直线与方程专题复习(教师)

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直线与方程复习优秀教案

直线与方程复习优秀教案教案标题：直线与方程复习教学目标：1.理解直线的定义，能够识别直线的特征和性质。

2.掌握直线的各种表示方法，包括点斜式、一般式和截距式。

3.能够根据给定条件写出直线的方程，并且能够在直线和坐标系中相互转换。

4.能够应用直线的性质和方程解决实际问题。

5.培养学生的逻辑思维、分析问题和解决问题的能力。

教学重点：1.直线的特征和性质。

2.直线的表示方法与转换。

3.直线的方程的写法和应用。

教学难点：1.直线方程的应用。

教学准备：1.教材课件、笔记本电脑以及投影仪。

2.小白板、粉笔、草稿纸和橡皮擦。

3.直线和坐标系的图形素材。

教学过程：一、导入（5分钟）1.引发学生对直线的思考：请学生回答，直线有什么特征和性质？为什么我们要学习直线的方程？2.引入本节课的主要内容：通过讨论学生提出的问题，引导学生了解直线方程的重要性。

二、直线的特征和性质（10分钟）1.讲解直线的定义：直线是由无数个点连在一起形成的。

指出直线的两边无限延伸、不弯曲以及无端点等特征。

2.引导学生找出直线的性质，包括直线的斜率、方向、长度等。

三、直线的表示方法与转换（20分钟）1.介绍直线的表示方法：点斜式、一般式和截距式。

以示意图解释每种表示方法的意义和用法。

2.通过例题的演示，讲解点斜式、一般式和截距式的转换方法。

3.练习：给学生一些小练习，巩固直线表示方法和转换的理解。

四、直线的方程的写法和应用（25分钟）1.讲解直线方程的写法：写出通过给定点的直线方程、写出经过给定两点的直线方程、写出垂直于给定直线的直线方程和写出平行于给定直线的直线方程。

2.引导学生通过例题，练习直线方程的写法。

3.应用：通过实际问题，引导学生运用直线方程解决实际问题。

五、错误分析和答疑（10分钟）1.分析学生在学习过程中产生的常见错误，解释正确的做法。

2.解答学生提出的问题，澄清学生对直线和方程的疑惑。

六、课堂练习（15分钟）1.分发练习题，让学生独立完成。

直线与方程复习优秀教案

【课题】：《直线与方程》小结与复习【教学目标】：（1）知识与技能：通过小结与复习，帮助学生梳理本章知识内容，掌握本章的基础知识，强化知识间的内在联系；通过例题讲解和进一步的训练，提高学生灵活运用本章知识解决问题的能力.（2）过程与方法：在问题探究的过程中，让学生体会用代数的表达式来研究几何的思想方法，加深对本章知识的理解，培养学生分析问题解决问题的能力。

（3）情感态度与价值观：通过精心设计适宜的教学情境，让学生在师生和谐、互动的氛围中，轻松地、主动地掌握基本知识和基本技能；在问题探究的过程中，培养学生积极进行数学交流、勇于探索的科学精神。

【教学重点】：本章知识内容的梳理以及知识、方法的运用【教学难点】：本章知识的灵活运用【课前准备】：Powerpoint或投影片【教学过程设计】：PB 的倾斜角最大，PC 的倾斜角次之，PA 的倾斜角最小．这点可用三角形的外角性质去帮助理解．设PA 的倾斜角为α1，PC 的倾斜角为α，PB 的倾斜角为α2，α1＜α＜α2，12,,2παααπ<<，正切函数为增函数。

12tan tan tan ααα<<，∴152k -≤≤-解法二：可以实实在在地去求解，再来判断k 的取值范围．过A 、B 两点的直线为30x y --=，若要使直线y=kx ＋k ＋2与线段AB有交点，则方程组302x y y kx k --=⎧⎨=++⎩在[][]0,33,0x y ∈∈-或上有解，得5031k x k --≤=≤-，∴152k -≤≤-【思考】为什么只考虑[]0,3x ∈，是否还应当去考虑[]3,0y ∈-呢？例2．设△ABC 的顶点A(1，3)，边AB 、AC 上的中线所在直线的方程分别为210x y -+=，y=1，求△ABC 中AB 、AC 各边所在直线的方程．【讲评】为了搞清△ABC 中各有关元素的位置状况，我们首先根据已知条件，画出单图，帮助思考问题．设AC 的中点为F ，AC 边上的中线BF ：y=1．AB 边的中点为E ，AB 边上中线CE ：210x y -+=．设C 点坐标为(m ，n)．在A 、C 、F 三点中，A 点已知，C 点未知，F 虽为未知但其在中线BF 上，满足y=1这一条件．则12132FFm x n n y+⎧=⎪⎪⇒=-⎨+⎪=⎪⎩∵C 点在中线CE 上，应当满足CE 的方程，则m －2n ＋1=0．∴m=－3． ∴C 点为(－3，－1)．用同样的思路去求B 点：设B 点为(a ，b)，显然b=1．又B 点、A 点、E 点中，E 为中点，C 点为(a ，1)，131(,)22a E ++即1(,2)2aE +，E 在CE 上，∴1+a4102-+=解得5a =，∴B 点为(5，1)．下面由两点式，就很容易的得到AB ，AC 所在直线的方程 :20,:270AC x y AB x y -+=+-=．〖评析〗这题思路较为复杂，做完后应当从中领悟到两点： (1)中点公式要灵活应用；(2)如果一个点在直线上，则这点的坐标满足这条直线的方程，这观念必须牢牢地树立起来．四、拓展训练1．已知点A(1,1)和点B(3,3)，则在x 轴上必存在一点P ，使得从A 出发的入射光线经过点P 反射后经过点B ，点P 的坐标为__________. 2．已知点M （4，2）与N （2，4）关于直线l 对称，则直线l 的方程为对学生运用知识解决问题的能力进行训练，提倡学生进练习与测试１．如果直线0=++C By Ax 的倾斜角为45，则有关系式（）Ａ．B A = Ｂ．0=+B A Ｃ．1=AB Ｄ．以上均不可能 2．直线,031=-+-k y kx 当k 变动时，所有直线都过定点（）A ．（0，0）B ．（0，1）C ．（3，1）D ．（2，1）3.过点(1,3)且与原点距离为1的直线有（）A.3条B. 2条C. 1条D. 0条4．设直线0123201832,06232=+-=+-=++y mx y m x y x 和围成直角三角形，则m 的取值是( ）A ．01或±B ．或094－C ．941,0或－-D ．941-或－ 5．如果0<ac 且0<bc ，那么直线0=++c by ax 不通过（）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 6．直线l 与直线0632=-+y x 关于点)1,1(-对称，则直线l 的方程是（）A 、0223=+-y xB 、0732=++y xC 、01223=--y xD 、0832=++y x7.与两平行直线：1l ：;093=+-y x l 2：330x y --=等距离的直线方程为 . 8.一束光线从点(1,1)A -出发,经x 轴反射到点(2,3)O ,光线经过的最短路程是 . 9．直线()0232=++-t y x t 不经过第二象限，则t 的取值范围是．10．已知两直线01012211=++=++y b x a y b x a 和都通过点()3,2P ，则经过两点()()222111,,b a Q b a Q 、的直线方程是．11．已知直线l 过点（1,2），且与x ，y 轴正半轴分别交于点A 、B （1）求△AOB 面积为4时l 的方程；（2）求l 在两轴上截距之和为+3l 的方程.12．△ABC 中，A (0，1)，AB 边上的高线方程为x ＋2y －4＝0，AC 边上的中线方程为2x ＋y －3＝0,求AB ，BC ，AC 边所在的直线方程．答案与解析： 1—6.BCBCCD .7．设所求直线方程为03=+-c y x ，则10|3|10|9|+=-c c ，解得3=c ，故所求直线方程为3x-y+3=0.8．点B （2，3）关于x 轴的对称点是C （2，-3），光线经过的最短路程与A ，C 两点的距离相等，故光线经过的最短路程为5.9．因为直线()0232=++-t y x t 不经过第二象限，所以232--t >0且2t-<0,解得∈t )23,0(. 10．因为两直线01012211=++=++y b x a y b x a 和都通过点()3,2P ，所以013201322211=++=++b a b a 和，即点()()222111,,b a Q b a Q 、的坐标都满足方程2x+3y+1=0，从而经过两点()()222111,,b a Q b a Q 、的直线方程是2x+3y+1=0.11．设直线l 的方程为),1(2-=-x k y k<0,则直线l 在x ，y 轴上的截距分别为k21-，2-k. ① 当△AOB 面积为4时，4)2)(21(21=--k k，解得k=-2,从而直线l 的方程为2x+y-4=0；②当l 在两轴上截距之和为+3（k21-）+（2-k ）= +3，解得2-=k ，从而求得直线l 的方程2x-y-2-2=0.12．因为AB 边与AB 边上的高线方程x ＋2y －4＝0垂直，所以由点斜式得AB 边所在的直线方程为x y 21=-，即012=+-y x ；AC 边的中点M 在AC 边上的中线方程2x ＋y －3＝0上，可设)23,(a a M -，则)45,2(a a C -，由点C 在AB 边上的高线方程x ＋2y －4＝0上可求得1=a ，所以C （2，1），又联立AB 边所在的直线方程012=+-y x 和AC 边上的中线方程2x ＋y －3＝0求得)2,21(B ，于是由两点式即可求得BC ，AC 边所在的直线方程0732=-+y x ，y ＝1.故AB ，BC ，AC 边所在的直线方程分别是012=+-y x ，0732=-+y x ，y ＝1.。

