中考数学总复习 第一部分 教材考点全解 第二章 方程(组)与不等式(组)第6讲 一元二次方程及其应用
中考数学总复习第二单元方程组与不等式组第06课时分式方程及其应用课件
高频考向探究
探究一 解分式方程
例 1 [2017·宁夏] 解方程:������+3- 4 =1.
������-3 ������+3
[方法模型] 解分式方程时易出现的错误: (1)漏乘没有分母的项; (2)没有验根; (3)去分母时,没有注意符号的变化.
解:去分母,得 x2+6x+9-4x+12=x2-9, 移项、合并同类项,得 2x=-30, 系数化为 1,得 x=-15, 经检验:x=-15 是原方程的解.
解:设原计划平均每天施工 x 平方米,
则33000
������
-313.020������0
=11,
解得 x=500,
经检验,x=500 是原分式方程的解且符
合题意,
∴实际平均每天施工为
500×(1+20%)=600(平方米).
答:实际平均每天施工为 600 平方米.
高频考向探究
[方法模型] 列分式方程解应用题时应注意: (1)设未知数注意选择和题目中各个量关系都密切的量,注意根据问题情况灵活选择设法,如直接设、间接 设、设多元等; (2)求分式方程的解,验根应从两个方面出发:方程本身和实际意义.
A.a=-5
B.a=5
C.a=-9
D.a=9
3.解分式方程������2-1+���1���+-���2��� =3 时,去分母后变形正确的为( D )
A.2+(x+2)=3(x-1)
B.2-x+2=3(x-1)
C.2-(x+2)=3
D.2-(x+2)=3(x-1)
课前双基巩固
4.若分式方程 ������2 = 1 有增根,则增根为(
中考数学复习 第一部分 知识梳理 第二章 方程与不等式 第6讲 一元二次方程及其应用课件
解：（1）设每个月生产成本的下降率为x. 根据题意，得400（1-x）2=361. 解得x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）． 答：每个月生产成本的下降率为5%． （2）361×（1-5%）=342.95（万元）． 答：1预2/9/2测021 4月份该公司的生产成本为342.95万元.
18. (2017眉山)某烘焙店的蛋糕礼盒分为六个档次，第 一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利 润10元. 调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该 产品每件利润增加2元. (1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，则此批次蛋糕 属第几档次产品？ (2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天 产量会减少4件. 若生产的某档次产品一天的总利 润为1 080元，则该烘焙店生产的是第几档次的产品？
(4)公式法：利用求根公式__x_1,_2_=_______(_b_2-_4_a_c_≥__0_)__. 3. 根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的 根的判别式Δ=b2-4ac. (1)当Δ>0时，原方程有__两__个__不__相__等__的实数根; (2)当Δ=0时，原方程有_两__个__相__等__的实数根; (3)当Δ<0时，原方程_没__有___实数根.
解：(1)(14-10)÷2+1=3(档次)． 答：此批次蛋糕属第三档次产品. (2)设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据题意，得 ［2(x-1)+10］×［76-4(x-1)］=1 080. 整理，得x2-16x+55=0. 解得x1=5，x2=11(不合题意，舍去)． 答：该12/烘9/202焙1 店生产的是第五档次的产品．
12/9/2021
解：（2）设当每件商品降价x元时，该商店每天销售利 润为1 200元． 根据题意，得 （40-x）（20+2x）=1 200. 整理，得x2-30x+200=0. 解得x1=10，x2=20． ∵要求每件盈利不少于25元， ∴x2=20应舍去. ∴x=10． 答：当每件商品降价10元时，该商店每天销售利润为 1 200元．
中考数学复习 第一篇 教材梳理 第二章 方程(组)与不等式(组)第6课时 一元二次方程课件
x1＝1，x2＝
2 ，根据 m
x2
是整数
求出正整数 m 的值．
2021/12/6
第二十五页，共六十九页。
(1)证明：∵b2－4ac＝(m＋2)2－4×2m＝m2＋4m＋4－8m＝ m2－4m＋4＝(m－2)2≥0，∴方程总有两个实数根．
(2)解：mx2－(m＋2)x＋2＝0，即(x－1)(mx－2)＝0， ∴x1＝1，x2＝m2 ，∴x2＝m2 为整数， ∴正整数 m 的值为 1 或 2.
每两队之间都比赛一场，则下列方程中符合题意的是( A )
A．12x(x－1)＝45
B．12x(x＋1)＝45
C．x(x－1)＝45
D．x(x＋1)＝45
5．(2018·台州)若关于 x 的一元二次方程 x2＋3x＋m＝0 有两
个相等的实数根，则 m＝
9 4
．
2021/12/6
第八页，共六十九页。
6．(2018·绍兴、义乌)解方程：x2－2x－1＝0. 解：∵a＝1，b＝－2，c＝－1， ∴b2－4ac＝4＋4＝8＞0，方程有两个不相等的实数根，x＝ －b± 2ba2－4ac＝2±22 2＝1± 2，则 x1＝1＋ 2，x2＝1－ 2.
2021/12/6
第二十九页，共六十九页。
【自主解答】
解：(1)设每张门票的原定票价为 x 元．
由题意，得6 0x00＝x4－80800，
解得 x＝400.经检验，x＝400 是原分式方程的根．
答：每张门票的原定票价为 400 元．
(2)设平均每次降价的百分率为 y.
由题意，得 400(1－y)2＝324，
2021/12/6
第三十一页，共六十九页。
为落实国务院房地产调控政策，使“居者有其 屋”，某市加快了廉租房的建设力度.2016 年市政府共投资 3 亿元 人民币建设了廉租房 12 万平方米，2018 年投资 6.75 亿元人民币 建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．
最新中考数学总复习第一部分数与代数 第二章 方程与不等式 第6讲 分式方程
C. 10 - 10＝12
1.2x x
B. 10 - 10＝0.2
1.2x x
D.10 - 10 ＝0.2
x 1.2x
返回
数学
6.(2021威海)六一儿童节来临之际,某商店用3 000元购进一批 玩具,很快售完;第二次购进时,每件的进价提高了20%,同样用 3 000元购进的数量比第一次少了10件. (1)第一次每件的进价为多少元? (2)若两次购进的玩具售价均为70元,且全部售完,两次的总利 润为多少元?
(2)设猪肉粽每盒售价x元(50≤x≤65),y表示该商家每天销售猪 肉粽的利润(单位:元),求y关于x的函数解析式并求最大利润.
返回
数学
解:(1)设猪肉粽每盒进价 a 元,则豆沙粽每盒进价(a－10)元,
则8
000 a
＝
a6－00100,解得
a＝40,经检验
a＝40
是方程的解.
答:猪肉粽每盒的进价为 40 元,豆沙粽每盒的进价为 30 元.
返回
数学
考点2 分式方程的应用
5.(2021江西)甲、乙两人去市场采购相同价格的同一种商品,
甲用2 400元购买的商品数量比乙用3 000元购买的商品数量
少10件.求这种商品的单价.
解:设这种商品的单价为 x 元/件,由题意得3 000 - 2 400＝10,
x
x
解得 x＝60,经检验:x＝60 是原方程的根.
x+1 x
8.(2010 广东)分式方程 2x ＝1 的解是 x＝ 1 .
x+1
返回
数学
9.(2018广东)某公司购买了一批A,B型芯片,其中A型芯片的单 价比B型芯片的单价少9元,已知该公司用3 120元购买A型芯 片的条数与用4 200元购买B型芯片的条数相等. (1)求该公司购买的A,B型芯片的单价各是多少元? (2)若两种芯片共购买了200条,且购买的总费用为6 280元,求 购买了多少条A型芯片?
安徽省2023中考数学第一部分中考考点过关第二章方程组与不等式组课件1
设出未知数,给1分.
根据题意列出二元一次 方程组,给4分.
大括号括起来; 3.列方程时,严格按照 “设、列、解、验、
答”的步骤书写答
解方程组,并作答,给3分.
