高校工程数学第3节解析函数和调和函数教学课件
调和函数与解析函数.ppt
2v
x 2
xy , y2
,
yx
因 2v 与 2v 在D内连续，它们必定相等，故在D内有
xy
yx
2例,在D内有
2v 2v x2 y2 0
即u及v都是D内的调和函数
3
定理：设函数f(z)=u(x,y)+v(x,y)∈A(D)
u(x,y),v(x,y)都是D内的调和函数
其中 x0, y0 为D内一定点,C为任意实常数.
10
例2.8求解析函数f(z)=u+iv,u x2 y2 xy,
f (i) 1 i.
解:容易验证是u全平面的调和函数。利用C-R条件，
先求出v的两个偏导数。
v u 2 y x, v u 2x y
x y
y x
则v(x, y) x,y 2 y x dx 2x y dy C 0,0
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例如:设 f(z)=x-iy,则u(x,y),v(x,y)都是z平面上的
调和函数,但f(z)=x-iy在z平面上处处不解析
原因: u(x,y),v(x,y)在D内不满足C-R条件
定义2.4 u(x,y),v(x,y)是D内的调和函数，且满足
C.-R.条件：
u v u v ,
x y y x
v称为u在区域D内的共轭调和函数.
§2解析函数与调和函数的关系
2.2.1 调和函数的定义 2.2.2 解析函数与调和函数的关系 2.2.3 由调和函数构造解析函数 2.2.4 小结与思考
2.2.1 调和函数的概念
定义2.3 如果二元实函数H(x,y)在区域D内有 二阶连续偏导数2H,且满2足H 拉0普拉斯方程，即：
x2 y2
调和函数
调和函数harmonic function定义：在区域D内存在二阶连续偏导数的实函数U(x,y,z),如果在D内满足拉普拉斯方程Δu=2u/x2+2u/y2+2u/z2=0，则称U(x,y,z)为区域D上的调和函数。
调和函数-----数学物理方程如果二元函数f(x,y)在区域Ω内有二阶连续偏导数且满足拉普拉斯方程,则称f为区域二元函数Ω中的调和函数.满足拉普拉斯方程在某区域中满足拉普拉斯方程的函数。
通常对函数本身还附加一些光滑性条件，例如有连续的一阶和二阶偏导数。
当自变量为n个（从而区域是n维的）时，则称它为n维调和函数。
例如，n=2时,调和函数u(x,y)在某平面区域内满足方程若所考虑的区域包含一个闭圆域，例如x+y≤R，则有下列关于调和函数的平均值公式：即u(x,y)在圆心的值等于圆周上的积分平均值。
更一般地，圆内任何一点x=rcosφ，y=rsinφ(0≤r<R)处调和函数u＝u(r, φ)的值可以由下列泊松公式给出：拉普拉斯方程1拉普拉斯方程2形如上式右端的积分称作泊松积分。
设u(x,y)为平面区域G中的调和函数,且在G的闭包上连续,则借助于平均值公式可以证明,它不能在G 的内部取其最大值与最小值，除非它恒等于一常数。
这就是调和函数的最大、最小值原理。
由泊松积分出发可解决下列狄利克雷问题：在区域G的边界嬠G上给定一连续函数ƒ(x,y)，要求给出G中的调和函数u(x,y)，使其在嬠G上取ƒ(x,y)的值，即拉普拉斯方程，在G的边界嬠G满足一定的条件下,这个问题的解存在且惟一。
对于高维的调和函数，也有与上述类似的最大、最小值原理，平均值公式以及相应的狄利克雷问题解的存在和惟一性定理。
二维调和函数与解析函数论有着密切联系。
在某区域内的调和函数一定是该区域内某解析函数(可能多值)的实部或虚部；反之，某区域内的解析函数其实部与虚部都是该区域内的调和函数，并称其虚部为实部的共轭调和函数。
用复数z=x+iy的记法,将u(x,y)写成u(z),若u(z)在│z│<R内调和，在│z│≤R上连续，则泊松公式就成为(0≤r＜R)。
解析调和与级数
§4 解析函数与调和函数的关系一、概念与结论1.定义与定理设()y x g ,具有二阶连续偏导数，且满足拉普拉斯方程：02222=∂∂+∂∂ygx g 则称()y x g ,为调和函数。
若还有调和函数()y x f ,，与()y x g ,满足柯西——黎曼方程，则相互称其为共轭调和函数。
定理 解析函数的实部和虚部皆为调和函数，但反之不然。
证明 设()iv u z f +=解析，∴y v x u ∂∂=∂∂，xv y u ∂∂-=∂∂，且 x x u x u ∂∂=∂∂∂∂22x y v x y v ∂∂∂=∂∂=∂∂2，又()y y yu xv y u ∂-∂=∂∂=∂∂∂∂∂∂22y x v ∂∂∂-=2， 又()z f ' 解析，故二阶偏导连续，从而，02222=∂∂+∂∂y u x u 。
同理可证02222=∂∂+∂∂yvx v 。
反之，如y v x u -==,，易见v u ,满足Laplace 方程，但是，()z yi x z f =-=处处不解析。
