定积分换元积分法
定积分的换元积分法与分部积分法
有
b
a f (x) dx f [(t)](t) dt
上式称为定积分的换元公式。
π
例1 计算 2 cos3 x sin x dx 。 0
解
设 t cos x ，则 dt sin x dx 。当 x 0 时，t 1 ；当
x π 时，t 1。 2
原式 0 t3dt 1 t3dt 1 t4计算
4 dx 。
0 1 x
解
令 x t ，x t2 ，则 dx 2tdt 。当 x 0 时，t 0 ；当
x 4 时，t 2。
原式 2 2t dt 2 2 t 1 1 dt 2 2 ln 1 t 2 4 2ln 3
0 1t
0 1t
0
例3 计算
高等数学
定积分的换元积分法与分 部积分法
一、定积分的换元积分法
定理 设函数 f (x) 在 [a ，b] 上连续，而 x (t) 是定义在 [ ， ] 上的一个可微函数，并满足条件：
（1）(t)在区间 [a ，b] 上有连续的导数 (t) ；
（2）当t从α 变到β 时，(t) 从 ( ) a 单调地变到( ) b ，则
两边积分，得 移项，得 即
b
b
b
a (uv)dx a uvdx a uvdx
b uvdx
(uv)
b
b
vudx
a
a
a
b
b
b
udv uv vdu
a
a
a
这就是定积分的分部积分公式。
π
例6 计算 0 x cos x dx 。
解
原式
π
xd (sin
x)
x sin x
π
π
定积分的二种换元法及其应用
定积分的二种换元法及其应用
一、换元法：
1、等价换元法：即将原有的积分值与另一种积分值进行相互转换，使得两者
之间的价值相同。
例如：将100点A积分换成50点B积分，即100A=50B。
2、定量换元法：即在固定的量上进行转换，使得不同的积分之间能够保持一
定的价值关系。
例如：将1A=2B, 则100A=200B。
二、应用：
1、企业顾客奖励方面应用广泛。
企业通常会采用不同形式的奖励来酬谢忠诚
的顾客。
通过采用不同形式的奖励来衡量顾客对企业所作出的贡献大小是很有必要的。
而通过采用换元法可以使得不同形式的奖励能够保持一定的价值关系；
2、在旅行回馈方面也有应用。
旅行回馈是旅行者在出差或旅行中所获得回馈
物品或服务所对应的数字化标准化代币体系。
通过采用不同形式的回馈来衡量旅行者对旅行所作出贡状大小也是很有必要性的。
考虑到不同形式回馈之间存在差异性；此时可以选择采用换元法来使得不吓当前式回馈能够保护一定价值关系。
§3.3定积分换元法
π 2
0
sin n xdx = − ∫
π 2
0
sin n −1 xd (cos x )
π 2 0
= − sin n −1 x cos x
[
= (n − 1) ∫
π 2 0 π 2
]
π 2 0
+∫
cos xd (sin n −1 x )
cos 2 x sin n − 2 xdx
= (n − 1) ∫
0
8．已知 g ( x ) = ∫ t f ′( x − t )dt ，求 g′( x ) 。
0
x
g( x ) = ∫ t f ′( x − t )dt
0
x 0
x
令x−t=u
=
− ∫ ( x − u ) f ′(u )du
x
0
= ∫ ( x − u ) f ′(u )du = x
x
∫0 f ′(u )du − ∫0 uf ′(u )du
a a ∫ 0 f(− x) dx
0
f(x) dx =
+
a ∫0
f(x) dx = ∫ [ f(x) + f(− x)] dx.
