2017高考一轮复习教案-函数的单调性与最值
高考第一轮复习-函数的单调性
年级高三学科数学版本人教版（文）内容标题函数的单调性编稿老师孙力【本讲教育信息】一. 教学内容：函数的单调性1. 概念：设函数)(xf的定义域为I（1）增函数：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值21,xx，当21xx<时，都有)()(21xfxf<，那么称函数)(xf在这个区间上是增函数。
（2）减函数：如果对于属于定义域I内某个区间的任意两个自变量的值21,xx，当21xx<时，都有)()(21xfxf>，则称)(xf在这个区间上是减函数。
（3）单调区间：如果函数)(xfy=在某个区间是增函数或减函数，则称函数)(xfy=在这一区间上具有（严格的）单调性，该区间叫做)(xfy=的单调区间。
注：①中学单调性是指严格单调的，即不能是)()(21xfxf≤或)()(21xfxf≥②单调性刻画的是函数的“局部”性质。
如xy1=在)0,(-∞与),0(+∞上是减函数，不能说xy1=在),0()0,(+∞⋃-∞上是减函数。
③单调性反映函数值的变化趋势，反映图象的上升或下降2. 单调性的判定方法（定义法、复合函数单调性结论，函数单调性性质，导数，图象）（1）定义法[例1] 证明函数1)(31-=xxf在R上是增函数证：设21xx<，则3223123113212131231121)()(xxxxxxxxxfxf++-=-=-而分子021<-=xx分母043)21(3222312311322312311321>++=+⋅+=xxxxxxx故0)()(21<-xfxf得证补：讨论函数22)(x xaxf-=的单调性)10(≠<a解：设1>a时，对任Rx∈，022>-xxa，设121<<xx2112222212)()(x x x x a x f x f +--=，而)](2)[(221212211222x x x x x x x x +--=+--0> 即)()(12x f x f >故在)1,(-∞单增，同理在),1(+∞单减 当10<<a 时，同理在（1,∞-）单减，在（1，∞+）单增[例2] 讨论xx x f +=1)(的单调性解：设21x x <，则)11)((11)()(2112112212x x x x x x x x x f x f --=+-+=-21212112)()1)((x x x x x x x x +--=（1）当1021≤<<x x 时，1021<<x x ，0)()(12<-x f x f （2）当211x x <≤时，211x x <，0)()(12>-x f x f 故)(x f 在]1,0(上是减函数，在),1[+∞上是增函数[例3] 试求函数xpx x f +=)(（p 0≠）的单调区间 分析：考虑到212112112212)()()()(x x p x x x x x px x p x x f x f --=+-+=-以下分类讨论 （1）当p 0>时① 若p x x -≤<21，则0)()(12>-x f x f ，)(x f 增 ② 若021<<≤-x x p ，则0)()(12<-x f x f ，)(x f 减③ 若p x x ≤<<210，则0)()(12<-x f x f ，)(x f 减④ 若21x x p <≤，则0)()(12>-x f x f ，)(x f 增（2）当0<p 时① 若021<<x x ，则0)()(12>-x f x f 增 ② 若210x x <<，则0)()(12>-x f x f 增综上所述，0>p 时，)(x f 在)0,[p -或],0(p 上是减函数)(x f 在],(p --∞或),[+∞p 上是增函数时，在或上是增函数在)0,[p-及],0(p上分别单调递减另法，利用导数21)(xpxf-=')(122pxx-=（1）若0>p则))((1)(2pxpxxxf-+='（2）若0<p，则0)(>'xf下证高考分式函数试题类型与解法研究[例4] 讨论分式函数xbaxxf+=)(的单调性（0≠ab）以下只研究0,0>>ba与0,0<>ba两种情形对于0,0><ba与0,0<<ba可利用对称性得到。
(江苏专用)高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数(Ⅰ)第5课 函数的单调性与最值教师用书
第5课函数的单调性与最值[最新考纲]内容要求A B C函数的单调性√函数的最值√1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫作y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M是y＝f(x)的最大值M是y＝f(x)的最小值1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，x 1≠x 2且(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在区间D 上是增函数．( )(2)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(3)函数y ＝|x |是R 上的增函数．( ) (4)所有的单调函数都有最值．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(2016·高考改编)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是________．(填序号) ①y ＝11－x ；②y ＝cos x ； ③y ＝ln(x ＋1)； ④y ＝2－x.④ [①中，y ＝11－x 在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故y ＝11－x 在(－1,1)上为增函数；②中，y ＝cos x 在(－1,1)上先增后减；③中，y ＝ln(x ＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y ＝ln(x ＋1)在(－1,1)上为增函数；④中，y ＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，故y ＝2－x在(－1,1)上是减函数．]3．(教材改编)已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________．2 25 [可判断函数f (x )＝2x －1在[2,6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.]4．设函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，则g (a )＝________.⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a <1－1，a ≥1 [∵f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴当a ≥1时，函数在[－2,1]上递减，在[－1，a ]上递增，g (a )＝－1.当－2<a <1时，函数在[－2，a ]上递减，∴g (a )＝a 2－2a ，综上可知，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a <1，－1，a ≥1.]5．(教材改编)已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值X 围为________．(－∞，1]∪[2，＋∞) [∵f (x )＝x 2－2ax －3＝(x －a )2－a 2－3， ∴f (x )关于x ＝a 对称．要使y ＝f (x )在区间[1,2]上具有单调性， 只需a ≥2或a ≤1.]函数单调性的判断(1)函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为________． (2)试讨论函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)的单调性．(1)(－∞，－1) [由x 2－1＞0得x ＞1或x ＜－1，即函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．令t ＝x 2－1，因为y ＝log 2t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝x 2－1在x ∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为(－∞，－1)．](2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令0＜x 1＜x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)x 1x 2－kx 1x 2.因为0＜x 1＜x 2，所以x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0. 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)＜f (x 2)， 即函数在(k ，＋∞)上单调递增． 当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)＞f (x 2)， 即函数在(0，k )上单调递减．考虑到函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上单调递增，在(－k ，0)上单调递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．法二：f ′(x )＝1－k x2.令f ′(x )＞0得x 2＞k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．令f ′(x )＜0得x 2＜k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k )．故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．[规律方法] 1.利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底．2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确．易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如本题(1)． [变式训练1] 讨论函数f (x )＝axx 2－1(a >0)在x ∈(－1,1)上的单调性.【导学号：62172024】[解] 设－1<x 1<x 2<1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2x 21－1x 22－1＝a x 2－x 1x 1x 2＋1x 21－1x 22－1.∵－1<x 1<x 2<1，a >0，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 故函数f (x )在(－1,1)上为减函数.利用函数的单调性求最值已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试某某数a 的取值X 围．[思路点拨] (1)先判断函数f (x )在[1，＋∞)上的单调性，再求最小值；(2)根据f (x )min＞0求a 的X 围，而求f (x )min 应对a 分类讨论．[解] (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，f ′(x )＝1－12x 2＞0，x ∈[1，＋∞)，即f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝1＋12×1＋2＝72.(2)f (x )＝x ＋ax＋2，x ∈[1，＋∞)．法一：①当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数．f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.要使f (x )＞0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3＞0， ∴－3＜a ≤0.②当0＜a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数，f (x )min ＝f (1)＝a ＋3，∴a ＋3＞0，a ＞－3，∴0＜a ≤1.综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值X 围是(－3,1]． 法二：f (x )＝x ＋a x＋2＞0，∵x ≥1，∴x 2＋2x ＋a ＞0，∴a ＞－(x 2＋2x )，而－(x 2＋2x )在x ＝1时取得最大值－3，∴－3＜a ≤1，即a 的取值X 围为(－3,1]．[规律方法] 利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．请思考，若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是减函数呢？ [变式训练2] (2016·高考)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________．2 [法一：∵f ′(x )＝－1x －12，∴x ≥2时，f ′(x )＜0恒成立，∴f (x )在[2，＋∞)上单调递减，∴f (x )在[2，＋∞)上的最大值为f (2)＝2. 法二：∵f (x )＝xx －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1， ∴f (x )的图象是将y ＝1x的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的．∵y ＝1x在[2，＋∞)上单调递减，∴f (x )在[2，＋∞)上单调递减，故f (x )在[2，＋∞)上的最大值为f (2)＝2.法三：由题意可得f (x )＝1＋1x －1. ∵x ≥2，∴x －1≥1，∴0＜1x －1≤1， ∴1＜1＋1x －1≤2，即1＜x x －1≤2. 故f (x )在[2，＋∞)上的最大值为2.]函数单调性的应用☞角度1 比较大小设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是________.【导学号：62172025】b <a <c [因为函数y ＝0.6x 是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，即b <a <1.因为函数y ＝x 0.6在(0，＋∞)上是增函数，1<1.5，所以1.50.6>10.6＝1，即c >1.综上，b <a <c .]☞角度2 解不等式已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则不等式f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的解集是________． ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2x －1＜13，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x ＜23，所以12≤x ＜23.]☞角度3 求参数的取值X 围(1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值X 围是________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2x －1，x ≤1，log a x ，x ＞1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值X 围为________．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 (2)(2,3] [(1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0.综上所述，实数a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0.(2)要使函数f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a －2＞0，f 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ＞2，a －2－1≤0，解得2＜a≤3，即实数a的取值X围是(2,3]．][规律方法] 1.比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．2．解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．3．利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．易错警示：(1)若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．[思想与方法]1．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． [易错与防X]1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点．3．函数在两个不同的区间上单调性相同，要分开写，用“，”隔开，不能用“∪”连结．课时分层训练(五) A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值X 围是________.【导学号：62172026】⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 [由题意知2k ＋1＜0，得k ＜－12.] 2．给定函数：①y ＝x ；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是________．②③ [①y ＝x 在区间(0,1)上单调递增；②y ＝log 12(x ＋1)在区间(0,1)上单调递减；③y ＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，在区间(0,1)上单调递减；④y ＝2x ＋1在区间(0,1)上单调递增．]3．已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值X 围是________. 【导学号：62172027】(－∞，1] [函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，x ≥－a ，－x －a ，x <－a ，即函数f (x )在(－∞，－a )上是减函数，在[－a ，＋∞)上是增函数，要使函数f (x )在(－∞，－1)上单调递减，则－a ≥－1，即a ≤1.]4．函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]上的最大值和最小值分别是________．43，1 [f (x )＝2x x ＋1＝2x ＋1－2x ＋1＝2－2x ＋1在[1,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝43，f (x )min ＝f (1)＝1.]5．设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值X 围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 [由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)， 由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|)． 当x >0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，因为y ＝ln(1＋x )与y ＝－11＋x2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (|x |)>f (|2x －1|)，可得|x |>|2x －1|，两边平方可得x 2>(2x －1)2，整理得3x 2－4x ＋1<0，解得13<x <1.所以符合题意的x 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.] 6．函数f (x )＝－(x －3)|x |的递增区间是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 [f (x )＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，x ＞0，x 2－3x ，x ≤0.作出该函数的图象，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.]7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________．(－∞，2) [当x ≥1时，f (x )＝log 12x ≤log 121＝0.当x <1时，f (x )＝2x∈(0,2)， ∴f (x )的值域为(－∞，2)．]8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x <2，满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值X 围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 [由f x 1－f x 2x 1－x 2<0可知f (x )在R 上是减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1≥2a －2，解得a ≤138.]9．已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________. 【导学号：62172028】b <a <c [∵y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 又2<52<3，且f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (3)， ∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (3)， 即b <a <c .]10．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，则不等式f (x )＋f (x －8)≤2的解集为________．(8,9] [因为2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2可得f [x (x －8)]≤f (9)，f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x x －8≤9，解得8<x ≤9.]二、解答题11．(2017·某某模拟)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． [解] (1)证明：任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1>x 2>0，∴x 1－x 2>0，x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.12．已知f (x )＝xx －a (x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值X 围.【导学号：62172029】[解] (1)证明：设x 1＜x 2＜－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2 ＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2. ∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)f (x )＝xx －a ＝x －a ＋a x －a ＝1＋a x －a ， 当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)上是减函数，又f (x )在(1，＋∞)内单调递减，∴0＜a ≤1，故实数a 的取值X 围是(0,1]．B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于________．6 [由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2. ∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数，∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.]2．(2017·某某模拟)已知函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2]上是增函数，则实数a 的取值X 围是________．[22，22＋2) [设y ＝log 12t ，t ＝x 2－ax ＋a . 因为y ＝log 12t 在(0，＋∞)上是单调减函数，要想满足题意，则t ＝x 2－ax ＋a 在(－∞，2]上为单调减函数，且t min >0，故需⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≥2，22－2a ＋a >0，解得22≤a <2＋2 2.] 3．规定符号“*”表示一种两个正实数之间的运算，即a *b ＝ab ＋a ＋b ，a ，b 是正实数，已知1*k =3，求函数f （x ）=k *x 的值域.[解] 由题意知1]k )＋1＋k ＝3，解得k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以f (x )＝k *x ＝1]x )＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34，因为x ＞0，所以f (x )＞1，即f (x )的值域是(1，＋∞)．4．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．[解] (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，当x >1时，f (x )<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数，∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)． 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)， 而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.。
