电路第十章含有耦合电感的电路
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10章 含有耦合电感的电路
jω L2 (支路 支路3)L ± 同侧取 同侧取“ 支路 3=±M(同侧取“＋”,异 异
R2
侧取“ 侧取“－”) (支路 1’=L1 m M，M前所取符 支路1)L 支路 ， 前所取符 号与L 号与 3中的相反 (支路 2’=L2 m M，M前所取 支路2)L 支路 ， 前所取 符号与L 符号与 3中的相反
反相串联无互感等效电路
R1 u1 u M L1 R1 L1-M u1 R2 u2 L2 u R2 L2-M u2
Z = Z1 + Z 2 = R1 + R2 + jω ( L1 + L2 − 2 M )
R1
L1 u1
2、顺向串联 、 每一耦合电感支路的阻抗为： 每一耦合电感支路的阻抗为：
Z1 = R1 + jω ( L1 + M )
两个耦合线圈的磁通链可表示为： 两个耦合线圈的磁通链可表示为：
ψ 1 = ψ 11 ± ψ 12
= L1i1±Mi2
ψ 2 = ±ψ 21 + ψ 22
= ±Mi1+L2i2 上式表明， 上式表明 ， 耦合线圈中的磁通链与施感电流 线性关系 关系， 成 线性 关系 ， 是各施感电流独立产生的磁通链叠 加的结果。 加的结果。
di di u2 = R2i + ( L2 −M ) dt dt di = R2i + ( L2 − M ) dt
无互感等效电路
R1 u1 u M L1 R1 L1-M u1 R2 u2 L2 u R2 L2-M u2
di u = u1 + u 2 = ( R1 + R2 )i + ( L1 + L2 − 2 M ) dt
L1 N1 L2 N2
第十章含有耦合电感的电路-精选文档
d di u L dt dt
+
u _
在此电感元件中，磁链Ψ和感 应电压u均由流经本电感元件的电 流所产生，此磁链感应电压分别称 为自感磁链和自感电压。
2、互感：如图所示表示两个耦合电感，电流i1在线 圈1和2中产生的磁通分别为Φ11和Φ21，则Φ21≤Φ11。 这种一个线圈的磁通交链于另一线圈的现象，称为 磁耦合。电流i1称为施感电流。Φ11称为线圈1的自感 磁通，Φ21称为耦合磁通或互感磁通。如果线圈2的 匝数为N2，并假设互感磁通Φ21与线圈2的每一匝都 交链，则互感磁链为Ψ21＝N2Φ21。
§10-1 互感
耦合电感：耦合元件，储能元件，记忆元件。
一、耦合电感：为互感线圈的理想化电路模型
1 、自感：对于线性非时变电感元件，当电流的 参考方向与磁通的参考方向符合右螺旋定则时， 磁链Ψ与电流I满足Ψ＝Li，L为与时间无关的正实 常数。
根据电磁感应定律和线圈的绕向，若电压的参考 正极性指向参考负极性的方向与产生它的磁通的参 考方向符合右螺旋定则时，也就是在电压和电流关 联参考方向下，则
输入阻抗Z为
Z Z Z ( 8 j 4 ) 8 . 94 26 . 57 1 2
为： 50 0 V 令U ，解得 I
50 0 I U / Z A 5 . 59 26 . 57 A 8 . 94 26 . 57
第十章 含有耦合电感的电路
内容提要
本章主要介绍耦合电感中的磁耦合 现象、互感和耦合因数、耦合电感的同 名端和耦合电感的磁通链方程、电压电 流关系；还介绍含有耦合电感电路的分 析计算及空心变压器、理想变压器的初 步概念。
§10-1 互感 §10-2 含有耦合电感电路的计算 §10-3 空心变压器
第10章 含有耦合电感的电路
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2. 耦合电感的并联
i
M
①同侧并联
+
u
L1
di1 dt
M
di2 dt
u –
i1 * * i2
L1
L2
u
L2
di2 dt
M
di1 dt
i = i1 +i2
解得u, i 的关系：
u
(L1L2 M 2 ) L1 L2 2M
di dt
返回 上页 下页
等效电感：
Leq
(L1L2 M 2 ) L1 L2 2M
有了同名端，表示两个线圈相互作用时，就不
需考虑实际绕向，而只画出同名端及u、i参考方
向即可。
M
*
*
i1
+ u21 –
u21
M
di1 dt
M
* i1
* – u21 +
u21
M
di1 dt
返回 上页 下页
例 i1 M i2
+* *+ u_1 L1 L2 _u2
