窄带高斯随机过程的产生

本科实验报告

实验名称：窄带高斯随机过程的产生

一、实验目的

熟悉窄带随机过程的定义，了解窄带随机过程产生的原理与方法，最后估计实验产生的窄带随机过程的功率谱；掌握具有指定功率谱的随机过程产生方法，并以此产生窄带随机过程。

二、实验内容

本实验模拟产生一段时长为5ms 的窄带高频随机过程X(t)的样本函数。根据窄带随机过程的理论，X(t)可表示为

t f t A t f t A t X s c 002cos )(2cos )()(ππ-=

其中，A c (t)和A s (t)均为低频的高斯随机过程，因此，要模拟产生X(t)，首先要产生两个相互独立的高斯随机过程Ac(t)和As(t)，然后用两个正交载波cos2πf 0t 和sin2πf 0t 进行调制，如图所示。

假定Ac(t)和As(t)的功率谱密度均为4

)

/(11

)()(f f f G f G s c ∆+=

=，其中f ∆为功率谱密度的3dB 带宽。在3.7节中介绍了有色高斯随机过程的产生，请按照频域法或时域滤波器法分别产生时长5ms 的低通过程Ac(t)和As(t)，然后按图所示合成X(t)，其中f 0=1000/π，要求分别画出模拟产生的Ac(t)、As(t)、X(t)的波形。

三、实验原理

（一）、有色高斯随机过程的模拟——频域法

首先将X(t)进行周期延拓，得到一个周期信号，再对周期信号进行傅里叶级数展开，即

∑∞

-∞

==

k k f j k e X t X 02~

)(π)1(0d

T f =

由于傅里叶级数是X k 的线性组合，所以，如果X k 是零均值的高斯随机变量，那么)(~

t X 也是零均值高斯过程，如果{X k }是两两正交的序列，则周期信号的功率谱为线谱，即

∑∞

-∞

=-=

k k X

kf f g

f G )()(02~δ))|(|(22k k X E

g =

通过选择g k 就可以得到期望的功率谱。

假定Gx(f)是带限的，即

0)(=f G x (|f|>B)

那么，{g k 2}只有有限项，即{2

2120212,,...,,...,,M M M M g g g g g -+--}，其中M=[B/f 0]，[·]表示取整，

与此对应的傅里叶级数系数{Xk}也是2M+1项。因此，只需产生2M+1个相互正交的零均

值高斯随机变量{M M M M X X X X X ,,...,,...,,101-+--}，其方差2

2)|(|k k g X E =，并在1式中将时间限定为(0,Td)就可以得到模拟过程X(t)。2k g 应与)(0kf G x 成比例，即)(02

kf G g x k β=，

系数β的选择满足下式：

∑⎰

∑

∑-=-=-===

=

M

M

k X

B

B

M

M

k M

M

k k

k X kf G

g

X E df f G )(]|[|)(0-2

2

β

即

∑⎰-==M

M

k X

B

B X kf G df f G )

()(0

-β 总结如下：

1.根据所需过程的时长Td 确定频率f 0，并确定傅里叶级数系数的长度M=[B/f 0]；

2.根据∑⎰-==M

M

k X

B

B X kf G df f G )

()(0

-β确定β； 3.产生2M+1个独立的高斯随机变量，即

M M M M k kf G N X X k ,1,...,0,...,1,)),(,0(~0-+--=β

4.构建时域样本函数

∑-=∆=

∆=M

M

k t i k f j k

e X

t i X i X )(20)(][π

其中t ∆为任意小的时间间隔。

（二）、有色高斯随机过程的模拟——时域滤波法

功率谱为1的白噪声通过线性系统，输出的是服从高斯分布的，且输出的功率谱为

，因此要产生功率谱为

的有色高斯噪声，只需设计一个滤波器即可，该滤波器的传递函数应满足

图2：时域滤波法产生有色高斯噪声的示意图

（三）、窄带随机过程的产生

X (t )= A c (t ) cos 2π f 0 t - A s (t ) sin 2π f 0 t

用相同估计方法产生两次窄带高斯序列，分别为Ac(t)和As(t),再带入上式与载波相乘并作变换，就得到了窄带随机过程。

四、实验过程及结果

（一）、有色高斯随机过程的模拟——频域法

1.因为Td=5ms,则f 0=200Hz ；由功率谱密度可知KHz f 1=∆是功率谱密度的3dB 带宽，严格来说，该过程带宽是无限的，但频率足够高时，功率谱密度已经很小，取f B ∆=6。故有M=30。

2.计算系数β：

99.1990925

.114.2218)

()(0

-≈=

=∑⎰-=M

M

k X

B

B X kf G df f G β

3.产生2M+1个独立的高斯随机变量，即

M M M M k kf G N X X k ,1,...,0,...,1,)),(,0(~0-+--=β