三角形的中位线定理
三角形中位线定理
1 EF= 1 BC 2 2
三角形的中位线的性质
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于它的一半 A 用符号语言表示
∵DE是△ABC的中位线
E B
D C
1 ∴ DE∥BC， DE= BC. 2
① 证明平行问题
② 证明一条线段是另一条线段的2倍或1/2
初试身手
A D
练习1.如图，在△ABC中，D、E分别是 、F分别 AB 、、 AC 的中点 是 AB AC 、BC的中点
∴ DF=1/2BC，DE=1/2AC。 ∴ 四边形DECF的周长是 B DF+DE+EC+CF=16/2+12/2+1 6/2+12/2=28
D
F
E
C
拓展应用：
在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使 AD=1/2AB，点E,F分别为BC,AC的中点，试说DF=BE理 D 由
理由： ∵ 点E,F分别为BC,AC的中点
B三角 形的周长与原三角形的周长有什么 关系？ 2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角 形的面积有什么关系？
演练
已知：如果，点D、E、F分别是△ABC的三边 的中点． （1）若AB=8cm，求EF的长； （2）若DE=5cm，求BC的长． （3）若增加M、N分别是BD、BF的中点， A 问MN与AC有什么关系？为什么？
例1、求证三角形的一条中位线与第三边上 的中线互相平分. A
E
C
14
定 理 应 用：
⑴定理为证明平行关系提供了新的工具
⑵定理为证明一条线段是另一条线段的2倍 或 1/2提供了一个新的途径
⑶解决“中点问题”
注意：在处理这些问题时,要求出现三角形及中位线
三角形中位线定理的证明方法
三角形中位线定理的证明方法三角形中位线定理是平面几何中的一个基本定理，它描述了一个三角形中位线的性质。
中位线是连接一个三角形的一个顶点和对边中点的线段。
三角形的三条中位线交于一点，这个点称为三角形的重心。
中位线定理的表述如下：在任何一个三角形ABC中，连接每个顶点与对边中点的线段，这三条线段的交点称为三角形的重心G。
重心G将每条中位线分成两个部分，其中一部分的长度是另一部分的两倍。
下面我们来证明三角形中位线定理。
证明：设AD、BE和CF分别是三角形ABC的三条中位线，交于点G。
我们需要证明，|AD|=2|DG|，|BE|=2|EG|和|CF|=2|FG|。
首先我们考虑|AD|=2|DG|这个关系。
延长DG到点X，使得GX=GD。
由于DG是中点D和点G之间的线段，所以延长DG得到的GX是中点D和点G之间的中点。
我们来考虑三角形BGC。
由中位线的性质可知，点X是BC的中点，因此|GX|是|BC|的一半，即|GX|=|BC|/2。
同理，由于|DG|=|GX|，所以|DG|=|BC|/2。
将这个结果代入三角形ADC中，我们可以得到|AD|=|DG|+|GX|=（|BC|/2）+（|BC|/2）=|BC|，即|AD|=|BC|。
接下来我们证明|BE|=2|EG|和|CF|=2|FG|。
我们延长EG和FG分别到点Y和Z，使得EY=EG和FZ=FG。
同样地，我们可以证明|BE|=|AC|和|CF|=|AB|。
让我们考虑三角形ABC中的高。
由于三角形ABC中的三条高交于一点（也就是垂心），我们可以发现BZYC是一个矩形。
这意味着|ZY|=|BC|，也就是说|EY|=|BC|，所以|BE|=|AC|。
同理，在三角形ABC中的三条高交于一点（垂心）的性质使得CYBX是一个平行四边形。
因此，|XZ|=|CB|，即|FZ|=|CB|，所以|CF|=|AB|。
三角形中的中位线定理要求证明|AD|=2|DG|，|BE|=2|EG|和|CF|=2|FG|。
三角形中位线定理
因此DE∥BC。
如图，过D作DFAC，交BC于F，则 D BF=FC。
