数学思维

数学思维

数学思维是人脑和数学对象交互作用 并按照一般的思维规律认识数学本质 和规律的理性活动。具体来说，数学 思维就是以数和形及其结构关系为思 维对象，以数学语言和符号为思维的 载体，并以认识发现数学规律为目的 一种思维。

数学思维既从属于一般的人类思维， 具有一般思维的特征，同时由于数学 及其研究方法的特点，数学思维又具 有不同于一般思维的自身特点，表现 在思维活动是按客观存在的数学规律 进行的，具有数学的特点与操作方式。


思维 数学思维 数学思维的类型 数学思维方式
思维

思维是人脑对客观事物的本质及其内 在规律性联系概括的和间接的反映。 思维有两个最显著的特征，一是概括 性，二是间接性。
思维的概括性


思维的概括性是指思维所反映的不是个别 的事物或事物的个别属性，而是反映一类 事物所共有的本质特征以及事物所有的普 遍或必然的联系。

进行再造性想象必须具备两个条件：
①必须正确理解所给数学语言、符号、 表达式、图形或图解的确切意义，以 保证新形象的准确与真实；


②必须以丰富的表象储备为基础，头 脑中的形象表象越丰富、越鲜明，再 造性想象就越灵活、越清晰，从而再 造想象的结果就越准确、越精密。

创造性想象 创造性想象是一种不依靠现 成的数学语言和数学符号的描述，也不 依据现成的数学表达式和数学图形的提 示，只依据思维的目的和任务在头脑中 独立地创造出新的形象的思维过程。思 维结果的新颖、独特是创造性想象的主 要特征。



在幼儿园上学的女儿告诉数学家的父亲： “我们今天学了‘集合’！” 父亲：“老师是怎么教的？” 女儿：“女教师首先让班上所有的男孩子 站起来，然后告诉大家这就是男孩子的集 合；其次，她又让所有的女孩子站起来， 并说这是女孩子的集合；接下来，又是白 人孩子的集合，黑人孩子的集合，……最 后，教师问全班：‘大家是否都懂了？’ 她得到了肯定的答复。”
分析

第二种情况，1是甲时，那么“A是去京 城”2会点头是假。因为1是甲，2就是 乙，会说真话，他对“A是去北京”会 点头是假的，即A不是去京城的路。
综合

综合，只要回答者点头，那么A就不是 去北京的路。
同样推理，收到的回答是摇头，A就是 去北京的路。


这就是数学的逻辑性 思维，逻辑推理。
数学形象思维
问题性

数学思维的问题性是与数学科学的问 题性相关联的。问题是数学的心脏， 数学科学的起源与发展都是由问题引 起的。由于数学思维是解决数学问题 的心智活动，它总是指向问题的变换， 表现为不断地提出问题、分析问题和 解决问题，使数学思维的结果形成问 题的系统和定理的序列，达到掌握问 题对象的数学特征和关系结构的目的。
数学想象

数学想象是数学形象思维的一种重要 形式，通常可分为再造性想象和创造 性想象两种类型。

再造性想象 再造性想象是根据数学语言、 符号、数学表达式或图形、图表、图解等提 示，经加工改造而形成新的数学形象的思维 过程。再造性想象有两个特征：


一个是生成的新形象虽未感知过，但 并非完全由自己创造或创新，是根据 别人描述或者示意再造出来的； 一个是新形象是头脑中原有表象经过 加工改造而成的，其中包含着个人知 识与理解能力的作用，因此又有创造 的成分。


父：“那么，我们是否可以将世界上 所有的匙子或土豆组成一个集合？” 迟疑了一会，女儿最终作出了这样的 回答： “不行！除非它们都能站起来！”
启而不发？
“我们换一个题目，比如你每天吃 两个大饼，5天吃几个大饼？” “老师，我早上不吃大饼的。” “那你吃什么？” “我经常吃粽子。” “好，那你每天吃两个粽子，5天 吃几个粽子？”

进行创造性想象必须具备以下 三个条件：

①必须对所研究的问题本身进 行深入细致的观察，形成丰富 的表象储备；

②必须对所研究的问题情境进 行发散式思考，掌握有关知识 和经验的丰富材料，具备高水 平的表象重构能力；

③必须抓住契机引发想象，突 破思维的障碍，想象出问题结 果并做出逻辑上的检验。
整体性

数学思维的整体性主要表现在它的统 一性和对数学对象基本属性的准确把 握。数学科学本身是具有统一性的， 人们总是谋求新的概念、理论，把以 往看来互不相关的东西统一在同一的 理论体系中。

