3、张宇考研数学概率论与数理统计讲义强化班(无水印文字版)-41页

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强化班讲义

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强化班讲义(概率统计)第一讲随机事件与概率内容提要(1)事件间的关系与运算(四种关系,三种运算)(2)概率及其简单性质(古典概型,几何概型,求逆公式,加法公式,减法公式)(3)条件概率及三大公式(乘法公式,全概率公式,Bayes公式)(4)事件独立性与Bernoulli概型(独立性的实质及应用,Bernoulli概型的三个模型)典型问题分析问题1: 事件的表示与运算例1.1从一批产品中,每次取出一个(取后不放回),抽取三次,用表示“第i次取到的是正品”,下列结论中不正确的是:A.表示“至少抽到2个正品”B. 表示“至少有1个是次品”C.表示“至少有1个不是正品”D.表示“至少有1个是正品”【B】【解】、和分别表示为至少抽到2个正品,它们的并的运算也应该是至少抽到2个正品,其余选项都正确。

【寓意】本题实质是考查用事件的运算符号来描述一用普通语言表达的随机事件,以便今后运用公式计算概率.问题2: 概率(包括条件概率)的基本公式及应用技巧:利用概率、条件概率的性质、事件间的关系和运算进行求解。

Venn图的直观。

例1.2某城市居民中订阅A报的有45%,同时订阅A报及B报的有10%,同时订阅A报及C报的有8%,同时订阅A,B,C报的有3%,则“只订阅A报”的事件发生的概率为A.0.655 B.0.30 C.0.24 D.0.73 【B】【解】由题用表示订阅A报表示既订阅A报又订阅B表示既订阅A报又订阅C表示既订阅A、B、C三种报则只“只订阅A报”即事件由题意知又因为都是真包含在事件中故选B。

例1.3已知,且,则等于(A) 0.1 (B) 0.2 (C) 0.3 (D) 0.4 【A】【解】所以例1.4 设事件A,B,C满足,, 则A,B,C 中不多于一个发生的概率为多大? 【】【解】“不多于一个发生”等价于事件“A,B,C中有一个发生或者一个都不发生”注:遇到“至少”、“至多”的问题时,利用求逆公式。

例1.5 设事件A, B同时发生时, 事件C一定发生, 则(A)(B)(C)(D)【B】【解析】例1.6 设随机变量X,Y均服从正态分布, 若概率,则【】【解】因为X,Y均服从正态分布,所以二维连续形随机变量有相同的分布律(X,Y)与(Y,X),又连续性随机变量在一点的概率为零,所以的值为。

考研数学概率统计讲义

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设售出一台设备的净赢利为
a( X
)
100, 200,
X 1, 0 X 1.
河南理工大学精品课程
概率论与数理统计
故售出一台设备的净赢利的数学期望为
E[a(X )] a(x) f (x)dx
1
(200)
1 4
e
x 4
dx
100
1 4
e
x 4
dx
0
1
200e
x 4
|10
100e
x 4
|1
Z X 2 Y 2 的数学期望.
解 E(Z ) x2 y2 f (x, y)dxdy
x2 y2
1
x2 y2
e 2 dxdy
2
2
0
0
r
1
2
r2
e2
rdr d
2
例6 五个独立元件,寿命分别为X1, X 2, , X5,
都服从参数为 的指数分布,若将它们
(1) 串联; (2) 并联 成整机,求整机寿命的均值.
求E(X)。 0,
其它.
分段函
〖解〗这是连续型随机数变的量积。由数学期望定义得:

1500
3000
E(X ) xf (x)dx
x2 15002
dx
dx x (3000 x ) 15002
0
1500
1500 (分□)
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概率论与数理统计
例4 X ~ N ( , 2 ), 求 E ( X ) .
2
k pk .
k 0
这表明:随着试验次数增大,随机变量X的观察值的算
术平均 2 k ak 接近于
k0 N

概率论与数理统计强化讲义_数三_

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考研帮课堂配套电子讲义—概率论与数理统计
概率论与数理统计 强化讲义 (数三)
考研帮课堂配套电子讲义—概率论与数理统计
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I 0.94 II Cn2 0.94 0.06 III 1 0.94
B 发生 A 不发生的概率相等,求 A 发生的概率.
第 2 页
考研帮课堂配套电子讲义—概率论与数理统计
【答案】
2 3
1 1 1 , P B A , P A B ,则 P A B ___ 4 3 2
例 8. P ( A ) 【答案】
1 3
题型二 三大概型
方法点拨: 三大概型是指古典概型、几何概型、伯努利概型。古典概型就是常说的排列组合 问题,考的少,几何概型注意体积、面积的计算,伯努利概型,需要注意一下“至 多”和“至少”的问题。 例 1.在区间 -1,1 之间任取两个数 X,Y 则二次方程 t 2 Xt Y 0 有两个正根的 概率为 ___ 【答案】
P max X , Y 0 =___



3 4 , P X 0 P Y 0 , 则 7 7
【答案】
5 7
设 A,B,C 是 随 机 事 件 , 且

概率论与数理统计讲义稿完整版

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概率论与数理统计讲义稿HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】第一章随机事件与概率§1.1 随机事件1.1.1 随机试验与样本空间概率论约定为研究随机现象所作的随机试验应具备以下三个特征:(1)在相同条件下试验是可重复的;(2)试验的全部可能结果不只一个,且都是事先可以知道的;(3)每一次试验都会出现上述可能结果中的某一个结果,至于是哪一个结果则事前无法预知。

为简单计,今后凡是随机试验皆简称试验,并记之以英文字母E。

称试验的每个可能结果为样本点,并称全体样本点的集合为试验的样本空间,分别用希腊字母ω和Ω表示样本点及样本空间。

必须指出的是这个样本空间并不完全由试验所决定,它部分地取决于实验的目的。

假设抛掷一枚硬币两次,出于某些目的,也许只需要考虑三种可能的结果就足够了,两次都是正面,两次都是反面,一次是正面一次是反面。

于是这三个结果就构成了样本空间Ω。

但是,如果要知道硬币出现正反面的精确次序,那么样本空间Ω就必须由四个可能的结果组成,正面-正面、反面-反面、正面-反面、反面-正面。

如果还考虑硬币降落的精确位置,它们在空中旋转的次数等事项,则可以获得其它可能的样本空间。

经常使用比绝对必要的样本空间较大的样本空间,因为它便于使用。

比如,在前面的例子中,由四个可能结果组成的样本空间便于问题的讨论,因为对于一个“均匀”的硬币这四个结果是“等可能”的。

尽管这在有3种结果的样本空间内是不对的。

E:从最简单的试验开始,这些试验只有两种结果。

在抛掷硬币这一试验例1.1.11中出现“正面”或“反面”;在检查零件质量时,可能是“合格”或“不合格”;当用来模拟电子产品旋转的方向时,结果是“左边”或者“右边”;在这些情况下样本空间Ω简化为:Ω={正面,反面}。

E:更复杂一些,有的随机试验会产生多种可能的结果,比如掷一颗骰子,观察出2现的点数。

考研概率强化讲义(全题目)资料

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考研概率与数理统计第一章 随机事件和概率第一节 基本概念例题例1.1:有5个队伍参加了甲A 联赛,两两之间进行循环赛两场,没有平局,试问总共输的场次是多少?例1.2:到美利坚去,既可以乘飞机,也可以坐轮船,其中飞机有战斗机和民航,轮船有小鹰号和Titanic 号,问有多少种走法?例1.3:到美利坚去,先乘飞机,后坐轮船,其中飞机有战斗机和民航,轮船有小鹰号和Titanic 号,问有多少种走法?例1.4:10人中有6人是男性,问组成4人组,三男一女的组合数。

例1.5:两线段MN 和PQ 不相交,线段MN 上有6个点A 1,A 2…,A 6,线段PQ 上有7 个点B 1,B 2,…,B 7。

若将每一个A i 和每一个B j 连成不作延长的线段A i B j (i=1,2,…6;j=1,2,…,7),则由这些线段 A i B j 相交而得到的交点最多有A . 315个B . 316个C . 317个D . 318个例1.6:3封不同的信,有4个信箱可供投递,共有多少种投信的方法?例1.7:某市共有10000辆自行车,其牌照号码从00001到10000,求有数字8的牌照号码的个数。

例1.8:3白球,2黑球,先后取2球,放回,至少一白的种数?(有序)151513=∙C C 2112121515=∙-∙C C C C例1.9:3白球,2黑球,先后取2球,不放回,至少一白的种数?(有序)121413=∙C C 1811121415=∙-∙C C C C例1.10:3白球,2黑球,任取2球,至少一白的种数?(无序)121413=∙C C 92225=-C C 例1.11:化简 (A+B)(A+B )(A +B)例1.12:)()()(C B C A C B A = 成立的充分条件为: (1)C A ⊂ (2) C B ⊂例1.13:3白球,2黑球,先后取2球,放回,至少一白的概率?例1.14:3白球,2黑球,先后取2球,不放回,至少一白的概率?例1.15:3白球,2黑球,任取2球,至少一白的概率?例1.16:袋中装有α个白球及β个黑球。

