第十二章 能量法

M0 0
[
a 0
M (x1) EI1
M (x1) M 0
dx1
a 0
M (x2 ) EI2
M (x2 ) M 0
dx2 ]M0 0
B
a 0
Fx1 EI 2
(1)dx1
a 0
Fa EI 2
(1)dx2
A
Fa2 2EI1
Fa2 EI2
（“-”表示A与M0转向相反）
[例12-5]求图示梁的挠曲线方程。
x1
M (x2 ) a
F
a EI2 C
V
a 0
M 2 (x1) 2EI
dx1
a 0
M 2 (x2 ) 2EI
dx2
(3) A点垂直位移y
y
a 0
M (x1) EI1
M (x1 F
) dx1
a 0
M (x2 ) EI2
M (x2 F
) dx2
y
a 0
Fx12 EI1
dx1
a 0
Fa2 EI2 dx2
内力虚功与外力虚功
作用在所有微段上的可能内力 在虚变形上作之总虚功－内力虚功
Wi l (FNd *Td *Md *)
Wi l (FNd * Td * M yd y * Mzdz*) 外力在可能位移上所作之总虚功－外力虚功
We
l
q(
x)w
(
x)
d
x
Me
e
Fpl
未计剪切
变形体虚功原理
线弹性受扭轴： T (x)T (x) dx l GIp
T ( x)T ( x) dx
l GIt
处于平面弯曲的线弹性梁与刚架： M ( x)M ( x) dx l EI
Fa3 3EI1
Fa3 EI2
()
2.计算B截面转角A
（1）在A处施加力矩M0 弯矩方程
B
a
F A
AB : M (x1) Fx1 M0
x2
EI1 x1 Mo BC : M (x2 ) Fa M 0
a
（2）计算位移
M (x1) 1 M 0
M (x2 ) 1 M 0
EI2 C
A
M0 0
V M 0
(1
r2 12 R
2
)
r R
0.1,
r2 12 R
2
0.0008
[例12-4] 不计轴力和剪力影响，计算图示折杆
A点垂直位移y及转角A
解：1.计算A点垂直位移y （1）列折杆弯矩方程：
B x2
a EI1 x1
F AB : M (x1) Fx1
A BC : M (x2 ) Fa （2）应变能
M (x1) F
二.余能定理（恩格赛尔定理）
Vc
F
dF
F F 0
若有Fi作用（i=1,2,3…) 对应的位移为 1, 2 , 3...
Vc Vc (F1, F2...)
Vc
Fi Fi
Fi 0
i dF
i
三.卡氏第二定理
（1）卡氏第二定理
对于线弹性问题 Vc V
Vc Fi
V Fi
i
----卡氏第二定理
1 0, 2 0, 3 0
（3）力与位移关系：
V 2 1
2
M
()
M
()
(
R
d
)
0
Xi
EI 0
Xi
(i 1,2,3)
其中：
M
( )
F 2
R sin
X 1 R(1 cos)
X
2
M () R(1 cos)
X1
M () 1
X2
补充方程
3
4
2
R
X1
2
1
X
2
FR 4
0
l
N1
N3
F N2
2 cos
A
(2)求应变能
V
N12l1 2EA
N 22l2 2EA
N32l3 2EA
F
N1
N2
N3
A
F
（3）求约束反力
B
N1l
EA cos
N1 N 2
N2l EA
N3l
EA cos
N3 N 2
0
2
N1
cos
N2
0
2
F N2
2cos2
N2
0
N2
B
1
2
3
l
F 2 cos3 1
变形能的计算
V V [ (P), (u, v, w)]
能量守恒
W (F,u, v, w) V [ (FN ,T , M , ), (u, v, w)] 其中：FN=FN (F),T=T（F）,M=M(F) 以上等式中包含外力、内力、应变和位移，任 给出三个方面的量都可以求出第四个量。
能量法---利用功能的关系求解变形体的内力 及变形的方法。
l
l
l l( 1)
A
B
l2(1 )2 l2 2l
l
(2)F ~ 关系
F
2 l l 2FN
EA
轴力的计算
F/2
Fl
FN
, l
FN 2
力与位移的关系
l
l
A
l Fl F ( )3 EA
EA
l
FN
B
FN
（3）应变能
F
V
Fd
0
( )3 EAd
0l
1 4EA
4l 3
V
1 4
F
内力与外力非线性问题称为几何非线性问题
二.卡氏第一定理First Castigliano’s Theorem
V
F()d F
0
若有Fi作用（i=1,2,3…)
F1 Fi
Байду номын сангаас
A
(a) 1
i
F2 B
n
对应的位移为 1, 2 , 3...