例1 若v u ,都是区域D 内的调和函数，且满足柯西黎曼方程：yvx u ∂∂=∂∂，xvy u ∂∂-=∂∂，则()()()y x iv y x u z f ,,+=在区域D 内 A.是解析函数 B.不是解析函数 C.不一定是解析函数 D.不一定是连续函数解 A.正确。
y v x u ∂∂=∂∂，xv y u ∂∂-=∂∂是()iv u z f +=解析的充要条件。
2.主要题型○1调和函数的正问题和反问题； ○2对给定调和函数，求满足R C -条件：y v x u ∂∂=∂∂，xvy u ∂∂-=∂∂的共轭调和函数，构成解析函数()iv u z f +=。
二、应用举例例 2 证明：22y x u -=为调和函数，并求其共轭及其构成的解析函数iv u +。
证明 02,2;2,2=+⇒-=-===yy xx yy y xx x u u u y u u x u ，∴22y x u -=为调和函数；令xv∂∂()y g xy ydx v y y u +==⇒=∂∂-=⎰222，()y g x y v '+=∂∂∴2，又有()()1,02C y g y g x xu y v =='⇒=∂∂=∂∂ 从而，12C xy v +=；()()1222C xy i y x iv u z f ++-=+=()()C z i C yi x i C yi xyi x +=++=+++=121222即为所求。
工程数学第3讲
x1 +x2
= exp( z1 + z2 )
往往用e 代替exp z. 但是必须注意 但是必须注意, 往往用 z代替 没有幂的意义, 仅仅作为代替exp z的符号使用 因此 的符号使用, 没有幂的意义 仅仅作为代替 的符号使用
x(cos =e
y+isin y)
(2.3.4)
别, 当x=0时, 有 时 iy=cos y+isin y e
k , 其中 = 0,1,2,⋯ (n−1). 所以如果 = z为一复变数就得到一般的幂 , a , b;当b = n与1 时 就分别得到通常的 w , 数 =z n 1
1 函数 n = n z是一个多值函数具有 个分支 z , n n个分支 ,
Ln 于对数函数 z的各个分支在除去原点 和 实轴的复平面内是解 析的因而不难看出它 , 各个分支在除去原点 和负实轴的复平面内 , 是解析的且有 ′ ′ 1 1 1 Lnz 1 n−1 n z )′ = en zn = ( = z . n
为纯虚数iy时 为纯虚数 时, 我们有
− y +e y e osiy = = ch y 2 − y−e y e iniy = = ish y 2i
(2.3.16)
x + iy) = cos x ch y −i sin xsh y, (2.3.17) x + iy) = sin x ch y + i cos xsh y.
因为若设z=x+iy, 则当 则当x<0时, 因为若设 时
y→0
m− arg z = −π, lim+ arg z =π .
除去原点与负实轴, 在复平面内其它点ln 处处 除去原点与负实轴 在复平面内其它点 z处处
工程数学.复变函数与积分变换(尹水仿,李寿贵主编)PPT模板
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附录III 拉氏变换简 表
附录III 拉氏变换 简表15ຫໍສະໝຸດ 习题答案或提示习题答案或提示
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汇
第七章 共形映射
数学家简介
08
第八章 傅里叶变换
第八章 傅 里叶变换
01 第一节 傅氏积分 02 第二节 傅氏变换
定理
03 第三节 单位脉冲 04 第四节 傅氏变换
函数及其傅氏变换
的性质
05 第五节 卷积与卷 06 第六节 傅氏变换
积定理
的简单应用
第八章 傅里叶变 换
本章重要概念英语词汇 习题八 数学家简介
第五章 级数
0 1
第一节 幂级 数
0 4
本章重要概念 英语词汇
0 2
第二节 泰勒 级数
0 5
习题五
0 3
第三节 洛朗 级数
0 6
数学家简介
06
第六章 留数理论
第六章 留数理论
0 1
第一节 孤立奇 点
0 2
第二节 留数定 理
0 3
第三节 留数的 计算
0 4
第四节 留数定 理应用于计算某 些实函数的积分
工程数学.复变函数与积分变换( 尹水仿，李寿贵主编)
演讲人
2 0 2 X - 11 - 11
01
第一章 复数及平面 区域
第一章 复 数及平面区
域
01 第一节 复数及其 02 第二节 复数的几
代数运算
何表示，欧拉公式
03 第三节 无穷远点 04 本章重要概念英语
和复球面
词汇
05 习题一
06 数学家简介
02
第二章 复变函数
第二章 复变函数
01 第 一 节 复 变 函 数
调和方程
(6)
(5) 只有 λ > 0 时有非零解,
λ
=
λk
=
k2π2 a2
,
Xk(x)
=
Ck
sin
kπ a
x,
√
√
Yk(y) = Ake− λky + Bke λky.