必修2第三章直线与方程小结与复习教案

《直线与方程》小结与复习一、【教学目标】重点：掌握直线方程的五种形式，两条直线的位置关系．难点：点关于直线的对称、直线关于点的对称、直线关于直线的对称这类问题的解决．能力点：培养学生通过对直线位置关系的分析研究进一步提高数形结合以及分析问题、解决问题的能力．教育点：培养学生转化思想、数形结合思想和分类讨论思想的运用．自主探究点：1．由直线方程的各种形式去判断两直线的位置关系；2．能根据直线之间的位置关系准确的求出直线方程；3．能够深入研究对称问题的实质，利用对称性解决相关问题．考试点:两直线的位置关系判断在高考中经常出现，直线与圆锥曲线结合是高考的常见题目．易错点：判断两条直线的平行与垂直忽略斜率问题导致出错．易混点：用一般式判断两直线的位置关系时平行与垂直的条件．拓展点:中点问题、对称问题、距离问题中涵盖的直线位置关系的分析研究．学法与教具1．学法：讲练结合，自主探究2．教具：多媒体课件，三角板二、【知识梳理】直线的方程直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角定义范围直线的斜率定义公式直线方程的五种形式点斜式斜截式两点式截距式一般式二、【知识梳理】1．直线的倾斜角与斜率（1）直线的倾斜角①定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准，x 轴________与直线l ________方向之间所成的角叫做直线l 的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为________．②倾斜角的范围为______________．（2）直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角的________叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即k________，倾斜角是90的直线斜率不存在．②过两点的直线的斜率公式：经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y 12()x x 的直线的斜率公式为k______________________．当12x x 时，直线的斜率__________．（3）直线的倾斜角与斜率k 的关系当为锐角时，越大k 越____；当为钝角时，越大k 越____．2．直线方程的五种基本形式名称几何条件方程局限性点斜式过点00,x y ，斜率为k不含__________的直线两条直线的位置关系平行与垂直的判定两直线相交直线对称问题点关于直线对称直线关于直线对称平行的判定方法垂直的判定方法直线关于点对称三种距离计算点与点的距离点与线的距离平行线的距离求交点坐标斜截式斜率为k ，纵截距为b不含__________的直线两点式过两点11,x y 和22,x y （12,x x 12y y ）不含__________的直线截距式横截距为a ，纵截距为b 0ab 不含________和_______的直线一般式,,A B C 22AB平面直角坐标系内的直线都适用答案：1．（1）①正向，向上，0；②180；（2）①正切值，tan；②2121y y x x ，不存在．（3）大，大．2．0()yy k xx ，ykx b ，112121y y x x y y x x ，1x y ab，220(0)AxBy C AB．垂直于x 轴；垂直于x 轴；垂直于坐标轴；垂直于坐标轴、过原点．3．两条直线平行与垂直的判定（1）两条直线平行对于两条不重合的直线1l 、2l ，其斜率分别为1k 、2k ，则有12//l l ____________．特别地，当直线的斜率1l 、2l 都不存在时，1l 与2l ________．（2）两条直线垂直如果两条直线斜率1l 、2l 存在，设为1k 、2k ，则12l l ____________，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两直线________．4．两直线相交交点：直线1l ：1110A x B y C 和2l ：2220A x B y C 的公共点的坐标与方程组11122200A xB yC A xB yC 的解一一对应．相交方程组有__________，交点坐标就是方程组的解；平行方程组________；重合方程组有______________．5．三种距离公式（1）点11,A x y 、22,B x y 间的距离：AB．（2）点00,P x y 到直线l ：0AxBy C 的距离：d．（3）两平行直线1l ：1110A xB yC 与2l ：2220A x B y C （12C C ）间的距离为d______________．6．直线中的对称问题有哪些？（学生讨论）如何求一个点关于直线的对称点？如何求直线关于点的对称直线以及直线关于点的对称直线呢？三、【范例导航】1、两直线间的平行与垂直问题例1 （1）已知两直线1l ：260x m y，2l ：2320m x my m，若12//l l ，求实数m 的值；（2）已知两直线1l ：260axy和2l ：2110xa ya．若12l l ，求实数a 的值．【分析】（1）充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线1l 和2l ，12//l l 12k k ，12l l 121k k ．若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．（2）①若直线1l 和2l 有斜截式方程1l ：11yk x b ，2l ：22y k x b ，则12l l 121k k ．②设1l ：1110A x B y C ，2l ：2220A xB yC ．则：12l l 12120A A B B ．【解答】（1）方法一：①当0m 时，1l ：60x ，2l ：0x ，12//l l ；②当0m 时，1l ：2216y xm m，2l ：2233m yxm，由2123mmm且2623m，∴1m．故所求实数m 的值为0或1．方法二:直线1l ：1110A xB yC ，2l ：2220A x B y C 平行的等价条件是：12210A B A B 且12210B C B C 或12210AC A C ，由所给直线方程可得：21320m m m 且1262m m 2230m mm且3m0m或1，故所求实数m 的值为0或1．（2）方法一：由直线1l 的方程知其斜率为2a，当1a 时，直线2l 的斜率不存在，1l 与2l 不垂直；当1a 时，直线2l 的斜率为11a ，由121213a aa ．故所求实数a 的值为23．方法二:直线1l ：1110A x B y C ，2l ：2220A x B y C 垂直的等价条件是12120A A B B ．由所给直线方程可得：21213a a a，故所求实数a 的值为23．【设计意图】掌握两直线平行或垂直的充要条件是关键，平行与垂直的问题转化为方程的系数之间的关系的问题，把几何问题转化为代数的问题，注意斜率存在与否，方法二避免了分类讨论．变式训练:已知两直线1l ：80mx yn和2l ：210xmy ．试确定m 、n 的值，使（1）1l 与2l 相交于点,1P m ；（2）12//l l ；（3）12l l ，且1l 在y 轴上的截距为1．答案：（1）由题意得：28021mnm m ，解得1,7mn ．（2）当0m时，显然1l 不平行于2l ；当0m时，由821m n m得282081m mn，xyMABCDOxyMCBDAO∴42m n，或42m n．即4,2mn时或4,2m n时，12//l l ．（3）当且仅当280m m，即0m时，12l l ，又18n ，∴8n．即0m，8n时，12l l 且1l 在y 轴上的截距为1．2、点到直线距离问题例 2 已知平行四边形的两条边所在直线的方程分别是10,340,x y x y 且它的对角线的交点是(3,3),M 求这个平行四边形其他两边所在直线方程．【分析】因为斜率相等,所以其他两条直线可以设为120,30,x yc xy c 然后利用点到直线的距离公式．【解答】ABCD 四边形是平行四边形//AB CD设直线CD 的方程为1x yc 由点M 到直线,AB CD 的距离相等，得：12222|33||331|1111c 解得11111c c 或（舍去）111c 同理，由点M 到直线,AD BC 的距离相等，得：22222|333||3334|3131c 22164c c 或（舍去）216c 因此，其他两边所在直线的方程是110,3160xy xy ．【设计意图】本题考查了点到直线的距离公式的灵活运用，并且利用平行的直线斜率相等，方程的设法简化运算．变式训练：已知正方形的中心为点(1,0)M ，一条边所在的直线的方程是350,x y 求正方形其他三边所在直线的方程．【分析】本题先设与已知直线平行的直线为130,x y c 另两条都与已知直线垂直，设为230,x yc 然后利用点到直线的距离公式．【解答】ABCD 四边形是正方形//AD BCxyMCA HBO由点M 到直线,AD BC 的距离相等，得：12222|(1)30||(1)305|1313c 1175c c 或（舍去）17c ADABAB 直线的方程可设为230,xyc 由点M 到直线,AD AB 的距离相等22222|3(1)0||(1)305|1331c 2293c c 或综合以上得，其余三边所在直线的方程分别是390,310,330xyxy xy．3、三角形问题例3.已知ABC 的顶点(5,1),A AB 边上的中线CM 所在直线方程为250,x y AC 边上的高BH 所在直线方程为250x y ．求：（1）顶点C 的坐标；（2）直线BC 的方程．【分析】第一问主要是考查设、求直线AC ，熟练解答过程，先设直线AC 为：20x y c 然后代入点(5,1)A ；第二问考查用先设、求点B ，然后与点C 求出直线BC ，或者设直线BC 的点斜式方程，再结合中点坐标公式求出斜率k ．【解答】(1)由题意，得直线AC 的方程为2110xy ．解方程组250,211x y xy 得点C 的坐标为（4，3）．（2）解法一：设00(,),B x y 则0051(,)22x y M ．于是有001550,2y x 即00210x y ．与00250x y B 联立，解得点的坐标为(-1,-3)．于是直线BC 的方程为6590xy．解法二：设直线BC 的方程为y 3(4)k x ，即340kx y k．解方程组250,(43)0x y kxy k得8113,2121k kxyk k ．因为点M 是线段AB 的中点，所以点M 的坐标是984(,)212(21)kk k k ．把点M 的坐标代入直线CM 的方程，得1816450212(21)k kk k ．解得65k．所以直线BC 的方程为6590xy ．解法三：设(,)M x y ，则(25,21)B x y ．因为点B 在直线BH 上，所以有252(21)50,x y 即240x y ．xylP'NPM'MOxyCBAO解方程组240,250x y x y 得点M 的坐标为(2,1)，点B 的坐标为(1,3)．所以直线BC 的方程为6590x y．【设计意图】本题借助三角形这个平台，考查了直线方程的求法，设出一个点，利用两点求直线的方程，另外一个方法是设出点斜式方程，求出斜率，但这种方法要考虑斜率存在与否，设出点B ，就避免了考虑斜率存在的问题，摆出事实，让学生体会各种解法的利弊，解法三也为今后学习相关点代入法打下基础．变式训练：在ABC 中，BC 边上的高所在的直线方程为210x y ，角A 的平分线所在的直线方程为0y ，若点B 的坐标为(1,2)，求AC 边上的垂直平分线．【分析】直线问题与三角形问题的结合，全面考查学生的熟练应用，直线关于坐标轴对称时，斜率之间的关系，或者利用点关于坐标轴对称，求出点B 关于0y 对称的点(1,2)，也易求直线AC ．【解答】A 点在直线BC 的高线上，又在角A 的平分线上由210,x y y得A (1,0)所以1,AB k 而直线0y是角A 的平分线，所以1,AC k 所以AC 边所在的直线方程为(1)y x 又2,BCk 所以BC 边所在直线方程为22(1)y x 由AC 与BC 的直线方程联立可得(5,6)C 所以AC 边上的垂直平分线所在的直线方程为50xy ．4、最值问题例4．已知点M(3,5)，(2,15)N .在直线l :3440xy上找一点P ,使||||PM PN 最小，并求出最小值．【分析】本题前提条件是两点位于直线的同侧，主要考查利用三角形中两边之和大于第三边与点的对称问题的结合，由平面几何知，先作出与点M 关于l 对称的点'M ，连结'NM ，直线'NM 与直线l 的交点P即为所求．事实上,若点'P 是l 上异于P 的点，则|'||'||''||'||'|||||P M P N P M P N NM PM PN ．【解答】设与(3,5)M 关于l 对称的点是'M ．3,4lk '4,3MM k 'MM 的方程为45(3)3y x ，即4330x y ．解方程组3440,433x y x y得0,1x y线段'MM 交直线l 于Q (0,1)．Q 是'MM 的中点，'M 的坐标为(3,3)．连结'NM 的直线方程为18510x y ．解方程组18510,344x y xy 得8,33.x y点P 坐标为8(,3)3．此时，|||||'||||'|PM PN PM PN NM 22(32)(153)513．【设计意图】本题有个前提两点在直线的同侧，把求最值的问题转化为三角形中两边之和大于第三边的问题，如果学生接受能力强，可以再拓展一下，当两点位于直线两侧时，可在直线上找一点，使||||||PM PN 最大．xyPA'BAO变式训练：函数22148yxxx的最小值为_______________．【分析】本题主要考查了把两点间的距离公式的灵活运用，把最值问题转化成求动点与两点的距离和的问题，把函数的最值转化为解析几何的问题，前面题目大多是把几何问题转化为代数的问题，此题正好相反，体现了数形结合的重要的数学思想．【解答】把22148yxxx 变形为2222(1)(01)(2)(02)y x x 2222(1)(01)(2)(02)x x表示动点P(,0)x 到两定点A (1,1)、B (2,2)的距离之和．作点A (1,1)关于x 轴的称点'A (1,1)|||||'||||'|PA PB PA PB BA 22(21)(21)10y10函数y 有最小值为．四、【解法小结】1．求直线方程．直线方程的五种形式是从不同侧面对直线几何特征的描述，具体使用时要根据题意选择最简单、适当的形式；同时结合参数的几何意义，注意方程形式的局限性．（1）直接法：当两个条件显性时，直接选择适当的直线方程的形式，写出所求直线的方程．（2）待定系数法：当两个条件至少一个隐性时，可根据已知条件，选择适当的直线方程的形式，设出所求的直线方程，建立方程（组），待定出其中的系数，从而求得直线方程．2．两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合．对于斜率都存在且不重合的两条直线1l 、2l ，12//l l 12k k ，12l l 121k k ．若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是什么一定要特别注意．3．在运用两平行直线间的距离公式1222C C dAB时，一定要注意将两方程中的x ，y 项系数化为分别相等的系数．4．两直线平行时，直线可设为120,0ax by c ax by c ，两直线垂直时，直线可设为120,0ax by c bx ay c ，可以简化运算．五、【布置作业】必做题：1．已知直线1l ：3410kxk y 与2l ：23230k x y 平行，则k 的值是．2．若直线1l ：4y k x 与直线2l 关于点2,1对称，则直线2l 恒过定点是．3.已知250x y ，则22xy 的最小值是．4．设直线l 经过点1,1，则当点2,1与直线l 的距离最大时，直线l 的方程为．答案：1 ．3或5；2．0,2；3．5；4．3250xy 选做题：1．已知直线:120l kx y k k R ．（1）证明直线l 过定点；（2）若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；（3）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，求使AOB 面积最小时直线l 的方程．2.已知直线l ：2310x y ，点1,2A．求：（1）点A 关于直线l 的对称点A 的坐标；（2）直线m ：3260x y 关于直线l 的对称直线m 的方程；（3）直线l 关于点1,2A 对称的直线l 的方程．答案：1．（1）定点2,1；（2）0,；（3）240x y ．2.【解答】（1）设,A x y ，由已知221131223122yx x y ，解得：3313413xy，∴334,1313A（2）在直线m 上取一点，如2,0M ，则2,0M 关于直线l 的对称点M 必在直线m 上．设对称点,M a b ，则2023102202123a b b a ，得630,1313M，设直线m 与直线l 的交点为N ，则由2310326x y xy 得4,3N ．又∵m 经过点4,3N ，，∴由两点式得直线m 的方程为9461020xy ．（3）方法一在l ：2310xy 上任取两点，如1,1M ，4,3N ，则,M N 关于点1,2A的对称点,M N 均在直线l 上，易得3,5M ，6,7N，再由两点式可得l 的方程为2390x y．方法二∵//l l ，∴设l 的方程为2301x y CC，∵点1,2A 到两直线l ，l 的距离相等，∴由点到直线的距离公式得：2222262612323C ，解得9C ，∴l 的方程为2390x y．方法三设,P x y 为l 上任意一点，则,P x y 关于点1,2A的对称点为2,4Px y ，∵点P 在直线l 上，∴223410xy，即2390x y ．【设计意图】复习课由于内容较多，难以把涉及全面，把对称这一重要问题当作习题作为补充，教师可以灵活把握，有时间可以讲解，对称有两方面，主要学习以下两点：（1）点关于线对称，转化为“垂直”及“线的中点在轴上”的问题．（2）线关于线对称，转化为点关于线的对称问题；线关于点的对称，转化为点关于点的对称问题．六、【教后反思】1．本教案的亮点是：在原教案的基础上，对本章知识点采用了分类复习的方法，用更加具有代表性的例题进行了替换．教学内容设计，把全章内容重点把握，分类讲解，一题多解，训练学生从不同角度思考问题，并且体会各种方法的差别．渗透相关点代入法，以及数形结合等思想方法．2．本教案的不足是：因为课堂时间的问题没有能在例题中凸显点关于线对称与线关于点对称问题，课堂实际中学生展现的做法很多，没能一一给出详解．。