V V (F1, F2...)
V
i i
i 0
F
()d
x1
x
( x1
x)
2.求应变能
Vε
l
M 2 (x)dx 2EI
x1
M
2 1
(
x)dx
0 2EI
l
M
2
2
(
x) dx
x1 2EI
3.求挠曲线方程
w(x1)
Vε F
F 0
x 1 M1 M1dx 0 EI F1
l x1
M 2 (x) EI
M 2 F1
dx F 0
x1
ql 2
x
q 2
第十二章 能量法
安徽建筑工业学院
第十二章 能量法 §12-1 概 述
一.能量法的适用条件
在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形 而在体内积蓄的能量，称为弹性变形能，简称 变形能。物体在外力作用下发生变形，物体的 变形能在数值上等于外力在加载过程中在相应 位移上所做的功 W V
二.能量法的概念
外力功的计算 W W (F,u,v, w)
x2
l
x1 l
xF
l
x1
xdx
w(x1)
w(x1)
0 l x1
ql
2 x1
0
ql x q 22
x q x2 2
EI
EI x2 l x1 xF
l EI
l x1 xdx l
l
x1
l F(x x1)
ql x q x2 22
EI
[l
[l
l
l
x1
x1
x
x
( x1
(x1
四.卡氏第二定理的应用
1.计算位移
[例12-3]计算图（a）所示 开口圆环在 F力作用下切
口的张开量 ΔAB ，EI=常数。
解：(1) 取一半分析内力 FN FS
略去切力Fs的作用
FN Fcos
FN cosφ F
M
F
M FR(1 cos)
M R(1 cosφ) F
F
F
d
F
（2）应变能
V
2
(M2 0 2EI
FN2 )Rd
2EA
（3）求位移
AB
V F
2
(
M
0 EI
M F
FN FN )Rd
EA F
AB
2
0
(
FR2 (1 cos)2
EI
F
cos2 EA
)Rd
AB
3 FR3
EI
FR
EA
3FR3 FR
若环自身半径为r AB Er 4 / 4 Er 2
AB
3FR3 Er 4 / 4
Fi
----卡氏第一定理
[例12-2]三角架受力及材料性
能如图所示，求B点竖向位移。
A
非线性问题，用卡氏第一定理 求解需用位移表示应变能。
解：（1）内力分析 取节点B
FN1 F FN 2 2F
FN1 FN2
4 C
B
Fo
B
F
（2）应变分析
L1 x
x
L
L2
2 2
(
y
x
)
y x
可以证明：外力在虚位移上所作外 力虚功 We，等于可能内力在虚变形上所 作内力虚功 Wi，即
We ＝ Wi
称为变形体虚功原理（虚位移原理）
二、单位力法
d，d，d y，dz 1 FN，T，My，Mz
1Δ l F N( x)d T ( x)d M y( x)dy M z ( x)dz
荷，按卡氏第二定理求导后令假设的载荷为零。 （3）如果结构上作用几个相同的载荷，则应分 别给出不同的标识，按卡氏第二定理求导后令 它们取原值。
（4）应变能积分中的内力函数式不可展开，且先 求导后再代如积分号内运算。
四.用卡氏定理解超静定问题
力法：以未知力作为基本未知函数，利用有关 的定理及变形关系求解超静定问题称为力法。
§12-2 应变能与卡氏第一定理
一.应变能的计算方法 F
F F()
（1）已知F F()
F
V 0 F ()d
对于线弹性问题
V
1 2
F
（2）已知 ( )
0
v
( )d
0
对于线弹性问题 v
1 2
( )
V
[
V
( )d ]dV
0
0
(3)已知内力函数求应变能
V
FN 2 (x) dx l 2EA(x)
解：1. 在x1 处施加集中力F，
列弯矩方程
A
qF
B
AC段： M1(x) M q M F
ql x q x2 L x1 xF
22
L
x
C
x1 l
M1(x) L x1 x
F1
L
CB段： M (x) M q M F
ql 2
x
q 2
x2
l
l
x1
xF
F(x
x1 )
M 1 ( x) F1
l
l
2
1
R
X1
2
X2
