窄带高斯随机过程的产生

本科实验报告实验名称：窄带高斯随机过程的产生一、实验目的熟悉窄带随机过程的定义，了解窄带随机过程产生的原理与方法，最后估计实验产生的窄带随机过程的功率谱；掌握具有指定功率谱的随机过程产生方法，并以此产生窄带随机过程。

二、实验内容本实验模拟产生一段时长为5ms 的窄带高频随机过程X(t)的样本函数。

根据窄带随机过程的理论，X(t)可表示为t f t A t f t A t X s c 002cos )(2cos )()(ππ-=其中，A c (t)和A s (t)均为低频的高斯随机过程，因此，要模拟产生X(t)，首先要产生两个相互独立的高斯随机过程Ac(t)和As(t)，然后用两个正交载波cos2πf 0t 和sin2πf 0t 进行调制，如图所示。

假定Ac(t)和As(t)的功率谱密度均为4)/(11)()(f f f G f G s c ∆+==，其中f ∆为功率谱密度的3dB 带宽。

在3.7节中介绍了有色高斯随机过程的产生，请按照频域法或时域滤波器法分别产生时长5ms 的低通过程Ac(t)和As(t)，然后按图所示合成X(t)，其中f 0=1000/π，要求分别画出模拟产生的Ac(t)、As(t)、X(t)的波形。

三、实验原理（一）、有色高斯随机过程的模拟——频域法首先将X(t)进行周期延拓，得到一个周期信号，再对周期信号进行傅里叶级数展开，即∑∞-∞==k k f j k e X t X 02~)(π)1(0dT f =由于傅里叶级数是X k 的线性组合，所以，如果X k 是零均值的高斯随机变量，那么)(~t X 也是零均值高斯过程，如果{X k }是两两正交的序列，则周期信号的功率谱为线谱，即∑∞-∞=-=k k Xkf f gf G )()(02~δ))|(|(22k k X Eg =通过选择g k 就可以得到期望的功率谱。

假定Gx(f)是带限的，即0)(=f G x (|f|>B)那么，{g k 2}只有有限项，即{22120212,,...,,...,,M M M M g g g g g -+--}，其中M=[B/f 0]，[·]表示取整，与此对应的傅里叶级数系数{Xk}也是2M+1项。

因此，只需产生2M+1个相互正交的零均值高斯随机变量{M M M M X X X X X ,,...,,...,,101-+--}，其方差22)|(|k k g X E =，并在1式中将时间限定为(0,Td)就可以得到模拟过程X(t)。

2k g 应与)(0kf G x 成比例，即)(02kf G g x k β=，系数β的选择满足下式：∑⎰∑∑-=-=-====MMk XBBMMk MMk kk X kf GgX E df f G )(]|[|)(0-22β即∑⎰-==MMk XBB X kf G df f G )()(0-β 总结如下：1.根据所需过程的时长Td 确定频率f 0，并确定傅里叶级数系数的长度M=[B/f 0]；2.根据∑⎰-==MMk XBB X kf G df f G )()(0-β确定β； 3.产生2M+1个独立的高斯随机变量，即M M M M k kf G N X X k ,1,...,0,...,1,)),(,0(~0-+--=β4.构建时域样本函数∑-=∆=∆=MMk t i k f j ke Xt i X i X )(20)(][π其中t ∆为任意小的时间间隔。

（二）、有色高斯随机过程的模拟——时域滤波法功率谱为1的白噪声通过线性系统，输出的是服从高斯分布的，且输出的功率谱为，因此要产生功率谱为的有色高斯噪声，只需设计一个滤波器即可，该滤波器的传递函数应满足图2：时域滤波法产生有色高斯噪声的示意图（三）、窄带随机过程的产生X (t )= A c (t ) cos 2π f 0 t - A s (t ) sin 2π f 0 t用相同估计方法产生两次窄带高斯序列，分别为Ac(t)和As(t),再带入上式与载波相乘并作变换，就得到了窄带随机过程。

四、实验过程及结果（一）、有色高斯随机过程的模拟——频域法1.因为Td=5ms,则f 0=200Hz ；由功率谱密度可知KHz f 1=∆是功率谱密度的3dB 带宽，严格来说，该过程带宽是无限的，但频率足够高时，功率谱密度已经很小，取f B ∆=6。

故有M=30。

2.计算系数β：99.1990925.114.2218)()(0-≈==∑⎰-=MMk XBB X kf G df f G β3.产生2M+1个独立的高斯随机变量，即M M M M k kf G N X X k ,1,...,0,...,1,)),(,0(~0-+--=β构建时域样本函数∑-=∆=∆=MMk t i k f j ke Xt i X i X )(20)(][π其中t ∆为任意小的时间间隔，这里取00001.0=∆t 。