一轮复习函数的单调性与最值学案
第三讲 函数的单调性与最值ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE 知识梳理·双基自测 知识点一 函数的单调性 1．单调函数的定义增函数 减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的如果函数y ＝f (x )在区间D 上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做函数y ＝f (x )的单调区间．知识点二 函数的最值 前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件 (1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(1)对于任意x ∈I ，都有f (x )≥M ； (2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值 M 为最小值函数y ＝f (u )，u ＝φ(x )，在函数y ＝f [φ(x )]的定义域上，如果y ＝f (u )，u ＝φ(x )的单调性相同，则y ＝f [φ(x )]单调递增；如果y ＝f (u )，u ＝φ(x )的单调性相反，则y ＝f [φ(x )]单调递减．2．单调性定义的等价形式 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]，x 1≠x 2. (1)若有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0或f x 1?－f ?x 2?x 1－x 2>0，则f (x )在闭区间[a ，b ]上是增函数．(2)若有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0或f ?x 1?－f ?x 2?x 1－x 2<0，则f (x )在闭区间[a ，b ]上是减函数．3．函数单调性的常用结论(1)若f (x )，g (x )均为区间A 上的增(减)函数，则f (x )＋g (x )也是区间A 上的增(减)函数． (2)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同，若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反． (3)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f ?x ?的单调性相反． (4)函数y ＝f (x )(f (x )≥0)在公共定义域内与y ＝f ?x ?的单调性相同． 题组一 走出误区1．(多选题)下列结论不正确的是( ABCD )A ．函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)B ．函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)C ．对于任意两个函数值f (x 1)、f (x 2)，当f (x 1)>f (x 2)时都有x 1>x 2，则y ＝f (x )为增函数D ．已知函数y ＝f (x )是增函数，则函数y ＝f (－x )与y ＝1f x ?都是减函数 [解析] 对于A ：单调区间是定义域的子区间，如y ＝x 在[1，＋∞)上是增函数，但它的单调递增区间是R ，而不是[1，＋∞)．对于B ．多个单调区间不能用“∪”符号连接，而应用“，”或“和”连接．对于C ．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x ∈[0，1]，1 x ∈?1，2?，如图．当f (x 1)>f (x 2)时都有x 1>x 2，但y ＝f (x )不是增函数． 对于D ．当f (x )＝x 时，y ＝1f ?x ?＝1x ，有两个减区间，但y ＝1x并不是减函数，而y ＝f (－x )是由y ＝f (t )与t ＝－x 复合而成是减函数．故选A 、B 、C 、D ．题组二 走进教材2．(必修1P 44AT9改编)函数y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则( B ) A ．m >12B ．m <12C ．m >－12D ．m <－12[解析] 使y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则2m －1<0，即m <12.3．(必修1P 32T5改编)已知f (x )＝－2x 2＋x ，x ∈[－1,3]，则其单调递减区间为[14，3]；f (x )min ＝－15.4．(必修1P 32T3改编)设定义在[－1,7]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f (x )在增区间为[－1,1]和[5,7].题组三 考题再现5．(2019·北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是( A ) A ．y ＝x 12 B ．y ＝2－xC ．y ＝log 12xD ．y ＝1x[解析] 对于幂函数y ＝x α，当α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，当α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减，所以选项A 正确；选项D 中的函数y ＝1x 可转化为y ＝x －1，所以函数y ＝1x在(0，＋∞)上单调递减，故选项D 不符合题意；对于指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)，当0<a <1时，y ＝a x在(－∞，＋∞)上单调递减，当a >1时，y ＝a x 在(－∞，＋∞)上单调递增，而选项B 中的函数y ＝2－x可转化为y ＝(12)x ，因此函数y ＝2－x在(0，＋∞)上单调递减，故选项B 不符合题意；对于对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)，当0<a <1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减，当a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增，因此选项C 中的函数y ＝log 12x 在(0，＋∞)上单调递减，故选项C 不符合题意，故选A ．6．(2015·浙江卷，10)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x－3，x ≥1，lg?x 2＋1?，x <1，则f [f (－3)]＝0，f (x )的最小值是22－3.[解析] 由题意知，f (－3)＝1，f (1)＝0，即f [f (－3)]＝0.易得f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝min{f (0)，f (2)}＝22－3.KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点突破·互动探究考点一 函数的单调性考向1 函数单调性的判断与证明——自主练透例1 (1)(多选题)(2020·广东省名校联考改编)设函数f (x )在R 上为增函数，则下列结论中不正确的是( ACD )A ．y ＝|f (x )|在R 上为增函数B ．y ＝2－f (x )在R 上为减函数C ．y ＝－[f (x )]3在R 上为增函数 D ．y ＝log 12f (x )在R 上为减函数(2)已知a >0，函数f (x )＝x ＋a x(x >0)，证明：函数f (x )在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．[解析] (1)A 错，比如f (x )＝x 在R 上为增函数，但y ＝|f (x )|＝|x |在(0，＋∞)上为增函数，在(－∞，0)上为减函数；C 错，比如f (x )＝x 在R 上为增函数，但y ＝－[f (x )]3＝－x 3在R 上为减函数；D 错，比如f (x )＝x 在R 上为增函数，但log 12 x 在(0，＋∞)上为减函数，而在(－∞，0]上没意义．故选A 、C 、D ．(2)证明：设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝(x 1＋a x 1)－(x 2＋a x 2)＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，又x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)． 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，又x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数． 考向2 求函数的单调区间——师生共研例2 求下列函数的单调区间． (1)f (x )＝－x 2＋2|x |＋3； (2)f (x )＝log 12 (－x 2＋4x ＋5)；(3)f (x )＝x －ln x .[分析] (1)可用图象法或化为分段函数或用化为复合函数求解； (2)复合函数求解； (3)导数法．[解析] (1)解法一：(图象法)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3?x ≥0?，－x 2－2x ＋3?x <0?，其图象如图所示，所以函数y ＝f (x )的单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]；单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．解法二：(化为分段函数求解)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3?x ≥0?－x 2－2x ＋3?x <0?＝⎩⎪⎨⎪⎧－?x －1?2＋4?x ≥0?－?x ＋1?2＋4?x <0?y ＝－(x －1)2＋4(x ≥0)图象开口向下，对称轴为x ＝1，∴增区间为(0,1)，减区间为(1，＋∞)； y ＝－(x ＋1)2＋4(x <0)图象开口向下，对称轴为x ＝－1，∴增区间为(－∞，－1)，减区间为(－1,0)；∴f (x )的增区间为(0,1)、(－∞，－1)，减区间为(1，＋∞)、(－1,0)．解法三：(复合函数法)函数由y ＝－u 2＋2u ＋3(u ≥0)和u ＝|x |复合而成，y ＝－u 2＋2u ＋3(u ≥0)的对称轴为u ＝1，由|x |＝1得x ＝±1.x (－∞，－1) (－1,0) (0,1) (1，＋∞) u (1，＋∞)(0,1)(0,1)(1，＋∞)u ＝|x | y ＝－u 2＋2u ＋3f (x )∴f (x )在增区间为(－∞，－1)，(0,1)，减区间为(－1,0)，(1，＋∞)．(2)由－x 2＋4x ＋5>0得－1<x <5.令u ＝－x 2＋4x ＋5，x ∈(－1,5)，则f (x )＝log 12 u .∵x ∈(－1,2]，u 为增函数；x ∈(2,5)时，u 为减函数．又y ＝log 12 u 在(0，＋∞)上为减函数，据复合函数“同增异减”的性质知f (x )的单调递增区间为(2,5)；单调递减区间为(－1,2]．(3)由题意，得x 0.y0.y ′＝1－1x ＝x －1x.x (0,1) 1 (1，＋∞)y ′ －0 ＋ y极小值由上表可知，函数的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)． [引申1]本例(1)f (x )＝|－x 2＋2x ＋3|的增区间为(－1,1)和(3，＋∞).[解析] 作出f (x )＝|－x 2＋2x ＋3|的图象，由图可知所示增区间为(－1,1)和(3，＋∞)．[引申2]本例(2)f (x )＝log a (－x 2＋4x ＋5)(a >1)的增区间为(－1,2].名师点拨 ?求函数的单调区间(确定函数单调性)的方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知单调性的函数的和、差或复合函数，再求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象直接写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．(5)求复合函数的单调区间的一般步骤是：①求函数的定义域；②求简单函数的单调区间；③求复合函数的单调区间，依据是“同增异减”．注意：(1)求函数单调区间，定义域优先．(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”连接，也不能用“或”连接．〔变式训练1〕(1)f (x )＝x1－x在( C )A ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数B ．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数C ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数D ．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数(2)下列函数中，满足“?x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( C ) A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)(3)函数f (x )＝(a －1)x ＋2在R 上单调递增，则函数g (x )＝a |x －2|的单调递减区间是(－∞，2].(4)函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是( B )A ．[0，12]B ．[a ，1]C ．(－∞，0)∪[12，＋∞)D ．[a ，a ＋1][解析] (1)f (x )＝x －1＋11－x ＝11－x －1＝－1x －1－1，f (x )在(－∞，1)和(1，＋∞)上都为增函数，故选C ．(2)由已知得f (x )在(0，＋∞)上为减函数的是f (x )＝1x－x ，故选C ．(3)由已知得a －1>0，∴a >1，∴g (x )＝a|x －2|减区间为g ＝|x －2|减区间，(－∞，2]，故填(－∞，2]．(4)设g (x )＝f (t )，t ＝log a x (0<a <1)，由图象知，y ＝f (t )的增区间为[0，12]，即0≤log a x ≤12，∴a≤x ≤1.故选B ．考向3 函数单调性的应用——多维探究 角度1 利用函数的单调性比较大小例3 已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( D )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c[解析] 由已知得f (x )在(1，＋∞)上单调递减，又f (－12)＝f (52)，∵e>52>2，∴f (e)<f (52)<f (2)，即c <a <b .故选D ．角度2 利用单调性求参数的取值范围例4 (1)(2020·江西赣州南康中学高三上第三次月考)若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( A )A ．[1,2)B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)(2)(2020·广东汕头湖南区第一次模拟)如果函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2m －1?x ＋34，x ≥1，m x ，x <1在R 上单调递减，那么实数m 的取值范围为(0，14].[解析] (1)令u ＝x 2－2ax ＋1＋a ，则f (u )＝lg u ，配方得u ＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2－a 2＋a ＋1，故对称轴为直线x ＝a ，如图．由图象可知，当a ≥1时，u ＝x 2－2ax ＋1＋a 在区间(－∞，1]上单调递减．又真数x 2－2ax ＋1＋a >0，二次函数u ＝x 2－2ax ＋1＋a 在(－∞，1]上单调递减，故只需当x ＝1时，x 2－2ax ＋1＋a >0，代入x ＝1解得a <2，所以a 的取值范围是[1,2)．故选A ．(2)若g (x )为减函数，必有⎩⎪⎨⎪⎧2m －1<0，0<m <1，2m －1?＋34≤m ，解得0<m ≤14，即m 的取值范围为(0，14]．角度3 利用单调性解不等式例5 (2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( D )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3][解析] 因为f (1)＝－1，且f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝1，因为－1≤f (x －2)≤1，所以f (1)≤f (x －2)≤f (－1)，又f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，所以－1≤x －2≤1，解得1≤x ≤3，故选D ．名师点拨 ?函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)利用单调性求参数时，通常要把参数视为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较，利用区间端点间关系求参数．求解时注意函数定义域的限制，遇分段函数注意分点处左、右端点函数值的大小关系．(3)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．〔变式训练2〕(1)(角度1)e 416，e 525，e636(其中e 为自然常数)的大小关系是( A )A ．e 416<e 525<e 636 B ．e 636<e 525<e 416 C ．e 525<e 416<e 636D ．e 636<e 416<e 525(2)(角度2)(2020·云南曲靖一中高三质量监测)已知函数f (x )对?x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，满足f ?x 2?－f ?x 1?x 1－x 2<0，并且f (x )的图象经过A (3,7)，B (－1,1)两点，则不等式|f (x )－4|<3的解集是(－1,3).(3)(角度3)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4，若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是( D )A ．(－∞，1]B ．[1,4]C ．[4，＋∞)D ．(－∞，1]∪[4，＋∞)[解析] (1)构造函数f (x )＝exx2.因为e 416＝e 442，e 525＝e 552，e 636＝e 662，所以f (4)＝e 416，f (5)＝e 525，f (6)＝e636.而f ′(x )＝(e xx 2)′＝e x·x 2－e x ·2x x 4＝e x ?x 2－2x ?x4， 令f ′(x )>0，得x <0或x >2， 即函数f (x )在(2，＋∞)内单调递增， 因此有f (4)<f (5)<f (6)，即e 416<e 525<e 636.(2)∵对?x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，函数f (x )满足f ?x 2?－f ?x 1?x 1－x 2<0，∴f (x )在R 上为增函数．由|f (x )－4|<3得－3<f (x )－4<3，∴1<f (x )<7.又f (x )的图象经过A (3,7)，B (－1,1)两点，∴f (－1)<f (x )<f (3)，∴－1<x <3，故不等式的解集为(－1,3)．(3)画出函数f (x )的图象如图，由函数f (x )的图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，解得a ≤1或a ≥4，即a 的取值范围为(－∞，1]∪[4，＋∞)．故选D ．考点二 函数的最值——自主练透例6 (1)(2020·厦门质检)函数f (x )＝(13)x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上有最大值为3.(2)(2020·广东广州执信中学高三上测试)已知函数f (x )＝log a (x 2＋x －1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大2，则a 的值为( D )A ．2B ． 5C ．55D ．5或55[解析] (1)∵y ＝(13)x 和y ＝－log 2(x ＋2)都是[－1,1]上的减函数，∴y ＝(13)x－log 2(x ＋2)是在区间[－1,1]上的减函数，∴最大值为f (－1)＝3.(2)因为y ＝x 2＋x －1在[1,2]上单调递增，所以函数f (x )＝log a (x 2＋x －1)在区间[1,2]上的最大值与最小值分别是f (1)，f (2)或f (2)，f (1)．因为函数f (x )＝log a (x 2＋x －1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大2，所以|f (1)－f (2)|＝2，即|log a 5|＝2，得a ＝5或a ＝55.故选D ． 名师点拨 ?利用单调性求最值，应先确定函数的单调性，然后根据性质求解．若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b )．MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG 名师讲坛·素养提升抽象函数的单调性问题例7 已知定义在R 上的函数f (x )对任意实数x ，y ，恒有f (x )＋f (y )＝f (x ＋y )，f (1)＝－23，且当x >0时，f (x )<0.(1)求证：f (x )为奇函数； (2)求证：f (x )在R 上是减函数；(3)求f (x )在[－3,6]上的最大值与最小值．[解析] (1)证明：令x ＝y ＝0，可得f (0)＋f (0)＝f (0＋0)＝f (0)，从而f (0)＝0. 令y ＝－x ，可得f (x )＋f (－x )＝f (x －x )＝f (0)＝0， 即f (－x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(2)证明：对任意x 1，x 2∈R ，不妨设x 1>x 2，则x 1－x 2>0，于是f (x 1－x 2)<0，从而f (x 1)－f (x 2)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]－f (x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)－f (x 2)＝f (x 1－x 2)<0， 所以f (x )在R 上是减函数．(3)由(2)知，所求函数在[－3,6]上的最大值为f (－3)，最小值为f (6)． 因为f (－3)＝－f (3)＝－[f (2)＋f (1)]＝－[2f (1)＋f (1)]＝－3f (1)＝2，f (6)＝－f (－6)＝－[f (－3)＋f (－3)]＝－4.所以f (x )在[－3,6]上的最大值为2，最小值为－4. 名师点拨 ?对于抽象函数单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x 1，x 2在所给区间内比较f (x 1)－f (x 2)与0的大小，或f ?x 1?f ?x 2?与1的大小．有时根据需要，需作适当的变形，如x 1＝x 2＋x 1－x 2或x 1＝x 2·x 1x 2等．深挖已知条件，是求解此类题的关键．在客观题的求解中，解这类题目也可考虑用特殊化方法，如本题可依题目条件取f (x )＝－23x .〔变式训练3〕f (x )的定义域为(0，＋∞)，且对一切x >0，y >0都有f (x y)＝f (x )－f (y )，当x >1时，有f (x )>0. (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的单调性并证明；11/11 (3)若f (6)＝1，解不等式f (x ＋5)－f (1x)<2. [解析] (1)f (1)＝f (x x )＝f (x )－f (x )＝0.(2)f (x )在(0，＋∞)上是增函数．证明：设0<x 1<x 2，则由f (x y )＝f (x )－f (y )，得f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2x 1)，因为x 2x 1>1，所以f (x 2x 1)>0.所以f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(3)因为f (6)＝f (366)＝f (36)－f (6)，又f (6)＝1，所以f (36)＝2，原不等式化为：f (x 2＋5x )<f (36)，又因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋5>0，1x >0，x 2＋5x <36，解得0<x <4.∴不等式的解集为{x |0<x <4}．。
一轮复习利用导数研究函数单调性
2.若典例中的函数变为f(x)=(a-1)ln x+ax2+1,a∈R, 试讨论f(x)的单调性.
a 1 【解析】f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= +2ax x 2ax 2 a 1 = . x
(1)当a≥1时,f′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增. (2)当a≤0时,f′(x)<0,故f(x)在(0,+∞)上单调递减.