0
a
续上
∴∫
a
−a
f(x) dx = ∫ [f(x) + f( − x)] dx ，
0
a
（2）∵ f ( x ) 为偶函数，即 f (− x ) = f ( x ) ，
∴∫
π 2 sin 2 t − 1 dt π sin t 6
6 cos t dt = π cos t sin t 2
∫
6 cos t dt π cos t ⋅ sin t 2
定积分换元积分法的不同换元方法
一、定积分的换元积分法概述定积分的换元积分法是计算定积分的一种重要方法，其主要思想是通过变量替换的方式将原积分转化为一个更容易求解的形式。
这种方法在解决复杂的定积分问题时具有较大的实用价值，因此对于不同的换元方法的掌握和熟练应用显得尤为重要。
二、常见的换元方法在定积分的换元积分法中，常见的换元方法包括但不限于以下几种：1. 第一类换元法：直接代入法直接代入法是指直接将被积函数中的某一个部分用一个变量表示并进行代入的方法。
通常适用于被积函数较简单的情况，能够将原积分转化为一个更容易处理的形式。
2. 第二类换元法：三角代换法三角代换法是指通过选取合适的三角函数来进行变量替换，将原积分转化为三角函数的积分形式。
这种方法通常适用于出现平方根和平方项时的情形，通过选择合适的三角函数可以使原积分变得更加简单。
3. 第三类换元法：指数代换法指数代换法是指通过选取适当的指数函数进行变量替换，将原积分转化为指数函数的积分形式。
这种方法通常适用于出现指数函数和对数函数时的情形，能够将原积分化为更容易处理的形式。
4. 第四类换元法：倒代换法倒代换法是指通过选取合适的变量倒数进行变量替换，将原积分从一个区间转化为另一个区间或者将原积分中的除法项转化为乘法项。
这种方法通常适用于变量之间的换元关系为倒数关系的情形，能够简化原积分的形式。
三、不同换元方法的选用原则在实际应用中，选择合适的换元方法是十分重要的。
一般而言，可以根据以下原则进行选择：1. 根据被积函数的形式选择当被积函数具有特定的形式时，可以根据不同的形式选择对应的换元方法。
如当被积函数中出现三角函数时，可以考虑使用三角代换法；当被积函数中出现指数函数时，可以考虑使用指数代换法。
2. 根据逆变换的便捷性选择在选择换元方法时，通常也要考虑逆变换的便捷性。
换元后新的积分形式是否容易转化回原来的变量，这将影响到最终的计算复杂程度。
3. 根据积分区间的选择当积分区间发生变化时，可以考虑使用倒代换法将原积分转化为更便于处理的形式，从而简化计算过程。
定积分换元积分法教案
2.引入定积分换元法的定理：假设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数 满足条件：（1） ；（1） 在[ ]上具有连续的导数，且其值域 ，则 。并进行简单的证明。
3.例1、计算 （a>0）。
4.由定理和例题得出需要注意的知识点：（1）定理中的dx是定积分中不可分割的，但在一定条件下，可以作为微分记号来对待，定理的证明中就用到了 ；（2）定理中当 的值域 超出[a,b]时，只要f(x)在 上连续，定理仍成立。（3）定积分的换元法一定要注意积分限一一对应的变化；（4）定积分的换元法不需要再换回原来的变量，直接以t为变量计算换元后的积分即可；（5）由于 不一定是单设，故反解t的时候可能出现多个值，可任意取一个值最为积分限，但要注意积分函数在所取积分限的正负值。
5．换元公式的反过来应用： ，例2计算 。
讨论、思考题、作业：
思考题：例1的思考？
作业：p253 1（1）（1）（3）（4），2
授课类型：理论课
教学方式：讲授与讨论结合
教学资源：多媒体
定积分的换元积分法教排
1
教学目的、要求：
1.回忆定积分计算了两种方法：定义法、牛顿-莱布尼茨公式。
2.理解掌握定积分的换元法，能够简单证明定理，记住容易犯错的地方，能够运用换元法计算定积分。
3.熟练掌握定积分换元法的反过来使用。
教学重点、难点：
定积分换元法的定理。
教学内容
定积分的换元积分法
定积分的换元积分法
换元积分法是指将一个原有的积分按某种规定定义相互换算兑换为新的积分的方法，
又称按档次分类法。
换元积分法是一种将原有积分分类标准化，并形成新分类规则的方法。
换元积分法建立在原有考核标准和实践考核指标基础上，以提高参加者考核成绩，以便做
出客观公正的评价和决策，从而实现考核绩效的改进。
换元积分法的基本原理是把原有积分按照规定的分类档次，换元无量纲化，即把原有