直线与方程专题复习讲义高三数学二轮专题复习

第三章直线与方程(一)直线的倾斜角1.定义：在平面直角坐标系中，当直线与x 轴相交时，取x 轴非负半轴作为基准，把x 轴的正方向按逆时针旋转至与直线重合的最小角，叫做直线的倾斜角.当直线平行于 x 轴或与x 轴重合时，我们规定直线的倾斜角为0°.2. 范围: 0°≤α<180° 倾斜角[0°,180°) 二面角[0°,180°]线面角[0°,90°] 异面直线成角(0°,90°](二)直线的斜率1.定义：倾斜角α不是90°的直线，正切值叫做这条直线的斜率，直线的斜率常用k 表示，即k=tanα，当直线的倾斜角等于90°时，直线的斜率不存在.2.倾斜角α与斜率k 的范围之间的对应关系 (三)斜率公式经过两点P ₁(x ₁,y ₁),P ₂(x ₂,y ₂)的直线的斜率是： k =y 2−y1x 2−x 1注:(1)斜率公式适用范围x ₁≠ x ₂ (2)斜率公式变形. y₂−y₁=k (x₂−x₁)例1 (1)过 P(-1,-1)的直线l 与x 轴和y 轴分别交于A 、B 两点,若 P 恰为线段AB 的中点，求直线l 的斜率和倾斜角.k =-1,α = 135°(2)若经过点A(1-t ，1+t)和点B(3，2t)的直线的倾斜角为钝角，求实数t 的取值范围.(-2,1)(3)若直线l 的倾斜角是连接(-3，5)，(0，9)两点的直线倾斜角的2倍，则直线l 的斜率为 −247.k =tanα=43k ′=tan2α=−247(4)直线l 的方程为x+ycosθ+3=0(θ∈R),则倾斜角的范围为 [π4,3π4].tanα=−1cosθ∈(−∞,+∞)(5)已知两点A(2,3)和B(-1,2),过点 P(1,-1)的直线l 与线段AB 有交点,则直线l 斜率k 的取值范围为 (−∞,−32]U [4,+∞).名称方程适用条件参数几何意义斜截式 y=kx+b α≠90° k:斜率b ：纵截距(可正，可负)点斜式y-y ₀=k(x-x ₀)α≠90°k:斜率点(x ₀,y ₀)例2 (1)过P(-2，2)点引一条直线l，使其与两坐标轴围成的三角形的面积等于4，求直线 l的方程.解析{b−a=12abab=8或−8∴{a=2+2√3b=−2+2√3 j{a=−2−2√3b=2−2√3(2)直线l过点P(-2,3),且与x轴、y轴分别交于A、B两点,若 P恰为线段AB 的中点,求直线l的方程.3x-2y+12 = 0(3)若直线((2m²+m-3)x+(2-m)y=4m-1在 x轴上的截距为1，则实数 m是(D)A.1B.2C.−12 D.2 或−12(4)①在x轴，y轴上截距分别是-2，3的直线方程是3x-2y+6=0②求过点 P(2，3)，并且在两轴上截距相等的直线方程y=32x或.x+y-5 =0例3 (1)直线l的方程为.Ax+By+C=0(A、B不同时为零),根据下列各位置特征,写出A,B,C应满足的关系：①l与两坐标轴都相交A≠0;B≠0 ;②l过原点 C=0 ;③l只与x轴相交 B=0 ;④l是y轴所在直线 B=0,C=0 ;⑤l在x,y轴上的截距互为相反数①C=0. A≠0,B≠0②C≠0且A= B≠0 .(2)①直线kx+y+1=0(k∈ R)恒过定点 (0,-1) .②直线kx+k+3k²x+k²y=0(k∈R)恒过定点 (-1,3) .(3)过点P(3，0)有一条直线l，它夹在两条直线l₁:2x−y−2=0与l₂:x+y+3=0之间的线段恰被点 P平分，求直线l的方程。