（二）、窄带随机过程的产生用同样的方法产生两个独立的高斯随机信号As(t)和Ac(t)，再用载波进行调制，即 可得到最终信号。

五、实验结论及分析1. 有色高斯随机过程的模拟——频域法图3：模拟产生的具有给定功率谱的高斯随机过程 2. 有色高斯随机过程的模拟——时域滤波法图4：时域滤波法产生有色高斯噪声3.窄带随机过程的产生按图3、4所示方法产生Ac(t)和As(t)，并进行载波调制，产生窄带高斯随机过程：图5：窄带高斯随机过程六、心得体会1．本实验锻炼了我的MATLAB编程能力，学到了随机信号模拟的基本函数；2．本实验让我对有色高斯噪声有了更深入的认识，学会了模拟产生具有特定频率谱的高斯随机过程；3．了解了频域法和时域滤波法的原理和思想；4．锻炼了实践能力和自学能力。

七、代码附录%窄带随机过程的产生clc;clear;%设置参数fc=1000/pi; %信号的载波频率dt=0.00001; %采样间隔Td=0.005; %信号时长df=1000; %3dB带宽B = 6*df;fo=1/Td; %中心频率点M=floor(B*Td); %傅里叶级数系数长度m=[-M:M];I=sqrt(-1); %虚数ix= 0:0.01:10 ;psd=1./(1+x.^4); %功率谱密度的函数表达式syms f realpower=vpa(int(1/(1+(f/1000)^4),-6000,6000),5); %功率绝对大小s=1./(1+((m*fo)/df).^4); %以fo为单位，s即为各个离散点处功率谱密度函数的值beta=power/sum(s); %系数βs=beta*s; %s=∑Gx(kfo)，而所需的，故beta*s即为所要的功率谱密度%原功率谱密度函数图 -8000Hz - 8000Hzf=[-8:0.01:8]*df;psd0=1./(1+(f/df).^4);%作图显示subplot 211;stem(m*fo,s/fo,'b'); %点线图，横轴为频率，以fo为单位值，纵轴为功率谱相对值hold on;plot(f,psd0,'r'); %连续的功率谱密度axis([-8*df 8*df 0 1.2]);xlabel('频率(Hz)');ylabel('功率谱');%生成时域信号对应的傅立叶变换z0=randn(1); z0=z0*sqrt(s(M+1));zplus=sqrt(s(M+2:2*M+1)/2).*(randn(1,M)+I*randn(1,M));zminus=conj(fliplr(zplus));z=[zminus z0 zplus];%做反傅立叶变换，求出时域信号，即窄带随机过程频域法高斯有色信号X(t) Ac(t)t = 0:dt:Td; %时长5msX=zeros(1,length(t));for m=-M:MX=X+z(m+M+1)*exp(I*2*pi*m*fo*t);end;hold on;subplot 212;plot(t*1000,real(X),'b');xlabel('时间(ms)');ylabel('X(t)');T = 0.005; % 时域长度5msfs = 100000; % 采样频率 10kHzn = round(T*fs)+1; %采样点数t = linspace(0,T,n);W = randn(1,n); % 高斯白噪声w0 = sqrt(2)*pi*df;h = -2 * w0 * exp( -w0*t ) .* cos( w0*t );Y = conv(W,h);As = T*Y(1:n);%生成时域信号对应的傅立叶变换z0=randn(1); z0=z0*sqrt(s(M+1));zplus=sqrt(s(M+2:2*M+1)/2).*(randn(1,M)+I*randn(1,M));zminus=conj(fliplr(zplus));z=[zminus z0 zplus];%做反傅立叶变换，求出时域信号，即窄带随机过程频域法高斯有色信号X(t) Ac(t) t = 0:dt:Td; %时长5msAs=zeros(1,length(t));for m=-M:MAs=As+z(m+M+1)*exp(I*2*pi*m*fo*t);end;figuresubplot 211plot(t,As)xlabel('时间(s)');ylabel('Z(t)');%合成信号X(t)t=0:dt:Td;X = X.*cos(2*pi*fc*t*1000) - As .*sin(2*pi*fc*t*1000 ); figure;subplot 211;plot(t*1000,real(X),'b');xlabel('时间(ms)');ylabel('X(t)');title('\fontsize{18}\sl 合成信号X(t)'); %定义图名。