案,避免漏写步骤;
4.结尾处,切勿忘作答 .
第二节 分式方程及其应用
PART 01
考点帮
考点1 分式方程的相关概念
考点2 解分式方程 考点3 分式方程的实际应用
方法帮 命题角度 2 一次方程(组)的实际应用
4.(数学建模)[2019湖北荆门]欣欣服装店某天用相同的价格a元(a>0)卖出了两
件服装,其中一件盈利20%,另一件亏损20%,那么该服装店卖出这两件服装的
盈亏情况是
(B
) A解.盈析利：
B.亏损
C.不盈不亏
D.与售价a元有关
方法帮 命题角度 2 一次方程(组)的实际应用
考点帮
考点1 考点2 考点3
一元一次方程及其解法
3.解一元一次方程的一般步骤
去括号 去分母
移项
若方程含有括号,则先去小括号,再去中括号,最后去大括号. 若去括号时括号前是负号,去掉括号后,括号内的各项均要⑦ .变号 若未知数的系数有分母,则要去分母.注意要在方程的两边都 乘以各分母的最小公倍数. 把含有未知数的项移到等式的一边,其他项移到另一边.一般 把含⑧ 未知数 的项移到等式左边.移项要改变符号.
方法帮 规范性答题：一次方程（组）的应用
(8分)时下正是海南百香果丰收的季节,张阿姨到海南爱心扶贫网上选购百香
果,若购买2千克“红土”百香果和1千克“黄金”百香果需付80元,若购买1千克 “红土”百香果和3千克“黄金”百香果需付115元.请问这两种百香果每千克各 是多少元.
人教版九年级数学第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理
第二单元《方程(组)与不等式(组)》中考知识点梳理第5讲一次方程(组)第6讲一元二次方程第7讲分式方程三、知识清单梳理第8讲一元一次不等式(组)知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例1.不等式的相关概念（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为a－b≤1.2.不等式的基本性质性质1：若a＞b,则a±c>b±c；性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，ac>bc；性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc，ac<bc.牢记不等式性质3，注意变号.如：在不等式－2x＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x＜2.知识点二：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式. 例：若230mmx++>是关于x的一元一次不等式，则m的值为-1.4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1.失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x≥a x＞a x≤a x＜a知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆点表示．（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x＜1-a 的解集是x＞-1，则a的取值范围是a＜1.6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式组解集的类型假设a＜b解集数轴表示口诀x ax b≥⎧⎨≥⎩x≥b大大取大x ax b≤⎧⎨≤⎩x≤a小小取小x ax b≥⎧⎨≤⎩a≤x≤b大小，小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩无解大大，小小取不了知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；解不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.。
最新中考数学总复习第一部分数与代数 第二章 方程与不等式 热点专题 方程与不等式应用专题
400 x
＝
x5－12400,解得
x＝200,
经检验,x＝200 是所列分式方程的解,且符合题意.
答:该旅行社到洪洞大槐树的原来门市报价是每人 200 元.
返回
数学
(2)设平均每次的降价率为y,根据题意得200(1－y)2＝128, 解得y1＝0.2＝20%,y2＝1.8(不合题意,舍去). 答:平均每次降价的百分率为20%.
返回
数学
(3)方案1所需资金为1.5×5+0.5×5＝10(万元); 方案2所需资金为1.5×6+0.5×4＝11(万元); 方案3所需资金为1.5×7+0.5×3＝12(万元). ∵10＜11＜12,∴购买方案1所需资金最少,最少资金是10万元.
返回
数学
6.(2021黔南州模拟)在2020年新冠肺炎疫情期间,某中学响应 政府“停课不停学”的号召,充分利用网络资源进行网上学习, 九年级(1)班的全体同学在自主完成学习任务的同时,彼此关 怀,全班每两个同学都通过一次电话,互相勉励,共同提高,如果 该班共有48名同学,若每两名同学之间仅通过一次电话,那么 全班同学共通过多少次电话呢?我们可以用下面的方式来解 决问题.
返回
数学
(3)在(2)的条件下,哪种购买方案需要的资金最少,最少资金是
多少?
解:(1)设购进 1 件甲种农机具需要 x 万元,1 件乙种农机具需要 y
万元,依题意得
2x+y＝3.5 ,解得
x＝1.5 .
x+3y＝3
y＝0.5
答:购进 1 件甲种农机具需要 1.5 万元,1 件乙种农机具需要 0.5
返回
数学
用点A1,A2,A3,…,A48分别表示第1名同学、第2名同学、第3名 同学、…、第48名同学,把该班级人数x与通电话次数y之间 的关系用如图所示的模型表示:
中考数学基本考点归纳梳理总结附考点答案(完美版 )
中考基本考点归纳总结（概念、定理、推论、法则）第一章 实数与代数式第1讲 实数的概念与应用考点1：正负数的意义：正负数表示___________。
实数与___________一一对应。
考点2：非负数a 、2a 1）a （2a 0；（2）非负数之和为0，当且仅当每一个非负数为0。
考点2：能根据相反数、倒数、绝对值的概念及其有关性质解题，理解相反数、绝对值的几何意义。
(1)实数：可分为 、无理数；还可分为 、0、 。
(2)数轴：规定了 、 、 的直线。
数轴上的点与 一一对应。
(2)相反数:是只有___________不同的两个数，即若a 、b 互为相反数，那么___________，0在相反数仍是0；在数轴上表示相反数的两个点。
实数a 的相反数是 ，0的相反数是0。
（3）绝对值的概念：___________；一个数a 的绝对值等于在数轴上表示数a 的点___________。
（4）倒数：乘积是1的两个数互为系数，若a 、b 互为倒数，那么___________，0没有倒数。
考点3：能按___________要求确定一个数的近似值，能用___________表示数。
（1）精确度:指将一个数四舍五入到的___________。
( 2 )有效数字：指从一个数的______________起到___________止之间的所有数字。
（3）科学记数法：把一个数写成___________形式，其中___________，这种计数方法叫做___________。
第2讲 实数的运算及大小比较考点1：实数的加、减、乘、除、乘方、开方运算。
注意：（1）0次幂运算：0a （a ≠0）=___________；（2）负指数幂运算：n a -=___________（a ≠0）；（3）()n a -与()n a -的联系与区别：当n 是偶数时，()n a -+()n a -=___________，当n 是奇数时，()n a -=___________。
2021年华师版数学中考总复习知识点总结第二单元 方程(组)与不等式(组)
第二单元 方程（组）与不等式（组）第6章 一元一次方程1．解一元一次方程（1）方程两边都加上或减去同一个数或同一个整式，方程的解不变。
方程两边都乘以或除以同一个不为零的数，方程的解不变。
（2）移项 将方程的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边的变形叫做移项。
（3）一元一次方程：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子是整式，未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程。
2.解一元一次方程的一般过程去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1。
但要灵活运用。
3.列方程解应用题的一般思路 实际问题 审题 找出等量关系 设未知数（分直接设法和间接设法） 列方程 解方程 检验解得合理性第7章 一次方程组1.二元一次方程（组）二元一次方程：有两个未知数，并且未知项的次数是1，这样的方程叫做二元一次方程。
二元一次方程组：把两个二元一次方程合起来。
二元一次方程组的解：使二元一次方程组中的两个方程的左右两边的值都相等的两个未知数的值。
2.二元一次方程组的解法（1）代入消元法从方程中选出系数比较简单的方程进行变形，即将这个方程中的一个未知数用含另一个未知数的的代数式表示出来。
代入消元，即将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
解这个一元一次方程，求出未知数的值。
回代求解，即将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值。
把求得的未知数的值联立写成⎩⎨⎧==by a x 的形式。
（2）加减消元法方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等，就用适当的数去乘方程的两边，是其中一个未知数的系数互为相反数或相等。
把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
解这个一元一次方程。
将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数。
把求得的未知数的值联立写成⎩⎨⎧==by a x 的形式。
第8章 一元一次不等式1.不等式用不等号“>”或“<”表示不等关系的式子，叫做不等式。
(云南)数学中考总复习：第二单元 方程组与不等式组第6课时 分式方程
考情分析
考点梳理
考向探究
当堂检测
第6课时 分式方程 B
考点2 分式方程的应用
2．某车间原计划在x天内生产120个零件，由于采用了新技 术，每天多生产零件3个，因此提前2天完成任务，则列方程为
120 120 _x__－__2_－___x__＝__3_____．
考情分析
考点梳理
考向探究
当堂检测
第6课时 分式方程
正确的为( B ) A.5x＋16＝25x B.5x－16＝25x C.5x＋10＝25x D.5x－10＝25x
考情分析
考点梳理
考向探究
当堂检测
第6课时 分式方程
3．分式方程x＋3 2＝x－－12的解为__x_＝__1___．
4．某商场销售的一款空调机每台的标价是1635元，在一次 促销活动中，按标价的八折销售，仍可赢利9%.