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
M
di1 dt
第10章 含有耦合电感的电路
本章重点
10.1 互感 10.2 含有耦合电感电路的计算 10.3 耦合电感的功率 10.4 变压器原理 10.5 理想变压器
首页
重点
1.互感和互感电压 2.有互感电路的计算 3.变压器和理想变压器原理
返回
10.1 互感
耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中， 如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整 流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟 悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件 的电路问题的分析方法是非常必要的。
2. 耦合电感的并联
i
M
①同侧并联
+
u
L1
di1 dt
M
di2 dt
u –
i1 * * i2
L1
L2
u
L2
di2 dt
M
di1 dt
i = i1 +i2
解得u, i 的关系：
u
(L1L2 M 2 ) L1 L2 2M
di dt
返回 上页 下页
等效电感：
Leq
(L1L2 M 2 ) L1 L2 2M
有了同名端，表示两个线圈相互作用时，就不
需考虑实际绕向，而只画出同名端及u、i参考方
向即可。
M
*
*
i1
+ u21 –
u21
M
di1 dt
M
* i1
* – u21 +
u21
M
di1 dt
返回 上页 下页
例 i1 M i2
+* *+ u_1 L1 L2 _u2
u1
L1
di1 dt
M
di2 dt
u2
M
di1 dt
第10章 含有耦合电感的电路
本章重点
10.1 互感 10.2 含有耦合电感电路的计算 10.3 耦合电感的功率 10.4 变压器原理 10.5 理想变压器
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重点
1.互感和互感电压 2.有互感电路的计算 3.变压器和理想变压器原理
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10.1 互感
耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中， 如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整 流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟 悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件 的电路问题的分析方法是非常必要的。
电路原理第十章含耦合电感电路
•
•
•
•
U R1 I1 +j L1 I1 －j M I 2
•
•
•
•
U R 2 I 2 +j L2 I 2 －j M I1
•
•
•
I I1 I2
根据前面的电路图，列写方程：
U (R1 jL1)I1 jMI2 Z1I1 ZM I2
U (R2 jL2 )I2 jMI1 Z2I2 ZM I1
Ψ21 Ψ22
Ψ11 Ψ12
Ψ21 Ψ22
i1 a + u1
i2
-b
c+
u2
d
i1 *a + u1 -b
i2 c + u2 -d *
(a)
(b)
说明耦合线圈的伏安关系用图
Ψ1=Ψ11 +Ψ12 Ψ2=Ψ22 +Ψ21
Ψ1=Ψ11 －Ψ12 Ψ2=Ψ22 －Ψ21
11
21
N1 i1
N2
+ u11 – + u21 –
同名端与两个线圈的绕向和相对位置有关。
11
s
0
N1 i1 * •
+ u11 –
N2
N3
*
•
+ u21 – – u31 +
i
1*
*2
1•*
2
3
1'
2'
1'
2'*
3' •
两个以上线圈彼此耦合时，同名端应一对一对加以标记。 如果每个电感都有电流时，每个电感的磁通链等于自感磁 通链和所有互感磁通链的代数和。
通链Ψ22 。22 部分或全部与线圈1相链，产生线圈2对线圈
第十章含耦合电感的电路
若使输出功率达到最大，问变压比为多少？此时输 出功率等于多少？
r R
E
(a)
r R
E
(b)
直接连接
P
I
2
R
E R
r