积分按规定的档次换元转换为新的标准积分，这样就可以很轻易比较不同参与考核者的考
核绩效。
换元积分法的设计要求考核指标的划分不可过于任意，也不可过多，考核标准的
标准分类档次应该越多越好，考核者的表现也应该由易至难分成多个档次，使考核更加客
观公正。
换元积分法还具有计算简便、考核灵活可编辑性、更利于客观评价等特点。
在考核中，有许多分类标准，比如能力和表现，进步程度等等，换元积分法可以利用各种标准进行积分，把原有积分按照规定的档次换算为新的标准积分，这样可以使考核更加客观公正，并
且它可以很灵活地根据考核过程不断改进，便于做出客观公正的评价和决策。
换元积分法是一种有效的考核方式，它可以有效规范各种考核测试，使考核成绩具有
一定的公正性和可比性，使市场参与者更容易把握自己的考核状态。
然而，换元积分法的
实施也有一定的局限性，即考核内容受限于原有的积分考核标准和实践考核指标，可能无
法满足实际考核的新要求，因而需要定期修正考核内容和指标，让它更适应变化的环境。
定积分的换元积分法与分部积分法
定积分的换元积分法与分部积分法教学目的：掌握定积分换元积分法与分部积分法 难 点：定积分换元条件的掌握 重 点：换元积分法与分部积分法由牛顿－莱布尼茨公式可知，定积分的计算归结为求被积函数的原函数．在上一章中，我们已知道许多函数的原函数需要用换元法或分部积分法求得，因此，换元积分法与分部积分法对于定积分的计算也是非常重要的．1．定积分换元法 定理 假设(1) 函数)(x f 在区间],[b a 上连续；(2) 函数)(t x ϕ=在区间],[βα上有连续且不变号的导数；(3) 当t 在],[βα变化时，)(t x ϕ=的值在],[b a 上变化，且b a ==)(,)(βϕαϕ， 则有[]dt t t f dx x f ba⎰⎰'=βαϕϕ)()()(． (1)本定理证明从略．在应用时必须注意变换)(t x ϕ=应满足定理的条件，在改变积分变量的同时相应改变积分限，然后对新变量积分．例1 计算⎰-211dx xx ． 解 令t x =-1，则tdt dx t x 2,12=+=．当1=x 时，0=t ；当2=x 时，1=t ．于是⎰⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⋅+=-102102211112211dt t tdt t t dx x x ⎪⎭⎫⎝⎛-=-=412)arctan (210πt t ．例2 计算⎰-adx x a 022)0(>a ．解 令t a x sin =，则tdt a dx cos =．当0=x 时，0=t ；当a x =时，2π=t ．故⎰-adx x a 022dt t a t a ⎰⋅=20cos cos πdt t a )2cos 1(2202+=⎰π2022sin 212π⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=t t a42aπ=．显然，这个定积分的值就是圆222a y x =+在第一象限那部分的面积(图5－8)．例3 计算⎰205sin cos πxdx x ．解法一 令x t cos =，则xdx dt sin -=． 当0=x 时，1=t ；当2π=x 时，0=t ，于是6161sin cos 01650125=-=-=⎰⎰t dt t xdx x π． 解法二 也可以不明显地写出新变量t ，这样定积分的上、下限也不要改变．即x d x xdx x cos cos sin cos 205205⎰⎰-=ππ61610cos 61206=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=πx ．此例看出：定积分换元公式主要适用于第二类换元法，利用凑微分法换元不需要变换上、下限．例4 计算dx x ⎰-π0sin 1．解dx x ⎰-πsin 1⎰-=π2cos 2sindx xx 注去绝对值时注意符号．=⎰⎰-+-πππ220)2cos 2(sin )2sin 2(cos dx xx dx x x=222(sin cos )2(cos sin )2222x x x xπππ+--=)12(4-．例5 计算⎰+π2sin 3sin dx xx ．解 设x t cos =，则当0=x 时，1=t ；当π=x 时，1-=t ．⎰+π2sin 3sin dx xx =⎰⎰---=--1111224141dt tdt t11arcsin23t π-==．