勾股定理的证明和应用

第3章勾股定理知识结构：

勾股定理1.勾股定理

（1）直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方

（2）勾股定理的验证-------用拼图法,借助面积不变的关系来证明

（3）应用

1.在直角三角形中已知两边求第三边

2.在直角三角形中已知两边求第三边上的高

2.勾股定理

的逆定理

（1）如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角

三角形

（2）勾股数

1.满足a2+b2=c2的三个正整数a,b,c称为

勾股数

2.常见的勾股数

（1）3,4,5

（2）5,12,13

（3）8,15,17

3.应用

（1）勾股定理的简单应用

求几何体表面上两点间的最短距离

解决实际应用问题

（2）勾股定理逆定理的应用---------判定某个三角形是否为直角三角

形

勾股定理

一、求网格中图形的面积

求网格中图形的面积，通常用两种方法：“割”或“补”。

二、勾股定理

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

拓展延伸：（1）勾股定理揭示的是直角三角形的三边关系，所以必须注意“在直角三角形中”这一前提。

（2）勾股定理主要用于求线段的长度，因此，遇到求线段的长度问题时，首先想到的是把所求线段转化为某一直角三角形的边，然后利用勾股定理求解。

三、勾股定理的验证

运用拼图的方式，利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理。

勾股定理的逆定理

一、勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长分别为a,b,c且a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形。

注意：（1）还没确定一个三角形是否为直角三角形时，不能说“斜边”“直角边”。

（2）不是所有的c都是斜边，要根据题意具体分析。当满足a2+b2=c2时，c是斜边，它所对的角是直角。

勾股定理与勾股定理的逆定理之间既有区别，又有联系，如下表所示：

二、勾股数

满足关系a2+b2=c2的3个正整数a，b，c称为勾股数。

详解：（1）如：32+42=52，所以3,4,5是一组勾股数，常见的勾股数有3,4,5；5,12,13；6,8,10等。

（2）勾股数必须是正整数。

（3）一组勾股数中各数的相同的正整数倍也是一组新的勾股数。

（4）记住常用的勾股数可以提高做题速度。

勾股定理的简单应用

一、勾股定理的应用

运用勾股定理可以解决生活中的一些实际问题。在应用勾股定理解决实际问题时，应先构造出直角三角形，然后把直角三角形的某两条边表示出来。

注意：应用勾股定理解决实际问题时，先弄清直角三角形中哪边是斜边，哪两条边是直角边，以便进行计算或推理。对于实际问题，应从中抽象出直角三角形或通过添加辅助线构造出直角三角形，以便正确运用勾股定理。

二、勾股定理的逆定理的应用

在日常生活中，经常遇到要求一些不规则图形的面积问题。解决这样的问题常常需要借助辅助线将其转化成三角形的相关问题。有时图形中并没有明显地给出直角三角形，但是其中一些已知的边长满足直角三角形的条件，所以可考虑利用勾股定理的逆定理解决。

【勾股定理的证明】

例1如图，是用硬纸版作成的两个小直角三角形和一个大直角三角形，两个小直角三角形直角边长分别为a和b，斜边为c，大直角三角形直角边都为c，请你动动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形。

(1)画出所拼图形的示意图，说出图形的名称。

(2)用这个图形证明勾股定理。

例2

数学实验室：

实验材料：硬纸板、剪刀、三角板

实验方法：剪裁、拼图、探索

实验目的：验证勾股定理，拼图填空。

操作：剪裁出若干个全等的直角三角形，三边长分别记为a、b、c，如图①。

(1)拼图一：分别用4张直角三角形纸片，拼成如图②、图③的形状，观察图②、图③可发现，图②中两个小正方形的面积之和图③中小正方形的面积(填“大于”“小于”“等于”)，用关系式可表示为；

(2)拼图二：用4张直角三角形纸片拼成如图④的形状，观察图形可以发现，图中共有3个正方形，它们的面积按大小顺序分别记为S 大、S 中、S 小，其关系是 ，用a 、b 、c 可表示为 ；

(3)拼图三：用8张直角三角形纸片拼成如图⑤的形状，图中3个正方形的面积按大小顺序分别记为S 大、S 中、S 小，其关系是 ，用a 、b 、c 可表示为 .

（思考题）如图，在△ABC 中AB 2=AC 2=3，D 是BC 上一点，且AD=1，则BD?DC= . 【勾股定理的应用】

例1 （基础题）利用勾股定理求三角形的边长

已知△ABC 中，∠C=90°，AB=c ，AC=b （c 为斜边、a 、b 为直角边） （1）如果a=7，b=24，求c ； （2）如果a=15，c=17，求b.

例2 已知直角三角形的一边和另外两边的关系，求另外两边的长 填空：

（1）直角三角形的一条直角边和斜边的比是3:5，已知这条直角边的长是12，则斜边长为 .

（2）在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=60°，b=6（c 为斜边，a 、b 为直角边）则c= ，a= .

例3 利用勾股定理说明边的关系

如图，AD 是△ABC 的中线，试说明：AB 2＋AC 2=2（AD 2＋CD 2） 例4 利用勾股定理求面积：

E

D

C

B

A

如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC ＝6cm ， BC ＝8cm ，现将直角边AC 沿直线折叠，使它落在斜边AB 上，且点C 落到E 点，求△ACD 的面积是多少? 例5 求等腰三角形底边上的高

如图，在△ABC 中，AB=AC=5,BC=6,AD 是BC 边上的中线，求AD 的长。 例6 利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形 已知a 、b 、c 为△ABC 的三边，且满足a 2＋b 2＋c 2＋338=10a ＋24b ＋26c 试说明：这个三角形是直角三角形。 例7 勾股定理及其逆定理的综合应用：

（1）如图，四边形ABCD 中，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，∠B=90°，求四边形ABCD 的面积。

（2）、下列几组数中是勾股数的是 （填序号）

①32、42、52 ②5、12、13 ③31、41、5

1

④、、

（3）如图，在Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，AD 、BE 、CF 分别是三边上的中线.

①若AC ＝1，BC ＝2．求证：AD 2＋CF 2＝BE 2；

②是否存在这样的Rt△ABC，使得它三边上的中线AD 、BE 、CF 的长恰好是一组勾股数？请说明理由．（提示：满足关系a 2＋b 2＝c 2的3个正整数a 、b 、c 称为勾股数．） 例8 构造直角三角形求角的度数

如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC ，P 是△ABC 内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3.把△ACP 绕C 点逆时针旋转90°使点A 和点B 重合，得到四边形ABDC ，求∠BPC 的度数。 例9 勾股定理在实际生活中的应用

B

A

C

D