2
R
8
6 100
2
8
25mW
用匝比为n = 3的变压器耦合
扬声器的反射阻抗
R'
N1 N2
2
R
300 100
i1 * N1
n :1
i2
பைடு நூலகம்
+
N2
u2
*
－
实际变压器与理想变压器近似的条件
变压器原、副边线圈自电感 ：L1、L2 耦合电感 ： M k L1L2 近似条件： k M 1 L1、L2很大
L1L2
n n1 n2
例题
一个理想变压器的额定值是2400V/120V，9.6kVA且 在次级有50匝。计算：（a）匝数比，（b）初级的匝 数，（c）初级绕组和次级绕组的额定电流值。
原、副边匝比： 初级匝数：
n V1 2400 20 V2 120
n1 n 50 2050 1000 匝
初级绕组和次级绕组的额定电流值
I1
9600 V1
9600 2400
4A
I2
9600 V2
9600 120
80A
例题
求负载的端电压 U 2。
副边电压、电流关系。 配合电阻元件等，可模拟实际变压器
r R
E
(a)
r R
E
(b)
直接连接
P
I
2
R
E R
r
2
R
8
6 100
2
8
25mW
用匝比为n = 3的变压器耦合
扬声器的反射阻抗
R'
N1 N2
2
R
300 100
i1 * N1
n :1
i2
பைடு நூலகம்
+
N2
u2
*
－
实际变压器与理想变压器近似的条件
变压器原、副边线圈自电感 ：L1、L2 耦合电感 ： M k L1L2 近似条件： k M 1 L1、L2很大
L1L2
n n1 n2
例题
一个理想变压器的额定值是2400V/120V，9.6kVA且 在次级有50匝。计算：（a）匝数比，（b）初级的匝 数，（c）初级绕组和次级绕组的额定电流值。
原、副边匝比： 初级匝数：
n V1 2400 20 V2 120
n1 n 50 2050 1000 匝
初级绕组和次级绕组的额定电流值
I1
9600 V1
9600 2400
4A
I2
9600 V2
9600 120
80A
例题
求负载的端电压 U 2。
副边电压、电流关系。 配合电阻元件等，可模拟实际变压器
第10章含有耦合电感的电路37072共42页
i1 +
i2 +
L1
L2
- - u1
M
di2 dt
+
–
-
+
M
di1 dt
–
u2
-
i2
注意受控电压源 （即互感电压）的 极性问题
12
相量模型：耦合电感的受控电源模型
i1
+
u 1 L1
-
M
L2
+ i2
+
•
U1
u2
-
-
•
I1
jωL1
•+
jM I2
-
•
I2
+
jω L2
•
U2
+
•
jM I1
-
-
•
•
•
U1 jωL1 I1 jωM I2
jωM
•
I
.
.
R1
+
jωL1
U1 -
jωL2 R2
a
b
16
• 解：1、求开路电压
•+
U1 -
•
I
.
jωM
.
R1
jωL1
jωL2 R2
•
•
•
U oc R2 I jωM I
•
( R2
jωM ) R1
U1 jωL1 R2
300V
a +
•
U oc
b-
17
• 2、求等效阻抗
Jω(L1-M) R1
+ uL11
*
L2
+ u2 u
-
10-23含有耦合电感的电路-PPT课件
同名端的实验测定：
R
+
US -
S
1 i1 *
1'
i
2 *
2'
i2=0
+ V –
图中 US表示直流电源，例如1.5V干电池。V表示高内阻直 流电压表，当开关闭合时，电流由零急剧增加到某一量值，电 流对时间的变化率大于零，即 d i1 0 。 dt d i 如果发现电压表指针正向偏转，说明 u u M 1 0
d i 1 u M 21 21 d t
d i 1 u M 31 31 d t
注意
线圈的同名端必须两两确定。
确定同名端的方法：
(1)当两个线圈中电流同时由同名端流入(或流出)时，两个电 流产生的磁场相互增强。 例 1* 1'
i
*2 2'
* 1 1'
2
3 3'
2'*
(2)当随时间增大的时变电流从一线圈的一端流入时，将会 引起另一线圈相应同名端的电位升高。
4.互感线圈的同名端
对自感电压，当u, i 取关联参考方向，u、i与 符合 右螺旋定则，其表达式为：
d Ψ d Φ d i 11 11 1 u N L 11 1 1 d t d t d t
i1 + u11 –
上式说明，对于自感电压由于电压电流为同一线圈上的， 只要参考方向确定了，其数学描述便可容易地写出，可不 用考虑线圈绕向。
