【精品PPT课件】微分几何共177页文档
合集下载
【精品PPT】微分学课件
u v,
(u+v+…+ω)′=
u vω .
（2）积的导数：(uv)′= uv uv,
特例：(cu)′= cu (c为常数).
（3）商的导数： u =
uv - uv v2 (v≠0).
v
例1 设 y x4,则 y '
例2 求 y x3 2x2 sin x 的导数 .
f (x0 )
f(x0 )
lim
x0
y x
lim x0
f (x0 x) x
f (x0 )
注意 函数在一点可导的充分必要条件为：
f' (x0 ) f' (x0 )
导函数
（1）如果函数 y f (x)在开区间(a,b)内的每一点都可导,
就称函数 f (x)在开区间(a,b) 内可导.
y
y f (x)
T
M
o
x0
x
在(x0, f (x0 ))处的
切线方程为 y y0 f ( x0 )( x x0 ). 每年都考、重点掌握！
法线方程为
y y0
f
1 ( x0
)
(
x
x0
)
(f (x0 ) 0).
例1、曲线 y 2x2在点(1,2)处的切线方程为：.
A. y x 1 B. y x C. y x 1 D. y x
例. 曲线 y 3 x 在点 (0,0) 处的切线方程为(
)
A、 x 0
B、 y 0
C、 x y
例. 设 y (1 x2 ) arctan x, 求 y/
D、不存在
微分几何第二章曲面论第一节曲面的概念ppt课件
所 决 定 的 平面面在上该叫点做 . 的 定义9 (法方向、法线) 曲 面 在 正 常 点切 处平 垂面 直
方 向 称 为 曲 面.的 法 方 向 过 该 点 平 行 于直 法线 方叫 向做 的曲 面 在
法 法 单线 .向 位 N 量 法 rn u r向 vr， urv量 .
P
rr ppt精选版 uv
如果任意两条异族曲线不相切，则称该曲线网为
正规曲线网.
注 (1)正则曲面上的曲纹 网坐 是标 正规. 网 (2)曲面的正常点总则 在曲 一面 正片上，
因而其上的曲纹是 坐正 标规 网. 网
ppt精选版
12
从 则 在 r u ( ru 事u 而 此 0 实,v r上0 u) 连 ， 邻 rr v u如 ( .u 续 0 rv ,域 果 总 v 0 ) 0 点 P,存 (0 内 u,(0因u,在 v0为,0v曲)为 0面)的 是正光一 滑常的，点 个U ， ， 邻 ru,r域 v连 续 , 于 是P点 (u0,v0)在 邻U域 所 对 应 的 正 则 曲 ，面 片 其 上 的 曲 纹 坐 标 网 是规正网. 命题1曲面在正常点的邻域 总中 可以用形如
法线方程为： XxYyZz.
p q 1
ppt精选版
19
例1求圆 (S):柱 r {R 面 co ,R ss i,n t}在任 P (一 ,t)处
解：的 r { R 切 co ,R 平 ss i ,面 t} .n ,和法线方程
r { R si,R n co ,0 }rs t,{0,0,1},
z z ( x ,y ) 或 y y ( x ,z ) 或 x x ( y ,z )
证： 设总 的点P参存 (u数0(,u表v在 00,示)v为0.)的 正常一点则 个 ，r u U( ， u 邻 0 在 ,v 0 域 ) 此 r v ( u 0 ,邻 v r0 u ) r0 v域 ,0 ,
方 向 称 为 曲 面.的 法 方 向 过 该 点 平 行 于直 法线 方叫 向做 的曲 面 在
法 法 单线 .向 位 N 量 法 rn u r向 vr， urv量 .
P
rr ppt精选版 uv
如果任意两条异族曲线不相切，则称该曲线网为
正规曲线网.