例6 设)(x f 在],[a a -上连续，证明： (1) 若)(x f 为奇函数，则0)(=⎰-aa dx x f ；(2) 若)(x f 为偶函数，则dx x f dx x f aa a)(2)(0⎰⎰=-．证 由于dx x f dx x f dx x f aaaa)()()(0⎰⎰⎰+=--,对上式右端第一个积分作变换t x -=，有dt t f dt t f dx x f aaa)()()(00-=--=⎰⎰⎰-dx x f a)(0-=⎰．故dx x f x f dx x f aaa)]()([)(0+-=⎰⎰-．(1) 当)(x f 为奇函数时，)()(x f x f -=-，故00)(0==⎰⎰-dx dx x f aaa．(2) 当)(x f 为偶函数时，)()(x f x f =-，故dx x f dx x f dx x f aaaa)(2)(2)(0⎰⎰⎰==-．利用例6的结论能很方便地求出一些定积分的值． 例如0sin 6=⎰-xdx x ππ．⎰⎰---+=-+1122112)424()4(dx x x dx x x 80411=+=⎰-dx ．2．定积分的分部积分法设函数)(x u 与)(x v 均在区间],[b a 上有连续的导数，由微分法则vdu udv uv d +=)(，可得vdu uv d udv -=)(．等式两边同时在区间],[b a 上积分，有vdu uv udv baba ba⎰⎰-=)(． (2)公式(2)称为定积分的分部积分公式，其中a 与b 是自变量x 的下限与上限． 例7 计算xdx eln 1⎰．解 令dx dv x u ==,ln ，则x v xdxdu ==,．故 xdx x x x xdx e ee⋅-=⎰⎰111]ln [ln 1)1()0(=---=e e ．例8 计算xdx x 3cos 0⎰π．解x xd xdx x 3sin 313cos 00⎰⎰=ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎰xdx x x 3sin 3sin 3100ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=π03cos 31031x 92-=． 例9 计算⎰+42cos 1πdx xx．解⎰+42cos 1πdx x x =⎰⎰=4042tan 21cos 2ππx xd dx x x=)tan tan (214040⎰-ππxdx x x =)cos ln 4(2140ππx +=2ln 418-π． 例10 计算⎰403sec πxdx ．解⎰⎰⎰=⋅=40402403tan sec sec sec sec πππx xd xdx x xdxxdx x x x x tan sec tan tan sec 4040⋅-=⎰⎰ππxdx x sec )1(sec 2240--=⎰π⎰⎰+-=40403sec sec 2ππxdx xdx40403)tan ln(sec sec 2ππx x xdx ++-=⎰)12ln(sec 2403++-=⎰πxdx ．即 )12ln(2sec 2403++=⎰πxdx 注移项得．故 )12ln(2122sec 43++=⎰πxdx ． 例11 计算dx e x ⎰10．解 先用换元法，令t x =，则tdt dx t x 2,2==． 当0=x 时，0=t ；当1=x 时，1=t ． 于是dt te dx e t x⎰⎰=112．再用分部积分法，得dx e x ⎰111122()t t t tde t e e dt ==-⎰⎰2)]1([2=--=e e ．小结：1．定积分换元积分定理：假设 (1) 函数)(x f 在区间],[b a 上连续；(2) 函数)(t x ϕ=在区间],[βα上有连续且不变号的导数；(3) 当t 在],[βα变化时，)(t x ϕ=的值在],[b a 上变化，且b a ==)(,)(βϕαϕ． 则有[]dt t t f dx x f ba⎰⎰'=βαϕϕ)()()(．2．定积分分部积分法：设函数)(x u 与)(x v 均在区间],[b a 上有连续的导数，则有vdu uv udv baba ba⎰⎰-=)(．。
定积分的换元法
例12 设 f ( x ) 连续
解
二、小结
定积分的换元法 几个特殊积分、定积分的几个等式
思考题
解令
思考题解答
计算中第二步是错误的.
