海淀区2015-2016高三期中数学理科含答案详解

海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（理科） 2015.11本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知集合{}2|20P x x x =--≤，{}1,0,3,4M =-，则集合PM 中元素的个数为A.1B.2C. 3D.4 2. 下列函数中为偶函数的是 A.1y x=B. lg y x = Ｃ. ()21y x =- D.2x y = 3. 在ABC ∆中,60A ∠=︒, 2,1AB AC ==, 则AB AC ⋅的值为 A. 1 B. 1- C.12 D.12- 4. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121n n S S n --=-(2)n ≥，且23S =，则13a a +的值为 A. 1 B. 3 C. 5 D.6 5. 已知函数44()cos sin f x x x =-，下列结论中错误．．的是 A. ()cos2f x x = B. 函数()f x 的图象关于直线0x =对称C. ()f x 的最小正周期为πD. ()f x 的值域为[ 6. “0x >”是“+sin 0x x >”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7. 如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A . 若函数xy a =（0a >，且1a ≠log b y x =（0b >，且1b ≠）的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则,a b 满足 A. 1a b << B. 1b a << C. 1b a >> D. 1a b >>8. 已知函数1, 1(), 111, 1x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，函数2()1g x ax x =-+. 若函数()()y f x g x =-恰好有2个不同零点，则实数a 的取值范围是 A.(0,)+∞ B.(,0)(2+)-∞∞， C.1(,)(1,+)2-∞-∞ D. (,0)(0,1)-∞二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9.212d ______.x x =⎰10. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 若4c =，sin 2sin C A =，sin B =，则____,a =_____.ABC S ∆=11. 已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且39108a a a a +=-. 若0n a =，则n = . 12. 已知向量(1,1)=a ，点(3,0)A , 点B 为直线2y x =上的一个动点，若//AB a ，则点B 的坐标为______.13. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0ω>). 若()f x 的图象向左平移π3个单位所得的图象 与()f x 的图象向右平移π6个单位所得的图象重合，则ω的最小值为______. 14. 对于数列{}n a ，若,*()m n m n ∀∈≠N ，都有m na a t m n-≥-（t 为常数）成立，则称数列{}n a 具有性质()P t .（i ） 若数列{}n a 的通项公式为2n n a =，且具有性质()P t ，则t 的最大值为______； （ii ）若数列{}n a 的通项公式为2n aa n n=-，且具有性质(10)P ，则实数a 的取值范围 是______.三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15. （本小题满分13分）已知等比数列{}n a 的公比0q >，其前n 项和为n S ，若11a =, 3244a a a =. （Ⅰ）求公比q 和5a 的值； （Ⅱ）求证：2nnS a <.16.（本小题满分13分）已知函数ππ())cos(2)33f x x x +++. （Ⅰ）求π()6f 的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间.17. （本小题满分13分）如图，在四边形ABCD 中，18,3,5,,cos 37AB BC CD A ADB π===∠=∠=. （Ⅰ）求BD 的长；（Ⅱ）求证：πABC ADC ∠+∠=.18. （本小题满分13分）已知函数321()13f x x x ax =+++，曲线()y f x =在点(0,1)处的切线为l . （Ⅰ）若直线l 的斜率为3-，求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 是区间[2,]a -上的单调函数，求a 的取值范围.19.（本小题满分14分）ABDC已知由整数组成的数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且1,a a = 12n n n S a a +=. （Ⅰ）求2a 的值； （Ⅱ）求{}n a 的通项公式；（Ⅲ）若15n =时，n S 取得最小值，求a 的值.20.（本小题满分14分）已知x 为实数，用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[1.2]1[ 1.2]2[1]1=-=-=，，. 对于函数()f x , 若存在m ∈R 且,m ∉Z 使得()([])f m f m =，则称函数()f x 是Ω函数. （Ⅰ）判断函数21()()sin π3f x x xg x x =-=，是否是Ω函数；（只需写出结论）（Ⅱ）设函数()f x 是定义在R 上的周期函数，其最小正周期为T ，若()f x 不是Ω函数，求T 的最小值；（Ⅲ）若函数()af x x x=+是Ω函数，求a 的取值范围. 理科 ：15．解：（Ⅰ）法一：因为{}n a 为等比数列， 且3244a a a =，所以2334a a =，所以34a =，---------------------------1分 因为233141a a q a ===，---------------------------2分 所以2q =±. 