k
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
def
M 1 L1L2
11= 21 ，22 =12
2 M M ( Mi )( Mi ) 1 2 12 21 k 1 L L L i L i L L 1 2 1 1 2 2 11 22 1 2
电路第10章---含有耦合电感的电路讲解
§10.1 互感耦合电感元件属于多端元件，在实际电路中，如收音机、电视机中的中周线圈、振荡线圈，整流电源里使用的变压器等都是耦合电感元件，熟悉这类多端元件的特性，掌握包含这类多端元件的电路问题的分析方法是非常必要的。
1. 互感两个靠得很近的电感线圈之间有磁的耦合，如图10.1所示，当线圈1中通电流 i 1 时，不仅在线圈1中产生磁通f 11，同时，有部分磁通 f 21 穿过临近线圈2，同理，若在线圈2中通电流i 2 时，不仅在线圈2中产生磁通f 22，同时，有部分磁通 f 12 穿过线圈1，f 12和f 21称为互感磁通。
定义互磁链：图 10.1ψ12 = N 1φ12 ψ21 = N 2φ21当周围空间是各向同性的线性磁介质时，磁通链与产生它的施感电流成正比，即有自感磁通链：互感磁通链：上式中 M 12 和 M 21 称为互感系数，单位为（H ）。
当两个线圈都有电流时，每一线圈的磁链为自磁链与互磁链的代数和：需要指出的是：１）M 值与线圈的形状、几何位置、空间媒质有关，与线圈中的电流无关，因此，满足M12 =M21 =M２）自感系数L 总为正值，互感系数 M 值有正有负。
正值表示自感磁链与互感磁链方向一致，互感起增助作用，负值表示自感磁链与互感磁链方向相反，互感起削弱作用。
2. 耦合因数工程上用耦合因数k 来定量的描述两个耦合线圈的耦合紧密程度，定义一般有：当k =1 称全耦合，没有漏磁，满足f11 = f21，f22 = f12。
耦合因数k 与线圈的结构、相互几何位置、空间磁介质有关。
3. 耦合电感上的电压、电流关系当电流为时变电流时，磁通也将随时间变化，从而在线圈两端产生感应电压。
根据电磁感应定律和楞次定律得每个线圈两端的电压为：即线圈两端的电压均包含自感电压和互感电压。
在正弦交流电路中，其相量形式的方程为注意：当两线圈的自感磁链和互感磁链方向一致时，称为互感的“增助”作用，互感电压取正；否则取负。
第十章 含有耦合电感的电路讲解
ZM Z11
U1
求Zeq，将独立源置零：
得：Zeq
U 2 I2
Z 22
M 2
Z11I1 ZM I2 U1 — —① ZM I1 Z22I2 0 — —②
目的：寻求原副边等效电路。
1、原边等效电路：
由方程②得： ③代入①得：
I1
I2
Z11
ZM
Z
ZZ22M
M Z22
I1
U1
③
Z1
铁芯的作用：增大导磁率μ，减小漏磁损耗.
3、空心变压器： 没有铁芯的变压器，原副绕组绕在非铁磁材料制成的骨架上； 铁芯变压器：K≈1； 空心变压器：K很小——最大特点：电磁特性为线性；
空心变压器电路模型
二、空心变压器的特性方程
R1 jL1I1 jMI2 U1
jMI1 R2 RL jL2 jX I2 0
可见：公共端为异名端时， 可从公共端抽出一个－M，原来的 两个电感变为：L1+M，L2+M；
2、互感线圈的并联
2、互感线圈的并联（同侧并联和异侧并联） 再用互感消去法看串联两种情况：
Z R1 R2 jL1 L2 2M Z R1 R2 jL1 L2 2M
U1 I1
Z11
ZM 2 Z22
Z11
M 2
Z22
M
Z22
2
的物理意义：原边施I1，由于互感的作用（磁的
耦合）
将副边阻抗反映到原边的等效阻抗。
引入阻抗的性质与Z22相反，即感性变为容性
2、副边等效电路
第十章含耦合电感的电路分析
2. 同名端在异侧
i
M
+
i1 *
i2
u
L1
L2
–
*
uL1
di1 dt
Mdi2 dt
uL2
di2 dt
Mdi1 dt
i = i1 +i2
解得u, i的关系： u (L1L2 M2) di L1 L2 2Mdt
LeqL (L 11LL 22M 2M 2) 0
§3. 互感电路的分析方法和计算举例
一.互感消去法（去耦等效）
•
I1
+
j L1
•
U1
+
•
jωM I 2
–
–
•
I2
+
j L2
•
+
U2
•
jωM I 1
–
–
* 能否画出压控电流源模型 ** 有何条件限制 (考虑 k )
三.计算举例：
1. 已知如图，求入端阻抗 Z=?
