小学六年级奥数课件：几何部分教案
六年级奥数平面几何部分
平面几何部分教学目标：1． 熟练掌握五大面积模型 2. 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比； 如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图ACDBCD S S =△△；反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上，E 在AC 上)，则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCBA图⑴ 图⑵三、蝴蝶定理ba S 2S 1DCBA S 4S 3S 2S 1O DCBA A BCDO ba S 3S 2S 1S 4任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)： ①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =； ③S 的对应份数为()2a b +． 四、相似模型(一)金字塔模型 (二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方； ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半． 相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、燕尾定理在三角形ABC 中，AD ，BE ，CF 相交于同一点O ，那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．OFE DCBA上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO∆的形状很象燕子∆和ACO的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.典型例题【例 1】如图，正方形ABCD的边长为6，AE=，CF=2．长方形EFGH的面积为．【巩固】如图所示，正方形ABCD的边长为8厘米，长方形EBGF的长BG为10厘米，那么长方形的宽为几厘米【例 2】长方形ABCD的面积为362cm，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分面积是多少E【巩固】在边长为6厘米的正方形ABCD内任取一点P，将正方形的一组对边二等分，另一组对边三等分，分别与P点连接,求阴影部分面积．【例 3】如图所示，长方形ABCD内的阴影部分的面积之和为70，8AD=，四AB=，15边形EFGO的面积为．AB【巩固】如图，长方形ABCD的面积是36，E是AD的三等分点，2=，则阴影部分AE ED的面积为．B【例 4】已知ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形HBC)B【例 5】如图，已知5EF=，6FG=，线段AB将图形分成两部分，DE=，15CD=，7左边部分面积是38，右边部分面积是65，那么三角形ADG的面积是．GFE DC BA【例 6】 如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点，且:2:5AD AB =，:4:7AE AC =，16ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA【巩固】如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，如果三角形ADE 的面积等于1，那么三角形ABC 的面积是多少EDCBA【巩固】如图，三角形ABC 被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，4BD DC ==，3BE =，6AE =，乙部分面积是甲部分面积的几倍乙甲E DCBA【例 7】 如图在ABC △中，D 在BA 的延长线上，E 在AC 上，且:5:2AB AD =，:3:2AE EC =，12ADE S =△平方厘米，求ABC △的面积．EDCBA【例 8】 如图，平行四边形ABCD ，BE AB =，2CF CB =，3GD DC =，4HA AD =，平行四边形ABCD 的面积是2， 求平行四边形ABCD 与四边形EFGH 的面积比．HGAB CD EF【例 9】 如图所示的四边形的面积等于多少DC131213131212【例 10】 如图所示，ABC ∆中，90ABC ∠=︒，3AB =，5BC =，以AC 为一边向ABC ∆外作正方形ACDE ，中心为O ，求OBC ∆的面积．【例 11】 如图，以正方形的边AB 为斜边在正方形内作直角三角形ABE ，90AEB ∠=︒，AC 、BD 交于O ．已知AE 、BE 的长分别为3cm 、5cm ，求三角形OBE 的面积．【例 12】 如下图，六边形ABCDEF 中，AB ED =，AF CD =，BC EF =，且有AB 平行于ED ，AF 平行于CD ，BC 平行于EF ，对角线FD 垂直于BD ，已知24FD =厘米，18BD =厘米，请问六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米FEABDC【例 13】 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且:1:2BD DC =，AD 与BE 交于点F ．则四边形DFEC 的面积等于 ．FED CBA【巩固】如图，长方形ABCD 的面积是2平方厘米，2EC DE =，F 是DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方厘米x xABFGE D CBA【例 14】 四边形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O (如图所示)．如果三角形ABD 的面积等于三角形BCD 的面积的13，且2AO =，3DO =，那么CO 的长度是DO 的长度的_________倍．ABCDO【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形BGC 的面积；⑵:AG GC =B【例 15】 如图，平行四边形ABCD 的对角线交于O 点，CEF △、OEF △、ODF △、BOE△的面积依次是2、4、4和6．求：⑴求OCF △的面积；⑵求GCE △的面积．OGFEDCBA【例 16】 如图，长方形ABCD 中，:2:3BE EC =，:1:2DF FC =，三角形DFG 的面积为2平方厘米，求长方形ABCD 的面积．ABCDEF G【例 17】 如图，正方形ABCD 面积为3平方厘米，M 是AD 边上的中点．求图中阴影部分的面积．CBA【巩固】在下图的正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，三角形BEF 的面积为1平方厘米，那么正方形ABCD面积是平方厘米．AB CDEF【例 18】已知ABCD是平行四边形，:3:2BC CE ，三角形ODE的面积为6平方厘米．则阴影部分的面积是平方厘米．B【巩固】右图中ABCD是梯形，ABED是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是平方厘米．B【巩固】右图中ABCD 是梯形，ABED 是平行四边形，已知三角形面积如图所示(单位：平方厘米)，阴影部分的面积是 平方厘米．B【例 19】 如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为___________平方厘米．?852O A BCD EF【例 20】 如图，ABC ∆是等腰直角三角形，DEFG 是正方形，线段AB 与CD 相交于K 点．已知正方形DEFG 的面积48，:1:3AK KB =，则BKD ∆的面积是多少B【例 21】 下图中，四边形ABCD 都是边长为1的正方形，E 、F 、G 、H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数mn，那么，()m n +的值等于 ．BEE【例 22】 如图， ABC △中，DE ，FG ，BC 互相平行，AD DF FB ==，则::ADEDEGF FGCB S S S =△四边形四边形 ．EGF A D CB【巩固】如图，DE 平行BC ，且2AD =，5AB =，4AE =，求AC 的长．A ED CB【巩固】如图， ABC △中，DE ，FG ，MN ，PQ ，BC 互相平行，AD DF FM MP PB ====，则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形 ．【例 23】 如图，已知正方形ABCD 的边长为4，F 是BC 边的中点，E 是DC 边上的点，且:1:3DE EC =，AF 与BE 相交于点G ，求ABG S △Q E GNMF PADCBGFAEDCB【例 24】 如图所示，已知平行四边形ABCD 的面积是1，E 、F 是AB 、AD 的中点， BF交EC 于M ，求BMG ∆的面积．MHGF E DCBA【例 25】 如图，ABCD 为正方形，1cm AM NB DE FC ====且2cm MN =，请问四边形PQRS 的面积为多少CA【例 26】 如右图，三角形ABC 中，:4:9BD DC =，:4:3CE EA =，求:AF FB ．O F EDCBA【巩固】如右图，三角形ABC 中，:3:4BD DC =，:5:6AE CE =，求:AF FB .O F EDCBA【巩固】如右图，三角形ABC 中，:2:3BD DC =，:5:4EA CE =，求:AF FB .O F EDCBA【例 27】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是1，则三角形ABE 的面积为______，三角形AGE 的面积为________，三角形GHI 的面积为______．I HGFEDCBA【巩固】 如右图，三角形ABC 中，:::3:2AF FB BD DC CE AE ===，且三角形GHI 的面积是1，求三角形ABC 的面积．IH G FEDCBA【巩固】如图，ABC ∆中2BD DA =，2CE EB =，2AF FC =，那么ABC ∆的面积是阴影三角形面积的 倍．B【巩固】如图在ABC △中，12DC EA FB DB EC FA ===,求GHI ABC △的面积△的面积的值． IHG FEDCBA【例 28】 如图，三角形ABC 的面积是1，BD DE EC ==，CF FG GA ==，三角形ABC 被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少GFE D CBA【巩固】如图，ABC ∆的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三等分点，那么四边形JKIH 的面积是多少K JI HABC D EF G【例 29】 右图，ABC △中，G 是AC 的中点，D 、E 、F 是BC 边上的四等分点，AD 与BG 交于M ，AF 与BG 交于N ，已知ABM △的面积比四边形FCGN 的面积大7.2平方厘米，则ABC △的面积是多少平方厘米N M GA BCD EF【例 30】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求阴影部分面积.GCB【例 31】 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点,求中心六边形面积.GCBA课后练习：练习1. 已知DEF △的面积为7平方厘米，,2,3BE CE AD BD CF AF ===，求ABC △的面积．FED CBA练习2. 如图，四边形EFGH 的面积是66平方米，EA AB =，CB BF =，DC CG =，HD DA =，求四边形ABCD 的面积．H GFED CB A练习3. 正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是 平方厘米．H GFEDC BA练习4. 如图，已知4cm AB AE ==，BC DC =，90BAE BCD ∠=∠=︒，10cm AC =，则S ABC ACE CDE S S ∆∆∆++= 2cm ．DCEBA练习5. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是_____平方厘米．ED练习6. 如图，ABC ∆中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，若ABC∆的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是_________．FABCDE MN练习7. 如右图，三角形ABC 中，:::4:3AF FB BD DC CE AE ===，且三角形ABC 的面积是74，求角形GHI 的面积．IH G FEDCBA备选【备选1】 按照图中的样子，在一平行四边形纸片上割去了甲、乙两个直角三角形．已知甲三角形两条直角边分别为2cm 和4cm ，乙三角形两条直角边分别为3cm 和6cm ，求图中阴影部分的面积．【备选2】 如图所示，矩形ABCD 的面积为36平方厘米，四边形PMON 的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积是 平方厘米．【备选3】 如图，已知3BD DC =，2EC AE =，BE 与CD 相交于点O ,则ABC △被分成的4部分面积各占ABC △ 面积的几分之几OE DCBA【备选4】 如图，在ABC △中，延长AB 至D ，使BD AB =，延长BC 至E ，使12CE BC =，F 是AC 的中点，若ABC △的面积是2，则DEF △的面积是多少A BCDEF【备选5】 如图，:2:3BD DC =,:5:3AE CE =,则:AF BF =GF EDCBA【备选6】 如图在ABC △中，13DC EA FB DB EC FA ===,求GHI ABC △的面积△的面积的值． IHG FEDCBA。
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圆和扇形
例题1
如左图所示，200米赛跑的起点 和终点都在直跑道上，中间的弯 道是一个半圆。已知每条跑道宽 1.22米，那么外道的起点在内道 起点前面多少米？（精确到0.01 米）
半径越大，周长越长，所以外道的弯道比内道的弯道长，要保证内、外道的人跑的距 离相等，外道的起点就要向前移，移的距离等于内外跑道的半个圆的周长。虽然弯道 的各个半径都不知道，然而两条弯道的中心线的半径之差等于一条跑道之宽。设外弯 道中心线的半径为R，内弯道中心线的半径为r，则两个弯道的长度之差为
在解题的过程中，要先发现同高的三角形，根据底边长的比例，求出三角形的 面积之比，再根据其他的条件进行计算
等积转换 例题1
等积转换 例题2
等积转换 例题3
图中三角形ABC的面积是180平方厘米，D是BC的中 点，AD的长是AE长的3倍， EF的长是BF长的3 倍．那么三角形AEF的面积是多少平方厘米?
