海淀区2015-2016高三期中数学理科含答案详解

海淀区高三年级第一学期期中练习

数 学（理科） 2015.11

本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上 作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目

要求的一项。

1. 已知集合{}

2|20P x x x =--≤，{}1,0,3,4M =-，则集合P

M 中元素的个数为

A.1

B.2

C. 3

D.4 2. 下列函数中为偶函数的是 A.1y x

=

B. lg y x = Ｃ. ()2

1y x =- D.2x y = 3. 在ABC ∆中,60A ∠=︒, 2,1AB AC ==, 则AB AC ⋅的值为 A. 1 B. 1- C.

12 D.12

- 4. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121n n S S n --=-(2)n ≥，且23S =，则13a a +的值为 A. 1 B. 3 C. 5 D.6 5. 已知函数44()cos sin f x x x =-，下列结论中错误．．

的是 A. ()cos2f x x = B. 函数()f x 的图象关于直线0x =对称

C. ()f x 的最小正周期为π

D. ()f x 的值域为[ 6. “0x >”是“+sin 0x x >”的

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

7. 如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A . 若函数x

y a =（0a >，且1a ≠

log b y x =（0b >，且1b ≠）的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，

且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则,a b 满足 A. 1a b << B. 1b a << C. 1b a >> D. 1a b >>

8. 已知函数1, 1(), 111, 1x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩

，函数2

()1g x ax x =-+. 若函数()()y f x g x =-恰好有

2个不同零点，则实数a 的取值范围是 A.(0,)+∞ B.(,0)

(2+)-∞∞， C.1

(,)(1,+)2

-∞-∞ D. (,0)(0,1)-∞

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 9.

2

1

2d ______.x x =⎰

10. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c . 若4c =，sin 2sin C A =，sin B =

，则____,a =_____.ABC S ∆=

11. 已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且39108a a a a +=-. 若0n a =，则n = . 12. 已知向量(1,1)=a ，点(3,0)A , 点B 为直线2y x =上的一个动点，若//AB a ，则点B 的坐标为______.

13. 已知函数()sin()f x x ωϕ=+(0ω>). 若()f x 的图象向左平移π

3

个单位所得的图象 与()f x 的图象向右平移

π

6

个单位所得的图象重合，则ω的最小值为______. 14. 对于数列{}n a ，若,*()m n m n ∀∈≠N ，都有m n

a a t m n

-≥-（t 为常数）成立，则称数列{}

n a 具有性质()P t .

（i ） 若数列{}n a 的通项公式为2n n a =，且具有性质()P t ，则t 的最大值为______； （ii ）若数列{}n a 的通项公式为2n a

a n n

=-，且具有性质(10)P ，则实数a 的取值范围 是______.

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15. （本小题满分13分）

已知等比数列{}n a 的公比0q >，其前n 项和为n S ，若11a =, 3244a a a =. （Ⅰ）求公比q 和5a 的值； （Ⅱ）求证：2n

n

S a <.

16.（本小题满分13分）

已知函数ππ())cos(2)33

f x x x +++. （Ⅰ）求π()6

f 的值；

（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间.

17. （本小题满分13分）

如图，在四边形ABCD 中，18,3,5,,cos 37

AB BC CD A ADB π===∠=∠=. （Ⅰ）求BD 的长；

（Ⅱ）求证：πABC ADC ∠+∠=.

18. （本小题满分13分）

已知函数3

21()13

f x x x ax =

+++，曲线()y f x =在点(0,1)处的切线为l . （Ⅰ）若直线l 的斜率为3-，求函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若函数()f x 是区间[2,]a -上的单调函数，求a 的取值范围.

19.（本小题满分14分）

A

B

D

C

已知由整数组成的数列{}n a 各项均不为0，其前n 项和为n S ，且1,a a = 12n n n S a a +=. （Ⅰ）求2a 的值； （Ⅱ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅲ）若15n =时，n S 取得最小值，求a 的值.

20.（本小题满分14分）

已知x 为实数，用[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[1.2]1[ 1.2]2[1]1=-=-=，，. 对于函数()f x , 若存在m ∈R 且,m ∉Z 使得()([])f m f m =，则称函数()f x 是Ω函数. （Ⅰ）判断函数21

()()sin π3

f x x x

g x x =-=，是否是Ω函数；（只需写出结论）

（Ⅱ）设函数()f x 是定义在R 上的周期函数，其最小正周期为T ，若()f x 不是Ω函数，求

T 的最小值；

（Ⅲ）若函数()a

f x x x

=+是Ω函数，求a 的取值范围. 理科 ：

15．解：（Ⅰ）法一：因为{}n a 为等比数列， 且3244a a a =，

所以2334a a =，所以34a =，

---------------------------1分 因为233

141

a a q a ===，

---------------------------2分 所以2q =±. 因

为

n a >，所以0q >，即2q =

---------------------------3分

所以45116a a q ==. （此处公式2分，结果1分）

--------------------------6分