故定解问题的解为
u(x,
y)
=
∑∞
(
Ak
e−
kπ a
y
+
)
Bk
e
kπ a
y
sin
kπ a
x.
k=1
由边界条件得
∑∞ (Ak
+
Bk)
sin
kπ a
+
∂u ∂z
cos θ,
∂u ∂θ
=
∂u ∂R
r
cos
θ
−
∂u ∂z
r
sin
θ,
反解得
∂u ∂z
=
cos
θ
∂u ∂r
−
sin θ r
∂u ∂θ
,
∂u ∂R
=
sin
θ
∂u ∂r
+
cos θ r
∂u ∂θ
.
(2)
2
注意到
R2 + z2 = r2,
tan θ = R , z
故有
∂r ∂z
=
cos θ,
∂θ ∂z
+
cos2 θ r2
∂2u ∂θ2
+
cos2 θ r
∂u ∂r
−
sin 2θ r2
∂u ∂θ
+
sin 2θ r
调和函数和调和分析的基本理论
调和函数和调和分析的基本理论调和函数是数学领域中的一个重要概念，它与调和分析密切相关。
调和函数在物理学、工程学和数学领域中都具有广泛的应用。
本文将介绍调和函数和调和分析的基本理论，并探讨其在不同领域的应用。
一、什么是调和函数调和函数是指满足拉普拉斯方程的函数。
在二维直角坐标系中，拉普拉斯方程可以写成：∇²u = ∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0其中，∇²表示拉普拉斯算子，u是待求的函数。
如果一个函数满足上述方程，那么它就是一个调和函数。
调和函数具有许多重要的性质，其中之一就是调和函数的平均值定理。
根据平均值定理，一个调和函数在闭区域内的平均值等于它在边界上的平均值。
这个定理在数学、物理学和工程学中具有广泛的应用。
二、调和分析的基本理论调和分析是研究调和函数的分支学科。
它涉及到傅里叶级数、傅里叶变换以及奇异积分等内容。
1. 傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶级数是调和分析中的重要概念。
它可以将一个周期函数分解成一系列基本频率的正弦和余弦函数。
傅里叶级数的应用非常广泛，包括信号处理、图像处理和电路分析等领域。
而傅里叶变换则是将一个函数分解成频域上的成分。
它是傅里叶级数的推广，适用于非周期函数。
傅里叶变换在信号处理、通信工程和图像处理中有着重要的应用。
2. 奇异积分与调和空间奇异积分是调和分析中的另一个核心内容。
它将调和函数和奇异积分结合起来，用于研究调和函数在边界上的性质。
奇异积分在领域边界值问题、电磁场分析和流体力学等方面具有广泛的应用。
调和空间是调和分析中的一种常用工具。
它是一个函数空间，其中的函数满足一定的调和性质。
调和空间在调和分析的研究和应用中起到了重要的作用。
三、调和函数和调和分析的应用调和函数和调和分析在不同领域中都有重要的应用。
1. 物理学中的应用调和函数在物理学中的应用非常广泛。
例如，调和函数可以描述声波、电磁场和热传导等现象。
调和分析讲义005---调和函数的基本性质
第02章 调和函数的边界值第2.1节 调和函数的基本性质 定义.设n D E ⊂为区域,()2u CD ∈,若210nk k u u =∆=∂=∑,则称u 为调和函数.注.调和函数的平移,旋转,伸缩,偏导数也是调和的. 例.()22,t y i x tu x y eeππ--⋅=在1n E +上调和.例.()()()()12222,||nn y tyP x y c ex x yπ∧+-==+在(){}1,:0n Ex y y ++=>中调和.注意,1n >时,(),P x y 是()1222||1n n c x y n--+-关于y 的偏导数;当1n =时,(),P x y 是()1222ln ||n c x y+关于y 的偏导数,它们均是调和的.例.当2n >时,()2nu x x-=在{}\0n E 中调和;当2n =时,()ln u x x =在{}\0n E 中调和. 例.()201||||nx u x x x -=-在{}0\n E x 中调和.例.()1,sin cosh nk k u x y x ===∏在1n E +上调和.定理1(平均值定理).设u 在D 中调和,若()0,B x r D ⊂,则对任意00r r <<,均有()()()()()1,111,11n x u n n n B x r u x r u x rt dt u t ds r ωω----∑∂''==+=⎰⎰ .证.设{}:x x r εΩ=≤≤,()()2,2ln ,2n xn v x x n --⎧>⎪=⎨=⎪⎩,则0v u u ds v ds n n ∂Ω∂Ω∂∂==∂∂⎰⎰,而()()12n v uds n x uds n --∂Ω∂Ω∂=--∂⎰⎰,故1111r n n uds uds r εε--∑∑=⎰⎰,令0ε→,证毕.注2(格林定理).()()A n ds A dx ∂ΩΩ⋅=∇⋅⎰⎰.特别地,(1)2u ds u nds udx udx n ∂Ω∂ΩΩΩ∂=∇⋅=∇=∆∂⎰⎰⎰⎰; (2)()()vu u v ds u v v u nds u v v u dx n n ∂Ω∂ΩΩ∂∂⎛⎫-=∇-∇⋅=∆-∆ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰.注.()()()1110n n n du x rt dt u x rt t dt r u x rt dt dr ---∑∑Ω'''''+=∇+⋅=∆+=⎰⎰⎰,故 ()()()111lim n n n u x rt dt u x t dt u x εεω---→∑∑''''+=+=⎰⎰.