S3
B
C
在一般四边形中，连接对角线后将其 分成四个三角形，满足如下性质：
① S1×S3=S2×S4 ② AO:OC=(S1+S2):(S3+S4) ③ DO:OB =(S1+S4):(S2+S3)
A O
B
任意四边形蝴蝶定理 例1
D
如图所示，三角形ABD的面积
等于三角形BCD面积的1/3，
且AO=2，DO=3，求CO与DO
1.一个多边形的每一个内角都等于144°，求这个多边形的 边数。
2.如果一个多边形的边数增加一倍，它的内角和是2160°， 那么原来多边形的边数是
3 某同学在计算多边形的内角和时，得到的答案是1125°， 老师指出他少加了一个内角的度数，你知道这个同学计算 的是几边形的内角和吗？他少加的那个内角的度数是多少？
小学六年级奥数教案几何类
小学六年级奥数教案：图形面积要会计算面积，首先要能识别一些特别的.简单的面积计算是小学数学的一项重要内容如果我们把.图形：正方形、三角形、平行四边形、梯形等等，然后会计算这些图形的面积这些图形画在方格纸上，不但 . 容易识别，而且容易计算的长方形，它5× 3右图是);格16(4= × 4的正方形，它的面积是4上面左图是边长为5= 15(× 3的面积是). 格格10(2= ÷4× 5，面积是4，高是5上面左图是一个锐角三角形，它的底是右图是一);这里特别说明，这两个三角).格2=8(÷4×4，它的面积是4，高也是4个钝角三角形，底是钝角三形的高线一样长，角形的高线有可能在三 . 角形的外面右图是一个);格15( 3= × 5，它的面积是3，高是5上面左图是一个平行四边形，底是，它的面积是4，高是7，下底是 4梯形，上底是 ). 格2=22(÷4×(4+7) 1厘米，1如果小正方形边长是.上面面积计算的单位用“格”，一格就是一个小正方形平方米1格就是1米，1如果小正方形边长是;平方厘米1格就是也就是说我们设定一个方.在这一讲中，我们直接用数表示长度或.格就是一个面积单位1个长度单位，1格的边长是 . 面积，省略了相应的长度单位和面积单位一、三角形的面积三角形面积的计算公式是：.都可以划分成若干个三角形来计算面积用直线组成的图形， 2. 底×高÷= 三角形面积 . 因此我们不仅要掌握这一公式，而且要会灵活运用.这个公式是许多面积计算的基础面积的多少倍ADC的面积是三角形ABD，那么三角形2长是DC，4长是BD右图中1 例 ? 呢 . 的高相同ADC与三角形ABD解：三角形 2. ×高÷=4面积ABD三角形 ×高÷=2面积 ADC三角形 2. 注意：三角形的任意一边都可以看作.倍2面积的ADC的面积是三角形ABD因此三角形 . 和相应的三条高所以每个三角形都可看成有三个底，这条边上的高就是三角形的高，是底， 2 例的高为ABC的中点，三角形AE是线段2.F，4，2的长分别是EC，DE，BD右图中，的面积DFE求三角形4.. BC= 2+ 4+ 2= 8. 解： 2=16. ÷ 4×= 8面积 ABC三角形 A我们把也，4长是DE的高相同，而ABC它与三角形，ADE连成线段，组成三角形D和.面积的一半ABC面积是三角形ADE的一半，因此三角形BC是的一半，AE是EF同样道理， . 面积的一半ADE面积是三角形DFE三角形4=4. ÷= 16面积 DFE三角形右图中长方形的长是3 例 12宽是，20求它的内部阴影部， . 分面积 . 一样长BE也是一个长方形，它内部的三个三角形阴影部分高都与ABEF解：而三个三角形底边的长加起来，就是因此这三个三角形的面积之和是.的长FE ，2÷BE×FE 它恰好是长方形 . 面积的一半ABEF面积之和是它的面积的一)阴影部分(也是长方形，它内部三个三角形FECD同样道理，面积的一半，也就是ABCD因此所有阴影的面积是长方形.半 2=120. ÷12×20 当我们画出中间两个三角形的高线，把.通过方格纸，我们还可以从另一个途径来求解而长方形图中每个直角三角形都是某个长方形的一半，每个三角形分成两个直角三角形后，ABCD的面积之和是长方形)阴影部分(因此所有这些直角三角形.是由这若干个长方形拼成 . 面积的的一半ABCD还有两个角是直角，有四条线段的长度已经知道，右图中，4 例阴影ABCD(那么四边形? 的面积是多少)部分ABCD连成线段，四边形C和A解：把 ADC. 和三角形ABC就分成了两个，三角形，因此10是底边，高是AB来说，ABC对三角形2= 20. ÷10×=4面积，因此 8是底边，高是 DC来说， ADC 对三角形 2=28. ÷8×=7面积面积 ABCD四边形 = 20+ 28= 48. . 这一例题再一次告诉我们，钝角三角形的高线有可能是在三角形的外面的面BEF，求三角形DF=2，AE=3，线段BEF的正方形内有一个三角形6在边长为5 例 . 积但容易求出下面列的三个直角三角形的面的面积是困难的，BEF要直接求出三角形解：积 2= 9. ×6×=3面积 ABE三角形 2= 12. ÷(6-2)×= 6面积BCF三角形 ÷(6-3)×=2面积 DEF三角形 2= 3. 我们只要用正方形面积减去这三个直角三角形的面积就能算出： 6-9-12-3=12. ×=6面积BEF三角形的中点，求四DE是线段M是长方形，三条线段的长度如图所示，ABCD在右图中，6 例 . 的面积)阴影部分ABMD(边形DCE我们设法求出三角形直接求它面积是不可能的，已知的太少，中，ABMD四边形解：ABMD的面积减去它们，由此就可以求得四边形ABCD的面积，然后用长方形MBE与三角形 .的面积2× 7的面积是DCE三角形.分成两个三角形DCE用线段连起来，将三角形C与M把÷ 2=7. 7面积是MCE所以三角形面积相等，MCE与三角形DMC三角形的中点，DE是线段M因为 2=3.5. ÷MBE高一样，因此三角形MCE与三角形 MBE倍，三角形 4的2 CE= 是8 BE= 因为面积是 4=14. ×3.5 (8+2)=70. ×=7面积 ABCD长方形 =70-7- 14= 49. 面积 ABMD四边形二、有关正方形的问题 . 先从等腰直角三角形讲起就叫做等腰直角三角形这样的直角三角形，它的两条直角边一样长，一个直角三角形， .有一个就是等腰直角.度，通常在一副三角尺中45，还有两个角都是)度(90它有一个直角 . 三角形(a).如图可以拼成一个正方形，两个一样的等腰直角三角形，四个一样的等腰直角三角 (b). 形，也可以拼成一个正方形，如图知，它的面积是(a)一个等腰直角三角形，当知道它的直角边长，从图 2. 直角边长的平方÷知，它的面积是(b)当知道它的斜边长，从图 4 斜边的平方÷ 第一个三角形两条直角边长是.右图由六个等腰直角三角形组成7 例后一个三角形8. . 的直角边长，恰好是前一个斜边长的一半，求这个图形的面积等于后一前一个等腰直角三角形的两个拼成的正方形，从前面的图形上可以知道，解：因此后一个三角形面积是前一个三角形面积的一半，.个等腰直角三角形四个拼成的正方形×8第一个等腰直角三角形的面积是2=32. ÷8 这一个图形的面积是 32+16+ 8+ 4 + 2+1= 63. 点是大长方形一边的中点，A，2如右图，两个长方形叠放在一起，小长形的宽是8 例? 是等腰直角三角形，那么图中阴影部分的总面积是多少ABC并且三角形 G. ，F，E， D解：为了说明的方便，在图上标上英文字母2=2. ÷2×=2的面积ABC三角形 . 都是等腰直角三角形EFG，ADE，ABC三角形面积×=ABC面积 ADE的直角边一样长，因此三角形ADE的斜边，与三角形ABC三角形2=4. =ABC面积EFG因此三角形.的直角边一样长ABC的斜边与三角形EFG三角形 2=1. 面积÷ 4+1=5. 阴影部分的总面积是 B，三个角的度数：角BC=3，AD=7的两条边的长度ABCD如右图，已知一个四边形9 例 A是直角，角D和. 求这个四边形的面积.°45是 BCE. ，切掉一个等腰直角三角形ADE解：这个图形可以看作是一个等腰直角三角形因为是A 是E°，角90是D°，角45 °，= 45°-90°-45°180 . 也是等腰直角三角形BCE是等腰直角三角形，ADE所以的面积，是这两个等腰直角三角形面积之差，即ABCD四边形÷3×2-3÷7×7 2=20. 参赛同学.原来试题图上并没有画出虚线三角形.小学数学奥林匹克决赛试题1994这是但是有一些.因此做对这道题的人数不多.是不大容易想到把图形补全成为等腰直角三角形把图形分成两个直角三角形，并认为这两个直角三角形是一样的，这就大AC同学，用直线角这样做，.错特错了两个三角形相等，图形上线段相等，?这一条件还用得上吗°，45是A千万不要随便小学同学尚未学过几何，必须从几何学上找出根据，是不能靠眼睛来测定的，°和直角，你应首先考45有.我们应该从题目中已有的条件作为思考的线索.对图形下结论 . 虑等腰直角三角形. 现在我们转向正方形的问题，每)标号相同的两个正方形为一对(的长方形内，有四对正方形15× 11在右图10 例 ? 面积是多少)阴影部分(一对是相同的正方形，那么中间这个小正方形解：长方形的宽，是“一”与“二”两个正方形的边长之和，长方形的长，是“一”、. “三”与“二”三个正方形的边长之和=15-11=4 宽-长 . 是“三”正方形的边长宽又是两个“三”正方形与中间小正方形的边长之和，因此 ×=11-4中间小正方形边长 2=3. 3= 9. ×=3中间小正方形面积 . 如果把这一图形，画在方格纸上，就一目了然了，剩下的长方形土)见图(米的长方形土地1从一块正方形土地中，划出一块宽为11 例 .平方米15.75地面积是. 求划出的长方形土地的面积解：剩下的长方形土地，我们已知道 ). 米=1(宽-长 ? 平方米，那么能否从这一面积求出长与宽之和呢15.75还知道它的面积是. 如果能求出，那么与上面“差”的算式就形成和差问题了我们把长和宽拼在一起，如 . 右图如下图就拼成一个但是再拼上同样的两个正方形，从这个图形还不能算出长与宽之和，大正方形，这个正方形的边长，. 恰好是长方形的长与宽之和就会发现，仔细观察一下，它也是一个正方形，.可是这个大正方形的中间还有一个空洞它的边长，恰好是长方形的长与宽之差，等于. 米1 现在，我们就可以算出大正方形面积： ). 平方米1= 64(×4+1×15.75 米，也就是说长方形的 8，大正方形边长是8×8是64 ). 米=8(宽+长). 米=8-4.5=3.5(宽).米2= 4.5(÷=(8+1)长因此那么划出的长方形面积是 1=4. 5(×4.5 ). 平方米，6的边长是EFGC已知小正方形.并放在一起EFGC与正方形ABCD正方形.如右图12 例 . 的面积)阴影部分AEG(求三角形，因此CD，高是EC，上底是AD它的下底是.是一个梯形AECD解：四边形四边形 2 ×大正方形边长÷)大正方形边长+小正方形边长=(面积AECD)大正方形边长+小正方形边长DG=(是直角三角形，它的一条直角边长ADG三角形，因此 2. ×大正方形边长÷)大正方形边长+小正方形边长=(面积ADG三角形AECD四边形是它们两者共有，因此，三角形AHCD四边形.面积一样大 ADG与三角形面积后，就有EHG面积相等，都加上三角形HCG与三角形AEH三角形=阴影部分面积面积ECG 小正方形面积的一半= 2=18. ÷6×= 6 影阴部分面积，十分有趣的是，. 而与大正方形边长却没有关系只与小正方形边长有关，三、其他的面积有些例题看起来不难，但可以给你启发的.这一节将着重介绍求面积的常用思路和技巧 . 