考向探究
当堂检测
第6课时 分式方程
当堂检测
37
1．方程x－x＋1＝0的解是( B ) A．x＝14 B．x＝34 C．x＝43 D．x＝－1
考情分析
考点梳理
考向探究
当堂检测
第6课时 分式方程
2．小军家距学校5千米，原来他骑自行车上学，学校为保障 学生安全，新购进校车接送学生，若校车速度是他骑自行车速度 的2倍，现在小军乘校车上学可以从家晚10分钟出发，结果与原 来到校的时间相同．设小军骑车的速度为x千米/时，则所列方程
考情分析
考点梳理
考向探究
当堂检测
考点梳理
【知识树】
考情分析
考点梳理
考向探究
当堂检测
第6课时 分式方程
考点1 分式方程的解法 1．方程x－1 2－x－2 1＝0的根是( D ) A．x＝－3 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝3
2025年广东省九年级中考数学第一部分+中考考点梳理课件+第二章 方程(组)与不等式(组)
5.会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根及两个实根是否相等.
6.了解一元二次方程的根与系数的关系(例67)(2022版课标去掉“＊”).
7.能解可化为一元一次方程的分式方程.
返回
目录
新课标示例：
例67
－元二次方程的根与系数的关系
知道一元二次方程的根与系数的关系，能通过系数表示方程的根，能
用方程的根表示系数.
设问角度
核心素养
一元一次不等式组
选择，T8/3分
－ > ，
的解集为
<
运算能力
解答，T16/8分 解不等式组 － > ，
+<
返回
目录
考什么
年份
考点
2021
怎么考
题型/分值
设问角度
为什么考
核心素养
－ > (－),
解答，T18/6分 解不等式组
－
＞
解一元一
－ ≥ －，
为什么考
素材情境 核心素养
＝时间差，
甲
v甲＝1.2v乙
追及问题
－ ＝
.
求一元一次不等式的
最小解
打折问题
5×0.1x－4≥4×10％
模型观念
运算能力
应用意识
返回
目录
考什么
年份
考点
怎么考
题型/分值
一元一次方
程或二元一
设问角度
为什么考
素材情境 核心素养
数学文化：每人钱数8×学生
程解的意义
，经历估计方程解的过程.
2.能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性.
中考数学一轮总复习讲解 第二章 方程与不等式
中考数学一轮总复习讲解第二章方程与不等式第6讲一元一次方程与分式方程及其应用第7讲二元一次方程组及其应用第8讲一元二次方程及其应用第9讲方程(组)的应用第10讲不等式与不等式组第11讲一元一次不等式的应用第6讲一元一次方程与分式方程及其应用1．一元一次方程及解法2.分式方程及解法3.列方程解应用题的一般步骤1．(2016·杭州)已知甲煤场有煤518吨，乙煤场有煤106吨，为了使甲煤场存煤是乙煤场的2倍，需要从甲煤场运煤到乙煤场，设从甲煤场运煤x 吨到乙煤场，则可列方程为( )A ．518＝2(106＋x )B ．518－x ＝2×106C ．518－x ＝2(106＋x )D ．518＋x ＝2(106－x )2．(2017·宁波)分式方程2x ＋13－x ＝32的解是____________________． 3．(2017·温州)甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程：____________________.4．(2017·金华)解分式方程：2x ＋1＝1x －1.【问题】给出以下五个代数式：2x －4，x －2，x ，12，3. (1)选取其中的几个代数式，组成一个一元一次方程和一个分式方程；(2)解出(1)中所选的一元一次方程和分式方程．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理一元一次方程和分式方程的概念，以及它们的解法．类型一 等式性质和方程的解的含义例1 (1)(2017·杭州)设x ，y ，c 是实数，( )A ．若x ＝y ，则x ＋c ＝y －cB ．若x ＝y ，则xc ＝ycC ．若x ＝y ，则x c ＝y cD ．若x 2c ＝y 3c，则2x ＝3y (2)已知关于x 的方程2x ＋a －9＝0的解是x ＝2，则a ＝________.(3)已知关于x 的方程3x ＋n 2x ＋1＝2的解是负数，则n 的取值范围为______________．1．(1)已知等式3a ＝2b ＋5，则下列等式中不一定成立的是( )A ．3a －5＝2bB ．3a ＋1＝2b ＋6C ．3ac ＝2bc ＋5D ．a ＝23b ＋53(2)如果方程x ＋2＝0与方程2x －a ＝0的解相同，那么a ＝____________________．(3)(2017·成都)已知x ＝3是分式方程kx x －1－2k －1x ＝2的解，那么实数k 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2类型二 一元一次方程的解法例2 解方程：x －x －12＝2－x ＋23.2．解方程：(1)(2016·贺州)解方程：x 6－30－x 4＝5；(2)7x －12⎣⎡⎦⎤x －12（x －1）＝23(x －1)．类型三 分式方程的解法例3 (2015·营口)若关于x 的分式方程2x －3＋x ＋m3－x ＝2有增根，则m 的值是() A ．m ＝－1 B ．m ＝0 C ．m ＝3 D ．m ＝0或m ＝3例4 (1)(2017·湖州)解方程：2x －1＝1x －1＋1；(2)(2017·陕西模拟)解方程：2－x x －3＝13－x －2.3．解分式方程：(1)x x －3＝x －63－x＋3；(2)x x ＋1－4x 2－1＝1.类型四 一元一次方程和分式方程的应用例5 (2015·宁波)宁波火车站北广场将于2015年底投入使用，计划在广场内种植A ，B 两种花木共6600棵，若A 花木数量是B 花木数量的2倍少600棵．(1)A ，B 两种花木的数量分别是多少棵？(2)如果园林处安排26人同时种植这两种花木，每人每天能种植A 花木60棵或B 花木40棵，应分别安排多少人种植A 花木和B 花木，才能确保同时完成各自的任务？4．(2017·黄冈)黄麻中学为了创建全省“最美书屋”，购买了一批图书，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多5元，已知学校用12000元购买的科普类图书的本数与用5000元购买的文学类图书的本数相等，求学校购买的科普类图书和文学类图书平均每本的价格各是多少元？【探索规律题】一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式拼接．(1)若把4张、8张这样的餐桌拼接起来，四周分别可坐多少人？(2)若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需要多少张？【方法与对策】根据寻找的规律，每增加1张这样的餐桌可增加4人求解即可．这是探索规律题(图形的变化类)，并利用方程思想来解决．它是中考热点题之一．【解分式方程去分母时，漏乘整式项，忘记验根】解分式方程：x 2－4x x 2－1＋1＝2x x ＋1.第7讲二元一次方程组及其应用二元一次方程组及解法1．(2017·舟山)若二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝3，3x －5y ＝4的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b ，则a －b ＝( ) A ．1 B ．3 C ．－14D .742．(2016·温州)已知甲、乙两数的和是7，甲数是乙数的2倍．设甲数为x ，乙数为y ，根据题意，列方程组正确的是( )A .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7x ＝2yB .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝7y ＝2xC .⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝7x ＝2yD .⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝7y ＝2x3．(2016·金华)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝5，x ＋y ＝2.【问题】对于二元一次方程2x ＋y ＝10.(1)求其正整数解；(2)若x ＋y ＝7，求x ，y 的值；(3)对于(1)、(2)中的x ，y 值的求法，你有何体会？.