MR º
** L1 L2
º
º
L1-M
L2 -M
M º
法一：端口加压求流 C
法二：去耦等效
R C
2. 列写下图电路的方程。
* 顺接一次，反接一次，就可以测出互感：
M L顺 L反 4
二、互感线圈的并联
1. 同名端在同侧
i
M
+ห้องสมุดไป่ตู้
i1 * * i2
u
L1
L2
–
uL1
di1 dt
Mdi2 dt
uL2
di2 dt
Mdi1 dt
i = i1 +i2
解得u, i的关系： u (L1L2 M2) di L1 L2 2Mdt
第10章 含有耦合电感的电路
i
R1
L1 u1
i
R1
u1
L1
u
M
R2 u2
u
M R2 u2
L2
L2（a）顺向串联电路（来自）反向串联电路1、计算公式
对于反向串联电路，按图示参考方向，列写 KVL方程为： di di
u 1 R 1 i ( L1 M )
i
R1 u1
L1
dt
dt di dt di dt di dt )
R 1 i ( L1 M ) u 2 R2i ( L2 di dt
1 L1 i1 M i 2
2
M i1 L 2 i 2
i L 例1：下图中，i1 1 0 A ，2 5 co s(1 0 t ) A ，1 2 H ， L M 求 2 3 H ， 1H 。求两耦合线圈中的磁通链。
1
i1
M
i2
2
L2 u2 2’
1 1 L1 i1 2 0 W b
U j M I 3 [ R 1 j ( L1 M )] I 1 U j M I 3 [ R 2 j ( L 2 M )] I 2
根据上述方程可以给出一个无互感的等效电路， 如右下图所示：
I3
j M
I3
I2
j M
I1
解：
1 L1 i1 M i 2 [ 2 0 5 co s(1 0 t )]W b
2
M i1 L 2 i 2 [1 0 1 5 co s(1 0 t )]W b
u 1 L1 u2 M
R1
L1 u1
i
R1
u1
L1
u
M
R2 u2
u
M R2 u2
L2
L2（a）顺向串联电路（来自）反向串联电路1、计算公式
对于反向串联电路，按图示参考方向，列写 KVL方程为： di di
u 1 R 1 i ( L1 M )
i
R1 u1
L1
dt
dt di dt di dt di dt )
R 1 i ( L1 M ) u 2 R2i ( L2 di dt
1 L1 i1 M i 2
2
M i1 L 2 i 2
i L 例1：下图中，i1 1 0 A ，2 5 co s(1 0 t ) A ，1 2 H ， L M 求 2 3 H ， 1H 。求两耦合线圈中的磁通链。
1
i1
M
i2
2
L2 u2 2’
1 1 L1 i1 2 0 W b
U j M I 3 [ R 1 j ( L1 M )] I 1 U j M I 3 [ R 2 j ( L 2 M )] I 2
根据上述方程可以给出一个无互感的等效电路， 如右下图所示：
I3
j M
I3
I2
j M
I1
解：
1 L1 i1 M i 2 [ 2 0 5 co s(1 0 t )]W b
2
M i1 L 2 i 2 [1 0 1 5 co s(1 0 t )]W b
u 1 L1 u2 M
第十章--含有耦合电感的电路
正值表示自感磁链与互感磁链方向一致，互感起
增助作用，负值表示自感磁链与互感磁链方向相 反，互感起削弱作用。
2024年7月17日星期
11
三
3. 同名端的概念及其判断方法！
通过线圈的绕向、 位置和施感电流的
F12
参考方向，用右手
螺旋法则，就可以 F11 判定互感是“增助”
还是“削弱” 。
但实际的互感线圈 往往是封闭的，看 不出绕向；
三
§10-1 互感
1. 互感的概念 一个电感线圈的情况
L1 N1
i1产生的磁通为F11。
i1与F11的参考方向符 F11
合右手螺旋法则，为
关联的参考方向。
i1
1' -
u11
1 +
F11穿越自身线圈时，
产生的自感磁通链用
若u11与i1取关联参考方向
Y11表示：Y11= L1i1
当i1变化时，将产生 自感电压u11。
第十章 含有耦合电感的电路
学习要点 熟练掌握互感的概念； 具有耦合电感电路的计算方法：
①直接列写方程的支路法或回路法。 ②受控源替代法。 ③互感消去法。 掌握空心变压器和理想变压器的应用。
2024年7月17日星期
1
三
重点
互感和互感电压的概念及同名端的含义； 含有互感电路的计算； 空心变压器和理想变压器的电路模型。
名端要用不同的符号一对一对标记。
L2
M
L1 *
* L2
2'பைடு நூலகம்
1 i1
+
M
i2 2
+
M
L3 M
u1
-
L1
1'
《电路理论教学课件》第10章 含有耦合电感的电路
L2
2M
) di dt
Ri
L di dt
R R1 R2
L L1 L2 2M
L L1 L2 2M 0
M
1 2
( L1
L2
)
互感不大于两个自感的算术平均值。
在正弦激励下：反串
•
- jM I
•
j M
I R1 • j L1 R2
+
•
U1
+
消互感
–+ •
U
j L2 •
•
U2
–
–
•
U
•
•
Lc = －M La =L1 ＋ M Lb = L2 ＋ M