高中数学必修2《第3章：直线与方程(3.3直线的交点坐标与距离公式1)》教师版

3.3直线的交点坐标与距离公式3．3.1 & 3.3.2 两直线的交点坐标、两点间的距离第一课时两直线的交点坐标、两点间的距离(新授课)[导入新知]1．两直线的交点坐标2．两直线的位置关系[化解疑难]两直线相交的条件(1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．(2)设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2相交的条件是A1B2－A2B1≠0或A1A2≠B1B2(A2，B2≠0)．(3)设两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则l1与l2相交⇔k1≠k2.[导入新知]两点间的距离公式(1)公式：点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根．[化解疑难]两点间距离公式的理解(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(2)当直线P1P2平行于x轴时，|P1P2|＝|x2－x1|.当直线P1P2平行于y轴时，|P1P2|＝|y2－y1|.当点P1、P2中有一个是原点时，|P1P2|＝x2＋y2.[例1] 判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： (1)l 1：5x ＋4y －2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0； (2)l 1：2x －6y ＋3＝0，l 2：y ＝13x ＋12；(3)l 1：2x －6y ＝0，l 2：y ＝13x ＋12.[解] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－103，y ＝143.所以l 1与l 2相交，且交点坐标为⎝⎛⎭⎫－103，143. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋3＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6整理得2x －6y ＋3＝0.因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合． (3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6－①得3＝0，矛盾．方程组无解，所以两直线无公共点，l 1∥l 2. [类题通法]判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．(1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值．(2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． (3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． [活学活用]1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标：(1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0.解：(1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋3＝0，x －2y －1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，所以直线l 1与l 2相交，交点坐标为(－1，－1)．(2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＋2＝0，①2x ＋2y ＋3＝0，②①×2－②，得1＝0，矛盾，方程组无解．所以直线l 1与l 2无公共点，即l 1∥l 2.[例2] 求证：不论m 为何实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都过某一定点． [证明] 法一：取m ＝1时，直线方程为y ＝－4；取m ＝12时，直线方程为x ＝9.两直线的交点为P (9，－4)，将点P 的坐标代入原方程左边＝(m －1)×9＋(2m －1)×(－4)＝m －5.故不论m 取何实数，点P (9，－4)总在直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5上，即直线恒过点P (9，－4)．法二：原方程化为(x ＋2y －1)m ＋(－x －y ＋5)＝0. 若对任意m 都成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－4.所以不论m 为何实数，所给直线都过定点P (9，－4)． [类题通法]解含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解得．若整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x 0，y 0)．[活学活用]2．求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．解：法一：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，即l 1与l 2的交点坐标为(－2,2)．∵直线过坐标原点，所以其斜率k ＝2－2＝－1，直线方程为y ＝－x ，一般式为x ＋y ＝0.法二：∵l 2不过原点，∴可设l 的方程为3x ＋4y －2＋λ(2x ＋y ＋2)＝0(λ∈R )，即(3＋2λ)x ＋(4＋λ)y ＋2λ－2＝0. 将原点坐标(0,0)代入上式，解得λ＝1， ∴l 的方程为5x ＋5y ＝0，即x ＋y ＝0.[例3] 已知点A (1,1)，B (5,3)，C (0,3)，求证：△ABC 为直角三角形． [证明] 法一：∵|AB |＝(5－1)2＋(3－1)2＝25， |AC |＝(0－1)2＋(3－1)2＝5，又|BC |＝(5－0)2＋(3－3)2＝5， ∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2， ∴△ABC 为直角三角形．法二：∵k AB ＝3－15－1＝12，k AC ＝3－10－1＝－2，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∴△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形．[类题通法]1．计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)，则|P1P2|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解．2．解答本题还要注意构成三角形的条件．[活学活用]3．已知点A(－1,2)，B(2，7)，在x轴上求一点P，使|P A|＝|PB|，并求|P A|的值．解：设所求点P(x,0)，于是由|P A|＝|PB|得(x＋1)2＋(0－2)2＝(x－2)2＋(0－7)2，即x2＋2x＋5＝x2－4x＋11，解得x＝1.所以，所求P点坐标为(1,0)，|P A|＝(1＋1)2＋(0－2)2＝2 2.8.两条直线相交求参数中的误区[典例] 若三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0 ，l 3：x ＋y ＋a ＝0能构成三角形，则a 应满足的条件是( )A ．a ＝1或a ＝－2B ．a ≠±1C ．a ≠1且a ≠－2D ．a ≠±1且a ≠－2[解析] 为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．(1)若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1，y ＝1，将l 2，l 3的交点(－a －1,1)代入l 1的方程解得a ＝1或a ＝－2①；(2)若l 1∥l 2，则由a ×a －1×1＝0，得a ＝±1②，当a ＝1时，l 1与l 2重合；(3)若l 2∥l 3，则由1×1－a ×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 2与l 3重合； (4)若l 1∥l 3，则由a ×1－1×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 1与l 3重合．综上，当a ＝1时，三条直线重合；当a ＝－1时，l 1∥l 2；当a ＝－2时，三条直线交于一点，所以要使三条直线能构成三角形，需a ≠±1且a ≠－2. [答案] D [易错防范]①处，解题过程中，由a ＝1或a ＝－2得a ≠1且a ≠－2，此种错误只考虑了三条直线相交于一点不能构成三角形，而忽视了任意两条平行或重合的直线也不能构成三角形．②处，若得到a ≠±1，只考虑了直线的斜率不相等的条件，而忽视了三条直线相交于一点也不能构成三角形．解答此类问题由条件不易直接求参数，可考虑从反面入手，同时考虑问题要全面，不要漏掉某些情形．[成功破障](2013·银川高一检测)直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为( ) A.12 B ．－12C.23D ．－23解析：选C 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－9，y ＝－8，即直线y ＝2x ＋10与y ＝x ＋1相交于点(－9，－8)，代入y ＝ax －2，解得a ＝23.[随堂即时演练]1．直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点的坐标为( ) A ．(－4，－3) B ．(4,3) C ．(－4,3)D ．(3,4)解析：选C 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋2y ＋6＝0，2x ＋5y －7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝3.2．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A ．1 B ．－5 C ．1或－5D ．1－或5解析：选C ∵|AB |＝(a ＋2)2＋(3＋1)2＝5， ∴a ＝－5或a ＝1.3．设Q (1,3)，在x 轴上有一点P ，且|PQ |＝5，则点P 的坐标是________．解析：由题意设P (a,0)，则|PQ |＝(a －1)2＋(0－3)2＝5，解得a －1＝±4，即a ＝5或－3.故点P 的坐标是(5,0)或(－3,0)．答案：(5,0)或(－3,0)4．若p ，q 满足p －2q ＝1，直线px ＋3y ＋q ＝0必过一个定点，该定点坐标为________．解析：因为p ＝2q ＋1代入整理：(2x ＋1)q ＋3y ＋x ＝0对q 为一切实数恒成立，即2x ＋1＝0，且3y ＋x ＝0，所以x ＝－12，y ＝16.答案：⎝⎛⎭⎫－12，16 5．(2012·山东德州高一检测)分别求经过两条直线2x ＋y －3＝0和x －y ＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．(1)平行于直线l 1：4x －2y －7＝0； (2)垂直于直线l 2：3x －2y ＋4＝0.解：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －3＝0，x －y ＝0，得交点P (1,1)．(1)若直线与l 1平行， ∵k 1＝2， ∴斜率k ＝2，∴所求直线方程为y －1＝2(x －1) 即：2x －y －1＝0. (2)若直线与l 2垂直， ∵k 2＝32，∴斜率k ＝－1k 2＝－23，∴y －1＝－23(x －1)即：2x ＋3y －5＝0.3．3.3 & 3.3.4 点到直线的距离两条平行线间的距离[导入新知]点到直线的距离与两条平行线间的距离[化解疑难]1．点到直线的距离公式需注意的问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如，求P 0(x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离，应先把直线方程化为kx －y ＋b ＝0，得d ＝|kx 0－y 0＋b |k 2＋1.2．点到几种特殊直线的距离 (1)点P 0(x 0，y 0)到x 轴的距离d ＝|y 0|； (2)点P (x 0，y 0)到y 轴的距离d ＝|x 0|；(3)点P (x 0，y 0)到与x 轴平行的直线y ＝b (b ≠0)的距离d ＝|y 0－b |； (4)点P (x 0，y 0)到与y 轴平行的直线x ＝a (a ≠0)的距离d ＝|x 0－a |. 3．对平行线间的距离公式的理解(1)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x ，y 的系数对应相等． (2)当两直线都与x 轴(或y 轴)垂直时，可利用数形结合来解决 ①两直线都与x 轴垂直时，l 1：x ＝x 1，l 2：x ＝x 2，则d ＝|x 2－x 1|； ②两直线都与y 轴垂直时，l 1：y ＝y 1，l 2：y ＝y 2，则d ＝|y 2－y 1|.[例1] 求点P (3，－2)到下列直线的距离： (1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝6；(3)x ＝4.[解] (1)直线y ＝34x ＋14化为一般式为3x －4y ＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d ＝|3×3－4×(－2)＋1|32＋(－4)2＝185. (2)因为直线y ＝6与y 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|－2－6|＝8. (3)因为直线x ＝4与x 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|3－4|＝1. [类题通法]应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ＝0或B ＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．[活学活用]1．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A.2 B ．2－ 2 C.2－1D.2＋1解析：选C 由点到直线的距离公式知 d ＝|a －2＋3|2＝|a ＋1|2＝1，得a ＝－1±2.又∵a ＞0，∴a ＝2－1.2．点P (2,4)到直线l ：3x ＋4y －7＝0的距离是________．解析：点P 到直线l 的距离d ＝|3×2＋4×4－7|32＋42＝155＝3.答案：3[例2] 求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线方程． [解] 法一：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0. 在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0(0，12)，则点P 0到直线5x －12y ＋C ＝0的距离为|－12×12＋C |52＋(－12)2＝|C －6|13，由题意，得|C －6|13＝2，所以C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. 法二：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0，由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52＋(－12)2，解得C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. [类题通法]求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l 1：y ＝kx ＋b 1，l 2：y ＝kx ＋b 2，且b 1≠b 2时，d ＝|b 1－b 2|k 2＋1；当直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0且C 1≠C 2时，d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.但必须注意两直线方程中x ，y 的系数对应相等． [活学活用]3．(2012·岳阳高一检测)两直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my －1＝0平行，则它们之间的距离为________．解析：因为两直线平行，所以m ＝2.法一：在直线3x ＋y －3＝0上取点(0,3)，代入点到直线的距离公式，得d ＝|6×0＋2×3－1|62＋22＝104. 法二：将6x ＋2y －1＝0化为3x ＋y －12＝0，由两条平行线间的距离公式得d ＝⎪⎪⎪⎪－3＋1232＋12＝104. 答案：104[例3] 求经过点P (1,2)，且使A (2,3)，B (0，－5)到它的距离相等的直线l 的方程． [解] 法一：当直线斜率不存在时，即x ＝1，显然符合题意．当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)．由条件得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝4，故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0.法二：由平面几何知识知l ∥AB 或l 过线段AB 的中点． ∵直线AB 的斜率k AB ＝4，若l ∥AB ，则l 的方程为4x －y －2＝0.若l 过AB 的中点(1，－1)，则直线方程为x ＝1，故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0. [类题通法]解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l 的特征，然后由已知条件写出l 的方程．[活学活用]4．求经过两直线l 1：x －3y －4＝0与l 2：4x ＋3y －6＝0的交点，且和点A (－3,1)的距离为5的直线l 的方程．