在概率的计算中的排列组合
排列组合发现规律与推算策略
排列组合发现规律与推算策略排列组合是组合数学中的一种重要概念，它在数学、计算机科学、统计学等领域中都有广泛的应用。
在这篇文章中，我将向大家介绍排列组合的基本概念，并探讨如何使用排列组合发现规律和推算策略。
排列是指从一组元素中选取若干个元素，按照一定的顺序进行排列的过程。
组合则是指从一组元素中选取若干个元素，不考虑顺序。
例如，从1、2、3这三个元素中，选择2个元素进行排列，可以得到排列组合数为6，即{(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}。
而选择2个元素进行组合，则有组合组数为3，即{(1,2),(1,3),(2,3)}。
排列组合的发现规律和推算策略是数学中研究和解决实际问题的重要方法。
通过排列组合的计算，我们可以从现象中发现规律，并进一步推算未知的结果。
在概率统计中，例如投掷骰子，我们可以通过排列组合计算出投掷两次获得相同点数的可能性。
除此之外，排列组合还广泛应用于密码学、图论和优化问题等领域。
在密码学中，排列组合被用于生成密钥和加密算法的设计。
在图论中，排列组合方法可以帮助我们发现图的结构和属性。
在优化问题中，排列组合可以用来找到最优解或者求解最大值最小值。
当我们面临一个实际问题时，可以通过观察和分析问题的特点，运用排列组合的方法去解决。
例如，在求解买彩票中的中奖可能性时，我们可以使用排列组合来计算中奖号码的组合数目。
在安排赛程时，我们可以利用排列组合的方法来生成各个队伍之间的比赛轮次。
此外，如何运用排列组合的方法进行求解也是需要一定策略的。
对于大问题，我们可以将其分解为多个小问题，再通过排列组合的方法求解每个小问题，最后将结果组合起来得到整体的解答。
同时，我们也可以通过推理和归纳的方法，发现问题的规律，从而推算出未知的结果。
总而言之，排列组合是一种重要的数学工具，它不仅能够帮助我们发现规律，解决实际问题，还可以用于优化和求解最优解的过程。
通过运用排列组合的方法和策略，我们可以更好地理解问题的本质，提高解决问题的效率。
排列组合概率与算法
3)整除与余数问题问题 4)近似问题
附：排列数组合数部分性质：
1
Anm
n
Am1 n 1
n m 1
Am1 n
A A 2 m2 n n2
Ann Amm
n! m!
Cnm
Amm
n, m N , n m
2 n 1! n 1 n! n n!n! n n! n 1!n!
2）知概率求概率问题：弄清复合事件的类型
事件和（互斥事件只是一个发生）、事件积 （相互独立事件同时发生）、n次独立实验中某 事件发生k次的概率
例、电报信号由“.”与“-”组成，设发报台传送 “.”与“-”之比为3：2，由于通讯系统存在干扰， 引起失真，传送“.”时失真的概率为0.2（传送 “.”而收到“-”），传送“-”时失真的概率为0.1. 若收报台收到信号“.”，求发报台确实发出“.” 的概率
N 0,1 u N u, 2
排列组合与排列数和组合数
复习排列、组合的定义及排列数和 组合数的计算
一、基本内容 1、计数原理：加法原理(分类)与乘法原理(分步) 使用原则：先分类后分步 应用示例 流量问题等\染色、花坛问题等等
2、排列与组合 1）排列与组合定义
2）排列数与组合数
公式：Anm=
Cnm=
注意问题：(1) 上下标的特点 (2)定义值 (3)排列 数与组合数性质；必胜429页例1、2
2、概率及其计算
1)等可能事件的概率计算方法
2)几何概型的计算方法
3)条件概率及其计算
4)连续型随机事件的概率的计算：积分
3、基本公式
1)古典概率
PA
m n
2)互斥事件的概率 PA B PA PB
组合数公式大全
组合数公式大全组合数公式是组合数学中重要的概念，它们在概率论、统计学、离散数学等领域都有广泛的应用。
组合数公式可以用来计算从n个不同元素中取出r个元素的组合数，它们的计算方法多种多样，其中包括排列组合公式、二项式定理、组合数的递推关系等。
接下来，我们将详细介绍组合数公式的各种计算方法，让我们一起来深入探讨。
一、排列组合公式排列组合公式是组合数学中最基本的概念之一，它用于计算从n个不同元素中取出r个元素的组合数。
排列组合公式的计算公式如下：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)C(n, r)表示从n个不同元素中取出r个元素的组合数，n!代表n的阶乘，即n*(n-1)*(n-2)*...*1，r!代表r的阶乘，(n-r)!代表n-r的阶乘。
二、二项式定理二项式定理是组合数学中的一个重要定理，它用于计算二项式展开式中各项的系数。
二项式定理的公式如下：(a+b)^n = C(n,0)*a^n*b^0 + C(n,1)*a^(n-1)*b^1 + ... + C(n,r)*a^(n-r)*b^r + ... + C(n,n)*a^0*b^n(a+b)^n表示(a+b)的n次幂展开式，C(n,r)表示从n个不同元素中取出r个元素的组合数。
从上述公式可以看出，二项式定理可以用来计算二项式展开式中各项的系数，因此它在代数学和离散数学中有着广泛的应用。
三、组合数的递推关系组合数的递推关系是一种用来计算组合数的方法，它可以在一定程度上简化计算过程。
组合数的递推关系公式如下：C(n, r) = C(n-1, r-1) + C(n-1, r)C(n, r)表示从n个不同元素中取出r个元素的组合数，根据递推关系可以得到不同组合数之间的关系，从而简化计算过程。
以上介绍了排列组合公式、二项式定理和组合数的递推关系，它们是组合数学中常用的计算方法，对于理解和应用组合数具有重要的意义。
通过深入学习这些公式和定理，我们可以更好地理解组合数的概念，并且在实际问题中灵活运用。
排列组合公式
排列组合公式在我们的日常生活和学习中，经常会遇到需要计算可能性数量的情况。
比如，从一堆物品中挑选出几个，或者安排人员的座位顺序等等。
而解决这些问题，就离不开排列组合公式。
首先，我们来了解一下什么是排列。
排列指的是从给定的元素集合中，按照一定的顺序选取若干个元素进行排列。
举个例子，假如有 5个不同的字母 A、B、C、D、E，从中选取 3 个进行排列，那么就有5×4×3 ＝ 60 种不同的排列方式。
排列的公式为：A(n, m) ＝ n! ／（n m)！这里的“n”表示元素的总数，“m”表示选取的元素个数。
“！”表示阶乘，例如5! ＝5×4×3×2×1。
接下来，我们再看看组合。
组合则是指从给定的元素集合中，不考虑顺序地选取若干个元素。
还是用上面 5 个字母的例子，如果从中选取 3 个字母组成一组，不考虑它们的排列顺序，那么组合的数量就会比排列少。
因为像 ABC、ACB、BAC 等，在组合中都被视为同一种情况。
组合的公式是：C(n, m) ＝ n! ／ m!×（n m)！为了更好地理解排列组合公式，我们来看几个实际的例子。
假设一个班级有 10 名学生，要选出 3 名学生参加比赛。
这里用组合公式 C(10, 3) ＝ 10! ／（3!×7!）＝ 120 ，即有 120 种不同的选法。
如果这3 名学生有不同的比赛项目，并且需要考虑他们参赛的顺序，那么就要用排列公式 A(10, 3) ＝ 10! ／ 7! ＝ 720 ，就有 720 种不同的安排方式。
再比如，从一副扑克牌（除去大小王，共 52 张）中抽取 5 张牌，计算有多少种不同的组合。
这里就是 C(52, 5) ＝ 52! ／（5!×47!），通过计算可以得出具体的组合数量。