j La
•
U
R1
–
I2
j Lb R2
三、一般分析法(采用支路法、回路法直接列方程) 支路法、回路法：因为互感电压可以直接计入KVL方程中。
含互感的电路，直接用节点法列写方程不方便。 关键：正确考虑互感电压作用（要注意正负号，不要漏项。）
例 10-3. I1
4
* 全耦合 M L1L2
L L1 L2 2M L1 L2 2 L1 L2 ( L1 L2 )2
当 L1=L2 时 , M=L
4M L=
0
顺接 反接
二、互感线圈的并联
a. 同侧并联
•
•
•
U （R1 jL1）I 1 jM I 2
•
•
•
U （R2 jL2）I 2 jM I 1
已知：R1=3， R2=5
L1 7.5, L2 12.5, M 6
R1
求K闭合后各支路电流
U 500
jM
I2
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则，自感磁通和互感磁通方感向磁通方向相反，故1，3端
.. . . .. .. . . .. 一致，故1，4是同名端，（不2是，同名端，1，4是同名端，
3也是同名i1 端） i2 （2，3也是同名端i1 ） i2
1 23 4
1 23 4
同名端只与线圈的绕向有关，与电流方向无关。 只要知道线圈的绕向，就能标出同名端。
L L1L2 M2 L1 L2 2M
M2 L1L2
M L1L2 M L1 L2
2
几何平均值（小） 算术平均值（大）
除非两电感相同，一般：几何平均值< 算术平均值
∴用几何平均值求M更严格
∴互感M必须满足 M L1L2 的要求 ∴ M的最大值 Mmax L1L2
3.耦合系数 k M M max
最大值
i(t)
••
u ( t ) L1 L2
i(t)
u(t)
L1 -
di
M
dt +
L2
+
M
di
- dt
utL1d d ti Md d ti L2d d ti Md dti
L1
L2
2Mdi
dt
L
di dt
反接时，串联电感值为
LL1L22M
电感贮能 WL 12LiL2 0
即L一定为正值
L1L22M
M L1 L2 2
实际值
M L1 L 2
0k1
k 反应了磁通相耦合的程度
k=1 k→1 k<0.5 k=0
全耦合
线圈中电流产生的磁通全部与另一个线 圈交链达到使M无法再增加
紧耦合，强耦合
松耦合，弱耦合
无耦合
4.耦合电感的T型等效
（1） 同名端为共端的T型去耦等效
i1 M
i2
u1
••
L1
L2
u2
等效T型
i1 La
M不能为任意值
2.耦合电感的并联
（1） 同侧并联
i
M
+
i1Βιβλιοθήκη i2uL1
L2
–
又 i = i1 +i2
解得u, i 的关系：
所以等效电感：
LeqL(1L1LL22M 2M 2) 0
而不是
L L1L2 L1 L2
b)异侧并联
i(t)
ut L1
L2
M
已知:
同理 等效电感 电感必须为正值 L1L2M20
同时，有部分磁通穿过临近线圈2，这部分磁通称为互感磁通。两
线圈间有磁的耦合。
2.电感元件
电流产生磁通
iL L
+
uL
(t)
-
uL
L
diL dt
磁链
(t)N(t)
(N为线圈的匝数）
当线圈周围的媒质为非铁磁物质时 tLLit
当电流随时间变化时就产生感应电压
uL
dLdLi dt dt
3.耦合电感
i1
u1 L1
1 .耦合电感的串联
顺接
i(t)
(异名端相接)
•
u ( t ) L1 L• 2
i(t)
u(t)
M
L1 di +
L2
-
M
di
dt -
+ dt
utL 1d d tiM d d tiL 2d d tiM d dti
L1
L22Mdd
i t
L
di dt
顺接时串联电感值为L=L1+L2+2M
反接
（同名端相接）
1
2 i2
磁场
耦合
L2
1L 1 i1M 1i2 2
2L 2i2M 2i1 1
u2
自感磁链 互感磁链
自向圈感可的磁能绕链一行与致方,互向可M 感及能互磁相相M 感链互1 反2的位 ,取M 参置决2.考1于方线
根据电磁感应定律：
u1(t)
d1 dt
L1
d1i Mdi2 dt dt
u2
(t)
d2 dt
i2 +
L2 u2 •-
u1
L1
di1 dt
M di 2 dt
u2
L2
di2 dt
M di1 dt
u1
L1
di1 dt
M di 2 dt
u2
L2
di2 dt
M di1 dt
自感电压为正：
互感电压为正：
同端口u,i取关联方向
同端口u,i取关联方向
(c)
i1
+ u1
•
L1
-
+ L2 u2 •-
L1 - M u 1 i1
. Lc i
L2 - M 2
Lb i2 u 2
M
.
u1
L1
d1iMd2i dt dt
u1Lad d1itLbd(i1dit2)(LaLb)dd1itLb
L2
di2 dt
Md1i dt
自感电压
互感电压
耦合电感是动态元件，用L1，L2，M三个参数表示。
4.互感线圈的同名端
当两个电流分别从两个线圈的对应端口同时流入或 流出，若所产生的磁通相互加强时，则这两个对应端 口称为两互感线圈的同名端。
例10.1：标出耦合线圈的同名端。
解：
. .. .