E （E′ ）
∵四边形DFCE是平行四边形，
∴DE=FC。 ∵FC=1 BC，
B
F
C
∴DE=2 BC。因此得：三角形中位线定理：
三 角 形 的 中 位 线 平 行 于 第 三 边，并 且 等于它的 一半。
4.10 三角形中位线定理
D
E
B
C
4.10 三 角 形 中 位 线
1、 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 A
2、观察右图，点D、E是线段AB、AC的中点
则 线段DE 是ABC的中位线。
D 3、如果再取线段BC的中点F，
E
则ABC还能画出 两 条中位
线，它们分别是 .10 三 角 形 中 位 线
初二几何
4.10 三角形的中位线
编辑: 邓 登 制作: 邓 登
4.10 三 角 形 中 位 线
1、 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
4.10 三 角 形 中 位 线
1、 连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 A
2、观察右图，点D、E是线段AB、AC的中点
则 线段DE 是ABC的中位线。
4.10 三角形中位线定理
4.10 三角形中位线定理
4.10 三角形中位线定理
3、如图，点D、E、F分别是△ABC各边的中点，则ABC的中位线
是 线段 DE、线段DF 。
C
4、图中CF是△ABC的中位线吗？
它是△ABC的中线。
D
F
A
E
B
4.10 三角形中位线定理
如图，DE是△ABC的一条中位线。如果过D作
三角形中点定理
三角形中点定理三角形中点定理，又称为中位线定理，是平面几何中的一个重要定理。
它阐述了三角形内三条中线的特点与性质。
本文将详细论述三角形中点定理及其相关推论，以便更好地理解和应用该定理。
一、三角形中线的定义与性质在三角形ABC中，由三个顶点A、B、C分别连接各边的中点D、E、F，所形成的线段AD、BE、CF即为三角形ABC的中线。
根据三角形中点定理，中线具有以下性质：1. 三条中线互相平行，且等于三角形两边的一半。
证明：连接AD和CF，由于D、E、F为各边的中点，根据两点间的线段中点定理可推出AD ∥ BC，并且AD = 1/2 BC。
同理，BE ∥AC，BE = 1/2 AC；CF ∥ AB，CF = 1/2 AB。
所以三条中线互相平行，且等于各边的一半。
2. 三条中线交于一个点，该点称为三角形的重心。
证明：假设三条中线交于点O。
连接AO、BO、CO。
根据平行四边形的性质可知，AD = 1/2 BC，BE = 1/2 AC，CF = 1/2 AB。
根据向量加法和平行四边形的关系可得：AO + BO = 2AD + 2BE = BC + AC = ABBO + CO = 2BE + 2CF = AC + AB = BCCO + AO = 2CF + 2AD = AB + BC = AC由此可得AO = BO = CO，即点O在三条中线的交点上，故点O为三角形的重心。
二、三角形中点定理的应用1. 判断三角形形状：根据三角形中点定理，如果三角形的中线相等，那么该三角形是等腰三角形。
因为等腰三角形的两条边相等，所以由中线的定义可推出三条中线相等，且平行。
2. 求解三角形面积：根据三角形中点定理，三角形的两条中线之间的长度恰好为三角形面积的一半。
因此，我们可以通过已知三角形中线的长度来求解三角形的面积。
3. 构造三角形：根据三角形中点定理，给定一条边的中点和该边上的长度，还可以根据中线的定义，得到另外两条边的中点，从而构造出三角形。
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半
中位线定理的证明
如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC
的中点，连接DF.