排列组合公式在很多领域都有着广泛的应用。
在概率论中，计算随机事件发生的可能性；在密码学中，用于生成复杂的密码组合；在数学竞赛中，解决各种计数问题；在计算机科学中，优化算法和数据结构。
排列组合a的计算方法
排列组合a的计算方法排列组合是高中数学中的一个重要概念，也是数学中的一种常见计算方法。
在实际生活中，排列组合的应用非常广泛，比如在概率统计、组合数学、计算机算法等领域都有着重要的作用。
本文将介绍排列组合a的计算方法，希望能够帮助大家更好地理解和运用排列组合的知识。
首先，我们来介绍一下排列的概念。
排列是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序进行排列，共有多少种不同的排列方式。
排列的计算公式为P(n,m)=n!/(n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即n!=n×(n-1)×(n-2)×...×2×1。
这个公式的意义在于，首先从n个元素中选取第一个元素有n种选择，然后从剩下的n-1个元素中选取第二个元素有n-1种选择，依次类推，直到选取第m个元素，共有n×(n-1)×(n-2)×...×(n-m+1)种选择。
因此，排列的计算方法就是利用这个公式来计算排列的种类数。
接下来，我们来介绍一下组合的概念。
组合是指从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，不考虑元素的顺序，共有多少种不同的取法。
组合的计算公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)。
这个公式的意义在于，首先从n个元素中选取第一个元素有n种选择，然后从剩下的n-1个元素中选取第二个元素有n-1种选择，依次类推，直到选取第m个元素，共有n×(n-1)×(n-2)×...×(n-m+1)种选择，但是由于组合不考虑元素的顺序，所以需要除以m!来消除重复计数，即同样的m个元素按不同的顺序排列算作一种情况。
另外，由于组合不考虑元素的顺序，所以还需要除以(n-m)!来消除重复计数，即同样的m个元素按不同的顺序排列算作一种情况。
因此，组合的计算方法就是利用这个公式来计算组合的种类数。
在实际应用中，排列组合的计算方法常常用于解决各种问题。
排列组合公式公式解释
排列组合是数学中的一个重要概念，用于计算不同元素的组合方式。
它在组合数学、概率论、统计学等领域中经常被应用。
本文将详细介绍排列组合的概念以及相关公式，并给出一些实际应用的例子。
1. 排列的概念及公式排列是指从n个元素中选取r个元素进行排序的方式。
这个过程中，每个元素只能使用一次，并且顺序不同即为不同的排列。
排列通常用P(n, r)表示，计算公式如下：P(n, r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * … * 2 * 1。
n的阶乘表示从n个元素中选取所有元素进行排列的总数，而(n-r)!表示剩余元素的阶乘，即可以从n个元素中选取r个元素进行排列的总数。
排列的计算公式可以帮助我们高效地计算大量元素的排列情况。
例如，从10个数中选取3个数进行排列，即P(10, 3)，可以通过计算10! / 7!得到结果。
2. 组合的概念及公式组合是指从n个元素中选取r个元素进行组合的方式。
与排列不同，组合不考虑选取元素的顺序，因此不同顺序的元素组合被视为同一种组合方式。
组合通常用C(n, r)表示，计算公式如下：C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)其中，n!仍表示n的阶乘，r!表示r的阶乘，(n-r)!表示剩余元素的阶乘。
组合的计算公式可以帮助我们统计不同元素组合的数量。
例如，从10个数中选取3个数进行组合，即C(10, 3)，可以通过计算10! / (3! * 7!)得到结果。
3. 排列组合的应用排列组合在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些例子：3.1. 抽奖问题假设有10个人参加抽奖，每个人的抽奖号码是从1到10之间的整数。
如果我们想要知道抽取出来的3个人的号码的所有可能情况，可以使用组合的方法计算。
结果为C(10, 3) = 120。
3.2. 选课问题假设有10门课程可以选择，每个人可以选择其中的5门进行学习。
如果我们关心的是不同学生选择不同课程的情况，可以使用排列的方法计算。
排列组合与概率原理及解题技巧
排列组合与概率原理及解题技巧一、基础知识1．加法原理：做一件事有n 类办法，在第1类办法中有m 1种不同的方法，在第2类办法中有m 2种不同的方法，……，在第n 类办法中有m n 种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m 1+m 2+…+m n 种不同的方法。
2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n 个步骤，第1步有m 1种不同的方法，第2步有m 2种不同的方法，……，第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有N=m 1×m 2×…×m n 种不同的方法。
3．排列与排列数：从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列，从n 个不同元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用m n A 表示，mn A =n(n-1)…(n-m+1)=)!(!m n n -,其中m,n ∈N,m ≤n,注：一般地0n A =1，0！=1，nn A =n!。
4．N 个不同元素的圆周排列数为nA n n =(n-1)!。
5．组合与组合数：一般地，从n 个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合，即从n 个不同元素中不计顺序地取出m 个构成原集合的一个子集。
从n 个不同元素中取出m(m ≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用mn C 表示：.)!(!!!)1()1(m n m n m m n n n C m n -=+--=6．组合数的基本性质：（1）m n n m n C C -=；（2）11--+=n nm n m n C C C ；（3）kn k n C C kn =--11；（4）n nk k n n nnnC C C C 2010==+++∑= ；（5）111++++-=+++k m k k m k k k k k C C C C ；（6）kn m n m k k n C C C --=。
排列组合公式总结大全(3篇)
第1篇在数学中，排列组合是研究有限集合中元素的不同排列和组合方式的一种数学分支。
它广泛应用于统计学、概率论、计算机科学、组合数学等领域。
以下是对排列组合中常用公式的总结，以供参考。
一、排列1. 排列的定义：从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同的元素，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