解：由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －4＝0，4x ＋3y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－23，即直线l 过点B ⎝⎛⎭⎫2，－23. ①当l 与x 轴垂直时，方程为x ＝2，点A (－3,1)到l 的距离d ＝|－3－2|＝5，满足题意． ②当l 与x 轴不垂直时，设斜率为k ，则l 的方程为y ＋23＝k (x －2)，即kx －y －2k －23＝0，由点A 到l 的距离为5，得⎪⎪⎪⎪－3k －1－2k －23k 2＋(－1)2＝5，解得k ＝43，所以l 的方程为43x －y －83－23＝0，即4x －3y －10＝0.综上，所求直线方程为x ＝2或4x －3y －10＝0.9.漏掉直线斜率不存在的情况[典例] 直线l 1过点A (0,1)，l 2过点B (5,0)，如果l 1∥l 2，且l 1与l 2的距离为5，求l 1，l 2的方程．[解] (1)若直线l 1，l 2的斜率存在①，设直线的斜率为k ，由斜截式得l 1的方程y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0.由点斜式可得l 2的方程为y ＝k (x －5)，即kx －y －5k ＝0.因为直线l 1过点A (0,1)，则点A 到直线l 2的距离d ＝|－1－5k |(－1)2＋k 2＝5，∴25k 2＋10k ＋1＝25k 2＋25，∴k ＝125，∴l 1的方程为12x －5y ＋5＝0，l 2的方程为12x －5y －60＝0.(2)若l 1，l 2的斜率不存在①，则l 1的方程为x ＝0，l 2的方程为x ＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件．综上所述，满足条件的直线方程有两组：l 1：12x －5y ＋5＝0，l 2：12x －5y －60＝0；或l 1：x ＝0，l 2：x ＝5.[易错防范]1．①处容易漏掉l 1，l 2的斜率都不存在的情形而导致错误．2．用待定系数法求直线方程时，一定要对斜率是否存在的情况进行讨论． [成功破障]经过点A (1,2)且到原点的距离等于1的直线方程为________．解析：当过点A 的直线垂直于x 轴时，原点到此直线的距离等于1，所以满足题设条件，其方程为x －1＝0.当过点A 的直线不垂直于x 轴时，设其方程为y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0.由|－k ＋2|k 2＋1＝1得k ＝34，故其方程为3x －4y ＋5＝0.故所求的直线方程为x －1＝0，或3x －4y ＋5＝0. 答案：x ＝1或3x －4y ＋5＝0[随堂即时演练]1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( ) A ．1 B. 3 C ．2D. 5解析：选D d ＝|－5|5＝ 5.2．已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则l 1，l 2之间的距离为( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2 解析：选B 在l 1上取一点(1，－2)，则点到直线l 2的距离为|1－2－1|12＋12＝ 2.3．直线4x －3y ＋5＝0与直线8x －6y ＋5＝0的距离为________．解析：直线8x －6y ＋5＝0化简为4x －3y ＋52＝0，则由两平行线间的距离公式得⎪⎪⎪⎪5－5242＋32＝12. 答案：124．若点(2，k )到直线5x －12y ＋6＝0的距离是4，则k 的值是________．解析：∵|5×2－12k ＋6|52＋122＝4，∴|16－12k |＝52，∴k ＝－3，或k ＝173.答案：－3或1735．已知△ABC 三个顶点坐标A (－1,3)，B (－3,0)，C (1,2)，求△ABC 的面积S . 解：由直线方程的两点式得直线BC 的方程为 y 2－0＝x ＋31＋3，即x －2y ＋3＝0.由两点间距离公式得 |BC |＝(－3－1)2＋(0－2)2＝25，点A 到BC 的距离为d ，即为BC 边上的高， d ＝|－1－2×3＋3|12＋(－2)2＝455，所以S ＝12|BC |·d ＝12×25×455＝4，即△ABC 的面积为4.[课时达标检测]一、选择题1．点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离是( ) A ．3 2 B.22C ．3D.322解析：选D 点(1，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离 d ＝|1－1×(－1)＋1|12＋(－1)2＝322.2．两平行线分别经过点A (3,0)，B (0,4)，它们之间的距离d 满足的条件是( ) A ．0＜d ≤3 B ．0＜d ≤5 C ．0＜d ＜4D ．3≤d ≤5解析：选B 当两平行线与AB 垂直时，两平行线间的距离最大为|AB |＝5，所以0＜d ≤5. 3．与直线2x ＋y ＋1＝0的距离等于55的直线方程为( ) A ．2x ＋y ＝0 B ．2x ＋y －2＝0C ．2x ＋y ＝0或2x ＋y －2＝0D ．2x ＋y ＝0或2x ＋y ＋2＝0解析：选D 根据题意可设所求直线方程为2x ＋y ＋c ＝0.因为两直线间的距离等于55，所以d ＝|c －1|22＋12＝55，解得c ＝0，或c ＝2.所以所求直线方程为2x ＋y ＝0，或2x ＋y ＋2＝0. 4．直线l 过点A (3,4)且与点B (－3,2)的距离最远，那么l 的方程为( ) A ．3x －y －13＝0 B ．3x －y ＋13＝0 C ．3x ＋y －13＝0D ．3x ＋y ＋13＝0解析：选C 由已知可知，l 是过A 且与AB 垂直的直线， ∵k AB ＝2－4－3－3＝13，∴k l ＝－3，由点斜式得，y －4＝－3(x －3)，即3x ＋y －13＝0.5．若动点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点距离的最小值是( )A ．3 2B ．2 3C ．3 3D ．4 2解析：选A 由题意，结合图形可知点M 必然在直线x ＋y －6＝0上，故M 到原点的最小距离为|－6|2＝3 2.二、填空题6．直线l 到直线x －2y ＋4＝0的距离和原点到直线l 的距离相等，则直线l 的方程是________________．解析：由题意设所求l 的方程为x －2y ＋C ＝0，则|C －4|12＋22＝|C |12＋22，解得C ＝2，故直线l 的方程为x －2y ＋2＝0. 答案：x －2y ＋2＝07．直线l 在x 轴上的截距为1，又有两点A (－2，－1)，B (4,5)到l 的距离相等，则l 的方程为________________．解析：显然l ⊥x 轴时符合要求，此时l 的方程为x ＝1；设l 的斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1)，即 kx －y －k ＝0.∵点A ，B 到l 的距离相等， ∴|－2k ＋1－k |k 2＋1＝|4k －5－k |k 2＋1.∴|1－3k |＝|3k －5|，∴k ＝1，∴l 的方程为x －y －1＝0. 综上，l 的方程为x ＝1，或x －y －1＝0. 答案：x ＝1或x －y －1＝08．已知直线l 与直线l 1：2x －y ＋3＝0和l 2：2x －y －1＝0的距离相等，则l 的方程是____________________．解析：法一：由题意可设l 的方程为2x －y ＋c ＝0，于是有|c －3|22＋(－1)2＝|c －(－1)|22＋(－1)2，即|c －3|＝|c ＋1|，解得c ＝1，则直线l 的方程为2x －y ＋1＝0.法二：由题意知l 必介于l 1与l 2中间，故设l 的方程为2x －y ＋c ＝0，则c ＝3＋(－1)2＝1.则直线l 的方程为2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝0 三、解答题9．已知直线l 经过点P (－2,5)，且斜率为－34.(1)求直线l 的方程；(2)若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程．解：(1)由直线方程的点斜式，得y －5＝－34(x ＋2)，整理得所求直线方程为 3x ＋4y －14＝0.(2)由直线m 与直线l 平行，可设直线m 的方程为 3x ＋4y ＋C ＝0，由点到直线的距离公式得 |3×(－2)＋4×5＋C |32＋42＝3，即|14＋C |5＝3，解得C ＝1或C ＝－29，故所求直线方程为3x ＋4y ＋1＝0或3x ＋4y －29＝0.10．已知正方形ABCD 一边CD 所在直线的方程为x ＋3y －13＝0，对角线AC ，BD 的交点为P (1,5)，求正方形ABCD 其他三边所在直线的方程．解：(1)点P (1,5)到l CD 的距离为d ，则d ＝310. ∵l AB ∥l CD ，∴可设l AB ：x ＋3y ＋m ＝0. 点P (1,5)到l AB 的距离也等于d ，则|m ＋16|10＝310，又∵m ≠－13，∴m ＝－19，即l AB ：x ＋3y －19＝0. ∵l AD ⊥l CD ，∴可设l AD ：3x －y ＋n ＝0，则P (1,5)到l AD 的距离等于P (1,5)到l BC 的距离，且都等于d ＝310， |n －2|10＝310，n ＝5，或n ＝－1，则l AD ：3x －y ＋5＝0，l BC ：3x －y －1＝0.所以，正方形ABCD 其他三边所在直线方程为x ＋3y －19＝0,3x －y ＋5＝0,3x －y －1＝0.直线与方程一、选择题(共10小题，每小题5分，共50分)1．(2013·嘉兴高一检测)点A (2，－3)关于点B (－1,0)的对称点A ′的坐标是( ) A ．(－4,3) B ．(5，－6) C ．(3，－3)D.⎝⎛⎭⎫12，－32 解析：选A 设A ′(x ′，y ′)，由题意得⎩⎨⎧2＋x ′2＝－1，－3＋y ′2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－4，y ′＝3. 2．已知直线l 的方程为y ＝－x ＋1，则直线l 的倾斜角为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．135°解析：选D 由题意知k ＝－1，故倾斜角为135°.3．(2012·潍坊高一期末检测)点(1,1)到直线x ＋y －1＝0的距离为( ) A ．1B ．2C.22D. 2解析：选C 由点到直线的距离公式d ＝|1＋1－1|12＋12＝22.4．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于P 、Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( )A.13 B ．－13C ．3D ．－3解析：选B 设P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋7＝2，b ＋1＝－2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－3，故直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.a ＝－5.5．过点(－1,3)且平行于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋7＝0 B ．2x ＋y －1＝0 C ．x －2y －5＝0D ．2x ＋y －5＝0解析：选A ∵直线x －2y ＋3＝0的斜率为12，∴所求直线的方程为y －3＝12(x ＋1)，即x －2y ＋7＝0.6．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝1解析：选D 依题意得－3n ＝－3，－mn ＝tan 120°＝－3，得m ＝3，n ＝1.7．和直线3x －4y ＋5＝0关于x 轴对称的直线方程为( ) A ．3x ＋4y ＋5＝0 B ．3x ＋4y －5＝0 C ．－3x ＋4y －5＝0D ．－3x ＋4y ＋5＝0解析：选A 设所求直线上的任一点为(x ，y )，则此点关于x 轴对称的点的坐标为(x ，－y )，因为点(x ，－y )在直线3x －4y ＋5＝0上，所以3x ＋4y ＋5＝0.8．若三点A (3,1)，B (－2，b )，C (8,11)在同一直线上，则实数b 等于( ) A ．2 B ．3 C ．9D ．－9解析：选D 由题意知k AB ＝k BC即b －1－2－3＝11－b8＋2，解得b ＝－9. 9．将一张坐标纸折叠一次，使点(10,0)与(－6,8)重合，则与点(－4,2)重合的点是( ) A ．(4，－2) B ．(4，－3) C.⎝⎛⎭⎫3，32 D ．(3，－1)解析：选A 由已知知以(10,0)和(－6,8)为端点的线段的垂直平分线的方程为y ＝2x ，则(－4,2)关于直线y ＝2x 的对称点即为所求点．设所求点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 0－2x 0＋4＝－12，y 0＋22＝2·x 0－42，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4，y 0＝－2. 10．设点A (2，－3)，B (－3，－2)，直线l 过P (1,1)且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是( )A ．k ≥34，或k ≤－4B ．－4≤k ≤34C ．－34≤k ≤4D ．以上都不对解析：选A 由题意知k AP ＝－3－12－1＝－4， k BP ＝－2－1－3－1＝34.由斜率的特点并结合图形可知k ≥34，或k ≤－4.二、填空题(共4小题，每小题5分，共20分)11．已知点A (2,1)，B (－2,3)，C (0,1)，则△ABC 中，BC 边上的中线长为________．解析：BC 中点为⎝⎛⎭⎫－2＋02，3＋12即(－1,2)，所以BC 边上中线长为(2＋1)2＋(1－2)2＝10.答案：1012．经过点A (1,1)且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的直线方程是________．解析：当直线过原点时，满足要求，此时直线方程为x －y ＝0；当直线不过原点时，设直线方程为x a ＋ya ＝1，由于点(1,1)在直线上，所以a ＝2，此时直线方程为x ＋y －2＝0.答案：x －y ＝0或x ＋y －2＝013．过点A (2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为____________．解析：如右图，只有当直线l 与OA 垂直时，原点到l 的距离最大，此时k OA ＝12，则k l ＝－2，所以方程为y －1＝－2(x －2)，即2x ＋y －5＝0.答案：2x ＋y －5＝014．已知点A (4，－3)与B (2，－1)关于直线l 对称，在l 上有一点P ，使点P 到直线4x ＋3y －2＝0的距离等于2，则点P 的坐标是____________．解析：由题意知线段AB 的中点C (3，－2)，k AB ＝－1，故直线l 的方程为y ＋2＝x －3，即y ＝x －5.设P (x ，x －5)，则2＝|4x ＋3x －17|42＋32，解得x ＝1或x ＝277.即点P 的坐标是(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87. 答案：(1，－4)或⎝⎛⎭⎫277，－87 三、解答题(共4小题，共50分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本小题满分12分)(2012·绍兴高二检测)已知直线l 的倾斜角为135°，且经过点P (1,1)． (1)求直线l 的方程；(2)求点A (3,4)关于直线l 的对称点A ′的坐标．解：(1)∵k ＝tan 135°＝－1，∴l ：y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0. (2)设A ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －3×(－1)＝－1，a ＋32＋b ＋42－2＝0，解得a ＝－2，b ＝－1，∴A ′的坐标为(－2，－1)．16．(本小题满分12分)已知两条直线l 1：x ＋m 2y ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3my ＋2m ＝0 ，当m 为何值时，l 1与l 2(1)相交；(2)平行；(3)重合？解：当m ＝0时，l 1：x ＋6＝0，l 2：x ＝0，∴l 1∥l 2.当m ＝2时，l 1：x ＋4y ＋6＝0，l 2：3y ＋2＝0，∴l 1与l 2相交．当m ≠0且m ≠2时，由1m －2＝m 23m 得m ＝－1或m ＝3，由1m －2＝62m ，得m ＝3.故(1)当m ≠－1且m ≠3且m ≠0时，l 1与l 2相交． (2)当m ＝－1或m ＝0时，l 1∥l 2. (3)当m ＝3时，l 1与l 2重合．17．(本小题满分12分)如图，已知点A (2,3)，B (4,1)，△ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，点C 在直线l ：x －2y ＋2＝0上．(1)求AB 边上的高CE 所在直线的方程； (2)求△ABC 的面积．解：(1)由题意可知，E 为AB 的中点， ∴E (3,2)，且k CE ＝－1k AB＝1，∴CE 所在直线方程为：y －2＝x －3，即x －y －1＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋2＝0，x －y －1＝0，得C (4,3)，∴|AC |＝|BC |＝2，AC ⊥BC ，∴S △ABC ＝12|AC |·|BC |＝2.18．(本小题满分14分)如图所示，在△ABC 中，BC 边上的高所在直线l 的方程为x －2y ＋1＝0，∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝0，若点B 的坐标为(1,2)，求点A 和点C 的坐标．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1＝0，y ＝0解得顶点A (－1,0)．又AB 的斜率为k AB ＝1，且x 轴是∠A 的平分线，故直线AC 的斜率为－1，AC 所在直线的方程为y ＝－(x ＋1)．已知BC 边上的高所在直线的方程为x －2y ＋1＝0，故BC 的斜率为－2，BC 所在直线的方程为y －2＝－2(x －1)．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－(x ＋1)，y －2＝－2(x －1).得顶点C 的坐标为(5，－6)．所以点A 的坐标为(－1,0)，点C 的坐标为(5，－6)．。