内容不少，请读者仔细体会画在方格纸上的一个用粗线围成的图形13 例 . ，求它的面积)如右图( . 我们通过扣除周围正方形和直角三角形来计算直接计算粗线围成的面积是困难的，解：个，3周围小正方形有因此围个，1的三角形有1.5面积为个，5的三角形有1面积为成面积是 4-3-5-1.5=6.5. ×4. 与本题在解题思路上是完全类同的6例× 6是ABCD下图中14 例 4长是AF的长方形，8，求阴影 . 的面积AEF部分三角形，但是不知道它的高多长，直接求它的面积是困AF中，我们知道一边AEF解：三角形底边，AEB如果把它扩大到三角形.难的的长，BC即高是长方形的宽，就是长方形的长，，AB是直角三角AFB的面积是长方形面积的一半，而扩大的三角形AEB三角形.面积就可以求出因此.形，它的两条直角边的长是知道的，很容易算出它的面积) 面积AFB三角形)-(面积AEB 三角形=(面积AEF三角形×2-4÷6×=8 2 ÷8 = 8. 当然扩大的部分也要容有时我们把难求的图形扩大成易求的图形，这一例题告诉我们， . 的解法，也是这种思路9前面例.易求出，从而间接地解决了问题例中间有两条道路，一条是10.，宽是16下左图是一块长方形草地，长方形的长是15 ? 有多大)阴影部分(长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积 .平行四边形面积有多大我们首先要弄清楚，解：从图上可.平行四边形的面积是底×高的长方形面2× 10因此这个平行四边形的面积与.，高恰好是长方形的宽度2以看出，底是 . 积相等2× 10可以设想，把这个平行四边形换成如前页(的长方形，再把横竖两条都移至边上还是与原来一样大小，因此)阴影部分(，草地部分面积)右图 (10-2)= 112. ×=(16-2)草地面积. 右图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积16 例解：实际上，阴影部分是一个梯形，可是它的上底、下底和高都不知道，不能直接来求 . 它的面积合在一起，就是原直角三角形BCE阴影部分与三角形也是梯形，ABCD你是否看出，.的面积与阴影部分面积一样ABCD梯形因此，.也是原直角三角形合在一起，BCE它和三角形的上底ABCD梯形.大因此阴影部分面积等于.的长DC，高就是3的长减去AD，是直角边BC×=(8+8-3)面积ABCD梯形2= 32.5. ÷5数学上这叫等换成容易算的面积，如何把不容易算的面积，上面两个例子都启发我们， . 要想有这种“换”的本领，首先要提高对图形的观察能力.积变形下图是两个直角三角形叠放在一起形成的图形17 例，CB，3都等于EC，FE， AF已知. . 求这个图形的面积 4.都等于BD . 解：两个直角三角形的面积是很容易求出的 2=18. ÷4×=(3+3+3)面积ABC三角形 2=12. ÷ 3×=(4+4)面积CDE三角形，只要减去这个重叠部分，所求图形BCEG四边形--这两个直角三角形有一个重叠部分 . 的面积立即可以得出 . 是三个面积相等的三角形 EGC， FGE， AGF，所以 AF= FE= EC=3因为. 是两个面积相等的三角形BGD，CGB，所以CB=BD=4因为面积DEC×三角形2 = 2 ). 面积 GCE三角形(×)+2面积 GBC三角形(×2× 面积ABC三角形 ). 面积GCE三角形(×)+3面积 GBC三角形= ( 面积BCEG四边形 ) 面积GCE三角形)+(面积GBC三角形=( 5 ÷12+18)×=(2 =8.4. =12+ 18- 8.4=21.6. 所求图形面积10× 2是DEFG长方形，7×4是ABCG如下页左图，18 例与三角 BCM求三角形.长方形 . 面积之差 DEM形与非阴影部分合起来是两DEM三角形ABEF.与非阴影部分合起来是梯形BCM三角形解：个长方形的和. ) 面积DEM三角形)-(面积BCM三角形( 两个长方形面积之和)-(面积ABEF梯形=( 10) ×7 + 2×2-(4÷(4+2)×=(7+10) =3.49.，35，13上右图中，在长方形内画了一些直线，已知边上有三块面积分别是19 例? 那么图中阴影部分的面积是多少，49，13的公共部分，而面积为CDE与三角形ABC解：所求的影阴部分，恰好是三角形盖住的部分，因此CDE与三角形ABC这三块是长方形中没有被三角形35 )+(13+49+35) 面积CDE三角形)+(面积 ABC三角形( ). 阴影部分面积)+(长方形面积=( ，底是长方形的宽，高是长CDE三角形;，底是长方形的长，高是长方形的宽ABC三角形面积，都是长方形面积的一半，就有CDE面积，与三角形ABC因此，三角形.方形的长=13 + 49+ 35= 97. 阴影部分面积千米的速度行驶一60千米，一辆汽车从甲地开往乙地，以每小时465甲、乙两地相距1. 小时到达乙地。
六年级奥数培优 几何图形教案之比例法一
六年级奥数培优 几何图形教案第七课时 比例法(一)利用比例转换求面积例1：已知如图，三角形ABC 的面积为10cm 2，AE ED =，5BD=3BC ，求阴影部分面积。
针对性训练：1、如图所示，AE ED =，CD=3BD ，30ABC S ∆=（cm 2）。
求阴影部分的面积。
2、如图18-4所示，12DE AE =，2BD DC =，5EBD S ∆=（cm 2）。
求三角形ABC 的面积。
考点归纳例2：四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分，且四边形AECF的面积为15cm2。
求四边形ABCD的面积。
针对性训练：1.四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点五等分，且四边形AECG的面积为15cm2。
求四边形ABCD的面积。
2.正方形ABCD的边长为24cm，E、F分别是CD、BC的中点，BE与DF交于G。
求阴影部分的面积。
例3：如图所示，如三角形ABC中，三角形BDE、DCE、ACD的面积分别是75，23，22cm2。
那么三角形ADE的面积是多少？针对性训练：1、如图所示，在三角形ADE中，三角形ABC、BCE、CDE的面积分别是60，24，37cm2。
求三角形BDC的面积。
2、如图所示，在三角形AGH中，三角形ABC、BCD、CDE、DEF、EFG、FGH的面积分别是17，19，21，25，28，29cm2，求三角形EFH的面积。
1、如图所示，AE ED =，5CD=2BC ，阴影部分的面2121ABC S ∆=（cm 2）。
求阴影部分的面积为 。
2、已知四边形ABCD 的对角线被E 、F 、G 三点四等分，且阴影部分面积为15cm 2。
求四边形ABCD 的面积 。
3、如图所示，在三角形ABC 中，三角形ADE 、DEF 、EFG 、FGH 、CGH 、BCH 的面积分别是5，7，11，15，20，12cm 2，求三角形BGH 的面积。
4、正方形ABCD 的边长为50cm ，E 、F 分别是AD 、AB 的中点，BE 与DF 交于G 。
小学六年级奥数课件：几何部分教案共61页文档
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
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29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
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30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
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45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚他 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
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26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
六年级奥数 几何;第5讲;几何综合_二_;教师版
方法二：连接正方形 A 对角线(如右上图)，将 40 平方厘米的图形分成面积相等的两个梯形，而梯
形的上下底之和恰好是 20 厘米，所以梯形的高为 20 × 2 ÷ 20 = 2 (厘米)，即两个正方形的边长差，
由此可求出乙正方形的边长为(20 − 2)÷ 2 = 9 (厘米)，从而乙正方形的面积为 9 × 9 = 81(厘米 2)．
A
甲乙 D I JF
M
N H丙
B
E
C
【解析】因为 D 、 E 、 F 分别为三边的中点，所以 DE 、 DF 、 EF 是三角形 ABC 的中位线，也就与对应 的边平行，根据面积比例模型，三角形 ABN 和三角形 AMC 的面积都等于三角形 ABC 的一半， 即为 200． 根据图形的容斥关系，有 SΔABC − S丙 = SΔABN + SΔAMC − SAMHN ，即 400 − S丙 = 200 + 200 − SAMHN ，所 以 S丙 = SAMHN ．
【例 8】 从一块正方形的玻璃板上锯下宽为 0.5 米的一个长方形玻璃条后，剩下的长方形的面积为 5 平方 米，请问锯下的长方形玻璃条的面积等于多少？
0.5
5 5
5
0.5
0.5
5 5
2010 年·短期班
图a
图b
小学奥数·六年级·几何·第 5 讲 教师版
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【解析】我们先按题目中的条件画出示意图(如图 a )，我们先看图中剩下的长方形，已知它的面积为 5 平 方米，它的长和宽相差 0.5 米，我们可以将这样形状的四个长方形拼成一个弦图(如图 b )． 图 b 是一个大正方形，它的边长等于长方形的长和宽之和， 中间的那个小正方形的边长，等于长方形的长和宽之差， 即 0.5 米．所以中间的小正方形的面积为 0.5 × 0.5 = 0.25 平 方米，那么大正方形的面积为 5 × 4 + 0.25 = 20.25 平方米． 因为 4.5 × 4.5 = 20.25 ，所以大正方形的边长等于 4.5 米．所 以原题中剩下的长方形的长与宽的和为 4.5 米，而长与宽 的差为 0.5 米，所以剩下的长方形的长为： (4.5 + 0.5) ÷ 2 = 2.5 米，即原正方形的边长为 2.5 米．又知锯下的长方形玻璃条的宽为 0.5 米，于是 可得锯下的长方形玻璃条的面积为 2.5 × 0.5 = 1.25 平方米．
小学六年级奥数课件：几何部分教案
例题3
图1
如图1所示，四个圆的半径都 是5厘米，求阴影部分的面积。
分析与解：直接套用公式，正方形中间的阴影 部分的面积不太好计算。容易看出，正方形中 的空白部分是4个四分之一圆，利用五年级学 过的割补法，可以得到右上图。右上图的阴影 部分的面积与原图相同，等于一个正方形与4 个半圆（即2个圆）的面积之和，
个内角。
多边形的内角和为（n-2）×180°，外角和为360°