类型一 二元一次方程(组)的有关概念例1 (1)(2016·永康模拟)已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2是关于x ，y 的二元一次方程x －ay ＝3的一个解，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2(2)(2017·南宁)已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝b 是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，2x ＋y ＝5的解，则3a －b ＝________；(3)已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋ny ＝7，2mx －3ny ＝4的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，则m ＝________，n ＝________.1．(1)(2016·毕节)已知关于x ，y 的方程x 2m－n －2＋4y m＋n ＋1＝6是二元一次方程，则m ，n的值为( )A ．m ＝1，n ＝－1B ．m ＝－1，n ＝1C ．m ＝13，n ＝－43D ．m ＝－13，n ＝43(2)已知x 、y 是二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝3，2x ＋4y ＝5的解，则代数式x 2－4y 2的值为____________________．类型二 二元一次方程(组)的解法例2 解方程(组)：(1)方程x ＋3y ＝9的正整数解是________；(2)(2015·成都)⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝5，3x －2y ＝－1，(2)⎩⎪⎨⎪⎧2（x －y ）3－x ＋y 4＝－112，3（x ＋y ）－2（2x －y ）＝3.2．解方程组：(1)(2015·聊城)⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝5，2x ＋y ＝4；(2)1－6x ＝3y －x 2＝x ＋2y3.类型三 二元一次方程组的综合问题例3 已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＝3，ax ＋by ＝－1与⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ＝11，2ax ＋3by ＝3的解相同，求a ，b 的值．例4 (2016·枣庄)P n 表示n 边形的对角线的交点个数(指落在其内部的交点)，如果这些交点都不重合，那么P n 与n 的关系式是：P n ＝n （n －1）24·(n 2－an ＋b)(其中，a ，b 是常数，n ≥4)(1) 通过画图，可得四边形时，P 4＝ (填数字)；五边形时，P 5＝ (填数字)；(2)请根据四边形和五边形对角线交点的个数，结合关系式，求a ，b 的值．3．已知方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝n ，3x ＋5y ＝n ＋2的解x ，y 的和为12，求n 的值．4.当m 取什么值时，方程x ＋2y ＝2，2x ＋y ＝7，mx －y ＝0有公共解．类型四 二元一次方程组的应用例5 (2015·佛山)某景点的门票价格如下表：某校七年级(1)、(2)两班计划去游览该景点，其中(1)班人数少于50人，(2)班人数多于50人且少于100人．如果两班都以班为单位单独购票，则一共支付1118元，如果两班联合起来作为一个团体购票，则只需花费816元．(1)两个班各有多少名学生？(2)团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少钱？5．八(1)班五位同学参加学校举办的数学竞赛，试卷中共有20道题，规定每题答对得5分，答错扣2分，未答得0分．赛后A，B，C，D，E五位同学对照评分标准回忆并记录了自己的答题情况(E同学只记得有7道题未答)，具体如下表：(1)根据以上信息，求A，B，C，D四位同学成绩的平均分；(2)最后获知：A，B，C，D，E五位同学成绩分别是95分，81分，64分，83分，58分．①求E同学的答对题数和答错题数；②经计算，A，B，C，D四位同学实际成绩平均分是80.75分，与(1)中算得的平均分不相符，发现是其中一位同学记错了自己的答题情况．请指出哪位同学记错了，并写出他的实际答题情况(直接写出答案即可)．【实际应用题】1．(2017·自贡)我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题： “一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x ，y 人，则可以列方程组__________________．2．(2017·济宁)《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，其中有一段文字的大意是：甲、乙两人各有若干钱，如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱48文；如果乙得到甲所有钱的23，那么乙也共有钱48文，甲、乙两人原来各有多少钱？设甲原有x 文钱，乙原有y 文钱，可列方程组是____________．【二元一次方程的解，二元一次方程组的解理解不清】方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －7y ＝0，x －2y ＋1＝0的解对方程2x －3y ＝－5而言( )A ．是这个方程的唯一解B ．是这个方程的一个解C ．不是这个方程的解D ．以上结论都不对第8讲一元二次方程及其应用1．一元二次方程的概念及解法2.一元二次方程根的判别式1．(2015·温州)若关于x的一元二次方程4x2－4x＋c＝0有两个相等实数根，则c的值是()A．－1 B．1 C．－4 D．42．(2017·舟山)用配方法解方程x2＋2x－1＝0时，配方结果正确的是()A．(x＋2)2＝2 B．(x＋1)2＝2C．(x＋2)2＝3 D．(x＋1)2＝33．(2017·丽水)解方程：(x－3)(x－1)＝3.【问题】给出以下方程①3x＋1＝0；②x2－2x＝8；③1x－3－2x3－x＝1.(1)是一元二次方程的是__________；(2)求出(1)中的一元二次方程的解，并联想还有其他的解法吗？(3)通过(1)(2)问题解决，你能想到一元二次方程的哪些知识？类型一 一元二次方程的有关概念例1 (1)关于x 的方程(a －6)x 2－8x ＋6＝0有实数根，则整数a 的最大值是________． (2)若x ＝1是一元二次方程ax 2＋bx －40＝0的一个解，且a ≠b ，则a 2－b 22a －2b的值为________．(3)关于x 的方程a(x ＋m)2＋b ＝0的解是x 1＝－2，x 2＝1，(a ，m ，b 均为常数，a ≠0)，则方程a(x ＋m ＋2)2＋b ＝0的解是________．1．(1)(2016·南京模拟)关于x 的一元二次方程(a 2－1)x 2＋x －2＝0是一元二次方程，则a 满足( )A ．a ≠1B ．a ≠－1C ．a ≠±1D ．为任意实数(2)已知x ＝1是一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的一个根，则m 2＋2mn ＋n 2的值为____________________．类型二 一元二次方程的解法例2 解下列方程： (1)(3x －1)2＝(x ＋1)2； (2)2x 2＋x －12＝0.2．解方程：(1)(2x－1)2＝x(3x＋2)－7；(2)x(x－2)＋x－2＝0.类型三一元二次方程根的判别式例3(1)(2017·潍坊)若关于x的一元二次方程kx2－2x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是________．(2)(2015·台州)关于x的方程mx2＋x－m＋1＝0，有以下三个结论：①当m＝0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是________(填序号)．【解后感悟】在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，需要把握根的三种存在情况：b2－4ac≥0，方程有实数根(两个相等或两个不相等)；b2－4ac＜0，无实数根．3．已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，当b＜0时必有实数解”，能说明这个命题是假命题的一个反例是()A．b＝－1 B．b＝2 C．b＝－2 D．b＝04．若关于x的一元二次方程kx2＋4x＋3＝0有实根，则k的非负整数值是____________________．5．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0(a≠0)有两个相等的实数根，求ab2的值．（a－2）2＋b2－4类型四 与几何相关的综合问题例4在宽为20m ，长为32m 的矩形田地中央修筑同样宽的两条互相垂直的道路，把矩形田地分成四个相同面积的小田地，作为良种试验田，要使每小块试验田的面积为135m 2，则道路的宽为________m .(2)(2016·张家口模拟)如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a ＝1，则b ＝________．