6第六讲直线的方程-教师版

第六讲直线的方程【基础知识】一、直线的点斜式方程1.直线的点斜式方程(1)经过点P0(x0,y0),且斜率不存在的直线不能用点斜式方程表示,其方程为x=x0.(2)经过点P0(x0,y0),且斜率为0的直线能用点斜式方程表示,其方程为y=y0.(3)过定点P0(x0,y0)的直线系方程:我们可设直线的方程为y-y0=k(x-x0),由于过点P0(x0,y0)且与x 轴垂直的直线不能用y-y0=k(x-x0)表示,因此直线系y-y0=k(x-x0)(k∈R)中没有直线x=x0.二、直线的斜截式方程1.把直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距(1)直线l在y轴上的截距,就是直线l与y轴交点的纵坐标.(2)直线l在y轴上的截距存在,等价于直线l的斜率存在.2.直线的斜截式方程(1)斜率为k的直线系方程:若直线的斜率存在,则可设直线的方程为y=kx+b,当b取不同值时,这个方程表示斜率为k的直线系方程.(2)对于直线l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2. l1∥l2⇔k1=k2,且b1≠b2;l1⊥l2⇔k1k2=-1.4.截距不是距离,截距是一个点的横(纵)坐标,是一个实数,可以是正数,也可以是负数和零,而距离是一个非负数.三、直线的两点式方程1.直线的两点式方程(1)直线的两点式方程不能表示与坐标轴垂直的直线.(2)直线的两点式方程也可以写成(y-y2)(x1- x2)=(x-x2)(y1-y2)的形式,则可表示任意的直线,但不再称其为直线的两点式方程.3.写直线的两点式方程的步骤(1)已知直线上的两点,首先判断直线是否垂直于坐标轴.(2)若直线垂直于坐标轴,则直接写出方程.(3)若直线不垂直于坐标轴,则可根据两点式求出直线的方程.4.运用直线的两点式方程时的注意事项(1)当已知两点坐标,求过这两点的直线方程时,首先要判断是否满足两点式方程的适用条件:两点的连线不垂直于坐标轴,若满足,则考虑用两点式求方程.(2)由于减法是有序的,所以用两点式求直线方程时常因字母或数字的顺序错位而导致错误.四、直线的截距式方程1.直线的截距式方程(1)若直线与x 轴相交于点(a ,0),则称a 为直线在x 轴上的截距,也称横截距;若直线与y 轴相交于点(0,b ),则称b 为直线在y 轴上的截距,也称纵截距. (3)在方程1x ya b+=中,要求a 、b 存在,且a ≠0,b ≠0,即两个截距存在且都不为0,因此它不能表示过坐标原点和垂直于x 轴、y 轴的直线. 3.运用直线的截距式方程时的注意事项题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m >0)”等条件时,若采用截距式求直线的方程,一定要注意考虑“零截距”的情况.五、直线的一般式方程 1.概念在平面直角坐标系中,任意一条直线都可以用一个关于x ,y 的二元一次方程表示出来,每一个关于x ,y 的二元一次方程都表示一条直线,我们把关于x ,y 的二元一次方程Ax +By +C =0 (其中A ,B 不同时为0)叫做直线的一般式方程 ,简称一般式. 2.在Ax +By +C =0中,若B =0,A ≠0,则x =Cx A=- ,它表示一条与y 轴平行或重合的直线;若A =0,B ≠0, 则y =CB-,它表示一条与x 轴平行或重合的直线. 3.直线方程的五种形式的比较【考点讲解】考点一：直线的点斜式方程例1．（2020-2021学年广西高二上学期学业水平考试）已知直线l 的斜率为2，且经过点()1,2A ，那么直线l 的方程为（）A ．4110x y +-=B ．3150x y +-=C ．750x y -+=D ．20x y -=【答案】D【解析】依题意，直线l 的斜率为2，且经过点()1,2A ，所以直线l 的方程为()221,20y x x y -=--=.故选D考点二：直线的斜截式方程例2．已知k ∈R ，223b k k =-+，则下列直线的方程不可能是y kx b =+的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】2223(1)2b k k k =-+=-+，∴直线的方程y kx b =+在y 轴上的截距不小于2，且当1k =时，y 轴上的截距为2，故D 正确，当1k =-时，6b =, 故B 不正确，当3b =时，0k =或2k =，由图象知AC 正确.故选B考点三：直线的两点式方程例3．（2021-2022学安徽省合肥市六校联考高二上学期期末）已知直线l 过点()1,3G -，()2,1H -，则直线l 的方程为（）A ．470x y ++=B ．23110x y --=C ．4350x y ++=D ．43130x y +-=【答案】C【解析】由直线的两点式方程可得，直线l 的方程为311321y x +-=+--，即4350x y ++=．故选C ．考点四：直线的截距式方程例4．（2021-2022学年广东省佛山市第一中学高二上学期段考）已知直线l 过点()2,1，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则满足条件的直线l 有（）条 A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】设直线l 过原点，则l 的方程为y kx = ，将点（2,1）坐标代入，得12k =，即l 的方程为12y x = ；若直线l 不过原点，设其为1x ya b+= ，将点（2,1）坐标代入，得2b a ab +=……① ，由于,a b a b ==± ，分别代入①，解得3,1a b a b ===-= ，即直线l 的方程为3x y += ，1x y -= ；共有3条；故选C. 考点五：直线的一般式方程例5．（2021-2022学年山东省青岛第十九中学高二上学期10月月考）过点()1,2-且与直线2340x y -+=平行的直线方程为（）A ．3270x y ++=B ．3210x y +-=C ．2350x y -+=D ．2380x y -+=【答案】D【解析】由题可得，设平行于直线2340x y -+=的直线l 的方程为230(4)x y c c -+=≠，因为直线过点(1,2)-，所以260c --+=，解得8c =，所以直线l 的方程为2380x y -+=. 故选D.考点六：直线的平行问题例6．（2021-2022学年广东省名校联盟高二下学期大联考）若直线210x my ++=与直线3610x y +-=平行，则m =（）A ．4B ．4-C ．1D ．1-【答案】A【解析】因为直线210x my ++=与直线3610x y +-=平行，所以21361m =≠-，解得4m =．故选A考点七：直线的垂直问题例7．（2021-2022学年广东省茂名市五校联盟高二上学期期末联考）若直线20x ay +-=与直线2210a x y ++=垂直，则a =（） A ．-2 B ．0 C ．0或-2 D ．1【答案】C【解析】因为两直线垂直，所以220a a +=，解得：0a =或2a =-.故选C 考点8：直线的方程与其他知识的交汇例8．过点()1,2P 作直线l 分别与x ，y 轴正半轴交于点A ，B . (1)若AOB 是等腰直角三角形，求直线l 的方程；(2)对于①OA OB +最小，①AOB 面积最小，若选择___________作为条件，求直线l 的方程.【解析】 (1)因为过点()1,2P 作直线l 分别与x ，y 轴正半轴交于点A 、B ，且AOB 是等腰直角三角形，所以直线l 的倾斜角为34π，所以直线l 的斜率为3tan14k π==-，所以直线l 的方程为()21y x -=--，即30x y +-=；(2)设(,0)A a ，(0,)B b (,0)a b >，直线l 的方程为1x y a b +=，代入点(1,2)P 可得121a b+=，若选①：2()()33312O a b B a b a b a b b a A O +=++=++≥++=+，当且仅当1,2a b ==，此时直线l 的斜率bk a=-=所以直线l 的方程为)21y x -=-20y +-=；若选①：由11222abab+=，可得8ab ，当且仅当2,4a b ==时等号成立，所以142AOBSab =，即AOB 面积最小为4，此时直线l 的斜率2b k a=-=-，所以直线l 的方程为()221y x -=--，即240x y +-=.【课堂练习】1. （2021-2022学年河北省临城中学高二下学期开学考试）已知直线l 的倾斜角为120°，则下列直线中，与直线l 垂直的是（）A ．10x +=B 10y -+=C ．10x +=D 10y ++=【答案】A【解析】直线l 的倾斜角为120°，则其斜率为tan120°＝l 垂直的直线斜率为A 、B 、C 、DA. 2.（2021-2022学年湖南省湖湘教育三新探索协作体高二上学期11月期中）过点()1,1-且方向向量为()2,3-的直线的方程为（） A ．3250x y --= B ．2350x x --= C ．3210x y +-= D ．2310x y ++=【答案】C【解析】由方向向量得直线的斜率为－32，所以得直线方程为()3112y x +=--，即3210x y +-=．故选C.3. （2021-2022学年浙江省杭州学军中学高二上学期期末）直线sin 10x y α--=的倾斜角的取值范围是（）A ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．3,,4224ππππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．30,,424πππ⎡⎤⎛⎤⋃ ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A【解析】①直线sin 10x y α--=的斜率sin [1k α=∈-,1]，设直线sin 10x y α--=的倾斜角为(0)θθπ<，则[]tan 1,1θ∈-，解得30,,44ππθπ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故选A.4.（2021-2022学年上海市复兴高级中学高二上学期期末）已知直线l 过点()3,4P ，且与坐标轴分别相交于点A ､B ，若OAB 的面积为24，其中O 为坐标原点，则这样的直线有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条【答案】C【解析】由题知直线的斜率存在，且不过原点，所以设直线l 方程为()34y k x =-+，43k ≠，所以直线l 与x 轴交点坐标为43,0k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线l 与y 轴交点坐标为34k -+所以OAB 面积为()14334242k k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭，即1624948k k --=，所以1624948k k --=或1624948k k--=-, 解方程1624948k k --=，即()2292416340k k k ++=+=，解得43k =-，解方程1624948k k --=-，即2972160k k -+=，解得43k =±所以这样的直线有3条.故选C5.（2021-2022学年云南省昆明市第三中学高二上学期期中）已知直线l ①x +y -2-a =0在x 轴和y 轴上的截距相等，则a 的值可以是（） A ．0B ．1C ．-1D ．-2.【答案】ABCD【解析】令y ＝0，得到直线在x 轴上的截距是2a +，令x ＝0，得到直线在y 轴上的截距为2＋a ，①不论a 为何值，直线l 在x 轴和y 轴上的截距总相等，故选ABCD.6. （2021-2022学年浙江省绍兴市上虞区高二上学期期末）下列说法正确的是（）A ．直线()sin 20x y R θθ++=∈的倾斜角范围是30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭B ．若直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直，则1a =C ．过两点()11,x y ，()22,x y 的直线方程为()()()()121121y y x x x x y y --=--D ．经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-= 【答案】AC【解析】对A ：直线sin 20x y θ++=，其斜率[]sin 1,1k θ=-∈-，设直线倾斜角为α，故可得[]tan 1,1α∈-，则30,,44παππ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，故A 正确；对B ：直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直，则20a a +=，解得0a =或1-，故B 错误；对C ：过两点()11,x y ，()22,x y 的直线方程为()()()()121121y y x x x x y y --=--，故C 正确；对D ：经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距都相等的直线方程为20x y +-=和0x y -=，故D 错误；故选AC.7. （2021-2022学年湖北省部分重点学校联考高三上学期12月月考）已知某直线满足以下两个条件，写出该直线的一个方程：________．（用一般式方程表示） ①倾斜角为30︒；①不经过坐标原点．【答案】10x +=（答案不唯一）. 【解析】由题意得，斜率3tan 303k ==数项非零，所以，直线的一个一般式方程为10x +=.故答案为：10x +=（答案不唯一）. 8.（2020-2021学年重庆市青木关中学高二上学期第二次月考）如图，在平行四边形ABCD 中，边AB 所在直线方程为220x y --=，点()2,0C .(1)求直线CD 的方程；(2)求AB 边上的高CE 所在直线的方程.【解析】 (1)①四边形ABCD 为平行四边形，①AB CD ∥.①2CD AB k k ==. ①直线CD 的方程为()22y x =-，即240x y --=. (2)①CE AB ⊥，①112CE AB k k =-=-. ①直线CE 的方程为()122y x =--，即220x y +-=.【课后练习】1. （2021-2022学年吉林省白山市高二上学期期末）与直线10x y +-=平行，且经过点（2，3）的直线的方程为（） A ．10x y -+= B ．50x y ++= C ．50x y +-= D ．10x y --=【答案】C【解析】与直线10x y +-=平行，且经过点（2，3）的直线的方程为3(2)y x -=--，整理得50x y +-=．故选C2.（2021-2022学年河北省张家口市宣化第一中学高二上学期期末）如果0AB >，0BC >，那么直线0Ax By C ++=不经过的象限是（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【解析】由题设，直线可写成A C y x B B =--，又0AB >，0BC >，①0A B -<，0CB-<，故直线过二、三、四象限，不过第一象限.故选A.3.已知直线()13210l mx m y +++：＝，直线()()22220l m x m y +++﹣＝:，且12l l //，则m 的值为（） A ．2﹣ B ．1﹣C ．-2或-1D ．2【答案】C【解析】因为12l l //，所以()()()32220m m m m+-+=﹣且()2320m m ⨯--≠，解得：2m =-或1-，且25m ≠-，综上：m 的值为2-或1-.故选C4.已知ABC 的三个顶点(3,0),(1,2),(1,3)A B C --，则ABC 的高CD 所在的直线方程是（） A ．550x y +-= B ．250x y ++= C ．250x y +-= D ．250x y --=【答案】D【解析】由题意知：()021312AB k -==---，则12CD ABk k =-=，故CD 所在的直线方程为32(1)y x +=-，即250x y --=.故选D.5.（多选）下列说法正确的是（）A ．11y y x x --＝k 不能表示过点M （x 1，y 1）且斜率为k 的直线方程B ．在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线方程为1x ya b+=C ．直线y ＝kx +b 与y 轴的交点到原点的距离为bD ．过两点A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）的直线方程为212212()()()()0x x y y y y x x -----= 【答案】AD【解析】11y y x x --＝k 表示过点M （x 1，y 1）且斜率为k 的直线去掉点11(,)x y ，A 正确；在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b ，只有0ab ≠时，直线方程为1x ya b+=，B 错误；直线y ＝kx +b 与y 轴的交点坐标是(0,)b ，交点到原点的距离为b ，C 错误；过两点A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）的直线当12x x ≠时，直线方程为122212()y y y y x x x x --=--，变形为212212()()()()0x x y y y y x x -----=，当12x x =时，直线方程为2x x =，也适合方程212212()()()()0x x y y y y x x -----=，所以D 正确．故选AD ．6.（多选）直线12,l l 的方程分别为1:0l x ay b ++=，2:0l x cy d ++=，它们在坐标系中的位置如图所示，则下列结论中正确的是（）A ．0,0b d ><B ．0,0b d <>C ．a c >D ．a c <【答案】BC【解析】直线12,l l 斜率12,k k 存在，则直线方程可化为11:b l y x a a =--，21:d l y x c c=--； 110k a ∴=->，210k c=->，又12k k >，0c a ∴<<，C 正确，D 错误；又00b a d c⎧-<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，0b ∴<，0d >，A 错误，B 正确.故选BC.7.（2021-2022学年浙江省杭州第二中学滨江校区高二上学期期中）过点()3,4A 且与直线:210l x y --=垂直的直线的方程是___________.【答案】2100x y +-=【解析】设与直线:210l x y --=垂直的直线为：20x y C ++=，代入()3,4A 得：640C ++=，解得：10C =-，∴所求直线方程为：2100x y +-=.故答案为2100x y +-=.8.经过点(1,4)A -）且在x 轴上的截距为3的直线方程是______．【答案】30x y +-=【解析】当斜率不存在时，直线为：1x =-，横截距为-1，不符合题意；当斜率存在时，设其为k ，直线可设为：()14y k x =++.由在x 轴上的截距为3，可得：()0314k =++，解得：1k =-，所以直线方程为：30x y +-=.9.（2021-2022学年河北省沧州市高二上学期期末）已知直线l 过点()3,4P ． (1)若直线l 与直线4350x y -+=垂直，求直线l 的方程； (2)若直线l 在两坐标轴的截距相等，求直线l 的方程．【解析】 (1)因为直线l 与直线4350x y -+=垂直所以，设直线l 的方程为340x y m ++=，因为直线l 过点()3,4P ，所以33440m ⨯+⨯+=，解得25m =-，所以直线l 的方程为34250x y +-=． (2)当直线l 过原点时，斜率为43，由点斜式求得直线l 的方程是43y x =，即430x y -=．当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x y a +=，把点()3,4P 代入方程得7a =，所以直线l 的方程是70x y +-=．综上，所求直线l 的方程为430x y -=或70x y +-=．10．（2021-2022学年湖北省荆州市石首市高二上学期期中）（1）求过点()4,3-且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程；（2）设直线l 的方程为()()120a x y a a ++--=∈R ，若1a >-，直线l 与x ，y 轴分别交于M ，N 两点，O 为坐标原点，求OMN 面积取最小值时，直线l 的方程．【解析】（1）当直线不过原点时，设l 的方程为x a ＋ya＝1， ①点()4,3-在直线上，①4a＋3a-＝1，解得1a =，所以直线方程为x ＋y －1＝0；当直线过原点时，直线斜率34k =-，①直线的方程为34y x =-，即3x ＋4y ＝0.综上知，所求直线方程为x ＋y －1＝0或3x ＋4y ＝0. （2）①1a >-，①M 2(,0)1a a ++，()0,2N a +， ①()12221OMNa Sa a +=⋅⋅++＝()211121a a ++⎡⎤⎣⎦⨯+＝121121a a ⎛⎫+++⎪+⎝⎭≥2，当且仅当a ＋1＝11a +，即a ＝0时等号成立．故所求直线l 的方程为x ＋y －2＝0.。