注 (1)正则曲面上的曲纹 网坐 是标 正规. 网 (2)曲面的正常点总则 在曲 一面 正片上，
因而其上的曲纹是 坐正 标规 网. 网
ppt精选版
12
从 则 在 r u ( ru 事u 而 此 0 实,v r上0 u) 连 ， 邻 rr v u如 ( .u 续 0 rv ,域 果 总 v 0 ) 0 点 P,存 (0 内 u,(0因u,在 v0为,0v曲)为 0面)的 是正光一 滑常的，点 个U ， ， 邻 ru,r域 v连 续 , 于 是P点 (u0,v0)在 邻U域 所 对 应 的 正 则 曲 ，面 片 其 上 的 曲 纹 坐 标 网 是规正网. 命题1曲面在正常点的邻域 总中 可以用形如
法线方程为： XxYyZz.
p q 1
ppt精选版
19
例1求圆 (S):柱 r {R 面 co ,R ss i,n t}在任 P (一 ,t)处
解：的 r { R 切 co ,R 平 ss i ,面 t} .n ,和法线方程
r { R si,R n co ,0 }rs t,{0,0,1},
z z ( x ,y ) 或 y y ( x ,z ) 或 x x ( y ,z )
证： 设总 的点P参存 (u数0(,u表v在 00,示)v为0.)的 正常一点则 个 ，r u U( ， u 邻 0 在 ,v 0 域 ) 此 r v ( u 0 ,邻 v r0 u ) r0 v域 ,0 ,
微分几何(第一课)[PPT课件]
![微分几何(第一课)[PPT课件]](https://img.taocdn.com/s3/m/dbd010509b6648d7c1c74631.png)
这是我们的教材
陈维恒编著的《微分几何》是北京大学微分 几何课程教材，并为普通高等教育“十五” 国家级规划教材，其前身《微分几何初步》 曾于1995年获教育部优秀教材一等奖。
本书主要介绍了微分几何方面的基础知识、 基本理论和基本方法。主要内容有：Euclid 空间的刚性运动，曲线论，曲面的局部性质， 曲面论基本定理，曲面上的曲线，高维 Euclid空间的曲面等，除第一章外其余各章 均配有习题，以巩固知识并训练解题技巧与 钻研数学的能力。 本书可作为大学数学各专业本科生的教学用 书，也可供数学教师和数学工作者参考。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
相关著作与书籍
本书共10章，第1章～第5章为第一部分， 系统讲述了三维欧氏空间中曲线、曲面的局 部几何理论和曲面的内蕴几何学，这部分内 容可作为数学专业本科生微分几何必修课教 材；第6章～第10章为第一部分，介绍有关 曲面整体理论的一些基本结果，是整体微分 几何一些经典问题选讲，它涉及数学的其它 领域，可作为高年级本科生的专业课教材或 课外阅读材料。
克莱因（德国）：1872年在德国埃尔朗根大 学作就职演讲时，阐述了《埃尔朗根纲领》， 用变换群对已有的几何学进行了分类。 在《埃尔朗根纲领》发表后的半个世纪内， 它成了几何学的指导原理，推动了几何学的发 展，导致了射影微分几何、仿射微分几何、共 形微分几何的建立。
后期应用
由于黎曼几何的发展和爱因斯坦广义相对论的 建立，微分几何在黎曼几何学和广义相对论中 得到了广泛的应用，逐渐在数学中成为独具特 色、应用广泛的独立学科。 微分几何在力学和一些工程技术问题方面有广 泛的应用，比如，在弹性薄壳结构方面，在机 械的齿轮啮合理论应用方面，都充分应用了微 分几何学的理论。
近代由于对高维空间的微分几何和对曲线、曲 面整体性质的研究，使微分几何学同黎曼几何、 拓扑学、变分学、李群代数等有了密切的关系， 这些数学分支和微分几何互相渗透，已成为现 代数学的中心问题之一。
高等数学(微积分)ppt课件
，且f'(x0)=0，则可通过二阶导数 f''(x0)的符号来判断f(x)在x0处取得极大值还是极小值。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
曲线的凹凸性与拐点
凹凸性
若函数f(x)在区间I上二阶可导，且 f''(x)>0（或<0），则称曲线y=f(x)在 I上是凹的（或凸的）。
拐点
拐点的判定
若函数f(x)在点x0处二阶可导，且 f''(x0)=0，则可通过三阶导数f'''(x0) 的符号来判断点(x0,f(x0))是否为曲线 的拐点。
THANKS
感谢观看
非线性微分方程
