
x y
<T -<TN
z z T T T T T = (ux -吓）也 － 吓）也 － 吓） ＋ 2 xy y 互 － 也 － 吓） yz2＿也 － 吓） x 2＿也 － 吓） xy2
几（吓）＝ 0的三个根就是三个主应力的值。
6
l @lbl.!J(（ 且匹
A
D
气！ T之'X,(Jy� |产
◄_(Jx
＿一 i ＿ 一寸 ：
，: T• yz
…/ 6X
: f ：
c1z1t；尸飞－ －－ － －Ty- x
,/ i_v-<--------·< r
G
E�dy
y
dx a.
4
(2)＠如果某截面上剪应力为0,那么该平面为主平面，该平面上的正应力（法向应力）称为主应力。
【思维发散】 一点的应力状态， 如果选取不同的截面，其正应力和剪应力值都不同。 试证明：无论取什么截面，三个正应力之和l=ux+<Ty+<Tz 永远是定值。
【解】由第（2)间的分析可知，
<ix - UN Tyx
Tzx
Txy
(jy —(jN
I Tzy = 0的三个实数根就是三个主应力。
Txz
Tyz
(jz —(jN
［61+62 ＋幻］ 2
UV就是体积改变应变能密度。
同理， 将偏应力代入上述应变能密度计算公式可以得到：
l @lbl.!J(（ 且匡
顷
考二
题一 1� \］
对一
二 十
各i
（1）
向i 在
同已 正
在 应
言 时 力
材一 作
;料 用
� 下，
请1 只
（2） 在 剪 应 力 作 用 下 只
叩 吐
（1) 如 了 切应 变
圆 那
么al
而 将
示 材
料，
从 绕
某 x
各 轴
向 转
同性
l 08
材 话
蜘
应变
涸
l
b
）
。
芒 ：� � ． 正应 变
该纯剪微元体的三个主应力为：<T1 = T,(T2 = 0,(T3 = -r
yT ◄ T
�
T
T
�
伸
T
根据胡克定律，主应变为：
1 氏＝因(T3
— µ((T1+(T2)]
=
—
(1 +µ) ET
10
l @lbl.!J(（ 且匹
................................................................................................................................................................................... 45° 方向上的应变为：
[ 0 62 0 0 0 U3J
ram O 0 6m
O l ra1 — Um
o+ 。
L O O <ImJ L O
O
6m
O
0
。
U3 — Um
第一项称为球应力张量（反映的是静水压力）， 第二项称为偏应力张量。
62
＿＿(11
<Tm
(1m +
62 -6m
<T1 -<Tm
62
15
l @lbl.!J(（ 且匡
(2)结合广义胡克定律可知， 可以将应变能密度用主应力表示为：
因此， 无论取什么截面， 三个正应力之和l = ux+uy+Uz永远是定值。 '.................................................................................................................................................................................. 8
....... .也...可.....以...表.....示...为....氏..... .＝.....？..，....其....中....店....尔...为....体....积....模....量....，....其....值....为....K....=....3..(.1..-..2..µ.)..0.............................................
展开这个行列式， 并进行整理可得：
其中：
6忒 － I16妒 － I 吓 － 13 = 0
2
'.................................................................................................................................................................................. 7
【参考答案】
(1)对千平面应力问题，取平面微元体ABCD如图所示，微元体 边长分别为dx和dy。对A点取矩：ImA = 0,即： (rxydy)dx — (Tyxdx)dy = 0 可以得到： Txy = Tyx 即剪应力互等。
A 4
6 X
T xy B
6y
cT yx
T xy
6 X
崖＿
dy
工
Tyx
ay
五 剪应变 细取出 一单
g 单 元体
� 一 � i
i
i
三 产 生 剪 应 变；
产生正应 变
如单 顽
。 在
／
畦 力作用
既然材料是各向同性的，其应变应该与 6X