军备竞赛建模
数学建模实例战争模型
x
y0
x = f ( y)
x0
x
战争模型正规战和游击战军备竞赛核武器竞赛正规战与游击战战争分类正规战争游击战争混合战争只考虑双方兵力多少和战斗力强弱兵力因战斗及非战斗减员而减少因增援而增加战斗力与射击次数及命中率有关第一次世界大战lanchester提出预测战役结局的模型00ytgxyvtxtfxyxyut?????一般模型?每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力?每方非战斗减员率与本方兵力成正比?甲乙双方的增援率为utvtxt甲方兵力yt乙方兵力模型假设fg取决于战争类型模型vtxyaybxxyut???????正规战争模型?甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力fxy?aya乙方每个士兵的杀伤率arypyry射击率py命中率双方均以正规部队作战xxgbxbrp??忽略非战斗减员?假设没有增援0000xyxaybxxyy???????正规战争模型???????000y0xyxbxyayxaybxdxdy???2020bxayk?0kbxay?22tytx0ak0k0kbk?0k00kx?y0kk??0yyxxprprabxy甲方胜?????200乙方胜平局游击战争模型双方都用游击部队作战?甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加fxy?cxyc乙方每个士兵的杀伤率crypyry射击率py命中率sry乙方射击有效面积?忽略非战斗减员?假设没有增援gxyxxxrxydxydrprss???0000xyxcxydxyxyy?????pysrysxsx甲方活动面积tycm0dm?tx0m0m0m??????游击战争模型?dxyy0000xyyxcxyx00dxcymmdxcy??r?000mxy?y00yryyxrxxssrsscdxmm00??cddxdy乙方胜甲方胜平局tytx0乙方胜0n平局0n甲方胜0n0000xyxcxybxxyy???????220022cynbx???ncy??0ybx混合战争模型甲方为游击部队乙方为正规部队?yx??设x0100rxry12px01sx1km2sry1m2200202crb2??0nx200100yx00xsrspxryyxxx??????乙方必须10倍于甲方的兵力乙方胜美国人曾用这个模型对越南战争进行分析认为在混合战争中要想战胜至少应投入8倍于游击部队一方的兵力而美国人只能派出6倍于越南的兵力那么就不得不接受和谈的结局退兵根据二战中的硫磺岛战役中的纪录数据engel对正规战争模型进行了验证
军备竞赛-系统建模仿真导论
2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
x 10
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
（2）
6
4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0
x 10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
（3）
8 7 6 5 4 3 2 1 0 x 10
4
0
1
2
3
5
6
7
8
9
10
状态空间模型法求解
������1 = −0.36������1 + 0.21������2 + 31334 ������2 = 0.38������1 − 0.65������2 + 57067 X = ������������ + ������������c = CX A= −0.36 0.21 31334 1 0 B=[ ]C = 0.38 −0.65 57067 0 1
程序：
clearall clc A=[-0.36,0.21;0.38,-0.65]; B=[31334;57067]; C=[1,0;0,1]; D=[0]; sys=ss(A,B,C,D); x0=[78570;18730]; t=0:1:10; u=[1;1;1;1;1;1;1;1;1;1;1]; y=lsim(sys,u,t,x0); plot(t,y)
系统仿真导论实验报告
--军备竞赛
班级： 姓名： 学号：
一、 问题重述
军备竞赛是指互为对手的国家或军事集团之间进行的一种军备对抗，通 常导致军备不断增长的现象。军备竞赛的结果：在一定的军事能力范围内， 一方的军备变化幅度总是低于另一方的军备变化幅度，或者螺旋上升。 双边 Richardson 军备竞赛模型如下：
数学建模军事建模
类似地，乙方的战斗减员率设为
g = bx
且甲方的战斗有效系数
b = rx p x
rx和 px 是甲方的射击率和命中率。于是
dx dt dy dt ay x u (t ) (2) bx y v(t )
忽略非战斗减员与增援，则模型进一步简化为
y0 2 01 01106 100 2 1100 x0
即y0 / x0 >10，乙方必须 10 倍于甲方的兵力。
美国人分析越南战争： y0 / x0 ＝6 < 8，所以美 国败。
等因素，而仅靠战场上兵力的优劣是很难估计战
争胜负的， 所以用这些模型判断整个战争的结
局是不可能的，但是对于局部战役来说或许还有
参考价值。 更重要的是，建模的思路和方法为
我们借助数学模型讨论社会科学领域中的实际问
题提供了可以借鉴的示例。
数学建模
军事模型
4
一般战争模型
用x( t ) 和y( t ) 表示甲乙交战双方 t 时刻的兵力
数学建模
军事模型
6
正规战模型
甲乙双方都用正规部队作战。我们只须分析甲方的 战斗减员率f ( x, y ) . f 可简单假设为
f ＝ay
其中：a —乙方平均每个士兵对甲方士兵的杀伤率（单位 时间的杀伤数），称为乙方的战斗有效系数。
a ＝ ry py
其中： ry—乙方的射击率（每个士兵单位时间的射击次数) py—乙方的命中率
区域内活动，乙方士兵不是向甲方士兵开火， 而是向
这个隐蔽区域射击，并且不知道杀伤情况。这时甲方战
斗减员率不仅与乙方兵力有关， 而且随着甲方兵力的
增加而增加。
数学建模分类方法大全
23，混合泳接力模型
24，投入产出模型
25，三级火箭模型
26，糖尿病模型
27，传染病模型
28，生物种群模型
29，人口模型
30，分子模型
31，扫雪模型
32，商人过河问题
196
冲突目标
Minmax与maxmin
机会约束
约束满足概率性>P
矛盾约束
约束相互矛盾
单纯形法
木匠生产模型
注意步骤性。
215
组合模型
参数模型
动态规划
决策法
背包问题
排序问题
多步骤形的规划
数值搜索法
工业流程优化
黄金分割搜索法
还有二分搜索法
233
网络流
最大树
最大流
最短路
关键路线法
网络计划
布点问题
中心问题
重心问题
384
最优化
模拟退火法
神经网络
遗传算法
分治算法
差分进化
蚁行算法
粒子群
不确定
模型
灰色系统
数理统计
模糊数学
聚类分析
无分类
模型名称
所在目录
1，国有企业业绩分化的数学模型
2，打假问题的机理数学分析
3，足球比赛排名问题
4，大象群落的稳定性分析
5，火车便餐最有价格方案
6，影院最优设计方案
7，国有企业业绩分化的数学模型
数学建模分类方法大全
类别
类别（2）
模型名称
关键点
备注
参考书目
复杂系统
库存模型
排队模型
可靠系统
差分方程模型
动力系统类
酵母菌增长模型
数学建模分类方法大全
9，足球比赛排名问题
10，大象群落的稳定性分析
11，火车便餐最有价格方案
12，施肥效果分析
13，迷宫问题
14，锁具装箱问题
15，密码问题
16，席位分配模型
初等模型
17，双重玻璃窗功效模型
18，储存模型
优化模型
19，森林救火模型
20，消费者均衡模型
21，加工奶制品模型
数学规划模型
196
冲突目标
Minmax与maxmin
机会约束
约束满足概率性>P
矛盾约束
约束相互矛盾
单纯形法
木匠生产模型
注意步骤性。
215
组合模型
参数模型
动态规划
决策法
背包问题
排序问题
多步骤形的规划
数值搜索法
工业流程优化
黄金分割搜索法
还有二分搜索法
233
网络流
最大树
最大流
最短路
关键路线法
网络计划
布点问题
中心问题
重心问题
22，自来水输送模型
23，混合泳接力模型
24，投入产出模型
25，三级火箭模型
26，糖尿病模型
27，传染病模型
28，生物种群模型
29，人口模型
30，分子模型
31，扫雪模型
32，商人过河问题
数学建模分类方法大全
类别
类别（2）
模型名称
关键点
备注
参考书目
复杂系统
库存模型
排队模型
可靠系统
差分方程模型
动力系统类
酵母菌增长模型
平衡点；平衡点的分类
地高辛衰减模型
复杂条件下军用装备定点投放的建模与仿真