正确解法是
练习题
练习题答案
由定积分的几何意义，这个结论也是比较明显的
例8 计算 解 原式
偶函数
奇函数
四分之一单位圆的面积
证 （1）设 （2）设
另证 将上式改写为
奇函数
例10 设 f(x) 是以L为周期的连续函数，证明
证明
与 a 的值无关
例11 设 f(x) 连续，常数 a > 0 证明
证明 比较等式两边的被积函数知，
先来看一个例子
例1
换元求不定积分 令
则
故
尝试一下直接换元求定积分
为去掉根号 令
则
当 x 从0连续地增加到4时，t 相 应地从1连续地增加到3
于是
由此可见，定积分也可以象不定积分一 样进行换元，所不同的是不定积分换元时要 回代原积分变量，而对定积分则只需将其上 、下限换成新变量的上、下限即可计算出定 积分，而不必回代原积分变量
将上例一般化就得到定积分的换元积分公式
一、换元公式
证
应用换元公式时应注意:
（1）
（2）
例2 计算 解1 由定积分的几何意义
o 等于圆周的第一象限部分的面积 解2
故
解3 令
解4 令 仍可得到上述结果
例3 计算 解令
注
定积分的换元积分公式也可以反过来使用
为方便计 将换元公式的左、右两边对调
同时把 x 换成 t ， t 换成 xFra bibliotek这说明可用
引入新变量
定积分的换元法和分部积分法
不定积分法
定积分法，
且使用方法与相应的不定积分法类似。
一、定积分的换元法
我们知道，不定积分的换元法有两种，下面就分别 介绍对应于这两种换元法的定积分的换元法。
1. 第一类换元积分法（凑微分法）
设函数 f ( x) 在区间 [a, b]上连续， f (x)dx F( x) C
那么
b a
0
1
1
t
)dt
2t
ln
|
1
t
|
2 0
4 2ln3
（2）根号下为 x 的二次式
例8 计算
1
2
0
x2 dx 1 x2
解 设 x sint， π t π ， 则 dx cos t dt，
2
2
且当 x 0 时，t 0； 当 x 1 时，t π， 因此
2
6
1 2 0
x2 dx 1 x2
0
分部积分
t sint
6
0
6 sintdt
0
1 62
[
cos
t
]6 0
3 1.
12 2
例16
计算
e-1
ln(1
x)dx
0
解
e-1
ln(1
x)dx
e-1
ln(1
x)d( x)
0
0
x
ln(1
x)
e1 0
e1
0
xd
ln(1
x)
e
1
e-1 0
x
1
1
x
dx
e
1
e-1 0
(1
1
1
x
定积分换元积分法
x = π ⇒ t = 0,
0 π
∫0 xf (sin x )dx
π 0
π
= − ∫ ( π − t ) f [sin( π − t )]dt
= ∫ ( π − t ) f (sin t )dt ,
∫0 xf (sin x )dx
π
π
= π ∫ f (sin t )dt − ∫ tf (sin t )dt
∫−a f ( x )dx = ∫−a f ( x )dx + ∫0
在∫
0 −a
a
f ( x )dx ,
f ( x )dx 中令 x = − t ,
∫−a f ( x )dx = − ∫a f ( − t )dt = ∫0
a 0
0
0
a
f ( − t )dt ,
为偶函数， ① f ( x ) 为偶函数，则 f ( − t ) = f ( t ),
π cos t 1 2 dt = ∫ sin t + cos t 2 0
上连续， 例 5 当 f ( x ) 在[ − a , a ]上连续，且有 为偶函数， ① f ( x ) 为偶函数，则
∫−a f ( x )dx = 2∫0
证
a 0
a
a
f ( x )dx ；
a
为奇函数， ② f ( x ) 为奇函数，则 ∫− a f ( x )dx = 0 .
