(完整版)高二数学综合练习试题
高中数学-期末高二数学综合训练(一)答案
2022~2023学年度第一学期高二11月阶段测试数学参考答案一、单项选择题：1、 C2、B3、A4、C5、B6、A7、B8、C二、多项选择题：9、 ACD 10、BC 11、AC 12、ACD三、填空题：13、11 14、23n a n = 15、π48+ 16、 55；1120四、解答题：17．解：（1）由题知，所求圆的圆心M 为线段AB 的垂直平分线和直线220x y −+=的交点． 线段AB 的中点坐标为()0,1，直线AB 的斜率()20111k −==−−，所以，AB 的垂直平分线的方程为1y x =−+． 解得圆心()0,1M ．半径()()2210212r AM ==−+−=所以，圆M 的标准方程为()2212x y +−=．…………………………………………5分（2）由题意知圆心M 到直线的距离为2212CD d r ⎛⎫=−= ⎪⎝⎭，当直线l 斜率存在时，设直线方程为()31y k x −=−，即30kx y k −+−=． 所以，2211k d k −==+，解得34k =所以，直线l 的方程为3490x y −+=． 当直线l 斜率不存在时，直线方程为1x =，符合题意．所以，直线l 的方程为3490x y −+=或1x =．…………………………………………10分18．解：为定值419．解：（1）由已知得()1(1)4n n a n a n +−+=−，n a b n n −= 又1110,a −=≠∴数列{}n b 是公比为4的等比数列.……………………………………5分（2）由（1）知，14−=n n b⎩⎨⎧−=∴−数 奇 为, 22数偶 为 , 41n n n c n n ()[]()125312444444840−++++−++++=∴n n n S ()()16116142440−−+−+=n n n 154222151224−−+⨯=+n n n ………………………………………………………12分 20．解：（1）由于（2，2）在抛物线开口之内，且不在x 轴上， 直线l 的斜率存在，设为k ，且设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 可得y 12＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减可得（y 1﹣y 2）（y 1+y 2）＝4（x 1﹣x 2）， 即k ＝2121x x y y −−＝214y y +＝44＝1，则直线l 的方程为y ﹣2＝x ﹣2，即y ＝x ，检验直线l 存在，且方程为y ＝x ；………………………………………………………6分 （2）证明：若直线l 的斜率不存在，可得x ＝x 1， 代入抛物线方程y 2＝4x ，可得y 1＝12x ，y 2＝12x −， 则y 1y 2＝﹣4x 1＝﹣16，即x 1＝4，直线AB 过（4，0）：若直线l 的斜率存在，设为k ，当k ＝0时，直线l 与抛物线的交点仅有一个， 方程设为y ＝kx +b ，k ≠0， 代入抛物线的方程消去x 可得4k y 2﹣y +b ＝0， 可得y 1y 2＝k b 4，即有﹣16＝kb 4， 可得b ＝﹣4k ，直线l 的方程为y ＝k （x ﹣4），则直线l 恒过定点（4，0）．综上，直线AB 恒过定点（4，0）．……………………………………………………12分21．解：（1）因为()241n n S a =+，当*2,n n N ∈≥时，有()21141n n S a −−=+，两式相减得2211422n n n n n a a a a a −−=−+−，移项合并同类项因式分解得()()1120n n n n a a a a −−+−−=，因为0n a >，所以有120n n a a −−−=，在()241n n S a =+中，令1n =得11a =，所以数列{}n a 是以1为首项，以2为公差的等差数列，故有()*21n a n n N=−∈…………4分（2）由（1）知1124122−−⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯==n n n n n b ，∴0443421 12+++++=−n n nT ， ∴n n nT 443424104132+++++= ， ∴n n n n n n n n n n T 44134344411411441414114312−⨯−=−−−=−++++=− ， ∴14943916−⨯+−=n n n T………………………………………………………………………8分 由题意，对任意的*N n ∈，均有n n T n m n 2916)52()43(⋅⎪⎭⎫⎝⎛−−≥+恒成立， ∴()()n n n n m n 2494352)43(1⋅⨯+−≥+− ，即 nn m 25294−⨯≥恒成立，设n n n c 252−=，则111227252232+++−=−−−=−n n n nn nn n c c ， 当n ≤3时，01>−+n n c c ，即n n c c >+1 ；当n ≥4时，01<−+n n c c ，即n n c c <+1， ∴n c 的最大值为1634=c ， ∴12116394=⨯≥m ．故m 的取值范围是⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,121．………………………………………………………………12分 22．解：（1）设P （x ，y ），由题意知3221=+PF PF ，即3226262222=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x y x ， 令()33 326 , 3262222≤≤−−=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−+=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+t t y x t y x ， 等式两边同时平方得()222326t y x +=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ① ()222326t y x −=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛− ②①﹣②得 ()()2222332626t t x x −−+=⎪⎪⎭⎫⎝⎛−−⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+ ，即x t 22=③ 代入①中得 22222326⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x y x ，整理可得123322=+y x ， 故P 点的轨迹方程为123322=+y x ……………………………………………………5分 （2）设直线MA 的方程为y ＝k 1x ﹣k 1+1，直线MB 的方程为y ＝k 2x ﹣k 2+1， 由题知r k k =+−21111，所以()()2122111k r k +=−，所以()012121212=−+−−r k k r ，同理，()012122222=−+−−r k k r ， 所以k 1，k 2是方程()0121222=−+−−r k kr 的两根，所以k 1k 2＝1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），设直线AB 的方程为y ＝kx +m ，将y ＝kx +m 代入123322=+y x ，得（1+2k 2）x 2+4kmx +2m 2﹣3＝0， 所以2212k 14km+−=+x x ①，22212k132m +−=⋅x x ②， 所以()221212122kmm x x k y y +=++=+ ③，()()()2222212122121213kk m m x x km x x k m kx m kx y y +−=+++=++= ④， 又因为()()111111121212121221121=++−++−=−−⨯−−=x x x x y y y y x y x y k k ⑤， 将①②③④代入⑤，化简得3k 2+4km +m 2+2m ﹣3＝0，所以3k 2+4km +（m +3）（m ﹣1）＝0，所以（m +3k +3）（m +k ﹣1）＝0，若m +k ﹣1＝0，则直线AB ：y ＝kx +1﹣k ＝k （x ﹣1）+1，此时AB 过点M ，舍去， 若m +3k +3＝0，则直线AB ：y ＝kx ﹣3﹣3k ＝k （x ﹣3）﹣3，此时AB 恒过点（3，﹣3）， 所以直线AB 过定点（3，﹣3）．……………………………………………………………12分。
高二数学综合练习题
高二数学综合练习题一、选择题1．已知实数a 、b 、c 满足b ＋c ＝6－4a ＋32a ，c －b ＝4－4a ＋2a ，则a 、b 、c 的大小 关系是（ ）．（A ）c ≥b ＞a （B ）a ＞c ≥b （C ）c ＞b ＞a （D ）a ＞c ＞b2．设a 、b 为实数，且a ＋b ＝3，则b a 22+的最小值为（ ） （A ）6 （B ）24 （C ）22 （D ）83．如果直线ax ＋2y ＋2＝0与直线3x －y －2＝0平行，那么系数a ＝ （A ）－3 （B ）－6 （C ）23-（D ）32 4．不等式0|22|33>+->+-x xxx x 且的解集是（ ）． （A ）{}20|<<x x （B ）{}5.20|<<x x （C ）{}60|<<x x（D ）{}30|<<x x5．直线0323=-+y x 截圆 422=+y x 得的劣弧所对的圆心角为（ ）．（A ）6π （B ）4π（C ）3π （D ）2π6．若),lg (lg 21,lg lg ,1b a Q b a p b a +==>>),2lg(ba R +=则（ ）（A ）Q P R << （B ）R Q P << （C ）R P Q << （D ）Q R P <<7．已知两条直线1L ∶y ＝x ，2L ∶ax －y ＝0，其中a 为实数，当这条直线的夹角在)12π,0(内变动时，a 的取值X 围是（ ）．（A ）（0，1） （B ）)3,33(（C ）)3,1()1,33(（D ）)3,1(8．直线231+-=x y 的倾斜角是（ ）． （A ）)31arctan(-（B ）31arctan（C ）)31arctan(π-+（D ）)31arctan(--π9．两圆0222=-+x y x 与0422=++y y x 的位置关系是（ ）． （A ）相离 （B ）外切 （C ）相交 （D ）内切10．11lg 9lg ⋅与1的大小关系是（ ）． （A ）111lg 9lg >⋅ （B ）111lg 9lg =⋅ （C ）111lg 9lg <⋅ （D ）不能确定11．已知椭圆的长轴、短轴、焦距长度之和为8，则长半轴的最小值是（ ）． （A ）4 （B ）24 （C ）)12(4- （D ）)12(2-12．过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p 、q ，则qp 11+等于（ ）． （A ）2a （B ）a 21 （C ）4a （D ）a4二、填空题13．不等式5|2||1|<+++x x 的解集是．14．若正数a 、b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则ab 的取值X 围是．15．设双曲线)0(12222b a by a x <<=-的半焦距为c ，直线过（a ，0）、（0，b ）两点，已知原点到直线L 的距离为c 43，则双曲线的离心率为． 16．过点P （2，1）的直线L 交x 轴、y 轴的正向于A 、B 则||||PB PA ⋅最小的直线L 的方程是． 三、解答题17．解不等式1|43|2+>--x x x ．18．自点（－3，3）发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射线所在直线与圆074422=+--+y x y x 相切，求光线L 所在直线方程．19．已知)R ,10(log )(+∈≠>=x a a x x f a 且．若1x 、+∈R 2x 试比较)]()([2121x f x f +与)2(21xx f +的大小，并加以证明．20．抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴，而且被直线2x －y ＋1＝0所截弦长为15，求抛物线的方程．21．在平面直角坐标系中，在y 轴的正半轴上给定A 、B 两点，在x 轴正半轴上求一点C ，使∠ACB 取得最大值．22．在面积为1的PMN ∆，,21tan =M ,2tan -=N 求出以M 、N 为焦点且过点P 的椭圆的方程．参考答案一、选择题ABBCC BCCCC CC 二、填空题13．{};14|<<-x x 14．［9，＋∞］；15．2；16．x ＋y －3＝0． 三、解答题17．原不等式等价于（Ⅰ）⎪⎩⎪⎨⎧+>--≥--.143,04322x x x x x或（Ⅱ）⎪⎩⎪⎨⎧+>---<--.1)43(,04322x x x x x⎩⎨⎧<<-<<-⎩⎨⎧-<>≤≥⇒.31,41,15,14x x x x x x 或或或 .13135-≠<<-<>⇒x x x x 且或或∴ 原不等式的解集为}{1.3135|-≠<<-<>x x x x x 且或或．18．已知圆的标准方程是,1)2()2(22=-+-y x 它关于x 轴的对称圆的方程是.1)2()2(22=++-y x设光线L 所在直线方程是).3(3+=-x k y由题设知对称圆的圆心C ′（2，－2）到这条直线的距离等于1，即11|55|2=++=kk d ．整理得,01225122=++k k 解得3443-=-=k k 或． 故所求的直线方程是)3(433+-=-x y ，或)3(343+-=-x y ， 即3x ＋4y －3＝0，或4x ＋3y ＋3＝0．19．2121log log )()(x x x f x f a a +=+2log )2(),(log 12121xx x x f x x a a +=+=． ∵1x 、+∈R x 2， ∴22121)2(x x x x +≤．当且仅当1x ＝2x 时，取“＝”号． 当1>a 时，有)2(log )(log 2121x x x x a a +≤． ∴≤)(log 2121x x a )2(log 21x x a +≤．)2(log ]log [log 212121x x x x a a a +≤+． 即)2()]()([212121x x f x f x f +≤+． 当10<<a 时，有a a x x log )(log 21≥⋅221)2(x x +． 即).2()]()([212121x x f x f x f +≥+ 20．设抛物线的方程为ax y =2，则⎩⎨⎧+==.12,2x y ax y 把②代入①化简得01)4(42=+-+x a x ③设弦AB 的端点),(11y x A 、),(22y x B ，则1x 、2x 是方程③的两实根，由韦达定理，得41,442121=-=+x x a x x ． ∵2=k ，由公式2212)(1x x k d -⋅-=∴212214)(515x x x x -+⋅=＝414)44(52⨯--⋅a ． 化简整理，得048-8-2=a a ，解得1a ＝12，2a ＝－4．故抛物线的方程为2y ＝12x ，或2y ＝－4x ．21．设βα=∠=∠BCO ACB ,，再设),0(a A 、B （0，b ）、C （x ，0）．则,)tan(xa=+βα ①②xb =βtan ． ])tan[(tan ββαα-+=21tan )tan(1tan )tan(x abx b x a +-=⋅++-+=ββαββα ab ba xab x b a x ab x b a 22-=⋅-≤+-=． 当且仅当,x abx =∵ ，∴,时ab x =αtan 有最大值，最大值为abb a 2-， ∴x y tan =在)2π,0(内为增函数．∴ 角α的最大值为abb a 2arctan-．此时C 点的做标为).0,(ab图1 图222．以M 、N 所在直线为x 轴，以线段MN 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系．设所求椭圆方程为,12222=+by a x 分别记M 、N 、P 的坐标为M （－c ，0）、N （c ，0）、P（0x ，0y ）．∵)πtan(tan PNM ∠-=α21tan ,2)2(tan ==--=∠-=M PNM ． 则得c x c y c x c y +=--=-0000)(2)(2和．由此 解得c y c x 34,3500==． 又由,2||c MN =求得△MNP 在MN 上的高为c 34，从而由1=∆MNP S 可得23=c ，于是)0,23(-M 、)0,23(N 、)332,635(P ，易得315||,3152||==PN PM ． 由椭圆的定义，得,2||||a PN PM =+∴215|)||(|21=+=PN PM a ∴4152=a ， 易得32=b ．故所求椭圆的方程为315422y x +1=．。