3ax2+2bx+c=0有两个不同的正根,所以 c>0,- 2b >0,b<0.
3a c >0,所以 3a
2.已知函数f(x)=ln x+a(1-x),讨论f(x)的单调性. 【解析】f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)= 1 -a.
x
若a≤0,则f′(x)>0恒成立, 所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.
【解析】由题意得f′(x)=ex[ax2+(2a-2)x](a>0),
2 2a 令f′(x)=0,解得x1=0,x2= . a
(1)当0<a<1时,f(x)的单调递增区间为(-∞,0)和
2 2a ( , ), 单调递减区间为 (0, 2 2a ). a a
(2)当a=1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递增; (3)当a>1时,f(x)的单调递增区间为 ( , 2 2a ) 和 (0,+∞),单调递减区间为 ( 2 2a ,0).
(3)得出结论:f′(x)>0时为增函数,f′(x)<0时为减函 数. 提醒:研究含参数函数的单调性时,需注意依据参数取 值对不等式解集的影响进行分类讨论.
【教案】《函数的单调性与最值》公开课教学设计
公开课《函数的单调性与最值》教学设计（建阳一中市级公开周）函数的单调性是函数应用中最基本、最重要的知识点，求函数的最值都离不开单调性，而单调性的基础数形结合，这类题型是历年高考的热点，也是难点，针对这类基础薄弱的学生，起点不宜太高，只能从最基础的部分拾起，以题目贯穿内容，逐级而上.教学方法：提示练习探讨法教学过程一、复习引入1．函数的单调性 (1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是增函数当x 1<x 2时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说函数f (x )在区间D 上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的2．函数的最值前提 设函数y ＝f (x )的定义域为I ，如果存在实数M 满足条件 (1)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≤M ； (2)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M(3)对于任意的x ∈I ，都有f (x )≥M ； (4)存在x 0∈I ，使得f (x 0)＝M结论M 为最大值M 为最小值二、新课讲授典例讲解问题一：不含参数的函数的单调性例1.求函数 12-=x y 在区间[2，6]上的最大值和最小值．.求函数 []10,2,16)(∈+=x xx x f 的最大值.例2.求下列函数的最值. （1）2)(x x f =(2)[)3,0,12)(2∈--=x x x x f2(3)()21[1,1]f x x ax =---求函数在上的最小值。
【题后感悟】(1)如何求二次函数在闭区间[m,n]上的最值？ 确定二次函数的对称轴，如x=a;根据对称轴与给定区间的位置关系分类讨论； 结合图象明确函数的单调区间进而求解.(2)二次函数在闭区间上的最值只可能在区间的端点处及二次函数图象的对称轴处取得.跟踪练习.][)[][).()(1,3)(3,22)(0,2)1(,32)(2t g x f t t x x f x x f x x x f x的最小值时，求）当（的最值；时，求）当（的最值；时，求当已知二次函数+∈-∈-∈+-=课堂小结利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法 1. 利用图象求函数的最大(小)值2.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值3.利用函数单调性判断函数的最大(小)值 （1）如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递增，则函数y=f(x)在x=a 处有最小值f(a),在x=b 处有最大值f(b) ；（2）如果函数y=f(x)在区间[a ，b]上单调递减，在区间[b ，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b)；若函数f(x)＝ax2－(2a＋1)x＋a＋1对于x∈[－1，1]时恒有f(x)≥0，则实数a的取值范围是________.。
第三高考数学一轮复习 函数的单调性与最值教案
城东蜊市阳光实验学校第三中学高考数学一轮复习函数的单调性与最值教案①利用函数的单调性．②定义法：先求定义域，再利用单调性定义．③图象法：假设f(x)是以图象形式给出的，或者者者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．④导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间． 5.函数的最值 设函数y ＝f(x)的定义域为I ，假设存在实数M 满足：(1)对于任意的x ∈I ，都有．(2)存在x0∈I ，使得.那么，我们称M 是函数y ＝f(x)的．最值与函数的值域有何关系？【提示】函数的最小值与最大值分别是函数值域中的最小元素与最大元素；任何一个函数，其值域必定存在，但其最值不一定存在。
(1) 求一个函数的最值时，应首先考虑函数的定义域．(2)函数的最值是函数值域中的一个取值，是自变量x 取了某个值时的对应值，故函数获得最值时，一定有相应的x 的值．前提自测 1．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在(－∞，＋∞)上是减函数，那么 (D) 2．假设函数y ＝ax 与y ＝－x b在(0，＋∞)上都是减函数，那么y ＝ax2＋bx 在(0，＋∞)上是 (B) A ．增函数 B ．减函数C ．先增后减 D ．先减后增. 3．函数()f x =223x ax -+在区间(],2-∞上是单调函数,那么实数的取值范围是a≥2.4．设x1，x2为y ＝f(x)的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题： ①(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0； ②(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0；其中能推出函数y ＝f(x)为增函数的命题为__①_③_____5.函数2()23f x x x =-+在[]0,m 上有最大值3,最小值2,那么正数m 的取值范围1≤m≤2.6.证明函数x x x f 3)(3+=在),(+∞-∞上是增函数 自主﹒﹒探究 例1答案：a ＞0:f(x)为减函数。
a ＜0:f(x)为增函数。
函数单调性与最值的综合(一轮复习教案)
学习过程一、复习预习1.函数的值域1．定义：在函数()y f x =中，与自变量x 的值对应的因变量y 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。
2．确定函数的值域的原则①当函数()y f x =用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合；②当函数()y f x =用图象给出时，函数的值域是指图象在y 轴上的投影所覆盖的实数y 的集合； ③当函数()y f x =用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定； ④当函数()y f x =由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际意义确定。
二、知识讲解常见函数的值域：1 一次函数的)0(≠+=a b ax y 的定义域为R ，值域为R ，对于一个R 中的任意一个数，对R 中都有为唯一的数与它相对应。
2 二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的定义域为R ，值域为B 。
当0>a 时，}44{2ab ac y y B -≥=，当0<a 时，}44{2a b ac y y B -≤=，对R 中都有为唯一的数与它相对应。
3反比例函数()0ky k x=≠的值域为{}0y R y ∈≠.4求函数值域的方法：观察法，配方法，换元法，分离常数法,反解法，判别式法等。
单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2)（2）如果函数y =f (x )在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y =f (x )在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y =f (x )的单调区间。
高三一轮复习函数的单调性
高三总复习 数学 (大纲版)
高三总复习 数学 (大纲版)
3．函数fx＝ax－1＋logaxa>0且a≠1在12上的最大值与 最小值之和为a则a的值为________．
高三总复习 数学 (大纲版)
解析：函数y＝ax－1和y＝logax在公共定义域内具有相 同的单调性在12区间上的最值对应着函数的最值故a1－1＋ loga1＋a2－1＋loga2＝1＋a＋loga2＝a可得loga2＝－1求得
答案 B
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拓展提升 此题应用了分类讨论的思想并用求导的方 法来讨论其单调性．
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已知y＝loga2－ax在01上是x的减函数则a的取值范围是
A．01 C．02
B．12 D．2＋∞
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解析：a是对数的底数所以a>0设gx＝2－ax则gx在区 间01上是减函数．
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4．如果二次函数 f(x)＝x2－(a－1)x＋5 在区间(12，1) 上是增函数，求 f(2)的取值范围．
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解：二次函数 f(x)在区间(12，1)上是增函数， 由于其图象(抛物线)开口向上， 故其对称轴 x＝a－2 1或与直线 x＝12重合或位于直线 x＝21 的左侧，于是a－2 1≤12，解得 a≤2， 故 f(2)＝－2a＋11≥－2×2＋11＝7，即 f(2)≥7.
高考一轮复习---函数的单调性与最值知识点与题型
高考一轮复习---函数的单调性与最值知识点与题型一、基础知识1．增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I：(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征：一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．2．单调性、单调区间若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.有关单调区间的两个防范：(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．函数最值存在的两条结论：(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．二、常用结论在公共定义域内：(1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数；(2)函数f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)＋g(x)是减函数；(3)函数f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)是增函数；(4)函数f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)是减函数；(5)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反；(6)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )的单调性相反； (7)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”．三、考点解析考点一 确定函数的单调性(区间))例、(1)求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间．(2)试讨论函数f (x )＝ax x －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．跟踪训练1．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( )A ．f (x )＝2xB ．f (x )＝|x －1|C ．f (x )＝1x－x D ．f (x )＝ln(x ＋1) 2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－2)3．判断函数f (x )＝x ＋a x(a >0)在(0，＋∞)上的单调性． 考点二 求函数的值域(最值))例、(1)(2019•深圳调研)函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．(2)若函数f (x )＝－a x ＋b (a >0)在]2,21[上的值域为]2,21[，则a ＝________，b ＝________. (3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ，x ≤0，sin x ，x >0的最大值为________．注： (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．跟踪训练1．函数f (x )＝x 2＋4x的值域为________． 2．若x ∈]32,6[ππ-，则函数y ＝4sin 2x －12sin x －1的最大值为________，最小值为________．3．已知f (x )＝x 2＋2x ＋a x，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．考点三 函数单调性的应用考法(一) 比较函数值的大小例、偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)[解题技法] 比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．考法(二) 解函数不等式例、设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <2，x 2，x ≥2.若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，1] B ．(－∞，2] C ．[2,6] D ．[2，＋∞)[解题技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x )<h (x ))．考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)例、已知函数f (x )＝x －a x ＋a 2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[解题技法]利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．跟踪训练1．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝)21(-f ，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是课后作业一1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( )A ．f (x )＝3－xB ．f (x )＝x 2－3xC ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x | 2．若函数f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的单调递增区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)4．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．125．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2－ax －5，x ≤1，a x，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3,0) B ．(－∞，－2] C ．[－3，－2] D ．(－∞，0)7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________．8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________． 9．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________. 10．若f (x )＝x ＋a －1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 11．已知函数f (x )＝1a －1x(a ＞0，x ＞0)． (1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在]2,21[上的值域是]2,21[，求a 的值．12．已知f (x )＝x x －a(x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围．课后作业二1．若f(x)＝－x2＋4mx与g(x)＝2mx＋1在区间[2,4]上都是减函数，则m的取值范围是()A．(－∞，0)∪(0,1] B．(－1,0)∪(0,1] C．(0，＋∞) D．(0,1] 2．已知函数f(x)＝ln x＋x，若f(a2－a)>f(a＋3)，则正数a的取值范围是________．3．已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋1，②当x>0时，f(x)>－1.(1)求f(0)的值，并证明f(x)在R上是单调增函数;(2)若f(1)＝1，解关于x的不等式f(x2＋2x)＋f(1－x)>4.。
函数单调性与极值教案
函数单调性与极值（三课时)第一课时教学目的：进一步熟悉函数单调性的定义，熟悉用定义证明函数单调性；直观地理解导数的符号与单调性的关系，能用求导的方法判断函数单调性以及求函数单调区间教学重点：导数与函数单调性的关系教学难点：导数与函数单调性的关系教学过程：一、复习：1．多项式的导数求法，函数在某一点处的导数与这一点处的切线斜率的关系巩固练习：(1)若曲线y=x 3在点Ｐ处的切线的斜率等于３，则点Ｐ的坐标为( )(A) (2,8) (B) (-2,-8) (C) (-1,-1)或(1,1) (D) (-1/2,-1/8)(2)若曲线y=x 5/5上一点Ｍ处的切线与直线y=3-x 垂直，则此切线方程为( )(A) 5x+5y-4=0 (B) 5x-5y-4=0 (C) 5x-5y+4=0 (D)以上皆非(3)曲线y=x 3/3-x 2+5在点Ａ处的切线的倾角为3π/4，则Ａ的坐标为 .2．调递增与单调递减的意义3．如何用定义法证明函数的单调性例1 已知函数y=2x 3-6x 2+7,求证：这个函数在区间(0,2)上是单调递增的.引入：在上述运算过程中我们发现运算量比较大，而且还涉及到符号判断，有一定的难度。
但是函数单调性体现出了函数值y 随自变量x 的变化而变化的情况,而导数也正是研究自变量的增加量与函数值的增加量之间的关系，于是我们设想一下能否利用导数来研究单调性呢？若函数在区间(a,b)内单调递增，则当x 增大时，y 变小，因此当自变量x 的增量△x 大于0时，函数值y 的增量△y 也大于零，于是为正，当△x 无限趋x y ∆∆近于零时，的根限值为正，因此对应的导数值为正，反之亦然.xy ∆∆同理，若函数在区间(a,b)内单调递减，则在(a,b)内的每一点处的导数值为负，反之亦然.说明：引入时可用几何画板演示说明：一般地，设函数y=f(x)在某个区间内有导数，如果在这个区间内>0，那么'y y=f(x)为这个区间内的增函数；如果在这个区间内<0，那么y=f(x)为这个区间'y内的减函数.回顾：证明函数在某区间上的单调性的常用方法：(1)单调性定义法(2)导数判断法二、例题例2 确定函数y=2x 3-6x 2+7的单调区间，并分别说明在各单调区间内的单调性回顾：用导数法确定函数的单调性时，一般的步骤是：(1)求出函数的导函数)('x f (2)求解不等式>0，求得其解集，再根据解集写出单调递增区间)('x f (3)求解不等式<0，求得其解集，再根据解集写出单调递减区间)('x f 值得注意的是不等式的解集与单调区间不是同一个概念，若解是由几部份的“并”组成的，则单调区间不应有“并集”运算出现。
高三数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用第2课时 函数的单调性与最值精品课件
3．若函数 y＝ax 与 y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则 y＝ax2
＋bx 在(0，＋∞)上是( )
A．增函数
B．减函数
C．先增后减
D．先减后增
解析： ∵函数y＝ax与y＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，
∴a＜0，b＜0，
∴函数y＝ax2＋bx的图象的对称轴为x＝－2ba＜0，
∴函数y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上是减函数． 答案： B
解析： 要使函数有意义，则16－4x≥0.又因为4x＞0，
∴0≤16－4x＜16，即函数y＝ 16－4x的值域为[0,4)．
答案： C
2．(2009·福建卷)下列函数f(x)中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋
∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是( )
A．f(x)＝1x
B．f(x)＝(x－1)2
C．f(x)＝ex
D．f(x)＝ln(x＋1)
解析： 由题意知函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
在A中，由f′(x)＝－x12＜0得x在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数；
在B中，由f′(x)＝2(x－1)＜0得x＜1，所以f(x)在(－∞，1)上为减函
数；
在C中，由f′(x)＝ex＞0知f(x)在R上为增函数；
在D中，由f′(x)＝
1 x＋1
且x＋1＞0和f′(x)＞0，所以f(x)在(－1，＋∞)
上为减函数． 答案： A
x2＋4x 3．(2009·天津卷)已知函数f(x)＝ 4x－x2
x≥0， x＜0.