因为n a >，所以0q >，即2q =---------------------------3分所以45116a a q ==. （此处公式2分，结果1分）--------------------------6分法二：因为{}n a 为等比数列，且3244a a a =，所以24114a q a q =，---------------------------1分所以24q =，---------------------------2分 所以2q =±, 因为n a >，所以0q >，即2q =---------------------------3分所以45116a a q ==. （此处公式2分，结果1分） --------------------------6分（Ⅱ）法一：因为2q =，所以1112n n n a a q --==, （此处公式1分，结果1分） --------------８分因为1(1)211n n n a q S q-==--, （此处公式1分，结果1分） --------------------------10分所以11211222n n n n n S a ---==-,因为1102n ->，所以11222n n n S a -=-<.--------------------------13分法二：因为2q =，所以1112n n n a a q --==, （此处公式1分，结果1分） --------------８分因为1(1)211n n n a q S q-==--, （此处公式1分，结果1分） --------------------------10分所以11202n n n S a --=-<，所以2nnS a <.--------------------------13分法三：因为2q =，所以1112n n n a a q --==, （此处公式1分，结果1分） --------------８分因为1(1)211n n n a q S q-==--, （此处公式1分，结果1分） --------------------------10分 要证2nnS a <，只需2n n S a <， 只需212n n -< 上式显然成立，得证.--------------------------13分16.解：（Ⅰ）因为ππ())cos(2)33f x x x =+++,所以πππππ())cos(2)66363f =⋅++⋅+, 2π2π313sin()cos()13322=+=-=.--------------------------4分（Ⅱ）因为ππ())cos(2)33f x x x =+++,所以π1π())cos(2)]323f x x x =+++-------------------------------6分ππππ2[cos sin(2)sin cos(2)]6363x x =+++-------------------------7分ππ2sin[(2)]36x =++π2sin(2)2x =+ 2cos2x = ,--------------------------9分 所以周期2π2π=π||2T ϖ== .--------------------------11分 令2ππ22πk x k -≤≤，--------------------------12分 解得πππ2k x k -≤≤，k ∈Z ， 所以()f x 的单调递增区间为π(π,π),2k k -k ∈Z .--------------------------13分法二：因为ππ())cos(2)33f x x x =+++,所以ππππ()cos cos2sin )(cos2cos sin2sin )3333f x x x x x =++--------------------7分11sin2)(cos2)22x x x x =++2cos2x = --------------------------9分所以周期.2π2π=π||2T ϖ== --------------------------11分 令2ππ22πk x k -≤≤，--------------------------12分 解得πππ2k x k -≤≤，k ∈Z , 所以()f x 的单调递增区间为π(π,π),2k k -k ∈Z .--------------------------13分17．解：（Ⅰ）法一：在ABD ∆中，因为1cos 7ADB ∠=，(0,π)ADB ∠∈,--------------------------1分所以sin ADB ∠=,--------------------------3分 根据正弦定理，有sin sin BD ABA ADB=∠∠,--------------------------6分 代入8,,3AB A π=∠=解得7BD =.--------------------------7分 法二：作BE AD ⊥于E .因为π8,3AB A =∠=，所以在ABD ∆中，πsin3BE AB =⋅=.--------------------------3分 在BDE ∆中，因为1cos 7ADB ∠=，(0,π)ADB ∠∈，所以sin ADB ∠=,--------------------------6分 所以7sin BEBD BDE==∠.--------------------------7分（Ⅱ）法一：在BCD ∆中，根据余弦定理 222cos 2BC CD BD C BC CD+-∠=⋅--------------------------10分代入3,5BC CD ==，得1cos 2C ∠=-，--------------------------11分(0,π)C ∠∈,所以2π3C ∠=.--------------------------12分所以 πA C ∠+∠=，而在四边形ABCD 中 +2πA ABC C ADC ∠+∠+∠∠= 所以πABC ADC ∠+∠=.--------------------------13分法二：在ABD ∆中，11cos ,14ABD ∠=所以sin ABD ∠=，1cos 7ADB ∠=， 所以sin ADB ∠=.--------------------------8分在BCD ∆中，11cos ,14DBC ∠=所以sin ABD ∠=,13cos 14BDC ∠=， 所以sin 14ADB ∠=.