的一个原函数. ∴ Φ (t ) 是 f [ϕ ( t )]ϕ ′( t )的一个原函数
β
∫α f [ϕ( t )]ϕ′( t )dt = Φ(β ) − Φ(α),
ϕ (α ) = a 、ϕ ( β ) = b ,
Φ( β ) − Φ(α ) = F[ϕ ( β )] − F[ϕ (α )]
数学定积分换元积分法
∫
2
例13
sin 3 x dx = ∫ sin 2 x sin x dx ∫
1 3 = −∫ (1 − cos x) dcosx = − cosx + cos x + C . 3
2
例14
sin x ⋅ cos x dx = ∫ sin2 x ⋅ (1 − sin2 x )2 d(sin x ) ∫
2 5
1 x−2 1 1 1 +C . = ∫( − ) dx = ln 3 x +1 3 x − 2 x +1
17
x(1 − x ) dx = ∫ ( x − 1 + 1) (1 − x )6 dx 例22 ∫
6
= ∫ [(1 − x )6 − (1 − x )7 ] dx 1 1 7 8 = − (1 − x ) + (1 − x ) + C . 7 8 1 3 2 x 4 − x d x = ∫ x 2 4 − x 2 dx 2 例23 ∫ 2
= G(u) + C = G[ϕ( x)] + C .
3
常用凑微分公式： 常用凑微分公式：
1 dx = d(kx + b) k
1 dx = 2 d x x
( k ≠ 0)
1 1 dx = − d 2 x x
1 2 x dx = dx 2
1 dx = d ln | x | x
sin x dx = −d cos x
= ∫ (sin2 x − 2 sin4 x + sin6 x) d(sin x)
1 3 2 5 1 7 = sin x − sin x + sin x + C . 3 5 7
定积分的换元法与分部积分法
∫
∫
π 0
x 2 cos xdx
(C)例4.
∫
解： 原式 = ∫ 02 sin xde x = e x sin x 02 − ∫ 02 e x d sin x
π 2 x 0 π
e sin xdx
π π
π 2 π 2 x 0 π 2 0 π 2 0 π 2 0
= e − ∫ e cosxdx
= e − ∫ cosxde x
x2
2
2
(2) ∫
2 1
e dx 2 x
2 1
1 x
解： ∫
1 １ e 1 2 2 x dx = − ∫ 1 e d =[et ]1 = e − e x x2
1 x
(B)练习1.计算下列定积分
(1) ∫ 0 x sin x dx
2 π
( 2) ∫
e3 1
2 1 π 2 e 3 d (1 + ln x ) 解：原式 = ∫ 0 sin x dx 解：原式 = ∫ 1 2 1 + ln x 1 e3 2 π = 2 1 + ln x 1 = − cos x 0 2 =2 =1
当x = 0时，t = 0; 当x = 4时，t = 2.
则
∫
4 0
2 e x dx = 2∫ 0te t dt
2 2 2 = [tet ]0 − ∫ 0 et dt = 2e 2 − [et ]0
= e2 + 1
4 ∴ ∫ 0 e x dx = 2(e 2 + 1)
(C)练习4.求下列定积分：
(1) ∫ e cos xdx
2
1 9 t 1 t 9 1 9 ∴ ∫ xe dx = ∫ 0 e dt = [ e ]0 = (e − 1) 2 2 2 另解： (凑微分法) 1 3 x2 2 3 x ∫ 0 xe dx = 2 ∫ 0e dx 1 1 = [ e x ] 3 = (e 9 − 1) 0 2 2 注：两种方法比较可知凑微分法简洁明了。
定积分的换元积分法
4
ln xd
x
0x
0
4
4
(2 x ln x) - 2
1
1
x 1dx x
4
4ln4 - 2
1 dx 4ln4 - 4
4
x
1x
1
4(2ln 2 - 1).
3
例 9 计算 0 arctan xdx.
解 根据定积分的分部积分公式得
3 arctan
0
xdx ( x arctan
2
nn-
3 2
4
5
2 3
I1
,
其中I1
2 sin xdx - cos x 2
0
0
1,
代入上式，得
In
2
sinn
xdx
n
-1
n
-
3
0
n n-2
4 2 1.