推论.设u 在D 中调和,若()0,B x r D ⊂,则对任意00r r <<,均有()()()111n nnt t ru x u x rt dt u t dt r ≤≤=+=ΩΩ⎰⎰.证.()()()11111110n n n n t u x rt dt dt u x r t d d u x r t dt ρρρρρρ----≤∑∑''''+=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰()()()11110n n n n u x d u x u x nωωρρ---==Ω⎰,证毕.定理3(最大值原理).设实值函数u 在D 中调和,若()sup x DA u x ∈=<∞,则u 为常数,或者在D 中u A <.证.若()u x A =,则在(),B x δ内u A =,故(){}:x D u x A ∈=是开集,又由连续性,(){}:x D u x A ∈=是闭集,而D 连通,故(){}:x D u x A D ∈==,证毕.注.若()inf x DB u x ∈=>-∞,则u 为常数,或者在D 中u B >.推论.设实值函数u 在D 中调和,在D 上连续,若u 不是常数,则其最大值最小值 均只能在D ∂上达到.推论4.设实值函数12,u u 在D 中调和,在D 上连续,若在D ∂上12u u =,则在D 上12u u =.定理5(Liouville 定理).设u 在n E 上调和,若u 有界,则u 为常数. 证.()()()()()()()()121212,,11,,B x r B x r u x u x u x dx u x dx B x r B x r -=-=⎰⎰()()()12,,1n nB x r B x r u x dx r ∆Ω⎰,若()u x M ≤,故当12r d x x >=-时,有 ()()()()()()121222,\,0,\0,n nn nM Mu x u x B x r B x r B r B r d r r -≤≤-=ΩΩ ()20nn n M r r d r⎡⎤--→⎣⎦,令r →∞,得()()12u x u x =,证毕.引理6.设()2u C D ∈,若()()(),,x u B x r D u x r ⊂⇒= ,则u 在D 中调和. 证.()()()1111100ii jn n n n nt it t i ji i u x rt dt C u x rt t dt u x rt t t dt ---==∑∑∑''''''''''''+=⇒+=⇒+=∑∑⎰⎰⎰,故()()111110i j i i n nnt t i j n t t i i u x t t dt u x n ω--==∑'''''''==∑∑⎰,证毕. 定理7.设()u C D ∈,若()()(),,x u B x r D u x r ⊂⇒= ,则u C ∞∈,故在D 中调和. 证.设()0,B x r D ⊂,不妨设在()0,B x r 之外0u =;取径向函数()0n C E ϕ∞∈,满足()supp 0,1B ϕ⊂,且()1nE t dt ϕ=⎰,则()0,x B x r ∀∈,当ε充分小时,()()()()()()11nn n E u x u x t t dt dt u x rt r rdr εεεεϕϕϕ--∑''*=-=-=⎰⎰⎰()()()()()11110n n n n r r dru x rt dt u x r r dr u x εεεεϕωϕ----∑''-==⎰⎰⎰,即()()()u x u x εϕ=*,而C u C εϕ∞∞∈⇒∈,证毕 注.设()1loc u L D ∈,若()()()11,nt B x r D u x u x rt dt ≤⊂⇒=+Ω⎰ ,则u 在D 上调和.推论8.设{}k u 为D 中调和函数序列,若在D 的紧子集上{}k u 均一致收敛于u ,则u 在D 中调和.Dirichlet 问题.设D 为有界区域,若()f C D ∈∂,问:是否存在D 中的调和函数, 使得在D 上连续,在D ∂上等于f .定义.记()()22221111||11,||12cos n n n n x r p s x x s r r ωωγ----==--+,其中cos x sr γ⋅=,1s =, 称为单位球内的Poisson 核.定理9.(1)当1x <时,(),0p s x ≥;(2)当1x <时,()1,1n p s x ds -∑=⎰;(3)当1r →时,对x '一致地有(),0s x p s rx ds δ'->'→⎰.证.(2)()()11,,01n n p s rx dx p s ω--∑''==⎰,而2211||||n nr r rx s x rs --=⇒''--()(),,p s rx p x rs ''=,即得,证毕.定理10.设f 在1n -∑上连续,令()()()()1,,1,1n f s p s x ds x u x f x x -∑⎧<⎪=⎨⎪=⎩⎰,则u 在1x <内调和,在1x ≤上连续. 证.