(3)(2015·广安)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2－7x ＋10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是________．6．(1)(2016·台湾)如图的六边形是由甲、乙两个长方形和丙、丁两个等腰直角三角形所组成，其中甲、乙的面积和等于丙、丁的面积和．若丙的一股长为2，且丁的面积比丙的面积小，则丁的一股长为何？( )A .12B .35C ．2－3D ．4－2 3(2)一个直角三角形的两条边长是方程x 2－7x ＋12＝0的两个根，则此直角三角形的面积等于 .(3)有一块长32cm ，宽24cm 的长方形纸片，如图，在每个角上截去相同的正方形，再折起来做成一个无盖的盒子，已知盒子的底面积是原纸片面积的一半，则盒子的高是____________________cm .类型五一元二次方程在生活中的应用例5(1)(2017·济宁市任城区模拟)某种数码产品原价每只400元，经过连续两次降价后，现在每只售价为256元，则平均每次降价的百分率为________．(2)某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都要赛一场)计划安排15场比赛，则参加比赛的球队应有________队．(3)商场在促销活动中，将标价为200元的商品，在打a折的基础上再打a折销售，现该商品的售价为128元，则a的值是________．(4)将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销量就要减少10个，为了赚8000元利润，则应进货________个．7．(1)(2016·宁波市镇海区模拟)毕业典礼后，九年级(1)班有若干人，若每人给全班的其他成员赠送一张毕业纪念卡，全班共送贺卡1190张，则九年级(1)班人数为____________________人．(2)(2017·山西模拟)将一些半径相同的小圆按如图的规律摆放，请仔细观察，第____________________个图形有94个小圆．【探索研究题】1．(1)(2017·温州)我们知道方程x2＋2x－3＝0的解是x1＝1，x2＝－3，现给出另一个方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)－3＝0，它的解是()A．x1＝1，x2＝3B．x1＝1，x2＝－3C．x1＝－1，x2＝3 D．x1＝－1，x2＝－3(2)(2017·宁波市北仑区模拟)已知m是方程x2－2017x＋1＝0的一个根，则代数式m2－2018m＋m2＋12017＋3的值是________．【忽视一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)中“a≠0”】已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是________．第9讲方程(组)的应用1．(2017·杭州)某景点的参观人数逐年增加，据统计，2014年为10.8万人次，2016年为16.8万人次．设参观人次的平均年增长率为x，则()A．10.8(1＋x)＝16.8B．16.8(1－x)＝10.8C．10.8(1＋x)2＝16.8D．10.8[(1＋x)＋(1＋x)2]＝16.82．(2017·台州)滴滴快车是一种便捷的出行工具，计价规则如下表：小王与小张各自乘坐滴滴快车，行车里程分别为6公里和8.5公里，如果下车时所付车费相同，那么这两辆滴滴快车的行车时间相差()A．10分钟B．13分钟C．15分钟D．19分钟【问题】小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．(1)按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装？(2)通过(1)解答，请你谈谈方程应用性问题，应注意哪些方面？解题的一般步骤怎样？类型一一元一次方程的应用例1(1)七年级(2)班有46人报名参加文学社或书画社．已知参加文学社的人数比参加书画社的人数多10人，两社都参加的有20人，则参加书画社的有________人．(2)有两根同样长度但粗细不同的蜡烛，粗蜡烛可以燃烧6小时，细蜡烛可以燃烧4小时，一次停电，同时点燃两根蜡烛，来电后同时吹灭，发现剩下的粗蜡烛长度是细蜡烛长度的两倍，则停电时间是________小时．(3)一件商品成本为x元，商店按成本价提高40%后作为标价出售，节日期间促销，按标价打8折后售价为1232元，则成本价x＝________元．(4)自来水公司为鼓励节约用水，对水费按以下方式收取：用水不超过10吨，每吨按0.8元收费，超过10吨的部分按每吨1.5元收费，王老师三月份平均水费为每吨1.0元，则王老师家三月份用水________吨．1．(1)(2016·聊城)在如图的2016年6月份的月历表中，任意框出表中竖列上三个相邻的数，这三个数的和不可能是()A.27 B．51C．69 D．72(2)(2015·丽水模拟)诗云：“远望巍巍塔七层，灯光点点倍加增，共灯三百八十一，试问尖头几盏灯？”请回答：____________________.(3)如图是由若干个粗细均匀的铁环最大限度地拉伸组成的链条．已知铁环粗0.8厘米，每个铁环长5厘米．设铁环间处于最大限度的拉伸状态．若要组成1.75米长的链条，则需要____________________个铁环．类型二二元一次方程组的应用例2(1)若买3支圆珠笔、1本日记本共需10元；买1支圆珠笔、3本日记本共需18元，则日记本的单价比圆珠笔的单价多________元．(2)如图，将图1的正方形剪掉一个小正方形，再沿虚线剪开，拼成如图2的长方形．已知长方形的宽为6，长为12，则图1正方形的边长为________．(3)商店里把塑料凳整齐地叠放在一起，据图的信息，当有10张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是________cm.2．(1)(2017·安徽模拟)如图，母亲节那天，很多同学给妈妈准备了鲜花和礼盒．从图中信息可知，买5束鲜花和5个礼盒的总价为____________________元．(2)如图，10块相同的长方形墙砖拼成一个矩形，设长方形墙砖的长和宽分别为x厘米和y厘米，则依题意列方程组是____________________．(3)为了合理使用电力资源，缓解用电紧张状况，我国电力部门出台了使用“峰谷电”的政策及收费标准(如图表)．已知王老师家4月份使用“峰谷电”95千瓦时，缴电费43.40元，问王老师家4月份“峰电”和“谷电”各用了多少千瓦时？设王老师家4月份“峰电”用了x千瓦时，“谷电”用了y千瓦时，根据题意可列方程组____________________.类型三一元二次方程的应用例3(1)如图，某小区有一块长为30m，宽为24m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为480m2，两块绿地之间及周边有宽度相等的人行通道，则人行通道的宽度为________m.(2)某西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜，以3元/千克的价格出售，每天可售出200千克．为了促销，该经营户决定降价销售．经调查发现，这种小型西瓜每降价0.1元/千克，每天可多售出40千克．另外，每天的房租等固定成本共24元．该经营户要想每天盈利200元，应将每千克小型西瓜的售价降低________元．(3)美化环境，改善居住环境已成为城乡建设的一项重要内容，某区计划用两年时间使全区绿化面积增加21%，则这两年全区绿化面积的年平均增长率应是________．3．(1)(2017·宁海模拟)某次商品交易会上，所有参加会议的商家每两家之间都签订了一份合同，共签订合同36份．共有____________________家商家参加了交易会．(2)平行四边形ABCD的边长如图所示，四边形ABCD的周长为____________________．(3)(2017·杭州模拟)两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元．随着生产技术的进步，成本逐年下降，第2年的年下降率是第1年的年下降率的2倍，现在生产1吨甲种药品成本是2400元．为求第一年的年下降率，假设第一年的年下降率为x，则可列方程____________________．类型四分式方程的应用例4(1)(2017·慈溪模拟)某漆器厂接到制作480件漆器的订单，为了尽快完成任务，该厂实际每天制作的件数比原来每天多50%，结果提前10天完成任务，原来每天制作________件．(2)(2017·瑞安模拟)在“校园文化”建设中，某校用8000元购进一批绿色植物，种植在礼堂前的空地处．根据建设方案的要求，该校又用7500元购进第二批绿色植物．若两次所买植物的盆数相同，且第二批每盆的价格比第一批的少10元．则第二批绿植每盆的价格为________元．(3)(2017·宁波模拟)某感冒药用来计算儿童服药量y的公式为y＝axx＋12，其中a为成人服药量，x为儿童的年龄(x≤13)．如果一个儿童服药量恰好占成人服药量的一半，那么他的年龄是________．