高二数学高中数学综合库试题答案及解析
高二数学高中数学综合库试题答案及解析1.函数在处的导数等于（）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】解：2.若命题p：所有有理数都是实数，q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略3.函数在区间上的图像如图所示，则n可能是（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】略4.一个物体的运动方程为其中的单位是米，的单位是秒，那么物体在秒末的瞬时速度是（）A．米/秒B．米/秒C．米/秒D．米/秒【答案】C【解析】5.设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，为坐标原点，若，且，则点的轨迹方程是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略6.已知向量若则实数______，_______【答案】【解析】略7.与曲线共焦点，而与曲线共渐近线的双曲线方程为A．B．C．D．【答案】C【解析】略8.已知抛物线与双曲线有相同的焦点，点是两曲线的一个交点，且轴，若为双曲线的一条渐近线，则的倾斜角所在的区间可能是：（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略9.为双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】略10.已知，，若向区域上随机投一点，则点落入区域的概率为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】略11.已知抛物线C:过点。
（1）求抛物线的方程；（2）是否存在平行于OA（O为原点）的直线L，与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由。
【答案】解：（1）将代入得，所以，抛物线的方程（2）假设存在直线L，设其方程为：由得因为直线L与抛物线有公共点，所以得又因为直线OA与L的距离等于可得得所以存在直线L，方程为：【解析】略12.（12分）在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD， AB=AD，∠BAD=60°，E、F 分别是AP、AD的中点求证：（1）直线EF∥平面PCD；（2）平面BEF⊥平面PAD【答案】略【解析】略13.一个总体的60个个体的编号为0，1，2，…，59，现要从中抽取一个容量为10的样本，请根据编号按被6除余3的方法，取足样本，则抽取的样本号码是______________.【答案】3,9,15，21,27,33,39,45,51,57【解析】略14.(本题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
高二下学期数学综合测试题含答案(经典、值得收藏)
高二下学期数学综合测试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．我校在检查学生作业时，按规定的比例从不同层中随机抽取学生作业进行检查，这里运用的是( )A ．分层抽样B ．抽签抽样C ．随机抽样D ．系统抽样2．在△ABC 中，下列式子与sin Aa 的值相等的是( )A.bc B ．sin B sin AC.sin C cD ．c sin C3.奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是( )A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．不是互斥事件4．已知△ABC 中，c ＝6，a ＝4，B ＝120°，则b 等于( ) A ．76 B ．219 C ．27D ．275．设某中学的高中女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i ，y i )(i ＝1,2,3，…，n)，用最小二乘法近似得到回归直线方程为y ^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是( )A ．y 与x 具有正线性相关关系B ．回归直线过点(x ，y )C ．若该中学某高中女生身高增加1 cm ，则其体重约增加0.85 kgD ．若该中学某高中女生身高为160 cm ，则可断定其体重必为50.29 kg 6．在等比数列{a n }中，a 3a 4a 5＝3，a 6a 7a 8＝24，则a 9a 10a 11＝( )A ．48B ．72C ．144D ．1927．已知圆的半径为4，a ，b ，c 为该圆的内接三角形的三边，若abc ＝162，则三角形的面积为( )A ．2 2B ．8 2 C. 2D ．228．已知不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－1，2)，则a ＋b 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．0D ．－29．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝450，则a 4＋a 8的值为( ) A ．45B ．75C ．180D ．30010．已知a ＝13＋2，b ＝13－2，则a ，b 的等差中项为( ) A. 3 B ． 2 C.13D ．1211．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4 C ．92D ．512．为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于20率是( )A.110B.715 C.815 D.1315第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶ 3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．14．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3 3 km到B处，再沿正东方向行走2 km到C 处，则A，C两地的距离为________km.15．等比数列{a n}中，a1＋a3＝20，a2＋a4＝60，则a7＋a8＝________．16．数列{a n}为等比数列，已知a n＞0，且a n＝a n＋1＋a n＋2，则该数列的公比q是_______．三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知直角三角形两条直角边长的和等于10 cm，求面积最大时斜边的长．18．(本小题满分12分)已知数列{a n}为等差数列，且a3＝5，a7＝13.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{b n}满足a n＝log4b n，求数列{b n}的前n项和T n.19．(本小题满分12分)已知海岛A四周8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，在B处望见岛A在北偏东75°，航行202海里后，在C处望见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？20．(本小题满分12分)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的分类垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾400 100 100可回收物30 240 30其他垃圾20 20 60(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱，“可回收物”箱，“其他垃圾”箱的投放量分别为a、b、c，其中a＞0，a＋b＋c＝600.当数据a、b、c的方差s2最大时，写出a、b、c的值(结论不要求证明)，并求出此时s2的值．21．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cosA＋C2＝33.(1)求cos B的值；(2)若a＝3，b＝22，求c的值．22．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝xx＋1，数列{a n}满足a1＝1，并且a n＋1＝f(a n).(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若b n＝1n＋1a n，求数列{b n}的前n项和S n.高二下学期数学综合测试题答案本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分100分．一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的)1．ACCBD DCCCA 11．C12．为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示．工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是( C )A.110B.715C.815D.1315[解析] 根据频率分布直方图，可知产品件数在[10,15)，[15,20)内的人数分别为5×0.02×20＝2,5×0.04×20＝4.设生产产品件数在[10,15)内的2人分别是A ，B ，生产产品件数在[15,20)内的4人分别为C ，D ，E ，F ，则从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人的结果有(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(A ，F)，(B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，(B ，F)，(C ，D)，(C ，E)，(C ，F)，(D ，E)，(D ，F)，(E ，F)，共15种.2位工人不在同一组的结果有(A ，C)，(A ，D)，(A ，E)，(A ，F)，(B ，C)，(B ，D)，(B ，E)，(B ，F)，共8种．故选取的2位工人不在同一组的概率为815.第Ⅱ卷(非选择题 共52分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶ 3∶4，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．[答案] 1514．某人从A 处出发，沿北偏东60°行走3 3 km 到B 处，再沿正东方向行走2 km 到C 处，则A ，C 两地的距离为 km.答案：7 15. 5832 16．((根号5)-1)/2三、解答题(本大题共6个大题，共36分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．．(本小题满分10分)已知数列{an}为等差数列，且a3＝5，a7＝13. (1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足an ＝log4bn ，求数列{bn}的前n 项和Tn. [解] (1)设an ＝a1＋(n －1)d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a1＋2d ＝5，a1＋6d ＝13，解得a1＝1，d ＝2. 所以{an}的通项公式为an ＝1＋(n －1)×2＝2n －1. (2)依题意得bn ＝4an ＝42n －1， 因为bn ＋1bn ＝42n ＋142n －1＝16，所以{bn}是首项为b1＝41＝4，公比为16的等比数列，所以{bn}的前n 项和Tn ＝4×（1－16n ）1－16＝415(16n －1). 18．(本小题满分12分) 已知海岛A 四周8海里内有暗礁，有一货轮由西向东航行，在B 处望见岛A 在北偏东75°，航行202海里后，在C 处望见此岛在北偏东30°，若货轮不改变航向继续前进，有无触礁危险？解：如图所示，在△ABC 中， 依题意得BC ＝202(海里)， ∠ABC ＝90°－75°＝15°，∠BAC ＝60°－∠ABC ＝45°. 由正弦定理，得AC sin 15°＝BC sin 45°，所以AC ＝202sin 15°sin 45°＝10(6－2)(海里)． 故A 到航线的距离为AD ＝ACsin 60°＝10(6－2)×32＝(152－56)(海里)． 因为152－56>8，所以货轮无触礁危险．19．