这个就是多边形的一个 外角
怎么证明多边形的内角和呢？
①在多边形内任取一点，连 接这一点和所有顶点
②过其中的一个顶点，连接 所有的对角线
Байду номын сангаас
多边形的分类
多边形
正多边形 非正多边形 凸多边形 凹多边形
凸多边形的性质：
1. 内角均小于180°，内角和为(n-2)×180°，外角和为360° 2. 凸多边形内角中锐角的个数不能多于三个 3. 凸多边形的对角线都在多边形的内部，对角线的条数为n×(n-3)÷2
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例题1 A O
正方形的性质
如图，正方形ABCD的边长是6，O是正方形的中
B
心，其中EO垂直于OF，求四边形EOFD的面积
E
C 引申拓展
D F
桌面上有若干张大小相等的正方形纸片，按照顺 序一张一张的摆放，要求后摆的纸片必须有一个 顶点与前一张纸片的中心重合。
求：
①如果有5张纸片，桌面被覆盖的面积是多少？
例题7
用四条直线最多能将一个圆分成几块？用100条直线呢？
由上面的分析可以看出，画第n条直线时应当与前面已画的（n—1）条 直线都相交，此时将增加n块。因为一开始的圆算1块，所以n条直线最 多将圆分成
1＋（1＋2＋3＋…＋n） =1＋n（n+1）÷2（块）。 当n=100时，可分成 1＋100×（100＋1）÷2=5051（块）。
六年级奥数-第五讲.几何-立体部分
第五讲 几何——立体部分教学目标：对于小学几何而言，立体图形的表面积和体积计算，既可以很好地考查学生的空间想象能力，又可以具体考查学生在公式应用中处理相关数据的能力，所以，很多重要考试都很重视对立体图形的考查．知识点拨：一、长方体和正方体如右图，长方体共有六个面(每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．c b aHGFED CBA①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等． (叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．) ②长方体的表面积和体积的计算公式是： 长方体的表面积：2()S ab bc ca =++长方体； 长方体的体积：V abc =长方体．③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形． 如果它的棱长为a ，那么：26S a =正方体，3V a =正方体．二、圆柱与圆锥例题精讲：【例 1】 如右图，在一个棱长为10的立方体上截取一个长为8，宽为3，高为2的小长方体，那么新的几何体的表面积是多少？【解析】 我们从三个方向(前后、左右、上下)考虑，新几何体的表面积仍为原立方体的表面积：10⨯10⨯6=600．【例 2】 右图是一个边长为4厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边长l 厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方厘米?（图中只画出了前面、右面、上面挖去的正方体）【解析】 原正方体的表面积是4⨯4⨯6=96(平方厘米)．每一个面被挖去一个边长是1厘米的正方形，同时又增加了5个边长是1厘米的正方体作为玩具的表面积的组成部分．总的来看，每一个面都增加了4个边长是1厘米的正方形．从而，它的表面积是：96+4⨯6=120平方厘米．【巩固】在一个棱长为50厘米的正方体木块，在它的八个角上各挖去一个棱长为5厘米的小正方体，问剩下的立体图形的表面积是多少？ 【解析】 对于和长方体相关的立体图形表面积，一般从上下、左右、前后3个方向考虑．变化前后的表面积不变：50⨯50⨯6=15000(平方厘米)．【例 3】 下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为12厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为14厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？【解析】 我们仍然从3个方向考虑．平行于上下表面的各面面积之和：2⨯2⨯2=8(平方厘米)；左右方向、前后方向：2⨯2⨯4=16(平方厘米)，1⨯1⨯4=4(平方厘米)，12⨯12⨯4=1(平方厘米)，14⨯14⨯4=14(平方厘米)，这个立体图形的表面积为：816++4+1+14=1294(平方厘米).【例4】一个正方体木块，棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条，每条又锯成4小块，共得到大大小小的长方体24块，那么这24块长方体的表面积之和是多少？【解析】锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数⨯2=增加的面数．原正方体表面积：1⨯1⨯6=6(平方米)，一共锯了(2-1)+(3-1)+(4-1)=6次，6+1⨯1⨯2⨯6=18(平方米)．56cm的长方体如图切成27个小长方体，这27个小长方体【巩固】(2008年走美六年级初赛)一个表面积为2cm．表面积的和是2【解析】每一刀增加两个切面，增加的表面积等于与切面平行的两个表面积，所以每个方向切两刀后，表面积增加到原来的3倍，即表面积的和为2⨯=．563168(cm)【例5】如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体，表面积最小是多少？25块积木【解析】当小积木互相重合的面最多时表面积最小.设想27块边长为1的正方形积木，当拼成一个333⨯⨯的正方体时，表面积最小，现在要去掉2块小积木，只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54.【例6】要把12件同样的长a、宽b、高h的长方体物品拼装成一件大的长方体，使打包后表面积最小，该如何打包？⑴当b=2h时，如何打包？⑵当b<2h时，如何打包？⑶当b>2h时，如何打包？【解析】图2和图3正面的面积相同，侧面面积=正面周长⨯长方体长，所以正面的周长愈大表面积越大，图2的正面周长是8h+6b，图3的周长是12h+4b.两者的周长之差为2（b-2h）.当b=2h时，图2和图3周长相等，可随意打包；当b<2h时，按图2打包；当b>2h时，按图3打包.图3图2图1h ba【巩固】要把6件同样的长17、宽7、高3的长方体物品拼装成一件大的长方体，表面积最小是多少？ 【解析】 考虑所有的包装方法，因为6=1⨯2⨯3，所以一共有两种拼接方式：第一种按长宽高1⨯1⨯6拼接，重叠面有三种选择，共3种包装方法.第二种按长宽高1⨯2⨯3拼接，有3个长方体并列方向的重叠面有三种选择，有2个长方体并列方向的重叠面剩下2种选择，一共有6种包装方法. 其中表面积最小的包装方法如图所示，表面积为1034.【例 7】 如图，在一个棱长为5分米的正方体上放一个棱长为4分米的小正方体，求这个立体图形的表面积．【解析】 我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，“压缩”后我们发现：小正方体的上面与大正方体上面中的阴影部分合在一起，正好是大正方体的上面.这样这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：上下方向：大正方体的两个底面；四周方向(左右、前后方向)：小正方体的四个侧面，大正方体的四个侧面．上下方向：55250⨯⨯=(平方分米)；侧面：554100⨯⨯=(平方分米)，44464⨯⨯=(平方分米)．这个立体图形的表面积为：5010064214++=(平方分米)．【例 8】 (2008年“希望杯”五年级第2试)如图，棱长分别为1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．【解析】(法1)四个正方体的表面积之和为：2222+++⨯=⨯=(平方厘米)，(1235)6396234重叠部分的面积为：222222222⨯+⨯+++++++=+++=(平方厘米)，13(221)(321)(321)39141440所以，所得到的多面体的表面积为：23440194-=(平方厘米)．(法2)三视图法．从前后面观察到的面积为22253238++=平方厘米,从左右两个面观察到的面积为22+=平方厘米，从上下能观察到的面积为2525=平方厘米．5334表面积为()++⨯=(平方厘米)．3834252194【例9】把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形.，求这个立体图形的表面积．【解析】从上下、左右、前后观察到的的平面图形如下面三图表示．因此，这个立体图形的表面积为：2个上面2+个左面2+个前面．上表面的面积为：9平方厘米，左表面的面积为：8平方厘米，前表面的面积为：10平方厘米．因此，这个立体图形的总表面积为：(9810)254++⨯=(平方厘米)．上下面左右面前后面【巩固】用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米?【解析】该图形的上、左、前三个方向的表面分别由9、7、7块正方形组成．该图形的表面积等于(977)246++⨯=个小正方形的面积，所以该图形表面积为46平方厘米．【例10】有30个边长为1米的正方体，在地面上摆成右上图的形式，然后把露出的表面涂成红色．求被涂成红色的表面积．【解析】44(1234)456⨯++++⨯=(平方米)．【例11】棱长是m厘米（m为整数）的正方体的若干面涂上红色，然后将其切割成棱长是1厘米的小正方体．至少有一面红色的小正方体个数和表面没有红色的小正方体个数的比为13:12，此时m的最小值是多少?m个，由于其中至少有一面是红色的小正方体与没有红色面的【解析】切割成棱长是1厘米的小正方体共有3个数之比为13:12，而131225+=，所以小正方体的总数是25的倍数，即3m是25的倍数，那么m 是5的倍数．当5m=时，要使得至少有一面的小正方体有65个，可以将原正方体的正面、上面和下面涂色，此时至少一面涂红色的小正方体有5554265⨯+⨯⨯=个，表面没有红色的小正方体有1256560-=个，个数比恰好是13:12，符合题意.因此，m的最小值是5．【例12】有64个边长为1厘米的同样大小的小正方体，其中34个为白色的，30个为黑色的．现将它们拼成一个444⨯⨯的大正方体，在大正方体的表面上白色部分最多可以是多少平方厘米？【解析】要使大正方体的表面上白色部分最多，相当于要使大正方体表面上黑色部分最少，那么就要使得黑色小正方体尽量不露出来．在整个大正方体中，没有露在表面的小正方体有3-=(个)，用黑色的；在面上但不在边上的小(42)8正方体有2-=个用黑色．(42)624-⨯=(个)，其中30822这样，在表面的44696-=(个)是白色，所以在大⨯⨯=个11⨯的正方形中，有22个是黑色，962274正方体的表面上白色部分最多可以是74平方厘米．