高校工程数学第3节解析函数和调和函数教学课件

共轭调和函数
u( x , y ), v ( x , y ) 在D内调和 u v x y C—R方程成立 v u y x
f ( z ) u( x, y ) iv( x, y )
在D内解析
注： 区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.
[例1]
得：
3 y 2 g( x ) 3 y 2 3 x 2 ,
故 g ( x ) 3 x dx x c ,
2
3
(c 为任意常数)
因此
v(x,y)=x3–3xy2+c
从而得到一个解析函数
w=y3–3x2y+i(x3–3xy2+c)
[例1]
偏积分法也可以是下列形式：
适用于已知实部u 求 f ( z ),
适用于已知虚部 v 求 f ( z ),
4、不定积分法
[例3] 用不定积分法求解[例1]中的解析函数 f ( z )
实部 u( x, y ) y 3 3 x 2 y.
[解] f ( z ) U ( z ) ux iuy
3i ( x 2 2 xyi y 2 ) 3iz 2 ,
[例1]
2u 2u 于是 2 0, 故 u( x , y ) 为调和函数. 2 x y
v u 6 xy, （2） 因为 y x
v 6 xydy 3 xy2 g( x ),
v 3 y 2 g( x ), x v u 2 2 3 y 3 x , 又因为 x y
2、共轭调和函数的定义
设 u( x , y ) 为区域 D 内给定的调和函数 , 我 们把使 u iv 在 D 内构成解析函数的调和 函数 v ( x , y ) 称为 u( x , y ) 的共轭调和函数 .
u v u v 换句话说, 在 D 内满足方程 , 的 x y y x 两个调和函数中 , v 称为 u 的共轭调和函数 .
x
e (cos y i sin y ) i ( x iy )e sin y
u,v具有一阶连续偏导数 u,v可微
u( x , y ), v ( x , y ) 在D内调和 u,v具有二阶连续偏导数
（结合：C—R方程成立）
f ( z ) u iv
解析
3、偏积分法
如果已知一个调和函数u，那末就可以利用柯西－黎曼方
程求得它的共轭调和函数v，从而构成一个解析函数u+vi，
和函数, 求一解析函数 f ( z ) u iv , 使 f (0) 0.
[解 ]
v e x ( y cos y x sin y sin y ) 1, x v x e (cos y y sin y x cos y ) 1, y
u v 由 e x (cos y y sin y x cos y ) 1, x y
3 iz c1 , f ( z ) 3iz dz
2
(因为 f ( z ) 的实部为已知函数 , 不可能包含 实的任意常数, 所以常数 c1 为任意纯虚数)
故 f ( z ) i ( z 3 c ).
(c 为任意实常数)
不定积分法
[例4] 用不定积分法求解[例2]中的解析函数 f ( z )
由 f (0) 0,
得 c 0,
z
所求解析函数为 f ( z ) ze (1 i )z.
4、不定积分法
已知调和函数 u( x , y ) 或 v ( x , y ), 用不定积分 求解析函数的方法称为 不定积分法.
不定积分法的实施过程:
解析函数 f ( z ) u iv 的导数 f ( z ) 仍为解析函数 , 且 f ( z ) ux iv x ux iu y v y iv x
x
故 g( y ) y c ,
于是 u e x ( x cos y y sin y ) x y c,
[例2]
f ( z ) u iv
xe x e iy iye x e iy x(1 i ) iy(1 i ) c ze z (1 i )z c,
的 实 部u ( x, y )与 虚 部v( x, y ) 都是调和函数 , f ( z )一 定 是 解 析 函 数 吗 ？ 什 为么 ？
Answer:NO, N0, N0!
解析函数的充要条件是C-R方程， 描述u，v之间的关系。 而调和函数只是u，v各自的性质， 并未描述相互间的关系。
解析函数和调和函数的关系
1. 两者的关系 [定理] 任何在区域 D 内解析的函数,它的实部 和虚部都是 D 内的调和函数.
, 证 设 w f ( z ) u iv 为 D 内的一个解析函数
u v u v 那末 , . x y y x
解析函数和调和函数的关系
2 u 2v 2u 2v 从而 , . 2 2 yx y xy x
区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数。
共轭调和函数
思考：如果v是u的共轭调和函数，那么u也是v的共轭调 和函数吗？
思考：如果u+iv是解析函数，那么v+iu也是解析函数吗？
问题： （a1）验证函数u(x,y)是调和函数， （a2）求调和函数v(x,y)，使u+iv是解析函数。 （b1）验证函数v(x,y)是调和函数， （b2）求调和函数u(x,y)，使u+iv是解析函数。 这是相似的问题，其中（a2）问题的提法也可以：求u(x,y) 的共轭调和函数v(x,y)。
解析函数和调和函数的关系
[定理2-3-1] 如果f(z)=u+iv为一解析函数，且f '(z)≠0，那么 曲线族u(x,y)=c1和v(x,y)=c2必相互正交。
[证明] 因为曲线族u(x,y)=c1和v(x,y)=c2中任一条曲线 的斜率分别为–ux/uy（即(–əu/əx)/(əu/əy)）和–vx/vy(即
拉普拉斯
调和函数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ流体力学和电磁场理论等实际问题中有很
重要的应用.