10.2直线与方程2(教师版)

科目数学年级高三备课人高三数学组第课时 10.2直线与方程2考纲定位能运用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；了解常见直线系方程；掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；掌握点关于点对称、点关于直线对称及直线关于直线对称的相关问题.一、两条直线的位置关系：1．判断下列各组直线的位置关系，如相交，则求出交点的坐标（1）12:10,:10l x y l x y -+=--=；（2）12:10,:10l x y l x y -+=+-=；（3）12:210,:220l x y l x y -+=-+=；（4）12:210,:3630l x y l x y -+=-+=；【考点整合】1、如果两直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+；（1）12//l l ⇔ ；（2）12l l ⊥⇔ ；（3）12l l 与相交⇔ .2、如果两直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=；（1）12//l l ⇔ ；（2）12l l ⊥⇔ .（3）12l l 与相交⇔ .3、几种常见的直线系方程：（1）过定点P 00(,)x y 的直线系方程： .（2）平行于直线0Ax By C ++=的直线系方程为 .（3）垂直于直线0Ax By C ++=的直线系方程为 .（4）过两条已知直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=交点的直线系方程为 .二、距离公式1．两点(3,5),(2,1)---间的距离为；2．点(3,1)-到直线0x =的距离为；3．点(3,1)-到直线0y =的距离为；4．点(3,1)-到直线10x y -+=的距离为；5．两条直线12:10,:10l x y l x y -+=--=间的距离为；6．两条直线12:10,:2210l x y l x y -+=--=间的距离为 .【考点整合】1、两点111222(,),(,)P x y P x y 间的距离为： .2、点000(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离为： .3、两条平行直线1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=间的距离为 .三、对称问题1．点(2,1)-关于点(0,0)对称的点为；点(2,1)-关于点(2,0)对称的点为；2．点(2,1)关于y 轴对称的点为；点(2,1)关于x 轴对称的点为；点(2,1)关于直线y x =对称的点为；【典型例题】例1：求经过直线12:3210,:5210l x y l x y +-=++=的交点，且垂直于直线3:3560l x y -+=的直线l 的方程.【答案】：3560x y -+=.例2：（1）求点(2,1)关于直线10x y -+=对称点的坐标；（2）求直线1:0l x y -=关于直线2:10l x y -+=对称的直线l 的方程；（3）求直线1:2310l x y --=关于直线2:10l x y -+=对称的直线l 的方程.【巩固提升】1、已知直线1l 过点(-2,0)和(1,3m)，直线2l 过点(0,1)和(m,-2m).（1）若12//l l ，则m= ；（2）若12l l ⊥，则m= .2、已知k R ∈，则直线:(1)30l kx k y +-+=经过的定点坐标为（）AA.(-3,-3)B.(-3,0)C.(1,1)D.(0,0)3、若直线1:(4)l y k x =-与直线2l 关于点(2,1)对称，则直线2l 经过定点（）BA.(0,4)B.(0,2)C.(-2,4)D.(4,-2)【课后反思】。

高中数学教师备课必备(直线与方程)：专题九直线与方程提高训练含解析

【知识点一：倾斜角与斜率】(1）直线的倾斜角①关于倾斜角的概念要抓住三点：1、与x 轴相交；2、x 轴正向；3、直线向上方向。

②直线与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0③倾斜角α的范围000180α≤<（2）直线的斜率①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值,而倾斜角为090的直线斜率不存在。

记作tan k α=0(90)α≠⑴当直线l 与x 轴平行或重合时， 00α=，0tan 00k ==⑵当直线l 与x 轴垂直时， 090α=,k 不存在.②经过两点1112212(,),(,)P x y P x y xx ≠（）的直线的斜率公式是2121y y k x x -=-③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率. （3)求斜率的一般方法:①已知直线上两点，根据斜率公式212121()yy k x x x x -=≠-求斜率；②已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数根据tan k α=来求斜率;（4)利用斜率证明三点共线的方法: 已知112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，若123AB BC xx x k k ===或，则有A 、B 、C 三点共线。

【知识点二：直线平行与垂直】（1）两条直线平行：对于两条不重合的直线12,l l ，其斜率分别为12,k k ，则有2121 // k k ll =⇔特别地，当直线12,l l 的斜率都不存在时，12l l 与的关系为平行(2）两条直线垂直：如果两条直线12,l l 斜率存在，设为12,k k ，则有1- 2121=⋅⇔⊥k k ll注:两条直线12,l l 垂直的充要条件是斜率之积为—1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直;反过来,两直线垂直，斜率之积不一定为-1。

如果12,l l 中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时，12l l 与互相垂直.【知识点三：直线的方程】（1）直线方程的几种形式问题:过两点111222(,),(,)P x y P x y 的直线是否一定可用两点式方程表示？【不一定】。

第三章《直线与方程》复习课

6．线段的中点坐标公式：
已知 P1 (x1，y1)、P2 (x2，y2)，x则 x1 x2 ______2____
已知 P1 (x1，y1)、P2 (x2，y2)，则线段 P1P2 的中点 M 的坐标为
【基【础基自础测自】测】
__________
_y___y1__2_y_2__ .
5 、线已1、段知直PA1P线(2 4的，2中x0点)、5MyB的(坐61，0标7为)0、与C_坐_(0_， _标__3轴_)_，转__则成. 的三角形直线的A面B 积的是方_程__是_____________._________________，
（3）斜率公式：k＝ y2 y1 . x2 x1
3、直线方程的五种形式：
直线方程
应用
点斜式 y-y0＝k(x-x0)
可判定直线过定点 x0 , y0
斜截式 y＝kx+b
可判定直线不过哪个象限，最后结果表示法。
两点式
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
易作图
截距式
与两坐标轴所围成的 RtΔ 面积 S= ab ，
A1B2-A2B1 ≠ 0
A1B2-A2B1=0 B1C2-B2C1≠0(或A1C2-A2C1≠0).
重合 k1=k2且b1=b2
A1B2-A2B1=0 B1C2-B2C1=0
(且A1C2-A2C1=0)
垂直 k1k2=－1
A1A2+B1B2=0
（（512、））（（（（5（的两点、距12123距））））点到）距离5（5（的的离两点两点、、两间直离33：距距为点到点到的线））距距条：离离两两间直间直距的离离平为为的线的线条条行离距：：距的距的平平离线公行行离距离距公式l1：离离线线公公式：A公公式式：llP11x1：：式式：：d+P=B2AA：：_y=PPxx_+11_dd++_PPC_==_BB22_1___yy===____++0______CC______与___11___(==______xl00___2___2___：___与与______x___A___1ll___)___22x2___：：___+_____；B___AA__(y___y__xx+___2__++___C；；BB___2yyy___=1++___0)2___CC___22≥__==__00__0__；≥≥00；；

10.1直线与方程1(教师版)

科目数学年级高三备课人高三数学组第课时 10.1直线与方程1考纲定位理解直线的倾斜角和斜率的概念及对应关系；灵活运用直线方程的点斜式、两点式及一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程.一、直线的倾斜角与斜率：1．一直线倾斜角为30°，则其斜率为；2．一直线斜率为3-，则其倾斜角为；3．由点(6,9),(14,1)所确定直线的斜率为；4．直线310x y -+=的斜率为；倾斜角为 .【考点整合】1、直线的倾斜角θ：（1）定义：；倾斜角θ的范围： .2、直线的斜率k ：（1）定义：（2）斜率k 的计算公式：；；斜率k 的范围： .3、直线的倾斜角与斜率之间的关系：当θ为锐角时，k 0；当θ为钝角时，k 0；当θ=0时，k 0；当θ为直角时，k .二、直线方程1．过点(2,1)-且斜率为3的直线方程为；2．经过两点(3,5),(2,1)---的直线方程为；3．斜率为2，且与y 轴的截距为-1的直线方程为；4．与x 轴，y 轴的截距分别为2，-3的直线方程为；5．经过两点(1,0),(2,0)的直线方程为；此时倾斜角为；斜率为 .6．经过两点(1,1),(2,1)的直线方程为；此时倾斜角为；斜率为 .【考点整合】直线方程的几种形式：（1）点斜式：；两点式：；（2）斜截式：；截距式：；（3）一般式：；三、两直线平行或垂直时，斜率之间的关系：1．过点(2,1)-，且与直线10x y -+=平行的直线方程为；2．过点(2,1)-，且与直线10x y -+=垂直的直线方程为；3．过点(2,1)-，且与直线1x =平行的直线方程为；4．过点(2,1)-，且与直线1x =垂直的直线方程为；5．过点(2,1)-，且与直线0y =平行的直线方程为6．过点(2,1)-，且与直线0y =垂直的直线方程为【考点整合】1、如果两直线111222:,:l y k x b l y k x b =+=+；（1）12//l l ⇔ ；（2）12l l ⊥⇔ .2、如果两直线11112222:0,:0l A x B y C l A x B y C ++=++=；（1）12//l l ⇔ ；（2）12l l ⊥⇔ .例1：已知(1,2),(5,6)A B -,直线l 经过AB 的中点M ，且在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【答案】：50230x y x y +-=-=或例2：若三点A （2，3），B （3，2），C （1,2m ）共线，则实数m= .92【高考真题】1、（2011 安徽）若直线30x y a ++=过圆22240x y x y ++-=的圆心，则a 的值为（）BA.-1B.1C.3D.-32、（2012 辽宁）将圆222410x y x y +--+=平分的直线是（）CA.10x y +-=B.30x y ++=C.10x y -+=D.30x y -+=3、（2010 安徽）过点（1，0）且与直线220x y --=平行的直线方程是（）AA.210x y --=B.210x y -+=C.220x y +-=D.210x y +-=4、（2009 安徽）过点（-1，2）且与直线2340x y -+=垂直的直线方程是（）AA.3210x y +-=B.3270x y ++=C.2350x y -+=D.2380x y -+=5、（2012 湖北）过点P(1,1)的直线，将圆形区域22{(,)|4}x y x y +≤分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为（）AA.20x y +-=B.10y -=C.0x y -=D.340x y +-=6、（2012 浙江）设a R ∈，则“1a =”是“直线12:210:(1)40l ax y l x a y +-=+++=与直线平行”的（）AA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7、（2011 浙江）若直线250x y -+=与直线260x my +-=互相垂直，则实数m= .18、（2008 广东）经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程为 .10x y -+=【课后反思】。