--------------------------9分所以cos cos()ABC ABD DBC ∠=∠+∠，23cos cos sin sin 98ABD DBC ABD DBC =∠∠-∠∠=--------------------------11分cos cos()ADC ADB BDC ∠=∠+∠，23cos cos sin sin 98ADB BDC ADB BDC =∠∠-∠∠=---------------------------12分 即cos cos ABC ADC ∠=-∠, 所以πABC ADC ∠+∠=.--------------------------13分 18．解（Ⅰ）因为(0)1f =，所以曲线()y f x =经过点(0,1), 又2'()2f x x x a=++,--------------------------2分 所以'(0)3f a ==-,--------------------------3分 所以2'()23f x x x =+-.当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表:--------------------------5分所以函数 ()f x 的单调递增区间为(,3)-∞-，(1,+)∞, 单调递减区间为(3,1)-.--------------------------7分 （Ⅱ） 法一:因为函数()f x 在区间[2,]a -上单调,当函数()f x 在区间[2,]a -上单调递减时，'()0f x ≤对[2,]x a ∈-成立，即2'()20f x x x a =++≤对[2,]x a ∈-成立，根据二次函数的性质，只需要'(2)0'()0f f a -≤⎧⎨≤⎩， 解得30a -≤≤.--------------------------8分 又2a-<，所以20a -<≤.--------------------------9分当函数()f x 在区间[2,]a -上单调递增时，'()0f x ≥对[2,]x a ∈-成立， 只要2'()2f x x x a =++在[2,]a -上的最小值大于等于0即可， 因为函数2'()20f x x x a =++≥的对称轴为1x =-， 当21a -<≤-时，'()f x 在[2,]a -上的最小值为'()f a ，--------------------------10分 解2'()=30f a a a +≥，得0a ≥或3a ≤-，所以此种情形不成立.--------------------------11分当1a -<时，'()f x 在[2,]a -上的最小值为'(1)f -，（注：此处用0∆≤也可得分）----------12分解'(1)120f a -=-+≥得1a ≥，所以1a ≥， 综上，实数a的取值范围是20a -<≤或1a ≥.--------------------------13分 法二：令'()0f x =即220x x a ++=，44a ∆=-①若0∆≤ 即1a ≥时，'()0f x ≥恒成立，函数()f x 在区间[2,]a -上单调递增-----------------8分所以1a ≥.--------------------------9分②若0∆> 即21a -<<，由220x x a ++=得11x =-，21x =-若函数()f x 在区间[2,]a -上单调递减，'()0f x ≤对[2,]x a ∈-成立， 即2'()20f x x x a =++≤对[2,]x a ∈-成立，根据二次函数的性质，只需要122x x a≤-⎧⎨≥⎩， 解得30a -≤≤.--------------------------10分又21a -<<，所以20a -<≤.--------------------------11分若函数()f x 在区间[2,]a -上单调递增，'()0f x ≥对[2,]x a ∈-成立 根据二次函数的性质，只需要22x ≤-或1x a ≥-------------------------12分1≤-(1)a -+（解得3a ≤-与21a -<<矛盾），此种情况不成立 综上，实数a的取值范围是20a -<≤或1a ≥.--------------------------13分法三：因为函数()f x 在区间[2,]a -上单调,当函数()f x 在区间[2,]a -上单调递减时，'()0f x ≤对[2,]x a ∈-成立， 即2'()20f x x x a =++≤对[2,]x a ∈-恒成立，只需2(2)a x x ≤-+根据二次函数的性质只需22[(2)2(2)](2)a a a a ⎧≤--+⨯-⎪⎨≤-+⎪⎩，解得30a -≤≤ --------------------------8分 又2a-<，所以20a -<≤.--------------------------9分当函数()f x 在区间[2,]a -上单调递增时，'()0f x ≥对[2,]x a ∈-成立， 即2'()20f x x x a =++≥对[2,]x a ∈-恒成立，只需2(2)a x x ≥-+ 设函数2()2g x x x =--的对称轴为1x =-， 当21a -<≤-时，()g x 在[2,]a -上的最大值为()g a ，--------------------------10分 解()a g a ≥，得0a ≥或3a ≤-，所以此种情形不成立.--------------------------11分 当1a-<时，()g x 在[2,]a -上的最大值为(1)g -，-------------------------12分解(1)a g ≥-得1a ≥，所以1a ≥， 综上，实数a的取值范围是20a -<≤或1a ≥.--------------------------13分 19．解：（Ⅰ）因为12n n n S a a +=，所以1122S a a =，即1122a a a =, 因为10a a =≠，所以22a =,--------------------------2分（Ⅱ）因为12n n n S a a +=，所以112(2)n n n S a a n --=≥，两式相减， 得到112()n n n n a a a a +-=-，--------------------------4分 因为n a ≠，所以112n n a a +--=，--------------------------5分所以212{},{}k k a a -都是公差为2的等差数列， 当21n k =-时，12(1)1n a a k n a =+-=+-,--------------------------6分 当2n k =时，22(1)2n a k k n=+-==,--------------------------7分 所以1, , n n a n a n n +-⎧=⎨⎩为奇数,为偶数.