张宇高数讲义

张宇高数讲义

(
x)
=
⎧⎪ x 2 ⎨
cos
1 x2
,
⎪⎩0,
x≠0。 x=0
则在 (−∞, + ∞) 内下列正确的是:
( A) f ( x)不连续且不可微,F ( x)可微,且为f ( x)的原函数 ( B) f ( x)不连续,不存在原函数 ,因而F ( x)不是f ( x)的原函数 (C ) f ( x)和 F ( x)均为可微函数,且 F ( x)为f ( x)的一个原函数 ( D) f ( x)连续,且F′( x) = f ( x)

原式
=
lim
x→0
tan
x− x3
sin
x
=
lim
x→0
tan x
x

1

cos x2
x
=
1
.
2
【例
5】求

lim
x→∞
⎢⎣
x

x2
ln⎜⎛1 ⎝
+
1 x
⎟⎠⎞⎥⎦⎤


x
=
1 t
解:可以验证 x = 0 为 f ( x) 的第二类间断点,因为:
lim
x→0
f
(x)
=
0+
lim
x→0
2 x
sin
1 x2
,故
x
=
0

f
( x) 的第二类振荡间断点,可能存在原函数。
又:
F′(0)
=
lim
x2
cos
1 x2
−0
=
0,
故F ( x)可微。即:
x→0 x − 0

概率论与数理统计基础班讲义

概率论与数理统计基础班讲义

考研数学基础班概率论与数理统计电子教材主讲:费允杰第一章 随机事件和概率第一节 基本概念 5432考研论坛( )友情提供下载~~1、排列组合初步(1)排列组合公式)!(!n m m P n m -= 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。

)!(!!n m n m C n m -=从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。

例1.1:方程xx x C C C 76510711=-的解是 A . 4 B . 3 C . 2 D . 1例1.2:有5个队伍参加了甲A 联赛,两两之间进行循环赛两场,试问总共的场次是多少?(2)加法原理(两种方法均能完成此事):m+n某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m 种方法完成,第二种方法可由n 种方法来完成,则这件事可由m+n 种方法来完成。

(3)乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m ×n某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m 种方法完成,第二个步骤可由n 种方法来完成,则这件事可由m ×n 种方法来完成。

例1.3:从5位男同学和4位女同学中选出4位参加一个座谈会,要求与会成员中既有男同学又有女同学,有几种不同的选法?例1.4:6张同排连号的电影票,分给3名男生和3名女生,如欲男女相间而坐,则不同的分法数为多少? 例1.5:用五种不同的颜色涂在右图中四个区域里,每一区域涂上一种颜色,且相邻区域的颜色必须不同,则共有不同的涂法A .120种B .140种C .160种D .180种(4)一些常见排列①特殊排列相邻彼此隔开顺序一定和不可分辨例1.6:晚会上有5个不同的唱歌节目和3个不同的舞蹈节目,问:分别按以下要求各可排出几种不同的节目单?①3个舞蹈节目排在一起;②3个舞蹈节目彼此隔开;③3个舞蹈节目先后顺序一定。

例1.7:4幅大小不同的画,要求两幅最大的排在一起,问有多少种排法?例1.8:5辆车排成1排,1辆黄色,1辆蓝色,3辆红色,且3辆红车不可分辨,问有多少种排法?②重复排列和非重复排列(有序)例1.9:5封不同的信,有6个信箱可供投递,共有多少种投信的方法?③对立事件例1.10:七人并坐,甲不坐首位,乙不坐末位,有几种不同的坐法?例1.11:15人中取5人,有3个不能都取,有多少种取法?例1.12:有4对人,组成一个3人小组,不能从任意一对中取2个,问有多少种可能性?④顺序问题例1.13:3白球,2黑球,先后取2球,放回,2白的种数?(有序)例1.14:3白球,2黑球,先后取2球,不放回,2白的种数?(有序)例1.15:3白球,2黑球,任取2球,2白的种数?(无序)2、随机试验、随机事件及其运算(1)随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。