若f(2－a2)＞
f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)
B．(－1,2)
练规范、练技能、练速度
高考理科数学一轮总复习第二章函数的单调性与最值
第2讲函数的单调性与最值一、知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义在函数y＝f(x)的定义域内的一个区间A上，如果对于任意两数x1，x2∈A当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是增加的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递增的当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么，就称函数y＝f(x)在区间A上是减少的，有时也称函数y＝f(x)在区间A上是递减的①如果y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．②如果函数y＝f(x)在定义域的某个子集上是增加的或是减少的，那么就称函数y＝f(x)在这个子集上具有单调性．(3)单调函数如果函数y＝f(x)在整个定义域内是增加的或是减少的，我们称这个函数为增函数或减函数，统称为单调函数．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；(2)存在x ∈I ，使得f (x )＝M(2)存在x ∈I ，使得f (x )＝M结论 M 为最大值M 为最小值1．函数单调性的两种等价形式 设任意x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，(1)f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．(2)(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．2．五条常用结论(1)对勾函数y ＝x ＋ax (a ＞0)的增区间为(－∞，－a ]和[a ，＋∞)，减区间为[－a ，0)和(0，a ]．(2)在区间D 上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数． (3)函数f (g (x ))的单调性与函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的单调性的关系是“同增异减”． (4)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．(5)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值． 二、教材衍化1．函数f (x )＝x 2－2x 的递增区间是________． 答案：[1，＋∞)(或(1，＋∞))2．若函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围是________． 解析：因为函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，所以2k ＋1＜0，即k ＜－12.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－12 3．已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2，6]，则f (x )的最大值为________，最小值为__________．解析：可判断函数f (x )＝2x －1在[2，6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25. 答案：2 25一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若定义在R 上的函数f (x )，有f (－1)<f (3)，则函数f (x )在R 上为增函数．( ) (2)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数f (x )的递增区间是[1，＋∞)．( ) (3)函数y ＝1x 的递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(4)所有的单调函数都有最值．( )(5)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数．( )(6)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点处取到． ( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)求单调区间忘记定义域导致出错； (2)对于分段函数，一般不能整体单调，只能分段单调； (3)利用单调性解不等式忘记在单调区间内求解； (4)混淆“单调区间”与“在区间上单调”两个概念． 1．函数y ＝log 12(x 2－4)的递减区间为________．答案：(2，＋∞)2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（a －2）x ，x ≥2，⎝⎛⎭⎫12x －1，x <2是定义在R 上的减函数，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，2（a －2）≤⎝⎛⎭⎫122－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a <2，a ≤138，即a ≤138.答案：⎝⎛⎦⎤－∞，138 3．函数y ＝f (x )是定义在[－2，2]上的减函数，且f (a ＋1)<f (2a )，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a ＋1≤2，－2≤2a ≤2，a ＋1>2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧－3≤a ≤1，－1≤a ≤1，a <1.所以－1≤a <1. 答案：[－1，1)4．(1)若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是________；(2)若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2的递减区间为(－∞，4]，则a 的值为________． 答案：(1)a ≤－3 (2)－3确定函数的单调性(区间)(多维探究) 角度一 给出具体解析式的函数的单调性(1)函数f (x )＝|x 2－3x ＋2|的递增区间是( )A.⎣⎡⎭⎫32，＋∞ B ．⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞) C ．(－∞，1]和⎣⎡⎦⎤32，2D ．⎝⎛⎦⎤－∞，32和[2，＋∞) (2)函数y ＝x 2＋x －6的递增区间为________，递减区间为________．【解析】 (1)y ＝|x 2－3x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2，x ≤1或x ≥2，－（x 2－3x ＋2），1＜x ＜2. 如图所示，函数的递增区间是⎣⎡⎦⎤1，32和[2，＋∞)；递减区间是(－∞，1)和⎝⎛⎭⎫32，2.故选B.(2)令u ＝x 2＋x －6，则y ＝x 2＋x －6可以看作是由y ＝u 与u ＝x 2＋x －6复合而成的函数． 令u ＝x 2＋x －6≥0，得x ≤－3或x ≥2.易知u ＝x 2＋x －6在(－∞，－3]上是减函数，在[2，＋∞)上是增函数，而y ＝u 在[0，＋∞)上是增函数，所以y ＝x 2＋x －6的递减区间为(－∞，－3]，递增区间为[2，＋∞)． 【答案】 (1)B (2)[2，＋∞) (－∞，－3] 角度二 含参函数的单调性(一题多解)判断并证明函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1，1)上的单调性．【解】 法一：设－1＜x 1＜x 2＜1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，f (x 1)－f (x 2)＝a⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1 ＝a （x 2－x 1）（x 1－1）（x 2－1），由于－1＜x 1＜x 2＜1，所以x 2－x 1＞0，x 1－1＜0，x 2－1＜0， 故当a ＞0时，f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，函数f (x )在(－1，1)上是减少的；当a ＜0时，f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 函数f (x )在(－1，1)上是增加的． 法二：f ′(x )＝a （x －1）－ax （x －1）2＝－a（x －1）2，所以当a >0时，f ′(x )<0，当a <0时，f ′(x )>0， 即当a >0时，f (x )在(－1，1)上为减函数， 当a <0时，f (x )在(－1，1)上为增函数．确定函数单调性的4种方法(1)定义法．利用定义判断．(2)导数法．适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数．(3)图象法．由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接．(4)性质法．利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性．[提醒] 求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间．1．函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的递减区间是________． 解析：由题意知，当x ≥0时，y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4；当x ＜0时，y ＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4，二次函数的图象如图，由图象可知，函数y ＝－x 2＋2|x |＋3的递减区间为[－1，0]，[1，＋∞)．答案：[－1，0]，[1，＋∞)2．判断并证明函数f (x )＝ax 2＋1x (其中1＜a ＜3)在x ∈[1，2]上的单调性．解：设1≤x 1＜x 2≤2，则 f (x 2)－f (x 1)＝ax 22＋1x 2－⎝⎛⎭⎫ax 21＋1x 1 ＝(x 2－x 1)⎣⎡⎦⎤a （x 1＋x 2）－1x 1x 2， 由1≤x 1＜x 2≤2，得x 2－x 1＞0，2＜x 1＋x 2＜4， 1＜x 1x 2＜4，－1＜－1x 1x 2＜－14.又1＜a ＜3，所以2＜a (x 1＋x 2)＜12，得a (x 1＋x 2)－1x 1x 2＞0，从而f (x 2)－f (x 1)＞0，即f (x 2)＞f (x 1)，故当a ∈(1，3)时，f (x )在[1，2]上是增加的．求函数的最值(师生共研)(1)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________． (2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1，x ＋6x－6，x >1，则f (x )的最小值是________．【解析】 (1)由于y ＝⎝⎛⎭⎫13x 在R 上递减，y ＝log 2(x ＋2)在[－1，1]上递增，所以f (x )在[－1，1]上递减，故f (x )在[－1，1]上的最大值为f (－1)＝3.(2)当x ≤1时，f (x )min ＝0，当x >1时，f (x )min ＝26－6，当且仅当x ＝6时取到最小值，又26－6<0，所以f (x )min ＝26－6.【答案】 (1)3 (2)26－6求函数最值的5种常用方法及其思路1．函数f (x )＝1x －1在区间[a ，b ]上的最大值是1，最小值是13，则a ＋b ＝________．解析：易知f (x )在[a ，b ]上为减函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f （a ）＝1，f （b ）＝13，即⎩⎨⎧1a －1＝1，1b －1＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝4. 所以a ＋b ＝6. 答案：62．(一题多解)对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．解析：法一：在同一直角坐标系中， 作出函数f (x )，g (x )的图象， 依题意，h (x )的图象如图所示． 易知点A (2，1)为图象的最高点， 因此h (x )的最大值为h (2)＝1.法二：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数， 当x ＞2时，h (x )＝3－x 是减函数， 所以h (x )在x ＝2处取得最大值h (2)＝1.答案：1函数单调性的应用(多维探究) 角度一 比较大小已知函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (e)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c【解析】 因为f (x )的图象关于直线x ＝1对称． 所以f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时， [f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，知f (x )在(1，＋∞)上单调递减．因为1<2<52<e ，所以f (2)>f ⎝⎛⎭⎫52>f (e)，所以b >a >c . 【答案】 D角度二 解函数不等式已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln （x ＋1），x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1，2)D ．(－2，1)【解析】 因为当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，所以函数f (x )的图象是一条连续的曲线．因为当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数， 当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数， 所以函数f (x )是定义在R 上的增函数． 因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ， 即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1. 【答案】 D角度三 根据函数的单调性求参数(1)(2020·南阳调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x >4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上是增加的，则实数a的取值范围是________．【解析】 (1)法一：设1<x 1<x 2，所以x 1x 2>1. 因为函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数， 所以f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0.因为x 1－x 2<0，所以1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.因为1<x 1<x 2，x 1x 2>1，所以－x 1x 2<－1，所以a ≥－1. 所以a 的取值范围是[－1，＋∞)． 法二：由f (x )＝x －a x ＋a 2得f ′(x )＝1＋ax 2，由题意得1＋ax2≥0(x ＞1)，可得a ≥－x 2，当x ∈(1，＋∞)时，－x 2＜－1. 所以a 的取值范围是[－1，＋∞)．(2)作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上是增加的，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.【答案】 (1)[－1，＋∞) (2)(－∞，1]∪[4，＋∞)函数单调性应用问题的3种常见类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．[提醒] ①若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；②分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．1．(2020·武汉模拟)若函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，1]解析：选B.因为函数f (x )＝2|x －a |＋3＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2a ＋3，x ≥a －2x ＋2a ＋3，x ＜a ， 因为函数f (x )＝2|x －a |＋3在区间[1，＋∞)上不单调， 所以a ＞1.所以a 的取值范围是(1，＋∞)．故选B.2．定义在[－2，2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )＞f (2a －2)，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1，2)B ．[0，2)C ．[0，1)D ．[－1，1)解析：选C.因为函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2， 所以函数f (x )在[－2，2]上是增加的，所以－2≤2a －2＜a 2－a ≤2，解得0≤a ＜1，故选C.[基础题组练]1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C.当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 是( )A ．(－∞，0)B ．⎣⎡⎦⎤0，12C ．[0，＋∞)D ．⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：选B.y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），x ≥0，－x （1－x ），x ＜0＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x ＜0函数y 的草图如图所示．由图易知原函数在⎣⎡⎦⎤0，12上递增．故选B. 3．若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均为增函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－113，－3 B ．[－6，－4] C ．[－3，－22]D ．[－4，－3]解析：选B.由于f (x )为R 上的偶函数，因此只需考虑函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性即可．由题意知函数f (x )在[3，＋∞)上为增函数，在[1，2]上为减函数，故－a2∈[2，3]，即a ∈[－6，－4]．4．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上递增，则满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B ．⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D.因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)<f ⎝⎛⎭⎫13. 所以0≤2x －1<13，解得12≤x <23.5．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C.由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，所以f (x )的最大值为6.6．函数f (x )＝4－x －x ＋2的值域为________．解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧4－x ≥0，x ＋2≥0，所以－2≤x ≤4，所以函数f (x )的定义域为[－2，4]．又y 1＝4－x ，y 2＝－x ＋2在区间[－2，4]上均为减函数， 所以f (x )＝4－x －x ＋2在[－2，4]上为减函数， 所以f (4)≤f (x )≤f (－2)． 即－6≤f (x )≤ 6. 答案：[－6，6]7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．解析：由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.函数图象如图所示，其递减区间是[0，1)．答案：[0，1)8．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（3a －1）x ＋4a ，x <1，－ax ，x ≥1是定义在R 上的减函数，则a 的取值范围是________．解析：由题意知，⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，（3a －1）×1＋4a ≥－a ，a >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <13，a ≥18，a >0，所以a ∈⎣⎡⎭⎫18，13. 答案：⎣⎡⎭⎫18，139．已知函数f (x )＝1a －1x (a >0，x >0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值．解：(1)证明：任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，因为x 1>x 2>0，所以x 1－x 2>0，x 1x 2>0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上为增函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12， f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上是增加的；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上是减少的，求a 的取值范围． 解：(1)证明：设x 1＜x 2＜－2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2（x 1－x 2）（x 1＋2）（x 2＋2）. 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)上是增加的． (2)设1＜x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a （x 2－x 1）（x 1－a ）（x 2－a ）. 