FR 2
0
（4）求解补充方程：
X1
4 2 8
F
X
2
2( 3) 2 8
FR
§12-4 虚位移原理与单位力法
一、虚位移原理 1. 虚位移
假象在约束所允许的条件下，可能实现的任 何无限小的位移。
2. 虚功 作用力在虚位移上所作的功称为虚功
W F r
3. 虚位移原理 虚位移原理：作用在刚体的所有外力在该位置的 任一虚位移上所做虚功的和等于零。
由于约束反力处的位移是已知的，所以卡氏 第二定理建立在该约束处的位移协调方程，从而 求解超静定问题。
[例12-6] 如图3个杆抗拉刚 1 度为EA，求各杆的轴力。
解：（1）平衡方程
取节点A分析（如图）
3
2
l
A F
Fx 0 : N1 sin N2 sin
N2
N3 N1
1
2
3
Fy 0 : N3 cos N1 cos F N2
l F N( x)d T ( x)d M y( x)dy M z ( x)dz
l F N( x)d T ( x)d M y( x)dy M z ( x)dz
实际变形 由载荷状态下的实际内力 确定
关于位移与单位载荷
－广义位移，施加相应单位广义载荷
－线位移，加单位力 －角位移，加单位力偶 －相对线位移，加一对相等相反单位力 －相对角位移，加一对相等相反单位力偶
2L
I
B
B1
A
B2
l1
H l2
(3)应变能
F
y
ABv
d
0
0
d
C
D
B
AB v
2
3
3 2
2
3
( x
L
)3 2
CB v
2
3
32
2
3
(
y
x
)3 2
2L
V
2
3
LA[( x )32
L
2(
y
x
)3 2
]
2L
（4）求位移
V 0, x
x
1 2
y x 0
V F, A
y
2L
y x F
x
F 2L
A2 2
T 2 (x) dx l 2GI p (x)
s FQ2 (x) dx
l 2GI p (x)
M 2 (x) dx l 2EI(x)
(4)已知位移函数求应变能
V
1 2
EI (x)( 1 )2 dx 1
l
2
EI (x)(v)2 dx
l
[例12-1]如图杆系受F作用，求应变能。
解： (1) ~ l关系
x)]dx F
x)]dx
0
w(x) qx (l 2 2lx2 x3)
24
注意:
（1） F视为广义力，即在不同的载荷下它分别
代表集中力、力对点矩等。相应的 视为广
义位移，在不同的载荷下它分别代表集中力方向 的线位移、力对作用点的相对位移、力矩转向上 的转角等。
（2）所求截面位移无相应的载荷时要施加该载
N2
N2
F
2 cos3
1
A F
例12-7 图a所示两端固定半圆环在对称截面处受集中 力F作用。环轴线的半径为R，弯曲刚度为EI，不计 剪力和轴力对圆环变形的影响。试用卡氏第二定理 求对称截面上的内力。
F
R
(a)
F
F
2
2
X1
X2 X3
X1 X2 X3
（b） 解：（1）基本静定系统如图b
（2）变形协调条件
关于位移方向
当所得位移为正，则位移与所加单位载荷同向
对于线弹性杆或杆系：
d FN (x)dx
EA
d T (x)dx
GIt
d y
M y (x)dx EI y
d z
M z (x)dx EI z
基本变形情况
线弹性拉压杆与桁架： FN(x)FN(x) dx l EA
n F NiFNili
i1 Ei Ai
y
5F 2L
A2 2
§12-3余能与卡氏第二定理
一.余能
1.余能的概念
F F F()
余功：常力功与变力功之差称为余功 dF Wc
W
与余功对应的能量称为余能
Vc= Wc
0
2.余能的计算
（1）利用定义计算 Vc V V
（2）已知 (F)
F
Vc 0 (F )dF
对于线弹性问题
Vc
1 2
F
（3）已知应力应变关系 ( )
vc 0 ( )d
对于线弹性问题 vc
1
2
Vc
[
V
0
( )d ]dV
( )
d
(4)结构线性问题已知内力
0
函数求余能
V
FN 2(x) dx l 2EA(x)
T 2(x) dx l 2GI p (x)
sFs2 (x) dx
l 2GI p (x)
M 2(x) dx
l 2EI(x)