2011考研数学概率论与数理统计强化课程讲义全

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2011考研强化班概率论与数理统计讲义第1讲随机事件和概率1.1 知识网络图1.2 重点考核点的分布(1)样本空间与随机事件.*(2)概率的定义与性质(含古典概型、几何概型、加法公式).*(3)条件概率与概率的乘法公式.**(4)事件之间的关系与运算(含事件的独立性).**(5)全概公式与贝叶斯(Bayes)公式.(6)伯努利(Bernoulli)概型.各个考核点前面加“**”表示重点考核点;“*”表示次重点考核点;括号前没有标注的表示一般考核点(下同).1.3 课上复习内容1.3.1 预备知识在复习“概率论”之前,我们需要掌握“二值集合”、“组合分析中的几个定理”、“随机现象及其统计规律”和“微积分”等内容,下面将有关内容作一简单介绍:1.3.1.1 二值集合集合是一个不能给出数学定义的概念,尽管如此,我们仍然可以给它一个定性描述.所谓集合就是按照某些规定能够识别的一些具体对象或事物的全体.构成集合的每一个对象或事物叫做集合的元素.集合通常用大写字母A,B,C表示,其元素用小写字母a,b,c表示.设A是一个集合,如果a是A的元素,记作a∈A,用“1”表示这一隶属关系;如果a 不是A的元素,记作a∈A(或a∉A),用“0”表示这一隶属关系.因此,我们称这种集合为“二值集合”,在初等概率论中,我们只研究这样的集合.有关二值集合的表示方法、基本性质在初等数学中已作过详细讨论,这里不再重复.下面仅就集合的“相等”与“等价”概念以及集合分类情况作一简单介绍.例1设A={2,4,8},则集合A的所有子集是,{2},{4},{8},{2,4},{2,8},{4,8},{2,4,8}.注意,在考虑集合A的所有子集时,不要把空集和它本身忘掉.设A,B是两个集合.如果A⊂B,B⊂A,那么称集合A与B相等,记作A=B.很明显,含有相同元素的两个集合相等.例2设A={0,2,3},B={x|x为方程x3-5x2+6x=0的解},则A=B.设A,B是两个集合.如果B的每一个元素对应于A的唯一的元素,反之A的每一个元素对应于B的唯一的元素,那么就说在A和B的元素之间建立了一一对应关系,并称A与B等价,记作A~B.与自然数集N等价的任何集合,称为可列集.显然,一切可列集彼此都是等价的.今后我们常称这类集合中元素的个数为可列个(或可数个),并把有限个或可列个统称为至多可列个(或至多可数个).例3设A={a|a=2n,n∈N},B={b|b=n2+1,n∈N},则A~B.由上面的讨论可以看出,集合的分类如下:1.3.1.2 组合分析中的几个定理1.加法原理定理1设完成一件事有n类方法,只要选择任何一类中的一种方法,这件事就可以完成.若第一类方法有m1种,第二类方法有m2种,……,第n类方法有m n种,并且这m1+m2+…+m n种方法里,任何两种方法都不相同,则完成这件事就有m1+m2+…+m n种方法.2.乘法原理定理2设完成一件事有n个步骤,第一步有m1种方法,第二步有m2种方法,……第n步有m n种方法,并且完成这件事必须经过每一步,则完成这件事共有m1m2…m n种方法.3.排列定义1 从n个不同元素中,每次取出m个元素,按照一定顺序排成一列,称为从n 个元素中每次取出m个元素的排列.定理3从n个不同元素中,有放回地逐一取出m个元素进行排列(简称为可重复排列),共有n m种不同的排列.例4 袋中有N个球,其中M个为白色,从中有放回地取出n个:①N=10,M=2,n=3;②N=10,M=4,n=3.考虑以下各事件的排列数:(Ⅰ)全不是白色的球.(Ⅱ)恰有两个白色的球.(Ⅲ)至少有两个白色的球.(Ⅳ)至多有两个白色的球.(Ⅴ)颜色相同.(Ⅵ)不考虑球的颜色.答案是:①当M=2时,(Ⅰ)83.(Ⅱ)3×22×8.(Ⅲ)3×22×8+23.(Ⅳ)3×22×8+3×2×83+83(或103-23).(Ⅴ)23+83.(Ⅵ)103.②当M=4时,将上面的2→4,8→6即可.分析这是一个可重复的排列问题.由定理3,可求出其排列数.问题恰有两个白色球的答案中为什么是3倍的22×8,而不是1倍或6倍的?提示根据加法原理.定理4 从n 个不同元素中,无放回地取出m 个(m ≤n )元素进行排列(简称为选排列)共有)!(!)1()1(m n n m n n n -=+--种不同的排列.选排列的种数用mn A (或mn P )表示,即)!(!m n n A m n -=特别地,当m =n 时的排列(简称为全排列)共有n ·(n -1)(n -2)·…·3·2·1=n ! 种不同排列.全排列的种数用P n (或nn A )表示,即P n =n !,并规定0!=1.4.组合定义2 从n 个不同元素中,每次取出m 个元素不考虑其先后顺序作为一组,称为从n 个元素中每次取出m 个元素的组合.定理5 从n 个不同元素中取出m 个元素的组合(简称为一般组合)共有(1)(1)!!!()!n n n m n m m n m --+=-种不同的组合.一般组合的组合种数用mn C (或⎪⎪⎭⎫⎝⎛m n )表示,即 ,)!(!!m n m n C m n -=并且规定.10=n C 不难看出m m nnm A C p =⋅例5 袋中有N 个球,其中M 个为白色,从中任取n 个: ①N =10,M =2,n =3;②N =10,M =4,n =3. 考虑以下各事件的组合数: (Ⅰ)全不是白色的球. (Ⅱ)恰有两个白色的球. (Ⅲ)至少有两个白色的球. (Ⅳ)至多有两个白色的球. (Ⅴ)颜色相同. (Ⅵ)不考虑球的颜色. 答案是:①当M =2时,(Ⅰ).0238C C (Ⅱ).1822C C (Ⅲ).1822C C(Ⅳ)211203328282810().C C C C C C C ++或 (Ⅴ).38C (Ⅵ)⋅310C②当M =4时,(Ⅰ).0436C C (Ⅱ).1624C C (Ⅲ).06341624C C C C +(Ⅳ))(34310360426141624C C C C C C C C -++或. (Ⅴ).3634C C +(Ⅵ)⋅310C分析(略)定理6 从不同的k 类元素中,取出m 个元素.从第1类n 1个不同元素中取出m 1个,从第2类n 2个不同的元素中取出m 2个,……,从第k 类n k 个不同的元素中取出m k 个,并且n i ≥m i >0(i =1,2,…,k )(简称为不同类元素的组合),共有iik k m n ki m n m n m n C CC C ∏==12211 种不同取法.例6 从3个电阻,4个电感,5个电容中,取出9个元件,问其中有2个电阻,3个电感,4个电容的取法有多少种?解 这是一个不同类元素的组合问题.由定理6知,共有60151413252423==C C C C C C即60种取法.例7 五双不同号的鞋,从中任取4只,取出的4只都不配对(即不成双),求(Ⅰ)排列数;(Ⅱ)组合数.答案是:(Ⅰ)141618110C C C C ;(Ⅱ).1212121245C C C C C分析(略)1.3.1.3 微积分概率论可以分为“高等概率论”与“初等概率论”.初等概率论是建立在排列组合和微积分等数学方法的基础上的.全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲中的“概率论”就是初等概率论.微积分作为初等概率论的基础知识,除了我们已经比较了解的“函数、极限、连续、可导、可积”等概念之外,还应了解下面的有关概念.1.可求积与不可求积在微积分中,求不定积分与求导数有很大不同,我们知道,任何初等函数的导数仍为初等函数,而许多初等函数的不定积分,例如x x x x x xx x x x x d 1,d sin ,d ln 1,d sin ,d e 322+⎰⎰⎰⎰⎰- 等,虽然它们的被积函数的表达式都很简单,但在初等函数的范围内却积不出来.这不是因为积分方法不够,而是由于被积函数的原函数不是初等函数的缘故.我们称这种函数是“不可求积”的.因此,我们可以将函数划分为:在初等概率论中,正态分布密度函数就是属于可积而不可求积的一类函数. 2.绝对收敛(1)任意项级数的绝对收敛所谓任意项级数是指级数的各项可以随意地取正数、负数或零.下面给出绝对收敛与条件收敛两个概念.定义3 若任意项级数nn u∑∞=1的各项取绝对值所成的级数||1nn u∑∞=收敛,则称级数nn u ∑∞=1是绝对收敛的;若||1nn u∑∞=发散,而级数n n u ∑∞=1收敛,则称级数n n u ∑∞=1是条件收敛的.例如,级数nn n 1)1(11+∞=-∑是收敛的,但各项取绝对值所成的级数 ++++=-+∞=∑nn n n 1...211|1)1(|11是发散的,因而级数n n n 1)1(11+∞=-∑是条件收敛.又如,级数2111)1(n n n +∞=-∑各项取绝对值所成级数++++=-+∞=∑222111211|1)1(|nnn n是收敛的,因而级数2111)1(n n n +∞=-∑是绝对收敛的. 定理7 若级数nn u∑∞=1绝对收敛,则nn u∑∞=1必定收敛.证明 令),2,1()0(0)0(|)|(21=⎩⎨⎧<≥=+=n u u u u u v n n n n n n ,,于是 )⋯=≥≥,2,1(0||n v u n n . 由||1nn u∑∞=收敛,根据正项级数的比较判别法,可知级数n n v ∑∞=1是收敛的.考虑到 ,||2n n n u v u -= 根据级数的基本性质,可知级数nn u∑∞=1也是收敛的.根据上面的定理,判断任意一个级数nn u∑∞=1的收敛性,可以先判断它是否绝对收敛.如果||1nn u∑∞=收敛,则n n u ∑∞=1也收敛.这样一来,我们可以借助于正项级数的判别法来判断任意项级数的敛散性了.但是,当级数||1nn u∑∞=发散时,不能由此推出级数n n u ∑∞=1也发散.在初等概率论中,我们将用绝对收敛这一概念来给出离散型随机变量均值的定义. (2)无穷积分的绝对收敛定义4 如果函数f (x )在任何有限区间[a ,b ](b >a )上可积,并且积分x x f ad |)(|⎰+∞收敛,那么,我们称积分x x f ad )(⎰+∞是绝对收敛的.此时,我们也称函数f (x )在无穷区间[a ,+∞)上绝对可积.定理8 若积分x x f ad )(⎰+∞绝对收敛,则x x f ad )(⎰+∞必定收敛.上面的定理的逆定理并不成立,也就是说,从x x f ad )(⎰+∞的收敛性,不能推出x x f ad |)(|⎰+∞也收敛,例如,积分⎰+∞-d sin x xx是收敛的,但是积分x xx d |sin |0⎰+∞却发散.这一点与定积分不同,对于定积分,从x x f bad )(⎰的存在性,必能推出xx f bad |)(|⎰存在.若积分x x f ad )(⎰+∞收敛,而积分x x f ad |)(|⎰+∞发散时,则称积分x x f ad )(⎰+∞为条件收敛的.例如积分x xxad sin ⎰+∞是条件收敛的. 在初等概率论中,我们将用绝对可积这一概念来给出连续型随机变量均值的定义. 