通过变量替换、积分等方法求解，或 利用数值方法近似求解
级数的概念与性质
级数的定义 无穷序列的部分和序列
级数的性质 加法、减法、乘法、除法、重排等性
质
级数的收敛与发散 部分和序列有极限则级数收敛，否则 发散
常见级数及其敛散性 等差级数、等比级数、调和级数、交 错级数等，通过比较法、比值法、根 值法等方法判断其敛散性
VS
极限的性质
唯一性、局部有界性、保号性、保不等式 性、迫敛性等。
极限的运算法则
极限的四则运算法则
若两个函数的极限存在，则它们的和、差、积、商（分母不为零）的极限也存在，且等于这两 个函数极限的和、差、积、商。
复合函数的极限运算法则
设函数$y=f[g(x)]$是由函数$u=g(x)$与函数$y=f(u)$复合而成，若$lim_{x
无穷小量的定义
如果函数$f(x)$当$x to x_0$(或$x to infty$)时的极限为零，那么称函数$f(x)$为当$x to x_0$(或$x to infty$)时 的无穷小量。
微分几何课件第四章第二基本形式
0, v 0 . 故 r r r 即有 v u u v . 由于 u , rv 线性无关， u 是非零常数. 由(1)和(2)得
( n r )u 0
(n r )v 0
1 n r ( n r ) r 所以 0 是常向量. 从而 S 上的
u n ru rv cos u a , sin a , 0
u a cos u 求平面 r (u, v, 0) 和圆柱面 r a , a sin a , v
因此
dn
1 a u u 1 sin , cos , 0 du u du a a a r
(u, v) n (r (u0 u, v0 v) r (u0 , v0 )) n
r (u, v) 为正则曲面，n n (u, v) 是单位法向量. 设 S : r r 向量函数 (u, v) 的一阶微分为
dr ru du rv dv
又 (nu ru ) n 0 . 故
nu ru
(1) (2)
同理有
S
nv rv
因为 是三次以上连续可微的， nuv nvu . 于是 v ru ruv nuv nvu u rv rvu
1 1 II dr dn ru du rv dv a ru du a du 2
定理1.1 正则曲面 S 是平面(或平面的一部分)， 当且仅当 S 的第二基本形式 II 0 . 证明：“”平面 S 的单位法向量 n 是常向量， 故 II dr dn 0 . nu rv M 0 nu ru L 0 ， “” 由 nu n 0 ， n 0 n 0 得 u . 同理有 v . 所以 n n0 是常向量. 于是 dr n d (r n0 ) 0 . 故 r n0 C . □
2024版大学微积分课件(ppt版)
大学微积分课件(ppt 版)目录•微积分概述•极限与连续•导数与微分•积分学•微分方程•微积分在实际问题中的应用PART01微积分概述微积分的定义与发展微积分的定义微积分是研究函数的微分与积分的数学分支，微分研究函数在某一点的变化率，而积分则是研究函数在一定区间上的累积效应。
微积分的发展微积分起源于17世纪的物理学和几何学问题，经过牛顿、莱布尼兹等数学家的努力，逐渐发展成为一门独立的数学学科。
微积分的研究对象与意义研究对象微积分的研究对象是函数，包括一元函数和多元函数，主要研究函数的性质、图像、变化率以及函数间的相互关系等。
研究意义微积分在自然科学、工程技术、社会科学等领域有着广泛的应用，如求解物理问题、优化工程设计、分析经济数据等。
微积分的基本思想与方法基本思想微积分的基本思想是通过局部近似来研究函数的整体性质，即“以直代曲”、“以不变应万变”。
基本方法微积分的基本方法包括微分法和积分法。
微分法是通过求导数来研究函数的局部性质，如单调性、极值等；积分法则是通过求原函数来研究函数的整体性质，如面积、体积等。
PART02极限与连续极限的概念与性质01极限的定义：描述函数在某一点或无穷远处的变化趋势。
02极限的性质：唯一性、局部有界性、保号性、四则运算法则。
03无穷小量与无穷大量：定义、性质及比较。
极限的运算法则与存在准则极限的四则运算法则加法、减法、乘法、除法。
极限存在准则夹逼准则、单调有界准则。
连续函数的概念与性质连续函数的定义函数在某一点连续的定义及性质。
间断点及其分类第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点）、第二类间断点。