(本小题满分12分)近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的分类垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：(2)试估计生活垃圾投放错误的概率；(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱，“可回收物”箱，“其他垃圾”箱的投放量分别为a 、b 、c ，其中a ＞0，a ＋b ＋c ＝600.当数据a 、b 、c 的方差s 2最大时，写出a 、b 、c 的值(结论不要求证明)，并求出此时s 2的值．[解] (1)厨余垃圾投放正确的概率为P ＝“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400＋100＋100＝23.(2)设“生活垃圾投放错误”为事件A ，则事件A 表示“生活垃圾投放正确”．事件A 的概率为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P(A )＝400＋240＋601000＝710，所以P(A)＝1－P(A )＝1－710＝310.(3)当a ＝600，b ＝0，c ＝0时，方差s 2取得最大值． 因为x ＝13(a ＋b ＋c)＝200，所以s 2＝13[(600－200)2＋(0－200)2＋(0－200)2]＝80000.20．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos A ＋C 2＝33. (1)求cos B 的值；(2)若a ＝3，b ＝22，求c 的值． 解：(1)在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，所以cos A ＋C 2＝cos π－B 2＝sin B 2＝33，所以cos B ＝1－2sin 2B 2＝13. (2)因为a ＝3，b ＝22，cos B ＝13，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得c 2－2c ＋1＝0，解得c ＝1.21．已知直角三角形两条直角边长的和等于10 cm ，求面积最大时斜边的长． 【解析】设一条直角边长为x cm ，(0＜x ＜10)，则另一条直角边长为(10－x )cm ， 面积S ＝12x (10－x )≤12⎣⎡⎦⎤x ＋(10－x )22＝252(cm 2)， 等号在x ＝10－x 即x ＝5时成立，∴面积最大时斜边长L ＝x 2＋(10－x )2＝52(cm)．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝xx ＋1，数列{a n }满足a 1＝1，并且a n ＋1＝f (a n ). (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝1n ＋1a n，求数列{b n }的前n 项和S n . [解] (1)由题意得a n ＋1＝a n a n ＋1，∴1a n ＋1＝a n ＋1a n ＝1＋1a n ，即1a n ＋1－1a n ＝1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是一个等差数列，公差为1，首项为1a 1＝1，从而1a n＝n ，∴a n ＝1n .(2)由(1)得b n ＝1n ＋1a n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1.。
高二数学综合训练
高二数学综合训练一、选择题1．(2013年深圳模拟)已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n ⊂α，要使n⊥β，则应增加的条件是()A．m∥n B．n⊥mC．n∥αD．n⊥α解析：已知直线m，n和平面α，β，若α⊥β，α∩β＝m，n⊂α，增加条件n ⊥m，由平面与平面垂直的性质定理可得n⊥β，B正确；A、C、D均不符合，选B.答案：B2．已知直线m，n与平面α，β，给出下列三个命题：①若m∥α，n∥α，则m∥n；②若m∥α，n⊥α，则n⊥m；③若m⊥α，m∥β，则α⊥β.其中真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：②③正确，故选C.答案：C3．(2013年泉州质检)设α，β，γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是()A．若α⊥β，β⊥γ，则α⊥γB．若m∥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nC．若α⊥β，m⊥α，则m∥βD．若α∥β，m⊄β，m∥α，则m∥β解析：对于A，若α⊥β，β⊥γ，α，γ可以平行，也可以相交，A错；对于B，若m∥α，n∥β，α⊥β，则m，n可以平行，可以相交，也可以异面，B错；对于C，若α⊥β，m⊥α，则m可以在平面β内，C错；D正确．答案：D4．(2013年青岛模拟)如图所示，b，c在平面α内，a∩c＝B，b∩c＝A，且a⊥b，a⊥c，b⊥c，若C∈a，D∈b，E在线段AB上(C，D，E均异于A，B)，则△ACD是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：∵a⊥b，b⊥c，a∩c＝B，∴b⊥面ABC，∴AD⊥AC，故△ACD为直角三角形．答案：B5．(2012年高考浙江卷)已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝2，将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中()A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直解析：找出图形在翻折过程中变化的量与不变的量．对于选项A，过点A作AE⊥BD，垂足为E，过点C作CF⊥BD，垂足为F，在图(1)中，由边AB，BC不相等可知点E，F不重合．在图(2)中，连接CE，若直线AC与直线BD垂直，又∵AC∩AE＝A，∴BD⊥面ACE，∴BD⊥CE，与点E，F不重合相矛盾，故A错误．对于选项B，若AB⊥CD，又∵AB⊥AD，AD∩CD＝D，∴AB⊥面ADC，∴AB⊥AC，由AB<BC可知存在这样的等腰直角三角形，使得直线AB与直线CD垂直，故B正确．对于选项C，若AD⊥BC，又∵DC⊥BC，AD∩DC＝D，∴BC⊥面ADC，∴BC⊥AC.已知BC＝2，AB＝1，BC>AB，∴不存在这样的直角三角形．∴C错误．由上可知D错误，故选B.答案：B二、填空题6．(2013年南昌调研)已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m⊂α；④α∥β.当满足条件________时，有m⊥β.(填所选条件的序号) 解析：若m⊥α，α∥β，则m⊥β.故填②④.答案：②④7．如图P A⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是________．解析：①AE⊂平面P AC，BC⊥AC，BC⊥P A⇒AE⊥BC，故①正确，②AE⊥PB，AF⊥PB⇒EF⊥PB，故②正确，③若AF⊥BC⇒AF ⊥平面PBC，则AF∥AE与已知矛盾，故③错误，由①可知④正确．答案：①②④8．(2013年淮北模拟)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形，P A⊥底面ABCD，点E，F分别是棱PC，PD的中点，则①棱AB与PD所在的直线垂直；②平面PBC与平面ABCD垂直；③△PCD的面积大于△P AB的面积；④直线AE 与直线BF 是异面直线．以上结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号) 解析：由条件可得AB ⊥平面P AD ，所以AB ⊥PD ，故①正确； ∵P A ⊥平面ABCD ，∴平面P AB 、平面P AD 都与平面ABCD 垂直， 故平面PBC 不可能与平面ABCD 垂直，②错； S △PCD ＝12CD ·PD ，S △P AB ＝12AB ·P A ， 由AB ＝CD ，PD ＞P A 知③正确；由E ，F 分别是棱PC ，PD 的中点可得EF ∥CD ， 又AB ∥CD ，所以EF ∥AB ，故AE 与BF 共面，故④错． 答案：①③9．(2013年哈尔滨三校联考)如图，在长方形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，E 为DC 的中点，F 为线段EC (端点除外)上一动点．现将△AFD 沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC .在平面ABD 内过点D 作DK ⊥AB ，K 为垂足．设AK ＝t ，则t 的取值范围是________．解析：如图，过D 作DG ⊥AF ，垂足为G ，连接GK ，∵平面ABD ⊥平面ABC ， DK ⊥AB ，∴DK ⊥平面ABC ，∴DK ⊥AF . ∴AF ⊥平面DKG ，∴AF ⊥GK .容易得到，当F 接近E 点时，K 接近AB 的中点，当F 接近C 点时，K 接近AB 的四等分点．∴t 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1三、解答题10．如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，且底面ABCD 是正方形，DM ⊥PC ，垂足为M .(1)求证：BD ⊥平面P AC ； (2)求证：平面MBD ⊥平面PCD .证明：(1)连接AC ， ∵底面ABCD 是正方形， ∴BD ⊥AC .∵P A ⊥底面ABCD ， BD ⊂平面ABCD ， ∴P A ⊥BD .∵P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面P AC .(2)由(1)知BD ⊥平面P AC ， ∵PC ⊂平面P AC ，∴BD ⊥PC ， ∵DM ⊥PC ，BD ∩DM ＝D ， ∴PC ⊥平面DBM . ∵PC ⊂平面PDC ， ∴平面MBD ⊥平面PCD .11．(2013年泉州模拟)如图所示，在直四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，DB ＝BC ，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．(1)求证：B1D1∥平面A1BD；(2)求证：MD⊥AC；(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.解析：(1)证明：由直四棱柱，得BB1∥DD1，又∵BB1＝DD1，∴BB1D1D是平行四边形，∴B1D1∥BD.∵BD⊂平面A1BD，B1D1⊄平面A1BD∴B1D1∥平面A1BD.(2)证明：∵BB1⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴BB1⊥AC.又∵BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D.而MD⊂平面BB1D，∴MD⊥AC.(3)当点M为棱BB1的中点时，平面DMC1⊥平面CC1D1D.取DC的中点N，D1C1的中点N1，连接NN1交DC1于O，连接OM，如图所示．∵N是DC的中点，BD＝BC，∴NB⊥DC.又∵DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，而平面ABCD ⊥平面DCC 1D 1， ∴BN ⊥平面DCC 1D 1. 又可证得O 是NN 1的中点，∴BM ∥ON 且BM ＝ON ，即BMON 是平行四边形． ∴BN ∥OM ，∴OM ⊥平面CC 1D 1D . ∵OM ⊂平面DMC 1， ∴平面DMC 1⊥平面CC 1D 1D .12．(能力提升)(2013年黄冈模拟)已知四棱锥P -ABCD 的三视图如图所示，E 是侧棱PC 上的动点．(1)求四棱锥P -ABCD 的体积；(2)不论点E 在何位置，是否都有BD ⊥AE ？并证明你的结论； (3)若点E 为PC 的中点，求二面角D -AE -B 的大小．解析：(1)由三视图可知，四棱锥P -ABCD 的底面是边长为1的正方形，侧棱PC ⊥底面ABCD ，且PC ＝2.∴V P -ABCD＝13S 正方形ABCD ·PC ＝13×1×2＝23，即四棱锥P-ABCD的体积为2 3.(2)不论点E在何位置，都有BD⊥AE.证明如下：连接AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC. ∵PC⊥底面ABCD，且BD⊂平面ABCD，∴BD⊥PC. 又∵AC∩PC＝C，∴BD⊥平面P AC.∵不论点E在何位置，都有AE⊂平面P AC，∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE.(3)在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连接BF. ∵AD＝AB＝1，DE＝BE＝12＋12＝2，AE＝AE＝3，∴Rt△ADE≌Rt△ABE.从而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AE.∴∠DFB为二面角D-AE-B的平面角．在Rt△ADE中，DF＝AD·DEAE＝1×23＝63，∴BF＝6 3.又BD＝2，在△DFB中，由余弦定理得cos∠DFB＝DF2＋BF2－BD22DF·BF＝－12，∴∠DFB＝2π3，即二面角D-AE-B的大小为2π3.[因材施教·学生备选练习]1．(2013年西安质检)如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A-BCD，则在三棱锥A-BCD中，下列命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC解析：在平面图形中CD⊥BD，折起后仍有CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC.所以平面ABC⊥平面ADC.D选项正确．易知选项A、B、C错误．答案：D2．正四棱锥S -ABCD的底面边长为2，高为2，E是边BC的中点，动点P 在表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为________．解析：如图，取CD的中点F、SC的中点G，连接EF，EG，FG，设EF交AC于点H，易知AC⊥EF，又GH∥SO，∴GH⊥平面ABCD，∴AC⊥GH，GH∩EF＝H，∴AC⊥平面EFG.故点P的轨迹是△EFG，其周长为2＋ 6.答案：2＋ 6。
【高二】高二数学数学归纳法综合测试题(带答案)