1 23 4
10.2 含有耦合电感电路的计算
i1
•
u1 L1
i2
•
L2 u2
互感电压
u1
L1
d1iMd2i dt dt
互感电压
u2
L2
d2i Md1i dt dt
(互感电压用电压源代替）
i1
+
i2
+
u1
M
di
2
L1
+
互感+电L 2M互压感dui 12电压
- dt -
- d-t
M的影响通过电压源考虑进去了 同名端无意义了，L1、L2成为纯电感 ∴在等效电路图中M与同名端都不标了
i1,i2都从同名端流入或流出
u1
L1
d1iMd2i dt dt
u2
L2
d2i Md1i dt dt
i2
(d)
i1
+ u1
•
L1
-
i2
+
•
L2
u2
-
u1
L1
d1iMd2i dt dt
u2
L2
d2iMd1i dt dt
(e)
i1
+ u1
•
L1
-
i2=0 +
L2 u2 •-
u1
L1
di1 dt
u2
M
di1 dt
互感磁通 自感磁通
自感磁通互感磁通
.. . . .. .. . . .. 电 用 磁 端电相流右通，流当自ii手方（1i与感111由由法向1由磁，21则一4端端通24端，致也流流互流3自，是入入感入i2感故同，，磁，4磁2名ii22，通用由由通端电用磁端3右33和是）端流右通，端手互同电用流手方（i流1法由感名流右入法向2出，2i手，则相，1端，3法，反也流i2则自，是分入自i，感故同1别，1感自磁名1由i2，由磁感通端142，4通磁和）是端i32通互同3端流互和感名流入感互4入，磁i2，通
u1tL1dd1itMdd2it
u2tL2
d2iMd1i dt dt
自感电压为正： 同端口上的u,i取关联方向
互感电压为正：
例10.1：
i1
(a)
+ u1
•
L1
-
i1
(b)
+ u1
•
L1
-
同端口上的u,i取关联方向 （若两项都不满足 i1,i2都从同名端流入或流出 也取正）
i2 +
L2 u2 •-
第10章 含有耦合电感的电路
耦合电感和理想变压器与受控源一样都属于耦合元件，
都由一条以上支路组成。
耦合电感
记忆元件
贮能元件
理想变压器 非记忆元件 不贮能 不耗能
10.1 互感
1.互感
11
21
i1
N1
N2
+ u11 – + u21 –
线圈1中通入电流i1时，在线圈1中产生磁通(magnetic flux)，
.. . . .. .. . . .. 一致，故1，4是同名端，（不2是，同名端，1，4是同名端，
3也是同名i1 端） i2 （2，3也是同名端i1 ） i2
1 23 4
1 23 4
同名端只与线圈的绕向有关，与电流方向无关。 只要知道线圈的绕向，就能标出同名端。
L L1L2 M2 L1 L2 2M
M2 L1L2
M L1L2 M L1 L2
2
几何平均值（小） 算术平均值（大）
除非两电感相同，一般：几何平均值< 算术平均值
∴用几何平均值求M更严格
∴互感M必须满足 M L1L2 的要求 ∴ M的最大值 Mmax L1L2
3.耦合系数 k M M max
最大值
i(t)
••
u ( t ) L1 L2
i(t)
u(t)
L1 -
di
M
dt +
L2
+
M
di
- dt
utL1d d ti Md d ti L2d d ti Md dti
L1
L2
2Mdi
dt
L
di dt
反接时，串联电感值为
LL1L22M
电感贮能 WL 12LiL2 0
即L一定为正值
L1L22M
M L1 L2 2
实际值
M L1 L 2
0k1
k 反应了磁通相耦合的程度
k=1 k→1 k<0.5 k=0
全耦合
线圈中电流产生的磁通全部与另一个线 圈交链达到使M无法再增加
紧耦合，强耦合
松耦合，弱耦合
无耦合
4.耦合电感的T型等效
（1） 同名端为共端的T型去耦等效
i1 M
i2
u1
••
L1
L2
u2
等效T型
i1 La
M不能为任意值
2.耦合电感的并联
（1） 同侧并联
i
M
+
i1Βιβλιοθήκη i2uL1
L2
–
又 i = i1 +i2
解得u, i 的关系：
所以等效电感：
LeqL(1L1LL22M 2M 2) 0
而不是
L L1L2 L1 L2
b)异侧并联
i(t)
ut L1
L2
M
已知:
同理 等效电感 电感必须为正值 L1L2M20
同时，有部分磁通穿过临近线圈2，这部分磁通称为互感磁通。两
线圈间有磁的耦合。
2.电感元件
电流产生磁通
iL L