连续函数的性质局部性质（局部有界性、局部保号性）、整体性质（有界性、最值定理、介值定理）。
连续函数的四则运算加法、减法、乘法、除法。
初等函数基本初等函数及其性质，初等函数的连续性。
复合函数的连续性复合函数连续性的判断及证明。
连续函数的运算与初等函数PART03导数与微分导数的概念与几何意义导数的定义导数的几何意义可导与连续的关系描述函数图像在某一点处的局部变化率。
【精品PPT课件】微分几何
a,
bx1与x2ayb1垂 y2 直 z,1成z2右手系
e1 a b x1
x2
e2 y1 y2
e3 z1 z2
{ y1 y2
z1 , z1 z2 z2
x1 , x1 x2 x2
y1 } y2
x1 y1 z1 5、混合积： a (b c) (a b) c x2 y2 z2
R
2、切线的方程（设曲线上的点都有是正常点）
O
设切线上任一点的径矢为 (X ,Y , Z )
则 r (t0) // r(t0) r (t0) r(t0)
2、a //
3、a, b ,
cb共面ab(a 0b)
c
0
第一节 向量函数
向量函数的概念：给出一点集G ，如果对于G 中的每一个
点 x ，有一 个确定的向量 r 和它对应，则说在 G上给定了一个向
量函数，记作 r r (x), x G, 例如
设G是实数轴上一区间
[t0 ,t] ，则得一元向量函数
回顾向量代数
一、向量的概念
1、向量的定义。
2、向量的表示
3、特殊向量（自由向量、单位向量、零向量、逆向量）
4、向量的坐标。
二、向量的运算 （几何意义）
1、加减法：a
b
{x1
x2 ,
y1
y2 ,
z1
z2}
234、、、数内外乘积积：：：aaabb{aax,bbcsyio,ns((aza},,bb)),
a
a
（3）b如果m 是常向量，b 则 有
b
b
a
（4）
m
d
r
[
(t)dt m
x r (t)dt]
微分几何的ppt
射影微分几何起始于1878年阿尔方的学位论文，后来1906年 起经以威尔辛斯基为代表的美国学派所发展，1916年起又经 以富比尼为首的意大利学派所发展。
二十世纪二、三十年代E.Cartan开创并发展了外微分形式与 活动标架法，建立起李群与微分几何之间的联系，从而为微 分几何的发展奠定了重要基础且开辟了广阔的园地，影响极 为深远。陈省身将Cartan的方法发扬光大，他关于纤维丛和 示性类的理论，建立了微分几何与拓扑的联系，是一个光辉 的里程碑。
0下载券文档一键搜索 VIP用户可在搜索时使用专有高级功能：一键搜索0下载券文档，下载券不够用不再有压力！
内容特 无限次复制特权 权 文档格式转换
VIP有效期内可以无限次复制文档内容，不用下载即可获取文档内容 VIP有效期内可以将PDF文档转换成word或ppt格式，一键转换，轻松编辑！
阅读页去广告
如果考虑洛伦茨流形到黎曼流形的调和映射，就归结为双曲型偏微 分方程的整体解的存在性问题，这方面成果国际上较少，谷超豪证 明了闵科夫斯基平面到完备黎曼流形的调和映射的柯西问题的整体 存在性定理，某些调和映射在物理学中称为非线性σ模型，是物理 学家独立地提出的。
有些微分几何学问题还必须求解“真正”非线性偏 微分方程，这是比拟线性方程的非线性程度更高 的偏微分方程，其难度更大，突出的事项是丘成 桐解决了由卡拉皮所提出的一个猜想，证明了某 种爱因斯坦-凯勒流形的存在定理，这需要求解复 蒙日-安培方程，它的非线性程度更高，需要有高 度的分析技巧。丘成桐还解决了一系列的其他的 与买的VIP时长期间，下载特权不清零。
100W优质文档免费下 载
VIP有效期内的用户可以免费下载VIP免费文档，不消耗下载特权，非会员用户需要消耗下载券/积分获取。
大学微积分课件(PPT版)
微分方程是包含未知函数及其导数的等式。
微分方程的解
满足微分方程的函数称为微分方程的解。
一阶微分方程
一阶线性微分方程
形如y'=f(x)y' = f(x)y'=f(x)y=f(x)的一阶微 分方程，可以通过分离变量法求解。
一阶非线性微分方程
形如y'=f(y/x)y' = f(y/x)y'=f(y/x)的一阶微 分方程，可以通过变量代换法求解。
定积分的计算
计算方法与技巧
定积分的计算是微积分中的重要技能。常用的计算方法包括换元法、分部积分法、牛顿-莱布尼兹公 式等。通过这些方法，可以将复杂的定积分转化为易于计算的形式。