53
由于 2 cosn xdx 2 sinn xdx, 所以上述结果对于
例 6 计算 1 4 - x2 dx. -1
解 因为被积函数 4 - x2 是偶函数, 且积分 区间对称于原点，得
1
4 - x2dx
1
2
4 - x2dx,
-1
0
令 x = 2sint，
则
dx
=
2cos
tdt
，
x t
0 0
于是
1
，
6
1 4 - x2 dx 2 1 4 - x2dx
令
x
t， 则
定积分的换元积分法与分部积分法
1 0
f (2x)dx
1
f (2)
1
1
f (2x)d(2x)
2
40
1 2
f
(2)
1f
4
(
2
x
)
1 0
5 1 f (2) f (0) 2.
24
23
定积分的换元法和分部积分法
思考题 试检查下面运算是否正确?
如 令x 11 dx11Fra bibliotek x2t
1 1
1
1
1 t2
d
1 t
1 dt 11 t 2
0t
x2
0
sinu
u
du x
x2 sin u du
0u
原式 lim x0
x
x2 sin u du 0u
x2
0
lim
sin x2 x2
2x
1
0 x0
2x
17
定积分的换元法和分部积分法
二、定积分的分部积分法
definite integral by parts
定理2 设 u( x),v( x)在区间[a,b]上有连续的导数,
x3 sin2 x4 2x2
x
dx 1
0
1 4 x2dx 2 1 4 x2dx
1
0
2 x5 x4 x3 x2 2dx
2
1x2
奇
偶
2 2
x15xx23dx
2 x4 x2 2 2 1 x2 dx
02
2 0
x4 x2 1 x2
2dx
8 3
12
定积分的换元法和分部积分法
2
0 20
2
定积分的换元积分法
2 2
1 1 x 偶函数
2 2
dx
1
1
x cos x 1 1 x 奇函数
1 x )
2 2
2
dx
4
1 0
1 x
dx 4
2
1 0
x (1
2
1 (1 x )
1 0
dx
4 (1
0
1
1 x ) dx 4 4
1 x dx
2
4.
.
0
证 （1）设 x
2
t dx dt ,
2 ,
x 0 t
x
2
t 0,
0
2
f (sin x ) dx
0
2
f sin
t dt 2
0
2
f (cos t ) dt
0
2
f (cos x ) dx ;
② f ( x ) 为 奇 函 数 ， 则 f ( t ) f ( t ),
a
a
f ( x ) dx
a
0
f ( x ) dx
0
a
f ( x ) dx 0 .
例5
计算 1
1
1
2 x x cos x
2
1
1 x
2
dx .
解 原式 1
x 1
2x
2
t 0,
5
x 0 t 1,
0
2
cos
0
x sin xdx
t dt
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6
1. 6
0
a b f ( x ) d 令 x ( x t ) f [ ( t ) ( t ) ] d ( 当 x t a 时 t 当 x b 时 t )
例 (22 ) 计 算 0 2 c 5 x s x o id n sx
解 0 2 c 5 x s x o i 0 2 c d n 5 s x c o x x d o ss
原式
1 3
5u2 4u
u2du
1 8
1 5u2
3
du
1 8
5u
u3 3
1
3
1 6
定积分的换元法
换元必须换限
例1 4
e ln 3 x 1 dx n!
0
1e2x r!nr!
解 原式 u e x 3 1 du
1 1 u2
换元必须换限
3
lnu
1u2
1
ln 32ln12
ln 3
e 1
1 5
凑微分d ln x
不换元则不变限
另解 原式
u lnx
1u 4du
0
1 5
u5
1 0
1 5
换元必须换限
定积分的换元法
换元必须换限
例1 2 8 1 dx 0 1 3 x
解 令 t3x,则 xt3,dx3t2dt 换元
当 x 0 时 ， t 0 ； 当 x 8 时 ,t 2 换限
解 a a 2 x 2 d 令 x a s t x 2 a i c n t a c t o d o s t s
0
0
a 2 0 2 c 2 t a 2 2 d 0 o 2 ( 1 c 2 t ) d s t o ts
a 2 [ t 1 s 2 t ] 2 1 a 2 in
一、换元公式
定理 假 设
（ 1） f(x)在 [a,b]上 连 续 ；
（ 2 ） 函 数 x(t)在 [,]上 是 单 值 的 且 有 连 续
导 数 ；
（ 3） 当 t在 区 间 [,]上 变 化 时 ，x(t)的 值 在 [a,b]上 变 化 ， 且 ()a、 ()b，
则 有 a bf(x )d x f[(t)](t)d.t
3
3
e4
e
d(lnx)
e4
lnx (1lnx) 2 e
d lnx 1( lnx)2
3
2arcslin nx)(e4 e
6
.