数学思维的统一性，是就思维的宏观 发展方向而言的，它总是越来越多地 抛弃对象的具体属性，用统一的理论 概括零散的事实。这样既便于简化研 究，又能洞察到对象的本质。数学思 维中对事物基本属性的把握，本质上 源于数学中的公理化方法。这种整体 性的思维方式对人们思考问题具有深 远的影响。

现在，他必须问一个问题，才可能断 定出哪条路通向北京。那么，这个问 题应该怎样问？
小提示


第一、甲与乙都不说话，只摇头点头， 意味着不能问选择性问题，必须问判 断性问题。 那么问的问题中不能同时包含A和B两 条路，只能选择A或者B中一个来问是 或者不是的问题，这样才能得到有效 的回答。
小提示

数学逻辑思维的显著特征是抽象性和逻辑 性，这是由数学本身的特点和数学学习的 需要决定的。数学具有严谨的逻辑体系， 逻辑因素在数学中表现得最为明显。一方 面，主要的数学事实按逻辑方法叙述或论 证；大量的数学概念抽象概括的形式化、 公理化；数学原理、公式、法则的推理论 证高度严密等。

另一方面，数学学习中不仅要记住按 逻辑体系组成的大量概念、公式、定 理和法则，而且要进行概念的分类、 定理的证明、公式法则的推导，广泛 使用各种逻辑推理和证明方法。

因此，问题性是数学思维目的性的体 现，解决问题的活动是数学思维活动 的中心。这一特点在数学思维方面的 表现比任何思维都要突出。因此，80 年代世界数学教育将“问题解决”作 为其主要任务是有道理的。
数学思维的类型

数学逻辑思维 数学形象思维 数学直觉思维
数学逻辑思维

数学逻辑思维是指借助数学概念、判断、 推理等思维形式，通过数学符号或语言 来反映数学对象的本质和规律的一种思 维。

数学形象思维是指借助数学形象或表 象，反映数学对象的本质和规律的一 种思维。在数学形象思维中，表象与 想象是两种主要形式，其中数学表象 又是数学形象思维的基本元素。
数学表象

数学表象是以往感知过的观念形象的 重现。数学表象常常以反映事物本质 联系的特定模式——结构来表现。

例如，数学中“球”的形象，已是脱 离了具体的足球、篮球、排球、乒乓 球等形象，而是与定点距离相等的空 间内点的集合。显示了集合内的点 （球面上的点）与定点（球心）之间 的本质联系：距离相等。

①再造性想象可以依据给定的数学语言、 符号、数学表达式和图形的提示而展开， 思维有所遵循，而创造性想象是根据思 维的目的和任务进行的形象改造；
小提示

共四个因素，甲 乙 A B。甲乙之间有 矛盾；AB是客观因素，本身不存在矛 盾。单纯的问A或B怎么样分析不出结 果。我们在给A或B提的判断性问题中 必须同时包含甲乙的矛盾，这样通过 双重判断才有可能使收到的回答得出 唯一的结论。
分析

因此，可以随便问其中的一人（用1代 替）：如果我问他(甲乙中没被问的人， 用2代替），A是通往北京的路，他会 点头，对吗？

特别是作为思维载体的数学语言的简 约性和数学形式的符号化、抽象化、 结构化倾向决定了数学思维具有不同 于其他思维的独特风格。数学思维主 要具有概括性、整体性、相似性和问 题性等特点。
概括性

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数学思维的概括性比一般思维的概括性更强，这 是由于数学思维揭示的是事物之间内在的形式结 构和数量关系及其规律，能够把握一类事物共有 的数学属性。数学思维的概括性与数学知识的抽 象性是互为表里、互为因果的。数学思维方法、 思维模式的形成是数学思维概括水平的重要表现， 概括的水平能够反映思维活动的速度、广度和深 度、灵活程度以及创造程度。因此，提高主体的 数学概括水平是发展数学思维能力的重要标志。
如何问问题？