--------------------------8分（Ⅲ）法一：因为12n n n S a a +=，由（Ⅱ）知道1, , n n a n a n n +-⎧=⎨⎩为奇数,为偶数,注意到所有奇数项构成的数列是一个单调递增的，所有偶数项构成的数列是一个单调递增的，当n 为偶数时，0n a >，所以此时1n n S S ->， 所以15S 为最小值等价于13151517,S S S S ≥≤，--------------------------11分 所以141516170, 0a a a a +≤+≥，--------------------------12分所以141510, 161710a a ++-≤++-≥， 解得3228a -≤≤-.--------------------------13分因为数列{}n a 是由整数组成的，所以{32,31,30,29,28}a ∈-----. 又因为0n a ≠，所以对所有的奇数n ，10n a n a =+-≠， 所以a不能取偶数，所以31, 29a a =-=-.--------------------------14分 法二：因为12n n n S a a +=，由（Ⅱ）知道1, , n n a n a n n +-⎧=⎨⎩为奇数,为偶数,所以1(1)(1), 21() , 2n n a n n S n n a n ⎧+-+⎪⎪=⎨⎪+⎪⎩为奇数,为偶数, --------------------------10分因为15S 为最小值，此时n 为奇数，当n 为奇数时，222()11124(1)(1)222n a a n a n an a S n a n +-+-++-=+-+==，所以 14162a≤-≤， 解得3228a -≤≤-，--------------------------13分因为数列{}n a 是由整数组成的，所以{32,31,30,29,28}a ∈-----. 又因为0n a ≠，所以对所有的奇数n ，10n a n a =+-≠， 所以a不能取偶数，所以31, 29a a =-=-.--------------------------14分 20. 解： （Ⅰ）21()3f x x x=-是Ω函数，--------------------------2分()sin πg x x=不是Ω函数.--------------------------4分 （Ⅱ）T 的最小值为 1.--------------------------5分因为()f x 是以 T 为最小正周期的周期函数，所以()(0)f T f =. 假设1T <，则[]0T =，所以([])(0)f T f =，矛盾.--------------------------7分所以必有1T ≥， 而函数()[]l x x x =-的周期为1，且不是Ω函数 所以T 的最小值为1；--------------------------9分（Ⅲ） 当函数()af x x x=+是Ω函数时， 法一：设()([])f m f m =，所以[][]a a m m m m +=+，所以有[]a m m = --------------------------11分当0m >时，则[]0m ≠，所以有1m >，所以[]1m >因为[][]1m m m <<+，所以2[][][]([]1)m m m m m <<+，所以2[][]([]1)m a m m <<+.--------------------------12分 当0m <时，[]0m <，因为[][]1m m m <<+，所以2[][][]([]1)m m m m m >>+，所以2[][]([]1)m a m m >>+.--------------------------13分 记[]k m =, 综上可以得到 “0a >且*2,k a k ∀∈≠N 且(1)a k k ≠+”.--------------------------14分法二：若0a =，则()f x x =显然不是Ω函数，矛盾. 若0a <，则2'()10af x x =->， 所以()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上单调递增， 此时不存在(,0)m ∈-∞，使得 ()([])f m f m =， 同理不存在(0,)m ∈∞，使得 ()([])f m f m =， 又注意到[]0m m ≥，所以此时()a f x x x=+不是Ω函数.--------------------------10分当0a >时，设()([])f m f m =，所以[][]a a m m m m +=+，所以有[]a m m = --------------------------11分当0m >时，则[]0m ≠，所以有1m >，所以[]1m >因为[][]1m m m <<+，所以2[][][]([]1)m m m m m <<+，所以2[][]([]1)m a m m <<+.--------------------------12分 当0m <时，[]0m <，因为[][]1m m m <<+，所以2[][][]([]1)m m m m m >>+，--------------------------13分 记[]k m =, 综上可以得到 “0a >且*2,k a k ∀∈≠N 且(1)a k k ≠+”.--------------------------14分 法三：若0a =，则()f x x =显然不是Ω函数，矛盾. 若0a <，则2'()10af x x =->， 所以()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上单调递增， 此时不存在(,0)m ∈-∞，使得 ()([])f m f m =， 同理不存在(0,)m ∈∞，使得 ()([])f m f m =， 又注意到[]0m m ≥，所以此时()a f x x x=+不是Ω函数.--------------------------10分当0a >时，函数()a f x x =+,2'()10af x =-=，x =--------------------------11分①当[]0m >时，可得[][]1([])([]1)m m f m f m ⎧<<+⎪⎨<+⎪⎩,解得2[][]([]1)m a m m <<+--------------------------12分②当[]0m <时，可得[][]1([])([]1)m m f m f m ⎧<<+⎪⎨>+⎪⎩,--------------------------13分 记[]k m =, 综上可以得到 “0a >且*2,k a k ∀∈≠N 且(1)a k k ≠+”.--------------------------14分。