ｖ ｒ ｕ ｆＳ ｆｗａ ｅ Ｍ ＡＴ ｉｔ ｅｏ Ｏ ｔ ｒ ＬＡＢ ｎ ｈ ｒ ｐ ｉ ｇ ｐ ｓｔｏ Ｓｐ ｅ ｉ ｔ ｄ ｗｉｈ ｃ ｎ ｉ ｅ ａ ｉ ｎ Ｏ ｎ ｏ ｆ ｃ ｏ ｓ ｉ ｉｔ ｅ ｏ ｏ ｔ ａ ｄ ｔ ｅ ｄ ｏ ｐ ｎ ｏ ｉ ｎ ｉ ｒ ｄ ｃ ｅ ｔ Ｏ ｓ ｄ ｒ ｔ ｆｒ ｄ ｍ ａ ｔ ｒ ｎ ｖ ｒｕ ｆＭ ｎ ｅ ｉ Ｏ ａ Ｃａ ｌ ｔ ｏ Ｔｈ ｔ ｄ ｆ ｒ ｃ ｉ ａ ｒ ｉ ｉ ｇ ａ ｄ ｃ ｍｂ ｔｈ ｓａ ｇ ｏ ｅ ｅ ｅ ｃ ａ ｕ ． ｒ ｏ ｍｅ ｈ ｄ． ｅ ｓ ｕ ｙ ｏ ａ ｔｃ ｌ ａ ｎ ｎ ｎ ｏ ｐ ｔ ａ ａ ｏ ｄ ｒ ｆ ｒ ｎ ｅ ｖ ｌ ｅ Ｋｅ ｗｏ ｄ ：ａ ｒ ｒ ｓ ｓ ａ ｃ ｏ ｆｉ ｉｎ ；ｔ ｒ ｎ ｌ ｖ ｌ ｃ ｔ ｙ ｒ ｓ ｉ ｅ ｉｔ ｎ ｅ ｃ ｅ ｆｃ ｅ ｔ ｅ ｍｉ ａ ｅ ｏ ｉ ｙ；ａ ｇ ｅ ｏ ｔ ｃ ；ｎ ｍｅ ｉ ａ ｏ ｕ ｉ ｎ；ｓｍ ｕ ａ ｉ ｎ ｎ ｌ ｆ ａｔ ｋ ｕ ｒ ｃ ｌｓ ｌ ｔｏ ａ ｉ ｌｔｏ ；Ｍ ｏ ｔ ｒｏ ｎ ｅ Ｃａ ｌ
ｃ ａ ｇ ｆ ａ ｒｄ ｎ ｉ ｓ ｅ ｔ ｂ ｉ ｈ ｄ Ｔｈ ｅ ａ ｉ ｎ ｈ ｐ ｂ ｔ ｅ ｈ ｐ ｅ ，ａ ｇ ｅ ｏ ｔａ ｋ ａ ｄ ｎ ｉ ，ｌ ｎ ｉ ｇ ｐ ｓｔｏ ｆ ｈ ｎ ｅ ｏ ｉ ｅ ｓ ｔ ｉ ｓａ ｌｓ ｅ ． ｅ ｒ ｌ ｔｏ ｓ ｉ ｅ ｗｅ ｎ ｔ ｅ ｓ ｅ ｄ ｎ ｌ ｆａ ｔ ｃ ，ｌ ｎ ｉ ｇ ｔｍｅ ａ ｄ ｎ ｏ ｉｉ ｎ ｏ ｙ ｔｅ ｅ ｕｐ ｈ ｑ ｉ ｍｅ ｔ ａ ｈ ｒ ｃ ｓ ｆ ｄ ｏ ａ ｄ ｔ ｅ ｌｙ ｎ ｅ ｇ ｔ ａ ｄ ｐ ｅ ｆ ｔ ｅ ｐ ａ ｅ ａ ｄ ｔ ｅ ｐ ｒ ｃ ｕ ｅ ｉ ｅ ｅ ｒ ｈ ｄ ｎ ｔ ｔ ｅ ｐ ｏ ｅ ｓ ｏ ｒ ｐ ｎ ｈ ｆ ｉ ｇ ｈ ｉ ｈ ｎ ｓ ｅ ｄ ｏ ｈ ｌ ｎ ｎ ｈ ａ ａ ｈ ｔ ｓ ｒ ｓ ａ ｃ ｅ ． Ｍｅ ｎ ａ ｗｈ ｌ，ｔ ｅ ｐ ｏ ｅ ｓ ｏ ｅ ｐ ｒ ｃ ｕ ｅ ｄ ｏ ｐｉ ｇ ｉ ｉ ｕ ａ ｅ ｈ ｏ ｇ ｏ ｓ ａ ｔｃ ｅ ｆ ｉ ｎ ｉｆ ｒ ｎ ｉ ｌ ｑ ａ ｉ ｎ ｍｏ ｅ ｎ ｉ ｅ ｈ ｒ ｃ ｓ ｆｔ ａ ａ ｈ ｔ ｒ ｐ ｎ ｓ ｓｍ ｌｔ ｄ ｔ ｒ ｕ ｈ ｃ ｎ ｔ ｎ ｏ ｆ ｉ ｅ ｔｄ ｆ ｅ ｅ ｔａ ｕ ｔｏ ｄ ｌｉ ｈ ｃ ｅ
数学建模军备竞赛
模型的定性解释
模型
x(t) x ky g
y (t )
lx
y
h
平衡点
x0
kh g kl
,
y0
lg h kl
双方军备稳定(时间充分 , ~ 本方经济实力的制约；
长后趋向有限值)的条件 k, l ~ 对方军备数量的刺激；
的平衡点及其稳定性
平衡点 P0(0,0)
特征根 ( p p2 4q) / 2 1, 2
微分方程一般解形式
c e c e 1t 1
2t 2
1,2为负数或有负实部
p>0且q>0 p<0或q<0
平衡点 P0(0,0)稳定 平衡点 P0(0,0)不稳定
军备竞赛
模型
x(t) x ky g
也会因 x ky g 使该方重整军备， 即存在互不信任( k 0 ) 或固有争端( g 0 ) 的单方面
裁军不会持久。
线性常系数 微分方程组
x(t) ax by y(t) cx dy
的平衡点及其稳定性
ax by 0
平衡点P0(x0,y0)=(0,0) ~代数方程 cx dy 0 的根
若从P0某邻域的任一初值出发，都有
lim
t
x(t)
x0
,
lim y(t)
t
y, 0
kl
g, h ~ 本方军备竞赛的潜力。
1) 双方经济制约大于双方军备刺激时，军备竞赛 才会稳定，否则军备将无限扩张。
2) 若g=h=0, 则 x0=y0=0, 在 > kl 下 x(t), y(t)0,
军用电子装备仿真训练软件特征建模及应用
主要 通过对 武器装 备的人机交互 界面 、行 为逻辑 的仿
真 ，实现人在 回路式的操作训练功能 ，是 当今训练领域 提高受训 人员掌握窝气装备操作水平 的一种重要手段 。
作 为一种典型的军事训练应用系统 ，其开发和研制面临
着模型重用性不高 、开发效率低等 问题 。这些问题 已成 为严重影ｎ ￣ ＭＥ Ｔ Ｓ 设计与开发周期和质量的瓶颈 。 因此 ，考虑开 发一套 能够 解决 上述 问题 的ＭＥ Ｔ Ｓ 集 成开发 环境就显 得尤 为重 要 。随着软件工程 的不 断
Ｏ ｒ ｉ ｅ ｎ ｔ ｅ ｄ Ｄｏ ｍａ ｉ ｎ Ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｓ ｉ ｓ ） ］ 是 目前 较 为 成 熟 的 一 种 面
过特征 的可选性 和变化性来表示领域变化性 的机制。其 中 ，特征 的可选性 是指部分特征 相对于整体 特征 的可 选性 ，如视 图缩放 为仿真对象操 作 的可选 行为特征 。 此外 ，还通过维度（ ｄ ｉ ｍｅ ｎ ｓ ｉ ｏ ｎ ） 和值（ ｖ ａ ｌ ｕ ｅ ） 的概念来描述 特征具有的变化性 ［ ９ ］ 。把具有变化性 的特征称为一个维 度 ，把其涵盖了不同细节的变化性特征称为该维度上 的
Ａ ＣＡＤＥＭ Ｉ Ｃ ＲＥＳ ＥＡＲＣＨ
熟 的领域分析方法 。随着 的领域工程研究 的不断深入 ， 还发 展 了其它 一些 以特 征模 型为核 心的领 域分析 方法
致 的名称和说 明 ，并将其放入特征模型的行为特征层 ，
同时建立与功能层特征 的整体部分关系 。该项活动主要 包括分析功能执行 的条件特征 ，如前置条件 、准备工作 等 ；分析功能主体行 为的特点 ，发现其具有的显著特点
两种类型 ：共性特征 和变化性特征 。共性特征存在 于领 域 内的每个具体系统中 ，是使领域特征模 型能够复用 的
面向武器装备系统的建模与仿真技术研究
面向武器装备系统的建模与仿真技术研究随着科技的不断进步和人类社会的不断发展，现代武器装备系统也越来越复杂，对其的研究和发展成为了现代军事建设的必要条件。
然而，为了更好地研究和理解这些复杂的武器装备系统，需要一种高效精确的手段来对其进行建模和仿真。
本文将探讨面向武器装备系统的建模与仿真技术研究，介绍现代武器装备系统的特点，以及建模和仿真技术在武器装备系统中的应用。
一、现代武器装备系统的特点现代武器装备系统具有以下几个特点：1. 复杂性：现代武器装备系统通常由多个子系统、多个模块组成，而这些子系统和模块之间通常相互关联。
这种复杂性导致了系统的设计、开发和测试难度大，因此需要利用建模和仿真技术来简化这种复杂性。
2. 动态性：武器装备系统通常是动态的，包含了随时间变化的状态。
这些状态可能由外部环境的变化、系统内部的交互和其他因素导致。
因此需要使用建模和仿真技术来预测和管理这种状态。
3. 安全性：武器装备系统涉及到军事力量和国家安全，在使用和部署期间需要保证安全性。
这不仅包括硬件安全性、软件安全性，还包括数据安全性和通信安全性等方面。
因此需要建立可靠的仿真模型和系统。
4. 隐私性：武器装备系统通常具有一定的隐私性，包括技术、信息和数据方面的机密性。
因此需要建立隔离保密的仿真环境，保证技术和信息的安全。
二、建模和仿真技术在武器装备系统中的应用建模和仿真技术在武器装备系统中的应用主要包括以下几个方面：1. 设计和开发阶段的仿真：在武器装备系统的设计和开发阶段，建模和仿真技术可以用来进行系统的建模和分析，以评估系统的性能、可靠性和安全性等。
通过建立仿真模型，可以预测系统在不同条件下的行为和运行情况，为系统的优化和改进提供参考。
2. 测试和验证阶段的仿真：在武器装备系统的测试和验证阶段，建模和仿真技术可以用来进行系统的测试和验证，以评估系统的性能、可靠性和安全性等。
通过建立仿真模型，可以模拟系统的行为和运行情况，比较仿真结果和实际测试结果，以验证系统的正确性和完整性。
军事需求评估的形式化建模分析