调和函数
例如： f(x,y)=x2-2xy2 不是调和函数 f(x,y)=excosy 是一个调和函数
二、解析函数和调和函数的关系
解析函数有一些重要的性质，特别是它与调和函数之 间的密切关系，在理论上和实际问题中都有着广泛的 应用。
[证] 设w=f(z)=u+iv为一解析函数，则 əu/əx=əv/əy ， əu/əy= – əv/əx 从而
[定理2-3-2]
（第3章）一个解析函数的导数仍为解析函数。因此，解 析函数的实部和虚部不但具有一阶偏导数，而且具有任意 阶的连续偏导数。
所以
从而
同理
[证毕]
调和函数
把具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程的二元 函数叫调和函数。 对于给定的调和函数u(x,y)，把使u+iv构成解析函数的 两个调和函数u(x,y)和v(x,y)叫做共轭调和函数。因此， [定理2-3-2]说明解析函数的实部和虚部为共轭调和函 数。 如果已知共轭调和函数中的一个，那么就可以利用柯 西-黎曼方程求得另一个，从而构成一个解析函数。
虚部 v( x, y ) e x ( y cos y x sin y ) x y.
[解] f ( z ) V ( z ) v iv y x
e x (cos y y sin y x cos y ) 1 i[e ( y cos y x sin y sin y ) 1]
得 u [e x (cos y y sin y x cos y ) 1]dx
[例2]
u e x ( x cos y y sin y ) x g( y ),
v u 由 ,得 x y
e x ( y cos y x sin y sin y ) 1 e ( x sin y y cos y sin y ) g( y ),
把 ux iu y 与 v y iv x 用 z 来表示,
f ( z ) ux iuy U ( z ), f ( z ) v y iv x V ( z ),
不定积分法
将上两式积分, 得
f ( z ) U ( z )dz c , f ( z ) V ( z )dz c ,
根据解析函数高阶导数定理,
u 与 v 具有任意阶的连续偏导 数,
2v 2v , yx xy 2u 2u 从而 2 0, 2 x y 2v 2v 同理 2 0, 2 x y
[证毕]
因此 u 与 v 都是调和函数.
解析函数和调和函数的关系
Question：函 数 f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y )
(–əv/əx)/(əv/əy))，又因为函数f(z)是解析函数，故有
ux=vy，uy=vx（即əu/əx=əv/əy，əu/əy=–əv/əx），得： (–ux/uy)(–vx/vy)=(–vy/uy)(–uy/vy)=1 即：
[定理2-3-1]
因此，曲线族u(x,y)=c1和v(x,y)=c2相互正交。 [证毕]
vx 3 x 3 y ,
2 2
对x不 定 积 分 v x 3 y x ( y)
3 2
v y 6xy ' ( y)
又因为 v y 6 xy
' ( y) 0， ( y) c
[例1]
方法2：第二类曲线线积分法： 由C-R方程得
vy 6xy, vx 3x 3 y
这种方法称为偏积分法。 [例1] 证明 u( x , y ) y 3 3 x 2 y 为调和函数, 并求
其共轭调和函数v ( x , y ) 和由它们构成的解析函 数.
u 2u 6 xy, 6 y , [解] （1） 因为 2 x x 2 u u 2 2 6 y, 3 y 3x , 2 y y
2
2
v
( x, y )
( 0, 0)
v x dx v y dy
2 2
( x, y )
( 0, 0 ) 3
(3 x 3 y )dx 6 xydy
2
x 3 xy c
[例1]
这个函数可以化为： w=f(z)=i(z3+c)
此例说明，已知解析函数的实部和虑部中的一个， 就可以确定另一个，至多相差一个任意常数。
2.3 解析函数和调和函数的关系
一、调和函数的定义 二、解析函数与调和函数的关系 三、小结与思考
一、调和函数的定义
定义
如果二元实变函数 ( x , y ) 在区域 D内具 有二阶连续偏导数, 并且满足拉普拉斯方程 2 2 2 2 0, x y 那末称 ( x , y ) 为区域 D 内的调和函数.
课堂练习
课堂练习 证明 u( x , y ) x 6 x y 3 xy 2 y 为
3 2 2 3
调和函数, 并求其共轭调和函数.
答案：
v( x, y ) 3 x 2 y 6 xy2 y 3 2 x 3 c.
(c 为任意常数)
偏积分法
[例2] 已知 v( x , y ) e x ( y cos y x sin y ) x y 为调
2u 2u u x x 2 y 2 0 反例： f ( z ) z x iy 2 2 v v v y 2 0 2 x y u, v 为调和函数，但 f ( z ) u iv x iy z 不解析
以上无形中假定uy，vy在交点处都不为零，如果有一个 为零，则由f '(z)≠0 ，可知另一个必不为零。这时容易 知道两族中的曲线在交点处的切线一条是水平的，另 一条是铅直的，他们它们仍相互垂直。
解析函数和调和函数的关系
[定理2-3-2] 任何一个解析函数的实部和虚部都满足拉 普拉斯(Laplace)方程：