北方工业大学考研信号与系统第五章资料
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第五章 傅里叶变换应用于 通信系统——滤波、调制与抽样
“当代通信系统和信号处理技术的发展处处伴随 着傅里叶变换方法的精心运用。”
本章介绍应用傅里叶变换分析系统的方法。
§ 5.1 引 言
傅里叶变换形式的系统函数。
一. 傅里叶变换形式的系统函数
et ht rt E H R
r(t) = e(t) h(t)
sin( 0t)
Em
1 2j
e j0t
e j0t
e j0t H ( j0 )e j0t , e j0t H ( j0 )e j0t
r(t) Em 2j
H ( j0 )e j0t H ( j0 )e j0t 偶函数
奇函数
Em 2j
H (j0 ) ej (0 ) ej0t H ( j0 ) ej (0 ) ej0t
设 e(t) E(), h(t) H (), r(t) R() R() E() H ()
H () R() E ( )
傅里叶形式的系统函数 频域系统函数
3
H() 与 H(s) 的关系
H () F [h(t)], H (s) L [h(t)]
对于一般的因果稳定系统，H(s)的极点都位于 s 平 面的左半平面，其收敛域包含虚轴——
正弦信号激励下系统的稳态响应
设激励信号为 Emsin(0t)，系统的频率响应为
H (j) H (j) e j()
系统的稳态响应为 H(j0) Em sin 0t (0)
10
正弦信号激励下系统的稳态响应
设激励信号为 Emsin(0t)，系统的频率响应为
H (j) H (j) e j()
Em
K
O
无失真传输系统的频域特点：
t0
O
(1)幅频特性 |H(j)| 为与频率无关的常数 K，系统的
e j0t
h( )e j0 d
H(j0 ) ej0t
等于激励e(t)乘以加权函数 H(j0) .
任意激励
e(t)
1
2
Ej e j
t
d
的零状态响应为
1
2
E(j) H (j)e j t d
1
2
R(j) e j t d = r(t)
系统对信号的处理过程就是利用系统函数 H(j)
对不同频率分量加权以后再叠加的过程。
• 可以根据H(j)的表达式用解析法求解；
• 也可以在 s 平面用几何方法求解。
m
j
ω
z
j
m N je j j
Hjω Hs sjω K
j 1 n
K
j 1 n
jω pi
Mie ji
i 1
i 1
5
三、系统函数的物理意义
分析：激励为虚指数信号 e(t) ej0t 时的零状态响应
r(t) h(t) e(t) h( )e j0(t ) d
☆ 线性系统引起的失真——幅度，相位变化，不产生新 的频率成分；
★ 非线性系统引起非线性失真——产生新的频率成分。
对系统的不同用途有不同的要求： ● 无失真传输；● 利用失真信号处理。
15
二．无失真传输条件
时域：若系统输入信号为e(t)，输出信号为r(t)，当
r(t) = Ke(t t0) 时，认为信号没有失真。
et
r t
h(t)
(1) 幅度可以成比例变化； (2) 可以有时移。
et
—— 波形形状不变
o
r t
o t0
频Leabharlann Baidu：
t
H ( j) R( j) KE( j) e j t0
E( j)
E( j)
Ke j t0
t
16
频谱图 H( j) Ke j t0
H ( j) K
t0
H j
说明：正弦信号激励下，系统达到稳态时，其响应为
与激励同频的正弦信号，幅值被 |H(j)| 加权， 相位增加()。 H(j)代表了系统对输入信号的处理效果。
12
例1
若H j 1 ， 求输入为 sin t sin 2t sin 3t 时
1 j
的输出。
H(j ) 1 12
( ) arctan
2
5
10
13
§5.3 无失真传输
• 失真 • 无失真传输条件
一．失真