2. 排列数公式：A(n, m) = n! / (n-m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1。
3. 排列的运算性质：（1）交换律：A(n, m) = A(n-m, n-m)（2）结合律：A(n, m) × A(m, k) = A(n, k)（3）逆运算：A(n, m) × A(m, n-m) = n!二、组合1. 组合的定义：从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个不同的元素，不考虑它们的顺序，这样的取法称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。
2. 组合数公式：C(n, m) = n! / [m! × (n-m)!]3. 组合的运算性质：（1）交换律：C(n, m) = C(n-m, n-m)（2）结合律：C(n, m) × C(m, k) = C(n, k)（3）逆运算：C(n, m) × C(m, n-m) = C(n, n)三、排列与组合的关系1. 排列与组合的关系：A(n, m) = C(n, m) × m!2. 排列与组合的区别：（1）排列考虑元素的顺序，组合不考虑元素的顺序。
（2）排列的运算性质与组合的运算性质不同。
四、排列组合的应用1. 排列组合在概率论中的应用：计算随机事件发生的概率。
2. 排列组合在计算机科学中的应用：设计算法、密码学、数据结构等。
3. 排列组合在统计学中的应用：抽样调查、数据分析等。
初中数学中的概率与统计中的事件的排列与组合
答案及解析
• 题目：某班有50名学生，从中选出5名代表参加数学竞赛，求选法的总数。 答案：1225 解析：这是一个组合问题，从50名学生中选出5名代表，可以使用组合公式C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)，其中n是总人数，k是选出的人数。所以答案是C(50, 5) = 50! / (5!(50-5)!) = 1225。
(r!(n-r)!)
排列与组合的 关系：P(n, r) =
C(n, r) * r!
排列与组合的 区别：排列考 虑顺序，组合 不考虑顺序。
排列的应用
解决实际问题：如安排日程、分配任务等 数学竞赛：如解排列组合题、逻辑推理题等 计算机科学：如算法设计、程序编写等 统计学：如样本抽取、数据整理等
排列的注意事项
排列的定义
排列是指从n个不同元素中取出m个元素，按照一定的顺序进行排列，得到的结果称为排列。 排列数公式：P(n,m)=n!/(n-m)! 排列的特点：有序性、无序性、确定性 排列的应用：解决实际问题，如彩票中奖、密码设置等
排列的公式
排列数公式： P(n, r) = n! /
(n-r)!
组合数公式： C(n, r) = n! /
其次，总共有C(10, 3) = 120种取球的情况。所以概率是P(A) = 20/120 = 7/10。
• 题目：一个盒子里有10个球，其中6个黑球，4个白球，从中随机取出2个球，求取出的球中至少有一个黑球的概率。 答案：11/15 解析：同上题，首先，取出的球中至 少有一个黑球的情况有C(6, 1)*C(4, 1) + C(6, 2) = 6 + 15 = 21种。其次，总共有C(10, 2) = 45种取球的情况。所以概率是P(A) = 21/45 = 11/15。
排列数和组合数的概念
排列数和组合数的概念排列组合的定义来源和讲解排列和组合是概率论与数理统计中的两个基本概念。
排列指的是从n个不同元素中取出k个元素，按照一定的顺序排列成一列的所有可能情况的个数，用符号A(n,k)表示。
组合指的是从n个不同元素中取出k个元素，不考虑元素的排列顺序，所有可能情况的个数，用符号C(n,k)表示。
对于排列，n个元素的全排列的个数是n!，即n! = 1×2×3×...×n。
n个元素取k个元素排列的个数是A(n,k) = n ×(n-1) × ... ×(n-k+1)。
对于组合，n个元素中取出k个元素组合的个数是C(n,k) = n! / (k!(n-k)!)，其中k!表示k的阶乘，(n-k)!表示(n-k)的阶乘，n!表示n的阶乘。
排列组合的运用排列和组合是数学中常见的计数方式，应用十分广泛。
在概率论和统计学中，排列和组合常用于计算事件的概率和可能性，而在计算机科学中，排列和组合常用于算法设计和优化。
此外，在组合学、离散数学和图论等领域也有很多应用。
•c52排列组合的例题讲解•c52表示从5个不同的元素中取出2个元素的组合数。
根据组合的定义，可以计算出c52 = 5! / (2! ×(5-2)!) = 10。
这个结果表示，在5个不同元素中取出2个元素的所有组合情况中，有10种不同的情况。
具体来说，这10种情况分别是：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)。
注意，这里不考虑元素的排列顺序，所以(1,2)和(2,1)属于同一种组合。
a的概率公式
a的概率公式
概率公式是用于计算概率的数学公式。
具体来说，如果事件A包含n个基本事件，那么事件A的概率P(A)可以用以下公式计算：
P(A)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)N!m在下，n在上代表从m个元素里面任选n 个元素按照一定的顺序排列起来，n是总的基本事件数。
这个公式叫做排列组合公式，用于计算事件A的概率。
排列是指从给定的元素中选出n个元素，按照一定的顺序排列起来。
组合是指从给定的元素中选出n个元素，不考虑顺序。
排列和组合都是组合学中的基本概念。
需要注意的是，概率公式的应用需要满足一定的条件。
例如，事件A必须是等可能的，也就是说每个基本事件的发生概率是相等的。
如果事件A不是等可能的，那么需要使用其他的概率计算方法，比如贝叶斯定理等。
以上是关于概率公式的解释，如有疑问可以查阅数学书籍或者咨询数学专业人士。
高中数学概率与统计的常见题型及解题思路
高中数学概率与统计的常见题型及解题思路概率与统计是高中数学中的重要内容，也是学生们普遍感到困惑的一部分。
在考试中，概率与统计题型常常出现，因此掌握解题思路和技巧对于学生们来说非常重要。
本文将介绍一些常见的概率与统计题型，并给出相应的解题思路和方法。
一、排列组合类题型排列组合类题型是概率与统计中的基础题型，也是其他题型的基础。
例如：例1：从1、2、3、4、5这5个数字中选取3个数字，组成一个无重复的三位数，求所能组成的三位数的个数。
解析：这是一个典型的排列问题。
我们可以先确定百位上的数字，有5种选择；然后确定十位上的数字，有4种选择；最后确定个位上的数字，有3种选择。
根据乘法原理，所能组成的三位数的个数为5×4×3=60个。
类似的题型还有从n个数字中选取m个数字，求所能组成的m位数的个数等。
二、事件的概率类题型事件的概率类题型是概率与统计中的重点和难点。
例如：例2：一枚硬币抛掷3次，求抛掷结果中至少出现两次正面的概率。
解析：这是一个典型的事件的概率问题。
我们可以列出所有可能的结果：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反。
其中，至少出现两次正面的结果有6种，所以所求的概率为6/8=3/4。
类似的题型还有从一副扑克牌中抽取一张牌，求抽到红桃的概率等。
三、频率与统计量类题型频率与统计量类题型是概率与统计中的实际应用题型。