【例13】三个完全一样的长方体，棱长总和是288厘米，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，给这三个长方体涂色，一个涂一面，一个涂两面，一个涂三面．涂色后把三个长方体都切成棱长为1厘米的小正方体，只有一个面涂色的小正方体最少有多少个？【解析】 每个长方体的棱长和是288396÷=厘米，所以，每个长方体长、宽、高的和是96424÷=厘米．因为，每个长方体相交于一个顶点的三条棱长恰是三个连续的自然数，所以，每个长方体的长、宽、高分别是9厘米、8厘米、7厘米．要求切割后只有一个面涂色的小正方体最少有多少个，则需每一个长方体按题意涂色时，应让切割后只有一个面涂色的小正方体最少．所以，涂一面的长方体应涂一个87⨯面，有8756⨯=个； 涂两面的长方体，若两面不相邻，应涂两个87⨯面，有872112⨯⨯=个；若两面相邻，应涂一个87⨯面和一个97⨯面，此时有()7892105⨯+-=个，所以涂两面的最少有105个；涂三面的长方体，若三面不两两相邻，应涂两个87⨯面、一个97⨯面，有()78894147⨯++-=个；若三面两两相邻，有()()()()()()718171918191146-⨯-+-⨯-+-⨯-=个，所以涂三面的最少有146个．那么切割后只有一个面涂色的小正方体最少有56105146307++=个．【例 14】 把一个大长方体木块表面上涂满红色后，分割成若干个同样大小的小正方体，其中恰好有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，那么至少要把这个大长方体分割成多少个小正方体？ 【解析】 设小正方体的棱长为1，考虑两种不同的情况，一种是长方体的长、宽、高中有一个是1的情况，另一种是长方体的长、宽、高都大于1的情况．当长方体的长、宽、高中有一个是1时，分割后只有一层小正方体，其中有两个面涂上红色的小正方体是去掉最外层一圈的小正方体后剩下的那些．因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，设100a b =⨯，那么分成的小正方体个数为()()()()221242104a b ab a b a b +⨯+⨯=+++=++，为了使小正方体的个数尽量少，应使()a b +最小，而两数之积一定，差越小积越小，所以当10a b ==时它们的和最小，此时共有()()102102144+⨯+=个小正方体．当长方体的长、宽、高都大于1时，有两个面涂上红色的小正方体是去掉8个顶点所在的小正方体后12条棱上剩余的小正方体，因为有两个面涂上红色的小正方体恰好是100块，所以长方体的长、宽、高之和是10042331÷+⨯=．由于三个数的和一定，差越大积越小，为了使小正方体的个数尽量少，应该令312227=++，此时共有2227108⨯⨯=个小正方体． 因为108144<，所以至少要把这个大长方体分割成108个小正方体．【例 15】 把正方体的六个表面都划分成9个相等的正方形．用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形染不同的颜色，那么，用红色染的正方形最多有多少个？【解析】 一个面最多有5个方格可染成红色（见左下图）．因为染有5个红色方格的面不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成5个红色方格．红红红红红红红红红红红其余四个面中，每个面的四个角上的方格不能再染成红色，至多能染4个红色方格（见上中图）．因为染有4个红色方格的面也不能相邻，可以相对，所以至多有两个面可以染成4个红色方格．最后剩下两个相对的面，每个面最多可以染2个红色方格（见右上图）．所以，红色方格最多有52422222⨯+⨯+⨯=（个）．（另解）事实上上述的解法并不严密，“如果最初的假设并没有两个相对的有5个红色方格的面，是否其他的四个面上可以出现更多的红色方格呢？”这种解法回避了这个问题，如果我们从约束染色方格数的本质原因入手，可严格说明22是红色方格数的最大值．对于同一个平面上的格网，如果按照国际象棋棋盘的方式染色，那么至少有一半的格子可以染成红色．但是现在需要染色的是一个正方体的表面，因此在分析问题时应该兼顾棱、角等面与面相交的地方：⑴ ⑵ ⑶ ⑴如图，每个角上三个方向的3个方格必须染成不同的三种颜色，所以8个角上最多只能有8个方格染成红色．⑵如图，阴影部分是首尾相接由9个方格组成的环，这9个方格中只能有4个方格能染成同一种颜色(如果有5个方格染同一种颜色，必然出现相邻，可以用抽屉原理反证之：先去掉一个白格，剩下的然后两两相邻的分成四个抽屉，必然有一个抽屉中有两个红色方格)，像这样的环，在正方体表面最多能找到不重叠的两道（关于正方体中心对称的两道），涉及的18个方格中最多能有8个可染成红色． ⑶剩下633839212⨯⨯-⨯-⨯=个方格，分布在6条棱上，这12个格子中只能有6个能染成红色． 综上所述，能被染成红色的方格最多能有88622++=个格子能染成红色，第一种解法中已经给出22个红方格的染色方法，所以22个格子染成红色是最多的情况．【例 16】 一个长、宽、高分别为21厘米、15厘米、12厘米的长方形.现从它的上面尽可能大的切下一个正方体，然后从剩余的部分再尽可能大的切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大的切下一个正方体，剩下的体积是多少立方厘米？【解析】 本题的关键是确定三次切下的正方体的棱长.由于21:15:127:5:4=，为了方便起见.我们先考虑长、宽、高分别为7厘米、5厘米、4厘米的长方体.因为754>>，容易知道第一次切下的正方体棱长应该是4厘米，第二次切时，切下棱长为3厘米的正方体符合要求.第三次切时，切下棱长为2厘米的正方体符合要求．那么对于原长方体来说，三次切下的正方体的棱长分别是12厘米、9厘米和6厘米，所以剩下的体积应是：()33321151212961107⨯⨯-++=（立方厘米）.12129996663121263912【例 17】 有黑白两种颜色的正方体积木，把它摆成右图所示的形状，已知相邻(有公共面)的积木颜色不同，标A 的为黑色，图中共有黑色积木多少块？A【解析】 分层来看，如下图(切面平行于纸面)共有黑色积木17块.【巩固】这个图形，是否能够由112⨯⨯的长方体搭构而成？【解析】 每一个112⨯⨯的长方体无论怎么放，都包含了一个黑色正方体和一个白色正方体，而黑色积木有17块，白色积木有15块，所以该图形不能够由112⨯⨯的长方体搭构而成.【巩固】有许多相同的立方体，每个立方体的六个面上都写着同一个数字(不同的立方体可以写相同的数字)先将写着2的立方体与写着1的立方体的三个面相邻，再将写着3的立方体写着2的立方体相邻(见左下图)．依这样构成右下图所示的立方体，它的六个面上的所有数字之和是多少?33223323322323111111【解析】 第一层如下图，第二层、第三层依次比上面一层每格都多1(见下图)．765434565第三层654323454第二层第一层343212345上面的9个数之和是27，由对称性知，上面、前面、右面的所有数之和都是27．同理，下面的9个数之和是45，下面、左面、后面的所有数之和都是45．所以六个面上所有数之和是(2745)3216+⨯=．【例 18】 (05年武汉明心杯数学挑战赛)如图所示，一个555⨯⨯的立方体，在一个方向上开有115⨯⨯的孔，在另一个方向上开有215⨯⨯的孔，在第三个方向上开有315⨯⨯的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？【解析】 求体积：开了315⨯⨯的孔，挖去31515⨯⨯=，开了115⨯⨯的孔， 挖去11514⨯⨯-=；开了215⨯⨯的孔， 挖去215(22)6⨯⨯-+=，剩余部分的体积是：555(1546)100⨯⨯-++=．(另解)将整个图形切片，如果切面平行于纸面，那么五个切片分别如图：得到总体积为：22412100⨯+=． 求表面积：表面积可以看成外部和内部两部分．外部的表面积为55612138⨯⨯-=，内部的面积可以分为前 后、左右、上下三个方向，面积分别为()22515121320⨯⨯+⨯-⨯-⨯=、 ()2153513132⨯⨯+⨯-⨯-=、()2151511214⨯⨯+⨯-⨯-=，所以总的表面积为138203214204+++=．(另解)运用类似于三视图的方法，记录每一方向上的不同位置上的裸露正方形个数：前后方向：32上下方向：30左右方向：40总表面积为()2323040204⨯++=．【总结】“切片法”：全面打洞(例如本题，五层一样)，挖块成线(例如本题，在前一层的基础上，一条线一条线地挖)，这里体现的思想方法是：化整为零，有序思考！【巩固】（2008年香港保良局第12届小学数学世界邀请赛）如图，原来的大正方体是由125个小正方体所构成的．其中有些小正方体已经被挖除，图中涂黑色的部分就是贯穿整个大正方体的挖除部分．请问剩下的部分共有多少个小正方体？第8题【解析】对于这一类从立体图形中间挖掉一部分后再求体积（或小正方体数目）的题目一般可以采用“切片法”来做，所谓“切片法”，就是把整个立体图形切成一片一片的（或一层一层的），然后分别计算每一片或每一层的体积或小正方体数目，最后再把它们相加．采用切片法，俯视第一层到第五层的图形依次如下，其中黑色部分表示挖除掉的部分．第1层第2层第3层第4层第5层从图中可以看出，第1、2、3、4、5层剩下的小正方体分别有22个、11个、11个、6个、22个，所以总共还剩下22111162272++++=（个）小正方体．【巩固】一个由125个同样的小正方体组成的大正方体，从这个大正方体中抽出若干个小正方体，把大正方体中相对的两面打通，右图就是抽空的状态．右图中剩下的小正方体有多少个？【解析】解法一：(用“容斥原理”来解)由正面图形抽出的小正方体有5525⨯=个，由侧面图形抽出的小正方体有5525⨯=个，由底面图形抽出的小正方体有4520⨯=个，正面图形和侧面图形重合抽出的小正方体有1221228⨯+⨯=个，底面图⨯+⨯+⨯=个，正面图形和底面图形重合抽出的小正方体有13227形和侧面图形重合抽出的小正方体有1211227⨯+⨯+⨯=个，三个面的图形共同重合抽出的小正方体有4个．根据容斥原理，252520877452-=，++---+=，所以共抽出了52个小正方体．1255273所以右图中剩下的小正方体有73个．注意这里的三者共同抽出的小正方体是4个，必须知道是哪4块，这是最让人头疼的事．但你可以先构造空的两个方向上共同部分的模型，再由第三个方向来穿过“花墙”．这里，化虚为实的思想方法很重要．解法二：(用“切片法”来解)可以从上到下切五层，得：⑴从上到下五层，如图：⑵或者，从右到左五片，如图：请注意这里的挖空的技巧是：先认一种方向．比如：从上到下的每一层，首先都应该有第一层的空四块的情况，即——如果挖第二层：第(1)步，把中间这些位置的四块挖走如图：第(2)步，把从右向左的两块成线地挖走．(请注意挖通的效果就是成线挖去)，如图：第(3)步，把从前向后的一块(请注意跟第二层有关的只是一块！)挖成线！如图：【例19】（2009年迎春杯高年级组复赛）右图中的⑴⑵⑶⑷是同样的小等边三角形，⑸⑹也是等边三角形且边长为⑴的2倍，⑺⑻⑼⑽是同样的等腰直角三角形，⑾是正方形．那么，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的倍．