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，所以要使f (x 1)－f (x 2)＞0， 只需(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立， 所以a ≤1.综上所述，0＜a ≤1.[综合题组练]1．若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2mx ＋1在区间[2，4]上都是减函数，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(0，1]B ．(－1，0)∪(0，1]C ．(0，＋∞)D ．(0，1]解析：选D.函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2，4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2mx 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2，4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得，m 的取值范围是(0，1]．2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1，2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解析：选B.因为函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，所以当x 1∈(1，2)时，f (x 1)<f (2)＝0；当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0.故选B.3．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧（x －a ）2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为________．解析：因为当x ≤0时，f (x )＝(x －a )2，f (0)是f (x )的最小值，所以a ≥0.当x ＞0时，f (x )＝x ＋1x ＋a ≥2＋a ，当且仅当x ＝1时取“＝”．要满足f (0)是f (x )的最小值，需2＋a ≥f (0)＝a 2，即a 2－a －2≤0，解得－1≤a ≤2，所以a 的取值范围是0≤a ≤2. 答案：[0，2]4．如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f （x ）x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I 为________． 解析：因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f （x ）x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2， 由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f （x ）x ＝12x －1＋32x 在区间[1， 3 ]上递减，故“缓增区间”I 为[1， 3 ]．答案：[1， 3 ]5．已知函数f (x )＝x 2＋a |x －2|－4.(1)当a ＝2时，求f (x )在[0，3]上的最大值和最小值；(2)若f (x )在区间[－1，＋∞)上是增加的，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋2|x －2|－4＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －8，x ≥2x 2－2x ，x ＜2＝⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋1）2－9，x ≥2（x －1）2－1，x ＜2， 当x ∈[0，2)时，－1≤f (x )<0，当x ∈[2，3]时，0≤f (x )≤7， 所以f (x )在[0，3]上的最大值为7，最小值为－1.(2)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax －2a －4，x ＞2x 2－ax ＋2a －4，x ≤2，又f (x )在区间[－1，＋∞)上是增加的，所以当x ＞2时，f (x ) 是增加的，则－a2≤2，即a ≥－4.当－1＜x ≤2时，f (x ) 是增加的，则a2≤－1.即a ≤－2，且4＋2a －2a －4≥4－2a ＋2a －4恒成立， 故a 的取值范围为[－4，－2]．6．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x >0时，f (x )>－1. (1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是增函数； (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4. 解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝－1.在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1－x 2)>－1.又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1>f (x 2)，所以函数f (x )在R 上是增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4得f (x 2＋x ＋1)>f (3)， 又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1>3， 解得x <－2或x >1，故原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．。
高考数学一轮复习 2.2函数的单调性与最值教案-人教版高三全册数学教案
第二节 函数的单调性与最值教学目标：知识与技能：理解函数的单调性，最大（小）值及几何意义 ；会运用函数的图象理解和研究图象的性质过程与方法：会画初等函数的图象，能利用图象的单调性研究函数的性质情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验数形结合思想，感受图形解题。
教学重点：函数的单调性，最大（小）值教学难点：利用图象的单调性研究函数教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.增函数、减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I ，区间D ⊆I,如果对于任意x1,x2∈D,且x1<x2,都有:(1)f(x)在区间D 上是增函数⇔f(x1)<f(x2)(2)f(x)在区间D 上是减函数⇔f(x1)>f(x2)2.单调性、单调区间若函数y=f(x)在区间D 上是增函数或减函数，则称函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间．3．函数的最值设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在M ∈R,① 对于任意的x ∈I,都有f(x)≤M （或f(x)≥M ）② 存在x0∈I,使得f(x0)=M则称M 是f(x)的最大（或小）值二．例题讲解【典例1】(1)函数f(x)=log2(x2-4)的单调递减区间为_______. (2)试讨论函数 x ∈(-1,1)的单调性(其中a ≠0).【思路点拨】(1)根据复合函数的单调性求解.(2)用定义法或导数法求解.答案：（1） (-∞,-2)(2)方法一(定义法):设x1,x2∈(-1,1)且x1＜x2,则 ∵-1＜x1＜x2＜1,∴x2-x1＞0,x12-1＜0,x22-1＜0,-1＜x1x2＜1,x1x2+1＞0,∴因此当a ＞0时,f(x1)-f(x2)＞0. ()2ax f x ,x 1=-()()12122212ax ax f x f x x 1x 1-=---()()()21122212a x x x x 1x 1(x 1)-+=--21122212(x x )(x x 1)0.(x 1)(x 1)-+--＞即f(x1)＞f(x2),此时函数在(-1,1)上为减函数;当a ＜0时,f(x1)-f(x2)＜0.即f(x1)＜f(x2),此时函数在(-1,1)上为增函数.方法二(导数法)：当a ＞0时,f ′(x)<0;当a ＜0时,f ′(x)>0.∴当a ＞0时,f(x)在(-1,1)上为减函数;当a ＜0时,f(x)在(-1,1)上为增函数.【互动探究】若将本题(1)中的函数改为 试求函数f(x)的单调递减区间.【解析】函数f(x)的定义域为(-1,+∞),令t=x+1,因为 在t ∈(0,+∞)上是减函数,t=x+1在x ∈(-1,+∞)上为增函数,所以函数 的单调递减区间为(-1,+∞). 【典例2】(1)设函数g(x)=x2-2(x ∈R), 则f(x)的值域是( ) (A)［ ］∪(1,+∞) (B)［0,+∞) (C)［ ) (D)［ ］∪(2,+∞) 【变式训练】用定义法判断函数.【解析】由x2-1≥0得x ≥1或x≤-1,即函数的定义域为(-∞,-1］∪［1,+∞).设x1＜x2,则∵x1-x2＜0,∴当x1,x2∈(-∞,-1］时,x1+x2＜0,则f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)＞f(x2),故函数在(-∞,-1］上是减函数.当x1,x2∈［1,+∞)时,x1+x2＞0,则f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)＜f(x2),故函数在［1,+∞)上是增函数.【小结】求函数最值的五种常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值. ()()()()()2222222a x 12ax a x 1f x x 1x 1---+'==--()()12f x log x 1,=+12y log t =()12f x log (x 1)=+()()()()()g x x 4,x g x ,f x g x x,x g x ,⎧++⎪=⎨-≥⎪⎩＜9,04-9,4+∞9,04-y =()()12f x f x -=22x x x x -+==0,+>(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.(5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．【提醒】在求函数的值域时,应先确定函数的定义域. 【变式训练】(1)函数 在区间［a,b ］上的最大值是1,最小值是31 ， 则a+b=________.【解析】易知f(x)在［a,b ］上为减函数,答案：6【典例3】(1)(2014·某某模拟)若函数f(x)为R 上的增函数,且f(ax+1)≤f(x-2)对任意x∈[21 ,2]都成立,则实数a 的取值X 围是. (2)已知 满足对任意x1≠x2,都有 成立，那么a 的取值X 围是______.【思路点拨】(1)根据单调性转化不等式求解,注意定义域.(2)寻找f(x)是增函数满足的条件,列不等式组求解.【规X 解答】(1)因为f(x)为R 上的增函数,所以由f(ax+1)≤f(x-2)得ax+1≤x-2,即a ≤1-x 3 在[ 21 ,2]上恒成立, 令g(x)=1- x 3 ,则由于g(x)在[ 21 ,2]上为增函数, 所以g(x)min=g( 21 )=1- =-5, 所以a ≤-5,即a ∈(-∞,-5].答案:(-∞,-5] 2)∵对任意x1≠x2,都有 成立,∴函数f(x)是R 上的增函数.答案：【小结】 ()1f x x 1=-()()1f a 1,1,a 1111f b ,.3b 13⎧⎧==⎪⎪⎪-∴⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪-⎩即a 2,a b 6.b 4,=⎧∴∴+=⎨=⎩()()x 2a x 1x 1f x a x 1⎧-+⎪=⎨≥⎪⎩，＜，，，()()1212f x f x 0x x --＞312()()1212f x f x 0x x --＞()12a 0,a 1,a 2a 11,⎧∴-⎪⎨⎪≥-⨯+⎩＞＞3a 2.2∴≤＜“f ”不等式的解法根据函数的单调性，解含有“f ”的不等式时，要根据函数的性质，转化为如“f(g(x))>f(h(x))”的形式，再利用单调性，转化为具体不等式求解，但要注意函数的定义域比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解.对于分段函数的单调性,不仅要注意每一段上的单调性,还应注意端点处函数值的大小关系.【变式训练】已知函数 若f(2-a2)>f(a)，则实数a 的取值X 围是( ) (A)(-∞,-1)∪(2,+∞) (B)(-1,2)(C)(-2,1) (D)(-∞,-2)∪(1,+∞)【解析】选由f(x)的图象可知f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数，由f(2-a2)>f(a)得2-a2>a,即a2+a-2<0,解得-2<a<1.三．课堂练习与作业思考辨析，考点自测，知能巩固()22x 4x,x 0,f x 4x x ,x 0,⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩()()()2222x 4x x 24,x 0,C.f x 4x x x 24,x 0,⎧+=+-≥⎪=⎨-=--+<⎪⎩。
系统集成2017高考数学理一轮总复习教案：第二章 函数 Word版含解析
第二章函数高考导航结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程的根的知识网络2.1 函数的概念及表示法考点诠释重点：理解函数的模型化思想，用集合语言来表示函数，函数的定义域、解析式的求法. 难点：(1)函数概念的整体认识，即函数具有三个要素：定义域、对应法则、值域；(2)符号“y ＝f (x )”的含义，函数定义域和值域的区间表示；(3)分段函数和复合函数的意义及其定义域的求法，函数解析式的求法等.典例精析题型一 求函数的定义域【例1】(1)函数f (x )＝1ln(x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A.[－2,0)∪(0,2]B.(－1,0)∪(0,2]C.[－2,2]D.(－1,2](2)已知函数f (x )的定义域是[0,1]，求函数f (x 2－1)的定义域.【思路分析】(1)这是对给出解析式的函数求定义域，严格按照求定义域的法则列出不等式，解不等式组即可；(2)对于复合函数f (x 2－1)，若函数f (x )的定义域是[0,1]，即0≤x ≤1，那么函数g (x )＝ f (x 2－1)中x 2－1的值域是[0,1]，即0≤x 2－1≤1，从而得到x 的取值范围.【解析】(1)B.x满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1≠1，4－x 2≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x ≠0，－2≤x ≤2，解得－1<x <0或0＜x ≤2.即x ∈(－1,0)∪(0,2].(2)f (x 2－1)以x 2－1为自变量，f (x )的定义域是[0,1]，所以0≤x 2－1≤1，即1≤x 2≤2，所以1≤|x |≤ 2. 所以－2≤x ≤－1或1≤x ≤ 2.故函数f (x 2－1)的定义域是[－2，－1]∪[1，2].【方法归纳】(1)对于给出解析式的函数定义域的求法，关键是根据求定义域的法则列不等式，求得解集即可；(2)若已知复合函数f (g (x ))的定义域，求f (x )的定义域，可令t ＝g (x )，由x 的范围推出t 的范围，再以x 代替t 即得f (x )的定义域；若已知f (x )的定义域求复合函数f (φ(x ))的定义域，可将f (x )的定义域写成关于x 的不等式，然后将x 换成中间变量φ(x )，再解不等式即可得到复合函数f (φ(x ))的定义域.【举一反三】1.函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的部分数值如下表：x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 5 f (x )－80－2441660144则函数y ＝lg f (x )的定义域为 (－1,1)∪(2，＋∞) .【解析】结合三次函数的图象和已知表格可知f (x )＞0的解集为(－1,1)∪(2，＋∞)，即为y ＝lg f (x )的定义域.题型二 求函数的解析式【例2】(1)已知f (x )＝x 2，求f (2x ＋1)； (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )；(3)设一次函数y ＝f (x )，且f (f (x ))＝4x ＋3，求f (x )；(4)设函数f (x )满足f (x )＋2f ⎝⎛⎭⎫1x ＝x (x ≠0)，求f (x ).【思路分析】(1)(2)中对应法则“f ”实际上就是对“x ”的一种程序或方法，因此要把“2x ＋1”及“x ＋1”看成一个整体来求解；(3)中函数f (x )是一次函数，可以利用待定系数法来解决；(4)中有个明显的特征就是“x ”与“1x ”互为倒数，把其中的“x ”换成“1x ”，就可得到另一个方程，利用消元的方法即可解得f (x )的解析式.【解析】(1)(代入法)f (2x ＋1)＝(2x ＋1)2＝4x 2＋4x ＋1，x ∈R . (2)(换元法)令x ＋1＝t ，则t ≥1，且x ＝t 2－2t ＋1， 所以f (t )＝t 2－2t ＋1＋2(t －1)＝t 2－1. 所以f (x )＝x 2－1，x ∈[1，＋∞).(3)(待定系数法)设f (x )＝kx ＋b ，则f (f (x ))＝k (kx ＋b )＋b ＝k 2x ＋kb ＋b ， 又因为f (f (x ))＝4x ＋3，所以⎩⎪⎨⎪⎧ k 2＝4，kb ＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝－2，b ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝1.所以f (x )＝－2x －3或f (x )＝2x ＋1.(4)(解方程组法)用1x 代替条件方程中的x 得f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2f (x )＝1x ，把它与原条件式联立， 即得②－①×2得f (x )＝2－x 23x，x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞).【方法归纳】求函数解析式的常用方法(1)代入法：求f (g (x ))的解析式，将g (x )看作自变量，将f (x )的解析式中的“x ”换成g (x )； (2)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(3)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法； (4)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(5)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x ).【举一反三】2.(1)函数f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，若f (x )＋g (x )＝1x －1，求f (x )；(2)f (x )为二次函数且f (0)＝3，f (x ＋2)－f (x )＝4x ＋2.试求出f (x )的解析式.【解析】(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f (x )＋g (x )＝1x －1，f (x )－g (x )＝1－x －1，解得2f (x )＝1x －1－1x ＋1，所以f (x )＝1x 2－1(x ≠±1). (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又因为f (0)＝c ＝3. 所以f (x )＝ax 2＋bx ＋3，所以f (x ＋2)－f (x )＝a (x ＋2)2＋b (x ＋2)＋3－(ax 2＋bx ＋3)＝4ax ＋4a ＋2b ＝4x ＋2.所以⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＝4，4a ＋2b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.所以f (x )＝x 2－x ＋3. 题型三 分段函数【例3】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x ＞0.若f (f (a ))＝2，则a ＝ .【解析】 2.解法一：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2，x ≤0，－x 2，x ＞0，所以当x ≤0时，f (x )＞0；当x ＞0时，f (x )＜0.由已知f (f (a ))＝2＞0， 所以f (a )≤0，所以a ＞0. 所以f (a )＝－a 2＜0，所以f (f (a ))＝f (－a 2)＝(1－a 2)2＋1＝2， 解得a 2＝0或2.又因为a ＞0，所以a ＝ 2.解法二：①若a ＞0，则f (f (a ))＝f (－a 2)＝(1－a 2)2＋1＝2，解得a ＝2； ②若a ≤0，则f (f (a ))＝f (a 2＋2a ＋2)＝－[(a ＋1)2＋1]2＝2，无解. 综上所述，a ＝ 2.【方法归纳】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值.(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.【举一反三】3.已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为.【解析】当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1. 此时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ， f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a . 由f (1－a )＝f (1＋a )，得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32(舍去).当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1， 此时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ， f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a . 由f (1－a )＝f (1＋a )，得 －1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－34.综上可知，a 的值为－34.体验高考(2015新课标Ⅰ)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2(x ＋1)，x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )等于( )A.－74B.－54C.－34D.－14【解析】A.