求证：（1） DE ∥ BC 辅助线：延长DF至点F， 使EF=DF，连接FC △AED≌△CEF
1 2） DE （BC 2
一题多解
思考1
△ABC与△DEF的周长、面积有什么等量关系？
取AE中点G，连接DG
△DGF≌△CEF
四边形ABCD,AB与DC不平行,点E、F分别是
BC、AD的中点.求证: EF 1 AB CD
连接AC,取AC中点G 1 1 ∵FG=2 CD GE= AB 2
∴FG+GE>EF
1 EF ∴2 AB CD
2
∴平行四边形ABEC ∴F为BC中点，O为AC中 即：AB=2OF 点
如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别 是AB、BC、CD、DA的中点．求证:四边形EFGH 是平行四边形．
∵HG∥AC∥EF;EH∥BD∥F
GLeabharlann ∴EFGH为平行四边形题型二
增设中点，构造中位线
如图，已知△ABC中，D 是AB的中点， E是BC的三等分点（BE＞CE），AE、CD相交于F. 求证:F是DC的中点.
中 点 的 辅 助 线
倍长中线
三线合一
中位线定理
直角三角形斜边中线定理
三角形中位线的定义
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线 注意中线和中位线的区别！
中线：
一个顶点和对边的中点连线
中位线：
两个中点的连线
三角形中位线定理
观察并猜想DE与BC的关系
位置关系
数量关系
三角形中位线定理
结论:（1）三角形三条中位线围成的三角形周长是原三角形
周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一 。 （2）三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分。
2.你能用三角形中位线定理,证明在开 始分蛋糕的过程中，分得的四块蛋糕 的形状全等吗？
A
D
E
B
F
C
3.△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点， 5㎝ ① BC=10cm，则DE=___. 60° ②∠A=50°, ∠B=70°,则∠AED=_____.
四个小朋友要分一块三角形蛋糕，但 他们想要大小形状完全相同的蛋糕， 线段 DE、EF、FD是怎样得到的线段呢？ 你能帮他们实现这个愿望吗？
A
D
E
B
F
C
定义：连结三角形两边中点的线 段叫做三角形的中位线。
几何语言： A
∵点D、E分别是AB和AC的中点 D 中点 ∴DE是△ABC的中位线
一个三角形有几条中位线？ B
∵DE=EF 、∠AED=∠CEF 、 AE=EC
∴△ADE ≌ △CFE ∴AD=FC 、∠A=∠ECF
B
C
∴AB∥FC
又AD=DB ∴BD∥= CF
A D B A D B E C F
E
F 过点C作CF∥AB，与DE的
延长线相交于点F。
C
延长DE到F，使EF=DE， 连结CF。
A
D B E C
F
A E
H
D
（1）顺次连结矩形各边中点 所得的四边形是_______ 菱形 ？
G
F D E F H G B C
B
（2）顺次连结菱形各边中点 A 矩形 ？ 所得的四边形是________
C
（3）顺次连结正方形各 边中点所得的四边形是 正方形 ___________ ？
三角形的中位线定理
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三角形的中位线定理
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• 一、三角形的中位线
• 连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位 线．
• 二、三角形中位线定理
• 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于 第三边的一半．
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• 三、由三角形中位线定理可以推出：
• 1、三角形三条中位线组成一个三角形，其周长为 原三角形周长一半． • 2、三角形三条中位线将原三角形分割成四个全等 的三角形． • 3、三角形三条中位线可以从原三角形中划分出面 积相等的三个平行四边形．
• 例3、如图，△ABC中，D、E分别在AB、 AC上，且BD=CE，F、G分别为BE、CD的 中点，过F、G的直线交AB于点P，交AC于 点Q．求证：AP=AQ．