２０２４－０２４６（１）指挥控制与仿真ＣｏｍｍａｎｄＣｏｎｔｒｏｌ＆Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ１１０㊀引用格式：马宝林，朱旭宇，都斌．军事需求评估的形式化建模分析［Ｊ］．指挥控制与仿真，２０２４，４６（１）：１１０⁃１１７．ＭＡＢＬ，ＺＨＵＸＹ，ＤＵＢ．Ｆｏｒｍａｌｍｏｄｅｌｉｎｇａｎａｌｙｓｉｓｏｆｍｉｌｉｔａｒｙｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔａｓｓｅｓｓｍｅｎｔ［Ｊ］．ＣｏｍｍａｎｄＣｏｎｔｒｏｌ＆Ｓｉｍｕｌａｔｉｏｎ，２０２４，４６（１）：１１０⁃１１７．军事需求评估的形式化建模分析马宝林，朱旭宇，都㊀斌（军事科学院战略评估咨询中心，北京㊀１０００９１）摘㊀要：为更加科学有效评估军事需求，通过需求评估 阶段划分㊁对象确定㊁指标构建 等步骤，系统阐述军事需求评估问题；形式化语言对需求论证阶段的方案需求值㊁落实阶段的能力生成值和检验评估阶段的需求满足值等指标重点描述，研究了需求评估的预期走势；基于Ｋａｌｍａｎ滤波思想对提出的形式化模型进行实验算例分析㊂结果表明：评估结果能够逐渐逼近理想值，误差可以收敛；评估周期㊁评估初始值㊁预测误差㊁观测误差等因素对评估走势最终结果产生影响；综合评估结果与分项评估指标之间为非线性关系㊂因此，本文建立的形式化模型能够表征需求评估的基本规律，相关研究成果可以为军事需求评估提供理论参考和支撑㊂关键词：需求评估；Ｋａｌｍａｎ滤波；形式化分析中图分类号：Ｅ９１１；ＴＰ３９１ ９㊀㊀㊀㊀文献标志码：Ａ㊀㊀㊀㊀ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７３⁃３８１９．２０２４．０１．０１５ＦｏｒｍａｌｍｏｄｅｌｉｎｇａｎａｌｙｓｉｓｏｆｍｉｌｉｔａｒｙｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔａｓｓｅｓｓｍｅｎｔＭＡＢａｏｌｉｎ，ＺＨＵＸｕｙｕ，ＤＵＢｉｎ（ＳｔｒａｔｅｇｉｃＡｓｓｅｓｓｍｅｎｔａｎｄＣｏｎｓｕｌｔａｔｉｏｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＭｉｌｉｔａｒｙＳｃｉｅｎｃｅｓ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１０００９１，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎｏｒｄｅｒｔｏａｓｓｅｓｓｍｉｌｉｔａｒｙｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｓｃｉｅｎｔｉｆｉｃａｌｌｙａｎｄｅｆｆｅｃｔｉｖｅｌｙ，ｔｈｒｏｕｇｈｓｔｅｐｓｄｉｖｉｓｉｏｎｏｆｓｔａｇｅｓ，ｄｅｔｅｒｍｉｎａ⁃ｔｉｏｎｏｆａｓｓｅｓｓｍｅｎｔｏｂｊｅｃｔａｎｄｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｏｆａｓｓｅｓｓｍｅｎｔｉｎｄｉｃａｔｏｒｓａｒｅｓｙｓｔｅｍａｔｉｃａｌｌｙｄｅｓｃｒｉｂｅｄｔｈｅｍｉｌｉｔａｒｙｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔａｓ⁃ｓｅｓｓｍｅｎｔｐｒｏｂｌｅｍ．Ａｄｏｐｔｆｏｒｍａｌｌａｎｇｕａｇｅ，ｆｏｃｕｓｏｎｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｏｆｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｖａｌｕｅｉｎｔｈｅｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｓｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｉｏｎｓｔａｇｅ，ｃａｐａｂｉｌｉｔｙｖａｌｖｅｉｎｔｈｅｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎｓｔａｇｅａｎｄａｓｓｅｓｓｍｅｎｔｓａｔｉｓｆａｃｔｉｏｎｖａｌｕｅｉｎｔｈｅｉｎｓｐｅｃｔｉｏｎｓｔａｇｅａｓｓｅｓｓｍｅｎｔ．Ｓｔｕｄｙｔｈｅｉｒａｓｓｅｓｓｍｅｎｔｓｔｒｅｎｄｓ．ＢａｓｅｄｏｎＫａｌｍａｎｆｉｌｔｅｒｉｄｅａｓ，ｃｏｎｄｕｃｔｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌａｎａｌｙｓｉｓｏｎｔｈｅｐｒｏｐｏｓｅｄｆｏｒｍａｌｍｏｄｅｌ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｓｈｏｗｔｈａｔａｓｓｅｓｓｍｅｎｔｔｒｅｎｄｃａｎｇｒａｄｕａｌｌｙａｐｐｒｏａｃｈｔｈｅｉｄｅａｌｖａｌｕｅ，ａｎｄｅｒｒｏｒｓｃａｎｃｏｎｖｅｒｇｅ．Ｆａｃｔｏｒｓｓｕｃｈａｓａｓｓｅｓｓｍｅｎｔｃｙ⁃ｃｌｅ，ｉｎｉｔｉａｌａｓｓｅｓｓｍｅｎｔｖａｌｕｅ，ｅｘｐｅｃｔｅｄｅｒｒｏｒ，ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔｅｒｒｏｒｗｉｌｌｈａｖｅａｎｉｍｐａｃｔｏｎｂｏｔｈｔｈｅａｓｓｅｓｓｍｅｎｔｔｒｅｎｄａｎｄｔｈｅａｓｓｅｓｓｍｅｎｔｒｅｓｕｌｔｓ．Ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｃｏｍｐｒｅｈｅｎｓｉｖｅａｓｓｅｓｓｍｅｎｔｒｅｓｕｌｔｓａｎｄｔｈｅｓｕｂａｓｓｅｓｓｍｅｎｔｉｎｄｉｃａｔｏｒｓａｒｅｎｏｎ⁃ｌｉｎ⁃ｅａｒ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｉｎｄｉｃａｔｅｔｈａｔｔｈｅｂａｓｉｃｌａｗｓｏｆａｓｓｅｓｓｍｅｎｔｃａｎｂｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚｅｄｂｙｅｓｔａｂｌｉｓｈｅｄｆｏｒｍａｌｍｏｄｅｌ．Ｒｅｓｅａｒｃｈｒｅｓｕｌｔｓｃａｎｐｒｏｖｉｄｅａｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｂａｓｉｓｏｆｍｉｌｉｔａｒｙｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔａｓｓｅｓｓｍｅｎｔ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔａｓｓｅｓｓｍｅｎｔ；Ｋａｌｍａｎｆｉｌｔｅｒ；ｆｏｒｍａｌａｎａｌｙｓｉｓ收稿日期：２０２３－０６－１３修回日期：２０２３⁃０７⁃１０作者简介：马宝林（１９８３ ），男，博士，助理研究员，研究方向为飞行器设计㊂朱旭宇（１９７２ ），男，硕士㊂㊀㊀军事需求是维护国家安全与发展利益的一种基本需求，是国防和军队建设的重要依据［１］㊂军事需求评估负责检验军事需求的正确性㊁有效性和规范性，是需求作用发挥的重要保证㊂鉴于军事系统构成日趋复杂㊁费用极其昂贵，军事需求上的任何偏差，都将对军事系统建设产生重大影响㊂西方发达国家非常注重采用工程化思想方法，加强军事需求论证㊁评估的规范性㊂例如，美军通过采用 自然语言表述＋面向功能㊁数据技术表述 的方法，不断加强对军事需求的定量化描述；通过建立军事需求验证评估的指标体系，运用形式化㊁仿真技术，不断提升军事需求验证和系统评估的规范性㊂其联合能力集成与开发系统（ＪｏｉｎｔＣａｐａｂｉｌｉｔｙＩｎ⁃ｔｅｇｒａｔｉｏｎＤｅｖｅｌｏｐＳｙｓｔｅｍ，ＪＣＩＤＳ）拥有包括 能力领域分析 能力需求分析 能力方案分析 等需求分析程序，可以对未来作战所需的能力进行分析，评估确定能力差距㊁冗余以及中长期发展目标［２］㊂英㊁法等国在需求开发与实现过程中，通过在各个阶段设置里程碑决策点，不断加强对军事需求的审查与监督，将军事需求评估贯穿开发与建设全过程［１］㊂目前，国内关于需求［２⁃７］的概念较为明确，尤其在装备需求论证和软件需求分析等领域研究活跃㊁成果丰富㊂但就需求评估而言，学术界对其定义尚未统一，有文献称之为需求质量评价［１］㊁需求论证与评估［５］㊁需求方案分析评估［８⁃９］等㊂军事需求评估与装备㊁软件需求评估虽有相似之处，但也有明显区别，即战略㊁全局属性明显，亟须解决文字语言表达差异大㊁把握特点规律缺方法等问题㊂形式化方法［１０⁃１１］在计算机科学和软件工程领域应用广泛，主要采用适当的数学分析，在软件和硬件系统中用于描述㊁开发和验证，旨在提高设计的可靠性和鲁棒性㊂吕继东等［１２］通过对比国内外列车运行控制领域形式化研究差异，提出基于模型的系统工程方法进第１期指挥控制与仿真１１１㊀行列车运行控制正向设计；蔡雄［１３］提出了用于引导新能源汽车控制系统的形式化规约和需求确认的形式化工程方法，以保证从源头上确保控制系统的安全性和可靠性；王莉等［１４］基于形式化方法，对神经网络可信性问题的抽象㊁属性表达及形式验证进行了深入研究，以对网络属性㊁核心算法进行严格的逻辑表达验证㊂可见，形式化方法在精确揭示逻辑规律㊁制定相应规则标准等方面［１０］已得到各领域的广泛认可㊂本文以军事需求评估为背景，对需求评估的阶段划分㊁逻辑关系㊁评估指标等问题开展研究，采用形式化方法，对划定的需求评估评估对象㊁目的㊁方法进行描述，期望促进需求评估理论体系向更加科学㊁严密的方向发展㊂１㊀评估问题找准评估问题很重要，包括评估阶段边界是什么，评估对象是谁，评估内容范围有哪些，评估的具体指标怎么设计等㊂这样才能有的放矢，对评估问题进行有效描述㊂对军事需求评估而言，首先，应明确军事需求的管理链条，划分需求管理和评估的阶段，将需求评估 