当a ≤1时，f (a )＝2a －1－2＝－3，即2a －1＝－1，不成立，舍去；当a ＞1时，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3，即log 2(a ＋1)＝3，得a ＋1＝23＝8，所以a ＝7，此时f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74.故选A.【举一反三】(2015山东)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1.则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( C )A.⎣⎡⎦⎤23，1B.[0,1]C.⎣⎡⎦⎤23，＋∞ D.[1，＋∞) 【解析】①当a ＜23时，f (a )＝3a －1＜1，f (f (a ))＝3(3a －1)－1＝9a －4,2f (a )＝23a －1，显然f (f (a ))≠2f (a ).②当23≤a ＜1时，f (a )＝3a －1≥1，f (f (a ))＝23a －1，2f (a )＝23a －1，故f (f (a ))＝2f (a ).③当a ≥1时，f (a )＝2a ＞1，f (f (a ))＝2，2f (a )＝2，故f (f (a ))＝2f (a ).综合①②③知，a ≥23.2.2 函数的单调性考点诠释重点：函数的单调性、函数的最大(小)值及其几何意义.难点：对函数单调性的理解，利用函数的单调性定义判断、证明函数的单调性，利用函数的单调性求函数的最大(小)值.典例精析题型一 函数单调性的判断与证明【例1】已知函数f (x )＝x 2＋1－ax ，其中a ＞0. (1)若2f (1)＝f (－1)，求a 的值；(2)证明：当a ≥1时，函数f (x )在区间[0，＋∞)上为减函数. 【思路分析】(1)代入求值；(2)利用单调性的定义证明. 【解析】(1)由2f (1)＝f (－1)， 可得22－2a ＝2＋a ，所以a ＝23. (2)证明：任取x 1，x 2∈[0，＋∞)，且x 1＜x 2， f (x 1)－f (x 2)＝x 21＋1－ax 1－x 22＋1＋ax 2＝x 21＋1－x 22＋1－a (x 1－x 2)＝x 21－x 22x 21＋1＋x 22＋1－a (x 1－x 2)＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 1＋x 2x 21＋1＋x 22＋1－a . 因为0≤x 1＜x 21＋1，0＜x 2＜x 22＋1，所以0＜x 1＋x 2x 21＋1＋x 22＋1＜1.又因为a ≥1，所以f (x 1)－f (x 2)＞0， 所以f (x )在[0，＋∞)上单调递减.【方法归纳】判断函数单调性的常用方法(1)定义法：一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论.其关键是作差变形，为了便于判断差的符号，通常将差变成因式连乘(除)或平方和的形式，再结合变量的范围、假定的两个自变量的大小关系及不等式的性质作出判断.若在给定区间上，f (x 1)－f (x 2)与x 1－x 2同号，则该函数是增函数；f (x 1)－f (x 2)与x 1－x 2异号，则该函数是减函数.(2)复合函数单调性的判断法则：“同增异减”，即对于y ＝f (g (x ))型的复合函数，我们令t ＝g (x )，则可以把它看成由y ＝f (t )和t ＝g (x )复合而成的，若它们的单调性相同，则复合后的函数为增函数；若它们的单调性相反，则复合后的函数为减函数.(3)利用函数的运算性质：若f (x )，g (x )为增函数，则①f (x )＋g (x )为增函数； ②1f (x )为减函数(f (x )＞0)； ③f (x )为增函数(f (x )≥0)；④f (x )·g (x )为增函数(f (x )＞0，g (x )＞0)； ⑤－f (x )为减函数.(4)图象法：根据图象上升或下降来确定函数的单调性. (5)导数法：利用导数研究函数的单调性.【举一反三】1.已知函数f (x )＝ax －1x ＋1.(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递减.(2)函数f (x )在(－∞，－1)上单调递减，求实数a 的取值范围. 【解析】(1)证明：任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝－2x 1－1x 1＋1－－2x 2－1x 2＋1＝－x 1－x 2(x 1＋1)(x 2＋1).因为(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＞0， 所以f (x 1)＞f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减. (2)解法一：f (x )＝ax －1x ＋1＝a －a ＋1x ＋1，任取x 1，x 2∈(－∞，－1)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a ＋1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －a ＋1x 2＋1＝a ＋1x 2＋1－a ＋1x 1＋1＝(a ＋1)(x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1)， 又函数f (x )在(－∞，－1)上是减函数， 所以f (x 1)－f (x 2)>0. 由于x 1<x 2<－1，所以x 1－x 2<0，x 1＋1<0，x 2＋1<0， 所以a ＋1<0，即a <－1.故实数a 的取值范围是(－∞，－1).解法二：由f (x )＝ax －1x ＋1，得f (x )＝a ＋1(x ＋1)2，又因为f (x )＝ax －1x ＋1在(－∞，－1)上是减函数，所以f (x )＝a ＋1(x ＋1)2≤0在(－∞，－1)上恒成立，解得a ≤－1，而当a ＝－1时，f (x )＝－1在(－∞，－1)上不具有单调性，故实数a 的取值范围是(－∞，－1).题型二 求函数的单调区间【例2】求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝－x 2＋3x －2； (2)f (x )＝3|x |；(3)f (x )＝－x 2＋2|x |＋3；(4)f (x )＝x ＋9x(x >0).【思路分析】求给定函数的单调区间通常采用以下方法：①利用已知函数的单调性；②图象法；③定义法(利用单调性的定义探讨)；④导数法.【解析】(1)f (x )＝－x 2＋3x －2＝－⎝⎛⎭⎫x －322＋14，对称轴为x ＝32，所以f (x )在⎝⎛⎦⎤－∞，32上是增函数，在⎣⎡⎭⎫32，＋∞上是减函数.(2)因为f (x )＝3|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≥0，－3x ，x <0.由一次函数的单调性可得，f (x )在(－∞，0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数.(3)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋3，x ≥0，－x 2－2x ＋3，x <0.其图象如图所示：由图象可知，y ＝f (x )在(－∞，－1]，[0,1]上是增函数； y ＝f (x )在[－1,0]，[1，＋∞)上是减函数. (4)由f (x )＝x ＋9x ，得f ′(x )＝1－9x 2，令f ′(x )＝1－9x 2＝0，得x ＝±3.当x >3或x <－3时，f ′(x )>0， 所以f (x )在(3，＋∞)上是增函数； 当0<x <3时，f ′(x )<0， 所以f (x )在(0,3]上是减函数.【方法归纳】函数的单调区间是函数定义域的子集或真子集，求函数的单调区间必须首先确定函数的定义域，求函数的单调区间的运算应该在函数的定义域内进行.【举一反三】2.函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是.【解析】要使y ＝log 5(2x ＋1)有意义，需满足2x ＋1＞0，即x >－12，令u ＝2x ＋1，则y ＝log 5u为(0，＋∞)上的增函数，当x >－12时，u ＝2x ＋1也为增函数，故原函数的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 题型三 函数单调性的应用【例3】(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是 ；(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x ＞0，若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A.[]－1，2B.[]－1，0C.[]1，2D.[]0，2【思路分析】解题(1)的关键是结合图象利用单调性将“f ”脱掉；解题(2)的方法是先判断单调性，再利用单调性求解.【解析】(1)(－1，2－1).(数形结合法)画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0的图象如下，由图象可知，若f (1－x 2)＞f (2x )，则⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2＞0，1－x 2＞2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜1，－1－2＜x ＜－1＋2，所以x ∈(－1，2－1).(2)B.当a >0时，f (x )在(－∞，－a )上单调递减，在[－a ，0]上单调递增，显然f (0)不是f (x )的最小值；当a ≤0时，f (0)＝a 2，欲使结论成立，只需a 2≤⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋a min ＝a ＋2， 解得－1≤a ≤2，所以－1≤a ≤0.故选B. 【方法归纳】含“f ”号不等式的解法首先根据函数的性质把不等式转化为f (g (x ))＞f (h (x ))的形式，然后根据函数的单调性去掉“f ”号，转化为具体的不等式(组)，此时要注意g (x )与h (x )的取值应在外层函数的定义域内.【举一反三】3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln(x ＋1)，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是( D )A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1,2)D.(－2,1)【解析】因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln(x ＋1)，x ＞0，所以函数y ＝f (x )在(－∞，0]和(0，＋∞)上单调递增，且当x ∈(0，＋∞)时，y ＝f (x )>0；当x ∈(－∞，0]时，y ＝f (x )≤0；这表明函数y ＝f (x )在整个定义域内均单调递增，所以由f (2－x 2)＞f (x )，得2－x 2>x ，解得－2<x <1.故选D.题型四 函数的最值及应用【例4】已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞).(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试求实数a 的取值范围.【思路分析】(1)代入a 的值，利用函数单调性求最值；(2)先求f (x )的最小值，只要f (x )的最小值大于零，即可求解.【解析】(1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x＋2，所以f (x )在[1，＋∞)上为增函数，所以f (x )min ＝f (1)＝72.(2)f (x )＝x ＋ax ＋2，x ∈[1，＋∞).①当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数. 最小值为f (1)＝a ＋3.要使f (x )＞0在[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3＞0，即a ＞－3，所以－3＜a ≤0. ②当0＜a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)上为增函数， f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.所以a ＋3＞0，即a ＞－3，所以0＜a ≤1.③当a ＞1时，f (x )在[1，a ]上为减函数，在(a ，＋∞)上为增函数，所以f (x )在[1，＋∞)上的最小值是f (a )＝2a ＋2,2a ＋2＞0显然成立，所以a ＞1满足题意.综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，实数a 的取值范围是(－3，＋∞). 【方法归纳】1.求函数最值的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值；(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值；(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值；(4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值； (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值. 2.恒成立问题的解法(1)m ＞f (x )恒成立⇔m ＞f (x )max ； (2)m ＜f (x )恒成立⇔m ＜f (x )min .【举一反三】4.设函数f (x )＝x 2－1，对任意x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞，f ⎝⎛⎭⎫x m －4m 2f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，求实数m 的取值范围.【解析】由题意知，x 2m2－1－4m 2(x 2－1)≤(x －1)2－1＋4(m 2－1)在⎣⎡⎭⎫32，＋∞上恒成立，即1m 2－4m 2≤－3x 2－2x＋1在⎣⎡⎭⎫32，＋∞上恒成立， 令y ＝－3x 2－2x ＋1＝－3⎝⎛⎭⎫1x ＋132＋43，因为x ∈⎣⎡⎭⎫32，＋∞，所以1x ∈⎝⎛⎦⎤0，23，故当1x ＝23，即x ＝32时，函数y ＝－3x 2－2x ＋1取得最小值－53，所以1m 2－4m 2≤－53，即(3m 2＋1)(4m 2－3)≥0，解得m ≤－32或m ≥32.即实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞.体验高考(2014北京)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A.y ＝x ＋1B.y ＝(x －1)2C.y ＝2－x D.y ＝log 0.5(x ＋1)【解析】A.y ＝(x －1)2仅在[1，＋∞)上为增函数，排除B ；y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x为减函数，排除C ；因为y ＝log 0.5t 为减函数，t ＝x ＋1为增函数，所以y ＝log 0.5(x ＋1)为减函数，排除D ；y ＝t 和t ＝x ＋1均为增函数，所以y ＝x ＋1为增函数，故选A.【举一反三】(2015浙江)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg(x 2＋1)，x ＜1，则f (f (－3))＝ 0 ，f (x )的最小值是.【解析】因为－3＜1，所以f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，所以f (f (－3))＝f (1)＝1＋21－3＝0.当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3(当且仅当x ＝2时，等号成立)；当x ＜1时，x 2＋1≥1， 所以f (x )＝lg(x 2＋1)≥0. 又因为22－3＜0， 所以f (x )min ＝22－3.2.3 函数的奇偶性与周期性考点诠释重点：函数的奇偶性及其图象特征，周期函数的意义.难点：判断函数的奇偶性的方法与步骤，周期性与奇偶性的综合应用.典例精析题型一 函数奇偶性的判断【例1】讨论下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1(x >0)，x 2＋2x －1(x <0)；(3)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3；(4)f (x )＝3－x 2＋x 2－3.【思路分析】判断函数的奇偶性，首先要检验其定义域是否关于原点对称，若是，再严格按照奇偶性定义进行推理判断，否则是非奇非偶函数.【解析】(1)由题意知1－x1＋x≥0且x ≠－1，所以－1<x ≤1，所以f (x )的定义域不关于原点对称， 所以f (x )不存在奇偶性.(2)当x ＞0时，－x ＜0，f (x )＝－x 2＋2x ＋1，f (－x )＝x 2－2x －1，所以f (－x )＝－f (x ). 同理可得，当x ＜0时，f (－x )＝－f (x ).又函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，所以f (x )是奇函数.(3)因为⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|≠3，所以－2≤x ≤2且x ≠0，所以函数定义域关于原点对称. 因为f (x )＝4－x 2x ＋3－3＝4－x 2x ， 又f (－x )＝4－(－x )2－x ＝－4－x 2x， 所以f (－x )＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数.(4)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x ＝－3或x ＝ 3.所以函数f (x )的定义域为{－3，3}.又因为对任意的x ∈{－3，3}，－x ∈{－3，3}， 且f (－x )＝－f (x )＝f (x )＝0. 所以f (x )既是奇函数，又是偶函数. 【方法归纳】1.判断函数奇偶性的程序2.复合函数奇偶性的判断有两种基本思路，一是直接利用奇函数、偶函数的定义，二是根据复合函数的内、外层函数来分析判断.【举一反三】1.判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x －1＋1－x ；(2)已知g (x )为偶函数，且f (x )＝g (x )·⎝⎛ 12x －1＋⎭⎫12，判断f (x )的奇偶性；(3)f (x )＝lg1x 2＋1－x.【解析】(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，1－x ≥0，得x ＝1，所以函数f (x )的定义域不关于原点对称.所以f (x )既不是奇函数，也不是偶函数. (2)令h (x )＝12x －1＋12.因为h (－x )＝－h (x )(x ≠0)，且h (x )的定义域关于原点对称，所以h (x )是奇函数. 又g (x )为偶函数，所以f (x )为奇函数. (3)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，因为f (x )＝lg 1x 2＋1－x ＝lg(x 2＋1＋x )，所以f (－x )＝lg(x 2＋1－x ).所以f (x )＋f (－x )＝lg(x 2＋1－x 2)＝0，所以f (x )为奇函数.题型二 函数的奇偶性的应用【例2】(1)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )A.4B.3C.2D.1(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )＞x 的解集用区间表示为 .【思路分析】(1)根据函数的奇偶性列出关于f (1)，g (1)的方程组求解；(2)先求出f (x )的解析式，然后分段解不等式.【解析】(1)B.由函数的奇偶性可得f (－1)＝－f (1)，g (－1)＝g (1)，则⎩⎪⎨⎪⎧－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (1)＝4，解得g (1)＝3.(2)(－5,0)∪(5,＋∞).因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0. 又当x ＜0时，－x ＞0，所以f (－x )＝x 2＋4x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 所以f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x ＜0.①当x ＞0时，由f (x )＞x ，得x 2－4x ＞x ，解得x ＞5； ②当x ＝0时，f (x )＞x 无解；③当x ＜0时，由f (x )＞x ，得－x 2－4x ＞x ，解得－5＜x ＜0. 综上，不等式f (x )＞x 的解集为(－5,0)∪(5,＋∞).【方法归纳】应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法 (1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解. (2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式.(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值.(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性.【举一反三】2.设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝ 2 .【解析】将函数化简，利用函数的奇偶性求解. f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，因此g (x )是奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，则M ＋m ＝[g (x )＋1]max ＋[g (x )＋1]min ＝2＋g (x )max ＋g (x )min ＝2. 题型三 函数的周期性及其应用【例3】已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝f (x －1)，且x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，则方程f (x )＝log 6 x 的根的个数为( )A.3个B.4个C.5个D.6个【思路分析】利用函数的周期性并结合数形结合思想可求解.【解析】C.由题意可得，函数y ＝f (x )的周期为2，画出函数图象，如图所示.又f (6)＝log 6 6＝1，利用数形结合可得y ＝f (x )与y ＝log 6 x 的图象的交点个数为5个，故有5个根.故选C.【方法归纳】判断函数周期性的三个常用结论 若对于函数f (x )定义域内的任意一个x 都有：(1)f (x ＋a )＝－f (x )(a ≠0)，则函数f (x )必为周期函数，2|a |是它的一个周期；(2)f (x ＋a )＝1f (x )(a ≠0)，则函数f (x )必为周期函数，2|a |是它的一个周期；(3)f (x ＋a )＝－1f (x )，则函数f (x )必为周期函数，2|a |是它的一个周期.