【高二】高二数学数学归纳法综合测试题（带答案）选修2-2 2. 3 数学归纳法一、1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n－11)时，第一步应验证不等式( )A．1＋12<2B．1＋12＋13＜2C．1＋12＋13＜3D．1＋12＋13＋14＜3[答案] B[解析] ∵n∈N*，n＞1，∴n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为122－1＝13，故选B.2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝1－an＋21－a(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为( )A．1B．1＋a＋a2C．1＋aD．1＋a＋a2＋a3[答案] B[解析] 因为当n＝1时，an＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选B.3．设f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于( )A.12n＋1B.12n＋2C.12n＋1＋12n＋2D.12n＋1－12n＋2[答案] D[解析] f(n＋1)－f(n)＝1(n＋1)＋1＋1(n＋1)＋2＋…＋12n＋12n＋1＋12(n＋1)－1n＋1＋1n＋2＋…＋12n＝12n＋1＋12(n＋1)－1n＋1＝12n＋1－12n＋2.4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得( )A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立[答案] C[解析] 原命题正确，则逆否命题正确．故应选C.5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是( )A．假设n＝k(k∈N*)，证明n＝k＋1时命题也成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1时命题也成立C．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2时命题也成立D．假设n＝2k＋1(k∈N)，证明n＝k＋1时命题也成立[答案] C[解析] ∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为( )A．f(n)＋n＋1B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1D．f(n)＋n－2[答案] C[解析] 增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选C.7．用数学归纳法证明“对一切n∈N*，都有2n>n2－2”这一命题，证明过程中应验证( )A．n＝1时命题成立B．n＝1，n＝2时命题成立C．n＝3时命题成立D．n＝1，n＝2，n＝3时命题成立[答案] D[解析] 假设n＝k时不等式成立，即2k>k2－2，当n＝k＋1时2k＋1＝2?2k>2(k2－2)由2(k2－2)≥(k－1)2－4?k2－2k－3≥0?(k＋1)(k－3)≥0?k≥3，因此需要验证n＝1,2,3时命题成立．故应选D.8．已知f(n)＝(2n＋7)?3n＋9，存在自然数m，使得对任意n∈N*，都能使m整除f(n)，则最大的m的值为( )A．30B．26C．36D．6[答案] C[解析] 因为f(1)＝36，f(2)＝108＝3×36，f(3)＝360＝10×36，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，推测最大的m值为36.9．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通过计算a2、a3、a4，猜想an＝( )A.2(n＋1)2B.2n(n＋1)C.22n－1D.22n－1[答案] B[解析] 由Sn＝n2an知Sn＋1＝(n＋1)2an＋1∴Sn＋1－Sn＝(n＋1)2an＋1－n2an∴an＋1＝(n＋1)2an＋1－n2an∴an＋1＝nn＋2an (n≥2)．当n＝2时，S2＝4a2，又S2＝a1＋a2，∴a2＝a13＝13a3＝24a2＝16，a4＝35a3＝110.由a1＝1，a2＝13，a3＝16，a4＝110猜想an＝2n(n＋1)，故选B.10．对于不等式n2＋n≤n＋1(n∈N＋)，某学生的证明过程如下：(1)当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋)时，不等式成立，即k2＋k∴当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法( )A．过程全都正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确[答案] D[解析] n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故应选D.二、题11．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为________．[答案] 当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立[解析] 当n＝1时，左≥右，不等式成立，∵n∈N*，∴第一步的验证为n＝1的情形．12．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1n(n＋1)，通过计算得S1＝12，S2＝23，S3＝34，由此可猜测Sn＝________.[答案] nn＋1[解析] 解法1：通过计算易得答案．解法2：Sn＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n(n＋1)＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.13．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.[答案] 5[解析] 当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5，当a＝3时且n＝3时，310＋35不能被14整除，故a＝5.14．用数学归纳法证明命题：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2.(1)当n0＝________时，左边＝____________，右边＝______________________；当n＝k时，等式左边共有________________项，第(k－1)项是__________________．(2)假设n＝k时命题成立，即_____________________________________成立．(3)当n＝k＋1时，命题的形式是______________________________________；此时，左边增加的项为______________________．[答案] (1)1；1×(3×1＋1)；1×(1＋1)2；k；(k－1)[3(k－1)＋1](2)1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2(3)1×4＋2×7＋…＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2；(k＋1)[3(k＋1)＋1][解析] 由数学归纳法的法则易知．三、解答题15．求证：12－22＋32－42＋…＋(2n－1)2－(2n)2＝－n(2n＋1)(n∈N*)．[证明] ①n＝1时，左边＝12－22＝－3，右边＝－3，等式成立．②假设n＝k时，等式成立，即12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＝－k(2k＋1)2.当n＝k＋1时，12－22＋32－42＋…＋(2k－1)2－(2k)2＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)＋(2k＋1)2－(2k＋2)2＝－k(2k＋1)－(4k＋3)＝－(2k2＋5k＋3)＝－(k＋1)[2(k＋1)＋1]，所以n＝k＋1时，等式也成立．由①②得，等式对任何n∈N*都成立．16．求证：12＋13＋14＋…＋12n－1>n－22(n≥2)．[证明] ①当n＝2时，左＝12>0＝右，∴不等式成立．②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立．即12＋13＋…＋12k－1>k－22成立．那么n＝k＋1时，12＋13＋…＋12k－1＋12k－1＋1＋…＋12k－1＋2k－1>k－22＋12k－1＋1＋...＋12k>k－22＋12k＋12k＋ (12)＝k－22＋2k－12k＝(k＋1)－22，∴当n＝k＋1时，不等式成立．据①②可知，不等式对一切n∈N*且n≥2时成立．17．在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．求证：这n条直线将它们所在的平面分成n2＋n＋22个区域．[证明] (1)n＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥2)时，k条直线将平面分成k2＋k＋22块不同的区域，命题成立．当n＝k＋1时，设其中的一条直线为l，其余k条直线将平面分成k2＋k＋22块区域，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k＋1块．从而k＋1条直线将平面分成k2＋k＋22＋k＋1＝(k＋1)2＋(k＋1)＋22块区域．所以n＝k＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，原命题成立．18．(2021?衡水高二检测)试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．[分析] 由题目可获取以下主要信息：①此题选用特殊值来找到2n＋2与n2的大小关系；②利用数学归纳法证明猜想的结论．解答本题的关键是先利用特殊值猜想．[解析] 当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，由此可以猜想，2n＋2>n2(n∈N*)成立下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2.那么n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2?2k＋2＝2(2k＋2)－2>2?k2－2.又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．感谢您的阅读，祝您生活愉快。
【高二】高二数学数列综合测试题
【高二】高二数学数列综合测试题
课题：数列的有关概念
主要知识：
1．数列的有关概念；
2．数列的表示方法：（1）列举法；（2）图象法；（3）解析法；（4）递推法． 3．与的关系：．
主要方法：
1．给出数列的前几项,求通项时,要对项的特征进行认真的分析、化归；
2．数列前项的和和通项是数列中两个重要的量，在运用它们的关系式时，一定要注意条件，求通项时一定要验证是否适合．
同步练习
1．写出下面各数列的一个通项：
；。
数列的前项的和；。
2．已知，则．
3．在数列中，且，则．
4．已知数列{ }的前项和，第项满足，则（）
A． B． C. D．
5．已知数列{ }的前项和，则其通项；若它的第项满足，则．
6．若数列的前项和，则此数列的通项公式为；数列中数值最小的项是第项． 7．若数列的前项和，则此数列的通项公式为．
8．在数列｛an｝中，若a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项an=_____.
9．若数列的前n项的和，那么这个数列的通项公
A． B、 C、 D． 10．根据下面各个数列的首项和递推关系，写出其通项公式：
（1）；。
（2）；。
（3）．。
11．设函数，数列满足
（1）求数列的通项公式；
（2）判定数列的单调性．
12．已知数列中的相邻两项是关于的方程的两个根，且．求，，，；
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高二数学综合测试卷
高二数学综合测试卷一、选择题1.在ABC △中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若 222tan a c b B ,则角B 的值为( ) A. π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π32、曲线 y = x +x 在点 1,处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A.B.C.D.3.已知函数()2ln 8f x x x ,则0(12)(1)lim x f x f x的值为( )A.-20B.-10C.10D.204.若函数()f x 在点0x x 处的瞬时变化率是3,则0x 的值是( ) A.34B.12C.1D.35.已知物体做自由落体运动的位移方程为21()2s t gt ,其中29.8m /s g ,位移s 的单位:m,时间t 的单位:s,若(1)(1)s t s v t,当t 趋于0时,v 趋近于9.8m /s ,则9.8m /s 是( )A.物体从0s 到1s 这段时间的平均速度B.物体从1s 到(1)s t 这段时间的平均速度C.物体在1s t 这一时刻的瞬时速度D.物体在s t t 这一时刻的瞬时速度 6.已知 22'1f x x xf ,则 0f 等于( )A. 0B. 4C. 2D. 27.等比数列 n a 中, 182,4a a ,函数 128f x x x a x a x a ,则 '0f ( ) A. 62B. 92C. 122D. 1528.直线1y kx 与曲线3y x ax b 相切于点 1,3A ,则2a b 的值等于( ) A.2 B.-1 C.-2 D.1 二、多项选择题9.已知向量(1,2),(,1)(0)a b m m ,且向量b满足()3b a b ,则( )A.bB.(2)//(2)a b a bC.向量2a b 与2a b 的夹角为π4D.向量a 在b 方向上的投影为510.已知数列 n a 的前n 项和为 0n n S S ，且满足11140(2),4n n n a S S n a ，则下列说法正确的是（ ）A.数列 n a 的前n 项和为1S 4n nB. 数列 n a 的通项公式为14(1)n a n nC.数列 n a 为递增数列D. 数列1{}nS 为递增数列 11.设'()f x 是函数()f x 的导数,若'()0f x ,且1212,R()x x x x ,1212()()2(2x x f x f x f 则下列各项正确的是( ) A.(2)(e)(π)f f f B.'(π)'(e)'(2)f f f C.'(2)(3)(2)'(3)f f f fD.'(3)(3)(2)'(2)f f f f12.