⑷⑶⑵⑴⑾⑽⑼⑻⑺⑹⑸【解析】本题中的两个图都是立体图形的平面展开图，将它们还原成立体图形，可得到如下两图：其中左图是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形，是一个四个面都是正三角形的正四面体，右图以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形，是一个不规则图形，底面是⑾，四个侧面是⑺⑻⑼⑽，两个斜面是⑸⑹．对于这两个立体图形的体积，可以采用套模法来求，也就是对于这种我们不熟悉的立体图形，用一些我们熟悉的基本立体图形来套，看看它们与基本立体图形相比，缺少了哪些部分．由于左图四个面都是正三角形，右图底面是正方形，侧面是等腰直角三角形，想到都用正方体来套．对于左图来说，相当于由一个正方体切去4个角后得到(如下左图，切去1ABDA 、1CBDC 、111D AC D 、111B AC B )；而对于右图来说，相当于由一个正方体切去2个角后得到(如下右图，切去1BACB 、1DACD )．D 1C 1B 1A 1D CBAAB CDA 1B 1C 1D 1假设左图中的立方体的棱长为a ，右图中的立方体的棱长为b ，则以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积为：3231114233a a a a -⨯⨯⨯=，以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积为3231122233b b b b -⨯⨯⨯=．由于右图中的立方体的棱长即是题中正方形⑾的边长，而左图中的立方体的每一个面的对角线恰好是正三角形⑴的边长，通过将等腰直角三角形⑺分成4个相同的小等腰直角三角形可以得到右图中的立方体的棱长是左图中的立方体的棱长的2倍，即2b a =．那么以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形的体积与以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积的比为：()33331212::21:163333a b a a =⨯=，也就是说以⑸⑹⑺⑻⑼⑽⑾为平面展开图的立体图形的体积是以⑴⑵⑶⑷为平面展开图的立体图形体积的16倍．【例 20】 图⑴和图⑵是以正方形和等边三角形为面的立体图形的展开图，图中所有的边长都相同．请问：图⑴能围起来的立体图形的体积是图⑵能围起来的立体图形的体积的几倍？图⑴ 图⑵ 【解析】 首先，我们把展开图折成立体图形，见下列示意图：图⑴ 图⑵对于这类题目，一般采用“套模法”，即用一个我们熟悉的基本立体图形来套，这样做基于两点考虑，一是如果有类似的模型，可以直接应用其计算公式；二是如果可以补上一块或者放到某个模型里面，那么可以从这个模型入手．我们把图⑴中的立体图形切成两半，再转一转，正好放进去！我们看到图⑴与图⑶的图形位置的微妙关系：1和图3一致！60°图⑶ 图⑷由图⑷可见，图⑴这个立体的体积与图⑶这个被切去了8个角后的立体图形的体积相等．假设立方体的1条边的长度是1，那么一个角的体积是1111112222348⨯⨯⨯⨯=，所以切掉8个角后的体积是1518486-⨯=．再看图⑵中的正四面体，这个正四面体的棱长与图⑶中的每一条实线线段相等，所以应该用边长为12的立方体来套．如果把图⑵的立体图形放入边长为12的立方体里的话是可以放进去的．12这是切去了四个角后的图形，从上面的分析可知一个角的体积为148，所以图⑵的体积是：1111142224824⨯⨯-⨯=，那么前者的体积是后者的5120624÷=倍．【例 21】 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的3个圆柱组成一个物体．问这个物体的表面积是多少平方米？(π取3.14)1110.511.5【解析】 从上面看到图形是右上图，所以上下底面积和为22 3.14 1.514.13⨯⨯=(立方米)，侧面积为2 3.14(0.51 1.5)118.84⨯⨯++⨯=(立方米)，所以该物体的表面积是14.1318.8432.97+=(立方米)．【例 22】 有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的圆孔，圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米(见右图)．如果将这个零件接触空气的部分涂上防锈漆，那么一共要涂多少平方厘米？【解析】 涂漆的面积等于大圆柱表面积与小圆柱侧面积之和，为266π10π()24π560π18π20π98π307.722⨯+⨯⨯+⨯=++==(平方厘米)．【例 23】 (第四届希望杯2试试题)圆柱体的侧面展开，放平，是边长分别为10厘米和12厘米的长方形，那么这个圆柱体的体积是________立方厘米．(结果用π表示)【解析】 当圆柱的高是12厘米时体积为210300π()122ππ⨯⨯=(立方厘米)当圆柱的高是12厘米时体积为212360π()102ππ⨯⨯=(立方厘米)．所以圆柱体的体积为300π立方厘米或360π立方厘米．【例 24】 如右图，是一个长方形铁皮，利用图中的阴影部分，刚好能做成一个油桶(接头处忽略不计)，求这个油桶的容积．(π 3.14=)【解析】 圆的直径为：()16.561 3.144÷+=(米)，而油桶的高为2个直径长，即为：428(m)⨯=，故体积为100.48。
六年级奥数培优 几何图形教案之整体带入法
六年级奥数培优 几何图形教案第三课时 整体代入法专题解析：几何图形中，有时正方形的边长未知，圆的半径未求出，要直接用公式求面积现学知识不可能解答。
但可以求出正方形的面积和圆的半径的平方，也可以把半径的平方直接代入圆面积公式计算。
在圆的半径r 用小学知识无法求出时，可以把“r 2”整体地代入面积公式求面积。
例题1：在正方形ABCD 中，AC ＝8厘米。
求阴影部分的面积。
针对性训练：1、 如图所示，图形中正方形的面积都是31平方厘米，分别求出每个图形中阴影部分的面积。
2、 如图所示，图形中正方形的面积都是79平方厘米，分别求出每个图形中阴影部分的面积。
3、 如图所示，正方形中对角线长5厘米，过正方形两个相对的顶点以其边长为半径分别做弧。
求图形中阴影部分的面积（试一试，你能想出几种办法）。
考点归纳例题2：在图的扇形中，正方形的面积是33平方厘米。
求阴影部分的面积。
针对性训练：1、如图所示，平行四边形的面积是90平方厘米，求阴影部分的面积。
2、如图所示，O是小圆的圆心，CO垂直于AB,三角形ABC的面积是45平方厘米，求阴影部分的面积。
3、如图所示，半圆的面积是62.8平方厘米，求阴影部分的面积。
例题3：如图所示，两圆半径都是1厘米，且图中两个阴影部分的面积相等。
求长方形ABO1O 的面积。
针对性训练：1、 如图所示，圆的周长为12.56厘米，AC 两点把圆分成相等的两段弧，阴影部分（1）的面积与阴影部分（2）的面积相等，求平行四边形ABCD 的面积。
2、 如图所示，直径BC ＝8厘米，AB ＝AC ，D 为AC 的重点，求阴影部分的面积。
3、 如图所示，AB ＝BC ＝8厘米，求阴影部分的面积。
1. 如图，已知正方形面积是23 自我检测2. 如下图，已知圆的面积是3.4.。
小学六年级奥数教案几何类
小学六年级奥数教案：图形面积简单的面积计算是小学数学的一项重要内容.要会计算面积，首先要能识别一些特别的图形：正方形、三角形、平行四边形、梯形等等，然后会计算这些图形的面积.如果我们把这些图形画在方格纸上，不但容易识别，而且容易计算.上面左图是边长为 4的正方形，它的面积是 4×4= 16(格);右图是 3×5的长方形，它的面积是 3×5= 15(格).上面左图是一个锐角三角形，它的底是5，高是4，面积是 5×4÷2= 10(格);右图是一个钝角三角形，底是4，高也是4，它的面积是4×4÷2=8(格).这里特别说明，这两个三角形的高线一样长，钝角三角形的高线有可能在三角形的外面.上面左图是一个平行四边形，底是5，高是3，它的面积是 5× 3= 15(格);右图是一个梯形，上底是 4，下底是7，高是4，它的面积是(4+7)×4÷2=22(格).上面面积计算的单位用“格”，一格就是一个小正方形.如果小正方形边长是1厘米，1格就是1平方厘米;如果小正方形边长是1米，1格就是1平方米.也就是说我们设定一个方格的边长是1个长度单位，1格就是一个面积单位.在这一讲中，我们直接用数表示长度或面积，省略了相应的长度单位和面积单位.一、三角形的面积用直线组成的图形，都可以划分成若干个三角形来计算面积.三角形面积的计算公式是：三角形面积= 底×高÷2.这个公式是许多面积计算的基础.因此我们不仅要掌握这一公式，而且要会灵活运用.例1 右图中BD长是4，DC长是2，那么三角形ABD的面积是三角形ADC面积的多少倍呢?解：三角形ABD与三角形ADC的高相同.三角形ABD面积=4×高÷2.三角形 ADC面积=2×高÷2.因此三角形ABD的面积是三角形ADC面积的2倍.注意：三角形的任意一边都可以看作是底，这条边上的高就是三角形的高，所以每个三角形都可看成有三个底，和相应的三条高.例2 右图中，BD，DE，EC的长分别是2，4，2.F是线段AE的中点，三角形ABC的高为4.求三角形DFE的面积.解： BC= 2+ 4+ 2= 8.三角形 ABC面积= 8× 4÷2=16.我们把A和D连成线段，组成三角形ADE，它与三角形ABC的高相同，而DE长是4，也是BC的一半，因此三角形ADE面积是三角形ABC面积的一半.同样道理，EF是AE的一半，三角形DFE面积是三角形ADE面积的一半.三角形 DFE面积= 16÷4=4.例3 右图中长方形的长是20，宽是12，求它的内部阴影部分面积.解：ABEF也是一个长方形，它内部的三个三角形阴影部分高都与BE一样长.而三个三角形底边的长加起来，就是FE的长.因此这三个三角形的面积之和是FE×BE÷2，它恰好是长方形ABEF面积的一半.同样道理，FECD也是长方形，它内部三个三角形(阴影部分)面积之和是它的面积的一半.因此所有阴影的面积是长方形ABCD面积的一半，也就是20×12÷2=120.通过方格纸，我们还可以从另一个途径来求解.当我们画出中间两个三角形的高线，把每个三角形分成两个直角三角形后，图中每个直角三角形都是某个长方形的一半，而长方形ABCD是由这若干个长方形拼成.因此所有这些直角三角形(阴影部分)的面积之和是长方形ABCD面积的的一半.例4 右图中，有四条线段的长度已经知道，还有两个角是直角，那么四边形ABCD(阴影部分)的面积是多少?解：把A和C连成线段，四边形ABCD就分成了两个，三角形ABC和三角形ADC.对三角形ABC来说，AB是底边，高是10，因此面积=4×10÷2= 20.对三角形 ADC来说， DC是底边，高是 8，因此面积=7×8÷2=28.四边形 ABCD面积= 20+ 28= 48.这一例题再一次告诉我们，钝角三角形的高线有可能是在三角形的外面.例5 在边长为6的正方形内有一个三角形BEF，线段AE=3，DF=2，求三角形BEF的面积.解：要直接求出三角形BEF的面积是困难的，但容易求出下面列的三个直角三角形的面积三角形 ABE面积=3×6×2= 9.