+
uL
(t)
-
uL
L
diL dt
磁链
(t)N(t)
(N为线圈的匝数）
当线圈周围的媒质为非铁磁物质时 tLLit
当电流随时间变化时就产生感应电压
uL
dLdLi dt dt
3.耦合电感
i1
u1 L1
1 .耦合电感的串联
顺接
i(t)
(异名端相接)
•
u ( t ) L1 L• 2
i(t)
u(t)
M
L1 di +
L2
-
M
di
dt -
+ dt
utL 1d d tiM d d tiL 2d d tiM d dti
L1
L22Mdd
i t
L
di dt
顺接时串联电感值为L=L1+L2+2M
反接
（同名端相接）
1
2 i2
磁场
耦合
L2
1L 1 i1M 1i2 2
2L 2i2M 2i1 1
u2
自感磁链 互感磁链
自向圈感可的磁能绕链一行与致方,互向可M 感及能互磁相相M 感链互1 反2的位 ,取M 参置决2.考1于方线
根据电磁感应定律：
u1(t)
d1 dt
L1
d1i Mdi2 dt dt
u2
(t)
d2 dt
i2 +
L2 u2 •-
u1
L1
di1 dt
M di 2 dt
u2
L2
di2 dt
M di1 dt
u1
L1
di1 dt
M di 2 dt
u2
L2
di2 dt
M di1 dt
自感电压为正：
互感电压为正：
同端口u,i取关联方向
同端口u,i取关联方向
(c)
i1
+ u1
•
L1
-
+ L2 u2 •-
L1 - M u 1 i1
. Lc i
L2 - M 2
Lb i2 u 2
M
.
u1
L1
d1iMd2i dt dt
u1Lad d1itLbd(i1dit2)(LaLb)dd1itLb
L2
di2 dt
Md1i dt
自感电压
互感电压
耦合电感是动态元件，用L1，L2，M三个参数表示。
4.互感线圈的同名端
当两个电流分别从两个线圈的对应端口同时流入或 流出，若所产生的磁通相互加强时，则这两个对应端 口称为两互感线圈的同名端。
例10.1：标出耦合线圈的同名端。
解：
. .. .
1 23 4
10.2 含有耦合电感电路的计算
i1
•
u1 L1
i2
•
L2 u2
互感电压
u1
L1
d1iMd2i dt dt
互感电压
u2
L2
d2i Md1i dt dt
(互感电压用电压源代替）
i1
+
i2
+
u1
M
di
2
L1
+
互感+电L 2M互压感dui 12电压
- dt -
- d-t
M的影响通过电压源考虑进去了 同名端无意义了，L1、L2成为纯电感 ∴在等效电路图中M与同名端都不标了
i1,i2都从同名端流入或流出
u1
L1
d1iMd2i dt dt
u2
L2
d2i Md1i dt dt
i2
(d)
i1
+ u1
•
L1
-
i2
+
•
L2
u2
-
u1
L1
d1iMd2i dt dt
u2
L2
d2iMd1i dt dt
(e)
i1
+ u1
•
L1
-
i2=0 +
L2 u2 •-
u1
L1
di1 dt
u2
M
di1 dt
互感磁通 自感磁通
自感磁通互感磁通
.. . . .. .. . . .. 电 用 磁 端电相流右通，流当自ii手方（1i与感111由由法向1由磁，21则一4端端通24端，致也流流互流3自，是入入感入i2感故同，，磁，4磁2名ii22，通用由由通端电用磁端3右33和是）端流右通，端手互同电用流手方（i流1法由感名流右入法向2出，2i手，则相，1端，3法，反也流i2则自，是分入自i，感故同1别，1感自磁名1由i2，由磁感通端142，4通磁和）是端i32通互同3端流互和感名流入感互4入，磁i2，通
u1tL1dd1itMdd2it
u2tL2
d2iMd1i dt dt
自感电压为正： 同端口上的u,i取关联方向
互感电压为正：
例10.1：
i1
(a)
+ u1
•
L1
-
i1
(b)
+ u1
•
L1
-
同端口上的u,i取关联方向 （若两项都不满足 i1,i2都从同名端流入或流出 也取正）
i2 +
L2 u2 •-
第10章 含有耦合电感的电路
耦合电感和理想变压器与受控源一样都属于耦合元件，
都由一条以上支路组成。
耦合电感
记忆元件
贮能元件
理想变压器 非记忆元件 不贮能 不耗能
10.1 互感
1.互感
11
21
i1
N1
N2
+ u11 – + u21 –
线圈1中通入电流i1时，在线圈1中产生磁通(magnetic flux)，