4．(1)(2016·淄博)某快递公司的分拣工小王和小李，在分拣同一类物件时，小王分拣60个物件所用的时间与小李分拣45个物件所用的时间相同．已知小王每小时比小李多分拣8个物件，设小李每小时分拣x个物件，根据题意列出的方程是____________________．(2)某班在“世界读书日”开展了图书交换活动，第一组同学共带图书24本，第二组同学共带图书27本．已知第一组同学比第二组同学平均每人多带1本图书，第二组人数是第一组人数的1.5倍，则第一组的人数为____________________．(3)(2017·绍兴模拟)目前，步行已成为人们最喜爱的健身方法之一，通过手机可以计算行走的步数与相应的能量消耗．对比手机数据发现：小琼步行13500步与小刚步行9000步消耗的能量相同，若每消耗1千卡能量小琼行走的步数比小刚多15步，求小刚每消耗1千卡能量需要行走____________________步．【实际应用题】(2017·衢州)根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市近5年国民生产总值数据如图1所示，2016年国民生产总值中第一产业，第二产业，第三产业所占比例如图2所示．请根据图中信息，解答下列问题：(1)求2016年第一产业生产总值；(精确到1亿元)(2)2016年比2015年的国民生产总值增加了百分之几？(精确到1%)(3)若要使2018年的国民生产总值达到1573亿元，求2016年至2018年我市国民生产总值的年平均增长率．(精确到1%)【寻找等量关系欠仔细】要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x 个队参赛，则x 满足的关系式为( )A .12x(x ＋1)＝28B .12x(x －1)＝28C ．x(x ＋1)＝28 D ．x(x －1)＝28第10讲不等式与不等式组1．不等式的概念及性质2.一元一次不等式(组)的解法及应用1．(2015·嘉兴)一元一次不等式2(x ＋1)≥4的解在数轴上表示为( )2．(2015·丽水)如图，数轴上所表示关于x 的不等式组的解集是( )A ．x ≥2B ．x>2C ．x>－1D ．－1<x ≤23．(2017·湖州)一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x>x －1，12x ≤1的解集是( )A ．x ＞－1B ．x ≤2C ．－1＜x ≤2D ．x ＞－1或x ≤24．(2016·金华)不等式3x ＋1＜－2的解集是____________________．5．(2017·衢州)解下列一元一次不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧12x ≤2，3x ＋2＞x.【问题】给出以下不等式：①2x ＋5<4(x ＋2)，②x －1<23x ，③1x －1>0，④x －1≤8－4x.(1)上述不等式是一元一次不等式的是________；(2)上述不等式中，选取其中二个一元一次不等式，并求其公共解． (3)选取其中一个一元一次不等式，使其只有一个正整数解．(4)通过以上问题解答的体会，解一元一次不等式(组)要注意哪些问题？类型一 不等式的基本性质例1 (1)若x ＞y ，则下列式子中错误的是( ) A ．x －3＞y －3 B .x 3＞y3C ．x ＋3＞y ＋3D ．－3x ＞－3y(2)若实数a ，b ，c 在数轴上对应位置如图所示，则下列不等式成立的是( )A ．ac ＞bcB ．ab ＞cbC ．a ＋c ＞b ＋cD ．a ＋b ＞c ＋b(3)设a 、b 、c 表示三种不同物体的质量，用天平称两次，情况如图所示，则这三种物体的质量从小到大排序正确的是( )A ．c ＜b ＜aB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c1．(2016·大庆)当0<x<1时，x 2、x 、1x 的大小顺序是( )A ．x 2<x<1xB .1x <x<x 2C .1x <x 2<xD ．x<x 2<1x类型二 一元一次不等式的解法例2 解不等式：x ＋12＋x －13≤1.2．(1)(2016·绍兴)不等式3x ＋134>x3＋2的解是____________________．(2)(2015·南京)解不等式2(x ＋1)－1≥3x ＋2，并把它的解集在数轴上表示出来．类型三 一元一次不等式组的解法例3 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋5≤3（x ＋2），2x －1＋3x2<1，把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数解．3．解不等式组：(1)(2015·泰州)⎩⎪⎨⎪⎧x －1>2x ，12x ＋3<－1；(2)⎩⎪⎨⎪⎧3（x ＋2）＞x ＋8，x 4≥x －13，并把它的解集在数轴上表示出来．类型四 不等式的解的应用例4 (1)(2017·丽水)若关于x 的一元一次方程x －m ＋2＝0的解是负数，则m 的取值范围是( )A ．m ≥2B ．m ＞2C ．m ＜2D ．m ≤2(2)若关于x 的一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －2m ＜0，x ＋m ＞2有解，则m 的取值范围为( )A ．m ＞－23B ．m ≤23C ．m ＞23D ．m ≤－234．(1)(2016·通州模拟)如果不等式(a －3)x>a －3的解集是x>1，那么a 的取值范围是( ) A ．a<3 B ．a>3 C ．a<0 D ．a>0(2)(2017·金华)若关于x 的一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1>3（x －2），x<m 的解是x ＜5，则m 的取值范围是( )A ．m ≥5B ．m ＞5C ．m ≤5D ．m ＜5【阅读理解题】(2017·湖州)对于任意实数a ，b ，定义关于“⊗”的一种运算如下：a ⊗b ＝2a －b.例如：5⊗2＝2×5－2＝8，(－3)⊗4＝2×(－3)－4＝－10.(1)若3⊗x ＝－2011，求x 的值； (2)若x ⊗3＜5，求x 的取值范围．【求不等式组中字母系数范围出错】如果一元一次不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x>3，x<a 关于x 的整数解为4，5，6，7，则a 的取值范围是( )A ．7<a ≤8B ．7≤a<8C ．a ≤7D ．a ≤8第11讲 一元一次不等式的应用1．(2017·台州)商家花费760元购进某种水果80千克，销售中有5%的水果正常损耗，为了避免亏本，售价至少应定为____________________元/千克．2．(2016·衢州)光伏发电惠民生，据衢州晚报载，某家庭投资4万元资金建造屋顶光伏发电站，遇到晴天平均每天可发电30度，其他天气平均每天可发电5度，已知某月(按30天计)共发电550度．(1)求这个月晴天的天数；(2)已知该家庭每月平均用电量为150度，若按每月发电550度计，至少需要几年才能收回成本(不计其他费用，结果取整数)．【问题】铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160cm ，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30cm ，长与宽的比为3∶2.(1)请你根据以上信息，求出该行李箱的长的最大值；(2)通过问题(1)的解决，请你从分析问题和解决问题角度谈谈看法．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理利用不等式(组)解决实际问题的分析方法和一般步骤，以及要注意的问题．类型一列不等式求字母的取值范围的应用例1 (1)(2017·江西)函数y ＝x －2中，自变量x 的取值范围是________． (2)(2015·临海模拟)点(a ，a ＋2)在第二象限，则a 的取值范围是________．(3)(2017·上海市杨浦区模拟)若一次函数y ＝(1－2k)x ＋k 的图象经过第一、二、三象限，则k 的取值范围是________．(4)对于实数x ，我们规定[x]表示不大于x 的最大整数，例如[1.2]＝1，[3]＝3，[－2.5]＝－3，若⎣⎡⎦⎤x ＋410＝5，则x 的取值是________．1．(1)(2016·兰州)双曲线y ＝m －1x在每个象限内，函数值y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是 .(2)(2017·济宁模拟)已知二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象与x 轴没有交点，则k 的取值范围为____________________．(3)(2015·武威)定义新运算：对于任意实数a ，b 都有：a ⊕b ＝a(a －b)＋1，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算．