信号经系统传输，被系统函数 H(j) 加权，输出波
形发生了变化，与输入波形不同，则产生了失真。
线性系统引起的信号失真可能包含两方面的因素： ● 幅度失真：不同频率分量的幅度被改变的程度不同； ● 相位失真：不同频率分量的相位被改变的值不同；
7
总结
系统可以看作是一个信号处理器：
Hj 是一个加权函数，对信号各频率分量进行加权。 ， 信号的幅度由 H(j ) 加权，信号的相位由 修正。
对于不同的频率 ，有不同的加权作用，这也是信
号分解，求响应再叠加的过程。
8
§5.2 利用系统函数H(j)求响应
•正弦信号激励下的稳态响应 •非周期信号激励下系统的响应
6
三、系统函数的物理意义
R(j) E(j) H (j)
设 E(j) E(j) e je() R(j) R(j) e jr () H (j) H (j) e jh ()
则 R(j ) E(j ) H(j )
E(j)的幅度由 |H(j)|加权
r ( ) e( ) h ( )
E(j)的相位由 h() 修正
Em 2j
H ( j0 ) e j[ (0 )0t] e j[ (0 )0t]
Em H( j0) sin 0t (0) 11
正弦信号激励下系统的稳态响应
设激励信号为 Emsin(0t)，系统的频率响应为
H (j) H (j) e j()
系统的稳态响应为 H(j0) Em sin 0t (0)
H () H (s) sj H (j)
H (j)
R( j ) E ( j )
H (s)
s j
对于一般的因果稳定系统，冲激响应h(t)的拉氏变换
H(s)为复频域系统函数，傅氏变换H()为频域系统函
数，且 H () H (s) sj H (j。)
4
二、系统的频率响应特性
H(j ) H(j ) ej( ) H(j ) ~ ：系统的幅频特性 ( ) ~ ：相频特性
H (j1) 1 (1) 45 sin t :
2
1 sin( t 45) 2
H (j2) 1 (2) 63 sin2t: 5
1 sin(2t 63 ) 5
H (j3) 1 (3) 72 sin3t: 10
1 sin(3t 72 ) 10
r(t) 1 sin( t 45) 1 sin( 2t 63) 1 sin( 3t 72)
“当代通信系统和信号处理技术的发展处处伴随 着傅里叶变换方法的精心运用。”
本章介绍应用傅里叶变换分析系统的方法。
§ 5.1 引 言
傅里叶变换形式的系统函数。
一. 傅里叶变换形式的系统函数
et ht rt E H R
r(t) = e(t) h(t)
sin( 0t)
Em
1 2j
e j0t
e j0t
e j0t H ( j0 )e j0t , e j0t H ( j0 )e j0t
r(t) Em 2j
H ( j0 )e j0t H ( j0 )e j0t 偶函数
奇函数
Em 2j
H (j0 ) ej (0 ) ej0t H ( j0 ) ej (0 ) ej0t
设 e(t) E(), h(t) H (), r(t) R() R() E() H ()
H () R() E ( )
傅里叶形式的系统函数 频域系统函数
3
H() 与 H(s) 的关系
H () F [h(t)], H (s) L [h(t)]
对于一般的因果稳定系统，H(s)的极点都位于 s 平 面的左半平面，其收敛域包含虚轴——
正弦信号激励下系统的稳态响应
设激励信号为 Emsin(0t)，系统的频率响应为
H (j) H (j) e j()
系统的稳态响应为 H(j0) Em sin 0t (0)
10
正弦信号激励下系统的稳态响应
设激励信号为 Emsin(0t)，系统的频率响应为
H (j) H (j) e j()
Em
K
O
无失真传输系统的频域特点：
t0
O
(1)幅频特性 |H(j)| 为与频率无关的常数 K，系统的
e j0t
h( )e j0 d
H(j0 ) ej0t
等于激励e(t)乘以加权函数 H(j0) .