三角形 BCF面积= 6×(6-2)÷2= 12.三角形 DEF面积=2×(6-3)÷2= 3.我们只要用正方形面积减去这三个直角三角形的面积就能算出：三角形 BEF面积=6×6-9-12-3=12.例6 在右图中，ABCD是长方形，三条线段的长度如图所示，M是线段DE的中点，求四边形ABMD(阴影部分)的面积.解：四边形ABMD中，已知的太少，直接求它面积是不可能的，我们设法求出三角形DCE 与三角形MBE的面积，然后用长方形ABCD的面积减去它们，由此就可以求得四边形ABMD 的面积.把M与C用线段连起来，将三角形DCE分成两个三角形.三角形 DCE的面积是 7×2÷2=7.因为M是线段DE的中点，三角形DMC与三角形MCE面积相等，所以三角形MCE面积是 7÷2=3.5.因为 BE= 8是 CE= 2的 4倍，三角形 MBE与三角形MCE高一样，因此三角形MBE面积是3.5×4=14.长方形 ABCD面积=7×(8+2)=70.四边形 ABMD面积=70-7- 14= 49.二、有关正方形的问题先从等腰直角三角形讲起.一个直角三角形，它的两条直角边一样长，这样的直角三角形，就叫做等腰直角三角形.它有一个直角(90度)，还有两个角都是45度，通常在一副三角尺中.有一个就是等腰直角三角形.两个一样的等腰直角三角形，可以拼成一个正方形，如图(a).四个一样的等腰直角三角形，也可以拼成一个正方形，如图(b).一个等腰直角三角形，当知道它的直角边长，从图(a)知，它的面积是直角边长的平方÷2.当知道它的斜边长，从图(b)知，它的面积是斜边的平方÷4例7 右图由六个等腰直角三角形组成.第一个三角形两条直角边长是8.后一个三角形的直角边长，恰好是前一个斜边长的一半，求这个图形的面积.解：从前面的图形上可以知道，前一个等腰直角三角形的两个拼成的正方形，等于后一个等腰直角三角形四个拼成的正方形.因此后一个三角形面积是前一个三角形面积的一半，第一个等腰直角三角形的面积是8×8÷2=32.这一个图形的面积是32+16+ 8+ 4 + 2+1= 63.例8 如右图，两个长方形叠放在一起，小长形的宽是2，A点是大长方形一边的中点，并且三角形ABC是等腰直角三角形，那么图中阴影部分的总面积是多少?解：为了说明的方便，在图上标上英文字母 D，E，F，G.三角形ABC的面积=2×2÷2=2.三角形ABC，ADE，EFG都是等腰直角三角形.三角形ABC的斜边，与三角形ADE的直角边一样长，因此三角形 ADE面积=ABC面积×2=4.三角形EFG的斜边与三角形ABC的直角边一样长.因此三角形EFG面积=ABC面积÷2=1.阴影部分的总面积是 4+1=5.例9 如右图，已知一个四边形ABCD的两条边的长度AD=7，BC=3，三个角的度数：角 B 和D是直角，角A是45°.求这个四边形的面积.解：这个图形可以看作是一个等腰直角三角形ADE，切掉一个等腰直角三角形BCE.因为A是45°，角D是90°，角E是180°-45°-90°= 45°，所以ADE是等腰直角三角形，BCE也是等腰直角三角形.四边形ABCD的面积，是这两个等腰直角三角形面积之差，即7×7÷2-3×3÷2=20.这是1994小学数学奥林匹克决赛试题.原来试题图上并没有画出虚线三角形.参赛同学是不大容易想到把图形补全成为等腰直角三角形.因此做对这道题的人数不多.但是有一些同学，用直线AC把图形分成两个直角三角形，并认为这两个直角三角形是一样的，这就大错特错了.这样做，角 A是 45°，这一条件还用得上吗?图形上线段相等，两个三角形相等，是不能靠眼睛来测定的，必须从几何学上找出根据，小学同学尚未学过几何，千万不要随便对图形下结论.我们应该从题目中已有的条件作为思考的线索.有45°和直角，你应首先考虑等腰直角三角形.现在我们转向正方形的问题.例10 在右图 11×15的长方形内，有四对正方形(标号相同的两个正方形为一对)，每一对是相同的正方形，那么中间这个小正方形(阴影部分)面积是多少?解：长方形的宽，是“一”与“二”两个正方形的边长之和，长方形的长，是“一”、“三”与“二”三个正方形的边长之和.长-宽 =15-11=4是“三”正方形的边长.宽又是两个“三”正方形与中间小正方形的边长之和，因此中间小正方形边长=11-4×2=3.中间小正方形面积=3×3= 9.如果把这一图形，画在方格纸上，就一目了然了.例11 从一块正方形土地中，划出一块宽为1米的长方形土地(见图)，剩下的长方形土地面积是15.75平方米.求划出的长方形土地的面积.解：剩下的长方形土地，我们已知道长-宽=1(米).还知道它的面积是15.75平方米，那么能否从这一面积求出长与宽之和呢?如果能求出，那么与上面“差”的算式就形成和差问题了.我们把长和宽拼在一起，如右图.从这个图形还不能算出长与宽之和，但是再拼上同样的两个正方形，如下图就拼成一个大正方形，这个正方形的边长，恰好是长方形的长与宽之和.可是这个大正方形的中间还有一个空洞.它也是一个正方形，仔细观察一下，就会发现，它的边长，恰好是长方形的长与宽之差，等于1米.现在，我们就可以算出大正方形面积：15.75×4+1×1= 64(平方米).64是8×8，大正方形边长是 8米，也就是说长方形的长+宽=8(米).因此长=(8+1)÷2= 4.5(米).宽=8-4.5=3.5(米).那么划出的长方形面积是4.5×1=4. 5(平方米).例12 如右图.正方形ABCD与正方形EFGC并放在一起.已知小正方形EFGC的边长是6，求三角形AEG(阴影部分)的面积.解：四边形AECD是一个梯形.它的下底是AD，上底是EC，高是CD，因此四边形AECD面积=(小正方形边长+大正方形边长)×大正方形边长÷2三角形ADG是直角三角形，它的一条直角边长DG=(小正方形边长+大正方形边长)，因此三角形ADG面积=(小正方形边长+大正方形边长)×大正方形边长÷2.四边形 AECD与三角形 ADG面积一样大.四边形AHCD是它们两者共有，因此，三角形AEH与三角形HCG面积相等，都加上三角形EHG面积后，就有阴影部分面积=三角形ECG面积=小正方形面积的一半= 6×6÷2=18.十分有趣的是，影阴部分面积，只与小正方形边长有关，而与大正方形边长却没有关系.三、其他的面积这一节将着重介绍求面积的常用思路和技巧.有些例题看起来不难，但可以给你启发的内容不少，请读者仔细体会.例13 画在方格纸上的一个用粗线围成的图形(如右图)，求它的面积.解：直接计算粗线围成的面积是困难的，我们通过扣除周围正方形和直角三角形来计算.周围小正方形有3个，面积为1的三角形有5个，面积为1.5的三角形有1个，因此围成面积是4×4-3-5-1.5=6.5.例6与本题在解题思路上是完全类同的.例14 下图中 ABCD是 6×8的长方形，AF长是4，求阴影部分三角形AEF的面积.解：三角形AEF中，我们知道一边AF，但是不知道它的高多长，直接求它的面积是困难的.如果把它扩大到三角形AEB，底边AB，就是长方形的长，高是长方形的宽，即BC的长，面积就可以求出.三角形AEB的面积是长方形面积的一半，而扩大的三角形AFB是直角三角形，它的两条直角边的长是知道的，很容易算出它的面积.因此三角形AEF面积=(三角形 AEB面积)-(三角形 AFB面积)=8×6÷2-4×8÷2= 8.这一例题告诉我们，有时我们把难求的图形扩大成易求的图形，当然扩大的部分也要容易求出，从而间接地解决了问题.前面例9的解法，也是这种思路.例15 下左图是一块长方形草地，长方形的长是16，宽是10.中间有两条道路，一条是长方形，一条是平行四边形，那么有草部分的面积(阴影部分)有多大?解：我们首先要弄清楚，平行四边形面积有多大.平行四边形的面积是底×高.从图上可以看出，底是2，高恰好是长方形的宽度.因此这个平行四边形的面积与 10×2的长方形面积相等.可以设想，把这个平行四边形换成 10×2的长方形，再把横竖两条都移至边上(如前页右图)，草地部分面积(阴影部分)还是与原来一样大小，因此草地面积=(16-2)×(10-2)= 112.例16 右图是两个相同的直角三角形叠在一起，求阴影部分的面积.解：实际上，阴影部分是一个梯形，可是它的上底、下底和高都不知道，不能直接来求它的面积.阴影部分与三角形BCE合在一起，就是原直角三角形.你是否看出， ABCD也是梯形，它和三角形BCE合在一起，也是原直角三角形.因此，梯形ABCD的面积与阴影部分面积一样大.梯形ABCD的上底BC，是直角边AD的长减去3，高就是DC的长.因此阴影部分面积等于梯形 ABCD面积=(8+8-3)×5÷2= 32.5.上面两个例子都启发我们，如何把不容易算的面积，换成容易算的面积，数学上这叫等积变形.要想有这种“换”的本领，首先要提高对图形的观察能力.例17 下图是两个直角三角形叠放在一起形成的图形.已知 AF，FE，EC都等于3， CB，BD都等于 4.求这个图形的面积.解：两个直角三角形的面积是很容易求出的.三角形ABC面积=(3+3+3)×4÷2=18.三角形CDE面积=(4+4)× 3÷2=12.这两个直角三角形有一个重叠部分--四边形BCEG，只要减去这个重叠部分，所求图形的面积立即可以得出.因为 AF= FE= EC=3，所以 AGF， FGE， EGC是三个面积相等的三角形.因为CB=BD=4，所以CGB，BGD是两个面积相等的三角形.2×三角形DEC面积= 2×2×(三角形 GBC面积)+2×(三角形 GCE面积).三角形ABC面积= (三角形 GBC面积)+3×(三角形GCE面积).四边形BCEG面积=(三角形GBC面积)+(三角形GCE面积)=(2×12+18)÷5=8.4.所求图形面积=12+ 18- 8.4=21.6.例18 如下页左图，ABCG是4×7长方形，DEFG是 2×10长方形.求三角形 BCM与三角形 DEM面积之差.解：三角形BCM与非阴影部分合起来是梯形ABEF.三角形DEM与非阴影部分合起来是两个长方形的和.(三角形BCM面积)-(三角形DEM面积)=(梯形ABEF面积)-(两个长方形面积之和=(7+10)×(4+2)÷2-(4×7 + 2×10)=3.例19 上右图中，在长方形内画了一些直线，已知边上有三块面积分别是13，35，49.那么图中阴影部分的面积是多少?解：所求的影阴部分，恰好是三角形ABC与三角形CDE的公共部分，而面积为13，49，35这三块是长方形中没有被三角形ABC与三角形CDE盖住的部分，因此(三角形 ABC面积)+(三角形CDE面积)+(13+49+35)=(长方形面积)+(阴影部分面积).三角形ABC，底是长方形的长，高是长方形的宽;三角形CDE，底是长方形的宽，高是长方形的长.因此，三角形ABC面积，与三角形CDE面积，都是长方形面积的一半，就有阴影部分面积=13 + 49+ 35= 97.1.甲、乙两地相距465千米，一辆汽车从甲地开往乙地，以每小时60千米的速度行驶一段后，每小时加速15千米，共用了7小时到达乙地。
(2021年整理)六年级奥数-第四讲.几何-平面部分.教师版