例如：例3：某班级有60名学生，其中30名男生、30名女生。
从中随机抽取5名学生，求抽到女生人数的概率。
解析：这是一个典型的频率与统计量问题。
我们可以使用组合数的知识来解决。
从30名女生中选取0名女生的组合数为C(30, 0)，从30名男生中选取5名男生的组合数为C(30, 5)。
所以所求的概率为C(30, 0) / C(60, 5)。
类似的题型还有某城市每天的降雨量数据，求降雨量超过某个值的概率等。
总结起来，掌握排列组合的基本原理、事件的概率计算方法以及频率与统计量的计算方法是解决概率与统计题型的关键。
概率的计算方法
概率的计算方法概率是数学中的一个重要概念，用于描述事件发生的可能性。
在统计学、经济学、生物学等领域中，概率计算是非常常见和关键的技巧。
本文将介绍一些常用的概率计算方法，以帮助读者更好地理解和应用概率概念。
一、基本概率计算法基本概率计算法是概率计算的基石，通常由两部分组成：事件的可能数和总的可能数。
事件的可能数指的是满足某一特定条件的结果个数，总的可能数指的是所有可能结果的个数。
通过计算事件的可能数与总的可能数的比值，即可得到概率的估计。
例如，求一副扑克牌中从中抽出一张牌的概率。
首先，我们需要确定事件的可能数。
一副扑克牌中共有52张牌，因此抽取一张牌的可能数为52。
接下来，我们需要确定总的可能数，即一副扑克牌中所有抽取1张牌的可能数，也是52。
因此，这个事件的概率为1/52。
二、条件概率计算法条件概率计算法是指在已知某一条件下，事件发生的概率。
条件概率计算通常涉及到条件事件和事件的交集。
条件事件指的是事件A在事件B已经发生的条件下发生的概率。
它的计算方法是计算事件A与事件B的交集的大小除以事件B的大小。
例如，在一个班级中，有30%的学生是女生，而其中有20%的女生戴眼镜。
要求计算一个随机选到的戴眼镜的学生也是女生的概率。
首先，我们需要计算戴眼镜的女生的个数，即将30%与20%的交集乘以总人数。
然后，我们计算所有戴眼镜的学生的个数，将其除以总人数。
最后，将两个数量相除，即可得到概率的估计。
三、贝叶斯定理贝叶斯定理是概率计算中的重要工具，用于计算一个事件在另一个已经发生的事件下的条件概率。
贝叶斯定理的公式为：P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)其中，P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。
贝叶斯定理在概率计算中有着广泛的应用，包括医学诊断、搜索引擎优化等。
四、排列组合排列和组合是概率计算中常用的方法，用于计算各种可能性的数量。
概率问题中的排列与组合
概率问题中的排列与组合在概率统计学中，排列与组合是常用的数学工具，用于计算事件发生的可能性。
排列和组合是概率问题中重要的概念，在实际应用中被广泛使用。
一、排列排列是指从给定的元素中选出若干个进行排列，其顺序不同即可形成不同的排列方式。
常用的计算排列的方法有全排列和部分排列两种。
1. 全排列全排列是指从n个元素中选出m个进行排列，其中n≥m。
全排列的计算公式为：P(n,m) = n! / (n-m)! 其中“!”表示阶乘运算。
举例来说，如果有5个不同的球，要从中选出3个进行排列，那么全排列的结果就是 P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! = 60 种。
2. 部分排列部分排列是指从n个元素中选出m个进行排列，但是不要求完全排列。
部分排列的计算公式为：A(n,m) = n! / (n-m)! 其中“!”表示阶乘运算。
举例来说，如果有5个不同的球，要从中选出3个进行排列，但不要求完全排列，那么部分排列的结果就是 A(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5! / 2! =60 种。
二、组合组合是指从给定的元素中选出若干个进行组合，其顺序不同不会形成不同的组合方式。
常用的计算组合的方法有普通组合和重复组合两种。
1. 普通组合普通组合是指从n个元素中选出m个进行组合，其中n≥m。
普通组合的计算公式为：C(n,m) = n! / (m! * (n-m)!) 其中“!”表示阶乘运算。
举例来说，如果有5个不同的球，要从中选出3个进行组合，那么普通组合的结果就是 C(5, 3) = 5! / (3! * (5-3)!) = 10 种。
2. 重复组合重复组合是指从n个元素中选出m个进行组合，允许重复选取，其中n≥m。
重复组合的计算公式为：H(n,m) = C(n+m-1,m) = (n+m-1)! / (m! * (n-1)!) 其中“!”表示阶乘运算。
举例来说，如果有5个不同的球，可以重复选取，要选出3个进行组合，那么重复组合的结果就是 H(5, 3) = C(5+3-1, 3) = (5+3-1)! / (3! * (5-1)!) = 35 种。
排列组合问题公式
排列组合是数学中常见的一个概念，用于计算一组事物的不同选择和排列方式的总数。
在很多实际问题中，我们经常需要计算排列组合的个数，比如在概率论、统计学、计算机科学等领域中。
在排列组合中，我们常常遇到两个主要的概念，分别是排列和组合。
一、排列排列是指从一组事物中按照一定的顺序选取若干个事物进行排列，这些事物通常具有明确的先后次序。
如果从n个不同的事物中选取m个进行排列，这种排列的数目记为P(n, m)或者nPm。
排列的计算公式如下：P(n, m) = n! / (n - m)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n * (n - 1) * (n - 2) * … * 3 * 2 * 1。
排列的应用非常广泛，比如在密码学中，可以用来计算密码的位数和种类组合方式，从而确定密码的破解难度；在概率统计中，可以用来计算事件的发生概率等。
二、组合组合是指从一组事物中选取若干个事物进行组合，这些事物之间通常没有明确的先后次序。
如果从n个不同的事物中选取m个进行组合，这种组合的数目记为C(n, m)或者nCm。
组合的计算公式如下：C(n, m) = n! / (m! * (n - m)!)组合数目的计算方法比排列简单一些，因为组合只考虑选取事物的组合方式，而不考虑它们的排列顺序。
组合的应用也非常广泛，比如在概率统计中的二项分布、组合数学、图论、社会科学等领域都有它的身影。
三、排列组合的应用举例 1. 在一场比赛中，有8个选手参加，如果要计算前3名的组合方式，可以通过排列的方式计算，即P(8, 3) = 8! / (8 - 3)! = 8! / 5! = (8 * 7 * 6) / (3 * 2 * 1) = 8 * 7 * 6 = 336。
2.在一个班级中，有10个男生和12个女生，如果要从中选出5个人组成一个小组，可以通过组合的方式计算，即C(22, 5) = 22! / (5! * (22 - 5)!) = 22! / (5! * 17!) = (22 * 21 * 20 * 19 * 18) / (5 * 4 * 3 * 2 * 1) = 22 * 21 * 20 * 19 *18 / 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 33649。
组合数与排列数的计算