有甲、乙两人，其中，甲只说假话，而不 说真话；乙则是只说真话，不说假话。但是， 他们两个人在回答别人的问题时，只通过点头 与摇头来表示，不讲话。


有一天，一个人面对两条路： A与B，其中一条路是通向北京的，而 另一条路是通向一个小村庄的。 这时，他面前站着甲与乙两人，但他 不知道此人是甲还是乙，也不知道 “点头”是表示“是”还是表示 “否”。
思维的间接性
思维的间接性是指思维不是直接地，而是 通过其他事物的媒介作用来反映客观事物 的。



正是由于思维具有间接性的特点，所以 人们才能对那些未曾感知过或根本无法 感知的事物做出反映，从而使人的知识 范围扩大、延伸；同样也是由于思维具 有间接性的特点，才使得人们能够预测 未来，使行动有目的、有计划地进行。 思维的间接性是随着主体知识经验的丰 富而发展起来的，因此，知识和经验对 思维能力有重要影响。

一个学生偶然发现 276 276，423 423， 都能被13整除，于是产生了好奇心， 继而又对634 634，872 872，314 314等进行验证，发现它们都能被13整 除。

在教师的热情鼓励与帮助下， 他终于发现了规律，这样就完 成了一件十分有益的创造性活 动。
创造性想象与再造性想象的区别 在于：
分析


这样的问题就包含了双重判断， 一是被问者的点头或摇头具有判断真 假的可能。 二是问题中“A是通往北京的路，他会 点头”也具有判断真假的可能。

如果收到的回答是点头。 两种情况 一是2会点头为真，且1是乙； 二是2会点头是假，且1为甲。
分析

第一种情况，1是乙时，乙说真话，那 么2对“A是去北京”会点头就是真的。 因为1是乙 2就是甲，甲说的是假话， 甲对“A是去京城”会点头，那么“A 是去北京的路”为假。
相似性

数学思维的相似性是思维相似律在数 学思维活动中的反映。数学思维的相 似性普遍存在，在创造性思维活动中 发挥着重要作用。数学思维中到处渗 透着异中求同、同中辨异的比较、分 析过程。

数学中的相似表现有几何相似、关系 相似、结构相似与实质相似、静态相 似与动态相似等。数学思维中的联想、 类比、归纳和猜想等都是运用相似性 探求数学规律、发现数学结论的主导 方法。对相似因素和相似关系的认识 能加深理解数学对象的内部联系和规 律性，提高思维的深刻性，发展思维 的创造性。因此，相似性是数学思维 的一个重要特征。

第二、不论问什么，得到的答案只会 是点头或者摇头。不会得到具体提示。 题目要求不论问谁问什么，必须通过 得到的“点头”或“摇头”分析出唯 一的结果。
小提示

甲 乙一个只说假，一个只说真。那么对同 样的问题，他们的回答必然是相反的。这 里存在矛盾，可以帮助判断。另外，不论 问谁，问什么问题，会得到一个点头或摇 头的答复，这里也可以帮助判断。
走进数学思维 与 数学学习方 法

一个农民，在集市上买了一头牛花了 600元，转手以640元卖给了别人，随 后又以650元买回了这头牛。过了不久， 这个农民又以640元把牛卖了，最后他 又以600元买回了这头牛。问：这个农 民买这头牛实际花了多少钱？
-600+640-650+640-600 =1280-1850 =-630



两只食量相同的猴子抢一堆桃子吃， 吃完后，一只猴子还差1个桃子吃饱， 另一只还差5个吃饱。 如果这堆桃子都给一只猴子吃，它仍 不会吃饱，那么一只猴子一共需要__ ___个桃子才能吃饱.

5个
进入主题：走进数学思 维！
数学从抽象谈起 父：“如果你有一个橘子，我 再给你两个，你数数看一共有 几个橘子？” 子：“不知道！在学校里，我 们都是用苹果数数的，从而不 用橘子。




“老师，我一天根本吃不了两个粽子。” “那你能吃几个粽子？” “吃半个就可以了。” “好，那你每天吃半个（小数乘法没 学）粽子，5天吃几个粽子？” “两个半。” “怎么算出来的？” “两天一个，5天两个半。”……
结论
学会数学思维的首要涵义：学会数 学抽象（模式化）。 数学：模式的科学。这就是指，数 学所反映的不只是某一特定事物或 现象的量性特征，而是一类事物或 现象在量的方面的共同性质。