1.3.2 样本空间与随机事件1.随机现象及其统计规律性在客观世界中存在着两类不同的现象:确定性现象和随机现象. 在一组不变的条件S 下,某种结果必定发生或必定不发生的现象称为确定性现象.这类现象的一个共同点是:事先可以断定其结果.在一组不变的条件S 下,具有多种可能发生的结果的现象称为随机现象.这类现象的一个共同点是:事先不能预言多种可能结果中究竟出现哪一种.一般来说,随机现象具有两重性:表面上的偶然性与内部蕴含着的必然规律性.随机现象的偶然性又称为它的随机性.在一次实验或观察中,结果的不确定性就是随机现象随机性的一面;在相同的条件下进行大量重复实验或观察时呈现出来的规律性是随机现象必然性的一面,称随机现象的必然性为统计规律性.2.随机试验与随机事件为了叙述方便,我们把对随机现象进行的一次观测或一次实验统称为它的一个试验.如果这个试验满足下面的三个条件:(1)在相同的条件下,试验可以重复地进行.(2)试验的结果不止一种,而且事先可以确知试验的所有结果.(3)在进行试验前不能确定出现哪一个结果.那么我们就称它是一个随机试验,以后简称为试验.一般用字母E表示.问题“一个具体的人,在一次乘车郊游时,因发生交通事故而受伤”,是否为随机试验?在随机试验中,每一个可能出现的不可分解的最简单的结果称为随机试验的基本事件或样本点,用ω表示;而由全体基本事件构成的集合称为基本事件空间或样本空间,记为Ω.例8设E1为在一定条件下抛掷一枚匀称的硬币,观察正、反面出现的情况.记ω1是出现正面,ω2是出现反面.于是Ω由两个基本事件ω1,ω2构成,即Ω={ω1,ω2}.例9 设E2为在一定条件下掷一粒骰子,观察出现的点数.记ωi为出现i个点(i=1,2,…,6).于是有Ω={ω1,ω2,…,ω6}.问题例8、例9中样本空间Ω的子集个数是多少?为什么?所谓随机事件是样本空间Ω的一个子集,随机事件简称为事件,用字母A,B,C等表示.因此,某个事件A发生当且仅当这个子集中的一个样本点ω发生,记为ω∈A.在例9中,Ω={ω1,ω2,…,ω6},而E2中的一个事件是具有某些特征的样本点组成的集合.例如,设事件A={出现偶数点},B={出现的点数大于4},C={出现3点},可见它们都是Ω的子集.显然,如果事件A发生,那么子集{ω2,ω4,ω6}中的一个样本点一定发生,反之亦然,故有A={ω2,ω4,ω6};类似地有B={ω5,ω6}和C={ω3}.一般而言,在例9中,任一由样本点组成的Ω的子集也都是随机事件.1.3.3 事件之间的关系与运算事件之间的关系有:“包含”、“等价(或相等)”、“互不相容(或互斥)”以及“独立”四种.事件之间的基本运算有:“并”、“交”以及“逆”.如果没有特别的说明,下面问题的讨论我们都假定是在同一样本空间Ω中进行的.1.事件的包含关系与等价关系设A,B为两个事件.如果A中的每一个样本点都属于B,那么称事件B包含事件A,或称事件A包含于事件B,记为A⊂B或B⊃A.如果A⊃B与B⊃A同时成立,那么称事件A与事件B等价或相等,记为A=B.在下面的讨论中,我们经常说“事件相同、对应概率相等”,这里的“相同”指的是两个事件“等价”.2.事件的并与交设A,B为两个事件.我们把至少属于A或B中一个的所有样本点构成的集合称为事件A与B的并或和,记为A∪B或A+B.设A ,B 为两个事件.我们把同时属于A 及B 的所有样本点构成的集合称为事件A 与B 的交或积,记为A ∩B 或A ·B ,有时也简记为AB .3.事件的互不相容关系与事件的逆设A ,B 为两个事件,如果A ·B =,那么称事件A 与B 是互不相容的(或互斥的). 对于事件A ,我们把不包含在A 中的所有样本点构成的集合称为事件A 的逆(或A 的对立事件),记为.A 我们规定它是事件的基本运算之一.在一次试验中,事件A 与A 不会同时发生(即A ·A =,称它们具有互斥性),而且A与A 至少有一个发生(即A +A =Ω,称它们具有完全性).这就是说,事件A 与A 满足:⎪⎩⎪⎨⎧=+∅=⋅.,ΩA A A A 问题 (1)事件的互不相容关系如何推广到多于两个事件的情形?(2)三个事件A ,B ,C ,ABC =与⎪⎩⎪⎨⎧∅=∅=∅=BC AC AB ,, 关系如何?根据事件的基本运算定义,这里给出事件之间运算的几个重要规律: (1)A (B +C )=AB +AC (分配律). (2)A +BC =(A +B )(A +C )(分配律).(3)B A B A ⋅=+ (德·摩根律).(4)B A B A +=⋅(德·摩根律).有了事件的三种基本运算我们就可以定义事件的其他一些运算.例如,我们称事件AB 为事件A 与B 的差,记为A -B .可见,事件A -B 是由包含于A 而不包含于B 的所有样本点构成的集合.例10 在数学系学生中任选一名学生.设事件A ={选出的学生是男生},B ={选出的学生是三年级学生},C ={选出的学生是科普队的}.(1)叙述事件ABC 的含义.(2)在什么条件下,ABC =C 成立? (3)在什么条件下,C ⊂B 成立?解 (1)事件ABC 的含义是,选出的学生是三年级的男生,不是科普队员.(2)由于ABC ⊂C ,故ABC =C 当且仅当C ⊂ABC .这又当且仅当C ⊂AB ,即科普队员都是三年级的男生.(3)当科普队员全是三年级学生时,C 是B 的子事件,即C ⊂B 成立. 4.事件的独立性设A ,B 是某一随机试验的任意两个随机事件,称A 与B 是相互独立的,如果P (AB )=P (A )P (B ).可见事件A 与B 相互独立是建立在概率基础上事件之间的一种关系.所谓事件A 与B 相互独立就是指其中一个事件发生与否不影响另一个事件发生的可能性,即当P (B )≠0时,A 与B 相互独立也可以用)()|(A P B A P =来定义.由两个随机事件相互独立的定义,我们可以得到:若事件A 与B 相互独立,则A 与B ,A 与B ,A 与B 也相互独立.如果事件A ,B ,C 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧====),()()()(),()()(),()()(),()()(C P B P A P ABC P C P A P AC P C P B P BC P B P A P AB P 则称事件A ,B ,C 相互独立.注意,事件A ,B ,C 相互独立与事件A ,B ,C 两两独立不同,两两独立是指上述四个式子中前三个式子成立.因此,相互独立一定是两两独立,但反之不一定.例11 将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:A ={掷第一次出现正面},B ={掷第二次出现正面},C ={正、反面各出现一次},则事件A ,B ,C 是相互独立,还是两两独立?解 由题设,可知P (AB )=P (A )P (B ),即A ,B 相互独立.而1()(())()()(),4P AC P A AB AB P AB P A P B =+===()()()()()(()())P A P C P A P AB AB P A P AB P AB =+=+⋅=+⨯=41)4121(21 故A ,C 相互独立,同理B ,C 也相互独立.但是P (ABC )=P (∅)=0, 而 ,81212121)()()(=⨯⨯=C P B P A P 即 )()()()(C P B P A P ABC P ≠,因此A ,B ,C 两两独立.问题 (1)两个事件的“独立”与“互斥”之间有没有关系?在一般情况下,即P (A )>0,P (B )>0时,有关系吗?为什么?(2)设0<P (A )<1,0<P (B )<1,P (B |A )+P (B |A )=1.问A 与B 是否独立,为什么?由此可以得到什么结论?1.3.4 概率的定义与性质1.概率的公理化定义定义5 设E 是一个随机试验,Ω为它的样本空间,以E 中所有的随机事件组成的集合为定义域,定义一个函数P (A )(其中A 为任一随机事件),且P (A )满足以下三条公理,则称函数P (A )为事件A 的概率.公理1(非负性) 0≤P (A )≤1.公理2(规范性) P (Ω)=1.公理3(可列可加性) 若A 1,A 2,…,A n ,…两两互斥,则).()(11i i i i A P A P ∑∞=∞==由上面三条公理可以推导出概率的一些基本性质. 性质1(有限可加性) 设A 1,A 2,…,A n 两两互斥,则).()(11i ni i n i A P A P ∑===性质2(加法公式) 设A ,B 为任意两个随机事件,则P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB ).性质3 设A 为任意随机事件,则P (A )=1-P (A ).性质4 设A ,B 为两个任意的随机事件,若A ⊂B ,则P (B -A )=P (B )-P (A ).由于P (B -A )≥0,根据性质4可以推得,当A ⊂B 时,P (A )≤P (B ). 例12 设A ,B ,C 是三个随机事件,且=====)()(,41)()()(CB P AB P C P B P A p 0,81)(=AC P ,求A ,B ,C 中至少有一个发生的概率. 解 设D ={A ,B ,C 中至少有一个发生},则D =A +B +C ,于是 P (D )=P (A +B +C )=P (A )+P (B )+P (C )-P (AB )-P (BC )-P (AC )+P (ABC ).又因为,41)()()(===C P B P A P ,0)()(==CB P AB P 81)(=AC P ,而由P (AB )=0,有P (ABC )=0,所以⋅=-=858143)(D P 问题 怎样由P (AB )=0推出P (ABC )=0? 提示 利用事件的关系与运算导出.例13 设事件A 与B 相互独立,P (A )=a ,P (B )=b .若事件C 发生,必然导致A 与B 同时发生,求A ,B ,C 都不发生的概率.解 由于事件A 与B 相互独立,因此P (AB )=P (A )·P (B )=a ·b .考虑到C ⊂AB ,故有,B A B A AB C ⊃+=⊃因此).1)(1()()()()(b a B P A P B A P C B A P --===2.概率的统计定义定义6 在一组不变的条件S 下,独立地重复做n 次试验.设μ是n 次试验中事件A 发生的次数,当试验次数n 很大时,如果A 的频率f n (A )稳定地在某一数值p 附近摆动;而且一般说来随着试验次数的增多,这种摆动的幅度会越来越小,则称数值p 为事件A 在条件组S 下发生的概率,记作.)(p A P =问题 (1)试判断下式p n n =∞→μlim成立吗?为什么?(2)野生资源调查问题 池塘中有鱼若干(不妨假设为x 条),先捞上200条作记号,放回后再捞上200条,发现其中有4条带记号.用A 表示事件{任捞一条带记号},问下面两个数2004,200x 哪个是A 的频率?哪个是A 的概率?