组合数与排列数的计算组合数（Combination）和排列数（Permutation）是概率与统计等相关学科中经常用到的概念。
它们在计算样本空间、计算事件发生的概率等问题中起着重要的作用。
本文将介绍组合数和排列数的计算方法及应用。
一、组合数的计算组合数是从n个不同元素中，取出m个元素（m<=n）的组合方式的数量。
组合数用符号C(n,m)或者(n choose m)表示。
计算组合数的方法有两种：公式法和递推法。
1. 公式法组合数的计算公式为：C(n,m) = n!/(m!(n-m)!)其中，n!表示n的阶乘，即n! = n*(n-1)*...*3*2*1。
例如，计算C(5,2)的值：C(5,2) = 5!/(2!(5-2)!）= 5!/(2!3!) = 5*4/(2*1) = 102. 递推法通过使用组合数的递推关系，可以简化组合数的计算过程。
组合数的递推关系为：C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)其中，C(n-1,m-1)表示从前n-1个元素中选择m-1个元素的组合数，C(n-1,m)表示从前n-1个元素中选择m个元素的组合数。
例如，计算C(5,2)的值：C(5,2) = C(4,1) + C(4,2) = 4 + 6 = 10二、排列数的计算排列数是从n个不同元素中，按照一定的顺序取出m个元素的排列方式的数量。
排列数用符号P(n,m)或者(nPm)表示。
计算排列数的方法有两种：公式法和递推法。
1. 公式法排列数的计算公式为：P(n,m) = n!/(n-m)!例如，计算P(5,2)的值：P(5,2) = 5!/(5-2)! = 5!/3! = 5*4 = 202. 递推法通过使用排列数的递推关系，可以简化排列数的计算过程。
排列数的递推关系为：P(n,m) = n*P(n-1,m-1)其中，P(n-1,m-1)表示从前n-1个元素中选择m-1个元素的排列数。
例如，计算P(5,2)的值：P(5,2) = 5*P(4,1) = 5*4 = 20三、组合数与排列数的应用1. 组合数的应用组合数在组合数学、概率与统计等领域有广泛的应用。
初三数学教材概率计算与事件的排列组合
初三数学教材概率计算与事件的排列组合概率计算与事件的排列组合在初三数学教材中占据了重要的位置。
对于初中学生来说，掌握好这些知识点对于今后的数学学习以及日常生活中的应用都具有重要的意义。
本文将针对初三数学教材中的概率计算和事件的排列组合进行探讨，帮助学生更好地理解和应用这些知识。
一、概率计算概率是数学中一个重要的概念，指的是某个事件发生的可能性大小。
学生在初三学习阶段，需要学会计算简单事件的概率，并应用到日常生活中的实际问题中。
首先，让我们来了解一下什么是简单事件。
简单事件指的是只包含一个基本结果的事件，例如抛一枚硬币正面朝上、掷一个骰子出现一个特定点数等。
计算简单事件的概率可以通过“有利结果数目÷总结果数目”的方式进行。
其次，介绍一下互斥事件和对立事件的概念。
互斥事件指的是两个事件不能同时发生，例如抛一枚硬币出现正面朝上和抛一枚硬币出现反面朝上。
对立事件指的是两个事件互为对立的情况，出现一个事件的概率等于另一个事件不发生的概率。
在实际的概率计算中，要注意概率的范围在0到1之间。
当概率为0时，表示事件不可能发生；当概率为1时，表示事件一定会发生。
二、事件的排列组合在初三数学教材中，事件的排列组合也是一个重要的知识点。
排列组合问题主要是解决对象的选择和排列问题。
首先，让我们来了解一下排列的概念。
排列指的是从给定的一组对象中按照一定的顺序选取出一部分或全部对象的方式。
在排列问题中，对象的选取顺序是重要的。
其次，介绍一下组合的概念。
组合指的是从给定的一组对象中按照一定的组合方式选取出一部分对象。
与排列不同，组合问题中对象的选取顺序不重要。
在实际的排列组合问题中，学生需要灵活运用“阶乘”和“组合公式”来帮助解决问题。
同时，也需要注意题目中的条件，以确定所求排列组合的具体情况。
三、概率计算与排列组合的综合应用在初三数学教材中，概率计算与事件的排列组合经常会结合在一起进行综合应用。
通过综合应用问题的解答，学生可以更好地理解和应用这些知识。
暑期班第5讲排列组合在概率计算中的应用学生版
概率事件与概率 随机事件的概率A 随机事件的运算B 两个互斥事件的概率加法公式C 古典概型 古典概型 B 几何概型几何概型B⑴事件与概率①了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别． ②了解两个互斥事件的概率加法公式． ⑵古典概型①理解古典概型及其概率计算公式．②会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率． ⑶随机数与几何概型①了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率． ②了解几何概型的意义．板块一：排列组合综合（一）知识内容排列与组合综合题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径： ①元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ②位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；③间接法：先不考虑附加条件，算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数． 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．知识精讲高考要求第5讲排列组合在概率计算中的应用排列组合问题可以培养：分类讨论思想，转化思想和对称思想等数学思想等；具体的解题策略有：①特殊元素优先安排策略；②合理分类与准确分类策略；③先选后排策略；④正难则反，等价转化的策略；⑤相邻问题捆绑处理的策略；⑥间隔问题插空处理的策略；⑦分排问题直排处理的策略．（二）典例分析：【例1】从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，试问：⑴能组成多少个没有重复数字的七位数？其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？⑵上述七位数中三个偶数排在一起的有几个？⑶⑴中的七位数中，偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个？⑷⑴其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个？【例2】用0到9这九个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？【例3】将4个小球任意放入3个不同的盒子中，⑴若4个小球各不相同，共有多少种放法？⑵若要求每个盒子都不空，且4个小球完全相同，共有多少种不同的放法？⑶若要求每个盒子都不空，且4个小球互不相同，共有多少种不同的放法？【例4】将7个小球任意放入4个不同的盒子中，每个盒子都不空，⑴若7个小球完全相同，共有多少种不同的放法？⑵若7个小球互不相同，共有多少种不同的放法？【例5】将7个完全相同的小球任意放入4个不同的盒子中，共有多少种不同的放法？【例6】设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内，⑴只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？