直线方程复习教案

直线方程复习教案一、知识点概述直线是平面几何中最基本的几何形体，自然界中很多东西都呈现出直线的形态。

在数学中，直线是由无数个点组成的，这些点都在同一条轨迹上，像一条无限长的线，没有边界。

而直线方程则是用数学符号来描述这条轨迹的方式之一。

在平面直角坐标系中，直线方程有一些不同的表示方式，我们常用的有点斜式、截距式和一般式三种。

二、教学内容1. 直线的三种表示方式：点斜式、截距式、一般式。

2. 点斜式直线方程的推导与练习。

3. 截距式直线方程的推导与练习。

4. 一般式直线方程的推导与练习。

5. 直线方程的应用举例。

三、教学步骤1. 直线的三种表示方式介绍直线的三种表示方式，并列举各自的优缺点和适用范围。

2. 点斜式直线方程的推导与练习（1）推导出点斜式直线方程的公式表达式：y-y1=k(x-x1)。

（2）给出一个实际的问题让学生自己推导出点斜式直线方程，并计算出所求的值。

（3）让学生练习一些典型的例题，帮助学生掌握怎样化解含参的方程并求出一个具体的解。

3. 截距式直线方程的推导与练习（1）推导出截距式直线方程的公式表达式：y=kx+b。

（2）给出一个实际的问题让学生自己推导出截距式直线方程，并计算出所求的值。

（3）让学生练习一些典型的例题，帮助学生掌握怎样求出截距的值，并将其代入截距式方程中求解。

4. 一般式直线方程的推导与练习（1）推导出一般式直线方程的公式表达式：Ax+By+C=0。

（2）给出一个实际的问题让学生自己推导出一般式直线方程，并计算出所求的值。

（3）让学生练习一些典型的例题，帮助学生掌握怎样将截距式方程或点斜式方程转换为一般式方程，以及怎样求出其系数。

5. 直线方程的应用举例（1）让学生思考一些实际运用中的问题，如直线图案的设计等。

（2）让学生自己设计一些需要直线方程的实际问题，并利用所学知识进行求解。

四、教学策略1. 在板书上绘制直线图形，帮助学生感性理解直线的三种表示方式。

2. 善用多媒体教学手段，演示直线方程的应用案例，帮助学生更好地理解所学内容。

第三章直线与方程复习课课件人教新课标

(4)当直线垂直于坐标轴时画图求解即可，不必用公式．求点到直线的距离时，要注意把直线方程化成一般式的形式；求两条平行线间的距离时，先把平行线方程中x，y的对应项系数转化为相等的形式，再利用距离公式求解，也可转化成点到直线的距离求解．
[例4] 已知三条直线l1：2x－y＋a＝0(a>0)，直线l2：－
∵坐标原点到l1，l2的距离相等， ∴4|a－a 1|＝|1－a a|，a＝2或a＝23.
因此ab＝＝－2，2，
或a＝23， b＝2.
专题四点、直线间的距离 (1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式|P1P2|＝ x1－x22＋y1－y22. (2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为d＝ |Ax0＋A2B＋y0B＋2 C|. (3)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝ 0(C1≠C2)之间的距离为d＝ |CA1－2＋CB2|2.
(3)与直线l：Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程可设为Ax ＋By＋C1＝0；与其垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋C2＝0.
[例3] 已知两条直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y ＋b＝0，分别求满足下列条件的a，b的值．
(1)直线l1过点(－3，－1)，并且直线l1与直线l2垂直； (2)直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等． [分析] 对于(1)，由题意列出关于a，b的方程组求解；对于(2)，先得出关于a，b的关系，再由原点到l1，l2的距离相等求解．
[解析] (1)l2即2x－y－12＝0， ∴l1与l2的距离d＝ |a2－2＋－－121|2＝7105， ∴|a＋512|＝7105，∴|a＋12|＝72， ∵a>0，∴a＝3.

专题1 直线与方程复习教案

李老师数理化辅导中心——高中——数学——直线与方程时间：2014-7-17- 1 -§专题1 直线与方程§一、知识回顾11.如果两条直线033=-+y x 与016=++my x 互相平行，那么它们之间的距离为( )A.4B.13132C.13265D.1020712.点P (2,5)关于直线x +y =0对称的点的坐标是( )A.(5,2)B.(2,-5)C.(-5,-2)D.(-2,-5)13.如果直线l 与直线0543=+-y x 关于x 轴对称，那么直线l 的方程为( )A.0543=-+y xB.0543=++y xC.0543=-+-y xD.0543=++-y x 14.已知入射光线所在直线的方程为042=+-y x ，经x 轴反射，那么反射光线所在直线的方程是( ) A.42--=x y B.42+-=x yC.121+=x y D.121--=x y15. 与点(1,-1)关于点(2,3)对称的点是 .16. 与点(1,-1)关于直线0632=-+y x 对称的点是 .17. 与直线0632=-+y x 关于点(1,-1)对称的直线的方程是 . 18.如图，直线321,,l l l 的倾斜角分别为321,,ααα，从小到大排列为，直线321,,l l l 的斜率分别为321,,k k k ，从小到大排列为 .19. 已知直线l 过点)2,1(-P ，且与点A 、B 为端点的线段相交，求直线l 的斜率的取值范围.(1))3,1(),5,1(B A (2))0,1(),5,1(B A (3))3,2(),1,2(--B A (4))0,3(),3,2(B A --20.已知直线01)2()2(:1=+++-y m x m l ，03)4(:22=---my x m l(1)若21//l l ，求实数m 的值； (2)若21l l ⊥，求实数m 的值.21.求过定点)1,2(P 且与坐标轴围成的三角形的面积为4的直线方程.22.已知直线l 过点M(3,1)且被两平行线01:1=++y x l ，06:2=++y x l 截得的线段长为5，求直线l 的方程.23.已知直线l 过点P(3,4)且与点A(-2,2),B(4,-2)等距离，求直线l 的方程.24.三角形ABC 的顶点A(3，-1)，AB 边上的中线所在直线的方程为6x+10y-59=0.角B 的平分线所在直线的方程为x-4y+10=0，求BC 边所在直线的方程. 25.平行四边形ABCD 的两边AB 、AD 所在的直线方程分别为043,01=+-=-+y x y x ，其对角线的交点坐标为(3,3)，求另两边BC 、CD 所在的直线方程.二、对称问题1.点关于点的对称问题题型1 求点A （4，4）关于点B （1，5）对称的点C 的坐标.- 2 -。

直线方程复习课

直线方程复习课（2）一、教学内容：直线方程复习课（2）二、教学目的要求：1、掌握两条直线平行与垂直的条件，能够根据直线方程判定两条直线的位置关系2、会求两条相交直线和夹角和交点，掌握点到直线的距离公式三、教学重难点：1、两条直线的位置关系；2、夹角公式以及点到直线的距离公式的应用四、主要教法：讲授结合五、教具及现代教育技术设计：投影仪六、教学过程及练习、作业、板书设计（授课后请用另颜色笔写教后记，练习和作业可用单元或课堂练习纸设计）过程：1、知识点回顾：a 、若直线11:1:b x k y l += 直线222;b x k y l +=： ⑴、21l l 平行于212b b k k ≠=⇔且 ⑵、21l l 垂直于121-=⇔k k ⑶、重合与21l l 2121b b k k ==⇔且b 、若直线0:1211=++C B x A l 0:2222=++C y B x A l ⑴、1l ∥2l 122112210C B C B B A B A ≠=-⇔且或1221C A C A ≠ ⑵、1l ⊥2l ⇔ 02121=+⇔B B A Ac 、直线l 1和l 2的夹角公式：tan α＝12121k k k k +-d 、点P 到直线的距离公式为d=2200BA CBy Ax +++e 、两平行线间的距离公式为/d=f 、直线系：共点直线系、平行直线系、垂直直线系2、复习练习：（1）已知直线212:60,:(2)320l x m y l m x m y m ++=-++=且12l l ，则m 的值为（） A 、3m = B 、0m = C 、0m =或2m = D 、0m =或1m =-（2）已知点(,)P a b 和点(1,1)Q b a -+是关于直线l 对称的两点，则直线l 的方程程为( ) A 、x+y=0 B 、x-y=0 C 、x+y-1=0 D 、x-y+1=0（3）若过点(3,2)M --的直线1l 与直线2:250l x y -+=的夹角为θ，且tan 3θ=，则1l 的方程是（）A 、50x y ++=B 、10x y -+=或7170x y ++=C 、10x y -+=D 、50x y ++=或7170x y ++=（4）若,p q 满足条件21p p -=，直线30px y q ++=必过一个定点，这个定点的坐标为_____________________。

直线的方程一复习课的说课稿（五篇范例）

直线的方程一复习课的说课稿（五篇范例）第一篇：直线的方程一复习课的说课稿作为一名教学工作者，就难以避免地要准备说课稿，说课稿有助于顺利而有效地开展教学活动。

那要怎么写好说课稿呢？下面是小编帮大家整理的直线的方程一复习课的说课稿，欢迎大家分享。

1、教学目标：（1）知识目标：通过师生互动教学，培养学生自编自练自查能力，提高学生应用数学的意识，使学生掌握求直线方程的方法，进行综合能力训练；使学生学会如何根据题目的已知条件恰当选择直线方程形式求解问题。

（2）能力目标：培养学生在分析问题和解决问题中运用数形结思想的能力；培学生在分析问题和解决问题中运用转化思想的能力；（3）德育目标：引导、激发学生积极参与教学，使学生在获得成功的同时，培养学生爱学、乐学情感。

通过对数学客观规律的揭示，培养学生透过现象看本质的能力；培养学生辩证唯物主义世界观和方法论。

2、重点：求直线方程的基本方法。

3、难点：使学生学会如何根据题目的已知条件恰当选择直线方程形式求解问题。

4、教具：多媒体辅助教学设备。

5、教学方法：问题情境教学法；启发式教学法；反思式教学法。

6、教学步骤：（一）课前展示课题与相关知识（二）由三点坐标联想、发散自编习题并解答。

已知：点a、b、c的坐标分别为（3，4）、（6，0）、（-5，-2）。

可联想到：（1）三角形三边所在直线的方程、三个内角（2）三角形三边中线、高所在直线的方程（3）三角形三个内角的角平分线所在方程。

（4）变题1：已知三角形的两个顶点坐标、一条角平分线的方程，求：第三个顶点的坐标与相关直线方程（5）变题2：已知三角形一个顶点及两条角平分线所在直线方程，求相关量（6）变题3：已知三角形一个顶点及两条中线所在直线方程，求相关量（7）变题4：已知三角形两个顶点及一条中线方程，求相关量（8）变题5：已知三角形一个顶点及两条高所在直线方程（9）变题6：已知三角形两个顶点及一条高所在直线方程，（10）变题7：已知三角形两个顶点坐标及垂心坐标，（11）变题8：已知三角形两个顶点坐标及重心坐标，（12）变题9：已知三角形两个顶点坐标及内心坐标························课堂小结、作业布置7、直线方程教法设计的几点说明：本节是“直线综合复习”第一节课，重点是与学生共同研究求解直线方程的一般方法，在师生的双向交流中，让学生自己考查自己，从而了解学生对知识的理解与掌握程度，灵活调整教学进度，以期达到最佳教学效果。

人教版初二数学下册直线与方程(复习课)

3
π ，故斜率为
3
3,
由点斜式得所求的直线方程为y= 3 x-4.
作业：
∴tanα>0，∴tanα＝13. 故直线 l 的斜率为13.
变式练习1 已知点A（-3，4），B（3 ，2），过点P（2，-1）的直线l与线段AB没有公共点，则直线l的斜
率k的取值范围为 -1＜k＜3 .
可用补集思想求得-1<k<3.
重点突破：直线方程的求法例2 (Ⅰ)求经过点A(-5，2)且在x轴上的截距
2π
π
A.
B.
3
3
5π
π
C. 6
D.
6
2.已知α∈R，直线xsinα-y+1=0的斜率的取值范围是（ C ）
A.（-∞,+∞） B.（0,1］
C.［-1,1］
D.（0,+∞）
例1
已知两点A(－1，－5)、B(3，－2)，直线l 的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求l的
斜率．
【思路点拨】先用斜率公式求出直线AB的斜率，然后利用三角函数公式求直线l的斜率．
判断两条直线的位置关系
L1:y=k1x+b1 L2:Y=K2x+b2 （K1,k2均存在）
平行 K1=K2且b1≠b2
L1:A1X+B1Y+C1=0 L2:A2X+B2Y+C2=0 （A1、B1 , A2 、 B2 均不同时为 0）
A1B2A2B10 B1C2B2C10
重合 K1=K2且b1=b2 相交 K1≠K2 垂直 K1k2=-1
x+2y+1=0.
（Ⅱ）设所求直线与直线4x+y+6=0,3x5y-6=0分别相交于A，B.

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