为什么?3.古典概型古典型试验:(Ⅰ)结果为有限个;(Ⅱ)每个结果出现的可能性是相同的.等概完备事件组:(Ⅰ)完全性;(Ⅱ)互斥性;(Ⅲ)等概性.(满足(Ⅰ),(Ⅱ)两条的事件组称为完备事件组)定义7 设古典概型随机试验的基本事件空间由n 个基本事件组成,即Ω={ω1,ω2,…,ωn }.如果事件A 是由上述n 个事件中的m 个组成,则称事件A 发生的概率为⋅=nm A P )( (1-1) 所谓古典概型就是利用式(1-1)来讨论事件发生的概率的数学模型.根据概率的古典定义可以计算古典型随机试验中事件的概率.在古典概型中确定事件A 的概率时,只需求出基本事件的总数n 以及事件A 包含的基本事件的个数m .为此弄清随机试验的全部基本事件是什么以及所讨论的事件A 包含了哪些基本事件是非常重要的.例14 掷两枚匀称的硬币,求它们都是正面的概率.解 设A ={出现正正},其基本事件空间可以有下面三种情况:(Ⅰ)Ω1={同面、异面},n 1=2.(Ⅱ)Ω2={正正、反反、一正一反},n 2=3.(Ⅲ)Ω3={正正、反反、反正、正反},n 3=4.于是,根据古典概型,对于(Ⅰ)来说,由于两个都出现正面,即同面出现,因此,m 1=1,于是有21)(=A P . 而对于(Ⅱ)来说,m 2=1,于是有31)(=A P . 而对于(Ⅲ)来说,m 3=1,于是有41)(=A P . 问题 以上讨论的三个结果哪个正确,为什么?例15 求1.3.1预备知识的例5中(Ⅰ)至(Ⅴ)问的概率.答案是:①当M =2时,(Ⅰ)⋅31038/C C (Ⅱ)⋅31018/C C (Ⅲ)⋅31018/C C (Ⅳ)1. (Ⅴ)⋅31038/C C②当M =4时,(Ⅰ)⋅31038/C C (Ⅱ)⋅3101624/C C C (Ⅲ)310341624/)(C C C C +.(Ⅳ)31034310/)(C C C -. (Ⅴ) 3103634/)(C C C +. 分析(略)问题 (1)例15中各问可否使用排列做,为什么?(2)用排列或组合完成例15时哪种方法较为简便?例16 求1.3.1预备知识的例4中(Ⅰ)至(Ⅴ)问的概率.答案是:①当M =2时,(Ⅰ)3310/8. (Ⅱ)3210/823⨯⨯. (Ⅲ)33210/)2823(+⨯⨯.(Ⅳ)33310/)210(-. (Ⅴ)33310/)82(+.②当M =4时,将上面的2→4,8→6即可.分析(略)问题 (1)例16中各问可否使用组合做,为什么?(2)用元素可重复的排列或组合完成例16时,哪种方法较为简便?(3)小结一下“古典概型”中“有放回地抽取”与“无放回地抽取”时分别应采用的方法.例17 求1.3.1预备知识的例7中“取出的4只都不配对”的概率.答案是:410141618110/P C C C C 或 4111145222210/C C C C C C . 分析(略)例18 从一副扑克牌的13张梅花中,有放回地取3次,求三张都不同号的概率. 解 这是一个古典概型问题.设A ={三张都不同号}.由题意,有n =133,m =313P ,则 ⋅==169132)(n m A P问题 如果我们进一步问三张都同号,三张中恰有两张同号如何求出?另外,本题可否使用二项概型计算?例19 在20枚硬币的背面分别写上5或10,两者各半,从中任意翻转10枚硬币,这10枚硬币背面的数字之和为100,95,90,…,55,50,共有十一种不同情况.问出现“70,75,80”与出现“100,95,90,85,65,60,55,50”的可能性哪个大,为什么?答案是:出现“70,75,80”可能性大,约为82%.分析 这是一个古典概型问题.设A ={出现“70,75,80”},由题意,有,2,6104105105101020C C C C m C n +==则 ⋅==184756151704)(n m A P 4.几何概型几何型试验:(Ⅰ)结果为无限不可数;(Ⅱ)每个结果出现的可能性是均匀的.定义4 设E 为几何型的随机试验,其基本事件空间中的所有基本事件可以用一个有界区域来描述,而其中一部分区域可以表示事件A 所包含的基本事件,则称事件A 发生的概率为,)()()(Ω=L A L A P (1-2) 其中L (Ω)与L (A )分别为Ω与A 的几何度量.所谓几何概型就是利用式(1-2)来讨论事件发生的概率的数学模型.注意,上述事件A 的概率P (A )只与L (A )有关,而与L (A )对应区域的位置及形状无关. 例20 候车问题 某地铁每隔5 min 有一列车通过,在乘客对列车通过该站时间完全不知道的情况下,求每一个乘客到站等车时间不多于2 min 的概率.解 设A ={每一个乘客等车时间不多于2 min}.由于乘客可以在接连两列车之间的任何一个时刻到达车站,因此每一乘客到达站台时刻t 可以看成是均匀地出现在长为5 min 的时间区间上的一个随机点,即Ω=[0,5).又设前一列车在时刻T 1开出,后一列车在时刻T 2到达,线段T 1T 2长为5(见图1-1),即L (Ω)=5;T 0是T 1T 2上一点,且T 0T 2长为2.显然,乘客只有在T 0之后到达(即只有t 落在线段T 0T 2上),等车时间才不会多于2min ,即L (A )=2.因此图1-1⋅=Ω=52)()()(L A L A P 问题 (1)例20可否使用一维均匀分布来计算?(2)举例说明:(Ⅰ)概率为0的事件不一定是不可能事件.(Ⅱ)概率为1的事件不一定是必然事件.例21 会面问题 甲乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头,它们在一昼夜内到达的时间是等可能的,如果甲船和乙船停泊的时间都是两小时,它们同日到达时会面的概率是多少?解 这是一个几何概型问题.设A ={它们会面}.又设甲乙两船到达的时刻分别是x ,y ,则0≤x ≤24,0≤y ≤24.由题意可知,若要甲乙会面,必须满足|x -y |≤2,即图中阴影部分.由图1-2可知:L (Ω)是由x =0,x =24,y =0,y =24图1-2所围图形面积S =242,而L (A )=242-222,因此.)2422(1242224)()()(2222-=-=Ω=L A L A P 问题 例21可否使用二维均匀分布来计算?1.3.5 条件概率与概率的乘法公式1.条件概率前面我们所讨论的事件B 的概率P S (B ),都是指在一组不变条件S 下事件B 发生的概率(但是为了叙述简练,一般不再提及条件组S ,而把P S (B )简记为P (B )).在实际问题中,除了考虑概率P S (B )外,有时还需要考虑“在事件A 已发生”这一附加条件下,事件B 发生的概率.与前者相区别,称后者为条件概率,记作P (B |A ),读作在A 发生的条件下事件B 的概率.在一般情况下,如果A ,B 是条件S 下的两个随机事件,且P (A )≠0,则在A 发生的前提下B 发生的概率(即条件概率)为)()()|(A P AB P A B P =, (1-3) 并且满足下面三个性质:(1)(非负性)P (B |A )≥0;(2)(规范性)P (Ω|A )=1;(3)(可列可加性)如果事件B 1,B 2,…互不相容,那么).|()|(11A B P A B P i i i i ∑∞=∞==问题 (1)条件概率在原样本空间Ω中是某一个事件的概率吗?(2)如何判断一个问题中所求的是条件概率还是无条件概率?(3)在一个具体问题中条件概率如何获得?例22 设随机事件B 是A 的子事件,已知P (A )=1/4,P (B )=1/6,求P (B |A ).分析 这是一个条件概率问题.解 因为B ⊂A ,所以P (B )=P (AB ),因此⋅===32)()()()()|(A P B P A P AB P A B P 2.概率的乘法公式在条件概率公式(1-3)的两边同乘P (A ),即得P (AB )=P (A )P (B |A ). (1-4)例23 在100件产品中有5件是不合格的,无放回地抽取两件,问第一次取到正品而第二次取到次品的概率是多少?解 设事件A ={第一次取到正品},B ={第二次取到次品}.用古典概型方法求出.010095)(=/=A P 由于第一次取到正品后不放回,那么第二次是在99件中(不合格品仍是5件)任取一件,所以⋅=995)|(A B P 由公式(1-4), ⋅=⨯==3961999510095)|()()(A B P A P AB P问题 (1)例23中,问两件产品为一件正品,一件次品的概率是多少?(2)例23中,将“无放回地抽取”改为“有放回地抽取”,答案与上题一样吗?为什么?例24 抓阄问题 五个人抓一个有物之阄,求第二个人抓到的概率.分析 (1)什么是“抓阄”问题,如何判断它?(2)例24中“求第二个人抓到的概率”是指“在第一人没有抓到的条件下,第二个人抓到的概率”吗?解 这是一个乘法公式的问题.设A i ={第i 个人抓到有物之阄}(i =1,2,3,4,5),有⋅=+∅=+=+=Ω=2121212111222)(A A A A A A A A A A A A A根据事件相同,对应概率相等有).|()()()(121212A A P A P A A P A P ==又因为,41)|(,54)(,51)(1211===A A P A P A P所以⋅=⨯=514154)(2A P 问题 (1)本题还有其他方法解决吗?(2)若改成n 个人抓m 个有物之阄(m <n ),下面的结论),,2,1()(n k nm A P k == 还成立吗?例25 设袋中有4个乒乓球,其中1个涂有白色,1个涂有红色,1个涂有蓝色,1个涂有白、红、蓝三种颜色.今从袋中随机地取一个球,设事件A ={取出的球涂有白色},B ={取出的球涂有红色},C ={取出的球涂有蓝色}.试验证事件A ,B ,C 两两相互独立,但不相互独立.证 根据古典概型,我们有n =4,而事件A ,B 同时发生,只能是取到的球是涂有白、红、蓝三种颜色的球,即m =1,因而⋅=41)(AB P 同理,事件A 发生,只能是取到的球是涂红色的球或涂三种颜色的球,因而⋅==⋅==2142)(2142)(B P A P 因此,有 ,412121)()(=⨯=B P A P 所以 P (AB )=P (A )P (B ),即事件A ,B 相互独立.类似可证,事件A ,C 相互独立,事件B ,C 相互独立,即A ,B ,C 两两相互独立,但是由于,41)(=ABC P 而 ,4181212121)()()(=/=⨯⨯=C P B P A P 所以A ,B ,C 并不相互独立.例26 加工某一零件共需经过四道工序,设第一、二、三、四道工序的次品率分别是2%、3%、5%、3%,假定各道工序是互不影响的,求加工出来的零件的次品率.答案是:0.124(或1-0.98×0.97×0.95×0.97).问题 本题使用加法公式还是乘法公式较为简便?例27 一批零件共100个,其中有次品10个.每次从中任取一个零件,取出的零件不再放回去,求第一、二次取到的是次品,第三次才取到正品的概率. 答案是:)989099910010(0084.0⨯⨯或.。