⑵没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？⑶每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？【例7】给定数字0、1、2、3、5、9，每个数字最多用一次，⑴可能组成多少个四位数？⑵可能组成多少个四位奇数？⑶可能组成多少个四位偶数？⑷可能组成多少个自然数？【例8】在由数字12345，，，，组成的所有没有重复数字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（）个A．56个B．57个C．58个D．60个【例9】设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入5个盒子内，⑴只有一个盒子空着，共有多少种投放方法？⑵没有一个盒子空着，但球的编号与盒子编号不全相同，有多少种投放方法？⑶每个盒子内投放一球，并且至少有两个球的编号与盒子编号是相同的，有多少种投放方法？板块二：随机事件的概率【例10】（2009江苏）现有5根竹竿，它们的长度（单位：m）分别为2.5，2.6，2.7，2.8，2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m的概率为___ ．【例11】有4个红球，3个黄球，3个白球装在袋中，小球的形状、大小相同，从中任取两个小球，求取出两个同色球的概率是多少？【例12】（2006年浙江卷）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n个白球．由甲，乙两袋中各任取2个球．⑴若3n ，求取到的4个球全是红球的概率；⑵若取到的4个球中至少有2个红球的概率为34，求n．【例13】（2009安徽）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点中任意选两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的两条直线相互平行但不重合的概率等于（）A．175B．275C．375D．475【例14】在袋中装20个小球，其中彩球有n个红色、5个蓝色、10个黄色的，其余为白球．求：⑴如果从袋中取出3个都是相同颜色彩球（无白色）的概率是13114，且2≥n，那么，袋中的红球共有几个？⑵根据⑴的结论，计算从袋中任取3个小球至少有一个是红球的概率．【例15】袋中装有红、黄、白3种颜色的球各1只，从中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：⑴3只全是红球的概率，⑵3只颜色全相同的概率，⑶3只颜色不全相同的概率，⑷3只颜色全不相同的概率．【例16】袋中有大小相同的5个白球和3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率．⑴摸出2个或3个白球；⑵至少摸出一个黑球．板块三：古典概型【例17】某城市开展体育彩票有奖销售活动，号码从000001到999999，购买时揭号对奖，若规定从个位起，第一、三、五位是不同的奇数，第二、四、六位均为偶数（可以相同）时为中奖号码，求中奖面所占的百分比．【例18】在900张奖券（奖券号是100999）的三位自然数中抽一张奖券，若中奖的号码是仅有两个数字的相同的奖券，求中奖面是多少？【例19】⑴停车场有10个排成一排的车位，当有7辆车随意停放好后，恰好剩下三个空位连在一起的概率为_______；⑵6个人坐到9个座位的一排位置上，则3个空位互不相邻的概率为．【例20】（07北京）记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（）A．1440种B．960种C．720种D．480种【例21】 （2008安徽）12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（ ）A ．2283C AB ．2686C AC ．2286C AD ．2285C A【例22】（08辽宁）4张卡片上分别写有数字1234，，，，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为（ ）A ．13B ．12C ．23D ．34【例23】 某班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选2名学生去参加校数学竞赛，求：⑴恰有一名参赛学生是男生的概率； ⑵至少有一名参赛学生是男生的概率； ⑶至多有一名参赛学生是男生的概率．【例24】 （06江西）将7个人（含甲、乙）分成三个组，一组3人，另两组2人，不同的分组数为a ，甲、乙分到同一组的概率为p ，则a p ，的值分别为（ ）（A ）510521a p ==， （B ）410521a p ==， （C ）521021a p ==， （D ）421021a p ==，【例25】（2009江西10）为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为（）A．3181B．3381C．4881D．5081【例26】（2006上海）两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成，每卷1本，共8本．将它们任意地排成一排，左边4本恰好都属于同一部小说的概率是______（结果用分数表示）．【例27】摇奖器摇出的一组中奖号码为825371，，，，，，对奖票上的六个数字是从0129，，，，这十个数字中任意选出六个不同数字组成的．如果对奖票上的六个数字中至少有五个与摇奖器摇出的号码相同（不计顺序）就可以得奖，则中奖的概率为（）A．17B．130C．435D．542【例28】（2009湖南）一个总体分为，A B两层，其个体数之比为4:1，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本，已知B层中甲、乙都被抽到的概率为128，则总体中的个体数为____．【例29】 右图中有一个信号源和五个接收器．接收器与信号源在同一个串联线路中时，就能接收到信号，否则就不能接收到信号．若将图中左端的六个接线点随机地平均分成三组，将右端的六个接线点也随机地平均分成三组，再把所有六组中每组的两个接线点用导线连接，则这五个接收器能同时接收到信号的概率是（ ）A ．445B ．136C ．415D ．815【例30】袋里装有30个球，每个球上都记有1到30的一个号码， 设号码为n 的球的重量为244433n n -+（克）． 这些球以等可能性（不受重量， 号码的影响）从袋里取出． ⑴ 如果任意取出1球，求其号码是3的倍数的概率． ⑵ 如果任意取出1球，求重量不大于号其码的概率；⑶ 如果同时任意取出2球， 试求它们重量相同的概率．【例31】 某单位一辆交通车载有8个职工从单位出发送他们下班回家，途中共有甲、乙、丙3个停车点，如果某停车点无人下车，那么该车在这个点就不停车．假设每个职工在每个停车点下车的可能性都是相等的，求下列事件的概率：⑴该车在某停车点停车；⑵停车的次数不少于2次；⑶恰好停车2次．信号源【例32】已知8支球队中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支．