如：2⊕5＝2×(2－5)＋1＝2×(－3)＋1＝－5，那么不等式3⊕x<13的解集为____________________．类型二不等式的应用例2(1)(2017·南京模拟)铁路部门规定旅客免费携带行李箱的长、宽、高之和不超过160cm，某厂家生产符合该规定的行李箱，已知行李箱的高为30cm，长与宽的比为3∶2，则该行李箱的长的最大值为________cm；(2)(2017·杭州模拟)某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打________折；(3)(2017·株洲模拟)为了举行班级晚会，孔明准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元．如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，则孔明买球拍________个．2．(1)如图是某机器零件的设计图纸，在数轴上表示该零件长度(L)合格尺寸，正确的是()(2)(2017·绍兴模拟)小美将某服饰店的促销活动内容告诉小明后，小明假设某一商品的定价为x元，并列出关系式为0.3(2x－100)＜1000，则下列何者可能是小美告诉小明的内容？()A．买两件等值的商品可减100元，再打3折，最后不到1000元B．买两件等值的商品可减100元，再打7折，最后不到1000元C．买两件等值的商品可打3折，再减100元，最后不到1000元D．买两件等值的商品可打7折，再减100元，最后不到1000元(3)(2017·杭州市江干区模拟)某次数学测验中共有20道题目，评分办法：答对一道得5分，答错一道扣2分，不答得0分．某学生有一道题未答，那么这个同学至少要答对____________________道题，成绩才能在80分以上．类型三不等式与方程(组)结合的应用例3(2017·宁波)2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作高峰论坛在北京举。
中考数学专题复习第2章方程与不等式第6讲一元二次方程
第6讲 一元二次方程☞【基础知识归纳】☜☞归纳1。
一元二次方程：在整式方程中，只含有 1 个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程 叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式是 ()200ax bx c a ++=≠ 其中2ax 叫做二次项，bx 叫做一次项，c 叫做常数项；a 叫做二次项的系数，b 叫做一次项的系数。
☞归纳2。
一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如)0(2≥=a a x 或)0()(2≥=-a a b x（2)配方法：用配方法解一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数； ②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项， ③配方,即方程两边都加上一次项系数一半的平方， ④化原方程为2()x m n +=的形式，⑤如果是0n ≥,就可以用直接开平方求出方程的解. 如果0n <，则原方程无解。
（3）公式法：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的求根公式是242b b ac x a--=2(40)b ac -≥（4）因式分解法:因式分解法的一般步骤是： ①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程， 它们的解就是原一元二次方程的解.☞归纳3。
一元二次方程根的判别式:关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的根的判别式为24b ac -。
（1）240b ac -> ⇔ 一元二次方程有两个 不相等 实数根, （2）240b ac -= ⇔ 一元二次方程有 两个 相等的实数根， (3)240b ac -< ⇔ 一元二次方程 没有 实数根。
☞【常考题型剖析】☜☺ 题型一 一元二次方程的有关概念 【例1】下列为一元二次方程的是（ ）A2310x -+= B.0232=-+xx C.02=+-c bx ax D 。
中考数学总复习 第二章 方程与不等式 第6课 一元一次方程课件
题型精析
题型一 等式的基本性质
要点回顾：等式的基本性质 2 的符号表达式：若 a＝b，则 a·d＝b·d，a
÷d＝b÷d (d≠0)．
【例 1】 (2015·秦淮区一模)如果用“a＝b”表示一个等式，c 表示一个
整式，d 表示一个数，那么等式的第一条性质就可以表示为“a±c＝b±c”，
以下借助符号正确的表示出等式的第二条性质的是( )
2．将方程 3x＋2x－3 1＝3－x＋2 1去分母，正确的是( A ) A. 18x＋2(2x－1)＝18－3(x＋1)
B. 3x＋(2x－1)＝3－(x＋1)
C. 18x＋(2x－1)＝18－(x＋1)
D. 3x＋2(2x－1)＝3－3(x＋1)
3．永州市双牌县的阳明山风光秀丽，历史文化源远流长，尤以山顶数万
(C ) A. 10：00
B. 12：00
C. 13：00
D. 16：00
4．若(2m－4)x|2m－3|＝8 是关于 x 的一元一次方程，则 m 的值是( B )
A. 任何数
B. 1
C. 2
D. 1 或 2
5．关于 x 的方程 2x－4＝3m 和 x＋2＝m 有相同的解，则 m 的值是( B )
为广告牌上补上原价__2_5_0_元．
(第 8 题图)
易错警示 易错易混点：解法错误，生搬硬套 【例题】 小华同学在解方程 5x－1＝( )x＋3 时，把“( )”处的 数字看成了它的相反数，解得 x＝2，则该方程的正确解应为 x＝________． 【错误原型】 没有先求出其中一个未知数，而无从入手．
解析 根据一元一次方程的定义知 m2－1＝0，且－m－1≠0，据此可 以求得代数式的值．
答案 ∵(m2－1)x2－(m＋1)x＋8＝0 是关于 x 的一元一次方程，∴m2－ 1＝0，∴m＝±1.
中考数学第一轮复习精品讲解第二单元方程(组)与不等式(组)(共138张PPT)
第6讲 │ 考点随堂练
x＋1 2x－3 3．解方程 2 － 6 ＝1，去分母正确的是( D ) A．3(x＋1)－2x－3＝6 B．3(x＋1)－2x－3＝1 C．3(x＋1)－(2x－3)＝12 D．3(x＋1)－(2x－3)＝6 x＋1 2x－3 [解析]在方程的两边同时乘6,6× 2 －6× 6 ＝1×6， 所以3(x＋1)－(2x－3)＝6.
解：设用x立方米做桌面， 用y立方米做桌腿，根据题意 x＋y＝6， 得， 300y＝3×50x，
x＝4， 解方程组，得 y＝2，
即用4立方米做桌面，用2立方米做桌腿，刚好配套． 可以做出的圆桌为4×50＝200(张)．
·新课标
第6讲 │ 考点随堂练
·新课标
第6讲 │ 归类示例
17 等式性质2 (____________)，得 x＝－ 5 (____________)． 系数化为1
·新课标
第6讲 │ 归类示例
3x＋5 2x－1 解：原方程可变形为 2 ＝ 3 (分式的基本性质)； 去分母，得 3(3x＋5)＝2(2x－1)(等式性质 2)； 去括号，得 9x＋15＝4x－2(去括号法则或乘法分配律)； (移项)，得 9x－4x＝－15－2(等式性质 1)； 合并，得 5x＝－17(合并同类项)； 17 (系数化为 1)，得 x＝－ 5 (等式性质 2)．
[解析]由于56＞0.50×100＝50，∴该居民用电量超过了基 本用电量(a度)，依题意得0.50a＋(100－a)[(1＋20%)× 0.50] ＝56，解得a＝40.
·新课标
第6讲 │ 考点随堂练
15．小刚说：“我买一本笔记本和4支钢笔，刚好18元”，小明 说：“我买一本笔记本和一支钢笔，刚好6元”．聪明的你根据 他们的对话内容，求出一本笔记本和一支钢笔各多少元？
中考数学总复习 第二单元 方程(组)与不等式(组)第06课时 一元二次方程课件
.
第八页，共二十三页。
高频考向探究
探究(tànjiū)一
解一元二次方程
[解析] 方程特征:二次项系数均为 1,一次项
例 1 (1)根据要求,解答下列问题.
系数分别为-2,-3,-4,…,常数项分别为
①方程 x -2x+1=0 的解为
2
②方程 x -3x+2=0 的解为
2
.
(1)增长率=增量÷基础量;
增长率问题
(2)设 a 为原来的量,m 为平均增长率,n 为增长次数,b 为增长后的量,则
a(1+m)n=b;当 m 为平均下降率时,a(1-m)n=b
应用类型
利率问题
销售利润问题
等量关系
(1)本息和=本金+利息;(2)利息=本金×利率×期数
(1)毛利润=售出价-进货价;(2)纯利润=售出价-进货价-其他费用;
2)=k2-2k+1=(k-1)2≥0,∴方程总有两
(2)若方程有一根小于 1,求 k 的取值范围.
个实数根.
(2)∵x2-(k+3)x+2k+2=(x-2)(x-k-1)=0,
∴x1=2,x2=k+1.
∵方程有一个根小于 1,∴k+1<1,
∴k<0,即 k 的取值范围为:k<0.
第十三页，共二十三页。
.
的解为 x1=1,x2=n.