2013硕士研究生考研讲义数学强化班(海天版)

2013硕士研究生考研讲义数学强化班(海天版)

′′ ( x, y ) 、 f yx ′′ ( x, y ) 称为二阶混合偏导数.同样可得三阶、四阶、以及 n 阶偏导数. 其中 f xy
以上的偏导数统称为高阶偏导数. 4. 可微 定义 如果函数 z= f (x, y)在点(x, y)的全增量 Δz= f(x+Δx, y+Δy)−f(x, y) 可表示为
xy ,试证极限 lim f ( x, y ) 不存在. x →0 x + y2
2
y →0
【 证 】 这 个 证 明 过 程 比 较 经 典 , 请 记 住 . 当 P ( x, y ) 沿 着 直 线 y = kx 趋 于 点 (0,0) 时 , 有
lim
x →0 y = kx →0
xy kx 2 k = = lim 2 ,结果随 k 的变化而变化,故二重极限 lim f ( x, y ) 不存在. 2 x →0 x →0 x + k 2 x 2 x +y 1+ k 2
x → x0 y → y0
y)−A|<ε 成立, 则称 A 为函数 f(x, y)当(x, y)→(x0, y0)时的极限, 记为 lim f ( x, y ) = A .这极限也称为二重极
限. 这里有两点说明. 第一,二元函数的极限怎么计算?在考研中这个要求不高.举个例子. 【例 1】设 f ( x, y ) = ⎨
x
2
2
∂2 z . ∂x∂y
第三节
1、极值与最值的概念 极值定义
多元函数的极值与最值问题的理论
本部分是这几年的重要考点,几乎都是大题,分值很高,请大家关注. 设函数 z = f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内有定义,如果对于该邻域内任何异于 ( x0 , y0 ) 的点

考研数学张宇强化36讲

考研数学张宇强化36讲
强化实战训练:本书不仅注重数学知识的讲解,更加强实战训练。通过大量的例题和练习题,让 考生熟悉和掌握各种题型的解题方法和技巧,提高考生的应试能力。
编写风格独特:本书的编写风格简洁明了,语言通俗易懂,让考生能够轻松理解和掌握数学知识。 同时,书中的插图和表格也使得内容更加生动形象,便于考生记忆和理解。
《考研数学张宇强化36讲》是一本非常优秀的考研数学辅导书籍。通过阅读 这本书,我不仅掌握了数学知识,还提高了自己的数学思维能力和解题能力。我 相信这本书对其他考生也一定会有很大的帮助和启示作用。
目录分析
《考研数学张宇强化36讲》是考研数学领域的重要参考书籍,其深入浅出的 讲解方式,深受广大考研学生的喜爱。以下是对这本书目录的详细分析。
全书共分为六大部分,分别是:极限与连续、微分中值定理与导数应用、积 分与微分、多元函数微分与积分、常微分方程和线性代数初步。这六大部分基本 涵盖了考研数学的主要知识点,按照难度的递增进行排列,符合学生的学习习惯。
每一部分又细分成六个模块,共三十六个讲。例如在积分与微分部分,包括 了原函数与不定积分、定积分及其性质、多重积分、微分方程初步、无穷级数和 特殊函数这六个模块。每个模块都以一个具体的例子或者问题为起点,引导学生 思考并掌握相关的数学理论和应用。
阅读感受
《考研数学张宇强化36讲》是一本备受推崇的考研数学辅导书籍,被广大考 生视为必备的数学复习资料之一。通过阅读这本书,我感受到了张宇老师的深厚 教学经验和扎实的数学知识。
这本书的内容非常丰富,涵盖了考研数学所涉及的所有知识点。每个知识点 都讲解得非常详细,而且每个章节都由浅入深地分为三个层次,让读者能够逐步 深入地理解和掌握数学知识。书中还提供了大量的例题和练习题,这些题目质量 很高,能够帮助读者巩固所学知识。

张宇答疑

张宇答疑

今天我们终于迎来了关于数学备考的访谈,并且是知名的张宇老师做客答疑活动。

非常感谢张老师的光临,感谢同学们的积极参与。

下面我们进入今天的答疑,我们会将张老师的回答更新在下方。

一、关于数学教材的选择:1.关于高数的教材是选同济六版么?看同济五版可以吗?2.基础还行,我们学的时候不是用的同济六版的书,现在看高数里边的一些证明题有点吃力,这有影响么?3.线代和概论复习用哪个版本的教科书好?线性代数是不是用同济四版的课本?概率论用浙大的教材行吗?4.数学的教材是否一定要严格?概率和线代两门课课本的选择影响大不大?5.关于教材的选择数一、数二及数三有区别吗?请老师结合以上问题回答一下关于教材选用的问题。

答:最佳的数学教材选择是:同济六版高数,同济五版线代,浙大四版概统。

一本教材买下来没有多少钱的,或者跟学长学姐们借一借,同济五版的高数和同济四版线代也不是不行,不过好多但是对某些问题的讲解上会有细微的差别的。

其他版本的教材也可以,不过是这三本教材是多年沉淀下来的,口碑最好的,其他的教材可能对于某些知识点的讲解来说就不是特别细致了!数学一和数学三的考生用这三本教材就行,数学二不考矢量代数和空间解析几何,也不考多重积分曲线与曲面积分,也不考概率,所以看教材要结合考试大纲来看教材,不能盲目的去看教材!对于基础知识的讲解教材中是没有什么分别得,只是对于不同的考生的试卷来说考试的侧重点不同。

二、关于教材的使用:1.课本上的那些定义是一定要背下来的吗?好难记的。

课本上实在有难以解决的问题该怎么办呢?答:课本上的定义概念一定要牢记的,当然不是死记硬背,要理解记忆,理解透了,自然而然的就记住了。

关于课本上难以解决的问题,当然是问老师了,你自己想好几天都想不明白的问题一问老师可能几分钟就解决了,所以说数学这门学科光靠自学是不现实的!2.能否建议下教材应该看几遍比较好?掌握到什么程度呢?教材花多久看完比较合适?答:教材的概念、定理和公式是解题的根基,如果根基打不好,那建筑就无从谈起,熟练掌握课本的概念与定义,没有必要规定看多久的教材,要在熟练教材的定义概念之后做题的过程中随时翻阅教材。

考研数学概率论辅导讲义

考研数学概率论辅导讲义

考研数学概率论辅导讲义主讲:马超第二章 随机变量及其分布第一节 基本概念1、概念网络图⎭⎬⎫⎩⎨⎧-→⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<→⎭⎬⎫⎩⎨⎧)()()()(a F b F A P b X a A X 随机事件随机变量基本事件ωω→≤=)()(x X P x F 分布函数: 函数分布正态分布指数分布均匀分布连续型几何分布超几何分布泊松分布二项分布分布离散型八大分布→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-102、重要公式和结论例2.1:4黑球,2白球,每次取一个,不放回,直到取到黑为止,令X(ω)为“取白球的数”,求X 的分布律。

例2.2:给出随机变量X 的取值及其对应的概率如下:ΛΛΛΛ,31,,31,31,,,2,1|2k k PX , 判断它是否为随机变量X 的分布律。

例2.3:设离散随机变量X 的分布列为214181812,1,0,1,,,-P X ,求X 的分布函数,并求)21(≤X P ,)231(≤<X P ,)231(≤≤X P 。

例2.4: )()(21x f x f +是概率密度函数的充分条件是: (1))(),(21x f x f 均为概率密度函数 (2)1)()(021≤+≤x f x f例2.5:袋中装有α个白球及β个黑球,从袋中先后取a+b 个球(放回),试求其中含a 个白球,b 个黑球的概率(a ≤α,b ≤β)。

例2.6:某人进行射击,设每次射击的命中率为0.001,若独立地射击5000次,试求射中的次数不少于两次的概率,用泊松分布来近似计算。

例2.7:设某时间段内通过一路口的汽车流量服从泊松分布,已知该时段内没有汽车通过的概率为0.05,则这段时间内至少有两辆汽车通过的概率约为多少?例2.8:袋中装有α个白球及β个黑球,从袋中任取a+b 个球,试求其中含a 个白球,b 个黑球的概率(a ≤α,b ≤β)。

张宇考研数学概率论与数理统计强化9讲

张宇考研数学概率论与数理统计强化9讲

阅读感受
《张宇考研数学概率论与数理统计强化9讲》是一本备受推崇的数学考研辅 导书籍,它的作者张宇教授以其独特的授课风格和深入浅出的讲解方式赢得了广 大考生的信赖和喜爱。这本书是张宇教授根据多年的教学经验与研究成果精心编 写的,对于备考研究生数学考试的学生来说,它无疑是一本极为宝贵的参考书籍。
在内容方面,《张宇考研数学概率论与数理统计强化9讲》包含了概率论与 数理统计两个部分,每个部分都包含了基础概念、解题方法、经典例题以及练习 题等多个方面的内容。作者通过生动的语言和详细的解释,使得复杂的概念和解 题方法变得易于理解。书中还提供了大量的例题和练习题,这些题目既有针对性 又有代表性,可以帮助学生在实践中加深对概念和解题方法的理解和应用。
张宇考研数学概率论与数理统计强 化9讲
读书笔记
01 思维导图
03 精彩摘录 05 目录分析
目录
02 内容摘要 04 阅读感受 06 作者简介
思维导图
关键字分析思维导图
知识
作者
张宇
数学
内容
部分
掌握
强化
考研
概率论 学生
提高
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帮助
强化
讲解
辅导
考研
分布
内容摘要
《张宇考研数学概率论与数理统计强化9讲》是一本专门针对考研数学中概率论与数理统计部分 的辅导书籍,由著名考研数学辅导专家张宇老师编写。本书以强化和提高概率论与数理统计部分 的知识水平为目标,通过9个主题的讲解,帮助学生更好地理解和掌握这一部分的知识点。
本书的内容分为两个部分,分别是概率论和数理统计。
在概率论部分,作者首先对随机事件和概率的概念进行了详细的解释,然后深入讲解了离散型随 机变量和连续型随机变量的概念及其分布,以及大数定律和中心极限定理等重要的概率论原理。 这些知识点都是概率论的基础,对于理解和掌握概率论的知识点至关重要。