【举一反三】3.设偶函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋3)＝－1f (x )，且当x ∈[－3，－2]时，f (x )＝4x ，则f (107.5)等于( B )A.10B.110C.－10D.－110【解析】因为f (x ＋3)＝－1f (x )，所以f (x ＋6)＝－1f (x ＋3)＝f (x )，所以f (x )是周期为6的函数. 又f (x )是偶函数，所以f (107.5)＝f (5.5)＝－1f (2.5)＝－1f (－2.5)＝－14×(－2.5)＝110.体验高考(2015新课标Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，1B.⎝⎛⎭⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝⎛⎭⎫－13，13D.⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪⎝⎛⎭⎫13，＋∞ 【解析】A.当x ＞0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，所以f ′(x )＝11＋x ＋2x(1＋x 2)2＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上为增函数. 因为f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数. 由f (x )＞f (2x －1)得f (|x |)＞f (|2x －1|)， 所以|x |＞|2x －1|，即3x 2－4x ＋1＜0，解得13＜x ＜1，故选A.【举一反三】(2015山东)若函数f (x )＝2x ＋12x －a是奇函数，则使f (x )＞3成立的x 的取值范围为( C )A.(－∞，－1)B.(－1,0)C.(0,1)D.(1，＋∞)【解析】因为f (x )＝2x ＋12x －a 是奇函数，所以对定义域内的任意x ，都有f (－x )＝－f (x )恒成立，即2－x ＋12－x －a ＝－2x ＋12x －a ，即1＋2x 1－a ·2x ＝2x ＋1a －2x，所以1－a ·2x ＝a －2x ，即(a －1)(2x ＋1)＝0对任意x 恒成立，所以a ＝1.所以f (x )＝2x ＋12x －1＝1＋22x －1.由f (x )＞3，得1＋22x －1＞3，解得0＜x ＜1，故选C.2.4 二次函数与幂函数考点诠释重点：二次函数的图象与性质，二次函数、二次方程与二次不等式的关系，幂函数的概念及性质.难点：二次函数的图象与性质的灵活应用，一元二次方程的实根分布及二次函数最值问题；从幂函数的图象概括其性质.典例精析题型一 求二次函数的解析式【例1】已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数.【思路分析】在已知f (x )是二次函数的情况下，待定系数法是通法，也可根据条件选择合适的形式表示二次函数，然后求其系数.【解析】利用二次函数一般式. 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎨⎧ 4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.所以所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【方法归纳】求二次函数的解析式时，要根据已知条件选择恰当的形式，三种形式可以相互转化，若二次函数的图象与x 轴相交，则两点间的距离为|x 1－x 2|＝b 2－4ac|a |.【举一反三】1.已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式.【解析】因为f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立， 所以f (x )的对称轴为x ＝2.又因为f (x )图象被x 轴截得的线段长为2， 所以f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0). 又因为f (x )的图象过点(4,3)， 所以3a ＝3，a ＝1.所以所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.题型二 二次函数的图象与性质【例2】已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4,6]. (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4,6]上是单调函数； (3)当a ＝1时，求f (|x |)的单调区间.【思路分析】对于(1)和(2)可根据对称轴与区间的关系直接求解；对于(3)，应先将函数化为分段函数，再求单调区间，注意函数定义域的限制作用.【解析】(1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4,6]， 所以f (x )在[－4,2]上单调递减，在[2,6]上单调递增，所以f (x )的最小值是f (2)＝－1，又f (－4)＝35，f (6)＝15，故f (x )的最大值是35. (2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4,6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4.故所求实数a 的取值范围为(－∞，－6]∪[4，＋∞). (3)当a ＝1时，f (x )＝x 2＋2x ＋3，所以f (|x |)＝x 2＋2|x |＋3，此时定义域为x ∈[－6,6]，且所以f (|x |)的单调递增区间是(0,6]，单调递减区间是[－6,0].【方法归纳】(1)二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论；(2)二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解.【举一反三】2.求函数f (x )＝x 2－2ax ，x ∈[0,1]上的最小值.【解析】因为f (x )＝x 2－2ax ＝(x －a )2－a 2，对称轴为x ＝a . ①当a ＜0时，f (x )在[0,1]上是增函数， 所以f (x )min ＝f (0)＝0.②当0≤a ≤1时，f (x )min ＝f (a )＝－a 2. ③当a ＞1时，f (x )在[0,1]上是减函数， 所以f (x )min ＝f (1)＝1－2a ，综上所述，f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧0，a ＜0，－a 2，0≤a ≤1，1－2a ，a ＞1.题型三 幂函数的图象及性质【例3】(1)设a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.a ＞c ＞bB.a ＞b ＞cC.c ＞a ＞bD.b ＞c ＞a(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≥2，(x －1)3，x ＜2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是 .【思路分析】(1)利用幂函数或指数函数的性质求解；(2)作出函数图象，利用数形结合的思想求解.【解析】(1)A.因为35＞25，所以⎝⎛⎭⎫3525＞⎝⎛⎭⎫2525，即a ＞c . 因为0＜25＜1，所以⎝⎛⎭⎫2535＜⎝⎛⎭⎫2525，即b ＜c ，所以a ＞c ＞b . (2)(0,1).作出函数y ＝f (x )的图象如图.则当0＜k ＜1时，关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根. 【方法归纳】1.比较幂值大小的常见类型及解决方法 (1)同底不同指，可以利用指数函数单调性进行比较； (2)同指不同底，可以利用幂函数单调性进行比较；(3)既不同底又不同指，常常找到一个中间值，通过比较两个幂值与中间值的大小来判断两个幂值的大小.2.在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思想方法，即在同一坐标系下面画出两函数的图象，数形结合求解. 【举一反三】3.如图的曲线是幂函数y ＝x n 在第一象限内的图象.已知n 分别取±2，±12四个值，与曲线c 1，c 2，c 3，c 4对应的n 依次为( A )A.2，12，－12，－2B.2，12，－2，－12C.－12，－2，2，12D.－2，－12，12，2【解析】令x ＝2时，则22＞2＞2＞2－2，由图象，得y 1＞y 2＞y 3＞y 4，故选A.体验高考(2015四川)如果函数f (x )＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，那么mn 的最大值为( )A.16B.18C.25D.812【解析】B.当m ＝2时，f (x )＝(n －8)x ＋1在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，则n －8＜0⇒n ＜8，于是mn ＜16，则mn 无最大值.当m ∈[0,2)时，f (x )的图象开口向下，要使f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，需－n －8m －2≤12，即2n ＋m ≤18，又n ≥0，则mn ≤m ⎝⎛⎭⎫9－m 2＝－12m 2＋9m . 而g (m )＝－12m 2＋9m 在[0,2)上为增函数，所以m ∈[0,2)时，g (m )＜g (2)＝16，故m ∈[0,2)时，mn 无最大值.当m ＞2时，f (x )的图象开口向上，要使f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，2上单调递减，需－n －8m －2≥2，即2m ＋n ≤12，而2m ＋n ≥22m ·n ，所以mn ≤18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 2m ＋n ＝12，2m ＝n ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝6时，等号成立，此时满足m ＞2. 故(mn )max ＝18.故选B.【举一反三】(2014浙江)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ＞0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( D )【解析】因为a ＞0，所以f (x )＝x a在(0，＋∞)上为增函数，故A 错.在B 中，由f (x )的图象知a ＞1，由g (x )的图象知0＜a ＜1，矛盾，故B 错.在C 中，由f (x )的图象知0＜a ＜1，由g (x )的图象知a ＞1，矛盾，故C 错.在D 中，由f (x )的图象知0＜a ＜1，由g (x )的图象知0＜a ＜1，相符，故选D.2.5 指数与指数函数考点诠释重点：指数幂的运算，指数函数的概念、图象和性质. 难点：指数函数性质的归纳、概括及其应用.典例精析题型一 指数幂的运算【例1】化简下列各式(其中各字母均为正数).【思路分析】当化简的式子中既有根式又有分数指数幂时，应该把根式统一化成分数指数幂的形式，以便于运算.【解析】(1)原式＝＝.(2)原式＝0.4－1－1＋(－2) －4＋2－3＋0.1＝ 104－1＋116＋18＋110＝14380. 【方法归纳】根式运算或根式与指数式混合运算时，将根式化为指数运算较为方便，对于计算的结果，不强求统一形式，如果有特殊要求，要根据要求写出结果，但结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【举一反三】1.计算下列各题：【解析】(2)原式＝⎝⎛⎭⎫271 000－(－7)2＋⎝⎛⎭⎫259－1＝103－49＋53－1＝－45.题型二 指数函数的图象【例2】(1)函数y ＝a x －1a(a ＞0，且a ≠1)的图象可能是( )(2)若曲线|y |＝2x＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是 .【思路分析】(1)分a＞1和0＜a＜1两种情况进行讨论，然后逐次排除；(2)利用数形结合的思想求解.【解析】(1)D.函数y＝a x－1a由函数y＝a x的图象向下平移1a个单位长度得到，A项显然错误；当a＞1时，0＜1a ＜1，平移距离小于1，所以B项错误；当0＜a＜1时，1a＞1，平移距离大于1，所以C项错误，故选D.(2)[－1,1].曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b的图象如图所示，由图象可知，如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1].【方法归纳】有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除.(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时，应注意分类讨论.(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解.【举一反三】2.设f(x)＝|3x－1|，c＜b＜a且f(c)＞f(a)＞f(b)，则下列关系式中一定成立的是( D )A.3c＞3bB.3b＞3aC.3c＋3a＞2D.3c＋3a＜2【解析】作f(x)＝|3x－1|的图象如图所示.由图可知，要使c＜b＜a且f(c)＞f(a)＞f(b)成立，则有c＜0且a＞0，所以3c＜1＜3a，所以f(c)＝1－3c，f(a)＝3a－1，又f(c)＞f(a)，所以1－3c＞3a－1，即3a＋3c＜2，故选D.题型三 指数函数的性质及应用【例3】已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13 (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值；(3)若f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值.【思路分析】(1)根据复合函数的单调性可求解；(2)由f (x )有最大值可知ax 2－4x ＋3有最小值－1，从而使问题得以解决；(3)由f (x )的值域是(0，＋∞)，可知ax 2－4x ＋3的值域为R ，再求a 的值.【解析】(1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫13，令g (x )＝－x 2－4x ＋3，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝⎝⎛⎭⎫13t 在R 上单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减，在(－2，＋∞)上单调递增，即函数f (x )的单调递增区间是(－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2).(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫13h (x )，因为f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1，因此必有⎝ ⎛a ＞0，3a －4a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值等于1.(3)由指数函数的性质知，要使y ＝⎝⎛⎭⎫13h (x )的值域为(0，＋∞)，应使h (x )＝ax 2－4x ＋3的值域为R .因此只能a ＝0(因为若a ≠0，则h (x )为二次函数，其值域不可能为R ).故a 的值为0. 【方法归纳】(1)函数奇偶性与单调性是高考考查的热点问题，常以指数函数为载体考查函数的性质与恒成立问题；(2)求参数的范围也是常考内容，难度不大，但极易造成失分，因此要对题目进行认真分析，必要的过程不可少，这也是高考阅卷中十分强调的问题.【举一反三】3.已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数.(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.【解析】(1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知，－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.由上式易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数(可用定义法或导数法证明函数f (x )在R 上是减函数).又因为f (x )是奇函数，所以不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1).因为f (x )是减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋1， 即3t 2－2t －1>0，解不等式可得.体验高考(2015天津)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数.记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.c ＜a ＜bD.c ＜b ＜a【解析】C.因为f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，所以m ＝0. 因为a ＝f (log 3)＝f (log 23)，b ＝f (log 25)，c ＝f (0)，log 25＞log 23＞0，而函数f (x )＝2|x |－1在(0，＋∞)上为增函数，所以f (log 25)＞f (log 23)＞f (0)，即b ＞a ＞c ，故选C.【举一反三】(2015山东)已知函数f (x )＝a x ＋b (a ＞0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝.【解析】①当a ＞1时，f (x )在[－1,0]上单调递增， 则无解.②当0＜a ＜1时，f (x )在[－1,0]上单调递减， 则解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2.所以a ＋b ＝－32.2.6 对数与对数函数考点诠释重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质，了解对数函数与指数函数的内在联系.难点：底数a 对对数函数图象的影响及对对数函数性质的作用.典例精析题型一 对数式的化简与计算 【例1】计算下列各题： (1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40；(2)；(3)2(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋(lg 2)2－lg 2＋1.【思路分析】对数式的化简和求值，要严格按照对数的运算法则进行，同式中不同底的对数式应先化为同底再计算.【解析】(1)原式＝lg 2×58lg 5040＝lg 54lg 54＝1.(2)原式＝＝⎝⎛⎭⎫34log 33－log 33·log 5(10－3－2) ＝⎝⎛⎭⎫34－1·log 55＝－14. (3)原式＝lg 2(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2－2lg 2＋1＝lg 2(lg 2＋lg 5)＋|lg 2－1| ＝lg 2·lg(2×5)＋1－lg 2＝1.【方法归纳】(1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化；(2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧. 【举一反三】1.求值：(1)log 2748＋log 212－12log 242－1；(2)(lg 2)2＋lg 2·lg 50＋lg 25； (3)(log 32＋log 92)(log 43＋log 83).【解析】(1)原式＝log 2748＋log 212－log 242－log 22＝log 27×1248×42×2＝log 2122＝log 22＝－32.(2)原式＝lg 2·(lg 2＋lg 50)＋lg 25＝2lg 2＋lg 25＝lg 100＝2.(3)原式＝⎝⎛⎭⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3⎝⎛⎭⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2 ＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54. 题型二 对数函数的图象及应用【例2】已知函数f (x )＝log a (2x ＋b －1)(a ＞0，且a ≠1)的图象如图所示，则a ，b 满足的关系是( )A.0＜a －1＜b ＜1B.0＜b ＜a －1＜1。
高三数学第一轮复习 函数的单调性与最值教案 文
函数的单调性与最值一、 知识梳理：（阅读教材必修1第27页—第32页）1．对于给定区间D 上的函数)(x f ，对于D 上的任意两个自变量12,x x ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说)(x f 在区间D 上是增函数; 当12x x <时，都有12()()f x f x >， 则称)(x f 是区间D 上减函数.2．判断函数单调性的常用方法：（1）定义法： （2）导数法： （3）利用复合函数的单调性; (4) 图象法. 3.设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.4.设)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.5.如果)(x f 和)(x g 都是增(或减)函数,则在公共定义域内是)()(x g x f +增(或减)函则差函数)()(x g x f -0<在(),-∞+∞上是减当0a <在,2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦上是增函数；在,2b a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭上是减函数； （3）反比例函数(0)ky k x=≠.当0k >在(),0-∞上是减函数，在()0,+∞上是减函数；当0k <在(),0-∞上是增函数，在()0,+∞上是增函数。
（4）指数函数(0,1)xy a a a =>≠.当1a >在(),-∞+∞上是增函数；当01a <<在(),-∞+∞上是减函数。