反常积分
概念与计算方法
VS
反常积分分为无穷积分和瑕积分两种 类型。对于无穷积分，需要讨论其在 有限的区间上收敛的情况；对于瑕积 分，需要讨论其在某一点附近的收敛 情况。反常积分的计算方法与定积分 的计算方法类似，但需要注意收敛的 条件。
极限与连续性
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某点附近的变化趋势 的一种数学工具。对于函数$f(x)$，如果 当$x$趋近于$a$时，$f(x)$的值趋近于 某个确定的常数$L$，则称$L$为函数 $f(x)$在点$a$处的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性和 局部有界性等性质。这些性质有助于 我们更好地理解极限的概念和应用。
连续函数的图像
连续函数的图像是连续不断的曲线。在微积分中，我们经常需要研究连续函数的性质和 变化规律，以便更好地解决实际问题。
03
导数与微分
导数的定义与性质
要点一
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜 率。
微分方程的解
满足微分方程的函数称为微分方程的解。
一阶微分方程
一阶线性微分方程
形如y'=f(x)y' = f(x)y'=f(x)y=f(x)的一阶微 分方程，可以通过分离变量法求解。
一阶非线性微分方程
形如y'=f(y/x)y' = f(y/x)y'=f(y/x)的一阶微 分方程，可以通过变量代换法求解。
定积分的计算
计算方法与技巧
定积分的计算是微积分中的重要技能。常用的计算方法包括换元法、分部积分法、牛顿-莱布尼兹公 式等。通过这些方法，可以将复杂的定积分转化为易于计算的形式。
反常积分
概念与计算方法
VS
反常积分分为无穷积分和瑕积分两种 类型。对于无穷积分，需要讨论其在 有限的区间上收敛的情况；对于瑕积 分，需要讨论其在某一点附近的收敛 情况。反常积分的计算方法与定积分 的计算方法类似，但需要注意收敛的 条件。
极限与连续性
极限的定义与性质
极限的定义
极限是描述函数在某点附近的变化趋势 的一种数学工具。对于函数$f(x)$，如果 当$x$趋近于$a$时，$f(x)$的值趋近于 某个确定的常数$L$，则称$L$为函数 $f(x)$在点$a$处的极限。
极限的性质
极限具有唯一性、有界性、保序性和 局部有界性等性质。这些性质有助于 我们更好地理解极限的概念和应用。
连续函数的图像
连续函数的图像是连续不断的曲线。在微积分中，我们经常需要研究连续函数的性质和 变化规律，以便更好地解决实际问题。
03
导数与微分
导数的定义与性质
要点一
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线斜 率。
《微分的定义》课件
《微分的定义》PPT课件
微分是微积分的重要概念之一，在数学和科学中有着广泛的应用。本课件将 带您深入了解微分的定义、公式和应用，以及高阶导数的含义和推导。
微分的定义和意义
微分的定义
微分描述了函数在某点处的变化率，是函数瞬时变化的近似值。
微分的意义
微分帮助我们理解函数的局部行为和变化趋势，是解决许多数学和科学问题的关键。
高阶导数的定义和含义
高阶导数描述了函数变化的 更高级别，是函数变化率的 变化率。
高阶导数公式的推导
我们将讨论如何推导高阶导 数的公式，以及这些公式在 函数图像上的应用。
高阶导数的应用
高阶导数可以帮助我们更深 入地理解函数的变化特征， 解决更复杂的数学和科学问 题。
总结
微分的重要性和应用广泛性
微分是数学中的基础概念，在各 个领域都有广泛的实际应用。
微分的公式
1
对比导数和微分
导数描述了函数的整体变化率，而微分描述了函数的局部变化率。
2
微分公式的推导和应用
我们将讨论微分公式的推导过程，以及在实际问题中如何应用这些公式。
3
微分的应用
微分可以用于求函数的极值和最大值、最小值，求曲线的切线和法线方程，以及 分析函数的增减性和凸凹性。
微分中的高阶导数
学习微分需要的关键技和 知识点
学习微分需要掌握求导、函数分 析和极限等数学基础，并具备抽 象思维和问题解决能力。
建议的学习方法和实践过程
建议通过理论学习、实际问题探 索和实践运用的方式学习微分， 并与他人进行讨论和分享经验。