考研概率论讲义

考研概率论讲义

概率论与数理统计考研辅导讲义白云霄第一章 随机事件及其概率1、随机事件、样本空间、概率的定义例1. 写出下列试验的样本空间与事件A 的样本点1. 同时掷两颗骰子,记录其点数之和;A :点数之和为偶数 2. 相继掷两次硬币。

A :第一次出现正面3. 研究甲、乙两件产品的销售状况(畅销、滞销) 4. 经过三个十字路口遇到红灯的个数2、事件的关系及其运算例2设A,B 是任意两个随机事件,则()()()(){}______=++++B A B A B A B A P 例3设,,A B C 为三个事件,试将下列事件用,,A B C 表示出来: (1) A 发生,B 与C 不发生 (2) A ,B ,C 至少有一个发生 (3) A ,B ,C 恰好有一个发生 (4) A ,B ,C 至少有一个不发生 (5) A ,B ,C 最多有一个不发生(6)A 不发生,B ,C 中至少有一个发生3、概率的计算方法有:古典概率、加法公式、乘法公式、 条件概率、全概公式及逆概公式、二项公式 1. 古典概型 I 取次品例1一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取4个,求:(1) 只有一件次品的概率;(2)至多一个次品的概率;(3)至少一个次品的概率。

例2袋中有50个乒乓球,其中20个黄球,30个白球,今有两个人依次随机的从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是? II 排数字例3从1,2,3,4中任意选出三个不同的数字形成三位数,求此三位数大于300的概率。

例4一个三位数由1,2,3,4中的三个数字形成(个、十、百位可以相同),求此三位数大于300的概率。

例5 把10本书任意地放在书架上,求其中指定的3本书放在一起的概率 III 质点入盒例6将3个球随机地放入4个杯子中去,问杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率各是多少?例7设将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随意地排成一行,那么恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为?IV 配鞋子例8从5双不同大小的鞋中取出4只,求: (1) 刚好是两双的概率;(2)不配队的概率 V 几何概型例9设,x y 在[0,1]随机取值,求 (1)(1)P x y +<;(2)1()4P xy <例10某码头上只能容一只船,现预知某日将独立来到两只船,且在24小时内随机到达, 如他们需要停靠的时间为3小时,求一船要在江中等待的概率。

张宇1000题(最新版)概率论与数理统计习题详解

张宇1000题(最新版)概率论与数理统计习题详解

P(A1A2)=P(A1)P(A2) P(A1A3)=P(A1)P(A3) P(A2A3)=P(A2)P(A3) 但 P(A1A2A3) ≠ P(A1)P(A2)P(A3) 故 A1,A2,A3 两两独立,但不相互独立, 选(C). 15、 【答案】B 【解】 由 ϕ ( − x ) = ϕ ( x ) ,有 和
第三编
1、 【答案】A
概率论与数理统计
【解】 若 B ⊂ A ,则 A + B = A, AB = B 2、 【答案】C 【解】因为不可能事件发生的概率为零,但概率为零的事件未必是不可能事件。例如:设
X
N ( 0,1) , 则 P ( X = 0) = 0 ,但 { X = 0} ≠ φ ,即 { X = 0} 不是不可能事件,故选(C) .

0
−∞
ϕ ( x ) dx = ∫ ϕ ( x ) dx =
0
+∞
1 2

−a
0
ϕ ( x ) dx = − ∫ ϕ ( −t ) dt = − ∫ ϕ ( t ) dt = − ∫ ϕ ( x ) dx
a a a 0 0 0 −a 0 −a −∞ −∞ 0
a 1 − ∫ ϕ ( x ) dx 2 0
P ( A) = 0 时, P AC = 1, P AC I C = P ( C ) = P AC ⋅ P ( C ) ,此时 AC 与 C 也相互
独立. 当 P ( A ) ≠ 0 时 , 由 O < P ( C ) < 1 知 O < P ( AC ) < 1 , 所 以 O < P AC < 1 . 此 时
所以 16、 【答案】A 【解】
F ( − a ) = ∫ Байду номын сангаас ( x ) dx = ∫ ϕ ( x ) dx + ∫ ϕ ( x ) dx =

考研张宇书使用顺序

考研张宇书使用顺序

考研张宇书使用顺序《考研张宇书使用顺序》考研备战是每一个考生都会经历的一段决战期,而选择合适的复习资料则至关重要。

考研辅导教材中,张宇老师的系列书籍备受考生的青睐。

那么,在使用这些书籍进行复习的过程中,我们应当遵循怎样的顺序呢?下面将为大家详细介绍一下。

第一步:把握基础张宇老师的系列书籍以其深入浅出、通俗易懂的风格被广大考生所喜爱。

因此,作为初次接触张宇的考生,首先应该选择《高数必修》和《线性代数必修》这两本书。

这两本书是考研数学的基础,通过系统地学习这两本书,可以打下扎实的数学基础,为后续的学习打下牢固的基础。

第二步:拔高阶段当考生对基础知识有了一定掌握之后,可以选择进一步提高自己的书籍。

《高数强化》,《概率论与数理统计》以及《计算机基础》等都是非常好的选择。

这些书籍通过深入浅出的讲解和例题分析,帮助考生理解相关概念和方法,逐渐提升自己的解题能力。

第三步:刷题冲刺在前两步的基础上,考生对于数学的掌握程度已经有了一定的提高。

这个阶段,考生应该选择《全程班笔记》,这本书旨在总结历年真题的考点和解题技巧,对于考生来说非常实用。

同时,考生还可以选择《考研数学真题精析》,通过解析真题,帮助考生进一步熟悉考试题型和解题思路。

第四步:提升综合能力考研的数学科目除了需要对各个知识点的理解和掌握之外,还需要考生具备一定的综合能力。

在这一阶段,考生可以选择《全程班笔记》中的解析习题,通过解析这些习题,帮助考生培养自己的综合运用能力,同时也能够检验自己的学习成果。

第五步:冲刺阶段在考研备考的后期,考生需要通过大量的模拟试卷来检验自己的复习进度和能力水平。

在这个阶段,考生应该选择《考研数学全程班冲刺班》。

这本书通过提供大量的模拟试题和详细的解析,帮助考生熟悉考试形式和时间分配,做到心中有数,从而更好地应对考试。

总结起来,考研张宇书籍的使用顺序是从基础到拔高,再到刷题冲刺,然后是提升综合能力,最后进入冲刺阶段。

通过按照这样的顺序进行复习,考生可以循序渐进地掌握复习要点和解题技巧,为考研取得好成绩打下坚实的基础。

2013张宇考研数学辅导讲义理工类、经济类概率论与数理统计第1-2章习题详解

2013张宇考研数学辅导讲义理工类、经济类概率论与数理统计第1-2章习题详解
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而若$ 正确则$ % 也正确# 故应选$ % -% + + 3
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张宇考研数学概率论与数理统计强化讲义
【注】
犉(狓)=△ 犘{犡 ≤狓}= 犘{- ∞ ≤ 犡 ≤狓}

∫ = 犳(狋)d狋(连) -∞
4犡~犉(狓)<狆犳犻(狓→)分→布概律率密度
= ∑狆犻.(离) 狓犻≤狓
烄① 单调不减;
(1)犉(狓)是某个狓 的分布函数 烅②犉(- ∞)=0,犉(+ ∞)=1;

烆犘(犃1犃2犃3)= 犘(犃1)犘(犃2)犘(犃3).④
【注】若只满足 ①②③,称犃1,犃2,犃3 两两独立.
【例】[取自《张宇概率论与数理统计9讲》P23,例1.33]
将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:犃1 = {掷第一次出现正面},犃2 = {掷第二次出
现正面},犃3 = {正反面各出现一次},犃4 = {正面出现两次},则事件( ).
【例2】[取自《张宇考研数学闭关修炼一百题·习题分册》P42,81] 要验收一批乐器,共100件,从中随机地取3件来测试(设3件乐器的测试是相互独立 的),如果3件中任意一件经测试被认为音色不纯,这批乐器就被拒绝接收.设一件音色不 纯的乐器经测试被查出的概率为0.95,而 一 件 音 色 纯 的 乐 器 经 测 试 被 误 认 为 不 纯 的 概 率 为0.01.如 果 已 知 这100件 乐 器 中 有4件 是 音 色 不 纯 的 ,问 这 批 乐 器 被 接 收 的 概 率 是 多少? 【分析】
④(犡,犢)的犉(狓,狔),犳(狓,狔); ⑤犣 =犵(犡,犢)的犉犣(狕),犳犣(狕);
⑥犘{(犡,犢)∈犇}= 犳(狓,狔)dσ. 犇
(3)求数字特征. (4)狀→ ∞ 时的若干重要概率规律. (5)估计与评价.
—1—
张宇考研数学概率论与数理统计强化讲义
第一讲 随机事件与概率
综述
用古典、几何、公式求复杂事件的概率.
=1-犘(∩ 犃犻) 犻=1