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b右顶点为A ,以A 为圆心,b 为半径作圆A ,圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于,M N 两点,则有( ) A.渐近线方程为y B.渐近线方程为3y x C.60MAND.120MAN三、填空题13.若等比数列 n a 的各项均为正数,且510119122a a a a e ,则1220ln ln ln a a a __________.14.已知0,0a b ,方程为22420x y x y 的曲线关于直线10ax by 对称,则32a b ab的最小值为__________.15.计算22231lim 41n n n n n ． 16.在平面直角坐标系xOy 中,若曲线2by ax x(,a b 为常数)过点(2,5)P ,且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y 平行,则a b 的值是__________. 17.如图所示，O 是平面内一定点，,,A B C 是平面内不共线的三点，动点P 满足AB AC OP OA AB AC，,[)0 ＋，则点P 的轨迹一定通过ABC 的________心．四、解答题18.在ABC 中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c,且满足c BA BC cCB CA .（1）求角B 的大小;（2）若BA BCABC 面积的最大值.19.已知在数列 n a 中, *,,.n n a n a na n N 11311 （1）证明数列 n a 是等差数列,并求 n a 的通项公式; （2）设数列1{}(1)n n a a 的前n 项和为n T ,证明: 13n T .20.若不等式2(1)460a x x 的解集是 |31.x x (1)解不等式22(2)0.x a x a(2)当b 为何值时, 230ax bx 的解集为R?21.如图,在四棱锥P ABCD 中, PA 底面ABCD ,AD AB ,//AB DC ,2AD DC AP ,1AB ,点E 为棱PC 的中点. （1）证明: BE DC ;（2）求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值;（3）若F 为棱PC 上一点,满足BF AC ,求二面角F AB P 的余弦值.22.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b 的离心率为12,点2M在椭圆C 上 （1）求椭圆C 的方程.（2）若不过原点O 的直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,与直线OM 相较于点N ,且N 是线段AB 的中点,求OAB 面积的最大值.。
高二数学选择性必修一第二章综合练习
高二数学选择性必修一第二章综合练习一、单项选择题：1.若过两点()3,A a ，()4,2B -的直线的斜率为1-，则a 等于（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．22.若两条平行直线1l ：340x y m -+=与2l ：3410x y -+=之间的距离是2，则m 的值为（ ）A ．9-或11B ．8-或10C ．7-或12D ．8-或113.已知两圆相交于两点(),2A a -，(),4B b ，且两圆圆心都在直线30x y +-=上，则ab 的值为（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．14.若θ∈R ，则直线cos 1y x θ=-的倾斜角的取值范围为（ ）A ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．30,,224πππ⎡⎫⎛⎤⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦C ．30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D ．30,,424πππ⎡⎤⎛⎤ ⎢⎥⎥⎣⎦⎝⎦5.已知圆1C ：()()22131x y -+-=和圆2C ：()()22249x y ++-=交于A ，B 两点，则线段AB 所在直线的方程为（ ）A ．330x y +-=B ．310x y -+=C ．340x y +-=D ．320x y --= 6.已知点P 是圆C ：2220x y x +-=上的一个动点，点P 到直线l ：()00x y b b -+=>的距离的最小值为1，圆M ：2220x y mx +-=与圆C 外切，且与直线l 相切，则m 的值为（ ）A ．2- B ．5- C ．4 D ．-二、多项选择题。
7.关于直线l ：20x +=，下列说法正确的有（ ） AB ．倾斜角为150︒C ．在x 轴上的截距为2-D ．直线l 不经过第一象限8.点P 在圆1C ：()()22111x y +++=上，点Q 在圆2C ：22440x y x y m +---=上，则（ ）A ．实数m 的取值范围为()8,-+∞B ．当4m =-时，||PQ 的最小值为3，最大值为3C ．当圆1C 和圆2C 外切时，8m =D ．当圆1C 的圆心在圆2C 上时，圆1C 和圆2C 三、填空题：本题共2小题。
高二数学综合练习(九)
高二数学综合练习（九）一．填空题： 班级 姓名1．则样本在区间(,50)-∞上的频率为__2．若椭圆22211x y m +=+的离心率为2，则它的长半轴长为_____ __. 3．设(,)P m n 是椭圆12222=+by ax 上的动点，则动点(,2)Q m n 的轨迹方程是 .4．已知函数()xx f 14sin+=π，则()=-'1f 。
5．P 是抛物线24y x =上的动点，P 在y 轴上的射影是M ，定点A （6,12），则PA PM +的最小值为 .6． 在地上画一个正方形线框，其边长等于一枚硬币直径的2倍，向方框中投这枚硬币，若硬币完全落在正方形外的情形不计，则硬币完全落入正方形内的概率为 _____ .7．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，(,0)A a 为长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心O ，且0,||2||AC BC OC OB BC BA ⋅=-=-，则椭圆的离心率为 .8、以下四个命题： ①到两个定点距离之和为正常数的动点P 在椭圆上；② 当h 无限趋近于0；③ ¬q 是¬p 的必要不充分条件，则p 是q 的充分不必要条件；④ 已知a b c ，，均为实数，240b ac -<是20ax bx c ++>的必要不充分条件． 其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）．二．选择题：12．下面是求1+2+3+…≤2008最大的n 的算法语句,0,0←←n sWhile S ≤2008n n ←+1 s s ←+nEnd WhilePrint _________在下面的选项中选一个填入横线上 （ ） A.n B.n-1 C.n-2 D.n+110．分别以A （1，0）和直线5:=x m 为焦点和相应准线且过点)0)(,3(≠a a P 的圆锥曲线必定是 A ．抛物线 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．不能确定 （ ） 11．已知 {}()(){}032:;4:>--<-=x x x q a x x A p ，且非p 是非q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为 （ ） A ．16a -<< B ．61≤≤-a C ．61>-<a a 或 D ．61≥-≤a a 或12．椭圆134:221=+y x C 的左准线为l ，左、右两焦点分别为F 1、F 2，抛物线C 2的准线为l ，焦点F 2，C 1与C 2交点为P ，则2PF 等于 （ ）A ．43 B ．38 C ．4 D ．813．点P 是双曲线2214x y -= 的右支上一点，M 、N 分别是22(1x y ++=和22(1x y += 上的点，则PM PN -的最大值是 （ ）A ．2B ．4C ．6D ．814．设命题p ：{}R a y y x ∈=∈, 命题q ：关于x 的方程20x x a +-=一根大于1，另一根小于1. 如果命题p 且q 为假命题，p 或q 为真命题，求实数a 的取值范围.15.某工厂生厂10件产品，有8件正品，2件次品，正品与次品在外观上没有区别，从这10件产品中任意抽检2件，计算 （1）2件都是正品的概率；（2）一件正品和一件次品的概率；（3）如果至少有一件是正品，则这批产品就不会被退货，求不会被退货的概率。
高二数学文科综合练习一
高二模块测试数学试题（文科）一、选择题：（本题共10个小题，每小题5分，共50分）1．设zz i i z 2),(12+-=则为虚数单位= （A ）i --1 （B ）i +-1 （C ）i -1 （D ）i +1 2．数列2,5,11,20,,47,x …中的x 等于（A ）28 （B ）32 （C ）33 （D ）273. 若复数12z i=+，则z 在复平面内对应的点位于 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4. 若()sin cos f x x α=-，则'()f α等于 （A ）sin α（B ）cos α （C ） sin cos αα+ （D ）2sin α5．对相关系数r ，下列说法正确的是 ( )A ．||r 越大，线性相关程度越大B ．||r 越小，线性相关程度越大C ．||r 越大，线性相关程度越小，||r 越接近0，线性相关程度越大D ．||1r ≤且||r 越接近1，线性相关程度越大，||r 越接近0，线性相关程度越小6. ()f x 与()g x 是定义在R 上的两个可导函数，若()f x ,()g x 满足''()()f x g x =， 则()f x 与()g x 满足(A) ()f x =()g x (B ) ()f x -()g x 为常数函数 (C) ()f x =()0g x =( D) ()f x +()g x 为常数函数7. 曲线x x y 43-=在点(1,3)- 处的切线倾斜角为（A ）4π （B ）3π （C ）43π （D ）2π8. 若幂函数)(x f 的图象经过点)21,41(A ，则它在A 点处的切线方程为（A ） 0144=++y x （B ）0144=+-y x（C ）02=-y x （D ）02=+y x9. 若函数2()f x x bx c =++的图象的顶点在第四象限，则函数'()f x 的图象可能是10. 设)(x f 是定义在R 上的奇函数，2)2(=f ,当0>x 时，有)()(x f x x f >恒成立，则不等式x x f >)(的解集是 （A ） （2-，0）∪（2，∞+） （B ） （2-，0）∪（0，2）（C ） （∞-，2-）∪（2，∞+） （D ） （∞-，2-）∪（0，2）二、填空题：（本题共4个小题，每小题4分，共16分）11. 若(2)a i i b i -=-，其中a 、b R ∈，i 是虚数单位，则22a b +=_________。
高二数学理综合练习(二)
高二数学（理）综合训练（二）一．填空题（每小题5分）1、计算：2(12)1i i+=-______2、已知如下结论：“等边三角形内任意一点到各边的距离之和等于此三角形的高”，将此结论拓展到空间中的正四面体（棱长都相等的三棱锥），可得出的正确结论是：3、若1()n x x+展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为4、★若随机变量X 的分布表如图， 若E （X ）=2.5，则a=_______ b= ．5、从1，2，……，9这九个数中，随机抽取3个不同的数，则这3个数的和为偶数的概率是6、设2921101211121222()()()()()x x a a x a x a x ++=+++++++ ，则01211++++ a a a a 的值为7、已知实数x,y 满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+≥+-3005x y x y x ，i yi x z (+=为虚数单位），则|21|i z +-的最大值和最小值分别是 ．8、电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59，每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为9、四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案的总数是_________10、若()f n 为21n +*()n N ∈的各位数字之和，如2141197+=，19717++=，则(14)17f =；记1()()f n f n =，21()(())f n f f n =，…，1()(())k k f n f f n +=，*k N ∈，则2008(8)f = ；二．解答题（每题15分）15、已知n k x x x f )()(1+=，且正整数n 满足53n n C C =，},2,1,0{n A = （1）求n ；（2）若A j i ∈、，是否存在j ，当j i ≥时，j n i n C C ≤恒成立。
若存在，求出最小的j ；若不存在，试说明理由。
2023年最新人教版高二数学综合练习
2023年最新人教版高二数学综合练习2023年最新人教版高二数学综合练习一、集合与逻辑1.理解集合、元素及其关系，掌握集合的表示方法。
2.理解子集、真子集、集合运算的含义，并能运用其解决实际问题。
3.掌握逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，能够正确运用逻辑联结词表述简单命题。
4.掌握四种命题（正、逆、否、逆否）及其关系，并能运用其进行简单推理。
二、不等式与函数1.掌握不等式的性质及其简单变形，能够解一元一次不等式、一元二次不等式。
2.理解函数的概念及构成要素，能够判断函数的单调性、奇偶性，并会求函数的定义域和值域。
3.掌握二次函数的性质，能够进行简单的函数图像描绘。
4.了解函数的实际应用，如最优化问题、增长率问题等。
三、三角函数与解三角形1.理解正弦、余弦、正切函数的概念及性质，能够进行简单的三角函数计算和图像描绘。
2.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式以及辅助角公式，能够进行简单的三角函数求值和化简。
3.理解正弦定理和余弦定理的含义，能够运用其解决简单的三角形问题。
4.了解三角函数在生活中的应用，如测量、工程等领域。
四、数列与数学归纳法1.理解数列的概念及分类，掌握等差数列和等比数列的通项公式及求和公式。
2.理解数列的递推关系，能够运用其解决简单的数列问题。