当1x <时,取δ充分小,则()()()()()11,,n n t x t x t x u t dt dt f s p s t ds f s ds p s t dt δδδ---≤-≤∑∑-≤===⎰⎰⎰⎰⎰()()()11111,n n n n n f s p s x ds u x ωδωδ-----∑=⎰,故u 在1x <内调和;x '∀∈∑,()()()()()1,n s x s x u rx u x f s f x p s rx ds δδ-''∑-≤->''''-≤-=+⎰⎰⎰,第一项当δ充分小时可任意小,而对固定的δ,第二项当1r -充分小时也可任意小,故 当1x <,x x '→时,()()()()()()u x u x u x u rx u rx u x '''-≤-+-可任意小,因此,()u x 在1n -∑上连续,证毕. 注11.令()()()()1220021001,,n nnn a x x f xas ds x x a au x x x asf x x x aω---∑⎧--+-<⎪⎪=--⎨⎪-=⎪⎩⎰,则u 在0x x a -<内调和,在0x x a -≤上连续,只要f 在0x x a -=上连续.定理12.设{}m u 为D 中调和函数序列,若在D 的有界子域S 上{}k u 一致有界,且S D ⊂,则存在子列{}k m u 一致收敛于S 上的调和函数.证.只要验证存在子列在S 上一致收敛,故只需验证{}m u 在S 上等度连续,因此 只需验证{}k m u ∂在S 内的每个闭球上一致有界,而0x S ∀∈,当a 充分小时,有()()()12202101n m mnnn a x x u x u xas ds a x x asω---∑--=+--⎰,得()()()()10001sup n k m m k k m m y Sn nnu x u x as s ds u x u y a a ω-∈-∑∂=+⇒∂≤⎰,证毕. 定理13(反射原理).设1n D E +⊂关于(){},:0n E x y y ==对称,u 在D 中连续,且 关于y 为奇函数,若u 在D +中调和,则u 在D 中调和.证.u 在D +与D -内显然调和,故只需验证u 在{}0D y ⋂=上调和;()0,0x D ∀∈,设(){}2220x x y a D -+≤⊂,记(){}2220U x x y a =-+<,令()()()2220011101,,,nn nn a x x y w x y u xas at d a x x as y at σω+--∑---=+---⎰,则w 在U 内调和,在U ∂上w u =,而在0y =上,由对称性,(),00w x =,故w u =,即在U +∂与U -∂上u w =,由于在U +与U -中两者均调和,故在整个U 中u w =, 证毕.推论15.设u 在1n E ++中调和,在1n E ++上连续,若在(){},:0n E x y y ==上0u =,且 在1n E ++中有界,则在1n E ++中0u =.注.没有有界性条件,结论不成立,例如(),u x y y =.这个例子也说明在无界区域1n E ++中,Dirichlet 问题的解不唯一:u y =,0w =均 在1n E ++中调和,且在1n E ++∂上0u w ==. 除非要求该问题的解必须是有界的.。
【学习课件】第六讲_解析函数与调和函数的关系
在 D内满 C足 R方程 :uxvy,uy vx的两个 调和u 函 ,v,v数 必u 为 的共轭调 . 和函 现在研究反过来的问题：若u,v是任意选取的
区域 D内的两个调,和 则u函 i数 v在D内就不 一定解. 析
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6
如 vxy不是 uxy的共轭调.和
（ f(z)uiv(xy)i(xy)在 z平 面 上 处 处 不 ux解 1vy析 uy1vx)
要想 u使 iv在 D内解 ,u及 析 v还必须 C满 R 足 方程v， 必即 须 u的 是共轭调 .由和 此函 ，数
已知一个解析函数 部u的 (x,实 y),利用CR方 (虚 部 v(x, y))
程可求得它的v(虚 x, y部),从而构成解析函数
uiv.
(实 部 u(x, y))
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7
设D一 单 连 通,u(区 x, y域 )是 区D域 内 的 调 和
11
例1 由下列条件求解f析 (z)函 u数 iv
u x2 xy y2
f (i) 1i
解vu2xy vu2yx
y x
x y
dvvdxvdy(2yx)dx(2xy)dy x y
( x, y)
v(x, y) (2y x)dx(2x y)dyc (0,0)
x
y
o xdx0 (2x y)dyc
x2
u0,
v0
其
中
2 x2
2 y2
uu(x,y)，vv(x,y)是D内的调和函
定义 设u(x,y)为D内的调和 ,称函 使u数 得 iv 在D内构成解析函 函数 数 v(x,的 y)为 调 u(x,和 y) 的共轭调. 和函数
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5
上面定理说明：
复变函数ppt教学2-2解析函数和调和函数的关系
13
1 2 1 2 x 2 xy y C 2 2 所以
2 2
( x )dx (2 x y )dy C
0 0
x
y
Байду номын сангаас
(1 ) z iC 2 1 又因为 f ( i ) 1 i , 所 以C ，得 到 2
2
1 2 1 2 f ( z ) ( x y xy) i ( x 2 xy y C ) 2 2 i
12
曲线积分法
例 4. 求解析函数f ( z ) u iv，已知， u x y xy, f (i) 1 i.