=1- ∏犘(犃犻) 犻=1

=1- ∏[1-犘(犃犻)] 犻=1
③ 常考狀=3时的情形,犃1,犃2,犃3
烄犘(犃1犃2)=犘(犃1)犘(犃2); ①
犘(犃1犃3)= 犘(犃1)犘(犃3); 烅
犘(犃2犃3)= 犘(犃2)犘(犃3);
② 犃1,犃2,犃3 相互独立.
(B)若 犡 ~犳(狓)= 犃e-(狓+21)2 ,则 犃 = 1 ; 2槡π
烄13,狓 ∈ [0,1],
(C)若 犡 ~犳(狓)= 烅29,狓 ∈ [3,6],且 犘{狓 ≥犽}= 2 3,则犽<1;
烆0,其他
(D)若 犡 ~犉(狓),犡 ~犳(狓),且狓 ≤0时犳(狓)连续,犳(狓)=犉(狓)
犉(0)=1,则
则称犃1,犃2,…,犃狀 相互独立且“夫唱妇随”,即
狀个事件相互独立 它们中任意一部分事件换成各自的对立事件,所得狀 个新事件
相互独立.
如犃,犅 独立犃,犅 独立 犃,犅 独立 犃,犅 独立.
于是,若 犃1,犃2,…,犃狀(狀 >3)相互独立,则


犘(∪ 犃犻)=1-犘(∪ 犃犻)
犻=1
犻=1

到达河岸,架桥需20分钟,部队将于7:30到8:00之间到达河岸,求部队到达河岸时可立
即过河的概率.
【分析】
三、重要公式求概率
1.对立 犘(犃)=1-犘(犃)思想方法. 2.减法 犘(犃犅)= 犘(犃 -犅)= 犘(犃)-犘(犃犅). 3.加法(1)犘(犃 +犅)= 犘(犃)+犘(犅)-犘(犃犅); (2)犘(犃+犅+犆)=犘(犃)+犘(犅)+犘(犆)-犘(犃犅)-犘(犅犆)-犘(犃犆)+犘(犃犅犆). 【例】[取自《张宇考研数学闭关修炼一百题·习题分册》P43,82] 为了寻找《张宇高等数学18讲》,一个学生决定到3个图书馆去试一试.每一个图书 馆有这本书的概率为50%,如果有这本书,则已借出的概率为50%,若已知各图书馆藏书 是相互独立的,求这个学生能借到这本书的概率. 【分析】
张宇考研数学概率论与数理统计强化讲义
引 言
1.先修课程:基础课. 2.后续课程:扫码看《张宇概率论与数理统计9讲》的第8、9讲的二维码讲解 ——— 数 理统计面面观. 3.五大问题. (1)求 犘{复杂事件}. (2)①犡 的犉犡(狓),犳犡(狓); ②犢 =犵(犡)的犉犢(狔),犳犢(狔);
∫ ③犘(犡 ∈犐)= 犳犡(狓)d狓; 犐
烄狓1 狓2 … 狓狀 …烌
(2)分布律 犡 ~ 烆狆1 狆2
… 狆狀
犡 ≤狓},离散型狉.狏. 步步高阶梯型犉(狓).
3 连续型随机变量
若存在非负可积函数犳(狓),使得 狓 ∈ (- ∞,+ ∞)有

∫ 犉(狓)= 犳(狋)d狋. -∞
则称 犡 为连续型,犳(狓)叫作 犡 的概率密度函数. —8—
一、古典概型求概率
定义 若Ω 中有有限个、等可能的样本点,称为古典概型. 犘(犃)=Ω犃 中中样样本本点点个个数数. 【例】将3个球随机地放入4个盒子内,犡 表示有球的盒子数,犢 表示第1个盒子内球 的数目,求 ①犘{犡 =1,犢 =0}; ②犘{犡 =2,犢 =1}; ③犘{犡 =3;犢 =2}. 【分析】
【例5】若 犡 ~犳犡(狓),犢 =犵(犡),求犢 ~犳犢(狔). 【分析】
烆③ 右连续.
烄①狆犻 ≥0; (2){狆犻}是分布律 烅
烆②∑狆犻 =1(归一性). 犻
烄①犳(狓)≥0;
(3)犳(狓)是概率密度函数 烅 +∞
∫ 烆②
犳(狓)d狓 =1(归一性).
-∞
5 八个分布
(1)0-1分布.
(Ber-犈1)犡(伯努利计数变量)~ 烄1
0烌 .
烆狆 1-狆烎
(2)二项分布.
—2—
张宇考研数学概率论与数理统计强化讲义
二、几何概型求概率
若Ω 是一个可度量的几何区域,且样本点落入Ω 中的某一可度量子区域犃 的可能性
大小与犃 的几何度量成正比,而与犃 的位置与形状无关,称为几何概型.
犘(犃)=
犃 Ω
的度量(长度、面积) 的度量(长度、面积).
【例】某舟桥连接到命令要赶到某河岸为某部队架桥,设舟桥连将于7点到7:30之间
—3—
张宇考研数学概率论与数理统计强化讲义
【注】超过三个的事件和的概率一般附加“互斥”、“独立”条件.
① 若犃1,犃2,…,犃狀(狀>3)两两互斥,则


∑ 犘(∪ 犃犻)= 犘(犃犻);
犻=1
犻=1
② 设犃1,犃2,…,犃狀,若对其中任意有限个犃犻1,犃犻2,…,犃犻犽 (犽≥2),都有
犘(犃犻1,犃犻2,…,犃犻犽 )=犘(犃犻1)犘(犃犻2)…犘(犃犻犽 ),
烄① 独立; (Ber-犈狀)烅②犘(犃)=狆;
烆③ 只有 犃,犃.
记 犡 为 犃 发生的次数,则
犘{犡 =犽}= C狀犽·狆犽(1-狆)狀-犽,犽=0,1,2,…,狀. (3)几何分布
(Ber-犈∞ )首中即停止(等待型分布),记 犡 为试验次数,则 犘{犡 =犽}=狆·(1-狆)犽-1,犽=1,2,….

∫ 犡 ~Φ(狓)= φ(狋)d狋(标准正态专用符号), -∞
犡 ~ 犖(0,1).
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张宇考研数学概率论与数理统计强化讲义
二、综合题分析
1.概念 2.犡 ~犉(狓) 3.犢 =犵(犡)~犉(狔) 【例1】下列说法错误的是( ). (A)犡1,犡2 相互独立,犡1 ~犉1(狓),犡2 ~犉2(狓),则犉1(狓)犉2(狓)必为 max{犡1,犡2} 的分布函数;
(A)犃1,犃2,犃3 相互独立
(B)犃2,犃3,犃4 相互独立
(C)犃1,犃2,犃3 两两独立
(D)犃2,犃3,犃4 两两独立
—4—
【分析】
张宇考研数学概率论与数理统计强化讲义
4.条件犘(犃狘犅)= 犘犘(犃(犅犅)),犘(犅)>0. 5.乘法 犘(犃犅)= 犘(犅)犘(犃狘犅)= 犘(犃)犘(犅狘犃), 犘(犃1犃2犃3)= 犘(犃1)犘(犃2狘犃1)犘(犃3狘犃1犃2). 6.全集分解公式(全概公式). (1)引例 一个试验可以人为分成两个阶段: (Ⅰ)小张(犃1)小政(犃2)小英(犃3) (Ⅱ)失窃 =犅 犘(犅)= 【分析】
入 乙 袋 ,再 从 乙 袋 中 任 取 一 球 ,求 取 出 的 球 是 白 球 的 概 率 狆;如 果 已 知 从 乙 袋 中 取 出 的
球是白球,求从甲袋中取出的球是1白1黑的概率狇.
【分析】
—7—
张宇考研数学概率论与数理统计强化讲义
第二讲 一维随机变量及其分布
综述
1.八个重要分布 2.一维 犡 与犉犡(狓) 3.犢 =犵(犡)与犉犢(狔)
等待型分布(寿命分布)(连续)


~犳(狓)=
烄λe-λ狓 烅烆0,
,狓 狓
> ≤
0, 则
0,

~ 犈(λ)(λ > 0).λ ~
失效率,犈犡

λ1.
△狓
∫ 犉(狓)= 犳(狋)d狋 -∞
∫ ∫ 烄

λe-λ狋d狋=-

e-λ狋d(-λ狋)=-e-λ狋

=1-e-λ狓,狓 ≥0,
=烅0


烆0,
狓 <0.
率.
犘{犡 =犽}=犽λ犽!e-λ,λ~ 强度(犈犡 =λ).
(6)均匀分布.
“几何概型”<<犝(犪,犫)


~犳(狓)=
烅烄犫-1犪,犪≤狓
≤犫(正概率区间), 则

~犝[犪,犫].
烆0, 其他,
【注】高档次说法:“犡 在犐上的任一子区间取值的概率与该子区间长度成正比”.
犡 ~犝(犐). (7)指数分布.
烆0, 狓 ≥2.
【分析】
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