求：⑴A、B两组中有一组恰有两支弱队的概率；⑵A组中至少有两支弱队的概率．习题1.从02468，，，，这五个数字中任取2个偶数，从13579，，，，这五个数字中任取1个奇数，组成没有重复数字的三位数，求其中恰好能被5整除的概率．习题2.某国际科研合作项目成员由11个美国人、4个法国人和5个中国人组成．现从中随机选出两位作为成果发布人，则此两人不属于同一个国家的概率为．（结果用分数表示）习题3.⑴甲、乙、丙三人在3天节日中值班，每人值班1天，则甲紧接着排在乙后面值班的概率是（）A．16B．14C．13D．12⑵任意写一个无重复数字的三位数，其中十位上的数字最小的概率是（）A．1027B．13C．16D．754家庭作业习题4.（2009上海文）若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是（结果用最简分数表示）．月测备选习题1.（2008东城二模）某电视台连续播放5个不同的广告，其中有3个不同的商业广告和2个不同的奥运宣传广告，要求最后播放的必须是奥运宣传广告，且两个奥运宣传广告不能连续播放，则不同的播放方式有（）A．120种B．48种C．36种D．18种习题2.（2008海淀一模）2007年12月中旬，我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾，电煤库存吃紧．为了支援南方地区抗灾救灾，国家统一部署，加紧从北方采煤区调运电煤．某铁路货运站对6列电煤货运列车进行编组调度，决定将这6列列车编成两组，每组3列，且甲与乙两列列车不在同一小组．如果甲所在小组3列列车先开出，那么这6列列车先后不同的发车顺序共有（）A．36种B．108种C．216种D．432种习题3.（08江苏）若将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率为．。
排列组合c的计算方法
排列组合c的计算方法排列组合是高等数学中的一个重要概念，它在概率论、组合数学等领域有着广泛的应用。
在实际问题中，我们经常需要计算排列组合的值，因此了解排列组合c的计算方法是非常重要的。
本文将介绍排列组合c的计算方法，希望能够帮助读者更好地理解和运用排列组合的概念。
首先，我们来介绍排列的计算方法。
排列是从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列的所有可能情况的个数。
假设有n个元素，我们需要从中选取m个元素进行排列，那么排列的计算公式为P(n,m) = n!/(n-m)!，其中n!表示n的阶乘，即n!=n×(n-1)×(n-2)×...×2×1。
这个公式的含义是，首先从n个元素中选取一个元素，有n种可能；然后从剩下的n-1个元素中选取一个元素，有n-1种可能；以此类推，直到选取m个元素，总共有n×(n-1)×(n-2)×...×(n-m+1)种可能。
因此，排列的计算方法就是利用这个公式进行计算。
接下来，我们来介绍组合的计算方法。
组合是从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，不考虑元素的顺序，所有可能情况的个数。
组合的计算公式为C(n,m) = n!/(m!(n-m)!)，其中n!表示n的阶乘，m!表示m的阶乘，(n-m)!表示n-m的阶乘。
这个公式的含义是，首先从n个元素中选取m个元素进行排列，有n!/(n-m)!种可能；然后由于不考虑元素的顺序，所以需要除以m!，即m个元素的排列有m!种可能；最后，由于组合不考虑元素的顺序，所以需要除以(n-m)!，即n-m个元素的排列有(n-m)!种可能。
因此，组合的计算方法就是利用这个公式进行计算。
在实际问题中，排列组合的计算方法经常用于概率计算、组合数学问题等方面。
例如，我们需要从10个不同的数字中选取3个数字进行排列，那么排列的个数就是P(10,3) = 10!/(10-3)! = 10×9×8 = 720；如果我们需要从10个不同的数字中选取3个数字进行组合，那么组合的个数就是C(10,3) = 10!/(3!(10-3)!) = 120。
概率组合公式
概率组合公式
在概率论中，组合是一种重要的概念，它是指从一个元素集合中
选出一些元素（可能不同，可能有顺序，也可能无序），并且不考虑
元素的排列顺序的选择方式。
组合的概念可以应用于很多领域，如研
究球队的出场阵容、排列组合密码学等。
概率组合公式也是我们学习组合的基础，它能够帮助我们计算组
合出现的概率。
概率组合公式可以表示为：C(n,m) = n!/((n-
m)!*m!)，其中n表示元素集合中的元素个数，m表示要选择的元素个数，C(n,m)表示选出m个元素的不同排列的数量。
通过这个公式，我
们可以很方便地计算组合的概率，从而在实际问题中得出有用的结论。
例如，假设一个班级有30个学生，其中10个学生喜欢打篮球，
我们要从这10个学生中选出5个参加篮球比赛。
这个问题可以视为从
10个节点中选出5个节点的组合问题，因此，应用概率组合公式可以
得出：
C(10, 5) = 10!/((10-5)!*5!) = 252
也就是说，我们有252种不同的选法。
假设我们把这些选法编号
为1~252，那么每个选法的概率都是1/252。
如果我们需要计算其中某
些选法的概率，只需要把这些选法对应的概率加起来即可。
通过这个例子，我们可以看到，概率组合公式在实际问题中的应
用非常广泛。
它不仅帮助我们计算出概率，还能够提供一些指导，例
如帮助我们选择最佳策略，优化生产过程等。
因此，学好概率组合公式不仅有理论意义，还有实际应用价值。
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预备知识
在概率的计算中经常要用到一些排列组合知识，也常常用到牛顿二项式定理。
这里罗列一些同学们在中学里已学过的有关公式，并适当作一点推广。
一. 两个原理 1.
乘法原理: 完成一项工作有m 个步骤，第一步有1n 种方法，第二步有2n 种方法，…，
第m 步有m n 种方法，且完成该项工作必须依次通过这m 个步骤， 则完成该项工作一共有
1n 2n …m n
种方法，这一原理称为乘法原理。
2. 加法原理: 完成一项工作有m 种方式，第一种方式有1n 种方法，第二种
方式有2n 种方法，…，第m 种方式有m n 种方法，且完成该项工作只需 选择这m 种方式中的一种，则完成这项工作一共有
1n +2n +…+m n
种方法，这一原理称为加法原理。
二. 排列:
从n 个元素里每次取出r 个元素，按一定顺序排成一列，称为 从n 个元素里每次取r 个元素的排列，这里n 和Z 。
均为正整数(以 下同)。
当这n 个元素全不相同时，上述的排列称为无重复排列，我 们关心的是可以做成多少个排列，即排列数。
对于无重复排列，要求当 时 r n 称为选排列，而当
r ＝n 时称为全排列。
我们记排列数分别为
即将全排列看成选排列的特例。
利用乘法原理不难得到
由阶乘的定义
由阶乘的定义
将上面的n个不同的元素改为n类不同的元素，每一类元素
都有无数多个。
今从这n类元素中取出r个元素，这r个元素可
以有从同一类元素中的两个或两个以上，将取出的这r个元素dl
成一列，称为从n类元素中取出r个元素的可重复排列，排列数记
作，由乘法原理得
显然，此处r可以大于n
例3 将三封信投入4个信箱，问在下列两种情形下各有几
种投法?