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• 例4、如图所示，O为等边三角形ABC内的 任意一点，且OD∥BC，交AB于D， OF∥AB，交AC于F，OE∥AC，交BC于 E．求证：OD＋OE＋OF=BC．
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• 例1、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、 H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证： 四边形EFGH是平行四边形．
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• 例2、已知，如图，E、F分别为四边形 ABCD的对角线AC、BD的中点．求证： EF<(AB＋CD)．
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• 例5、已知：如图，△ABC是等边三角形，过AB 边上的点D作DG∥BC，交AC于点G，在GD的延 长线上取点E，使DE=BD，连接AE、CD． （1）求证：△AGE≌△DAC； （2）过点E作EF∥DC，交BC于点F，请你连 接AF，并判断△AEF是怎样的三角形，试证明你 的结论．
三角形中位线定理：
三角形中位线定理：
三角形中位线定理是指一个三角形的三条中位线交于一点，且该点距离三个顶点的距离相等。
具体来说，若在三角形ABC中，D、E和F分别是AB、BC和CA 的中点，则它们交于一点G，且AG=BG=CG。
中位线定理是三角形中的基本定理之一，它可以用于解决许多与三角形有关的问题。
例如，可以利用中位线定理证明三角形内任意一条线段的中点与三角形的三个顶点连线的交点共线；也可以利用中位线定理证明三角形的面积公式S=（1/2）×底边×高。
中位线定理还有一些其他有趣的应用，例如可以用它来构造一个等面积的平行四边形，或者用它来解决一些几何推理问题。
总之，中位线定理是三角形中的一个重要工具，它能够帮助我们更好地理解和解决与三角形有关的各种问题。
- 1 -。
三角形中位线定理
。
。B
E
例1：
Байду номын сангаас
已知点O是△ABC内一点，D、E、F、G分 别是AO、BO、CB、CA的中点。
求证：四边形DEFG是平行四边形
C
G
F
O
D A
E B
练习：求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的 四边形是平行四边形
已知：在四边形ABCD中,E.F.G.H 分别是AB、BC、CD、DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形 E
A
D。 。E
B
图1
C
B
D 。 4 。F 53 。
A 图2 E
1.如图1：在△ABC中，DE是中位线 （1）若∠ADE=60°，
则∠B= 60 度，为什么？
（2）若BC=8cm，
则DE= 4 cm，为什么？
2.如图2：在△ABC中，D、E、F分别 是各边中点
AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，
：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的 一半
已知：在△ABC 中，DE是△ABC 的中位线 求证：DE ∥ BC，且DE=1/2BC
证明：延 长DE 到 F，使EF=DE ，
A
连 结CF.
D
E
F
B
C
A
D
E
B
C
如果 DE是△ABC的中位线 那么 ⑴ DE∥BC，
⑵ DE=1/2BC
① 证明平行问题 ② 证明一条线段是另一条线段 的2倍或1/2
则△DEF的周长= 12 cm.
C △DEF面积是_________
思考：
如图，在A、B外选一点C，连结AC和BC，
并分别找出AC和BC的中点D、E，如果能测 量出DE的长度，也就能知道AB的距离了。
任意三角形中位线定理
任意三角形中位线定理1.引言1.1 概述概述三角形是几何学中的重要概念，它由三条边和三个顶点组成。
我们可以根据角度和边的长度来分类不同类型的三角形，例如等边三角形、等腰三角形和一般三角形等。
在本篇长文中，我们将重点讨论任意三角形中的中位线定理。
中位线是连接三角形的一个顶点和对边中点的线段。
我们将介绍中位线的定义和性质，并详细阐述中位线定理的表述、证明和应用。
中位线定理是关于三角形中位线的一个重要定理。
它揭示了三角形中位线和三角形边的关系，并且具有很多重要的应用。
在本文中，我们将探索中位线定理的证明过程，并讨论它在几何学和实际问题中的应用。