分段厘清 ；然后，针对不同评估阶段，对应需求的要素，确定评估对象和评估内容范围㊂最后，根据需求评估阶段划分和评估对象选择，设定具体的评估指标㊂１ １㊀需求评估阶段划分如图１所示，军事需求从提出㊁落实到验收，拥有独特的全寿命周期，构成一条链路，这里称之为需求管理链条㊂需求管理链条中的需求评估，可划分为需求论证㊁落实㊁验收等阶段评估㊂图１㊀需求评估的阶段划分Ｆｉｇ １㊀Ｓｔａｇｅｄｉｖｉｓｉｏｎｏｆｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔａｓｓｅｓｓｍｅｎｔ１ ２㊀需求评估对象确定需求一般包括需求主体㊁实现主体㊁需求内容㊁时间要求㊁环境空间等要素［１］，具体概念界定及有关要求如表１所示㊂需求各要素进入需求管理链路后，推动需求评估进程不断迭代发展，如图２所示㊂表１㊀需求要素的概念界定Ｔａｂ １㊀Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎｏｆｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｅｌｅｍｅｎｔ需求要素概念界定备注需求主体需求方案的提出方提出的需求方案要适应国家㊁军队发展要求，符合环境条件要求实现主体实现方案执行落实的责任单位要能清晰识别需求，按时间节点落实㊁满足需求方案需求内容需求方案中明确的需要完成事项在规定的时间㊁环境空间内不超过实现主体的能力极限时间要求需求论证㊁落实㊁检验评估完成的时限有明确的时间节点环境空间任务执行的环境㊁空间等为简化分析，将规划㊁预算环节也划归环境空间范畴㊀在需求论证阶段，需求主体一般将初始需求经过若干轮需求论证，得到需求方案㊂因此，该阶段的评估对象主要为需求主体提出的需求方案（草案）（方案数量ȡ１）㊂在需求落实阶段，需求实现主体通过执行操作，不断转化生成能力㊂该阶段的评估对象主要为需图２㊀需求评估进程Ｆｉｇ ２㊀Ｔｈｅｃｏｕｒｓｅｏｆｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔａｓｓｅｓｓｍｅｎｔ求实现主体落实需求过程中的能力生成情况㊂在需求验收阶段，评估方将最终生成的能力与需求方案的要求进行比对验收㊂该阶段的评估对象为需求实现主体对需求方案的满足情况㊂１ ３㊀需求评估指标设计根据确定的评估对象，可结合不同阶段的评估特点，对评估指标进行分析设计㊂需求论证阶段评估，是伴随需求方案的论证，由评估方对需求主体提出的需求方案进行评估的过程㊂假设需求方案可量化评估，评估标准可设计为方案需求１１２㊀马宝林，等：军事需求评估的形式化建模分析第４６卷值是否在预先设定的需求值限定范围内㊂因此，评估指标可选择为需求方案的需求值（简称方案需求值）㊂需求落实阶段评估，是伴随需求的落实执行，由评估方对需求实现主体的落实情况进行评估的过程㊂评估标准可设计为需求落实过程中的能力生成值是否达到需求方案需求值的要求㊂因此，评估指标可选择为需求能力生成值㊂需求验收阶段评估，是在规定的需求完成节点，由评估方对需求实现主体所实现的需求结果情况进行评估的过程㊂评估的标准可设计为实现主体对需求的满足情况是否满足需求方案的考核标准要求㊂因此，评估指标可选择为需求方案的最终满足率㊂２㊀需求评估形式化描述为清晰体现需求评估各阶段的评估对象和指标的差异性，便于准确分析需求评估的进程和影响因素，采用形式化方法分别对需求论证㊁需求落实㊁需求检验验证３个阶段评估进行描述㊂２ １㊀需求论证阶段评估的形式化描述在需求论证评估阶段开始前，评估方会与需求主体进行磋商，明确有关事项㊂首先，为明确评估完成的时限和中间时间间隔，会确定ｎ个评估时间点（ｔ１， ，ｔｉ， ，ｔｎ），其中，ｉ为正整数，且１＜ｉ＜ｎ㊂然后，为明确评估目标，会设定每个指标的需求合理值区间ｒｍｉｎｒｍａｘ[]，其中，ｒｍａｘ是需求的上限，ｒｍｉｎ是需求的下限㊂也可根据需要，设定一个需求理想值ｒｉｄｅａｌ，例如可取需求最大值与最小值的中值㊂评估正式启动后，需求主体执行机构将在ｔｉ节点提供当前的需求方案草案文件㊂评估方从文件中提取的需求值为ｒᶄｔ＝ｈｒｔ＋ｖｔ（１）其中，ｈ是文件中数据的偏差系数，ｖｔ是ｔｉ时刻提取文件数据过程中需求值的误差㊂当然，需求主体也会基于之前结果，在ｔｉ时刻有一个自评价的需求值：ｒｔ＝ａｒｔ＋ｗｔ（２）其中，ａ是状态转移系数，ｒｔ为ｔｉ－１时刻的需求值，ｗｔ是预测过程的误差㊂评估方会综合ｒᶄｔ和ｒｔ，得出ｔｉ时间节点方案的需求值估计值：＾ｒｔ＝ｒｔ＋ｋｔ（ｒᶄｔ－ｈ㊃ｒｔ）（３）其中，ｋｔ是ｔｉ时刻的优化估计系数㊂图３描绘了需求论证阶段的评估走势图，蓝色实线表示被评估文件中体现的需求值走势，黑色实线表示需求主体自评价需求走势，红色实线代表了需求评估值走势，绿色虚线表示需求值生成的理想走势㊂因为需求草案自身提供的数据会存在一定偏差，加上提出过程中理解㊁分析的误差，所以被评估文件中体现的需求值走势图会偏离理想值生成走势，至于ｔｉ时刻偏离程度大小，要看ｈ值和ｖｔ值的大小㊂需求主体的自评价走势也会偏离理想值走势，主要原因是自身主观评价会存在偏差㊂由于评估值综合了文件解读和需求主体的自评价，理论上能够逐渐逼近理想值的走势，但以多快速度逼近要看被评估文件和需求主体自评价的情况以及对两者的取舍㊁吸收情况㊂图３㊀需求论证评估阶段的预期走势图Ｆｉｇ ３㊀Ａｓｓｅｓｓｍｅｎｔｔｒｅｎｄｃｈａｒｔｉｎｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｉｏｎｓｔａｇｅ㊀㊀随后，评估方会给出＾ｒｔ是否在需求合理区间ｒｍｉｎｒｍａｘ[]的判断，判断值Ｚｔ可设定为Ｚｔ＝（＾ｒｔ－ｒｍｉｎ）（＾ｒｔ－ｒｍａｘ）（４）若Ｚｔɤ０，则＾ｒｔ在需求合理区间内；若Ｚｔ＞０，则＾ｒｔ第１期指挥控制与仿真１１３㊀在需求合理区间外㊂若不在需求合理区间范围内，评估方会在ｔｉ时刻预估出按当前效率在ｔｎ时刻的满足值：ｒｔ＝ｒｔ＋ｔｎ－ｔｉｔｉ－ｔｉ－１（ｒｉ－ｒｉ－１）（５）评估结论的判据：若 ｒｔ＜ｒｍｉｎ，则当前情况下 需求提得过高 ；若 ｒｔ＞ｒｍａｘ，则当前情况下 需求定得过低 ㊂同时，评估方会在ｔｉ时刻建议需求主体采用新的需求值生成速率㊂需求主体会根据自身情况和影响因素，考虑是否或如何采用新的需求值生成速率㊂由此持续进行，直到ｔｎ节点，评估得出该指标的需求值：＾ｒｔ＝ｒｔ＋ｋｔ（ｒᶄｔ－ｈ㊃ｒｔ）（６）理论上，＾ｒｔ将作为需求的量化值形成需求方案并交付需求落实部门㊂２ ２㊀需求落实阶段评估的形式化描述方法在需求落实阶段评估开始前，评估方㊁需求主体和需求实现主体会进行磋商，明确有关事项㊂首先为明确评估完成的时限和中间时间间隔，确定ｍ个评估时间点Ｔ１，㊀ ㊀Ｔｊ，㊀ ，㊀Ｔｍ()，其中ｊ为正整数，且１＜ｊ＜ｍ㊂然后，确定每个指标的需求落实的能力生成值Ｒｉｄｅａｌ，一般情况下，Ｒｉｄｅａｌ与ｒｔ的值一致㊂评估正式启动后，需求实现主体会在每个时间点，提供当前的需求落实情况文件㊂文件中体现的能力生成值为ＲᶄＴ＝Ｈ㊃ＲＴ＋ＶＴ（７）其中，Ｈ是文件中数据的偏差系数，ＶＴ是Ｔｊ时刻提取文件数据过程中的能力生成值误差㊂当然，需求实现主体也会基于之前结果在Ｔｊ时刻有一个自评价的能力生成值：ＲＴ＝ＡＲＴ＋ＷＴ（８）其中，Ａ是状态转移系数，ＲＴ为Ｔｊ－１时刻的能力生成值，ＷＴ是预测过程的误差㊂评估方会综合ＲᶄＴ和ＲＴ得出Ｔｊ时间节点方案的能力生成值估计值：＾ＲＴ＝ＲＴ＋ＫＴ（ＲᶄＴ－Ｈ㊃ＲＴ）（９）其中，ＫＴ是Ｔｊ时刻的优化估计系数㊂图４描绘了需求落实阶段的评估走势图，蓝色实线表示被评估文件中体现的能力生成值走势，黑色实线代表了需求实现主体自评价的能力生成值走势，红色实线代表了能力生成评估值走势，绿色虚线表示能力生成理想值走势㊂因为落实情况文件自身提供的数据会存在一定偏差，加上提出过程中理解㊁分析的误差，所以被评估文件中体现的能力生成值走势图会偏离理想值生成走势，至于ｔｊ时刻偏离程度大小，要看Ｈ值和Ｖｔ值的大小㊂需求实现主体的自评价走势也会偏离理想值走势，主要原因是自身主观评价会存在偏差㊂由于评估值综合了文件解读和实现主体的自评价，理论上能够逐渐逼近理想值的走势，但以多快速度逼近要看被评估文件和需求实现主体自评价的情况，以及对两者的取舍㊁吸收情况㊂图４㊀需求落实阶段的评估走势图Ｆｉｇ ４㊀Ａｓｓｅｓｓｍｅｎｔｔｒｅｎｄｃｈａｒｔｉｎｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎｓｔａｇｅ㊀㊀随后，评估方会给出能力生成的达到率：ＡＴ＝＾ＲＴ／Ｒｉｄｅａｌ（１０）假设置信水平为９５％，若ＡＴȡ９５％，则说明Ｔｊ时刻能力生成指标已达标；若ＡＴ＜９５％，则说明Ｔｊ时刻能力生成指标未达标㊂若未达标，评估方会在Ｔｊ时刻按当前效率预估出Ｔｍ时刻的满足值：１１４㊀马宝林，等：军事需求评估的形式化建模分析第４６卷ＲＴ＝ＲＴ＋Ｔｍ－ＴｊＴｊ－Ｔｊ－１（ＲＴ－ＲＴ）（１１）并以Ｒｉｄｅａｌ－ ＲＴ为依据，在Ｔｊ时刻建议需求实现主体采用新的能力值生成速率㊂需求主体会根据自身情况和影响因素，考虑是否或如何采用新的能力值生成速率㊂由此持续进行，直到Ｔｍ节点，评估得出该指标的能力生成值：＾ＲＴ＝ＲＴ＋ＫＴ（ＲᶄＴ－Ｈ㊃ＲＴ）（１２）理论上，＾ＲＴ将作为评估验收阶段的需求满足度值进行评估㊂２ ３㊀需求验收阶段评估的形式化描述方法需求验收阶段重在评估验收整体需求方案的需求满足度，需要对方案包含的Ｘ个指标（指标按序排列）进行综合评估㊂假设总体需求方案值为Ｓｓｕｍ＝ｓｉｎ２πＸ２ðＸ－１ｘ＝１Ｓｘ㊃Ｓｘ＋１（１３）其中，Ｓｘ表示需求方案中的第ｘ个指标的需求值㊂需求方案执行完成后的总体能力生成值为ＳＲ＝ｓｉｎ２πＸ２ðＸ－１ｘ＝１Ｒｘ㊃Ｒｘ＋１（１４）其中，Ｒｘ表示需求方案中的第ｘ个指标的需求满足值㊂最后，评估方给出ＳＲ满足Ｓｓｕｍ的满足率：Ｕ＝ＳＲＳｓｕｍ（１５）假设置信水平为９５％，若Ｕ＞９５％，则说明总体需求被有效满足；若Ｕ＜９５％，则说明需求未被有效满足㊂同理，需求论证和落实阶段的多指标综合评估也可按照检验评估阶段综合评估的思路进行㊂３㊀基于形式化方法的需求评估实验分析根据上述提出的需求评估模型，通过基于模型［１５］和试验评估［１６⁃１７］的方法对需求评估进行分析，旨在验证形式化方法的正确性㊂鉴于需求论证和需求落实阶段评估的算法思路相近㊂下面给出需求落实和验收评估阶段的实验算例㊂３ １㊀需求落实阶段的评估实验算例实验思路：采用Ｋａｌｍａｎ滤波，分析估计值逼近需求能力生成值和误差收敛情况，用以验证形式化模型的正确性㊁有效性㊂其中，公式（７）㊁（８）可分别设定为Ｋａｌｍａｎ滤波的观测方程和状态方程㊂实验条件：假设需求落实阶段进行１０次评估，每次间隔０ ５年㊂Ｋａｌｍａｎ滤波器参数设置如表２所示㊂表２㊀Ｋａｌｍａｎ滤波器参数Ｔａｂ ２㊀ＰａｒａｍｅｔｅｒｓｏｆＫａｌｍａｎｆｉｌｔｅｒ参数名称参数符号参数值过程噪声方差Ｑ１测量噪声方差Ｙ３观测系数Ｈ０ ９状态转移系数Ａ１ １需求值真值Ｒｉｄｅａｌ１００观测初始值ＲᶄＴ００初始状态值ＲＴ００估计初值＾ＲＴ００状态协方差初始值Ｐ０１㊀按上述参数滤波计算后，需求落实阶段评估误差如图５所示㊂实验结果显示：随着需求落实进程，评估数量增多，估计得出的能力生成值逐渐逼近能力生成理想值，误差能够收敛，与图４预期走势相符，这表明在需求落实阶段，公式（７）㊁（８）代表的状态方程和观测方程能够表征需求落实的基本规律㊂图５㊀需求落实阶段评估结果Ｆｉｇ ５㊀Ａｓｓｅｓｓｍｅｎｔｒｅｓｕｌｔｓｉｎｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎｓｔａｇｅ下面对影响需求落实评估的几个关键要素进行分析㊂３ １ １㊀对需求落实评估时间次数的分析假设Ｋａｌｍａｎ滤波器参数按表２设置，仅将评估时间次数减少到５次，每次间隔１年，评估结果如图６所示㊂实验结果显示：估计得出的能力生成值虽然也能第１期指挥控制与仿真１１５㊀图６㊀需求落实评估阶段结果走势（评估次数减少情况）Ｆｉｇ ６㊀Ａｓｓｅｓｓｍｅｎｔｒｅｓｕｌｔｓｉｎｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎｓｔａｇｅ（ｒｅｄｕｃｔｉｏｎｉｎａｓｓｅｓｓｍｅｎｔｆｒｅｑｕｅｎｃｙ）逐渐逼近能力生成理想值，但误差未能完成收敛㊂表明只有评估达到足够次数，即在评估样本充足的情况下，评估结果才能达到较为满意的效果㊂但因军事需求评估战略属性明显，不能随意或无限制地评估，需要在有限的评估次数与较好的评估效果之间找到平衡点㊂３ １ ２㊀对初始能力生成值的分析假设Ｋａｌｍａｎ滤波器参数按表２参数设置，仅将ＲＴ的参数按表３进行变化，评估结果如图７所示㊂表３㊀ＲＴ０不同赋值Ｔａｂ ３㊀ＤｉｆｆｅｒｅｎｔａｓｓｉｇｎｍｅｎｔｓｔｏＲＴ０Ｒ０１Ｒ０２Ｒ０３Ｒ０４Ｒ０５赋值０５１０１５２０㊀图７㊀需求落实阶段的评估结果（ＲＴ０值变化）Ｆｉｇ ７㊀Ａｓｓｅｓｓｍｅｎｔｒｅｓｕｌｔｓｉｎｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎｓｔａｇｅ（ＣｈａｎｇｅｓｉｎＲＴ０ｖａｌｕｅ）对于初始状态值ＲＴ，随着赋值逐渐变大，评估误差的收敛速度变快㊂说明在落实需求过程中，实现主体的实现基础越高，越能快速达成能力生成目标㊂３ １ ３㊀对过程噪声的分析假设Ｋａｌｍａｎ滤波器参数按表２参数设置，仅将Ｑ的参数按表４进行变化，评估结果如图８所示㊂表４㊀Ｑ不同赋值Ｔａｂ ４㊀ＤｉｆｆｅｒｅｎｔａｓｓｉｇｎｍｅｎｔｓｔｏＱＱ１Ｑ２Ｑ３Ｑ４Ｑ５赋值０ ９０ ８０ ７０ ６０ ５㊀图８㊀需求落实阶段的评估走势（Ｑ值变化）Ｆｉｇ ８㊀Ａｓｓｅｓｓｍｅｎｔｒｅｓｕｌｔｓｉｎｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎｓｔａｇｅ（ＣｈａｎｇｅｓｉｎＱｖａｌｕｅ）对于过程噪声Ｑ值，随着其赋值逐渐变小，评估结果准确度逐渐增加，收敛速度也越快，由此说明需求实现主体自身评价能力生成的误差波动越小越好，评估方对状态模型预测值（需求实现主体的自评价）信任度与过程噪声成反比㊂３ １ ４㊀对观测噪声的分析假设Ｋａｌｍａｎ滤波器参数按表２参数设置，仅将Ｙ的参数按表５进行变化，评估结果如图９所示㊂表５㊀Ｙ不同赋值Ｔａｂ ５ＤｉｆｆｅｒｅｎｔａｓｓｉｇｎｍｅｎｔｓｔｏＹＹ１Ｙ２Ｙ３Ｙ４Ｙ５赋值３４５６７㊀对于观测噪声Ｙ值，随着其赋值逐渐变大，评估准确度逐渐变差，收敛速度也变得缓慢，由此说明，被评估文件中的能力生成值误差波动同样越小越好，评估方对观测值（文件中的能力生成值）信任度与观测噪声成反比㊂３ ２㊀需求验证评估阶段的评估实验算例假设需求方案有６个主要指标，每个指标的分值为１００分，每个指标都达到了各自需求落实的要求，评估得到的分值分别为９５㊁９８㊁９７㊁９６㊁９９㊁９６㊂按照式１１６㊀马宝林，等：军事需求评估的形式化建模分析第４６卷图９㊀需求落实阶段的评估结果（Ｙ值变化）Ｆｉｇ ９㊀Ａｓｓｅｓｓｍｅｎｔｒｅｓｕｌｔｓｉｎｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎｓｔａｇｅ（ＣｈａｎｇｅｓｉｎＹｖａｌｕｅ）（１３）计算得到的需求值和式（１４）计算得到的需求满足值对比情况，如图１０所示㊂图１０㊀需求方案需求值与需求满足值的对比情况Ｆｉｇ １０㊀Ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎｂｅｔｗｅｅｎｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｖａｌｕｅｉｎｔｈｅｓｃｈｅｍｅａｎｄｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｓａｔｉｓｆａｃｔｉｏｎｖａｌｕｅ图１０中虽然每项评估值都达到了单项评估要求，但总体需求满足率为９３ ７％，如按总体满足率需达到９５％的要求，总体需求仍未满足㊂这需要评估方对评估规则进行总体考量设计：第一种方案是单项评估指标全部满足要求；第二种方案是总体指标满足要求；第三方案是单指标㊁总体指标均要满足要求㊂４㊀结束语军事需求评估规模宏大㊁考虑因素众多，即便如此，需求评估仍有规律可循㊂本文通过系统梳理军事需求评估的阶段划分㊁评估对象和核心指标，采用形式化方法描述需求论证㊁落实和验证阶段评估，以需求落实阶段和验证阶段为例，给出了具体评估算例㊂就单一评估指标而言，影响需求满足结果的主要因素包括评估时间节点㊁初始需求值㊁文件自身误差㊁文件数据提取误差㊁需求主体（需求实现主体）自身评估误差等㊂其中，初始需求值㊁评估时间节点等参数与方案需求值㊁能力生成值㊁需求满足率等成正向递增关系，但因军事需求评估涉及面广㊁影响错综复杂，需综合考量㊁审慎取舍；各类误差影响评估的进程和结果，应从需求要素中分析因果关系，综合采用有效方法予以降低㊂就综合检验评估而言，总体需求满足值和单项指标的满足值不是简单求和平均，仍然是非线性关系，需要综合考量㊁合理设定评估规则㊂另外，还需说明的是，为便于得出一些规律性的认识，对评估问题做了大量简化，在实际评估过程中需要对评估的复杂程度有更深刻的认识㊂参考文献：［１］㊀罗军，游宁．军事需求研究［Ｍ］．北京：国防大学出版社，２０１１．ＬＵＯＪ，ＹＯＵＮ．Ｒｅｓｅａｒｃｈｅｓｏｎｍｉｌｉｔａｒｙｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｓ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：ＮａｔｉｏｎａｌＤｅｆｅｎｓｅＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓ，２０１１．