3.掌握数学归纳法的概念及步骤，能够运用其证明简单的数学问题。
4.了解数列在实际生活中的应用，如存款、利息等领域。
五、平面向量与复数1.理解平面向量的概念及表示方法，掌握向量的加法、减法、数乘和数量积的运算。
2.理解复数的概念及表示方法，掌握复数的加减乘除运算。
3.了解平面向量和复数在生活中的应用，如物理、工程等领域。
六、立体几何与空间向量1.理解空间几何体的概念及性质，能够正确认识空间几何体的形状和大小。
2.掌握空间向量的概念及表示方法，能够进行空间向量的加法、减法、数乘和数量积的运算。
3.理解空间向量的应用，如力的合成与分解、速度和加速度等。
高二数学期末综合训练(含答案)
高二期末数学综合训练一．单选题1.设x＝﹣是函数f（x）＝ln（x+2）﹣ax2﹣3a2x的极小值点，则f（x）的极大值为（）A．2B．1C．D．2.2019年10月17日是我国第6个“扶贫日”，某医院开展扶贫日“送医下乡”医疗义诊活动，现有五名医生被分配到四所不同的乡镇医院中，医生甲被指定分配到医院A，医生乙只能分配到医院A或医院B，医生丙不能分配到医生甲、乙所在的医院，其他两名医生分配到哪所医院都可以，若每所医院至少分配一名医生，则不同的分配方案共有（）A．18种B．20种C．22种D．24种3.《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱4.已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2，3，4，5}，从集合A中任取3个不同的元素，其中最小的元素用a表示，从集合B中任取3个不同的元素，其中最大的元素用b表示，记X＝b﹣a，则随机变量X的期望为（）A．B．C．3D．45.在二项式（x﹣2y）6的展开式中，设二项式系数和为A，各项系数和为B，x的奇次幂项的系数和为C，则＝（）A．﹣B．C．﹣D．6.已知数列{a n}：，，，，，，，，，，，，，…（其中第一项是，接下来的22﹣1项是，，再接下来的23﹣1项是，，，，，，，依此类推．）的前n项和为S n，下列判断：①是{a n}的第2036项；②存在常数M，使得S n＜M恒成立；③S2036＝1018；④满足不等式S n ＞1019的正整数n 的最小值是2100．其中正确的序号是（ ） A ．①②③B ．①②④C ．①③④D ．②③④7.在平面直角坐标系xOy 中，设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，若双曲线的右支上存在一点P ，使得△OPF 是以P 为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线C 的离心率为（ ）A.2B.2C.3D.5 8. 已知实数1x ，2x 满足131x x e e =，()522ln 2x x e -=，则12x x =（ ）二．多选题9.设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，并满足条件a 1＞1，且a 2020a 2021＞1，（a 2020﹣1）（a 2021﹣1）＜0，下列结论正确的是（ ） A ．S 2020＜S 2021 B ．a 2020a 2022﹣1＜0 C ．数列{T n }无最大值D ．T 2020是数列{T n }中的最大值10.已知函数f （x ）的定义域为（0，+∞），导函数为f ′（x ），xf ′（x ）﹣f （x ）＝xlnx ，且，则（ ）A ．f ′（）＝0B ．f （x ）在处取得极大值C ．0＜f （1）＜1D ．f （x ）在（0，+∞）单调递增11．已知椭圆(222:105x y C b b+=<<的左、右焦点分别为1F 、2F ，点P 在椭圆上，点Q 是圆()2241x y +-=关于直线0x y -=对称的曲线E 上任意一点，若2PQ PF -的最小值为5- ）．A ．椭圆C 的焦距为2B ．曲线E 过点2F 的切线斜率为±C ．若A 、B 为椭圆C 上关于原点对称的异于顶点和点P 的两点，则直线PA 与PB 斜率之积为15- D ．2PQ PF +的最小值为212．已知某校有1200名同学参加某次模拟考试，其中数学考试成绩X 近似服从正态分布(100225)N ，，则下列说法正确的有（ ）（参考数据：①()0.6827P X μσμσ-<≤+=；②(22)0.9545P X μσμσ-<≤+=； ③3309().973P X μσμσ-<≤+=）A ．这次考试成绩超过100分的约有500人B ．这次考试分数低于70分的约有27人C ．(115130)0.0514P X <=≤D ．从中任取3名同学，至少有2人的分数超过100分的概率为12三．填空题 13. 定义max {a ，b }＝且f （x ）＝﹣2e ，g （x ）＝，令h （x ）＝max {f （x ），g （x ）}，则h （x ）的极大值为 ，单调递增区间为 ．14.已知一袋中有标有号码1、2、3、4的卡片各一张，每次从中取出一张，记下号码后放回，当四种号码的卡片全部取出时即停止，则恰好取6次卡片时停止的概率为 ．15.已知函数()f x 定义在R 上的函数，若2()()0xf x e f x --=，当0x ≤时，()()0f x f x '+<，则不等式21()(1)x f x e f x -≥-的解集为__________16．设12,F F 分别为椭圆2212211:1x y C a b +=（110a b >>）与双曲线2222222:1x y C a b -=（220a b >>）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M ，01290F MF ∠=，若椭圆的离心率13,43e ⎡∈⎢⎣⎦，则双曲线2C 的离心率2e 的取值范围为__________．四．解答题17．小李在县城租房开了一间服装店，每年只卖甲品牌和乙品牌中的一种．若当年卖甲品牌，则下一年卖甲品牌的概率为23，卖乙品牌的概率为13；若当年卖乙品牌，则下一年卖甲品牌的概率为14，卖乙品牌的概率为34．已知第一年该店卖甲品牌，且第x 年卖甲品牌有6.50.5x +万元利润，卖乙品牌有9.50.5x +万元利润．（1）求前3年的利润之和超过25万元的概率； （2）求该服装店第四年的利润的数学期望．18.在平面直角坐标系中，圆O 交x 轴于点F 1，F 2，交y 轴于点B 1，B 2.以B 1，B 2为顶点，F 1，F 2分别为左、右焦点的椭圆E 恰好经过点⎝⎛⎭⎫1，22. (1)求椭圆E 的方程；(2)设经过点(－2,0)的直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，求△F 2MN 面积的最大值．19.设f (x )＝x ln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R .(1)令g (x )＝f ′(x )，求g (x )的单调区间；(2)已知f (x )在x ＝1处取得极大值，求实数a 的取值范围．高二期末综合训练答案一、单选题1【解答】解：函数f（x）＝ln（x+2）﹣ax2﹣3a2x，定义域是：{x|x＞﹣2}f′（x）＝﹣2ax﹣3a2因为x＝﹣是函数f（x）＝ln（x+2）﹣ax2﹣3a2x的极小值点，则：f′（﹣）＝0，解得：9a2﹣3a﹣2＝0，即：a＝﹣，或a＝，讨论a；①当a＝﹣时，函数f′（x）＝+x﹣＝，在（﹣2，﹣1），f′（x）＞0在（﹣1，﹣）f′（x）＜0在（﹣，+∞）f′（x）＞0∴函数f（x）在x＝﹣取得极小值点，在x＝﹣1取得极大值点，∵函数定义域是：{x|x＞﹣2}∴f（x）的极大值为f（﹣1）＝②当a＝时，函数f′（x）＝﹣x﹣＝﹣，在（﹣2，﹣），f′（x）＞0在（﹣，+∞），f′（x）＜0∴x＝﹣不是函数f（x）＝ln（x+2）﹣ax2﹣3a2x的极小值点，与题设矛盾，a＝舍去．综合可得：x＝﹣是函数f（x）＝ln（x+2）﹣ax2﹣3a2x的极小值点时，f（x）的极大值为：．故选：D．2.【解答】解：根据题意，分4种情况讨论：①甲乙都分到A医院，剩下3人全排列，分配到其三个医院，有A33＝6种分派方案；②甲分配到医院A，乙分配到医院B，剩下3人分成2组，安排到C、D医院，有C32A22＝6种分派方案；③甲和一名医生一起分到A医院，乙在B医院，剩下2人全排列，安排到C、D医院，有C21A22＝4种分派方案；④甲单独分到A医院，乙和一名医生一起分到B医院，剩下2人全排列，安排到C、D医院，有C21A22＝4种分派方案；则一共有6+6+4+4＝20种分配方案；故选：B．3.【解答】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，即a＝﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝5，∴a＝1，则a﹣2d＝a﹣2×＝．故选：B．4.【解答】解：根据题意，从集合A中任取3个不同的元素，则集合A有4种可能，分别为：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，其中最小的元素a取值分别为：1，2．从集合B中任取3个不同的元素，则集合B有10种可能，分别为：{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，3，4}，{1，3，5}，{1，4，5}，{2，3，4}，{2，3，5}，{2，4，5}，{3，4，5}，其中最大的元素b取值分别为：3，4，5．∵X＝b﹣a，则X的取值为：1，2，3，4．P（X＝1）＝＝；P（X＝2）＝＝＝；P（X＝3）＝＝＝；P（X＝4）＝＝＝．随机变量X的分布列如下：X1234PE（X）＝1×+2×+3×+4×＝．故选：A．5.【解答】解：在二项式（x﹣2y）6的展开式中，二项式系数和A＝26＝64，令x＝y＝1，得各项系数和B＝（﹣1）6＝1，令f（x）＝（x﹣2）6，得x的奇次幂项的系数和C＝＝＝﹣364，所以＝﹣＝﹣．故选：A ．6.【答案】C 【解答】解：①是{a n }的第k 项，则k ＝21﹣1+22﹣1+……+210﹣1＝﹣10＝2036；②由题意可得：分母为2k 时，＝＝（k ∈N *），可得：S n 单调递增，且n →+∞时，S n →+∞，因此不存在常数M ，使得S n ＜M 恒成立，因此不正确； ③由②可得：S 2036＝++……+＝++……+＝＝1018，因此正确．④S 2036＝1018，设S 2036+＝1018+＞1019，则k （k +1）＞212，解得k ＞64．∴满足不等式S n ＞1019的正整数n 的最小值＝2036+64＝2100，因此正确． 其中正确的序号是①③④． 故选：C ．7.或2) 【分析】先根据OPF △的形状先确定出P 点坐标，然后将P 点坐标代入双曲线方程，根据,a c 的齐次式求解出离心率的值. 【详解】因为OPF △是以P 为直角顶点的等腰直角三角形， 不妨假设P 在第一象限，所以122P P F c x y x ===，所以,22c c P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以2222144c c a b-=，所以2222224c b c a a b -=，所以()()222222224cca c a a c a --=-，所以4224640c a c a -+=，所以42640e e -+=，所以23e ==又因为1e >，所以2e ===，2）.8.解法一：实数1x ，2x 满足131xx e e =，()522ln 2x x e -=，2120,x x e >>，222ln 20,t x t x e +-=>=，则3t te e =，()(0),()(1)0(0)x x f x xe x f x x e x '=>=+>>，所以()f x 在(0,)+∞单调递增，而31()()f x f t e ==，5121222ln 2,(ln 2)x t x x x x x e ∴==-∴=-=.解析二：对131x x e e =两边取自然对数得：11ln 3x x +=，对()522ln 2x x e -=两边取自然对数得：()22ln ln ln 25x x +-= （※）为使两式结构相同，将（※）进一步变形为：()()22ln 2ln ln 23x x -+-= 设()ln f x x x =+，则1()10f x x'=+> 所以()f x 在(0,)+∞单调递增，()3f x =的解只有一个.∴12ln 2x x =-， ∴()51222ln 2x x x x e =-=二、多选题9.【解答】解：根据题意，根据题意，等比数列{a n }的公比为q ，若a 2020a 2021＞1，则（a 1q 2019）（a 1q 2020）＝（a 1）2（q 4039）＞1，又由a 1＞1，必有q ＞0，则数列{a n }各项均为正值，若（a 2020﹣1）（a 2021﹣1）＜0，必有a 2020＞1，0＜a 2021＜1，则必有0＜q ＜1， 依次分析选项：对于A ，数列{a n }各项均为正值，则S 2021﹣S 2020＝a 2021＞0，必有S 2020＜S 2021，A 正确；对于B ，若0＜a 2021＜1，则a 2020a 2022﹣1＝（a 2021）2﹣1＜0，B 正确，对于C ，根据a 1＞a 2＞…＞a 2020＞1＞a 2021＞…＞0，可知T 2020是数列{T n }中的最大项，C 错误；对于D ，易得D 正确， 故选：ABD ．10.【解答】解：令g （x ）＝，则g ′（x ）＝＝，∴g （x ）＝，即，则f （x ）＝． 又f （）＝，∴c ＝． 则f （x ）＝． f ′（x ）＝＝≥0， 则f ′（）＝0，故A 正确；f （x ）在（0，+∞）单调递增，故B 错误，D 正确； f （1）＝∈（0，1），故C 正确． 故选：ACD ．11．【答案】BC圆()2241x y +-=关于直线0x y -=对称的曲线为以(4,0)C 为圆心，1为半径的圆，即曲线E 的方程为()2241x y -+=，由椭圆定义有122PF PF a +==2111)'PQ PF PQ PF PQ PF Q F -=-=+--由图知'(3,0)Q ，1'352Q F c c -=+-=-⇒=，1b =，椭圆方程为2215x y +=故焦距2124F F c ==，A 错误；22'31PQ PF Q F c +≥=-=，D 错误；设曲线E 过点2F 的切线斜率为k ，则切线方程为20kx k y --=，1k =⇒=，B 正确； 设00(,)P x y ，11(,)A x y ，11(,)B x y -- 则2210101022101010PA PBy y y y y y k k x x x x x x ----⋅=⋅=----， 又,,P A B 都在椭圆上，即222222010101221011555x y y x y y x x -+=+=⇒=--，C 正确； 故选：BC. 12．