通过研究和理解中位线定理，我们可以深入了解三角形的性质和特点。
这对于几何学的学习和问题解决都具有重要意义。
我们将从基础的定义和性质开始，逐步引入中位线定理的概念和应用，希望读者能够通过本文更好地理解和运用中位线定理。
接下来，我们将在正文部分详细介绍任意三角形的定义和中位线的定义和性质，以便为后续的中位线定理的讨论做好准备。
通过系统而全面的阐述，我们希望读者能够对中位线定理有一个清晰的认识，并能够灵活运用它解决相关问题。
在结论部分，我们将对中位线定理进行准确的表述，并给出具体的证明和应用示例。
这将进一步巩固读者对中位线定理的理解和运用能力。
总之，本文将从引言、正文和结论三个部分系统地介绍任意三角形中位线定理。
通过详细的讲解和实例的引导，我们旨在帮助读者更好地理解和应用这一定理，进一步提升几何学的学习和问题解决能力。
1.2 文章结构文章结构部分的内容如下：文章结构的设计旨在使读者能够清晰地理解任意三角形中位线定理的内容。
本文分为引言、正文和结论三个部分，下面对各个部分进行简要说明。
引言部分主要包括概述、文章结构和目的三个子部分。
在概述中，将简要介绍任意三角形中位线定理的背景和重要性。
通过引入这个概念，读者可以对该定理的应用和实际意义有一个初步的了解。
在文章结构中，将对整篇文章的结构进行总体的安排和描述，使读者能够预期文章的组织方式和内容概况。
中位线的判定定理
中位线的判定定理
中位线是一个数学术语，是平面几何内的三角形任意两边中点的连线或梯形两腰中点的连线。
1判定方法
1,根据定义：三角形两边中点之间的线段为三角形的中位线。
2.经过三角形一边中点与另一边平行的直线与第三边相交,交点与中点之间的线段为三角形的中位线。
3.端点在三角形的两边上与第三边平行且等于第三边的一半的线段为三角形的中位线。
2中位线定义
三角形：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形的中位线平行于第三边，其长度为第三边长的一半，通过相似三角形的性质易得。
其两个逆定理也成立，即经过三角形一边中点平行于另一边的直线，必平分第三边；以及三角形内部平行于一边且长度为此边一半的线段必为此三角形的中位线。
但是注意过三角形一边中点作一长度为底边一半的线段有两个，不一定与底边平行。
梯形：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
梯形的中位线平行于上底和下底，其长度为上、下底长度和的一半，可将梯形旋转180°、将其补齐为平行四边形后易证。
其逆定理正确与否与上相仿。
1,根据定义：三角形两边中点之间的线段为三角形的中位线.
2.经过三角形一边中点与另一边平行的直线与第三边相交,交点与中
点之间的线段为三角形的中位线.
3.端点在三角形的两边上与第三边平行且等于第三边的一半的线段为三角形的中位线.
三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
平行于第三边,并且是一边的中点的线段是中位线.这条还是一个定理,可以证明出来。
三角形中位线定理
A
D
E
B
F
C
定义：连结三角形两边中点的线 段叫做三角形的中位线。
几何语言： ∵点D、E分别是AB和AC的中点 ∴DE是△ABC的中位线
A
中点 D
E 中点
一个三角形有几条中位线？
B
C
F
注意：
三角形的中位线和中线区别：
三角形的中位线是连结三角形两边中点的线段
三角形的中线是连结一个顶点和它的对边中点的线段
理解三角形的中位线定义的两层含义:
① ∵D、E分别为AB、AC的中点
∴DE为△ABC的中位线
② ∵ DE为△ABC的中位线
D
∴ D、E分别为AB、AC的中点
A 。E
一个三角形共有三条中位线。 B
。
F
C
如图，线段DE是△ABC 的中位线，
你能猜测出DE和BC有什么
A
关系吗？
D
1
E
DE∥BC,且DE= 2 BC
A
EF=DE ，连 结CF.
∵DE=EF ∠1=∠2 AE=EC
1
E
∴△ADE ≌ △CFE F ∴AD=FC 、∠A=∠ECF
2
∴AB∥FC
又AD=DB
C
∴BD∥ CF且 BD =CF
∴四边形BCFD是平行四边形
∴DF∥BC，DF＝BC
即DE∥BC
又∵
1
DE DF
DE 1 BC
2
2
A
F
C
（3）若△ABC的面积是 20，则△DEF的面积是 ，
△DEF的面积是△ABC的面积的 。
(4）连结AF则AF是△ABC的
三角形中位线定理
F
C
∴DE∥BC,
1 1 DE DF BC . 2 2
定义：连接三角形两边中点的线
段 叫做三角形的中位线. 定理:三角形的中位线平行于第三 边, 且等于第三边的一半.