［２］㊀刘林山．美国国防采办管理概览［Ｍ］．北京：国防工业出版社，２０１７．ＬＩＵＬＳ．ＯｖｅｒｖｉｅｗｏｆｄｅｆｅｎｓｅａｃｑｕｉｓｉｔｉｏｎｍａｎａｇｅｍｅｎｔｏｆｔｈｅＵｎｉｔｅｄＳｔａｔｅｓ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：ＮａｔｉｏｎａｌＤｅｆｅｎｓｅＩｎｄｕｓｔｒｙＰｒｅｓｓ，２０１７．［３］㊀何风．实施网络中心战的军事需求工程研究［Ｄ］．长沙：国防科学技术大学，２００９．ＨＥＦ．Ｒｅｓｅａｒｃｈｏｎｔｈｅｍｉｌｉｔａｒｙｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇｏｆｎｅｔｗｏｒｋｃｅｎｔｒｉｃｗａｒｆａｒｅ［Ｄ］．Ｃｈａｎｇｓｈａ：ＮａｔｉｏｎａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＤｅｆｅｎｓｅＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００９．［４］㊀朱卫星，何红悦．复杂信息系统能力需求技术［Ｍ］．长沙：国防科技大学出版社，２０１９．ＺＨＵＷＸ，ＨＥＨＹ．Ｃａｐａｂｉｌｉｔｙｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙｆｏｒｃｏｍｐｌｅｘｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｓｙｓｔｅｍｓ［Ｍ］．Ｃｈａｎｇｓｈａ：ＮａｔｉｏｎａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＤｅｆｅｎｓｅＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＰｒｅｓｓ，２０１９．［５］㊀樊延平，郭齐胜．指挥信息系统需求论证与评估［Ｍ］．北京：国防工业出版社，２０１９．ＦＡＮＹＰ，ＧＵＯＱＳ．Ｄｅｍａｎｄｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｉｏｎａｎｄ第１期指挥控制与仿真１１７㊀ｅｖａｌｕａｔｉｏｎｏｆｃｏｍｍａｎｄｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎｓｙｓｔｅｍ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：ＮａｔｉｏｎａｌＤｅｆｅｎｓｅＩｎｄｕｓｔｒｙＰｒｅｓｓ，２０１９．［６］㊀郭齐胜，董志明，樊延平．装备需求论证工程化理论与技术［Ｍ］．北京：国防工业出版社，２０１６．ＧＵＯＱＳ，ＤＯＮＧＺＭ，ＦＡＮＹＰ．Ｔｈｅｏｒｙａｎｄｔｅｃｈｎｉｑｕｅｓｏｆｅｑｕｉｐｍｅｎｔｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｓｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｉｏｎｅｎｇｉｎｅｅｒｉｚａｔｉｏｎ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：ＮａｔｉｏｎａｌＤｅｆｅｎｓｅＩｎｄｕｓｔｒｙＰｒｅｓｓ，２０１６．［７］㊀张兵志，郭齐胜．陆军武器装备需求论证理论与方法［Ｍ］．北京：国防工业出版社，２０１２．ＺＨＡＮＧＢＺ，ＧＵＯＱＳ．Ｔｈｅｏｒｙａｎｄｍｅｔｈｏｄｏｆｒｅｑｕｉｒｅｍｅｎｔｄｅｍｏｎｓｔｒａｔｉｏｎｆｏｒａｒｍｙｗｅａｐｏｎｅｑｕｉｐｍｅｎｔ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：ＮａｔｉｏｎａｌＤｅｆｅｎｓｅＩｎｄｕｓｔｒｙＰｒｅｓｓ，２０１２．［８］㊀刘同，吕彬．美军武器装备采办绩效评估研究［Ｍ］．北京：国防工业出版社，２０１７．ＬＩＵＴ，ＬＹＵＢ．ＡｓｔｕｄｙｏｎｔｈｅｐｅｒｆｏｒｍａｎｃｅａｓｓｅｓｓｍｅｎｔｏｆＵ．Ｓ．ｗｅａｐｏｎｓａｎｄｅｑｕｉｐｍｅｎｔａｃｑｕｉｓｉｔｉｏｎ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：ＮａｔｉｏｎａｌＤｅｆｅｎｓｅＩｎｄｕｓｔｒｙＰｒｅｓｓ，２０１７．［９］㊀张英朝，张浩，周莺．美军ＪＣＩＤＳ分析及对航天装备体系发展的启示［Ｊ］．装备指挥技术学院学报，２００６，１７（３）：１４⁃１９．ＺＨＡＮＧＹＣ，ＺＨＡＮＧＨ，ＺＨＯＵＹ．ＡｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅＵＳＪＣＩＤＳａｎｄｉｔｓｅｌｉｃｉｔａｔｉｏｎｏｎｓｐａｃｅｗｅａｐｏｎｅｑｕｉｐｍｅｎｔｓｙｓ⁃ｔｅｍｓｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆｔｈｅＡｃａｄｅｍｙｏｆＥｑｕｉｐ⁃ｍｅｎｔＣｏｍｍａｎｄ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２００６，１７（３）：１４⁃１９．［１０］张广泉．形式化方法导论［Ｍ］．北京：清华大学出版社，２０１５．ＺＨＡＮＧＧＱ．Ｉｎｔｒｏｄｕｃｔｉｏｎｔｏｆｏｒｍａｌｍｅｔｈｏｄｓ［Ｍ］．Ｂｅｉｊｉｎｇ：ＴｓｉｎｇｈｕａＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＰｒｅｓｓ，２０１５．［１１］ＣｈｒｉｓｔｉａｎｏＢｒａｇａ，ＮａｒｃｉｓｏＭａｒｔí⁃Ｏｌｉｅｔ．Ｆｏｒｍａｌｍｅｔｈｏｄ：ｆｏｕｎｄａｔｉｏｎｓａｎｄａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ：１７ｔｈＢｒａｚｉｌｉａｎｓｙｍｐｏｓｉｕｍ，ＳＢＭＦ２０１４，Ｍａｃｅｉｏ，ＡＬ，Ｂｒａｚｉｌ，Ｓｅｐｔｅｍｂｅｒ２９⁃Ｏｃｔｏｂｅｒ１，２０１４［Ｃ］．Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，２０１５．［１２］吕继东，卢万里，唐涛，等．列车运行控制系统的形式化研究进展与趋势［Ｊ］．前瞻科技，２０２３，２（１）：１０６⁃１１７．ＬÜＪＤ，ＬＵＷＬ，ＴＡＮＧＴ，ｅｔａｌ．Ｒｅｓｅａｒｃｈｐｒｏｇｒｅｓｓａｎｄｔｒｅｎｄｏｆｆｏｒｍａｌｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｔｒａｉｎｃｏｎｔｒｏｌｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］．ＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＦｏｒｅｓｉｇｈｔ，２０２３，２（１）：１０６⁃１１７．［１３］蔡雄．面向新能源汽车控制系统的需求建模语言设计与实现［Ｄ］．上海：华东师范大学，２０２２．ＣＡＩＸ．Ｄｅｓｉｇｎａｎｄｉｍｐｌｅｍｅｎｔａｔｉｏｎｏｆｍｏｄｅｌｉｎｇｌａｎｇｕａｇｅｆｏｒｎｅｗｅｎｅｒｇｙｖｅｈｉｃｌｅｃｏｎｔｒｏｌｓｙｓｔｅｍ［Ｄ］．Ｓｈａｎｇｈａｉ：ＥａｓｔＣｈｉｎａＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２０２２．［１４］王莉，李晓娟，关永，等．神经网络可信性的形式化验证方法综述［Ｊ］．小型微型计算机系统，２０２２，４３（９）：１８３０⁃１８３７．ＷＡＮＧＬ，ＬＩＸＪ，ＧＵＡＮＹ，ｅｔａｌ．Ｒｅｖｉｅｗｏｆｔｈｅｆｏｒｍａｌｖｅｒｉｆｉｃａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓｆｏｒｔｈｅｃｒｅｄｉｂｉｌｉｔｙｏｆｎｅｕｒａｌｎｅｔｗｏｒｋｓ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＣｈｉｎｅｓｅＣｏｍｐｕｔｅｒＳｙｓｔｅｍｓ，２０２２，４３（９）：１８３０⁃１８３７．［１５］柯宇航，李艳军，曹愈远，等．基于模型的飞控系统安全性分析研究［Ｊ］．系统工程与电子技术，２０２１，４３（１１）：３２５９⁃３２６５．ＫＥＹＨ，ＬＩＹＪ，ＣＡＯＹＹ，ｅｔａｌ．Ｒｅｓｅａｒｃｈｏｎｍｏｄｅｌ⁃ｂａｓｅｄｓａｆｅｔｙａｎａｌｙｓｉｓｏｆｆｌｉｇｈｔｃｏｎｔｒｏｌｓｙｓｔｅｍ［Ｊ］．ＳｙｓｔｅｍｓＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇａｎｄＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃｓ，２０２１，４３（１１）：３２５９⁃３２６５．