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第四讲 平面几何部分教学目标：1． 熟练掌握五大面积模型2. 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨一、等积模型①等底等高的两个三角形面积相等;②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比; 如右图12::S S a b =③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图ACD BCD S S =△△； 反之，如果ACD BCD S S =△△，则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角）两夹边的乘积之比．如图在ABC △中，,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴（或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上), 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△EDCBAEDCB A图⑴ 图⑵三、蝴蝶定理任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”）：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．梯形中比例关系（“梯形蝴蝶定理"): ①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =;③S 的对应份数为()2a b +．baS 2S 1D C BA S 4S 3S 2S 1O DCB A A BCD O ba S 3S 2S 1S 4四、相似模型（一）金字塔模型 （二) 沙漏模型GF E ABCDAB CDEF G①AD AE DE AFAB AC BC AG===； ②22:ADE ABC S S AF AG =△△：．所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似）,与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比； ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具． 在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形． 五、燕尾定理在三角形ABC 中,AD ，BE ,CF 相交于同一点O ,那么::ABO ACO S S BD DC ∆∆=．上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为ABO ∆和ACO ∆的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径。
小升初几何专题小学数学奥数六年级讲课上课PPT教学课件
一.已知图形间的面积关 系，求长度
平面几何综合（笔记）
☆先看问题求什么！ 1.求长度→面积反求长度！ 思路：求长度先找面积，再已知长度求面积转化！
例1：下图的梯形中，阴影部分的面积是150平方厘米，求梯 形的面积。
练 ：已知平行四边形的面积是48平方厘米，求阴影部分的面 积。
例2：图中阴影甲的面积比阴影乙的面积大33cm2，AB＝60cm ，CB垂直于AB。求BC的长。
基础加油站
S ② 扇形= 圆心角/360°×S圆
注意：分率领头！
基础加油站
③求长度先找面积→面积能反求长度
注意：S三角形×2÷底=高！
基础加油站
④连对角线先找蝴蝶→同方向对角线平行
注意：一对平行线所夹两块相等！
平面几何
认识： 要计算组合图形的面积，就要根据图形的关系，灵活运
用平移、旋转、分割、拼接、等积变形等方法。 技巧： 从问题求什么进行方法分类！
②圆环面积→找隐藏R²-r²！ ③S月牙=S内套三角形
例1：知圆中有一个最大的正方形，正方形中又有一个最大的 圆，求大圆和小圆的面积比。
ห้องสมุดไป่ตู้
练：在一个面积是20平方厘米的正方形内画一个最大的圆， 这个圆的面积是多少平方厘米；再在这个圆内画一个最大的 正方形，正方形的面积是多少平方厘米。
例2：已知阴影部分的面积是40平方厘米，求圆环的面积。
例2：如图，长方形ABCD，三角形ABG的面积是20，三角形 CDQ的面积是35，求阴影部分面积。
拓：如图，在长方形内画一些线段，已知边上有三块面积分 别是13，35，49。求图中阴影部分的面积。
例3：三角形ABC的面积是30平方厘米，D是BC中点，AE的长 度是ED的2倍，求阴影部分的面积。
数学六年级几何形教案
数学六年级几何形教案对于学生来说，几何形是数学中一个非常重要的概念。
通过学习几何形，学生可以培养他们的空间想象力、观察力和逻辑思维能力。
本教案旨在帮助六年级学生全面掌握关于几何形的概念和性质。
教学内容结构如下：一、教学目标1. 理解常见的几何形，包括正方形、长方形、圆形、三角形等；2. 通过图片和实物，能够识别和命名几何形；3. 理解几何形的性质，比如各边的长度、角度的大小等；4. 能够绘制常见几何形，如正方形、长方形、圆形等；5. 能够通过解决实际问题，运用几何形的知识。
二、教学准备1. 教师准备：课本、黑板、彩色粉笔、图片、实物等；2. 学生准备：参与课堂讨论，完成作业。
三、教学过程1. 导入（5分钟）利用图片和实物，引导学生回忆几何形的概念，让学生说出常见的几何形的名字。
2. 学习新知（15分钟）a. 利用图片和实物，向学生展示正方形、长方形、圆形、三角形等几何形，解释它们的特征和性质。
b. 引导学生观察图片和实物，根据几何形的特征，回答相应的问题。
3. 深化理解（20分钟）a. 通过练习题和举例子，让学生进一步巩固对几何形的认识。
b. 运用黑板和彩色粉笔，引导学生亲自绘制几何形，并给予及时的指导和纠正。
4. 拓展应用（15分钟）a. 设置一些与几何形相关的实际问题，让学生运用所学的知识进行解答。
b. 引导学生能够将几何形的知识应用到实际生活中，加深他们对几何形的理解。
5. 总结归纳（10分钟）教师总结本堂课的内容，强调几何形的重要性，并鼓励学生在日常生活中继续观察和探索几何形。
6. 课堂作业（5分钟）布置相关的作业，巩固学生的学习成果。
四、教学评价1. 教师观察学生在课堂上的表现，包括思维活跃度、参与度和问题回答的准确度等。
2. 批改学生的作业，对学生的掌握情况进行评估。
3. 随堂测试，检测学生对几何形的理解程度。
五、教学扩展1. 使用多媒体教学工具，呈现更多生动有趣的几何形教学素材。
2. 增加小组合作学习的活动，让学生互相交流和分享几何形的知识。
六年级下册数学课件小学奥数几何模块弦图全国通用
进行构造
弦图
巩固提升
巩固提升
作业1：如图，以直角边长分别是5厘米和6厘米的直角三角形构造外弦图，现将长6厘米的直角边 向外延长一倍，求构成的“风车”形状的边长.
巩固提升
作业2：直角梯形ABCD中，AD=17，BE=5，已知三角形CDE是等腰直角三角形，求三角形ADE的
面积.
例6：如图，长方形ABCD的边长为10，以AB、CD为斜边作直角三角形ABE、CDF，已知AE=CF=8，BE=DF=6，求EF2. 练一练7：如图，已知长方形的长是27厘米，宽是6厘米，求图中阴影部分的面积. 练一练2：如图，已知正方形的边长是12，求图中阴影部分的面积. 作业4：如图，四边形ABCD是正方形，BE=12，三角形ABE和三角形BCE的面积分别是72和30，求正方形ABCD的面积. 练一练2：如图，已知正方形的边长是12，求图中阴影部分的面积. 练一练7：如图，已知长方形的长是27厘米，宽是6厘米，求图中阴影部分的面积. 例5：如图，正方形ABCD中，E是CD上一点，三角形BEF是等腰直角三角形，已知AG=5，DG=15，求三角形BEF的面积. 满足“内弦图”或“外弦图”的基本要求，多需要进行构造. 练一练6：如图，已知正八边形的边长是12厘米，求图中阴影部分的面积. 例5：如图，正方形ABCD中，E是CD上一点，三角形BEF是等腰直角三角形，已知AG=5，DG=15，求三角形BEF的面积. 例6：如图，长方形ABCD的边长为10，以AB、CD为斜边作直角三角形ABE、CDF，已知AE=CF=8，BE=DF=6，求EF2. 例7：如图，已知长方形的长是20厘米，宽是16厘米，求每个小正方形的面积. 练一练7：如图，已知长方形的长是27厘米，宽是6厘米，求图中阴影部分的面积. 主讲老师：癸酉0311 例4：如图，直角三角形ABC中，AB=12，AC=8，E是BC的中点，且四边形DEFG是正方形，求正方形DEFG的面积.
六年级奥数-第六讲立体几何 教案
一、长方体和正方体如右图，长方体共有六个面（每个面都是长方形)，八个顶点，十二条棱．①在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等．（叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．）②长方体的表面积和体积的计算公式是：长方体的表面积：；长方体的体积：．③正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例,它的六个面都是正方形．如果它的棱长为，那么:,．【例 1】下图是一个棱长为2厘米的正方体，在正方体上表面的正中，向下挖一个棱长为1厘米的正方体小洞，接着在小洞的底面正中向下挖一个棱长为厘米的正方形小洞，第三个正方形小洞的挖法和前两个相同为厘米，那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？【解析】我们仍然从3个方向考虑．平行于上下表面的各面面积之和:2228（平方厘米）；左右方向、前后方向：22416（平方厘米），1144（平方厘米)，41（平方厘米），4(平方厘米），这个立体图形的表面积为：41(平方厘米）。
【例 2】一个正方体木块,棱长是1米，沿着水平方向将它锯成2片，每片又锯成3长条,每条又锯成4小块,共得到大大小小的长方体24块,那么这24块长方体的表面积之和是多少？【解析】锯一次增加两个面，锯的总次数转化为增加的面数的公式为：锯的总次数2增加的面数．原正方体表面积：1166（平方米）,一共锯了（21）(31）（41）6次，6112618（平方米)．【例 3】如图，25块边长为1的正方体积木拼成一个几何体,表面积最小是多少？【解析】当小积木互相重合的面最多时表面积最小。
设想27块边长为1的正方形积木,当拼成一个的正方体时,表面积最小，现在要去掉2块小积木,只有在两个角上各去掉一块小积木，或在同一个角去掉两块相邻的积木时，表面积不会增加，该几何体表面积为54.【例 4】（2008年“希望杯”五年级第2试)如图，棱长分别为厘米、厘米、厘米、厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是_______平方厘米．【解析】（法1)四个正方体的表面积之和为：(平方厘米），重叠部分的面积为:（平方厘米）,所以，所得到的多面体的表面积为:（平方厘米）．（法2）三视图法．从前后面观察到的面积为平方厘米，从左右两个面观察到的面积为平方厘米，从上下能观察到的面积为平方厘米．表面积为（平方厘米）．【例 5】把19个棱长为1厘米的正方体重叠在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形。