练习
• 已知:在△ABC中,D,E,F分别是边 • BC,CA,AB的中点. • 求证：EF+FD+ED=(AB+BC+AC)÷2
三角形中位线定理
作者：无敌的人
三角形中位线的性质定理
证明:如图,延长DE至F,使EF=DE,连接CF. A ∵ AE=CE,∠AED=∠CEF, EF=DE
∴△ADE≌△CFE(SAS).
D E
∴AD=CF,∠ADE=∠F. ∴BD∥CF. B ∵AD=BD, ∴BD=CF, 又∵ BD∥CF. ∴四边形DBCF是平行四边形. ∴DF∥BC,DF=BC.
A
F
B
E
C
D
A
连结三角形两边中点的线段 叫做三角形的中位线
D
E
三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于 第三边，并且等于它的一半。
C
B
DE=2BC DE∥BC
Hale Waihona Puke
三角形的中位线
【考点精讲】1. 三角形中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
A BCA BCD DE E F2. 三角形的中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。
3. 三角形的中位线的作用：一是位置关系，可用来证明线段平行； 二是数量关系，可用来证明线段相等或倍分。
【典例精析】例题1 如图，M 是△ABC 的边BC 的中点，AN 平分∠BAC ，BN ⊥AN 于点N ，延长BN 交AC 于点D ，已知AB ＝10，BC ＝15，MN ＝3。
（1）求证：BN ＝DN ； （2）求△ABC 的周长。
A BCDN12思路导航：（1）证明△ABN ≌△ADN ，即可得出结论；（2）先判断MN 是△BDC 的中位线，从而求出CD 的长，再计算△ABC 的周长即可。
答案：（1）证明：∵BN ⊥AN ，∴∠ANB ＝∠AND ＝90°，在△ABN 和△ADN 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2AN ＝AN ∠ANB ＝∠AND ，∴△ABN ≌△ADN ，∴BN ＝DN ； （2）解：∵△ABN ≌△ADN ，∴AD ＝AB ＝10，由（1）知DN ＝BN ，又∵点M 是BC 中点，∴MN 是△BDC 的中位线， ∴CD ＝2MN ＝2×3＝6，故△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋CD ＋AD ＝10＋15＋6＋10＝41。
点评：本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养数学灵感，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找等腰三角形；出现三角形某边的中点，常常构造三角形的中位线。
例题2 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，M ，N 分别是AB ，AC 的中点，D 、E 为BC 上的点，连接DN ，EM 。
若AB ＝13cm ，BC ＝10cm ，DE ＝5cm ，求图中阴影部分的面积。
A思路导航：连接MN ，根据中位线定理，可得出MN ＝DE ＝5cm ；图中阴影部分的面积就是图中三个三角形的面积，由图可知，这三个三角形的底相等都是5cm ，这三个三角形的高之和是从A 点到BC 的垂线段的长，利用勾股定理可求得高的值，据此可求出图中阴影部分的面积。
3角形中位线定理
3角形中位线定理三角形中位线定理，是在三角形中，与三条相邻边的中点相连的线段，它们构成的三个交点都在同一点上。
本文将从定理的证明、推广应用、例题等三个方面进行阐述。
一、定理的证明证明思路：设三角形ABC的三边分别为a、b、c，D为BC的中点，E为AC的中点，F 为AB的中点，则连接AD、BE、CF的交点为G。
则需证明AD、BE、CF三条线段的交点G是一个固定点。