任意激励
e(t)
1
2
Ej e j
t
d
的零状态响应为
1
2
E(j) H (j)e j t d
1
2
R(j) e j t d = r(t)
系统对信号的处理过程就是利用系统函数 H(j)
对不同频率分量加权以后再叠加的过程。
• 可以根据H(j)的表达式用解析法求解；
• 也可以在 s 平面用几何方法求解。
m
j
ω
z
j
m N je j j
Hjω Hs sjω K
j 1 n
K
j 1 n
jω pi
Mie ji
i 1
i 1
5
三、系统函数的物理意义
分析：激励为虚指数信号 e(t) ej0t 时的零状态响应
r(t) h(t) e(t) h( )e j0(t ) d
☆ 线性系统引起的失真——幅度，相位变化，不产生新 的频率成分；
★ 非线性系统引起非线性失真——产生新的频率成分。
对系统的不同用途有不同的要求： ● 无失真传输；● 利用失真信号处理。
15
二．无失真传输条件
时域：若系统输入信号为e(t)，输出信号为r(t)，当
r(t) = Ke(t t0) 时，认为信号没有失真。
et
r t
h(t)
(1) 幅度可以成比例变化； (2) 可以有时移。
et
—— 波形形状不变
o
r t
o t0
频Leabharlann Baidu：
t
H ( j) R( j) KE( j) e j t0
E( j)
E( j)
Ke j t0
t
16
频谱图 H( j) Ke j t0
H ( j) K
t0
H j
说明：正弦信号激励下，系统达到稳态时，其响应为
与激励同频的正弦信号，幅值被 |H(j)| 加权， 相位增加()。 H(j)代表了系统对输入信号的处理效果。
12
例1
若H j 1 ， 求输入为 sin t sin 2t sin 3t 时
1 j
的输出。
H(j ) 1 12
( ) arctan
2
5
10
13
§5.3 无失真传输
• 失真 • 无失真传输条件
一．失真
信号经系统传输，被系统函数 H(j) 加权，输出波
形发生了变化，与输入波形不同，则产生了失真。
线性系统引起的信号失真可能包含两方面的因素： ● 幅度失真：不同频率分量的幅度被改变的程度不同； ● 相位失真：不同频率分量的相位被改变的值不同；
7
总结
系统可以看作是一个信号处理器：
Hj 是一个加权函数，对信号各频率分量进行加权。 ， 信号的幅度由 H(j ) 加权，信号的相位由 修正。
对于不同的频率 ，有不同的加权作用，这也是信
号分解，求响应再叠加的过程。
8
§5.2 利用系统函数H(j)求响应
•正弦信号激励下的稳态响应 •非周期信号激励下系统的响应
6
三、系统函数的物理意义
R(j) E(j) H (j)
设 E(j) E(j) e je() R(j) R(j) e jr () H (j) H (j) e jh ()
则 R(j ) E(j ) H(j )
E(j)的幅度由 |H(j)|加权
r ( ) e( ) h ( )
E(j)的相位由 h() 修正
Em 2j
H ( j0 ) e j[ (0 )0t] e j[ (0 )0t]
Em H( j0) sin 0t (0) 11
正弦信号激励下系统的稳态响应
设激励信号为 Emsin(0t)，系统的频率响应为
H (j) H (j) e j()
系统的稳态响应为 H(j0) Em sin 0t (0)
H () H (s) sj H (j)
H (j)
R( j ) E ( j )
H (s)
s j
对于一般的因果稳定系统，冲激响应h(t)的拉氏变换
H(s)为复频域系统函数，傅氏变换H()为频域系统函
数，且 H () H (s) sj H (j。)
4
二、系统的频率响应特性
H(j ) H(j ) ej( ) H(j ) ~ ：系统的幅频特性 ( ) ~ ：相频特性
H (j1) 1 (1) 45 sin t :
2
1 sin( t 45) 2
H (j2) 1 (2) 63 sin2t: 5
1 sin(2t 63 ) 5
H (j3) 1 (3) 72 sin3t: 10
1 sin(3t 72 ) 10
r(t) 1 sin( t 45) 1 sin( 2t 63) 1 sin( 3t 72)