［１６］杨燕初，杜千仟，曾丹丹，等．高空气球地面充氦气量计算方法分析与试验评估［Ｊ］．国防科技大学学报，２０２１，４３（６）：１⁃７．ＹＡＮＧＹＣ，ＤＵＱＱ，ＺＥＮＧＤＤ，ｅｔａｌ．Ａｎａｌｙｓｉｓａｎｄｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌｅｖａｌｕａｔｉｏｎｏｆｈｅｌｉｕｍｉｎｆｌａｔｉｏｎｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｓｏｎｔｈｅｇｒｏｕｎｄｏｆｈｉｇｈ⁃ａｌｔｉｔｕｄｅｂａｌｌｏｏｎ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＮａｔｉｏｎａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＤｅｆｅｎｓｅＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，２０２１，４３（６）：１⁃７．［１７］宋敏华，宋文萍，王跃，等．涡桨飞机缩比模型机体噪声预测研究［Ｊ］．西北工业大学学报，２０２１，３９（６）：１１６９⁃１１７８．ＳＯＮＧＭＨ，ＳＯＮＧＷＰ，ＷＡＮＧＹ，ｅｔａｌ．Ｎｏｉｓｅｐｒｅｄｉｃ⁃ｔｉｏｎｒｅｓｅａｒｃｈｏｆａｓｃａｌｅｄｔｕｒｂｏｐｒｏｐａｉｒｃｒａｆｔ［Ｊ］．ＪｏｕｒｎａｌｏｆＮｏｒｔｈｗｅｓｔｅｒｎＰｏｌｙｔｅｃｈｎｉｃａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２０２１，３９（６）：１１６９⁃１１７８．（责任编辑：许韦韦）。
实物交换、核军备竞赛—数学建模初等模型的应用
乙安全线
y0 0 x
y1 y0 0
y=f ( x)
y0 y f ( x) y0 x
x0
P(xm,ym)甲 安 x=g(y) 全 区 x1 x
P~平衡点(双方最少导弹数)
精细 模型
x<y x=y
乙方残存率 s ~甲方一枚导弹攻击乙方一个 基地，基地未被摧毁的概率。 甲方以 x攻击乙方 y个基地中的 x个, sx个基地未摧毁，y–x个基地未攻击。 y0=sx+y–x y0=sy y= y0+(1-s)x
xm , ym ym xm
0
x0
x
甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。
模型解释
• 甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架 乙安全线y=f(x)不变
y
, ym ) P( xm
甲方残存率变大
威慑值x 0和交换比不变 x减小，甲安全线 x=g(y)向y轴靠近 PP´
y0 0
P(xm,ym)
.
D
B
p
0
A
.
C
xo x
设X单价a, Y单价b, 则等价交换下ax+by=s (s=ax0=by0)
2.7
背 景
核军备竞赛
• 冷战时期美苏声称为了保卫自己的安全，实行“核威 慑战略”，核军备竞赛不断升级。 • 随着前苏联的解体和冷战的结束，双方通过了一系列 的核裁军协议。 • 在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存 在暂时的平衡状态。 • 估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个 数量受哪些因素影响。 • 当一方采取加强防御、提高武器精度、发展多弹头导 弹等措施时，平衡状态会发生什么变化。
模 型 假 设
(完整版)三方军备竞赛数学模型
东北大学秦皇岛分校数学建模课程设计报告三方军备竞赛模型及其改进分析学院数学与统计学院专业数学与应用数学学号7100405姓名燕云指导教师刘超张尚国成绩教师评语：指导教师签字:2013年7月15日1 绪论1.1背景军备竞赛是指和平时期敌对国家或潜在敌对国家相互视为假想敌，在军事装备方面展开的质量和数量上的竞赛。
各国之间为了应对未来可能发生的战争，相互扩充军备，增强军事实力。
是一种预防式的军事对抗。
近代比较著名的例子是第一次世界大战前20年欧洲列强之间展开的军备竞赛。
资料显示，几乎所有的先到战争都是以军备竞赛为前导的。
1979年加拿大人理查森研究了1816-1965年间99件国际争端[1]得到了理查森军备竞赛模型。
这个属性模型可为从事社会科学研究的人们提供一个借鉴。
引起两国间爆发战争的原因是多种多样的，但是在这众多原因中,军备竞赛是一个很重要的原因.例如，甲乙两国是敌对国家,乙国感到甲比他强大,就会为了自身的安全而增加预防开支,扩充军备；当甲看到乙在增加军费，扩充军备，其目的是在针对自己,为了保证自身的安全，甲也会扩充军备，如此循环，造成恶性循环，最终导致战争爆发。
1。
2 预备知识在解决这一类模型时，我们常常要求解一些三次方程.所以我们在这里介绍一些实系数三次方程根的性质。
1. 实系数一元三次方程320x ax bx c +++=的根具有负实部的充要条件是：若0c >有0,a a bc >>成立。
2. 理查森军备竞赛模型（两国家）：两国家的理查森军备竞赛模型如下:()x ()t x ky gy t y lx h αβ⎧=-++⎪⎨⎪=-++⎩甲乙两方在时刻t 的军备数量分别是()(),x t y t ，在一方军备增加时,另一方军备也增加，设甲的增长速率为k ，乙的增长速率为l 。
同时,由于一个国家的经济实力有限，任一方军备越大，对其军备增长的制约作用也越大。
设甲的制约系数为α，乙为β。
军备竞赛建模
军备竞赛建模核军备竞赛是否会无限扩张？是否存在暂时的平衡状态？这一平衡状态下双方拥有的核武器数量是多少？这些核武器数量受哪些因素影响？平衡状态可能发生的变化方向？模型假设双方采取同样的核威慑战略：1、对方可能第一次核打击，倾其全部核导弹攻击另一方核导弹基地；2、另一方在经受对方第一次核打击之后，应有足够的核导弹能给予对方毁灭性的打击。
建模构造设x=g(y)和y=f(x)分别为甲、乙两方当对方拥有一定导弹数量时相应所需的最小核导弹数量。
当x=0时，y=y0为乙方的威慑值，即：当乙方受到甲方倾其核导弹的第一次核打击之后拥有的足够的能给予甲方毁灭性打击的核导弹数目；乙方的威慑值y0确定了乙方导弹书y=f(x)可能取值的扇形区域：y=y0到y=y0+x之间；而乙方导弹数曲线y=f(x)确定了乙方的安全线和安全区；对甲方也有类似的结果，由其导弹数曲线y=f(x)确定了其安全线和安全区。
两个安全区的交集为双方安全区，也是核军备竞赛的稳定区域；两条安全线y=f(x)、x=g(y)的焦点为平衡点，其确定稳定状态下双方分别拥有的最小核导弹数。
目标：考虑平衡点的影响因素和变化趋势，探讨安全线函数y=f(x)、x=g(y)的形式。
建模求解甲乙双方对称，先考虑乙方安全线y=f(x)的形式。
相关概念与确定步骤：1、残存率：当甲方以全部x枚导弹攻击乙方的y个核基地时，乙方基地未被摧毁的概率s；2、威慑值：在甲方发起第一次核打击之后，乙方所保留的核导弹数y0.当x3、交换比：甲乙双方导弹数量之比a=x/y。
假设双方导弹数量x、y可取连续值，则可得乙方安全线函数y=f(x)的形式：Y=y0/s^a=y0/s^(x/y)模型分析、检验、应用安全线y=f(x)=y0/s^(x/y)的性质：1、曲线上凸2、如果残存率s变大，曲线变平，y值减少3、如果威慑值y0变大，曲线上移变陡，y值增加4、如果交换比a变大，曲线上移变陡，对称得出考虑平衡点的移动，观测核军备竞赛的现象1、改换固定核导弹为可移动发射架2、一方增强对己的保护因此两条安全线必相交，核军备竞赛存在平衡点和稳定区域。
核军备竞赛模型
x=y, y=y0/s
x=2y, y=y0/s2
y
y0 sa
y0 sx/ y
y0~威慑值
s~残存率
a~交换比(甲乙导弹数量比)
x=y
x=2y
y是一条上凸的曲线
y=f(x)
y0 0
y0变大，曲线上移、变陡
s变大，y减小，曲线变平
x
a变大，y增加，曲线变陡
模型解释
• 甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标
通过更精细的分析，引入合适的参数，可以找到曲 线的表达式，使之数学化。
通过对各参数的分析讨论，可以对军备竞赛这一现 实现象作出合理的解释。
这种由粗及细，从定性到定量的建模方法值得借鉴。
精细 模型
x<y
x=y y<x<2y
x=2y
乙方残存率 s ~甲方一枚导弹攻击乙方一个 基地，基地未被摧毁的概率。
甲方以 x攻击乙方 y个基地中的 x个,
sx个基地未摧毁，y–x个基地未攻击。
y0=sx+y–x
y= y0+(1-s)x
y0=sy
y=y0/s
乙的x–y个被攻击2次，s2(x–y)个未摧毁；
在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能 攻击对方的一个核导弹基地。
摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精 度和另一方的防御能力决定。
图 y=f(x)~甲方有x枚导弹，乙方所需的最少导弹数
的 x=g(y)~乙方有y枚导弹，甲方所需的最少导弹数
模 当 x=0时 y=y0，y0~乙方的威慑值
型 y0~甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为毁灭
甲方工业、交通中心等目标所需导弹数
y y y0 x
2010年：军用装备的定点投放—建模和求解思路
军用装备的定点投放一、明确问题在信息条件下多兵种的联合作战，战时的快速反应，是致胜的重要环节，特别是对于机械化部队的武器装备是胜利作战的重要保证。
实际中，必要时需将一些武器装备利用空投的方法及时投放到前沿阵地，使部队以最快的速度利用武器装备发挥战斗力。
通常武器装备的大小、重量都有不同，如何选配合适的降落伞，使能保证将所需要的武器装备快速、安全、准确地投放到阵地上。
现有几种类型装备都可以视为长方体型，其几何尺寸(长×宽×高/m)和重量(t)如伞需要5s~10s才能够打开。
为了保证装备的安全，要求装备落地时的速度不能超过5m/s。
假设飞机的飞行速度为常数V0(300≤V0≤600)。
请你们建立数学模型研究下列问题：(1) 根据实际情况，试就一般问题分析影响降落伞下落与装备安全相关的因素，并建立它们之间关系的数学模型。
(2) 如果要求一台装备配一只降落伞，那么空投各类装备需要配备多大面积的降落伞，才能保证装备安全着陆？伞绳的承载力至少为多少？(3) 如果需要可以在一台装备上配备多只降落伞，请为各类装备选配合适的降落伞（只数和大小），并分析其装备落地安全的可靠性。
(4) 如果要求定点投放这些装备，考虑实际中的风向、风力、气压、温度等不确定因素变化的影响，请根据你们为各类装备所选择配备的降落伞，分析确定各类装备最佳的投放高度和时机，以及装备落地的准确性程度；并请模拟给出装备降落过程的运行轨迹和降落点位置。
二、问题分析本题要完成的主要工作是分析装备空投过程中，在不同阶段的物理状态，关键是分析运动的过程和受力状态与各种影响因素的关系，建立物伞系统的运动模型，根据空投高度、空投速度、装备特性、降落伞特性、环境因素等不同的输入情况，获得物伞系统的运行轨迹、速度、承载力随时间的变化规律，为保证装备快速、安全、精确地投放提供理论支持。
对问题一，要保证装备安全，由题意可归纳为两方面要求：一是装备落地时的速度不能超过5m/s，二是伞绳的最大承载力不能超过设计值。
基于博弈论的军备竞赛模型
基于博弈论的军备竞赛模型
刘光华;罗荣桂
【期刊名称】《武汉理工大学学报》
【年(卷),期】2006(28)10
【摘要】根据博弈论的最优反应动态,分析了军备竞赛的过程。
分析结果表明,完全信息下的有限理性的博弈方,军备竞赛的结果最终将达到一个平衡点。
基于此,结合有限理性的博弈特点,建立军备竞赛的动力系统模型,求出模型在稳态下的解。
【总页数】3页(P135-137)
【关键词】博弈论;最优反应动态;军备竞赛;动力系统模型
【作者】刘光华;罗荣桂
【作者单位】武汉理工大学管理学院
【正文语种】中文
【中图分类】F224.0
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1.龙骨牡蛎不同剂量配比的适用性模型构建研究--基于博弈论模型构建的海洋中药药对研究思路与方法 [J], 王慧美;王安娜;韩雅丽;王振国;付先军
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理查森军备竞赛理论
§17.3 理查森军备竞赛理论[学习目的]1. 能建立军备竞赛理论问题的数学模型；2. 会求解军备竞赛理论问题的数学模型；3. 能用军备竞赛理论问题的数学模型解决一些实际问题。
现代科学技术的发展同经济和社会的发展是密切联系在一起的，为使他们协调发展，必须大力促进自然科学和社会科学的相互渗透，促进交叉学科的健康发展。
由于社会科学比较复杂，目前多是作定性研究，但是只有作定量化的研究，才能使人们对社会科学认识更加深刻。
在这方面，许多人作了不少努力，理查森对于引起两国战争的因素作过探讨，建立了军备竞赛得数学摸型。
在模型中，我们把欧洲两个军事同盟在第一次世界大战前的军备情况加以验证，与数学模型的结论是一致的。
理查森军备竞赛理论数学模型可为从事社会科学研究的人们提供一个借鉴。
引起两国之间爆发战争的原因是多种多样的，但是在这众多的原因中，军备竞赛是一个很重要的原因。
例如，甲国和乙国是敌对国家，乙国感到甲国比他强大，乙国为了自身的安全，就会增加防御开支，扩充军备。
甲国看到乙国在增加军费，扩充军备，其目的是在针对自己，为了自身的安全，甲国也扩充军备。
如此循环，造成恶性膨胀，到后来就爆发战争。
下面介绍理查森的军备竞赛数学模型，要预先说明的是战争是非常复杂的，要预言战争在哪一天爆发显然是不可能的。
令x(t) 表示甲国(方)的战争潜力或军备，y(t) 表示乙国(方)的战争潜力和军备，g 表示甲国(方)对乙国(方)的仇恨程度，h 表示乙国(方)对甲国（方）的仇恨程度。
x(t) 的变化率取决于甲国(方)对乙国(方)的仇恨程度，以及乙国所具有的军备。
为使复杂的问题简单化，用线性化的方法处理两国之间的军备和仇恨之间的关系。
因此在最简单的模型中，分别用Ky 和g 表示这两项，其中K 和g 都是正的常数，这两项使得x 增加。
另一方面，军费开支对dx/dt 起着抑制作用，用-αx 表示，常数α>0。
同样的分析对于dy/dt 也适用，因此得微分方程组dxdtK y x g dy dtLx y h =-+=-+⎧⎨⎪⎩⎪αβ (1)分析 (1) 数学模型(1)不只适用于两个国家，也适用于两个军事同盟。
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核军备竞赛是否会无限扩张？
是否存在暂时的平衡状态？
这一平衡状态下双方拥有的核武器数量是多少？
这些核武器数量受哪些因素影响？
平衡状态可能发生的变化方向？
模型假设
双方采取同样的核威慑战略：
1、对方可能第一次核打击，倾其全部核导弹攻击另一方核导弹基地；
2、另一方在经受对方第一次核打击之后，应有足够的核导弹能给予对方毁灭性的打击。
建模构造
设x=g(y)和y=f(x)分别为甲、乙两方当对方拥有一定导弹数量时相应所需的最小核导弹数量。
当x=0时，y=y0为乙方的威慑值，即：当乙方受到甲方倾其核导弹的第一次核打击之后拥有的足够的能给予甲方毁灭性打击的核导弹数目；
乙方的威慑值y0确定了乙方导弹书y=f(x)可能取值的扇形区域：y=y0到y=y0+x之间；
而乙方导弹数曲线y=f(x)确定了乙方的安全线和安全区；
对甲方也有类似的结果，由其导弹数曲线y=f(x)确定了其安全线和安全区。
两个安全区的交集为双方安全区，也是核军备竞赛的稳定区域；
两条安全线y=f(x)、x=g(y)的焦点为平衡点，其确定稳定状态下双方分别拥有的最小核导弹数。
目标：考虑平衡点的影响因素和变化趋势，探讨安全线函数y=f(x)、x=g(y)的形式。
建模求解
甲乙双方对称，先考虑乙方安全线y=f(x)的形式。
相关概念与确定步骤：
1、残存率：当甲方以全部x枚导弹攻击乙方的y个核基地时，乙方基地未被摧毁的概率s；
2、威慑值：在甲方发起第一次核打击之后，乙方所保留的核导弹数y0.
当x<y时，y0为未被摧毁核基地sx和未被攻击的核导弹数y-x之和，即：y0=sx+y-x；当x=y 时，y0=sx=sy；当y<x<2y时，y0=(x-y)s^2+(2y-x)s；当x=2y时，y0=ys^2
3、交换比：甲乙双方导弹数量之比a=x/y。
假设双方导弹数量x、y可取连续值，则可得乙方安全线函数y=f(x)的形式：
Y=y0/s^a=y0/s^(x/y)
模型分析、检验、应用
安全线y=f(x)=y0/s^(x/y)的性质：
1、曲线上凸
2、如果残存率s变大，曲线变平，y值减少
3、如果威慑值y0变大，曲线上移变陡，y值增加
4、如果交换比a变大，曲线上移变陡，对称得出
考虑平衡点的移动，观测核军备竞赛的现象
1、改换固定核导弹为可移动发射架
2、一方增强对己的保护
因此两条安全线必相交，核军备竞赛存在平衡点和稳定区域。
假如甲方加固核基地以防御袭击，将使每枚核武器保存下来的概率p(r)增大，而xo不变，即甲安全线x=f (y)向左移动，记作x=f1(y)(图9-2中的虚线)，平衡点由M变为M1。
如果甲方发展反弹道导弹保卫自己的安全，那么乙方给甲方以毁灭性打击的最小核武器yo 将上移为yo’，于是乙安全线上移为y=g1(x),平衡点又由M1变为M2，这表明核军备竞赛将升级。