证明：由于D、E、F都是各边中点，可得：∵ D是BC的中点，∴ BD = DC；又∵ G是AD与BE的交点，故可以得出：∵ D、E分别为BC和AC的中点，∴ DE // AC，同时AE = EC，∴ △AED与△CEB 相似。
$\frac{GA}{BD}=\frac{GC}{CE}$又 $\because BD=DC$ ， $\therefore GA=GC$同理可得：于是，我们得到了两个相等的值：GA=GC，GB=GC。
由此，可知三角形GAC是一个等腰三角形，且AG与CF之间的线段垂直于CF，同理可得：因为三角形GAC、GBA、CBG均拥有最长边CG，所以它们就构成了一个共同的圆，而这个圆的中心就是点G。
因此可以得知：三角形ABC的三边中位线的交点G是一个固定点。
二、推广应用利用中位线定理，我们可以推导容易证明的三条定理和一个相关问题：中位线长定值定理、七分线长定值定理、以及在四边形中应用中位线定理、解决中位线问题。
1. 中位线长定值定理在三角形中，如果其中一条中位线相等，那么这个三角形就是等边三角形。
设△ABC为等边三角形，则BD、AE、CF三条中位线的长度均为$\frac{1}{2}$边长，又 $\because BD=AE=CF$ ，所以可以得到：BD=AE=CF=$\frac{1}{2}$a=a，同理可得：b=c=a。
在三角形中，三条中位线可将它们所在线段的长分为1:2:3的比例。
首先，由于三角形的三角形内部对角线互不交于同一点，那么三角形内部的线段AB、AC、BC是不会共线的。
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B
F
C
由此，你得到什么结论？
变式训练
H
D
G
（1）顺次连结对角线相 等的四边形各边中点所得 的四边形是什么？
B
A
E
菱形
F
C
A
H E
（2）顺次连结对角线垂 直的四边形各边中点所得 的四边形是什么？
B
D
F G
（3）顺次连结对角线相等 且垂直的四边形各边中点 所得的四边形是什么？
B
A
E
H
D
G
C
F
C
结 论
概念对比
E D
A
中线DC
中位线DE
B
C B
C
1.相同之处： 都是和边的中点有关的线段 2.不同之处：
三角形中位线的两个端点都是边的中点； 三角形中线只有一个端点是边的中点，另一端 点是三角形的顶点。
猜一猜
△ ABC的中位线DE与 BC的关系怎样？（从位置 和数量关系猜想）
DE∥BC,
A D E
F
1 DE BC 2
D
E
B
(1)
c F
2．若顺次连接四边形四边中 点所得的四边形是菱形，则 原四边形（ D ） （A）一定是矩形 （C）对角线一定互相垂直
（B）一定是菱形 A （D）对角线一定相等
A
3．如图Δ ABC中，DE是中位线，AF是中线， 求证：DE与AF互相平分
B
D
E
C F
课后作业：
1．必做题：习题6.4 1、3、4 2．选做题：习题6.4 5、 6
平行四边形
矩形
（3）顺次连结正方形各边中 点所得的四边形是什么？
正方形
学以致用：抢答
（4）顺次连结矩形各边中 点所得的四边形是什么？
菱形
（5）顺次连结梯形各边中 点所得的四边形是什么？
平行四边形
（6）顺次连结等腰梯形各 边中点所得的四边形是什么？
菱形
挑战自我（逆向思维）
已知：如图，四边形ABCD中，E、F、G、 H分别是AB、BC、CD、DA的中点. 则
6.4 三角形的中位线定理
动手操作
给你一个任意的三角形（不要
用特殊的三角形如直角三角形、等腰三角形等），能否 只剪一刀，就能将剪开的图形拼成一个平行四边形呢？
1、分别取AB 、AC的中点D 、E,连结DE; 2、沿DE将△ABC剪成两部分,并将△ADE绕 点E按顺时针旋转180度,得四边形BCFD。
1、 三角形三条中位线围成的三角 形的周长与原三角形的周长的关系？
B
F
C
我来总结
2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角 形的面积的关系？
例1.
已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分 别是AB、BC、CD、DA的中点. 猜想四边形EFGH的形状并证明.