(3)请用配方法解方程 x2-9x+8=0,以验证猜想结论的正确性.
第九页，共二十三页。
81
81
4
4
(3)x2-9x+8=0,x2-9x=-8,x2-9x+ =-8+ ,
最新届中考数学方程(组)与不等式(组)复习知识点总结及经典考题选编
中考数学方程(组)与不等式（组）复习知识点总结一、方程【知识梳理】1、知识结构方程分式方程的应用分式方程的解法分式方程的概念分式方程的关系根的判别式，根与系数一元二次方程的解法念一元二次方程的有关概一元二次方程二元一次方程组的应用二元一次方程组的解法二元一次方程组一元一次方程的应用一元一次方程的解法一元一次方程整式方程2、知识扫描(1)只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的整式方程，叫做一元一次方程。
(2)含有2个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1次，这样的方程叫二元一次方程.(3)含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组.(4)二元一次方程组的解法有法和法.(5)只含有1 个未知数，并且未知数的最高次数是2且系数不为0的整式方程，叫做一元二次方程，其一般形式为)0(02a cbx ax。
(6)解一元二次方程的方法有：①直接开平方法；②配方法；③公式法；④因式分解法例：（1）042x（2）0342x x（3）4722x x （4）0232x x(7)一元二次方程的根的判别式：ac b42叫做一元二次方程的根的判别式。
对于一元二次方程)0(02a cbx ax当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△＝0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根；反之也成立。
(8)一元二次方程的根与系数的关系：如果)0(02acbx ax的两个根是21,x x 那么ab x x 21，ac x x 21(9)一元二次方程)0(02a cbx ax的求根公式：)04(2422ac baacb bx(10)分母中含有未知数的方程叫分式方程.(11)解分式方程的基本思想是将分式方程通过去分母转化为整式方程.◆解分式方程的步骤◆1、去分母，化分式方程为整式方程；◆2、解这个整式方程；◆3、验根。
注意：(1)解分式方程的基本思想是“转化”，即把分式方程化为我们熟悉的整式方程，转化的途径是“去分母”，即方程两边都乘以最简公分母．(2)因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程必须检验，检验是解分式方程必要的步骤．二、不等式【知识梳理】1、知识结构解法性质概念不等式2、知识扫描(1) 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不为 0 的不等式，叫做一元一次不等式。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.“a≠0”是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的重要 组成部分，如果明确了 ax2＋bx＋c＝0 是一元二次方程，就隐 含了 a≠0 这个条件，当 a＝0，b≠0 时，它就成为一元一次 方程.若方程 ax2＋bx＋c＝0 未指明 a≠0，则它不一定是一元 二次方程.
巩固提升
1．下列方程一定是关于x的一元二次方程的是( C )
A．x＝3
B．x1＝3，x2＝－3
C．x＝ 3
D．x1＝ 3，x2＝－ 3
命题点2 一元二次方程根的判别式(8年3考)
3．(2017·河南6题)一元二次方程2x2－5x－2＝0的根的情况 是( B ) A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根
4．(2016·河南11题)若关于x的一元二次方程x2＋3x－k＝0有 两个不相等的实数根，则k的取值范围是__k_＞__－__94___. 5．(2015·河南19题)已知关于x的一元二次方程(x－3)(x－2)＝ |m|. (1)求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．
命题点1 解一元二次方程(8年2考) 命题点2 一元二次方程根的判别式(8年3考)
命题点1 解一元二次方程(8年2考)
1．(2013·河南3题)方程(x－2)(x＋3)＝0的解( D )
A．x＝2
B．x＝－3
C．x1＝－2，x2＝3
D．x1＝2，x2＝－3
2．(2010·河南5题)方程x2－3＝0的根是( D )
判别式与根的关系：当Δ＞0时，方程有_两__个__不__相__等____ 的实数根；当Δ＝0时，方程有_两__个__相__等___的实数根；当Δ＜0 时，方程___没__有____实数根．反之，也成立．
2．一元二次方程根与系数的关系(选学内容) 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根为 x1，x2，则x1＋x2＝_－__ba__，x1·x2＝___a_c__. 3．以两个数x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1) 是_x_2_－__(_x_1＋__x_2_)_x_＋__x_1x_2_＝__0_.
第二章 方程(组)与不等式(组)
第6讲 一元二次方程及其应用(3～9分)
【版本导航】人教：九上第二十一章 P1—P26； 北师：九上第二章 P30—P58； 华师：九上第二十二章 P17—P46.
一元二次方程及其解法不属于中考的必考内容，但在解 答题中应用一元二次方程解决问题非常普遍，预计以后对其 可能会加大考查的力度，在复习时应给予足够的重视．
【答案】 B
1.构成一元二次方程的四个条件：①等式两边都是是整 式方程；②只含有一个未知数(一元)；③未知数的最高次数是 2(二次)；④能化成 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的形式.不满足其中任 何一个条件的方程都不是一元二次方程.
2.这里说的整式是关于未知数的整式，在有些含有字母 系数的方程中，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有 未知数，这样的方程仍是整式方程.
方程叫做一元二次方程．
2．解一元二次方程的基本思路是_降__次_____，基本解法有： __直___接__开__平__方___法、__配__方__法__、公__式___法__、_因___式__分__解__法___；
还可以用图象法估算一元二次方程的近似根．
考点二 根的判别式及应用
1．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判 别式为b2－4ac，记作Δ＝b2－4ac.
类型1 一元二次方程的定义 类型2 一元二次方程的解 类型3 一元二次方程根的判别式 类型4 一元二次方程的应用
类型1 一元二次方程的定义
下列方程是一元二次方程的是( )
A．x2－y＝1
B．x2＋2x－3＝0
C．x2＋1x＝3
D．x－5y＝6
【解析】 选项 A 中，有 x，y 两个未知数，属于二元，不是 一元二次方程，A 错误；选项 B 中，等式两边都是整式，只 含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2(二次)， 是一元二次方程，B 正确；选项 C 中，等式左边有分式，不 是一元二次方程，C 错误；选项 D 中，含有 x，y 两个未知数， 并且未知数的最高次数是 1，不是一元二次方程，D 错误，故 选 B.
(1)证明：一元二次方程(x－3)(x－2)＝|m|化成一般形式 为x2－5x＋6－|m|＝0.
∵Δ＝25－4(6－|m|)＝1＋4|m|＞0， ∴对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根； (2)解：把x＝1代入x2－5x＋6－|m|＝0，得|m|＝2， ∴m＝±2. 解方程x2－5x＋6－2＝0，得x1＝1，x2＝4， 即方程的另一个根为x＝4.
A．x2＋1x＝1 C．(x＋1)(x－2)＝1
考点一 一元二次方程的概念及一般解法（高频考点） 考点二 根的判别式及应用 考点三 一元二次方程的实际应用
考点一 一元二次方程的概念及一般解法（高频考点）
1．只含有____1__个未知数 x 的整式方程，并且能化成 _a_x_2_＋__b_x_＋ ___c_＝__0_(_a_，__b_，__c_为___常__数__，__a_≠__0_)___的形式，这样的
考点三 一元二次方程的实际应用
1．增长率问题 (1)增长率＝增 基长 础量 量×100%； (2)设a为原来的量，m为平均增长率，n为增长次数，b 为增长后的量，则___a_(1_＋__m__)n_＝__b___，当m为平均下降率，n 为下降次数，b为下降后的量时为__a_(1_－__m__)n_＝__b___.
2．利率问题：本息和＝本金＋利息；利息＝ __本__金__×__年__利__率__×__年__数_____. 3．销售利润问题：利润＝售价－成本； 利润率＝利 成润 本×100%. 4．列一元二次方程解决实际问题的一般步骤与解一元一 次方程应用题的一般步骤相同，关键是分析清楚题中的等量 关系，然后列出方程并求解． 注意：解方程后既要检验所求结果是否为所列方程的解， 还要检验是否为原问题的解.