2 2
解：容易验证 u是全平面的调和函数， 利 用柯西黎曼条件，求出 两个偏导数 v u v u 2 y x, 2x y x y y x 则 ( x, y) v( x, y ) (2 y x )dx (2 x y )dy C
e ( x cos y y sin y) x g( y) v u 由于 得到 x y x e ( y cos y x sin y sin y) 1 e x ( x sin y y cos y sin y) g' ( y)
x
11
故g( y ) y C，因此 x u e ( x cos y y sin y) x y C 从 而 f ( z ) e x ( x cos y y sin y) x y C
v (3 x 2 3 y 2 )dy 3 x 2 y y 3 ( x)
v u ' 再 由 6 xy ( x ) 6 xy x y
工程数学4
u 2 x(1 y ) v x2 y2 2 y u v u v 2(1 y ) , 2 x x y y x
由于偏导数处处存在，且满足C－R方程，因此，处处解析
12
3、函数解析的充分必要条件
(b) f ( z ) z x iy ux v y
18
2、已知实部或虚部的解析函数的表达式
• 解析函数中：
– v是u的共轭调和函数
– －u是v的共轭调和函数 – 已知v，也可求出u
19
• （1）利用C－R方程来求
ux vy
u y v x
– 例：
v x y 2y
2 2
解：
vx 2 x u y
v y 2 y 2 u x
0 0
c为任意实数
使函数 f ( z ) u iv 在D内解析
• 同理：
x, y u ( x, y ) x , y u x dx u y dy c 0 0 x, y x , y v y dx vx dy c 0 0
21
2、已知实部或虚部的解析函数的 表达式
8
1、解析函数的概念
• 解析和可导的关系
– 函数在区域D内解析
– 函数在某点解析
函数在区域D内可导
函数在某点可导
– 函数在某点可导，但不一定在该点解析
9
2、解析函数的性质
• 若函数在某区域上解析，则在该区域上：
– （1）解析函数的加减乘除仍然解析；
– （2）解析函数的复合函数仍然解析； – （3）解析函数的单值反函数仍然解析。
第二章 解析函数
1
主要内容
• 2.1 复变函数的极限 • 2.2 复变函数的连续性 • 2.3 导数 • 2.4 解析函数
9_解析函数与调和函数
函数f ( z) u( x, y) iv( x, y) 在区域D内解析 定理2：
v是u的共轭调和函数
解析函数的虚部必为实部的共轭调和数
已知共轭调和函数中的一个，可利用 C-R 方程 求得另一个，从而构成一个解析函数。
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
2 2
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(6)u e
x2 y 2
sin xy, f (1) 0
说明：求共轭调和函数v( x, y)及f ( z)有多种方法，下面各用一种方法求解各题。
复变函数与积分变换
2u 2u 1 u x 2 y 2 xy , 2 2 , 2 2, 故满足拉普拉斯方程， x y u是调和函数。
a, d 为任意常数。
u 3ax 2 6dxy - 3ay 2 , x u 3dx 2 6axy 3dy 2 y
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
f ( z ) 2 6dxy 3ay 2 3dx 2 6axy 3dy 2 i 所以
2 xy 1 2 y c x vx 2 y c x , 2
复变函数与积分变换
Complex Analysis and Integral Transform
1 2 由vx uy 2 y c x 2 y x c x x c , 2
1 2 1 2 所以 v x, y y 2 xy x c . 2 2
于是
调和分析
调和分析调和分析是一种数学方法，用于解决多变量问题。
它于20世纪早期由法国数学家亨利·勒贝格（Henri Léon Lebesgue）提出，并且在过去的几十年中得到广泛应用。
调和分析的核心思想是将一个给定的函数分解为调和函数的线性组合，这样可以更好地理解和研究原函数的性质。
调和函数是指满足拉普拉斯方程的函数，即在某个区域内的二阶偏微分方程。
调和函数在物理学、工程学和其他科学领域中有广泛的应用。
调和分析的目标是研究和理解调和函数的性质，进而将这些性质应用于解决实际问题。
调和分析的一个重要应用是对泛函方程进行研究。
泛函方程是指包含未知函数及其导数的方程，常见于数学、物理学和工程学中的建模问题。
通过将泛函方程转化为调和函数的线性组合，可以更好地理解和分析方程的解，并得到更准确的结果。
在实际问题中，调和分析也经常用于信号处理和图像处理。
通过分析信号的频谱特性和图像的调和分量，可以有效地提取和分离信号或图像中的特定信息。
这对于音频、视频和图像的压缩、去噪和增强等任务非常有用。
除了应用领域外，调和分析在纯数学中也有重要的地位。
它与其他数学分支如复分析和偏微分方程紧密相关，并且在这些领域中起到了关键作用。
例如，通过调和函数的线性组合，可以将复变函数表示为实变函数的形式，从而简化复变函数的研究。
总之，调和分析是一种重要的数学方法，对于解决多变量问题、研究泛函方程和处理信号与图像等具有重要的应用。
它通过将一个给定的函数分解为调和函数的线性组合，从而提供了更完整、更准确的分析结果。
调和分析在学术研究和实际应用中都有广泛的应用前景，对于推动数学和相关科学领域的发展具有重要意义。