A E G H D
答： 四边形EFGH为平行四边形。 证明：如图，连接AC ∵点E、F分别是边AB、BC的中点 EF// 1 AC 2 1 同理得： GH// AC 2 GH//EF ∴四边形EFGH是平行四边形
(1)四边形EFGH是（
平行四边形
）
A
H D
(2）请增加一个条件使得四 边形EFGH为菱形。 AC=BD (3) 请增加一个条件使得 四边形EFGH为矩形。 AC⊥BD
E
G C
B
F
当堂检测
A
1。如图（1）Δ ABC中， AB=6㎝， AC=8㎝，BC=10㎝， D﹑E﹑F分别是ABACBC的中点 则Δ DEF的周长是＿＿＿＿ . 12cm
祝同学们学习进步！
口诀
A
2
D
E
C
中点连中点，构成中位线 平行第三边，长度是一半
B
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半.
用 途
① 证明平行问题 ② 证明一条线段是另一条线段的两倍或一半
练一练
A D
练习1.如图，在△ABC中，D、E分别是 练习1.如图，在△ABC中，D、E、F分别 AB、AC的中点 是AB、AC、BC的中点
③ 若AC=4cm,BC=6cm，AB=8cm， ①若∠ADE=65°，则∠B= 65 度，为什么？ 9cm 则△DEF的周长=______ E ②若BC=8cm，则DE= 4 cm，为什么？ 12 ④ 若△ABC的周长为24，△DEF的周长是_____
3 ⑤ 图中有_____个平行四边形 6 ⑥ 若△ABC的面积为24，△DEF的面积是_____
B
F
C
E，F是AB，BC的中点，你联想到什么？ 要使EF成为一个三角形的中位线应怎样添加辅助线？
例1.
已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分 别是AB、BC、CD、DA的中点. 猜想四边形EFGH的形状并证明.
A E G H D 变式1：若AC=BD, 四边形EFGH是什么图 形？ 变式2：若AC⊥BD, 四边形EFGH是什么 图形？ 变式3：若AC=BD,且 AC⊥BD, 四边 形EFGH是什么图形？
B
C
即：三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的 一半。
你能验证你的猜想吗？
证一证
（独立思考-组内交流代表展示-师生点评）
已知：在△ABC中，AD=DB，AE=EC. 求证： 1 DE∥BC, DE= BC.
2
A
D B E C
证明:延长DE到F,使EF=DE , 连接CF
∵ AE=EC, ∠AED= ∠ CEF ∴ △ADE≌△CFE， ∴ AD=CF , ∠ A= ∠ FCE ∴ CF//AB
连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。 A
D
E
B
F
你还能画出几条三角形的中位线？ C 1.三角形有三条中位线； 2.三角形的中位线和三角形的中线不同。
温馨提示
忆一忆：三角形的中线
在三角形中，连结一个顶点和它的对边中 点的线段，叫做 三角形的中线。 A
中点 D
E中点
顶点 B
C顶点
议一议
D
A
实际上，顺次连接任意四边形各边中点所得到 的四边形一定是平行四边形，但它是否是特殊的平 行四边形取决于原四边形的对角线.
原四边形两条对角线 连接四边中点所得四边形
互相垂直 相等
矩形 菱形
互相垂直且相等
既不互相垂直也不相等
正方形
平行四边形
学以致用：抢答
（1） 顺次连结平行四边 形各边中点所得的四边形是 什么？ （2）顺次连结菱形各边中点 所得的四边形是什么？
F
∵AD=DB ∴ CF=BD,CF//BD ∴四边形BCFD是平行四边形 ∴DE//BC,DF=BC 又∵ DE=1/2DF ∴ DE=
1 2
DF=
1 2
BC
记一记
三角形的中位线平行于第三边， 并且等于第三边的一半.
用符号语言表示
∵DE是△ABC的中位线 （或AD=BD,AE=CE) 1 ∴ DE∥BC， DE= BC.
A
D
E
B
C
通过操作我们可以看到线段DE实质 上就是三角形两边中点的连线，我们把 这样特殊的线段叫做三角形的中位线。
1、理解三角形的中位线概念 2、探索并掌握三角形的计算和证明
重点：理解并灵活应用三角形的中位线定理
难点：三角形的中位线定理的探索与推导
学一学