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第二节函数的单调性与最值1．函数的单调性理解函数的单调性及其几何意义．2．函数的最值理解函数的最大值、最小值及其几何意义．知识点一函数的单调性1．单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间A上的任意两个自变量的值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是增加的当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间A上是减少的图象描述自左向右看图象是逐渐上升的自左向右看图象是逐渐下降的2.单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间A上是增加的或是减少的，那么称A为单调区间．易误提醒求函数单调区间的两个注意点：(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应树立“定义域优先”的原则．(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．必记结论1．单调函数的定义有以下若干等价形式： 设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么 ①f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．②(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．2．复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数，若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]必为减函数．[自测练习]1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)2．函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是________．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1，a x ，x >1在R 上为增函数，则a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．[－3，－2]C．(－∞，－2] D．(－∞，0)知识点二函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件对于任意x∈I，都有f(x)≤M存在x0∈I，使得f(x0)＝M 对于任意x∈I，都有f(x)≥M 存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值易误提醒在求函数的值域或最值时，易忽视定义域的限制性．必备方法求函数最值的五个常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值．(4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值．[自测练习]4．函数f(x)＝11＋x2(x∈R)的值域是()A．(0,1) B．(0,1]C．[0,1) D．[0,1]5．已知函数f(x)＝x2＋2x(－2≤x≤1且x∈Z)，则f(x)的值域是()A．[0,3]B．[－1,3]C．{0,1,3} D．{－1,0,3}考点一函数单调性的判断|1．下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是() A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3xC．f(x)＝－1x＋1D．f(x)＝－|x|给出解析式函数单调性的两种判定方法1．定义法(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)．2．导数法(基本步骤为求定义域、求导、变形、判断)．考点二函数的单调区间的求法|求下列函数的单调区间：(1)y＝－x2＋2|x|＋1；(2)y ＝log 12(x 2－3x ＋2)．函数单调区间的四种求法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． (2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间．函数y ＝|x |(1－x )在区间A 上是增函数，那么区间A 是( ) A ．(－∞，0)B.⎣⎡⎦⎤0，12 C ．[0，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫12，＋∞考点三 函数单调性的应用|函数单调性的应用比较广泛，是每年高考的重点和热点内容．归纳起来，常见的命题探究角度有：1．求函数的值域或最值．2．比较两个函数值或两个自变量的大小． 3．解函数不等式． 4．求参数的取值范围或值． 探究一 求函数的值域或最值1．(2015·高考浙江卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2x －3，x ≥1，lg (x 2＋1)，x <1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________．探究二 比较两个函数值或两自变量的大小2．已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x ，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0探究三 解函数不等式3．(2015·西安一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)探究四 利用单调性求参数的取值范围4．(2015·江西新余期末质检)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1(x <1)，a x (x ≥1)满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0成立，那么a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫32，2B.⎝⎛⎦⎤1，32 C ．(1,2)D ．(1，＋∞)函数单调性应用问题的四种类型及解题策略(1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．(2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．(3)利用单调性求参数．①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；②需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的． (4)利用单调性求最值．应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值．1.确定抽象函数的单调性以及解含“f ”的不等式【典例】 (12分)函数f (x )对任意a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，且当x >0时，有f (x )>1.(1)求证：f (x )是R 上的增函数；(2)若f (4)＝5，解不等式f (2t －1)－f (1＋t )<2.[思路点拨](1)用单调性的定义证明抽象函数的单调性；(2)结合题意，将含“f”的不等式f(2t－1)－f(1＋t)<2转化为f(m)<f(n)的形式，再依据单调性转化为常规不等式求解．[模板形成]A 组 考点能力演练1．(2015·吉林二模)下列函数中，定义域是R 且为增函数的是( ) A ．y ＝e －x B ．y ＝x C ．y ＝ln xD ．y ＝|x |2．(2015·河南信阳期末调研)下列四个函数： ①y ＝3－x ；②y ＝1x 2＋1；③y ＝x 2＋2x －10；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (x ≤0)，－1x (x >0).其中值域为R 的函数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3．若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与函数g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则实数a 的取值范围为( )A ．(0,1)∪(0,1)B ．(0,1)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤0，－x 2－2x ＋3，x >0，则不等式f (a 2－4)>f (3a )的解集为( )A ．(2,6)B ．(－1,4)C ．(1,4)D ．(－3,5)5．(2016·浦东一模)如果函数y ＝f (x )在区间I 上是增函数，且函数y ＝f (x )x 在区间I 上是减函数，那么称函数y ＝f (x )是区间I 上的“缓增函数”，区间I 叫作“缓增区间”．若函数f (x )＝12x 2－x ＋32是区间I 上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为( )A ．[1，＋∞)B ．[0，3]C ．[0,1]D ．[1，3]6．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，若对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)(x 1≠x 2)，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则f (3)，f (－2)，f (1)的大小关系为________．7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，g (x )＝x 2f (x －1)，则函数g (x )的递减区间是________．8．(2015·长春二模)已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值范围是________．9．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增； (2)若a >0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值范围．10．已知函数g (x )＝x ＋1，h (x )＝1x ＋3，x ∈(－3，a ]，其中a 为常数且a >0，令函数f (x )＝g (x )·h (x )．(1)求函数f (x )的表达式，并求其定义域； (2)当a ＝14时，求函数f (x )的值域．B 组 高考题型专练1．(2014·高考北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2 C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1)2．(2013·高考安徽卷)“a ≤0”是“函数f (x )＝|(ax －1)x |在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．(2015·高考福建卷)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．4．(2015·高考湖北卷)a 为实数，函数f (x )＝|x 2－ax |在区间[0,1]上的最大值记为g (a )．当a ＝________时，g (a )的值最小．1.解析：根据函数的图象知，函数f (x )＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，故选A.答案：A2.解析：要使y ＝log 5(2x ＋1)有意义，则2x ＋1>0，即x >－12，而y ＝log 5u 为(0，＋∞)上的增函数，当x >－12时，u ＝2x ＋1也为R 上的增函数，故原函数的单调增区间是⎝⎛⎭⎫－12，＋∞.答案：⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ 3.解析：要使函数在R 上是增函数，则有⎩⎪⎨⎪⎧－a2≥1，a <0，－1－a －5≤a ，解得－3≤a ≤－2，即a 的取值范围是[－3，－2]．答案：B4.解析：因为1＋x 2≥1,0<11＋x 2≤1，所以函数值域是(0,1]，选B.答案：B5.解析：依题意，f (－2)＝f (0)＝0，f (－1)＝－1，f (1)＝3，因此f (x )的值域是{－1,0,3}，选D.答案：D1.解析：当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数； 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数， 当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数； 当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．故选C.答案：C 2．判断函数g (x )＝－2xx －1在(1，＋∞)上的单调性．2.解：法一：定义法任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，则g (x 1)－g (x 2)＝－2x 1x 1－1－－2x 2x 2－1＝2(x 1－x 2)(x 1－1)(x 2－1)，因为1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，(x 1－1)(x 2－1)>0， 因此g (x 1)－g (x 2)<0，即g (x 1)<g (x 2)． 故g (x )在(1，＋∞)上是增函数． 法二：导数法∵g ′(x )＝－2(x －1)＋2x (x －1)2＝2(x －1)2>0，∴g (x )在(1，＋∞)上是增函数． 1.[解] (1)由于y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0.画出函数图象如图所示，单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]， 单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．2.(2)令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作y ＝log 12u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u ＝x 2－3x ＋2>0，则x <1或x >2.∴函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上．∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数． 而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．解析：y ＝|x |(1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x (1－x )(x ≥0)，－x (1－x )(x <0)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x (x ≥0)，x 2－x (x <0)＝⎩⎨⎧－⎝⎛⎭⎫x －122＋14(x ≥0)，⎝⎛⎭⎫x －122－14(x <0).画出函数的草图，如图．由图易知原函数在⎣⎡⎦⎤0，12上单调递增． 答案：B1.解析：由题知，f (－3)＝1，f (1)＝0，即f (f (－3))＝0.又f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，所以f (x )min ＝min{f (0)，f (2)}＝22－3.答案：0 22－32.解析：∵函数f (x )＝log 2x ＋11－x 在(1，＋∞)上为增函数，且f (2)＝0，∴当x 1∈(1,2)时，f (x 1)<f (2)＝0， 当x 2∈(2，＋∞)时，f (x 2)>f (2)＝0， 即f (x 1)<0，f (x 2)>0. 答案：B3.解析：∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为零，∴函数的图象是一条连续的曲线．∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x >0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，且当x 1<0，x 2>0时，f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)>f (x )等价于2－x 2>x ，即x 2＋x －2<0，解得－2<x <1，故选D.答案：D4.解析：依题意，f (x )是在R 上的增函数，于是有⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a >1，(2－a )×1＋1≤a 1.解得32≤a <2，故选A.答案：A[规范解答] (1)证明：设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)>1.(2分) 根据条件等式有f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2－x 1＋x 1)－f (x 1)＝f (x 2－x 1)＋f (x 1)－1－f (x 1)＝f (x 2－x 1)－1>0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )是R 上的增函数．(6分)(2)由f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )－1，得f (a ＋b )－f (a )＝f (b )－1， ∴f (2t －1)－f (1＋t )＝f (t －2)－1，(8分)∴f (2t －1)－f (1＋t )<2，即f (t －2)－1<2， ∴f (t －2)<3.又f (2＋2)＝f (2)＋f (2)－1＝5， ∴f (2)＝3，∴f (t －2)<3＝f (2)．(10分)∵f (x )是R 上的增函数，∴t －2<2，∴t <4，故不等式的解集为(－∞，4)．(12分)1.解析：因为定义域是R ，排除C ，又是增函数，排除A 、D ，所以选B. 答案：B2.解析：依题意，注意到y ＝3－x 与函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x (x ≤0)，－1x (x >0)的值域均是R ，函数y ＝1x 2＋1的值域是(0,1]，函数y ＝x 2＋2x －10＝(x ＋1)2－11的值域是[－11，＋∞)，因此选B.答案：B3.解析：注意到f (x )＝－(x －a )2＋a 2；依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，a >0，即0<a ≤1，故选D. 答案：D4.解析：作出函数f (x )的图象，如图所示，则函数f (x )在R 上是单调递减的．由f (a 2－4)>f (3a )，可得a 2－4<3a ，整理得a 2－3a －4<0，即(a ＋1)(a －4)<0，解得－1<a <4，所以不等式的解集为(－1,4)．答案：B5.解析：因为函数f (x )＝12x 2－x ＋32的对称轴为x ＝1，所以函数y ＝f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x ≥1时，f (x )x ＝12x －1＋32x ，令g (x )＝12x －1＋32x (x ≥1)，则g ′(x )＝12－32x 2＝x 2－32x 2，由g ′(x )≤0得1≤x ≤3，即函数f (x )x ＝12x －1＋32x 在区间[1，3]上单调递减，故“缓增区间”I 为[1，3]．答案：D6.解析：由x 1，x 2∈(0，＋∞)时，f (x 2)－(x 1)x 2－x 1<0，∴f (x )在(0，＋∞)上为减函数． 又f (－2)＝f (2)，1<2<3， ∴f (1)>f (－2)>f (3)． 即f (1)>f (2)>f (3)． 答案：f (1)>f (－2)>f (3)7.解析：g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x >1，0，x ＝1，－x 2，x <1.如图所示，其递减区间是[0,1)．答案：[0,1)8.解析：因为函数f (x )在(－∞，－a )上是单调函数，所以－a ≥－1，解得a ≤1. 答案：(－∞，1]9.解：(1)证明：任设x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2 ＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2).∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)上单调递增． (2)f (x )＝x x －a ＝x －a ＋a x －a ＝1＋ax －a，当a >0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)上是减函数， 又f (x )在(1，＋∞)上单调递减， ∴0<a ≤1，故实数a 的取值范围为(0,1]．10.解：(1)∵f (x )＝g (x )·h (x )＝(x ＋1)1x ＋3＝x ＋1x ＋3，∴f (x )＝x ＋1x ＋3，x ∈[0，a ](a >0)．(2)函数f (x )的定义域为⎣⎡⎦⎤0，14， 令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2，t ∈⎣⎡⎦⎤1，32， f (x )＝F (t )＝t t 2－2t ＋4＝1t ＋4t－2.∵t ＝4t 时，t ＝±2∉⎣⎡⎦⎤1，32，又t ∈⎣⎡⎦⎤1，32时，t ＋4t 单调递减，F (t )单调递增， ∴F (t )∈⎣⎡⎦⎤13，613.即函数f (x )的值域为⎣⎡⎦⎤13，613.1.解析：y ＝(x －1)2仅在[1，＋∞)上为增函数，排除B ；y ＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x 为减函数，排除C ；因为y ＝log 0.5t 为减函数，t ＝x ＋1为增函数，所以y ＝log 0.5(x ＋1)为减函数，排除D ；y ＝t 和t ＝x ＋1均为增函数，所以y ＝x ＋1为增函数，故选A.答案：A2.解析：由二次函数的图象和性质知f (x )＝|(ax －1)x |在(0，＋∞)内单调递增，只需f (x )的图象在(0，＋∞)上与x 轴无交点，即a ＝0或1a<0，整理得a ≤0，而当a ≤0时，结合图象(图略)可知f (x )在(0，＋∞)上为增函数．故a ≤0是f (x )在(0，＋∞)上单调递增的充要条件，故选C.答案：C3.解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2，所以当x ≤2时，f (x )≥4；又函数f (x )的值域为[4，＋∞)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，3＋log a 2≥4.解得1<a ≤2，所以实数a 的取值范围为(1,2]． 答案：(1,2]4.解析：f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎝⎛⎭⎫x －a 22－a 24，其在区间[0,1]上的最大值必在x ＝0，x ＝1，x ＝a 2处产生，即g (a )＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫f (0)，f (1)，f ⎝⎛⎭⎫a 2＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，|1－a |，a 24＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫|1－a |，a 24，在同一坐标系中分别画出y ＝|1－a |，y ＝a 24的图象可知(图略)，在两图象的交点处，g (a )取得最小值，此时1－a ＝a 24，则a ＝22－2(－2－22舍去)． 答案：22－2。