第三章调和方程
第三章
调和方程
§1 建立方程、定解条件 §2 格林公式及其应用
§1 建立方程、定解条件
§1.1 方程的导出 §1.2 定解条件和定解问题 §1.3 变分原理
§1-2 定解条件和定解问题
因此，对于狄利克雷或诺依曼外问题而言，还需要在无穷远 处对解添加一定的限制条件。在三维情况下，一般要求解在 无穷远处的极限为零（或者说极限为某个特定的值），即
2 2 2 lim u ( x , y , z ) 0 r x y z r
泊松方程的求解可以运用叠加原理转化为调和方程的求解： 首先寻找一个泊松方程的特解u1，作代换u=v+u1把原方程转 化为关于v的调和方程。
习惯思维中，上述定解问题都认为是在有界区域考虑的。也就是说在某 光滑的闭曲面Г的内部寻找满足边界条件的调和函数。 但在实际运用中， 常常会遇到一些无界区域的问题。例如：要确定一个热源物体外部的稳 定温度场。这种情况下，需要在闭曲面Г的外部寻找满足边界条件的调 和函数。为了显示区别，我们把前一种定解问题称为狄利克雷内问题和 诺依曼内问题，把后一类定解问题称为狄利克雷外问题和诺依曼外问题。 流体力学的内流问题和外流问题就是上述问题的典型代表。考虑不可压 无粘势流，其速度势在流动区域内满足拉普拉斯方程，且在物面边界Г 上有 法向无穿透条件 0
2 1
§2 格林公式及其应用
§2.1 格林（Green）公式 §2.2 平均值定理 §2.3 极值原理 §2.4 第一边值问题解的 唯一性和稳定性
§2-1 格林（Green）公式
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共轭调和函数
u( x , y ), v ( x , y ) 在D内调和 u v x y C—R方程成立 v u y x
f ( z ) u( x, y ) iv( x, y )
在D内解析
注： 区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数.
[例1]
得：
3 y 2 g( x ) 3 y 2 3 x 2 ,
故 g ( x ) 3 x dx x c ,
2
3
(c 为任意常数)
因此
v(x,y)=x3–3xy2+c
从而得到一个解析函数
w=y3–3x2y+i(x3–3xy2+c)
[例1]
偏积分法也可以是下列形式：
适用于已知实部u 求 f ( z ),
适用于已知虚部 v 求 f ( z ),
4、不定积分法
[例3] 用不定积分法求解[例1]中的解析函数 f ( z )
实部 u( x, y ) y 3 3 x 2 y.
[解] f ( z ) U ( z ) ux iuy
3i ( x 2 2 xyi y 2 ) 3iz 2 ,
[例1]
2u 2u 于是 2 0, 故 u( x , y ) 为调和函数. 2 x y
v u 6 xy, （2） 因为 y x
v 6 xydy 3 xy2 g( x ),
v 3 y 2 g( x ), x v u 2 2 3 y 3 x , 又因为 x y
2、共轭调和函数的定义
设 u( x , y ) 为区域 D 内给定的调和函数 , 我 们把使 u iv 在 D 内构成解析函数的调和 函数 v ( x , y ) 称为 u( x , y ) 的共轭调和函数 .
u v u v 换句话说, 在 D 内满足方程 , 的 x y y x 两个调和函数中 , v 称为 u 的共轭调和函数 .
x
e (cos y i sin y ) i ( x iy )e sin y
u,v具有一阶连续偏导数 u,v可微
u( x , y ), v ( x , y ) 在D内调和 u,v具有二阶连续偏导数
（结合：C—R方程成立）
f ( z ) u iv
解析
3、偏积分法
如果已知一个调和函数u，那末就可以利用柯西－黎曼方
程求得它的共轭调和函数v，从而构成一个解析函数u+vi，
和函数, 求一解析函数 f ( z ) u iv , 使 f (0) 0.
[解 ]
v e x ( y cos y x sin y sin y ) 1, x v x e (cos y y sin y x cos y ) 1, y
u v 由 e x (cos y y sin y x cos y ) 1, x y
3 iz c1 , f ( z ) 3iz dz
2
(因为 f ( z ) 的实部为已知函数 , 不可能包含 实的任意常数, 所以常数 c1 为任意纯虚数)
故 f ( z ) i ( z 3 c ).
(c 为任意实常数)
不定积分法
[例4] 用不定积分法求解[例2]中的解析函数 f ( z )
由 f (0) 0,
得 c 0,
z
所求解析函数为 f ( z ) ze (1 i )z.
4、不定积分法
已知调和函数 u( x , y ) 或 v ( x , y ), 用不定积分 求解析函数的方法称为 不定积分法.
不定积分法的实施过程:
解析函数 f ( z ) u iv 的导数 f ( z ) 仍为解析函数 , 且 f ( z ) ux iv x ux iu y v y iv x
x
故 g( y ) y c ,
于是 u e x ( x cos y y sin y ) x y c,
[例2]
f ( z ) u iv
xe x e iy iye x e iy x(1 i ) iy(1 i ) c ze z (1 i )z c,
的 实 部u ( x, y )与 虚 部v( x, y ) 都是调和函数 , f ( z )一 定 是 解 析 函 数 吗 ？ 什 为么 ？
Answer:NO, N0, N0!