【详解】由题意可知，对于选项A ，100μ=，15σ=，则()11002P X >=，则成绩超过100分的约有112006002⨯=人，所以选项A 错误； 对于选项B ，()()()7070100100P X P X P X >=<<+>=()111002151002150.50.95450.50.9772522P X -⨯<<+⨯+=⨯+=，所以()701P X <=-()7010.977250.02275P X >=-=，所以分数低于70分的人数约为0.02275×1200＝27.3，即约为27人，所以选项B 正确； 对于选项C ，()()()111510010015100150.52P X P X P X <=<+-<<+=+10.68270.841352⨯=，()()()11301001002151002150.52P X P X P X <=<+-⨯<<+⨯=+10.95450.97272⨯=，所以()()()1151301301150.97270.84135P X P X P X <≤=≤-<=-=0.13135，所以选项C错误；对于选项D，因为()11002P X>=，且至少有2人的分数超过100分的情况如下：①恰好2人时概率为223113228C⎛⎫⋅=⎪⎝⎭；②3人均超过100分时的概率为31128⎛⎫=⎪⎝⎭，则至少有2人的分数超过100分的概率为311882+=，所以选项D正确；故选：BD．三、填空题13.【解答】解：因为g（x）＝（x＞0），所以g′（x）＝，令g′（x）＝0，则x＝e，当0＜x＜e时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）极大值＝g（e）＝，由f（x）＝g（x），即x﹣2e＝，得x＝，作出h（x）＝max{f（x），g（x）}的大致图象如下：则h（x）极大值＝g（e）＝，且在（0，），（e，+∞）上单调递减，在[，e]上单调递增，则h（x）的单调递增区间为[，e]．故答案为：，[，e]．14.【解答】解：由分步计数原理知，每次从中取出一张，记下号码后放回，进行6次一共有45种不同的取法．恰好取6次卡片时停止，说明前5次出现了3种号码且第6次出现第4种号码，三种号码出现的次数分别为3，1，1或者2，2，1．三种号码分别出现3，1，1且6次时停止的取法由， 三种号码分别出现2，2，1且6次时停止的取法由， 由分步加法计数原理知恰好取6次卡片时停止，共有240+360＝600种取法， 所以恰好取6次卡片时停止的概率为P ＝，故答案为． 15.【答案】12x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭【解析】令()()x g x f x e =，则()()xg x f x e --=-， 因为2()()0x f x e f x --=，所以()()x x f x e f x e -=-，即()()g x g x =-， 所以函数()g x 为偶函数；又()[]()()()()x x xg x f x e f x e f x f x e '''=+=+， 当0x ≤时，()()0f x f x '+<，所以()[]()()0xg x f x f x e ''=+<，即函数()g x 在(),0-∞上单调递减； 则()g x ()0,∞+上单调递增；又不等式21()(1)x f x e f x -≥-可化为1()(1)x x f x e f x e -≥-，即()()1g x g x ≥-， 所以只需1x x ≥-，则()221x x ≥-，解得12x ≥. 故答案为：12x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭. 16．解法一：由椭圆及双曲线定义得1211221122122,2,MF MF a MF MF a MF a a MF a a +=-=⇒=+=-因为01290F MF ∠=，所以222222121212221211()()422a a a a c a a c e e ++-=⇒+=⇒+=因为13,43e ⎡∈⎢⎣⎦，所以2222111272[,][9872e e e =-∈⇒∈ 因为22a b >，所以21e <<，因此2[7e ∈ 解法二：直接用结论212122221cos 221cos 1221e e e e ππ+=⇒+-=+，因为13,43e ⎡∈⎢⎣⎦，所以2222111272[,][9872e e e =-∈⇒∈因为22a b >，所以21e <<，因此2[7e ∈四、解答题17．【详解】（1）由题意，该服装店前3年卖的品牌有4种情况：“甲、甲、甲”的概率为224339⨯=，利润为77.5822.5++=万元；“甲、甲、乙”的概率为212339⨯=，利润为77.51125.5++=万元；“甲、乙、甲”的概率为1113412⨯=，利润为710.5825.5++=万元；“甲、乙、乙”的概率为131344⨯=，利润为710.51128.5++=万元所以前3年的利润之和超过25万元的概率为211591249++=．（2）由（1）知该服装店第三年卖甲品牌的概率为411991236+=， 卖乙品牌的概率为21179436+=， 所以第四年卖甲品牌的概率为192171203363364432⨯+⨯=， 从而第四年卖乙品牌的概率为2032291432432-=，又第四年卖甲品牌的利润为8.5万元，卖乙品牌的利润为11.5万元， 因此第四年的利润的数学期望为20322914538.511.5432432144⨯+⨯=． 18.解：(1)由已知可得，椭圆E 的焦点在x 轴上．设椭圆E 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 焦距为2c ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2b 2，∴椭圆E 的方程为x 22b 2＋y 2b 2＝1. 又椭圆E 过点⎝⎛⎭⎫1，22，∴12b 2＋12b 2＝1，解得b 2＝1. ∴椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)∵点(－2,0)在椭圆E 外，∴直线l 的斜率存在。
高二数学函数综合练习题
高二数学函数综合练习题1. 函数f(x)满足条件f(1)=3 且f'(x)=(x-1)e^x。
求f(2)的值。
解析：根据题意，f(1)=3，代入函数的导数f'(x)=(x-1)e^x中，可得：f'(1)=(1-1)e^1=0函数的导数f'(x)=(x-1)e^x为连续函数，且f'(1)=0，因此函数在x=1处有一个驻点。
由于f(1)=3，因此此驻点为极小值点。
根据导函数和原函数的关系，可得f(x)=(x-1)e^x在x=1处有一个极小值点，即f(x)在x=1处取得最小值。
但是本题并不需要求解此最小值。
要求f(2)的值，根据题意可知函数f(x)=(x-1)e^x的导函数是f'(x)=(x-1)e^x。
因此可以利用积分的反函数求解。
将f'(x)关于x的不定积分记为F(x)，即F'(x)=(x-1)e^x，求解得到F(x)=xe^x+C。
根据初值条件f(1)=3，代入F(x)=xe^x+C，得到C=-2。
因此，F(x)=xe^x-2。
要求f(2)的值，即求解F(x)在[1,2]区间上的定积分。
计算如下：∫(1,2)F(x)dx=[F(x)](1,2)=(2e^2-2e)-(e^2-2)=(e^2-2e+2)-(e^2-2)=2-2e因此，f(2)=2-2e。
经过计算，得到f(2)的值为2-2e。
所以，f(2)的值为2-2e。
2. 学校从今年开始每年的招生人数都将比上一年增加20%。
假设今年招生人数为a人，请写出后三年的招生人数的函数表达式。
解析：设今年招生人数为a人，则下一年招生人数为a+0.2a=1.2a人，再下一年招生人数为(1.2a)+0.2(1.2a)=1.2a+0.24a=1.44a人，再下一年招生人数为(1.44a)+0.2(1.44a)=1.44a+0.288a=1.728a人。
因此，后三年的招生人数的函数表达式为：f(n) = a(1+0.2)^n其中，f(n)表示第n年的招生人数，n为整数，n≥0。
9223高二数学下期末考试综合练习
高二数学下期末考试综合练习（1）高二 班 学号 姓名 成绩一、填空题1、223lim 23n n n n →∞-=-13-。
2、若(8,1,4)a =-，(3,4,7)b =-，则a 与b 的位置关系为a b ⊥。
3、设正三棱椎V ABC -的底边长为2，则侧棱与底面所成角的大小为4π。
4、在等比数列{}n a 中，公比为q 且1<q ，若123216a a a =，26321=++a a a ，则12lim ()n n a a a →+∞++⋅⋅⋅+=27。
解：12322166a a a a =⇒=，1336a a =，26321=++a a a 1320a a ⇒+=。
因为1<q ，解得118a =，32a =，所以13q =。
11218lim ()112173n n a a a a q→+∞++⋅⋅⋅+===--。
5、已知(cos ,sin ,1)OP θθ=，(2sin ,2cos ,2)OQ θθ=+-，[)0,2∈θπ，则当PQ 最大时OP 与OQ 的夹角=α2π。
解：222(2cos sin )(2cos sin )1PQ θθθθ=-++--+118cos θ=-，当cos 1θ=-时，PQ 最大。
此时sin 0θ=，代入得(1,0,1)OP =-，(2,3,2)OQ =。
因为0OP OQ ⋅=，所以OP 与OQ 的夹角=α2π。
6、如图为一几何体的展开图，其中ABCD 是边长为6的正方形，6SD PD ==，CR SC =，AQ AP =，点,,,S D A Q 及,,,P D C R 共线，沿图中虚线将它们折叠起来，使,,,P Q R S 四点重合，则需要3个这样的几何体，可以拼成一个棱长为6的A BCDSPRQ正方体。
解：折叠后的样子 三个四棱锥的拼法 ABCD PABCD P7、 用6种不同的颜色给图中的“笑脸”涂色，要求“眼睛”（即图中,A B 所示区域）用相同颜色，则不同的涂法共有36216=种。
高二数学高中数学综合库试题答案及解析
高二数学高中数学综合库试题答案及解析1.下列表述正确的是①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理。
A．①②③；B．②③④；C．②④⑤；D．①③⑤【答案】D【解析】根据归纳推理的定义知归纳推理是由部分到整体的推理，故①正确；根据演绎推理的定义知演绎推理是由一般到特殊的推理，故③正确；根据类比推理的定义知类比推理是由特殊到特殊的推理，故⑤正确；所以选D2.（12分）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，抛物线上的点M(-3,m)到焦点的距离为5，求抛物线的方程和m的值。
【答案】（1）设点，由题意：得：，整理得到点的轨迹方程为（2）双曲线的渐近线为，解方程组，得交点坐标为【解析】略3.将全体正整数排成一个三角形数阵：按照右边所示排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为【答案】【解析】略4.将3个相同的黑球和3个相同的白球自左向右排成一排，如果满足：从任何一个位置（含这个位置）开始向右数，数到最末一个球，黑球的个数大于等于白球的个数，就称这种排列为“有效排列”，则出现“有效排列”的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】略5.若曲线表示双曲线，则的取值范围是▲．【答案】【解析】略6.已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若过点(2，0)的直线与椭圆相交于两点，设为椭圆上一点，且满足（为坐标原点），当时，求实数取值范围．【答案】（Ⅰ）由题意知，所以．即．······························· 2分又因为，所以，．故椭圆的方程为．······················ 4分（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在.设：，，，，由得.，.················ 6分，.∵，∴，，.∵点在椭圆上，∴，∴.··························· 8分∵，∴，∴∴，∴，∴.··················· 10分∴，∵，∴，∴或，∴实数取值范围为.【解析】略7.为调查某地中学生平均每人每天参加体育锻炼时间（单位：分钟），按锻炼时间分下列四种情况统计：① 0～10分钟；②11～20分钟；③21～30分钟；④30分钟以上．有10000名中学生参加了此项活动，右图是此次调查中某一项的流程图，其输出的结果是6200，则平均每天参加体育锻炼时间在0～20分钟内的学生的频率是（）A．0.62B．0.38C．6200D．3800【答案】B【解析】略8.函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，已知f(x)在x＝－3时取得极值，则a＝ ()A．2B．3C．4D．5【答案】D【解析】略9.动点在圆上运动，它与定点B（3,0）连线的中点的轨迹方程式（）A．B．C．D．【答案】C【解析】略10.已知曲线恰有三个点到直线距离为1，则【答案】9【解析】略11.问题：①有1000个乒乓球分别装在3个箱子内，其中红色箱子内有500个，蓝色箱子内有200个，黄色箱子内有300个，现从中抽取一个容量为100的样本；②从20名学生中选出3名参加座谈会. 方法：Ⅰ.随机抽样法Ⅱ.系统抽样法Ⅲ.分层抽样法.其中问题与方法能配对的是（）A．①Ⅰ，②ⅡB．①Ⅲ，②ⅠC．①Ⅱ，②ⅢD．①Ⅲ，②Ⅱ【答案】B【解析】略12.已知m,n是两条不重合的直线，,,是三个两两不重合的平面,给出下列四个命题:①若则；②若则；③若则；④若m,n是异面直线,则。
高二数学必修二综合测试题(含答案)
