清华北大自主招生模拟试题(数学)
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自主招生模拟试题--03
一、选择题(本大题共6小题,每小题3分,共18分)
1.设A 是整数集的一个非空子集,对于A k ∈,如果A k ∉-1,且A k ∉+1,那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定}8,7,6,5,4,3,2,1{=S ,由S 的三个元素构成的所有集合中,不含“孤立元”的集合个数为【 】． A.5 B.6 C.7 D.8
2.若函数1463)(2
3
+++=x x x x f ,且1)(=a f ,19)(=b f ,则=+b a 【 】． A.2- B.0 C.1 D.2
3.如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是【 】．
A.12
B.18
C.24
D.36
4.某化工厂打算投入一条新的生产线,但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产
n 年的累计产量为)12)(1(2
1
)(++=n n n n f 吨,但如果年产量超过150吨,将会给环境造成危害．
为保护环境,环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限的年数为【 】．
A.5
B.6
C.7
D.8 5.若ABC ∆的内角A B C ,,所对的边,,a b c 成等比数列,则
sin cot cos sin cot cos A C A
B C B
++的取值范围是【 】．
A.(0,)+∞
B.51(0,
)2+ C.5151(,)22-+ D.51
(,)2
-+∞ 6.若设集合}10,,2,1{ =A ,则满足“每个子集至少有2个元素,且每个子集中任意两个元素之差的绝对值均大于1.”的A 的子集个数为【 】．
A.55
B.89
C.109
D.133 二、填空题(本大题共4小题,每小题3分,共12分) 7.函数424236131y x x x x x =
--+--+的最大值为____________.
8.若函数x x a y sin )3cos (2
-=的最小值为3-,则实数a 的取值范围是____________.
9.甲乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得1分,负者得0分,比赛进行到有一人比对方多2分或打满6 局时停止．设甲在每局中获胜的概率为
23
,乙在每局中获胜的概率为1
3,且各局胜负相互独立,则比赛停止
时已打局数ξ的期望E ξ为____________.
10.多面体上,位于同一条棱两端的顶点称为相邻的,如图,正方体的一个顶点A 在平面α内,其余顶点在α的同侧,正方体上与顶点A 相邻的三个顶点到α的距离分别为1,2和4,P 是正方体的其余四个顶点中的一个,则P 到平面α的距离可能是:
①3； ②4； ③5； ④6； ⑤7
以上结论正确的有______________.（写出所有正确结论的编号．．） 三、解答题(本大题共5小题,每小题14分,共70分)
11.设b x ax x f ++=4)(2