解析函数的充要条件是C-R方程， 描述u，v之间的关系。 而调和函数只是u，v各自的性质， 并未描述相互间的关系。
解析函数和调和函数的关系
1. 两者的关系 [定理] 任何在区域 D 内解析的函数,它的实部 和虚部都是 D 内的调和函数.
, 证 设 w f ( z ) u iv 为 D 内的一个解析函数
u v u v 那末 , . x y y x
解析函数和调和函数的关系
2 u 2v 2u 2v 从而 , . 2 2 yx y xy x
区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数。
共轭调和函数
思考：如果v是u的共轭调和函数，那么u也是v的共轭调 和函数吗？
思考：如果u+iv是解析函数，那么v+iu也是解析函数吗？
问题： （a1）验证函数u(x,y)是调和函数， （a2）求调和函数v(x,y)，使u+iv是解析函数。 （b1）验证函数v(x,y)是调和函数， （b2）求调和函数u(x,y)，使u+iv是解析函数。 这是相似的问题，其中（a2）问题的提法也可以：求u(x,y) 的共轭调和函数v(x,y)。
解析函数和调和函数的关系
[定理2-3-1] 如果f(z)=u+iv为一解析函数，且f '(z)≠0，那么 曲线族u(x,y)=c1和v(x,y)=c2必相互正交。
[证明] 因为曲线族u(x,y)=c1和v(x,y)=c2中任一条曲线 的斜率分别为–ux/uy（即(–əu/əx)/(əu/əy)）和–vx/vy(即
拉普拉斯
调和函数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ流体力学和电磁场理论等实际问题中有很
重要的应用.
调和函数
例如： f(x,y)=x2-2xy2 不是调和函数 f(x,y)=excosy 是一个调和函数
二、解析函数和调和函数的关系
解析函数有一些重要的性质，特别是它与调和函数之 间的密切关系，在理论上和实际问题中都有着广泛的 应用。
[证] 设w=f(z)=u+iv为一解析函数，则 əu/əx=əv/əy ， əu/əy= – əv/əx 从而
[定理2-3-2]
（第3章）一个解析函数的导数仍为解析函数。因此，解 析函数的实部和虚部不但具有一阶偏导数，而且具有任意 阶的连续偏导数。
所以
从而
同理
[证毕]
调和函数
把具有二阶连续偏导数并且满足拉普拉斯方程的二元 函数叫调和函数。 对于给定的调和函数u(x,y)，把使u+iv构成解析函数的 两个调和函数u(x,y)和v(x,y)叫做共轭调和函数。因此， [定理2-3-2]说明解析函数的实部和虚部为共轭调和函 数。 如果已知共轭调和函数中的一个，那么就可以利用柯 西-黎曼方程求得另一个，从而构成一个解析函数。
虚部 v( x, y ) e x ( y cos y x sin y ) x y.
[解] f ( z ) V ( z ) v iv y x
e x (cos y y sin y x cos y ) 1 i[e ( y cos y x sin y sin y ) 1]
得 u [e x (cos y y sin y x cos y ) 1]dx
[例2]
u e x ( x cos y y sin y ) x g( y ),
v u 由 ,得 x y
e x ( y cos y x sin y sin y ) 1 e ( x sin y y cos y sin y ) g( y ),
把 ux iu y 与 v y iv x 用 z 来表示,
f ( z ) ux iuy U ( z ), f ( z ) v y iv x V ( z ),
不定积分法
将上两式积分, 得
f ( z ) U ( z )dz c , f ( z ) V ( z )dz c ,
根据解析函数高阶导数定理,
u 与 v 具有任意阶的连续偏导 数,
2v 2v , yx xy 2u 2u 从而 2 0, 2 x y 2v 2v 同理 2 0, 2 x y
[证毕]
因此 u 与 v 都是调和函数.
解析函数和调和函数的关系
Question：函 数 f ( z ) u ( x, y ) iv( x, y )
(–əv/əx)/(əv/əy))，又因为函数f(z)是解析函数，故有
ux=vy，uy=vx（即əu/əx=əv/əy，əu/əy=–əv/əx），得： (–ux/uy)(–vx/vy)=(–vy/uy)(–uy/vy)=1 即：
[定理2-3-1]
因此，曲线族u(x,y)=c1和v(x,y)=c2相互正交。 [证毕]
vx 3 x 3 y ,
2 2
对x不 定 积 分 v x 3 y x ( y)
3 2
v y 6xy ' ( y)
又因为 v y 6 xy
' ( y) 0， ( y) c
[例1]
方法2：第二类曲线线积分法： 由C-R方程得
vy 6xy, vx 3x 3 y
这种方法称为偏积分法。 [例1] 证明 u( x , y ) y 3 3 x 2 y 为调和函数, 并求