高二数学必修二综合测试题班级_______________ XX___________________ 总分：________________ 一、选择题〔本大题共12小题，每小题5分，共60分〕 1．下面四个命题：①分别在两个平面内的两直线是异面直线；②若两个平面平行，则其中一个平面内的任何一条直线必平行于另一个平面； ③如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，则这两个平面平行； ④如果一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行． 其中正确的命题是( )A ．①②B ．②④C ．①③D ．②③2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为〔〕 A ．012=-+y x B ．052=-+y x C ．052=-+y x D ．072=+-y x 3．圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝33x 的距离是( )A ．12B ．32C ．1 D ．34．已知21F ,F 是椭圆 的左右焦点，P 为椭圆上一个点，且2:1PF :PF 21=，则21PF F cos ∠等于( )A ．12B ．31C ．41D ．225．已知空间两条不同的直线m,n 和两个不同的平面,αβ,则下列命题中正确的是( ) A ．若//,,//m n m n αα⊂则B ．若,,m m n n αβα⋂=⊥⊥则 C ．若//,//,//m n m n αα则D ．若//,,,//m m n m n αβαβ⊂=则6．圆x 2＋y 2－2x ＋4y －20＝0截直线5x －12y ＋c ＝0所得的弦长为8，则c 的值是( ) A ．10 B ．10或－68C ．5或－34 D ．－68 7．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过〔〕 A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限8．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1与CC 1的中点，则直线ED 与D 1F 所成角的大小是〔〕15y 9x 22=+Q PC'B'A'C BAA ．15B ．13C ．12D 39. 在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 ( ) A ．30 B ．45C ．60 D ．9010．将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角A －BD －C ，有如下四个结论：①AC ⊥BD ；②△ACD 是等边三角形；③AB 与平面BCD 成60°的角；④AB 与CD 所成的角是60°.其中正确结论的个数是〔 〕A. 1B. 2C. 3D. 411．如图:直三棱柱ABC —A 1B 1C 1的体积为V ，点P 、Q 分别在侧棱AA 1 和 CC 1上，AP=C 1Q ，则四棱锥B —APQC 的体积为( ) A ．2V B ．3V C ．4V D ．5V〔11题〕 12．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点 E 、F ，且EF ＝12，则下列结论错误的是( )A ．AC ⊥BEB ．EF ∥平面ABCD 〔12题〕C ．三棱锥A —BEF 的体积为定值D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相二、填空题〔本大题共4小题，每小题5分，共20分〕13．一个几何体的三视图与其尺寸(单位：cm)如图所示，则该几何体的侧面积为_ ______cm 214.两圆221x y +=和22(4)()25x y a ++-=相切，则实数a 的值为15．已知21F ,F 是椭圆的两个焦点，过2F 的直线交椭圆于P 、Q 两点，PQ PF 1⊥且PQ PF 1=,则椭圆的离心率为16.过点A (4,0)的直线l 与圆(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 斜率的取值X 围为 三、解答题17．如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，△ABC 与△A 1B 1C 1都为正三角形且AA 1⊥面ABC ，F 、F 1俯视图8558855第14题分别是AC ，A 1C 1的中点． 求证：(1)平面AB 1F 1∥平面C 1BF ； (2)平面AB 1F 1⊥平面ACC 1A 1.〔17题〕18．已知点),(y x P 在圆1)1(22=-+y x 上运动. 〔1〕求21--x y 的最大值与最小值；〔2〕求y x +2的最大值与最小值.19． 如图，DC ⊥平面ABC ，EB ∥DC ，AC ＝BC ＝EB ＝2DC ＝2，∠ACB ＝120°， P ，Q 分别为AE ，AB 的中点． 〔1〕证明：PQ ∥平面ACD ；〔2〕求AD 与平面ABE 所成角的正弦值〔19题〕20．已知圆C 1：x 2+y 2－2x －4y +m =0， 〔1〕XX 数m 的取值X 围；〔2〕若直线l ：x +2y －4=0与圆C 相交于M 、N 两点，且OM ⊥ON ，求m 的值。
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高二数学练习题1. 设，则的取值范围为2log (21)log 2 1x x x x +->-x A.B. C. D.112x <<1, 12x x >≠且1x >01x <<2. 若集合，，则{}012M =，，{}()210210N x y x y x y x y M =-+--∈，≥且≤，，中元素的个数为N Ａ.Ｂ.Ｃ.Ｄ.96423. 已知xy ＜0，则代数式xyy x 22+A.有最小值2 B.有最大值-2 C.有最小值-2 D.不存在最值4. 已知a 、b 、c 满足，且，那么下列选项中不一定成立的是c b a <<ac <0A.B.C.D.ab ac >c b a ()-<0cb ab 22<0)(<-c a ac 5. 设、是不同的直线，、、是不同的平面，有以下四个命题：m n αβγ①② //m m αββα⊥⎫⇒⊥⎬⎭③//////αββγαγ⎫⇒⎬⎭//m m ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⎭④，其中为真命题的是////m n m n αα⎫⇒⎬⊂⎭A.①④B.②③C.①③D.②④6. 使不等式成立的一个必要但不充分条件是2||≤x A. B. 3|1|≤+x 2|1|≤-x C.D.1)1(log 2≤+x 21||1≥x 7. 命题p ：存在实数m ，使方程x 2＋mx ＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是A.存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0无实根 B.不存在实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根C.对任意的实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根D.至多有一个实数m ，使得方程x 2＋mx ＋1＝0有实根8. “用反证法证明命题“如果x<y ，那么 <”时，假设的内容应该是51x 51y A.＝B. <C.＝且<D.＝或>51x 51y51x 51y51x 51y 51x 51y51x 51y 51x 51y9. 函数有极值的充要条件是1)(3++=x ax x f A.B.C. D.0≥a 0>a 0≤a 0<a 10. 若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为4y x =l 480x y +-=l A. B. C.D.430x y --=450x y +-=430x y -+=430x y ++=11. 已知那么复数z 对应的点位于复平面内的i z i -=+⋅)1(A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限12. 设复数=ωω++-=1,2321则i A.B.C. D.ω-2ωω1-21ω13.的值为则而得到逆时针方向旋转绕原点由向量复数2z z arg ,3O OZ z ,1z 12121-π=34D. 32C. 3B. 6.A ππππ14. 若，则下列不等关系中不能成立的是0a b <<A.B.C. D.11a b>11a b a>-a b >22a b>15. 已知不等式① ②0342<+-x x 0862<+-x x ③要使同时满足①②的也满足③则满足.0922<+-m x x x m A.m>9 B.m=9 C.0<m≤9 D.m≤916. 关于方程＝tanα(α是常数且α≠，k ∈Z )，以下结论中不正确的是x 2sin α＋y 2cos αk π2A .可以表示双曲线 B .可以表示椭圆 C .可以表示圆 D .可以表示直线17. 抛物线上有一点P ，P 到椭圆的左顶点的距离的最小值为x y 42-=1151622=+y x A. B.2+ C.D.323332-18. 二次曲线，当m ∈[－2，－1]时，该曲线的离心率e 的取值范围是1422=+my x ] ] 第Ⅱ卷（非选择题 共12道填空题12道解答题）请将你认为正确的答案代号填在下表中12345678910111213141516171819. 已知实数x ，y 满足约束条件 则（x +2）+ y 最小值为____________。
⎪⎩⎪⎨⎧≥+≥≥1 01- y x y x 2220. 已知，，，则的最小值为 .,,,a b x y ∈R 224a b +=6ax by +=22x y +21. 不等式的解集是_______.31≤-+x x22. 已知命题p ：函数的值域为R.命题q ：函数)2(log 25.0a x x y ++=xa y )25(--=是R 上的减函数.若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是 23. x 1且x 2是x -1的__________条件，而-2<m <0且0<n<1是关于x 的方≠≠1-≠x 程x 2+mx +n =0有两个小于1的正根的__________条件.24. “△ABC 中,若∠C=90°,则∠A.∠B 都是锐角”的否命题为:_______________，否定形式是_____________-25. 给出下列四个命题：①命题“x x R x 31,2>+∈∃”的否定是“2,13x R x x ∀∈+>”；②在空间中，、是两条不重合的直线，、是两个不重合的平面，如果，m n αβαβ⊥，，那么；n αβ= m n ⊥m β⊥③将函数x y 2cos =的图象向右平移3π个单位，得到函数的图象；sin(2)6y x π=-④函数的定义域为，且,若方程有两个不()f x R 21(0)()(1)(0)x x f x f x x -⎧-≤=⎨->⎩()f x x a =+同实根，则的取值范围为.a (,1)-∞其中正确命题的序号是____________.26. 如图，正方体的棱长为1，过点作平面的垂线，垂足为点.有下列四个命1AC 1A BD H 题A.点是的垂心H 1A BD △B.垂直平面AH 11CB D C.二面角111C B D C --D.点到平面的距离为H 1111A B C D 34其中真命题的代号是___________.（写出所有真命题的代号）27. 曲线在处的切线的倾斜角为 .153123=+-=x x x y 在28. 若函数，则＝_____321()(1)53f x x f x x '=-++(1)f '29. 无解,则实数m 的取值范围是__________________x m =+30. 动点P 到定点F （2，0）的距离与到定直线x =8的距离比是1∶2，则此点P 的轨迹方程是______.31. 已知函数其中n ∈N*,a 为常数.1()ln(1),(1)nf x a x x =+--(1)当n =2时，求函数f (x )的极值；(2)当a =1时，证明：对任意的正整数n ,当x≥2时，有f (x )≤x -1.111B32. 用总长44.8m 的钢条制做一个底面是等腰三角形的直三棱柱容器的框架，如果所制做容器的底面的腰长比底边长的一半长1m ，那么底面的底边，腰及容器的高为多少时容器的容积最大？（参考数据2.662=7.0756，3.342=11.1556）33. 已知函数f (x ) =的图象在点M (－1，f (－1))处的切线方程为x + 2y + 5 = 0.bx ax +-26（1）求函数y = f (x )的解析式；（2）求函数y = f (x )的单调区间.34. 已知命题：复数对应的点落在复平面的第二象P 22lg(22)(32)z m m m m i =--+++限；命题：以为首项，公比为的等比数列的前项和极限为2.若命题“且”Q m q n P Q 是假命题，“或”是真命题，求实数的取值范围.P Q m 35. 并给出, 0 ,0212:2有无实根试判断方程满足不等式已知实数=+<++5-p -2z z x x p 2证明.36. 在复数范围内解方程(i 为虚数单位)iii z z z+-=++23)(237. 已知a >0,b >0,c >0,abc =1,试证明：.23)(1)(1)(1222≥+++++b a c c a b c b a 38. 某学校拟建一块周长为400的操场如图所示，操场的两头是半圆形，中间区域是矩m 形，学生做操一般安排在矩形区域，为了能让学生的做操区域尽可能大，试问如何设计矩形的长和宽？39. 已知集合，，}312|{≤≤+=x x P }0)1(|{2≤++-=a x a x x M ，，且，求实数的取值范围x x y y N 2|{2-==}P x ∈N N M = a40. 某人上午7时，乘摩托艇以匀速v 海里/时(4≤v ≤20)从A 港出发到距50海里的B 港去，然后乘汽车以w 千米/时(30≤w ≤100)自B 港向距300千米的C 市驶去，应该在同一天下午4至9点到达C 市.设汽车、摩托艇所需的时间分别是x 、y 小时.(1)作图表示满足上述条件x 、y 的范围；(2)如果已知所需的经费p =100+3(5－x )+2(8－y )(元)，那么v 、w 分别是多少时走得最经济？此时需花费多少元？41. 在以O 为原点的直角坐标系中，点A （4，－3）为△OAB 的直角顶点.已知|AB|=2|OA|，且点B 的纵坐标大于零.(1)求向量的坐标；AB (2)求圆关于直线OB 对称的圆的方程；02622=++-y y x x (3)是否存在实数a ，使抛物线上总有关于直线OB 对称的两个点？若不存在，12-=ax y 说明理由：若存在，求a 的取值范围.42. 设分别为直角坐标平面内x ，y 轴正方向的单位向量，若向量=+,,i ja i m x )(-j y ，且 ||+||=6，0<m <3，x >0，y R 。
()b x m i y j =++a b ∈（1）求动点P (x ，y )的轨迹方程；（2）已知点A （-1，0），设直线与点P 的轨迹交于B ，C 两点，问是否存在1233y x =-实数m 使得？若存在，求出m 的值；若不存在，试说明理由。
AB ∙31=AC 第( )单元检测题参考答案（仅供参考）123456789101112131415B C B CCABDDACCCBD161718DAC1. 因为，解得 . 由20,1210x x x x >≠⎧⎨+->⎩1,12x x >≠2log (21)log 2 1x x x x +->- 解得 ；32log (2)log 2x x x x x ⇒+->320122x x x x <<⎧⇒⎨+-<⎩01x <<或 解得 ，所以的取值范围为 32122x x x x >⎧⎨+->⎩1x >x 1, 12x x >≠且10.与直线垂直的直线为，即在某一点的导数为480x y +-=l 40x y m -+=4y x =4，而，所以在(1，1)处导数为4，此点的切线为，故选A 34y x '=4y x =430x y --=15.同时满足①②的解为记,若同时满足①②的解也满足,32<<x ()m x x x f +-=922,则且解得()0<x f ()02≤f (),03≤f .9≤m 二.简答题答案:19.∅20. 921. {x |0≤x ≤4}22. 1<a<223. 充要，必要不充分。