例5 计算
a
1 d.x(a0)
0 xa2x2
解 令 xasitn , d xaco tds , t
xa t , x0t0,
2
原式 2
acots
dt
0 asitn a2(1si2nt)
2 2 0 4
提示： a 2 x 2 a 2 a 2 s2 t i a n ct o d a s c xto d s t 当 x 0 时 t 0 当 x a 时 t 2
例3 计算 si3n xsi5n xd.x 0 3
解 f(x)si3x n si5x ncoxssinx2
相应的改变.
（2）求出 f [ (t )] (t )的一个原函数(t)后，不
必象计算不定积分那样再要把(t )变换成原 变量 x的函数，而只要把新变量t 的上、下限 分别代入(t )然后相减就行了.
定积分的换元法
例1 1
e ln x4
dx
1x
解 原式 elnx4dlnx 1
1lnx5 5
原式
2 3t2 dt
0 1 t
2
3 (t1
1
)dt
0
t 1
3t22
t
lnt
1
2 0
322ln33ln3
定积分的换元法
换元必须换限
例1 3 1 xdx
1 54x
解 令 5 4 x u ， 则 x 1 (5 u 2 ),d x 1 u d u
4
2
当 x 1 时 ， u 3 ； 当 x 1 时 ， u 1
令 c x t 0 o t 5 d 1 t 5 d s [ 1 t 6 ] t 1 1 t 1 0 6 0 6
或
0 2 c 5 x s x o i 0 2 c d n 5 s x c o x x d o ss
[ 1 c 6 x ] 2 1 o c 6 1 c o s 6 0 1 o ss 6 0 6 2 6 6
si3n xsi5n xdx
coxssin x2 3dx
0
0
3
2coxssinx2dx
0
coxssinx23dx
3
2 sinx2dsinx
0
2
sinx23dsinx
2
sin
5
x222源自2 sin5x 2
4.
5
05
5
2
3
e4
dx
例4
计算
e
x
. lnx(1lnx)
3
解
原式 e4 e
d(lnx) lnx(1lnx)
( ) a 、 () b ,
() () F [() ]F [( )]
F (b)F (a),
a bf(x)d x F (b )F (a) () ()
f[(t)](t)d.t
注 意 当 时 ， 换 元 公 式 仍 成 立 .
应用换元公式时应注意:
（1）用 x (t )把变量 x换成新变量t 时，积分限也
证 设 F ( x ) 是 f ( x ) 的 一 个 原 函 数 ，
b
af(x)d xF (b)F (a),
(t)F [ (t)],
(t)dFdxf(x)(t)f[ (t) ](t),
dx dt
( t ) 是 f [ ( t ) ( t ) ] 的 一 个 原 函 数 .
f[ (t) ] (t) d t( ) ( ),
2 0
cots dt sintcots
1
2
20
1sciotn t scsiottnsdt
1 2 21 2ln sitn cots0 2
另解 原式 0
d(ex ) 1 (ex )2
lnex
ln 3
1(ex)2
0
不换元则不变限
ln 32ln12
例2 (1) 计算 2 co5sxsinxd.x 0
解 令 tcox,s d tsix nd, x
x t0, x0t1,
2
2 co5sxsinxdx 0
0t5dt 1
t6 1
提示：
换当 元x 一 0 定时 要t 换 1 积 当 分限x 不2 时 换元t 积0 分限不变
a b f ( x ) d 令 x ( x t ) f [ ( t ) ( t ) ] d ( 当 x t a 时 t 当 x b 时 t )
例 (31 ) 计 算 0 a a 2 x 2 d ( a > 0 ) x