微分是微积分的重要概念之一，在数学和科学中有着广泛的应用。本课件将 带您深入了解微分的定义、公式和应用，以及高阶导数的含义和推导。
微分的定义和意义
微分的定义
微分描述了函数在某点处的变化率，是函数瞬时变化的近似值。
微分的意义
微分帮助我们理解函数的局部行为和变化趋势，是解决许多数学和科学问题的关键。
高阶导数的定义和含义
高阶导数描述了函数变化的 更高级别，是函数变化率的 变化率。
高阶导数公式的推导
我们将讨论如何推导高阶导 数的公式，以及这些公式在 函数图像上的应用。
高阶导数的应用
高阶导数可以帮助我们更深 入地理解函数的变化特征， 解决更复杂的数学和科学问 题。
总结
微分的重要性和应用广泛性
微分是数学中的基础概念，在各 个领域都有广泛的实际应用。
微分的公式
1
对比导数和微分
导数描述了函数的整体变化率，而微分描述了函数的局部变化率。
2
微分公式的推导和应用
我们将讨论微分公式的推导过程，以及在实际问题中如何应用这些公式。
3
微分的应用
微分可以用于求函数的极值和最大值、最小值，求曲线的切线和法线方程，以及 分析函数的增减性和凸凹性。
微分中的高阶导数
学习微分需要的关键技和 知识点
学习微分需要掌握求导、函数分 析和极限等数学基础，并具备抽 象思维和问题解决能力。
建议的学习方法和实践过程
建议通过理论学习、实际问题探 索和实践运用的方式学习微分， 并与他人进行讨论和分享经验。
【精品PPT】微分学课件
解 y eu,u x3,
dy dy du dx du dx
eu 3x2 ex3 3x2.
例2 求函数 y ln sin x 的导数.
解 y ln u, u sin x.
dy dy du 1 cos x cos x cot x
y
y f (x)
T
M
o
x0
x
在(x0, f (x0 ))处的
切线方程为 y y0 f ( x0 )( x x0 ). 每年都考、重点掌握！
法线方程为
y y0
f
1 ( x0
)
(
x
x0
)
(f (x0 ) 0).
例1、曲线 y 2x2在点(1,2)处的切线方程为：.
x
2
1
1 2
2x x2
1
y
x
2
1
1 2
2x x2
1
(
x 1)2 x2 1
说明:
对幂指函数 y uv 可用对数求导法求导 :
ln y v lnu
1 y vln u uv
y
u
y uv ( vln u uv ) u
解： y' 4 x
y' |x1 4
根据导数的几何意义, 得切线斜率为 k y x1 4 故曲线 y 2x2在点(1,2)处的切线方程为
y 2 4(x 1)
即 y 4x 2
4、 函数的可导性与连续性的关系
可导的函数一定是连续的．
微分几何-§3-曲面的第二基本形式PPT优秀课件
k
n
f
( p,
du ) dv
S上点p的切方向d和曲面的法向确定的平面称为曲面 上一点处沿切方向的法截面 ，法截面 和曲面的交线 就是P点处沿切方向的法截线 对法曲率，是否存在一条曲线使得这条曲线的曲率就 是法曲率呢？只要 cos 1即可，这就是法截线
n
7
梅尼埃定理：曲面上曲线 在给定点p处的曲率中
证明:因为直线的曲率 k 0 ,所以沿直线方向的 法曲率 kn kcos0,即
Ld u22M d u d vNd v20
因而直线是曲面的渐近曲线.
13
命题2 曲面在渐进线上一点的切平面一定是渐进曲 线的密切平面
证明:沿渐近曲线有 kn kcos0得到
k0或 cos0.
当 k 0 时, 渐近曲线是直线,这时曲面的切平面
计算公式2：因为 n d r 0 d n d r n d 2 r 0
所以 IIdndr 可得
L n u r u , M r u n v , N n v r v
3
例1 求球面 r { R c o sc o s,R c o ss i n ,R s i n }
的第二基本形式
解：n {cos cos , cos sin , sin }
I Ed2 u2FduG dvd2 v
只要在p点及与C相切的曲线，这个值不变，这就是曲面 在P点沿C方向的法曲率 定义3.4.2 设点P是曲面上曲线C上一点, k是C在点p 的曲率,. 则称 k 为C在点p的曲率向量, 称 k n 为在 曲面S上的点P处沿曲线C的切方向的法曲率.记为 k n
6
曲面法曲率是曲面上点P和方向 (d ) 的函数 同一点只要方向相同，则法曲率相同
所以第二基本形式 II (R co s2d 2R d 2)