1)每个信箱至多只许投入一封信；
2)每个信箱允许投入的信的数量不受限制。
解1)显然是无重复排列问题，投法的种数为
2)是可重复排列问题，投法的种数为
三、组合
从“个元素中每次取出r个元素，构成的一组，称为从n个元
素里每次取出r个元素的组合。
设这n个元素全不相同，即得所谓无重复组合，我们来求组合数，记作
将一个组合中的r个元素作全排列，全排列数为
，
所有组合中的元素作全排列，共有
个排列，这相当于从n个元素里每次取r个元素的选排列，排列总数为
故有
性质(2)的左端表示
从
中取出r个的组合数。
我们可以固定这n十1个元素中的任意一个，不妨固定于是考察所有取及所有不取。
的组合数，
前者即从个中取r—1个的组合数，而后者即
从个中取r个的组合数
类似于可重复排列，也有可重复组合，即从n类不同元素中每次取出r个元素，这r个元素可以从同一类元素中取两个或两
例4 掷两颗银子可以有多少种点子的排列?多少种点子的
组合?
解每颗银子各有六面，分别刻有1，2，3，4，5，6个点，掷出的
结果可以重复。
四、较复杂的排列、组合问题
问题1，不全相异元素的全排列
将一个包含n
个元素的整体分成r个有序的部分，其中第一部分包含
n个元
1
素，第二部分包含2n 个元素，…，第r 部分包含r n 个元素，分法数 共有
种，上式称为多项式系数。
例5 将15名新生平均分配到三个班级中去，这15名新生中 有3名优秀生。
问：1)15名新生平均分配到三个班级中有多少种 分法?2)每个班级各分配到一名优秀生有多少种分法?3)3名优 秀生分配在同一个班级有多少种分法?
解 1)15名新生平均分配到三个班级中的分法总数为
2)将3名优秀生分配到三个班级使每个班级都有一名优 秀生的分法共3!种。
对于其中每一种分法，其余12名新生平均 到三个班级中的分法共有种，由乘法原理不难得到每个 班级各分配到一名优秀牛的分法总数为
3)将3名优秀生分配在同一班级内的分法共有3种(因
有3个班级)。
对于这每一种分法，其余12名新生的分法是将其 中的2名分配到已有3名优秀生的班级，而另二个班级各5名，因 此分法数为种，由乘法原理得3名优秀生分配在同一班级的分法总数为
例 ：将3个白球、4个红球和4个黑球排成一行．如果颜色相同的球彼此不加区别，
问有多少种排法？ 解：有
种排法
问题2，不全相异元素的组合
仍设
有r 种不同元素，第一种有1n 个
元素，第二种有2n 个元素，…，第r 种有r n 个元素，今从这n 个元 素中，每次取
，其取法总数为下列乘积
例6 由词中的字母，每次择取4个，共有几种 不同的选择法?
解 此词中有8种字母，其中包括3个a ，2个m ，2个，以及
各一个，每次择取4个，故所求的取法数由
∴2
3
2
5
2
3
4
12
(1)(1)(1)183178143x x x x x x x x x x x ++++++=++++++L 例： 要求某学生会主席指定一个委员会，包括5名男
生和3名女生，在提供的候选人名单中有10名男生和7名女生。
问可能有多少个委员会可供他选择？
解 在某一委员会中，如果改变委员的顺序，结果仍相同， 因此，这是一个求组合的问题。
从lo 名男生中，主席能选出每组 有5名男生的组合数为
5．5 组合与排列个元素的整体分成r 个有序的部分，其中第一部分包含Rt 个元
素，第二部分包含n2个元素，…，第r部分包含n r个元素，分法数共有
组合与排列研究事物的分组与排列，在计算概串方面，它们
可以用来决定一切可能情况的总数以及有利情况数。
定义5—8 每一个集合可以由给定事物的部分或全体组成，
可以不管集合中事物的顺序则这一集合称作组合。
定义5—9 事物的全部集合或部分集合的每一种不同的顺序
或排列即称为排列。
例5—14 在A，B，C，D四个字母中求每组三个字母的(a)
组合数，(b)排列数。
解
(a)字母A，B，C，D每组可以取三个，不计顺序，有以
下取法：AB C，ABD，ACD和BCD。
因此，共有4种组合，即
4个物件中每次取三个共有4种组合。
(b)如果还考虑顺序，在字母A，B，C，D中每组有三个，
共有以下排列：ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA，
ABD，ADB，BAD，BDA，DAB，DBA，ACD，ADC，CAD，CDA，DAC，DCA，BCD，BDC，CBD，CDB，DBC，DCB。
因此，共有24种排列：即从4物件中每次取三个共有24种排
列。
例5—15
排列数。
解
求四物件在每次取4件时的(a)组合数；(b)A，B，C，D四个
字母的顺序数容易求出为24，于是4
物件每次取4件有24种排列。
为了求出计算组合数与排列数的简易公式，我们首先考虑一
个特例，求n个物件(例如字母)每组有n项的排列数。
把这些排列都写出来，我们就可以看到第一个字母有n种选
择；每一种选择对应于图5—3中的一个分校图，这里表示的是
n＝4的情形。
在选定第一个字母后(例如A)，在第二个字母就
余下(n—1)种选择，于是对前面两个字母就有n(n—1)种可能
的选择，与固5—3中从左边顶端发散的分技数一样多的选择。
在
前两个字母选定以后，对第三个字母还有n—2种选择，于是对前
三个字母就有n(n—1)(n—2)种选择。
继续这一过程，我们看
到对第n个字母就只留有一种选择；因而n个字母有n(n—1) (n—2)·。
2．1种排列法。
用符号nI(读作“n的阶乘”)表示前面n个正整数的乘积，
即
n！＝n(n—1)(n—2)·．．2．1 (5—9)
用Pn，n表示n个物件每组有n个的排列数，我们已经表明Pa，n＝n1 (5——10)。